| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Квантование необратимости каналов Шунь Лун Лоab, Юань Суньc a Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences, Beijing, China b School of Mathematical Sciences, University of the Chinese Academy of Sciences, Beijing, China c School of Mathematical Sciences, Nanjing Normal University, Nanjing, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S004057792403005X 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеНеобратимость широко распространена в природе и часто проявляется во многих физических процессах. Второй закон термодинамики, согласно которому в любом спонтанном процессе полная энтропия системы либо увеличивается, либо остается постоянной, характеризует некоторые принципиально необратимые аспекты природных явлений [1]–[4]. В квантовом мире необратимость естественным образом возникает как следствие взаимодействия системы со средой и квантовых измерений, приводящих к утечке информации в окружающую среду, которую невозможно восстановить из-за неуправляемости среды. Это вызывает декогерентность и диссипацию динамики открытой системы [5]–[10]. В настоящей работе мы концентрируем внимание на необратимости квантовых каналов в терминах супероператоров, т. е. отображений, переводящих квантовые состояния (описывающиеся операторами плотности) в другие квантовые состояния [11]–[13]. В довольно обширной и широко используемой схеме общие квантовые процессы часто описываются квантовыми каналами (т. е. линейными, сохраняющими след, вполне положительными отображениями квантовых состояний; далее мы называем их просто каналами). Эти физические процессы обычно делятся на две категории: унитарная эволюция (являющаяся обратимой) и динамика открытой системы (необратимый процесс). Хотя аспекты необратимости каналов широко изучались с акцентом на перспективы качественного описания, такие как квантовая коррекция ошибок и квантовое управление, они относительно менее изучены с количественной точки зрения. Это требует количественных исследований необратимости каналов. Придерживаясь строгого подхода, напомним, что квантовый процесс, описываемый каналом $\mathcal E$, является (физически) обратимым, если существует канал $\mathcal D$ такой, что композиция $\mathcal D \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E= \mathcal I$ есть тождественный канал в системе. В противном случае канал называют необратимым. Очевидно, что любой унитарный канал $\mathcal E_U(\rho)=U\rho U^\unicode{8224}$ (где $U$ – унитарный оператор) обратим, и соответствующий обратный процесс задается как $\mathcal D(\rho)=\mathcal E_{U^\unicode{8224}}(\rho)=U^\unicode{8224}\rho U$. Действительно, $(\mathcal E_{U^\unicode{8224}} \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E_{U})(\rho)=U^\unicode{8224}(U\rho U^\unicode{8224}) U=\rho$ для любого состояния $\rho$. С другой стороны, интуитивно понятно, что для $d$-мерной системы полностью деполяризующий (completely depolarizing) канал $\mathcal E_{\mathrm{cde}}(\rho)=\mathbf 1/d$ (для любого состояния $\rho$) представляет собой один из наиболее необратимых каналов. Здесь $\mathbf 1$ обозначает тождественный оператор в гильбертовом пространстве системы. Между этими двумя крайностями находится множество необратимых каналов, ярким и важным примером которых являются случайные унитарные каналы. Многие особенности необратимости изучались в литературе с различных сторон. Например, в квантовых измерениях и в контексте возникновения классического мира из квантового широко исследовались декогеренция и диссипация [5]–[10]. Для описания качества каналов и квантовых вентилей с точки зрения сохранения запутанности состояний была введена точность воспроизведения запутанности (entanglement fidelity) [14]–[20]. Обсуждалось изменение информации и энтропии при взаимодействии систем с окружающей средой [21], [22]. С развитием квантовой теории информации большой интерес вызвали марковские/немарковские свойства динамики открытых систем [23]–[27]. В квантовых динамических полугруппах и необратимых процессах широко исследовалось производство (или генерация) энтропии [28]–[41]. Согласно двойственности канал–состояние для любого канала существует соответствующее состояние Ямилковского–Чоя [42]–[44]. Поскольку необратимость тесно связана с изменением энтропии, желательно изучить энтропию состояний Ямилковского–Чоя и выяснить, в какой степени эту энтропию можно использовать для количественной оценки необратимости соответствующего канала. Вдохновленные этой общей идеей и используя двойственность канал–состояние [42]–[45], в настоящей работе мы количественно оцениваем необратимость каналов в терминах энтропии соответствующих состояний Ямилковского–Чоя, которая связана с энтропией, производимой каналами. Заметим, что общая идея связи между изменением энтропии и необратимостью хорошо известна. Чтобы установить дополнительные количественные и конкретные связи между ними, крайне важно найти подходящие энтропийные количественные характеристики каналов. Ключевым моментом нашей работы является использование энтропии состояний Ямилковского–Чоя, определяемых каналами. Мы связываем меру необратимости с понятиями точности воспроизведения запутанности, обменной энтропией, неунитальностью и декоррелирующей мощностью [14]–[20] и иллюстрируем результаты на примерах некоторых важных каналов. Остальная часть статьи организована следующим образом. В разделе 2 мы обсуждаем необратимость с аксиоматической точки зрения и постулируем некоторые основные требования для разумной меры необратимости. В некоторой степени в дополнение к необратимости мы также обсуждаем точность воспроизведения запутанности, которая количественно определяет способность канала сохранять запутанность состояния и, таким образом, тесно связана со степенью обратимости. В разделе 3 мы предлагаем использовать энтропию состояний каналов Ямилковского–Чоя как меру необратимости и перечисляем ее основные свойства. В разделе 4 мы проводим сравнительное исследование необратимости и точности воспроизведения запутанности. В разделе 5 мы связываем необратимость со степенью неунитальности (отклонения от единичного отображения). В разделе 6 мы получаем интуитивно понятное и простое соотношение, связывающее необратимость и декоррелирующую мощность. В разделе 7 мы вычисляем необратимость некоторых широко используемых каналов, что позволяет прояснить эти каналы с точки зрения необратимости. В частности, в качестве простой иллюстрации мы применяем результаты к сценарию телепортации. В разделе 8 мы завершаем наше исследование подведением итогов и обсуждением полученных результатов. В приложении приведены подробные доказательства основных утверждений, а также рассматривается альтернативная более простая в вычислении мера необратимости, основанная на энтропии Тсаллиса. Результаты сведены в сравнительную таблицу. Для простоты мы работаем только с конечномерными системами. 2. Основные черты необратимостиРассмотрим канал в квантовой системе, описываемой $d$-мерным комплексным гильбертовым пространством $H$, где $E_k$ – операторы Крауса канала $\mathcal E$, удовлетворяющие условию $\sum_k E_k^\unicode{8224} E_k=\mathbf 1$, которое обеспечивает для канала $\mathcal E$ свойство сохранения следа. Если при этом $\sum_k E_kE_k^\unicode{8224}=\mathbf 1$, то канал унитален (т. е. оставляет максимально смешанное состояние инвариантным, $\mathcal E(\mathbf 1/d)=\mathbf 1/d$). Очевидно, что отображение $\mathcal E$, определенное формулой (1), на самом деле имеет смысл для любого оператора $X$ на пространстве $H$: мы можем записать $\mathcal E(X)=\sum_k E_kXE_k^\unicode{8224}$.Мы хотим количественно оценить степень необратимости канала $\mathcal E$. Для этого сначала сформулируем аксиоматические соображения, мотивированные физической интуицией. Постулируем следующие простые и обязательные условия для разумной меры $S(\mathcal E)$ необратимости канала $\mathcal E$. 1. Величина $S(\mathcal E)\geqslant 0$, причем равенство достигается, если и только если $\mathcal E$ – унитарный канал в том смысле, что $\mathcal E(\rho)=U\rho U^\unicode{8224}$ для некоторого унитарного оператора $U$ на гильбертовом пространстве $H$ системы. Это условие связано с тем, что унитарные каналы обратимы и не порождают необратимости, поскольку нет утечки информации в окружающую среду: в условиях унитарной эволюции система замкнута. С другой стороны, для фиксированной $d$-мерной системы величина $S(\mathcal E)$ достигает своего максимального значения в случае полностью деполяризующего канала $\mathcal E_{\mathrm{cde}}(\rho)=\mathbf 1/d$ (для любого состояния $\rho$). В этом канале полностью теряется исходная информация о состоянии $\rho$, и его следует отнести к числу максимально необратимых. 2. Величина $S(\,{\cdot}\,)$ вогнута в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
S(p_1\mathcal E_1+p_2\mathcal E_2)\geqslant p_1 S(\mathcal E_1)+p_2 S(\mathcal E_2)
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $p_1,p_2\geqslant 0$, $p_1+p_2=1$, и любых каналов $\mathcal E_1$, $\mathcal E_2$ в гильбертовом пространстве $H$ системы. Это отражает интуитивное представление, что смешивание каналов приводит к потере информации и в среднем приводит к возрастанию необратимости. 3. Величина $S(\,{\cdot}\,)$ инвариантна относительно композиции с унитарным каналом в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
S(\mathcal E_U \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E)=S(\mathcal E \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E_U)=S(\mathcal E)
\end{equation*}
\notag
$$
для любого канала $\mathcal E_U(\rho)=U\rho U^\unicode{8224}$ с произвольным унитарным оператором $U$ на гильбертовом пространстве $H$ системы. 4. Величина $S(\,{\cdot}\,)$ анцилла-независима в том смысле, что где $\mathcal I^a$ – тождественный канал во вспомогательной (анцилла) системе $a$.5. Величина $S(\,{\cdot}\,)$ монотонна в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
S(\mathcal F \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E)\geqslant S(\mathcal E)
\end{equation*}
\notag
$$
для любого унитального канала $\mathcal F$. Вполне возможно, что существует несколько величин, удовлетворяющих вышеуказанным требованиям, и желательно искать такие, которые легко вычислить и которые в то же время имеют интуитивный физический смысл. Принимая во внимание эти моменты, далее мы приведем некоторые энтропийные количественные характеристики необратимости каналов. В определенном смысле в дополнение к необратимости желательно также исследовать способность канала сохранять состояния. Это приводит к знаменитому понятию точности воспроизведения запутанности [14] и в некоторой степени связано с обратимостью каналов. Однозначно и интуитивно понятно, что среди всех каналов в системе тождественный канал $\mathcal I$ считается каналом с максимальной точностью воспроизведения. Таким образом, отклонение канала $\mathcal E$ от $\mathcal I$ можно использовать для количественной оценки точности канала $\mathcal E$. Мы подробно остановимся на соотношениях между необратимостью и точностью воспроизведения запутанности в разделе 4. 3. Необратимость как функция энтропии состояний Ямилковского–ЧояВ этом разделе мы количественно оцениваем необратимость канала через энтропию состояния Ямилковского–Чоя, определяемого каналом. При этом ключевую роль будет играть изоморфизм Ямилковского–Чоя [42]–[45]: любой канал $\mathcal E$ в гильбертовом пространстве $H$ системы изоморфен двухчастичному состоянию
$$
\begin{equation}
J_\mathcal E=(\mathcal I\otimes\mathcal E)(|\Phi^{+}\rangle\langle\Phi^{+}|),
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $\mathcal I$ – тождественный канал в анцилла-системе $H^a=H$ и
$$
\begin{equation}
|\Phi^{+}\rangle=\frac{1}{\sqrt{d}}\sum_i|i\rangle\otimes|i\rangle
\end{equation}
\tag{3}
$$
есть максимально запутанное состояние в $H^a\otimes H=H\otimes H$, связанное с ортонормированным базисом $\{|i\rangle\colon i=1,2,\ldots,d\}$ пространства $H$. Таким образом, исследование канала $\mathcal E$ формально эквивалентно изучению состояния Ямилковского–Чоя $J_\mathcal E$. В частности, как будет показано ниже, мы можем связать энтропию последнего с необратимостью первого. Для любого состояния $\rho$ ключевой величиной в теории квантовой информации является его энтропия фон Неймана [11] Несмотря на то что ее также называют квантовой энтропией, на самом деле энтропия фон Неймана количественно определяет смешанность (статистическую неопределенность) состояния $\rho$. Если теперь выбрать в качестве $\rho$ состояние Ямилковского–Чоя $J_\mathcal E$ (определенное формулой(2)) для канала $\mathcal E$, то получим энтропию
$$
\begin{equation*}
S(J_\mathcal E)=- \operatorname{tr} J_\mathcal E\ln J_\mathcal E.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что величину $S(J_\mathcal E)$ можно рассматривать как обменную энтропию канала $\mathcal E$ в максимально смешанном состоянии $\mathbf 1/d$ [14]. Подчеркнем, что эта величина существенно отличается от производства энтропии, широко изучаемого как в классической, так и в квантовой термодинамике [40]. В качестве основной черты канала $\mathcal E$ желательно показать, что $S(J_{\mathcal E})$ не зависит от выбора ортонормированного базиса $\{|i\rangle\colon i=1,2,\ldots,d\}$ в $H$. Чтобы доказать это, предположим, что $\mathcal E$ – канал с операторами Крауса $\{E_k\colon k=1,2,\ldots,n\}$, тогда $J_{\mathcal E}$ можно записать в виде
$$
\begin{equation}
J_{\mathcal E}=\sum_{k=1}^n|\xi_k\rangle\langle\xi_k|=(|\xi_1\rangle,|\xi_2\rangle,\ldots,|\xi_n\rangle) \begin{pmatrix} \langle\xi_1| \\ \langle\xi_2| \\ \vdots \\ \langle\xi_n|\end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $|\xi_k\rangle=(\mathbf 1\otimes E_k)|\Phi^{+}\rangle\in H\otimes H$. Пусть $W=(w_{kl})$ – матрица Грама с элементами $w_{kl}=\langle\xi_k|\xi_l\rangle=\frac{1}{d} \operatorname{tr} (E_k^\unicode{8224} E_l)$, тогда $W$ очевидно не зависит от ортонормированного базиса $\{|i\rangle\colon i=1,2,\ldots,d\}$ и далее может быть записана как
$$
\begin{equation}
W=\begin{pmatrix} \langle\xi_1| \\ \langle\xi_2| \\ \vdots \\ \langle\xi_n|\end{pmatrix} (|\xi_1\rangle,|\xi_2\rangle,\ldots,|\xi_n\rangle).
\end{equation}
\tag{5}
$$
Используя соотношения (4) и (5), имеем $S(J_{\mathcal E})=S(W)$, откуда следует, что $S(J_{\mathcal E})$ не зависит от ортонормированного базиса. С учетом вышесказанного в качестве количественного показателя необратимости канала $\mathcal E$ определим следующую величину: Множитель $1/2$ введен для удобства и для того, чтобы верхняя граница необратимости в случае $d$-мерной системы была равна $\ln d$ (см. соотношение (7) ниже). Этот множитель происходит из того факта, что $J_\mathcal E$ – состояние системы, составленной из основной и вспомогательной (анцилла) систем, что удваивает размерность. Один и тот же символ $S$, используемый как для энтропии фон Неймана, так и для необратимости каналов, не должен вызывать путаницы, поскольку у них разные аргументы – состояния и каналы соответственно.Мера необратимости $S(\mathcal E)$ обладает следующими свойствами, согласующимися с требованиями 1–5, перечисленными в разделе 2. Предложение 1. Пусть $\mathcal E$ – канал в $d$-мерной квантовой системе с гильбертовым пространством $H$. 1. Имеет место неравенство причем $S(\mathcal E)=0$, если и только если $\mathcal E$ – унитарный канал, и $S(\mathcal E)$ достигает максимума $\ln d$, если и только если $\mathcal E$ – полностью деполяризующий канал $\mathcal E_{\mathrm{cde}}(\rho)=\mathbf 1/d$ для любого состояния $\rho$.2. Величина $S(\,{\cdot}\,)$ вогнута в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
S(p_1\mathcal E_1+p_2\mathcal E_2)\geqslant p_1 S(\mathcal E_1)+p_2 S(\mathcal E_2)
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $p_1,p_2\geqslant 0$, $p_1+p_2=1$, и любых каналов $\mathcal E_1$, $\mathcal E_2$. 3. Величина $S(\,{\cdot}\,)$ инвариантна относительно композиции с унитарным каналом в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
S(\mathcal E_U \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E)=S(\mathcal E \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E_U)=S(\mathcal E),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal E_U(\rho)=U\rho U^\unicode{8224}$ с произвольным унитарным оператором $U$ на пространстве $H$. 4. Величина $S(\,{\cdot}\,)$ анцилла-независима в том смысле, что где $\mathcal I^a$ – тождественный канал в гильбертовом пространстве $H^a$ произвольной анцилла-системы.5. Величина $S(\,{\cdot}\,)$ монотонна в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
S(\mathcal F \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E)\geqslant S(\mathcal E)
\end{equation*}
\notag
$$
для любого унитального канала $\mathcal F$. 6. Величина $S(\,{\cdot}\,)$ аддитивна относительно тензорного произведения в том смысле, что где $\mathcal E^a$, $\mathcal E^b$ – каналы в системах $a$ и $b$ соответственно.Доказательство приведено в приложении А. Случайные унитарные (random unitary) каналы, будучи простым и значительным обобщением унитарных каналов, составляют важный класс каналов и обладают множеством полезных свойств. Степень их необратимости имеет следующую количественную оценку. Предложение 2. Для любого случайного унитарного канала где $U_k$ – произвольные унитарные операторы и $p_k>0$, $\sum_{k} p_k=1$, справедливо неравенство где $H(\{p_k\})=-\sum_kp_k\ln p_k$ есть энтропия Шеннона вероятностного распределения $\{p_k\}$. Кроме того: 1) $S(\mathcal E_{\mathrm{ru}})=0$, если и только если $\mathcal E_{\mathrm{ru}}$ является унитарным каналом; 2) $S(\mathcal E_{\mathrm{ru}})=\frac{1}{2}H(\{p_k\})$, если и только если унитарные операторы $U_k$ попарно ортогональны в том смысле, что $ \operatorname{tr} (U_k^\unicode{8224} U_l)=0$ при $k\neq l$; 3) $S(\mathcal E_{\mathrm{ru}})=\ln d$, если и только если $\mathcal E_{\mathrm{ru}}$ – полностью деполяризующий канал, $\mathcal E_{\mathrm{ru}}(\rho)=\mathcal E_{\mathrm{cde}}(\rho)=\mathbf 1/d$ для любого состояния $\rho$. Доказательство приведено в приложении Б. Чтобы проиллюстрировать предложение 2, рассмотрим обобщенный деполяризующий канал в кубитной системе,
$$
\begin{equation*}
\mathcal E(\rho)=\sum_{k=0}^3p_k\sigma_k\rho\sigma_k,
\end{equation*}
\notag
$$
где $p_k\geqslant 0$, $\sum_{k}p_k=1$, $\sigma_0=\mathbf 1$ и $\sigma_j$, $j=1,2,3$, – матрицы Паули. Прямые вычисления показывают, что
$$
\begin{equation*}
J_{\mathcal E}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} p_0+p_3& 0 & 0 & p_0-p_3 \\ 0 & p_1+p_2 & p_1-p_2 & 0 \\ 0 & p_1-p_2 & p_1+p_2 & 0 \\ p_0-p_3 & 0 & 0 & p_0+p_3 \\ \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Собственные значения этой матрицы равны $p_k$, $k=0,1,2,3$. Следовательно, В частности, традиционный деполяризующий канал
$$
\begin{equation*}
\mathcal E_{\mathrm{de}}(\rho)=(1-3p)\rho+p\sum_{k=1}^3\sigma_k\rho\sigma_k,\qquad 0\leqslant p\leqslant\frac{1}{3},
\end{equation*}
\notag
$$
соответствует обобщенному деполяризующему каналу с $p_0=1-3p$, $p_1=p_2=p_3=p$. В этом случае
$$
\begin{equation*}
S(\mathcal E_{\mathrm{de}})=-\frac{1}{2}\bigl((1-3p)\ln (1-3p)+3p\ln p\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
4. Сравнение необратимости и точности воспроизведения запутанностиРассмотрим канал $\mathcal E$ в $d$-мерной системе с гильбертовым пространством $H$, заданный формулой (1). Пусть $H^a=H$ – гильбертово пространство анцилла-системы и $|\Phi^{+}\rangle$ – максимально запутанное состояние (3), тогда точность воспроизведения запутанности
$$
\begin{equation*}
F(\mathcal E)=F(|\Phi^{+}\rangle\langle\Phi^{+}|,(\mathcal I\otimes\mathcal E)(|\Phi^{+}\rangle\langle\Phi^{+}|)\big)= \langle\Phi^{+}|\mathcal I\otimes\mathcal E(|\Phi^{+}\rangle\langle\Phi^{+}|)|\Phi^{+}\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
впервые введенная в работе [14], количественно показывает, насколько хорошо (локальный) канал сохраняет запутанность (корреляцию) интересующей нас системы и анцилла-системы [14]–[20]. Здесь $F(\rho,\sigma)=( \operatorname{tr} (\rho^{1/2}\sigma\rho^{1/2})^{1/2})^2$ есть точность воспроизведения между состояниями $\rho$ и $\sigma$. Используя соответствие канал–состояние, можно представить точность воспроизведения запутанности как точность воспроизведения между состояниями Ямилковского–Чоя $J_{\mathcal E}$ и $J_{\mathcal I}$, т. е. Прямые вычисления [46] показывают, что
$$
\begin{equation*}
F(\mathcal E)=\frac{1}{d^2}\sum_k| \operatorname{tr} E_k|^2,
\end{equation*}
\notag
$$
и мы видим, что эта величина связана со средней точностью воспроизведения [47]
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \kern1.6pt\overline{\vphantom{F}\kern5.6pt}\kern-7.4pt F\kern-0.2pt (\mathcal E)=\int F(|\phi\rangle\langle\phi|,\mathcal E(|\phi\rangle\langle\phi|))\,d\phi= \frac{1}{d+1}+\frac{1}{d(d+1)}\sum_k| \operatorname{tr} E_k|^2 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
формулой
$$
\begin{equation*}
F(\mathcal E)=\biggl(1+\frac{1}d\biggr) \kern1.6pt\overline{\vphantom{F}\kern5.6pt}\kern-7.4pt F\kern-0.2pt (\mathcal E)-\frac{1}{d}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $d\phi$ – нормированная мера Хаара на множестве всех чистых состояний в гильбертовом пространстве $H$ системы. Перечислим некоторые приятные свойства точности воспроизведения запутанности. Пусть $\mathcal E$ – канал в $d$-мерной квантовой системе с гильбертовым пространством $H$. 1. Имеет место неравенство $0\leqslant F(\mathcal E)\leqslant 1$, причем $F(\mathcal E)=0$, если и только если все операторы Крауса $E_k$ канала $\mathcal E$ имеют нулевой след, и $F(\mathcal E)=1$, если и только если $\mathcal E$ – тождественный канал. 2. Величина $F(\mathcal E)$ аффинная в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
F(p_1\mathcal E_1+p_2\mathcal E_2)= p_1 F(\mathcal E_1)+p_2 F(\mathcal E_2)
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $p_1,p_2\geqslant 0$, $p_1+p_2=1$, и любых каналов $\mathcal E_1$, $\mathcal E_2$. 3. Величина $F(\mathcal E)$ унитарно ковариантна в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
F(\mathcal{U} \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal{U}^\unicode{8224})=F(\mathcal E)
\end{equation*}
\notag
$$
для любого унитарного канала $\mathcal{U}(\rho)=U\rho U^\unicode{8224}$, где $\mathcal{U}^\unicode{8224}(\rho)=U^\unicode{8224}\rho U$ есть его двойственное отображение, $ \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} $ – композиция отображений. Однако в общем случае $F(\mathcal E)$ не является инвариантной относительно композиции с унитарным каналом в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
F(\mathcal E_U \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E)=F(\mathcal E \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E_U)\neq F(\mathcal E),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal E_U(\rho)=U\rho U^\unicode{8224}$ с произвольным унитарным оператором $U$ на гильбертовом пространстве системы. 4. Величина $F(\mathcal E)$ мультипликативна относительно тензорного произведения в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
F(\mathcal E^a\otimes\mathcal E^b)=F(\mathcal E^a) F(\mathcal E^b)
\end{equation*}
\notag
$$
для каналов $\mathcal E^a$, $\mathcal E^b$ и $\mathcal E^a\otimes\mathcal E^b$ в системах $a$, $b$ и составной системе $ab$ соответственно. В частности, если $\mathcal E^a=\mathcal I^a$, то
$$
\begin{equation*}
F(\mathcal I^a\otimes{\mathcal E}^b)=F(\mathcal E^b),
\end{equation*}
\notag
$$
и это равенство можно интерпретировать как анцилла-независимость точности воспроизведения запутанности. Для необратимости $S(\mathcal E)$ и точности воспроизведения запутанности $F(\mathcal E)$ справедливо следующее связующее соотношение. Предложение 3. Для любого канала $\mathcal E$ в $d$-мерной системе Это предложение устанавливает ограничение, связывающее эти две величины: обратимость и точность воспроизведения не могут одновременно быть малыми, что согласуется с нашей физической интуицией. Доказательство приведено в приложении В. 5. Степень неунитальности каналовНапомним, что канал $\mathcal E$ унитален, если $\mathcal E(\mathbf 1/d)=\mathbf 1/d$. Неунитальностью называется отклонение состояния $\mathcal E(\mathbf 1/d)$ от максимально смешанного состояния $\mathbf 1/d$. Используя относительную энтропию $S(\rho|\sigma)= \operatorname{tr} \rho(\ln\rho-\ln\sigma)$, можно задать естественный качественный показатель неунитальности канала $\mathcal E$ как
$$
\begin{equation}
N(\mathcal E)=S(\mathcal E(\mathbf 1/d)|\mathbf 1/d)=\ln d-S(\mathcal E(\mathbf 1/d)).
\end{equation}
\tag{9}
$$
Эта величина обладает следующими свойствами. 1. Имеет место неравенство $0\leqslant N(\mathcal E)\leqslant\ln d$, причем $N(\mathcal E)=0$, если и только если $\mathcal E$ – унитальный канал, и $N(\mathcal E)=\ln d$, если и только если $\mathcal E$ – канал, для которого $\mathcal E(\rho)=|\phi\rangle\langle\phi|$ при некотором чистом состоянии $|\phi\rangle$. 2. Величина $N(\mathcal E)$ выпуклая в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
N(p_1\mathcal E_1+p_2\mathcal E_2)\leqslant p_1 N(\mathcal E_1)+p_2 N(\mathcal E_2)
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $p_1,p_2\geqslant 0$, $p_1+p_2=1$, и любых каналов $\mathcal E_1$, $\mathcal E_2$. 3. Величина $N(\mathcal E)$ унитарно инвариантна в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
N(\mathcal E_U \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E)=N(\mathcal E \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E_U)=N(\mathcal E),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal E_U(\rho)=U\rho U^\unicode{8224}$ с произвольным унитарным оператором $U$ на гильбертовом пространстве системы. 4. Величина $N(\mathcal E)$ не возрастает в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
N(\mathcal F \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E)\leqslant N(\mathcal E)
\end{equation*}
\notag
$$
для любого унитального канала $\mathcal F$. 5. Для любых каналов $\mathcal E^a$ и $\mathcal E^b$ в системах $a$ и $b$ соответственно
$$
\begin{equation*}
N(\mathcal E^a\otimes\mathcal E^b)=N(\mathcal E^a)+N(\mathcal E^b).
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, если $\mathcal E^a=\mathcal I^a$ есть тождественный канал, то Вышеуказанные свойства напрямую вытекают из свойств энтропии фон Неймана. Напомним неравенство Араки–Либа: для любого двухчастичного состояния $\rho^{ab}$ составной системы $ab$ с редуцированными состояниями $\rho^a$, $\rho^b$ в системах $a$, $b$ соответственно. Взяв состояние $\rho^{ab}=J_{\mathcal E}$, получаем следующее соотношение между необратимостью и неунитальностью: Таким образом, степень необратимости доминирует над степенью неунитальности, другими словами, неунитальность отвечает за часть необратимости.6. Декоррелирующая мощность каналовДля двухчастичного состояния $\rho^{ab}$ составной системы $ab$ общая коррелированность в состоянии $\rho^{ab}$ может быть количественно охарактеризована с помощью квантовой взаимной информации как
$$
\begin{equation}
I(\rho^{ab})=S(\rho^{ab}|\rho^a\otimes\rho^b)=S(\rho^a)+S(\rho^b)-S(\rho^{ab}).
\end{equation}
\tag{11}
$$
Среди всех каналов тождественный канал $\mathcal I$ – это канал, который не порождает и не разрушает корреляции. Таким образом, в силу изоморфизма Ямилковского–Чоя разность корреляций между состояниями Ямилковского–Чоя $J_{\mathcal I}$ и $J_\mathcal E$, связанных с каналами $\mathcal I$ и $\mathcal E$, может использоваться для количественной оценки декоррелирующей мощности канала $\mathcal E$. Исходя из этого, в качестве количественной характеристики декоррелирующей мощности канала введем величину
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D(\mathcal E)&=I(J_{\mathcal I})-I(J_{\mathcal E}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
В работе [48] полная потеря корреляций была разложена на классическую и квантовую части. Здесь мы приходим к новому разложению потери корреляций: на неунитальность и необратимость. Сформулируем наш результат следующим образом. Предложение 4. Имеет место равенство из которого следует, что все корреляции, разрушаемые каналом $\mathcal E$, можно разделить на две части: одна часть количественно определяет неунитальность канала $\mathcal E$, а другая – его необратимость. Доказательство приведено в приложении Г. Декоррелирующая мощность $D(\mathcal E)$ обладает следующими свойствами. Предложение 5. 1. Для любого канала $\mathcal E$ в $d$-мерной квантовой системе причем $D(\mathcal E)=0$, если и только если $\mathcal E$ – унитарный канал, и $D(\mathcal E)$ достигает максимума $2\ln d$, если и только если $\mathcal E$ – полностью деполяризующий канал, $\mathcal E(\rho)=\mathcal E(\mathbf 1/d)$ для любого состояния $\rho$. 2. Величина $D(\,{\cdot}\,)$ вогнута в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
D(p_1\mathcal E_1+p_2\mathcal E_2)\geqslant p_1 D(\mathcal E_1)+p_2 D(\mathcal E_2)
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $p_1,p_2\geqslant 0$, $p_1+p_2=1$, и любых каналов $\mathcal E_1$, $\mathcal E_2$. 3. Величина $D(\,{\cdot}\,)$ инвариантна относительно композиции с унитарным каналом в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
D(\mathcal E_U \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E)=D(\mathcal E \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E_U)=D(\mathcal E),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal E_U(\rho)=U\rho U^\unicode{8224}$ с произвольным унитарным оператором $U$ на гильбертовом пространстве системы. 4. Величина $D(\,{\cdot}\,)$ анцилла-независима в том смысле, что где $\mathcal I^a$ – тождественный канал в любой анцилла-системе $a$.5. Величина $D(\,{\cdot}\,)$ монотонна в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
D(\mathcal F \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E)\geqslant D(\mathcal E)
\end{equation*}
\notag
$$
для любого канала $\mathcal F$. 6. Величина $D(\,{\cdot}\,)$ аддитивна относительно тензорного произведения в том смысле, что где $\mathcal E^a$ и $\mathcal E^b$ – каналы в системах $a$ и $b$ соответственно.Доказательство приведено в приложении Д. 7. Необратимость различных каналовВ этом разделе мы вычисляем необратимость нескольких базовых каналов и проводим их сравнение. Эти количественные результаты проливают свет на структуру различных каналов с точки зрения необратимости. 7.1. Унитарный каналДля любого унитарного канала $\mathcal E_U(\rho)=U\rho U^{\unicode{8224}}$ с произвольным унитарным оператором $U$ в $d$-мерной квантовой системе
$$
\begin{equation*}
J_{\mathcal E_U}=|\Phi^{+}_U\rangle\langle\Phi^{+}_U|,
\end{equation*}
\notag
$$
где $|\Phi^{+}_U\rangle=\frac{1}{\sqrt d}\sum_i|i\rangle\otimes|i_U\rangle$ и $|i_{U}\rangle=U|i\rangle$; здесь $\{|i\rangle\colon i=1, 2,\ldots,d\}$ – ортонормированный базис гильбертова пространства системы. Следовательно, $S(\mathcal E_U)=0$, как и должно быть. 7.2. Канал ЛюдерсаВ $d$-мерной квантовой системе для канала Людерса [49] определяющегося (проекционным) измерением Людерса
$$
\begin{equation*}
\Pi=\biggl\{\Pi_k=\sum_{j=n_{k-1}+1}^{n_k}|j\rangle\langle j|\colon k=1,2,\ldots,m\biggl\},\qquad \sum_k\Pi_k=\mathbf 1,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Pi_k^\unicode{8224}=\Pi_k,\quad \Pi_k\Pi_l=\delta_{kl}\Pi_k,\qquad n_k=\sum_{j=1}^k \operatorname{tr} \Pi_j\;\,\text{при}\;\, k\geqslant 1,\quad n_0=0,
\end{equation*}
\notag
$$
имеем
$$
\begin{equation*}
J_{\Pi}=\frac{1}{d}\sum_{k=1\vphantom{n_{k-1}+1\leqslant j,l\leqslant n_k}}^m\sum_{n_{k-1}+1\leqslant j,l\leqslant n_k}^{}|jj\rangle\langle ll|.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $ \operatorname{tr} \Pi_k/d$, $k=1,2,\ldots,m$, суть ненулевые собственные значения оператора $J_{\Pi}$ и
$$
\begin{equation*}
S(\Pi)=\frac{1}{2}\ln d-\frac{1}{2d}\sum_{k=1}^m( \operatorname{tr} \Pi_k)\ln ( \operatorname{tr} \Pi_k).
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно проверить что каналами Людерса с максимальной необратимостью являются каналы индуцированные произвольным измерением фон Неймана $\{\Pi_k\colon k=1,2,\ldots,d\}$ (т. е. $ \operatorname{tr} \Pi_k=1$ для всех $k$). В этом случае Тем самым открывается интересная особенность измерений фон Неймана: необратимость любого измерения фон Неймана находится ровно посередине между двумя крайними значениями (минимальным 0 и максимальным $\ln d$ ) необратимости. 7.3. Каналы, индуцированные SIC-POVMНапомним, что SIC-POVM (т. е. симметричная, информационно полная положительная операторнозначная мера) в $d$-мерной системе – это набор из $d^2$ операторов единичного ранга $E_k=\frac{1}{d}|\phi_k\rangle\langle\phi_k|$, $k=1,2,\ldots,d^2$, таких что [50]
$$
\begin{equation*}
\label{SIC} |\langle\phi_k|\phi_l\rangle|^2=\begin{cases} \quad\kern-0.5pt 1, & k=l, \\ \dfrac{1}{d+1}, & k\neq l. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Любая SIC-POVM естественным образом индуцирует канал
$$
\begin{equation*}
\mathcal E_{\mathrm{sic}}(\rho)=\sum_{k}\sqrt {E_k}\rho\sqrt{E_k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Напрямую получаем
$$
\begin{equation*}
J_{\mathcal E_{\mathrm{sic}}}=\frac{1}{d^2}\sum_k|\bar\phi_k\rangle\langle\bar\phi_k|\otimes|\phi_k\rangle\langle\phi_k|.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $|\bar\phi_k\rangle$ – вектор, комплексно-сопряженный вектору $|\phi\rangle_k$ в базисе $\{|i\rangle\colon i=1,2,\ldots,d\}$ пространства $H$. Пусть
$$
\begin{equation*}
|\psi_1\rangle=\frac{1}d\sum_k|\bar\phi_k\rangle\otimes|\phi_k\rangle,\qquad|\psi_l\rangle= \frac{1}{\sqrt{d^2+1}}(d|\bar\phi_l\rangle\otimes|\phi_l\rangle-|\psi_1\rangle),\quad l=2,3,\ldots,d^2,
\end{equation*}
\notag
$$
тогда, как нетрудно проверить, векторы $|\psi_1\rangle,|\psi_2\rangle,\ldots,|\psi_{d^2}\rangle$ линейно независимы, при этом
$$
\begin{equation*}
J_{\mathcal E_{\mathrm{sic}}}|\psi_1\rangle=\frac{1}{d}|\psi_1\rangle,\quad J_{\mathcal E_{\mathrm{sic}}}|\psi_l\rangle= \frac{1}{d(d+1)}|\psi_l\rangle,\qquad l=2,3,\ldots,d^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $J_{\mathcal E_{\mathrm{sic}}}$ имеет два различных собственных значения $1/d$ и $1/d(d+1)$ с кратностями $1$ и $d^2-1$ соответственно, и необратимость канала $\mathcal E_{\mathrm{sic}}$ равна
$$
\begin{equation*}
S(\mathcal E_{\mathrm{sic}})=\frac{1}{2}\ln d+\frac{d-1}{2d}\ln(d+1).
\end{equation*}
\notag
$$
При больших $d$ необратимость приблизительно равна своему максимальному значению $\ln d$, откуда следует, что при больших размерностях канал, индуцированный SIC-POVM, имеет асимптотически максимальную необратимость. 7.4. Канал Вернера–ХолевоКанал Вернера–Холево [51]
$$
\begin{equation*}
\mathcal E_{\mathrm{WH}}(\rho)=\frac{1}{d-1}(\mathbf 1-\rho^{\mathrm T})
\end{equation*}
\notag
$$
является контрпримером в гипотезе аддитивности чистоты выходного канала [51]. Здесь $\rho^{\mathrm T}$ – матрица, транспонированная к матрице $\rho$ в ортонормированном базисе $\{|i\rangle\colon i=1,2,\ldots, d\}$ пространства $H$. Известно, что представление Крауса для канала $\mathcal E_{\mathrm{WH}}$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\mathcal E_{\mathrm{WH}}(\rho)=\frac{1}{2(d-1)}\sum_{i,j}(|i\rangle\langle j|-|j\rangle\langle i|)\rho(|i\rangle\langle j|-|j\rangle\langle i|)^\unicode{8224}.
\end{equation*}
\notag
$$
Прямые вычисления показывают, что
$$
\begin{equation*}
J_{\mathcal E_{\mathrm{WH}}}=\frac{1}{d(d-1)}\biggl(\mathbf 1\otimes\mathbf 1-\sum_{i,j}|ij\rangle\langle ji|\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
является состоянием Вернера и имеет два собственных значения $0$ и $2/(d^2-d)$ с кратностями $(d^2+d)/2$ и $(d^2-d)/2$ соответственно. Таким образом, необратимость канала $\mathcal E_{\mathrm{WH}}$ вычисляется напрямую и равна
$$
\begin{equation*}
S(\mathcal E_{\mathrm{WH}})=\frac{1}{2}\ln\frac{d^2-d}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, при $d=2$ канал Вернера–Холево сводится к унитарному каналу
$$
\begin{equation*}
\mathcal E_{\mathrm{WH}}(\rho)= \operatorname{tr} (\rho)\mathbf 1-\rho^{\mathrm T}=\sigma_2\rho\sigma_2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sigma_2$ – вторая матрица Паули. В этом случае $S(\mathcal E_{\mathrm{WH}})=0$. 7.5. Полностью деполяризующий каналДля полностью деполяризующего канала
$$
\begin{equation*}
\mathcal E_{\mathrm{cde}} (\rho)=\frac{1}{d}\sum_kX_k\rho X_k=\frac{1}{d}\mathbf 1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\{X_k\colon k=1,2,\ldots,d^2\}$ – ортонормированный базис пространства $L(H)$ эрмитовых линейных операторов на $H$, мы имеем
$$
\begin{equation*}
J_{\mathcal E_{\mathrm{cde}}}=\frac{1}{d^2}\mathbf 1\otimes\mathbf 1,
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, $S(\mathcal E_{\mathrm{cde}})=\ln d$. Таким образом, учитывая оценку (7), мы видим, что для полностью деполяризующего канала необратимость достигает максимальной величины. Как предполагает само название канала, это резонно. 7.6. Полностью декогерентный каналНапомним, что полностью декогерентный (completely decoherent) канал в кубитной системе определяется как [52], [53], [48] где $M$ – неотрицательно определенная матрица, все диагональные элементы которой равны 1 (матрица корреляций), а звездочкой обозначено матричное произведение Адамара (поэлементное). Для простоты рассмотрим матрицу размера $2\times2$:
$$
\begin{equation*}
M=\begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ \alpha & 1 \end{pmatrix},\qquad -1\leqslant\alpha\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно проверить, что полностью декогерентный канал можно выразить как $\mathcal E_{\mathrm{cd}}(\rho)=\sum_k E_k\rho E_k^\unicode{8224}$ с операторами Крауса
$$
\begin{equation*}
E_1=\begin{pmatrix} \sqrt{1-|\alpha|} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\qquad E_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{1-|\alpha|}\, \end{pmatrix},\qquad E_3=\sqrt{|\alpha|}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \operatorname{sgn}\alpha\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Прямые вычисления дают
$$
\begin{equation*}
J_{\mathcal E_{\mathrm{cd}}}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \alpha \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \alpha & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ненулевые собственные значения этой матрицы суть $(1+\alpha)/2$, $(1-\alpha)/2$, и необратимость канала $\mathcal E_{\mathrm{cd}}$ равна
$$
\begin{equation*}
S(\mathcal E_{\mathrm{cd}})=-\frac{1+\alpha}{4}\ln\frac{1+\alpha}{2}-\frac{1-\alpha}{4}\ln\frac{1-\alpha}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
7.7. Амплитудно-демпфированный каналДля амплитудно-демпфированного канала в кубитной системе
$$
\begin{equation*}
\mathcal E_{\mathrm{ad}}(\rho)=\sum_{k}E_k\rho E_k^{\unicode{8224}}
\end{equation*}
\notag
$$
с операторами Крауса
$$
\begin{equation*}
E_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sqrt{1-p}\, \end{pmatrix},\qquad E_2=\begin{pmatrix} 0 & \sqrt{p}\, \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\qquad 0\leqslant p\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
имеем
$$
\begin{equation*}
J_{\mathcal E_{\mathrm{ad}}}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \sqrt{1-p}\, \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & 0 \\ \sqrt{1-p} & 0 & 0 & 1-p \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ненулевые собственные значения этой матрицы равны $p/2$, $1-p/2$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
S(\mathcal E_{\mathrm{ad}})=-\frac{p}{4}\ln\frac{p}{2}-\frac{2-p}{4}\ln\frac{2-p}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы видим, что необратимость $S(\mathcal E_{\mathrm{ad}})$ возрастает с ростом параметра $p$. 7.8. Фазово-демпфированный каналДля фазово-демпфированного канала в кубитной системе
$$
\begin{equation*}
\mathcal E_{\mathrm{pd}}(\rho)=\sum_{k}E_k\rho E_k^{\unicode{8224}}
\end{equation*}
\notag
$$
с операторами Крауса
$$
\begin{equation*}
E_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &\sqrt{1-p\,} \end{pmatrix},\qquad E_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 &\sqrt{p} \end{pmatrix},\qquad 0\leqslant p\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
имеем
$$
\begin{equation*}
J_{\mathcal E_{\mathrm{pd}}}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \sqrt{1-p}\, \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{1-p} & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ненулевые собственные значения этой матрицы равны $p'=(1+\sqrt{1-p}\,)/2$, $1-p'$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
S(\mathcal E_{\mathrm{pd}})=-\frac{1}{2}\bigl(p'\ln p'+(1-p')\ln(1-p')\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Мы видим, что необратимость $S(\mathcal E_{\mathrm{pd}})$ также возрастает с ростом параметра $p$. В этом контексте интересно сравнить амплитудно- и фазово-демпфированный каналы при одном и том же параметре $p$: мы видим, что $S(\mathcal E_{\mathrm{ad}})\geqslant S(\mathcal E_{\mathrm{pd}})$, как показано на рис. 1. Таким образом, при одном и том же параметре $p$ амплитудно-демпфированный канал более необратим, чем фазово-демпфированный. 7.9. Канал, индуцированный слабыми измерениямиРассмотрим канал
$$
\begin{equation*}
\mathcal K(\rho)=E_x\rho E_x+E_{1-x}\rho E_{1-x},\qquad x\in[0,1/2),
\end{equation*}
\notag
$$
ассоциированный со слабым измерением $\{E_x,E_{1-x}\}$, где $E_x=\sqrt {1-x}\,\Pi_0+\sqrt{x}\,\Pi_1$. Здесь $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ – измерение Людерса в $d$-мерной системе. При $x\to 0$ слабое измерение стремится к измерению Людерса $\{\Pi_0,\Pi_1\}$. Соответствующее состояние Ямилковского–Чоя есть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_\mathcal K=\frac{1}d\biggl(&\,\sum_{1\leqslant i,j\leqslant \operatorname{tr} \Pi_0}|ii\rangle\langle jj|+{} \\ &+\sum_{ \operatorname{tr} \Pi_0+1\leqslant i,j\leqslant d}|ii\rangle\langle jj|+2\sqrt{x(1-x)} \sum_{\substack{1\leqslant i\leqslant \operatorname{tr} \Pi_0,\\ \operatorname{tr} \Pi_0+1\leqslant j\leqslant d}}(|ii\rangle\langle jj|+|jj\rangle\langle ii|)\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и необратимость канала $\mathcal K$ равна
$$
\begin{equation*}
S(\mathcal K)=-\frac{1}{2} (\lambda_{+}\ln\lambda_{+}+\lambda_{-}\ln\lambda_{-}),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\lambda_{\pm}=\frac{1}{2}\biggl(1\pm\biggl(1-\frac {4(2x-1)^2}{d^2} \operatorname{tr} \Pi_0 \operatorname{tr} \Pi_1\biggr)^{\!1/2\,}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
суть ненулевые собственные значения оператора $J_\mathcal K$. В частности, для кубитного слабого измерения $\mathcal E_{x}=\mathcal K$ с $ \operatorname{tr} \Pi_0= \operatorname{tr} \Pi_1=1$, $d=2$ получаем
$$
\begin{equation*}
S(\mathcal E_{x})=-\frac{1}{2}\bigl(p_x\ln p_x+(1-p_x)\ln (1-p_x)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $p_x=1/2+\sqrt{x(1-x)}$. 7.10. Канал приготовления измеренияРассмотрим канал приготовления измерения (measurement-preparation)
$$
\begin{equation*}
\mathcal E_{\mathrm{mp}}(\rho)=\sum_k \operatorname{tr} (\rho M_k)\tau_k
\end{equation*}
\notag
$$
с квантовыми состояниями $\tau_k$ и квантовым измерением $M=\{M_k\}$ (POVM), удовлетворяющим условию $\sum_k M_k=\mathbf 1$. Соответствующее состояние Ямилковского–Чоя есть
$$
\begin{equation*}
J_{\mathcal E_{\mathrm{mp}}}=\frac{1}{d}\sum_k M_k^{\mathrm T}\otimes\tau_k,
\end{equation*}
\notag
$$
где T обозначает транспонирование матрицы (оператора в некотором базисе). Следовательно,
$$
\begin{equation*}
S(\mathcal E_{\mathrm{mp}})=\frac{1}{2} S\biggl(\frac{1}{d}\sum_k M_k^{\mathrm T}\otimes\tau_k\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, для измерения Людерса $M=\Pi=\{\Pi_k: k=1,2,\ldots,m\}$
$$
\begin{equation*}
S(\mathcal E_{\mathrm{mp}})=\frac{1}{2}\ln d+\frac{1}{2d}\sum_k \operatorname{tr} (\Pi_k)S(\tau_k).
\end{equation*}
\notag
$$
7.11. Канал телепортацииПусть $\rho^{ab}$ – двухкубитное состояние, общее для Алисы и Боба. Квантовая телепортация через ресурсное состояние $\rho^{ab}$ позволяет передать неизвестное состояние $\gamma$ от отправителя Алисы к получателю Бобу с точностью, превосходящей классический предел $2/3$ передачи через классический канал [19], [54]–[58]. Ранее было показано, что стандартную телепортацию можно описать обобщенным деполяризующим каналом как [58]
$$
\begin{equation*}
\mathcal E_{\mathrm t}(\gamma)=\sum_{k=0}^3 p_k\sigma_k\gamma\sigma_k,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sigma_0=\mathbf 1$, $\sigma_k$ – матрицы Паули, $p_k= \operatorname{tr} (\rho^{ab}M_k)$ с операторами измерения Белла
$$
\begin{equation*}
M_k=(\sigma_k\otimes\mathbf 1)|\Phi^{+}\rangle\langle\Phi^{+}|(\sigma_k\otimes\mathbf 1),\qquad |\Phi^{+}\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle).
\end{equation*}
\notag
$$
Для ресурсного состояния
$$
\begin{equation*}
\rho^{ab}=\frac{1-p}{4}\mathbf 1\otimes\mathbf 1+p|\Phi^{+}\rangle\langle\Phi^{+}|,\qquad 0\leqslant p\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
необратимость канала телепортации $\mathcal E_{\mathrm t}$ вычисляется непосредственно и равна
$$
\begin{equation*}
S(\mathcal E_{\mathrm t})=-\frac{1+3p}{8}\ln\frac{1+3p}{4}-\frac{3(1-p)}{8}\ln\frac{1-p}{4},
\end{equation*}
\notag
$$
при этом она убывает с ростом параметра $p\in[0,1]$. Это согласуется с интуитивными представлениями, поскольку большее значение $p$ соответствует большей запутанности и, следовательно, большей точности (меньшей необратимости). Точность воспроизведения запутанности и средняя точность воспроизведения для канала телепортации $\mathcal E_{\mathrm t}$ также вычисляются непосредственно и равны
$$
\begin{equation*}
F(\mathcal E_{\mathrm t})=\frac{1+3p}{4},\qquad \kern1.6pt\overline{\vphantom{F}\kern5.6pt}\kern-7.4pt F\kern-0.2pt (\mathcal E_{\mathrm t})=\frac{1+p}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, средняя точность воспроизведения протокола телепортации превышает $2/3$ (наилучшая возможная точность, когда Алиса и Боб общаются только через классический канал), если и только если $p>1/3$. Для двухкубитного состояния $\rho^{ab}$ было показано, что это состояние запутанно, если и только если $p>1/3$ [56], откуда следует, что запутанность состояния $\rho^{ab}$ является необходимым условием для телепортации. В этом случае $p>1/3$, если и только если $S(\mathcal E_{\mathrm t})<(\ln 12)/4$. Это проливает некоторый свет на протокол телепортации с точки зрения необратимости. Чтобы продемонстрировать разницу между необратимостью $S(\mathcal E_{\mathrm t})$ и средней точностью воспроизведения $ \kern1.6pt\overline{\vphantom{F}\kern5.6pt}\kern-7.4pt F\kern-0.2pt (\mathcal E_{\mathrm t})$ для канала телепортации $\mathcal E_{\mathrm t}$, мы рассчитали их поведение в зависимости от параметра $p$ (см. рис. 2). Также, чтобы показать, что имеет место интуитивно понятное связующее соотношение между ними, мы изобразили на этом рисунке поведение суммы $S(\mathcal E_{\mathrm t})+ \kern1.6pt\overline{\vphantom{F}\kern5.6pt}\kern-7.4pt F\kern-0.2pt (\mathcal E_{\mathrm t})$. Видно, что необратимость $S(\mathcal E_{\mathrm t})$ и точность $ \kern1.6pt\overline{\vphantom{F}\kern5.6pt}\kern-7.4pt F\kern-0.2pt (\mathcal E_{\mathrm t})$ удовлетворяют следующему связующему соотношению:
$$
\begin{equation*}
1\leqslant S(\mathcal E_{\mathrm t})+ \kern1.6pt\overline{\vphantom{F}\kern5.6pt}\kern-7.4pt F\kern-0.2pt (\mathcal E_{\mathrm t})\leqslant 1.3.
\end{equation*}
\notag
$$
8. Заключительные выводыРуководствуясь интуитивными и физическими соображениями, мы постулировали некоторые основные свойства разумной меры необратимости и представили конкретную реализацию постулируемых требований путем количественного определения необратимости каналов в терминах энтропии соответствующих состояний Ямилковского–Чоя. Это можно сделать, используя двойственность канал–состояние, задающуюся изоморфизмом Ямилковского–Чоя между каналами и состояниями. Далее мы вычислили необратимость нескольких важных каналов, что позволило увидеть некоторые базовые особенности этих каналов с точки зрения необратимости. Мы также вывели несколько соотношений, связывающих необратимость с точностью воспроизведения запутанности, обменной энтропией, неунитальностью и декоррелирующей мощностью. С точки зрения применения мера необратимости имеет очевидный смысл как энтропия состояний Ямилковского–Чоя для рассматриваемых каналов и, таким образом, может быть использована при описании теоретико-информационных аспектов квантовых измерений и каналов. Необратимость является фундаментальной характеристикой при обработке информации, и ее количественное описание проливает свет на природу каналов и физических процессов. Было бы полезно найти дальнейшие применения меры необратимости, в частности, в парадигме квантовой термодинамики, в которой теплоту обычно связывают с необратимыми процессами. ПриложениеНиже приведены подробные доказательства предложений 1–5. Кроме того, мы обсудим альтернативную, определенную через энтропию Тсаллиса, меру необратимости, которую легче вычислить, чем основанную на энтропии фон Неймана, и проведем сравнительное исследование этой величины и введенной в основном тексте. Приложение А. Доказательство предложения 11. В силу свойств энтропии фон Неймана $0\leqslant S(J_{\mathcal E})\leqslant\ln d^2$, $S(J_{\mathcal E})=0$, если и только если $J_{\mathcal E}$ – чистое состояние, и $S(J_{\mathcal E})=\ln d^2$, если и только если $J_{\mathcal E}=\frac{1}{d^2}\mathbf 1\otimes\mathbf 1$ есть максимально смешанное состояние в $H\otimes H$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
0\leqslant S(\mathcal E)=\frac{1}{2}S(J_\mathcal E)\leqslant\ln d.
\end{equation*}
\notag
$$
Понятно, что $S(\mathcal E)=0$, если и только если $J_{\mathcal E}$ – чистое состояние, и $S(\mathcal E)=\ln d$, если и только если $J_{\mathcal E}=\mathbf 1\otimes\mathbf 1/d^2$ есть максимально смешанное состояние в $H\otimes H$. Далее мы покажем, что $J_{\mathcal E}$ – чистое состояние, если и только если $\mathcal E$ – унитарный канал, а $J_{\mathcal E}=\frac{1}{d^2}\mathbf 1\otimes\mathbf 1$ эквивалентно тому, что $\mathcal E$ является полностью деполяризующим каналом. Для первой эквивалентности предположим, что $\mathcal E(\rho)=U\rho U^\unicode{8224}$ есть унитарный канал, тогда где $|\Phi^{+}_U\rangle=\frac{1}{\sqrt d}\sum_{i}|i\rangle\otimes U|i\rangle$ – чистое состояние, что дает $S(\mathcal E)=0$. Наоборот, пусть
$$
\begin{equation*}
J_{\mathcal E}=\frac{1}d\sum_{i,j}|i\rangle\langle j|\otimes\mathcal E(|i\rangle\langle j|)
\end{equation*}
\notag
$$
является чистым состоянием, тогда $J_{\mathcal E}$ – оператор единичного ранга, следовательно, $\mathcal E(|i\rangle\langle j|)$ – оператор ранга не выше 1 для любых $i$, $j$. Поскольку $\mathcal E(|i\rangle\langle i|)$ – квантовые состояния, $\operatorname{rank}(\mathcal E(|i\rangle\langle i|))=1$ для всех $i=1,2,\ldots,d$. Если при некотором $i\neq j$ мы имеем $\mathcal E(|i\rangle\langle j|)=0$, то $\operatorname{rank}(J_\mathcal E)\geqslant\operatorname{rank}(\mathcal E(|i\rangle\langle i|))+\operatorname{rank}(\mathcal E(|j\rangle\langle j|))=2$, а это противоречит тому, что $\operatorname{rank}(J_{\mathcal E})=1$. Поэтому $\mathcal E(|i\rangle\langle j|)$ – оператор единичного ранга для любых $i$, $j$. Сопоставляя условия $\operatorname{rank}(J_{\mathcal E})=1$ и $\operatorname{rank}(\mathcal E(|i\rangle\langle i|))=1$ для всех $i$, получаем, что $\mathcal E(|i\rangle\langle j|)$ можно записать как
$$
\begin{equation*}
\mathcal E(|i\rangle\langle j|)=|\phi_i\rangle\langle\phi_j|,\qquad i,j=1,2,\ldots,d,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\{|\phi_i\rangle\colon i=1,2,\ldots,d\}$ – набор чистых состояний. Далее мы покажем, что эти состояния образуют ортонормированный базис. В силу того, что
$$
\begin{equation*}
\mathcal E(|i\rangle\langle i|)=\sum_k E_k|i\rangle\langle i|E_k^\unicode{8224}=|\phi_i\rangle\langle\phi_i|,
\end{equation*}
\notag
$$
имеем $E_k|i\rangle=c_{k i}|\phi_i\rangle$ для некоторых комплексных чисел $c_{ki}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\mathcal E(|i\rangle\langle j|)=\biggl(\sum_k c_{ki}\bar c_{kj}\biggr)|\phi_i\rangle\langle\phi_j|=|\phi_i\rangle\langle\phi_j|,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что $\sum_k c_{k i}\bar c_{k j}=1$ для всех $i$, $j$. Ортогональность набора состояний $\{|\phi_i\rangle\colon i=1,2,\ldots,d\}$ вытекает из следующих равенств:
$$
\begin{equation*}
\langle i|j\rangle=\Big\langle i\bigg|\sum_k E_k^\unicode{8224} E_k\bigg|j\Big\rangle= \biggl(\sum_k\bar c_{ki}c_{kj}\biggr)\langle\phi_i|\phi_j\rangle= \langle\phi_i|\phi_j\rangle,\qquad i,j=1,2,\ldots,d.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $\mathcal E$ отображает ортонормированный базис $\{|i\rangle\colon i=1,2,\ldots,d\}$ в ортонормированный базис $\{|\phi_i\rangle\colon i=1, 2,\ldots,d\}$. Поскольку $S(\mathcal E)$ не зависит от выбора ортонормированного базиса $\{|i\rangle\colon i=1,2,\ldots,d\}$, канал $\mathcal E$ отображает любой ортонормированный базис в ортонормированный базис, а это означает, что $\mathcal E$ является унитарным каналом. Для доказательства второй эквивалентности предположим, что $\mathcal E$ – полностью деполяризующий канал. Тогда
$$
\begin{equation*}
J_{\mathcal E}=\frac{1}{d}\sum_{i,j}|i\rangle\langle j|\otimes\mathcal E(|i\rangle\langle j|)=\frac{1}{d^2}\mathbf 1\otimes\mathbf 1
\end{equation*}
\notag
$$
является максимально смешанным состоянием в $H\otimes H$. Наоборот, если $J_{\mathcal E}=\mathbf 1\otimes\mathbf 1/d^2$ есть максимально смешанное состояние, то
$$
\begin{equation*}
J_{\mathcal E}=\frac{1}d\sum_{i,j}|i\rangle\langle j|\otimes\mathcal E(|i\rangle\langle j|)= \frac{1}d\sum_{i}|i\rangle\langle i|\otimes\mathcal E(|i\rangle\langle i|)+ \frac{1}d\sum_{i\neq j}|i\rangle\langle j|\otimes\mathcal E(|i\rangle\langle j|),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда мы заключаем, что $\mathcal E(|i\rangle\langle j|)=0$ для любых $i\neq j$ и $\mathcal E(|i\rangle\langle i|)=\mathbf 1/d$ для любого $i$. Следовательно, для любого состояния $\rho$
$$
\begin{equation*}
\mathcal E(\rho)=\mathcal E\biggl(\sum_{i,j}\langle i|\rho|j\rangle|i\rangle\langle j|\biggr)= \sum_{i,j}\langle i|\rho|j\rangle\mathcal E(|i\rangle\langle j|)=\frac{1}d \mathbf 1,
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $\mathcal E$ – полностью деполяризующий канал. 2. Прямые вычисления показывают, что
$$
\begin{equation*}
J_{p_1\mathcal E_1+p_2\mathcal E_2}=p_1J_{\mathcal E_1}+p_2J_{\mathcal E_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь в силу вогнутости энтропии фон Неймана мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S(p_1\mathcal E_1+p_2\mathcal E_2)&=\frac{1}{2}S(J_{p_1\mathcal E_1+p_2\mathcal E_2})=\frac{1}{2}S(p_1J_{\mathcal E_1}+p_2J_{\mathcal E_2})\geqslant \\ &\geqslant\frac{1}{2}\bigl(p_1S(J_{\mathcal E_1})+p_2S(J_{\mathcal E_2})\bigr)=p_1S(\mathcal E_1)+p_2S(\mathcal E_2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
3. Пусть $U$ и $V$ – унитарные операторы. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_{\mathcal E_U \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E_V}&= \frac{1}{d}\sum_{i,j}|i\rangle\langle j|\otimes U\mathcal E( V|i\rangle\langle j|V^\unicode{8224})U^\unicode{8224}= \\ &=(V^\unicode{8224}\otimes U)\biggl(\frac{1}{d}\sum_{i,j}V|i\rangle\langle j|V^\unicode{8224}\otimes\mathcal E(V|i\rangle\langle j|V^\unicode{8224})\biggr) (V^\unicode{8224}\otimes U)^\unicode{8224}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S(\mathcal E_U \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E_V)= \frac{1}{2}S(J_{\mathcal E_U \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E_V})&= \frac{1}{2}S \biggl(\frac{1}{d}\sum_{i,j}V|i\rangle\langle j|V^\unicode{8224}\otimes\mathcal E(V|i\rangle\langle j|V^\unicode{8224})\biggr)= \\ &=\frac{1}{2}S(J_{\mathcal E})=S(\mathcal E), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что влечет утверждение п. 3 предложения. 4. Предположим, что пространства $H^a$ и $H$ имеют размерности $d_a$ и $d$, и зададим в них ортонормированные базисы $\{|\mu\rangle\}$ и $\{|i\rangle\}$ соответственно. Для канала $\mathcal I^a\otimes\mathcal E$ в гильбертовом пространстве $H^a\otimes H$ составной системы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, d_adJ_{\mathcal I^a\otimes\mathcal E}&= \sum_{\mu,\nu,i,j}|\mu\rangle\langle\nu|\otimes|i\rangle\langle j|\otimes|\mu\rangle \langle\nu|\otimes\mathcal E(|i\rangle\langle j|)= \\ &=\sum_{\mu,\nu,i,j}(\mathbf 1^a\otimes F_{}\otimes\mathbf 1)(|\mu\rangle\langle\nu|\otimes|\mu\rangle \langle\nu|\otimes|i\rangle\langle j|\otimes\mathcal E(|i\rangle\langle j|)) (\mathbf 1^a\otimes F_{}^\unicode{8224}\otimes\mathbf 1)= \\ &=d_ad(\mathbf 1^a\otimes F_{}\otimes\mathbf 1)(|\Phi^{+}_a\rangle\langle\Phi^{+}_a|\otimes J_{\mathcal E})(\mathbf 1^a\otimes F^\unicode{8224}_{}\otimes\mathbf 1), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $F=\sum_{\mu i}|i\rangle\langle\mu|\otimes|\mu\rangle\langle i|$ есть оператор перестановки состояний в гильбертовом пространстве $H^a\otimes H$ составной системы и $|\Phi^{+}_a\rangle=\frac{1}{\sqrt{d_a}}\sum_\mu|\mu\rangle\otimes|\mu\rangle$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S(\mathcal I^a\otimes\mathcal E)=\frac{1}{2}S(J_{\mathcal I^a\otimes\mathcal E})&= \frac{1}{2}S\bigl((\mathbf 1^a\otimes F\otimes\mathbf 1)(|\Phi_a^{+}\rangle\langle\Phi_a^{+}|\otimes J_{\mathcal E})(\mathbf 1^a\otimes F^\unicode{8224}_{}\otimes\mathbf 1)\bigr)= \\ &=\frac{1}{2}S(J_{\mathcal E}\otimes|\Phi_a^{+}\rangle\langle\Phi_a^{+}|)=\frac{1}{2} S(J_{\mathcal E})=S(\mathcal E), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует п. 4 предложения. 5. Пусть $\mathcal F$ – унитальный канал в $d$-мерной системе, удовлетворяющий условию $\mathcal F(\mathbf 1)=\mathbf 1$. По определению состояния Ямилковского–Чоя $J_{\mathcal F \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E}=\mathcal I\otimes\mathcal F(J_{\mathcal E})$. Очевидно, что $\mathcal I\otimes{\mathcal F}$ также является унитальным каналом. Учитывая монотонность энтропии фон Неймана для унитального канала, получаем
$$
\begin{equation*}
S(\mathcal F \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E)= \frac{1}{2}S(J_{\mathcal F \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E})=\frac{1}{2}S(\mathcal I\otimes\mathcal F(J_{\mathcal E}))\geqslant \frac{1}{2}S(J_{\mathcal E})=S(\mathcal E).
\end{equation*}
\notag
$$
6. Пусть $\mathcal E^a$ и $\mathcal E^b$ – каналы в системах $a$ и $b$ с ортонормированными базисами $\{|\mu\rangle\}$ и $\{|i\rangle\}$ гильбертовых пространств $H^a$ и $H^b$ соответственно. В силу того, что
$$
\begin{equation*}
J_{\mathcal E^a\otimes\mathcal E^b}= \frac{1}{d_ad_b}\sum_{\mu,\nu,i,j}|\mu\rangle\langle\nu|\otimes|i\rangle\langle j|\otimes\mathcal E^a(|\mu\rangle\langle\nu|)\otimes\mathcal E^b(|i\rangle\langle j|),
\end{equation*}
\notag
$$
имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\mathbf 1^a\otimes F_{ab}^\unicode{8224}\otimes\mathbf 1^b)&J_{\mathcal E^a\otimes\mathcal E^b}(\mathbf 1^a\otimes F_{ab}\otimes\mathbf 1^b)= \\ &=\frac{1}{d_ad_b}\sum_{\mu,\nu,i,j}|\mu\rangle\langle\nu|\otimes\mathcal E^a(|\mu\rangle\langle\nu|)\otimes |i\rangle\langle j|\otimes\mathcal E^b(| i\rangle\langle j|)=J_{\mathcal E^a}\otimes J_{\mathcal E^b}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $F_{ab}=\sum_{\mu i}|\mu\rangle\langle i|\otimes|i\rangle\langle\mu|$ есть оператор перестановки состояний в гильбертовом пространстве $H^a\otimes H^b$ составной системы. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S(\mathcal E^a\otimes\mathcal E^b)=\frac{1}{2}S(J_{\mathcal E^a\otimes\mathcal E^b})&= \frac{1}{2}S \bigl((\mathbf 1^a\otimes F_{ab}^\unicode{8224}\otimes\mathbf 1^b) J_{\mathcal E^a\otimes\mathcal E^b}(\mathbf 1^a\otimes F_{ab}^\unicode{8224}\otimes\mathbf 1^b)\bigr)= \\ &=\frac{1}{2}S(J_{\mathcal E^a}\otimes J_{\mathcal E^b})= \frac{1}{2}S(J_{\mathcal E^a})+\frac{1}{2}S(J_{\mathcal E^b})= S(\mathcal E^a)+S(\mathcal E^b), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует п. 6 предложения.
Приложение Б. Доказательство предложения 2Для любого случайного унитарного канала $\mathcal E_{\mathrm{ru}}$
$$
\begin{equation*}
J_{\mathcal E_{\mathrm{ru}}}= \sum_k p_k\biggl(\frac{1}{d}\sum_{i,j}|i\rangle\langle j|\otimes U_k|i\rangle\langle j|U_k^\unicode{8224}\biggr)= \sum_k p_k J_{\mathcal E_{U_k}},
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому
$$
\begin{equation*}
0\leqslant S(J_{\mathcal E_{\mathrm{ru}}})= S\biggl(\sum_k p_k J_{\mathcal E_{U_k}}\biggr)\leqslant H(\{p_k\})+\sum_k p_k S(J_{\mathcal E_{U_k}})=H(\{p_k\}),
\end{equation*}
\notag
$$
что влечет
$$
\begin{equation*}
0\leqslant S(\mathcal E_{\mathrm{ru}})\leqslant\frac{1}{2}H(\{p_k\}).
\end{equation*}
\notag
$$
Из свойств энтропии фон Неймана известно, что $S(J_{\mathcal E_{\mathrm{ru}}})=0$, если и только если $\mathcal E_{\mathrm{ru}}$ является унитарным каналом, и $S(J_{\mathcal E_{\mathrm{ru}}})=H(\{p_k\})$, если и только если состояния $J_{\mathcal E_{U_k}}$ имеют носители в ортогональных подпространствах, т. е. $ \operatorname{tr} (J_{\mathcal E_{U_k}}J_{\mathcal E_{U_l}})=0$ при всех $k\neq l$. Прямое применение определения состояния Ямилковского–Чоя показывает, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{tr} (J_{\mathcal E_{U_k}}J_{\mathcal E_{U_l}})=\frac{1}{d^2}| \operatorname{tr} U_k^\unicode{8224} U_l|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $S(J_{\mathcal E_{\mathrm{ru}}})=H(\{p_k\})$, если и только если $ \operatorname{tr} (U_k^\unicode{8224} U_l)=0$ при всех $k\neq l$.
Приложение В. Доказательство предложения 3Чтобы доказать предложение 3, сначала напомним неравенство Пинскера [59], согласно которому для любых состояний $\rho$ и $\sigma$ где $S(\rho|\sigma)= \operatorname{tr} \rho (\ln\rho-\ln\sigma)$ есть квантовая относительная энтропия и $T(\rho,\sigma)$ – следовое расстояние между $\rho$ и $\sigma$,
$$
\begin{equation*}
T(\rho,\sigma)=\frac{1}{2} \operatorname{tr} |\rho-\sigma|;
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $|A|=\sqrt{A^\unicode{8224} A}$ для любого оператора $A$. Из неравенства Пинскера (15) и неравенства треугольника для следового расстояния имеем
$$
\begin{equation*}
S(J_\mathcal E|J_{\mathrm{cde}})\geqslant 2T^2(J_\mathcal E,J_{\mathrm{cde}})\geqslant 2\bigl(T(J_\mathcal E,J_{\mathcal I})-T(J_{\mathcal I},J_{\mathrm{cde}})\bigr)^2= 2\biggl(1-\frac{1}{d^2}-T(J_\mathcal E,J_{\mathcal I})\biggr)^{\!2},
\end{equation*}
\notag
$$
где равенство выполняется в силу $T(J_{\mathcal I},J_{\mathrm{cde}})=1-1/d^2$. С учетом известного неравенства между точностью воспроизведения и следовым расстоянием [11] далее получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sqrt{S(J_\mathcal E|J_{\mathrm{cde}})}&\geqslant\sqrt{2}\biggl(1-\frac1{d^2}-T(J_\mathcal E,J_{\mathcal I})\biggr)\geqslant \\ &\geqslant\sqrt{2}\biggl(1-\frac{1}{d^2}-\sqrt{1-F(J_\mathcal E,J_{\mathcal I})}\biggr)= \sqrt{2}\biggl(1-\frac{1}{d^2}-\sqrt{1-F(\mathcal E)}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда вытекает искомое неравенство.
Приложение Г. Доказательство предложения 4С помощью соотношений (9) и (12) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D(\mathcal E)&=I(J_{\mathcal I})-I(J_{\mathcal E})= 2S(\mathbf 1/d)-\bigl( S(\mathbf 1/d) +S(\mathcal E(\mathbf 1/d))- S(J_\mathcal E)\bigr)= \\ &=\ln d-S(\mathcal E(\mathbf 1/d))+S(J_\mathcal E)=N(\mathcal E)+2S(\mathcal E). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Приложение Д. Доказательство предложения 51. Из (13) имеем $D(\mathcal E)\geqslant 0$, причем равенство достигается, если и только если $S(J_\mathcal E)=0$ и $S(\mathcal E(\mathbf 1/d)|\mathbf 1/d)=0$, откуда следует, что $\mathcal E$ – унитарный канал. Для доказательства неравенства $D(\mathcal E)\leqslant 2\ln d$ заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D(\mathcal E)&=S(J_\mathcal E)+S(\mathcal E(\mathbf 1/d)|\mathbf 1/d)= S(J_\mathcal E)+S(\mathbf 1/d)-S(\mathcal E(\mathbf 1/d))= \\ &=2S(\mathbf 1/d)-S(J_\mathcal E|\mathbf 1/d\otimes\mathcal E(\mathbf 1/d))\leqslant 2S(\mathbf 1/d)=2\ln d, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому $D(\mathcal E)\leqslant 2\ln d$ и $D(\mathcal E)=2\ln d$, если и только если $J_\mathcal E=\mathbf 1/d\otimes\mathcal E(\mathbf 1/d)$, следовательно, $\mathcal E(\rho)=\mathcal E(\mathbf 1/d)$ для любого состояния $\rho$. 2. Прямые вычисления показывают, что
$$
\begin{equation*}
J_{p_1\mathcal E_1+p_2\mathcal E_2}=p_1J_{\mathcal E_1}+p_2J_{\mathcal E_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Благодаря совместной выпуклости относительной энтропии мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I(J_{p_1\mathcal E_1+p_2\mathcal E_2})&=S(J_{p_1\mathcal E_1+p_2\mathcal E_2}|\mathbf 1/d\otimes(p_1\mathcal E_1+p_2\mathcal E_2)(\mathbf 1/d))= \\ &=S(p_1J_{\mathcal E_1}+p_2J_{\mathcal E_2}|p_1\mathbf 1/d\otimes\mathcal E_1(\mathbf 1/d)+p_2\mathbf 1/d\otimes\mathcal E_2(\mathbf 1/d))\leqslant \\ &\leqslant p_1S(J_{\mathcal E_1}|\mathbf 1/d\otimes\mathcal E_1(\mathbf 1/d))+p_2S(J_{\mathcal E_2}|\mathbf 1/d\otimes\mathcal E_2(\mathbf 1/d))= \\ &=p_1I(J_{\mathcal E_1})+p_2I(J_{\mathcal E_2}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует п. 2 предложения. 3. Вследствие унитарной инвариантности энтропии фон Неймана имеем для любых унитарных операторов $U$ и $V$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I(J_{\mathcal E_U \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E_V})&= S(\mathbf 1/d)+S(\mathcal E_U \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E_V(\mathbf 1/d))- S(\mathcal I\otimes\mathcal E_U \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E_V(|\Phi^{+}\rangle\langle\Phi^{+}|))= \\ &=S(\mathbf 1/d)+S(\mathcal E(\mathbf 1/d))-S(\mathcal I\otimes\mathcal E(|\Phi^{+}\rangle\langle\Phi^{+}|))=I(J_{\mathcal E}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда напрямую следует искомое свойство. 4. Предположим, что пространства $H^a$ и $H$ имеют размерности $d_a$ и $d$, и зададим в них ортонормированные базисы $\{|\mu\rangle\}$ и $\{|i\rangle\}$ соответственно. Для канала $\mathcal I^a\otimes\mathcal E$ в гильбертовом пространстве $H^a\otimes H$ составной системы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, d_a dJ_{\mathcal I^a\otimes\mathcal E}&= \sum_{\mu,\nu,i,j}|\mu\rangle\langle\nu|\otimes|i\rangle\langle j|\otimes|\mu\rangle\langle\nu|\otimes\mathcal E (|i\rangle\langle j|)= \\ &=\sum_{\mu,\nu,i,j}(\mathbf 1^a\otimes F_{ab}\otimes\mathbf 1) (|\mu\rangle\langle\nu|\otimes|\mu\rangle\langle\nu|\otimes|i\rangle\langle j|\otimes\mathcal E(|i\rangle\langle j|)) (\mathbf 1^a\otimes F^\unicode{8224}_{ab}\otimes\mathbf 1)= \\ &=d_a d(\mathbf 1^a\otimes F_{ab}\otimes\mathbf 1) (|\Phi^{+}_a\rangle\langle\Phi^{+}_a|\otimes J_{\mathcal E}) (\mathbf 1^a\otimes F^\unicode{8224}_{ab}\otimes\mathbf 1), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $F_{ab}=\sum_{\mu i}|i\rangle\langle\mu|\otimes|\mu\rangle\langle i|$ есть оператор перестановки состояний в гильбертовом пространстве $H^a\otimes H$ составной системы и $|\Phi^{+}_a\rangle=\frac{1}{\sqrt{d_a}}\sum_\mu|\mu\rangle\otimes|\mu\rangle$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S(J_{\mathcal I^a\otimes\mathcal E})&= S\bigl((\mathbf 1^a\otimes F_{ab}\otimes\mathbf 1) (|\Phi_a^{+}\rangle\langle\Phi_a^{+}|\otimes J_{\mathcal E}) (\mathbf 1^a\otimes F^\unicode{8224}_{ab}\otimes\mathbf 1)\bigr)= \\ &=S(J_{\mathcal E}\otimes|\Phi_a^{+}\rangle\langle\Phi_a^{+}|)=S(J_{\mathcal E}) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S(\mathbf 1^a/d_a\otimes\mathcal E(\mathbf 1/d)|\mathbf 1^a/{d_a}\otimes\mathbf 1/{d})&= S(\mathbf 1^a/d_a)+S(\mathbf 1/d)-S(\mathbf 1^a/d_a\otimes\mathcal E(\mathbf 1/d))= \\ &=S(\mathbf 1^a/d_a)+S(\mathbf 1/d)-S(\mathbf 1^a/d_a)-S(\mathcal E(\mathbf 1/d))= \\ &=S(\mathbf 1/d)-S(\mathcal E(\mathbf 1/d))=S(\mathcal E(\mathbf 1/d)|\mathbf 1/d), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует п. 4 предложения. 5. Пусть $\mathcal F$ – произвольный канал в гильбертовом пространстве $H$. По определению состояния Ямилковского–Чоя $J_{\mathcal F \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E}=\mathcal I\otimes\mathcal F(J_{\mathcal E})$. С учетом монотонности относительной энтропии п. 5 вытекает из следующего соотношения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I(J_{\mathcal F \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E})=I(\mathcal I\otimes\mathcal F(J_{\mathcal E}))&= S(\mathcal I\otimes\mathcal F(J_{\mathcal E})|\mathcal I\otimes\mathcal{F}(\mathbf 1/d\otimes\mathcal E(\mathbf 1/d)))\leqslant \\ &\leqslant S(J_{\mathcal E}|\mathbf 1/d\otimes\mathcal E(\mathbf 1/d))=I(J_{\mathcal E}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
6. Пусть $\mathcal E^a$ и $\mathcal E^b$ – каналы в системах $a$ и $b$ с ортонормированными базисами $\{|\mu\rangle\}$ и $\{|i\rangle\}$ гильбертовых пространств $H^a$ и $H^b$ соответственно. В силу того, что
$$
\begin{equation*}
J_{\mathcal E^a\otimes\mathcal E^b}= \frac{1}{d_ad_b}\sum_{\mu,\nu,i,j}|\mu\rangle\langle\nu|\otimes|i\rangle\langle j|\otimes\mathcal E^a(|\mu\rangle\langle\nu|)\otimes\mathcal E^b(|i\rangle\langle j|),
\end{equation*}
\notag
$$
имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\mathbf 1^a\otimes F_{ab}^\unicode{8224}\otimes\mathbf 1^b)&J_{\mathcal E^a\otimes\mathcal E^b}(\mathbf 1^a\otimes F_{ab}\otimes\mathbf 1^b)= \\ &=\frac{1}{d_ad_b}\sum_{\mu,\nu,i,j}|\mu\rangle\langle\nu|\otimes\mathcal E^a(|\mu\rangle\langle\nu|)\otimes |i\rangle\langle j|\otimes\mathcal E^b(| i\rangle\langle j|)=J_{\mathcal E^a}\otimes J_{\mathcal E^b}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $F_{ab}=\sum_{\mu i}|\mu\rangle\langle i|\otimes|i\rangle\langle\mu|$ есть оператор перестановки состояний в гильбертовом пространстве $H^a\otimes H^b$ составной системы. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S(J_{\mathcal E^a\otimes\mathcal E^b})&= S\bigl((\mathbf 1^a\otimes F_{ab}\otimes\mathbf 1^b)J_{\mathcal E^a\otimes\mathcal E^b} (\mathbf 1^a\otimes F^\unicode{8224}_{ab}\otimes\mathbf 1^b)\bigr)= \\ &=S(J_{\mathcal E^a}\otimes J_{\mathcal E^b})=S(J_{\mathcal E^a})+S(J_{\mathcal E^b}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S(\mathcal E^a(\mathbf 1^a/d_a)\otimes\mathcal E^b&(\mathbf 1^b/d_b)|\mathbf 1^a/d_a\otimes\mathbf 1^b/d_b)= \\ &=S(\mathbf 1^a/d_a\otimes\mathbf 1^b/d_b)-S(\mathcal E^a(\mathbf 1^a/d_a)\otimes\mathcal E^b(\mathbf 1^b/d_b))= \\ &=S(\mathbf 1^a/d_a)+S(\mathbf 1^b/d_b)-S(\mathcal E^a(\mathbf 1^a/d_a))-S(\mathcal E^b(\mathbf 1^b/d_b))= \\ &=S(\mathcal E^a(\mathbf 1^a/d_a)|\mathbf 1^a/d_a)+S(\mathcal E^b(\mathbf 1^b/d_b|\mathbf 1^b/d_b), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует п. 6 предложения.
Приложение Е. Альтернативная мера необратимостиНапомним, что $r$-энтропия Тсаллиса
$$
\begin{equation*}
S_r(\rho)=\frac {1- \operatorname{tr} \rho^r}{r-1},\qquad r\in\mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
является простой и значимой величиной, которая характеризует смешанность состояния $\rho$ [60]. Случай $r=1$ понимается как предел $r\to 1$ и фактически соответствует энтропии фон Неймана. Если мы возьмем в качестве $\rho$ состояние $J_\mathcal E$ канала $\mathcal E$, то можно принять величину как меру необратимости канала $\mathcal E(\rho)=\sum_kE_k\rho E_k^\unicode{8224}$. При $r\in\mathbb{N}$ эта величина имеет следующий явный вид:
$$
\begin{equation*}
S_r^{}(\mathcal E)=\frac{1}{2(r-1)} \biggl(1-\frac{1}{d^r}\sum_{k_1,\ldots,k_r} \operatorname{tr} (E_{k_1}^\unicode{8224} E_{k_2}^{}) \operatorname{tr} (E_{k_2}^\unicode{8224} E_{k_3}^{})\ldots \operatorname{tr} (E_{k_r}^\unicode{8224} E_{k_1}^{})\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, 2-энтропия Тсаллиса $S_2(\rho)=1- \operatorname{tr} \rho^2$ является линейной, и если взять в качестве $\rho$ состояние $J_\mathcal E$ канала $\mathcal E$, то можно считать мерой необратимости канала $\mathcal E$. Интересно отметить, что эту величину можно также записать как
$$
\begin{equation*}
S_2(\mathcal E)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2d^2}\sum_{k}\|\mathcal E(X_k)\|^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\{X_k\colon k=1,\ldots, d^2\}$ – произвольный ортонормированный базис в операторном пространстве $L(H)$ всех наблюдаемых (эрмитовых операторов) на $H$ со скалярным произведением Гильберта–Шмидта $\langle A|B\rangle= \operatorname{tr} AB$. Величина $S_2(\mathcal E)$ удовлетворяет следующим свойствам, которые аналогичны свойствам $S(\mathcal E)$. 1. Имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
0\leqslant S_2(\mathcal E)\leqslant\frac{1}{2}-\frac{1}{2d^2},
\end{equation*}
\notag
$$
причем $S_2(\mathcal E)=0$, если и только если $\mathcal E$ – унитарный канал, и $S_2(\mathcal E)$ достигает макисмума $(d^2-1)/2d^2$, если и только если $\mathcal E$ – полностью деполяризующий канал $\mathcal E_{\mathrm{cde}}(\rho)=\mathbf 1/d$ для любого состояния $\rho$. 2. Величина $S_2(\mathcal E)$ вогнута по $\mathcal E$, т. е.
$$
\begin{equation*}
S_2(p_1\mathcal E_1+p_2\mathcal E_2)\geqslant p_1 S_2(\mathcal E_1)+p_2 S_2(\mathcal E_2)
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $p_1,p_2\geqslant 0$, $p_1+p_2=1$, и любых каналов $\mathcal E_1$, $\mathcal E_2$. 3. Величина $S_2(\,{\cdot}\,)$ инвариантна относительно композиции с унитарной динамикой в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
S_2(\mathcal E_U \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E)=S_2(\mathcal E \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E_U)=S_2(\mathcal E)
\end{equation*}
\notag
$$
для любого унитарного канала $\mathcal E_U(\rho)=U\rho U^\unicode{8224}$ с произвольным унитарным оператором $U$ на гильбертовом пространстве системы. Таблица 1.Сравнение двух мер необратимости $S(\mathcal E)$ и $S_2(\mathcal E)$ для различных каналов из раздела 7.
4. Величина $S_2(\,{\cdot}\,)$ анцилла-независима в том смысле, что $S_2(\mathcal I^a\otimes\mathcal E)=S_2(\mathcal E)$, где $\mathcal I^a$ – тождественный канал в любой анцилла-системе $a$. 5. Имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
S_2(\mathcal E^a\otimes\mathcal E^b)=S_2(\mathcal E^a)+S_2(\mathcal E^b)-S_2(\mathcal E^a)S_2(\mathcal E^b),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal E^a$ и $\mathcal E^b$ – каналы в системах $a$ и $b$ соответственно. Это своего рода неэкстенсивность энтропии Тсаллиса. 6. Величина $S_2(\,{\cdot}\,)$ монотонна в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
S_2(\mathcal F \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathcal E)\geqslant S_2(\mathcal E)
\end{equation*}
\notag
$$
для любого унитального канала $\mathcal F$. Меру необратимости $S_2(\mathcal E)$ можно явно вычислить для различных каналов, изученных в разделе 7. Эти результаты, а также результаты для $S(\mathcal E)$ приведены в табл. 1. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{LuoSun24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|