| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Динамические свойства системы диффузионно связанных дифференциальных уравнений с дополнительной внутренней связью Л. И. Ивановский Объединенный институт математики и компьютерных наук им. А. Н. Колмогорова, Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Ярославль, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 220, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924080038 
Реферативные базы данных:
   1. Постановка задачиРассмотрим систему дифференциальных уравнений с диффузионным взаимодействием
$$
\begin{equation}
\dot{u}_j = N^2(u_{j+1} - 2u_j + u_{j-1}) + \gamma u_j - u_j^3, \qquad 1\leqslant j \leqslant N,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
которую дополним следующими условиями на границах:
$$
\begin{equation}
u_0 = u_1, \qquad u_{N+1} = u_N + \frac{\alpha}{N}u_k, \qquad 1 \leqslant k < N,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
дающими дополнительную внутреннюю связь. Такие системы изучаются в том случае, когда необходимо смоделировать ситуации связи не только между соседними уравнениями, но и с каким-нибудь внутренним элементом цепочки (см., например, [1], [2]). Подобного рода системы позволяют моделировать некоторые биологические (см., например, [3], [4]) и физические (см., например, [5], [6]) процессы. В системе (1.1), (1.2) $u_j = u_j(t)$ – гладкие функции при $t \geqslant 0$, величина $N \gg 1$, параметры $\alpha, \gamma$ – действительные числа, а индекс $k \in \mathbb{N}$ определяет дополнительную внутреннюю связь между элементами $u_N$ и $u_k$. Схематическая визуализация взаимодействия между собой осцилляторов $u_j$ показана на рис. 1. Система (1.1), (1.2) очевидно имеет однородное нулевое решение $u_j(t) \equiv 0$. Можно выделить два способа потери устойчивости нулевого состояния равновесия системы (1.1), (1.2): в первом случае матрица линейной части имеет нулевое собственное число, а во втором случае – пару комплексно-сопряженных чисел. Представляют интерес вопрос об устойчивости этого решения и режимы, ответвляющиеся от него при критических значениях параметров. Предельный переход $N \to \infty$ для системы (1.1), (1.2) позволяет перейти от точечных функций $u_j(t)$ к непрерывной гладкой функции $u(x, t)$ для времени $t \geqslant 0$ и пространственной координаты $x \in [0,1]$, моделирующей краевую задачу с условиями на границах Здесь $x_0 \in [0, 1)$ – величина, которая вместо индекса $k$ позволяет определить дополнительную внутреннюю связь во втором краевом условии. При достаточно большом количестве уравнений $N$ поведение режимов краевой задачи (1.3), (1.4) совпадает с поведением состояний равновесия системы (1.1), (1.2).Краевая задача (1.3), (1.4), как и соответствующая ей система (1.1), (1.2), имеет однородное нулевое решение $u(t, x) \equiv 0$. В отличие от приведенной ранее цепочки уравнений, нельзя утверждать, что функции $u$ и $\dot{u}$ (результат применения оператора уравнения (1.3) с условиями (1.4)) принадлежат одному функциональному пространству. В связи с этим краевая задача (1.3), (1.4) носит вспомогательный характер. Задача настоящего исследования заключается в изучении характера потери устойчивости нулевого решения системы (1.1), (1.2), т. е. в поиске критических значений параметров и асимптотических формул для режимов, ответвляющихся от нулевого состояния равновесия. 2. Спектральные свойства линеаризованной задачиРассмотрим линеаризованную в нуле систему дифференциальных уравнений (1.1), (1.2):
$$
\begin{equation}
\dot{u}_j = N^2(u_{j+1} - 2u_j + u_{j-1}) + \gamma u_j, \qquad 1\leqslant j\leqslant N,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
$$
\begin{equation}
u_0 = u_1, \qquad u_{N+1} = u_N + \frac{\alpha}{N}u_k, \qquad 1 \leqslant k < N.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Для определения условий устойчивости нулевого решения выполним замену где $x_j = -\frac{1}{2N} + \frac{j}{N}$, $\lambda$ – собственное значение матрицы линеаризованной системы, а коэффициент $\delta$ определяет собственный вектор соответствующего собственного числа матрицы системы (2.1) с условиями (2.2). Построение решения в виде (2.3) позволяет не выписывать характеристический многочлен, а сразу найти его корни. Так, при подстановке замены (2.3) в уравнение (2.1) для $j=1$ получим
$$
\begin{equation}
\lambda \operatorname{ch} \frac{\delta}{2N} = (-N^2 + \gamma) \operatorname{ch} \frac{\delta}{2N} + N^2 \operatorname{ch} \frac{3\delta}{2N}.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Преобразуя уравнение (2.4), получим выражение для коэффициента $\delta$:
$$
\begin{equation}
\delta = 2N\operatorname{arsh} \frac{\sqrt{-\gamma+\lambda}}{2N}.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
При таком выражении для $\delta$ удовлетворяются все уравнения, кроме последнего ($j=N$). При подстановке замены (2.3) в последнее уравнение для $j=N$ получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (\lambda-\gamma) \operatorname{ch} \frac{\delta}{N} \biggl( N-\frac{1}{2} \biggr) ={}& N^2 \biggl( \operatorname{ch} \frac{\delta}{N} \biggl( N-\frac{3}{2} \biggr) - \operatorname{ch} \frac{\delta}{N} \biggl( N-\frac{1}{2} \biggr) \!\biggr) +{} \notag \\ &+ \alpha N \operatorname{ch} \frac{\delta}{N} \biggl( k-\frac{1}{2} \biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Преобразуя уравнение (2.6), получим выражение для параметра $\alpha$:
$$
\begin{equation}
\alpha \operatorname{ch} \delta x_k = \sqrt{-\gamma+\lambda \operatorname{sh} \delta},
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где $x_k = ( k - 1/2)/N$. Для изучения потери устойчивости нулевого решения определим, при каких критических значениях параметра $\alpha$ собственные значения выходят на мнимую ось. Рассмотрим простейшие случаи нулевого и чисто мнимого значения $\lambda$. Подстановка $\lambda=0$ в уравнение (2.7) приводит к зависимости
$$
\begin{equation}
\alpha_u = \frac{\sqrt{-\gamma} \operatorname{sh} \delta_u}{\operatorname{ch}\delta_u x_k},
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где $\delta_u = 2N \operatorname{arsh}(\sqrt{-\gamma}/2N)$. Подстановка $\lambda = i \omega$, где $\omega \in \mathbb{R}$, в уравнение (2.7) позволяет перейти при фиксированном $\gamma$ к уравнению относительно $\alpha_c$ и $\omega$
$$
\begin{equation}
\alpha_c = \frac{\sqrt{-\gamma + i \omega} \operatorname{sh} \delta_c}{\operatorname{ch}\delta_c x_k},
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
где $\delta_c = 2N\operatorname{arsh}(\sqrt{-\gamma + i \omega}/2N)$. Выделяя вещественную и мнимую части в выражении (2.9), находим значения $\omega$ и $\alpha_c$ такие, чтобы $\alpha_c$ было минимальным по модулю. Исходя из полученных формул получаем, что справедливы следующие леммы. Лемма 1. Пусть $\alpha = \alpha_u + \varepsilon$, где величина $\alpha_u$ вычисляется по формуле (2.8). Тогда при достаточно малом значении $\varepsilon<0$ все собственные числа матрицы линейной части системы дифференциальных уравнений (2.1), (2.2) располагаются в левой комплексной полуплоскости, а при достаточно малом значении $\varepsilon>0$ одно из вещественных собственных чисел располагается в правой комплексной полуплоскости. Лемма 2. Пусть $\alpha = \alpha_c + \varepsilon$, где величина $\alpha_c$, вычисляемая по формуле (2.9), минимальна по модулю. Тогда при достаточно малом значении $\varepsilon<0$ все собственные числа матрицы линейной части системы дифференциальных уравнений (2.1), (2.2) располагаются в левой комплексной полуплоскости, а при достаточно малом значении $\varepsilon>0$ пара комплексно-сопряженных собственных чисел располагается в правой комплексной полуплоскости. Приведенные леммы позволяют рассмотреть стандартные бифуркационные задачи о режимах, ответвляющихся от нулевого состояния равновесия при положительных значениях $\varepsilon$. 3. Численный анализ критических зависимостейДля системы (1.1), (1.2) опишем динамику поведения критических зависимостей параметров $\alpha$ и $\gamma$ (см. также [7]) для различных значений индекса $k$, где $k$ – номер узла, с которым дополнительно связано последнее уравнение. В нашем случае количество уравнений составляло $N=50$. Численно было установлено, что увеличение числа уравнений $N$ для системы (1.1), (1.2) слабо сказывается на поведении функций $\alpha_u(\gamma)$ и $\alpha_c(\gamma)$. На рис. 2а приведена схематическая визуализация кривых $\alpha_u$ и $\alpha_c$ для значений индекса $1 \leqslant k \leqslant 17$. Здесь кривая $\alpha_u$ показана тонкой линией, а кривая $\alpha_c$ – жирной линией. Как показано на рис. 2а, кривые $\alpha_u$ и $\alpha_c$ пересекаются в точке $B$ с координатами $(\gamma_*, \alpha_*)$, где $\gamma_* > 0$ и $\alpha_* < 0$. Согласно численным результатам с увеличением индекса $k$ значение $\alpha_*$ уменьшается, а $\gamma_*$ увеличивается. Как показано на рис. 2б, для значений индекса $18 \leqslant k \leqslant 23$ появляется дополнительная критическая зависимость $\alpha_f(\gamma)$, рассчитываемая по формуле (2.9). Эта зависимость показана штриховой линией. Она берет свое начало в точке $F$ локального минимума функции $\alpha_u(\gamma)$ с координатами $(\bar{\gamma}, \bar{\alpha})$, где $0<\overline{\gamma}<\gamma_*$, а $0<\bar{\alpha}<\alpha_*$, и сливается с кривой $\alpha_c$ в точке $B$. Согласно численным результатам с увеличением индекса $k$ значение $\bar{\alpha}$ уменьшается, а $\bar{\gamma}$ увеличивается. Кривые $\alpha_u$, $\alpha_c$ и $\alpha_f$ являются важнейшими элементами построения областей значений параметров $(\alpha, \gamma)$, определяющих устойчивость нулевого состояния равновесия. Так, область $S$ соответствует случаю устойчивого нулевого решения, $U$ – случаю появления двух симметричных относительно нуля состояний равновесия, а в области $C$ наблюдается наличие цикла вблизи неустойчивого нулевого решения. Отметим, что все результаты локальны и получены в некоторой окрестности нулевого состояния равновесия и достаточно малой окрестности кривых $\alpha_u$, $\alpha_c$ и $\alpha_f$. Начиная с индекса $k=24$ вертикальная асимптота $\gamma=l$ функции $\alpha_u(\gamma)$ будет пересекаться с кривой $\alpha_c$. Здесь для критической зависимости $\alpha_u$ справедливы следующие предельные равенства:
$$
\begin{equation*}
\lim_{\gamma\to l-0} \alpha_u(\gamma) = +\infty, \qquad \lim_{\gamma\to l+0} \alpha_u(\gamma) = -\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно численным результатам, с ростом индекса $k$ вертикальная асимптота $\gamma=l$ приближается к оси ординат справа. Схематическая визуализация кривых $\alpha_u$, $\alpha_c$ и $\alpha_f$ для индекса $k = 24$ приведена на рис. 3а. Как показано на рис. 3б, в случае $k=25$, помимо вертикальной асимптоты $\gamma=l$, с кривой $\alpha_c$ дважды пересекается и кривая $\alpha_u$. Отметим также, что здесь, помимо кривой $\alpha_c$, нижней границей области $S$ является и участок кривой $\alpha_u$, заключенный между $P_1(\gamma_1, \alpha_1)$ и $P_2(\gamma_2, \alpha_2)$ – точками пересечения кривых $\alpha_u$ с кривыми $\alpha_f$ и $\alpha_c$ соответственно. Величины $\gamma_1$ и $\gamma_2$ являются корнями трансцендентного уравнения
$$
\begin{equation}
\frac{\sqrt{-\gamma} \operatorname{sh} \delta_u}{\operatorname{ch} \delta_u x_{25}} - \frac{\sqrt{-\gamma + i \omega} \operatorname{sh} \delta_c}{\operatorname{ch} \delta_c x_{25}} = 0,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $x_{25} = 0.49$. Они также удовлетворяют условию вида На рис. 4 приведена cхематическая визуализация кривых $\alpha_u$ и $\alpha_c$ для значений индекса $26 \leqslant k \leqslant 50$. Здесь кривые $\alpha_u$ и $\alpha_c$ пересекаются в точке $D$ с координатами $(\hat{\gamma}, \hat{\alpha})$, абсцисса которой удовлетворяет условию $0 < \hat{\gamma} < l$, где $\gamma = l$ – вертикальная асимптота, определяющая предельные равенства для кривой $\alpha_u$:
$$
\begin{equation*}
\lim_{\gamma\to l-0} \alpha_u(\gamma) = -\infty, \qquad \lim_{\gamma\to l+0} \alpha_u(\gamma) = +\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Кривая $\alpha_u$ определяет верхнюю границу области $S$, отделяющую ее от области $U$, для всех значений $\gamma \leqslant \Gamma_u$. Здесь $\Gamma_u$ вычисляется по формуле
$$
\begin{equation}
\Gamma_u = \begin{cases} \gamma_*, & 1 \leqslant k \leqslant 17,\\ \bar{\gamma}, & 18 \leqslant k \leqslant 25,\\ \hat{\gamma}, & 26 \leqslant k \leqslant 50. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Для $k=25$ кривая $\alpha_u$ определяет также и нижнюю границу области $S$, отделяющую ее от области $U$, для всех значений $\gamma_1 \geqslant \gamma \geqslant \gamma_2$. Для некоторых значений индекса $k$ верхнюю границу области $S$ определяет также и кривая $\alpha_f$ для всех $\bar{\gamma} \leqslant \gamma \leqslant \Gamma_f$. Здесь $\Gamma_f$ вычисляется по формуле
$$
\begin{equation}
\Gamma_f =\begin{cases} \gamma_*, & 18 \leqslant k \leqslant 24,\\ \gamma_1, & k = 25. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Кривая $\alpha_c$ определяет нижнюю границу области $S$, отделяющую ее от области $C$, для всех значений $\gamma \leqslant \Gamma_c$. Здесь $\Gamma_c$ вычисляется по формуле
$$
\begin{equation}
\Gamma_c =\begin{cases} \gamma_*, & 1 \leqslant k \leqslant 24,\\ \gamma_2, & k = 25,\\ \hat{\gamma}, & 26 \leqslant k \leqslant 50. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Исходя из описанных результатов можно сформулировать следующие леммы. Лемма 3. Пусть $\gamma \leqslant \Gamma_u$, где $\Gamma_u$ определяется выражением (3.3). Тогда критическая зависимость $\alpha_u$, рассчитываемая по формуле (2.8), в своей окрестности позволяет выделить область параметров $(\gamma, \alpha)$, для которой все собственные числа матрицы линейной части системы дифференциальных уравнений (2.1), (2.2) располагаются в левой комплексной полуплоскости, и область, для которой одно из вещественных собственных чисел располагается в правой комплексной полуплоскости. Лемма 4. Пусть $\gamma_1 \geqslant \gamma \geqslant \gamma_2$, где $\gamma_1$, $\gamma_2$ являются корнями трансцендентного уравнения (3.1), удовлетворяющими условию (3.2). Тогда критическая зависимость $\alpha_u$, рассчитываемая по формуле (2.8), в своей окрестности позволяет выделить область параметров $(\gamma, \alpha)$, для которой все собственные числа матрицы линейной части системы дифференциальных уравнений (2.1), (2.2) располагаются в левой комплексной полуплоскости, и область, для которой одно из вещественных собственных чисел располагается в правой комплексной полуплоскости. Лемма 5. Пусть $\bar{\gamma} \leqslant \gamma \leqslant \Gamma_f$, где $\Gamma_f$ определяется выражением (3.4). Тогда критическая зависимость $\alpha_f$, рассчитываемая по формуле (2.9), в своей окрестности позволяет выделить область параметров $(\gamma, \alpha)$, для которой все собственные числа матрицы линейной части системы дифференциальных уравнений (2.1), (2.2) располагаются в левой комплексной полуплоскости, и область, для которой пара комплексно-сопряженных собственных чисел располагается в правой комплексной полуплоскости. Лемма 6. Пусть $\gamma \leqslant \Gamma_c$, где $\Gamma_c$ определяется выражением (3.5). Тогда критическая зависимость $\alpha_c$, рассчитываемая по формуле (2.9), в своей окрестности позволяет выделить область параметров $(\gamma, \alpha)$, для которой все собственные числа матрицы линейной части системы дифференциальных уравнений (2.1), (2.2) располагаются в левой комплексной полуплоскости, и область, для которой пара комплексно-сопряженных собственных чисел располагается в правой комплексной полуплоскости. Леммы доказываются на основе приведенного выше численного анализа линеаризованной в нуле системы дифференциальных уравнений (1.1), (1.2). В дальнейшем данные леммы позволяют изучить характер потери устойчивости нулевого решения системы (1.1), (1.2), а также получить асимптотические формулы для режимов, ответвляющихся от нулевого состояния равновесия. 4. Локальный анализ поведения системы в окрестности нулевого решенияМетодами малых возмущений (см. [8], [9]) построим режим, ответвляющийся от нулевого состояния равновесия системы дифференциальных уравнений (1.1), (1.2). Для этого введем в рассмотрение малый параметр $\varepsilon$, характеризующий отклонение от критического значения параметра. Воспользуемся нормальной формой, которая получается в результате разложения нулевого решения системы (2.1), (2.2) по степеням малого параметра
$$
\begin{equation}
u_j = \sqrt{\varepsilon}u_{j,0} + \varepsilon u_{j,1} + \varepsilon^{3/2} u_{j,2} + O(\varepsilon^2), \qquad 1\leqslant j \leqslant N,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где функции $u_j=u_j(s)$ зависят от медленного времени $s=\varepsilon t$. В случае нулевого собственного значения $\lambda$ матрицы линеаризованной системы (2.1), (2.2) малый параметр $\varepsilon$ обозначает переход из области $S$ в область $U$ по параметру $\alpha$ для фиксированного значения $\gamma$. Здесь $\varepsilon$ принимает вид где $\alpha_u$ вычисляется по формуле (2.8), а функции $u_{j,0}$ имеют следующий вид: где $\delta_u = 2N\operatorname{arsh}(\sqrt{-\gamma}/2N)$, а $x_j = -(1/2N) + j/N$. При достаточно малых значениях параметра $\varepsilon$ в окрестности нуля происходит бифуркация коразмерности 1. В таком случае система (1.1), (1.2) имеет локально устойчивое интегральное многообразие, а уравнение (4.1) представляет собой укороченное уравнение для ее решений.Подстановка в систему дифференциальных уравнений (1.1), (1.2) разложения (4.1) с учетом (4.2) приводит к последовательно разрешимым системам для векторов $u_{j,0}$, $u_{j,1}$ и $u_{j,2}$, $1\leqslant j \leqslant N$:
$$
\begin{equation}
\dot u_{j,0}= N^2(u_{j+1,0} - 2u_{j,0} + u_{j-1,0}) + \gamma u_{j,0}, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
u_{0,0} = u_{1,0}, \qquad u_{N+1,0} = u_{N,0} + \frac{\alpha_u}{N}u_{k,0}, \qquad 1 \leqslant k < N, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\dot u_{j,1} = N^2(u_{j+1,1} - 2u_{j,1} + u_{j-1,1}) + \gamma u_{j,1},
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
$$
\begin{equation}
u_{0,0} = u_{1,1}, \qquad u_{N+1,1} = u_{N,1} + \frac{\alpha_u}{N}u_{k,1},\qquad 1 \leqslant k < N,
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
$$
\begin{equation}
\dot u_{j,2} + \frac{\partial u_{j,0}}{\partial s} = N^2(u_{j+1,2} - 2u_{j,2} + u_{j-1,2}) + \gamma u_{j,2} - u_{j,0}^3,
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
$$
\begin{equation}
u_{0,2} = u_{1,2}, \qquad u_{N+1,2} = u_{N,2} + \frac{\alpha_u}{N}u_{k,2} + u_{k,0},\qquad 1 \leqslant k < N.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
С учетом того, что в уравнении (2.1) содержится кубическая нелинейность, для функций $u_{j,1}$ система (4.3), (4.4) получается однородной, примем их значения нулевыми. Из условий разрешимости системы (4.5), (4.6) можно получить укороченное уравнение на величину $\rho$: Для уравнения (4.7) коэффициенты $\phi_0$, $d_0$ имеют следующий вид:
$$
\begin{equation}
\phi_0 = \frac{ 2 \delta_u \operatorname{ch} \delta_u x_k }{ \delta_u \operatorname{ch} \delta_u +\operatorname{sh} \delta_u - \alpha_u x_k \operatorname{sh} \delta_u x_k },
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
$$
\begin{equation}
d_0 = \frac{ 3\delta_u^2 \operatorname{sh} 3\delta_u - \alpha_u \delta_u \operatorname{ch} 3\delta_u x_k }{ 16( \delta_u \operatorname{ch} \delta_u +\operatorname{sh} \delta_u - \alpha_u x_k \operatorname{sh} \delta_u x_k ) } - \frac{3}{4}.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Для коэффициентов $\phi_0$, $d_0$ при различных значениях индекса $k$ были построены зависимости от параметра $\gamma$. Согласно численным результатам для всех значений $\gamma < \Gamma_u$, где $\Gamma_u$ вычисляется по формуле (3.3), коэффициент $\phi_0$ оказывается положительным. Для коэффициента $d_0$ удалось найти такое значение $\Gamma_0 \leqslant \Gamma_u$, что для всех $\gamma < \Gamma_0$ коэффициент оказывается отрицательным. Другими словами, пара неустойчивых состояний равновесия сливается с устойчивым нулевым решением системы (1.1), (1.2), и в результате дивергентной потери устойчивости образовывается пара устойчивых состояний равновесия в окрестности неустойчивого нулевого решения (см. также [10], [11]). Величина $\Gamma_0$ вычисляется по формуле
$$
\begin{equation}
\Gamma_0 = \begin{cases} \widetilde{\gamma},& 1 \leqslant k \leqslant 25,\\ \Gamma_u,& 26 \leqslant k \leqslant 50,\\ \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
где $\widetilde{\gamma}>0$ является минимальным по модулю корнем трансцендентного уравнения
$$
\begin{equation*}
\frac{ 12\delta_u^2 \operatorname{sh} 3\delta_u - 4 \alpha_u \delta_u \operatorname{ch} 3\delta_u x_k }{ 48( \delta_u \operatorname{ch} \delta_u +\operatorname{sh} \delta_u - \alpha_u x_k \operatorname{sh} \delta_u x_k ) } = 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Графики функций $\phi_0(\gamma)$ и $d_0(\gamma)$ для $\gamma < \Gamma_0$ и различных значений индекса $k$ показаны на рис. 5. В случае $\Gamma_0 < \gamma < \Gamma_u$ для индекса $1 \leqslant k \leqslant 25$ оба коэффициента $\phi_0$, $d_0$ оказываются положительными, что говорит о грубой потере устойчивости нулевого решения системы (1.1), (1.2). График функции $d_0(\gamma)$ для $\gamma < \Gamma_u$ и индекса $k=1$ показан на рис. 6. В случае $k=25$ для всех $\gamma$ таких, что $\gamma_1 > \gamma > \gamma_2$, где $\gamma_1$ и $\gamma_2$ являются корнями трансцендентного уравнения (3.1), удовлетворяющими условию (3.2), малый параметр, обозначающий переход из области $S$ в область $U$, принимает вид Коэффициент $\phi_0$ из уравнения (4.7) рассчитывается по формуле (4.8), но имеет противоположный знак, а коэффициент $d_0$ считается по формуле (4.9). В данном случае $\phi_0$ оказывается положительным, а $d_0$ – отрицательным. Графики функций $\phi_0(\gamma)$ и $d_0(\gamma)$ для $\gamma_1 > \gamma > \gamma_2$ и индекса $k=24$ показаны на рис. 7.При условии, что $\phi_0>0$ и $d_0<0$, происходит бифуркация типа “вилка”. В этом случае уравнение (4.7) имеет ненулевое состояние равновесия $\phi_*=\sqrt{-\phi_0/d_0}$, причем $\rho$ стремится к этому состоянию равновесия при $s \to +\infty$. Подставляя в нормальную форму (4.1) полученное значение $\rho$, получаем асимптотическое приближение для двух пространственно неоднородных, симметричных относительно нуля, устойчивых состояний равновесия исходной системы (1.1), (1.2) (см. также [7], [8]):
$$
\begin{equation}
u_j = \pm \sqrt{-\varepsilon \frac{\phi_0}{d_0}} \operatorname{ch} \delta_u x_j + O(\varepsilon).
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
При условии, что $\phi_0>0$ и $d_0>0$, происходит обратная бифуркация типа “вилка”. В этом случае уравнение (4.7) имеет ненулевое состояние равновесия $\rho=\rho_*$, где $\phi_*=\sqrt{\phi_0/d_0}$. При подстановке полученного значения $\rho$ в нормальную форму (4.1) получаем асимптотическое приближение
$$
\begin{equation}
u_j = \pm \sqrt{\varepsilon \frac{\phi_0}{d_0}} \operatorname{ch} \delta_u x_j + O(\varepsilon)
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
для двух пространственно неоднородных неустойчивых состояний равновесия, стягивающихся к нулевому решению системы (1.1), (1.2) при $\varepsilon \to 0$ и отбирающих у него устойчивость (см. также [12]). Вместе с приведенным выше локальным анализом системы (1.1), (1.2) это позволяет доказать следующие теоремы. Теорема 1. Пусть $\varepsilon = \alpha - \alpha_u$ для $\gamma < \Gamma_0$, где $\Gamma_0$ вычисляется по формуле (4.10). Тогда для любого $\gamma < \Gamma_0$ существует $\varepsilon_0$ такое, что для $\varepsilon \in (0, \varepsilon_0]$ система дифференциальных уравнений (1.1), (1.2) имеет в окрестности неустойчивого нулевого решения два пространственно неоднородных устойчивых режима, асимптотика которых определяется формулой (4.11). Теорема 2. Пусть $\varepsilon=\alpha-\alpha_u$ для $\Gamma_0 \leqslant \gamma \leqslant \Gamma_u$, где $\Gamma_0$ и $\Gamma_u$ вычисляются по формулам (4.10) и (3.3) соответственно. Тогда для любого $\Gamma_0 < \gamma < \Gamma_u$ существует $\varepsilon_0$ такое, что для $\varepsilon \in (0,\varepsilon_0]$ система (1.1), (1.2) имеет в окрестности нуля два пространственно неоднородных неустойчивых режима, асимптотика которых определяется формулой (4.12). В случае чисто мнимого собственного значения $\lambda$ матрицы линеаризованной системы (1.1), (1.2) малый параметр $\varepsilon$ обозначает переход из области $S$ в область $C$ по параметру $\alpha$ для фиксированного значения $\gamma$. Здесь параметр $\varepsilon$ имеет вид где $\alpha_c$ вычисляется по формуле (2.9). Так же, как и в случае дивергентной потери устойчивости, воспользуемся нормальной формой (4.1), для которой функции $u_{j,0}$ рассчитываются по формуле
$$
\begin{equation*}
u_{j,0} = z(s) e^{i \omega t} \operatorname{ch} \delta_c x_j + \overline{z(s)} \, e^{-i \omega t}\, \overline{\operatorname{ch} \delta_c x_j},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta_c = 2N \operatorname{arsh}(\sqrt{-\gamma+i\omega}/2N)$, а $x_j = -(1/2N) + j/N$ (см. также [13]). При достаточно малом $\varepsilon$ в окрестности нуля имеется устойчивое интегральное многообразие, поведение системы (1.1), (1.2) на нем определяется нормальной формой (4.1). Подстановка в цепочку дифференциальных уравнений (1.1), (1.2) разложения (4.1) с учетом (4.13) приводит к последовательно разрешимым системам для векторов $u_{j,0}$, $u_{j,1}$ и $u_{j,2}$, $1\leqslant j \leqslant N$:
$$
\begin{equation}
\dot u_{j,0} = N^2(u_{j+1,0} - 2u_{j,0} + u_{j-1,0}) + \gamma u_{j,0}, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
u_{0,0} = u_{1,0}, \qquad u_{N+1,0} = u_{N,0} + \frac{\alpha_c}{N}u_{k,0}, \qquad 1 \leqslant k < N,\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\dot u_{j,1} = N^2(u_{j+1,1} - 2u_{j,1} + u_{j-1,1}) + \gamma u_{j,1},
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
$$
\begin{equation}
u_{0,0} = u_{1,1}, \qquad u_{N+1,1} = u_{N,1} + \frac{\alpha_c}{N}u_{k,1}, \qquad 1 \leqslant k < N,
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
$$
\begin{equation}
\dot u_{j,2} + \frac{\partial u_{j,0}}{\partial s} = N^2(u_{j+1,2} - 2u_{j,2} + u_{j-1,2}) + \gamma u_{j,2} - u_{j,0}^3,
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
$$
\begin{equation}
u_{0,2} = u_{1,2}, \qquad u_{N+1,2} = u_{N,2} + \frac{\alpha_c}{N}u_{k,2} - u_{k,0}, \qquad 1 \leqslant k < N.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
С учетом того, что в уравнении (1.1) содержится кубическая нелинейность, для функций $u_{j,1}$ система (4.14), (4.15) получается однородной, примем их значения нулевыми. Из условий разрешимости системы (4.16), (4.17) можно получить укороченное уравнение на величину $z$:
$$
\begin{equation}
z' = (\phi_0 + i \psi_0) z + (d_0 + i c_0) z |z|^2.
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
В этом уравнении коэффициенты $\phi_0$, $d_0$ имеют следующий вид:
$$
\begin{equation}
\phi_0 = -\operatorname{Re} \biggl(\frac{2 \delta_c \operatorname{ch} \delta_c x_k}{\delta_c\operatorname{ch} \delta_c + \operatorname{sh} \delta_c - \alpha_c x_k \operatorname{sh} \delta_c x_k} \biggr),
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
$$
\begin{equation}
d_0 = \operatorname{Re} \biggl( \frac{3 \delta_c (G(\chi) + G(\eta) + 2G(\overline{\delta_c}) )}{2(\delta_c\operatorname{ch} \delta_c + \operatorname{sh} \delta_c - \alpha_c x_k \operatorname{sh} \delta_c x_k)} \biggr),
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
где $\chi = \delta_c + 2 \operatorname{Re}\delta_c$, $\eta = \delta_c + 2 \operatorname{Im}\delta_c$, а функция $G(a)$ вычисляется по формуле
$$
\begin{equation*}
G(a) = \frac{\alpha_c \operatorname{ch} a x_k - a \operatorname{sh} a}{a^2 - \delta_c^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для коэффициентов $\phi_0$, $d_0$ при различных значениях индекса $k$ построены зависимости от параметра $\gamma$. Согласно численным результатам для всех $\gamma < \Gamma_c$, где $\Gamma_c$ вычисляется по формуле (3.5), $\phi_0$ оказывается положительным, а $d_0$ – отрицательным. Другими словами, нулевое решение системы (1.1), (1.2) теряет свою устойчивость колебательным способом (см. также [9]): оно становится неустойчивым, а вокруг него образовывается устойчивый цикл порядка $\sqrt{\varepsilon}$. Графики функций $\phi_0(\gamma)$ и $d_0(\gamma)$ для $\gamma < \Gamma_c$ и индекса $k=1$ показаны на рис. 8. В том случае, если $\varepsilon=\alpha-\alpha_f$, коэффициент $\phi_0$ рассчитывается по формуле (4.19), но имеет противоположный знак, а коэффициент $d_0$ считается по формуле (4.20). Согласно численным результатам для всех $\bar{\gamma} < \gamma < \Gamma_f$, где $\Gamma_f$ вычисляется по формуле (3.4), коэффициент $\phi_0$ оказывается положительным, а $d_0$ – отрицательным, что говорит о колебательной потере устойчивости нулевого состояния равновесия и о наличии устойчивого цикла порядка $\sqrt{\varepsilon}$, окружающего нулевое решение системы (1.1), (1.2). Графики функций $\phi_0(\gamma)$ и $d_0(\gamma)$ для $\bar{\gamma} < \gamma < \Gamma_f$ и индекса $k=24$ показаны на рис. 9. Осуществляя переход к полярной системе координат для $z\kern-1.6pt=\kern-1.6pt\rho e^{i \nu}$, уравнение (4.18) сводим к укороченной системе (см., например, [8], [14]) вида В этой системе первое уравнение не зависит от второго, в связи с этим его можно решать отдельно.При условии, что $\phi_0>0$ и $d_0<0$, происходит бифуркация Андронова–Хопфа. В этом случае уравнение (4.21) имеет ненулевое состояние равновесия $\phi_*\!=\!\sqrt{-\phi_0/d_0}$, причем $\rho$ стремится к этому состоянию равновесия при $s \to +\infty$. В этом случае из уравнения (4.22) заключаем, что $\nu(s) = \sigma s + \gamma$, где $\gamma$ – произвольное действительное число, а коэффициент $\sigma$ вычисляется по формуле Подставляя в нормальную форму (4.1) полученные значения $\rho$ и $\nu$, получаем асимптотическое приближение для пространственно неоднородного цикла исходной системы (1.1), (1.2):
$$
\begin{equation}
u_j = \sqrt{-\varepsilon \frac{\phi_0}{d_0}}\, \bigl( e^{i (\omega + \varepsilon \sigma) t}\operatorname{ch} \delta_c x_j + e^{-i (\omega + \varepsilon \sigma) t}\,\overline{\operatorname{ch} \delta_c x_j}\,\bigr) + O(\varepsilon).
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
Вместе с приведенным выше локальным анализом системы (1.1), (1.2) это позволяет доказать следующие теоремы. Теорема 3. Пусть $\varepsilon=\alpha_c-\alpha$ для $\gamma \leqslant \Gamma_c$, где $\Gamma_c$ вычисляется по формуле (3.5). Тогда для любого $\gamma < \Gamma_c$ существует $\varepsilon_0$ такое, что для $\varepsilon \in (0,\varepsilon_0]$ система дифференциальных уравнений (1.1), (1.2) имеет в окрестности неустойчивого нулевого состояния равновесия орбитально устойчивый цикл с асимптотическим приближением (4.23). Теорема 4. Пусть $\varepsilon = \alpha - \alpha_f$ для $\bar{\gamma} < \gamma < \Gamma_f$, где $\Gamma_f$ вычисляется по формуле (3.4). Тогда для любого $\bar{\gamma} < \gamma < \Gamma_f$ существует $\varepsilon_0$ такое, что для $\varepsilon \in (0, \varepsilon_0]$ система дифференциальных уравнений (1.1), (1.2) имеет в окрестности неустойчивого нулевого состояния равновесия орбитально устойчивый цикл с асимптотическим приближением (4.23). 5. ЗаключениеДля системы дифференциальных уравнений с диффузионным взаимодействием и дополнительной внутренней связью выявлены критические зависимости параметров, при которых происходят различные бифуркации нулевого состояния равновесия. Для значений параметров, близких к критическим, построена нормальная форма, и на ее основе определены условия появления двух пространственно неоднородных устойчивых состояний равновесия в одном случае и цикла – в другом. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач численного моделирования некоторых биологических (см., например, [3], [4]) и физических (см., например, [5], [6]) процессов. Вызывает также интерес распространение этих результатов и на другие задачи с дополнительной внутренней связью (см., например, [13]). Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Iva24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|