| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Суперполевые преобразования Беклунда и Дарбу А. Мирзаab, М. Аль-Хассанa a Department of Physics, University of the Punjab, Quaid-e-Azam Campus, Lahore, Pakistan b Department of Software Engineering, Faculty of Computing and Information Technology, University of the Punjab, Quaid-e-Azam Campus, Lahore, Pakistan
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 219, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924040081 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеСуперсимметрия (SUSY), также известная как симметрия фермион–бозон, подразумевает совместное рассмотрение двух разных классов элементарных частиц, называемых фермионами и бозонами, которое связывает состояния с разными спинами [1]–[11]. Бозоны и фермионы – это частицы, рассматривающиеся как грассмановозначные поля четной и нечетной степени соответственно. SUSY была введена в классические интегрируемые системы для получения их фермионных расширений. Преобразование SUSY реализуется путем применения квантового оператора $Q$. Когда оператор $Q$ применяется к фермионному состоянию, он переводит его в бозонное, и наоборот. В статье [8] мы представили суперсимметричную версию связанной бездисперсионной (SUSY-CD) интегрируемой системы и для нее получили многосолитонные решения, используя суперполевой метод билинеаризации Хироты. Связанная бездисперсионная система [12]–[14] представляет собой нелинейную динамическую систему, которая обладает некоторыми интересными свойствами и имеет ряд приложений (см., например, [8]). В работе [9] мы изучили некоторые аспекты интегрируемости SUSY-CD-системы, введя ее суперполевое ($3\times 3$)-матричное представление Лакса. В работе [10] мы рассмотрели многокомпонентную SUSY-CD-систему и нашли суперполевые многосолитонные решения с помощью билинейного метода Хироты. В настоящей работе мы сначала получаем суперполевыые уравнения Риккати для SUSY-CD-системы с помощью суперполевого $(2\times 2)$-матричного представления Лакса. После преобразования полей мы используем суперполевые уравнения Риккати для получения суперполевого преобразования Беклунда. Затем мы применяем преобразование Беклунда, чтобы найти явные выражения для суперполевых солитонных решений SUSY-CD-системы. Далее мы исследуем ее преобразование Дарбу и применяем квазидетерминанты для получения суперполевых многосолитонных решений. Мы находим суперполевую матрицу Дарбу и представляем явные выражения для суперполевых солитонных решений системы. $\mathcal N=1$ SUSY-CD-система выражается через фермионные (грассманово-нечетные) суперполя $Q(x,t,\theta,\zeta)$ и $R(x,t,\theta,\zeta)$, в которых $\theta$, $\zeta$ – грассманово-нечетные переменные ($\theta^2=0$, $\zeta^2=0$), а $x$, $t$ – четные пространственная и временна́я переменные. Ковариантные производные $D_x$ и $D_t$ определяются в суперпространстве как $D_x^{}=\partial_\theta^{}+\theta \partial_x^{}$, $D_t^{}=\partial_\zeta^{}+\zeta\partial_t^{}$. При этом $D_x^2=\partial_x^{}$, $D_t^2=\partial_t^{}$ и $D_x$ антикоммутирует с $D_t$. Суперполевые уравнения SUSY-CD-системы записываются как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D_tD_xQ+RD_xR&=0, \\ D_tD_xR-RD_xQ&=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1}
$$
Начнем с линейной задачи в суперпространстве или суперполевого представления через пару Лакса. Пусть $P=D_xVg$, $\lambda$ – спектральный параметр и $\Omega(x,t,\theta,\zeta)$ – (грассманово-четное) суперполе, задающееся как $\Omega=\binom{\chi}{\beta}$, где $\chi$ и $\beta$ – бозонные суперполя. Тогда суперполевые уравнения (1) возникают как условие совместности матричных уравнений
$$
\begin{equation}
D_x\Omega=\lambda^{-1}P\Omega,\qquad D_t\Omega=(\lambda W+U)\Omega,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где матричные суперполя $V(x,t,\theta,\zeta)$, $W(x,t,\theta,\zeta)$ и $U(x,t,\theta,\zeta)$ задаются формулами
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, V=\begin{pmatrix} 0 & \dfrac{Q+iR}{4} \\ \dfrac{Q-iR}{4} & 0 \end{pmatrix}, \\ W=gG=g\begin{pmatrix} \phantom{-}0 & -1 \\ -1 & \phantom{-}0 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} i\dfrac{R}{2} & 0 \\ 0 & -i\dfrac{R}{2} \end{pmatrix} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3}
$$
вместе со следующими условиями на $g$:
$$
\begin{equation}
D_xg\Omega=-\lambda^{-1}\begin{pmatrix} 0 & \dfrac{1}{4}(Q+iR) \\ \dfrac{1}{4}(Q-iR) & 0 \end{pmatrix}\Omega,\qquad D_tg\Omega=\lambda\begin{pmatrix} \phantom{-}0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\Omega.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Фермионное суперполе $g$ вводится, чтобы сохранить градуировку системы. Смысл компонент и бозонный предел SUSY-CD-системы (1) обсуждались в [8]. Если сделать преобразование
$$
\begin{equation}
X=\beta^2,\qquad Y=\chi^2,\qquad g=\dfrac{Z}{2i\chi\beta},
\end{equation}
\tag{5}
$$
то система (2) переходит в эквивалентную суперполевую ($3\times 3$)-матричную линейную систему. Спектральная задача для SUSY-CD-системы (1) имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D_x\Phi&=A(x,t,\theta,\zeta;\lambda)\Phi, \\ D_t\Phi&=B(x,t,\theta,\zeta;\lambda)\Phi. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
$$
В этих уравнениях матрицы $A(x,t,\theta,\zeta;\lambda)$, $B(x,t,\theta,\zeta;\lambda)$ принимают значения в супералгебре $\mathfrak{sl}(2|1,\mathcal G)$ и задаются как
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, A=\dfrac{1}{2\lambda}\begin{pmatrix} 0 & 0 & D_x(Q-iR) \\ 0 & 0 & D_x(Q+iR) \\ D_x(Q+iR) & D_x(Q-iR) & 0 \end{pmatrix}, \\ B=\begin{pmatrix} -iR & 0 & -\lambda \\ \phantom{-}0 & iR & -\lambda \\ -\lambda & -\lambda & \phantom{-}0 \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7}
$$
Чтобы сохранить градуировку суперполя $\Phi(x,t,\theta,\zeta)$, запишем его как трекхкомпонентный вектор-столбец с компонентами разной грассмановой четности: можно выразить $(2|1)$-супервектор $\Phi$ как где $X$ и $Y$ – бозонные суперполя, а $Z$ – фермионное суперполе.
2. Суперполевое преобразование БеклундаИспользуя суперполевое представление Лакса, мы получаем суперполевое преобразование Беклунда SUSY-CD-системы (1). Для чисто бозонной системы преобразование Беклунда было выведено в [15]. Следуя той же процедуре при построении суперполевого преобразования Беклунда, запишем уравнения Риккати для системы (3). Для этого введем новое скалярное суперполе $\Gamma=\beta/\chi$. Тогда суперполевая пара Лакса (2) может быть переписана как уравнения Риккати для суперполя
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D_t\Gamma&=-i\Gamma R+\lambda g(\Gamma^2-1), \\ D_x\Gamma&=-\dfrac{g}{4\lambda}\Gamma^2[D_x(Q+iR)-D_x(Q-iR)] \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
вместе со следующими условиями на $g$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D_tg&=-\lambda(\Gamma^{-1}+\Gamma), \\ D_xg&=-\dfrac{1}{4\lambda}[D_x(Q-iR)\Gamma^{-1}+D_x(Q+iR)\Gamma]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
Условия совместности $D_xD_t\Gamma=-D_tD_x\Gamma$ и $D_xD_tg=-D_tD_xg$ представляют собой SUSY-CD-систему. Набор двух суперполевых уравнений Риккати (8) можно использовать для построения суперполевого преобразования Беклунда SUSY-CD-системы. Для этого введем новые преобразования $\Gamma\to\widetilde\Gamma$, $D_x\to\widetilde D_x$, $R\to\widetilde R$, $Q\to\widetilde Q$ и $\lambda\to\tilde\lambda$. Положим $\widetilde\Gamma=\Gamma$, $\widetilde D_x=D_x$, $\widetilde R=\widetilde R$, $\widetilde Q=\widetilde Q$ и $\tilde\lambda=\lambda^\ast=-\lambda$ и подставим эти выражения в (8). После упрощений получаем суперполевое преобразование Беклунда SUSY-CD-системы:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widetilde R&=R+2i\lambda g(\Gamma-\Gamma^{-1}), \\ D_x\widetilde Q&=-D_xQ-i(\Gamma^2+1)(\Gamma^2-1)^{-1}(D_x\widetilde R+D_xR), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10}
$$
и
$$
\begin{equation}
D_x\widetilde R=D_xR+2i\lambda D_xg(\Gamma -\Gamma^{-1}).
\end{equation}
\tag{11}
$$
Условия совместности преобразований (10) и (11) представляют собой SUSY-CD-систему. Преобразование Беклунда (10) можно использовать для того, чтобы получить суперполевые солитонные решения системы (1) в явном виде. Исходя из суперполевого преобразования Беклунда (10), найдем суперполевые солитонные решения системы (1) для заданного затравочного решения, которое мы выберем как При этом пара Лакса принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D_x\begin{pmatrix} \chi \\ \beta \end{pmatrix}&= \begin{pmatrix} 0 & g/4\lambda \\ g/4\lambda & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \chi \\ \beta \end{pmatrix}, \\ D_t\begin{pmatrix} \chi \\ \beta\end{pmatrix}&= \begin{pmatrix} 0 & -\lambda g \\ -\lambda g & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \chi \\ \beta\end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13}
$$
Ее решение дается следующими формулами:
$$
\begin{equation}
\chi(x,t,\theta,\zeta)=e^{\gamma}+e^{-\gamma},\qquad \beta(x,t,\theta,\zeta)=e^{\gamma}-e^{-\gamma},
\end{equation}
\tag{14}
$$
откуда имеем
$$
\begin{equation}
\Gamma=\dfrac{1-e^{2\gamma}}{1+e^{2\gamma}},\qquad 2\gamma=\frac{x}{4\lambda^2}-4\lambda^2t+\theta\zeta.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Можно переписать это решение как
$$
\begin{equation}
\Gamma=-\operatorname{th}\biggl(\frac{x}{4\lambda^2}-4\lambda^2t+\theta\zeta\biggr).
\end{equation}
\tag{16}
$$
Подставляя (12), (16) в (10), получаем явные решения SUSY-CD-системы:
$$
\begin{equation}
\widetilde R=2i\lambda g\operatorname{csch}2\gamma,\qquad D_x\widetilde Q=-1-\operatorname{cth} 2\gamma.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Это суперполевые солитонные решения.
3. Преобразование ДарбуПреобразование Дарбу позволяет найти солитонные решения различных классических и суперсимметричных интегрируемых систем. Используя тривиальное решение, с помощью преобразований Дарбу можно вычислить многосолитонные решения [5], [6], [16]–[25]. Преобразование Дарбу для нашей системы определяется в терминах суперполевой ($2\times 2$)-матрицы Дарбу $D(x,t,\theta,\zeta;\lambda)$. Действие этой матрицы на суперполевое решение $\Omega(x,t,\theta,\zeta;\lambda)$ дает новое решение $\Omega[1](x,t,\theta,\zeta;\lambda)$. Однократное преобразование Дарбу определяется как
$$
\begin{equation}
\Omega[1](x,t,\theta,\zeta;\lambda)=D(x,t,\theta,\zeta;\lambda)\Omega(x,t,\theta,\zeta;\lambda).
\end{equation}
\tag{18}
$$
В нашем случае мы выбираем следующий вид матрицы Дарбу:
$$
\begin{equation}
D(x,t,\theta,\zeta;\lambda)=\lambda I-S(x,t,\theta,\zeta;\lambda),
\end{equation}
\tag{19}
$$
где $I$ – единичная ($2\times 2$)-матрица и $S(x,t,\theta,\zeta;\lambda)$ – неособая суперполевая матрица. Новое решение, полученное по формуле (18), удовлетворяет паре Лакса (2). Условие ковариантности пары Лакса (2) приводит к уравнениям
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D_x\Omega[1]&=\lambda^{-1}P[1]\Omega[1], \\ D_t\Omega[1]&=(\lambda W[1]+U[1])\Omega[1]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
Подставим в них (18), получим преобразование Дарбу для матриц $W$ и $U$: Из условий $U=[G,V]$ и $W=gG$ получаем Чтобы ковариантность пары Лакса (2) сохранялась при преобразовании Дарбу, матрица $S$ должна удовлетворять следующим условиям:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D_xS&=P-SPS^{-1}, \\ D_tS&=[U,S]+[W,S]S. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
Возьмем конкретную матрицу собственных значений $\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,-\lambda_1)$. Матрицу $S(x,t,\theta,\zeta)$ можно выразить через частные суперполевые матричные решения $K(x,t,\theta,\zeta)$ пары Лакса (2). Для нашего случая мы выбираем следующий вид матрицы $S$: Можно легко убедиться, что (24) является решением уравнений (23), продифференцировав выражение (24). Таким образом, если $\Omega$ – решение пары Лакса (2), то $\Omega[1]$ – также решение пары (2). Следовательно, мы можем представить однократное преобразование Дарбу как
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Omega[1]=(\lambda {I}-K\Lambda K^{-1})\Psi, \\ U[1]=U+[W,K\Lambda K^{-1}],\qquad W[1]=W,\qquad V[1]=V+gK\Lambda K^{-1}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{25}
$$
Эти формулы определяют преобразования, требующиеся для нахождения решения-столбца $\Omega$ и функций $U$, $W$, $V$. Решение $\Omega[1]$ можно выразить через квазидетерминант [26]–[28]. Квазидетерминант ($N\times N$)-матрицы над кольцом $R$, разложенный по матрице $O$, определяется как
$$
\begin{equation*}
|Q|=\begin{vmatrix} J & K \\ L & \,\fbox{$O$}\, \end{vmatrix}=O-LJ^{-1}K.
\end{equation*}
\notag
$$
Квазидетерминанты подчиняются тождеству Якоби
$$
\begin{equation*}
\begin{vmatrix} Q & K & T \\ M & F & G \\ P & H & \,\fbox{$O$}\, \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} Q & T \\ P & \,\fbox{$O$}\, \end{vmatrix}- \begin{vmatrix} Q & K \\ P & \,\fbox{$H$}\, \end{vmatrix}\, \begin{vmatrix} Q & K \\ M & \,\fbox{$F$}\, \end{vmatrix}^{-1} \begin{vmatrix} Q & T \\ M & \,\fbox{$G$}\, \end{vmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $Q$ – матрица размера $m\times m$, $M$ и $P$ – матрицы-строки размера $1\times m$, $K$, $T$ – матрицы-столбцы размера $m\times 1$, а $F$, $G$, $H$, $O$ – скаляры. Решение $\Omega[1]$ записывается через квазидетерминанты как
$$
\begin{equation}
\Omega[1]={D(x,t;\lambda)}\Omega=(\lambda{I}-K\Lambda K^{-1})\Omega= \begin{vmatrix} K & \Omega \\ K\Lambda & \,\fbox{$\lambda\Omega$}\,\end{vmatrix},
\end{equation}
\tag{26}
$$
а соответствующее однократное преобразование Дарбу суперполевых матриц $V$ и $U$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, V[1]&=V+gK\Lambda K^{-1}=V+g\begin{vmatrix} K & I \\ K\Lambda & \,\fbox{$0$}\, \end{vmatrix}, \\ U[1]&=U+[W,\;K\Lambda K{^{-1}}]= U-\biggl[W,\begin{vmatrix} K & I \\ K\Lambda & \,\fbox{$0$}\, \end{vmatrix}\;\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{27}
$$
Запишем суперполевую ($2\times 2$)-матрицу $S$ в форме
$$
\begin{equation}
S=\begin{vmatrix} K & I \\ K\Lambda & \,\fbox{$0$}\, \end{vmatrix}= \begin{pmatrix} S_{11} & S_{12} \\ S_{21} & S_{22} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{28}
$$
тогда однократное преобразование Дарбу суперполя $\Omega$ выражается через матрицу $S$:
$$
\begin{equation}
\Omega[1]=\lambda I\Omega+\begin{pmatrix} S_{11} & S_{12} \\ S_{21} & S_{22} \end{pmatrix}\Omega.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Последнее равенство можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \chi[1] \\ \beta[1] \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \lambda \chi \\ \lambda \beta \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} S_{11} & S_{12} \\ S_{21} & S_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \chi \\ \beta \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Решая это уравнение, получаем
$$
\begin{equation}
\chi[1]=(\lambda+S_{11})\chi+S_{12}\beta,\qquad \beta[1]=(\lambda+S_{22})\beta+S_{21}\chi,
\end{equation}
\tag{31}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} S_{11}&=\begin{vmatrix} \chi_1 & \phantom{-}\chi_1 & 1 \\ \beta_1 & -\beta_1 & 0 \\ \lambda_1\chi_1 & -\lambda_1\chi_1 & \,\fbox{$0$}\, \end{vmatrix}=0,&\qquad S_{22}&=\begin{vmatrix} \chi_1 & \phantom{-}\chi_1 & 0 \\ \beta_1 & -\beta_1 & 1 \\ \lambda_1\beta_1 & \phantom{-}\lambda_1\beta_1 & \,\fbox{$0$}\, \end{vmatrix}=0, \\ S_{12}&=\begin{vmatrix} \chi_1 & \phantom{-}\chi_1 & 0 \\ \beta_1 & -\beta_1 & 1 \\ \lambda_1\chi_1 & -\lambda_1\chi_1 & \,\fbox{$0$}\, \end{vmatrix}=-\lambda_1\frac{\chi_1}{\beta_1},&\qquad S_{21}&=\begin{vmatrix} \chi_1 & \phantom{-}\chi_1 & 1 \\ \beta_1 & -\beta_1 & 0 \\ \lambda_1\beta_1 & \phantom{-}\lambda_1\beta_1 & \,\fbox{$0$}\, \end{vmatrix}=-\lambda_1\frac{\beta_1}{\chi_1}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставив эти выражения в формулы (31), получим однократные преобразования Дарбу для суперполей $\chi$ и $\beta$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \chi[1]&=\lambda\chi-\lambda_1\frac{\chi_1}{\beta_1}\beta= \frac{\Delta_\chi(\chi_1,\beta_1,\chi,\beta)[2]}{\Delta_\beta(\chi_1,\beta_1)[1]}, \\ \beta[1]&=\lambda\beta -\lambda_1\frac{\beta_1}{\chi_1}X= \frac{\Delta_\beta(\chi_1,\beta_1,\chi,\beta)[2]}{\Delta_\chi(\chi_1,\beta_1)[1]}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{32}
$$
Здесь $\chi_1$ и $\beta_1$ – частные решения SUSY-CD-системы (2) при $\lambda=\lambda_1$. Детерминанты $\Delta_\chi$ и $\Delta_\beta$ задаются как
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \Delta_\chi(\chi_1,\beta_1,\chi,\beta)[2]&=\begin{vmatrix} \beta_1 & \beta \\ \chi_1^{(1)} & \chi^{^{(1)}} \end{vmatrix},&\qquad \Delta_\beta(\chi_1,\beta_1,\chi,\beta)[2]&=\begin{vmatrix} \chi_1 & \chi \\ \beta_1^{(1)} & \beta^{^{(1)}} \end{vmatrix}, \\ \Delta_\chi(\chi_1,\beta_1)[1]&=\chi,&\qquad \Delta_\beta(\chi_1,\beta_1)[1]&=\beta, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где введены обозначения $\chi^{^{(1)}}=\lambda\chi $, $\beta^{^{(1)}}=\lambda\beta$. Чтобы найти однократное преобразование Дарбу фермионного суперполя $R$, возьмем матрицу $S$ вида
$$
\begin{equation}
S=\begin{pmatrix} 0 & \lambda_1\dfrac{\chi_1}{\beta_1} \\ \lambda_1\dfrac{\beta_1}{\chi_1} & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{33}
$$
Используя выражения для $V$, $U$, $W$ и $S$ из (3) и (33) в уравнениях (21) и (22), получаем однократное преобразование Дарбу для $R$ и $Q$:
$$
\begin{equation}
R[1]=R-2i\lambda g\biggl(\frac{\chi_1}{\beta_1}-\frac{\beta_1}{\chi_1}\biggr),\qquad Q[1]=Q-2\lambda g\biggl(\frac{\chi_1}{\beta_1}+\frac{\beta_1}{\chi_1}\biggr).
\end{equation}
\tag{34}
$$
Эти формулы также можно записать как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R[1]&=-R+2iD_t\ln\biggl(\frac{\chi_1}{\beta_1}\biggr)= -R+2iD_t\ln\biggl(\frac{\Delta_\chi(\chi_1,\beta_1)[1]}{\Delta_\beta(\chi_1,\beta_1)[1]}\biggr), \\ Q[1]&=-Q+2D_t\ln(\chi_1\beta_1)=-Q+2D_t\ln(\Delta_\chi(\chi_1,\beta_1)[1]\Delta_\beta(\chi_1,\beta_1)[1]). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{35}
$$
Последовательно применяя преобразования Дарбу и действуя аналогичным образом, получаем двукратное преобразование Дарбу для $R$ и $Q$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R[2]&=R+2iD_t\ln\biggl(\frac{\Delta_\chi(\chi_i,\beta_i)[2]}{\Delta_\beta(\chi_i,\beta_i)[2]}\biggr), \\ Q[2]&=Q+2D_t\ln(\Delta_\chi(\chi_i,\beta_i)[2]\Delta_\beta(\chi_i,\beta_i)[2]), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{36}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Delta_\chi(\chi_i,\beta_i)[2]= \begin{vmatrix} \beta_1 & \beta_{2} \\ \chi_1^{(1)} & \chi_{2}^{(1)} \end{vmatrix},\qquad \Delta_\beta(\chi_i,\beta_i)[2]=\begin{vmatrix} \chi_1 & \chi_{2} \\ \beta_1^{(1)} & \beta_{2}^{(1)} \end{vmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\chi_i$ и $\beta_i$, $i=1,2$, – частные решения SUSY-CD-системы (2) при $\lambda=\lambda_i$. $N$-кратное преобразование Дарбу для $R$ выражается как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R[N]&=(-1)^{N}R+2iD_t\ln\biggl(\frac{\Delta_\chi(\chi_i,\beta _i)[N]}{\Delta_\beta(\chi_i,\beta_i)[N]}\biggr), \\ Q[N]&=(-1)^{N}Q+2D_t\ln(\Delta_\chi(\chi_i,\beta _i)[N]\Delta_\beta(\chi_i,\beta_i)[N]), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{37}
$$
где детерминанты $\Delta_\chi(\chi_i,\beta_i)[N]$ и $\Delta_\beta(\chi_i,\beta_i)[N]$ при четном $N$ задаются как
$$
\begin{equation*}
\Delta_\chi(\chi_i,\beta_i)[N]=\begin{vmatrix} \beta_1 & \cdots & \beta_N \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \beta_1^{(N-2)} & \cdots & \beta_N^{(N-2)} \\ \chi_1^{(N-1)} & \cdots & \chi_N^{(N-1)} \end{vmatrix},\qquad \Delta_\beta(\chi_i,\beta_i)[N]=\begin{vmatrix} \chi_1 & \cdots & \chi_N \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \chi_1^{(N-2)} & \cdots & \chi_N^{(N-2)} \\ \beta_1^{(N-1)} & \cdots & \beta_N^{(N-1)} \end{vmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
а при нечетном $N$ – как
$$
\begin{equation*}
\Delta_\chi(\chi_i,\beta_i)[N]=\begin{vmatrix} \chi_1 & \cdots & \chi_N \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \beta_1^{(N-2)} & \cdots & \beta_N^{(N-2)} \\ \chi_1^{(N-1)} & \cdots & \chi_N^{(N-1)} \end{vmatrix},\qquad \Delta_\beta(\chi_i,\beta_i)[N]=\begin{vmatrix} \beta_1 & \cdots & \beta_N \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \chi_1^{(N-2)} & \cdots & \chi_N^{(N-2)} \\ \beta_1^{(N-1)} & \cdots & \beta_N^{(N-1)} \end{vmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы получить односолитонное решение SUSY-CD-системы, мы подставляем решения (12), (14) в (35), а затем, решая уравнения для $D_xQ$, находим явные солитонные решения SUSY-CD-системы по формулам (17).
4. Заключительные замечанияВ представленной работе мы получили суперполевое преобразование Беклунда SUSY-CD-системы, используя суперполевое представление Риккати для пары Лакса. Это преобразование затем применяется для получения суперполевого солитонного решения системы. Мы также представили преобразование Дарбу интегрируемой SUSY-CD-системы и нашли преобразования Дарбу для решений пары Лакса и решений суперполевых уравнений SUSY-CD-системы, с помощью которых получили явные решения. Проблемы, обсуждавшиеся в данной статье, можно расширить в нескольких направлениях. Можно исследовать преобразование Дарбу суперсимметричного обобщения многокомпонентной бездисперсионной системы, а также матричного обобщения бездисперсионной системы; решения этих систем можно получить с использованием методов, упомянутых в этой статье. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{MirUl 24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|