| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Применение подхода Римана–Гильберта к связанным нелинейным уравнениям Шредингера на полупрямой Шунь Ванa, Цзянь Лиb a Zhejiang Pharmaceutical University, Ningbo, China b Department of Mathematics, Shanghai Institute of Technology, Shanghai, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 220, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S004057792409006X 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеКак известно, с момента открытия уравнения Кортевега–де Фриза теория интегрируемых систем обрела новые богатые свойства и обширные приложения. В последние годы быстро развиваются анализ и применение интегрируемых уравнений. В настоящей работе мы вводим связанные нелинейные уравнения Шредингера (сНУШ) с производной, происходящие из уравнения из работы [1]:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} iq_t+q_{xx}=i(|q|^2q)_x,\\ i\tilde q_t+\tilde q_{xx}=i(2|q\tilde q|q+\tilde q|q|^2)_x. \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Приведенная выше система возникает из НУШ с производной, которое имеет ряд приложений в физике плазмы и нелинейной волоконной оптике. Однако однокомпонентное НУШ зачастую не может адекватно описать законы движения частиц, тогда как многокомпонентные уравнения позволяют получать более разнообразные аналитические решения и их динамические характеристики. Кроме того, многокомпонентные интегрируемые системы обладают преимуществами с точки зрения нахождения и описания универсальных законов и симметрий в природе, что важно для решения практических задач. Поэтому изучение сНУШ имеет важное практическое значение в различных областях. При исследовании интегрируемых иерархий одной из наиболее важных является иерархия Кадомцева–Петвиашвили [2], [3]. Для изучения ее симметрийных свойств, солитонных решений и алгебраической структуры используется метод обратной задачи рассеяния, предложенный в 1976 г. Фактически он представляет собой нелинейное преобразование Фурье. Этот метод можно использовать для анализа начально-краевых задач, однако на самом деле он не позволяет найти их решения. Для решения начально-краевой задачи Фокас в 1997 г. предложил матричную задачу Римана–Гильберта (ЗРГ). Этот подход сегодня известен как метод Фокаса. Вобрав в себя методы и опыт предшественников, он не только прекрасно объединил начальные и краевые задачи, но и открыл новый путь к нахождению алгебро-геометрических решений интегрируемых систем. Важным преимуществом этого подхода является то, что он дает точную информацию об асимптотическом поведении решения при больших временах $t$ [4]. С помощью нелинейного метода наискорейшего спуска [5] можно показать, каким образом решение при больших $t$ распадается на несколько солитонов, движущихся с постоянными скоростями. Однако эта асимптотика имеет дисперсионный характер [6] по мере удаления от максимума солитонов. Глобальное соотношение обеспечивает идеальное решение задачи при $t=0$ или $x=0$. Спектральные функции удовлетворяют глобальному условию, которое налагает ограничение на начальные и граничные значения. В течение последних двух десятилетий дальнейшие исследования ЗРГ представлены в многочисленных работах различных авторов [7]–[22]. Настоящая статья организована следующим образом. В разделе 2 мы сначала напоминаем некоторые основные положения ЗРГ, а затем выписываем пары Лакса для сНУШ. Далее мы проводим спектральный и асимптотический анализ сНУШ с помощью серии преобразований, содержащих третью матрицу Паули, и вводим важные спектральные функции, которые используются для вычисления матриц скачка в ЗРГ для сНУШ. В разделе 3 мы формулируем некоторые свойства спектральных и собственных функций. В разделе 4 мы строим ЗРГ для сНУШ (1.1), задавая условие скачка для двух матриц размера $2\times 2$. Для определения матриц, удовлетворяющих условию скачка, мы приводим условия на вычеты в ЗРГ, формулируем обратную ЗРГ и получаем спектральные функции основной ЗРГ. В разделе 4 мы доказываем, что полученные матрицы являются решениями ЗРГ для сНУШ. 2. Предварительные сведения о сНУШСначала напомним некоторые основные факты о ЗРГ. Определение 1. Пусть контур $\Gamma$ есть объединение конечного числа гладких и ориентированных кривых на сфере Римана $\mathbb{C}$ и $\mathbb{C}\backslash\Gamma$ имеет лишь конечное число компонент связности. Пусть $J(k)$ – некоторая матрица размера $2\times2$, определенная на контуре $\Gamma$. ЗРГ для данных $(\Gamma,J)$ формулируется как задача нахождения ($2\times2$)-матричной функции $M(k)$, удовлетворяющей следующим условиям:
2.1. Пара Лакса для сНУШСНУШ (1.1) допускают пару Лакса
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \phi_x(x,t;k)&=U_1(x,t;k)\phi(x,t;k), \\ \psi_x(x,t;k)&=U_2(x,t;k)\psi(x,t;k), \\ \phi_t(x,t;k)&=V_1(x,t;k)\phi(x,t;k), \\ \psi_t(x,t;k)&=V_2(x,t;k)\psi(x,t;k), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} U_1(x,t;k)&=\begin{pmatrix} ik^2 & q \\ r & -ik^2 \end{pmatrix},&\qquad U_2(x,t;k)&=\begin{pmatrix} ik^2 & \tilde q \\ \tilde r & -ik^2\end{pmatrix}, \\ V_1(x,t;k)&=\begin{pmatrix} A & \phantom{-}B \\ C & -A \end{pmatrix},&\qquad V_2(x,t;k)&=\begin{pmatrix} \widetilde A & \phantom{-}\widetilde B \\ \widetilde C & -\widetilde A \end{pmatrix}, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
$k\in\mathbb{C}$ – спектральный параметр, $r=r(x,t)$, $\tilde r=\tilde r(x,t)$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A=2k^4+k^2rq,\qquad B=2ik^3q-kq_x+ikrq^2,\qquad C=2ik^3r+kr_x+ik^2r^2q, \\ \widetilde A=2k^4+k^2(r\tilde q+r\tilde q),\qquad \widetilde B=2ik^3\tilde q-k\tilde q_x+ik(\tilde rq^2+2rq\tilde q), \\ \widetilde C=2ik^3\tilde r+k\tilde r_x+ik^2(r^2\tilde q+2r\tilde rq). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Можно проверить, что условие совместности четырех уравнений (2.1) дает расширенные уравнения нулевой кривизны
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &U_{1,t}-V_{1,x}+[U_1,V_1]=0,\\ &U_{2,t}-V_{2,x}+[U_1,V_2]+[U_2,V_1]=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которые в точности совпадают со сНУШ (1.1). Вместо матриц в уравнениях пары Лакса (2.1) удобно ввести матрицы
$$
\begin{equation*}
Q=\begin{pmatrix} 0 & q \\ r & 0 \end{pmatrix},\qquad \widetilde Q=\begin{pmatrix} 0 & \tilde q \\ \tilde r & 0 \end{pmatrix},\qquad \sigma_3=\begin{pmatrix} 1 & \phantom{-}0 \\0 & -1 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sigma_3$ – третья матрица Паули, тогда пара Лакса (2.1) записывается в матричной форме как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \phi_x+ik^2\sigma_3\phi&=kQ\phi, \\ \psi_x+ik^2\sigma_3\psi&=k(Q\psi+\widetilde Q\phi),\\ \phi_t+2ik^4\sigma_3\phi&=\chi_1\phi, \\ \psi_t+2ik^4\sigma_3\psi&=\chi_1\psi+\chi_2\phi, \\ \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \chi_1&=-ik^2Q^2\sigma_3+2k^2Q-ikQ_x\sigma_3+kQ^3, \\ \chi_2&=-ik^2(Q\widetilde Q+\widetilde QQ)\sigma_3+2k^2\widetilde Q-ik\widetilde Q_x\sigma_3+k(Q^2\widetilde Q+Q\widetilde QQ+\widetilde QQ^2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Расширим вектор-столбцы $\phi$, $\varphi$ до матриц размера $2\times2$ с помощью формул
$$
\begin{equation}
\Phi=\phi e^{i(k^2x+2k^4t)\sigma_3},\qquad \Psi=\psi e^{i(k^2x+2k^4t)\sigma_3}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Тогда исходную пару Лакса (2.1) можно записать как систему
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\Phi_x+ik^2[\sigma_3,\Phi]=kQ\Phi, \\ &\Psi_x+ik^2[\sigma_3,\Psi]=k(\widetilde Q\Phi+Q\Psi), \\ &\Phi_t+ik^4[\sigma_3,\Phi]=\chi_1\Phi, \\ &\Psi_t+ik^4[\sigma_3,\Psi]=\chi_1\Psi+\chi_2\Phi, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
которая приводится к системе полных производных
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, d(e^{i(k^2x+2k^4t)\hat\sigma_3}\Phi)&=e^{i(k^2x+2k^4t)\hat\sigma_3}W_1(x,t;k)\Phi, \\ d(e^{i(k^2x+2k^4t)\hat\sigma_3}\Psi)&=e^{i(k^2x+2k^4t)\hat\sigma_3}(W_1(x,t;k)\Psi+W_2(x,t;k)\Phi), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где
$$
\begin{equation}
W_1=kQ\,dx+\chi_1\,dt,\qquad W_2=k\widetilde Q\,dx+\chi_2\,dt.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Здесь $\hat\sigma_3$ обозначает коммутатор с матрицей $\sigma_3$: $\hat\sigma_3M=[\sigma_3,M]$, а $e^{\hat\sigma_3}$, как нетрудно показать, дает $e^{\hat\sigma_3}M=e^{\sigma_3}Me^{-\sigma_3}$ для матрицы $M$ размера $2\times2$. Предположим, что система матричных нелинейных эволюционных уравнений имеет решения $u(x,t)$, $\tilde u(x,t)$ в области $\{0<x<\infty,0<t<T\}$, где $T$ – положительная постоянная, удовлетворяющие убывающему начальному условию при $t=0$, а также подходящему граничному условию при $x=0$. Однако очевидно, что эти решения могут не обладать дополнительными свойствами, например не стремятся к единичной матрице при $k\to\infty$. Следовательно, важное значение имеют асимптотический и спектральный анализ уравнений. 2.2. Асимптотический анализПредположим, что два решения системы (2.4) имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Phi&=D^{(1)}+\frac{\Phi_1}{k}+\frac{\Phi_2}{k^2}+\frac{\Phi_3}{k^3}+O\biggl(\frac{1}{k^4}\biggr), \\ \Psi&=D^{(2)}+\frac{\Psi_1}{k}+\frac{\Psi_2}{k^2}+\frac{\Psi_3}{k^3}+O\biggl(\frac{1}{k^4}\biggr),&\qquad k&\to-\infty, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где $D^{(1)}$, $D^{(2)}$ и $\Phi_j$, $\Psi_j$ ($j=1,2,3$) не зависят от $k$. Подставим эти выражения в два первых уравнения системы (2.4), получим, что $D^{(1)}$, $D^{(2)}$ – диагональные матрицы. Сравнивая выражения при одинаковых степенях $k$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} &O(k):&\quad i[\sigma_3,\Phi_1]&=QD^{(1)},&\qquad i[\sigma_3,\Psi_1]&=QD^{(2)}+\widetilde QD^{(1)}, \\ &O(k^0):&\quad D^{(1)}_x&=Q\Phi^{(\mathrm o)}_1,&\qquad D^{(2)}_x&=Q\Psi^{(\mathrm o)}_1+\widetilde Q\Phi^{(\mathrm o)}_1, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где верхним индексом $^{(\mathrm o)}$ означены внедиагональные части соответствующих матриц. Используя приведенное выше разложение, получаем
$$
\begin{equation}
\Phi_1^{(\mathrm o)}=\frac{i}{2}QD^{(1)}\sigma_3,\qquad \Psi_1^{(\mathrm o)}=\frac{i}{2}(QD^{(2)}+\widetilde QD^{(1)})\sigma_3
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
и
$$
\begin{equation}
D_x^{(1)}=\frac{i}{2}Q^2\sigma_3D^{(1)},\qquad D_x^{(2)}=\frac{i}{2}[(Q\widetilde Q+\widetilde QQ)\sigma_3D^{(1)}+Q^2\sigma_3D^{(1)}].
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
С другой стороны, подставляя разложения (2.7) в третье и четвертое уравнения системы (2.4), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} &O(k^3):&\quad &\begin{cases} 2i[\sigma_3,\Phi_1]=2QD^{(1)}, \\ 2i[\sigma_3,\Psi_1]=2(QD^{(2)}+\widetilde QD^{(1)}), \end{cases} \\ &O(k):&\quad &\begin{cases} 2i[\sigma_3,\Phi_3]=-\,iQ^2\sigma_3\Phi^{(\mathrm o)}_1+2Q\Phi^{(\mathrm d)}_2-iQ_x\sigma_3D^{(1)}+Q^3D^{(1)}, \\ 2i[\sigma_3,\Phi_3]=-\,i(Q\widetilde Q+\widetilde QQ\sigma_3\Phi^{(\mathrm o)}_1+ Q^2\sigma_3\Psi^{(\mathrm o)}_1)+2(Q\widetilde\Psi^{(\mathrm d)}_2+\widetilde Q\Psi^{(\mathrm d)}_2)-{} \\ \kern54pt -\,i(Q_x\sigma_3D^{(2)}+\widetilde Q_x\sigma_3D^{(1)})+Q^3D^{(2)}+{} \\ \kern54pt +\,(Q^2\widetilde Q+\widetilde QQ^2+Q\widetilde QQ)D^{(1)}, \end{cases} \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где верхним индексом $^{(\mathrm d)}$ обозначены диагональные части соответствующих матриц. В порядке $k^0$ имеем
$$
\begin{equation}
O(k^0):\quad \begin{cases} D_t^{(1)}=-\,iQ^2\sigma_3\Phi^{(\mathrm d)}_2+2Q\Phi^{(\mathrm o)}_3-iQ_x\sigma_3\Phi_1^{(\mathrm o)}+Q^3\Phi_1^{(\mathrm o)}, \\ D_t^{(2)}=-\,i(Q^2\sigma_3\Psi^{(\mathrm d)}_2+(\widetilde QQ+Q\widetilde Q)\sigma_3\Phi^{(\mathrm d)}_2+{} \\ \kern33pt+\,2(Q\Psi^{(\mathrm o)}_3+\widetilde Q\Phi^{(\mathrm o)}_3)- i(Q_x\sigma_3\Psi_1^{(\mathrm o)}+\widetilde Q_x\sigma_3\Phi_1^{(\mathrm o)})+{} \\ \kern33pt+\,Q^3\Psi_1^{(\mathrm o)}+(Q^2\widetilde Q+\widetilde QQ^2+Q\widetilde QQ)\Phi_1^{(\mathrm o)}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
тогда с учетом (2.8) можно записать уравнения (2.10) через $q$, $\tilde q$, $r$ и $\tilde r$ как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D_t^{(1)}&=\biggl(\frac{3i}{4}r^2q^2+\frac{1}{2}(r_xq+rq_x)\biggr)\sigma_3D^{(1)}, \\ D_t^{(2)}&=\biggl(\frac{3i}{4}r^2q^2+\frac{1}{2}(r_xq+rq_x)\biggr)\sigma_3D^{(2)}+{}\vphantom{\bigg|^2} \\ &\kern50.5pt+\,\frac{1}{2}\bigl(3i(r^2q\tilde q+r\tilde rq^2)+r_x\tilde q+\tilde r_xq-r\tilde q_x-\tilde rq_x\bigr)\sigma_3D^{(1)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Таким образом, уравнения сНУШ (1.1) допускают законы сохранения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \dfrac{i}{2}(rq)_t&=\biggl(\frac{3i}{4}r^2q^2+\frac{1}{2}(r_xq+rq_x)\biggr)_{\!{}^{\scriptstyle x}}, \\ i(\tilde rq+r\tilde q)_t&=\bigl(3i(r^2q\tilde q+r\tilde rq^2)+r_x\tilde q+\tilde r_xq-r\tilde q_x-\tilde rq_x\bigr)_x. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Из уравнений (2.9) и (2.11) можно найти вид матриц $D^{(1)}$, $D^{(2)}$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D^{(1)}(x,t)&=\exp\biggl[i\int^{(x,t)}_{(0,0)}\Delta_1\sigma_3\biggr], \\ D^{(2)}(x,t)&=i\int^{(x,t)}_{(0,0)}\Delta_2\sigma_3\cdot \exp\biggl[i\int^{(x,t)}_{(0,0)}\Delta_1\sigma_3\biggr]\vphantom{\bigg|^2}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Delta_1(x,t)&=\frac{1}{2}rq\,dx+\biggl(\frac{3}{4}r^2q^2-\frac{i}{2}(r_xq-rq_x)\biggr)dt, \\ \Delta_2(x,t)&=\frac{1}{2}(\tilde rq+r\tilde q)\,dx+\biggl(\frac{3}{4}(rq^2+r^2q)-\frac{i}{2}(r_x\tilde q+\tilde r_xq-r\tilde q_x-\tilde rq_x)\biggr)dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Здесь для удобства вычислений мы положили $(x_0,y_0)=(0,0)$. 2.3. Собственные функции и аналитические собственные функцииНа основе уравнений (2.4) и определения (2.13) введем функции $\mu$ и $\hat\mu$ равенствами
$$
\begin{equation}
\Phi=\mu D^{(1)},\quad \Psi=\mu D^{(2)}+\hat\mu D^{(2)},
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
тогда $\mu\to I$, $\hat\mu\to 0$ при $k\to\infty$. Это условие гарантирует рациональность решений уравнения (2.4). Вычисления показывают, что пара Лакса для уравнений (2.5) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, d(e^{i(k^2x+2k^4t)\hat\sigma_3})\mu(x,t;k)&=e^{i(k^2x+2k^4t)\hat\sigma_3}M_1\mu, \\ d(e^{i(k^2x+2k^4t)\hat\sigma_3})\hat\mu(x,t;k)&=e^{i(k^2x+2k^4t)\hat\sigma_3}(M_1\hat\mu+M_2\mu), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
где $M_1=M_{11}\,dx+M_{12}\,dt$, $M_2=M_{21}\,dx+M_{22}\,dt$ и
$$
\begin{equation}
M_{11} =\begin{pmatrix} M_{11}^{11} & M_{11}^{12} \\ M_{11}^{21} & M_{11}^{22} \end{pmatrix},\;\, \begin{cases} M_{11}^{11}=-\frac{i}{2}rq, \\ M_{11}^{12}=kq\exp\bigl[-2i\int^{(x,t)}_{(0,0)}\Delta_1\bigr], \\ M_{11}^{21}=kr\exp\bigl[2i\int^{(x,t)}_{(0,0)}\Delta_1\bigr],\vphantom{\big|^2}\\ M_{11}^{22}=\frac{i}{2}rq; \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.17a}
$$
$$
\begin{equation}
M_{12} =\begin{pmatrix} M_{12}^{11} & M_{12}^{12} \\ M_{12}^{21} & M_{12}^{22} \end{pmatrix},\;\, \begin{cases} M_{12}^{11}=-ik^2rq-\frac{3i}{4}r^2q^2-\frac{1}{2}(r_xq-rq_x), \\ M_{12}^{12}=-(2k^3q+ikq_x+kq^2r)\exp\bigl[-2i\int^{(x,t)}_{(0,0)}\Delta_1\bigr], \\ M_{12}^{21}=(2k^3r+ikr_x+ir^2q)\exp\bigl[2i\int^{(x,t)}_{(0,0)}\Delta_1\bigr],\vphantom{\big|^2} \\ M_{12}^{22}=ik^2rq+\frac{3i}{4}r^2q^2+\frac{1}{2}(r_xq-rq_x); \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.17b}
$$
$$
\begin{equation}
M_{21} =\begin{pmatrix} M_{21}^{11} & M_{21}^{12} \\ M_{21}^{21} & M_{21}^{22} \end{pmatrix},\;\, \begin{cases} M_{21}^{11}=-\frac{i}{2}(r\tilde q+\tilde rq), \\ M_{21}^{12}=k\bigl(-2iq\int^{(x,t)}_{(0,0)}\Delta_2\cdot \exp\bigl[-2i\int^{(x,t)}_{(0,0)}\Delta_1\bigr]+{} \\ \kern46pt +\tilde q\exp\bigl[-2i\int^{(x,t)}_{(0,0)}\Delta_1\bigr]\bigr), \\ M_{21}^{21}=k\bigl(2ir\int^{(x,t)}_{(0,0)}\Delta_2\cdot \exp\bigl[2i\int^{(x,t)}_{(0,0)}\Delta_1\bigr]+{} \\ \kern46pt +\tilde r\exp\bigl[2i\int^{(x,t)}_{(0,0)}\Delta_1\bigr]\bigr), \\ M_{21}^{22}=\frac{i}{2}(r\tilde q+\tilde rq); \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.17c}
$$
$$
\begin{equation}
M_{22} =\begin{pmatrix} M_{22}^{11} & M_{22}^{12} \\ M_{22}^{21} & M_{22}^{22} \end{pmatrix},\;\, \begin{cases} M_{22}^{11}=-ik^2(r\tilde q+\tilde rq)-\frac{3rqi}{2}(r\tilde q+\tilde rq)-{}\\ \kern32pt -\frac{1}{2}(r_x\tilde q+\tilde r_xq-r\tilde q_x-\tilde rq_x), \\ M_{22}^{12}=(2k^3\tilde r-ik\tilde r_x+kr^2\tilde q+2kr\tilde rq)\exp\bigl[2i\int^{(x,t)}_{(0,0)}\Delta_1\bigr]+{}\\ \kern32pt+(2k^3r-ikr_x+kr^2q)2i\int^{(x,t)}_{(0,0)}\Delta_2\cdot\exp\bigl[2i\int^{(x,t)}_{(0,0)}\Delta_1], \\ M_{22}^{21}=(2k^3\tilde q-ik\tilde q_x+kq^2\tilde r+2kq\tilde qr)\exp\bigl[2i\int^{(x,t)}_{(0,0)}\Delta_1\bigr]+{}\\ \kern32pt+(2k^3q-ikq_x+kq^2r)2i\int^{(x,t)}_{(0,0)}\Delta_2\cdot \exp\bigl[2i\int^{(x,t)}_{(0,0)}\Delta_1], \\ M_{22}^{22}=ik^2(r\tilde q+\tilde rq)+\frac{3rqi}{2}(r\tilde q+\tilde rq)+{}\\ \kern32pt+\frac{1}{2}(r_x\tilde q+\tilde r_xq-r\tilde q_x-\tilde rq_x). \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.17d}
$$
При этом уравнения (2.16) в терминах $\mu$ и $\hat\mu$ записываются как
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \mu_x+ik^2[\sigma_3,\mu]&=M_{11}\mu,&\qquad\hat\mu_x+ik^2[\sigma_3,\hat\mu]&=M_{11}\hat\mu+M_{12}\mu, \\ \mu_t+2ik^4[\sigma_3,\mu]&=M_{21}\mu,&\qquad\hat\mu_t+2ik^4[\sigma_3,\hat\mu]&=M_{21}\hat\mu+M_{22}\mu. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Предположим, что существуют функции $u_j(x,t)$, $\hat u_j(x,t)$ ($j=1,2,3$), бесконечно гладкие в $\Omega$, и введем ($2\times2$)-матричные функции, являющиеся решениями уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mu_j(x,t;k)&=I+\int^{(x,t)}_{(x_j,t_j)}e^{-i(k^2x+2k^4t)\hat\sigma_3}M_1(\rho,\xi;k)\mu_j, \\ \hat\mu_j(x,t;k)&=I+\int^{(x,t)}_{(x_j,t_j)}e^{-i(k^2x+2k^4t)\hat\sigma_3}\bigl(M_1(\rho,\xi;k)\hat\mu_j+M_2(\rho,\xi;k)\mu_j\bigr) \vphantom{\int_{(x,t)}^{\big|}} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
для $j=1,2,3$, где $(x_1,t_1)=(\infty,t)$, $(x_2,t_2)=(0,L)$ и $(x_3,t_3)=(0,0)$. Интегралы не зависят от пути интегрирования, поскольку 1-форма из (2.16) точная; мы выбираем специальные контуры, показанные на рис. 1. На этих контурах выполнены следующие неравенства:
Таким образом, функции $\mu_j$ и $\hat\mu_j$ в некоторой области комплексной $k$-плоскости задаются следующим образом:
$$
\begin{equation}
\mu_1 =I-\int^{\infty}_xe^{-ik^2(x-\rho)\hat\sigma_3}(M_{11}\mu_1)(\rho,\xi;k)\,d\rho,
\end{equation}
\tag{2.20a}
$$
$$
\begin{equation}
\hat\mu_1 =I-\int^{\infty}_xe^{-ik^2(x-\rho)\hat\sigma_3}(M_{11}\hat\mu_1+M_{21}\mu_1)(\rho,\xi;k)\,d\rho,
\end{equation}
\tag{2.20b}
$$
$$
\begin{equation}
\mu_2 =I+\int^{x}_0e^{-ik^2(x-\rho)\hat\sigma_3}(M_{11}\mu_2)(\rho,\xi;k)\,d\rho-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad -e^{-ik^2x\hat\sigma_3}\int^{L}_t e^{-2ik^4(t-\xi)\hat\sigma_3}(M_{12}\mu_2)(0,t;k)\,d\xi,
\end{equation}
\tag{2.20c}
$$
$$
\begin{equation}
\hat\mu_2 =I+\int^{x}_0e^{-ik^2(x-\rho)\hat\sigma_3}(M_{21}\mu_2+M_{11}\hat\mu_2)(\rho,\xi;k)\,d\rho-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad -e^{-ik^2x\hat\sigma_3}\int^{L}_te^{-2ik^4(t-\xi)\hat\sigma_3}(M_{22}\mu_2+M_{12}\hat\mu_2)(0,t;k)\,d\xi,
\end{equation}
\tag{2.20d}
$$
$$
\begin{equation}
\mu_3 =I+\int^{x}_0e^{-ik^2(x-\rho)\hat\sigma_3}(M_{11}\mu_3)(\rho,\xi;k)\,d\rho+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad +e^{-ik^2x\hat\sigma_3}\int^{t}_0e^{-2ik^4(t-\xi)\hat\sigma_3}(M_{12}\mu_3)(0,t;k)\,d\xi,
\end{equation}
\tag{2.20e}
$$
$$
\begin{equation}
\hat\mu_3 =I+\int^{x}_0e^{-ik^2(x-\rho)\hat\sigma_3}(M_{21}\mu_3+M_{11}\hat\mu_3)(\rho,\xi;k)\,d\rho+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+e^{-ik^2x\hat\sigma_3}\int^{t}_0e^{-2ik^4(t-\xi)\hat\sigma_3}(M_{22}\mu_3+M_{12}\hat\mu_3)(0,t;k)\,d\xi.
\end{equation}
\tag{2.20f}
$$
Из этих выражений и вида контуров следует, что экспоненциальные члены первых столбцов $\mu^{(1)}_j(x,t;k)$, $\hat\mu^{(1)}_j(x,t;k)$ матриц $\mu_j$, $\hat\mu_j$ ($j=1,2,3$) ограничены в следующих областях комплексной $k$-плоскости:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \mu^{(1)}_1,\hat\mu^{(1)}_1: &\quad \{ \operatorname{Im} k^2\leqslant 0\}, \\ \mu^{(1)}_2,\hat\mu^{(1)}_2: &\quad \{ \operatorname{Im} k^2\geqslant 0\}\cap\{ \operatorname{Im} k^4\leqslant 0\}, \\ \mu^{(1)}_3,\hat\mu^{(1)}_3: &\quad \{ \operatorname{Im} k^2\geqslant 0\}\cap\{ \operatorname{Im} k^4\geqslant 0\}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Вторые столбцы $\mu^{(2)}_j(x,t;k)$, $\hat\mu^{(2)}_j(x,t;k)$ матриц $\mu_j$, $\hat\mu_j$ ограничены в следующих областях:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \mu^{(2)}_1, \hat\mu^{(2)}_1: &\quad \{ \operatorname{Im} k^2\geqslant 0\}, \\ \mu^{(2)}_2, \hat\mu^{(2)}_2: &\quad \{ \operatorname{Im} k^2\leqslant 0\}\cap\{ \operatorname{Im} k^4\geqslant 0\}, \\ \mu^{(2)}_3, \hat\mu^{(2)}_3: &\quad \{ \operatorname{Im} k^2\leqslant 0\}\cap\{ \operatorname{Im} k^4\leqslant 0\}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь зададим следующие области $D_i$ ($i=1,2,3,4$) на комплексной $k$-плоскости (см. рис. 2):
$$
\begin{equation}
D_i=\biggl\{k\in\mathbb{C}\colon K\pi+\frac{i-1}{2}\pi< \operatorname{Arg} (k)<K\pi+\frac{i}{2}\pi,\,K=0,1,2,\ldots \biggl\},
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
где $ \operatorname{Arg} (k)$ – аргумент параметра $k$. В результате мы можем записать
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mu_1(x,t;k)&=\bigl(\mu^{D_3\cup D_4}_1(x,t;k),\mu^{D_1\cup D_2}_1(x,t;k)\bigr), \\ \mu_2(x,t;k)&=\bigl(\mu^{D_2}_2(x,t;k),\mu^{D_3}_2(x,t;k)\bigr), \\ \mu_3(x,t;k)&=\bigl(\mu^{D_1}_3(x,t;k),\mu^{D_4}_3(x,t;k))\bigr); \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для $\hat\mu_j(x,t;k)$ области те же, что для $\mu_j(x,t;k)$. 2.4. Спектральные функции и их свойстваДля того чтобы получить ЗРГ для сНУШ (1.1), нам необходимо ввести спектральные функции $S_1(k)$, $\widehat S_1(k)$ и $S_2(k)$, $\widehat S_2(k)$, которые используются при вычислении матриц скачка в определенных выше областях $D_i$ ($i=1,2,3,4$). Эти спектральные функции задаются следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mu_1(x,t;k)&=\mu_3(x,t;k)e^{-i(k^2x+2k^4t)\hat\sigma_3}S_1(k), \\ \hat\mu_1(x,t;k)&=\mu_3(x,t;k)e^{-i(k^2x+2k^4t)\hat\sigma_3}\widehat S_1(k)+\hat\mu_3(x,t;k)e^{-i(k^2x+2k^4t)\hat\sigma_3}S_1(k), \\ \mu_2(x,t;k)&=\mu_3(x,t;k)e^{-i(k^2x+2k^4t)\hat\sigma_3}S_2(k), \\ \hat\mu_2(x,t;k)&=\mu_3(x,t;k)e^{-i(k^2x+2k^4t)\hat\sigma_3}\widehat S_2(k)+\hat\mu_3(x,t;k)e^{-i(k^2x+2k^4t)\hat\sigma_3}S_2(k). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Теперь выберем специальные граничные значения спектральных функций и подставим их в эти уравнения: положим в первых двух уравнениях $(x,t)=(0,0)$ и $(x,t)=(0,L)$ в остальных, получим
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} S_1(k)&=\mu_1(0,0;k),&\quad\widehat S_1(k)&=\mu_1(0,0;k)-\hat\mu_3(0,0;k)\mu_1(0,0;k), \\ S_2(k)&=e^{2ik^4L\hat\sigma_3}(\mu_3(0,L;k))^{-1},&\quad \widehat S_2(k)&=e^{2ik^4L\hat\sigma_3}\biggl(\frac{\mu_3(0,L;k)-\hat\mu_3(0,L;k)}{\mu^2_3(0,L;k)}\biggr). \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Тогда из (2.22) можно вывести уравнения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mu_2(x,t;k)&=\mu_1(x,t;k)e^{-i(k^2x+2k^4t)\hat\sigma_3}(S^{-1}_1(k)S_2(k))), \\ \hat\mu_2(x,t;k)&=\mu_1(x,t;k)e^{-i(k^2x+2k^4t)\hat\sigma_3}\biggl(\frac{\widehat S_2(k)S_1(k)-\widehat S_1(k)S_2(k)}{S^2_1(k)}\biggr)+{} \\ &\quad +\hat\mu_1(x,t;k)e^{-i(k^2x+2k^4t)\hat\sigma_3}(S^{-1}_1(k)S_2(k)), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
которые называются глобальным соотношением. Это соотношение играет очень важную роль при формулировке ЗРГ для сНУШ (1.1). Подставив $t=T$ в функции $\mu_3(0,t;k)$, $\hat\mu_3(0,t;k)$, получаем спектральные функции $S_2(k)$, $\widehat S_2(k)$, подставив $x=0$ в функции $\mu_1(x,0;k)$, $\hat\mu_1(x,0;k)$, аналогично получаем спектральные функции $S_1(k)$, $\widehat S_1(k)$. Тогда $\mu_1(x,0;k)$, $\hat\mu_1(x,0;k)$ и $\mu_3(0,t;k)$, $\hat\mu_3(0,t;k)$ удовлетворяют уравнениям
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mu_1(x,0;k)&=I-\int^{\infty}_xe^{-ik^2(x-\rho)\hat\sigma_3}(M_{11}\mu_1)(\rho,0;k)\,d\rho, \\ \hat\mu_1(x,0;k)&=I-\int^{\infty}_xe^{-ik^2(x-\rho)\hat\sigma_3}(M_{11}\hat\mu_1+M_{21}\mu_1)(\rho,0;k)\,d\rho, \\ \mu_3(0,t;k)&=I+\int^{t}_0e^{-2ik^4(t-\xi)\hat\sigma_3}(M_{12}\mu_3)(0,\xi;k)\,d\xi, \\ \hat\mu_3(0,t;k)&=I+\int^{t}_0e^{-2ik^4(t-\xi)\hat\sigma_3}(M_{22}\mu_3+M_{12}\hat\mu_3)(0,\xi;k)\,d\xi. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Пусть $q_0(x)=q(x,0)$, $\tilde q_0(x)=\tilde q(x,0)$, $g_0(t)=q(0,t)$, $\tilde g_0(t)=\tilde q(0,t), g_1(t)=q_x(0,t)$, $\tilde g_1(t)=\tilde q_x(0,t)$ – начальные и граничные значения для $q(x,t)$ и $\tilde q(x,t)$, тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_{11}(x,0;k)&=\begin{pmatrix} m_{11}^{11} & m_{11}^{12} \\ m_{11}^{21} & m_{11}^{22} \end{pmatrix}, \; \begin{cases} m_{11}^{11}=-\frac{i}{2}|q_0|^2, \\ m_{11}^{12}=kq_0\exp\bigl[-i\int^{x}_0|q_0|^2\,d\rho\bigr], \\ m_{11}^{21}=k\bar q_0\exp\bigl[i\int^{x}_0|q_0|^2\,d\rho],\\ m_{11}^{22}=\frac{i}{2}|q_0|^2; \end{cases}\\ M_{12}(0,t;k)&=\begin{pmatrix} m_{12}^{11} & m_{12}^{12} \\ m_{12}^{21} & m_{12}^{22} \end{pmatrix}, \; \begin{cases} m_{12}^{11}=-ik^2|g_0|^2-\frac{3i}{4}|g_0|^4-\frac{1}{2}(\bar g_1g_0-\bar g_0g_1), \\ m_{12}^{12}=(2k^3g_0+ikg_1+kg_0^2|g_0|^2)\exp\bigl[-2i\!\int^{t}_0\Delta_1(0,\xi)\bigr], \\ m_{12}^{21}=(2k^3\bar g_0-ik\bar g_1+k\bar g_0^2|g_0|^2)\exp\bigl[2i\!\int^{t}_0\Delta_1(0,\xi)\bigr],\\ m_{12}^{22}=k^2|g_0|^2+\frac{3i}{4}|g_0|^4+\frac{1}{2}(\bar g_1g_0-\bar g_0g_1); \end{cases}\kern-20pt\\ M_{21}(x,0;k)&=\begin{pmatrix} m_{21}^{11} & m_{21}^{12} \\ m_{21}^{21} & m_{21}^{22} \end{pmatrix}, \; \begin{cases} m_{21}^{11}=-\frac{i}{2}(\bar q_0\tilde q_0+\tilde{\bar q}_0q_0), \\ m_{21}^{12}=k\bigl(-\,2iq_0\int^{x}_0\Delta_2(x,0)\cdot\exp\bigl[-2i\int^{x}_0\Delta_1(\rho,0)\bigr]+{} \\ \kern41.5pt +\,\tilde q_0\exp\bigl[-2i\int^{x}_0\Delta_1(\rho,0)\bigr]\bigr), \\ m_{21}^{21}=k\bigl(-2i\,\bar q_0\int^{x}_0\Delta_2(x,0)\cdot\exp\bigl[2i\int^{x}_0\Delta_1(\rho,0)\bigr]+{} \\ \kern41.5pt +\,\tilde{\bar q}_0\exp\bigl[2i\int^{x}_0\Delta_1(\rho,0)\bigr]\bigr), \\ m_{21}^{22}=\frac{i}{2}(\bar q_0\tilde q_{o}+\tilde{\bar q}_0q_0), \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Delta_i(0,\xi)$ и $\Delta_i(\rho,0)$ ($i=1,2$) определяются по формулам (2.14) при $x=\text{const}=0$ ($dx=0$), $t=\xi$ и $x=\rho$, $t=\text{const}=0$ ($dt=0$) соответственно. Матрица $M_{22}(0,t;k)$ также выражается через начальные и граничные данные, но имеет достаточно громоздкий вид и здесь не приводится. Таким образом, элементы матриц $M_{11}$, $M_{12}$, $M_{21}$ и $M_{22}$ выражаются через $g_0(t)$, $\tilde g_0(t)$, $g_1(t)$, $\tilde g_1(t$), $q_0(x)$ и $\tilde q_0(x)$, поэтому четыре уравнения (2.25) определяют соответственно матрицы $S_1$, $S_2$, $\widehat S_1$, $\widehat S_2$ и задают связь между начальными и граничными значениями в уравнениях (1.1). 3. Свойства спектральных функций и собственных функцийОпираясь на работу [1], приведем некоторые свойства спектральных функций и собственных функций. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mu_j(x,t;k)&=\bigl(\mu^{(1)}_j(x,t;k),\mu^{(2)}_j(x,t;k)\bigr)= \begin{pmatrix} \mu^{11}_j& \mu^{12}_j\\ \mu^{21}_j & \mu^{22}_j \end{pmatrix}, \\ \hat\mu_j(x,t;k)&=(\hat\mu^{(1)}_j(x,t;k),\hat\mu^{(2)}_j(x,t;k))=\ \begin{pmatrix} \hat\mu^{11}_j& \hat\mu^{12}_j \\ \hat\mu^{21}_j & \hat\mu^{22}_j \end{pmatrix},\quad j=1,2,3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\det(\mu_j(x,t;k))=\det(\hat\mu_j(x,t;k))=1,\qquad j=1,2,3.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
• Функции $\mu^{(1)}_1(x,t;k)$ и $\hat\mu^{(1)}_1(x,t;k)$ аналитические и $\lim\limits_{k\to\infty}\mu^{(1)}_1(x,t;k)=(1,0)^{\mathrm T}$, $\lim\limits_{k\to\infty}\hat\mu^{(1)}_1(x,t;k)=(1,0)^{\mathrm T}$ при $k\in\{ \operatorname{Im} k^2<0\}$. • Функции $\mu^{(2)}_1(x,t;k)$ и $\hat\mu^{(2)}_1(x,t;k)$ аналитические и $\lim\limits_{k\to\infty}\mu^{(2)}_1(x,t;k)=(0,1)^{\mathrm T}$, $\lim\limits_{k\to\infty}\hat\mu^{(2)}_1(x,t;k)=(0,1)^{\mathrm T}$ при $k\in\{ \operatorname{Im} k^2>0\}$. • Функции $\mu^{(1)}_2(x,t;k)$ и $\hat\mu^{(1)}_2(x,t;k)$ аналитические и $ \lim\limits_{k\to\infty}\mu^{(1)}_2(x,t;k)=(1,0)^{\mathrm T}$, $\lim\limits_{k\to\infty}\hat\mu^{(1)}_2(x,t;k)=(1,0)^{\mathrm T}$ при $k\in\{ \operatorname{Im} k^2>0\}\cap\{ \operatorname{Im} k^4<0\}$. • Функции $\mu^{(2)}_2(x,t;k)$ и $\hat\mu^{(2)}_2(x,t;k)$ аналитические и $\lim\limits_{k\to\infty}\mu^{(2)}_2(x,t;k)=(0,1)^{\mathrm T}$, $\lim\limits_{k\to\infty}\hat\mu^{(2)}_2(x,t;k)=(0,1)^{\mathrm T}$ при $k\in\{ \operatorname{Im} k^2<0\}\cap\{ \operatorname{Im} k^4>0\}$. • Функции $\mu^{(1)}_3(x,t;k)$ и $\hat\mu^{(1)}_3(x,t;k)$ аналитические и $\lim\limits_{k\to\infty}\mu^{(1)}_3(x,t;k)=(1,0)^{\mathrm T}$, $\lim\limits_{k\to\infty}\hat\mu^{(1)}_3(x,t;k)=(1,0)^{\mathrm T}$ при $k\in\{ \operatorname{Im} k^2>0\}\cap\{ \operatorname{Im} k^4>0\}$. • Функции $\mu^{(2)}_3(x,t;k)$ и $\hat\mu^{(2)}_3(x,t;k)$ аналитические и $\lim\limits_{k\to\infty}\mu^{(2)}_3(x,t;k)=(1,0)^{\mathrm T}$, $\lim\limits_{k\to\infty}\hat\mu^{(2)}_3(x,t;k)=(1,0)^{\mathrm T}$ при $k\in\{ \operatorname{Im} k^2<0\}\cap\{ \operatorname{Im} k^4<0\}$. Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \mu^{11}_j(x,t;k)&=\bar\mu^{22}_j(x,t;\bar k),&\qquad \mu^{12}_j(x,t;k)&=\bar\mu^{21}_j(x,t;\bar k), \\ \hat\mu^{11}_j(x,t;k)&=\bar{\hat\mu}^{22}_j(x,t;\bar k),&\qquad \hat\mu^{12}_j(x,t;k)&=\bar{\hat\mu}^{21}_j(x,t;\bar k), \\ \mu^{11}_j(x,t;-k)&=\mu^{11}_j(x,t;k),&\qquad \mu^{12}_j(x,t;-k)&=-\mu^{12}_j(x,t;k),\vphantom{|^{\big|}} \\ \hat\mu^{11}_j(x,t;-k)&=\hat\mu^{11}_j(x,t;k),&\qquad \hat\mu^{12}_j(x,t;-k)&=-\hat\mu^{12}_j(x,t;k), \\ \mu^{21}_j(x,t;-k)&=\mu^{21}_j(x,t;k),&\qquad \mu^{22}_j(x,t;-k)&=\mu^{22}_j(x,t;k),\vphantom{|^{\big|}} \\ \hat\mu^{21}_j(x,t;-k)&=\hat\mu^{21}_j(x,t;k),&\qquad \hat\mu^{22}_j(x,t;-k)&=\hat\mu^{22}_j(x,t;k). \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Предположим, что спектральные функции $S_1(k)$, $S_2(k)$ и $\widehat S_1(k)$, $\widehat S_2(k)$ имеют следующий вид:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \widehat S_1(k)&=\begin{pmatrix} \bar{\hat a}(\bar k) & \hat b(k) \\ \bar{\hat b}(\bar k) & \hat a(k) \end{pmatrix},&\qquad \widehat S_2(k)&=\begin{pmatrix} \kern1.7pt\overline{\vphantom{\widehat A}\kern5.6pt}\kern-7.4pt\widehat A\kern0.1pt (\bar k) & \widehat B(k) \\ \kern1.7pt\overline{\vphantom{\widehat B}\kern5.6pt}\kern-7.4pt\widehat B\kern0.1pt (\bar k) & \widehat A(k) \end{pmatrix}, \\ S_1(k)&=\begin{pmatrix} \bar a(\bar k) & b(k) \\ \bar b(\bar k) & a(k) \end{pmatrix},&\qquad S_2(k)&=\begin{pmatrix} \kern1.7pt\overline{\vphantom{A}\kern5.6pt}\kern-7.4pt A\kern0.1pt (\bar k) & B(k) \\ \kern1.7pt\overline{\vphantom{B}\kern5.6pt}\kern-7.4pt B\kern0.1pt (\bar k) & A(k) \end{pmatrix}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
В силу указанных выше свойств очевидно, что $a(k)$, $\hat a(k)$ и $A(k)$, $\widehat A(k)$ – четные функции от $k$, а $b(k)$, $\hat b(k)$ и $B(k)$, $\widehat B(k)$ – нечетные функции от $k$. Они обладают следующими свойствами: • функции $a(k)$, $\hat a(k)$ и $b(k)$, $\hat b(k)$ заданы в области $\{k\in\mathbb{C}\mid \operatorname{Im} k^2\geqslant 0\}$ и аналитичны в области $\{k\in\mathbb{C}\mid \operatorname{Im} k^2>0\}$; • при $k^2\in\mathbb{R}$
$$
\begin{equation*}
a(k)\bar a(\bar k)-b(k)\bar b(\bar k)=1,\qquad \hat a(k)\bar{\hat a}(\bar k)-\hat b(k)\bar{\hat b}(\bar k)=1;
\end{equation*}
\notag
$$
• при $k\to\infty$, $ \operatorname{Im} k^2\geqslant 0$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &a(k)=1+O\biggl(\dfrac{1}{k}\biggr), \\ &\hat a(k)=1+O\biggl(\dfrac{1}{k}\biggr), \end{aligned}\qquad \begin{aligned} \, &b(k)=O\biggl(\dfrac{1}{k}\biggr), \\ &\hat b(k)=O\biggl(\dfrac{1}{k}\biggr); \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
• функции $A(k)$, $\widehat A(k)$ и $B(k)$, $\widehat B(k)$ заданы в области $\{k\in\mathbb{C}\mid \operatorname{Im} k^4\geqslant 0\}$ и аналитичны в области $\{k\in\mathbb{C}\mid \operatorname{Im} k^4>0\}$; • если $T=\infty$, то при всех $k\in\mathbb{C}$
$$
\begin{equation*}
A(k) \kern1.7pt\overline{\vphantom{A}\kern5.6pt}\kern-7.4pt A\kern0.1pt (\bar k)-B(k) \kern1.7pt\overline{\vphantom{B}\kern5.6pt}\kern-7.4pt B\kern0.1pt (\bar k)=1,\qquad\widehat A(k) \kern1.7pt\overline{\vphantom{\widehat A}\kern5.6pt}\kern-7.4pt\widehat A\kern0.1pt (\bar k)-\widehat B(k) \kern1.7pt\overline{\vphantom{\widehat B}\kern5.6pt}\kern-7.4pt\widehat B\kern0.1pt (\bar k)=1;
\end{equation*}
\notag
$$
• при $k\to\infty$, $ \operatorname{Im} k^4\geqslant 0$
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} A(k)&=1+O\biggl(\dfrac{1}{k}\biggr),&\qquad B(k)&=O\biggl(\dfrac{1}{k}\biggr), \\ \widehat A(k)&=1+O\biggl(\dfrac{1}{k}\biggr),&\qquad\widehat B(k)&=O\biggl(\dfrac{1}{k}\biggr). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти свойства получаются из ограниченности и аналитичности функций $\mu_3(x,0;k)$, $\hat\mu_3(x,0;k)$и $\mu_1(0,t ;k)$, $\hat\mu_1(0,t;k)$, а также связаны с условием (3.1) равенства определителей единице и асимптотикой больших $k$ для этих собственных функций. 4. ЗРГ для сНУШПолучим ЗРГ для сНУШ (1.1) с помощью условий скачка для матриц размера $2\times2$. Согласно работе [12] уравнения (2.22) можно переписать в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, M_{+}(x,t;k)&=M_{-}(x,t;k)J(x,t;k), \\ \widehat M_{+}(x,t;k)&=M_{-}(x,t;k)\widehat J(x,t;k)+\widehat M_{-}(x,t;k)J(x,t;k),\quad k^4\in\mathbb{R}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Матрицы $M_{+}$, $M_{-}$, $\widehat M_{+}$, $\widehat M_{-}$ задаются как
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} M_{+}(x,t;k)&=\begin{cases} M^{(1)}_{+}(x,t;k), & k\in D_3, \\ M^{(2)}_{+}(x,t;k), & k\in D_1, \end{cases}&\quad M_{-}(x,t;k)&=\begin{cases} M^{(1)}_{+}(x,t;k), & k\in D_4, \\ M^{(2)}_{-}(x,t;k), & k\in D_2, \end{cases} \\ \widehat M_{+}(x,t;k)&=\begin{cases} \widehat M^{(1)}_{+}(x,t;k), & k\in D_3, \\ \widehat M^{(2)}_{+}(x,t;k), & k\in D_1, \end{cases} &\quad \widehat M_{-}(x,t;k)&=\begin{cases} \widehat M^{(1)}_{-}(x,t;k), & k\in D_4, \\ \widehat M^{(2)}_{-}(x,t;k), & k\in D_2, \end{cases} \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M^{(1)}_{+}(x,t;k)&=\biggl(\frac{\mu_1^{D_3\cup D_4}(x,t;k)}{\varepsilon(k)},\mu_2^{D_3}(x,t;k)\biggr), \\ M^{(1)}_{-}(x,t;k)&=\biggl(\frac{\mu_1^{D_3\cup D_4}(x,t;k)}{a(\bar k)},\mu_3^{D_4}(x,t;k)\biggr), \\ M^{(2)}_{+}(x,t;k)&=\biggl(\mu_3^{D_1}(x,t;k),\frac{\mu_1^{D_1\cup D_2}(x,t;k)}{a(k)}\biggr), \\ M^{(2)}_{-}(x,t;k)&=\biggl(\mu_2^{D_2}(x,t;k),\frac{\mu_1^{D_1\cup D_2}(x,t;k)}{\bar\varepsilon(\bar k)}\biggr), \\ \widehat M^{(1)}_{+}(x,t;k)&= \biggl(\frac{\varepsilon\hat\mu_1^{D_3\cup D_4}(x,t;k)-\hat\varepsilon\mu_1^{D_3\cup D_4}(x,t;k)}{\varepsilon^2(k)},\hat\mu_2^{D_3}(x,t;k)\bigg), \\ \widehat M^{(1)}_{-}(x,t;k)&= \biggl(\frac{a(\bar k)\hat\mu_1^{D_3\cup D_4}(x,t;k)-\hat a(\bar k)\mu_1^{D_3\cup D_4}(x,t;k)}{a^2(\bar k)},\hat\mu_3^{D_3}(x,t;k)\biggr), \\ \widehat M^{(2)}_{+}(x,t;k)&= \biggl(\hat\mu_3^{D_1}(x,t;k),\frac{a(k)\hat\mu_1^{D_1\cup D_2}(x,t;k)-\hat a(k)\mu_1^{D_1\cup D_2}(x,t;k)}{a^2(k)}\biggr), \\ \widehat M^{(2)}_{-}(x,t;k)&= \biggl(\hat\mu_2^{D_2}(x,t;k), \frac{\bar\varepsilon(\bar k)\hat\mu_1^{D_1\cup D_2}(x,t;k)-\bar{\hat\varepsilon}(\bar k)\mu_1^{D_1\cup D_2}(x,t;k)}{\bar\varepsilon^2(\bar k)}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
здесь
$$
\begin{equation*}
\varepsilon(k)=\bar a(\bar k)A(k)-\bar b(\bar k)B(k),\quad \hat\varepsilon(k)=\bar{\hat a}(\bar k)A(k)+\bar a(\bar k)\widehat A(k)-\bar{\hat b}(\bar k)B(k)-\bar b(\bar k)\widehat B(k).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть функции $\mu_j(x,t;k)$, $\hat\mu_j(x,t;k)$ ($j=1,2,3$) заданы формулами (2.20a)–(2.20f), а функции $M(x,t;k)$, $\widehat M(x,t;k)$ определяются глобальным соотношением. Условия скачка задаются следующими матрицами:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J(x,t;k)&=\begin{cases} J_1(x,t;k),& \operatorname{Arg} k=K\pi\;\,\text{или}\;\, \operatorname{Arg} k=K\pi+\pi/2,\\ J_2(x,t;k),& \operatorname{Arg} k=K\pi+\pi/4,\\ J_3(x,t;k),& \operatorname{Arg} k=K\pi+3\pi/4, \end{cases} \\ \widehat J(x,t;k)&=\begin{cases} \widehat J_1(x,t;k),& \operatorname{Arg} k=K\pi\;\,\text{или}\;\, \operatorname{Arg} k=K\pi+\pi/2,\\ \widehat J_2(x,t;k),& \operatorname{Arg} k=K\pi+\pi/4,\\ \widehat J_3(x,t;k),& \operatorname{Arg} k=K\pi+3\pi/4, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где $K$ – неотрицательное целое число и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_1(x,t;k)&=\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{b(k)}{\bar a(\bar k)}e^{-2i\alpha(k)} \\ -\dfrac{\bar b(\bar k)}{a(k)}e^{2i\alpha(k)} & \dfrac{1}{a(k)\bar a(\bar k)} \end{pmatrix}, \\ J_2(x,t;k)&=\begin{pmatrix} \dfrac{a(k)}{\bar\varepsilon(\bar k)} & 0 \\ - \kern1.7pt\overline{\vphantom{B}\kern5.6pt}\kern-7.4pt B\kern0.1pt (\bar k)e^{2i\alpha(k)} & \dfrac{\bar a(\bar k)}{a(k)} \end{pmatrix}, \\ J_3(x,t;k)&=\begin{pmatrix} \dfrac{\bar a(\bar k)}{a(k)} & B(k)e^{-2i\alpha(k)} \\ 0 & \dfrac{a(k)}{\bar a(\bar k)} \end{pmatrix}, \\ \widehat J_1(x,t;k)&=\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{\bar a(\bar k)\hat b(k)-\bar{\hat a}(\bar k)b(k)}{\overline{a^2}(\bar k)}e^{-2i\alpha(k)} \\ -\dfrac{\hat a(k)\bar b(\bar k)-a(k)\bar{\hat b}(\bar k)}{a^2(k)}e^{2i\alpha(k)} & \dfrac{1}{\hat a(k)\bar a(\bar k)+a(k)\bar{\hat a}(\bar k)} \end{pmatrix}, \\ \widehat J_2(x,t;k)&=\begin{pmatrix} \dfrac{\bar\varepsilon(\bar k)\hat a(k)-\bar{\hat\varepsilon}(\bar k)a(k)}{\overline{\varepsilon^2}(\bar k)} & 0 \\ - \kern1.7pt\overline{\vphantom{\widehat B}\kern5.6pt}\kern-7.4pt\widehat B\kern0.1pt (\bar k)e^{2i\alpha(k)} & \dfrac{\hat a(k)\bar a(\bar k)-a(k)\bar{\hat a}(\bar k)}{a^2(k)} \end{pmatrix}, \\ J_3(x,t;k)&=\begin{pmatrix} \dfrac{a(k)\bar{\hat a}(\bar k)-\hat a(k)\bar a(\bar k)}{a^2(k)} & \widehat B(k)e^{-2i\alpha(k)} \\ 0 & \dfrac{a(k)\bar{\hat a}(\bar k)-\hat a(k)\bar a(\bar k)}{\overline{a^2}(\bar k)} \end{pmatrix} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
с $\alpha(k)=k^2x+2k^4t$. Контуры ЗРГ показаны на рис. 3. Чтобы получить матрицы скачка, удовлетворяющие условию скачка, с помощью простых вычислений преобразуем уравнения (2.22) и (2.24) следующим образом [23]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bar a(\bar k)\mu^{D_1}_3+\bar b(\bar k)e^{2i\alpha(k)}\mu^{D_4}_3=\mu^{D_3\cup D_4}_1, \\ &\bar{\hat a}(\bar k)\mu^{D_1}_3+\bar a(\bar k)\hat\mu^{D_1}_3+(\bar{\hat b}(\bar k)\mu^{D_4}_3+\bar b(\bar k)\hat\mu^{D_4}_3)e^{2i\alpha(k)}=\hat\mu^{D_3\cup D_4}_1, \\ &b(k)e^{-2i\alpha(k)}\mu^{D_1}_3+a(k)\mu^{D_4}_3=\mu^{D_1\cup D_2}_1, \\ &(\hat b(k)\mu^{D_1}_3+b(k)\hat\mu^{D_1}_3)e^{-2i\alpha(k)}+\hat a(k)\mu^{D_4}_3+a(k)\hat\mu^{D_4}_3=\hat\mu^{D_1\cup D_2}_1, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \kern1.7pt\overline{\vphantom{A}\kern5.6pt}\kern-7.4pt A\kern0.1pt (\bar k)\mu^{D_1}_3+ \kern1.7pt\overline{\vphantom{B}\kern5.6pt}\kern-7.4pt B\kern0.1pt (\bar k)e^{2i\alpha(k)}\mu^{D_4}_3=\mu^{D_2}_2,\vphantom{|^{\Big|}} \\ & \kern1.7pt\overline{\vphantom{\widehat A}\kern5.6pt}\kern-7.4pt\widehat A\kern0.1pt (\bar k)\mu^{D_1}_3+ \kern1.7pt\overline{\vphantom{A}\kern5.6pt}\kern-7.4pt A\kern0.1pt (\bar k)\hat\mu^{D_1}_3+( \kern1.7pt\overline{\vphantom{\widehat B}\kern5.6pt}\kern-7.4pt\widehat B\kern0.1pt (\bar k)\mu^{D_4}_3+ \kern1.7pt\overline{\vphantom{B}\kern5.6pt}\kern-7.4pt B\kern0.1pt (\bar k)\hat\mu^{D_4}_3)e^{2i\alpha(k)}=\hat\mu^{D_2}_2, \\ &B(k)e^{-2i\alpha(k)}\mu^{D_1}_3+A(k)\mu^{D_4}_3=\mu^{D_3}_2, \\ &(\widehat B(k)\mu^{D_1}_3+B(k)\hat\mu^{D_1}_3)e^{-2i\alpha(k)}+\widehat A(k)\mu^{D_4}_3+A(k)\hat\mu^{D_4}_3=\hat\mu^{D_3}_2,\\ \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bar\varepsilon(\bar k)\mu^{D_3\cup D_4}_1+\bar{\epsilon}(\bar k)e^{2i\alpha(k)}\mu^{D_1\cup D_2}_1=\mu^{D_2}_2,\vphantom{|^{\Big|}} \\ &\bar{\hat\varepsilon}(\bar k)\mu^{D_3\cup D_4}_1+\bar\varepsilon(\bar k)\hat\mu^{D_3\cup D_4}_1+ (\bar{\hat\varepsilon}(\bar k)\mu^{D_1\cup D_2}_1+\bar\varepsilon(\bar k)\hat\mu^{D_1\cup D_1}_1)e^{2i\alpha(k)}=\hat\mu^{D_2}_2, \\ &\epsilon(k)e^{-2i\alpha(k)}\mu^{D_3\cup D_4}_1+\varepsilon(k)\mu^{D_1\cup D_2}_1=\mu^{D_3}_2, \\ &(\hat{\epsilon}(k)\mu^{D_3\cup D_4}_1+\epsilon(k)\hat\mu^{D_3\cup D_4}_1)e^{-2i\alpha(k)}+ \hat\varepsilon(k)\mu^{D_1\cup D_2}_1+\varepsilon(k)\hat\mu^{D_1\cup D_2}_1=\hat\mu^{D_3}_2, \\ \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\epsilon(k)=a(k)B(k)-b(k)A(k),\quad \hat{\epsilon}(k)=\hat a(k)B(k)+a(k)\widehat B(k)-\hat b(k)A(k)-b(k)\widehat A(k).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда согласно [6] матрицы скачка удовлетворят условию скачка. 4.1. Условия на вычеты для ЗРГИз вида матриц $M(x,t;k)$ и $\widehat M(x,t;k)$ следует, что возможные полюсы матричных функций $M(x,t;k)$ и $\widehat M(x,t;k)$ возникают из нулей функций $a(k)$, $\varepsilon(k)$ и комплексно-сопряженных к этим нулям. Функции $a(k)$ и $\varepsilon(k)$ являются четными, поэтому каждый их ноль $k_j$ сопровождается нулем $-k_j$. Таким образом, функции $a(k)$ и $\varepsilon(k)$ имеют четное количество нулей. Предположим, что: • функция $a(k)$ имеет $2\kappa$ простых нулей ($2\kappa=2\kappa_1+2\kappa_2$), причем $2\kappa_1$ нулей $k_j$ с $j=1,2,\ldots,2\kappa_1$ лежат в $D_1$, а $2\kappa_2$ нулей $\bar k_j$ с $j=2\kappa_1+1,2\kappa_1+2,\ldots,2\kappa$ лежат в $D_2$; • функция $\varepsilon(k)$ имеет $2\theta$ простых нулей ($2\theta=2\theta_1+2\theta_2$), причем $2\theta_1$ нулей $\vartheta_j$ с $j=1,2,\ldots,2\theta_1$ лежат в $D_3$, а $2\theta_2$ нулей $\bar\vartheta_j$ с $j=2\theta_1+1,2\theta_1+2,\ldots,2\theta$ лежат в $D_2$; • ни один из нулей функции $a(k)$ не совпадает ни с каким нулем функции $\varepsilon(k)$. Пользуясь выражениями для спектральных функций и глобальным соотношением, можно найти вычеты функций $M(x,t;k)$, $\widehat M(x,t;k)$ в соответствующих полюсах. Для простоты представления вычетов введем обозначения $[M^{i}_{\pm}(x,t;k)]_1$, $[\widehat M^{i}_{\pm}(x ,t;k)]_1$ для первых столбцов и обозначения $[M^{i}_{\pm}(x,t;k)]_2$, $\widehat M^{i}_{\pm}(x,t;k)]_2$ для вторых столбцов матриц $M^{i}(x,t;k)$, $\widehat M^{i}(x,t;k)$ ($i=1,2$), которые образуют матрицы $M(x,t;k)$, $\widehat M(x,t;k)$ в (4.2). Введем обозначения $\dot\varepsilon(k)=d\varepsilon/dk$, $\dot a(k)=da/dk$. Справедлива следующая теорема. Теорема 1. Имеют место следующие соотношения для вычетов: Доказательство. Рассмотрим матрицу Теперь аналогично рассмотрим матрицу
$$
\begin{equation*}
\widehat M^{(2)}_{+}(x,t;k)= \biggl(\hat\mu_3^{D_1}(x,t;k),\frac{a(k)\hat\mu_1^{D_1\cup D_2}(x,t;k)-\hat a(k)\mu_1^{D_1\cup D_2}(x,t;k)}{a^2(k)}\biggr),\quad k\in D_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Как и в случае матрицы $M^{(2)}_{+}(x,t;k)$, c учетом того, что простые нули функции $a(k)$ являются простыми полюсами функции $\frac{a(k)\hat\mu_1^{D_1\cup D_2}(x,t;k)-\hat a(k)\mu_1^{D_1\cup D_2}(x,t;k)}{a^2(k)}$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathop{\rm Res}\limits _{k=k_j}\{[\widehat M^2_{+}(x,t;k)]_2\}&= \mathop{\rm Res}\limits _{k=k_j}\biggl\{\frac{a(k)\hat\mu_1^{D_1\cup D_2}(x,t;k)-\hat a(k)\mu_1^{D_1\cup D_2}(x,t;k)}{a^2(k)}\biggr\}= \\ &=\lim_{k\to k_j}\frac{d}{dk}\biggl[(k-k_j)^2\frac{-\hat a(k_j)\mu_1^{D_1\cup D_2}(x,t;k_j)}{a^2(k)}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Формулы для вычетов при $k=\vartheta_j$ и $k=\bar\vartheta_j$ получаются аналогично. 4.2. Обратная задача для ЗРГПотенциалы $q(x,t)$, $\tilde q(x,t)$ можно восстановить из спектральных функций $\mu_j$, $\hat\mu_j$ ($j=1,2,3$), решая обратную задачу. Из соотношений (2.7) и (2.8) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q(x,t)&=2im(x,t)\exp\biggl[2i\int_{(0,0)}^{(x,t)}\Delta_1\biggr], \\ \tilde q(x,t)&=-4m(x,t)\int_{(0,0)}^{(x,t)}\Delta_1\cdot\exp\biggl[2i\int_{(0,0)}^{(x,t)}\Delta_2\biggr]+ 2i\widehat m(x,t)\exp\biggl[2i\int_{(0,0)}^{(x,t)}\Delta_1\biggr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
где функции $\mu$ и $\hat\mu$ определены уравнениями (2.15). В соответствии с выражениями для $q(x,t)$, $\hat q(x,t)$ и их комплексно-сопряженных имеем
$$
\begin{equation*}
rq=4|m|^2,\qquad r\tilde q+\tilde rq= 8m\widehat m-16|m|^2\int_{(0,0)}^{(x,t)}\Delta_1\sin\biggl[\int_{(0,0)}^{(x,t)}2(\Delta_2-\Delta_1)\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично $\Delta_1$, $\Delta_2$ выражаются через $m$, $\overline m$, $\widehat m$ и $\overline{\widehat m}$. Таким образом, решение обратной задачи получается следующим образом: 1) находим $m(x,t)=\lim_{k\to\infty}(k\mu_j(x,t;k))_{12}$ и $\widehat m(x,t)=\lim_{k\to\infty}(k\hat\mu_j(x,t;k))_{12}$; 2) вычисляем $\Delta_1(x,t)$, $\Delta_2(x,t)$ по формулам (2.14); 3) находим $q(x,t), \tilde q(x,t)$ по формулам (4.7). 4.3. Спектральные функции основной ЗРГВ соответствии со свойствами спектральных функций определим эти функции следующим образом. Определение 2. Для заданных начальных данных $q_0(x)$, $\tilde q_0(x)$ и спектральных функций определим отображение Определение 3. Зададим отображение $\mathbb{Q}_1$, обратное к $\mathbb{S}_1$, Предложение 1. Функции $M^{(x)}(x;k)$ и $\widehat M^{(x)}(x;k)$ являются единственными решениями следующей ЗРГ: Доказательство. Рассуждая так же, как при доказательстве теоремы 1, заключаем, что матрицы $M^{(x)}(x;k)$, $\widehat M^{(x)}(x;k)$ удовлетворяют условию на вычеты и асимптотическим свойствам. Определение 4. Пусть $g_0(t)$, $\tilde g_0(t)$ и $g_1(t)$, $\tilde g_1(t)$ – гладкие функции. Зададим отображение Определение 5. Зададим отображение $\mathbb{Q}_2$, обратное к $\mathbb{S}_2$, Матрицы $M^{(t)}(t;k)$ и $\widehat M^{(t)}(t;k)$ при $k\to\infty$ можно записать следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, M^{(t)}(t;k)&=I+\frac{m^{(1)}(k)}{k}+\frac{m^{(2)}(k)}{k^2}+\frac{m^{(3)}(k)}{k^3}+O\biggl(\frac{1}{k^4}\biggr), \\ \widehat M^{(t)}(t;k)&=I+\frac{\widehat m^{(1)}(k)}{k}+\frac{\widehat m^{(2)}(k)}{k^2}+\frac{\widehat m^{(3)}(k)}{k^3}+O\biggl(\frac{1}{k^4}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Предложение 2. Функции $M^{(t)}(t;k)$ и $\widehat M^{(t)}(t;k)$ являются единственными решениями следующей ЗРГ: 5. ЗаключениеТак называемый метод единого преобразования Фокаса по существу сводит решение интегрируемых эволюционных уравнений на полупрямой к решению соответствующей матричной ЗРГ для начально-краевых задач. Таким образом, если начальное и краевое значения и заданные спектральные функции удовлетворяют глобальному условию, то решения $q(x,t)$, $\tilde q(x,t)$, которые мы получаем из ЗРГ, существуют. Это доказывает, что сНУШ разрешимы в указанной области. Сформулируем следующее предложение, составляющее основной результат представленной работы. Предложение 3. Пусть $q_0(x),\tilde q_0(x)\in S(\mathbb{R}^{+})$ суть гладкие функции. Пусть краевые функции $g_0(t)$, $\tilde g_0(t)$ и $g_1(t)$, $\tilde g_1(t)$ и начальные функции $q_0(x)$, $\tilde q_0(x)$ согласованны при $x=0$, $t=0$. Зададим спектральные функции через $g_0(t)$, $\tilde g_0(t)$, $g_1(t)$ и $\tilde g_1(t)$, $q_0(x)$, $\tilde q_0(x)$ в соответствии с определением 5. При $k\to\infty$ глобальное соотношение записывается как Зададим функции $q(x,t)$, $\tilde q(x,t)$ через матрицы $M(x,t;k)$ и $\widehat M(x,t;k)$ как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q(x,t)&=2im(x,t)\exp\biggl[2i\int_{(0,0)}^{(x,t)}\Delta\biggr], \\ \tilde q(x,t)&=-4m(x,t)\int_{(0,0)}^{(x,t)}\Delta\cdot\exp\biggl[2i\int_{(0,0)}^{(x,t)}\Delta\biggr]+ 2i\widehat m(x,t)\exp\biggl[2i\int_{(0,0)}^{(x,t)}\Delta\biggr], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
m(x,t)=\lim_{k\to\infty}(kM(x,t;k))_{12},\qquad\widehat m(x,t)=\lim_{k\to\infty}(k\widehat M(x,t;k))_{12}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $q(x,t)$, $\tilde q(x,t)$ являются решениями сНУШ (1.1) и Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{WanLi24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|