| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
О контрастных структурах в задаче теории эффекта бареттирования Е. И. Никулин, В. Т. Волков, А. Г. Никитин Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 220, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924070109 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеОдной из актуальных задач теории сингулярных возмущений в настоящее время является исследование нелинейных сингулярно возмущенных уравнений в частных производных, решения которых имеют пограничные и внутренние слои. Такие уравнения представляют интерес как в качественной теории дифференциальных уравнений, так и во многих прикладных задачах, например в математических моделях химической кинетики, синергетики, нелинейной теории волн, биофизики и других областей физики [1]. В настоящей статье рассматривается математическая модель, которая описывает известный в электротехнике эффект бареттирования [2]–[4], возникающий в системе железо+водород. Указанные выше модели и процессы описываются нелинейными параболическими уравнениями с малыми параметрами при производных. Решения таких задач могут содержать узкие области быстрого изменения параметров: пограничные или внутренние переходные слои (контрастные структуры) различных типов – стационарные или движущиеся фронты (см. [5]–[7] и ссылки в этих работах). Причиной образования переходных слоев (контрастных структур) в сингулярно возмущенных моделях типа реакция-диффузия-адвекция может служить выполнение условия баланса реакции в некоторой точке или на некоторой кривой, лежащей в области рассмотрения [7], [8], либо баланса адвекции [9], либо баланса адвекции и реакции [10]. В работах [11]–[13] был рассмотрен так называемый критический случай для нелинейных сингулярно возмущенных уравнений реакция-диффузия-адвекция, когда условие баланса реакции выполняется тождественно, т. е. в любой точке области. В этом случае процедура определения точки локализации внутреннего переходного слоя несколько усложняется, и главный член асимптотики положения внутреннего слоя определяется в процессе построения высших членов асимптотики. Более того, в пространственно однородном одномерном случае с помощью методов, применяемых в работах [11]–[13], невозможно определить положение внутреннего переходного слоя. В рассматриваемой в настоящей статье модели для нелинейного сингулярно возмущенного уравнения реакция-диффузия также реализуется пространственно однородный критический случай. Однако наличие дополнительного нелокального интегрального условия понижает степень автономности задачи по пространственной переменной и позволяет определить положение внутреннего переходного слоя. Доказано существование решения с внутренним переходным слоем, построено асимптотическое приближение этого решения. Получены оценки основных физических параметров модели, совпадающие с экспериментальными данными, а также с оценками, полученными ранее другими методами. Статья содержит пять разделов, в которых сформулирована физическая модель и математическая постановка задачи, проведено построение асимптотического приближения решения с внутренним переходным слоем и доказано существование решения типа контрастной структуры с асимптотикой указанного вида. В разделе 5 проведено обсуждение полученных результатов и сравнение параметров модели, рассчитанных на основе построенного асимптотического приближения, с экспериментальными данными. 2. Формулировка модели и постановка задачиЭффект бареттирования заключается в способности железной проволоки, находящейся в атмосфере водорода и являющейся элементом электрической цепи, стабилизировать ток в этой цепи в некотором диапазоне приложенных напряжений [2], [3]. Пусть тонкая железная нить длины $l$ помещается в водородную среду и включена в цепь источника регулируемого напряжения. Математически данная система описывается следующими уравнениями:
$$
\begin{equation}
c \rho \frac{\partial T}{\partial t} =\lambda \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}+\frac{4}{\pi d^2} J^2 r(T)-\frac{4 \alpha}{d}(T-T_0),
\end{equation}
\tag{1}
$$
Уравнение (1) выражает условие баланса тепла на нити, здесь $T$ и $T_0$ – температуры нити и окружающей среды, $c$ – удельная теплоемкость, $\rho$ – плотность, $\lambda$ – коэффициент теплопроводности, $d$ – диаметр нити, $\alpha$ – коэффициент теплоотдачи, $J$ – ток, текущий в цепи, $\tau(T)$ – сопротивление единицы длины нити. Зависимость $\tau(T)$ для железной проволоки, находящейся в среде водорода, нелинейна и имеет характерный $S$-образный вид [3], [4], причем при некоторых значениях параметров $\alpha, d, J$ возможно, что однородное стационарное уравнение (1) (т. е. при $\partial T/\partial t=0$, $\partial T/\partial y=0$) имеет три изолированных корня $T_1, T_2, T_3$. Интегральное соотношение (2) есть закон Ома для участка цепи, $e$ – напряжение на концах нити, $\int_0^{l} r(T(y))\, d y$ – полное сопротивление участка. Величина напряжения $e$ предполагается постоянной во времени ($e$ может быть задано различными значениями из некоторого диапазона). Будем считать контакты на концах нити теплоизолированными:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial{T}}{\partial{y}} \bigg|_{y=0}=0, \qquad \frac{\partial{T}}{\partial{y}} \bigg|_{y=l}=0.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Следуя [2], перепишем задачу (1)–(3) в безразмерных переменных в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{\partial u}{\partial \tau}=\varepsilon^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+j^2 R(u)-u, \qquad 0 < x < 1, \\ j \int_0^{1} R(u)\, d x=V, \\ \frac{\partial{u}}{\partial{x}} \bigg|_{x=0}=0, \qquad \frac{\partial{u}}{\partial{x}} \bigg|_{x=1}=0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где Заметим, что для набора параметров модели, реализованных в эксперименте, описанном в работе [2], $\varepsilon^2 \sim 10^{-4}$, т. е. можно считать $\varepsilon$ малым параметром. Далее будет рассмотрен только стационарный случай, для которого в работах [2] и [14] приведен ряд результатов, касающихся теоретического исследования задачи (1)–(3), однако некоторые вопросы остались невыясненными. В частности, был получен только главный член формального асимптотического приближения и не было доказано существование решения, близкого к построенной асимптотике. В настоящей работе проведено уточнение асимптотики для этой задачи, а также доказано существование решения с построенной асимптотикой и получены оценки точности асимптотического приближения. 3. Формальная асимптотика решенияДля построения асимптотического приближения используется подход, предложенный в [14], основанный на алгоритме [5], а для обоснования асимптотики применяется метод сшивания (см., например, [6]). Рассмотрим следующую интегро-дифференциальную систему уравнений:
$$
\begin{equation}
N[u,j]:=\varepsilon ^2 u'' - u+j^2 R(u)=0,\qquad 0 < x < 1,
\end{equation}
\tag{5}
$$
с граничными условиями Неймана где $V>0$ – заданная постоянная, а $\varepsilon>0$ – малый параметр. Будем предполагать выполненными следующие условия. Условие 1. Пусть $R(u)$ – достаточно гладкая положительная функция в области $D_u$ – рассматриваемой области определения переменной $u$. Условие 2. Пусть вырожденное уравнение $f(u,j):=u-j^2 R(u)=0$ при $u\in D_u$ и $j\in D_j$ (где $D_j$ – некоторый интервал изменения $j$) имеет три упорядоченных корня $\varphi^{(-)}(j)<\varphi^{(0)}(j)<\varphi^{(+)}(j)$, причем выполнены неравенства Для определенности будем рассматривать переход от корня $\varphi^{(-)}$ к корню $\varphi^{(+)}$. Положение внутреннего переходного слоя $x^*(\varepsilon)$ определим как точку пересечения решения и корня $\varphi^{(0)}(j)$ вырожденного уравнения, т. е. положим Будем искать формальную асимптотику для функции $u(x,\varepsilon)$ в задаче (5)–(7) в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
U(x,\varepsilon;j,x^*(\varepsilon)): = \begin{cases} U^{(-)}(x,\varepsilon;j,x^*(\varepsilon)),& 0\leqslant x\leqslant x^*(\varepsilon), \\ U^{(+)}(x,\varepsilon;j,x^*(\varepsilon)),& x^*(\varepsilon)\leqslant x\leqslant 1, \\ \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
U^{(\pm)}(x,\varepsilon;j,x^*(\varepsilon)) = \varphi^{(\pm)}(j) + Q_0^{(\pm)}(\xi,j), \qquad \xi=\frac{x-x^*(\varepsilon)}{\varepsilon},
\end{equation}
\tag{8}
$$
a величина $j$ не зависит от $\varepsilon$. Вид асимптотики обусловлен автономностью уравнения (5) и граничными условиями Неймана. Заметим, что внутренний переходный слой представлен только членом нулевого порядка $Q_0^{(\pm)}(\xi,j)$. C учетом граничных условий Неймана легко видеть, что в асимптотике полностью отсутствует пограничная часть, описывающая пограничные слои на концах отрезка $[0,1]$. Согласно алгоритму [5] функции $Q_0^{(\pm)}$ определяются как решения задач
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2{Q_0^{(\pm)}}}{\partial \xi^2} = f(\varphi^{(\pm)}(j)+Q_0^{(\pm)},j),
\end{equation}
\tag{10}
$$
$$
\begin{equation}
Q_0^{(\pm)}(0,j)+\varphi^{(\pm)}(j) =\varphi^{(0)}(j), \qquad Q_0^{(\pm)}(\pm\infty,j)=0.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Процедура $C^1$-сшивания асимптотики справа и слева от точки $x^*(\varepsilon)$ приводит к уравнению для определения главного члена асимптотического приближения тока $j$. Действительно, имеем
$$
\begin{equation}
\varepsilon\biggl[\frac{dU^{(+)}}{dx}\bigg|_{x=x^*(\varepsilon)}-\frac{dU^{(-)}}{dx}\bigg|_{x=x^*(\varepsilon)}\biggr]=\frac{\partial Q_0^{(+)}}{\partial\xi}\bigg|_{\xi=0}-\frac{\partial Q_0^{(-)}}{\partial\xi}\bigg|_{\xi=0}=0,
\end{equation}
\tag{12}
$$
откуда получаем уравнение для определения $j$:
$$
\begin{equation}
\int_{\varphi^{(-)}(j)}^{\varphi^{(+)}(j)}f(u,j)\,du=0.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Разрешимость этого уравнения обеспечивается следующим условием. Условие 3 (условие бареттирования). Пусть уравнение (13) имеет решение $j=j_0\in D_j$, удовлетворяющее неравенству Как показано ниже, неравенство (14) обеспечивает локализацию переходного слоя внутри интервала $(0;1)$. В силу условия 2 неравенство (14) может быть также записано в виде
$$
\begin{equation}
\frac{R(\varphi^{(-)}(j_0))j_0^2}{V}<j_0< \frac{R(\varphi^{(+)}(j_0))j_0^2}{V},
\end{equation}
\tag{15}
$$
откуда, в частности, следует положительность величины $j_0$. Неравенство (15) приводит к следующему ограничению для величины $V$:
$$
\begin{equation}
\frac{ \varphi^{(-)}(j_0)}{j_0}<V< \frac{ \varphi^{(+)}(j_0)}{j_0}.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Для определения коэффициентов $x_i$ в разложении (9) подставим асимптотику $U(x,\varepsilon$) в интегральное уравнение (6). Получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, M[U(x,\varepsilon;j,x^*(\varepsilon)),j_0]={}&j_0 \int_0^1 R(U(x,\varepsilon;j,x^*(\varepsilon)))\,dx-V ={} \notag \\ ={}&j_0 [R(\varphi^{(-)}(j_0))x_0+R(\varphi^{(+)}(j_0))(1-x_0)]-V+{} \notag \\ &+\varepsilon j_0\biggl[\,\int_{-\infty}^{+\infty}[R(\varphi^{(\pm)}(j_0)+ Q_0^{(\pm)}(\xi,j_0))-R(\varphi^{(\pm)}(j_0))]\,d \xi +{} \notag \\ &\qquad\qquad+x_1 (R(\varphi^{(-)}(j_0))-R(\varphi^{(+)}(j_0)))\biggr]+O(\varepsilon^n), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{17}
$$
где $n$ – произвольное натуральное число. Такая асимптотическая оценка следует из экспоненциального затухания функций $Q_0$ (см., например, [5]). Приравняв к нулю коэффициент при $\varepsilon^0$ в равенстве (17), получим выражение для главного члена асимптотического приближения положения внутреннего переходного слоя $x_0$:
$$
\begin{equation}
x_0=\frac{V-j_0 R(\varphi^{(+)}(j_0))}{j_0(R(\varphi^{(-)}(j_0))-R(\varphi^{(+)}(j_0)))},
\end{equation}
\tag{18}
$$
которое, используя условие 2, можно представить в виде
$$
\begin{equation}
x_0=\frac{V j_0- \varphi^{(+)}(j_0)}{\varphi^{(-)}(j_0)-\varphi^{(+)}(j_0)}.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Заметим, что неравенство (14) в условии бареттирования гарантирует принадлежность $x_0$ интервалу $(0;1)$. Приравняв к нулю коэффициент при $\varepsilon^1$ в представлении (17), получим выражение для определения $x_1$:
$$
\begin{equation}
x_1=\frac{1}{ R(\varphi^{(+)}(j_0))-R(\varphi^{(-)}(j_0))} \int_{-\infty}^{+\infty}[R(\varphi^{(\pm)}(j_0)+Q_0^{(\pm)}(\xi,j_0))-R(\varphi^{(\pm)}(j_0))]\,d \xi.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Продолжая процесс, можно показать, что все коэффициенты более высокого порядка по $\varepsilon$, т. е. $x_2, x_3,\dots$, описывающие асимптотическое приближение положения внутреннего слоя $x^*(\varepsilon)$, равны нулю. Итак, формальная асимптотика задачи (5)–(7) полностью построена. 4. Обоснование асимптотического приближенияОчевидно, что функция $U(x,\varepsilon;j_0,x_1^*),$ где $x_1^*(\varepsilon ):=x_0+\varepsilon x_1$, является дважды непрерывно дифференцируемой на интервале $(0;1)$ и вместе с $j=j_0$ удовлетворяет точно уравнению (5), т. е. Эта функция удовлетворяет также граничным условиям (7) и интегральному уравнению (6) по невязке произвольного натурального порядка по $\varepsilon$, т. е. для любого натурального $n$ выполнено
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{dU(x,\varepsilon;j_0,x_0+\varepsilon x_1)}{dx}\bigg|_{x=0}=O(\varepsilon^n),\qquad \frac{dU(x,\varepsilon;j_0,x_0+\varepsilon x_1)}{dx}\bigg|_{x=1}=O(\varepsilon^n), \\ M[U(x,\varepsilon;j_0,x_0+\varepsilon x_1),j_0] =O(\varepsilon^n). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{22}
$$
Пусть $j_{\gamma}(\varepsilon):=j_0+\varepsilon^m \gamma$, $x_{\delta}(\varepsilon):=x_0+\varepsilon x_1+\varepsilon^m\delta$, где $m$ – произвольное натуральное число, а $\delta$ и $\gamma$ – некоторые постоянные, не зависящие от $\varepsilon$. Слева от переходного слоя рассматривается вспомогательная задача
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varepsilon ^2 u'' - u+j_{\gamma}^2(\varepsilon) R(u)=0, \qquad 0 < x < x_{\delta}(\varepsilon), \\ u'(0,\varepsilon)=0, \qquad u(x_{\delta}(\varepsilon),\varepsilon)=\varphi^{(0)}(j_{\gamma}(\varepsilon)). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{23}
$$
Аналогичная вспомогательная задача рассматривается справа от переходного слоя:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varepsilon ^2 u'' - u+j_{\gamma}^2(\varepsilon) R(u)=0, \qquad x_{\delta}(\varepsilon)<x<1 , \\ u(x_{\delta}(\varepsilon),\varepsilon)=\varphi^{(0)}(j_{\gamma}(\varepsilon)), \qquad u'(1,\varepsilon)=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{24}
$$
Известно, что при выполнении условий 1–3 для произвольных фиксированных $m$, $\gamma$ и $\delta$ задачи (23) и (24) имеют соответственно решения $u^{(-)}(x,\varepsilon;j_{\gamma}(\varepsilon),x_{\delta}(\varepsilon))$ и $u^{(+)}(x,\varepsilon;j_{\gamma}(\varepsilon),x_{\delta}(\varepsilon))$ с пограничным слоем вблизи точки $x=x_{\delta}(\varepsilon)$, для которых имеют место асимптотические представления
$$
\begin{equation}
u^{(\pm)}(x,\varepsilon;j_{\gamma}(\varepsilon),x_{\delta}(\varepsilon))) =U^{(\pm)}(x,\varepsilon;j_{\gamma}(\varepsilon),x_{\delta}(\varepsilon))+O(\varepsilon^n),
\end{equation}
\tag{25}
$$
$$
\begin{equation}
\varepsilon \frac{\partial {u^{(\pm)}(x,\varepsilon;j_{\gamma}(\varepsilon),x_{\delta}(\varepsilon))}}{\partial x} = \frac{\partial{Q_0^{(\pm)}(\xi,j_{\gamma}(\varepsilon))}}{\partial \xi}+O(\varepsilon^n),
\end{equation}
\tag{26}
$$
справедливые для произвольного натурального $n$. Введем обозначение
$$
\begin{equation*}
u(x,\varepsilon;j_{\gamma}(\varepsilon),x_{\delta}(\varepsilon)): = \begin{cases} u^{(-)}(x,\varepsilon;j_{\gamma}(\varepsilon),x_{\delta}(\varepsilon)),& 0\leqslant x\leqslant x_{\delta}(\varepsilon), \\ u^{(+)}(x,\varepsilon;j_{\gamma}(\varepsilon),x_{\delta}(\varepsilon)),& x_{\delta}(\varepsilon)\leqslant x\leqslant 1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Схема дальнейших рассуждений такова. Сначала докажем, что для произвольного $\gamma$ найдется такое $\delta^*(\gamma)$, что
$$
\begin{equation}
M[u(x,\varepsilon;j_{\gamma}(\varepsilon),x_{\delta^*(\gamma)}(\varepsilon)),j_{\gamma}(\varepsilon)]=0.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Затем покажем, что существует такое $\gamma^*$, что
$$
\begin{equation}
\biggl[\frac{\partial{u^{(\pm)}(x,\varepsilon;j_{\gamma^*}(\varepsilon),x_{\delta^*(\gamma^*)}(\varepsilon))}} {\partial x}\biggr]^{+}_{-} \Bigg|_{x=x_{\delta^*(\gamma^*)}(\varepsilon)}=0.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Тогда дважды непрерывно дифференцируемая функция $u(x,\varepsilon;j_{\gamma^*}(\varepsilon),x_{\delta^*(\gamma^*)}(\varepsilon))$ и величина $ j_{\gamma^*}(\varepsilon)$ будут удовлетворять задаче (5)–(7). Для доказательства существования $\delta^*$ достаточно заметить, что для произвольного $\gamma$ найдется достаточно большое $\delta_0>0$ такое, что при достаточно малых $\varepsilon$ при любых натуральных $n$ выполняются неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, M[u(x,\varepsilon;{}&j_{\gamma}(\varepsilon),x_{\delta_0}(\varepsilon)),j_{\gamma}(\varepsilon)]={}\\ &=\varepsilon^m \biggl(j_0 [R(\varphi^{(-)}(j_0))-R(\varphi^{(+)}(j_0))]\delta_0+\gamma \frac{V}{j_0}\biggr)+O(\varepsilon^n)<0,\\ M[u(x,\varepsilon;{}&j_{\gamma}(\varepsilon),x_{-\delta_0}(\varepsilon)),j_{\gamma}(\varepsilon)]={}\\ &=\varepsilon^m \biggl(-j_0 [R(\varphi^{(-)}(j_0))-R(\varphi^{(+)}(j_0))]\delta_0+\gamma \frac{V}{j_0}\biggr)+O(\varepsilon^n)>0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
$$
Знак в последних двух неравенствах определяется условием 2. В силу непрерывной и монотонной зависимости величины $M[u(x,\varepsilon;j_{\gamma}(\varepsilon),x_{\delta}(\varepsilon)),j_{\gamma}(\varepsilon)]$ от $\delta$ существует такая непрерывная функция $\delta=\delta^*(\gamma)$, что равенство (27) выполнено. Из представления (26) и условий 1–3 следуют неравенства, справедливые для произвольного положительного $\gamma_0$ и достаточно малых $\varepsilon$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \varepsilon \biggl[&\frac{\partial{u^{(\pm)}(x,\varepsilon;j_{\gamma_0}(\varepsilon),x_{\delta^*(\gamma_0)}(\varepsilon))}} {\partial x}\biggr]^{+}_{-}\Bigg|_{x=x_{\delta^*(\gamma_0)}(\varepsilon)}={}\\ &=\gamma_0 \varepsilon^m \biggl(\frac{\partial{Q_0^{(+)}(0,j_0)}}{\partial\xi}\biggr)^{-1} \int_{\varphi^{(-)}(j_0)}^{\varphi^{(+)}(j_0)}2j_0 R(u)\, du+o(\varepsilon^m)>0, \\ \varepsilon\biggl[&\frac{\partial{u^{(\pm)}(x,\varepsilon;j_{-\gamma_0}(\varepsilon),x_{\delta^*(-\gamma_0)}(\varepsilon))}} {\partial x}\biggr]^{+}_{-}\Bigg|_{x=x_{\delta^*(-\gamma_0)}(\varepsilon)}={}\\ &=-\gamma_0 \varepsilon^m \biggl(\frac{\partial {Q_0^{(+)}(0,j_0)}}{\partial \xi}\biggr)^{-1} \int_{\varphi^{(-)}(j_0)}^{\varphi^{(+)}(j_0)}2j_0 R(u)\, du+o(\varepsilon^m)<0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{30}
$$
В силу непрерывной зависимости функции $\partial{u(x,\varepsilon;j_{\gamma}(\varepsilon),x_{\delta^*(\gamma)}(\varepsilon))}/\partial x$ от $\gamma$ из последних неравенств следует, что существует $\gamma^*$, удовлетворяющая равенству (28). Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 1. Пусть выполнены условия 1–3. Тогда при достаточно малом $\varepsilon >0$ существуют функция $u(x,\varepsilon)$ и величина $j(\varepsilon)$, удовлетворяющие задаче (5)–(7), для которых при произвольном натуральном $m$ справедливы оценки Замечание 1. Нетрудно показать, что ток $j(\varepsilon)$, удовлетворяющий задаче (5)–(7), зависит от напряжения $V$ и от малого параметра $\varepsilon$, т. е. является некоторой функцией $j=J(V,\varepsilon)$, не обращающейся тождественно в постоянную. Предположим противное, тогда $(\partial J/\partial V) \equiv 0$. Это предположение противоречит тождеству
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\partial J}{\partial V}\int_0^1 {}& R(\tilde u(x,\varepsilon,J(V,\varepsilon)))\,dx+{} \\ &+\int_0^1 \frac{\partial R(\tilde u(x,\varepsilon,J(V,\varepsilon)))}{\partial \tilde u}\frac{\partial \tilde u(x,\varepsilon,J(V,\varepsilon))}{\partial J}\frac{\partial J(V,\varepsilon)}{\partial V}\,dx-1\equiv 0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
являющемуся очевидным следствием уравнения (6). Таким образом, величина $O(\varepsilon^m)$, фигурирующая в приведенном в теореме соотношении (32), является функцией, зависящей от $V$ и, очевидно, от $\varepsilon$, причем эта функция не обращается тождественно в постоянную. 5. ЗаключениеАсимптотический подход применен для доказательства существования решения интегро-дифференциальной системы (5)–(7). Известные результаты, сформулированные в работах [1] и [2], получили строгое математическое обоснование. Во-первых, видно, что данная система способна стабилизировать ток $j$ в некотором диапазоне изменения напряжения $V$ (эффект бареттирования). Действительно, если заменить в (6) $V$ на $V_1$, то это не повлияет на значение тока $j_0$, определяемое в процессе построения асимптотики, а изменит только положение точки перехода в нулевом порядке
$$
\begin{equation*}
x_0=\frac{V j_0- \varphi^{(+)}(j_0)}{\varphi^{(-)}(j_0)-\varphi^{(+)}(j_0)}
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, изменит и общее сопротивление проволоки $\int _0^1 R(u)\,dx$. Из теоремы 1 и замечания 1 следует, что ток $j$ все-таки зависит от напряжения $V$, но чрезвычайно слабо: эта зависимость имеет сверхстепенной характер относительно малого параметра $\varepsilon$. Во-вторых, соотношение (16) позволяет оценить ширину зоны бареттирования, т. е. того диапазона, в котором ток можно считать (с учетом предыдущего замечания) не зависящим от приложенного напряжения,
$$
\begin{equation}
\Delta V= j_0[R(\varphi^{(+)}(j_0))- R(\varphi^{(-)}(j_0))],
\end{equation}
\tag{33}
$$
или в исходных размерных переменных Эта формула совпадает с формулой, приведенной в работе [2], которая была получена из других соображений. Отметим, что полученные результаты остаются справедливыми только в предположении, что параметр $\varepsilon$ достаточно мал. Если последнее условие не выполнено, границы зоны бареттирования, указанные в неравенстве (16), могут не достигаться. Заметим также, что режим работы (т. е. величина тока бареттирования $j_0$ и положение точки перехода между высоко- и низкотемпературной зонами) практически не зависит от условий на концах нити. Поэтому замена краевых условий второго рода на условия первого рода приведет к асимптотически малыми изменениям в оценках параметров бареттера. Методы, развитые в настоящей работе, могут быть применены для асимптотического анализа более сложных систем, содержащих интегральное условие типа (6), например возникающих в дрейфо-диффузионных моделях полупроводников при условии заданного напряжения (см., например, [15], [16]). В частности, интерес для дальнейшего исследования вызывает наличие неоднородности в реактивном слагаемом в системах указанного типа. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{NikVolNik24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|