| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Особенности трехмерных векторных полей, сохраняющих форму Мартине С. Анастасиу Department of Mathematics, Aristotle University of Thessaloniki, Thessaloniki, Greece
Английская версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 220, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924070018 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеИзучение особенностей векторных полей с последующим анализом происходящих в них бифуркаций – это тема, привлекающая большое внимание. В случае, когда векторные поля сохраняют определенную структуру (симплектическую структуру, форму объема, симметрию и т. д.), естественной задачей является их классификация с точностью до преобразований (гомеоморфизмов/диффеоморфизмов), которые также сохраняют эту структуру. В настоящей статье мы занимаемся локальной классификацией векторных полей, заданных в пространстве $\mathbb{R}^3$, которые сохраняют $1$-форму Мартине. Уточним задачу: пусть $M$ – гладкое (т. е. из класса $C^{\infty}$) трехмерное многообразие и $w$ – дифференциальная $1$-форма на $M$. В точке общего положения на многообразии $M$ выполняется условие $w\wedge dw\neq 0$, и локально $1$-форма $w$ сводится к нормальной форме Дарбу $dz+x\,dy$. Однако в $M$ может существовать гладкое подмногообразие $M_1$ коразмерности $1$, такое что в точке общего положения $p$ этого многообразия $1$-форма $w$ удовлетворяет условиям
$$
\begin{equation*}
w|_p\neq 0,\qquad (dw)|_p\neq 0,\qquad\operatorname{ker}(dw)|_p\mathrel{\pitchfork}M_1.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае, как показал Мартине [1], в этой точке $1$-форма может быть записана (по крайней мере локально) в виде $\alpha=(1+x)\,dy\pm z\,dz$. Такую $1$-форму $\alpha$ мы называем $1$-формой Мартине. На $M=\mathbb{R}^3$ эта $1$-форма удовлетворяет условию $\alpha\wedge d\alpha\neq 0$ всюду, кроме поверхности $M_1=\{(x,y,z)\in M,\,z=0\}$. В точке $p=(0,0,0)$ этой поверхности три условия действительно выполняются, т. е.
$$
\begin{equation*}
\alpha|_p=dy\neq 0,\qquad (d\alpha)|_p=dx\wedge dy\neq 0,\qquad \operatorname{ker}(\alpha|_p)=\biggl\langle \frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial z}\biggr\rangle
\end{equation*}
\notag
$$
и $\operatorname{ker}(\alpha|_p)$ трансверсально многообразию $M_1$. В трехмерном случае 1-формы Дарбу и Мартине являются единственными устойчивыми моделями 1-форм (это же справедливо и для их обобщений в любом нечетномерном многообразии [2]). Векторные поля и диффеоморфизмы, сохраняющие контактную форму (и вообще контактную структуру), изучались в работах [3], [4]. В настоящей работе мы изучаем векторные поля, сохраняющие форму Мартине. Пусть $\mathcal X(\mathbb{R}^3,\alpha)$ – множество ростков в начале координат векторных $C^{\infty}$-гладких полей $X$ в $\mathbb{R}^3$, которые сохраняют $1$-форму $\alpha$. Другими словами, эти векторные поля удовлетворяют уравнению $\mathcal L_{\!X}\alpha=0$, где $\mathcal L_{\!X}$ – производная Ли по направлению $X$. Пусть $ D\kern0.8pt i\kern-0.7pt f\kern-1.5pt f (\mathbb{R}^3,\alpha)$ – обозначает множество ростков в начале координат $C^{\infty}$-гладких диффеоморфизмов $\phi$, которые сохраняют $1$-форму $\alpha$, т. е. таких диффеоморфизмов $\phi$ пространства $\mathbb{R}^3$, для которых $\phi ^*\alpha=\alpha$. В настоящей статье мы производим классификацию векторных полей из $\mathcal X(\mathbb{R}^3,\alpha)$ с точностью до диффеоморфизмов из $ D\kern0.8pt i\kern-0.7pt f\kern-1.5pt f (\mathbb{R}^3,\alpha)$. В разделе 2 мы приводим общий вид векторных полей и диффеоморфизмов, сохраняющих $1$-форму Мартине, и показываем, что их исследование можно упростить, используя тот факт, что они зависят от одномерных функций. В разделе 3 мы напоминаем теорему о локальной классификации для одномерных векторных полей и используем ее для получения локальных моделей векторных полей. В разделе 4 мы представляем трансверсальные развертки особенностей, найденных в предыдущем разделе, и изучаем простейшую возникающую бифуркацию; аналогичным образом можно изучать бифуркации произвольной конечной коразмерности. На протяжении всей статьи мы предполагаем, что все рассматриваемые объекты $C^{\infty}$-гладкие. Кроме того, наше рассмотрение является чисто локальным. В дальнейшем, даже если для простоты мы этого не оговариваем, изучаются ростки функций и ростки векторных полей в начале координат. В интересующую нас окрестность начала координат не входит прямая $x=-1$, на которой $\alpha$ сводится к $\pm z\,dz$. Для заинтересованного читателя отметим прекрасные работы по классификации векторных полей [2], [5]–[7]; результаты, касающиеся теории особенностей, см. в [8]. Отметим также некоторые недавние статьи [9], [10] той же тематики, а настоящая статья напрямую связана с [11]. 2. Изучаемые векторные поляРассмотрим пространство $\mathbb{R}^3$, снабженное формой Мартине $\alpha$. Для $X\in\mathcal X(\mathbb{R}^3,\alpha)$ мы пишем
$$
\begin{equation*}
X=X_1\frac{\partial}{\partial x}+X_2\frac{\partial}{\partial y}+X_3\frac{\partial}{\partial z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда уравнение $\mathcal L_{\!X}\alpha=0$ принимает вид системы
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \displaystyle (1+x)\frac{\partial X_2}{\partial x}\pm z\frac{\partial X_3}{\partial x}=0, \\ \displaystyle X_1+(1+x)\frac{\partial X_2}{\partial y}\pm z\frac{\partial X_3}{\partial y}=0,\vphantom{\bigg|_{\big|}^{\big|}} \\ \displaystyle (1+x)\frac{\partial X_2}{\partial z}\pm X_3\pm z\frac{\partial X_3}{\partial z}=0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Решая ее, находим
$$
\begin{equation*}
X=-(1+x)X_2(y)\frac{\partial}{\partial x}+X_2(y)\frac{\partial}{\partial y}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что третья компонента тождественно равна нулю. Следовательно, мы можем ограничить свое рассмотрение плоскостью $z=0$ и изучать $C^{\infty}$-гладкие векторные поля, заданные на этой плоскости и сохраняющие $1$-форму $\mu=(1+x)\,dy$, т. е. векторные поля $X$, удовлетворяющие уравнению $\mathcal L_{\!X}\mu=0$. Множество ростков таких векторных полей в начале координат мы обозначаем как $\mathcal X(\mathbb{R}^2,\mu)$. Справедлива следующая лемма. Лемма 1. Существует биекция между пространством одномерных функций из $C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ и пространством $\mathcal X(\mathbb{R}^2,\mu)$. Для векторного поля $X_f$, соответствующего функции $f$, эта биекция задается как Замечание. Если $X\in\mathcal X(\mathbb{R}^2,\mu)$, то, положив $H=\mu(X)$, мы можем записать $X$ в хорошо знакомом виде т. е. векторные поля на плоскости, сохраняющие форму $\mu$, образуют определенный класс гамильтоновых полей. Точно так же можно получить вид диффеоморфизмов, сохраняющих $1$-форму $\mu$, т. е. диффеоморфизмов $\phi$, для которых $\phi^*\mu=\mu$. Обозначим множество таких диффеоморфизмов как $ D\kern0.8pt i\kern-0.7pt f\kern-1.5pt f (\mathbb{R}^2,\mu)$. Лемма 2. Пусть $\phi \in D\kern0.8pt i\kern-0.7pt f\kern-1.5pt f (\mathbb{R}^2,\mu)$. Тогда где $\psi\colon(\mathbb{R},0)\rightarrow(\mathbb{R},0)$ – росток в начале координат гладкой функции с $\psi'(0)=1$. Доказательство получается путем рассмотрения уравнения $\phi^*\mu=\mu$ с условием $\phi(0,0)=(0,0)$. Наша цель – классифицировать элементы множества $\mathcal X(\mathbb{R}^2,\mu)$ с точностью до диффеоморфизмов, сохраняющих $\mu$. Поля $X,Y\in\mathcal X(\mathbb{R}^2,\mu)$ мы называем $\mu$-сопряженными, если существует диффеоморфизм $\phi\in D\kern0.8pt i\kern-0.7pt f\kern-1.5pt f (\mathbb{ R}^2,\mu)$, такой что $\phi_*Y=X$. Заметим, что это отношение эквивалентности индуцирует отношение эквивалентности на множестве функций, от которых зависят векторные поля. Лемма 3. Пусть $\psi\colon(\mathbb{R},0)\rightarrow(\mathbb{R},0)$, $\psi'(0)=1$. Векторное поле $X\in\mathcal X(\mathbb{R}^2,\mu)$, отвечающее функции $f$, является $\mu$-сопряженным векторному полю $Y$, которое отвечает функции $g(y)=\frac{1}{\psi'(y)}f(\psi(y))$. Доказательство. Пусть Таким образом, для классификации векторных полей на плоскости, сохраняющих форму $\mu$, мы можем сосредоточиться на случае, когда они зависят от одномерных функций. 3. Локальная нормальная форма для векторных полей из $\mathcal X(\mathbb{R}^2,\mu)$Согласно лемме 3 функции, соответствующие $\mu$-сопряженным векторным полям, связаны посредством диффеоморфизма, касательного к единичному отображению. Точнее, пусть $f$, $g$ – функции-ростки в начале координат пространства $\mathbb{R}$. Отношение $g=\frac{1}{\psi'}f(\psi)$, используемое в лемме 3, представляет собой не что иное, как гладкое отношение сопряженности для векторных полей в одномерном случае, для которого сопряжение $\psi$ удовлетворяет условиям $\psi(0)=0$, $\psi'(0)=1$. В случае $C^{\infty}$-гладких полей классификация одномерных векторных полей хорошо известна (см., например, [12]). Нас интересует следующий результат. Теорема 1. Пусть $f(y)\frac{\partial}{\partial y}$ – росток в начале координат гладкого векторного поля, заданного на прямой. Это поле локально гладко сопряжено либо векторному полю $\lambda y\frac{\partial}{\partial y}$, если $f'(0)=\lambda\neq 0$, либо векторному полю $(\pm y^k+dy^{2k-1})\frac{\partial}{\partial y}$ с $d\in\mathbb{R}$, $k\geqslant 2$. Доказательство. Здесь мы коротко изложим основные положения доказательства этой теоремы, за подробностями отсылаем читателя к работе [12]. Для $C^{\infty}$-линеаризации нужно просто решить уравнение сопряженности относительно неизвестной сопряженной функции $\psi$. Для нелинейной нормальной формы доказательство состоит из трех этапов. Cначала покажем, что сопряжены векторные поля где $g(y)$ – локальная $C^{\infty}$-функция. Затем покажем, что сопряжены векторные поля где $k\geqslant 2$, $a\neq 0$ и $h(0)=h'(0)=\cdots=h^{(r)}(0)=0$. Наконец, используем линейное преобразование, чтобы сделать коэффициент при $y^k$ равным $\pm 1$.Замечание. Знак слагаемого $y^k$ в нормальной форме $\pm y^k+dy^{2k-1}$ зависит от $k$: если $k$ нечетное, то выбирается знак плюс, в противном случае знак равен знаку коэффициента $a$. В наших исследованиях сопряженный диффеоморфизм $\psi$ должен удовлетворять условию $\psi'(0)=1$, поэтому третий шаг приведенного выше доказательства неприменим, и мы будем использовать нормальную форму $ay^k+dy^{2k-1}$ с $a\neq 0$. Используя теорему 1, получаем следующую теорему. Теорема 2. Пусть $X\in\mathcal X(\mathbb{R}^2,\mu)$. Тогда: 1) поле $X$ не имеет гиперболических особенностей; 2) если $X(0)\neq 0$, то $X$ является $\mu$-сопряженным либо полю $X_0=a\frac{\partial}{\partial y}$, либо полю
$$
\begin{equation*}
X_1=-a(1+x)\frac{\partial}{\partial x}+ay\frac{\partial}{\partial y};
\end{equation*}
\notag
$$
3) если $j^iX(0)=0$ при $i=0,1,\ldots,k-2$ и $j^{k-1}X(0)\neq 0$ для $k\geqslant 2$, то $X$ является $\mu$-сопряженным полю Доказательство. Векторное поле $X$ имеет вид 1. Пусть $X(0,0)=(-f'(0),f(0))=(0,0)$. Якобиан для поля $X$ в начале координат равен
$$
\begin{equation*}
\begin{bmatrix} -f'(0) & -f''(0) \\ 0 & \phantom{-}f'(0) \end{bmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, оба собственных значения равны $0$. 2. Если $X(0,0)=(-f'(0),f(0))\neq (0,0)$, рассмотрим два случая: либо $f(0)\neq 0$ и $f'(0)=c\in\mathbb{R}$, либо $f(0)=0$ и $f'(0)\neq 0$. Пусть сначала $f(0)=a\neq 0$, рассмотрим уравнение сопряжения
$$
\begin{equation*}
f(y)=\frac{1}{\psi '(y)}a\quad \Longrightarrow\quad \psi'(y)=\frac{a}{f(y)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем искать его решение в виде $\psi(y)=y+\psi_1(y)$, где $\psi_1(0)=\psi_1'(0)=0$, тогда получим уравнение правая часть которого $C^{\infty}$-гладкая. Поэтому оно имеет гладкое решение. Следовательно, $f$ гладко сопряжена постоянной функции, равной $a$, посредством диффеоморфизма вида $\psi(y)=y+\psi_1(y)$. При этом постоянная $a$ сопряжена постоянной $b$ посредством диффеоморфизма $\psi$ требуемого вида, если и только если $a=b$. Таким образом, $f$ сопряжена постоянной функции, равной $a$, которая отвечает векторному полю $X_0$. Если $f(0)=0$ и $f'(0)=a\neq 0$, то $f$ сопряжена функции $ay$ (в силу теоремы 1), отвечающей векторному полю $X_1$. 3. Пусть $j^iX(0)=0$ для $i=0,1,\ldots,k-2$ и $j^{k-1}X(0)\neq 0$. Это означает, что $j^kf\neq 0$, поэтому $f$ сопряжена функции $ay^k+dy^{2k-1}$, отвечающей полю $X_k$. Мы суммировали полученные результаты в табл. 1. Отметим, что в рассматриваемом случае существуют два типа регулярных точек и нет гиперболических особенностей. Таблица 1.Локальные модели полей из $\mathcal X(\mathbb{R}^2,\mu)$.
4. Бифуркации полей из $\mathcal X(\mathbb{R}^2,\mu)$Чтобы изучить бифуркации интересующих нас векторных полей, сначала напомним определение версальной деформации для нашего случая. Определение. Пусть $f$ – одномерная функция (соответствующая векторному полю $f(y)\frac{\partial}{\partial y}$). Деформация функции $f$ – это отображение $F\colon U\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, где $U\subset\mathbb{R}^m$ есть открытая окрестность начала координат, такая что $F(0,y)=f(y)$. Деформация называется версальной, если для любой другой деформации $G\colon V\times \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, где $V\subset\mathbb{R}^l$, существует открытая окрестность начала координат и существуют ростки $\psi\colon V\times \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ и $H\colon V\rightarrow U$ такие, что: 1) для всех $\lambda_0\in V$ функция $\psi(\lambda_0,z)$ является ростком диффеоморфизма на прямой, такого что $\psi(\lambda_0,0)=0$, $\psi'(\lambda_0,0)=1$; 2) имеет место представление Версальные деформации векторных полей на прямой изучались в работе [13] (см. также [14]). Для нас важен следующий результат. Теорема 3. Версальная развертка векторного поля $(ay^k+\lambda_ky^{2k-1})\frac{\partial}{\partial y}$ задается отображением $F\colon\mathbb{R}^k\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, определенным как За доказательством этой теоремы мы отсылаем читателя к работам [13], [14]. Эта теорема вместе со следующим утверждением позволит нам описать бифуркации полей из $\mathcal X(\mathbb{R}^2,\mu)$. Теорема 4. Развертка Доказательство. Рассмотрим отображение, введенное в лемме 1, Это отображение непрерывно, поэтому прообраз открытой окрестности функции $f$ является открытой окрестностью поля $X_f$. Образ версальной развертки $F_f$ поля $f(y)\frac{\partial}{\partial y}$ является открытой окрестностью этого поля, следовательно, прообраз этой окрестности при отображении (2) представляет собой версальную развертку поля $X_f$. Версальные развертки векторных полей на прямой приведены в теореме 3. Используя обратное к отображению (2), получаем утверждение теоремы. Теперь мы можем сформулировать результаты о бифуркациях векторных полей из $\mathcal X(\mathbb{R}^2,\mu)$. Поскольку векторные поля не претерпевают бифуркаций в окрестности регулярных точек и, как мы видели выше, не имеют гиперболических особенностей, перейдем к анализу первого вырожденного случая. Предложение 1. В $\mathcal X(\mathbb{R}^2,\mu)$ существует поверхность коразмерности $2$, в которой каждое поле $\mu$-сопряжено векторному полю Версальная развертка этого поля задается следующим образом: Доказательство вытекает, конечно, из теоремы 4. Коразмерность поверхности равна числу параметров развертки. На рис. 1 изображен фазовый портрет векторного поля $X_2$ для характерных значений параметров $a$, $\lambda_2$. Помимо оси $x$, целиком состоящей из особенностей, существует также седловая точка (при $a\neq 0$), лежащая на прямой $x=-1$, на которой форма Мартине принимает вид $\pm z\,dz$. Для развертки $F_2$ фазовый портрет совершенно иной. При $\lambda_1\neq 0$ начало координат уже не является точкой равновесия. На инвариантной прямой $x=-1$ могут существовать одна или три точки равновесия в зависимости от значений параметров. Характерные фазовые портреты показаны на рис. 2. Аналогично можно исследовать все поля, представленные в теореме 4. 5. ЗаключениеМы изучили векторные поля в $\mathbb{R}^3$, сохраняющие $1$-форму Мартине $\alpha$. Их третья компонента тождественно обращается в нуль, поэтому мы перенесли свое внимание на векторные поля на плоскости, сохраняющие форму $\mu$. Мы привели полный список их локальных нормальных форм и изучили бифуркации этих полей, построив версальные развертки нормальных форм. Полученные результаты связаны с другими исследованиями [9]–[11] векторных полей, сохраняющих специальные структуры. Аналогичную классификацию диффеоморфизмов на плоскости, которые сохраняют форму $\mu$, и, следовательно, диффеоморфизмов в трехмерном пространстве, сохраняющих форму Мартине, провести невозможно, поскольку, как это следует из леммы 2, такой диффеоморфизм не является конечно-определенным (кроме, конечно, тождественного преобразования). Локальное и глобальное исследование динамических систем, сохраняющих определенные $1$-формы, несомненно, далеко от завершения. В следующей публикации мы надеемся привести дальнейшие результаты по этим вопросам. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ana24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|