| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Новые решаемые двухматричные модели и тау-функция иерархии BКП Е. Н. Антоновa, А. Ю. Орловbc a Петербургский институт ядерной физики им. Б.П. Константинова, Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт" b Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, Москва, Россия c Институт океанологии им. П. П. Ширшова Российской академии наук, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923120012 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеНастоящая статья инициирована исследованиями обобщенной модели Концевича в работе [1] и последующими дискуссиями с авторами этой работы. Ряд теории возмущений для статистической суммы данной модели записывается в компактном виде как сумма пар проективных функций Шура по строгим разбиениям. Затем последовала работа [2], где аналогичные ряды появились для другой модели, а именно модели Брезена–Гросса–Виттена. Источники интереса к рядам по проективным функциям Шура можно найти в работах [2]–[11]. Также имеется несколько более ранних работ из этой серии [12]–[17]. О проективных функциях Шура и теории представлений суперсимметрической группы $q(N)$ и симметрической группы $S_n$ см. в [18]–[21]. Каким образом эти функции возникают в интегрируемых моделях, было описано в статьях [22] и [23]. Если матричный интеграл представляет собой тау-функцию, зависящую от своих констант связи, мы называем его решаемым. Насколько нам известно, первая решаемая (в этом смысле) матричная модель была представлена в статье [24]; другие примеры см. в [25]–[27], следует также отметить работу [28]. Здесь мы представляем и сравниваем два семейства решаемых матричных интегралов. Второе семейство является совершенно новым и связано с иерархией Кадомцева–Петвиашвили с системой корней типа B (иерархией BКП), которая была введена в [29]). 2. Модели с двумя унитарными матрицамиОбобщенная модель с двумя унитарными матрицамиВ работах [30] изучался следующий интеграл по двум унитарным матрицам:
$$
\begin{equation}
I_1(\mathbf t,\mathbf t^*)=C\int_{\mathbb{U}_N\times\mathbb{U}_N} \exp\biggl\{c\, \operatorname{tr} (U_1^{-1}U_2^{-1})+\sum_{n>0}\frac{1}{n}(t_n^{} \operatorname{tr} U_1^n+t^*_n \operatorname{tr} U_2^n)\biggr\}\,d_*U^{}_1\,dU_2^*.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Здесь $d_*U$ – мера Хаара на унитарной группе $\mathbb{U}_N$,
$$
\begin{equation*}
d_*U=\frac{1}{(2\pi)^N}\prod_{1\leqslant i<k\leqslant N}|e^{\theta_i}-e^{\theta_k}|^2\prod_{i=1}^N d\theta_i,\qquad -\pi<\theta_1<\cdots <\theta_N\leqslant\pi,
\end{equation*}
\notag
$$
где $e^{\theta_1},\ldots,e^{\theta_N}$ – собственные значения матрицы $U\in \mathbb{U}_N$. Число $c$ и наборы параметров $\mathbf t=(t_1,t_2,\ldots)$, $\mathbf t^*=(t_1^*,t_2^*,\ldots)$ играют роль констант связи модели (1), а $C$ – нормировочная постоянная, $CI(0,0)=1$. Известно, что интеграл $I_1$ можно явно записать в виде ряда по разбиениям для полиномов Шура как функций от констант связи:
$$
\begin{equation}
I_N(\mathbf t,\mathbf t^*)=\sum_\lambda s_\lambda(\mathbf t)s_\lambda(\mathbf t^*)\prod_{(i,j)\in\lambda}\frac{c}{(N-i+j)!},
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $(i,j)$ – координаты узла диаграммы Юнга $\lambda$. Суммирование пробегает все диаграммы Юнга высоты, не превосходящей $N$, т. е. $j=1,2,\ldots$ и $i\leqslant N$. Можно показать, что этот ряд является одним из примером тау-функций иерархии КП, также известных как гипергеометрические тау-функции [27], [31], которые допускают относительно простые детерминантные формы записи. Модифицированное семействоВ работе [32] (см. также приложение A в [33]) было введено следующее обобщение интеграла (1): в слагаемом, отвечающем за взаимодействие матриц $U_1$ и $U_2$, сделана замена
$$
\begin{equation}
e^{c\, \operatorname{tr} U^{-1}_1U^{-1}_2}\,\to\,\tau(N;c\,U^{-1}_1U^{-1}_2;f),
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $\tau(c\,U^{-1}_1U^{-1}_2;f)$ определяется в зависимости от выбора функции $f$ как
$$
\begin{equation}
\tau(N; c\,U^{-1}_1U^{-1}_2;f):=\sum_{\lambda}\prod_{i<j\leqslant N}(\lambda_i-\lambda_j-i+j)s_\lambda(c\,U^{-1}_1U^{-1}_2) \prod_{i\leqslant N}f(\lambda_i-i+N).
\end{equation}
\tag{4}
$$
Например,
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \text{если}&\quad f(x)=\frac{1}{\Gamma(x+1)},&\quad\text{то}\quad& \tau(N;c\,U^{-1}_1U^{-1}_2;f)=e^{c\, \operatorname{tr} (U_1^{-1}U_2^{-1})}, \\ \text{если}&\quad f(x)=\frac{\Gamma(x+a)}{\Gamma(a)\Gamma(x+1)},&\quad\text{то}\quad& \tau(N;c\,U^{-1}_1U^{-1}_2;f)=\det(1-c\,U_1^{-1}U_2^{-1})^{-a}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Замечательным свойством тау-функции (4) является ее детерминантное представление:
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{U}_N}\tau(c\,UU^{-1}_1U^{-1}U^{-1}_2;f)\,d_*U= \frac{\det[\tau(1;cu^{-1}_iv^{-1}_j;f)]_{i,j\leqslant N}}{\prod_{i<j\leqslant N}(u^{-1}_i-u^{-1}_j)(v^{-1}_i-v^{-1}_j)},
\end{equation}
\tag{5}
$$
где
$$
\begin{equation}
\tau(1;cu^{-1}v^{-1};f)]=1+f(1)u^{-1}v^{-1}+f(2)u^{-2}v^{-2}+\cdots.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Это представление позволяет записать ряд теории возмущений для обобщенной модели в виде еще одного матричного интеграла
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_N(\mathbf t,\mathbf t^*;f)&= C\int_{\mathbb{U}_N\times\mathbb{U}_N}\kern-8pt\tau(N;c\,U^{-1}_1U^{-1}_2;f) \exp\biggl\{\,\sum_{n>0}\frac{1}{n}(t_n^{} \operatorname{tr} U_1^n+t^*_n \operatorname{tr} U_2^n)\biggr\}\,d_*U^{}_1\,dU_2^*=\nonumber\\ &=\sum_{\lambda\colon\ell(\lambda)\leqslant N}s_\lambda(\mathbf t)s_\lambda(\mathbf t^*)\prod_{i}f(\lambda_i-i+N)c^{\lambda_i}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
$$
который представляет собой тау-функцию цепочки Тоды [34]–[37], он был введен в [27] и тщательно изучался в [38]. В работе [33] интеграл (7) был записан как фермионное вакуумное среднее. В конце настоящей работы представлены линейные уравнения (иногда называемые струнными) для интегралов (1) и (7).
3. Новые модели с двумя унитарными матрицамиРассмотрим следующую модель, являющуюся модификацией упомянутых выше:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &J_N(\mathbf p^{(1)},\mathbf p^{(2)})= \nonumber\\ &\;=C_N\int_{\mathbb{U}_N\times\mathbb{U}_N}\kern-10pt \exp\biggl\{c\, \operatorname{tr} (U_1^{-2}U_2^{-2})+\sum_{n\in\mathbb{Z}^{+}_{\text{odd}}}\frac{2}{n}(p^{(1)}_n \operatorname{tr} U_1^n+p^{(2)}_n \operatorname{tr} U_2^n)\biggr\}\, d\mu_1(U^{}_1)\,d\mu_2(U^{}_2), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
где суммирование по $n\in\mathbb{Z}^{+}_{\text{odd}}$ означает, что $n=1,3,\ldots{}$, и
$$
\begin{equation*}
d\mu_i(U)=\det(U^{-(N^2-N)/2+\kappa_i})\,d_*U_i,\qquad i=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Для простоты мы положим $\kappa_1=\kappa_2=0$ (хотя все приведенные ниже расчеты можно воспроизвести и для $\kappa_i\neq 0$, но в этом случае все формулы заметно более громоздкие). Константа $C_N$ выбрана так, чтобы обеспечить нормировку $J_N(0,0)=1$. Роль констант связи в этой модели играют $\mathbf p^{(1)}=(p^{(1)}_1,p^{(1)}_3,\ldots)$ и $\mathbf p^{(2)}=(p^{ (2)}_1,p^{(2)}_3,\ldots)$. Для изучения модели (8) мы применяем соотношение Хариш-Чандры–Ициксона–Зюбера
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{U}_N} e^{ \operatorname{tr} (UAU^{-1}B)}\,d_*U=\frac{\det[e^{a_kb_l}]_{1\leqslant k,l\leqslant N}}{\prod_{k<l}(a_k-a_l)(b_k-b_l)},
\end{equation}
\tag{9}
$$
где $a_i$ и $b_i$, $i=1,\ldots,N$, – собственные значения матриц $A$ и $B$. Перепишем $J_N$ как интеграл по собственным значениям, а также используем симметричность подынтегральной функции, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J_N(\mathbf p^{(1)},\mathbf p^{(2)})&=\widetilde C_N \oint\ldots\oint\prod_{i<j}\frac{(u_i-u_j)(v_i-v_j)}{(u_i+u_j)(v_i+v_j)}\times{} \nonumber\\ &\quad\times \prod_{i=1}^N\exp\biggl\{c\, \operatorname{tr} (u_i^{-2}v_i^{-2})+\sum_{n\in\mathbb{Z}^{+}_{\text{odd}}}\frac{2}{n}(p^{(1)}_nu_i^n+p^{(2)}_nv_i^n)\biggr\} \frac{du_i}{u_i}\frac{dv_i}{v_i}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10}
$$
Здесь мы учли соотношение (9) и явный вид меры Хаара $\mathbb{U}_N$, которая содержит множители
$$
\begin{equation*}
d_*U_1\sim\prod_{i<j} |u_i-u_j|^2\prod_k\frac{du_k}{u_k},\qquad d_*U_2\sim\prod_{i<j}|v_i-v_j|^2\prod_k\frac{dv_k}{v_k}.
\end{equation*}
\notag
$$
На следующем шаге используем аналог соотношения Коши–Литтлвуда [39]
$$
\begin{equation}
\exp\biggl\{\sum_{n\in\mathbb{Z}^{+}_{\text{odd}}}\frac{2}{n} p_n \operatorname{tr} (X^n)\biggr\}= \sum_{\substack{\alpha\in\mathrm{DP},\\ \ell(\alpha)\leqslant N}}Q_\alpha(\mathbf p)Q_\alpha(\mathbf p(X)) \prod_{i=1}^{\ell(\alpha)} 2^{-\alpha_i},
\end{equation}
\tag{11}
$$
где $X$ – матрица, а $Q_\alpha$ – так называемая проективная функция Шура (см. приложение А), которая является полиномом от переменных $p_1,p_3,\ldots{}$ с мультииндексом
$$
\begin{equation*}
\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k),\qquad\alpha_1>\cdots>\alpha_k\geqslant 0,\qquad k=1,2,\ldots{}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Такой набор $\alpha$ называется строгим разбиением, и множество всех строгих разбиений (или, что то же самое, множество диаграмм Юнга с различными длинами строк $\alpha_1>\alpha_2>\cdots$) мы обозначаем через $\mathrm{DP}$, как в работе [39]. Обозначение $Q_\alpha(\mathbf p(X))$ говорит о том, что $p_1,p_3,\ldots$ не являются свободными параметрами, а выбираются равными ньютоновским суммам собственных значений матрицы $X$,
$$
\begin{equation*}
p_n=p_n(X):= \operatorname{tr} (X^n),\qquad n=1,3,\ldots{}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, полином $Q_\alpha(\mathbf p(X))$ – это симметричная функция от собственных значений матрицы $X$. Для простоты будем писать $Q_\alpha(X)$ вместо $Q_\alpha(\mathbf p(X))$, имея в виду, что матрица всегда обозначается заглавной буквой. Можно доказать (см. приложение Б), что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{1}{(2\pi i)^{2N}}\oint\ldots\oint& Q_\alpha(U_1)Q_\beta(U_2) \prod_{i<j}\frac{(u_i-u_j)(v_i-v_j)}{(u_i+u_j)(v_i+v_j)}\prod_{i=1}^N 2^{cu_i^{-2}v_i^{-2}}\frac{du_i}{u_i}\frac{dv_i}{v_i}=\nonumber\\ &=\begin{cases}\displaystyle \delta_{\alpha,\beta}\,2^{2\ell(\alpha)}\prod_{i=1}^{\ell(\alpha)}\frac{c^{\alpha_i}}{(\alpha_i/2)!}, & \text{если все}\;\,\alpha_i\;\,\text{четные}, \\ 0& \text{в остальных случаях}. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
Из соотношений (10)–(12) получаем
$$
\begin{equation}
J_N(\mathbf p^{(1)},\mathbf p^{(2)})= \sum_{\substack{\alpha\in\mathrm{DP},\\ \ell(\alpha)\leqslant N}}Q_{2\alpha}(\mathbf p^{(1)})Q_{2\alpha}(\mathbf p^{(2)}) \prod_{i=1}^{\ell(\alpha)} c^{2\alpha_i} f(\alpha_i),\qquad f(\alpha_i)=\frac{1}{\alpha_i!}
\end{equation}
\tag{13}
$$
(ср. с интегралом (1)). Ряд в правой части можно получить предельным переходом из гипергеометрической тау-функции иерархии BKP, изучавшейся в [13]. Если, используя замену (3), обобщить интеграл (8) как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J_N(\mathbf p^{(1)},\mathbf p^{(2)};f)=C&\int_{\mathbb{U}_N\times\mathbb{U}_N}\tau(N;c\,U_1^{-2}U^{-2}_2;f)\times{} \nonumber\\ &\times\exp\biggl\{\sum_{n\in\mathbb{Z}^{+}_{\text{odd}}}\frac{2}{n}(p_n^{(1)} \operatorname{tr} U_1^n+p^{(2)}_n \operatorname{tr} U_2^n)\biggr\}\,d\mu_1(U_1)\,d\mu_2(U_2), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
то мы получим (13). Фермионная форма большой статистической суммыБольшая статистическая сумма для модели (13) записывается как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J(\mathbf p^{(1)},\mathbf p^{(2)},\zeta)&=\sum_N J_N(\mathbf p^{(1)},\mathbf p^{(2)})\zeta^N= \nonumber\\ &=\sum_N \zeta^N\sum_{\substack{\alpha\in\mathrm{DP},\\ \ell(\alpha)\leqslant N}}Q_{2\alpha}(\mathbf p^{(1)})Q_{2\alpha}(\mathbf p^{(2)}) \prod_{i=1}^{\ell(\alpha)}\frac{c^{2\alpha_i}}{\alpha_i!}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
где мы подставили формулы (13) в модель (8). Этот ряд можно записать как фермионное вакуумное среднее:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, J(\mathbf p^{(1)},\mathbf p^{(2)},\zeta)=\langle 0|\mathbb{T}e^{\zeta F(\mathbf p^{(1)},\mathbf p^{(2)})}|0\rangle, \\ F(\mathbf p^{(1)},\mathbf p^{(2)})=-\frac{1}{4\pi^2} \oint\!\oint e^{cu^{-2}v^{-2}}\phi^{(1)}(u,\mathbf p^{(1)})\phi^{(2)}(v,\mathbf p^{(2)})\frac{du\,dv}{uv}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{16}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\phi^{(i)}(\mathbf p,z)=\exp\biggl\{\sum_{n\in\mathbb{Z}^{+}_{\text{odd}}}\frac{1}{n} p_n z^n\biggr\}\phi^{(i)}(z),\qquad i=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
являются нейтральными фермионами,
$$
\begin{equation}
[\phi^{(i)}(z_1),\phi^{(i)}(z_2)]_{+}=\sum_{n\in\mathbb{Z}_{\text{odd}}}(-1)^n\frac{z_1^n}{z_2^n},\qquad [\phi^{(1)}(z_1),\phi^{(2)}(z_2)]_{+}=0
\end{equation}
\tag{17}
$$
(ферми-поля $\phi^{(i)}(z,\mathbf p)$ подчиняются тем же фермионным соотношениям). Символ $\mathbb{T}$ в (16) обозначает хронологическое упорядочение фермионов, действующих в двумерном евклидовом пространстве, в ряде Тейлора для экспоненты (модули аргументов упорядочиваются как $|z_a|>|z_b|$, когда $\phi^{(i)}(z_a)$ стоит слева от $\phi^{(i)}(z_a)$, и учитывается знаковый множитель). Далее мы не будем писать символ $\mathbb{T}$, помня, что такое упорядочение является хорошо известной стандартной процедурой. Выражение для интеграла в (16) весьма похоже на вакуумное cреднее для суммы инстантонов Фатеева–Фролова–Шварца в $\sigma$-модели, представленное в [40]. Ферми-моды, определяемые как $\phi^{(i)}(z)=\sum_{j\in\mathbb{Z}}\phi^{(i)}_j z^j$, удовлетворяют соотношению
$$
\begin{equation}
[\phi^{(i_1)}_{j_a},\phi^{(i_2)}_{j_b}]_{+}=(-1)^{j_a}\delta_{i_1,i_2}\,\delta_{j_a+j_b}.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Заметим, что $F(0,0)=\sum_{i\in\mathbb{Z}}\phi^{(1)}_{2i}\phi^{(2)}_{2i}/i!$ . Далее мы применяем подход Каца–ван де Лёра [41], согласно которому вакуумные векторы выбираются в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} \phi^{(i)}_0|0\rangle&=\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle,&\quad& \langle 0|\phi^{(i)}_0=\frac{1}{\sqrt{2}}\langle 0|,&\qquad &i=1,2, \\ \phi_n|0\rangle&=0,&\quad &\langle 0|\phi_{-n}=0,&\qquad &n<0. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Это означает, что
$$
\begin{equation}
\langle 0|\phi(z,\mathbf p)|0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\biggl\{\sum_{n\in\mathbb{Z}^{+}_{\text{odd}}}\frac{2}{n}p_n z^n\biggr\},
\end{equation}
\tag{19}
$$
и для любых $N=1,2,\ldots{}$ мы получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \langle 0|\phi^{(i)}(z_1,\mathbf p)\ldots\phi^{(i)}(z_N,\mathbf p)|0\rangle&= 2^{N/2}\prod_{i<j\leqslant N}\frac{z_i-z_j}{z_i+z_j}\exp\biggl\{\sum_{m\in\mathbb{Z}^{+}_{\text{odd}}}\sum_{i=1}^N\frac{2}{m}p_m z_i^m\biggr\}= \nonumber\\ &=2^{N/2}\prod_{i<j\leqslant N}\frac{z_i-z_j}{z_i+z_j} \sum_{\substack{\alpha\in\mathrm{DP},\\ \ell(\alpha)\leqslant N}}2^{-\ell(\alpha)}Q_\alpha(\mathbf p)Q_\alpha(Z), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
где $z_1,\ldots,z_N$ – собственные значения ($N\times N$)-матрицы $Z$. Первый множитель в правой части (20) получается из теоремы Вика, а второй множитель – из (11). Этот результат восходит к работе [22], которая, в свою очередь, опиралась на работу [29]. Вакуумное среднее (16) является примером двухкомпонентной тау-функции иерархии BКП, введенной в [29], [41]. Из этого утверждения дополнительно следуют билинейные уравнения (или, что то же самое, уравнения Хироты) для интеграла (8). Уравнения Хироты для тау-функции двухкомпонентной иерархии BКП можно найти в [41]. Большая статистическая сумма (16) является решением этих билинейных уравнений, как и любая другая тау-функция иерархии BКП. Если выбрать условия связи в виде линейных дифференциальных уравнений, получается специальная тау-функция (см. ниже пункт, посвященный струнным уравнениям). Нейтральные ферми-поля $\phi^{i}(z)$ можно реализовать как антикоммутирующие операторы $V(z,\hat{\mathbf p}^{(i)})$, действующие в бозонном фоковском пространстве $\mathcal F$, которое образовано полиномами от переменных $\mathbf p^{(1)},\mathbf p^{(2)}$, умноженных на $(1+\eta_1)(1+\eta_2)/2$, где $\eta_i$, $i=1,2$, – грассмановы числа: $\eta_i^2=0$. (Правый) вакуумный вектор есть $(1+\eta_1)(1+\eta_2)/2$, операторы рождения суть $p^{(1)}_n$ и $p^{(2)}_n$ с нечетными $n$, а операторы уничтожения равны производным $n\partial_{p^{(1)}_n}$ и $n\partial_{p^{(2)}_n}$. Введем вершинный оператор [41]
$$
\begin{equation}
V(z,\hat{\mathbf p}^{(i)})=\frac{\eta_i+\partial/\partial\eta_i}{\sqrt{2}} \exp\biggl\{\sum_{m\in\mathbb{Z}^+_{\text{odd}}}\frac{2}{m}z^m p^{(i)}_m\biggr\} \exp\biggl\{-\sum_{m\in\mathbb{Z}^+_{\text{odd}}}z^{-m}\frac{\partial}{\partial p^{(i)}_m}\biggr\},
\end{equation}
\tag{21}
$$
где $|z|=1$. Символом $\hat{\mathbf p}^{(i)}$ здесь обозначен двойной набор переменных
$$
\begin{equation}
\eta_i,p^{(i)}_1,p^{(i)}_3,p^{(i)}_5,\ldots,\quad \frac{\partial}{\partial \eta_i},\frac{\partial}{\partial p^{(i)}_1},\frac{\partial}{\partial p^{(i)}_3},\,\ldots{}\,.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Можно проверить, что оператор $V^{(i)}(z)$ удовлетворяет соотношениям (17). Формулы бозонизации приводят к следующему представлению для $J(\mathbf p,\mathbf p^*,\zeta)$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, J(\mathbf p^{(1)},\mathbf p^{(2)},\zeta)=g^{\mathrm B}(\hat{\mathbf p}^{(1)},\hat{\mathbf p}^{(2)},\zeta)\cdot 1, \\ g^{\mathrm B}(\hat{\mathbf p}^{(1)},\hat{\mathbf p}^{(2)},\zeta)= \exp\biggl\{\zeta\oint\!\oint e^{cu^{-2}v^{-2}}V(u,\hat{\mathbf p}^{(1)})V(v,\hat{\mathbf p}^{(2)})\frac{du\,dv}{uv}\biggr\}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{23}
$$
Струнные уравненияДалее мы используем алгебру $W^B_{1+\infty}$, общие сведения о которой можно найти в [42], [43]. Следуя стандартной процедуре, можно разложить произведение двух вершинных операторов по генераторам алгебры $W^B_{1+\infty}$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{1}{2}V(ze^{y/2},\hat{\mathbf p})&V(-ze^{-y/2},\hat{\mathbf p})-\frac{1}{2}\frac{1+e^{-y}}{1-e^{-y}}= \frac{1}{4}\frac{e^y+1}{e^y-1}\bigl( \,\mathopen{\vdots\kern1pt} \kern1pt e^{\theta(ze^{y/2})+\theta(-ze^{-y/2})}\kern1pt \mathclose{\kern1pt\vdots}\, -1\bigr)= \nonumber\\ &=\frac{1}{4}\frac{e^y+1}{e^y-1} \sum_{k>0}\frac{1}{k!}\, \,\mathopen{\vdots\kern1pt} \biggl(\,\sum_{m\in\mathbb{Z}_{\text{odd}}}\theta_m(\hat{\mathbf p})z^m(e^{my/2}-e^{-my/2})\biggr)^{\!k} \mathclose{\kern1pt\vdots}\, = \nonumber\\ &=\sum_{\substack{m\in\mathbb{Z},\\ n\geqslant 0}}\frac{1}{n!}y^nz^m\Omega_{\mathrm B}(m,n,\hat{\mathbf p}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
$$
где $ \,\mathopen{\vdots\kern1pt} \,a\, \mathclose{\kern1pt\vdots}\, $ означает бозонное нормальное упорядочение (все производные $\partial_{p_i}$ стоят справа от $p_i$) и
$$
\begin{equation*}
2\theta(z,\hat{\mathbf p}):= \sum_{m\in\mathbb{Z}^+_{\text{odd}}}\frac{2}{m}z^m p_m- \sum_{m\in\mathbb{Z}^+_{\text{odd}}}z^{-m}\frac{\partial}{\partial p_m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эквивалентно мы можем записать равенство
$$
\begin{equation}
\Omega_{\mathrm B}(m,n,\hat{\mathbf p})=- \mathop{\rm res}\limits _z V(-z,\hat{\mathbf p}) z^{-m/2}(D^n z^{-m/2}V(z,\hat{\mathbf p}))\frac{dz}{z},\qquad D=z\frac{\partial}{\partial z}.
\end{equation}
\tag{25}
$$
Как видно, $\Omega_{\mathrm B}(m,n,\hat{\mathbf p})$ обращается в нуль, когда $n$ и $m$ имеют одинаковую четность. В других случаях, в частности, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Omega_{\mathrm B}(0,1,\hat{\mathbf p})&=\sum_{n>0} n p_n\partial_n, \\ \Omega_{\mathrm B}(0,3,\hat{\mathbf p})&=\frac{1}{2} \sum_{n>0} n^3 p_n\partial_n+\frac{1}{2}\sum_{n>0} n p_n\partial_n+{} \\ &\kern-16pt+4\sum_{n_1,n_2,n_3\in\mathbb{Z}^{+}_{\text{odd}}}p_{n_1}p_{n_2}p_{n_3}(n_1+n_2+n_3)\partial_{n_1+n_2+n_3}+{} \\ &\kern-16pt+3\sum_{n_1+n_2=n_3+n_4\in\mathbb{Z}^{+}_{\text{odd}}} p_{n_1}p_{n_2} n_3n_4\partial_{n_3}\partial_{n_4}+ \sum_{n_1,n_2,n_3\in\mathbb{Z}^{+}_{\text{odd}}} p_{n_1+n_2+n_3}\partial_{n_1}\partial_{n_2}\partial_{n_3}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Фермионный аналог формулы (24) намного проще:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{1}{2} \,\mathopen{:\kern1pt} \phi(ze^{y/2})\phi(-ze^{-y/2}) \mathclose{\kern1pt :}\, &= \frac{1}{2}\sum_{m,j\in\mathbb{Z}}z^m e^{y(m+2j)/2}(-1)^j \,\mathopen{:\kern1pt} \phi_{m+j}\phi_{-j} \mathclose{\kern1pt :}\, = \nonumber\\ &=\sum_{\substack{m\in\mathbb{Z},\\ n\geqslant 0}}\frac{1}{n!}y^n z^m \Omega_{\mathrm F}(m,n), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{26}
$$
где $ \,\mathopen{:\kern1pt} a \mathclose{\kern1pt :}\, $ обозначает фермионное нормальное упорядочение (в формуле (26) можно заменить все $ \,\mathopen{:\kern1pt} a \mathclose{\kern1pt :}\, $ на $a-\langle 0|a|0\rangle$). Опять же, как видно из левой части этой формулы, $\Omega_{\mathrm F}(m,n)=0$, когда $n$ и $m$ имеют одинаковую четность. Получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Omega_{\mathrm F}(m,n)&=\frac{1}{2} \sum_{j\in\mathbb{Z}}\biggl(\frac{m}{2}+j\biggr)^{\!n}(-1)^j \,\mathopen{:\kern1pt} \phi_{m+j}\phi_{-j} \mathclose{\kern1pt :}\, = \nonumber\\ &= \mathop{\rm res}\limits _z\bigl(z^{-m/2}D^n z^{-m/2}\phi(z)\bigr)\phi(-z)\frac{dz}{z},\qquad D=z\frac{\partial}{\partial z}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{27}
$$
Среди операторов (27) имеются операторы Вирасоро, фермионная форма которых записывается как
$$
\begin{equation}
L^{\mathrm F}_{m}:=\Omega_{\mathrm F}(-2m,1)= \frac{1}{2} \sum_{j\in\mathbb{Z}}(j-m)(-1)^j\phi_{j-2m}\phi_{-j},
\end{equation}
\tag{28}
$$
при этом
$$
\begin{equation}
\Omega_{\mathrm F}(0,n)=\frac{1}{2}\sum_{j\in\mathbb{Z}}(-1)^j j^n \,\mathopen{:\kern1pt} \phi_{j}\phi_{-j} \mathclose{\kern1pt :}\, = \sum_{j\in\mathbb{Z}^{+}}(-1)^j j^n\phi_{j}\phi_{-j},\qquad n=1,3,\ldots{}\,.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Известно, что
$$
\begin{equation*}
\Omega_{\mathrm B}(0,n,\hat{\mathbf p})Q_\alpha(\mathbf p)=e_\alpha Q_\alpha(\mathbf p),\qquad e_\alpha=\sum_{i}\alpha_i^n,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда мы получаем следующие уравнения:
$$
\begin{equation}
\bigl(\Omega_{\mathrm B}(0,n,\hat{\mathbf p}^{(1)})-\Omega_{\mathrm B}(0,n,\hat{\mathbf p}^{(2)})\bigr) J_N(\mathbf p^{(1)},\mathbf p^{(2)})=0,\qquad n=1,3,\ldots{}\,.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Каждое из уравнений (30) определяет ряд в (13), в котором обе проективные функции Шура в произведениях пар индексированы одним и тем же строгим разбиением, но эти уравнения никоим образом не задают множитель
$$
\begin{equation*}
\prod_i\frac{2^{-2\alpha_i} c^{2\alpha_1}}{\alpha_i!}
\end{equation*}
\notag
$$
в правой части (13). Чтобы решить эту проблему, мы записываем условия на большую статистическую сумму, которые можно получить, используя разные элементы алгебры $BW_{1+\infty}$. Опишем вкратце эту процедуру. Сначала для каждого заданного целого числа $m$ и нечетного $n$ введем следующую специальную комбинацию функций (27):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal M^{(i)}_{\mathrm F}(2m,G)&=\frac{1}{2}\sum_{j\in\mathbb{Z}}y_{m,G}(j+m)(-1)^j \,\mathopen{:\kern1pt} \phi^{(i)}_{2m+j}\phi^{(i)}_{-j} \mathclose{\kern1pt :}\, = \nonumber\\ &= \mathop{\rm res}\limits _z \,\mathopen{:\kern1pt} (z^{-m}y_{m,G}(D)z^{-m}\phi^{(i)}(z))\phi^{(i)}(-z) \mathclose{\kern1pt :}\, \frac{dz}{z}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{31}
$$
где $y_{m,G}$ задается как полином нечетной степени,
$$
\begin{equation}
y_{m,G}(x)=x(x^2-m^2)(x^2-(m+1)^2)\ldots(x^2-(2m-1)^2)G(x^2),\quad x=m+j,
\end{equation}
\tag{32}
$$
а $G(x^2)$ – произвольный полином от $x^2$. Такой выбор комбинации элементов алгебры $BW_{1+\infty}$ обеспечивает справедливость равенств
$$
\begin{equation}
\mathcal M^{(i)}_{\mathrm F}(2m,G)|0\rangle=0,\qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{33}
$$
для любого целого $m$ и любого полинома $G(x^2)$. В самом деле, если $m$ отрицательное, то каждое произведение $\phi_{j+2m}\phi_{-j}$ из суммы в правой части равенства (31) дает ноль при действии на $|0\rangle$. Если $m>0$, ситуация складывается следующим образом: мы имеем
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}\sum_{j\in\mathbb{Z}}(-1)^j\phi^{(i)}_{2m+j}\phi^{(i)}_{-j}|0\rangle= \phi^{(i)}_{2m}\phi^{(i)}_{0}|0\rangle+\cdots+(-1)^{m-1}\phi^{(i)}_{m+1}\phi^{(i)}_{m-1}|0\rangle\neq 0,
\end{equation}
\tag{34}
$$
однако $\mathcal M^{(i)}_{\mathrm F}(2m,G)$ дает ноль при действии на вакуум, поскольку $y_{m,G}(m+i)$ равно нулю в точках $i=0,1,\ldots,m-1$ согласно (32). Далее с помощью соотношения (18) можно проверить, что для $m\geqslant 0$ мы получаем
$$
\begin{equation}
[\mathcal M^{(1)}_{\mathrm F}(2m,G)-\mathcal M^{(2)}_{\mathrm F}(-2m,\widetilde G),F(0,0)]=0.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Здесь $\widetilde G(x^2)$ – это тоже полином от $x^2$, заданный формулами
$$
\begin{equation}
\widetilde G(x^2)=G(x^2)c_{\text{even}}(x),\qquad c(x)=\frac{\Gamma(x+1+ m)}{\Gamma(x+1)}=c_{\text{even}}(x)+c_{\text{odd}}(x),
\end{equation}
\tag{36}
$$
где $c_{\text{even}}(x)=c_{\text{even}}(-x)$, $c_{\text{odd}}(x)=-c_{\text{odd}}(-x)$. Например, для $m=1$ мы имеем $c(x)=x+1$, следовательно, $c_{\text{even}}=1$ и $y_{1,G}(x)=y_{-1,\widetilde G}(x)=x(x^2-1)G$. Очевидно, что с учетом симметрии между $\phi^{(1)}$ и $\phi^{(2)}$ в (15) можно также записать соотношение
$$
\begin{equation}
[\mathcal M^{(2)}_{\mathrm F}(2m,G)-\mathcal M^{(1)}_{\mathrm F}(-2m,\widetilde G),F(0,0)]=0.
\end{equation}
\tag{37}
$$
Свойства (33)–(35) и процедура бозонизации приводят к (струнным) уравнениям для большой статистической суммы
$$
\begin{equation}
\bigl(\mathcal M_{\mathrm B}(-2m,{\widetilde G},\hat{\mathbf p}^{(2)})- \mathcal M_{\mathrm B}(2m,G,\hat{\mathbf p}^{(1)})\bigr) J(\mathbf p^{(1)},\mathbf p^{(2)},\zeta)=0,
\end{equation}
\tag{38}
$$
в которых
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \!\!\!\mathcal M_{\mathrm B}(2m,G,\hat{\mathbf p}^{(1,2)})&= \mathop{\rm res}\limits _z\bigl(z^{-m}y_{m,G}(D)z^{-m}V(z,\hat{\mathbf p}^{(1,2)})\bigr)V(-z,\hat{\mathbf p}^{(1,2)})\frac{dz}{z}, \\ \!\!\!\mathcal M_{-\mathrm B}(-2m,Gc_{\text{even}},\hat{\mathbf p}^{(2,1)})&= \mathop{\rm res}\limits _z\bigl(z^my_{-m,Gc_{\text{even}}}(D)z^mV(z,\hat{\mathbf p}^{(2,1)})\bigr)V(-z,\hat{\mathbf p}^{(2,1)})\frac{dz}{z}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{39}
$$
Подчеркнем, что струнное уравнение не содержит привычных операторов Вирасоро. Пфаффианное представлениеБудем писать $\mathbf p$ вместо $\mathbf p^{(1)}$. Пусть
$$
\begin{equation*}
p^{(2)}_n=p_n(y):=\sum_{i=1}^{2k} y_i^n,\qquad n=1,3,\ldots{}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
При таком выборе можно применить формулу бозонизации и теорему Вика, в результате получаем следующее пфаффианное представление:
$$
\begin{equation}
J(\mathbf p,\mathbf p(y),\zeta)=\prod_{i<j}^{2k}\biggl(\frac{y_i+y_j}{y_i-y_j}\biggr) \operatorname{Pf} [J(\mathbf p,\mathbf p(y_i,y_j),\zeta)]_{i,j},
\end{equation}
\tag{40}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J(\mathbf p,\mathbf p(y_i,y_j),\zeta)=\sum_N \int_{\mathbb{U}_1\times\mathbb{U}_1}& \exp\biggl\{c\, \operatorname{tr} (U_1^{-2}U_2^{-2})+\sum_{n\in\mathbb{Z}^{+}_{\text{odd}}}\frac{2}{n} (p^{(1)}_n \operatorname{tr} U_1^n)\biggr\}\times{} \\ &\times\det\frac{(1-y_iU_2)(1-y_jU_2)}{(1+y_iU_2)(1+y_jU_2)}\,d_*U^{}_1\,dU_2^*. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем же способом можно записать результаты, выраженные через пфаффиан блочной матрицы размера $(2k+2l)\times(2k+2l)$, в случае
$$
\begin{equation*}
p^{(1)}_n=\sum_{i=1}^{2k} y_i^n,\quad p^{(2)}_n=\sum_{i=1}^{2l} z_i^n,\qquad n=1,3,\ldots{}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы не приводим вывод соответствующей формулы и оставляем его как довольно утомительное занятие для читателя (см. также работу [44], где были проведены подобные вычисления).
4. Взаимодействие, заданное матрицами типа КошиРассмотрим интеграл
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, K_N(\mathbf p^{(1)},\mathbf p^{(2)})=C\int_{\mathbb{U}_N\times\mathbb{U}_N}& \det(1-c\,U_1^{-2}U_2^{-2})^{-a}\times{} \nonumber\\ &\times \exp\biggl\{\sum_{n\in\mathbb{Z}^{+}_{\text{odd}}}\frac{2}{n} (p^{(1)}_n \operatorname{tr} U_1^n+p^{(2)}_n \operatorname{tr} U_2^n)\biggr\}\,d_*U^{}_1\,d_*U_2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{41}
$$
Это версия модели с матрицами Коши из работ [32], [33], [45]. Вместо (10) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, K_N(\mathbf p,\mathbf p^*)=\widetilde C\oint\ldots\oint \prod_{i<j}&\frac{(u_i-u_j)(v_i-v_j)}{(u_i+u_j)(v_i+v_j)} \prod_{i=1}^N (1-c u_i^{-2}v_i^{-2})^{N-1-a}\times{} \nonumber\\ &\qquad\qquad\times \exp\biggl\{\sum_{n\in\mathbb{Z}^{+}_{\text{odd}}}\frac{2}{n} (p_n u_i^n+p^*_nv_i^n)\biggr\}\frac{du_i}{u_i}\frac{dv_i}{v_i}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{42}
$$
где $C$ и $\widetilde C$ выбраны так, что $K_N(0,0)=1$. Аналогично формуле (13) получаем
$$
\begin{equation}
K_N(\mathbf p,\mathbf p^*)=\sum_{\substack{\alpha\in\mathrm{DP},\\ \ell(\alpha)\leqslant N}} Q_{2\alpha}(\mathbf p)Q_{2\alpha}(\mathbf p^*) \prod_{i=1}^{\ell(\alpha)}\frac{2^{-2\alpha_i}c^{2\alpha_i}(1-c\alpha_i)^{-a}}{\alpha_i!}.
\end{equation}
\tag{43}
$$
Тогда формулы (16) и (23) для большой статистической суммы остаются теми же, однако в случае матриц Коши теперь мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F(\mathbf p,\mathbf p^*)&=-\frac{1}{4\pi^2}\oint\!\oint(1-cuv)^{-a}\phi^{(1)}(u,\mathbf p)\phi^{(2)}(v,\mathbf p^*)\frac{du\,dv}{uv}, \\ F^{\mathrm B}(\hat{\mathbf p},\hat{\mathbf p}^*)&=-\frac{1}{4\pi^2}\oint\!\oint (1-cuv)^{-a}V^{(1)}(u,\hat{\mathbf p})V^{(2)}(v,\hat{\mathbf p}^*)\frac{du\,dv}{uv}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выражение (40), в котором в данном случае
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J(\mathbf p,\mathbf p(y_i,y_j),\zeta)=\sum_N&\int_{\mathbb{U}_1\times \mathbb{U}_1} \exp\biggl\{\sum_{n>0}\frac{1}{n}(p_n \operatorname{tr} U_1^n)\biggr\}\times{} \\ &\times\det(1-c\,U_1^{-2}U_2^{-2})^{-a}\det\frac{(1-y_iU_2)(1-y_jU_2)}{(1+y_iU_2)(1+y_jU_2)}\,d_*U^{}_1\,dU_2^*, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
все еще сохраняет свою силу. Остаются справедливыми и струнные уравнения (30), (38), (39), однако в (36) мы имеем
$$
\begin{equation*}
c(x)=\frac{\Gamma(x+m+1)\Gamma(x +a)}{\Gamma(x+1)\Gamma(x +m+a)}\frac{\Gamma(a+m)}{\Gamma(a)}=c_{\text{even}}(x)+c_{\text{odd}}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $m=1$, то $G\equiv 1$ и $a=1$, отсюда получаем, что $c_{\text{even}}(x)=1$. Следовательно, $y_{1,1}=x^3-x=y_{-1,1}$.
Приложение А. Разбиения. Проективные функции ШураНапомним, что разбиением $\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_l)$ называется невозрастающий набор целых неотрицательных чисел $\lambda_1\geqslant\cdots\geqslant\lambda_k\geqslant 0$, при этом $\lambda_i$ называются частями разбиения. Сумма частей называется весом разбиения и обозначается как $|\lambda|$. Количество ненулевых частей называется длиной разбиения, ее мы будем обозначать как $\ell(\lambda)$. Подробности можно найти в [39]. Далее для разбиений используются греческие буквы $\lambda,\mu,\ldots{}\,$. Для разбиений с различными частями, которые называются строгими, мы предпочитаем использовать буквы $\alpha$ и $\beta$. Множество всех строгих разбиений обозначается как $\mathrm{DP}$. Чтобы задать проективную функцию Шура $Q_\alpha$ с $\alpha\in\mathrm{DP}$, на первом шаге определим набор функций $\{q_i,i\geqslant 0\}$ следующим уравнением:
$$
\begin{equation*}
\exp\biggl\{\sum_{m\in\mathbb{Z}^{+}_{\text{odd}}}\frac{2}{m}p_m x^m\biggr\}=\sum_{m\geqslant 0}x^mq_m(\mathbf p_{\text{odd}}),
\end{equation*}
\notag
$$
где теперь $\mathbf p_{\text{odd}}=(p_1,p_3,\ldots)$. Далее для $(i,j)\neq(0,0)$ зададим кососимметричную матрицу
$$
\begin{equation*}
Q_{(i,j)}(\mathbf p_{\text{odd}})= q_i(\mathbf p_{\text{odd}})q_j(\mathbf p_{\text{odd}})+2\sum_{k=1}^j(-1)^kq_{i+k}(\mathbf p_{\text{odd}})q_{j-k}(\mathbf p_{\text{odd}})
\end{equation*}
\notag
$$
и положим $Q_{(i,j)}(\mathbf p_{\text{odd}})=0$, если $(i,j)=(0,0)$. В частности,
$$
\begin{equation*}
Q_{(j,0)}(\mathbf p_{\text{odd}})=-Q_{(0,j)}(\mathbf p_{\text{odd}})=q_j(\mathbf p_{\text{odd}})\quad\text{при}\quad j\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Для строгого разбиения $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_{2r})$ с $\alpha_{2r}\geqslant 0$ проективная функция Шура определяется как
$$
\begin{equation}
Q_\alpha(\mathbf p_{\text{odd}}):= \operatorname{Pf} [Q_{\alpha_i \alpha_j}(\mathbf p_{\text{odd}})]_{1\leqslant i,j\leqslant 2r},\qquad Q_{\varnothing}:=1.
\end{equation}
\tag{44}
$$
Для матрицы $X$ положим $p_m=p_m(X)= \operatorname{tr} (X^m-(-X)^m)$, где $m$ – нечетное число, и назовем эти переменные нечетными степенными суммами. Тогда мы пишем $Q_\alpha(\mathbf p_{\text{odd}}(X))=Q_\alpha(X)$.
Приложение Б. Нейтральные фермионы [46]. Скалярное произведение проективных функций Шура [13]Пусть для $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)\in\mathrm{DP}$
$$
\begin{equation*}
\Phi_\alpha:=2^{k/2}\phi_{\alpha_1}\ldots\phi_{\alpha_k},\qquad \Phi_{-\alpha}:=(-1)^{\sum_{i=1}^k\alpha_i}\,2^{k/2}\phi_{-\alpha_k}\ldots\phi_{-\alpha_{1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем $\langle 0|\Phi_{-\alpha}\Phi_\beta|0\rangle=2^{\ell(\alpha)}\delta_{\alpha,\beta}$. Фермионная формула для проективных функций Шура была получена в работе [22]:
$$
\begin{equation*}
Q_\alpha(\mathbf x)\Delta^*(\mathbf x)= 2^{-N/2}\langle 0|\phi(-x_1^{-1})\ldots\phi(-x_N^{-1})\Phi_\alpha |0\rangle= 2^{-N/2}\langle 0|\Phi_{-\alpha} \phi(x_1)\ldots\phi(x_N) |0\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \langle 0|\phi(-v_1^{-1})\ldots \phi(-v_N^{-1})&=\Delta^*(v)\sum_{\alpha} 2^{-N/2-\ell(\alpha)} Q_\alpha(v) \langle 0|\Phi_{-\alpha}, \\ \phi(u_1)\ldots\phi(u_N)|0\rangle&=\Delta^*(u)\sum_{\alpha} 2^{-N/2-\ell(\alpha)}Q_\alpha(u) \Phi_{\alpha}|0\rangle. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{45}
$$
Следуя работе [13], рассмотрим $f(x)=\sum_{i\geqslant 0}f_ix^i$ и запишем цепочку равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 2^{-N}\sum_\alpha & \Phi_\alpha|0\rangle \langle 0|\Phi_{-\alpha}\prod_{i=1}^{\ell(\alpha)} f_{\alpha_i}= \\ &=\frac{1}{(2\pi i)^N}\oint\ldots\oint\phi(u_1)\ldots\phi(u_N)|0\rangle\langle 0|\phi(-v_N^{-1})\ldots\phi(-v_1^{-1})\times{} \\ &\kern190pt\times \prod_{i=1}^N\frac{du_i\,dv_i}{u_iv_i}f(u_i^{-1}v_i^{-1})= \\ &=\frac{1}{(2\pi i)^N}\oint\ldots\oint \Delta^*(u)\Delta^*(v)Q_\alpha(u)Q_\beta(v)\sum_{\alpha,\beta}\Phi_\alpha|0\rangle \langle 0|\Phi_{-\beta}2^{-N-\ell(\alpha)-\ell(\beta)}\times{} \\ &\kern190pt\times \prod_{i=1}^N\frac{du_i\,dv_i}{u_iv_i}f(u_i^{-1}v_i^{-1}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда получаем выражение (12):
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{(2\pi i)^N}\oint\ldots\oint\Delta^*(u)\Delta^*(v)Q_\alpha(u)Q_\beta(v)2^{-\ell(\alpha)-\ell(\beta)} \prod_{i=1}^N\frac{du_idv_i}{u_iv_i}f(u_i^{-1}v_i^{-1})=\prod_{i=1}^N f_{\alpha_i}.
\end{equation*}
\notag
$$
Приложение В. Фермионное представление и струнные уравнения для модифицированного интеграла $I_N(\mathbf p^{(1)},\mathbf p^{(2)};f)$Рассмотрим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I_N(\mathbf p^{(1)},\mathbf p^{(2)};f)=\langle N,-N| e^{F(\mathbf p^{(1)},\mathbf p^{(2)})}|0,0\rangle, \\ F(\mathbf p^{(1)},\mathbf p^{(2)})= -\frac{1}{4\pi^2}\oint\!\oint f(u^{-1}v^{-1})\psi^{(1)}(u,\mathbf p^{(1)})\psi^{\unicode{8224}(2)}(v,\mathbf p^{(2)})\frac{du\,dv}{uv}= \sum_{j} f_j \psi^{(1)}_j\psi^{\unicode{8224}(2)}_{-j-1}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
f(z)=\sum_j f_j z^j,\qquad\psi(z)=\sum_j z^j\psi_j,\qquad\psi^\unicode{8224}(z)=\sum_j z^j\psi^\unicode{8224}_{-j-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом мы имеем $\langle N | \psi_j=0$ для $j>N$ и $\langle-N|\psi^\unicode{8224}_{-1-j}=0$. Получаем
$$
\begin{equation}
\psi(ze^{y/2})\psi^\unicode{8224}(ze^{-y/2})=\sum_{m,n}\Omega_{\mathrm F}(m,n)z^{-m}y^n,
\end{equation}
\tag{46}
$$
где
$$
\begin{equation}
\Omega_{\mathrm F}^{}=\sum_{j}\biggl(m+\frac{1}{2}\biggr)^{\!n}\psi_j^{}\psi^\unicode{8224}_{j+m}.
\end{equation}
\tag{47}
$$
Обозначим через $\hat{\mathbf p}$ двойной набор переменных $(p_1,p_2,\ldots)$ и $(\partial_{p_1},\partial_{p_2},\ldots)$. Бозонная версия предыдущей формулы записывается как
$$
\begin{equation}
\Omega_{\mathrm B}(m,n,\hat{\mathbf p})=- \mathop{\rm res}\limits _z\; \,\mathopen{\vdots\kern1pt} (V(z,\hat{\mathbf p})z^{-1/2}(z^mD^nz^{1/2}V(z,-\hat{\mathbf p})) \mathclose{\kern1pt\vdots}\, \,dz.
\end{equation}
\tag{48}
$$
В отличие от струнных уравнений, типичных для любого “диагонального” ряда (7), струнные уравнения, в которых мы выбираем $f$ в (7), существенно отличаются от случая модели с двумя эрмитовыми матрицами. Мы имеем
$$
\begin{equation*}
L=\sum_{i}x(i)\psi^{(1)}_i\psi^{\unicode{8224}(1)}_{i+m},\quad M=\sum_{i}y(i)\psi^{(2)}_i\psi^{\unicode{8224}(2)}_{i-m},\qquad m>0,
\end{equation*}
\notag
$$
и требуем $M|0,0\rangle=0$ при $m>0$. Получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{i} y(i)\psi^{(2)}_i\psi^{\unicode{8224}(2)}_{i-m}|0,0\rangle= y(0)\psi^{(2)}_{0}\psi^{\unicode{8224}(2)}_{-m}|0,0\rangle +\cdots+y(m-1)\psi^{(2)}_{m-1}\psi^{\unicode{8224}(2)}_{}{-1}|0,0\rangle=0,
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, $y(i)=0$ для $i=0,\ldots,m-1$. Пусть $y(i)=i(i-1)\ldots(i-m+1)$. Тогда условие
$$
\begin{equation*}
\biggl[L+M,\sum_{i}f_i\psi^{(1)}_i\psi^{\unicode{8224}(2)}_{-i-1}\biggr]=0
\end{equation*}
\notag
$$
дает $x(i+m)f_{i+m}=y(i)f_i$. Если положить $f_i=1/\Gamma(i+1)$ и $m=1$, то можно выбрать $x(i)=i(i-1)$ и $y(i)=i$ (что дает генератор алгебры Вирасоро, обозначаемый как $L_{-1}$). Бозонизированная версия записывается как
$$
\begin{equation}
L^{\mathrm B}(\hat{\mathbf t}^{(1)})I(\mathbf t^{(1)},\mathbf t^{(2)};f)=M^{\mathrm B}(\hat{\mathbf t}^{(2)})I(\mathbf t^{(1)},\mathbf t^{(2)};f).
\end{equation}
\tag{49}
$$
Явные примеры мы приведем в более подробной работе.
Приложение Г. Уравнения Хироты для двухкомпонентной иерархии BКПИмеет место следующее фермионное представление тау-функции двухкомпонентной иерархии BКП:
$$
\begin{equation}
\tau(\mathbf p^{(1)},\mathbf p^{(2)})=\langle 0\bigg| \exp\biggl\{\sum_{i=1,2}\,\sum_{m\in\mathbb{Z}^{+}_{\text{odd}}}\frac{2}{m}p_m^{(i)} \sum_{j\in\mathbb{Z}^{}_{}}\phi^{(i)}_{j-m}\phi^{(i)}_{-j}\biggr\} h\bigg|0\rangle,
\end{equation}
\tag{50}
$$
где $h$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
h=\exp\biggl\{\sum_{i,j\in\mathbb{Z}}(a_{i,j} \,\mathopen{:\kern1pt} \phi^{(1)}\phi^{(1)} \mathclose{\kern1pt :}\, + b_{i,j} \,\mathopen{:\kern1pt} \phi^{(2)}\phi^{(2)} \mathclose{\kern1pt :}\, +f_{i,j}\phi^{(1)}\phi^{(2)})\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Фермионная двухкомпонентная иерархия записывается как
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1,2}\sum_{j\in \mathbb{Z}}(-1)^j\phi^{(i)}_jh\otimes\phi^{(i)}_{-j}h=\frac{1}{2} h\phi^{(i)}_0\otimes h\phi^{(i)}_0.
\end{equation}
\tag{51}
$$
Билинейные уравнения Хироты [41] представляют собой бозонизированную версию иерархии (51). Мы получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathop{\rm res}\limits _z&\bigl(\tau(\mathbf p^{(1)}+\epsilon^{(1)}-[z],\mathbf p^{(2)}+\epsilon^{(2)}) \tau(\mathbf p^{(1)}+[z],\mathbf p^{(2)})\bigr)\frac{dz}{z}+{} \\ &{}+ \mathop{\rm res}\limits _z\bigl(\tau(\mathbf p^{(1)}+\epsilon^{(1)},\mathbf p^{(2)}+\epsilon^{(2)}-[z]) \tau(\mathbf p^{(1)},\mathbf p^{(2)})+[z]\bigr)\frac{dz}{z}-{} \\ &{}-\tau(\mathbf p^{(1)}+\epsilon^{(1)},\mathbf p^{(2)}+\epsilon^{(2)})\tau(\mathbf p^{(1)},\mathbf p^{(2)})=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\epsilon^{(i)}=(\epsilon^{(i)}_1,\epsilon^{(i)}_3,\ldots)$ – наборы произвольных параметров, $[z]$ – обозначает набор $(2z^{-1},2z^{-3},2z^{-5},\ldots)$. Условие равенства нулю всех коэффициентов ряда Тейлора по этим параметрам дает билинейные дифференциальные уравнения для тау-функций, которые мы называем дифференциальными уравнениями Хироты. БлагодарностиАвторы выражают благодарность А. Александрову, А. Морозову, А. Миронову за привлечение внимания к работам [7], [1] и особую благодарность А. Миронову за плодотворные обсуждения. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AntOrl23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|