| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Об иерархии Сун Лиa, Кэ-Лэй Тяньb, Ин Сюйb, Гэ Иb a School of Mathematics, Sun Yat-sen University, Zhuhai, Guangdong, China b School of Mathematics (Zhuhai), Hefei University of Technology, Hefei, Anhui, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 219, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924050076 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ математической физике важную роль играют интегрируемые системы, получаемые из алгебраических и математических структур, возникающих в нелинейных явлениях [1]–[5]. Популярность $q$-деформированных интегрируемых систем, основанных на квантовом дифференциальном исчислении, растет с развитием теоретической физики и квантовой алгебры [6]–[12]. Квантовые системы прошли большой путь развития и имеют важные применения в ядерной физике, молекулярной спектроскопии и статистической механике, в частности в исследованиях $q$-деформированного бозе-газа и его конденсата Бозе–Эйнштейна, $q$-деформированного ферми-газа и его термодинамики [13]–[16]. $q$-Деформированные интегрируемые системы основаны на $q$-производных $\partial_q$ вида При $q \to 1$ $q$-деформированные интегрируемые системы переходят в классические интегрируемые системы с обычной производной $\partial_x$.Пусть $L$ – $q$-псевдодифференциальный оператор, заданный выражением
$$
\begin{equation}
L=u\partial_q+u_{0}+u_{1}\partial^{-1}_q+u_{2}\partial^{-2}_q+\cdots\,.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Соответствующее уравнение Лакса имеет вид
$$
\begin{equation}
\frac{\partial L}{\partial t_n}=[(L^n)_{\geqslant k},L],\qquad n=1,2,3,\ldots,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где для любого $q$-псевдодифференциального оператора $A=\sum_i a_i\partial^i_q$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_{\geqslant k}&=\sum_{i\geqslant k}a_i\partial^i_q,\qquad A_{> k}=\sum_{i> k}a_i\partial^i_q,\\ A_{\leqslant k}&=\sum_{i\leqslant k}a_i\partial^i_q,\qquad A_{< k}=\sum_{i< k}a_i\partial^i_q. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что операция $ \circ $ для оператора $\partial_q^n$ с функцией $f$ определяется $q$-деформированным правилом Лейбница следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\partial^n_q \circ f=\sum_{i\geqslant 0}\binom{n}{i}_q\theta^{n-i}(\partial^i_q(f))\partial^{n-i}_q,\qquad n\in\mathbb{Z},
\end{equation*}
\notag
$$
где $q$-число и $q$-биномиальный коэффициент определяются выражениями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \binom{n}{k}_q=\frac{(n)_q(n-1)_q\cdots(n-k+1)_q}{(1)_q(2)_q\cdots(k)_q},\\ \binom{n}{0}_q=1,\qquad (n)_q=\frac{q^n-1}{q-1}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
а оператор $q$-сдвига $\theta$ действует по правилу При $k= 0$ можно взять коэффициент $u$ в (1) равным единице, тогда получим уравнение (2), которое называется иерархией $q$-деформированного уравнения Кадомцева–Петвиашвили (иерархия $q$-КП). Как одна из наиболее важных $q$-деформированных интегрируемых систем, иерархия $q$-КП вместе с тау-функцией, бигамильтоновой структурой и дополнительными симметриями подробно изучена (см. [17]–[20]). При $k=1$ коэффициент $u$ не может равняться единице ввиду самосогласованности уравнений (2). В этом случае уравнение (2) называется иерархией $q$-деформированного модифицированного уравнения Кадомцева–Петвиашвили (иерархия $q$-мКП). Иерархия $q$-мКП эквивалентна уравнению Сато
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial Z}{\partial t_n}=-(L^n)_{\leqslant 0}Z,
\end{equation*}
\notag
$$
где одевающий оператор ($z^{-1}_0$ существует)
$$
\begin{equation*}
Z=z_{0}+z_{1}\partial^{-1}_q+z_{2}\partial^{-2}_q+\cdots
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяет следующему уравнению: Преобразования Миуры и анти-Миуры между иерархиями $q$-КП и $q$-мКП были установлены в работе [21]. В работе [22] изучены калибровочные преобразования иерархии $q$-мКП и предложены их последующие применения. Кроме того, общий вид тау-функции иерархии $q$-КП представляет собой $q$-деформированный обобщенный вронскиан, а иерархия $q$-КП со связями изучалась в работах [23], [24]. Оператор Лакса $L$ иерархии $q$-мКП со связями имеет вид [21]
$$
\begin{equation*}
L=\partial_q+\sum_{i=1}^{M} \phi_i \partial_q^{-1}\psi_i \partial_q,\qquad M \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\phi_i$ – собственная функция, а $\psi_i$ – сопряженная собственная функция. Были получены калибровочные преобразования иерархии $q$-мКП со связями и изучено условие совместности между дополнительной симметрией и калибровочным преобразованием иерархии $q$-мКП [25]. Дополнительная симметрия играет важную роль для обобщенных связей Вирасоро в матричных моделях двумерной квантовой гравитации [26]. Дополнительная симметрия типа Вирасоро для многокомпонентной иерархии $q$-КП со связями построена в работе [27]. Оператор Орлова–Шульмана $M_q$ для иерархии $q$-мКП вводится следующим образом: где
$$
\begin{equation*}
\Gamma_q=\sum_{i=1}^{\infty}\biggl(it_i+\frac{(1-q)^i}{1-q^i}x^i\biggr)\partial _q^{i-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда Дополнительные потоки иерархии $q$-мКП определяются следующим образом: Это уравнение означает, что
$$
\begin{equation*}
\partial_{t_{ml}^{*}}M_q^nL^k=-[(M_q^mL^l)_{\leqslant 0},M_q^nL^k], \qquad n, k\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно, указанные дополнительные потоки $\partial_{t_{ml}^{*}}$ являются дополнительными симметриями иерархии $q$-мКП. В настоящей работе изучаются дополнительные симметрии иерархии $q$-мКП со связями. Теперь основную теорему нашей работы можно сформулировать следующим образом. Теорема 1. Дополнительные симметрии иерархии $q$-мКП со связями имеют вид Статья имеет следующую структуру. В разделе 2 даны некоторые основные определения и выводы. В разделе 3 доказана теорема 1. В разделе 4 представлены выводы. 2. Иерархия $q$-мКП со связямиВ этом разделе мы приводим основные концепции и свойства иерархии $q$-мКП со связями [23]. Иерархия $q$-мКП со связями задается оператором Лакса $L$ иерархии $q$-мКП вида
$$
\begin{equation}
L=\partial_q+\sum_{i=1}^{M} \phi_i \partial_q^{-1}\psi_i \partial_q,
\end{equation}
\tag{5}
$$
где собственные функции $\phi_i$ и сопряженные собственные функции $\psi_i$ удовлетворяют следующим уравнениям:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\partial \phi_i}{\partial t_n}&=(L^n)_{\geqslant 1}(\phi_i),\\ \frac{\partial \psi_i}{\partial t_n}&=-(\partial_q (L^n)_{\geqslant 1} \partial_q^{-1})^{*}(\psi_i).\ \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и ниже операция сопряжения $*$ определяется формулой для $q$-псевдодифференциального оператора $P=\sum_ip_i\partial^i_q$, при этом
$$
\begin{equation*}
\partial^{*}_q=-\partial_q\theta^{-1}=-\frac{1}{q}\partial_{1/q}, \qquad (\partial^{-1}_q)^{*}=(\partial^{*}_q)^{-1}=-\theta\partial^{-1}_q.
\end{equation*}
\notag
$$
Модифицированный оператор $Y_n$ играет важную роль, поскольку его дополнительный поток не является автоматически совместным с дополнительным потоком иерархии $q$-мКП при рассмотрении потока $t_{3}^{*}$ из уравнения Прежде чем обсуждать дополнительную симметрию иерархии $q$-мКП со связями, сформулируем два следующих предложения. Доказательство. Используя уравнения Предложение 2. Для любого $q$-псевдодифференциального оператора $A$ и произвольных функций $f, g$ справедливы тождества Доказательство. Для $f$, $g$ и $A$ имеем С помощью соотношений (5) и (6) имеем
$$
\begin{equation*}
[-(M_qL^n)_{\leqslant0},L]_{\leqslant0}=[(M_qL^n)_{>0},L]_{\leqslant0}+(L^n)_{\leqslant0}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу предложения 2 получим
$$
\begin{equation}
[(M_qL^n)_{\geqslant0},L]_{\leqslant0}=(M_qL^n)_{\geqslant0}(\phi_i)\partial_q^{-1}\psi_i\partial_q-\phi_i\partial_q^{-1} \circ (\partial_q(M_qL^n)_{\geqslant0}\partial_q^{-1})^{*}(\psi_i)\partial_q.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Доказательство. Это предложение можно доказать по индукции. Соотношение (11) очевидно при $k = 1$. Предположим, что оно справедливо при некотором $k$, тогда в силу предложения 1 получим В определении дополнительных потоков иерархии $q$-мКП со связями был введен модифицированный оператор $Y_n$ (4). Теперь вычислим $[Y_{k},L]_{\leqslant0}$. Расщепляя $L$ на $L_{\geqslant1}$ и $L_{\leqslant0}$, в силу предложений 1 и 2 получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [Y_{k},L]_{\leqslant0}={}&\biggl[\,\sum_{i=1}^{M}\sum_{j=0}^{k-2}\biggl(j-\frac{1}{2}(k-2)\biggr)L^{k-2-j}(\phi_i)\partial_q^{-1} \circ (\partial _qL^j \partial_q^{-1})^{*}(\psi_i)\partial_q, L_{\geqslant1}\biggr]_{\leqslant0}+{}\\ &+\biggl[\,\sum_{i=1}^{M}\sum_{j=0}^{k-2}\biggl(j-\frac{1}{2}(k-2)\biggr)L^{k-2-j}(\phi_i)\partial_q^{-1} \circ {} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \circ (\partial _qL^j \partial_q^{-1})^{*}(\psi_i)\partial_q, \sum_{l=1}^M\phi_i\partial_q^{-1}\psi_i\partial_q\biggr]_{\leqslant0}={}\\ ={}&\sum_{i=1}^{M}\sum_{j=0}^{k-2}\biggl(j-\frac{1}{2}(k-2)\biggr)L^{k-2-j}(\phi_i)\partial_q^{-1} \circ (\partial _qL^jL_{\geqslant1} \partial_q^{-1})^{*}(\psi_i)\partial_q-{}\\ &-\sum_{i=1}^{M}\sum_{j=0}^{k-2}\biggl(j-\frac{1}{2}(k-2)\biggr)L_{\geqslant1}L^{k-2-j}(\phi_i)\partial_q^{-1} \circ (\partial _qL^j \partial_q^{-1})^{*}(\psi_i)\partial_q+{}\\ &+\sum_{i=1}^{M}\sum_{j=0}^{k-2}\biggl(j-\frac{1}{2}(k-2)\biggr)L^{k-2-j}(\phi_i)\partial_q^{-1} \circ (\partial _qL^jL_{\leqslant0} \partial_q^{-1})^{*}(\psi_i)\partial_q-{}\\ &-\sum_{i=1}^{M}\sum_{j=0}^{k-2}\biggl(j-\frac{1}{2}(k-2)\biggr)L_{\leqslant0}L^{k-2-j}(\phi_i)\partial_q^{-1} \circ (\partial _qL^j \partial_q^{-1})^{*}(\psi_i)\partial_q+{}\\ &+\sum_{i=1}^M(Y_{k}(\phi_i)\partial_q^{-1}\psi_i\partial_q-\phi_i\partial_q^{-1} \circ (\partial_q Y_{k}\partial_q^{-1})^*(\psi_i)\partial_q). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя предложение 3, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, [Y_{k},L]_{\leqslant0}={}&-(L^k)_{\leqslant0}+\sum_{i=1}^M(Y_{k}(\phi_i)\partial_q^{-1}\psi_i\partial_q-\phi_i\partial_q^{-1} \circ (\partial_q Y_{k}\partial_q^{-1})^*(\psi_i)\partial_q)+{} \notag \\ &+\frac{k}{2}\sum_{i=1}^M(\phi_i\partial_q^{-1} \circ (\partial_q L^{k-1}\partial_q^{-1})^*(\psi_i)\partial_q+L^{k-1}(\phi_i)\partial_q^{-1}\psi_i\partial_q). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
3. Доказательство теоремы $1$В разделе 1 были определены дополнительные потоки иерархии $q$-мКП со связями (3). Можно ввести дополнительные потоки, действующие на собственную функцию $\phi_i$ и сопряженную собственную функцию $\psi_i$ иерархии $q$-мКП со связями. Лемма 1. Дополнительные потоки, действующие на функции $\phi_i$ и $\psi_i$ иерархии $q$-мКП со связями, определяются формулами Доказательство. Из (3) получим Второе утверждение леммы доказывается с помощью уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\partial L^m(\phi_i)}{\partial t_n^*}&=\frac{\partial L^m}{\partial t_n^*}(\phi_i)+L^m\biggl(\frac{\partial \phi_i}{\partial t_n^*}\biggr),\\ \frac{\partial (\partial_qL^m\partial_q^{-1})^*(\psi_i)}{\partial t_n^*}&=\frac{\partial (\partial_qL^m\partial_q^{-1})^*}{\partial t_n^*}(\psi_i)+(\partial_qL^m\partial_q^{-1})^*\biggl(\frac{\partial \psi_i}{\partial t_n^*}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее необходимо выяснить действие оператора $Y_n$ на поток $t_{m}$, $m=1, 2, \dots$ . Доказательство. Используя тождество (9) и тот факт, что Ниже приводится действие оператора $Y_n$ на дополнительный поток $t_{l}^{*}$, $l=1, 2$. Лемма 3. Дополнительные потоки, действующие на оператор $Y_n$, заданный выражением (4б), определяются уравнениями где $l= 1, 2$ и $n = 1, 2, \dots$ . Доказательство. При $n = 1, 2$ обе части уравнения (14) обращаются в нуль. При $n \geqslant3$ в силу (4б), (9) и леммы 1 имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial Y_n}{\partial t_l^*}=\sum_{i=1}^M\sum_{j=0}^{n-2}\biggl(j-\frac{n-2}{2}\biggr)(M_qL^l)_{\geqslant1}(L^{n-2-j}(\phi_i))\partial_q^{-1} \circ (\partial_qL^j\partial_q^{-1})^*(\psi_i)\partial_q+{}\\ &+\sum_{i=1}^M\sum_{j=0}^{n-2}\biggl(j-\frac{n-2}{2}\biggr)\biggl(n-2-j-\frac{l}{2}\biggr)(L^{m+l-3-j}(\phi_i))\partial_q^{-1} \circ (\partial_qL^j\partial_q^{-1})^*(\psi_i)\partial_q-{}\\ &-\sum_{i=1}^M\sum_{j=0}^{n-2}\biggl(j-\frac{n-2}{2}\biggr)(L^{n-2-j}(\phi_i))\partial_q^{-1} \circ (\partial_qL^j(M_qL^l)_{\geqslant1}\partial_q^{-1})^*(\psi_i)\partial_q+{}\\ &+\sum_{i=1}^M\sum_{j=0}^{n-2}\biggl(j-\frac{n-2}{2}\biggr)\biggl(j+\frac{l}{2}\biggr)(L^{n-2-j}(\phi_i))\partial_q^{-1} \circ (\partial_qL^{m+j-1}\partial_q^{-1})^*(\psi_i)\partial_q={}\\ ={}&\sum_{i=1}^M\sum_{j=0}^{n+l-3}\biggl(\biggl(j-\frac{n-2}{2}\biggr)\biggl(n-2-j-\frac{l}{2}\biggr)+\biggl(j-l+2-\frac{n}{2}\biggr)\biggl(j-\frac{l}{2}+1\biggr)\biggr)\times{}\\ &\qquad\qquad\qquad\times(L^{m+l-3-j}(\phi_i))\partial_q^{-1} \circ (\partial_qL^j\partial_q^{-1})^*(\psi_i)\partial_q+[(M_qL^l)_{\geqslant1}, Y_n]_{\leqslant0}={}\\ ={}&[(M_qL^l)_{\geqslant1}, Y_n]_{\leqslant0}+(n-l)Y_{n+l-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы переходим к доказательству теоремы 1. Доказательство теоремы 1. Согласно лемме 2 имеем Согласно лемме 3 при $l=1, 2$ и $n = 1, 2, \dots$ получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl[\,\frac{\partial}{\partial t_{l}^*}, \frac{\partial}{\partial t_n^*}\biggr]L={}&\biggl[\,\frac{\partial}{\partial t_{l}^*}(-(M_qL^n)_{\leqslant0})+\frac{\partial}{\partial t_{l}^*}, L \biggr]+\biggl[\,-(M_qL^n)_{\leqslant0}+Y_n, \frac{\partial L}{\partial t_n^*}\biggr]-{}\\ &-\biggl[\, \frac{\partial}{\partial t_n^*}(-(M_qL^l)_{\leqslant0}), L\biggr]-\biggl[\,-(M_qL^l)_{\leqslant0}, \frac{\partial L}{\partial t_n^*}\biggr]={}\\ ={}&[[-(M_qL^l)_{\leqslant0}, -M_qL^n]_{\leqslant0}, L]+(n-l)[Y_{n+l-1}, L]+{}\\ &+[-(M_qL^l)_{\geqslant1}, -(M_qL^n)_{\leqslant0}], L]={}\\ ={}&[[-M_qL^l,-M_qL^n]_{\leqslant0}, L]+(n-l)[Y_{n+l-1}, L]={}\\ ={}&(n-l)\frac{\partial L}{\partial t_{n+l-1}^*}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, при $l= 1, 2$ и $n = 1, 2, \dots$ имеем
$$
\begin{equation}
\biggl[\,\frac{\partial}{\partial t_{l}^*}, \frac{\partial}{\partial t_n^*}\biggr]=(n-l)\frac{\partial }{\partial t_{n+l-1}^*}.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Для $m, n\in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$ с помощью тождества Якоби и соотношения (15) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl[\, \frac{\partial}{\partial t_{1}^{*}}, \biggl[\,\frac{\partial}{\partial t_{m}^{*}}, \frac{\partial}{\partial t_n^{*}}\biggr] \biggr]&=\biggl[\,\biggl[\,\frac{\partial}{\partial t_{1}^{*}}, \frac{\partial}{\partial t_{m}^{*}}\biggr], \frac{\partial}{\partial t_n^{*}}\biggr]+\biggl[\, \frac{\partial}{\partial t_{m}^{*}}, \biggl[\,\frac{\partial}{\partial t_{1}^{*}}, \frac{\partial}{\partial t_n^{*}}\biggr] \biggr]={}\\ &=(m+n-2)\biggl[\,\frac{\partial}{\partial t_{m}^{*}}, \frac{\partial}{\partial t_n^{*}} \biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (15) для $p\in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ получим, что
$$
\begin{equation*}
\biggl[\, \frac{\partial}{\partial t_{1}^{*}},Q\biggr]=pQ
\end{equation*}
\notag
$$
тогда и только тогда, когда где $c\in\mathbb{C}$. Таким образом, для $m, n\in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$ существует бинарная функция $f(m, n)$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\biggl[\,\frac{\partial}{\partial t_{m}^{*}}, \frac{\partial}{\partial t_n^{*}} \biggr]=f(m, n)\frac{\partial}{\partial t_{m+n-1}^{*}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что при $l= 1, 2$ и $n = 1, 2, \dots$ В силу (15) для $m, n\in \mathbb{Z}_{\geqslant1}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl[\, \frac{\partial}{\partial t_{2}^{*}}, \biggl[\,\frac{\partial}{\partial t_{m}^{*}}, \frac{\partial}{\partial t_n^{*}}\biggr] \biggr]&=\biggl[\, \biggl[\,\frac{\partial}{\partial t_{2}^{*}}, \frac{\partial}{\partial t_{m}^{*}}\biggr], \frac{\partial}{\partial t_n^{*}}\biggr]+\biggl[\, \frac{\partial}{\partial t_{m}^{*}},\biggl[\,\frac{\partial}{\partial t_{2}^{*}}, \frac{\partial}{\partial t_n^{*}}\biggr] \biggr]={}\\ &=(m-2)\biggl[\,\frac{\partial}{\partial t_{m+1}^{*}}, \frac{\partial}{\partial t_n^{*}} \biggr]+(n-2)\biggl[\,\frac{\partial}{\partial t_{m}^{*}}, \frac{\partial}{\partial t_{n+1}^{*}}\biggr], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует равенство По индукции можно показать, что для $m, n\in \mathbb{Z}_{\geqslant1}$ справедливо соотношение т. е.
$$
\begin{equation*}
\biggl[\,\frac{\partial }{\partial t_{m}^{*}}, \frac{\partial }{\partial t_n^{*}}\biggr]=(n-m)\frac{\partial }{\partial t_{m+n-1}^{*}}.
\end{equation*}
\notag
$$
При $i=1, 2, \dots$ получим отображение $\varphi$, заданное формулой где $\{ L_i|\;i\in \mathbb{Z}_{\geqslant 0} \}$ удовлетворяет алгебраическим соотношениям Вирасоро Теорема доказана.4. ВыводыВ работе построены дополнительные симметрии иерархии $q$-мКП со связями и доказано, что эти дополнительные потоки образуют подалгебру алгебры Вирасоро. Дополнительные потоки, действующие на $L^m(\phi_i)$ и $(\partial_qL^m\partial_q^{-1})^*(\psi_i)$ иерархии $q$-мКП со связями, определяются леммой 1. Действие модифицированного оператора $Y_n$ на поток $t_{m}$, $m=1, 2, \dots$, и дополнительный поток $t_{l}^{*}$, $l=1, 2$, определяется леммами 2 и 3. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{LiTiaXu24} |
|
||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|