| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях) Солитоны в полубесконечном ферромагнетике с анизотропией типа “легкая ось” В. В. Киселевab a Институт физики металлов им. М. Н. Михеева Уральского отделения Российской академии наук, Екатеринбург, Россия b Физико-технологический институт УрФУ, Екатеринбург, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 219, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924040068 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеК настоящему времени наиболее полно изучена нелинейная динамика квазиодномерных солитонов и волн в протяженных магнитных средах [1]–[3]. Дело в том, что основные уравнения теории магнетизма часто допускают представления в форме условий коммутативности двух дифференциальных операторов. В безграничных образцах эти представления используются для отображения распределений намагниченности в данные рассеяния вспомогательных спектральных задач. Эволюция данных рассения определяется линейными уравнениями и вычисляется явно по начальным распределениям намагниченности. Обратное отображение дает полное решение каждой конкретной начально-краевой задачи. К сожалению, эта техника (метод обратной задачи рассеяния) сталкивается со значительными трудностями при ее распространении на системы конечных размеров. Для ограниченных образцов нет простого отображения начально-краевых условий в данные рассеяния [4]–[6]. Исключения составляют полубесконечные образцы с выделенным классом граничных условий [7]–[10]. Для них, в принципе, возможен подход, аналогичный методу “изображений” в электростатике [11]–[13]. Исходную начально-краевую задачу на полуоси (пространственная координата $0 \leqslant x< \infty$) по определенной симметрии продолжают на всю ось $-\infty<x<\infty$. После этого задача решается по традиционной схеме интегрирования нелинейной модели на всей оси. Для базовых уравнений магнетизма физически содержательные интегрируемые краевые условия выявлены в работе [14]. Однако нелинейная динамика намагниченности в полубесконечных образцах до сих пор практически не изучена. В работах [15], [16] в рамках нелинейного уравнения Шредингера и уравнения Ландау– Лифшица для изотропного гейзенберговского ферромагнетика проанализированы особенности магнитных солитонов в полубесконечных образцах. Взаимодействие солитонов с границей образца приводит к особым динамическим свойствам, которые отсутствуют в бесконечной среде и полезны для технических приложений. В настоящей работе мы учитываем влияние кристаллографической магнитной анизотропии и исследуем нелинейную динамику легкоосного ферромагнетика в полубесконечном образце с энергией:
$$
\begin{equation}
H =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} dx\,[\alpha(\partial_{x} \mathbf{M})^2-K (M_3^2-M_0^2 )]+h M_3 (x, t)|_{x=0}.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Здесь $\mathbf{M}(x, t)$ – намагниченность среды ($\mathbf{M}^2 (x, t)=M_0^2=\mathrm{const}$), $\alpha>0$ и $K>0$ – постоянные обменного взаимодействия и магнитной анизотропии, $h \mathbf{e}$ – внешнее магнитное поле вдоль границы $x=0$ образца или эффективное поле однонаправленной анизотропии поверхностных спинов [17]–[19], $\mathbf{e}=(0, 0, 1)$; $0 \leqslant x <\infty$ и $0 \leqslant t < \infty$ – пространственная координата и время. После перехода к безразмерным переменным
$$
\begin{equation*}
x'=x \sqrt{\frac{K}{\alpha}},\qquad t'=\gamma M_0 Kt, \qquad h' =\frac{h}{M_0 \sqrt{K \alpha}}, \qquad \mathbf{n}=-\frac{\mathbf{M}}{M_0},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma$ – магнитомеханическое отношение, $M_0$ – номинальная намагниченность, уравнение Ландау–Лифшица для расчета нормированной намагниченности $\mathbf{n}(x,t)$ принимает вид
$$
\begin{equation}
\partial_{t'} \mathbf{n}=[\mathbf{n} \times (\partial_{x'}^2 \mathbf{n}+\mathbf{e} (\mathbf{n} \cdot \mathbf{e}))], \qquad \mathbf{n}^2=1,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $0 < x' <\infty$, $0 < t' < \infty$, с интегрируемыми краевыми условиями
$$
\begin{equation}
\mathbf{n} \to \mathbf{e}, \quad\partial_{x'} \mathbf{n} \to 0 \qquad \text{при} \quad x' \to +\infty,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
$$
\begin{equation}
[\mathbf{n} \times (\partial_{x'}\mathbf{n}+h' \mathbf{e})]|_{x'=0}=0
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
и заданным начальным возмущением поля намагниченности Штрихи над безразмерными переменными далее опускаем. Выбор асимптотического краевого условия (1.3) соответствует минимуму энергии однородного основного состояния. Смешанное краевое условие (1.4) учитывает частичное закрепление спинов на границе $x=0$ образца. В предельных случаях $h=0$ и $|h| \to \infty$ получаем соответственно задачу при свободных краевых спинах
$$
\begin{equation}
[\mathbf{n} \times \partial_{x} \mathbf{n}] |_{x=0}=0
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
и задачу с полным закреплением спинов на границе образца Выбор знака в правой части (1.7) установим в ходе дальнейшего анализа. Отметим, что в работе [20] впервые получено простейшее нелинейное возбуждение, локализованное вблизи конца полуограниченной спиновой цепочки. Рассмотренная модель в континуальном приближении сводится к уравнению Ландау–Лифшица легкоосного ферромагнетика. Ее приближенное решение найдено при динамическом условии, учитывающем отсутствие соседей в области $x<0$ у краевого спина цепочки. В настоящей работе мы приводим полное исследование нелинейной динамики солитонов и дисперигирующих спиновых волн в полуограниченном легкоосном ферромагнетике с краевыми условиями, которые описывают частичное закрепление спинов на границе образца. Статья организована следующим образом. В разделе 2 обосновывается применение метода “изображений”. В разделе 3 приведены основные формулы, необходимые для описания нелинейной динамики полубесконечного образца. В разделе 4 получены и проанализированы два класса новых солитонов. Как и в [15], [16], первый из них содержит солитоны, локализованные около границы образца. Второй класс включает движущиеся солитоны, для которых характерны упругие столкновения друг с другом и с границей образца. Краевые солитоны имеют специфические частотные и модуляционные свойства. Движущиеся солитоны меняют структуру ядер в ходе столкновения с границей образца. В разделе 5 показано, что любое возмущение полубесконечного образца можно описать в терминах идеального газа магнитных солитонов и квазичастиц спектра спиновых волн. Получена серия новых законов сохранения, гарантирующих выполнение солитонами верных условий на границах образца. 2. Метод “изображений”Напомним, что при интегрировании модели Ландау–Лифшица
$$
\begin{equation}
\partial_{t} \mathbf{S}=[\mathbf{S} \times (\partial_{x}^2 \mathbf{S}+\mathbf{e} (\mathbf{S} \cdot \mathbf{e}))], \qquad \mathbf{S}^2=1,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
на интервале $-\infty<x<\infty$ поле $\mathbf{S}(x,t)$ предполагается дифференцируемым нужное число раз по переменным $x, t$. Тогда уравнение (2.1) эквивалентно условию коммутативности двух дифференциальных операторов [3], [21]:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, [\partial_x - L, \partial_t - A]=0, \\ L= -i\sum_{\alpha=1}^{3} w_\alpha (\lambda)S_\alpha \sigma_\alpha, \qquad A =-i\sum_{\alpha=1}^{3}(w_\alpha(\lambda) [\mathbf{S} \times \partial_x \mathbf{S}]_\alpha+2 a_\alpha (\lambda) S_\alpha) \sigma_\alpha, \notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $w_\alpha(\lambda)$ – рациональные функции спектрального параметра:
$$
\begin{equation*}
w_1=w_2 = \frac{1}{4}(\lambda+\lambda^{-1}),\qquad w_3 = \frac{1}{4}(\lambda-\lambda^{-1}),
\end{equation*}
\notag
$$
$\sigma_\alpha$ – матрицы Паули, $a_1 (\lambda) =-w_2 (\lambda) w_3 (\lambda)$ (циклическая перестановка индексов $1,2,3$ для других коэффициентов $a_\alpha(\lambda)$). Представление (2.2) перепишем в проинтегрированном виде. Для этого введем матрицу трансляции $T_0 (x, y, \lambda)$ вдоль оси $Ox$ из точки $y$ в точку $x$ [21]. Здесь и далее, где это не вызывает недоразумений, не указываем зависимость функций от времени $t$. Матричная функция $T_0$ удовлетворяет уравнениям
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \partial_x T_0(x, y, \lambda) = L(x, \lambda) T_0(x, y, \lambda),\qquad \partial_y T_0(x, y, \lambda) = - T_0(x, y, \lambda) L(y, \lambda), \\ \partial_t T_0(x, y, \lambda) =A(x, \lambda) T_0(x, y, \lambda) - T_0(x, y, \lambda) A(y, \lambda) \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
с нормировочным условием $T_0(x, x, \lambda)=I$, где $I$ – единичная матрица. Отсюда ввиду бесследовости матрицы $L$ получаем $\det T_0(x, y, \lambda) = 1$. Справедливо свойство суперпозиции:
$$
\begin{equation*}
T_0(x, y, \lambda) T_0(y, z, \lambda)=T_0(x, z, \lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку матрицы $L(\lambda)$ и $A(\lambda)$ имеют специальный вид:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} L(-\lambda^{-1}) &= \sigma_3 L(\lambda) \sigma_3, &\qquad L^*(\lambda^*) &= \sigma_2 L(\lambda) \sigma_2,\\ A(-\lambda^{-1}) &= \sigma_3 A(\lambda) \sigma_3, &\qquad A^*(\lambda^*) &= \sigma_2 A(\lambda) \sigma_2, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
из (2.3) следуют свойства инволюции
$$
\begin{equation*}
T_0(x, y, -\lambda^{-1}) = \sigma_3 T_0(x, y, \lambda) \sigma_3, \qquad T_0^*(x, y, \lambda^*) = \sigma_2 T_0(x, y, \lambda) \sigma_2 .
\end{equation*}
\notag
$$
Для включения начально-краевой задачи (1.2)–(1.5) на полуоси $0 \leqslant x< \infty$ в традиционную схему метода обратной задачи рассеяния продолжим поле $\mathbf{n}(x, t)$ четным образом на отрицательную полуось:
$$
\begin{equation}
\mathbf{S}(x, t)=\begin{cases} \mathbf{n}(x, t), & 0 \leqslant x <+\infty, \\ \mathbf{n}(-x, t), & -\infty<x < 0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Продолжение $\mathbf{S}(x, t)$ непрерывно в точке $x=0$:
$$
\begin{equation}
\mathbf{S}(-0, t)=\mathbf{S}(+0, t)=\mathbf{n}(x=+0, t),
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
но его первая производная по координате $x$ имеет скачок:
$$
\begin{equation*}
\partial_x \mathbf{S}|_{x=+0}-\partial_x \mathbf{S}|_{x=-0}=2 \partial_x \mathbf{n}|_{x=+0}.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом этих формул исходное краевое условие (1.4) для поля $\mathbf{n}(x, t)$ будем трактовать как дополнительные ограничения на выбор функции $\mathbf{S}(x, t)$:
$$
\begin{equation}
\Delta \mathbf{S}|_{x=0}=0, \qquad [\mathbf{S} \times (\Delta \partial_x \mathbf{S} + 2 h \mathbf{e})]|_{x=0}=0,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где $\Delta f|_{x=0}=f(x=+0)-f(x=-0)$. В работе [14] показано, что ограничение (2.6) равносильно матричной связи
$$
\begin{equation}
A_{+}(\lambda) K(\lambda) - K(\lambda) A_{-}(\lambda)=0,
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где $A_\pm (\lambda) \equiv A(x, \lambda)|_{x = \pm 0}$, $K(\lambda)=2 w_3 (\lambda) I+ ih \sigma_3$. Следуя [11], [12], для учета связи (2.7) модифицируем $T_0 (x, y, \lambda)$ и введем новую матрицу трансляции
$$
\begin{equation}
T(x, y, \lambda)=\begin{cases} T_0 (x, y, \lambda),& x y>0, \\ T_0 (x, +0,\lambda) K(\lambda) T_0 (-0, y, \lambda),& x>0>y, \\ T_0 (x, -0,\lambda) K^{-1}(\lambda) T_0 (+0, y, \lambda),& x<0<y, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
которая не является унимодулярной:
$$
\begin{equation*}
\det T(x, y, \lambda)=[4 w_3^2 (\lambda)+h^2]^{(\operatorname{sgn} x - \operatorname{sgn} y)/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для нее изменяются прежние свойства нормировки и суперпозиции:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &T(x, x, \lambda)=I \quad \text{при}\quad x\ne 0,\qquad T(x, y, \lambda)=T^{-1}(y, x, \lambda), \\ &T(+0, -0, \lambda)=T^{-1}(-0, +0, \lambda)=K(\lambda), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
но сохраняются инволюции:
$$
\begin{equation}
T(x, y, -\lambda^{-1}) = \sigma_3 T(x, y, \lambda) \sigma_3, \qquad T^*(x, y, \lambda^*) = \sigma_2 T(x, y, \lambda) \sigma_2.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Согласно (2.3), (2.8) матрица переноса $T(x, y, \lambda)$ удовлетворяет дифференциальным уравнениям
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \partial_x T(x, y, \lambda) = L(x, \lambda) T(x, y, \lambda),\qquad \partial_y T(x, y, \lambda) = -T(x, y, \lambda) L(y, \lambda),\\ \partial_t T(x, y, \lambda) =A(x, \lambda) T(x, y, \lambda) - T(x, y, \lambda) A(y, \lambda), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
которые совпадают с уравнениями (2.3) для $T_0(x, y, \lambda)$ на интервале $-\infty<x< \infty$. Это позволяет включить начально-краевую задачу (1.2)–(1.5) для уравнения Ландау– Лифшица на полуоси в традиционную схему метода обратной задачи рассеяния на интервале $-\infty<x<\infty$. Отличия связаны с необходимостью учета дополнительной симметрии поля $\mathbf{S}(x, t)$: Остановимся на этом подробнее.
3. Функции Йоста и спектральные данныеСимметрия (2.12) порождает новые свойства операторов:
$$
\begin{equation*}
A(-x, -\lambda) = A(x, \lambda), \qquad L(-x, -\lambda) = -L(x, \lambda), \qquad (4 w_3^2 (\lambda)+h^2) K^{-1}(\lambda)=-K(-\lambda),
\end{equation*}
\notag
$$
с учетом которых из (2.11) следует пропорциональность матриц переноса $T(x, y, \lambda)$ и $T(-x, -y, -\lambda)$. Коэффициент пропорциональности фиксируется последним равенством (2.9):
$$
\begin{equation}
T(x, y, \lambda) = \operatorname{sgn}(x y) T(-x, -y, -\lambda)\,[4 w_3^2 (\lambda)+h^2]^{(\operatorname{sgn} x -\operatorname{sgn} y)/2}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Следуя стандартной схеме метода обратной задачи рассеяния для неограниченной среды, введем функции Йоста:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & T_\pm (x, \lambda, t)=\lim_{y \to \pm \infty} [T(x, y, \lambda) e^{-i w_3(\lambda) y\sigma_3}], \notag\\ & \det T_\pm (x, \lambda) = [4 w_3^2 (\lambda)+h^2]^{(\operatorname{sgn} x \mp 1)/2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Они служат базисными решениями вспомогательной линейной системы при асимптотических краевых условиях
$$
\begin{equation}
T_{\pm}(x, t, \lambda) \to \varphi_0 (x, \lambda) \equiv e^{-i w_3(\lambda) x\sigma_3}, \qquad x \to \pm \infty,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
которые согласованы с поведением при $x \to \pm \infty$ исходного поля $\mathbf{n}(x, t)$ (1.3). На вещественной $\lambda$-оси решения Йоста определены одновременно и поэтому связаны между собой матрицей перехода $Q(\lambda)$:
$$
\begin{equation}
T_{-} (x, \lambda)=T_{+} (x, \lambda) Q(\lambda) , \qquad \lambda \in \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Далее будем использовать обозначения $\Psi^{(1)}$ и $\Psi^{(2)}$ для первого и второго столбцов матрицы $\Psi$. Векторы-столбцы $T_{-}^{(1)}(x, \lambda)$ и $T_{+}^{(2)}(x, \lambda)$ матриц $T_\pm (x, \lambda)$ аналитически продолжаются с вещественной $\lambda$-оси в область $\operatorname{Im} \lambda>0$, а столбцы $T_{-}^{(2)}(x, \lambda)$ и $T_{+}^{(1)}(x, \lambda)$ являются аналитическими функциями в нижней полуплоскости $\operatorname{Im} \lambda< 0$, кроме, возможно, простых полюсов функции $T_{+}(x, \lambda)$ в точках, являющихся корнями уравнений: $2 w_3(\lambda) \pm ih=0$. Эти полюсы унаследованы от матрицы $K^{-1}(\lambda)$ (см. (2.8), (3.2)). Свойства симметрии матрицы трансляций (2.10), (3.1) и асимптотических условий (3.4) переносятся на решения Йоста (3.2) и продолжаются с вещественной $\lambda$-оси в комплексную плоскость:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &T_\pm^*(x, \lambda^*)=\sigma_2 T_\pm (x, \lambda) \sigma_2, \qquad T_\pm (x, -\lambda^{-1})=\sigma_3 T_\pm (x, \lambda) \sigma_3, \notag\\ &T_\pm (x, \lambda) = \pm \operatorname{sgn} x\sigma_2 T_\mp^*(-x, -\lambda^*) \sigma_2 [4 w_3^2 (\lambda)+h^2]^{(\operatorname{sgn} x \mp 1)/2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Эти соотношения конкретизируют алгебраическую структуру матрицы перехода:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Q(\lambda)=\begin{pmatrix} a(\lambda) & - \bar{b}(\lambda) \\ b(\lambda)&\bar{a}(\lambda) \end{pmatrix}, \qquad a(\lambda)\bar{a}(\lambda)+b(\lambda)\bar{b}(\lambda)=4 w_3^2 (\lambda)+h^2,\\ a(\lambda)=a(-\lambda^{-1})=-a^*(-\lambda^*),\quad \operatorname{Im} \lambda \geqslant 0, \qquad \bar{a}(\lambda)=a^*(\lambda^*),\quad \operatorname{Im} \lambda \leqslant 0, \\ \bar{b}(\lambda)=b^*(\lambda), \qquad b(-\lambda)=b(\lambda)=-b(-\lambda^{-1}),\qquad \lambda \in \mathbb{R}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
При записи формул (3.7) для $a(\lambda)$ и $\bar{a}(\lambda)$ мы учли, что связь решений Йоста (3.5) приводит к представлениям
$$
\begin{equation}
a(\lambda)= \frac{\det[T_{-}^{(1)}(x, \lambda),T_{+}^{(2)}(x, \lambda)]}{\det T_{+}(x, \lambda)}, \qquad \bar{a}(\lambda)= \frac{\det[T_{+}^{(1)}(x, \lambda),T_{-}^{(2)}(x, \lambda)]}{\det T_{+}(x, \lambda)},
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
где $\det T_{+}(x, \lambda)=[4 w_3^2 (\lambda)+h^2]^{(\operatorname{sgn} x - 1)/2}$. Отсюда следует, что функции $a(\lambda)$ и $\bar{a}(\lambda)$ аналитически продолжаются с вещественной $\lambda$-оси в области $\operatorname{Im} \lambda>0$ и $\operatorname{Im} \lambda<0$ соответственно (за исключением, может быть, точек, где $2 w_3 (\lambda) \pm i h =0$). В области своей аналитичности функция $a(\lambda)$ может иметь нули $\lambda\!=\!\lambda_j$ ($\operatorname{Im} \lambda_j\!> 0$), которые будем предполагать простыми. Кроме того, она может обращаться в нуль в точках $\lambda=\lambda_0$ ($\operatorname{Im} \lambda_0>0$), являющихся корнями уравнений $2 w_3 (\lambda) \pm i h =0$. Далее покажем, что нули $\lambda_j$ параметризуют солитоны, а нули $\lambda_0$ не определяют солитонных состояний. Положения нулей коэффициента $a(\lambda)$, если они есть, должны удовлетворять ограничениям (3.7):
$$
\begin{equation*}
a(\lambda_j)=a(-\lambda^{-1}_j)=-a^*(-\lambda^*_j)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому мнимые нули входят парами:
$$
\begin{equation}
\lambda=ib_s, \, ib_s^{-1},\qquad b_s>0,\qquad s=1,2,\ldots, M,
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
а комплексные нули объединяются в “квартеты”:
$$
\begin{equation}
\lambda =\lambda_k,\;-\lambda_k^{-1},\;-\lambda_k^*,\;(\lambda_k^*)^{-1},\qquad \operatorname{Im} \lambda_k>0,\qquad k=1,2,\ldots, N.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Из представления (3.8) следует, что условие $a(\lambda_j)=0$ означает пропорциональность столбцов $T_{-}^{(1)}(x, \lambda_j)$ и $T_{+}^{(2)}(x, \lambda_j)$:
$$
\begin{equation}
T_{-}^{(1)}(x, \lambda_j)=\gamma(\lambda_j)T_{+}^{(2)}(x, \lambda_j).
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Редукции (3.6) приводят к ограничениям на выбор нормировочных постоянных $\gamma(\lambda_j)$:
$$
\begin{equation}
\gamma(ib_s^{-1})=-\gamma(ib_s),\qquad |\gamma(ib_s)|^2 =4 w_3^2 (ib_s)+h^2 >0, \qquad s=1,2,\ldots, M;
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
$$
\begin{equation}
\gamma(-\lambda_k^{-1})=-\gamma(\lambda_k),\qquad \gamma(\lambda_k) \gamma(-\lambda_k^*)=4 w_3^2(\lambda_k)+h^2, \qquad k=1,2,\ldots, N.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Соотношения (3.12) выполняются только при Матрица перехода $Q(\lambda)$ не зависит от координаты $x$. Поэтому с помощью формул (2.8), (2.9), (3.5), (3.6) получим для нее представление, полезное для дальнейшего анализа:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Q(\lambda)&=T_{+}^{-1}(x, \lambda)|_{x=+0}\, K(\lambda) T_{-}(x, \lambda)|_{x=-0}={} \notag\\ &=\sigma_2 T_{+}^{\mathrm{T}}(x, \lambda)|_{x=+0}\, \sigma_2 K(\lambda) \sigma_2 T_{+}^*(x, -\lambda^*)|_{x=+0}\, \sigma_2 ={} \notag\\ &=T^\unicode{8224}_{+}(x, \lambda^*)|_{x=+0}\, K(\lambda) \sigma_2 T_{+}^*(x, -\lambda^*)|_{x=+0}\, \sigma_2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Здесь верхний индекс Т обозначает операцию транспонирования, а знак $\unicode{8224}$ – операцию эрмитова сопряжения. Матричный элемент $a(\lambda)$ вычислим с помощью предпоследней формулы в цепочке (3.15):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a(\lambda)={}& (2 w_3(\lambda)+ ih)[T_{+}(x, \lambda)|_{x=+0}]_{22} [T_{+}^*(x, -\lambda^*)|_{x=+0}]_{22} +{} \notag\\ &+(2 w_3(\lambda)- ih)[T_{+}(x, \lambda)|_{x=+0}]_{12} [T_{+}^*(x, -\lambda^*)|_{x=+0}]_{12}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Для расчета $b(\lambda)$ воспользуемся последним выражением в правой части (3.15). Тогда элемент $b(\lambda)$ будет выражен через те же функции, что и $a(\lambda)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, b(\lambda)={}&(2 w_3(\lambda)+ ih)[T_{+}^*(x, \lambda^*)|_{x=+0}]_{12} [T_{+}^*(x, -\lambda^*)|_{x=+0}]_{22} -{} \notag\\ &-(2 w_3(\lambda)- ih)[T_{+}^*(x, \lambda^*)|_{x=+0}]_{22} [T_{+}^*(x, -\lambda^*)|_{x=+0}]_{12}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Функция $b(\lambda)$ определена при значениях $\lambda \in \mathbb{R}$. Поэтому в правой части (3.17) следует брать пределы компонент вектора $T_{+}^{(2)}(\lambda)$ из области их определения $\operatorname{Im} \lambda> 0$ на вещественную $\lambda$-ось. Для построения решений уравнения Ландау–Лифшица (1.2) и законов сохранения нам потребуется информация об асимптотическом поведении функции $a(\lambda)$ при $\lambda \to \infty$. Согласно (3.16) нахождение ряда по степеням $\lambda^{-1}$ для $a(\lambda)$ сводится к разложению функции Йоста $T_{+}(x, \lambda)$ при $x>0$, $|\lambda|\gg 1$. Необходимое решение системы (3.3), (3.4) будем искать в виде [3], [21]
$$
\begin{equation}
T_{+}(x, \lambda) =(I+\Phi(x, \lambda)) e^{-iw_3 (\lambda) x \sigma_3+Z(x, \lambda)},
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
где антидиагональную ($\Phi$) и диагональную ($Z$) матричные функции представим рядами:
$$
\begin{equation*}
\Phi(x, \lambda) =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Phi_n (x)}{\lambda^n},\qquad Z(x, \lambda) =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{Z_n (x)}{\lambda^n}
\end{equation*}
\notag
$$
с асимптотическим поведением
$$
\begin{equation*}
\Phi(x, \lambda) \to 0,\quad Z(x, \lambda) \to 0 \quad \text{при} \quad x \to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим (3.18) в уравнение (3.3) и отделим диагональную и антидиагональную части. После простых вычислений получим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Z(x, \lambda) = i\int_x^{\infty} [w_3 (\lambda) (n_3 (x')-1) \sigma_3 +w_1 (\lambda) [n_1 (x') \sigma_1 + n_2 (x') \sigma_2] \Phi(x',\lambda)]\, d x', \\ \partial_x \Phi + 2 i w_3 n_3 \sigma_3 \Phi - iw_1 \Phi (n_1 \sigma_1 + n_2 \sigma_2) \Phi +iw_1 (n_1 \sigma_1 + n_2 \sigma_2)=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\lambda$, последовательно вычисляем коэффициенты $\Phi_n (x)$ и $Z_n (x)$. Приведем первые из них:
$$
\begin{equation*}
\Phi_0 = \frac{(n_1 \sigma_1 + n_2 \sigma_2) \sigma_3}{1+n_3},\qquad 2 Z_0=\ln \frac{1+n_3}{2}+i\sigma_3 \int_{x}^{\infty}\, d x' p(x'),
\end{equation*}
\notag
$$
где $p(x)=(n_1 \partial_x n_2 - n_2 \partial_x n_1)/(1+n_3)$,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Phi_1 &= -2 i \partial_x \biggl(\frac{n_1 \sigma_1 + n_2 \sigma_2}{1+n_3} \biggr),\\ Z_1 &= -i\biggl(\frac{\sigma_3 \partial_x n_3}{1+n_3} -ip\biggr)+\frac{i\sigma_3}{2}\int_{x}^{\infty} d x'\, [(\partial_{x'}\mathbf{n})^2+1-n_3^2]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
При $x>0$, $|\lambda|\gg 1$ ведущий член асимптотического разложения функции $T_{+}(x, \lambda)$ имеет вид
$$
\begin{equation}
T_{+}(x, \lambda) =(I+\Phi_0(x)+O(\lambda^{-1}))\exp \biggl[-\frac{i\lambda x}{4} \sigma_3+Z_0(x)+O(\lambda^{-1}) \biggr].
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Асимптотическое разложение по степеням $\lambda^{-1}$ функции Йоста $T_{-}(x, \lambda)$ при $x>0$ получается из $T_{+}(x, \lambda)$ после формальной замены
$$
\begin{equation*}
\mathbf{n}(x) \to \mathbf{S}(x),\qquad \int_{x}^{+\infty} \to \int_{x}^{-\infty}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что при $x>0$ справедливо тождество
$$
\begin{equation*}
\int_{x}^{-\infty}d x' \biggl( \frac{S_1 \partial_{x'} S_2 - S_2 \partial_{x'} S_1}{1+S_3}\biggr)=\int_{x}^{+\infty} d x'\, p(x').
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом этих замечаний сравнение формул (2.8), (3.2) для $T_{+}(x, \lambda)$ и $T_{-}(x, \lambda)$ приводит к заключению, что главный член разложения $T_{-}(x, \lambda)$ при $x>0$, $|\lambda|\gg 1$ отличается от (3.21) только множителем $\lambda/2$, унаследованным от матрицы $K(\lambda)$:
$$
\begin{equation}
T_{-}(x, \lambda) = \frac{\lambda}{2}\,(I+\Phi_0(x)+O(\lambda^{-1}))\exp \biggl[-\frac{i\lambda x}{4} \sigma_3+Z_0(x)+O(\lambda^{-1}) \biggr] .
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Ряды для функций Йоста $T_{\pm}(x, \lambda)$ по степеням $|\lambda|\ll 1$ вблизи второй особой точки $\lambda=0$ восстанавливаются из асимптотических разложений при $|\lambda|\gg 1$ с помощью второй редукции (3.6). С учетом этих замечаний из представления (3.16) получаем следующие оценки:
$$
\begin{equation}
a(\lambda)=\frac{\lambda}{2}+O(1) \quad \text{при} \quad |\lambda|\gg 1;\quad a(\lambda)=-\frac{1}{2 \lambda}+O(1) \quad \text{при} \quad |\lambda|\ll 1.
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Явный вид аналитической функции $a(\lambda)$ восстанавливается по ее нулям, полюсам, асимптотическому поведению вблизи особых точек и коэффициенту отражения $b(\lambda)$ [3], [21]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a(\lambda)={}&[2 w_3(\lambda)+i\alpha]\prod_{s=1}^M \biggl(\frac{\lambda- ib_s}{\lambda+ ib_s}\biggr)\biggl(\frac{\lambda- ib_s^{-1}}{\lambda+ ib_s^{-1}}\biggr)\prod_{k=1}^N \biggl(\frac{\lambda- \lambda_k}{\lambda+ \lambda_k}\biggr) \times{} \notag\\ &\times \biggl(\frac{\lambda+ \lambda_k^*}{\lambda- \lambda_k^*}\biggr) \biggl(\frac{\lambda+ \lambda_k^{-1}}{\lambda- \lambda_k^{-1}}\biggr)\biggl(\frac{\lambda- (\lambda_k^*)^{-1}}{\lambda+ (\lambda_k^*)^{-1}}\biggr)\times{} \notag\\ &\times\exp \biggl(\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{+\infty} d\mu \,\frac{\ln[1-|b(\mu)|^2 (4 w_3^2 (\mu)+h^2)^{-1}]}{\mu-\lambda} \biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
Здесь $\operatorname{Im} \lambda \geqslant 0$, $\alpha^2=h^2$. Для конкретизации связи параметров $\alpha$ и $h$ положим $\lambda=1$ в представлении (3.16). С помощью редукций (3.6) приведем результат к виду С другой стороны, из (3.24) при $\lambda=1$ находим При вычислениях мы учли свойства симметрии функций $b(\lambda)$ и $w_3 (\lambda)$. Сравнение формул дает связь параметров $h$ и $\alpha$: которая зависит только от числа пар $M$ мнимых нулей коэффициента $a(\lambda)$. Таким образом, с помощью вспомогательного уравнения (3.3) мы построили отображение решений начально-краевой задачи для модели Ландау–Лифшица на полуоси в полный набор данных рассеяния. Этот набор содержит спектральные плотности $b(\lambda)$, $-\infty<\lambda<+\infty$, дискретные нули $\lambda_j$ коэффициента $a(\lambda)$ и нормировочные постоянные $\gamma(\lambda_j)$, $j=1,2,\ldots, 2 M+4 N$. В новых переменных интегрирование модели Ландау–Лифшица сводится к решению линейных дифференциальных уравнений. Из второго уравнения (2.11) получаем привычную зависимость данных рассеяния от времени [3]:
$$
\begin{equation}
a(t, \lambda)=a(0, \lambda),\quad b(t, \lambda)=b(0, \lambda) e^{-4 i w_1^2(\lambda) t},\quad \gamma(t, \lambda_j)=\gamma(0, \lambda_j)e^{-4 iw_1^2(\lambda_j) t}.
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Значения постоянных интегрирования $a(0, \lambda)$, $b(0, \lambda)$, $\gamma(0, \lambda_j)$ определяем из (3.3) по заданному начальному распределению намагниченности $\mathbf{n}_0(x)$ (1.5). С физической точки зрения спектральные плотности $b(\lambda, t)$ параметризуют диспергирующие спиновые волны, а дискретные параметры $\lambda_j$ – частицеподобные магнитные солитоны. В отсутствие диспергирующих волн (при $b(\lambda)=\bar{b}(\lambda) \equiv 0$) чисто солитонные состояния в полубесконечном образце вычислим в следующем разделе. 4. Построение солитонных решений с помощью задачи РиманаПереход от данных рассеяния к описанию намагниченности в образце достигается методами теории функций комплексной переменной. Обратное спектральное преобразование на полуоси $0<x<+\infty$ отличается от спектрального преобразования на интервале $-\infty<x<0$. Однако лежащие в их основе задачи Римана удается записать единообразно с привлечением кусочно-постоянных функций по координате $x$. Введем матричные функции $P_{+}(x, \lambda)$ и $P_{-}(x, \lambda)$, аналитические соответственно в верхней ($\operatorname{Im} \lambda>0$) и нижней ($\operatorname{Im} \lambda<0$) полуплоскостях комплексной $\lambda$-плоскости:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P_{+}(x, \lambda)&=(T_{-}^{(1)}(x, \lambda), T_{+}^{(2)}(x, \lambda))\varphi_0^{-1}(x, \lambda)\operatorname{diag}[S_2^*(x, \lambda^*), S_1^*(x, \lambda^*)],\\ P_{-}(x, \lambda)&=(T_{+}^{(1)}(x, \lambda), T_{-}^{(2)}(x, \lambda))\varphi_0^{-1}(x, \lambda)\operatorname{diag}[S_1(x, \lambda), S_2(x, \lambda)]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Их явный вид различен при $x>0$ и $x<0$ и конкретизируется кусочно-постоянными по координате $x$ множителями:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_1(x, \lambda)&=H(x)+(2 w_3 (\lambda) -i\alpha) H(-x),\\ S_1^{-1}(x, \lambda)&=H(x)+(2 w_3 (\lambda) -i\alpha)^{-1} H(-x),\\ S_2(x, \lambda)&=H(-x)+(2 w_3 (\lambda) -i\alpha)^{-1} H(x),\\ S_2^{-1}(x, \lambda)&=H(-x)+(2 w_3 (\lambda) -i\alpha) H(x), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $H(x)=(1+\operatorname{sgn}x)/2$ – ступенчатая функция Хевисайда. Вычисление функций $P_\pm(x, \lambda)$ сводится к решению матричной задачи Римана, которая формулируется следующим образом. В областях $\operatorname{Im} \lambda \geqslant 0$ и $\operatorname{Im} \lambda \leqslant 0$ нужно построить аналитические функции $P_{+}(x, \lambda)$ и $P_{-}(x, \lambda)$ соответственно, которые удовлетворяют условию сопряжения на вещественной $\lambda$-оси:
$$
\begin{equation}
P_{-}(x, \lambda)=\frac{P_{+}(x, \lambda)\,\varphi_0 (x, \lambda)}{a_m (x, \lambda)} \begin{pmatrix} 1 & - \bar{b}_m(x, \lambda) \\ -b_m(x, \lambda)&1 \end{pmatrix} \varphi_0^{-1} (x, \lambda),\qquad \lambda \in \mathbb{R},
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
и ограничениям
$$
\begin{equation}
P_{\pm}(x, -\lambda^{-1}) =\sigma_3 P_\pm(x, \lambda) \sigma_3,\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
P_\pm(x, \lambda) = \mp i\operatorname{sgn}x \sigma_2 P_\pm^*(-x, -\lambda^*) \sigma_1 \operatorname{diag}[\theta(\mp x, \lambda), \theta(\pm x, -\lambda)],
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
$$
\begin{equation}
P_{+}(x, \lambda) = \sigma_2 P^*_{-}(x, \lambda^*) \sigma_2.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Для упрощения записи введены обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{alignedat}{2} a_m (x, \lambda)&= \det P_{+}(x, \lambda)= a(\lambda) S_1^{-1}(x, \lambda) S_2^*(x, \lambda^*),&\quad \operatorname{Im} \lambda &\geqslant 0,\\ \bar{a}_m (x, \lambda)&= \det P_{-}(x, \lambda)= a_m^*(x, \lambda^*),&\quad \operatorname{Im} \lambda &\leqslant 0; \end{alignedat}\\ b_m (x, \lambda)= b(\lambda) [S_1^*(x, \lambda^*)]^{-1} S_2^*(x, \lambda^*),\qquad \bar{b}_m (x, \lambda)=b_m^* (x, \lambda),\qquad \lambda \in \mathbb{R};\\ \theta(x, \lambda)=H(x)+f(\lambda) H(-x),\qquad f(\lambda)=\frac{i\alpha-2 w_3 (\lambda)}{i\alpha+2 w_3 (\lambda)}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Условие сопряжения (4.2) является иной формой записи связи решений Йоста (3.5) при $\lambda \in \mathbb{R}$. Редукции (4.3), (4.4) следуют из редукций (3.6) для функций Йоста. Для дальнейшего анализа полезно переписать связь (4.4) в другом виде:
$$
\begin{equation}
P_{+}^{-1}(x, \lambda)=\frac{\sigma_2 P^{\mathrm{T}}_{+}(x, \lambda) \sigma_2}{\det P_{+}(x, \lambda)}=\frac{P_{-}^\unicode{8224} (x, \lambda^*)}{a_m (x, \lambda)},\qquad \operatorname{Im} \lambda \geqslant 0.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Отметим, что решения задачи Римана (4.2) определены с точностью до умножения на невырожденную матрицу, не зависящую от параметра $\lambda$. Воспользуемся асимптотическими формулами для $P_{\pm}(x, \lambda)$ при $\lambda \to \infty$, чтобы устранить этот произвол. Важная особенность используемого подхода состоит в том, что решения задачи Римана (4.2)–(4.4) на интервалах $-\infty<x<0$ и $0<x<\infty$ вычисляются независимо. Для получения поля намагниченности в образце достаточно выполнить расчеты только на полуоси $0 \leqslant x<\infty$. Асимптотику функции $P_{-}(x, \lambda)$ при $x>0$ и $\lambda \to \infty$ дают формулы (3.21) и (3.22):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P_{-}(\lambda) \to g_0 &= \begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{n_{-}}{1+n_3} \\ \dfrac{n_{+}}{1+n_3}&\hphantom{-}1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} r & 0 \\ 0&r^* \end{pmatrix},\notag \\ r&=\sqrt{\frac{1+n_3}{2}}\,\exp\biggl(\frac{i}{2} \int_x^{\infty} dx'\, p(x')\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где $n_{\pm}=n_1 \pm i n_2$, $g_0^\unicode{8224} g_0 =I$. Далее ограничимся построением чисто солитонных возбуждений ($b=\bar{b}=0$). Тогда условие сопряжения (4.2) упрощается и при $x>0$ с учетом (4.5) принимает вид
$$
\begin{equation}
P_{-}(\lambda) P_{-}^\unicode{8224}(\lambda^*)=I,\qquad \lambda \in \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Солитонная матрица $P_{-}(\lambda)$ является мероморфной функцией в комплексной $\lambda$-плоскости. Ее полюсы совпадают с нулями $\lambda=\lambda_j$ (3.9), (3.10) выражения
$$
\begin{equation*}
\det P_{-}^\unicode{8224} (\lambda^*)=\frac{a(\lambda)}{2 w_3 (\lambda)+i\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $P_{-}(\lambda)$ допускает представление
$$
\begin{equation}
P_{-}(\lambda) =g_0 \Psi(\lambda),\qquad \Psi(\lambda)=I+\sum_{k=1}^{2 M+4 N} \frac{A_k}{\lambda-\lambda_k}.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Требование отсутствия полюсов в левой части равенства (4.7) приводит к $2 M+4 N$ независимым матричным уравнениям
$$
\begin{equation*}
P_{-}(\lambda_j^*) A_j^\unicode{8224} =0,\qquad j=1,2,\ldots, 2M+4 N,
\end{equation*}
\notag
$$
из которых следует, что матрица $A_j$ является вырожденной и записывается в виде [21], [22]
$$
\begin{equation*}
(A_j)_{\alpha \beta}=(X_j)_\alpha (\xi_j^*)_\beta,\qquad \alpha, \beta =1, 2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\xi_j \in \mathrm{Ker} P_{-}(\lambda_j^*)$, т. е. С помощью формул (3.11), (4.1) выявим алгебраическую структуру второй вырожденной матрицы $P_{-}(\lambda_j^*)$ при $x>0$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P_{-}(\lambda_j^*)&=(T_{+}^{(1)}(\lambda_j^*), T_{-}^{(2)}(\lambda_j))\,\varphi_0^{-1}(\lambda_j^*)\operatorname{diag}[1,(2 w_3 (\lambda_j^*)-i\alpha)^{-1}]={} \\ &=i\sigma_2 (T_{+}^{*(2)}(\lambda_j^*), -\gamma^*(\lambda_j) T_{+}^{*(2)}(\lambda_j^*))\varphi_0^{-1}(\lambda_j^*)\operatorname{diag}[1,(2 w_3 (\lambda_j^*)-i\alpha)^{-1}]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда сразу находим векторы $\xi_j$:
$$
\begin{equation}
\xi_j = \begin{pmatrix} \nu^*_j (x,t) \\ 1 \end{pmatrix},\qquad \nu_j (x,t)=\kappa(\lambda_j) e^{2 i w_3 (\lambda_j) x -4 i w_1^2 (\lambda_j) t}.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Постоянные комплексные параметры
$$
\begin{equation*}
\kappa(\lambda_j) = \frac{\gamma(\lambda_j, t)|_{t=0}}{2 w_3 (\lambda_j)+i\alpha}
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяют ограничениям
$$
\begin{equation}
\kappa(-\lambda_j^{-1})=-\kappa(\lambda_j),\qquad \kappa(\lambda_j)\kappa^*(-\lambda_j^*)=f(\lambda_j),
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
где $f(\lambda)=[i\alpha-2 w_3 (\lambda_j)]/[i\alpha+2 w_3 (\lambda_j)]$. Значения $\lambda_j$ такие же, как в формулах (3.9), (3.10). В результате подстановки $\xi_j$ (4.10) в (4.9) получаем линейную систему для расчета векторов $X_k$:
$$
\begin{equation*}
\xi_j+\sum_{k=1}^{4 N+2 M} M_{j k} X_k =0, \qquad M_{j k}=\frac{(\xi_k^* \cdot \xi_j)}{\lambda_j^*-\lambda_k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ее решение определяет солитонную матричную функцию $P_{-}(x, t, \lambda)$ при $x>0$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, P_{-}(\lambda)=g_0 \Psi(\lambda),\\ \Psi_{\alpha \beta}(\lambda)=\delta_{\alpha \beta}-\sum_{k,j=1}^{4 N+2 M}\frac{(M^{-1})_{k j} (\xi_j)_{\alpha}(\xi_k^*)_{\beta}}{\lambda-\lambda_k},\qquad \alpha,\beta=1,2, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
где
$$
\begin{equation*}
(M^{-1})_{k j} =\frac{\partial \ln \det M}{\partial M_{j k}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим выражение для $P_{-}(\lambda)$ (4.12) в первую из формул (4.3) и в полученном равенстве положим $\lambda=0$. Это приводит к матричному уравнению для определения компонент намагниченности легкоосного ферромагнетика:
$$
\begin{equation}
g_0^\unicode{8224} \sigma_3 g_0 =\begin{pmatrix} n_3 & -n_{-} e^{i\gamma_0} \\ -n_{+} e^{i\gamma_0}&-n_3 \end{pmatrix}=\Psi(\lambda)|_{\lambda=0}\, \sigma_3,\qquad \gamma_0 = \int_{x}^{+\infty} dx'\, p(x').
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Дальнейший расчет упрощает параметризация
$$
\begin{equation*}
\mathbf{n}=(\sin \theta \cos \Phi, \sin \theta \sin \Phi, \cos \theta),
\end{equation*}
\notag
$$
в которой
$$
\begin{equation}
n_3 = \cos \theta, \qquad n_{+}=\sin \theta e^{i\Phi},\qquad \gamma_0 = \int_{x}^{\infty} (1-\cos \theta) \partial_{x'}\Phi\, dx'.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
С помощью формул (4.13), (4.14) восстанавливаем поля $\theta(x, t)$ и $\Phi(x, t)$ магнитных солитонов в полубесконечном образце:
$$
\begin{equation}
\cos \theta=\Psi_{11}(\lambda)|_{\lambda=0},\qquad \partial_x \Phi = \frac{1}{2i} \biggl[\frac{1}{\Psi_{11}(x, \lambda)} \frac{\partial}{\partial x}\ln \frac{\Psi_{21}(x, \lambda)}{\Psi_{21}^*(x,\lambda)} \biggr] \Bigg|_{\lambda=0}.
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Далее мы покажем, что для солитонных решений интеграл, определяющий поле $\Phi$, вычисляется в явном виде.
5. Взаимодействие солитонов с границей образца5.1. Краевые солитоныМагнитные солитоны на полуоси в зависимости от выбора нулей коэффициента $a(\lambda)$ делятся на два класса. Мнимые нули (3.9) параметризуют неподвижные солитоны, ядра которых локализованы около поверхности образца. Простейшему из них соответствует пара нулей функции $a(\lambda)$:
$$
\begin{equation*}
\lambda_1 =ie^\rho,\qquad \lambda_2 =ie^{-\rho},\qquad -\infty<\rho<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Структуру солитона задают функции $\nu_j (x, t)$ (4.10):
$$
\begin{equation*}
\nu_1 (x, t)=-\nu_2 (x, t)=\sqrt{\frac{\alpha-\operatorname{ch} \rho}{\alpha+\operatorname{ch} \rho}}\, e^{-x\operatorname{ch} \rho+it\operatorname{sh}^2 \rho},
\end{equation*}
\notag
$$
где $|\alpha|\!>\!\operatorname{ch} \rho$. Следовательно, такие солитоны образуются пороговым образом, когда амплитуда поверхностного поля $|h|>\operatorname{ch} \rho$. В формулах (4.13), (4.15) $\frac{\Psi_{21}}{\Psi_{21}^*}\big|_{\lambda=0}=e^{2 it \operatorname{sh}^2 \rho}$, поэтому после простых вычислений находим
$$
\begin{equation}
n_3=1 -\frac{2}{1+\operatorname{sh}^2 y \operatorname{th}^2 \rho},\qquad n_{+}=n_1 + in_2 = \frac{2\operatorname{sh} y\operatorname{th} \rho}{1+\operatorname{sh}^2 y \operatorname{th}^2 \rho} e^{i(t \operatorname{sh}^2 \rho+\varphi_0)},
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где $\varphi_0$ – произвольная вещественная постоянная интегрирования,
$$
\begin{equation*}
y = x\operatorname{ch} \rho-\frac{1}{2} \ln \frac{\alpha-\operatorname{ch} \rho}{\alpha+\operatorname{ch} \rho}.
\end{equation*}
\notag
$$
В данном случае $M=1$, поэтому решение (5.1) удовлетворяет граничному условию (1.4) c $h=-\alpha$ (3.25). Вектор намагниченности в ядре солитона (5.1) совершает однородную прецессию с частотой $\omega=\operatorname{sh}^2 \rho$ вокруг оси $Oz$. Положение центра солитона и строение его ядра зависят от величины и знака поверхностного поля $h$. В сравнительно слабых положительных полях $\operatorname{ch} \rho<h \leqslant \sqrt{\operatorname{ch} (2 \rho)}$ ядро солитона имеет ширину
$$
\begin{equation*}
d= x_2 - x_1 = \frac{2}{\operatorname{ch} \rho}\ln \biggl(\operatorname{cth} \rho+\sqrt{1+\operatorname{cth}^2 \rho}\,\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
(см. рис. 1), где $x_{1,2}$ – точки, в которых компонента $n_3$ обращается в нуль.  Рис. 1.Компонента $n_3$ солитона (5.1) (а) и пространственное распределение спинов в солитоне (б) при значениях поля $\operatorname{ch} \rho<h \leqslant \sqrt{\operatorname{ch} (2 \rho)}$. Напомним, что в обменном приближении приграничные солитоны не имели ограничений на протяженность [16]. Наличие поля одноосной анизотропии приводит к конечной области пространственной локализации солитонов. В размерных переменных характерный масштаб локализации определяется в единицах магнитной длины $l_0=\sqrt{K/\alpha}$. В безразмерных переменных $l_0=1$. В центре $x_0=[2 \operatorname{ch} \rho]^{-1} \ln[(h+\operatorname{ch} \rho)/(h-\operatorname{ch} \rho)]$ солитона (5.1) намагниченность достигает значения $n_3=-1$. На границе $x=0$ образца при $\operatorname{ch} \rho < h <\sqrt{\operatorname{ch}(2\rho)}$ значение $n_3 (x)|_{x=0} = -1+2 \operatorname{sh}^2 \rho/(h^2-1) \equiv n_3^{(0)}$ меняется в пределах $0 \leqslant n_3^{(0)} < 1$. Вектор $\mathbf{n}$ в области локализации солитона вращается синфазно вокруг оси $Oz$, фазы вращения левее и правее центра солитона (при $x<x_0$ и $x>x_0$) различаются на $\pi$. В сильных положительных полях $h>\sqrt{\operatorname{ch} (2 \rho)}$ левый край солитона начинает прижиматься к границе образца. Солитон имеет ширину порядка $x_0+d/2$, а значение $n_3$ на границе образца меняется в пределах $-1 \leqslant n_3^{(0)}<0$ (рис. 2а).  Рис. 2.Компонента $n_3$ солитона (5.1) при значениях поля $h > \sqrt{\operatorname{ch} (2 \rho)}$ (a), $-\sqrt{\operatorname{ch} (2 \rho)}<h <-\operatorname{ch} \rho$ (б) и в случае полного закрепления поверхностных спинов (в). Краевые солитоны другой структуры образуются при противоположном направлении поверхностного поля: $h \leqslant - \operatorname{ch} \rho$. В области $-\sqrt{\operatorname{ch} (2 \rho)}\ll h< -\operatorname{ch} \rho$ такие солитоны являются малоамплитудными (рис. 2б). Центр солитона (5.1) в этом случае совпадает с границей $x=0$ образца. С ростом $|h|$ усиливается перемагничивание в ядре солитона. Намагниченность на границе образца приближается к насыщению $n_3 \approx -1$. В пределе $h \to -\infty$ решение (5.1) принимает вид
$$
\begin{equation*}
n_3=1 -\frac{2}{1+[\operatorname{sh}(x\operatorname{ch} \rho)\operatorname{th} \rho]^2},\qquad n_{+}=\frac{2\operatorname{sh}(x\operatorname{ch} \rho)\operatorname{th} \rho e^{it\operatorname{sh}^2 \rho+i\varphi_0}}{1+[\operatorname{sh}(x\operatorname{ch} \rho)\operatorname{th} \rho]^2}
\end{equation*}
\notag
$$
и описывает прецессирующий солитон при полном закреплении краевых спинов (рис. 2в):
$$
\begin{equation*}
n_3|_{x=0}=-1,\qquad n_3 \to 1 \qquad \text{при} \qquad x \to +\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Центр такого солитона совпадает с границей образца. Прецессия намагниченности сосредоточена в приграничном слое шириной порядка $\operatorname{ch}^{-1} \rho$. В работе [20] для полуограниченной спиновой цепочки со слабой обменной анизотропией построено приближенное решение, описывающее нелинейное возбуждение, локализованное вблизи конца цепочки. Хотя в настоящей работе обсуждается динамика легкоосного ферромагнетика с другими краевыми условиями, односолитонное состояние (5.1) по своей структуре близко к локализованному возбуждению, полученному в работе [20]. Локализация солитонов около границы образца возможна только при достаточной неоднородности поля намагниченности вблизи поверхности образца. Поэтому для образования солитонов (5.1) имеется порог по модулю поверхностной анизотропии $h$. В то же время в зависимости от знака $h$ строение ядер приграничных солитонов, а значит, и их энергия различны. В разделе 6 вычислена полная энергия полуограниченного образца при наличии в нем солитонов и магнонов (см. (6.5)). Энергетически выгодно, когда около границы образца локализуется при $h>0$ четное, а при $h<0$ нечетное число прецессирующих солитонов. Взаимодействие прецессирующих краевых солитонов проявляется в дополнительных колебаниях их ядер на комбинационных частотах. Обсудим двухсолитонное решение задачи (1.2)–(1.5) с четырьмя мнимыми нулями (3.9) коэффициента $a(\lambda)$. Окончательные формулы упрощаются, если для них использовать параметризацию
$$
\begin{equation*}
\lambda_{1,2}=ie^{\pm \rho_1},\qquad \lambda_{3,4}=ie^{\pm \rho_2},\qquad -\infty<\rho_{1,2}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае векторы $\xi_j$ (4.10) определяются формулами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \xi_{1,2}=\begin{pmatrix} \pm \nu^*_1 \\ 1 \end{pmatrix},\qquad \xi_{3,4} = \begin{pmatrix} \pm \nu^*_2 \\ 1 \end{pmatrix},\\ \nu_{1,2}=e^{-y_{1,2}+is_{1,2}},\qquad y_{1,2}=x\operatorname{ch} \rho_{1,2}-\frac{1}{2}\ln \frac{\alpha-\operatorname{ch} \rho_{1,2}}{\alpha+\operatorname{ch} \rho_{1,2}},\qquad s_{1,2}=t\operatorname{sh}^2 \rho_{1,2} + s_{1,2}^{(0)}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $s_{1,2}^{(0)}$ – вещественные постоянные интегрирования. Независимые элементы матрицы $\Psi(\lambda=0)$ (4.12) допускают представление
$$
\begin{equation}
\Psi_{11}(\lambda)|_{\lambda=0}=\frac{|u|^2-|q|^2}{|u|^2+|q|^2},\qquad \Psi_{21}(\lambda)|_{\lambda=0}=\frac{2 uq}{|u|^2+|q|^2},
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
где функции $u(x, t)$ и $q(x, t)$ имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, q=\gamma [\operatorname{th} \rho_2 \operatorname{sh} y_2 e^{is_1}-\operatorname{th} \rho_1 \operatorname{sh} y_1 e^{is_2}],\qquad \gamma = \frac{\operatorname{ch} \rho_{1}-\operatorname{ch} \rho_{2}}{\operatorname{ch} \rho_{1}+\operatorname{ch} \rho_{2}},\\ u= \frac{1}{2}\operatorname{th} \rho_1 \operatorname{th} \rho_2[\gamma^2\operatorname{ch}(y_1+y_2)-\operatorname{ch}(y_1-y_2)]+\frac{\operatorname{sh}^2 \rho_1 e^{-i (s_2-s_1)}+\operatorname{sh}^2 \rho_2 e^{i (s_2-s_1)}}{(\operatorname{ch} \rho_{1}+\operatorname{ch} \rho_{2})^2}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
С помощью соотношений (5.2), (5.3) правая часть второго из уравнений (4.15) записывается в форме производной:
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2i\Psi_{11}}\,\partial_x \ln \frac{\Psi_{21}}{\Psi_{21}^*} \Bigg|_{\lambda=0}=\frac{1}{2i}\,\partial_x \ln \frac{u^* q}{q^* u}.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Поэтому углы $\theta$, $\Phi$, а значит, и компоненты намагниченности двухсолитонного возбуждения вычисляются в явном виде:
$$
\begin{equation}
n_3=1-\frac{2 |q|^2}{|u|^2+|q|^2},\qquad n_{+}=\frac{2 u^* q}{|u|^2+|q|^2}.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Напомним, что в данном случае $M=2$, поэтому решение (5.3), (5.5) удовлетворяет смешанному краевому условию (1.4) с $h=\alpha$ (3.25). Оно описывает нелинейную суперпозицию двух краевых солитонов (5.1). Отметим, что двухсолитонное возбуждение (5.3), (5.5) образуется только при условии, что поверхностное поле больше определенного порогового значения: $|h|>\max_{s=1,2} \operatorname{ch} \rho_{s}$. Примем для определенности, что $\rho_1 > \rho_2$. Тогда легко убедиться, что первый солитон (с $\rho=\rho_1$) всегда будет располагаться ближе к границе образца, чем второй. Намагниченность $\mathbf{n}$ в ядрах солитонов типа (5.1) прецессирует с частотами $\omega_{1,2}=\operatorname{sh}^2 \rho_{1,2}$ вокруг оси анизотропии $Oz$. Взаимодействие солитонов проявляется в том, что на грани $x=0$ образца компонента намагниченности $n_3$ не остается постоянной, как это было у одиночных солитонов, но осциллирует с частотой $\omega_1-\omega_2$, равной разности частот прецессии индивидуальных солитонов:
$$
\begin{equation*}
n_3 (x, t)|_{x=0,t=0}=n_3^{\min} \leqslant n_3 (x, t)|_{x=0} \leqslant n_3^{\max}=n_3 (x, t)|_{x=0, t=T/2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $T=2 \pi/(\omega_1-\omega_2)$ – период колебаний. Двухсолитонный комплекс (5.3), (5.5) периодически приближается к границе образца, а затем отталкивается от нее. При этом он движется как единое целое. Продольное смещение мультисолитона как целого сопровождается поперечными модуляциями намагниченности вдоль оси $Oz$ с частотой $\omega_1-\omega_2$ и, как следствие, нутационными колебаниями оси прецессии намагниченности около направления $Oz$. Компонента $n_3$ для двухсолитонного решения (5.3), (5.5) схематично изображена на рис. 3 при $h>0$ и $h<0$ в моменты времени $t=0$ (сплошные линии) и $t=T/2$ (штриховые линии). При положительных значениях поля $h$ компонента $n_3$ имеет только одну точку экстремума – минимум в точке $B$. При отрицательных значениях $h$ компонента $n_3$ в любой момент времени имеет по две точки экстремума: максимум в точке $A$ и минимум, периодически смещающийся между предельными положениями $B$ и $B'$. Точка $A$ практически не смещается со временем: $A=A'$. В точке $A'$ $n_3=1$, в точке $B'$ $n_3=-1$.  Рис. 3.Компонента $n_3$ двухсолитонного возбуждения (5.3), (5.5) при $h> 0$ (а) и $h<0$ (б) в моменты времени $t=0$ (сплошные линии) и $t=T/2$ (штриховые линии). Размах $\Delta x$ продольных колебаний двухсолитонного возбуждения (5.3), (5.5) существенно зависит от соотношения величин $\rho_1$ и $\rho_2$, параметризующих солитоны. При $\rho_2\ll \rho_1$ продольные колебания выражены слабо и динамика намагниченности в двухсолитонном комплексе преимущественно определяется ее нутационными колебаниями вокруг оси прецессии. Для такого случая поведение намагниченности в солитоне (5.3), (5.5) наглядно иллюстрирует рис. 4, где при $h<0$ изображены траектории, описываемые концом вектора $\mathbf{n}$ с течением времени в различных точках образца $x$. На рис. 4а приведена траектория чуть правее точки $A$ (рис. 3б). На рис. 4б–4г с ростом $x$ проекция $n_3$ постепенно уменьшается. Рис. 4д соответствует точке $x$, расположенной между предельными положениями $B$ и $B'$. На рис. 4е–4и проекция $n_3$ возрастает, стремясь к предельному значению $n_3=1$ по мере продвижения вглубь образца.  Рис. 4.Траектории, описываемые концом вектора $\mathbf{n}(x=\mathrm{const}, t)$ на поверхности сферы $\mathbf{n}^2=1$ для солитона (5.3), (5.5) при разных значениях $x$ в случае $h<0$, $\rho_2 \ll \rho_1$. В пределе $|h|=|\alpha|\to \infty$ функции
$$
\begin{equation*}
\ln \biggl(\frac{\alpha-\operatorname{ch} \rho_s}{\alpha+\operatorname{ch} \rho_s}\biggr) \to 0, \qquad s=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому при $x=0$ выполняются соотношения $y_{1,2}=0$, $q(x, t)|_{x=0}=0$, а значит, двухсолитонное решение (5.3), (5.5) описывает приграничные колебания намагниченности при полном закреплении поверхностных спинов в соответствии с краевым условием $n_3|_{x=0}=1$, которое отличается знаком правой части от граничного условия (1.3) для односолитонного состояния. Таким образом, в зависимости от характера полного закрепления краевых спинов граница образца захватывает либо четное, либо нечетное число $M$ прецессирующих солитонов: Такая же зависимость установлена в работе [16] для краевых солитонов в модели гейзенберговского ферромагнетика. При $\rho_2 \sim \rho_1$ возбуждение (5.3), (5.5) периодически сдвигается к границе образца на значительное расстояние – порядка своей ширины. В пределе $\rho_1=\rho_2 + \varepsilon$, $\rho_2 \equiv \rho$ ($\varepsilon\ll 1$) размах продольных колебаний неограниченно возрастает. При $\varepsilon \to 0$ получаем вырожденное экспоненциально-полиномиальное решение. Оно записывается в форме (5.5), где величины $u$ и $q$ принимают следующий вид:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u&=\frac{\operatorname{th}^2 \rho}{2}[\operatorname{sh}^2 y -\bar{x}^2 \operatorname{ch}^2 \rho - 4t^2 \operatorname{ch}^4 \rho]+\frac{\operatorname{cth}^2 \rho}{2}+2 i t \operatorname{ch}^2 \rho, \notag\\ q&=-[2 \operatorname{sh}^{-1} (2 \rho) \operatorname{sh} y+ \bar{x} \operatorname{sh} \rho \operatorname{ch} y-it\operatorname{sh}(2 \rho)\operatorname{sh} y] e^{it \operatorname{sh}^2 \rho+is_0}, \\ y &= x \operatorname{ch} \rho -\frac{1}{2} \ln \biggl(\frac{h-\operatorname{ch} \rho}{h+\operatorname{ch} \rho}\biggr),\qquad \bar{x}=x+\frac{h}{h^2-\operatorname{ch}^2 \rho}, \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
где $s_0$ – вещественная константа интегрирования. Возбуждение (5.5), (5.7) представляет солитон (5.1), движущийся по направлению к границе образца при $t\ll -1$ и удаляющийся от нее при $t\gg 1$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, n_3 (x, |t|\gg 1)&=1 -\frac{2}{1+\operatorname{sh}^2 [y-\ln(4 |t| \operatorname{ch}^2 \rho)] \operatorname{th}^2 \rho},\\ n_{+}(x, |t|\gg 1)&=n_1 + in_2 = \frac{2 \operatorname{sh} [y-\ln(4 |t| \operatorname{ch}^2 \rho)] \operatorname{th} \rho}{1+\operatorname{sh}^2 [y-\ln(4 |t| \operatorname{ch}^2 \rho)]\operatorname{th}^2 \rho} e^{it \operatorname{sh}^2 \rho+is_0}i\operatorname{sgn} t. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Скорость движения солитона (5.8): $V \backsim (\operatorname{ch} \rho |t|)^{-1}$ при $|t| \to \infty$. Подходя к границе образца $x=0$ при $t=0$, солитон (5.8) отражается от нее, приобретая добавочный сдвиг фазы на $\pi$. Это видно по наличию множителя $\operatorname{sgn} t$ в формуле (5.8). Ширина солитона (расстояние между точками, где $n_3=0$) при этом практически не меняется. Компонента $n_3$ намагниченности в возбуждении (5.5), (5.7) при различных значениях поля в момент столкновения качественно выглядит так же, как и на рис. 3а, 3б при $t=0$ (сплошные линии). Однако, интересно, что в момент столкновения с границей (при $t=0$) все спины в возбуждении (5.5), (5.7) одновременно ложатся в плоскость, получающуюся поворотом плоскости $Oxz$ против часовой стрелки на угол $s_0$ вокруг оси $Oz$. На рис. 5 для наглядности полагаем $s_0=0$. Тогда все спины при $t=0$ ложатся в плоскость $Oxz$. При этом при положительных значениях поля $h>0$ все они наклоняются по направлению к границе образца: $n_1 (x, t)|_{t=0} \leqslant 0$ (рис. 5а), а при отрицательных значениях поля $h<0$ к границе образца наклоняются только спины, расположенные правее точки, в которой $n_3=1$ (рис. 5б).  Рис. 5.Возбуждение (5.5), (5.7) в момент $t=0$ столкновения с границей образца при $h>0$ (а) и при $h<0$ (б). 5.2. Отражение солитонов от границы образцаКомплексные нули (3.10) функции $a(\lambda)$ параметризуют другой класс солитонов. Его образуют движущиеся прецессирующие объекты, для которых характерны упругие парные столкновения друг с другом и упругие отражения от границы образца. В процессе приближения к границе каждый из таких солитонов существенно изменяет внутреннее строение. Поэтому описание движения солитона в образце конечных размеров невозможно в рамках традиционной нелинейной теории возмущений, которая предлагает малые изменения структуры и динамических свойств, присущих солитону в безграничной среде. Простейший солитон, движущийся в полубесконечном образце, параметризуют четыре нуля (3.10) функции $a(\lambda)$. Запишем их в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
\lambda_1=\lambda_0,\qquad \lambda_2=-\lambda_0^{-1},\qquad \lambda_3=-\lambda_0^*,\qquad \lambda_4=\lambda_0^{*-1},\qquad \lambda_0 = e^{\rho+i\delta},
\end{equation*}
\notag
$$
$-\infty<\rho<\infty$, $0<\delta<\pi$. Тогда функции $\nu_j (x, t)$ определяются формулами (4.10):
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \nu_1 &=\kappa(\lambda_0)\exp[ix\operatorname{sh}(\rho+i\delta)-it\operatorname{ch}^2(\rho+i\delta)],&\qquad \nu_2&=-\nu_1,\\ \nu_3 &=\frac{f^*(\lambda_0)}{\kappa^*(\lambda_0)}\exp[-ix\operatorname{sh}(\rho-i\delta)-it\operatorname{ch}^2(\rho-i\delta)],&\qquad \nu_4&=-\nu_3, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
$f(\lambda_0)=[i\alpha-\operatorname{sh}(\rho+i\delta)]/[i\alpha+\operatorname{sh}(\rho+i\delta)]$, $\kappa(\lambda_0)$ – произвольная комплексная постоянная. Простые, но более утомительные алгебраические вычисления приводят к прежнему представлению (5.2) для независимых элементов солитонной матрицы $\Psi(\lambda)|_{\lambda=0}$ и уравнениям (4.15), (5.4) для расчета углов $\theta$ и $\Phi$. Поэтому распределение намагниченности для солитона, движущегося в полубесконечном ферромагнетике, записывается в прежней форме (5.5). Другими будут только функции $u(x, t)$ и $q(x, t)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q={}&\frac{\operatorname{th} \rho\operatorname{ctg} \delta}{2 |\operatorname{sh}(\rho+i\delta)|^2} \biggl[i\operatorname{sh} \rho\operatorname{ch} \rho \biggl((|\nu_3|+|\nu_3|^{-1})\frac{\nu_1}{|\nu_1|}-(|\nu_1|+|\nu_1|^{-1})\frac{\nu_3}{|\nu_3|} \biggr)+{}\notag\\ & + \sin \delta\cos \delta \biggl((|\nu_1|-|\nu_1|^{-1})\frac{\nu_3}{|\nu_3|}+(|\nu_3|-|\nu_3|^{-1})\frac{\nu_1}{|\nu_1|} \biggr) \biggr],\notag\\ u ={}&\frac{1}{4}\biggl[ (|\nu_1 \nu_3|+|\nu_1 \nu_3|^{-1})\operatorname{th}^2 \rho\operatorname{ctg}^2 \delta |\operatorname{cth}(\rho+i\delta)|^2+\biggl(\biggl|\frac{\nu_1}{\nu_3}\biggr|+\biggl|\frac{\nu_3}{\nu_1}\biggr| \biggr)(\operatorname{ctg}^2 \delta-\operatorname{th}^2 \rho)+{}\notag\\ & +\frac{(\nu_1^* \nu_3+\nu_1 \nu_3^*)}{|\nu_1 \nu_3|}|\operatorname{cth}(\rho+i\delta)|^2\biggr]+\frac{i}{2}\biggl(\biggl|\frac{\nu_1}{\nu_3}\biggr|-\biggl|\frac{\nu_3}{\nu_1}\biggr| \biggr)\operatorname{th}\rho\operatorname{ctg}\delta. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
В данном случае $M=0$, поэтому решение (5.5), (5.10) удовлетворяет краевому условию (1.4) с $h=\alpha$ (3.25). С целью проанализировать особенности отражения солитона от границы выделим вещественные и мнимые части в экспоненциальных множителях полей $\nu_j (x, t)$ (5.9):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \nu_1 = \kappa(\lambda_0)e^{- y_1 + is_1},\qquad \nu_3 = \frac{f^*(\lambda_0)}{\kappa^*(\lambda_0)}e^{- y_2 - is_2}, \\ y_{1,2}=l_0^{-1} (x \mp V t),\qquad s_{1,2}=k x \mp \omega t, \qquad l_0^{-1}=\operatorname{ch} \rho \sin \delta>0, \\ V = 2 \operatorname{sh} \rho \cos \delta = 2 k, \qquad \omega = \operatorname{ch}^2 \rho\cos^2 \delta-\operatorname{sh}^2 \rho\sin^2 \delta. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Покажем, что на больших расстояниях от границы образца солитон (5.5), (5.10) движется как целое со скоростью $V$ или $-V$. Параметр $l_0$ определяет характерную толщину доменных стенок, ограничивающих ядро солитона. По области ядра пробегает волна прецессии вектора $\mathbf{n}$ с частотой $\omega$ и волновым числом $k$. Волна зарождается у одного края солитона и исчезает у другого. Для обоснования этих утверждений заметим, что асимптотическое поведение полей $n_3$ и $n_{+}$ (5.5) при $x\gg 1$ на больших временах определяется конкуренцией эспоненциально растущих слагаемых в числителях и знаменателях формул (5.5). Примем для определенности, что параметр $V$ положителен. Тогда при $x\gg 1$ и $t \to \pm \infty$ в системах отсчета, связанных с солитоном, где $x \mp V t=\mathrm{const}$, его структура описывается выражениями
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, n_3 &= 1- \frac{2}{\operatorname{ctg}^2 \delta+\operatorname{th}^2 \rho}\biggl[\operatorname{ch}^2 y_\pm + \frac{\sin^2 \delta}{\operatorname{sh}^2 \rho+\cos^2 \delta} \biggr]^{-1},\notag\\ n_{+}&=\frac{2 \kappa e^{i\varphi_{\pm}}}{|\kappa| (\operatorname{ctg}^2 \delta+\operatorname{th}^2 \rho)}(\operatorname{ctg} \delta\operatorname{ch} y_{\pm}\pm i\operatorname{th} \rho \operatorname{sh} y_\pm)\biggl[\operatorname{ch}^2 y_\pm + \frac{\sin^2 \delta}{\operatorname{sh}^2 \rho+\cos^2 \delta} \biggr]^{-1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
где введены обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, y_\pm &= l_0^{-1} (x \mp V t - x_{+}^{(0)}),\qquad x_{+}^{(0)}=l_0 \ln \frac{|\kappa \operatorname{sh}(\rho+i\delta)|}{\operatorname{sh} \rho\cos \delta},\\ x_{-}^{(0)}&=x_{+}^{(0)}+l_0 \ln \biggl|\frac{f(\lambda_0)}{\kappa(\lambda_0)} \biggr|,\qquad f(\lambda_0)=\frac{i\alpha-\operatorname{sh}(\rho+i\delta)}{i\alpha+\operatorname{sh}(\rho+i\delta)},\\ \varphi_\pm &= \pm(k x \mp \omega t)+\varphi_\pm^{(0)},\qquad \varphi_{+}^{(0)}=\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2i} \ln \biggl[\frac{\operatorname{sh}(\rho+i\delta)\operatorname{ch}^2(\rho-i\delta)}{\operatorname{sh}(\rho-i\delta)\operatorname{ch}^2(\rho+i\delta)}\biggr], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
$\varphi_{-}^{(0)}=-\varphi_{+}^{(0)}-\operatorname{arg} f(\lambda_0)$, $\kappa(\lambda_0)$ – произвольная комплексная постоянная интегрирования. Формулы (5.12) описывают прецессирующие бризеры безграничного легкоосного ферромагнетика, движущиеся со скоростями $V$ и $-V$. Полный анализ их свойств содержится в книгах [1], [3]. Таким образом, частицеподобное возбуждение (5.5), (5.10) на больших расстояниях от границы образца превращается в типичный магнитный солитон безграничной среды. Результат отражения солитона от края образца сводится к изменению фазы внутренней прецессии и сдвигу центра солитона. Сдвиг фазы $\varphi_{+}-\varphi_{-}=2 \varphi_{+}+\operatorname{arg} f(\lambda_0)$ зависит от параметра $\alpha$ закрепления спинов на границе образца и комплексного параметра $\operatorname{sh}(\rho+i\delta)$, вместо которого можно ввести наблюдаемые величины, например скорость $V$ солитона и его размер $l_0$:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sh}(\rho+i\delta)=\frac{V}{2}+il_0^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что измерение сдвига фазы, приобретаемое солитоном после его отражения от границы образца, дает информацию о параметре $\alpha$, а значит, и о закреплении спинов на поверхности образца. Отметим, что в предельном случае $\rho \to 0$, $\delta \ne \pi/2$ (или $\delta \to \pi/2$, $\rho \ne 0$), $x_\pm =\mathrm{const}\gg 1$ выражения (5.12) описывают неподвижные бризеры вдали от границы образца. Между тем, локализация бризера вблизи края образца невозможна, так как в полном решении (5.5), (5.10) при $\rho=0$ или $\delta=\pi/2$ величина $q$ равна нулю, а значит, солитонного состояния не существует. Если краевые мультисолитоны формируются при условии, что поверхностное поле $|h|$ превышает определенные пороговые значениях, то для образования движущихся солитонов такого ограничения нет. В пределе $h \to 0$ в формулах (5.5), (5.9), (5.10) множитель $f(\lambda_0)=-1$, поэтому они упрощаются и определяют решение уравнений Ландау–Лифшица (1.2) со свободными спинами на границе образца: В противоположном пределе $|h| \to \infty$ множитель $f(\lambda_0)=1$. Поэтому при $x=0$ справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
\nu_{3}|_{x=0}=\nu_{1}^{*-1}|_{x=0},\qquad q|_{x=0}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что в этом пределе решение (5.5), (5.9), (5.10) описывает отражение прецессирующего солитона от границы образца с полностью закрепленными на ней спинами: Эффекты отражения мультисолитонов от края образца допускают экспериментальную проверку.
6. Интегралы движенияКак и в безграничной среде, элемент $a(\lambda)$ матрицы перехода не зависит от времени, а значит, служит производящим функционалом интегралов движения для полубесконечного ферромагнетика. Их явные выражения получим, подставляя в формулу (3.16) для $a(\lambda)$ асимптотические ряды для элементов функции Йоста (3.18):
$$
\begin{equation}
T_{+}(x, t, \lambda)=\biggl(I+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\Phi_n (x, t)}{\lambda^n} \biggr)\exp\biggl(-iw_3 (\lambda)x\sigma_3+ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{Z_k (x, t)}{\lambda^k} \biggr).
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Коэффициенты разложения в (6.1) рекуррентно определяются уравнениями (3.19) и обладают следующей алгебраической структурой:
$$
\begin{equation*}
\Phi_n (x, t)=\begin{pmatrix} 0 & -w_n^*(x, t) \\ w_n (x, t)&0 \end{pmatrix},\qquad Z_n (x, t)= \begin{pmatrix} z_{n}(x, t) & 0 \\ 0&z_{n}^*(x, t) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Первые из функций $w_n (x, t)$ и $z_n (x, t)$ имеют вид (3.20)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, w_0 &=\frac{n_{+}}{1+n_3},\qquad w_1 = -2 i\,\partial_x w_0,\qquad z_0 =\frac{1}{2}\ln \frac{1+n_3}{2}+\frac{i}{2}\int_{x}^{\infty} p(x')\, dx', \notag\\ p&=\frac{n_1 \partial_x n_2 -n_2 \partial_x n_1 }{1+n_3}, \qquad z_1 =-\frac{i\partial_x n_3}{1+n_3}-p+\frac{i}{2} \int_{x}^{\infty}[(\partial_{x'} \mathbf{n})^2+1-n_3^2]\, dx'. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Используя (3.16), (6.1), (6.2), вычисляем первый член асимптотического разложения функции:
$$
\begin{equation}
\ln \biggl(\frac{a(\lambda)}{[4 w_3^2 (\lambda)+\alpha^2]^{1/2}}\biggr)=-\frac{2i}{\lambda}H+O\biggl(\frac{1}{\lambda^2} \biggr).
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Выражение
$$
\begin{equation}
H=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}[(\partial_{x'} \mathbf{n})^2+1-n_3^2]\, dx' - h n_3|_{x=0}
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
совпадает с безразмерной энергией (1.1) полубесконечного легкоосного ферромагнетика. С другой стороны, разложение по обратным степеням $\lambda$ левой части равенства (6.3) можно найти сразу, используя дисперсионное соотношение (3.24). Сравнение двух разложений позволяет выразить интегралы движения системы через спектральные данные. Для энергии системы получим
$$
\begin{equation}
H=-\alpha+\sum_{s=1}^{M}(b_s+b_s^{-1})+2 \sum_{k=1}^{N} \operatorname{Im} \lambda_k(1+|\lambda_k|^{-2})+\int_{-\infty}^{\infty}[1+4 w_3^2 (\mu)] \rho(\mu)\,d \mu,
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
$\alpha =(-1)^M h$. Величина
$$
\begin{equation*}
\rho(\mu)=-\frac{1}{16\pi w_1^2 (\mu)}\ln \biggl(1-\frac{|b(\mu)|^2}{4 w_3^2 (\mu)+h^2} \biggr)>0
\end{equation*}
\notag
$$
имеет смысл плотности спин-волновых мод с волновым числом $\kappa=2 w_3 (\mu)$ и законом дисперсии $\Omega=1+\kappa^2$. В терминах спектральных данных полная энергия системы (6.4) представляет сумму независимых дискретных вкладов от солитонов и квазичастиц непрерывного спектра спиновых волн. Поэтому совокупность нелинейных возбуждений полубесконечного ферромагнетика можно трактовать как идеальный газ солитонов и магнонов. Использованная процедура интегрирования модели Ландау–Лифшица (1.2)–(1.5) представляет собой нелинейный аналог метода Фурье. Как и в работах [15], [16] можно показать, что в малоамплитудном пределе спин-волновое поле $n_{+}(x, t)$ ($|n_{+}|\ll 1$) линеаризованного уравнения Ландау–Лифшица связано со спектральной плотностью $b(\lambda, t)$ обратной задачи рассеяния обычным преобразованием Фурье. Хорошо известно, что далекие фурье-компоненты функций, не имеющих особенностей на вещественной оси, экспоненциально малы. В настоящей работе из-за продолжения поля $n_{+}(x, t)$, заданного на полуоси $0<x<\infty$, на всю вещественную ось производные продолжения $S_{+}(x, t)$ приобретают скачок в точке $x=0$. В таких случаях далекие фурье-компоненты функций $S_{+}(x, t)$ при $\lambda \to \infty$ будут иметь не экспоненциальную, а степенную зависимость [23]. Указанную особенность преобразования Фурье наследует спектральная функция $b(\lambda, t)$ обратной задачи рассеяния. Напомним, что для чисто солитонных состояний $b(\lambda, t) \equiv 0$. Это означает, что все коэффициенты разложения функции $b(\lambda, t)$ по обратным степеням $\lambda$ должны обращаться в нуль. Таким образом, в полубесконечном образце элемент $b(\lambda, t)$ матрицы перехода является производящим функционалом дополнительных интегралов движения для полученных нами мультисолитонов (4.12), (4.14), (4.15). Используя (3.17), (6.1), (6.2), находим асимптотический ряд функции $b(\lambda, t)$:
$$
\begin{equation}
b(\lambda, t) = \biggl[-2 ih w_0-w_1+\sum_{s=1}^{\infty} \frac{1}{\lambda^{2 s}} (w_{2 s -1}- 2 ih w_{2 s}-w_{2 s+1}) \biggr] \exp \biggl(2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z_{2 k}}{\lambda^{2 k}} \biggr)\Bigg|_{x=0}.
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
В случае чисто солитонных состояний все предэкспоненциальные множители в этой формуле обращаются в нуль:
$$
\begin{equation}
(2 ih w_0+w_1)|_{x=0}=0, \qquad (w_{2 s -1}- 2 ihw_{2 s}-w_{2 s+1})|_{x=0}=0, \qquad s=1,2,\ldots\; .
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
Эти ограничения обеспечивают выполнение для солитонов верных краевых условий и локализацию солитонов около границы образца либо их отражение от нее. Первый из дополнительных интегралов движения имеет вид
$$
\begin{equation}
\partial_x \ln \biggl(\frac{n_{+}(x, t)}{1+n_3 (x, t)}\biggr)\Bigg|_{x=0}=h.
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
Для элементарного солитона (5.1) в справедливости тождества (6.8) легко убедиться простой проверкой.
7. ЗаключениеВ работе методом обратной задачи рассеяния получены и проанализированы новые солитонные решения уравнения Ландау–Лифшица для полубесконечного ферромагнетика с анизотропией типа “легкая ось”. Такие солитоны под влиянием сил “изображения” вблизи поверхности образца кардинально меняют свою структуру и динамические свойства. Поэтому они не могут быть исследованы ранее известными методами для неограниченной среды. Найдены условия локализации солитонов около границы образца. Выявлена возможность управления числом краевых солитонов посредством изменения степени закрепления поверхностных спинов. Показано, что краевые солитоны обладают дискретным набором собственных частот, а намагниченность на границе образца претерпевает регулярные модуляции. Предсказаны и аналитически описаны упругие отражения от границы образца движущихся прецессионных солитонов. Полученные результаты свидетельствуют о том, что поле одноосной анизотропии приводит к сужению и ограничению областей пространственной локализации всех типов солитонов. Измерение сдвига фазы, приобретаемого солитонами после их отражений от границы, можно использовать для диагностики степени закрепления поверхностных спинов. В работе построены спектральные разложения серии интегралов движения, которые позволяют трактовать произвольные локализованные возмущения в полубесконечном ферромагнитном образце в терминах идеального газа солитонов и магнонов. Получены дополнительные законы сохранения, которые обеспечивают локализацию солитонов вблизи поверхности образца или их отражение от нее. Результаты работы полезны для верифицирования численных расчетов и моделирования нелинейной динамики солитонов в реальных образцах конечных размеров. Они стимулируют постановку новых экспериментов по изучению солитонов в ограниченных образцах. БлагодарностиАвтор выражает благодарность А. А. Расковалову за оформление рисунков и помощь в подготовке рукописи к публикации. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kis24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|