| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Определитель Ганкеля для полуклассического унитарного ансамбля Лагерра, уравнения Пенлеве IV и Гойна Дань Ван School of Computer Science and Artificial Intelligence, Changzhou University, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 219, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924060035 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ заданном пространстве эрмитовых $(n \times n)$-матриц $\mathcal{H}_n$ [1] введем плотность вероятности для $M=(M_{ij}) \in \mathcal{H}_n$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \textsf{P}(M)\,dM \propto e^{-\operatorname{Tr}(\mathrm{v}(M))}\operatorname{vol}(dM), \\ \operatorname{vol}(dM)=\prod_{i=1}^{n}dM_{ii}\prod_{1\leqslant j<k \leqslant n}d(\operatorname{Re} M_{jk})\,d(\operatorname{Im} M_{jk}), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{vol}(dM)$ – элемент объема [2], а $\mathrm{v}(M)$ – матричная функция [3], заданная жордановой канонической формой. При разложении по собственным значениям и собственным векторам унитарный ансамбль индуцирует совместную функцию плотности вероятности на наборе собственных значений $\{z_k\}_{k=1}^{n} \in \mathbb{R}^n$ по формуле
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{D_n[w]}\frac{1}{n!}\prod_{1\leqslant j<i\leqslant n}(z_i-z_j)^2\prod_{k=1}^{n}w(z_k)\,dz_k,
\end{equation*}
\notag
$$
где $w(z)$ – весовая функция с носителем на $[a,b]$ и конечными моментами
$$
\begin{equation*}
\mu_j:=\int_a^b z^{j}w(z)\,dz,\qquad j \in \{0,1,2,\ldots\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нормировочную константу $D_n[w]$ в совместной функции плотности вероятности можно вычислить точно – как определитель матрицы Ганкеля на основе тождества Андреева или Гейне [4]:
$$
\begin{equation*}
D_n[w]:=\frac{1}{n!}\int_{[a,b]^n }\prod_{1\leqslant j<i\leqslant n}(z_i-z_j)^2\prod_{k=1}^{n}w(z_k)\,dz_k =\operatorname{det}(\mu_{i+j})|_{i,j=0}^{n-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для обсуждаемой в данной работе задачи формула для вероятности $\mathbb{P}_n(s,t)$ того, что собственные числа унитарного ансамбля больше $s$, основывается на разложении по собственным числам и векторам,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbb{P}_n(s,t)={}&\frac{1}{n!}\int_{(s,\infty)^n}\prod_{1\leqslant l<k\leqslant n}(z_k-z_l)^2\prod_{j=1}^nw(z_j,t)\,dz_j \times{} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\times \biggl\{\frac{1}{n!} \int_{(0,\infty)^n}\prod_{1\leqslant l<k\leqslant n}(z_k-z_l)^2\prod_{j=1}^nw(z_j,t)\,dz_j\biggr\}^{-1}={} \\ ={}&\operatorname{det}\biggl(\int_s^{\infty}z^{l+k}w(z,t)\,dz\biggr)\bigg|_{l,k=0}^{n-1}\bigg/\operatorname{det}\biggl(\int_0^{\infty}z^{l+k}w(z,t)\,dz\biggr)\bigg|_{l,k=0}^{n-1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $w(z,t)$ – положительная весовая функция с носителем $[0,\infty)$, которая показывает, что определитель Ганкеля связан не только с распределением собственных чисел унитарных ансамблей, но и с вероятностью ошибки беспроводных коммуникационных систем с многоканальной принимающей и передающей антенной. Среди прочих применений отметим применения, указанные в работах [2], [5]–[8]. Фундаментальный подход к изучению определителя Ганкеля включает представление его в виде произведения квадратов $L^2$-норм нестандартных ортогональных полиномов и использование условий совместности с лестничными операторами для ортогональных полиномов по данному весу. С помощью этого метода можно вывести ряд разностных и дифференциальных уравнений, характеризующих определитель Ганкеля. Отметим результаты, полученные в работах [3], [9]–[11] для смещенного или классического веса Якоби, в работах [12]–[14] для классического или сингулярно возмущенного веса Лагерра, в работах [15], [16] для деформации классического гауссова веса. В настоящей работе мы также используем указанный выше подход при изучении определителя Ганкеля
$$
\begin{equation*}
D_n(s,t)=\frac{1}{n!}\int_{[s,\infty)^n}\prod_{1\leqslant j<k\leqslant n}(x_j-x_k)^2\prod_{l=1}^nw(x_l,t)\,dx_l=\operatorname{det}\biggl(\int_s^{\infty}z^{i+j}w(z,t)\,dz\biggr)\bigg|_{i,j=0}^{n-1},
\end{equation*}
\notag
$$
где момент связан с полуклассическим весом Лагерра с двумя параметрами $s$ и $t$, которые называются соответственно “щель” и “время”,
$$
\begin{equation}
w(z,t)=e^{-z^2+tz},\qquad z\in[s,\infty),\,\, t>0,\,\, s>0.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Замечание 1. Чтобы определить вероятность того, что все собственные значения унитарного ансамбля превосходят некоторое пороговое значение $s$, рассмотрим связанный с ансамблем вес $w(z,t)$. Эту вероятность можно представить как отношение $D_n(s,t)$ к его значению при $s=0$, где $D_n(s,t)$ является определителем $n$-мерных матриц Ганкеля, порожденных моментами веса $w(z,t)$ для $z$ в интервале $[s,\infty)$. Исследование, проведенное в работе [14], было сосредоточено исключительно на определителе Ганкеля $D_n(s,t)$, связанном с сингулярно возмущенным унитарным ансамблем Лагерра, который характеризуется весом Это частное исследование способствовало более глубокому пониманию сути проблемы и является одной из мотиваций настоящей работы. Другая мотивация, побуждающая рассмотреть задачу полуклассического унитарного ансамбля Лагерра (1.1), связана с работой [17], в которой объяснена связь между рекуррентными коэффициентами ортогональных полиномов по полуклассическому весу Лагерра
$$
\begin{equation}
w(z,t)=z^{\alpha} e^{-z^2+tz},\qquad z\in[0,\infty),\,\, t\in\mathbb{R},\,\, \alpha>-1,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
и классическими решениями уравнения Пенлеве IV. Эта связь между ортогональными полиномами и уравнениями Пенлеве является интересной областью математической физики, ее изучение внесло большой вклад в исследования и ортогональных полиномов, и уравнений Пенлеве. На основе указанных мотиваций мы сосредотачиваемся на определителе Ганкеля для полуклассического веса Лагерра (1.1) с параметрами “щель” и “время”. Ниже исследуется определитель Ганкеля в скейлинговых пределах с привлечением двух параметров и порядка матрицы Ганкеля. Эти исследования вносят значительный вклад в понимание поведения и свойств определителя Ганкеля. Пусть $\{P_n(z;s,t)\}$ – многочлены степени $n$ по весу (1.1) на интервале $[s,\infty)$,
$$
\begin{equation}
\int_s^{\infty}P_j(z;s,t)P_k(z;s,t)w(z,t)\,dz=h_j(s,t)\delta_{j,k},\qquad j,k=0,1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
при этом где $h_j(s,t)$ – квадрат $L^2$-нормы многочлена $P_n(z;s,t)$, а $\delta_{j,k}$ – символ Кронекера. Следовательно, $D_n(s,t)$ можно записать в другом представлении: Отсюда следует трехчленное рекуррентное соотношение
$$
\begin{equation}
zP_n(z;s,t)=P_{n+1}(z;s,t)+\alpha_n(s,t)P_n(z;s,t)+\beta_n(s,t)P_{n-1}(z;s,t),
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
$n=0,1,2,\dots$, с начальными условиями Простым следствием формул (1.4), (1.5) и (1.7) являются соотношения причем телескопическая сумма выражений (1.8) имеет вид где $p(0,s,t)=0$. Статья имеет следующую структуру. В разделе 2 применяется метод лестничных операторов вместе с соответствующими дополнительными условиями для введения двух вспомогательных величин, а именно $R_n(s,t)$ и $r_n(s,t)$, которые близко связаны с весом (1.1). Установлена разностная связь между $R_n(s,t)$, $r_n(s,t)$ и рекуррентными коэффициентами в (1.7). В разделе 3 уравнение (1.4) продифференцировано по $s$ и $t$ для получения системы уравнений в частных производных, в которые входят $\alpha_n(s,t)$, $\beta_n(s,t)$, $R_n(s,t)$ и $r_n(s,t)$. Показано, что уравнения в частных производных второго порядка, управляющие вспомогательной величиной $R_n(s,t)$, при подходящей замене переменных связаны с уравнением Пенлеве IV. Кроме того, рекуррентные коэффициенты выражаются через самих себя с помощью формул, включающих частные производные. Раздел 4 посвящен применению метода жидкости Дайсона–Кулона к анализу асимптотического поведения логарифмической формы определителя Ганкеля при $n \to \infty$. Для оценки асимптотического разложения при больших $n$ применяется система нелинейных дифференциальных уравнений, в которую входят рекуррентные коэффициенты. В разделе 5 численно представлены две асимптотические характеристики, полученные на основе результатов раздела 4. Мы аппроксимируем выражение для $P_n(0;s,t)$ и показываем, что дифференциальные уравнения второго порядка, которым удовлетворяют ортогональные полиномы по весу (1.1), приблизительно эквивалентны триконфлюэнтному уравнению Гойна в скейлинговом пределе при $n \to \infty$. В разделе 6 представлены выводы. 2. Предварительные сведения и разностные уравненияСоотношения для лестничных операторов (см., например, [3], [6], [7], [11], [18], [19]), которым удовлетворяют ортогональные многочлены $\{P_n(z;s,t)\}$ по весу (1.1) на интервале $[s,\infty)$, имеют вид
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{\partial}{\partial z}+B_n(z;s,t)\biggr)P_n(z;s,t) =\beta_n(s,t)A_n(z;s,t)P_{n-1}(z;s,t),
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{\partial}{\partial z}-B_n(z;s,t)-\frac{\partial v(z,t)}{\partial z}\biggr)P_{n-1}(z;s,t) =-A_{n-1}(z;s,t)P_n(z;s,t),
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_n(z;s,t)={}&\frac{P_n^2(y;s,t)w(y,t)}{(y-z)h_n(s,t)}\bigg|_{y=s}^{y=\infty}+{} \\ &+\frac{1}{h_n(s,t)}\int_s^{\infty}\frac{\partial v(z,t)/\partial z-\partial v(y,t)/\partial y}{z-y}P_n^2(y;s,t)w(y,t)\,dy, \\ B_n(z;s,t)={}&\frac{P_n(y;s,t)P_{n-1}(y;s,t)w(y,t)}{(y-z)h_{n-1}(s,t)}\bigg|_{y=s}^{y=\infty}+{} \\ &+\frac{1}{h_{n-1}(s,t)}\int_s^{\infty}\frac{\partial v(z,t)/\partial z-\partial v(y,t)/\partial y}{z-y}P_n(y;s,t)P_{n-1}(y;s,t)w(y,t)\,dy, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
$v(z,t)=-\ln w(z,t)$, а соответствующие условия совместности имеют вид
$$
\begin{equation}
B_n(z;s,t)+B_{n+1}(z;s,t)=(z-\alpha_n(s,t))A_n(z;s,t)-\frac{\partial v(z,t)}{\partial z},
\end{equation}
\tag{$\mathrm{S}_1$}
$$
$$
\begin{equation}
1+(z-\alpha_n(s,t))(B_{n+1}(z;s,t)-B_n(z;s,t))=\beta_{n+1}(s,t)A_{n+1}(z;s,t)-{} \nonumber
\end{equation}
\tag{$\mathrm{S}_2$}
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad-\beta_n(s,t)A_{n-1}(z;s,t).
\end{equation}
\notag
$$
Комбинация соотношений ($\mathrm{S}_1$) и ($\mathrm{S}_2$) приводит к выражению, в которое входят $\sum_{j=0}^{n-1}A_j(z;s,t)$, $B_n(z;s,t)$ и $\partial v(z,t)/\partial z$:
$$
\begin{equation}
B_n^2(z;s,t)+\sum_{j=0}^{n-1}A_j(z;s,t)+B_n(z;s,t)\frac{\partial v(z,t)}{\partial z}=\beta_n(s,t)A_n(z;s,t)A_{n-1}(z;s,t).
\end{equation}
\tag{$\mathrm{S}'_2$}
$$
Замечание 2. Для упрощения обозначений мы будем использовать $\partial_xf(x,y)$ и $\partial_{xx}f(x,y)$ вместо $\partial f(x,y)/\partial x$ и $\partial^2 f(x,y)/\partial x^2$ соответственно. Более полное объяснение и вывод соотношений (2.1), (2.2), ($\mathrm{S}_1$), ($\mathrm{S}_2$) и ($\mathrm{S}'_2$) можно найти в приложении. Для веса (1.1) имеем а из определения $A_n(z;s,t)$ и $B_n(z;s,t)$ найдем где вспомогательные величины $R_n(s,t)$ и $r_n(s,t)$ вводятся по формулам
$$
\begin{equation*}
R_n(s,t)=\frac{P_n^2(s;s,t)w(s,t)}{h_n(s,t)},\qquad r_n(s,t)=\frac{P_n(s;s,t)P_{n-1}(s;s,t)w(s,t)}{h_{n-1}(s,t)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 3. Пара лестничных операторов и условия совместности интенсивно обсуждаются в литературе (см., например, [18], [20]–[24]). Тождества ($\mathrm{S}_1$), ($\mathrm{S}_2$) и ($\mathrm{S}'_2$) справедливы для $z\in \mathbb{C}\cup\{\infty\}$. Отметим, что зависимость от $t$ и $s$ через вес $e^{-z^2+tz}$, $z\in [s,\infty)$, $t>0$, $s>0$, индуцирует зависимость от $t$ и $s$ в полиномах $P_n(z;s,t)$, $h_j(s,t)$ и в связанных с ними величинах. Для краткости ниже мы не всегда явно указываем зависимость от $t$ и $s$, если в этом нет необходимости. Мы считаем, что это не приведет к недоразумениям. Имеют место следующие соотношения: где $\operatorname{erf}(z)$ – функция ошибок.Подставляя (2.3) и (2.4) в ($\mathrm{S}_1$) и ($\mathrm{S}_2$), получим
$$
\begin{equation}
(\alpha_n-s)(r_{n+1}-r_n) =\beta_nR_{n-1}-\beta_{n+1}R_{n+1}.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Аналогично, подставляя (2.3) и (2.4) в ($\mathrm{S}'_2$), получим
$$
\begin{equation}
\sum_{j=0}^{n-1}R_j =2\beta_nR_{n-1}+2\beta_nR_n+tr_n-2sr_n,
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Из телескопической суммы (2.6) с учетом (1.10) получаем Используя (2.6) и (2.7), чтобы исключить $\alpha_n$, получим Предложение 1. Рекуррентные коэффициенты $\alpha_n$ и $\beta_n$ удовлетворяют системе нелинейных дифференциальных уравнений Доказательство. Вычитая (2.7) из (2.8), получаем Тогда, заменяя $r_n$ и $R_n$ соответственно выражениями (2.10) и (2.6), из (2.19) получим (2.15а). Исключая $r_{n+1}-r_n$ из (2.8) и (2.9),
$$
\begin{equation}
(\alpha_n-s)(2\beta_{n+1}-2\beta_n-1)=\beta_nR_{n-1}-\beta_{n+1}R_{n+1},
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
после подстановки $2\alpha_{n-1}-t$ и $2\alpha_{n+1}-t$ вместо $R_{n-1}$ и $R_{n+1}$ в (2.20) в силу (2.6) приходим к (2.15б). Из (2.6) и (2.10) при $n=0$ с помощью (2.5) получим (2.16). В частном случае $n=0$ уравнения (2.15а) и (2.15б) принимают вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(s-\alpha_0)(2\alpha_0-t)-2\beta_1+1=0,\\ &(\alpha_0-s)(2\beta_1-1)+(2\alpha_1-t)\beta_1=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда, комбинируя полученную систему уравнений с (2.16), получим (2.17) и (2.18). 3. Дифференциальные уравнения и уравнение Пенлеве IVНачнем с вычисления частных производных $h_n(s,t)$ по $t$ и $s$ исходя из (1.4) при $j=k=n$, что приводит соответственно к уравнениям
$$
\begin{equation*}
\partial_t h_n(s,t)=\alpha_n(s,t)h_n(s,t),\qquad \partial_s h_n(s,t)=-R_n(s,t)h_n(s,t).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, имеем Отсюда следуют соотношения
$$
\begin{equation}
\partial_t\ln \beta_n(s,t) =\alpha_n(s,t)-\alpha_{n-1}(s,t),
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где использовано выражение (1.9). Снова взяв частные производные по $t$ и $s$ от обеих частей равенства получим откуда в силу (1.8) находим
$$
\begin{equation}
\partial_t\alpha_n(s,t) =-\beta_n(s,t)+\beta_{n+1}(s,t).
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Теперь мы готовы доказать следующую лемму. Лемма 1. Вспомогательные величины $R_n(s,t)$ и $r_n(s,t)$ удовлетворяют четырем уравнениям в частных производных первого порядка: Доказательство. Продифференцируем (2.6) по $s$ и используем (3.7): Комбинируя (3.10) и (2.14), чтобы исключить $r_{n+1}(s,t)$, приходим к (3.9а). Аналогично, дифференцируя (2.6) по $t$ и подставляя (3.8), получим
$$
\begin{equation}
\partial_tR_n(s,t)=2\partial_t\alpha_n(s,t)-1=2\beta_{n+1}(s,t)-2\beta_n(s,t)-1.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Используя далее (2.10), получим Избавляясь от $r_{n+1}(s,t)$ с помощью (3.12) и (2.14), приходим к (3.9б). Взяв производные (2.10) по $s$ и $t$, найдем Подставляя (3.13) в (3.3), имеем
$$
\begin{equation}
\partial_sr_n(s,t)=2\beta_n(s,t)R_{n-1}(s,t)-2\beta_n(s,t)R_n(s,t).
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Согласно (3.4) и (2.6) из (3.14) следует
$$
\begin{equation}
\partial_tr_n(s,t)=2(\alpha_n(s,t)-\alpha_{n-1}(s,t))\beta_n(s,t)=\beta_n(s,t)R_n(s,t)-\beta_n(s,t)R_{n-1}(s,t).
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Исключая $\beta_n(s,t)R_{n-1}(s,t)$ и $\beta_n(s,t)$ из (3.15) и (3.16) с помощью (2.12) и (2.10), получим соответственно (3.9в) и (3.9г). Предложение 2. Очевидно, из леммы 1 следует, что $R_n$ и $r_n$ удовлетворяют следующему дифференциальному уравнению: Опираясь на лемму 1, покажем, что вспомогательная величина $R_n(s,t)$ удовлетворяет трем дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка. Теорема 1. При $n\in\{0,1,2,\dots\}$ вспомогательная величина $R_n(s,t)$ удовлетворяет уравнениям Доказательство. Выразим $r_n$ из (3.9а): Вывод уравнений (3.18а)–(3.18в) заключается в подстановке (3.19) в (3.9г) и (3.9в) и использовании уравнения (3.17) для упрощения итоговых выражений. Уравнение (3.18а) получим подстановкой (3.19) в (3.9г) при использовании (3.17) для упрощения выражения. Уравнение (3.18б) получим подстановкой (3.19) в (3.9в). Уравнение (3.18в) получим исключением $r_n$ с помощью комбинации (3.9б) и (3.9г). Замечание 4. Подстановка выражения для $r_n$, полученного из (3.9б), в (3.9в) также приводит к (3.18а). Уравнения (3.9а)–(3.9г) также можно преобразовать с помощью (3.17). Обсуждение дифференциальных уравнений второго порядка, которым удовлетворяет $R_n(s,t)$, можно продолжить после введения новых переменных. Как указано в замечании 3, значение величины $R_n(s,t)$ зависит как от $s$, так и от $t$. Следующая теорема получена путем контроля этих переменных, при этом вводятся величины $R_n(s)$ и $R_n(t)$. Здесь $R_n(s)$ представляет случай, когда в $R_n(s,t)$ переменной считается $s$, а значение $t$ фиксировано. Для удобства используем в этом случае сокращенное обозначение $R_n(s)$ для $R_n(s,t)$. Аналогично вводится обозначение $R_n(t)$. Теорема 2. Введем $S:=t/2-s$. Для удобства обозначим $\mathbb{R}_n(S)$ через $\mathbb{R}_n$. Эта величина удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению второго порядка: которое известно как уравнение Пенлеве IV, точнее, $P_\mathrm{IV}(2n+1,0)$. В этом уравнении $\mathbb{R}_n(S)$ эквивалентно $R_n(s)$. Аналогично, вводя $T:=t/2-s$, получим величину $\mathbf{R}_n(T)$, удовлетворяющую уравнению Пенлеве IV$(2n+1,0)$: где $\mathbf{R}_n(T)$ соответствует $R_n(t)$. Доказательство. Для вывода уравнений (3.20) и (3.21) подставим $s=t/2-S$ и $t=2T+2s$ в (3.18б) и (3.18в) соответственно. Тогда, проделав вычисления и упрощения, получим искомые результаты. Замечание 5. Два параметра $s$ и $t$ в (1.1) оказывают влияние как на величину $\mathbb{R}_n(S)$, так и на $\mathbf{R}_n(T)$, которые удовлетворяют уравнению Пенлеве IV$(2n+1,0)$ благодаря замене переменных. Говоря конкретнее, заменив $s$ на $t/2-S$, получим $\mathbb{R}_n(S)$, а заменив $t$ на $2T+2s$, получим $\mathbf{R}_n(T)$. Эти замены позволяют описать связь между $s$ и $t$ как “зеркальные изображения” друг друга, поскольку зависимость $\mathbb{R}_n(S)$ от $s$ и $t$ отражается в зависимость $\mathbf{R}_n(T)$ от $t$ и $s$ соответственно. Эта связь играет решающую роль при анализе асимптотического поведения определителя Ганкеля, что обсуждается в разделе 4. В конце настоящего раздела мы используем некоторые из полученных уравнений, включающие в себя рекуррентные коэффициенты, для получения следующих результатов. Предложение 3. Уравнения в частных производных, которым удовлетворяют $\alpha_n$ и $\beta_n$, можно выразить через $\alpha_n$ и $\beta_n$, т. е. Доказательство. Применим $s\partial_s+t\partial_t$ к обеим частям (1.8) и заменим $p(n,s,t)$ на $p(n+1,s,t)$ с помощью (3.5) и (3.6), получим Повторяя те же шаги, что и при выводе (3.22а), используя (3.3) и (3.4), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (s\partial_s+t\partial_t)\ln\beta_n(s,t)&=s\partial_s\ln\beta_n(s,t)+t\partial_t\ln\beta_n(s,t)={}\\ &=s(R_{n-1}(s,t)-R_n(s,t))+t(\alpha_n(s,t)-\alpha_{n-1}(s,t)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Затем, исключая $R_{n-1}(s,t)$ и $R_n(s,t)$ с помощью (2.6), приходим к уравнению
$$
\begin{equation}
(s\partial_s+t\partial_t)\ln \beta_n(s,t)=(2s-t)(\alpha_{n-1}-\alpha_{n}).
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
Из (2.6), подставляя $n-1$ вместо $n$, получим Заменяя теперь $R_{n-1}$ на $r_n^2/\beta_nR_n$ (см. (2.12)), получим
$$
\begin{equation}
\alpha_{n-1}=\frac{r_n^2}{2\beta_nR_n}+\frac{t}{2}=\frac{(2\beta_n-n)^2}{2(2\alpha_n-t)\beta_n}+\frac{t}{2},
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
где мы использовали (2.10) и (2.6). После подстановки (3.25) в (3.24) приходим к (3.22б). Снова применяя $s\partial_s+t\partial_t$ к (3.24), после упрощения получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (s^2\partial_{ss}+2st\partial_{st}+t^2\partial_{tt})\ln\beta_n(s,t)={}&(2s-t)(s\partial_s\alpha_{n-1}(s,t)+t\partial_t\alpha_{n-1}(s,t))-{} \notag\\ &-(2s-t)(s\partial_s\alpha_n(s,t)+t\partial_t\alpha_n(s,t)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Непосредственно подставляя (3.23) в (3.26), имеем
$$
\begin{equation}
(s^2\partial_{ss}+2st\partial_{st}+t^2\partial_{tt})\ln \beta_n(s,t)=(2s-t)^2(\beta_{n-1}-2\beta_{n}+\beta_{n+1}).
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
Из (2.15а) с индексом $n-1$ следует
$$
\begin{equation}
\beta_{n-1}=\frac{1}{2}(s-\alpha_{n-1})(2\alpha_{n-1}-t)+n-\beta_n-\frac{1}{2},
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
а после подстановки (3.25) в (3.28), чтобы исключить $\alpha_{n-1}$, получим
$$
\begin{equation}
\beta_{n-1}=\frac{1}{2}\biggl[s-\frac{t}{2}-\frac{(2\beta_n-n)^2}{2(2\alpha_n-t)\beta_n}\biggr]\frac{(2\beta_n-n)^2}{(2\alpha_n-t)\beta_n}+n-\frac{1}{2}-\beta_n.
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
Подставляя (3.29) и (2.15а) в (3.27) и исключая тем самым $\beta_{n-1}$ и $\beta_{n+1}$, приходим к (3.22в). Замечание 6. Как и при выводе уравнений (3.18а)–(3.18в), подставляя (3.9в) и (3.9г) в (3.9а) и (3.9б), получим систему уравнений в частных производных второго порядка для величины $r_n(s,t)$. Однако мы не приводим здесь эти уравнения, поскольку они не связаны напрямую с основными результатами и обсуждениями настоящей работы. 4. Асимптотики и определитель ГанкеляВ данном разделе применяется метод кулоновской жидкости для формулировки асимптотического поведения определителя Ганкеля, порождаемого весом (1.1), в логарифмическом виде. Метод кулоновской жидкости является мощным инструментом для изучения асимптотик определителей в теории случайных матриц и в связанных с ней областях. Более подробную информацию о кулоновской жидкости, о связях между кулоновской жидкостью и ортогональными полиномами и о равновесной плотности можно найти в работах [6], [18], [19], [25]. Согласно работе [19] равновесная плотность $\sigma(x)$ с носителем на $J$ определяется минимизацией функционала свободной энергии
$$
\begin{equation*}
F[\sigma]:=\int_{J}\sigma(x)v(x)\,dx-\int_{J}\int_{J}\sigma(x)\ln|x-y|\sigma(y)\,dx\,dy
\end{equation*}
\notag
$$
при условии где $v(x)=-\ln w(x)$ – потенциал. Отсюда следует, что плотность $\sigma(x)$ удовлетворяет интегральному уравнению где $A$ – множитель Лагранжа для условия (4.1). Напомним, что $A$ является постоянной, не зависящей от $x$, но она зависит от $n$ и параметров потенциала $v(x)$. Взяв производную по $x$ от уравнения (4.2), получим сингулярное интегральное уравнение
$$
\begin{equation}
v^{\prime}(x)-2\,\mathrm{P.V.}\int_J\frac{\sigma(y)}{x-y}\,dy=0,\qquad x\in J,
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где $\mathrm{P.V.}$ означает главное значение в смысле Коши. В этом случае полученная для веса (1.1) на основе теории сингулярных интегральных уравнений [26] плотность $\sigma(x)$ с носителем на $[s,b]$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\sigma(x)=\frac{1}{2\pi^2}\sqrt{\frac{b-x}{x-s}} \,\mathrm{P.V.} \int_s^b\frac{v^{\prime}(y)}{y-x}\,\sqrt{\frac{y-s}{b-y}}\,dy,\qquad x\in(s,b),
\end{equation*}
\notag
$$
и является решением уравнения (4.3), при этом условие нормировки (4.1) принимает вид
$$
\begin{equation}
\int_s^bv^{\prime}(x)\sqrt{\frac{x-s}{b-x}}\,dx=2\pi n.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Заметив для нашей задачи, что получим
$$
\begin{equation*}
\sigma(x)=\frac{1}{2\pi}(b-s+2x-t)\sqrt{\frac{b-x}{x-s}},\qquad x\in(s,b).
\end{equation*}
\notag
$$
Подстановка (4.5) в (4.4) приводит к уравнению которое имеет интересующее нас положительное решение при $n\to\infty$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, b={}&2\,\sqrt{\frac{2n}{3}}+\frac{1}{3}(t+s)+\frac{1}{12\,\sqrt{6}}(t^2-4st+4s^2)n^{-1/2}-\frac{1}{1152\,\sqrt{6}}\times{} \notag\\ &\times (t^2-4st+4s^2)^2n^{-3/2}+\frac{1}{55296\,\sqrt{6}}(t^2-4st+4s^2)^3n^{-5/2}+\mathcal{O}(n^{-7/2}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Прямыми вычислениями получим
$$
\begin{equation}
\frac{b+s}{2}={} \sqrt{\frac{2n}{3}}+\frac{2s}{t}+\frac{t}{6}+\frac{1}{24\,\sqrt{6}}(t-2s)^2n^{-1/2}-\frac{1}{2304\,\sqrt{6}}(t-2s)^4n^{-3/2}+{} \nonumber
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
$$
\begin{equation}
+\frac{1}{110592\,\sqrt{6}}(t-2s)^6n^{-5/2}+\mathcal{O}(n^{-7/2}),
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{b-s}{2}\biggr)^2={} \frac{n}{6}+\frac{1}{6\,\sqrt{6}}(t-2s)n^{1/2}+\frac{1}{72}(t-2s)^2+\frac{1}{288\,\sqrt{6}}(t-2s)^3n^{-1/2}-{} \nonumber
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
$$
\begin{equation}
-\frac{1}{27648\,\sqrt{6}}(t-2s)^5n^{-3/2}+\frac{1}{1327104\,\sqrt{6}}(t-2s)^7n^{-5/2}+\mathcal{O}(n^{-3}).
\end{equation}
\notag
$$
Лемма 2. Множитель Лагранжа (4.2), связанный с весом (1.1), имеет вид Доказательство. Исходя из (4.2) имеем Заметим, что $A$ – константа, которая не зависит от $x$ при $x\in[s,b]$, но зависит от $n$, поэтому можно заменить $y$ на $b$,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int_s^b\frac{\ln|x-y|}{\sqrt{(b-x)(x-s)}}\,dx&=\int_s^b\frac{\ln(b-x)}{\sqrt{(b-x)(x-s)}}\,dx={} \notag\\ &=\int_0^1\frac{\ln[(b-s)(1-X)]}{\sqrt{(1-X)X}}\,dX=\pi\ln\biggl(\frac{b-s}{4}\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
где при вычислении использовалось преобразование переменной $x:=(b-s)X+s$. С другой стороны, проделав некоторые вычисления, преобразуем первый интеграл в (4.11) в следующее выражение:
$$
\begin{equation}
\int_s^b\frac{x^2-tx}{\sqrt{(b-x)(x-s)}}\,dx=\frac{1}{8}\pi(3b^2+2bs+3s^2)-\frac{1}{2}\pi(b+s)t.
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Подставляя (4.12), (4.13) и (4.1) в (4.11), после упрощения получим (4.9). Подставляя (4.6) в (4.9), получим разложение для $A$ при $n\to\infty$, т. е. формулу (4.10). Теорема 3. Асимптотические представления рекуррентных коэффициентов $\alpha_n(s,t)$ и $\beta_n(s,t)$ имеют следующий вид: Доказательство. Используя (4.7), (4.8) и (4.10) и опираясь на метод, изложенный в работе [19], заметим, что $\alpha_n(s,t)$ и $\beta_n(s,t)$ допускают следующие разложения при $n\to\infty$: Теорема 4. Логарифм определителя Ганкеля, порожденного весом (1.1), имеет следующее разложение при больших $n$: Доказательство. Применяя оператор $s\partial_s+t\partial_t$ к прологарифмированному уравнению (1.6) получим Определим тогда (4.17) можно преобразовать, используя (2.6) и (2.11), чтобы исключить $\alpha_j(s,t)$ и затем $\sum_{j=0}^{n-1}R_j(s,t)$, к следующему виду:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H_n(s,t)={}&\frac{1}{2}nt^2+\biggl(\frac{t}{2}-s\biggr)\sum_{j=0}^{n-1}R_j={} \notag\\ ={}&\frac{1}{2}nt^2+\biggl(\frac{t}{2}-s\biggr)[2\beta_nR_{n-1}+2\beta_nR_n+(t-2s)r_n]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Тогда, учитывая (2.12), (2.6) и (2.10), получим выражение для $H_n(s,t)$ через $\alpha_n$ и $\beta_n$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H_n(s,t)=\frac{1}{2}nt^2+\biggl(\frac{t}{2}-s\biggr)\biggl[\frac{2(2\beta_n-n)^2}{2\alpha_n-t}+2(2\alpha_n-t)\beta_n+(t-2s)(2\beta_n-n)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
Подставляя (4.14а) и (4.14б) в (4.20), при $n\to\infty$ получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H_n(s,t)={}&\frac{2}{3}\,\sqrt{\frac{2}{3}}(t-2s)n^{3/2}+\frac{1}{6}(t^2+8st-8s^2)n+\frac{\sqrt{6}}{72}(t-2s)^3\sqrt{n}+{} \notag\\ &+\frac{1}{216}(t-2s)(t^3-6st^2+12s^2t-8s^3)+\frac{\sqrt{6}}{6912}(t-2s)(16s^4-{} \notag\\ &-32s^3t+24s^2t^2-8st^3+t^4+48)n^{-1/2}+\mathcal{O}(n^{-1}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
Принимая во внимание (4.18), после интегрирования (4.21) получим искомый результат (4.21). Замечание 7. Заметим, что для обсуждаемой нами задачи вес (1.1) при $s=0$ соответствует полуклассическому весу Лагерра $w(x;t)=x^{\lambda}e^{-x^2+tx}$, $x\in\mathbb{R^{+}}$, при $\lambda= 0$ (см. [27]). Применяя теорему 1.8 из работы [27], выразим произвольную функцию, фигурирующую в (4.16), через асимптотическое представление для $t=s=0$: где $\xi(x)$ – дзета-функция Римана. Предложение 4. Используя (2.12) и (2.10), чтобы исключить $\beta_nR_{n-1}$ и $\beta_n$ из (4.19), выразим $H_n(s,t)$ через $R_n(s,t)$ и $r_n(s,t)$ следующим образом: 5. Другие численные характеристикиОпираясь на асимптотические характеристики, которые обсуждались в разделе 4, можно вычислить приближенное выражение для $P_n(0;s,t)$ при $n\to\infty$ и упростить дифференциальное уравнение второго порядка, которому удовлетворяют ортогональные полиномы, порожденные весом (1.1). Ортогональные многочлены по весу (1.1) можно аппроксимировать формулой
$$
\begin{equation}
P_n(z;s,t)\sim\exp[-F_1(z;s,t)-F_2(z;s,t)],\qquad z\notin [s,b],\quad n\to\infty,
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где
$$
\begin{equation}
\exp[-F_1(z;s,t)]=\frac{1}{2}\biggl[\biggl(\frac{z-b}{z-s}\biggr)^{1/4}+\biggl(\frac{z-s}{z-b}\biggr)^{1/4}\biggr],
\end{equation}
\tag{5.2а}
$$
$$
\begin{equation}
F_2(z;s,t)=-n\ln\biggl(\frac{\sqrt{z-s}+\sqrt{z-b}}{2}\,\biggr)^{\!2}+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad\qquad+\frac{1}{2\pi}\int_s^b\frac{v(x)}{\sqrt{(b-x)(x-s)}}\biggl(\frac{\sqrt{(z-s)(z-b)}}{x-z}+1\biggr)\,dx,
\end{equation}
\tag{5.2б}
$$
которая получена с помощью теории логарифмического потенциала с внешним полем, а также с помощью линейной статистической формулы (см. [28]–[31]). Следовательно, можно использовать эти уравнения для оценки $P_n(0;s,t)$ при больших $n$. Теорема 5. Выражение для оценки полиномов $P_n(z;s,t)$ по весу (1.1) при $z=0$ имеет следующий вид: Доказательство. Очевидно, Подставляя (4.6) в (5.6) и устремляя $n$ к бесконечности, сразу получим (5.3). Возвращаясь к паре лестничных операторов, исключим $P_{n-1}(z;s,t)$ из (2.1) и (2.2) с помощью ($\mathrm{S}'_2$). Это приводит к дифференциальному уравнению второго порядка, которому удовлетворяют ортогональные полиномы по весу (1.1) и которое имеет вид
$$
\begin{equation}
\partial_{zz}P_n(z;s,t)+G_n(z;s,t)\partial_zP_n(z;s,t)+g_n(z;s,t)P_n(z;s,t)=0,
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
где
$$
\begin{equation}
G_n(z;s,t)=-\partial_zv(z,t)-\frac{\partial_zA_n(z;s,t)}{A_n(z;s,t)},
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
$$
\begin{equation}
q_n(z,t_1,t_2)=\partial_zB_n(z;s,t)-\frac{B_n(z;s,t)\partial_zA_n(z;s,t)}{A_n(z;s,t)}+\sum_{j=0}^{n-1}A_j(z;s,t).
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Подставляя (1.1), (2.3) и (2.4) в (5.8) и (5.9), используя затем (2.11), (2.6) и (2.10), чтобы исключить $\sum_{j=1}^{n-1}R_j$, $R_n$ и $r_n$, получим выражения
$$
\begin{equation}
G_n(z;s,t)={} t-2z+\frac{2\alpha_n-t}{(s-z)(2s+t-2z-2\alpha_n)},
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
$$
\begin{equation}
g_n(z;s,t)={} 2n+\frac{2(2\alpha_{n-1}-t)\beta_n+2(2\alpha_n-t)\beta_n+(t-2s)(2\beta_n-n)}{z-s}-{} \nonumber
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
каждое из которых представлено через $\alpha_{n}$, $\alpha_{n-1}$ и $\beta_n$. Теорема 6. В скейлинговом пределе ортогональные полиномы $P_n(z;s,t)$ по весу (1.1) удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям второго порядка: уравнению Доказательство. Подставляя (4.14а) и (4.14б) в (5.10) и (5.11) и взяв предел при $n\to\infty$, получим (5.12), где опущены остаточные члены. Аналогично, рассматривая предел при $n\to\infty$, $s\to\infty$ и $t\to 0$ и проделав те же шаги, получим уравнение (5.13). 6. ВыводыЦелью нашего исследования является изучение определителя Ганкеля, порожденного полуклассическим весом Лагерра с “щелевым” параметром $s$ и “временны́м” параметром $t$, как описано в выражении (1.1). Эту проблему можно считать расширением или продолжением исследования [14]. Используя лестничные операторы и связанные с ними условия совместности, мы ввели две вспомогательные величины, а именно $R_n(s,t)$ и $r_n(s,t)$. Эти величины введены в связи с полуклассическим ансамблем Лагерра с “щелевым” параметром $s$ и “временны́м” параметром $t$. Проведя анализ лестничных операторов и условий совместности, мы получили ряд нелинейных дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют $R_n(s,t)$, $r_n(s,t)$ и рекуррентные коэффициенты в уравнении (1.7). Вычисление частных производных уравнения (1.4) по $t$ и $s$ приводит к соответствующим уравнениям в частных производных первого порядка, которым удовлетворяют вспомогательные величины. Эти уравнения в частных производных в комбинации с полученными ранее нелинейными разностными уравнениями приводят к более глубокому пониманию поведения вспомогательной величины $R_n(s,t)$. После преобразования переменных дифференциальные уравнения второго порядка, котором удовлетворяет $R_n(s,t)$, оказались связанными с уравнением Пенлеве IV. Конкретные дифференциальные уравнения второго порядка, которым удовлетворяет $R_n(s,t)$, можно представить в виде (3.20) и (3.21). Интересно отметить, что уравнения (3.20) и (3.21) проявляют связь, описанную как “зеркальное изображение” друг друга. Кроме того, уравнения в частных производных, которым удовлетворяют $\alpha_n$ и $\beta_n$, можно выразить через них же. Применяя метод кулоновской жидкости, мы получили асимптотики рекуррентных коэффициентов $\alpha_n(s,t)$ и $\beta_n(s,t)$ в уравнении (1.7) при больших $n$. При выводе асимптотических выражений рассматривался множитель Лагранжа, связанный с (1.1). Система нелинейных разностных уравнений (2.15а) и (2.15б) играет решающую роль в получении асимптотик рекуррентных коэффициентов при больших $n$. Эти разностные уравнения являются основой для изучения поведения и соотношений между коэффициентами, их использование в анализе увеличивает точность и надежность асимптотических результатов. Кроме того, найдено асимптотическое выражение для логарифмического представления определителя Ганкеля, порожденного весом (1.1), при больших $n$. Путем комбинации результатов работы [31] с полученными ранее асимптотическими поведениями вычислены ортогональные многочлены $P_n(z;s,t)$, связанные с весом (1.1), при $z=0$. Показано, что линейное дифференциальное уравнение второго порядка для ортогональных многочленов в специальном скейлинговом пределе сводится к аналогу биконфлюэнтного уравнения Гойна и триконфлюэнтного уравнения Гойна. Сведение линейного дифференциального уравнения второго порядка для ортогональных многочленов к биконфлюэнтному уравнению Гойна и триконфлюэнтному уравнению Гойна позволяет провести дальнейший анализ и исследование свойств и поведения этих полиномов. Решения этих специальных дифференциальных уравнений углубляет понимание структуры и характеристик ортогональных многочленов, связанных с весом (1.1). Связь проведенного анализа ортогональных многочленов с результатами работы [31] и с асимптотическими поведениями, полученными ранее, дает более глубокое понимание полуклассического ансамбля Лагерра и связанных с ним ортогональных полиномов. ПриложениеПриведем вывод понижающего оператора (2.1) (см., например, [3], [6], [7], [11], [18], [19]). Начнем с соотношения
$$
\begin{equation*}
\partial_z P_n(z;s,t)=\sum_{k=0}^{n-1}c_{n,k}P_k(z;s,t),
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_{n,k}$ определяется из соотношений ортогональности
$$
\begin{equation*}
c_{n,k}=\frac{1}{h_k(s,t)}\int_s^{\infty}P_k(y;s,t)[\partial_y P_n(y;s,t)]w(y,t)\,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно получим
$$
\begin{equation}
\partial_z P_n(z;s,t)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{P_k(z;s,t)}{h_k(s,t)}\int_s^{\infty}P_k(y;s,t)[\partial_y P_n(y;s,t)]w(y,t)\,dy.
\end{equation}
\tag{П.1}
$$
Интегрируя по частям, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int_s^{\infty}&P_k(y;s,t)[\partial_y P_n(y;s,t)]w(y,t)\,dy={} \notag \\ ={}&P_n(y;s,t)P_k(y;s,t)w(y,t)\big|_{y=s}^{y=\infty}-\int_s^{\infty}P_n(y;s,t)P_k(y;s,t)[\partial_y w(y,t)]\,dy={} \notag\\ ={}&P_n(y;s,t)P_k(y;s,t)w(y,t)\big|_{y=s}^{y=\infty}+\int_s^{\infty}P_n(y;s,t)P_k(y;s,t)w(y,t)[\partial_y v(y,t)]\,dy={} \notag\\ ={}&P_n(y;s,t)P_k(y;s,t)w(y,t)\big|_{y=s}^{y=\infty}-\int_s^{\infty}P_n(y;s,t)P_k(y;s,t)w(y,t)[\partial_z v(z,t)-{} \notag\\ &-\partial_y v(y,t)]\,dy, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{П.2}
$$
где используется равенство $v(z,t)=-\ln w(z,t)$. Подставляя (П.2) в (П.1), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \partial_z{}& P_n(z,s,t)=P_n(z;s,t)\sum_{k=0}^{n-1}\frac{P_k(z;s,t)P_k(y;s,t)w(y,t)}{h_k(s,t)}\bigg|_{y=s}^{y=\infty}-{} \notag\\ &-\int_s^{\infty}P_n(y;s,t)\sum_{k=0}^{n-1}\frac{P_k(z;s,t)P_k(y;s,t)}{h_k(s,t)}[\partial_zv(z,t)-\partial_yv(y,t)]w(y,t)\,dy={} \notag\\ ={}&\frac{P_n(z;s,t)P_n(y;s,t)P_{n-1}(y;s,t)w(y,t)}{(z-y)h_{n-1}(s,t)}\bigg|_{y=s}^{y=\infty}-\frac{P_n^2(y;s,t)P_{n-1}(z;s,t)w(y,t)}{(z-y)h_{n-1}(s,t)}\bigg|_{y=s}^{y=\infty}-{} \notag\\ &-\frac{P_n(z;s,t)}{h_{n-1}(s,t)}\int_s^{\infty}\frac{P_n(y;s,t)P_{n-1}(y;s,t)w(y,t)[\partial_z v(z,t)-\partial_y v(y,t)]}{z-y}\,dy+{} \notag\\ &+\frac{P_{n-1}(z;s,t)}{h_{n-1}(s,t)}\int_s^{\infty}\frac{P_n^2(y;s,t)w(y,t)[\partial_z v(z,t)-\partial_y v(y,t)]}{z-y}\,dy, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{П.3}
$$
где применена формула Кристоффеля–Дарбу [33]
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^{n-1}\frac{P_k(z;s,t)P_k(y;s,t)}{h_k(s,t)}=\frac{P_n(z;s,t)P_{n-1}(y;s,t)-P_n(y;s,t)P_{n-1}(z;s,t)}{(z-y)h_{n-1}(s,t)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, используя равенство $\beta_n(s,t)=h_n(s,t)/h_{n-1}(s,t)$, из (П.3) получим уравнение (2.1). Выполнив аналогичные действия, можно вывести уравнение (2.2). Из определения $B_n(z;s,t)$ и рекуррентного соотношения получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, B_n(z;s,t)+{}&B_{n+1}(z;s,t) =\frac{[y-\alpha_n(s,t)]P_n^2(y;s,t)w(y,t)}{(y-z)h_n(s,t)}\bigg|_{y=s}^{y=\infty}+{} \notag\\ &+\int_s^{\infty}\frac{[y-\alpha_n(s,t)]P_n^2(y;s,t)w(y,t)[\partial_zv(z,t)-\partial_yv(y,t)]}{(z-y)h_n(s,t)}\,dy={} \notag\\ ={}&[z-\alpha_n(s,t)]A_n(z;s,t)-\partial_zv(z,t)+\frac{P_n^2(y;s,t)w(y,t)}{h_n(s,t)}\bigg|_{y=s}^{y=\infty}+{} \notag\\ &+\frac{1}{h_n(s,t)}\int_s^{\infty}P_n^2(y;s,t)w(y,t)[\partial_yv(y,t)]\,dy, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{П.4}
$$
где Выпишем (П.2) при $k=n$:
$$
\begin{equation*}
\int_s^{\infty}P_n(y;s,t)[\partial_y P_n(y;s,t)]w(y,t)\,dy=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно предпоследнему равенству из (П.2) имеем
$$
\begin{equation}
\int_s^{\infty}P_n^2(y;s,t)w(y,t)[\partial_y v(y,t)]\,dy+P_n^2(y;s,t)w(y,t)\big|_{y=s}^{y=\infty}=0.
\end{equation}
\tag{П.5}
$$
Подстановка (П.5) в (П.4) завершает доказательство условия ($\mathrm{S}_1$). Аналогично доказываются условия ($\mathrm{S}_2$) и ($\mathrm{S}'_2$). Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Wan24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|