| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Спектральные асимптотики несамосопряженного оператора четвертого порядка с периодическими краевыми условиями Д. М. Поляковab a Южный математический институт — филиал Владикавказского научного центра Российской академии наук, Владикавказ, Россия b Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра Российской академии наук, Уфа, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 221, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924100039 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ пространстве $L_2(0, 1)$ рассматривается несамосопряженный дифференциальный оператор $\mathcal{H}$ четвертого порядка вида
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}y=y^{(4)}+py''+qy'+by,\qquad y^{(s)}(0)=y^{(s)}(1), \qquad s=0, 1, 2, 3,
\end{equation*}
\notag
$$
где $p$, $q$, $b$ – комплекснозначные коэффициенты, которые принадлежат пространству $L_1(0, 1)$. Область определения этого оператора задается следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D(\mathcal{H})={}& \{y\in L_2(0, 1)\colon y'', y''', y^{(4)}\in L_1(0, 1), y^{(4)}+py''+qy'+by\in L_2(0, 1), \\ &\qquad\qquad\qquad\,\, y^{(s)}(0)=y^{(s)}(1), \ s=0, 1, 2, 3\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Интерес к изучению оператора $\mathcal{H}$ связан с тем, что он описывает колебания балки или сжатого стержня на упругом основании (см. [1], [2]). Кроме того, известны многочисленные приложения, относящиеся к исследованию проводимости нанотрубок [3], а также к оптике и акустике [4]. Асимптотические свойства дифференциальных операторов четвертого порядка активно изучаются в последние годы. Отметим работы [5]–[9], в которых описывалась асимптотика собственных значений, формула следа и изоспектральные множества для самосопряженного оператора четвертого порядка с различными типами усиленно регулярных краевых условий. В работе [10] изучалась структура спектра самосопряженного оператора четвертого порядка с периодическими коэффициентами на оси, а также была выписана асимптотика собственных значений этого оператора с периодическими краевыми условиями. Позже, в статье [11], приведенная асимптотика была уточнена. Несамосопряженный оператор $\mathcal{H}$ с коэффициентами $p, b\in L_2(0, 1)$ и $q=0$ рассматривался в работе [12] (см. также [13]). Для него была установлена асимптотика собственных значений, оценки отклонений спектральных проекторов, а также оценки равносходимости спектральных разложений. Отметим также работы, посвященные дифференциальным операторам произвольного порядка. Асимптотика собственных значений для такого оператора с суммируемыми коэффициентами была выписана в книге [14]. В статье [15] изучалась структура спектра и различные характеристики для дифференциального оператора четного порядка на оси с периодическими коэффициентами. В работах [16]–[18] было установлено, что собственные и присоединенные функции оператора произвольного порядка с усиленно регулярными краевыми условиями образуют базис Рисса в $L_2(0, 1)$. При этом в статье [19] (см. также [20], [21]) было доказано, что собственные и присоединенные функции такого оператора с регулярными, но не усиленно регулярными краевыми условиями образуют базис Рисса со скобками в пространстве $L_2(0, 1)$. Кроме того, здесь также отметим работы [22], [23] (см. также цитируемую там литературу), которые посвящены корректному обоснованию и асимптотическому анализу решений дифференциальных уравнений четного порядка с коэффициентами-распределениями. Цель настоящей работы – получить точную асимптотику собственных значений как в случае негладких коэффициентов, так и в случае гладкого коэффициента $p$. Указанные результаты улучшают известные до настоящего времени асимптотические формулы. Более подробное их описание приведено непосредственно перед формулировкой основной теоремы. Хорошо известно, что спектр $\sigma(\mathcal{H})$ оператора $\mathcal{H}$ является чисто дискретным (см. гл. I.2, I.4 в [14]). Рассмотрим дифференциальное уравнение
$$
\begin{equation}
y^{(4)}+py''+qy'+by=\lambda y, \qquad \lambda\in\mathbb{C}.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Естественным образом определим фундаментальные решения $\varphi_j$, $j=1, 2, 3, 4$, этого уравнения. Они удовлетворяют соотношениям $\varphi^{(k-1)}_j(0, \lambda)=\delta_{jk}$, $k=1, 2, 3, 4$, где $\delta_{jk}$ – символ Кронекера. Отметим, что каждая из функций $\varphi_j(x, \cdot)$, $x\in [0, 1]$, является целой. Спектр $\sigma(\mathcal{H})$ состоит из собственных значений и
$$
\begin{equation*}
\sigma(\mathcal{H})=\{\lambda\in\mathbb{C}\colon D(\lambda)=0\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $D$ – целая функция, которая определяется следующим образом:
$$
\begin{equation}
D(\lambda)=\det \begin{pmatrix} T_1\varphi(z) & T_2\varphi(z) & T_3\varphi(z) & T_4\varphi(z) \\ T_1\varphi'(z) & T_2\varphi'(z) & T_3\varphi'(z) & T_4\varphi'(z) \\ T_1\varphi''(z) & T_2\varphi''(z) & T_3\varphi''(z) & T_4\varphi''(z) \\ T_1\varphi'''(z) & T_2\varphi'''(z) & T_3\varphi'''(z) & T_4\varphi'''(z) \end{pmatrix}, \qquad \lambda\in\mathbb{C}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
При этом
$$
\begin{equation}
T_j\varphi^{(s)}(z)=\varphi_j^{(s)}(1, z)-\varphi_j^{(s)}(0, z), \qquad j=1, 2, 3, 4, \quad s=0, 1, 2, 3.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Рассмотрим случай $p=q=b=0$. Тогда оператор $\mathcal{H}$ является невозмущенным оператором, и мы будем обозначать его через $\mathcal{H}_0$. Непосредственное вычисление показывает, что
$$
\begin{equation}
D(\lambda)=D_0(\lambda)=16\sin^2\frac{iz}{2}\sin^2\frac{z}{2},
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
z=\lambda^{1/4}, \qquad \arg z\in\biggl(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\biggr], \qquad \arg\lambda\in (-\pi, \pi].
\end{equation*}
\notag
$$
Собственные значения оператора $\mathcal{H}_0$ являются нулями функции $D_0$ и имеют следующий вид:
$$
\begin{equation*}
\mu_n^0=(2\pi n)^4, \qquad n\in\mathbb{Z}_+=\mathbb{N}\cup\{0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом $\mu_n^0$, $n\in\mathbb{N}$, являются двукратными собственными значениями, а собственное значение $\mu_0^0=0$ простое. Собственные значения оператора $\mathcal{H}$ мы обозначим через $\mu_n^\pm$, $n\in\mathbb{N}$. В круге большого радиуса они будут нумероваться следующим образом. Легко заметить, что для каждого достаточно большого целого $N>0$ функция $D_0$ вида (1.4) имеет ровно $2N+1$ нулей (с учетом кратности) в области $\{|\lambda|<4(\pi(N+1/2))^4\}$. Тогда по теореме Руше функция $D$ имеет столько же нулей (с учетом кратности) в каждой из ограниченных областей. Кроме того, собственные значения $\mu_n^\pm$ внутри этой области могут быть пронумерованы следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re}\mu_0<\operatorname{Re}\mu_1^-\leqslant \operatorname{Re}\mu_1^+<\operatorname{Re}\mu_2^-\leqslant \operatorname{Re}\mu_2^+<\cdots<\operatorname{Re}\mu_{N}^-\leqslant\operatorname{Re}\mu_{N}^+,
\end{equation*}
\notag
$$
и каждая область $\mathcal{D}_n=\{\lambda\in\mathbb{C}\colon |z-2\pi n| <\pi/2\}$, $n>N$, содержит ровно два собственных значения. Асимптотику собственных значений мы будем формулировать в терминах коэффициентов Фурье функций $p$, $q$ и $b$. Эти коэффициенты для некоторой функции $f\in L_1(0, 1)$ определяются стандартным образом:
$$
\begin{equation*}
\hat{f}_n=\int_0^1 f(x)e^{-i2\pi nx}\,dx, \qquad n\in\mathbb{Z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как было отмечено выше, асимптотика спектра для оператора произвольного порядка с суммируемыми коэффициентами и регулярными краевыми условиями была выписана в книге [14] (гл. II, § 9). В дальнейшем эта асимптотика неоднократно уточнялась. В частности, для оператора четного порядка с периодическими краевыми условиями она исследовалась в работе [24]. Для случая оператора $\mathcal{H}$ данная асимптотика имеет вид (см. теорему 2 в [24])
$$
\begin{equation}
\mu_n^\pm=(2\pi n)^4-\hat{p}_0(2\pi n)^2\mp(2\pi n)^2\sqrt{\hat{p}_{2n}\hat{p}_{-2n}} +\mathcal{O}(n\nu_n\ln |n|),
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\nu_n=\max\biggl\{\biggl(\frac{|\hat{p}_{2n}|}{|\hat{p}_{-2n}|}\biggr)^{\!1/2}, \biggl(\frac{|\hat{p}_{-2n}|}{|\hat{p}_{2n}|}\biggr)^{\!1/2}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку функция $p$ принадлежит пространству $L_1(0, 1)$, то последовательность $\nu_n$ может расти, убывать или осциллировать с любой скоростью при соответствующем подборе функции $p$. Таким образом, остается неясным асимптотическое поведение остаточного члена. Кроме того, приведенная асимптотика (1.5) справедлива только в случае ненулевых коэффициентов $\hat{p}_{2n}$ и $\hat{p}_{-2n}$ (более подробно см. [24]). Выпишем еще один известный результат, который касается асимптотики спектра оператора $\mathcal{H}$. Если $p$, $p'$, $q$, $b$ принадлежат пространству $L_1(0, 1)$ и $\hat{p}_0=0$, то собственные значения $\mu_n^\pm$ оператора $\mathcal{H}$ допускают следующую асимптотику (см. теорему 1 в [25]):
$$
\begin{equation}
\mu_n^\pm=(2\pi n)^4\biggl(1\mp\frac{\gamma_0}{2(2\pi n)^3} +\mathcal{O}(n^{-3}\varepsilon_n)\biggr),
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\gamma_0^2=(p(1)-p(0)-2\hat{q}_0)(p(1)-p(0)+2\hat{q}_0)
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_n=\biggl|\int_0^1(2q(s)-p'(s))e^{i4\pi ns}\,ds\biggr|+ \biggl|\int_0^1(2q(s)-p'(s))e^{-i4\pi ns}\,ds\biggr|+n^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Хорошо видно, что данная асимптотика выписана только с точностью до коэффициентов Фурье функций $p'$ и $q$. Также отметим, что условие $\hat{p}_0=0$ является достаточно ограничительным: изменение $\hat{p}_0$ существенно меняет спектр оператора $\mathcal{H}$. Теперь перейдем к формулировке основной теоремы настоящей статьи, в которой сняты все налагаемые в статьях [24] и [25] ограничения. Кроме того, в этой теореме выписана квалифицированная формула для остаточного члена. Теорема 1. Пусть $p, q, b\in L_1(0, 1)$. Тогда собственные значения $\mu_n^\pm$ допускают следующую асимптотику при $n\to +\infty$: Замечание 1. Как было отмечено выше, поскольку функция $p$ принадлежит пространству $L_1(0, 1)$, то последовательность $\nu_n$ в (1.5) может расти, убывать или осциллировать с любой скоростью при соответствующем подборе функции $p$. Таким образом, не ясен характер остаточного члена в указанной формуле. При этом асимптотика (1.7) из теоремы 1 содержит уже точный вид остатка. Кроме того, по сравнению с [24] снимаются соответствующие ограничения на коэффициенты Фурье функции $p$. Замечание 2. В отличие от результатов работы [25], асимптотика (1.8) выписана без предположения $\hat{p}_0=0$, а также содержит точно контролируемый остаточный член. При доказательстве основных результатов мы используем метод Биркгофа [14] (гл. 2). Конкретно в настоящей работе применяется комбинация матричного варианта этого метода для операторов высших порядков (см. [9], [26]) и квазиклассического метода [27]. Она позволяет провести более тонкие оценки остаточного члена в асимптотических формулах для собственных значений (1.7) и (1.8), а также снять ограничения на коэффициенты $p$, $q$, $b$, которые налагаются в работах [24], [25]. Работа организована следующим образом. В разделе 2 исследуются свойства характеристической функции $D$, а также выписана асимптотика этой функции. С ее помощью в разделе 3 мы изучаем асимптотику собственных значений оператора $\mathcal{H}$ в случае $p, q, b\in L_1(0, 1)$. Наконец, в разделе 4 мы получаем асимптотику собственных значений для случая $p, p', q, b\in L_1(0, 1)$. 2. Изучение свойств характеристической функции $D$2.1. Фундаментальные решения уравнения $(1.1)$Исследуем свойства характеристической функции $D$ вида (1.2). Эту функцию мы выражаем через фундаментальные решения $\phi_j$, $j=1, 2, 3, 4$, уравнения (1.1), которые отличаются от решений, введенных в разделе 1, но их асимптотику легко проконтролировать. Пусть для $\lambda\in\mathbb{C}$, где
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathcal{Z}}=\biggl\{z\in\mathbb{C}\!: \operatorname{arg}z\in \biggl(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\biggr]\biggr\}, \qquad \mathcal{Z}=\biggl\{z\in\mathbb{C}\!: \operatorname{arg}z\in \biggl(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\biggr)\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\lambda\in\mathbb{C}_+$, то $z\in\mathcal{Z}_+$, где
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Z}_+=\biggl\{z\in\mathbb{C}\!: \operatorname{arg}z\in \biggl(0, \frac{\pi}{4}\biggr)\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Введем в рассмотрение числа $\omega_1=-\omega_4=i$, $\omega_2=-\omega_3=1$, для которых справедливы следующие оценки:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re}(i\omega_1z)\leqslant \operatorname{Re}(i\omega_2z)\leqslant \operatorname{Re}(i\omega_3z)\leqslant\operatorname{Re}(i\omega_4z), \qquad z\in\mathcal{Z}_+.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы готовы определить необходимые нам новые фундаментальные решения $\phi_j$. Но сначала введем их для невозмущенного случая. Если $p=q=b=0$, то фундаментальные решения имеют следующий вид:
$$
\begin{equation}
\phi_j^0(x, z)=e^{izx\omega_j}, \qquad j=1, 2, 3, 4.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Теперь перейдем к общему случаю. Пусть $r>0$ – достаточно большое число и $z\in\mathcal{Z}_+(r)$, где
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Z}_+(r)=\{z\in\mathcal{Z}_+\!: |z|>r\}, \qquad r>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следуя [14], мы зададим фундаментальные решения $\phi_j(x, z)$, $j=1, 2, 3, 4$, $x\in[0, 1]$, $z\in\mathcal{Z}_+(r)$, уравнения (1.1) следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \phi_j(x, z) &= \phi_j^0(x, z)(1+\mathcal{O}(z^{-1})), &\qquad \phi_j'(x, z)&=(\phi_j^0)'(x, z)(1+\mathcal{O}(z^{-1})),\\ \phi_j''(x, z) &= (\phi_j^0)''(x, z)(1+\mathcal{O}(z^{-1})), &\qquad \phi_j'''(x, z)&=(\phi_j^0)'''(x, z)(1+\mathcal{O}(z^{-1})) \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
при $|z|\to\infty$ равномерно по $x\in [0, 1]$. Теперь выразим функцию $D$ через введенные решения. Рассмотрим матрицу
$$
\begin{equation}
\phi(z)= \begin{pmatrix} T_1\phi(z) & T_2\phi(z) & T_3\phi(z) & T_4\phi(z) \\ T_1\phi'(z) & T_2\phi'(z) & T_3\phi'(z) & T_4\phi'(z) \\ T_1\phi''(z) & T_2\phi''(z) & T_3\phi''(z) & T_4\phi''(z) \\ T_1\phi'''(z) & T_2\phi'''(z) & T_3\phi'''(z) & T_4\phi'''(z) \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $T$ имеет вид (1.3) и фундаментальную матрицу $A(x, z)$, $x\in [0, 1]$, $z\in\mathcal{Z}_+(r)$, уравнения (1.1) вида
$$
\begin{equation}
A= \begin{pmatrix} \phi_1 & \phi_2 & \phi_3 & \phi_4 \\ \phi_1' & \phi_2' & \phi_3' & \phi_4' \\ \phi_1'' & \phi_2'' & \phi_3'' & \phi_4'' \\ \phi_1''' & \phi_2''' & \phi_3''' & \phi_4''' \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Данная матрица удовлетворяет уравнению
$$
\begin{equation}
A'=\mathcal{P}A, \qquad \mathcal{P}= \begin{pmatrix} 0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & 0 \\ 0 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & 0 \\ 0 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 & 1 \\ \lambda-b & -q & -p & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Сформулируем следующую важную лемму, которая показывает связь между введенными объектами. Отметим, что этот результат был ранее установлен в работе [26] (лемма 3.2) для оператора третьего порядка. Лемма 1. Пусть $p, q, b\in L_1(0, 1)$. Тогда функция $D$ представима в виде Доказательство. Функция $A$ является решением уравнения (2.4) и имеет вид (2.3). Тогда Отметим, что функция $\det\phi$ является аналитической в $\mathcal{Z}_+(r)$. В свою очередь, функция $D$ является целой, и тождество (2.5) может быть продолжено аналитически с $\mathcal{Z}_+(r)$ на весь сектор $\mathcal{Z}_+$. Следовательно, соотношение (2.5) выполняется для всех $z\in\mathcal{Z}_+$, $\lambda=z^4\in\mathbb{C}$. Замечание 3. Несмотря на то что функция $\det\phi$ является аналитической только в $\mathcal{Z}_+(r)$, она очень полезна для изучения, поскольку ее асимптотика при высоких энергиях хорошо контролируется. Из формулы (2.5) видно, что для вычисления спектра оператора $\mathcal{H}$ необходимо получить асимптотику функции $\det\phi$, а также представление для фундаментальной матрицы $A$. Изучение асимптотического поведения функции $\det\phi$ удобно осуществлять после того, как будет выведена более подробная асимптотическая формула для фундаментальных решений $\phi_j$, $j=1, 2, 3, 4$. Это будет проведено непосредственно перед доказательством основных результатов. Перейдем к исследованию асимптотического представления для фундаментальной матрицы $A$ уравнения (1.1). Поскольку вклад ограниченных и убывающих элементов матрицы $A$ полностью исчезает на фоне вклада возрастающих элементов, асимптотический анализ матрицы $A$ является достаточно сложной задачей. Хорошо видно, что матрица $\mathcal{P}$ в уравнении (2.4) содержит растущие элементы. Это уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка таким образом, что растущие члены выделяются в отдельное слагаемое (при этом ему отвечает диагональная матрица), а правая часть уравнения убывает. После этого к полученному дифференциальному уравнению применяется метод Биркгофа (см. гл. 2 в [14]). В настоящей работе используется матричный вариант этой схемы из § 2 статьи [26], где также можно найти подробное изложение всех основных идей этого метода. Применяя данную модификацию, дифференциальное уравнение можно свести к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма с “малым ядром”. Далее методом простых итераций ищется решение этого уравнения, с помощью которого можно выписать соответствующее представление (2.24) фундаментальной матрицы $A$ (см. ниже лемму 4, п. 1). Основная особенность соотношения (2.24) заключается в том, что все растущие элементы выделены в отдельную диагональную матрицу. Это позволяет контролировать их вклад в асимптотику собственных значений. В случае если коэффициент $p$ обладает необходимой дополнительной гладкостью, уравнение (2.4) преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка такого же типа, как и раньше, но с лучшей скоростью убывания правой части. Для того чтобы осуществить такое преобразование, мы воспользовались квазиклассическим методом (см. гл. V.1.3 в [27]). После этого вновь применяем описанную схему метода Биркгофа и получаем представление (2.25) фундаментальной матрицы $A$ (см. ниже лемму 4, п. 2), где растущие элементы также выделены в отдельную диагональную матрицу. Приступим непосредственно к реализации описанных здесь идей. Для этого преобразуем исходное уравнение (2.4). Введем в рассмотрение матричнозначную функцию $Y_1(x, z)$ вида
$$
\begin{equation}
A(x, z)=\Omega(z)Y_1(x, z), \qquad x\in [0, 1], \qquad z\in\mathcal{Z}_+(r),
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где матрица $\Omega$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\Omega= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\; & 1\; \\ {-}z\hphantom{^2} & iz & -iz & z \\ \hphantom{-}z^2 \hfil & -z^2 & -z^2\hphantom{i^{2}} & z^2 \\ -z^3 & -iz^3 & iz^3 & z^3 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Имеет место следующий результат. Лемма 2. Пусть $p, q, b\in L_1(0, 1)$ и $z\in\mathcal{Z}_+(r)$, где $r>0$ – достаточно большое число. Тогда матричнозначная функция $Y_1$ удовлетворяет уравнению При этом матричнозначные функции $\mathcal{G}$ и $\Phi_1$ имеют вид Доказательство. Подставим (2.6) в (2.4). Используя равенство мы получим Для завершения доказательства леммы осталось прибавить к обеим частям последнего уравнения слагаемое $-ip\mathcal{T}^3Y_1/(4z)-q\mathcal{T}^2Y_1/(4z^2)+ib\mathcal{T}Y_1/(4z^3)$. Лемма доказана. Теперь рассмотрим случай $p, p', q, b\in L_1(0, 1)$. Мы преобразуем уравнение (2.8) таким образом, чтобы коэффициент в правой части убывал как $z^{-2}$. Для этого введем в рассмотрение новую неизвестную функцию $Y_2(x, z)$ вида
$$
\begin{equation}
Y_1(x, z)=U(x, z)Y_2(x, z), \qquad x\in [0, 1], \quad z\in\mathcal{Z}_+(r).
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Напомним, что $Y_1$ – решение уравнения (2.8). Кроме того, зададим матричнозначную функцию $U$ в следующей форме:
$$
\begin{equation}
U(x, z)=\mathbb{I}_4-\frac{p(x)}{8z^2}W, \qquad x\in [0, 1],
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
где $\mathbb{I}_4$ – единичная матрица размера $4\times 4$, $W$ – некоторая постоянная матрица. Как было отмечено выше, данная матричнозначная функция $U$ выбирается таким образом, чтобы в правой части уравнения (2.8) коэффициент убывал как $z^{-2}$. В связи с этим матрица $W$ должна удовлетворять следующему тождеству: Тогда непосредственное вычисление показывает, что в качестве $W$ можно взять
$$
\begin{equation}
W= \begin{pmatrix} \hphantom{-}0 & 1-i & 1+i & -1 \\ -1-i & 0 & 1 & -1+i \\ -1+i & 1 & 0 & -1-i \\ -1 & 1+i & 1-i & \hphantom{-}0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Имеет место следующий результат. Лемма 3. Предположим, что $p, p', q, b\in L_1(0, 1)$ и $z\in\mathcal{Z}_+(r)$, где $r>0$ – достаточно большое число. Тогда матричнозначная функция $Y_2$ удовлетворяет уравнению где Доказательство. Пусть $z\in\mathcal{Z}_+(r)$ и $|z|\to\infty$. Подставляя (2.12) в (2.8), мы получим Теперь мы можем воспользоваться непосредственно методом Биркгофа (подробнее см. раздел 2.2 в [9]). Поскольку уравнения (2.8) и (2.16) удовлетворяют всем необходимым требованиям этого метода, то к ним можно применить результат, полученный в лемме 5 работы [9]. Таким образом, данные уравнения преобразуются в интегральные уравнения Фредгольма с “малым ядром” при высоких энергиях. Это позволяет получить удобное представление для фундаментальной матрицы $A$. Указанная матрица будет выписана в виде произведения простой по структуре матрицы, ограниченной матрицы и диагональной матрицы, в которой и будут содержаться все экспоненциально возрастающие слагаемые. Перейдем к формулировке соответствующего результата. Зададим матричнозначные функции $\mathcal{B}_\sigma(x, z)$, $x\in [0, 1]$, $z\in\mathcal{Z}_+$, $\sigma=1, 2$, в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\mathcal{B}_{\sigma, jj}(x, z) =0, \qquad j=1, 2, 3, 4,
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{B}_{\sigma, lj}(x, z) =-\int_x^1 e^{-iz(s-x)(\omega_l-\omega_j)} F_{\sigma, lj}(s)\,ds, \qquad 1\leqslant j<l\leqslant 4,
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{B}_{\sigma, lj}(x, z) =\int_0^x e^{iz(x-s)(\omega_l-\omega_j)} F_{\sigma, lj}(s)\,ds, \qquad\quad\;\, 1\leqslant l<j\leqslant 4,
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
где функции $F_1$ и $F_2$ описываются формулами (2.10) и (2.17). Кроме того, введем в рассмотрение аналитические на $\mathcal{Z}_+$ и ограниченные функции $\zeta_{\sigma, lj}$, $\sigma=1, 2$:
$$
\begin{equation}
\zeta_{1, lj}=\frac{\mathcal{B}_{1, lj}}{z}, \qquad \zeta_{2, lj}=\frac{1}{z^2}\biggl(\mathcal{B}_{2, lj}-\frac{p}{8}W_{lj}\biggr), \qquad l, j=1, 2, 3, 4,
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
где матрица $W$ имеет вид (2.15). Имеет место следующий результат. Лемма 4. Пусть $p, q, b\in L_1(0, 1)$ и $z\in\mathcal{Z}_+(r)$, где $r>0$ достаточно большое. Тогда справедливы следующие утверждения. 1. Фундаментальная матрица $A$ уравнения (1.1) имеет вид
$$
\begin{equation}
A(x, z)=\Omega(z)\biggl(\mathbb{I}_4+\frac{\mathcal{B}_1(x, z)}{z} +\mathcal{O}(z^{-2})\biggr) \exp \biggl[iz\int_0^x\mathcal{G}(s, z)\,ds\biggr],
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
где $\Omega$, $\mathcal{G}$ и $\mathcal{B}_1$ задаются формулами (2.7), (2.9) и (2.20)–(2.22). 2. Если дополнительно предположить, что $p'\in L_1(0, 1)$, то
$$
\begin{equation}
A(x, z)=\Omega(z)U(x, z)\biggl(\mathbb{I}_4+\frac{\mathcal{B}_2(x, z)}{z^2} +\mathcal{O}(z^{-3})\biggr) \exp\biggl[iz\int_0^x\mathcal{G}(s, z)\,ds\biggr],
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
где $U$ и $\mathcal{B}_2$ задаются формулами (2.13) и (2.20)–(2.22). 3. Фундаментальные решения $\phi_j$, $j=1, 2, 3, 4$, имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\begin{pmatrix} \phi_1 & \phi_2 & \phi_3 & \phi_4 \\ \phi_1' & \phi_2' & \phi_3' & \phi_4' \\ \phi_1'' & \phi_2'' & \phi_3'' & \phi_4'' \\ \phi_1''' & \phi_2''' & \phi_3''' & \phi_4''' \end{pmatrix}={} \notag \\ &=\Omega \begin{pmatrix} (1+g_{\sigma, 11})c_{\sigma, 1} & g_{\sigma, 12}c_{\sigma, 2} & g_{\sigma, 13}c_{\sigma, 3} & g_{\sigma, 14}c_{\sigma, 4} \\ g_{\sigma, 21}c_{\sigma, 1} & (1+g_{\sigma, 22})c_{\sigma, 2} & g_{\sigma, 23}c_{\sigma, 3} & g_{\sigma, 24}c_{\sigma, 4} \\ g_{\sigma, 31}c_{\sigma, 1} & g_{\sigma, 32}c_{\sigma, 2} & (1+g_{\sigma, 33})c_{\sigma, 3} & g_{\sigma, 34}c_{\sigma, 4} \\ g_{\sigma, 41}c_{\sigma, 1} & g_{\sigma, 42}c_{\sigma, 2} & g_{\sigma, 43}c_{\sigma, 3} & (1+g_{\sigma, 44})c_{\sigma, 4} \end{pmatrix} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
при $|z|\to\infty$, $z\in\mathcal{Z}_+$, равномерно по $x\in [0, 1]$, где $\Omega$ имеет вид (2.7) и
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, c_{\sigma, j}(x, z)=\exp\biggl[iz\int_0^x\mathcal{G}_j(s, z)\,ds\biggr], \\ g_{\sigma, lj}= \zeta_{\sigma, lj}+\mathcal{O}(z^{-\sigma-1}), \qquad l, j=1, 2, 3, 4, \quad \sigma=1, 2. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
Причем функции $\mathcal{G}=\operatorname{diag}(\mathcal{G}_1, \mathcal{G}_2, \mathcal{G}_3, \mathcal{G}_4)$ и $\zeta_{\sigma, lj}$, $\sigma=1, 2$, $l, j=1, 2, 3, 4$, задаются формулами (2.9) и (2.23) соответственно. Доказательство полностью повторяет доказательство леммы 6 в работе [9]. 3. Асимптотика собственных значений в случае $p, q, b\in L_1(0, 1)$В настоящем разделе мы исследуем асимптотику собственных значений $\mu_n^\pm$ оператора $\mathcal{H}$ при высоких энергиях. Напомним, что они совпадают с нулями функции $D$. В свою очередь, из формулы (2.5) видно, что для изучения нулей функции $D$ достаточно вычислить нули функции $\det\phi$ вида (2.2) при $|z|\to\infty$. Сначала преобразуем $\det\phi$ к более удобному виду. Введем в рассмотрение функции
$$
\begin{equation}
\alpha(z)=1+\frac{\hat{p}_0}{4z^2}-\frac{\hat{b}_0}{4z^4}, \qquad \beta(z)=1-\frac{\hat{p}_0}{4z^2}-\frac{\hat{b}_0}{4z^4}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Тогда из тождества (2.9) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \int_0^1\mathcal{G}_1(s, z)\,ds &= i\beta(z)+\frac{i\hat{q}_0}{4z^3}, &\qquad \int_0^1\mathcal{G}_4(s, z)\,ds &=-i\beta(z)+\frac{i\hat{q}_0}{4z^3}, \\ \int_0^1\mathcal{G}_2(s, z)\,ds &= \alpha(z)-\frac{i\hat{q}_0}{4z^3}, &\qquad \int_0^1\mathcal{G}_3(s, z)\,ds &=-\alpha(z)-\frac{i\hat{q}_0}{4z^3}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим первый столбец определителя матрицы (2.2), где $T_j$ имеет вид (1.3). Распишем его, используя соотношения (2.26). Из формулы (2.27) получаем, что $g_{\sigma, lj}(x, z)=\mathcal{O}(z^{-\sigma})$, $x\in [0, 1]$, $z\in\mathcal{Z}_+$, $\sigma=1, 2$, при $|z|\to\infty$. Тогда каждый элемент первого столбца представим в виде разности экспоненциально убывающей функции, умноженной на соответствующий коэффициент, и ограниченной функции (см. (2.26)), т. е.
$$
\begin{equation*}
e^{-z\beta-\hat{q}_0/(4z^2)}(1+\mathcal{O}(z^{-\sigma}))-1+\mathcal{O}(z^{-\sigma}) =-1+\mathcal{O}(z^{-\sigma}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\beta=\beta(z)$ задается соотношением (3.1). Следовательно, функция $\det\phi$ представима в виде
$$
\begin{equation*}
\det\phi(z)= \det \begin{pmatrix} -1+\mathcal{O}(z^{-\sigma}) & T_2\phi(z) & T_3\phi(z) & T_4\phi(z) \\ z(1+\mathcal{O}(z^{-\sigma})) & T_2\phi'(z) & T_3\phi'(z) & T_4\phi'(z) \\ -z^2(1+\mathcal{O}(z^{-\sigma})) & T_2\phi''(z) & T_3\phi''(z) & T_4\phi''(z) \\ z^3(1+\mathcal{O}(z^{-\sigma})) & T_2\phi'''(z) & T_3\phi'''(z) & T_4\phi'''(z) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее вынесем из второй, третьей и четвертой строк множители $z$, $z^2$ и $z^3$ соответственно. Рассмотрим четвертый столбец полученной матрицы. Из соотношений (1.3) и (2.26) следует, что каждый элемент четвертого столбца представим в виде разности экспоненциально возрастающей функции $e^{z\beta-\hat{q}_0/(4z^2)}(1+\mathcal{O}(z^{-\sigma}))$ и ограниченной функции $1+\mathcal{O}(z^{-\sigma})$. Растущий множитель $e^{z\beta-\hat{q}_0/(4z^2)}$ мы также вынесем, тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \det\phi(z) &= z^6\times{} \\ &\times \det \begin{pmatrix} -1+\mathcal{O}(z^{-\sigma}) & T_2\phi(z) & T_3\phi(z) & \phi_4(1, z)-\phi_4(0, z)\\ \hphantom{-}1+\mathcal{O}(z^{-\sigma}) & \frac{1}{z}T_2\phi'(z) & \frac{1}{z}T_3\phi'(z) & \frac{1}{z}\bigl(\phi_4'(1, z)-\phi_4'(0, z)\bigr)\vphantom{\Bigl\}} \\ -1+\mathcal{O}(z^{-\sigma}) & \frac{1}{z^2}T_2\phi''(z) & \frac{1}{z^2}T_3\phi''(z) & \frac{1}{z^2}\bigl(\phi_4''(1, z)-\phi_4''(0, z)\bigr) \vphantom{\Bigl\}} \\ \hphantom{-}1+\mathcal{O}(z^{-\sigma}) & \frac{1}{z^3}T_2\phi'''(z) & \frac{1}{z^3}T_3\phi'''(z) & \frac{1}{z^3}\bigl(\phi_4'''(1, z)-\phi_4'''(0, z)\bigr) \vphantom{\Bigl\}} \end{pmatrix}={}\\ &= z^6e^{z\beta-\hat{q}_0/(4z^2)} \det \begin{pmatrix} -1+\mathcal{O}(z^{-\sigma}) & T_2\phi(z) & T_3\phi(z) & 1+\mathcal{O}(z^{-\sigma}) \\ \hphantom{-}1+\mathcal{O}(z^{-\sigma}) & \frac{1}{z}T_2\phi'(z) & \frac{1}{z}T_3\phi'(z) & 1+\mathcal{O}(z^{-\sigma})\vphantom{\Bigl\}} \\ -1+\mathcal{O}(z^{-\sigma}) & \frac{1}{z^2}T_2\phi''(z) & \frac{1}{z^2}T_3\phi''(z) & 1+\mathcal{O}(z^{-\sigma})\vphantom{\Bigl\}}\\ \hphantom{-}1+\mathcal{O}(z^{-\sigma}) & \frac{1}{z^3}T_2\phi'''(z) & \frac{1}{z^3}T_3\phi'''(z) & 1+\mathcal{O}(z^{-\sigma}) \vphantom{\Bigl\}} \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисления, которые приведены ниже, осуществляются для конкретных $z$ вида $z=2\pi n+\delta_n$, $\delta_n=\mathcal{O}(1)$. Вычислим определитель в последнем равенстве. Сначала оценим порядок элементов во втором и третьем столбцах. Для определенности рассмотрим $T_2\phi(z)$. Из формул (1.3) и (2.26) непосредственно следует асимптотика
$$
\begin{equation*}
T_2\phi(z)=e^{iz\alpha+\hat{q}_0/(4z^2)} (1+\mathcal{O}(z^{-\sigma}))-1+\mathcal{O}(z^{-\sigma}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha=\alpha(z)$ имеет вид (3.1). Подставляя $z=2\pi n+\delta_n$ в (3.1), мы получим асимптотику $T_2\phi(z)=\mathcal{O}(\delta_n)$. Используя эти же рассуждения, легко показать, что остальные элементы во втором и третьем столбцах имеют тот же порядок $\mathcal{O}(\delta_n)$. Таким образом, раскрывая определитель, мы получим, что окончательная формула для $\det\phi$ принимает вид
$$
\begin{equation}
\det\phi(z) = 2z^6e^{z\beta-\hat{q}_0/(4z^2)}(\mathfrak{T}_1(z)\mathfrak{T}_2(z) -\mathfrak{T}_3(z)\mathfrak{T}_4(z)+\delta_n^2\mathcal{O}(z^{-\sigma})),
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{T}_1(z) &=\frac{1}{z^2}T_3\phi''(z)-T_3\phi(z), \qquad \mathfrak{T}_2(z)=\frac{1}{z^3}T_2\phi'''(z)-\frac{1}{z}T_2\phi'(z), \\ \mathfrak{T}_3(z) &=\frac{1}{z^2}T_2\phi''(z)-T_2\phi(z), \qquad \mathfrak{T}_4(z)=\frac{1}{z^3}T_3\phi'''(z)-\frac{1}{z}T_3\phi'(z). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим отдельно каждый множитель в формуле (3.2). Используя (2.26), (2.27), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{T}_1&(z) =-(1+(-\zeta_{\sigma, 13}+\zeta_{\sigma, 23} +\zeta_{\sigma, 33}-\zeta_{\sigma, 43})(1, z)+\mathcal{O}(z^{-\sigma-1})) e^{-i\alpha z+\hat{q}_0/(4z^2)}+1+{} \\ &+ (-\zeta_{\sigma, 13}+\zeta_{\sigma, 23}+\zeta_{\sigma, 33} -\zeta_{\sigma, 43})(0, z)-(1+(\zeta_{\sigma, 13}+\zeta_{\sigma, 23} +\zeta_{\sigma, 33}+\zeta_{\sigma, 43})(1, z)+{} \\ &+\mathcal{O}(z^{-\sigma-1}))e^{-i\alpha z+\hat{q}_0/(4z^2)} +1+(\zeta_{\sigma, 13}+\zeta_{\sigma, 23}+\zeta_{\sigma, 33} +\zeta_{\sigma, 43})(0, z)+\mathcal{O}(z^{-\sigma-1}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathfrak{T}_1(z) ={}& {-}2(1+(\zeta_{\sigma, 23}+\zeta_{\sigma, 33})(1, z)+\mathcal{O}(z^{-\sigma-1})) e^{-i\alpha z+\hat{q}_0/(4z^2)}+{} \notag \\ &+2(1+(\zeta_{\sigma, 23}+\zeta_{\sigma, 33})(0, z) +\mathcal{O}(z^{-\sigma-1})). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Повторим эти же рассуждения для остальных множителей:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathfrak{T}_2(z) ={}& {-}2i(1+(\zeta_{\sigma, 22}-\zeta_{\sigma, 32})(1, z)+\mathcal{O}(z^{-\sigma-1})) e^{i\alpha z+\hat{q}_0/(4z^2)}+{}\\ &+2i(1+(\zeta_{\sigma, 22}-\zeta_{\sigma, 32})(0, z) +\mathcal{O}(z^{-\sigma-1})), \\ \mathfrak{T}_3(z) ={}& {-}2(1+(\zeta_{\sigma, 22}+\zeta_{\sigma, 32})(1, z)+\mathcal{O}(z^{-\sigma-1})) e^{i\alpha z+\hat{q}_0/(4z^2)}+{}\\ &+2(1+(\zeta_{\sigma, 22}+\zeta_{\sigma, 32})(0, z) +\mathcal{O}(z^{-\sigma-1})), \\ \mathfrak{T}_4(z) ={}& 2i(1+(-\zeta_{\sigma, 23}+\zeta_{\sigma, 33})(1, z)+\mathcal{O}(z^{-\sigma-1})) e^{-i\alpha z+\hat{q}_0/(4z^2)}-{}\\ &-2i(1+(-\zeta_{\sigma, 23}+\zeta_{\sigma, 33})(0, z) +\mathcal{O}(z^{-\sigma-1})). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Перед формулировкой основного результата настоящего раздела мы приведем известную лемму, которая необходима при вычислении асимптотики собственных значений. Лемма 5 [11]. Пусть $\varepsilon\in\mathbb{C}$. Для аналитической функции вида на области $\mathbb{C}\setminus [-i\varepsilon, i\varepsilon]$ с условием $\lim_{|u|\to\infty}f(u)=0$ справедлива оценка для любого $u\in\mathbb{C}$. Имеет место следующий результат. Лемма 6. Пусть $p, q, b\in L_1(0, 1)$. Тогда собственные значения $\mu_n^\pm$ оператора $\mathcal{H}$ удовлетворяют асимптотике (1.7). Доказательство. Пусть $\lambda=z^4=\mu_n^\pm$, $n\to +\infty$. Из леммы 3.4 работы [10] следует, что $z=2\pi n+\delta_n$, $\delta_n=\mathcal{O}(1)$. Как было отмечено выше, мы будем анализировать нули функции $\det\phi$. Для этого воспользуемся формулой (2.2), а также более детальным выражением (3.2). Рассматриваемый общий случай коэффициентов соответствует значению $\sigma=1$ в лемме 4. Тогда из формулы (2.23) видно, что $\zeta_{1, lj}(\cdot, z)=\mathcal{O}(z^{-1})$. Сначала вычислим асимптотики для $e^{\pm iz\alpha+\hat{q}_0/(4z^2)}$, где $\alpha$ имеет вид (3.1). Справедливы следующие соотношения:
$$
\begin{equation}
e^{\pm iz\alpha+\hat{q}_0/(4z^2)}=1\pm i\delta_n+\mathcal{O}(n^{-1}).
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Вычислим асимптотику множителей, входящих в (3.2). Подставим в (3.3), (3.4) асимптотику (3.5):
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \mathfrak{T}_1(z) &= 2i\delta_n+\mathcal{O}(n^{-1}), &\qquad \mathfrak{T}_2(z)&=2\delta_n+\mathcal{O}(n^{-1}), \\ \mathfrak{T}_3(z)&=-2i\delta_n+\mathcal{O}(n^{-1}), &\qquad \mathfrak{T}_4(z)&=2\delta_n+\mathcal{O}(n^{-1}). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя эти формулы в (3.2), получаем
$$
\begin{equation*}
\det\phi(z)=16iz^6e^{z\beta-\hat{q}_0/(4z^2)}(\delta_n^2+\mathcal{O}(n^{-1})).
\end{equation*}
\notag
$$
Из уравнения $\det\phi(z)=0$ следует, что $\delta_n=\mathcal{O}(n^{-1/2})$. Таким образом, $z=2\pi n+\mathcal{O}(n^{-1/2})$. Теперь асимптотику для $z$ мы будем уточнять. Пусть $\delta_n=\mathcal{O}(n^{-1/2})$. Используя выражение $z=2\pi n+\delta_n$, мы вновь вычислим асимптотики для $e^{\pm iz\alpha+\hat{q}_0/(4z^2)}$. Справедливы следующие соотношения:
$$
\begin{equation}
e^{\pm iz\alpha+\hat{q}_0/(4z^2)} = 1\pm i\delta_n\pm\frac{i\hat{p}_0}{4z}-\frac{\delta_n^2}{2}-\frac{\delta_n\hat{p}_0}{4z} \mp\frac{i\delta_n^3}{6}+\mathcal{O}(n^{-2}).
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Теперь перейдем к вычислению $\det\phi$ вида (3.2). Сначала получим асимптотику множителей, входящих в это выражение. Введем обозначения
$$
\begin{equation}
\varkappa_1(z)=\mathcal{B}_{1, 23}(0, z)-\mathcal{B}_{1, 23}(1, z), \qquad \varkappa_2(z)=\mathcal{B}_{1, 32}(1, z)-\mathcal{B}_{1, 32}(0, z),
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где $\mathcal{B}_{1, lj}$, $l, j=2, 3$, имеют вид (2.21) и (2.22). Подставим в (3.3), (3.4) первое соотношение из (2.23), а также асимптотику (3.6). Учитывая тождество (2.20), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{T}_1(z) &= 2i\delta_n+\frac{i\hat{p}_0}{2z}+\delta_n^2 +\frac{\delta_n\hat{p}_0}{2z}-\frac{i\delta_n^3}{3} +\frac{2i\delta_n\mathcal{B}_{1, 23}(1, z)}{z} +\frac{2\varkappa_1(z)}{z}+\mathcal{O}(n^{-2}),\\ \mathfrak{T}_2(z) &= i\biggl(-2i\delta_n-\frac{i\hat{p}_0}{2z}+\delta_n^2 +\frac{\delta_n\hat{p}_0}{2z}+\frac{i\delta_n^3}{3} +\frac{2i\delta_n\mathcal{B}_{1, 32}(1, z)}{z} +\frac{2\varkappa_2(z)}{z}+\mathcal{O}(n^{-2})\biggr),\\ \mathfrak{T}_3(z) &= -2i\delta_n-\frac{i\hat{p}_0}{2z}+\delta_n^2 +\frac{\delta_n\hat{p}_0}{2z}+\frac{i\delta_n^3}{3} -\frac{2i\delta_n\mathcal{B}_{1, 32}(1, z)}{z} -\frac{2\varkappa_2(z)}{z}+\mathcal{O}(n^{-2}),\\ \mathfrak{T}_4(z) &= i\biggl(-2i\delta_n-\frac{i\hat{p}_0}{2z}-\delta_n^2 -\frac{\delta_n\hat{p}_0}{2z}+\frac{i\delta_n^3}{3} +\frac{2i\delta_n\mathcal{B}_{1, 23}(1, z)}{z} +\frac{2\varkappa_1(z)}{z}+\mathcal{O}(n^{-2})\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда непосредственно следует
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{T}_1(z)\mathfrak{T}_2(z)&= i\biggl(4\delta_n^2+\frac{2\delta_n\hat{p}_0}{z} +\frac{4i\delta_n(\varkappa_2(z)-\varkappa_1(z))}{z}+\mathcal{O}(n^{-2})\biggr), \\ \mathfrak{T}_3(z)\mathfrak{T}_4(z) &= i\biggl(-4\delta_n^2-\frac{2\delta_n\hat{p}_0}{z} -\frac{4i\delta_n(\varkappa_1(z)-\varkappa_2(z))}{z}+\mathcal{O}(n^{-2})\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим полученные асимптотики в (3.2):
$$
\begin{equation*}
\det\phi(z)=16iz^6e^{z\beta-\hat{q}_0/(4z^2)}\biggl(\delta_n^2 +\frac{\delta_n\hat{p}_0}{2z}+\mathcal{O}(n^{-2})\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Это, в свою очередь, ведет к формуле
$$
\begin{equation*}
\det\phi(z)=16iz^6e^{z\beta-\hat{q}_0/(4z^2)}\biggl(\!\biggl(\delta_n +\frac{\hat{p}_0}{4z}\biggr)^2+\mathcal{O}(n^{-2})\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
и уравнение $\det\phi(z)=0$ влечет соотношение $\delta_n=\mathcal{O}(n^{-1})$. Таким образом, $z=2\pi n+\mathcal{O}(n^{-1})$. Снова уточним полученную выше асимптотику. Пусть $\delta_n=\mathcal{O}(n^{-1})$. С учетом выражения $z=2\pi n+\delta_n$ асимптотики для $e^{\pm iz\alpha+\hat{q}_0/(4z^2)}$ принимают вид
$$
\begin{equation*}
e^{\pm iz\alpha+\hat{q}_0/(4z^2)}= 1\pm i\delta_n\pm \frac{i\hat{p}_0}{4z}+\mathcal{O}(n^{-2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя эти асимптотики и первое соотношение из (2.23) в (3.3), (3.4), а также учитывая тождество (2.20), мы получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{T}_1(z) &= 2i\delta_n+\frac{i\hat{p}_0}{2z} +\frac{2\varkappa_1(z)}{z}+\mathcal{O}(n^{-2}), \\ \mathfrak{T}_2(z) &= i\biggl(-2i\delta_n-\frac{i\hat{p}_0}{2z}+\frac{2\varkappa_2(z)}{z}+\mathcal{O}(n^{-2})\biggr),\\ \mathfrak{T}_3(z) &= -2i\delta_n-\frac{i\hat{p}_0}{2z}-\frac{2\varkappa_2(z)}{z}+\mathcal{O}(n^{-2}),\\ \mathfrak{T}_4(z) &= i\biggl(-2i\delta_n-\frac{i\hat{p}_0}{2z}+\frac{2\varkappa_1(z)}{z}+\mathcal{O}(n^{-2})\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{T}_1(z)\mathfrak{T}_2(z) ={}& i\biggl(4\delta_n^2+\frac{2\delta_n\hat{p}_0}{z} +\frac{\hat{p}_0^2}{4z^2}+\biggl(\frac{4i\delta_n}{z}+\frac{i\hat{p}_0}{z^2}\biggr) (\varkappa_2(z)-\varkappa_1(z))+{} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+\frac{4\varkappa_1(z)\varkappa_2(z)}{z^2}+\mathcal{O}(n^{-3})\biggr), \\ \mathfrak{T}_3(z)\mathfrak{T}_4(z) ={}& i\biggl(-4\delta_n^2-\frac{2\delta_n\hat{p}_0}{z}-\frac{\hat{p}_0^2}{4z^2} +\biggl(\frac{4i\delta_n}{z}+\frac{i\hat{p}_0}{z^2}\biggr) (\varkappa_2(z)-\varkappa_1(z))-{} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad-\frac{4\varkappa_1(z)\varkappa_2(z)}{z^2}+\mathcal{O}(n^{-3})\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим полученные асимптотики в (3.2):
$$
\begin{equation*}
\det\phi(z)=16iz^6e^{z\beta-\hat{q}_0/(4z^2)}\biggl(\delta_n^2 +\frac{\delta_n\hat{p}_0}{2z} +\frac{\hat{p}_0^2}{16z^2}+\frac{\varkappa_1(z)\varkappa_2(z)}{z^2} +\mathcal{O}(n^{-3})\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Это, в свою очередь, ведет к формуле
$$
\begin{equation*}
\det\phi(z)=16iz^6e^{z\beta-\hat{q}_0/(4z^2)}\biggl(\!\biggl(\delta_n +\frac{\hat{p}_0}{8\pi n}\biggr)^{\!2} +\frac{\varkappa_1(z)\varkappa_2(z)}{(2\pi n)^2}+\mathcal{O}(n^{-3})\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Из уравнения $\det\phi(z)=0$ следует соотношение
$$
\begin{equation}
\biggl(\delta_n+\frac{\hat{p}_0}{8\pi n}\biggr)^{\!2}= -\frac{\varkappa_1(z)\varkappa_2(z)}{(2\pi n)^2}+\mathcal{O}(n^{-3}).
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Используя лемму 5 с $u=\sqrt{-\varkappa_1(z)\varkappa_2(z)}/(2\pi n)$ и $\varepsilon^2=\mathcal{O}(n^{-3})$, мы получим
$$
\begin{equation*}
\biggl(\!\biggl(\frac{\sqrt{-\varkappa_1(z)\varkappa_2(z)}}{2\pi n}\,\biggr)^{\!2} +\mathcal{O}(n^{-3})\biggr)^{\!1/2} -\frac{\sqrt{-\varkappa_1(z)\varkappa_2(z)}}{2\pi n}=\mathcal{O}(n^{-3/2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (3.8) непосредственно следует
$$
\begin{equation}
\delta_n+\frac{\hat{p}_0}{8\pi n}=\pm\frac{\sqrt{-\varkappa_1(z)\varkappa_2(z)}}{2\pi n} +\mathcal{O}(n^{-3/2}).
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Таким образом, выражение $z=2\pi n+\delta_n$ ведет к формуле
$$
\begin{equation}
z=2\pi n-\frac{\hat{p}_0}{8\pi n}\pm\frac{\sqrt{-\varkappa_1(z)\varkappa_2(z)}}{2\pi n} +\mathcal{O}(n^{-3/2}).
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Осталось вычислить величину $\varkappa_1(z)\varkappa_2(z)$. Используя формулы (3.7), (2.21) и (2.22), имеем
$$
\begin{equation*}
\varkappa_1(z)\varkappa_2(z)=\mathcal{B}_{1, 23}(1, z)\mathcal{B}_{1, 32}(0, z)= \biggl(\int_0^1e^{i2z(1-s)}F_{1, 23}(s)\,ds\biggr) \biggl(-\int_0^1e^{i2zs}F_{1, 32}(s)\,ds\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим в последнее тождество второе соотношение из (2.10) и $z=2\pi n+\delta_n$, где $\delta_n=\mathcal{O}(n^{-1})$, тогда получим
$$
\begin{equation}
\varkappa_1(z)\varkappa_2(z)= -\frac{\hat{p}_{2n}\hat{p}_{-2n}}{16}+\mathcal{O}(n^{-1}).
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Таким образом, из (3.10) и (3.11) непосредственно следует, что
$$
\begin{equation*}
z=2\pi n-\frac{\hat{p}_0}{8\pi n}\pm \frac{\sqrt{\hat{p}_{2n}\hat{p}_{-2n}}}{8\pi n} +\mathcal{O}(n^{-3/2}),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получается формула (1.7). 4. Асимптотика собственных значений оператора $\mathcal{H}$ для случая $p, p', q, b\in L_1(0, 1)$В настоящем разделе мы уточним асимптотику, полученную в лемме 6. Для этого необходимо потребовать дополнительное условие $p'\in L_1(0, 1)$. Имеет место следующий результат. Лемма 7. Пусть $p, p', q, b\in L_1(0, 1)$. Тогда собственные значения $\mu_n^\pm$ допускают асимптотику (1.8). Доказательство. Пусть $\lambda=z^4=\mu_n^\pm$, $n\to +\infty$. Из леммы 6 следует, что Используя формулу (4.1), вычислим асимптотики для $e^{\pm iz\alpha+\hat{q}_0/(4z^2)}$, где $\alpha$ имеет вид (3.1). Справедливы следующие соотношения:
$$
\begin{equation}
e^{\pm iz\alpha+\hat{q}_0/(4z^2)}=\exp\biggl\{\pm i\delta_n \mp\frac{i\hat{p}_0}{8\pi n} \pm\frac{i\hat{p}_0}{4z}\mp\frac{i\hat{b}_0}{4z^3}+\frac{\hat{q}_0}{4z^2}\biggr\} =1\pm i\delta_n+\frac{\hat{q}_0}{4z^2}+\mathcal{O}(n^{-3}).
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Вычислим асимптотику множителей, входящих в (3.2). Положим
$$
\begin{equation}
\varkappa_3(z)=\zeta_{2, 23}(0, z)-\zeta_{2, 23}(1, z), \qquad \varkappa_4(z)=\zeta_{2, 32}(1, z)-\zeta_{2, 32}(0, z),
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где $\zeta_{2, lj}$, $l, j=1, 2, 3, 4$, описываются формулами (2.23). Подставим в (3.3), (3.4) второе соотношение из (2.23), а также асимптотику (4.3). Учитывая тождество (4.2), мы получим, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathfrak{T}_1(z) &= 2i\delta_n-\frac{\hat{q}_0}{2z^2} +2\varkappa_3(z)+\mathcal{O}(n^{-3}), \\ \mathfrak{T}_2(z) &= i\biggl(-2i\delta_n-\frac{\hat{q}_0}{2z^2}+2\varkappa_4(z)+\mathcal{O}(n^{-3})\biggr), \\ \mathfrak{T}_3(z) &= -2i\delta_n-\frac{\hat{q}_0}{2z^2}-2\varkappa_4(z)+\mathcal{O}(n^{-3}), \\ \mathfrak{T}_4(z) &= i\biggl(-2i\delta_n+\frac{\hat{q}_0}{2z^2}+2\varkappa_3(z)+\mathcal{O}(n^{-3})\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Отсюда непосредственно следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{T}_1(z)\mathfrak{T}_2(z) &= i(4\delta_n^2+4i\delta_n(\varkappa_4(z)-\varkappa_3(z)) +\mathcal{O}(n^{-4})), \\ \mathfrak{T}_3(z)\mathfrak{T}_4(z) &= i(-4\delta_n^2-4i\delta_n(\varkappa_3(z)-\varkappa_4(z)) +\mathcal{O}(n^{-4})). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя эти асимптотики в (3.2), получим
$$
\begin{equation*}
\det\phi(z)=16iz^6e^{z\beta+\hat{q}_0/(4z^2)}(\delta_n^2+\mathcal{O}(n^{-4})),
\end{equation*}
\notag
$$
и из уравнения $\det\phi(z)=0$ вытекает, что $\delta_n=\mathcal{O}(n^{-2})$. Таким образом, из (4.1) непосредственно следует
$$
\begin{equation*}
z=2\pi n-\frac{\hat{p}_0}{8\pi n}+\mathcal{O}(n^{-2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Снова уточним полученную выше асимптотику. Можно считать, что
$$
\begin{equation}
z=2\pi n-\frac{\hat{p}_0}{8\pi n}+\delta_n, \qquad \delta_n=\mathcal{O}(n^{-2}).
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Это тождество влечет асимптотики (4.3) и (4.5). Тогда из (4.5) непосредственно следуют соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{T}_1(z)\mathfrak{T}_2(z)={}& i\biggl(4\delta_n^2+4i\delta_n(\varkappa_4(z) -\varkappa_3(z))+\frac{\hat{q}_0^2}{4z^4} -\frac{\hat{q}_0(\varkappa_3(z)+\varkappa_4(z))}{z^2}+{} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+4\varkappa_3(z)\varkappa_4(z)+\mathcal{O}(n^{-5})\biggr), \\ \mathfrak{T}_3(z)\mathfrak{T}_4(z)={}& i\biggl(-4\delta_n^2+4i\delta_n(\varkappa_4(z)-\varkappa_3(z)) -\frac{\hat{q}_0^2}{4z^4}-\frac{\hat{q}_0(\varkappa_3(z)+\varkappa_4(z))}{z^2}-{} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad-4\varkappa_3(z)\varkappa_4(z)+\mathcal{O}(n^{-5})\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим полученные асимптотики в (3.2). В результате имеем
$$
\begin{equation}
\det\phi(z)=16iz^6e^{z\beta-\hat{q}_0/(4z^2)}\biggl(\delta_n^2 +\frac{\hat{q}_0^2}{16(2\pi n)^4} +\varkappa_3(z)\varkappa_4(z)+\mathcal{O}(n^{-5})\biggr).
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Теперь вычислим величину $\varkappa_3(z)\varkappa_4(z)$. Используя второе тождество из (2.23), а также формулы (4.4), (2.15), (2.21) и (2.22), проведем следующие вычисления:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varkappa_3(z)\varkappa_4(z) ={}& \frac{1}{z^4} \biggl(\mathcal{B}_{2, 23}(0, z)-\frac{p(0)}{8}W_{23}-\mathcal{B}_{2, 23}(1, z) +\frac{p(1)}{8}W_{23}\biggr)\times{} \\ &\times\biggl(\mathcal{B}_{2, 32}(1, z)-\frac{p(1)}{8}W_{32}- \mathcal{B}_{2, 32}(0, z)+\frac{p(0)}{8}W_{32}\biggr)={}\\ ={}& {-}\frac{1}{64z^4}(p(0)-p(1)+8\mathcal{B}_{2, 23}(1, z)) (p(0)-p(1)-8\mathcal{B}_{2, 32}(0, z)) ={}\\ ={}& {-}\frac{1}{64z^4}\biggl(p(0)-p(1)+8\int_0^1e^{i2z(1-s)}F_{1, 23}(s)\,ds\biggr)\times{} \\ &\times \biggl(p(0)-p(1)+8\int_0^1e^{i2zs}F_{1, 32}(s)\,ds\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя в последнее тождество второе соотношение из (2.17), а также представление (4.6), получим
$$
\begin{equation*}
\varkappa_3(z)\varkappa_4(z)=-\frac{\gamma_n}{64(2\pi n)^4}+\mathcal{O}(n^{-5}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma_n$ имеет вид (1.9). Вернемся теперь к асимптотике (4.7). Уравнение $\det\phi(z)=0$ приводит к равенству
$$
\begin{equation*}
\delta_n=\pm\frac{\sqrt{\gamma_n-4\hat{q}_0^2}}{32(\pi n)^2} +\mathcal{O}(n^{-5/2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что здесь мы также используем результат леммы 5. Таким образом, из (4.6) следует равенство
$$
\begin{equation*}
z=2\pi n-\frac{\hat{p}_0}{8\pi n}\pm\frac{\sqrt{\gamma_n-4\hat{q}_0^2}}{32(\pi n)^2} +\mathcal{O}(n^{-5/2}),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получается формула (1.8). БлагодарностиАвтор выражает благодарность рецензенту за ценные замечания, которые позволили улучшить содержание работы. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pol24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|