| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Мультибризерные решения вещественного и комплексного нелокальных дефокусирующих уравнений коротких импульсов с обращением пространственной и временно́й переменных Хуэй Мао Center for Applied Mathematics of Guangxi, Nanning Normal University, Nanning, Guangxi, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 219, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924060060 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ работе Бендера и Бётчера [1] в 1998 г. впервые было показало, что неэрмитов гамильтониан может иметь вещественные и положительные собственные значения при условии, что он симметричен относительно преобразований четности и обращения времени, т. е. обладает свойством $\mathcal{PT}$-симметрии. С тех пор неэрмитовы, но $\mathcal{PT}$-симметричные уравнения рассматривались и широко изучались во многих областях [2]. В работе [3] в 2013 г. Абловиц и Мусслимани предложили нелокальное нелинейное уравнение Шредингера с обращением пространственных переменных, которое является первым примером сочетания $\mathcal{PT}$-симметрии с нелинейной интегрируемой системой. Впоследствии были предложены и изучались многочисленные $\mathcal{PT}$-симметричные нелинейные интегрируемые системы (см. работы [4]–[16] и ссылки в них). Уравнение коротких импульсов (КИ) впервые появилось в работе Рабело [17] при исследовании псевдосферических поверхностей. В стандартном виде оно записывается как Это уравнение в частных производных также описывает распространение ультракоротких оптических импульсов в нелинейных средах [18]. Впоследствии численные расчеты показали, что в случае сверхкоротких импульсов уравнение КИ дает более точное приближение решения уравнения Максвелла, чем нелинейное уравнение Шредингера [19]. При выводе уравнения КИ основным является предположение о том, что поляризация импульса сохраняется в процессе его распространения в оптическом волокне. Однако при рассмотрении эффектов поляризации в двулучепреломляющих волокнах это уже не так [20]. В этом случае для описания распространения сверхкоротких импульсов следует использовать двухкомпонентную версию уравнения КИ. При дальнейших исследованиях было предложено еще несколько интегрируемых связанных уравнений КИ [21]–[26]. Одним из них является следующее двухкомпонентное уравнение коротких импульсов (уравнение 2КИ), предложенное Мацуно [25]:
$$
\begin{equation}
u_{xt}=u+\frac{1}{2}(uvu_x)_x,\quad v_{xt}=v+\frac{1}{2}(uvv_x)_x.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Недавно были представлены четыре $\mathcal{PT}$-симметричные редукции уравнения 2КИ, полученные с помощью нелокальной симметричной редукции [5], [6]. А именно, если наложить условие $v(x,t)=\sigma u(-x,-t)$, $\sigma=\pm 1$, то система (2) сводится к двум вещественным нелокальным уравнениям КИ с обращением пространственной и временно́й переменных:
$$
\begin{equation}
u_{xt}(x,t)=u(x,t)+\frac{1}{2}\sigma\bigl(u(x,t)u(-x,-t)u_x(x,t)\bigr)_x,
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $u(x,t)$ – вещественная функция, а значения параметра $\sigma=1$ и $\sigma=-1$ соответствуют фокусирующему и дефокусирующему случаям. Если предположить, что $v(x,t)=\sigma u^*(-x,-t)$, где звездочка означает комплексное сопряжение, то система (2) сводится к двум комплексным нелокальным уравнениям КИ с обращением пространственной и временно́й переменных:
$$
\begin{equation}
u_{xt}(x,t)=u(x,t)+\frac{1}{2}\sigma\bigl(u(x,t)u^*(-x,-t)u_x(x,t)\bigr)_x,
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $u(x,t)$ – комплексная функция, а $\sigma=1$ и $\sigma=-1$ опять же соответствуют фокусирующему и дефокусирующему случаям. В настоящей статье эти четыре нелокальные редукции называются вещественным/комплексным фокусирующим/дефокусирующим уравнением КИ с обратным пространством и временем. Следует отметить, что, хотя вещественное нелокальное фокусирующее уравнение КИ с обратным пространством и временем переходит в соответствующее дефокусирующее уравнение КИ при замене $u\rightarrow\pm iu$, при такой замене его решение становится комплексной, а не вещественной функцией. Поэтому вещественное решение вещественного нелокального дефокусирующего уравнения КИ с обратным пространством и временем необходимо изучить отдельно. Имеется ряд результатов [14], [16], [27] о точных решениях уравнений (3) и (4). В частности, в работах [14], [16] было построено неустойчивое солитонное решение вещественного и комплексного нелокальных фокусирующих уравнений КИ с обратным пространством и временем, которое показало, какое влияние оказывает нелокальность в уравнениях, и вызвало наш большой интерес. Однако, проанализировав литературу, мы не нашли аналогичных результатов для дефокусирующего случая. Построение и анализ таких солитонных решений для этого случая является основной целью настоящей работы. Работа организована следующим образом. В разделе 2 мы вводим преобразование Дарбу (ПД) для уравнения 2КИ с помощью преобразования взаимности и ассоциированного уравнения 2КИ (уравнения а2КИ). В разделе 3 мы строим однобризерные решения двух $\mathcal{PT}$-симметричных нелокальных уравнений путем редукции двухсолитонного решения уравнения 2КИ. В разделе 4 для двух $\mathcal{PT}$-симметричных нелокальных уравнений представлены мультибризерные решения и графически продемонстрированы их динамические свойства. 2. Преобразование Дарбу для уравнения 2КИЧтобы построить ПД для уравнения 2КИ, сначала напомним некоторые связанные с этим результаты об уравнении 2КИ. Согласно работе [25] уравнение 2КИ (2) можно вывести из следующей пары Лакса типа Вадати–Конно-Ичикавы:
$$
\begin{equation}
\Phi_x= \lambda\begin{pmatrix} 1 & u_x \\ v_x & -1 \end{pmatrix}\Phi,\qquad \Phi_t=\begin{pmatrix} \frac{1}{4\lambda}+\frac{\lambda}{2} uv & -\frac{u}{2}+\frac{\lambda}{2} uvu_x \\ \frac{v}{2}+\frac{\lambda}{2} uvv_x & -\frac{1}{4\lambda}-\frac{\lambda}{2} uv \end{pmatrix}\Phi,
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $\Phi=(\phi_1,\phi_2)^{\mathrm T}$. Путем непосредственных вычислений уравнение (2) переписывается в виде закона сохранения Таким образом, можно ввести новые независимые переменные $(y,\tau)$ с помощью преобразования взаимности Тогда имеем
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial x}=p\frac{\partial}{\partial y},\qquad \frac{\partial}{\partial t}=\frac{1}{2}uvp\frac{\partial}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial \tau}
\end{equation}
\tag{7}
$$
или
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial y}=\frac{1}{p} \frac{\partial}{\partial x},\qquad \frac{\partial}{\partial \tau}=-\frac{1}{2}uv\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial t}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Тем самым матричная спектральная задача (5) записывается в терминах переменных $(y,\tau)$ как где
$$
\begin{equation*}
M=\lambda\begin{pmatrix} 1/p & u_y \\ v_y & -1/p \end{pmatrix},\qquad N=\begin{pmatrix} 1/(4\lambda) & -u/2 \\ v/2 & -1/(4\lambda) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из условия совместности уравнений (9) имеем
$$
\begin{equation}
pu_{y\tau}=u,\qquad pv_{y\tau}=v,\qquad p_\tau=\frac{1}{2}\,p^2(uv)_y.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Кроме того, непосредственно применив преобразование взаимности к уравнению 2КИ, получаем систему уравнений
$$
\begin{equation}
pu_{y\tau}=u,\qquad pv_{y\tau}=v ,\qquad p^2=1+p^2u_yv_y,
\end{equation}
\tag{11}
$$
которая называется уравнением a2КИ. Отметим, что любое решение системы (11) также является решением системы (10), а обратное утверждение справедливо только при надлежащем выборе константы интегрирования. Теперь применим метод калибровочного преобразования, чтобы построить ПД для уравнения a2КИ (11). Для этого введем матрицу $\widehat\Phi=G\Phi$, где $G$ – подлежащая определению матрица калибровочного преобразования, а $\widehat\Phi$ удовлетворяет условиям
$$
\begin{equation*}
\widehat\Phi_{y}=\widehat M\,\widehat\Phi,\qquad \widehat\Phi_\tau=\widehat N\widehat\Phi
\end{equation*}
\notag
$$
с матрицами $\widehat M$, $\widehat N$ того же вида, что и $M$, $N$, за исключением того, что в них переменные $p$, $u$ и $v$ заменены новыми переменными $p_n$, $u_n$ и $v_n$. Отсюда получаем Чтобы вывести удовлетворяющее необходимым условиям ПД, предположим, что $G$ имеет следующий вид:
$$
\begin{equation*}
G=\lambda^{-n}I+\sum_{j=0}^{n-1}\lambda^{-j}G_j,\qquad G_j=\begin{pmatrix} a_j & b_j \\ c_j & d_j \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_j$, $b_j$, $c_j$, $d_j$ ($j=0,1,\ldots,n-1$) – подлежащие определению неизвестные, $I$ – единичная матрица. Заметим, что матрица $G$ зависит от $4n$ неизвестных параметров, поэтому выберем $2n$ частных решений $\Phi_j=(\phi_{j1},\phi_{j2})^{\mathrm T}$ спектральной задачи с $\lambda=1/\lambda_j$ ($j=1,2\ldots,2n$). Тогда $a_j$, $b_j$, $c_j$, $d_j$ ($j=0,1,\ldots,n-1$) можно найти по правилу Крамера. Например, для $n=1$ получаем из линейных уравнений
$$
\begin{equation*}
G\biggl(\frac{1}{\lambda_1}\biggr)(\phi_{11},\phi_{12})^{\mathrm T}=0,\qquad G\biggl(\frac{1}{\lambda_2}\biggr)(\phi_{21},\phi_{22})^{\mathrm T}=0
\end{equation*}
\notag
$$
следующие формулы:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} a_0&= -\frac{\begin{vmatrix} \phi_{11}\lambda_1 & \phi_{12} \\ \phi_{21}\lambda_2 & \phi_{22} \end{vmatrix}} {\begin{vmatrix} \phi_{11} & \phi_{12} \\ \phi_{21} & \phi_{22} \end{vmatrix}}, & \qquad b_0&= \frac{\begin{vmatrix} \phi_{11}\lambda_1 & \phi_{11} \\ \phi_{21}\lambda_2 & \phi_{21} \end{vmatrix}} {\begin{vmatrix} \phi_{11} & \phi_{12} \\ \phi_{21} & \phi_{22}\end{vmatrix}}, \\ c_0&= \frac{\begin{vmatrix} \phi_{12} & \phi_{12}\lambda_1 \\ \phi_{22} & \phi_{22}\lambda_2 \end{vmatrix}} {\begin{vmatrix} \phi_{11} & \phi_{12} \\ \phi_{21} & \phi_{22} \end{vmatrix}}, & \qquad d_0&= -\frac{\begin{vmatrix} \phi_{11} & \phi_{12}\lambda_1 \\ \phi_{21} & \phi_{22}\lambda_2 \end{vmatrix}} {\begin{vmatrix} \phi_{11} & \phi_{12} \\ \phi_{21} & \phi_{22} \end{vmatrix}}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{13}
$$
Для общего $n$, как показывают вычисления, имеем
$$
\begin{equation}
a_{n-1}=\frac{\Delta_{n-1}^{11}}{\Delta_{n-1}},\qquad b_{n-1}=\frac{\Delta_{n-1}^{12}}{\Delta_{n-1}},\qquad c_{n-1}=\frac{\Delta_{n-1}^{21}}{\Delta_{n-1}},
\end{equation}
\tag{14}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta_{n-1}&= \begin{vmatrix} \phi_{11} & \phi_{11}\lambda_1 & \ldots & \phi_{11}\lambda_1^{n-1} & \phi_{12} & \phi_{12}\lambda_1 & \ldots & \phi_{12}\lambda_1^{n-1} \\ \phi_{21} & \phi_{21}\lambda_2 & \ldots & \phi_{21}\lambda_2^{n-1} & \phi_{22} & \phi_{22}\lambda_2 & \ldots & \phi_{22}\lambda_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \phi_{2n,1} & \phi_{2n,1}\lambda_{2n} & \ldots & \phi_{2n,1}\lambda_{2n}^{n-1} & \phi_{2n,2} & \phi_{2n,2}\lambda_{2n} & \ldots & \phi_{2n,2}\lambda_{2n}^{n-1} \end{vmatrix}, \\ \Delta_{n-1}^{11}&= -\begin{vmatrix} \phi_{11} & \phi_{11}\lambda_1 & \ldots & \phi_{11}\lambda_1^{n} & \phi_{12} & \phi_{12}\lambda_1 & \ldots & \phi_{12}\lambda_1^{n-1} \\ \phi_{21} & \phi_{21}\lambda_2 & \ldots & \phi_{21}\lambda_2^{n} & \phi_{22} & \phi_{22}\lambda_2 & \ldots & \phi_{22}\lambda_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \phi_{2n,1} & \phi_{2n,1}\lambda_{2n} & \ldots & \phi_{2n,1}\lambda_{2n}^{n} & \phi_{2n,2} & \phi_{2n,2}\lambda_{2n} & \ldots & \phi_{2n,2}\lambda_{2n}^{n-1} \end{vmatrix},\vphantom{|^{\bigg|^{\bigg|}}} \\ \Delta_{n-1}^{12}&= \begin{vmatrix} \phi_{11} & \phi_{11}\lambda_1 & \ldots & \phi_{11}\lambda_1^{n} & \phi_{12} & \phi_{12}\lambda_1 & \ldots & \phi_{11}\lambda_1^{n-1} \\ \phi_{21} & \phi_{21}\lambda_2 & \ldots & \phi_{21}\lambda_2^{n} & \phi_{22} & \phi_{22}\lambda_2 & \ldots & \phi_{21}\lambda_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \phi_{2n,1} & \phi_{2n,1}\lambda_{2n} & \ldots & \phi_{2n,1}\lambda_{2n}^{n} & \phi_{2n,2} & \phi_{2n,2}\lambda_{2n} & \ldots & \phi_{2n,1}\lambda_{2n}^{n-1} \end{vmatrix},\vphantom{|^{\bigg|^{\bigg|}}} \\ \Delta_{n-1}^{21}&= \begin{vmatrix} \phi_{11} & \phi_{11}\lambda_1 & \ldots & \phi_{12}\lambda_1^{n-1} & \phi_{12} & \phi_{12}\lambda_1 & \ldots & \phi_{12}\lambda_1^{n} \\ \phi_{21} & \phi_{21}\lambda_2 & \ldots & \phi_{22}\lambda_2^{n-1} & \phi_{22} & \phi_{22}\lambda_2 & \ldots & \phi_{22}\lambda_2^{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \phi_{2n,1} & \phi_{2n,1}\lambda_{2n} & \ldots & \phi_{2n,2}\lambda_{2n}^{n-1} & \phi_{2n,2} & \phi_{2n,2}\lambda_{2n} & \ldots & \phi_{2n,2}\lambda_{2n}^{n} \end{vmatrix}.\vphantom{|^{\bigg|^{\bigg|}}} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание. Определители $\Delta_{n-1}$, $\Delta_{n-1}^{11}$, $\Delta_{n-1}^{12}$ и $\Delta_{n-1}^{21}$ – это определители матриц размера $2n\times2n$. В $2n$-м столбце определителя $\Delta_{n-1}^{21}$ и $n$-х столбцах определителей $\Delta_{n-1}^{11}$ и $\Delta_{n-1}^{12}$ степени параметров $\lambda_j$ равны $n$, а не $n-1$. Окончательно столбцы указанных выше определителей записываются по порядку от $2n$-го столбца до первого. Например, при $n=3$ определитель $\Delta_{n-1}^{11}$ имеет вид С учетом (12) получаем
$$
\begin{equation}
u_n=u+b_{n-1},\qquad v_n=v+c_{n-1},\qquad \frac{1}{p_n}=\frac{1}{p}+a_{n-1,y}.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Преобразование взаимности (6) показывает, что ПД уравнения 2КИ содержит не только зависимые переменные, но и независимую переменную $x$. Из (8) и (15) мы имеем где $c$ – постоянная интегрирования; мы выбираем $c=\sum_{j=1}^{n}\frac{\lambda_j+\lambda_{n+j}}{2}$. Таким образом, мы можем задать ПД для уравнения 2КИ в следующем компактном виде:
$$
\begin{equation}
u_n=u+\frac{\Delta_{n-1}^{12}}{\Delta_{n-1}},\qquad v_n=v+\frac{\Delta_{n-1}^{21}}{\Delta_{n-1}},\qquad x_n=x-2(\ln \Delta_{n-1})_\tau,\qquad t_n=t.
\end{equation}
\tag{17}
$$
В этом разделе мы построили ПД (17) для уравнения 2КИ с помощью калибровочного преобразования. По сравнению с формулой (15) в разделе 3 статьи [14] мы придали переменным $x_n$ более компактный вид за счет правильного выбора константы интегрирования $c$. Это сделает более удобным построение решения вещественной и комплексной задач для нелокального дефокусирующего уравнения КИ с обратным пространством и временем. 3. Однобризерные решенияВ этом разделе мы сначала на примере $n=1$ показываем, как строятся решения $\mathcal{PT}$-симметричных нелокальных уравнений путем редукции решения уравнения 2КИ. Для этого сначала выберем тривиальное начальное решение $u=0$, $v=0$ и $p=1$. В силу (6) имеем $x=y$, $t=\tau$. Затем зададим частные решения линейной спектральной задачи (9) при $\lambda=1/\lambda_1$ и $\lambda=1/\lambda_2$ в виде
$$
\begin{equation}
\Phi_1=\binom{\phi_{11}}{\phi_{12}}=\binom{e^{\xi_1}}{\mu_1e^{-\xi_1}},\qquad \Phi_2=\binom{\phi_{21}}{\phi_{22}}=\binom{\mu_2e^{\xi_2}}{e^{-\xi_2}},
\end{equation}
\tag{18}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\xi_1=\frac{1}{\lambda_1}x+\frac{\lambda_1}{4}t,\qquad \xi_2=\frac{1}{\lambda_2}x+\frac{\lambda_2}{4}t.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате из (17) при $n=1$ получаем односолитонное решение уравнения 2КИ:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u_1=\frac{(\lambda_1-\lambda_2)\mu_2e^{\xi_1+\xi_2}}{e^{\xi_1-\xi_2}-\mu_1\mu_2e^{\xi_2-\xi_1}},\qquad v_1=\frac{(\lambda_2-\lambda_1)\mu_1e^{-\xi_1-\xi_2}}{e^{\xi_1-\xi_2}-\mu_1\mu_2e^{\xi_2-\xi_1}}, \\ x_1=x-2\bigl[\ln (e^{\xi_1-\xi_2}-\mu_1\mu_2e^{\xi_2-\xi_1})\bigr]_t. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{19}
$$
Как мы отмечали выше, вещественное нелокальное дефокусирующее уравнение КИ с обратным пространством и временем можно получить путем редукции уравнения 2КИ, и это дает нам основания предполагать, что решение первого уравнения также можно построить путем редукции решения второго. В самом деле, предположим, что $\mu_1\mu_2=-1$ и $\mu_2=\mu_1$, тогда с учетом формул (19) получаем соотношения $v_1(x,t)=-u_1(-x,- t)$ и $x_1(x,t)=-x_1(-x,-t)$. Следовательно, имеем редукцию $v_1(x_1,t_1)=-u_1(-x_1,-t_1)$. Из приведенного выше предположения следует, что если взять $\mu_1=\mu_2=i$, то мы получаем следующее решение вещественного нелокального дефокусирующего уравнения КИ с обратным пространством и временем:
$$
\begin{equation}
u_1=i\frac{\lambda_1-\lambda_2}{2}\,e^{\xi_1+\xi_2}\operatorname{sch}(\xi_1-\xi_2),\qquad x_1=x-2\bigl[\ln(\operatorname{ch}(\xi_1-\xi_2))\bigr]_t.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Из-за наличия в выражении (20) экспоненты $e^{\xi_1+\xi_2}$ решение $u_1$ будет либо затухать, либо расти при $t\to\infty$ в зависимости от значений $\lambda_1$ и $\lambda_2$. Таким образом, этот тип решения представляет собой неустойчивый солитон или солитоноподобное решение [14], [16]. Нетрудно понять, что если $\lambda_1$ и $\lambda_2$ – вещественные числа, то $u_1$ в (20) – комплексное решение. Однако мы уже упоминали, что для вещественного нелокального дефокусирующего уравнения КИ (3) с обратным пространством и временем предполагается, что решение $u$ должно быть вещественным. Аналогичный анализ показывает, что соответствующее комплексное уравнение КИ при $n=1$ также не может иметь осмысленного решения. Чтобы получить более физически содержательные решения для рассматриваемых вещественных и комплексных уравнений, нам необходимо применить редукцию к солитонным решениям уравнения 2КИ с четным $n$. Начнем с простейшего положительного четного числа $n=2$ и выберем частные решения линейной спектральной задачи (9) при $\lambda=1/\lambda_j$ ($j=1,2,3,4$) как
$$
\begin{equation}
\Phi_j=\binom{e^{\xi_j}}{\mu_je^{-\xi_j}}\quad\text{при}\quad j=1,2,\qquad \Phi_j=\binom{\mu_je^{\xi_j}}{e^{-\xi_j}}\quad\text{при}\quad j=3,4,
\end{equation}
\tag{21}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\xi_j=\frac{1}{\lambda_j}x+\frac{\lambda_j}{4}t,\qquad j=1,2,3,4.
\end{equation*}
\notag
$$
Из соотношений (17) при $n=2$ получаем двухсолитонное решение уравнения 2КИ:
$$
\begin{equation}
u_2=\frac{A_2}{A_1},\qquad v_2=\frac{A_3}{A_1},\qquad x_2=x-2(\ln A_1)_t,\qquad t_2=t,
\end{equation}
\tag{22}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1&=(\lambda_1-\lambda_3)(\lambda_2-\lambda_4)(\mu_2\mu_3e^{\xi_1-\xi_2+\xi_3-\xi_4}+\mu_1\mu_4e^{-\xi_1+\xi_2-\xi_3+\xi_4})-{} \\ &\quad-(\lambda_1-\lambda_4)(\lambda_2-\lambda_3)(\mu_1\mu_3e^{-\xi_1+\xi_2+\xi_3-\xi_4}+\mu_2\mu_4e^{\xi_1-\xi_2-\xi_3+\xi_4})-{} \\ &\quad-(\lambda_1-\lambda_2)(\lambda_3-\lambda_4)(e^{\xi_1+\xi_2-\xi_3-\xi_4}+\mu_1\mu_2\mu_3\mu_4e^{-\xi_1-\xi_2+\xi_3+\xi_4}), \\ A_2&=\bigl[-(\lambda_2-\lambda_3)(\lambda_2-\lambda_4)(\lambda_3-\lambda_4)\mu_1\mu_3\mu_4e^{-2\xi_1}+{} \\ &\quad\;\;+(\lambda_1-\lambda_3)(\lambda_1-\lambda_4)(\lambda_3-\lambda_4)\mu_2\mu_3\mu_4e^{-2\xi_2}-{} \\ &\quad\;\;-(\lambda_1-\lambda_4)(\lambda_2-\lambda_4)(\lambda_1-\lambda_2)\mu_4e^{-2\xi_3}+{} \\ &\quad\;\;+(\lambda_1-\lambda_3)(\lambda_2-\lambda_3)(\lambda_1-\lambda_2)\mu_3e^{-2\xi_4}\bigr] e^{\xi_1+\xi_2+\xi_3+\xi_4}, \\ A_3&=\bigl[-(\lambda_2-\lambda_3)(\lambda_2-\lambda_4)(\lambda_3-\lambda_4)\mu_2e^{2\xi_1}+{} \\ &\quad\;\;+(\lambda_1-\lambda_3)(\lambda_1-\lambda_4)(\lambda_3-\lambda_4)\mu_1e^{2\xi_2}-{} \\ &\quad\;\;-(\lambda_1-\lambda_4)(\lambda_2-\lambda_4)(\lambda_1-\lambda_2)\mu_1\mu_2\mu_3e^{2\xi_3}+{} \\ &\quad\;\;+(\lambda_1-\lambda_3)(\lambda_2-\lambda_3)(\lambda_1-\lambda_2)\mu_1\mu_2\mu_4e^{2\xi_4}\bigr] e^{-\xi_1-\xi_2-\xi_3-\xi_4}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя рассуждения для случая $n=1$, можно построить решение комплексного и вещественного нелокальных дефокусирующих уравнений КИ с обратным пространством и временем путем редукции решения (22). Если $\lambda_j$ – вещественные числа, то, чтобы получить решение комплексного нелокального дефокусирующего уравнения КИ с обратным пространством и временем (22), нам нужно предположить, что $v_2(x,t)=-u_2^* (-x,-t)$. Это приводит к условиям
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu_2^*\mu_3^*=\mu_1^{}\mu_4^{},\qquad \mu_1^*\mu_3^*=\mu_2^{}\mu_4^{},\qquad 1=\mu_1^{}\mu_2^{}\mu_3^{}\mu_4^{}, \\ \mu_2^*=-\mu_1^{}\mu_3^{}\mu_4^{},\qquad \mu_1^*=-\mu_2^{}\mu_3^{}\mu_4^{},\qquad \mu_4^*=-\mu_3^{}\mu_1^{}\mu_2^{},\qquad \mu_3^*=-\mu_4^{}\mu_1^{}\mu_2^{}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Однако отсюда возникает ограничение $\mu_1\mu_1^*=\mu_2\mu_2^*=\mu_3\mu_3^*=\mu_4\mu_4^*=-1$. Если $\lambda_j$ – комплексные числа, удовлетворяющие условиям $\lambda_2=\lambda_1^*$ и $\lambda_4=\lambda_3^*$, то из $v_2(x,t)=-u_2^*(-x,-t)$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu_2^*\mu_3^*=\mu_2^{}\mu_3^{},\qquad \mu_1^*\mu_3^*=\mu_1^{}\mu_3^{},\qquad \mu_1^*\mu_4^*=\mu_1^{}\mu_4^{},\qquad \mu_2^*\mu_4^*=\mu_2^{}\mu_4^{},\qquad 1=\mu_1^{}\mu_2^{}\mu_3^{}\mu_4^{}, \\ \mu_1^*=-\mu_1^{}\mu_3^{}\mu_4^{},\qquad \mu_2^*=-\mu_2^{}\mu_3^{}\mu_4^{},\qquad\mu_3^*=-\mu_1^{}\mu_2^{}\mu_3^{},\qquad\mu_4^*=-\mu_1^{}\mu_2^{}\mu_4. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для простоты положим $\mu_1=e^{i\theta}$, $\mu_2=-e^{i\theta}$, $\mu_3=-e^{-i\theta}$, $\mu_4=e^{-i\theta}$, при этом равенство $x_2(-x,-t)=-x_2(x,t)$ выполнено. Отсюда $v_2(x_2,t_2)=-u_2^*(-x_2,-t_2)$ и где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B_1^{}&=2|\lambda_1^{}-\lambda_3^{}|^2\operatorname{ch}(\xi_1^{}-\xi_1^*+\xi_3^{}-\xi_3^*)+ 2|\lambda_1^{}-\lambda_3^*|^2\operatorname{ch}(\xi_1^{}-\xi_1^*-\xi_3^{}+\xi_3^*)-{} \\ &\quad -2(\lambda_1^{}-\lambda_1^*)(\lambda_3^{}-\lambda_3^*)\operatorname{ch}(\xi_1^{}+\xi_1^*-\xi_3^{}-\xi_3^*), \\ B_2&=e^{-i\theta}\bigl[(\lambda_1^*-\lambda_3^{})(\lambda_1^*-\lambda_3^*)(\lambda_3^{}-\lambda_3^*)e^{-2\xi_1}+{} \\ &\qquad\quad\;\;+(\lambda_1^{}-\lambda_3^{})(\lambda_1^{}-\lambda_3^*)(\lambda_3^{}-\lambda_3^*)e^{-2\xi_1^*}-{} \\ &\qquad\quad\;\;-(\lambda_1^{}-\lambda_3^*)(\lambda_1^*-\lambda_3^*)(\lambda_1^{}-\lambda_1^*)e^{-2\xi_3}-{} \\ &\qquad\quad\;\;-(\lambda_1^{}-\lambda_3^{})(\lambda_1^*-\lambda_3^{})(\lambda_1^{}-\lambda_1^*) e^{-2\xi_3^*}\bigr]e^{\xi_1^{}+\xi_1^*+\xi_3^{}+\xi_3^*}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подобно решениям (20) экспонента $e^{\xi_1+\xi_1^*+\xi_3+\xi_3^*}$ в выражении (23) для $u_2$ также делает это решение неустойчивым. Подобрав подходящие параметры, мы можем получить однобризерное решение комплексного нелокального дефокусирующего уравнения КИ с обратным пространством и временем. На рис. 1 показаны два примера такого решения с параметрами
$$
\begin{equation}
\lambda_1 =-\frac{1}{4}+i, \quad \lambda_2 =-\frac{1}{4}-i, \quad \lambda_3 =\frac{1}{4}+\frac{9}{10}i, \quad \lambda_4 =\frac{1}{4}-\frac{9}{10}i,
\end{equation}
\tag{24а}
$$
$$
\begin{equation}
\lambda_1 =\frac{1}{4}+i, \quad \lambda_2 =\frac{1}{4}-i, \quad \lambda_3 =-\frac{1}{4}+\frac{9}{10}i, \quad \lambda_4 =-\frac{1}{4}-\frac{9}{10}i.
\end{equation}
\tag{24б}
$$
 Рис. 1.Однобризерное решение комплексного нелокального дефокусирующего уравнения КИ с обратным пространством и временем при $\theta=\pi/6$: неустойчивый затухающий бризер с параметрами (24а) (а) и неустойчивый растущий бризер с параметрами (24б) (б).  Рис. 2.Однобризерное решение вещественного нелокального дефокусирующего уравнения КИ с обратным пространством и временем при $\theta=\pi/2$: неустойчивый затухающий бризер с параметрами (25а) (а) и неустойчивый растущий бризер с параметрами (25б) (б). Далее, если выбрать $\theta=\pi/2$ (т. е. $\mu_1=\mu_3=i$, $\mu_2=\mu_4=-i$), то решение $u_2(x_2,t_2)$ становится вещественной функцией, и тогда имеет место редукционное соотношение $v_2(x_2,t_2)=-u_2(-x_2,-t_2)$. Таким образом, однобризерное решение вещественного нелокального дефокусирующего уравнения КИ с обратным пространством и временем также можно построить по формулам (23). Графики этого решения с параметрами
$$
\begin{equation}
\lambda_1 =\frac{1}{8}+i, \quad \lambda_2 =\frac{1}{8}-i, \quad \lambda_3 =-\frac{1}{8}+\frac{11}{10}i, \quad \lambda_4 =-\frac{1}{8}-\frac{11}{10}i,
\end{equation}
\tag{25а}
$$
$$
\begin{equation}
\lambda_1 =-\frac{1}{8}+i, \quad \lambda_2 =-\frac{1}{8}-i, \quad \lambda_3 =\frac{1}{8}+\frac{11}{10}i, \quad \lambda_4 =\frac{1}{8}-\frac{11}{10}i
\end{equation}
\tag{25б}
$$
представлены на рис. 2. Из приведенного выше анализа видно, что решения уравнений КИ должны содержать независимую переменную $x$. В работе [16] авторы построили только солитонные решения комплексного нелокального дефокусирующего уравнения КИ с обратным пространством и временем и проигнорировали независимую переменную $x$. Приведем в качестве дополнительного результата бризерное решение этого уравнения. Если $\lambda_j$ – комплексные числа, удовлетворяющие условиям $\lambda_2=\lambda_1^*$ и $\lambda_4=\lambda_3^*$, то, чтобы получить равенство $v_2(x,t)=u_2^*(-x,- t)$, нам потребуются следующие ограничения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu_2^*\mu_3^*=\mu_2^{}\mu_3^{},\qquad \mu_1^*\mu_3^*=\mu_1^{}\mu_3^{},\qquad \mu_1^*\mu_4^*=\mu_1^{}\mu_4^{},\qquad \mu_2^*\mu_4^*=\mu_2^{}\mu_4^{},\qquad 1=\mu_1^{}\mu_2^{}\mu_3^{}\mu_4^{}, \\ \mu_1^*=\mu_1^{}\mu_3^{}\mu_4^{},\qquad \mu_2^*=\mu_2^{}\mu_3^{}\mu_4^{},\qquad \mu_3^*=\mu_1^{}\mu_2^{}\mu_3^{},\qquad \mu_4^*=\mu_1^{}\mu_2^{}\mu_4. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем $\mu_1=\mu_2=-e^{-i\theta}$, $\mu_3=\mu_4=e^{i\theta}$, при этом равенство $x_2(-x,-t)=-x_2(x,t)$ также выполнено. Получаем редукционное соотношение $v_2(x_2,t_2)=u_2^*(-x_2,-t_2)$ и решение где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C_1&=-2|\lambda_1-\lambda_3|^2\operatorname{ch}(\xi_1-\xi_1^*+\xi_3-\xi_3^*)+2|\lambda_1-\lambda_3^*|^2\operatorname{ch}(\xi_1-\xi_1^*-\xi_3+\xi_3^*)-{} \\ &\kern11pt -2(\lambda_1-\lambda_1^*)(\lambda_3-\lambda_3^*)\operatorname{ch}(\xi_1+\xi_1^*-\xi_3-\xi_3^*), \\ C_2&=e^{i\theta}\bigl[(\lambda_1^*-\lambda_3)(\lambda_1^*-\lambda_3^*)(\lambda_3-\lambda_3^*)e^{-2\xi_1}-{} \\ &\qquad\quad\;\;-(\lambda_1-\lambda_3)(\lambda_1-\lambda_3^*)(\lambda_3-\lambda_3^*)e^{-2\xi_1^*}-{} \\ &\qquad\quad\;\;-(\lambda_1-\lambda_3^*)(\lambda_1^*-\lambda_3^*)(\lambda_1-\lambda_1^*)e^{-2\xi_3}+{} \\ &\qquad\quad\;\;+(\lambda_1-\lambda_3)(\lambda_1^*-\lambda_3)(\lambda_1-\lambda_1^*)e^{-2\xi_3^*}\big]e^{\xi_1+\xi_1^*+\xi_3+\xi_3^*}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это неустойчивое однобризерное решение комплексного нелокального дефокусирующего уравнения КИ с обратным пространством и временем. Графики этого решения при $\theta=\pi/6$ для двух наборов параметров
$$
\begin{equation}
\lambda_1 =\frac{1}{6}+i, \quad \lambda_2 =\frac{1}{6}-i, \quad \lambda_3 =-\frac{1}{6}+\frac{11}{10}i, \quad \lambda_4 =-\frac{1}{6}-\frac{11}{10}i,
\end{equation}
\tag{27а}
$$
$$
\begin{equation}
\lambda_1 =-\frac{1}{6}+i, \quad \lambda_2 =-\frac{1}{6}-i, \quad \lambda_3 =\frac{1}{6}+\frac{11}{10}i, \quad \lambda_4 =\frac{1}{6}-\frac{11}{10}i
\end{equation}
\tag{27б}
$$
представлены на рис. 3.  Рис. 3.Однобризерное решение комплексного нелокального дефокусирующего уравнения КИ с обратным пространством и временем при $\theta=\pi/6$: неустойчивый затухающий бризер с параметрами (27а) (а) и неустойчивый растущий бризер с параметрами (27б) (б). Если взять $\theta=\pi$ (т. е. $\mu_1=\mu_2=1$, $\mu_3=\mu_4=-1$), то решение $u_2(x_2,t_2)$ становится вещественной функцией, и тогда имеет место редукционное соотношение $v_2(x_2,t_2)=-u_2(-x_2,-t_2)$. Это однобризерное решение вещественного нелокального дефокусирующего уравнения КИ с обратным пространством и временем, соответствующее решению (28) в работе [14]. Замечание. Если применить редукцию к решению уравнения 2КИ с $n=1$, то мы получим решение (20) вещественного нелокального дефокусирующего уравнения КИ с обратным пространством и временем, которое имеет вид $iU$, где $U$ – вещественная функция, и соответствует решению (25) в [14]. Как мы отмечали выше, решение (20) не является осмысленным. Напротив, когда мы сравниваем результаты при $n=2$, решение (23) с $\theta=\pi/2$ и решение (26) с $\theta= \pi$ являются вещественными функциями, причем они не связаны между собой заменой $u\to\pm i u$. Следовательно, при $n=2$ мы можем редуцировать решение уравнения 2КИ к решению вещественного нелокального дефокусирующего уравнения КИ с обратным пространством и временем. 4. Мультибризерные решенияВ предыдущем разделе мы построили однобризерные решения путем редукции двухсолитонного решения уравнения 2КИ. Естественно, что для построения мультибризерных решений нам необходимо подвергнуть редукции ($2m$)-солитонное решение уравнения 2КИ. Для этого выберем начальное решение как $u=0$, $v=0$ и $p=1$. Предположим, что $n$ – четное целое число, $n=2m$, и выберем частные решения линейной спектральной задачи (9) в точке $\lambda=1/\lambda_j$ ($j=1,\ldots,2m$) как
$$
\begin{equation}
\Phi_j=\binom{e^{\xi_j}}{\mu_je^{-\xi_j}}\;\;\text{при}\;\; j=1,\ldots,m,\quad \Phi_j=\binom{\mu_je^{\xi_j}}{e^{-\xi_j}}\;\;\text{при}\;\; j=m+1,\ldots,2m,
\end{equation}
\tag{28}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\xi_j=\frac{1}{\lambda_j}x+\frac{\lambda_j}{4}t,\qquad j=1,\ldots,2m.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставив их в (17), получим ($2m$)-солитонное решение уравнения 2КИ:
$$
\begin{equation}
u_{2m}=\frac{\Delta_{2m-1}^{12}}{\Delta_{2m-1}},\qquad v_{2m}=\frac{\Delta_{2m-1}^{21}}{\Delta_{2m-1}},\qquad x_{2m}=x-2(\ln \Delta_{2m-1})_t ,\qquad t_{2m}=t,
\end{equation}
\tag{29}
$$
где $\Delta_{2m-1}$, $\Delta_{2m-1}^{12}$ и $\Delta_{2m-1}^{21}$ заданы в (14). Чтобы получить редукционное соотношение
$$
\begin{equation*}
v_{2m}^{}(x_{2m}^{},t_{2m}^{})=-u^*_{2m}(-x_{2m}^{},-t_{2m}^{}),
\end{equation*}
\notag
$$
необходимое для комплексного нелокального дефокусирующего уравнения КИ с обратным пространством и временем, можно взять параметры равными $\mu_{2j-1}=e^{i\theta}$, $\mu_{2j}=-e^{i\theta}$ при $j\leqslant m$ и $\mu_{2j-1}=-e^{-i\theta}$, $\mu_{2j}=e^{-i\theta}$ при $m<j\leqslant 2m$. После этого, подобрав подходящие параметры, мы можем получить $m$-бризерное решение комплексного нелокального дефокусирующего уравнения КИ с обратным пространством и временем по формуле (29). Далее возьмем $\theta=\pi/2$ (т. е. $\mu_{2j-1}=i$ и $\mu_{2j}=-i$), тогда $u_{2m}(x_{2m},t_{2m})$ становится вещественной функцией, и мы имеем редукционное соотношение Таким образом, $m$-бризерное решение вещественного нелокального дефокусирующего уравнения КИ с обратным пространством и временем также можно построить по формулам (29). Конкретный вид решения (29) для $n=4$ довольно сложный, и мы здесь его опускаем. На рис. 4 и рис. 5 показаны примеры мультибризерных решений со следующими параметрами:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{7} \lambda_1&=\frac{1}{5}+i,&\quad \lambda_2&=\frac{1}{5}-i,&\quad \lambda_3&=\frac{1}{6}+i,&\quad \lambda_4&=\frac{1}{6}-i, \\ \lambda_5&=-\frac{1}{5}+\frac{11}{10}i,&\quad \lambda_6&=-\frac{1}{5}-\frac{11}{10}i,&\quad \lambda_7&=-\frac{1}{6}+\frac{11}{10}i,&\quad \lambda_8&=-\frac{1}{6}-\frac{11}{10}i, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{30а}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{7} \lambda_1&=-\frac{1}{5}+i,&\quad \lambda_2&=-\frac{1}{5}-i,&\quad \lambda_3&=-\frac{1}{6}+i,&\quad \lambda_4&=-\frac{1}{6}-i,\vphantom{|^{\Big|}} \\ \lambda_5&=\frac{1}{5}+\frac{11}{10}i,&\quad \lambda_6&=\frac{1}{5}-\frac{11}{10}i,&\quad \lambda_7&=\frac{1}{6}+\frac{11}{10}i,&\quad \lambda_8&=\frac{1}{6}-\frac{11}{10}i \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{30б}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{7} \lambda_1&=\frac{1}{7}+i,&\quad \lambda_2&=\frac{1}{7}-i,&\quad \lambda_3&=\frac{1}{8}+i,&\quad \lambda_4&=\frac{1}{8}-i, \\ \lambda_5&=-\frac{1}{6}+\frac{11}{10}i, &\quad \lambda_6&=-\frac{1}{6}-\frac{11}{10}i,&\quad \lambda_7&=-\frac{1}{5}+\frac{11}{10}i,&\quad \lambda_8&=-\frac{1}{5}-\frac{11}{10}i, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{31а}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{7} \lambda_1&=-\frac{1}{7}+i,&\quad \lambda_2&=-\frac{1}{7}-i,&\quad \lambda_3&=-\frac{1}{8}+i,&\quad \lambda_4&=-\frac{1}{8}-i,\vphantom{|^{\Big|}} \\ \lambda_5&=\frac{1}{6}+\frac{11}{10}i,&\quad \lambda_6&=\frac{1}{6}-\frac{11}{10}i,&\quad \lambda_7&=\frac{1}{5}+\frac{11}{10}i,&\quad \lambda_8&=\frac{1}{5}-\frac{11}{10}i. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{31б}
$$
 Рис. 4.Двухбризерное решение комплексного нелокального дефокусирующего уравнения КИ с обратным пространством и временем при $\theta=\pi/6$: взаимодействие двух неустойчивых затухающих бризеров с параметрами (30а) (а) и взаимодействие двух неустойчивых растущих бризеров с параметрами (30б) (б).  Рис. 5.Двухбризерное решение вещественного нелокального дефокусирующего уравнения КИ с обратным пространством и временем при $\mu_1=\mu_3=\mu_5=\mu_7=i$: взаимодействие двух неустойчивых затухающих бризеров с параметрами (31а) (а) и взаимодействие двух неустойчивых растущих бризеров с параметрами (31б) (б). Аналогично, чтобы получить редукционное соотношение необходимое для комплексного нелокального фокусирующего уравнения КИ с обратным пространством и временем, можно взять параметры равными $\mu_{2j-1}=e^{i\theta}$, $\mu_j=-e^{-i\theta}$ при $j\leqslant m$ и $\mu_j=e^{i\theta}$ при $m<j\leqslant 2m$. После этого, подобрав подходящие значения параметров $\lambda_j$, мы можем получить $m$-бризерное решение по формуле (29). Два примера таких решений с параметрами
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{7} \lambda_1&=\frac{1}{5}+i,&\quad \lambda_2&=\frac{1}{5}-i,&\quad \lambda_3&=\frac{1}{8}+i,&\quad \lambda_4&=\frac{1}{8}-i, \\ \lambda_5&=-\frac{1}{5}+\frac{11}{10}i, &\quad \lambda_6&=-\frac{1}{5}-\frac{11}{10}i,&\quad \lambda_7&=-\frac{1}{8}+\frac{11}{10}i,&\quad \lambda_8&=-\frac{1}{8}-\frac{11}{10}i, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{32а}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{7} \lambda_1&=-\frac{1}{5}+i,&\quad \lambda_2&=-\frac{1}{5}-i,&\quad \lambda_3&=-\frac{1}{8}+i,&\quad \lambda_4&=-\frac{1}{8}-i,\vphantom{|^{\Big|}} \\ \lambda_5&=\frac{1}{5}+\frac{11}{10}i,&\quad \lambda_6&=\frac{1}{5}-\frac{11}{10}i,&\quad \lambda_7&=\frac{1}{8}+\frac{11}{10}i,&\quad \lambda_8&=\frac{1}{8}-\frac{11}{10}i \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{32б}
$$
показаны на рис. 6.  Рис. 6.Двухбризерное решение комплексного нелокального фокусирующего уравнения КИ с обратным пространством и временем при $\theta\,{=}\,\pi/6$: взаимодействие двух неустойчивых затухающих бризеров с параметрами (32а) (а) и взаимодействие двух неустойчивых растущих бризеров с параметрами (32б) (б). Если взять $\theta=\pi$ (т. е. $\mu_j=1$ при $j\leqslant m$, $\mu_j=-1$ при $m<j\leqslant 2m$), то решение $u_{2m}(x_{2m},t_{2m})$ становится вещественной функцией, и мы имеем редукционное соотношение Это $m$-бризерное решение вещественного нелокального фокусирующего уравнения КИ с обратным пространством и временем.5. ЗаключениеВ представленной работе мы применили модернизированный метод преобразования Дарбу из работы [14] и посредством более детального анализа редукции $n$-солитонного решения уравнения 2КИ обнаружили, что только тогда, когда $n$ является четным целым числом, $n=2m$, можно получить $m$-бризерные решения комплексного и вещественного дефокусирующих нелокальных уравнений КИ с обратным пространством и временем, в вещественном случае являющиеся вещественными. Это отличает дефокусирующие уравнения от фокусирующих, решения которых имеют смысл независимо от того, является ли $n$ четным или нечетным числом. Дополнительно для комплексного нелокального дефокусирующего уравнения КИ мы получили $m$-бризерное решение, которое отличается от солитоноподобного решения из работы [16]. Подведем итог: для комплексного (вещественного) фокусирующего уравнения можно построить и петлевые солитонные, и бризерные решения, тогда как в дефокусирующем случае можно получить только бризерное решение. Такого рода бризерные решения (или неустойчивые бризерные решения) могут отражать влияние нелокальности на нелокальные уравнения КИ с обращениями пространства и времени и заслуживают дальнейшего изучения. БлагодарностиАвтор с удовольствием благодарит анонимного рецензента за полезные предложения и комментарии. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Mao24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|