| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Фокусирующее спаренное модифицированное уравнение Кортевега–де Фриза с ненулевыми граничными условиями: задача Римана–Гильберта и классификация солитонов Синь-Синь Ma Department of Mathematics, China University of Mining and Technology, Beijing, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 219, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S004057792404007X 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеМодифицированное уравнение Кортевега–де Фриза (мКдФ) впервые было введено Миурой [1] как естественное обобщение уравнения КдФ. Оно возникает во многих физических ситуациях, таких как изгибные океанические течения [2], акустические волны в определенного рода ангармонических решетках [3], альфвеновские волны в холодной бесстолкновительной плазме [4] и т. д. Как следствие, уравнение интенсивно изучалось, и были получены многие важные результаты [5]–[12]. В последние годы многокомпонентные интегрируемые модели привлекают большое внимание ввиду их значимости во многих областях физики, таких как волоконная оптика [13], [14], конденсаты Бозе–Эйнштейна [15], [16] и нелинейная оптика [13]. При этом расширение на многокомпонентные уравнения необходимо для описания различных физических явлений. Например, известно, что скалярное нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) описывает распространение световых импульсов с фиксированной поляризацией, но при рассмотрении поляризационных эффектов для описания процесса распространения импульса вдоль оптического волокна [17] нужно использовать двухкомпонентную версию этого уравнения. Также для описания поляризационных или анизотропных эффектов в двулучепреломляющем волокне [18] нужно заменить уравнение коротких импульсов, которое описывает распространение ультракоротких оптических импульсов в нелинейной среде, на его двухкомпонентную версию, пригодную для описания распространения ультракоротких импульсов в двулучепреломляющих волокнах. Кроме того, многокомпонентные интегрируемые системы богаты математическими структурами, что приводит к их интенсивному изучению и накоплению совершенно нового опыта, а это ведет к постановке новых задач и возникновению новых трудностей. И действительно, обобщения, например, уравнения мКдФ на многокомпонентный случай были предложены и изучены в работах многих авторов [19]–[24]. Настоящая работа посвящена фокусирующему спаренному модифицированному уравнению Кортевега–де Фриза (фсмКдФ)
$$
\begin{equation}
\mathbf q_t+\mathbf q_{xxx}+3\|\mathbf q\|^2\mathbf q_x +3\mathbf q^{\mathrm T}\mathbf q_x\mathbf q=\boldsymbol 0,\qquad \mathbf q=(q_1,q_2)^{\mathrm T},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где верхний индекс $\mathrm T$ и $\|\cdot\|$ далее означают соответственно матричное транспонирование и стандартную евклидову норму, а $\boldsymbol 0$ означает нулевую матрицу соответствующего размера. В работе [25] с помощью метода обратной задачи рассеяния (МОЗР) было получено многосолитонное решение уравнения фсмКдФ, быстро затухающее при больших $|x|$. Ван с соавторами [26] получили нелинейную устойчивость бризеров уравнения фсмКдФ. Для изучения нелинейных явлений в интегрируемых системах важно использовать различные методы поиска их точных решений, среди которых метод Римана– Гильберта всегда считался эффективным методом решения задачи с начальным условием. Метод Римана–Гильберта представляет собой современную версию МОЗР. К тому же стало очевидно, что этот метод также применим к асимптотикам решений широкого круга интегрируемых систем на больших временах [27]–[29]. Кроме того, интегрируемые нелинейные системы с ненулевыми граничными условиями (ННГУ) имеют многочисленные применения. Недавние эксперименты с конденсатами Бозе–Эйнштейна показали быстрое внедрение двойных теневых векторных солитонов в динамику двух смешиваемых сверхтекучих жидкостей, которые сталкиваются с быстрым встречным потоком в узком (сигарообразном) конденсате [16]. К тому же задачи с ННГУ связаны с модуляционной неустойчивостью в оптике и с образованием волн-убийц [30], [31]. В настоящей работе мы используем МОЗР для решения уравнения фсмКдФ со следующими ННГУ:
$$
\begin{equation}
\lim_{x\to\pm\infty}{\mathbf q(x,t)}=\mathbf q_{\pm},\qquad \|\mathbf q_{\pm}\|=q_0>0,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $\mathbf q_{\pm}=(q_{1\pm},q_{2\pm})^{\mathrm T}$. Отметим, что дефокусирующее уравнение смКдФ с ННГУ рассматривалось в работе [19]. Мы показали, что по сравнению с дефокусирующим уравнением фокусирующее уравнение, рассмотренное в нашей работе, обладает более сложной спектральной структурой и более богатой классификацией дискретного спектра, что приводит к полезным солитонным решениям. Мы также провели классификацию солитонов для этой задачи. Статья организована следующим образом. В разделе 2 для потенциала $\mathbf q(x,t)$, такого что $\mathbf q(\,\cdot\,,t)-\mathbf q_\pm\in L^1(\mathbb R)$, получены собственные функции и коэффициенты рассеяния прямой задачи. Построены вспомогательные собственные функции, которые дополняют полный набор аналитических собственных функций. Последовательно находятся симметрии собственных функций и коэффициентов рассеяния, и изучается их асимптотическое поведение. В разделе 3 формулируется матричная задача Римана–Гильберта (ЗРГ) для обратной задачи, а также получены формула следа и асимптотическая разница фаз. В разделе 4 предложена компактная матричная формула для общих солитонных решений в безотражательном случае, включая произвольную комбинацию шести различных типов солитонов. Раздел 5 посвящен выводам. 2. Прямая задачаПара Лакса для уравнения (1.1) имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \varphi_x&=\mathbf X\varphi,&\qquad \mathbf X(x,t,k)&=ik\boldsymbol\sigma+\mathbf Q, \\ \varphi_t&=\mathbf T\varphi,&\qquad \mathbf T(x,t,k) &=4k^2\mathbf Q+2ik(2k^2\boldsymbol\sigma+\boldsymbol\sigma\mathbf Q^2 +\mathbf Q_x\boldsymbol\sigma)+{} \\ & & &\qquad\qquad\qquad\qquad\quad{}+2\mathbf Q^3-[\mathbf Q,\mathbf Q_x]-\mathbf Q_{xx}, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где
$$
\begin{equation}
\boldsymbol\sigma=\operatorname{diag}(-1,1,1),\qquad \mathbf Q(x,t)=\begin{pmatrix} 0 &\mathbf q^{\mathrm T} \\ -\mathbf q &\boldsymbol 0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
$[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$ здесь и далее означает матричный коммутатор. 2.1. Собственные функции Йоста и матрица рассеянияПрежде чем ввести решения Йоста, нужно изучить асимптотическую спектральную задачу для (2.1) при $x\to\pm\infty$:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \phi_{\pm,x}&=\mathbf X_{\pm}\phi_{\pm}, &\qquad \mathbf X_{\pm}&=ik\boldsymbol\sigma+\mathbf Q_{\pm}, \\ \phi_{\pm,t}&=\mathbf T_{\pm}\phi_{\pm}, &\qquad \mathbf T_{\pm}&=4k^2\mathbf Q_{\pm} +2ik(2k^2\boldsymbol\sigma +\boldsymbol\sigma\mathbf Q^2_{\pm})+2\mathbf Q^3_\pm, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathbf Q_\pm=\begin{pmatrix} 0 &\mathbf q^{\mathrm T}_\pm \\ -\mathbf q_\pm &\boldsymbol 0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Собственными функциями оператора $\mathbf X_\pm$ являются функции $ik$ и $\pm i\lambda$, где Заметим, что $\lambda(k)$ – многозначная функция. Как обычно, от многозначности можно избавиться введением двулистной поверхности Римана, которая задается формулой (2.4). Более конкретно, мы знаем, что точками ветвления являются значения $k$, для которых $\lambda(k)=0$, т. е. $k={\pm}iq_0$. Поверхность Римана строится склеиванием двух копий вдоль разреза $i[-q_0,q_0]$, соединяющего точки ветвления. При этом $\lambda(k)$ определим так, что область $\operatorname{Im}\lambda(k)>0$ является верхней полуплоскостью на листе $\mathrm I$ и нижней полуплоскостью на листе $\mathrm{II}$, а область $\operatorname{Im}\lambda(k)<0$ является нижней полуплоскостью на листе $\mathrm I$ и верхней полуплоскостью на листе $\mathrm{II}$. Для удобства введем следующую униформизующую переменную: для которой обратное отображение имеет вид
$$
\begin{equation}
k=\frac{1}{2}(z-\hat z),\qquad \lambda=\frac{1}{2}(z+\hat z),
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где $\hat z:=q_0^2/z$. Пусть $C_0$ – окружность радиуса $q_0$ с центром в начале координат на комплексной плоскости $z$. Тогда разрез на каждом из листов отображается в $C_0$, первый лист $\mathbb C_{\mathrm I}$ отображается во внешнюю область окружности $C_0$, второй лист $\mathbb C_{\mathrm{II}}$ – во внутреннюю область окружности $C_0$. Имеем также $z(k,\lambda_{\mathrm I})z(k,\lambda_{\mathrm{II}})=q_0^2$. Далее применим МОЗР на комплексной плоскости $z$. На каждом листе поверхности Римана возьмем асимптотическую матрицу собственных векторов в виде
$$
\begin{equation}
\mathbf E_\pm(z)=\begin{pmatrix} 1 &0 &-iq_0/z \\ -i\mathbf q_\pm/z &\mathbf q_\pm^{\perp}/q_0 &\mathbf q_\pm/q_0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
при этом
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \mathbf E_\pm^{-1}\mathbf X_\pm\mathbf E_\pm&=i\boldsymbol\Lambda_1, &\qquad \boldsymbol\Lambda_1(z)&=\operatorname{diag}(-\lambda,k,\lambda), \\ \mathbf E_\pm^{-1}\mathbf T_\pm\mathbf E_\pm &=i\boldsymbol\Lambda_2,&\qquad \boldsymbol\Lambda_2(z) &=\operatorname{diag}(-2\lambda(2k^2-q_0^2),4k^3,2\lambda(2k^2-q_0^2)), \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где $\mathbf q_\pm^{\perp}=(q_{2\pm},-q_{1\pm})^{\mathrm T}$. Заметим, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{det}\mathbf E_\pm(z)=1+\frac{q_0^2}{z^2}:=\gamma(z).
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
При этом непрерывный спектр $k\in(\mathbb R\cup i[-q_0,q_0])$ включает в себя все значения $k$ (на каждом листе), такие что $\lambda(k)\in\mathbb R$, а соответствующим множеством на комплексной плоскости $z$ является $\Sigma=\mathbb R\cup C_0$. Таким образом, для $z\in\Sigma$ можно ввести собственные функции Йоста $\varphi_\pm(x,t,z)$ с граничными условиями
$$
\begin{equation}
\varphi_\pm(x,t,z)=\mathbf E_\pm(z)e^{i\boldsymbol\Theta(x,t,z)}+o(1),\qquad x\to\pm\infty,
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
где $\boldsymbol\Theta(x,t,z)=\boldsymbol\Lambda_1(z)x+\boldsymbol\Lambda_2(z)t =\operatorname{diag}(\theta_1(x,t,z),\theta_2(x,t,z),-\theta_1(x,t,z))$. Как обычно, введем модифицированные собственные функции Йоста
$$
\begin{equation}
\mu_\pm(x,t,z)=\varphi_\pm(x,t,z)e^{-i\boldsymbol\Theta(x,t,z)},
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
для которых
$$
\begin{equation}
\lim_{x\to\pm\infty}\mu_\pm(x,t,z)=\mathbf E_\pm(z),\qquad z\in\Sigma.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Соответствующая спектральная задача для $\mu_\pm(x,t,z)$ задается системой
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (\mathbf E_\pm^{-1}\mu_\pm)_x+i[\mathbf E_\pm^{-1}\mu_\pm, \boldsymbol\Lambda_1]&=\mathbf E_\pm^{-1}\Delta\mathbf Q_\pm\mu_\pm, \\ (\mathbf E_\pm^{-1}\mu_\pm)_t+i[\mathbf E_\pm^{-1}\mu_\pm, \boldsymbol\Lambda_2]&=\mathbf E_\pm^{-1}\Delta\mathbf T_\pm \mu_\pm, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
где $\Delta\mathbf Q_\pm=\mathbf Q-\mathbf Q_\pm$ и $\Delta\mathbf T_\pm=\mathbf T-\mathbf T_\pm$. С помощью этих линейных уравнений можно доказать, что $\mu_\pm(x,t,z)$ определены корректно. Теорема 2.1. Предположим, что $\mathbf q(\,\cdot\,,t)-\mathbf q_\pm\in L^1(\mathbb R)$, тогда столбцы функций $\mu_\pm(x, t, z)$ можно аналитически продолжить на соответствующие области комплексной плоскости $z$: Введем теперь матрицу рассеяния стандартным способом. Учитывая, что $\operatorname{tr}\mathbf X=ik$ и $\operatorname{tr}\mathbf T=4ik^3$, из теоремы Абеля получим
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{det} [\varphi_\pm(x,t,z)e^{-i\boldsymbol\Theta(x,t,z)}] =\frac{\partial}{\partial t}\operatorname{det} [\varphi_\pm(x,t,z)e^{-i\boldsymbol\Theta(x,t,z)}]=0,
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
откуда следует, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{det}\varphi_\pm(x,t,z) =\gamma(z)e^{i\theta_2(x,t,z)},\qquad z\in\Sigma.
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
В результате функции $\varphi_+(x,t,z)$ и $\varphi_-(x,t,z)$ являются двумя фундаментальными решениями линейной системы (2.1) при $z\in\Sigma_0:=\Sigma\setminus\{\pm iq_0\}$, поэтому должна существовать ($3\times 3$)-матрица рассеяния $\mathbf A(z)$ такая, что В силу явной зависимости от времени граничного условия (2.10) матрица $\mathbf A(z)$ не зависит от времени. При этом, комбинируя (2.18) и (2.17), получим
$$
\begin{equation}
\operatorname{det}\mathbf A(z)=1,\qquad z\in\Sigma_0.
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Удобно обозначить $\mathbf B(z):=\mathbf A^{-1}(z)=(b_{ij}(z))$. Кроме того, справедлива следующая Теорема 2.2. При соблюдении условий теоремы 2.1 коэффициенты рассеяния можно аналитически продолжить на соответствующие области комплексной плоскости $z$: 2.2. Вспомогательные собственные функцииЧтобы сформулировать полную ЗРГ, нужно построить еще четыре собственные функции для пары Лакса (2.1), которые аналитичны соответственно в четырех фундаментальных областях. Для этого, как и в [32], обратимся к сопряженной задаче:
$$
\begin{equation}
\tilde\varphi_x=\widetilde{\mathbf X}(z)\tilde{\varphi},\qquad \tilde\varphi_t=\widetilde{\mathbf T}(z)\tilde\varphi,
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
где $\widetilde{\mathbf X}(z)=\mathbf X^*(z^*)$ и $\widetilde{\mathbf T}(z)=\mathbf T^*(z^*)$. При этом, как и ранее, для $z\in\Sigma$ введем сопряженные собственные функции Йоста $\tilde\varphi_\pm(x,t,z)$ задачи (2.21), которые удовлетворяют граничным условиям
$$
\begin{equation}
\tilde\varphi_\pm(x,t,z) =\mathbf E_\pm^*(z^*)e^{-i\boldsymbol\Theta(x,t,z)}+o(1),\qquad x\to\pm\infty.
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
При выполнении условий теоремы 2.1, вводя модифицированные сопряженные собственные функции Йоста $\tilde\mu_\pm(x,t,z)=\tilde\varphi_\pm(x,t,z)e^{i\boldsymbol\Theta(x,t,z)}$, можно показать, что столбцы функций $\tilde\mu_\pm(x,t,z)$ можно аналитически продолжить в соответствующие области:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} &\tilde\mu_{-,1}:D_2, &\qquad &\tilde\mu_{-,2}:\mathbb C_+, &\qquad &\tilde\mu_{-,3}:D_3, \\ &\tilde\mu_{+,1}:D_1, &\qquad &\tilde\mu_{+,2}:\mathbb C_-, &\qquad &\tilde\mu_{+,3}:D_4. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Для $z\in\Sigma$ имеем $\operatorname{det}\tilde\varphi_\pm(x,t,z)=\gamma(z)e^{-i\theta_2(x,t,z)}$. Следовательно, для $z\in\Sigma_0$ можно ввести соответствующую матрицу рассеяния вида
$$
\begin{equation}
\tilde\varphi_-(x,t,z)=\tilde\varphi_+(x,t,z)\widetilde{\mathbf A}(z).
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
После простых вычислений получим следующий результат. Предложение 2.1. Если $\tilde{\mathbf p}(x,t,z)$ и $\tilde{\mathbf q}(x,t,z)$ – два произвольных решения сопряженной задачи (2.21), то Вспомнив определение сопряженной задачи, приходим к выводу, что
$$
\begin{equation}
\tilde\varphi_\pm(x,t,z)=\varphi_\pm^*(x,t,z^*),\qquad z\in\Sigma.
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
В свете полученного результата построим четыре новых решения изначальной спектральной задачи (2.1):
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \chi_1(x,t,z)&=e^{i\theta_2(x,t,z)}[\varphi_{+,1}^*\times\varphi_{-,2}^*](x,t,z^*), &\qquad &z\in D_1, \\ \chi_2(x,t,z)&=e^{i\theta_2(x,t,z)}[\varphi_{-,1}^*\times\varphi_{+,2}^*](x,t,z^*), &\qquad &z\in D_2, \\ \chi_3(x,t,z)&=e^{i\theta_2(x,t,z)}[\varphi_{+,2}^*\times\varphi_{-,3}^*](x,t,z^*), &\qquad &z\in D_3, \\ \chi_4(x,t,z)&=e^{i\theta_2(x,t,z)}[\varphi_{-,2}^*\times\varphi_{+,3}^*](x,t,z^*), &\qquad &z\in D_4, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
которые назовем вспомогательными собственными функциями. При этом соответствующие модифицированные вспомогательные собственные функции введем следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} m_j(x,t,z)&=\chi_j(x,t,z)e^{i\theta_1(x,t,z)}, &\qquad &z\in D_j,&\quad &j=1,2, \\ m_l(x,t,z)&=\chi_l(x,t,z)e^{-i\theta_1(x,t,z)}, &\qquad &z\in D_l,&\quad &l=3,4. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
Еще раз используя полученный выше результат, непосредственно установим следующую взаимосвязь. Лемма 2.1. Для всех циклических перестановок индексов $j$, $l$ и $m$ при $z\in\Sigma$ имеем где $\gamma_1(z)=\gamma_3(z)=1$ и $\gamma_2(z)=\gamma(z)$. Полезно ввести тождество
$$
\begin{equation}
(\operatorname{det}\varphi_\pm)\mathbf I =(\varphi_{\pm,2}\times\varphi_{\pm,3},\varphi_{\pm,3}\times\varphi_{\pm,1}, \varphi_{\pm,1}\times\varphi_{\pm,2})\varphi_\pm^{\mathrm T},\qquad z\in\Sigma_0,
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
где $\mathbf I$ – единичная ($3\times 3$)-матрица. Благодаря этому тождеству и соотношению рассеяния (2.18) получим Следствие 2.1. Матрицы рассеяния $\mathbf A(z)$ и $\widetilde{\mathbf A}(z)$ связаны соотношением где $\boldsymbol\Gamma(z)=\operatorname{diag}(1,\gamma(z),1)$. Применяя соотношение рассеяния (2.24) и соотношение (2.29) к вспомогательным собственным функциям (2.27) и затем используя (2.31), получим Следствие 2.2. Собственные функции Йоста $\varphi_{\pm,1}(x,t,z)$, $\varphi_{\pm,3}(x,t,z)$ для $z\in \Sigma_0$ имеют следующие разложения: 2.3. СимметрииСимметрии собственных функций и коэффициентов рассеяния определяют распределение дискретного спектра, степени свободы параметров солитона и разрешимость задачи. 2.3.1. Первая симметрияРассмотрим сначала преобразование $z\mapsto z^*$. Следующий результат является прямым следствием того факта, что $\mathbf Q^\unicode{8224}=-\mathbf Q$ и $\boldsymbol\sigma\mathbf Q=-\mathbf Q\boldsymbol\sigma$, где $\unicode{8224}$ означает эрмитово сопряжение. Лемма 2.2. Собственные функции Йоста $\varphi_\pm(x,t,z)$ допускают симметрийное соотношение где $\mathbf C(z)=\operatorname{diag}(\gamma(z),1,\gamma(z))$. Объединяя тождество (2.30) и симметрию (2.33), подставляя разложения (2.32) в полученный результат и применяя принцип отражения Шварца, получим следующую лемму. Лемма 2.3. Собственные функции Йоста удовлетворяют симметрийным соотношениям Исследуем теперь влияние первой симметрии на матрицу рассеяния. По сути, из симметрии (2.33) и соотношения рассеяния (2.18) следует Лемма 2.4. Для $z\in\Sigma_0$ соотношение между матрицами рассеяния $\mathbf A(z)$ и $\mathbf B(z)$ имеет вид С учетом аналитичности коэффициентов рассеяния принцип отражения Шварца утверждает, что
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} b_{11}(z)&=a_{11}^*(z^*),&\qquad &z\in D_2, \\ b_{22}(z)&=a_{22}^*(z^*),&\qquad &z\in\mathbb C_+, \\ b_{33}(z)&=a_{33}^*(z^*),&\quad &z\in D_3. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
2.3.2. Вторая симметрияТеперь обсудим преобразование $z\mapsto -z^*$. Легко прийти к выводу, что справедлива следующая лемма. Обсудим теперь симметрию матрицы рассеяния, обусловленную второй симметрией. Подставляя (2.37) в соотношение рассеяния (2.18), получим следующее утверждение. При этом принцип отражения Шварца позволяет сделать вывод, что
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} a_{11}(z)&=a_{11}^*(-z^*),&\qquad &z\in D_1, \\ a_{22}(z)&=a_{22}^*(-z^*),&\qquad &z\in\mathbb C_-, \\ a_{33}(z)&=a_{33}^*(-z^*),&\qquad &z\in D_4. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.39}
$$
Наконец, комбинируя симметрию (2.37) с определениями (2.27) вспомогательных собственных функций, получим следующее утверждение. 2.3.3. Третья симметрияНаконец, изучим преобразование $z\mapsto-\hat z$. Для него справедлива Лемма 2.8. Собственные функции Йоста $\varphi_\pm(x,t,z)$ подчиняются симметрии где Комбинируя симметрию (2.41) с соотношением рассеяния (2.18), получим следующее утверждение. Используя принцип отражения Шварца, приходим к выводу, что
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} a_{11}(z)&=a_{33}(-\hat z),&\qquad &z\in D_1, \\ a_{22}(z)&=a_{22}(-\hat z),&\qquad &z\in\mathbb C_-. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.43}
$$
Влияние третьей симметрии на симметрию вспомогательных собственных функций можно понять, подставив (2.41) в (2.27). 2.3.4. Коэффициенты отраженияЗаметим, что нельзя исключить возможности существования нулей коэффициентов $a_{11}(z)$ и $b_{22}(z)$ на $\Sigma$. Чтобы решить ЗРГ, сосредоточимся на потенциалах без спектральных сингулярностей [33]. Для $z\in\Sigma$ существуют три коэффициента отражения в обратной задаче, которые имеют вид
$$
\begin{equation}
\rho_1(z)=\frac{a_{21}(z)}{a_{11}(z)}\,,\qquad \rho_2(z)=\frac{a_{31}(z)}{a_{11}(z)}\,,\qquad \rho_3(z)=\frac{a_{32}(z)}{a_{22}(z)}\,.
\end{equation}
\tag{2.45}
$$
Они обладают следующими симметриями. Сначала рассмотрим влияние первой симметрии, а именно,
$$
\begin{equation}
\rho_1(z)=\gamma(z)\frac{b_{12}^*(z^*)}{b_{11}^*(z^*)}\,,\qquad \rho_2(z)=\frac{b_{13}^*(z^*)}{b_{11}^*(z^*)}\,,\qquad \rho_3(z)=\frac{1}{\gamma(z)}\frac{b_{23}^*(z^*)}{b_{22}^*(z^*)}\,.
\end{equation}
\tag{2.46}
$$
Далее, вторая симметрия приводит к соотношению Наконец, в силу третьей симметрии получим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \rho_1(-\hat z)=\frac{iz}{q_0}\frac{a_{23}(z)}{a_{33}(z)} =\frac{iz\gamma(z)}{q_0}\frac{b_{32}^*(z^*)}{b_{33}^*(z^*)}\,,\qquad \rho_2(-\hat z)=\frac{a_{13}(z)}{a_{33}(z)} =\frac{b_{31}^*(z^*)}{b_{33}^*(z^*)}\,, \\ \rho_3(-\hat z)=-\frac{iq_0}{z}\frac{a_{12}(z)}{a_{22}(z)} =-\frac{iq_0}{z\gamma(z)}\frac{b_{21}^*(z^*)}{b_{22}^*(z^*)}\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.48}
$$
2.4. Асимптотическое поведениеИзучим теперь асимптотическое поведение собственных функций и коэффициентов рассеяния при $k\to\infty$. Ввиду того что $z(\infty_{\mathrm I})=\infty$ и $z(\infty_{\mathrm{II}})=0$, обсудим асимптотики как при $z\to\infty$, так и при $z\to 0$ соответственно. Конкретнее, подставляя соответствующие стандартные разложения Вентцеля–Крамерса–Бриллюэна в дифференциальные уравнения (2.13) с граничными условиями (2.12), получим, что справедлива Лемма 2.11. При $z\to\infty$ столбцы модифицированных собственных функций Йоста $\mu_\pm(x,t,z)$ в соответствующих областях аналитичности имеют следующее асимптотическое поведение: Используя два последних члена в (2.49а), получим, что справедливо Предложение 2.5. Решение $\mathbf q(x,t)=(q_1(x,t),q_2(x,t))^{\mathrm T}$ уравнения фсмКдФ с ННГУ имеет вид Лемма 2.12. При $z\to 0$ столбцы модифицированных собственных функций Йоста $\mu_\pm(x,t,z)$ в соответствующих областях аналитичности имеют следующее асимптотическое поведение: Подставляя приведенные выше асимптотики в представления (2.28) модифицированных вспомогательных собственных функций, получим Следствие 2.3. Модифицированные вспомогательные собственные функции $m_j(x,t,z)$ ($j=1,\dots,4$) в соответствующих областях аналитичности имеют следующие асимптотики: Далее, исследуем асимптотическое поведение коэффициентов рассеяния. Комбинируя асимптотики собственных функций Йоста из лемм 2.11 и 2.12 с соотношением рассеяния (2.18), получим Следствие 2.4. Коэффициенты рассеяния при $z\to\infty$ проявляют следующее асимптотическое поведение в соответствующих областях аналитичности: Следствие 2.5. Коэффициенты рассеяния при $z\to 0$ имеют следующие асимптотики в соответствующих областях аналитичности: 3. Обратная задачаНиже формулируется соответствующая ЗРГ, с помощью которой получены формула восстановления и формула следа. 3.1. Задача Римана–ГильбертаНачнем с введения частично-мероморфной функции:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \mathbf M(x,t,z)&=\biggl(\frac{\mu_{-,1}(x,t,z)}{a_{11}(z)}\,,\mu_{+,2}(x,t,z), \frac{m_1(x,t,z)}{b_{22}(z)}\biggr), &\qquad &z\in D_1, \\ \mathbf M(x,t,z)&=\biggl(\mu_{+,1}(x,t,z),\frac{\mu_{-,2}(x,t,z)}{a_{22}(z)}\,, \frac{m_2(x,t,z)}{b_{11}(z)}\biggr), &\qquad &z\in D_2, \\ \mathbf M(x,t,z)&=\biggl(\frac{m_3(x,t,z)}{b_{33}(z)}\,, \frac{\mu_{-,2}(x,t,z)}{a_{22}(z)}\,,\mu_{+,3}(x,t,z)\biggr), &\qquad &z\in D_3, \\ \mathbf M(x,t,z)&=\biggl(\frac{m_4(x,t,z)}{b_{22}(z)}\,,\mu_{+,2}(x,t,z), \frac{\mu_{-,3}(x,t,z)}{a_{33}(z)}\biggr), &\quad &z\in D_4. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Теперь изучим условия на скачок для матричной функции $\mathbf M(x,t,z)$ при пересечении контура $\Sigma$. Для этого положим
$$
\begin{equation*}
\mathbf M_\pm(x,t,z)=\lim_{\substack{\acute z\to z\\ \acute z\in D_\pm}} \mathbf M(x,t,\acute z),\qquad z\in\Sigma,
\end{equation*}
\notag
$$
где $D_+=D_1\cup D_3$, $D_-=D_2\cup D_4$. Здесь $\Sigma=\Sigma_1\cup\Sigma_2\cup\Sigma_3\cup\Sigma_4$, где $\Sigma_j$ – граница области $\overline D_j\cap\overline D_{(j+1)\mod 4}$. Определим ориентацию границы $\Sigma_j$, $j=1,\dots,4$, таким образом, что область $D_+$ всегда находится слева от нее. Тогда, комбинируя соотношение рассеяния (2.18) с разложениями (2.32), приходим к следующей лемме. Лемма 3.1. Функция $\mathbf M(x,t,z)$ удовлетворяет следующим условиям на скачок: При этом справедлива симметрия
$$
\begin{equation}
\mathbf G(x,t,z)=\mathbf C^{-1}(z)\mathbf G^\unicode{8224}(x,t,z^*)\mathbf C(z),\qquad z\in\Sigma.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Кроме того, используя асимптотики собственных функций и коэффициентов рассеяния при условии, что векторы $\mathbf q_+$ и $\mathbf q_-$ параллельны, получим следующее утверждение. Лемма 3.2. Матрица $\mathbf M(x,t,z)$ допускает следующие условия нормировки: где Из (2.36), (2.39) и (2.43) следует Лемма 3.3. Предположим, что $z_0\in D_1$, тогда Эти соотношения означают, что достаточно изучить нули коэффициентов $a_{11}(z)$ и $b_{22}(z)$ при $z\in D_1$. Причем мы рассматриваем нули в простых случаях. Как следствие, существуют шесть возможных типов дискретных собственных значений:
Лемма 3.4. Мероморфная матрица $\mathbf M(x,t,z)$ удовлетворяет следующим условиям на вычеты: Если у $a_{11}(z)$ и $b_{22}(z)$ нет нулей, т. е. ЗРГ регулярна, однозначность ее решения эквивалентна лемме об исчезновении [34], [35]. Лемма 3.5. Предположим, что дискретный спектр отсутствует, или ЗРГ не имеет полюсов. ЗРГ, заданная формулами (3.1)–(3.7), имеет единственное решение. Однако ЗРГ, заданная формулами (3.1)–(3.15), имеет много сингулярностей. Согласно [36] ЗРГ с полюсами можно преобразовать в регулярную задачу. Данную ЗРГ тоже можно регуляризовать вычитанием главных членов асимптотического разложения и вкладов от полюсов из условий на скачок. Тогда, используя формулу Племеля [37], получим следующую теорему. Теорема 3.1. Общее решение ЗРГ имеет вид С помощью симметрий собственных функций можно упростить столбцы матрицы $\mathbf M(x,t,z)$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbf M_1(z)&=\mathbf E_{+,1}(z)+\sum_{n=1}^{\mathcal N_1} \frac{K_n\mathbf M_3(k_n)}{z-k_n}+\sum_{n=1}^{\mathcal N_2} \frac{L_n\mathbf M_2(l_n)}{z-l_n}+\frac{1}{2\pi i} \int_\Sigma\frac{\mathbf M_-(\mathbf G-\mathbf I)_1(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta, \notag \\ \mathbf M_2(z)&=\mathbf E_{+,2}(z)-\sum_{n=1}^{\mathcal N_2} \frac{L_n^*\mathbf M_1(l_n^*)}{z+\hat{l}_n^*-\hat z-{l}_n^*} +\frac{1}{2\pi i} \int_\Sigma\frac{\mathbf M_-(\mathbf G-\mathbf I)_2(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta, \notag \\ \\ \mathbf M_3(z)&=\mathbf E_{+,3}(z)-\sum_{n=1}^{\mathcal N_1} \frac{K_n^*\mathbf M_1(k_n^*)}{z-k_n^*}+\sum_{n=1}^{\mathcal N_2} \frac{iq_0L_n\mathbf M_2(l_n)}{l_n(z+\hat l_n)}+{} \notag \\ &\quad{}+\frac{1}{2\pi i} \int_\Sigma\frac{\mathbf M_-(\mathbf G-\mathbf I)_3(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta, \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
где $k_n$, $K_n$ и $l_n$, $L_n$ приводятся в приложении A.1 при $\mathcal N_1=2N_1+4N_2$ и $\mathcal N_2=N_3+2N_4+N_5+2N_6$. С помощью формулы (2.50) получим, что справедлива Теорема 3.2 (формула восстановления). Решение $\mathbf q(x,t)=(q_1(x,t),q_2(x,t))^{\mathrm T}$ уравнения фсмКдФ (1.1) с ННГУ (1.2) восстанавливается в виде 3.2. Формула следа и асимптотическая разница фазВосстановим теперь аналитические выражения для коэффициентов рассеяния в терминах данных рассеяния. Этого можно добиться, построив другую ЗРГ (см. приложение A.2). Лемма 3.6 (формула следа). Аналитические выражения для коэффициентов рассеяния $a_{11}(z)$ и $b_{22}(z)$ имеют соответственно вид Далее, сравнивая асимптотическое поведение формулы следа $a_{11}(z)$ при $z\to 0$ с результатом, представленным в (2.54a), получим
$$
\begin{equation}
\delta=(-1)^{N_3+N_5}\exp\biggl[\frac{1}{2\pi i}\int_\Sigma\frac{J(z)}{z}\,dz\biggr].
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Теперь разложим приведенный выше интегральный член на ряд интегралов
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} H_1&=\int_{-\infty}^{-q_0}\frac{J_1(z)}{z}\,dz,&\qquad I_1&=\int_{-\pi}^{-\pi/2}iJ_2(q_0e^{i\alpha})\,d\alpha, \\ H_3&=\int^0_{q_0}\frac{J_3(z)}{z}\,dz,&\qquad I_3&=\int^{\pi/2}_{\pi}iJ_4(q_0e^{i\alpha})\,d\alpha, \\ H_2&=\int^\infty_{q_0}\frac{J_1(z)}{z}\,dz, &\qquad I_2&=\int^0_{-\pi/2}iJ_2(q_0e^{i \alpha})\,d\alpha, \\ H_4&=\int^{-q_0}_0\frac{J_3(z)}{z}\,dz, &\qquad I_4&=\int^0_{\pi/2}iJ_4(q_0e^{i\alpha})\,d\alpha. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Применяя симметрии коэффициентов отражения к матрицам скачка $J_j(z)$, получим $H_1=-H_2$, $H_3=-H_4$, $I_1=-I_4$ и $I_2=-I_3$. Поэтому Следствие 3.1 (асимптотическая разница фаз). Потенциал $\mathbf q(x,t)$ имеет одинаковые граничные условия $\mathbf q_+=\mathbf q_-$ на бесконечности при четном значении $N_3+N_5$; потенциал $\mathbf q(x,t)$ имеет противоположные граничные условия $\mathbf q_+=-\mathbf q_-$ на бесконечности при нечетном значении $N_3+N_5$. 4. Безотражательный потенциал и солитонные решенияПостроим теперь потенциал $\mathbf q(x,t)$ в явном виде для случая, когда он является безотражательным, т. е. $\rho_1(z)=\rho_2(z)=\rho_3(z)=0$. В этом случае в ЗРГ отсутствует скачок при пересечении контура $\Sigma$, что позволяет найти решение $\mathbf q(x,t)$ с помощью замкнутой алгебраической системы (3.17). Теорема 4.1. В случае безотражательного потенциала решение $\mathbf q(x,t)$ уравнения фсмКдФ (1.1) с ННГУ (1.2) представимо в виде Далее сосредоточимся на солитонных решениях, соответствующих шести различным типам дискретных собственных чисел, и исследуем различные их свойства. 4.1. Солитоны типа IВ случае $N_1=1$ и $N_2=N_3=N_4=N_5=N_6=0$ возьмем дискретное собственное число и коэффициент пропорциональности в общем виде:
$$
\begin{equation*}
\xi_1=iZ,\quad a_1=e^{\xi+i(m-1)\pi},\quad Z>q_0, \quad \xi\in\mathbb R, \quad m=0,1.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя эти величины в формулу (4.1), получим односолитонное решение в явном виде:
$$
\begin{equation}
\mathbf q(x,t)=\frac{\operatorname{ch}\chi+(-1)^m\operatorname{sech}(\ln(Z/q_0))\operatorname{ch}(2\ln(Z/q_0))} {\operatorname{ch}\chi+(-1)^m\operatorname{sech}(\ln(Z/q_0))}\,\mathbf q_+,
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\chi=-\frac{q_0^6}{Z^3}t+\biggl(Z-\frac{q_0^2}{Z}\biggr)(3q_0^2t-x)+Z^3t+\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом решение полностью определяется значением $m$ и вектором $\mathbf q_+$. Некоторые примеры таких односолитонных решений, описывающих два темных и два светлых солитона, показаны на рис. 1 и рис. 2 соответственно. Подробная классификация солитонов для этого случая приведена в п. 4.7. 4.2. Солитоны типа IIВ случае $N_2=1$ и $N_1=N_3=N_4=N_5=N_6=0$ возьмем солитонные параметры в общем виде:
$$
\begin{equation*}
\omega_1=Ze^{i\theta},\quad b_1=e^{\alpha+i\beta},\quad Z>q_0, \quad\theta\in\biggl(0,\frac{\pi}{2}\biggr) \cup\biggl(\frac{\pi}{2}\,,\pi\biggr), \quad \alpha,\beta\in\mathbb R.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (4.1) получим два бризера уравнения фсмКдФ. Пример такого решения показан на рис. 3. 4.3. Солитоны типа IIIВ случае $N_3=1$ и $N_1=N_2=N_4=N_5=N_6= 0$ возьмем дискретное собственное значение и коэффициент пропорциональности в общем виде:
$$
\begin{equation*}
\eta_1=iZ, \quad c_1=e^{\eta+i(m-1)\pi}, \quad Z>q_0, \quad \eta\in\mathbb R,\quad m=0,1.
\end{equation*}
\notag
$$
Подстановка этих параметров в формулу (4.1) приводит к односолитонному решению
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, {} \mathbf q(x,t)&=-\operatorname{th}\biggl(\chi+\ln\frac{Z\sqrt{Z^2+q_0^2}}{Z^2-q_0^2}\biggr) \mathbf q_+-{} \notag \\ &\qquad{}-(-1)^m\frac{\sqrt{Z^2+q_0^2}}{Z} \operatorname{sech} \biggl(\chi+\ln\frac{Z\sqrt{Z^2+q_0^2}}{Z^2-q_0^2}\biggr)\mathbf q_+^\perp, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\chi=\frac{q_0^6}{Z^3}\,t+\frac{q_0^2}{Z}(3q_0^2t-x)+\eta.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом солитоны также полностью определяются значением $m$ и вектором $\mathbf q_+$. Некоторые примеры таких солитонов, описывающих решение вида “кинк–светлый–темный солитон”, а также “кинк–темный–светлый солитон” приведены на рис. 4 и рис. 5 соответственно. Мы называем пару солитонов типа “кинк–светлый солитон” компоненты $q_1(x,t)$ и “кинк–темный солитон” компоненты $q_2(x,t)$ просто “кинк–светлый–темный солитон” и т. д. Подробная классификация солитонов приведена в п. 4.7. 4.4. Солитоны типа IVВ случае $N_4=1$ и $N_1=N_2=N_3=N_5=N_6=0$ возьмем параметры солитона в общем виде:
$$
\begin{equation*}
z_1=Ze^{i\theta}, \quad d_1=e^{\alpha+i\beta}, \quad Z>q_0, \quad \theta\in\biggl(0,\frac{\pi}{2}\biggr)\cup\biggl(\frac{\pi}{2}\,,\pi\biggr), \quad \alpha,\beta\in\mathbb R.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (4.1) получим W(тип)–S(тип) или два бризера уравнения фсмКдФ. Соответствующие примеры таких решений показаны на рис. 6, 7. 4.5. Солитоны типа VВ случае $N_5=1$ и $N_1=N_2=N_3=N_4=N_6=0$ возьмем дискретное собственное число и коэффициент пропорциональности в общем виде:
$$
\begin{equation*}
\nu_1=iZ, \quad e_1=e^{\nu+i(m-1)\pi}, \quad Z>q_0, \quad \nu\in\mathbb R, \quad m=0,1.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя эти величины в (4.1), получим односолитонное решение в явном виде:
$$
\begin{equation}
\mathbf q(x,t)=-\operatorname{th}\biggl(\chi+\ln\frac{Z}{\sqrt{Z^2+q_0^2}}\biggr) \mathbf q_++(-1)^m\frac{\sqrt{Z^2+q_0^2}}{q_0} \operatorname{sech}\biggl(\chi+\ln\frac{Z}{\sqrt{Z^2+q_0^2}}\biggr)\mathbf q_+^\perp,
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
где Солитоны типа V похожи на солитоны типа III и также определяются параметром $m$ и вектором $\mathbf q_+$. Некоторые примеры таких солитонных решений вида “кинк–темный–темный солитон” и “кинк–светлый–светлый солитон” изображены на рис. 8 и рис. 9 соответственно. Классификация солитонов приводится в п. 4.7. 4.6. Солитоны типа VIВ случае $N_6=1$ и $N_1=N_2=N_3=N_4=N_5=0$ возьмем параметры солитона в общем виде:
$$
\begin{equation*}
\zeta_1=Ze^{i\theta}, \quad f_1=e^{\alpha+i\beta}, \quad Z>q_0, \quad \theta\in\biggl(0,\frac{\pi}{2}\biggr) \cup\biggl(\frac{\pi}{2}\,,\pi\biggr),\qquad \alpha,\beta\in\mathbb R.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (4.1) получим два бризера уравнения фсмКдФ. Пример такого решения изображен на рис. 10. 4.7. Обсуждение результатовСолитонные решения допускают асимптотическую разницу фаз, другими словами, только при нечетном $N_3+N_5$ существуют солитоны в виде кинков. Классификация дискретных собственных чисел для солитонов типов I, III и V в терминах $m$ и $\mathbf q_+$ представлена в табл. 1, 2, 3 соответственно. Кроме того, сходство солитонов типов III и V прослеживается по их аналитическим выражениям (4.6) и (4.7), а именно их светлосолитонная составляющая всегда связана с поляризацией, ортогональной поляризации темносолитонной составляющей. При этом их решения – произвольная комбинация кинка и темного солитона или кинка и светлого солитона, причем комбинация кинка и темного солитона проявляет богатую и сложную солитонную динамику в конденсатах Бозе–Эйнштейна [38], [39] и нанооптических волокнах [40]. Таким образом, мы ожидаем, что наши результаты будут полезными для развития одномерных двухкомпонентных систем конденсата Бозе–Эйнштейна. Наконец, все решения типов II, IV и VI содержат два бризера. Таблица 1.Классификация солитонов типа I.
Таблица 2.Классификация солитонов типа III.
Таблица 3.Классификация солитонов типа V.
Конечно, формула (4.1) позволяет легко воспроизвести многосолитонные решения, включая произвольную комбинацию любого числа солитонов шести типов. Например, на рис. 11 представлено взаимодействие двух пар темных солитонов, на рис. 12 – взаимодействие двух пар светлых солитонов, на рис. 13 – взаимодействие солитонов вида “кинк–темный–светлый солитон” и W(тип)–S(тип), а на рис. 14 – взаимодействие солитонов вида “кинк–темный–светлый солитон” и бризер–бризер. 5. ВыводыВ настоящей работе мы применили МОЗР к уравнению фсмКдФ с ННГУ. В задаче присутствуют три симметрии, что приводит к шести разным типам дискретных собственных значений. В итоге получено шесть соответствующих типов солитонных решений. Кроме того, проведена классификация солитонов типов I, III и V. Представлены также несколько двухсолитонных решений, обладающих интересной структурой. Следует заметить, что полученные нами решения сложнее дефокусирующего аналога из работы [19], что является результатом использования четырех фундаментальных областей аналитичности вместо двух. В частности, потребовалось привлечь четыре новые вспомогательные собственные функции и сформулировать более сложную ЗРГ с четырьмя соотношениями для скачков. Кроме того, хотя обе они имеют три симметрии, в фокусирующем случае имеется больше дискретных собственных значений, что приводит к более разнообразным решениям. В рамках МОЗР с ННГУ показано, что разница между фокусирующей системой Манакова [41] и уравнением фсмКдФ главным образом проявляется в четырех аспектах: 1) собственные функции Йоста уравнения фсмКдФ имеют три симметрии, причем всего насчитывается $4N_1+8N_2+4N_3+8N_4+4N_5+8N_6$ дискретных собственных чисел; 2) у уравнения фсмКдФ более простая асимптотическая разница фаз, которая содержит прямую информацию, характеризующую решения; 3) потенциал уравнения фсмКдФ является действительным, а формула для его точных решений компактнее; 4) уравнение фсмКдФ имеет более богатый набор солитонных решений и бризеров, среди которых пара темных и пара светлых солитонов, W(тип)–S(тип), кинки и пара бризеров. Приложение AA.1. Решение ЗРГКоэффициенты $k_n$, $K_n$ и $l_n$, $L_n$, которые появляются в теореме 3.1, определяются следующим образом:
$$
\begin{equation}
\qquad k_n=-\hat\xi^*_{n-N_1},\qquad K_n=-\frac{q_0^2}{(\xi_{n-N_1}^*)^2}A_{n-N_1}^*,
\end{equation}
\tag{A.1б}
$$
$$
\begin{equation}
\qquad k_n=-\widehat\omega_{n-2N_1-N_2}^*,\qquad K_n=-\frac{q_0^2}{(\omega_{n-2N_1-N_2}^*)^2}B_{n-2N_1-N_2}^*,
\end{equation}
\tag{A.1г}
$$
$$
\begin{equation}
\text{для}\quad n=2N_1+2N_2+1,\dots,2N_1+3N_2 \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad k_n=-\omega^*_{n-2N_1-2N_2},\qquad K_n=-B_{n-2N_1-2N_2}^*,
\end{equation}
\tag{A.1д}
$$
$$
\begin{equation}
\text{для}\quad n=2N_1+3N_2+1,\dots,\mathcal N_1 \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad k_n=\widehat\omega_{n-2N_1-3N_2},\qquad K_n=\frac{q_0^2}{\omega_{n-2N_1-3N_2}^2}B_{n-2N_1-3N_2},
\end{equation}
\tag{A.1е}
$$
$$
\begin{equation}
\qquad l_n=-\hat\eta_n,\qquad L_n=-\frac{il_n}{q_0}C_n,
\end{equation}
\tag{A.2а}
$$
$$
\begin{equation}
\qquad l_n=-\hat z_{n-N_3},\qquad L_n=-\frac{il_n}{q_0}D_{n-N_3},
\end{equation}
\tag{A.2б}
$$
$$
\begin{equation}
\qquad l_n=\hat z_{n-N_3-N_4}^*,\qquad L_n=\frac{il_n}{q_0}D_{n-N_3-N_4}^*,
\end{equation}
\tag{A.2в}
$$
$$
\begin{equation}
\text{для}\quad n=N_3+2N_4+1,\dots, N_3+2N_4+N_5 \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad l_n=\nu_{n-N_3-2N_4},\qquad L_n=E_{n-N_3-2N_4},
\end{equation}
\tag{A.2г}
$$
$$
\begin{equation}
\text{для}\quad n=N_3+2N_4+N_5+1,\dots,N_3+2N_4+N_5+N_6 \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad l_n=\zeta_{n-N_3-2N_4-N_{5}},\qquad L_n=F_{n-N_3-2N_4-N_5},
\end{equation}
\tag{A.2д}
$$
$$
\begin{equation}
\text{для}\quad n=N_3+2N_4+N_5+N_6+1,\dots,\mathcal N_2 \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad l_n=-\zeta_{n-N_3-2N_4-N_5-N_6}^*,\qquad L_n=-F_{n-N_3-2N_4-N_5-N_6}^*.
\end{equation}
\tag{A.2ж}
$$
A.2. Формула следаКоэффициенты рассеяния $a_{22}(z)$ и $b_{22}(z)$ терпят скачок при переходе через $\mathbb R$. Вспомним, что коэффициент $a_{22}(z)$ аналитичен в $\mathbb C_-$ и имеет простые нули
$$
\begin{equation*}
\{\eta_n^*,-\hat\eta_n^*\}_{n=1}^{N_3},\qquad \{z_n^*,-z_n,-\hat z_n^*,\hat z_n\}_{n=1}^{N_4},\qquad \{\nu_n^*, -\hat\nu_n^*\}_{n=1}^{N_5},\qquad \{\zeta_n^*,-\zeta_n,-\hat\zeta_n^*,\hat\zeta_n\}_{n=1}^{N_6},
\end{equation*}
\notag
$$
а $b_{22}(z)$ аналитичен в $\mathbb C_+$ и имеет простые нули
$$
\begin{equation*}
\{\eta_n,-\hat\eta_n\}_{n=1}^{N_3},\qquad \{z_n,-z_n^*,-\hat z_n,\hat z_n^*\}_{n=1}^{N_4},\qquad \{\nu_n,-\hat\nu_n\}_{n=1}^{N_5},\qquad \{\zeta_n,-\zeta_n^*,-\hat\zeta_n,\hat\zeta_n^*\}_{n=1}^{N_6}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому определим
$$
\begin{equation}
\beta(z)={} \delta b_{22}(z)\prod_{n=1}^{N_3} \frac{(z-\eta_n^*)(z+\hat\eta_n^*)}{(z-\eta_n)(z+\hat\eta_n)} \prod_{n=1}^{N_4}\frac{(z-z_n^*)(z+z_n)(z+\hat z_n^*)(z-\hat z_n)} {(z-z_n)(z+z_n^*)(z+\hat z_n)(z-\hat z_n^*)}\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\times\prod_{n=1}^{N_5} \frac{(z-\nu_n^*)(z+\hat\nu_n^*)}{(z-\nu_n)(z+\hat\nu_n)} \prod_{n=1}^{N_6} \frac{(z-\zeta_n^*)(z+\zeta_n)(z+\hat\zeta_n^*)(z-\hat\zeta_n)} {(z-\zeta_n)(z+\zeta_n^*)(z+\hat\zeta_n)(z-\hat{\zeta}_n^*)},\quad z\in\mathbb C_+,\,
\end{equation}
\tag{A.3а}
$$
$$
\begin{equation}
\beta(z)={} \delta a_{22}(z)\prod_{n=1}^{N_3} \frac{(z-\eta_n)(z+\hat\eta_n)}{(z-\eta_n^*)(z+\hat\eta_n^*)} \prod_{n=1}^{N_4} \frac{(z-z_n)(z+z_n^*)(z+\hat z_n)(z-\hat z_n^*)} {(z-z_n^*)(z+z_n)(z+\hat z_n^*)(z-\hat z_n)}\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\times\prod_{n=1}^{N_5} \frac{(z-\nu_n)(z+\hat\nu_n)}{(z-\nu_n^*)(z+\hat\nu_n^*)} \prod_{n=1}^{N_6} \frac{(z-\zeta_n)(z+\zeta_n^*)(z+\hat\zeta_n)(z-\hat\zeta_n^*)} {(z-\zeta_n^*)(z+\zeta_n)(z+\hat\zeta_n^*)(z-\hat\zeta_n)},\quad z\in\mathbb C_-.\,
\end{equation}
\tag{A.3б}
$$
Легко получить, что $\beta(z)\to 1$ при $z\to\infty$ и не имеет полюсов. Комбинируя соотношение $\beta_+(z)\beta_-(z)=a_{22}(z)b_{22}(z)$ с элементом $2,2$ тождества $\mathbf B(z)\mathbf A(z)=\mathbf I$, получим
$$
\begin{equation}
\ln\beta_+(z)+\ln\beta_-(z)=-J_0(z),\qquad z\in\mathbb R,
\end{equation}
\tag{A.4}
$$
где
$$
\begin{equation}
\beta_\pm(x,t,z) =\lim_{\substack{\acute z\to z\\ \acute z\in\mathbb C_\pm}} \beta(x,t,\acute z),\qquad z\in\mathbb R,
\end{equation}
\tag{A.5а}
$$
$$
\begin{equation}
J_0(z) =\ln\biggl[1+\gamma(z)\rho_3(z)\rho_3(-z) +\frac{z^2\gamma(z)}{q_0^2}\rho_3(\hat z)\rho_3(-\hat z)\biggr].
\end{equation}
\tag{A.5б}
$$
Далее, применяя формулу Племеля к (A.4), получим
$$
\begin{equation}
\beta(z)=\exp\biggl[-\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathbb R} \frac{J_0(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta\biggr],\qquad z\in\mathbb C_+.
\end{equation}
\tag{A.6}
$$
Первая часть доказательства завершается подстановкой (A.6) в (A.3а). Вспомним, что $a_{11}(z)$, $b_{11}(z)$, $b_{33}(z)$ и $a_{33}(z)$ аналитичны в областях $D_1$, $D_2$, $D_3$ и $D_4$ соответственно. Поэтому задачу можно решить, задав ЗРГ, как в п. 3.1. Взяв условия на скачки в качестве прорывного места, из тождества $\mathbf B(z)\mathbf A(z)=\mathbf I$ получим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, b_{31}(z)a_{13}(z)+b_{32}(z)a_{23}(z)+b_{33}(z)a_{33}(z)&=1, \\ b_{11}(z)a_{11}(z)+b_{12}(z)a_{21}(z)+b_{13}(z)a_{31}(z)&=1, \end{aligned}\\ \begin{aligned} \, b_{22}(z)&=a_{11}(z)a_{33}(z)-a_{31}(z)a_{13}(z), \\ a_{22}(z)&=b_{11}(z)b_{33}(z)-b_{31}(z)b_{13}(z). \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $b_{22}(z)$ и $a_{22}(z)$ входят в последние два соотношения соответственно. Таким образом, формула следа $a_{11}(z)$ связана с дискретными собственными значениями типов III и IV. Переосмыслив определение ориентированного контура $\Sigma$, мы, таким образом, определим
$$
\begin{equation}
\tilde{\beta}(z)={} a_{11}(z)\prod_{n=1}^{N_1} \frac{(z-\xi_n^*)(z+\hat\xi_n)}{(z-\xi_n)(z+\hat\xi_n^*)} \prod_{n=1}^{N_2} \frac{(z-\omega_n^*)(z+\omega_n)(z+\widehat\omega_n)(z-\widehat\omega_n^*)} {(z-\omega_n)(z+\omega_n^*)(z+\widehat\omega_n^*)(z-\widehat\omega_n)} \prod_{n=1}^{N_3}\frac{z+\hat\eta_n^*}{z+\hat\eta_n}\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\times\prod_{n=1}^{N_4} \frac{(z+\hat z_n^*)(z-\hat z_n)}{(z+\hat z_n)(z-\hat z_n^*)} \prod_{n=1}^{N_5}\frac{z-\nu_n^*}{z-\nu_n} \prod_{n=1}^{N_6} \frac{(z-\zeta_n^*)(z+\zeta_n)}{(z-\zeta_n)(z+\zeta_n^*)},\quad z\in D_1,
\end{equation}
\tag{A.7а}
$$
$$
\begin{equation}
\tilde\beta(z)={} b_{11}(z)\prod_{n=1}^{N_1} \frac{(z-\xi_n)(z+\hat\xi_n^*)}{(z-\xi_n^*)(z+\hat\xi_n)} \prod_{n=1}^{N_2} \frac{(z-\omega_n)(z+\omega_n^*)(z+\widehat\omega_n^*)(z-\widehat\omega_n)} {(z-\omega_n^*)(z+\omega_n)(z+\widehat\omega_n)(z-\widehat\omega_n^*)} \prod_{n=1}^{N_3}\frac{z+\hat\eta_n}{z+\hat\eta_n^*}\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\times\prod_{n=1}^{N_4} \frac{(z+\hat z_n)(z-\hat z_n^*)}{(z+\hat z_n^*)(z-\hat z_n)} \prod_{n=1}^{N_5}\frac{z-\nu_n}{z-\nu_n^*} \prod_{n=1}^{N_6} \frac{(z-\zeta_n)(z+\zeta_n^*)}{(z-\zeta_n^*)(z+\zeta_n)},\quad z\in D_2,
\end{equation}
\tag{A.7б}
$$
$$
\begin{equation}
\tilde\beta(z)={} \delta b_{33}(z)\prod_{n=1}^{N_1} \frac{(z-\xi_n^*)(z+\hat\xi_n)}{(z-\xi_n)(z+\hat\xi_n^*)} \prod_{n=1}^{N_2} \frac{(z-\omega_n^*)(z+\omega_n)(z+\widehat\omega_n)(z-\widehat\omega_n^*)} {(z-\omega_n)(z+\omega_n^*)(z+\widehat\omega_n^*)(z-\widehat\omega_n)} \prod_{n=1}^{N_3}\frac{z-\eta_n}{z-\eta_n^*}\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\times\prod_{n=1}^{N_4}\frac{(z+z_n^*)(z-z_n)}{(z+z_n)(z-z_n^*)} \prod_{n=1}^{N_5}\frac{z+\hat{\nu}_n}{z+\hat{\nu}_n^*} \prod_{n=1}^{N_6} \frac{(z+\hat{\zeta}_n)(z-\hat{\zeta}_n^*)} {(z+\hat{\zeta}_n^*)(z-\hat{\zeta}_n)},\quad z\in D_3,
\end{equation}
\tag{A.7в}
$$
$$
\begin{equation}
\tilde\beta(z)={} \delta a_{33}(z)\prod_{n=1}^{N_1} \frac{(z-\xi_n)(z+\hat\xi_n^*)}{(z-\xi_n^*)(z+\hat\xi_n)} \prod_{n=1}^{N_2} \frac{(z-\omega_n)(z+\omega_n^*)(z+\widehat\omega_n^*)(z-\widehat\omega_n)} {(z-\omega_n^*)(z+\omega_n)(z+\widehat\omega_n)(z-\widehat\omega_n^*)} \prod_{n=1}^{N_3}\frac{z-\eta_n^*}{z-\eta_n}\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\times\prod_{n=1}^{N_4}\frac{(z+z_n)(z-z_n^*)}{(z+z_n^*)(z-z_n)} \prod_{n=1}^{N_5}\frac{z+\hat\nu_n^*}{z+\hat\nu_n} \prod_{n=1}^{N_6} \frac{(z+\hat\zeta_n^*)(z-\hat\zeta_n)} {(z+\hat\zeta_n)(z-\hat\zeta_n^*)},\quad z\in D_4.
\end{equation}
\tag{A.7г}
$$
Таким образом, функция $\tilde\beta(z)\to 1$ при $z\to\infty$ и не имеет полюсов. При этом выполняются следующие условия на скачки:
$$
\begin{equation}
\ln\tilde\beta_+(z)+\ln\tilde\beta_-(z)=J(z),\quad z\in\Sigma,
\end{equation}
\tag{A.8}
$$
где матрицы скачков $J_j(z)=J(z)|_{z\in\Sigma_j}$ имеют вид
$$
\begin{equation}
J_1(z) =-\ln\biggl[1+\frac{1}{\gamma(z)}\rho_1(z)\rho_1(-z) +\rho_2(z)\rho_2(-z)\biggr], \qquad z\in\Sigma_1,
\end{equation}
\tag{A.9а}
$$
$$
\begin{equation}
J_2(z) =\frac{1}{2\pi i} \int_{\mathbb R}\frac{J_0(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta -\ln[1-\rho_2(-z)\rho_2(\hat z)], \qquad z \in \Sigma_2,
\end{equation}
\tag{A.9б}
$$
$$
\begin{equation}
J_3(z) =-\ln\biggl[1+\frac{q_0^2}{z^2\gamma(z)}\rho_1(\hat z)\rho_1(-\hat z) +\rho_2(\hat z)\rho_2(-\hat z)\biggr], \qquad z\in\Sigma_3,
\end{equation}
\tag{A.9в}
$$
$$
\begin{equation}
J_4(z) =-\frac{1}{2\pi i} \int_{\mathbb R}\frac{J_0(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta -\ln[1-\rho_2(-\hat z)\rho_2(z)], \qquad z\in\Sigma_4.
\end{equation}
\tag{A.9г}
$$
Применяя формулу Племеля к (A.8), получим решение ЗРГ следующего вида:
$$
\begin{equation}
\tilde\beta(z)=\exp\biggl[\frac{1}{2\pi i} \int_\Sigma\frac{J(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta\biggr],\qquad z\in D_1\cup D_3.
\end{equation}
\tag{A.10}
$$
Подставляя найденный результат в (A.7а), получим (3.19a). Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ma24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|