| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О конечнозонных решениях вещественного модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза А. О. Смирнов, И. В. Анисимов Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, Санкт-Петербург, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 220, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924070122 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеДо настоящего времени, насколько известно авторам, отсутствуют формулы конечнозонных решений вещественного классического модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза (уравнение мКдФ) и высших уравнений мКдФ, а также отсутствует метод, позволяющий строить конкретные эллиптические конечнозонные потенциалы оператора Дирака. В тех работах, которые известны авторам и которые посвящены вешественным решениям классического уравнения мКдФ, не рассматриваются спектральные кривые, функция Бейкера–Ахиезера и конечнозонные решения. В связи с этим авторы решили, используя метод матрицы монодромии (см., например, [1], [2]), исследовать спектральные кривые конечнозонных решений уравнения мКдФ и их связь со спектральными кривыми конечнозонных решений уравнений Кортевега–де Фриза (КдФ). Существование этой связи вытекает из преобразования Миуры между решениями уравнений КдФ и мКдФ (см., например, [3]). Далее, используя связь между кривыми, мы планировали более детально изучить эволюцию конечнозонных решений уравнений мКдФ и вид конечнозонных эллиптических потенциалов оператора Дирака. На этом пути удалось достичь большого прогресса и получить интересные результаты. Работа имеет следующую структуру. В разделе 2 мы кратко напоминаем необходимые сведения из теории конечнозонных решений уравнения КдФ. Раздел 3 посвящен методу построения уравнений из иерархии мКдФ и их простейших решений. Также в этом разделе приводятся простейшие решения уравнений мКдФ и соответствующие этим решениям спектральные кривые. В разделе 4 мы напоминаем преобразование Миуры, связывающее решения уравнений мКдФ и КдФ, и показываем, что это преобразование также связывает между собой решения всех уравнений из обеих иерархий. В заключение раздела 4 мы приводим формулы, описывающие отображения между спектральными кривыми простейших решений уравнений мКдФ и КдФ. Оказывается, что данные формулы зависят от четности рода спектральной кривой конечнозонного решения уравнения мКдФ. Раздел 5 посвящен выводу формулы конечнозонного решения уравнений из иерархии уравнения мКдФ. Заметим, что для построения этого решения использовалась спектральная кривая конечнозонного решения уравнения КдФ и преобразование Миуры. Поэтому полученная в настоящей работе формула сильно отличается от формул конечнозонных решений уравнений из иерархии Абловица–Каупа–Ньюэлла–Сигура [4], [5]. В разделе 6 мы приводим метод построения широкого класса конечнозонных эллиптических потенциалов оператора Дирака. Этот метод позволяет по каждому эллиптическому $g$-зонному потенциалу оператора Шредингера построить $2g+1$ эллиптический $(2g-1)$-зонный потенциал оператора Дирака. Полученные в работе результаты хорошо согласованы с утверждениями работы [6], но при этом позволяют получать конкретные выражения для эллиптических потенциалов. Рассмотренные примеры показали, что этот метод легко алгоритмизировать в случае потенциалов Дарбу–Трейбича–Вердье, используя алгоритм построения спектральных кривых эллиптических конечнозонных потенциалов, описанный в работе [7]. В разделе 7 мы обсуждаем дальнейшие исследования, которые можно провести, используя результаты настоящей работы. 2. Краткие сведения из теории конечнозонных решений уравнения КдФВ данном разделе мы приведем необходимые хорошо известные сведения про конечнозонные решения уравнения КдФ (см., например, [5], [8]–[12]) Уравнение КдФ является условием совместности двух скалярных линейных дифференциальных операторов, одним из которых является оператор Шредингера Произведение $\Psi(x,E)=\psi_1\psi_2$ двух любых решений уравнения (2) удовлетворяет уравнению Аппеля [13], [14] В случае $g$-зонного потенциала произведение $\Psi(x,E)$ является многочленом степени $g$ от спектрального параметра $E$: Из уравнения Аппеля (3) вытекают рекуррентные соотношения на коэффициенты многочлена (4)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \gamma_1'=\frac12 u_x,\qquad \gamma_{k+1}'=\frac12 u_x\gamma_k+u\gamma_k'-\frac14 \gamma_k''' \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и стационарное уравнение Интегрируя рекуррентные соотношения, получаем
$$
\begin{equation*}
\gamma_n=2^{-2n+1}I_n+\sum_{j=1}^n\tilde{c}_{j}2^{-2(n-j)+1}I_{n-j},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\tilde{c}_j$ – постоянные интегрирования,
$$
\begin{equation*}
I_0=\frac12,\qquad I_1=u,\qquad I_2=3u^2-u_{xx},\qquad I_3=u_{xxxx}-10uu_{xx}-5u_x^2+10u^3.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \gamma_1=\frac12 u+\tilde{c}_1,\qquad \gamma_2=\frac18 (3u^2-u_{xx})+\frac12 \tilde{c}_1 u+\tilde{c}_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В этих обозначениях стационарное и эволюционные уравнения из иерархии уравнения КдФ имеют вид и Переходя в эволюционных уравнениях (5) от $I_j$ к $u$, получаем хорошо известные уравнения из иерархии КдФ:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \partial_{t_1}u&=6uu_x-u_{xxx},\\ \partial_{t_2}u&=u_{xxxxx}-10uu_{xxx}-20u_xu_{xx}+30u^2u_x \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и т. д. Зная произведение решений $\Psi$, мы можем найти сами решения уравнения (2) по формуле
$$
\begin{equation}
\psi_{1,2}(x,E)=\sqrt{\Psi(x,E)}\exp\biggl\{\pm i w(E)\int\frac{dx}{\Psi(x,E)}\biggr\},
\end{equation}
\tag{6}
$$
где $w(E)$ – вронскиан решений $\psi_1$ и $\psi_2$. Подставляя (6) в (2) и упрощая, получаем следующее уравнение, которому удовлетворяет вронскиан $w(E)$:
$$
\begin{equation}
w^2(E)=(E-u)\Psi^2+\frac12 \Psi\Psi_{xx}-\frac14 (\Psi_x)^2,
\end{equation}
\tag{7}
$$
или
$$
\begin{equation}
w^2(E)=E^{2g+1}+2\tilde{c}_1 E^{2g}+ (\tilde{c}_1^2+2\tilde{c}_2)E^{2g-1} +\sum_{k=2}^{2g}\widehat{c}_k E^{2g-k}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Отметим, что уравнение (8) является уравнением спектральной кривой конечнозонного решения уравнения КдФ.
3. Метод матрицы монодромии для уравнения мКдФРассмотрим следующий матричный линейный дифференциальный оператор (см., например, [3]): где
$$
\begin{equation*}
U=\lambda J+Q,\qquad J=\begin{pmatrix} -i &0 \\ \hphantom{-}0 & i \end{pmatrix},\qquad Q=\begin{pmatrix} 0 & v(x) \\ v(x) & 0 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
$\Phi=(\phi_1,\phi_2)^\mathrm{t}$, $i^2=-1$, $v(x)\in\mathbb{R}$. Предположим, что существует матрица монодромии $M$ такая, что матричная функция $\widehat\Phi =M\Phi$ также является решением уравнения (9). Тогда матрица $M$ удовлетворяет уравнению В случае конечнозонных матричных потенциалов $Q$ матрица монодромии $M$ является многочленом по спектральному параметру $\lambda$ (см., например, [1]), Из уравнений (10) и (11) вытекает следующая структура матрицы $M$: где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, V_1=\lambda U + V_1^{0},\qquad V_{k+1}=\lambda V_k +V_{k+1}^0,\qquad k\geqslant1,\\ V_{k}^0=\begin{pmatrix} F_k & \hphantom{-}H_k \\ G_k & -F_k \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Также следствием уравнения (10) являются рекуррентные соотношения на элементы матриц $V_k^0$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{gathered} \, H_1=\frac{i}{2}v_x,\qquad G_1=-\frac{i}{2}v_x,\\ \begin{aligned} \, \partial_x F_k&=(G_k-H_k)v,\\ H_{k+1}&=\frac{i}{2}\partial_xH_k+ivF_{k},\\ G_{k+1}&=-\frac{i}{2}\partial_xG_k+ivF_{k}. \end{aligned} \end{gathered} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{13}
$$
Из этих уравнений нетрудно получить соотношения вещественности
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, G_{2k-1}=H^\ast_{2k-1}=-H_{2k-1},\\ G_{2k}=H^\ast_{2k}=H_{2k},\\ F_{2k-1}\in i\mathbb{R},\qquad F_{2k}=0,\\ H_{2k+1}=\frac{i}{2}\partial_xH_{2k} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{14}
$$
и выражения для первых элементов
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_1&=-\frac{i}{2}v^2,\\ H_2&=G_2=\frac12 v^3-\frac14 v_{xx},\\ H_3&=-G_3=\frac{3i}{4}v^2v_x-\frac{i}{8}v_{xxx},\\ F_3&=-\frac{3i}{8}v^4-\frac{i}{8}v_x^2+\frac{i}{4}vv_{xx},\\ H_4&=G_4=\frac38 v^5-\frac58 vv_x^2-\frac58 v^2v_{xx}+\frac{1}{16}v_{xxxx}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из уравнения (10) также вытекают стационарные уравнения, которым удовлетворяют элементы конечнозонных матричных потенциалов:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_{n+1}+\sum_{j=1}^{n}c_jH_{n+1-j}+c_{n+1}v&=0,\\ G_{n+1}+\sum_{j=1}^{n}c_{j}G_{n+1-j}+c_{n+1}v&=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $G_k=H_k^\ast$, то все постоянные $c_j$ с нечетными индксами $j$ равны нулю ($c_{2k-1}=0$). Соответственно, остается только одно стационарное уравнение, которое имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} &H_{n+1}+\sum_{j=1}^{(n+1)/2} c_{2j}H_{n+1-2j}+c_{n+1}v=0 &\qquad &\text{при нечетных}\,\, n,\\ &H_{n+1}+\sum_{j=1}^{n/2} c_{2j}H_{n+1-2j}=0 &\qquad &\text{при четных}\,\, n. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Пусть второй оператор пары Лакса имеет вид Тогда из условия совместности операторов (9) и (16) вытекают следующие эволюционные уравнения:
$$
\begin{equation*}
\partial_{t_k}v=2^{2k}\partial_x H_{2k}=2^{2k}\partial_x G_{2k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Первые из этих уравнений имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \partial_{t_1}v&=6v^2v_x-v_{xxx},\\ \partial_{t_2}u&=30v^4v_x-10v_x^3-40vv_xv_{xx}-10v^2v_{xxx}+v_{xxxxx}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно видеть, что первым уравнением из данной иерархии является уравнение мКдФ. Уравнением спектральной кривой конечнозонного матричного потенциала $Q$ является характеристическое уравнение матрицы $M$
$$
\begin{equation*}
\mathcal{R}(\mu,\lambda)=\operatorname{det}(M-i\mu I)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $I$ – единичная маттрица. Следовательно, $\mu^2=\operatorname{det} M$, или
$$
\begin{equation*}
\mu^2=\lambda^{2n+2}+2c_2\lambda^{2n}+\sum_{k=1}^{n}f_k\lambda^{2n-2k}.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, при $n=1$ матрица монодромии имеет вид а спектральная кривая задается уравнением где Стационарное уравнение (15) в данном случае имеет вид или Заметим, что уравнения (18) и (19) хорошо согласуются друг с другом.Из уравнения (18) следует, что функция $v(x)$ при $n=1$ является эллиптической функцией (или ее вырождением), удовлетворяющей уравнению Пусть $v=A\operatorname{sn}(X;k)$, где
$$
\begin{equation*}
X=2ax+\sum_{j\geqslant1}b_jt_j,\qquad a>0,\quad 0<k<1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A=2ak, \qquad c_2=-(1+k^2)a^2,\qquad f_1=(1-k^2)^2a^4,\\ b_1=8(1+k^2)a^3,\qquad b_2=32(1+4k^2+k^4)a^5, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
а уравнение соответствующей спектральной кривой имеет вид Пусть $v=2a\operatorname{th}(X)$, где Тогда $b_1=16a^3$, $b_2=192a^5$ и $\mu^2=\lambda^2(\lambda^2-4a^2)$. Если $n=2$, то и стационарное уравнение (15) принимает следующий вид: Интегрируя стационарное уравнение, имеем где $\tilde{c}_1$ – постоянная интегрирования.Продолжая интегрирование, получаем Спектральная кривая для данной функции $v(x)$ определяется уравнением
$$
\begin{equation*}
\mu^2=\lambda^6+2c_2\lambda^4+(c_2^2-\tilde{c}_2)\lambda^2-\tilde{c}_1^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, c_2&=-\frac12(3-2b^2+3b^4)a^2,\\ \tilde{c}_1&=-(b^2-1)^2(b^2+1)a^3,\\ \tilde{c}_2&=-\frac14 (b^2-3)(3b^2-1)(b^2+1)^2a^4, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $a\ne0$, $b^2>1$, получаем
$$
\begin{equation*}
v=\frac{(3b^2-1)a\operatorname{th}^2(X)+b^2(b^2-3)a}{\operatorname{th}^2(X)-b^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, X=2abx+\sum_{j\geqslant1}m_jt_j,\\ m_1=4a^3b(3-2b^2+3b^4),\\ m_2=4a^5b(15-20b^2+58b^4-20b^6+15b^8). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Соответствующая спектральная кривая определяется уравнением
$$
\begin{equation*}
\mu^2=(\lambda^2-a^2(b^2+1)^2)(\lambda^2-a^2(b^2-1)^2)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
4. Преобразование МиурыХорошо известно, что решения уравнений КдФ и мКдФ связны преобразованием Миуры (см., например, [3]), которое определяется следующим образом. Возьмем собственные функции оператора (9). Нетрудно проверить, что их сумма и разность $\psi^{\pm}=\phi_1\pm\phi_2$ удовлетворяют уравнениям или где Как будет показано ниже, потенциалы $u^{\pm}$ связаны друг с другом с помощью преобразования Дарбу [15], т. е. потенциал $u^{-}$ является изоспектральной деформацией потенциала $u^{+}$.Нетрудно проверить, что рассматриваемые иерархии связаны следующими соотношениями:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_1^{+}&=u^{+}=v^2+v_x=2i(F_1+G_1),\\ I_1^{-}&=u^{-}=v^2-v_x=2i(F_1+H_1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из рекуррентных соотношений уравнений на первые производные
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \partial_xH_k&=-2iH_{k+1}-2F_kv,\\ \partial_xG_k&=2iG_{k+1}+2F_kv,\\ \partial_xF_k&=(G_k-H_k)v \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и уравнений на третьи производные
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \partial_x^3H_{2k-1}={}&8iH_{2k+2}+8F_{2k+1}v-8iH_{2k}v^2-8F_{2k-1}v^3+{}\\ &+12H_{2k-1}vv_x-2F_{2k-1}v_{xx},\\ \partial_x^3G_{2k-1}={}&-8iG_{2k+2}-8F_{2k+1}v+8iG_{2k}v^2+8F_{2k-1}v^3+{}\\ &+12G_{2k-1}vv_x+2F_{2k-1}v_{xx},\\ \partial_x^3F_{2k-1}={}&8H_{2k+1}v-8H_{2k-1}v^3+8iH_{2k}v_x+{}\\ & +12F_{2k-1}vv_x-2H_{2k-1}v_{xx} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
вытекают более общие соотношения, связывающие иерархии КдФ и мКдФ,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_n^{+}&=i2^{2n-1}(F_{2n-1}+G_{2n-1}),\\ I_n^{-}&=i2^{2n-1}(F_{2n-1}+H_{2n-1}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
Из уравнений (23) вытекает, что эволюции конечнозонных решений всех уравнений из данных иерархий также соответствуют друг другу,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \partial_{t_n}u^{+}={}& \partial_{t_n}I_1^{+}=2i\partial_{t_n}(F_1+G_1)={}\\ ={}&i2^{2n+2}(G_{2n+1}v+iG_{2n+2}+F_{2n+1}v)=\partial_x I_{n+1}^{+},\\ \partial_{t_n}u^{-}={}& \partial_{t_n}I_1^{-}=2i\partial_{t_n}(F_1+H_1)={}\\ ={}&-i2^{2n+2}(H_{2n+1}v+iH_{2n+2}+F_{2n+1}v)=\partial_x I_{n+1}^{-}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Возвращаясь к рассмотренным ранее примерам решений уравнения мКдФ, получаем следующие соответствующие им решения уравнения КдФ. Отметим, что при $n=1$ выполняются следующие равенства: и Соответственно, спектральные кривые решений уравнений КдФ и мКдФ при $n=1$ связаны соотношениемВ частности, пусть $v=2ak\operatorname{sn}(X;k)$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, X=2ax+\sum_{j\geqslant1}b_jt_j,\qquad a>0,\quad 0<k<1, \\ b_1=8(1+k^2)a^3,\qquad b_2=32(1+4k^2+k^4)a^5. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
u^\pm=4(ak)^2\operatorname{sn}^2(X;k)\pm 2ak\operatorname{cn}(X;k)\operatorname{dn}(X;k).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $v=2a\operatorname{th}(X)$, где
$$
\begin{equation*}
X=2ax+\sum_{j\geqslant1}b_jt_j,\qquad b_1=16a^3,\qquad b_2=192a^5,
\end{equation*}
\notag
$$
тогда
$$
\begin{equation*}
u^{+}=4a^2,\qquad u^{-}=4a^2(1-2\operatorname{ch}^{-2}(X)).
\end{equation*}
\notag
$$
При $n=2$ спектральные кривые решений уравнений КдФ и мКдФ связаны соотношением Полагая $a\ne0$, $b^2>1$,
$$
\begin{equation*}
v=\frac{(3b^2-1)a\operatorname{th}^2(X)+b^2(b^2-3)a}{\operatorname{th}^2(X)-b^2},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, X=2abx+\sum_{j\geqslant1}m_jt_j,\\ m_1=4a^3b(3-2b^2+3b^4),\qquad m_2=4a^5b(15-20b^2+58b^4-20b^6+15b^8), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u^{+}&=a^2(b^2+1)^2-\frac{8a^2b^2(b^2-1)}{(b\operatorname{ch}(X)-\operatorname{sh}(X))^2},\\ u^{-}&=a^2(b^2+1)^2-\frac{8a^2b^2(b^2-1)}{(b\operatorname{ch}(X)+\operatorname{sh}(X))^2},\\ w^2&=(E-a^2(b^2+1)^2)(E-a^2(b^2-1)^2)^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
5. Конечнозонные решения вещественного уравнения мКдФЗаметим, что уравнения (22) являются уравнениями Риккати. Поэтому сделаем в уравнении замену $v=\partial_x\ln\hat{\psi}$. После упрощения имеем Сравнивая данное уравнение с уравнением (21), получаем и, соответственно,Вычисляя $u^{-}(x)$ по $v(x)$, получаем
$$
\begin{equation*}
u^{-}=v^2-v_x=2v^2-u^{+}=u^{+}-2\partial_x^2\ln\psi^{+}(x,0).
\end{equation*}
\notag
$$
То есть потенциалы $u^{-}$ и $u^{+}$ связаны хорошо известной формулой преобразования Дарбу [15]. Следовательно, их спектральные кривые имеют одни и те же точки ветвления. Таким образом, для построения конечнозонных решений уравнений мКдФ возьмем конечнозонное решение уравнения КдФ (см., например, [5], [11], [12])
$$
\begin{equation*}
u(x,\mathbf{t})=-2\partial_x^2\ln\Theta\biggl(\mathbf{W}_1x+\sum_{j\geqslant1}\mathbf{W}_{j+1}t_j+\Delta\biggr)+2c_1
\end{equation*}
\notag
$$
и соответствующую ему функцию Бейкера–Ахиезера
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Psi(\mathcal{P},x,\mathbf{t})={}&\exp\biggl\{(\Omega_1(\mathcal{P})-\kappa_1)x+\sum_{j\geqslant1}(\Omega_{j+1}(\mathcal{P})-\kappa_{j+1})t_j\biggr\}\times{}\\ &\times\frac{\Theta\bigl(\mathcal{U}(\mathcal{P})-\mathcal{U}(\mathcal{P}_\infty)+\mathbf{W}_1x+\sum_{j\geqslant1}\mathbf{W}_{j+1}t_j+\Delta\bigr)\Theta(\Delta)}{\Theta(\mathcal{U}(\mathcal{P})-\mathcal{U}(\mathcal{P}_\infty)+\Delta)\Theta\bigl(\mathbf{W}_1x+\sum_{j\geqslant1}\mathbf{W}_{j+1}t_j+\Delta\bigr)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\mathcal{P}$ есть точка гиперэллиптической кривой $\Gamma=\{(w,E)\}$ рода $g$ с единственной бесконечно удаленной точкой $\mathcal{P}_\infty$: $\mathcal{U}(\mathcal{P})$ – вектор нормированных голоморфных интегралов, $\Omega_k(\mathcal{P})$ – нормированные абелевы интегралы второго рода
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \mathcal{U}(\mathcal{P})&=\int_{\mathcal{E}_m}^\mathcal{P} d\mathcal{U},&\qquad \oint_{a_k}d\mathcal{U}_j&=\delta_{kj},&\qquad \oint_{b_k}d\mathcal{U}_j&=B_{kj},\\ \Omega_j(\mathcal{P})&=\int_{\mathcal{E}_m}^\mathcal{P} d\Omega_j,&\qquad \oint_{a_k}d\Omega_j&=0,&\qquad \oint_{b_k}d\Omega_j&=2\pi i (\mathbf{W}_j)_k, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
$\mathcal{E}_m=(0,E_m)$ – одна из точек ветвления поверхности $\Gamma$, циклы $a_k$, $b_k$, $k=1,\dots,g$, образуют канонический базис циклов на $\Gamma$. Вектор $\Delta$ задает начальное положение полюсов потенциала $u(x,\mathbf{t})$. Упомянутые выше абелевы интегралы второго рода имеют единственные полюсы в бесконечно удаленной точке $\mathcal{P}_\infty$ следующего вида:
$$
\begin{equation*}
\Omega_j(\mathcal{P})=i2^{2j-2}\xi^{-2j+1}+\kappa_{j}+c_j\xi+O(\xi^2),\qquad \mathcal{P}\to\mathcal{P}_\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
$\xi$ – локальный параметр в окрестности точки $\mathcal{P}_\infty$. Заметим, что величина $\kappa_j$ зависит от выбора точки $\mathcal{E}_m$. Нетрудно видеть, что функция $\Psi(\mathcal{E}_m,x,\mathbf{t})$ удовлетворяет уравнению
$$
\begin{equation*}
\psi_{xx}=u^{+}\psi,\qquad\text{где}\quad u^{+}=u-E_m.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, согласно формуле (25) имеем
$$
\begin{equation*}
v(x,\mathbf{t})=\partial_x\ln\Psi(\mathcal{E}_m,x,\mathbf{t})
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation}
v(x,\mathbf{t})=\partial_x\ln\frac{\Theta\bigl(\mathbf{W}_1x+\sum_{j\geqslant1} \mathbf{W}_{о+1}t_j+\Delta-\mathcal{U}(\mathcal{P}_\infty)\bigr)} {\Theta\bigl(\mathbf{W}_1x+\sum_{j\geqslant1}\mathbf{W}_{j+1}t_j+\Delta\bigr)}-\kappa_1.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Поскольку, как было показано ранее, динамики решений уравнений КдФ и мКдФ согласованы, то функция (27) является алгебро-геометрическим решением уравнения мКдФ.
6. Эллиптические конечнозонные потенциалы оператора ДиракаРассмотрим эллиптические конечнозонные потенциалы
$$
\begin{equation}
u(x)=m_0(m_0+1)\wp(x)+\sum_{j=1}^3m_j(m_j+1)\wp(x-\omega_j),\qquad m_k\in\mathbb{Z},
\end{equation}
\tag{28}
$$
оператора Шредингера (2), которые, по-видимому, впервые появились в работах Дарбу и других французских математиков конца XIX века (см., например, [14], [16], [17]), а затем вновь привлекли к себе внимание после появления работ Трейбича и Вердье [18]–[20]. Именно поэтому потенциалы такого вида сначала называли потенциалами Трейбича–Вердье, а впоследствии – потенциалами Дарбу–Трейбича–Вердье (ДТВ). Вслед за Трейбичем и Вердье к исследованиям этих уравнений присоединились и другие математики и физики [7], [21]–[26]. В данном разделе, используя полученные ранее в этой работе результаты, мы построим конечнозонные эллиптические потенциалы оператора Дирака (9). Процедуру построения эллиптических конечнозонных потенциалов оператора Дирака можно разбить на следующие этапы.
Для иллюстрации работы метода построения эллиптических потенциалов рассмотрим несколько примеров. Рассмотрим однозонный потенциал оператора Шредингера Нетрудно видеть, что этот потенциал получается из формулы (28) при $m_0=1$, $m_k=0$, $k\in\{1;2;3\}$. Следовательно, $N=1$ и род спектральной кривой $g=1$. Соответственно, многочлен $\Psi(x,E)$ имеет вид Вычисляя $\gamma_1(x)$, имеем Спектральная кривая, соответствующая данной функции $\Psi(x,E)$, задается уравнением Таким образом, по потенциалу (31) можно построить три эллиптические функции $v(x)$.Пусть $E_j=-e_1$, т. е. пусть В этом случае и следовательно,
$$
\begin{equation}
v(x)=\partial_x\ln\hat{\psi}(x)=\frac{\wp'(x)}{2(\wp(x)-e_1)}.
\end{equation}
\tag{33}
$$
Нетрудно видеть, что функция (33) соответствует формуле (30) при $\widetilde{m}_0\kern-1pt=\kern-1pt 1$, $\widetilde{m}_1\kern-1pt= -1$, $\widetilde{m}_2=\widetilde{m}_3=0$ и $n=0$. Вычисления с помощью функции (33) элементов матрицы монодромии дают следующий результат:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_1&=-G_1=\frac{i}{2}\wp(x)-\frac{i}2e_1-\frac{i(e_1-e_3)(e_1-e_2)}{2(\wp(x)-e_1)},\\ F_1&=-\frac{i}{2}\wp(x)-ie_1-\frac{i(e_1-e_3)(e_1-e_2)}{2(\wp(x)-e_1)},\\ H_2&=G_2=\frac{3e_1\wp'(x)}{4(\wp(x)-e_1)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из стационарного уравнения получаем $c_2=-3e_1/2$. Следовательно, матрица монодромии задается формулой Вычисляя уравнение спектральной кривой потенциала $U$ с функцией $v(x)$, задаваемой равенством (33), получаем Нетрудно видеть, что спектральные кривые (32) и (34) связаны соотношением
$$
\begin{equation*}
w(\lambda^2-e_1)=\widetilde{w}(\lambda^2)=\lambda\mu(\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что оставшиеся два эллиптических однозонных потенциала имеют вид
$$
\begin{equation*}
v_2(x)=\frac{\wp'(x)}{2(\wp(x)-e_2)},\qquad v_3(x)=\frac{\wp'(x)}{2(\wp(x)-e_3)},
\end{equation*}
\notag
$$
а соответствующие им спектральные кривые задаются уравнениями
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mu^2&=(\lambda^2+e_1-e_2)(\lambda^2+e_3-e_2),\\ \mu^2&=(\lambda^2+e_1-e_3)(\lambda^2+e_2-e_3). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В качестве второго примера рассмотрим двухзонный потенциал Ламе Этот потенциал можно получить из формулы (28) при $m_0=2$, $m_k=0$, $k\in\{1;2;3\}$. Поэтому $N=2$ и род спектральной кривой $g=2$. Следовательно, многочлен $\Psi(x,E)$ имеет вид Вычисляя $\gamma_1(x)$ и $\gamma_2(x)$, имеем
$$
\begin{equation*}
\Psi(x,E)=E^2+3\wp(x)E+\frac92 (2\wp^2(x)-e_1^2-e_2^2-e_3^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Спектральная кривая, соответствующая данной функции $\Psi(x,E)$, задается уравнением
$$
\begin{equation}
w^2(E)=(E-3e_1)(E-3e_2)(E-3e_3)(E^2-6e_1^2-6e_2^2-6e_3^2).
\end{equation}
\tag{36}
$$
Таким образом, с помощью потенциала (35) можно построить пять эллиптических функций $v(x)$. Пусть $E_j=3e_1$, т. е. пусть В этом случае
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\Psi}(x,E)=E^2+3(\wp(x)+2e_1)E+9(\wp(x)-e_2)(\wp(x)-e_3)
\end{equation*}
\notag
$$
и следовательно,
$$
\begin{equation}
v(x)=\partial_x\ln\hat{\psi}(x)=\frac{(2\wp(x)+e_1)\wp'(x)}{2(\wp(x)-e_2)(\wp(x)-e_3)}.
\end{equation}
\tag{37}
$$
Легко убедиться, что функция (37) соответствует формуле (30) при $\widetilde{m}_0=2$, $\widetilde{m}_1=0$, $\widetilde{m}_2=\widetilde{m}_3=-1$ и $n=0$. Вычисления с помощью функции (37) элементов матрицы монодромии дают следующий результат:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_1={}&-G_1=\frac{i}{2}(2\wp(x)+e_1)-\frac{i(e_3-e_1)(e_3-e_2)}{2(\wp(x)-e_3)}-\frac{i(e_2-e_1)(e_2-e_3)}{2(\wp(x)-e_2)},\\ F_1={}&-\frac{i}{2}\frac{(\wp(x)-e_1)(2\wp(x)+e_1)^2}{(\wp(x)-e_2)(\wp(x)-e_3)},\\ H_2={}&G_2=\frac32 \wp'(x)-\frac{3(e_1-2e_3)\wp'(x)}{4(\wp(x)-e_3)}-\frac{3(e_1-2e_2)\wp'(x)}{4(\wp(x)-e_2)},\\ H_3={}&-G_3=\frac{9i}{2}\wp^2(x)-3ie_1\wp(x)-\frac{3i}{4}(2e_1^2+3e_2^2+3e_3^2)-{}\\ &-\frac{3i(e_3-e_2)(e_3-e_1)(2e_3-e_1)}{4(\wp(x)-e_3)}-\frac{3i(e_2-e_3)(e_2-e_1)(2e_2-e_1)}{4(\wp(x)-e_2)},\\ F_3={}&-\frac{9i}{2}\wp^2(x)-\frac{21i}2e_1\wp(x)-\frac{3i}8(15e_1^2+8e_2^2+8e-3^2)-{}\\ &-\frac{3i(e_3-e_2)(e_3-e_1)(2e_3-e_1)}{4(\wp(x)-e_3)}-\frac{3i(e_2-e_3)(e_2-e_1)(2e_2-e_1)}{4(\wp(x)-e_2)},\\ H_4={}&G_4=-\frac{45}{4}e_1\wp'(x)+\frac{3(29e_1^2-16e_2^2+44e_3^2)\wp'(x)}{16(\wp(x)-e_3)}+{}\\ &+\frac{3(29e_1^2+44e_2^2-16e_3^2)\wp'(x)}{16(\wp(x)-e_2)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из стационарного уравнения получаем
$$
\begin{equation*}
c_2=\frac{15}{2}e_1,\qquad c_4=\frac38 (31e_1^2-14e_2^2-14e_3^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, матрица монодромии задается формулой
$$
\begin{equation*}
M=V_3+\frac{15e_1}{2}V_1+\frac38 (31e_1^2-14e_2^2-14e_3^2)J.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисляя уравнение спектральной кривой потенциала $U$ с функцией $v(x)$, задаваемой равенством (37), получаем
$$
\begin{equation}
\mu^2=(\lambda^2-3e_3+3e_1)(\lambda^2-3e_2+3e_1)(\lambda^4+6e_1\lambda^2+3e_1^2-6e_2^2-6e_3^2).
\end{equation}
\tag{38}
$$
Нетрудно проверить, что спектральные кривые (36) и (38) связаны соотношением
$$
\begin{equation*}
w(\lambda^2+3e_1)=\widetilde{w}(\lambda^2)=\lambda\mu(\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
В качестве третьего примера снова рассмотрим двухзонный потенциал Ламе (35). Пусть $\tilde{u}(x)=6\wp(x)-E_j$, где В этом случае
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\Psi}(x,E)=E^2+(3\wp(x)+2E_j)E+\frac14 (6\wp(x)+E_j)^2
\end{equation*}
\notag
$$
и следовательно,
$$
\begin{equation}
v(x)=\partial_x\ln\hat{\psi}(x)=\frac{6\wp'(x)}{6\wp(x)+E_j}.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Нетрудно проверить, что эта функция $v(x)$ соответствует формуле (30) при $\widetilde{m}_0=2$, $\widetilde{m}_1=\widetilde{m}_2=\widetilde{m}_3=0$ и $n=1$. Вычисления элементов матрицы монодромии с помощью функции (39) дают следующий результат:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_1={}&-G_1=i\wp(x)+\frac{i}{6}E_j+\frac{4i(18e_1e_2e_3-(e_1^2+e_2^2+e_3^2)E_j)}{(6\wp(x)+E_j)^2},\\ F_1={}&-\frac{72i(\wp(x)-e_1)(\wp(x)-e_2)(\wp(x)-e_3)}{(6\wp(x)+E_j)^2},\\ H_2={}&G_2=\frac32 \wp'(x)-\frac{6E_j\wp'(x)}{6\wp(x)+E_j},\\ H_3={}&-G_3=\frac{9i}{2}\wp^2(x)-iE_j\wp(x)-\frac{7i}{4}(e_1^2+e_2^2+e_3^2)+{}\\ &+\frac{24i((e_1^2+e_2^2+e_3^2)^2-3e_1e_2e_3E_j)}{(6\wp(x)+E_j)^2},\\ F_3={}&-\frac{9i}{2}\wp^2(x)+\frac{7i}{2}E_j\wp(x)-\frac{19i}4(e_1^2+e_2^2+e_3^2)+{}\\ &+\frac{24i((e_1^2+e_2^2+e_3^2)^2-3e_1e_2e_3E_j)}{(6\wp(x)+E_j)^2},\\ H_4={}&G_4=-\frac{15}{4}E_j\wp'(x)+\frac{54(e_1^2+e_2^2+e_3^2)\wp'(x)}{6\wp(x)+E_j}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из стационарного уравнения получаем
$$
\begin{equation*}
c_2=\frac{5}2E_j,\qquad c_4=6(e_1^2+e_2^2+e_3^2)=E_j^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисляя характеристическое уравнение матрицы монодромии получаем уравнение спектральной кривой
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mu^2(\lambda)={}&\lambda^8+5 E_j\lambda^6 + \frac {99}{2}(e_1^2+e_2^2+e_3^2)\lambda^4+{} \notag \\ &+\biggl(\frac{57}{2}(e_1^2+e_2^2+e_3^2)(e_1^2+e_2^2+e_3^2)E_j-27e_1e_2e_3\biggr)\lambda^2+{} \notag \\ &+18(e_1^2+e_2^2+e_3^2)^2-54e_1e_2e_3E_j. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{40}
$$
Как и в предыдущих случаях, является верным равенство Рассмотренные нами примеры показали, что метод построения эллиптических конечнозонных потенциалов работает хорошо и что, выбирая разные точки ветвления, можно по одному и тому же потенциалу ДТВ строить разные эллиптические потенциалы оператора Дирака. Поскольку спектральные кривые данных потенциалов связаны отображением
$$
\begin{equation*}
\lambda^2+E_j=\widetilde{\lambda}^2+E_k,\qquad \mu(\lambda)=\frac{w(\lambda^2+E_j)}{\lambda},\qquad \widetilde{\mu}(\widetilde{\lambda})=\frac{w(\widetilde{\lambda}^2+E_k)}{\widetilde{\lambda}},
\end{equation*}
\notag
$$
эти потенциалы не являются изоспектральными деформациями друг друга. Заметим, что существуют конечнозонные эллиптические потенциалы оператора Шредингера, отличающиеся от потенциалов ДТВ. Они делятся на три класса. К первому классу относятся изоспектральные деформации потенциалов ДТВ. Ко второму классу относятся потенциалы, получающиеся из потенциалов ДТВ при изменении решетки периодов. Как было показано в работах [24], [28], [29], существуют эллиптические конечнозонные потенциалы оператора Шредингера, спектральные кривые которых отличаются от спектральных кривых потенциалов ДТВ. По любому из этих потенциалов можно построить новые эллиптические конечнозонные потенциалы оператора Дирака, используя процедуру, описанную в данном разделе. 7. Заключительные замечанияПроведенные исследования выявили ряд вопросов, которые требуют дополнительного изучения. Не рассмотренные в данной статье вопросы мы планируем изучить в последующих работах. В частности, планируем построить конечнозонные решения уравнения мКдФ и соответствующую функцию Бейкера–Ахиезера, используя теорию накрытий над спектральной кривой конечнозонного решения уравнения КдФ. С одной стороны, примеры из раздела 4 показали, что формула накрывающего отображения зависит от четности $n$. При нечетном $n$ отображение задается одной формулой, а при четном – другой. С другой стороны, примеры эллиптических потенциалов оператора Дирака из раздела 6 соответствуют только случаям нечетного $n$. Таким образом, вопрос о свойствах спектральных кривых конечнозонных решений вещественного уравнения мКдФ остается открытым и требует дополнительного исследования. Также мы планируем, используя результаты данной работы, построить эллиптические конечнозонные потенциалы дифференциального оператора второго порядка, кваратичного по спектральному параметру. БлагодарностиАвторы благодарят организаторов Международной конференции “Интегрируемые системы и нелинейная динамика” за приглашение принять в ней участие и сделать доклад. Авторы также благодарят В. Б. Матвеева за полезные консультации по уравнению мКдФ. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{SmiAni24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|