| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Условия ограниченности снизу для общего скалярного потенциала, зависящего от двух скалярных полей и бозона Хиггса И-Шэн Сунa, Ли-Цюнь Циbc a School of Mathematical Sciences, Chongqing Normal University, Chongqing, China b Department of Mathematics, School of Science, Hangzhou Dianzi University, Hangzhou, China c Department of Applied Mathematics, The Hong Kong Polytechnic University, Hung Hom, Kowloon, Hong Kong
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 220, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924090101 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеОграниченность снизу для скалярного потенциала имеет физический смысл: из нее напрямую следует, что такой скалярный потенциал положителен (или неотрицателен). Если скалярные взаимодействия остаются перенормируемыми, то степень полиномиального потенциала равна 4 [1], [2]. Тогда для потенциала от $n$ вещественных скалярных полей $\phi_i$ ($i=1,2,\ldots,n$) условие строгой ограниченности снизу эквивалентно требованию
$$
\begin{equation}
V(\phi)=\sum_{i,j,k,l=1}^n v_{ijkl}\phi_i\phi_j\phi_k\phi_l>0.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Пусть $\mathcal V=(v_{ijkl})$. Тогда $\mathcal V$ – симметричный тензор 4-го порядка, следовательно, условие (1) означает положительную определенность тензора $\mathcal V$. В работах [3], [4] Ци впервые ввел и использовал положительную определенность и коположительность тензоров: $n$-мерный вещественный тензор $\mathcal V=(v_{i_1i_2\ldots i_m})$ $m$-го порядка называется:
Каннике в работах [2], [5], [6] представил условия стабильности вакуума для общих скалярных потенциалов от двух вещественных скалярных полей $\phi_1$, $\phi_2$ и бозона Хиггса $\mathbf H$, а также изучил условие ограниченности снизу для скалярного потенциала, зависящего от бозона Хиггса $\mathbf H_1$ Стандартной модели, инертного дублета $\mathbf H_2$ и сложного синглета $\mathbf S$. Эти две задачи были решены в работе [5], при этом фактически в первой задаче использовалась положительная определенность, а во второй – коположительность соответствующего симметричного тензора. В работе [7] было получено аналитическое условие стабильности вакуума в модели с лево-правой симметрией, достаточное для благополучного нарушения симметрии. В работе [8] были представлены условия устойчивости потенциалов с несколькими дублетами Хиггса, а в работе [9] были найдены аналитические достаточные условия стабильности вакуума для потенциала, зависящего от двух дублетов Хиггса, с сохранением CP-четности и показано, что условие стабильности вакуума для такого потенциала с нарушением CP-четности зависит от множителя Лагранжа $\zeta$. Недавно в работе [10] были установлены условия ограниченности снизу для скалярного потенциала, зависящего от двух дублетов Хиггса, с явным сохранением CP-четности. В работе [11] были получены необходимые и достаточные условия ограниченности снизу для общего случая скалярного потенциала от двух дублетов Хиггса (более подробную информацию на эту тему можно также найти в работах [12], [13], [1]). В работах [8], [14]–[17] с использованием трех дублетов Хиггса с равными электрослабыми квантовыми числами были построены потенциалы Хиггса с единственным квадратичным членом и пятью членами четвертой степени, представляющие собой полиномы четвертой степени с вещественными коэффициентами, определенными в поле комплексных чисел. В работах [18] и [19] эти полиномы рассматривались над полем вещественных чисел; фактически авторы этих работ пытались найти аналитическое условие положительности таких полиномов. Недавно в работах [20] и [21] мы представили достаточное условие коположительности трехмерных симметричных тензоров 4-го порядка, чтобы найти условия ограниченности снизу для скалярного потенциала, зависящего от бозона Хиггса $\mathbf H_1$ Стандартной модели, инертного дублета $\mathbf H_2$ и сложного синглета $\mathbf S$. Совсем недавно в работе [22] мы привели необходимое и достаточное условие коположительности тензора, задаваемого этой физической моделью, а в работе [23] получили аналитическое необходимое и достаточное условие ограниченности скалярного потенциала снизу. В последние десятилетия было создано много численных алгоритмов поиска некоторых H-собственных значений и Z-собственных значений тензора [3], [24]–[36]. Эти алгоритмы применялись для проверки положительной определенности тензора четного порядка на основе знака наименьшего H- или Z-собственного значения. С другой стороны, для некоторых классов тензоров со специальной структурой их положительная определенность может быть получена напрямую, например для тензора Гильберта [37], тензора с диагональным преобладанием [3], B-тензора [38]–[40] и др. Однако для решения практических задач, таких как стабильность вакуума в случае общих скалярных потенциалов от нескольких полей, требуются аналитические выражения для условий положительной определенности. Наиболее общий скалярный потенциал, зависящий от двух вещественных скалярных полей $\phi_1$, $\phi_2$ и дублета Хиггса $\mathbf H$, имеет вид [2], [5], [6]
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, V(\phi_1^{},\phi_2^{},|H|)=\lambda_H^{}|H|^4&{}+\lambda_{H20}^{}|H|^2\phi_1^2+ \lambda_{H11}^{}|H|^2\phi_1^{}\phi_2^{}+ \lambda_{H02}^{}|H|^2\phi_2^2+{} \notag\\ &{}+\lambda_{40}^{}\phi_1^4+\lambda_{31}^{}\phi_1^3\phi_2^{}+ \lambda_{22}^{}\phi_1^2\phi_2^2+\lambda_{13}^{}\phi_1^{}\phi_2^3+\lambda_{04}^{}\phi_2^4. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2}
$$
Очевидно, что такой однородный полином четвертой степени определяет трехмерный симметричный тензор 4-го порядка $\mathcal V=(v_{ijkl})$, где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, v_{1111}=\lambda_{40},\quad v_{2222}=\lambda_{04},\quad v_{3333}=\lambda_H,\quad v_{1112}=\frac{1}{4}\lambda_{31},\quad v_{1222}=\frac{1}{4}\lambda_{13}, \\ v_{1133}=\frac{1}{6}\lambda_{H20},\quad v_{1122}=\frac{1}{6}\lambda_{22},\quad v_{2233}=\frac{1}{6}\lambda_{H02},\quad v_{1233}=\frac{1}{12}\lambda_{H11}, \\ v_{ijkl}=0\quad\text{в остальных случаях}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3}
$$
следовательно, ограниченность снизу такого скалярного потенциала эквивалентна положительной (полу)определенности тензора $\mathcal V$. Таким образом, требуется найти аналитическое условие положительной (полу)определенности тензора. Для двумерного симметричного тензора 4-го порядка такое условие восходит к работам [41]–[43]; в работе [44] были получены уточненные доказательства и выводы, однако полученный результат зависит от дискриминанта полинома. Недавно в работе [45] было найдено новое необходимое и достаточное условие, не содержащее дискриминант. Совсем недавно в работе [46] мы нашли новое необходимое и достаточное условие, отличное от приведенных выше. Авторы работы [47] утверждали, что получили необходимое и достаточное условие положительной определенности, не содержащее дискриминант, однако в их аргументации есть неточность. В 1998 г. Фу [48] показал, что условие из работы [47] является только достаточным. В работе [49] было представлено несколько аналитических достаточных условий положительной определенности трехмерного симметричного тензора 4-го порядка, но до сих пор для этого тензора не было найдено аналитическое необходимое и достаточное условие положительной (полу)определенности. В настоящей статье мы в основном концентрируем свое внимание на аналитических условиях положительной (полу)определенности тензора 4-го порядка, заданного в (3). Точнее, опираясь на работу [46], мы сначала находим аналитическое необходимое и достаточное условие положительной (полу)определенности двумерных симметричных тензоров 4-го порядка, а затем с помощью этого результата получаем аналитические условия положительной (полу)определенности тензора (3). Эти аналитические условия являются необходимыми и достаточными для ограниченности снизу скалярного потенциала (2), зависящего от двух вещественных скалярных полей $\phi_1$, $\phi_2$ и дублета Хиггса $\mathbf H$. 2. Вещественный симметричный тензор 4-го порядкаТрехмерный вещественный тензор 4-го порядка $\mathcal V$ состоит из 81 элемента, которые принадлежат полю $\mathbb{R}$ вещественных чисел,
$$
\begin{equation*}
\mathcal V=(v_{ijkl}),\qquad v_{ijkl}\in\mathbb{R},\qquad i,j,k,l=1,2,3.
\end{equation*}
\notag
$$
Говорят, что $\mathcal V$ – симметричный тензор, если его элементы $v_{ijkl}$ инвариантны относительно любой перестановки индексов. Известно, что у трехмерного симметричного тензора 4-го порядка $\mathcal V$ имеются только 15 независимых элементов
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, v_{1111},\quad v_{2222},\quad v_{3333},\quad v_{1222},\quad v_{1333},\quad v_{1112},\quad v_{1113},\quad v_{2333},\quad v_{2223}, \\ v_{1122},\quad v_{1133},\quad v_{2233},\quad v_{1223},\quad v_{1123},\quad v_{1233}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4}
$$
У двумерного симметричного тензора 4-го порядка $\mathcal V$ имеются только 5 независимых элементов
$$
\begin{equation*}
v_{1111},\quad v_{2222},\quad v_{1222},\quad v_{1112},\quad v_{1122}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что существует взаимно однозначное соответствие между трехмерным симметричным тензором 4-го порядка и однородным полиномом четвертой степени от трех переменных. Этот однородный полином, обозначаемый как $\mathcal Vx^4$, имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathcal Vx^4=\sum_{i,j,k,l=1}^3 v_{ijkl}x_ix_jx_kx_l.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Пусть $\|\,{\cdot}\,\|$ – некоторая норма в $\mathbb{R}^n$ и $S=\{x\in\mathbb{R}^n\colon \|x\|=1\}$ – единичная сфера в $\mathbb{R}^n$. Для симметричного тензора $\mathcal V$ 4-го порядка имеют место следующие результаты на единичной сфере [3], [34], [35]: 1) $\mathcal V$ положительно полуопределен, если и только если $\mathcal Vx^4\geqslant 0$ для всех $x\in S$; 2) $\mathcal V$ положительно определен, если и только если $\mathcal Vx^4>0$ для всех $x\in S$. 3. Неотрицательность полиномов второй и четвертой степенейПусть $P_2(t)$ – квадратичный полином, Сотни лет назад было показано следующее:1) $P_2(t)>0$ при всех $t\geqslant 0$, если и только если
$$
\begin{equation}
b\geqslant 0\quad\text{и}\quad c>0\quad\;\text{или}\;\quad b<0\quad\text{и}\quad 4ac-b^2>0;
\end{equation}
\tag{7}
$$
2) $P_2(t)\geqslant 0$ при всех $t\geqslant 0$, если и только если
$$
\begin{equation}
b\geqslant 0\quad\text{и}\quad c\geqslant 0\;\quad\text{или}\;\quad b<0\quad\text{и}\quad 4ac-b^2\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Пусть $P_4(t)$ – полином четвертого порядка, Условия положительности и неотрицательности этого полинома были недавно доказаны в нашей работе [46]:3) $P_4(t)>0$ при всех $t\geqslant 0$, если и только если
$$
\begin{equation}
\Delta=0,\quad b\sqrt{e}=d\sqrt{a},\quad b^2+8a\sqrt{ae}=4ac<24a\sqrt{ae},\quad\text{или}
\end{equation}
\tag{10}
$$
$$
\begin{equation}
\Delta>0,\quad |b\sqrt{e}-d\sqrt{a}\kern1pt|\leqslant 4\sqrt{ace+2ae\sqrt{ae}}\quad\text{и}
\end{equation}
\tag{11}
$$
$$
\begin{equation}
-2\sqrt{ae}\leqslant c\leqslant 6\sqrt{ae},\quad\text{или}
\end{equation}
\tag{12}
$$
$$
\begin{equation}
c>6\sqrt{ae}\quad \text{и}\quad |b\sqrt{e}+d\sqrt{a}\kern1pt|\leqslant 4\sqrt{ace-2ae\sqrt{ae}},
\end{equation}
\tag{13}
$$
где
$$
\begin{equation}
\Delta=4(12ae-3bd+c^2)^3-(72ace+9bcd-2c^3-27ad^2-27b^2e)^2;
\end{equation}
\tag{14}
$$
4) $P_4(t)\geqslant 0$ при всех $t\geqslant 0$, если и только если
$$
\begin{equation}
\Delta\geqslant 0,\quad |b\sqrt{e}-d\sqrt{a}\kern1pt|\leqslant 4\sqrt{ace+2ae\sqrt{ae}}\quad\text{и}
\end{equation}
\tag{15}
$$
$$
\begin{equation}
-2\sqrt{ae}\leqslant c\leqslant 6\sqrt{ae}\quad\text{или}
\end{equation}
\tag{16}
$$
$$
\begin{equation}
c>6\sqrt{ae}\quad \text{и}\quad |b\sqrt{e}+d\sqrt{a}\kern1pt|\leqslant 4\sqrt{ace-2ae\sqrt{ae}}.
\end{equation}
\tag{17}
$$
4. Ограниченность снизу скалярного потенциала от двух вещественных скаляров и бозона ХиггсаКак мы отмечали, наиболее общий скалярный потенциал, зависящий от двух вещественных скалярных полей $\phi_1$, $\phi_2$ и дублета Хиггса $\mathbf H$, имеет вид [2], [5], [6]
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, V(\phi_1^{},\phi_2^{},|H|)=\lambda_H^{}|H|^4&{}+\lambda_{H20}^{}|H|^2\phi_1^2+ \lambda_{H11}^{}|H|^2\phi_1^{}\phi_2^{}+ \lambda_{H02}^{}|H|^2\phi_2^2+{} \notag\\ &{}+\lambda_{40}^{}\phi_1^4+\lambda_{31}^{}\phi_1^3\phi_2^{}+ \lambda_{22}^{}\phi_1^2\phi_2^2+\lambda_{13}^{}\phi_1^{}\phi_2^3+\lambda_{04}^{}\phi_2^4 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{18}
$$
и определяет трехмерный симметричный тензор 4-го порядка $\mathcal V=(v_{ijkl})$ с элементами
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, v_{1111}=\lambda_{40},\quad v_{2222}=\lambda_{04},\quad v_{3333}=\lambda_H,\quad v_{1112}=\frac{1}{4}\lambda_{31},\quad v_{1222}=\frac{1}{4}\lambda_{13}, \\ v_{1133}=\frac{1}{6}\lambda_{H20},\quad v_{1122}=\frac{1}{6}\lambda_{22},\quad v_{2233}=\frac{1}{6}\lambda_{H02},\quad v_{1233}=\frac{1}{12}\lambda_{H11}, \\ v_{ijkl}=0\quad\text{в остальных случаях}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{19}
$$
В этом разделе мы в основном обсуждаем аналитические условия положительной определенности тензора с элементами (19). Кроме того, мы приводим необходимое и достаточное условие ограниченности скалярного потенциала (18) снизу. 4.1. Положительная определенность двумерного симметричного тензора 4-го порядкаПусть $\mathcal V=(v_{ijkl})$ есть двумерный симметричный тензор 4-го порядка с $v_{1111}>0$ и $v_{2222}>0$. Для вектора $x=(x_1,x_2)^\top$, такого что $\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2}=1$, без потери общности мы можем считать, что $x_2\neq 0$. Тогда имеем
$$
\begin{equation*}
\mathcal Vx^4=\!\sum_{i,j,k,l=1}^2\!v_{ijkl}x_ix_jx_kx_l= v_{1111}x_1^4+4v_{1112}x_1^3x_2+6v_{1122}x_1^2x_2^2+4v_{1222}x_1x_2^3+v_{2222}x_2^4,
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно,
$$
\begin{equation*}
\frac{\mathcal Vx^4}{x_2^4}=v_{1111}\biggl(\frac{x_1}{x_2}\biggr)^{\!4}+ 4v_{1112}\biggl(\frac{x_1}{x_2}\biggr)^{\!3}+ 6v_{1122}\biggl(\frac{x_1}{x_2}\biggr)^{\!2}+ 4v_{1222}\biggl(\frac{x_1}{x_2}\biggr)+v_{2222}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, $\mathcal Vx^4>0$, если и только если $P(t)=at^4+bt^3+ct^2+dt+e>0$ при всех $t\in\mathbb{R}$, где $a=v_{1111}$, $b=4v_{1112}$, $c=6v_{1122}$, $d=4v_{1222}$, $e=v_{2222}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta&=4(12ae-3bd+c^2)^3-(72ace+9bcd-2c^3-27ad^2-27b^2e)^2= \\ &=4\cdot 12^3(v_{1111}v_{2222}-4v_{1112}v_{1222}+3v_{1122}^2)^3-{} \\ &\quad -72^2\cdot 6^2(v_{1111}v_{1122}v_{2222}+2v_{1112}v_{1122}v_{1222}-v_{1122}^3-v_{1111}v_{1222}^2-v_{1112}^2v_{2222})^2= \\ &= 4\cdot 12^3(I^3-27J^2), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I&=v_{1111}v_{2222}-4v_{1112}v_{1222}+3v_{1221}^2, \\ J&=v_{1111}v_{1122}v_{2222}+2v_{1112}v_{1122}v_{1222}-v_{1122}^3-v_{1111}v_{1222}^2-v_{1112}^2v_{2222}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, знак величины $\Delta$ совпадает со знаком разности $I^3-27J^2$. После несложных вычислений из (10)–(13) получаем, что $\mathcal V$ положительно определен, т. е. $\mathcal Vx^4>0$ при всех $x\in\mathbb{R}^2$, если и только если
$$
\begin{equation}
\begin{cases} I^3-27J^2=0,\qquad v_{1112}\sqrt{v_{2222}}=v_{1222}\sqrt{v_{1111}}\quad\text{и} \\ 2v_{1112}^2+v_{1111}\sqrt{v_{1111}v_{2222}}=3v_{1111}v_{1122}<3v_{1111}\sqrt{v_{1111}v_{2222}}\quad\text{или} \\ I^3-27J^2>0,\vphantom{|^\Big|} \\ |v_{1112}\sqrt{v_{2222}}-v_{1222}\sqrt{v_{1111}}|\leqslant\sqrt{6v_{1111}v_{1221}v_{2222}+2\sqrt{(v_{1111}v_{2222})^3}}\quad\text{и} \\ \quad\text{либо}\quad{-\sqrt{v_{1111}v_{2222}}}\leqslant 3v_{1221}\leqslant 3\sqrt{v_{1111}v_{2222}}, \\ \quad\text{либо}\quad v_{1221} >\sqrt{v_{1111}v_{2222}}\quad\text{и} \\ \quad|v_{1112}\sqrt{v_{2222}}+v_{1222}\sqrt{v_{1111}}|\leqslant\sqrt{6v_{1111}v_{1221}v_{2222}-2\sqrt{(v_{1111}v_{2222})^3}}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{I}
$$
Аналогично из (15)–(17) следует, что $\mathcal V=(v_{ijkl})$ положительно полуопределен, т. е. $\mathcal Vx^4\geqslant 0$ при всех $x\in\mathbb{R}^2$, если и только если
$$
\begin{equation}
\begin{cases} I^3-27J^2\geqslant 0, \\ |v_{1112}\sqrt{v_{2222}}-v_{1222}\sqrt{v_{1111}}|\leqslant\sqrt{6v_{1111}v_{1221}v_{2222}+2\sqrt{(v_{1111}v_{2222})^3}}\quad\text{и} \\ \quad\text{либо}\quad{-\sqrt{v_{1111}v_{2222}}}\leqslant 3v_{1221}\leqslant 3\sqrt{v_{1111}v_{2222}}, \\ \quad\text{либо}\quad v_{1221}>\sqrt{v_{1111}v_{2222}}\quad\text{и} \\ \quad|v_{1112}\sqrt{v_{2222}}+v_{1222}\sqrt{v_{1111}}|\leqslant\sqrt{6v_{1111}v_{1221}v_{2222}-2\sqrt{(v_{1111}v_{2222})^3}}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{II}
$$
Далее мы приводим аналитическое необходимое и достаточное условие ограниченности снизу для скалярного потенциала, зависящего от двух вещественных скалярных полей $\phi_1$ и $\phi_2$. Наиболее общий скалярный потенциал в этом случае можно записать как [5], [6], [19]
$$
\begin{equation}
\kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.6pt}\kern-7.0pt V\kern0.2pt (\phi_1,\phi_2)=\lambda_{40}\phi_1^4+\lambda_{31}\phi_1^3\phi_1+\lambda_{22}\phi_1^2\phi_2^2+\lambda_{13}\phi_1\phi_2^3+\lambda_{04}\phi_2^4.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Соответствующий тензор $\mathcal V=(v_{ijkl})$ имеет элементы
$$
\begin{equation}
v_{1111}=\lambda_{40},\quad v_{2222}=\lambda_{04},\quad v_{1112}=\frac{1}{4}\lambda_{31},\quad v_{1122}=\frac{1}{6}\lambda_{22},\quad v_{1222}=\frac{1}{4}\lambda_{13}.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Ограниченность снизу потенциала (20) эквивалентна положительной определенности тензора $\mathcal V=(v_{ijkl})$. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Delta'&=4(12\lambda_{40}^{}\lambda_{04}^{}-3\lambda_{31}^{}\lambda_{13}^{}+\lambda_{22}^2)^3-{} \notag\\ &\quad -(72\lambda_{40}^{}\lambda_{22}^{}\lambda_{04}^{}+9\lambda_{31}^{}\lambda_{22}^{}\lambda_{31}^{}- 2\lambda_{22}^3-27\lambda_{40}^{}\lambda_{13}^2-27\lambda_{31}^2\lambda_{04}^{})^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{22}
$$
Из условий (I) и (II) получаем следующие результаты. Пусть $\lambda_{40}>0$, $\lambda_{04}>0$. Тогда $ \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.6pt}\kern-7.0pt V\kern0.2pt (\phi_1,\phi_2)>0$, если и только если
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \Delta'=0,\quad\lambda_{31}\sqrt{\lambda_{04}}=\lambda_{13}\sqrt{\lambda_{40}}\quad\text{и} \\ \lambda_{31}^2+8\lambda_{40}\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{04}}=4\lambda_{40}\lambda_{22}<24\lambda_{40}\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{04}}\quad\text{или} \\ \Delta'>0,\vphantom{|^{\big|^A}} \\ |\lambda_{31}\sqrt{\lambda_{04}}-\lambda_{13}\sqrt{\lambda_{40}}|\leqslant 4\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{22}\lambda_{04}+2\lambda_{40}\lambda_{04}\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{04}}}\quad\text{и} \\ \quad\text{либо}\quad{-2\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{04}}}\leqslant\lambda_{22}\leqslant 6\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{04}}, \\ \quad\text{либо}\quad\lambda_{22}>6\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{04}}\quad\text{и} \\ \quad|\lambda_{31}\sqrt{\lambda_{04}}+\lambda_{13}\sqrt{\lambda_{40}}|\leqslant 4\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{22}\lambda_{04}-2\lambda_{40}\lambda_{04}\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{04}}}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{III}
$$
Потенциал $ \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.6pt}\kern-7.0pt V\kern0.2pt (\phi_1,\phi_2)\geqslant 0$, если и только если
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \Delta'\geqslant 0, \\ |\lambda_{31}\sqrt{\lambda_{04}}-\lambda_{13}\sqrt{\lambda_{40}}|\leqslant 4\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{22}\lambda_{04}+2\lambda_{40}\lambda_{04}\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{04}}}\quad\text{и} \\ \quad\text{либо}\quad -2\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{04}}\leqslant\lambda_{22}\leqslant 6\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{04}}, \\ \quad\text{либо}\quad\lambda_{22}>6\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{04}}\quad\text{и} \\ \quad|\lambda_{31}\sqrt{\lambda_{04}}+\lambda_{13}\sqrt{\lambda_{40}}|\leqslant 4\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{22}\lambda_{04}-2\lambda_{40}\lambda_{04}\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{04}}}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{IV}
$$
Аналитическое условие (III) для скалярного потенциала (20) от двух вещественных скалярных полей $\phi_1$ и $\phi_1$ является условием ограниченности снизу в более строгом смысле, чем условие (IV). 4.2. Ограниченность снизу потенциала от двух вещественных скалярных полей и бозона ХиггсаСкалярный потенциал (18) можно записать как
$$
\begin{equation}
V(\phi_1^{},\phi_2^{},|H|)=\lambda_H|H|^4+M(\phi_1,\phi_2)|H|^2+ \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.6pt}\kern-7.0pt V\kern0.2pt (\phi_1,\phi_2),
\end{equation}
\tag{23}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, M(\phi_1,\phi_2)=\lambda_{H20}\phi_1^2+\lambda_{H11}\phi_1\phi_2+\lambda_{H02}\phi_2^2, \\ \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.6pt}\kern-7.0pt V\kern0.2pt (\phi_1,\phi_2)=V(\phi_1,\phi_2,0)=\lambda_{40}\phi_1^4+\lambda_{31}\phi_1^3\phi_2+\lambda_{22}\phi_1^2\phi_2^2+\lambda_{13}\phi_1\phi_2^3+\lambda_{04}\phi_2^4. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{24}
$$
В работах [5], [6] изучалась ограниченность этого потенциала снизу и приведены условия, при которых $V(\phi_1,\phi_2,|H|)>0$. Получим аналитические условия положительной (полу)определенности тензора с элементами (19) и тем самым необходимые и достаточные условия ограниченности снизу скалярного потенциала (18). Пусть $x=(\phi_1,\phi_2,|H|)^\top$. Тогда $V(\phi_1,\phi_2,|H|)=\mathcal Vx^4$, где $\mathcal V=(v_{ijkl})$ – трехмерный симметричный тензор с элементами (19). Очевидно, что тензор $ \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.6pt}\kern-7.0pt V\kern0.2pt (\phi_1,\phi_2)$ является главным двумерным подтензором 4-го порядка в $\mathcal V$. Пусть $\lambda_H>0$. Из (23) следует, что
$$
\begin{equation}
\mathcal Vx^4=\lambda_H|H|^4+M(\phi_1,\phi_2)|H|^2+ \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.6pt}\kern-7.0pt V\kern0.2pt (\phi_1,\phi_2),
\end{equation}
\tag{25}
$$
и это выражение можно рассматривать как полином 4-го порядка от $t=|H|^2$,
$$
\begin{equation}
P_2(t)=at^2+bt+c,\qquad a=\lambda_H,\quad b=M(\phi_1,\phi_2),\quad c= \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.6pt}\kern-7.0pt V\kern0.2pt (\phi_1,\phi_2).
\end{equation}
\tag{26}
$$
Тогда из (7) и (8) получаем следующие утверждения. Потенциал $V(\phi_1,\phi_2,|H|)=\mathcal Vx^4>0$ при всех $\phi_1$, $\phi_2$ и $\mathbf H$, если и только если для всех $\phi_1$, $\phi_2$
$$
\begin{equation}
\begin{cases} M(\phi_1,\phi_2)\geqslant 0\quad\text{и}\quad \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.6pt}\kern-7.0pt V\kern0.2pt (\phi_1,\phi_2)>0\quad\text{или} \\ M(\phi_1,\phi_2)<0\quad\text{и}\quad 4\lambda_H \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.6pt}\kern-7.0pt V\kern0.2pt (\phi_1,\phi_2)-(M(\phi_1,\phi_2))^2>0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{V}
$$
Потенциал $V(\phi_1,\phi_2,|H|)=\mathcal Vx^4\geqslant 0$ при всех $\phi_1$, $\phi_2$ и $\mathbf H$, если и только если для всех $\phi_1$, $\phi_2$
$$
\begin{equation}
\begin{cases} M(\phi_1,\phi_2)\geqslant 0\quad\text{и}\quad \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.6pt}\kern-7.0pt V\kern0.2pt (\phi_1,\phi_2)\geqslant 0\quad\text{или} \\ M(\phi_1,\phi_2)<0\quad\text{и}\quad 4\lambda_H \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.6pt}\kern-7.0pt V\kern0.2pt (\phi_1,\phi_2)-(M(\phi_1,\phi_2))^2\geqslant 0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{VI}
$$
Очевидно, что $M(\phi_1,\phi_2)=\lambda_{H20}\phi_1^2+\lambda_{H11}\phi_1\phi_2+\lambda_{H02}\phi_2^2$ представляет собой квадратичную форму по переменным $\phi_1$, $\phi_2$, следовательно, неравенство $M(\phi_1,\phi_2)\geqslant 0$ эквивалентно условию положительной полуопределенности матрицы ее коэффициентов
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \lambda_{H20} & \dfrac{1}{2}\lambda_{H11} \\ \dfrac{1}{2}\lambda_{H11} & \lambda_{H02} \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
которое эквивалентно неравенствам
$$
\begin{equation}
\lambda_{H20}\geqslant 0,\qquad \lambda_{H02}\geqslant 0,\qquad \lambda_{H20}\lambda_{H02}-\frac{1}{4}\lambda_{H11}^2\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Аналогично неравенство $M(\phi_1,\phi_2)< 0$ эквивалентно условию отрицательной полуопределенности матрицы коэффициентов с обратным знаком, т. е. матрицы
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} -\lambda_{H20}& -\dfrac{1}{2}\lambda_{H11} \\ -\dfrac{1}{2}\lambda_{H11} & -\lambda_{H02}\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это условие выполняется, если и только если
$$
\begin{equation}
\lambda_{H20}<0,\qquad \lambda_{H02}<0,\qquad \lambda_{H20}\lambda_{H02}-\frac{1}{4}\lambda_{H11}^2>0.
\end{equation}
\tag{28}
$$
В то же время неравенство $ \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.6pt}\kern-7.0pt V\kern0.2pt (\phi_1,\phi_2)>0$ можно получить из условия (III), а неравенство $ \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.6pt}\kern-7.0pt V\kern0.2pt (\phi_1,\phi_2)\geqslant 0$ – из условия (IV). Далее нам нужно только показать, при каких условиях
$$
\begin{equation*}
4\lambda_H \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.6pt}\kern-7.0pt V\kern0.2pt (\phi_1,\phi_2)-(M(\phi_1,\phi_2))^2\geqslant 0\quad\text{и}\quad 4\lambda_H \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.6pt}\kern-7.0pt V\kern0.2pt (\phi_1,\phi_2)-(M(\phi_1,\phi_2))^2>0
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\phi_1$, $\phi_2$. Для этого положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{alignedat}{3} \lambda_{40}'&=4\lambda_{40}^{}\lambda_H^{}-\lambda_{H20}^2,&\qquad \lambda_{04}'&=4\lambda_{04}^{}\lambda_H^{}-\lambda_{H02}^2, \\ \lambda_{31}'&=4\lambda_H^{}\lambda_{31}^{}-2\lambda_{H20}^{}\lambda_{H11}^{},&\qquad \lambda_{13}'&=4\lambda_H^{}\lambda_{13}^{}-2\lambda_{H02}^{}\lambda_{H11}^{}, \end{alignedat}\\ \lambda_{22}'=4\lambda_H^{}\lambda_{22}^{}-2\lambda_{H20}^{}\lambda_{H02}^{}-\lambda_{H11}^2 \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta''=4(&12\lambda_{40}'\lambda_{04}'-3\lambda_{31}'\lambda_{13}'+\lambda_{22}^{\prime\,2})^3-{} \\ &\quad -(72\lambda_{40}'\lambda_{22}'\lambda_{04}'+9\lambda_{31}'\lambda_{22}'\lambda_{31}'- 2\lambda_{22}^{\prime\,3}-27\lambda_{40}'\lambda_{13}^{\prime\,2}-27\lambda_{31}^{\prime\,2}\lambda_{04}')^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $V'(\phi_1,\phi_2)=4\lambda_H \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.6pt}\kern-7.0pt V\kern0.2pt (\phi_1,\phi_2)-(M(\phi_1,\phi_2))^2$. Разложим полином $V'(\phi_1,\phi_2)$ как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V'(\phi_1,\phi_2)&=4\lambda_H \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.6pt}\kern-7.0pt V\kern0.2pt (\phi_1,\phi_2)-(M(\phi_1,\phi_2))^2= \\ &=(4\lambda_{40}^{}\lambda_H^{}-\lambda_{H20}^2)\phi_1^4+(4\lambda_H^{}\lambda_{31}^{}-2\lambda_{H20}^{}\lambda_{H11}^{})\phi_1^3\phi_2^{}+{} \\ &\quad +(4\lambda_H^{}\lambda_{22}^{}-2\lambda_{H20}^{}\lambda_{H02}^{}-\lambda_{H11}^2)\phi_1^2\phi_2^2+{} \\ &\quad +(4\lambda_H^{}\lambda_{13}^{}-2\lambda_{H02}^{}\lambda_{H11}^{})\phi_1^{}\phi_2^3+ (4\lambda_{04}^{}\lambda_H^{}-\lambda_{H02}^2)\phi_2^4= \\ &=\lambda_{40}'\phi_1^4+\lambda_{31}'\phi_1^3\phi_2^{}+\lambda_{22}'\phi_1^2\phi_2^2+\lambda_{13}'\phi_1^{}\phi_2^3+\lambda_{04}'\phi_2^4. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это выражение определяет двумерный тензор $\mathcal V=(v_{ijkl})$ 4-го порядка с элементами
$$
\begin{equation*}
v_{1111}^{}=\lambda_{40}',\quad v_{2222}^{}=\lambda_{04}',\quad v_{1112}^{}=\frac{1}{4}\lambda_{31}',\quad v_{1122}^{}=\frac{1}{6}\lambda_{22}',\quad v_{1222}^{}=\frac{1}{4}\lambda_{13}'.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\lambda_{40}'>0$, $\lambda_{04}'>0 $. Из условия (I) или (III) без труда получаем следующие утверждения. Потенциал $V'(\phi_1,\phi_2)=4\lambda_H \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.6pt}\kern-7.0pt V\kern0.2pt (\phi_1,\phi_2)-(M(\phi_1,\phi_2))^2>0$, если и только если
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \Delta''=0,\quad \lambda_{31}'\sqrt{\lambda_{04}'}=\lambda_{13}'\sqrt{\lambda_{40}'}, \\ \lambda_{31}^{\prime\,2}+8\lambda_{40}'\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{04}'}= 4\lambda_{40}'\lambda_{22}'<24\lambda_{40}'\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{04}'}\quad\text{или} \\ \Delta''>0,\vphantom{|^{\big|^A}}\\ |\lambda_{31}'\sqrt{\lambda_{04}'}-\lambda_{13}'\sqrt{\lambda_{40}'}|\leqslant 4\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{22}'\lambda_{04}'+2\lambda_{40}'\lambda_{04}'\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{04}'}} \quad\text{и} \\ \quad\text{либо}\quad {-2\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{04}'}}\leqslant\lambda_{22}'\leqslant 6\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{04}'}, \\ \quad\text{либо}\quad\lambda_{22}'>6\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{04}'}\quad\text{и} \\ \quad|\lambda_{31}'\sqrt{\lambda_{04}'}+\lambda_{13}'\sqrt{\lambda_{40}'}|\leqslant 4\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{22}'\lambda_{04}'-2\lambda_{40}'\lambda_{04}'\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{04}'}}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{VII}
$$
Пусть $\lambda_{40}'>0$, $\lambda_{04}'>0 $. Из условия (II) или (IV) без труда получаем следующие утверждения. Потенциал $V'(\phi_1,\phi_2)=4\lambda_H \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.6pt}\kern-7.0pt V\kern0.2pt (\phi_1,\phi_2)-(M(\phi_1,\phi_2))^2\geqslant 0$, если и только если
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \Delta''\geqslant 0, \\ |\lambda_{31}'\sqrt{\lambda_{04}'}-\lambda_{13}'\sqrt{\lambda_{40}'}|\leqslant 4\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{22}'\lambda_{04}'+2\lambda_{40}'\lambda_{04}'\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{04}'}}\quad\text{и} \\ \quad\text{либо}\quad{-2\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{04}'}}\leqslant\lambda_{22}'\leqslant 6\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{04}'}, \\ \quad\text{либо}\quad\lambda_{22}'>6\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{04}'}\quad\text{и} \\ \quad|\lambda_{31}'\sqrt{\lambda_{04}'}+\lambda_{13}'\sqrt{\lambda_{40}'}|\leqslant 4\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{22}'\lambda_{04}'-2\lambda_{40}'\lambda_{04}'\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{04}'}}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{VIII}
$$
Если $\lambda_{40}'=0$, то
$$
\begin{equation*}
V'(\phi_1^{},\phi_2^{})=\phi_2(\lambda_{31}'\phi_1^3+\lambda_{22}'\phi_1^2\phi_2+ \lambda_{13}'\phi_1\phi_2^2+\lambda_{04}'\phi_2^3),
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, неравенство $V'(\phi_1,\phi_2)\geqslant 0$ эквивалентно
$$
\begin{equation*}
V''(\phi_1^{},\phi_2^{})=\lambda_{31}'\phi_1^3+\lambda_{22}'\phi_1^2\phi_2+\lambda_{13}'\phi_1\phi_2^2+\lambda_{04}'\phi_2^3\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя предложение 2 из работы [50] или теорему 1 из работы [21], получаем, что $V''(\phi_1,\phi_2)\geqslant 0$, если и только если
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \lambda_{40}'=\lambda_{31}'=0, \quad \lambda_{22}'\geqslant 0 \quad\text{и} \\ 4\lambda_{31}'\lambda_{13}^{\prime\,3}+4\lambda_{04}'\lambda_{22}^{\prime\,3}+ 27\lambda_{31}^{\prime\,2}\lambda_{04}^{\prime\,2}-18\lambda_{31}'\lambda_{22}'\lambda_{13}'\lambda_{04}'-\lambda_{22}^{\prime\,2}\lambda_{13}^{\prime\,2}\geqslant 0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{VIII$'$}
$$
Аналогично, если $\lambda_{04}'=0$, то $V'(\phi_1,\phi_2)\geqslant 0$, если и только если
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \lambda_{04}'=\lambda_{13}'=0,\quad \lambda_{22}'\geqslant 0 \quad\text{и} \\ 4\lambda_{13}'\lambda_{31}^{\prime\,3}+4\lambda_{40}'\lambda_{22}^{\prime\,3}+27\lambda_{13}^{\prime\,2}\lambda_{40}^{\prime\,2}- 18\lambda_{31}'\lambda_{22}'\lambda_{13}'\lambda_{40}'-\lambda_{22}^{\prime\,2}\lambda_{31}^{\prime\,2}\geqslant 0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{VIII$''$}
$$
Комбинируя условия (III), (V), (VII) и соотношения (27), (28), получаем аналитические необходимые и достаточные условия строгой ограниченности снизу для скалярного потенциала (18), которые эквивалентны условиям положительной определенности трехмерного симметричного тензора с элементами (19). Пусть $\lambda_H>0$, $\lambda_{40}>0$ и $\lambda_{04}>0$. Тогда $V(\phi_1,\phi_2,|\mathbf H|)>0$ при всех $\phi_1$, $\phi_2$ и $\mathbf H$, если и только если выполнены неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \lambda_{H20}\geqslant 0,\quad \lambda_{H02}\geqslant 0,\quad 4\lambda_{H20}\lambda_{H02}-\lambda_{H11}^2\geqslant 0\quad\text{и} \\ \Delta'=0,\quad\lambda_{31}\sqrt{\lambda_{04}}=\lambda_{13}\sqrt{\lambda_{40}}, \\ \lambda_{31}^2+8\lambda_{40}\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{04}}=4\lambda_{40}\lambda_{22}<24\lambda_{40}\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{04}},\quad\text{или} \\ \Delta'>0,\vphantom{|^{\big|^A}} \\ |\lambda_{31}\sqrt{\lambda_{04}}-\lambda_{13}\sqrt{\lambda_{40}}|\leqslant 4\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{22}\lambda_{04}+2\lambda_{40}\lambda_{04}\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{04}}}, \\ -2\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{04}}\leqslant\lambda_{22}\leqslant 6\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{04}},\quad\text{или} \\ \lambda_{22}>6\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{04}}\quad\text{и}\vphantom{|^{\big|^A}} \\ |\lambda_{31}\sqrt{\lambda_{04}}+\lambda_{13}\sqrt{\lambda_{40}}|\leqslant 4\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{22}\lambda_{04}-2\lambda_{40}\lambda_{04}\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{04}}} \end{cases}
\end{equation}
\tag{IXa}
$$
либо неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \lambda_{H20}<0,\quad \lambda_{H02}<0,\quad 4\lambda_{H20}\lambda_{H02}-\lambda_{H11}^2>0, \\ \lambda_{40}'=4\lambda_{40}\lambda_H-\lambda_{H20}^2>0,\quad \lambda_{04}'=4\lambda_{04}\lambda_H-\lambda_{H02}^2>0\quad\text{и} \\ \Delta''=0,\quad\lambda_{31}'\sqrt{\lambda_{04}'}=\lambda_{13}'\sqrt{\lambda_{40}'}, \\ \lambda_{31}^{\prime\,2}+8\lambda_{40}'\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{04}'}= 4\lambda_{40}'\lambda_{22}'<24\lambda_{40}'\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{04}'},\quad\text{или} \\ \Delta''>0,\vphantom{|^{\big|^A}} \\ |\lambda_{31}'\sqrt{\lambda_{04}'}-\lambda_{13}'\sqrt{\lambda_{40}'}|\leqslant 4\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{22}'\lambda_{04}'+2\lambda_{40}'\lambda_{04}'\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{04}'}}, \\ {-2\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{04}'}}\leqslant\lambda_{22}'\leqslant 6\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{04}'},\quad\text{или} \\ \lambda_{22}'>6\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{04}'}\quad\text{и}\vphantom{|^{\big|^A}} \\ |\lambda_{31}'\sqrt{\lambda_{04}'}+\lambda_{13}'\sqrt{\lambda_{40}'}|\leqslant 4\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{22}'\lambda_{04}'-2\lambda_{40}'\lambda_{04}'\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{04}'}}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{IXb}
$$
Комбинируя условия (IV), (VI), (VII), (VIII$'$), (VIII$''$) и соотношения (27), (28), получаем аналитические необходимые и достаточные условия ограниченности снизу для скалярного потенциала (18), которые также представляют собой условия положительной полуопределенности трехмерного симметричного тензора с элементами (19). Пусть $\lambda_H>0$, $\lambda_{40}>0$ и $\lambda_{04}>0$. Тогда $V(\phi_1,\phi_2,|\mathbf H|)\geqslant 0$ при всех $\phi_1$, $\phi_2$ и $\mathbf H$, если и только если выполнены неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \lambda_{H20}\geqslant 0,\quad\lambda_{H02}\geqslant 0,\quad 4\lambda_{H20}\lambda_{H02}-\lambda_{H11}^2\geqslant 0\quad\text{и} \\ \Delta'\geqslant 0, \\ |\lambda_{31}\sqrt{\lambda_{04}}-\lambda_{13}\sqrt{\lambda_{40}}|\leqslant 4\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{22}\lambda_{04}+2\lambda_{40}\lambda_{04}\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{04}}}, \\ {-2\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{04}}}\leqslant\lambda_{22}\leqslant 6\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{04}}\quad\text{или} \\ \lambda_{22}>6\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{04}}\quad\text{и}\vphantom{|^{\big|^A}} \\ |\lambda_{31}\sqrt{\lambda_{04}}+\lambda_{13}\sqrt{\lambda_{40}}|\leqslant 4\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{22}\lambda_{04}-2\lambda_{40}\lambda_{04}\sqrt{\lambda_{40}\lambda_{04}}} \end{cases}
\end{equation}
\tag{Xa}
$$
либо неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \lambda_{H20}<0,\quad \lambda_{H02}<0,\quad 4\lambda_{H20}\lambda_{H02}-\lambda_{H11}^2>0\quad\text{и} \\ \quad\text{либо}\quad\lambda_{40}'>0,\quad \lambda_{04}'>0,\quad\Delta''\geqslant 0, \\ \quad|\lambda_{31}'\sqrt{\lambda_{04}'}-\lambda_{13}'\sqrt{\lambda_{40}'}|\leqslant 4\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{22}'\lambda_{04}'+2\lambda_{40}'\lambda_{04}'\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{04}'}}, \\ \quad{-2\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{04}'}}\leqslant\lambda_{22}'\leqslant 6\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{04}'}, \\ \quad\lambda_{22}'>6\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{04}'}\quad\text{и} \\ \quad|\lambda_{31}'\sqrt{\lambda_{04}'}+\lambda_{13}'\sqrt{\lambda_{40}'}|\leqslant 4\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{22}'\lambda_{04}'-2\lambda_{40}'\lambda_{04}'\sqrt{\lambda_{40}'\lambda_{04}'}}, \\ \quad\text{либо}\quad\lambda_{04}'=\lambda_{13}'=0, \quad \lambda_{22}'\geqslant 0 \quad \text{и} \\ \quad 4\lambda_{31}'\lambda_{13}^{\prime\,3}+4\lambda_{04}'\lambda_{22}^{\prime\,3}+27\lambda_{31}^{\prime\,2}\lambda_{04}^{\prime\,2}- 18\lambda_{31}'\lambda_{22}'\lambda_{13}'\lambda_{04}'-\lambda_{22}^{\prime\,2}\lambda_{13}^{\prime\,2}\geqslant 0, \\ \quad\text{либо}\quad\lambda_{04}'=\lambda_{13}'=0, \quad \lambda_{22}'\geqslant 0 \quad \text{и} \\ \quad 4\lambda_{13}'\lambda_{31}^{\prime\,3}+4\lambda_{40}'\lambda_{22}^{\prime\,3}+27\lambda_{13}^{\prime\,2}\lambda_{40}^{\prime\,2}- 18\lambda_{31}'\lambda_{22}'\lambda_{13}'\lambda_{40}'-\lambda_{22}^{\prime\,2}\lambda_{31}^{\prime\,2}\geqslant 0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{Xb}
$$
5. ЗаключениеВ представленной работе для скалярного потенциала, зависящего от двух вещественных скалярных полей $\phi_1$, $\phi_2$ и дублета Хиггса $\mathbf H$, мы нашли аналитические необходимые и достаточные условия его ограниченности снизу, которые получаются как условия положительной определенности двумерных симметричных тензоров 4-го порядка. А именно, для двумерного симметричного тензора 4-го порядка: • условия (I) являются необходимыми и достаточными для его положительной определенности; • условия (II) являются необходимыми и достаточными для его положительной полуопределенности. Для скалярного потенциала, зависящего от двух вещественных скалярных полей $\phi_1$ и $\phi_2$: • условия (III) являются аналитическими необходимыми и достаточными условиями его строгой ограниченности снизу; • условия (IV) являются аналитическими необходимыми и достаточными условиями его ограниченности снизу. Для скалярного потенциала, зависящего от двух вещественных скалярных полей $\phi_1$, $\phi_2$ и дублета Хиггса $\mathbf H$: • условия (IXa), (IXb) являются аналитическими необходимыми и достаточными условиями его строгой ограниченности снизу; • условия (Xa), (Xb) являются аналитическими необходимыми и достаточными условиями его ограниченности снизу. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{SonQi24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|