| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Существование и устойчивость стационарных решений с пограничными слоями в системе быстрого и медленного уравнений реакция-диффузия-адвекция с KPZ-нелинейностями Н. Н. Нефедов, А. О. Орлов Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 220, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924070092 
Реферативные базы данных:
   1. Введение. Постановка задачиВ работе рассматривается система быстрого и медленного уравнений реакция-диффузия-адвекция с KPZ-нелинейностями, являющаяся специальным важным для приложений случаем, позволяющим получить конструктивные условия существования и устойчивости по Ляпунову таких решений как стационарных решений соответствующей параболической задачи:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal{N}_u(u,v)&:=\varepsilon^2\frac{d^2u}{dx^2}-\varepsilon^2 A(u,x)\biggl(\frac{d u}{d x}\biggr)^{\!2}-g(u,v,x,\varepsilon)=0,\\ \mathcal{N}_v(u,v)&:=\frac{d^2v}{dx^2}-B(v,x)\biggl(\frac{d v}{d x}\biggr)^{\!2}-f(u,v,x,\varepsilon)=0,\qquad 0< x < 1, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\varepsilon\in(0;\varepsilon_0]$ – малый параметр. Такие системы естественным образом возникают при моделировании быстрых бимолекулярных реакций в случае, когда один из источников (реакция, нелинейный источник, взаимодействие) интенсивный (порядка $1/\varepsilon^2$), а второй порядка единицы (см., например, [1]). Пусть для функции $u(x)$ задан один из следующих вариантов граничных условий: Для функции $v(x)$ задано условие ДирихлеДалее мы будем называть задачами (1.N) и (1.D) соответственно задачи, где для $u(x)$ задано либо условие Неймана (N), либо условие Дирихле (D). Будем опускать буквенное обозначение в тех ситуациях, где вид граничного условия не важен. Особенностью изучаемой задачи является наличие слагаемых, содержащих градиент искомой функции в квадрате. Нелинейности такого типа носят название нелинейностей Кардари–Паризи–Жанга и широко используются при моделировании процессов популяционной динамики (квадрат градиента описывает нелокальные взаимодействия [2]), роста свободной поверхности в теории полимеров, нелинейной теории теплопроводности (см., например, [3] и ссылки в этой работе). Отметим также и несомненный теоретический интерес к данной системе уравнений: квадрат является максимальным (предельным) показателем степени, при котором условия Бернштейна на рост нелинейности выполнены (нелинейность принадлежит классу функций Нагумо, см. [4]–[9]). Стационарные решения с пограничными и внутренними слоями начально-краевой задачи только в случае быстрого уравнения рассматривались в работе [10]. Пусть выполнены следующие условия. Условие A1. Пусть функции $g(u,v,x,\varepsilon)$, $f(u,v,x,\varepsilon)$ определены на множестве $\overline{\Omega}_1:=(u,v,x,\varepsilon)\in I_u\times I_v\times[0;1]\times(0;\varepsilon_0]$, а $A(u,x)$, $B(v,x)$ – на множествах $\overline{\Omega}_2:=(u,x)\in I_u\times[0;1],$ $\overline{\Omega}_3:=(v,x)\in I_v\times[0;1]$ соответственно, и являются достаточно гладкими функциями своих аргументов. Рассмотрим вырожденную дифференциально-алгебраическую систему:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &g(u,v,x,0)=0,\\ &\frac{d^2v}{dx^2}-B(v,x)\biggl(\frac{d v}{d x}\biggr)^{\!2}-f(u,v,x,0)=0,\qquad 0< x < 1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3}
$$
Потребуем для нее выполнения следующего условия разрешимости. Условие A2. Пусть уравнение $g(u,v,x,0)=0$ имеет решение $u =\varphi(v,x)$ такое, что $g_u(\varphi(v,x),v, x, 0)>0$ при $(v,x)\in\overline{\Omega}_3$, а задача имеет изолированное решение $v=\bar{v}_0(x).$ Определим $\bar{u}_0(x) =\varphi(\bar{v}_0(x),x)$, $x\in [0,1]$. Из условия A2 также следует, что $\bar{g}_u(x)\equiv g_u(\bar{u}_0(x),\bar{v}_0(x),x,0)>0$, $x\in[0,1]$ (здесь и далее черта над какой-либо функцией или ее производной означает, что ее значение берется в точке $(\bar{u}_0(x),\bar{v}_0(x),x,0)$). В задаче (1.D) потребуем выполнения стандартного условия принадлежности граничных значений $u^{0}$, $u^{1}$ области влияния корня вырожденного уравнения. Условие A3. Пусть выполнены неравенства Ниже будут сформулированы еще условия, используемые при построении асимптотики и доказательстве существования решения с построенной асимптотикой. 2. Асимптотика решенияФормальные асимптотические приближения решений краевых задач (1.D) и (1.N) строятся методом Васильевой (см. [7]) в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, U(x,\varepsilon) &= \bar{u}(x,\varepsilon) + Lu(\tau,\varepsilon)+R u(\eta,\varepsilon),\\ V(x,\varepsilon) &= \bar{v}(x,\varepsilon) + L v(\tau,\varepsilon)+R v(\eta,\varepsilon), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5}
$$
где регулярные части имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bar{u}(x,\varepsilon)&=\bar{u}_0(x)+\varepsilon\bar{u}_1(x)+ \cdots + \varepsilon^n \bar{u}_n(x) +\cdots,\\ \bar{v}(x,\varepsilon)&=\bar{v}_0(x)+\varepsilon\bar{v}_1(x)+ \cdots + \varepsilon^n \bar{v}_n(x) +\cdots, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
$$
а пограничные части в окрестности $x=0$ для $u^{0}$, $v^{0}$ и в окрестности $x=1$ для $u^{1}$, $v^{1}$ записываются как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, L u(\tau,\varepsilon)&=Lu_0(\tau)+\varepsilon Lu_1(\tau)+ \cdots + \varepsilon^n L u_n(\tau) +\cdots,\\ L v(\tau,\varepsilon)&=Lv_0(\tau)+\varepsilon Lv_1(\tau)+ \cdots + \varepsilon^n L v_n(\tau) +\cdots,\\ R u(\eta,\varepsilon)&=Ru_0(\eta)+\varepsilon Ru_1(\eta)+ \cdots + \varepsilon^n R u_n(\eta) +\cdots,\\ R v(\eta,\varepsilon)&=Rv_0(\eta)+\varepsilon Rv_1(\eta)+ \cdots + \varepsilon^n R v_n(\eta) +\cdots,\\ \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
$$
где $\tau=x/\varepsilon$, $\eta=(1- x)/\varepsilon$ – растянутые переменные в окрестностях точек $x=0$, $x=1$. Введем функции
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G\biggl(\varepsilon \frac{d u}{d x},u(x),v(x),x,\varepsilon\biggr)&:= A(u,x)\biggl(\varepsilon\frac{d u}{d x}\biggr)^{\!2}+g(u,v,x,\varepsilon), \\ F\biggl(\frac{d v}{d x},u(x),v(x),x,\varepsilon\biggr)&:= B(v,x)\biggl(\frac{d v}{d x}\biggr)^{\!2}+f(u,v,x,\varepsilon). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для этих функций используем представление Васильевой, выделяя регулярную и погранслойные составляющие:
$$
\begin{equation*}
G = \kern1.1pt\overline{\vphantom{G}\kern6.3pt}\kern-7.4pt G + LG + RG,\qquad F= \kern1.4pt\overline{\vphantom{F}\kern6.0pt}\kern-7.4pt F + L F + R F,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \kern1.1pt\overline{\vphantom{G}\kern6.3pt}\kern-7.4pt G ={}& G\biggl(\varepsilon \frac{d \bar{u}}{d x}(x,\varepsilon),\bar{u}(x,\varepsilon),\bar{v}(x,\varepsilon),x,\varepsilon\biggr),\\ L G ={}& G\biggl(\varepsilon \frac{d \bar{u}}{d x}(\tau\varepsilon,\varepsilon)+\frac{dLu}{d\tau}(\tau,\varepsilon),\bar{u}(\tau\varepsilon,\varepsilon)+Lu(\tau,\varepsilon),\bar{v}(\tau\varepsilon,\varepsilon)+Lv(\tau,\varepsilon),\tau\varepsilon,\varepsilon\biggr)-{}\\ &-G\biggl(\varepsilon \frac{d \bar{u}}{d x}(\tau\varepsilon,\varepsilon),\bar{u}(\tau\varepsilon,\varepsilon),\bar{v}(\tau\varepsilon,\varepsilon),\tau\varepsilon,\varepsilon\biggr),\\ RG ={}& G\biggl(\varepsilon \frac{d \bar{u}}{d x}(1-\eta\varepsilon,\varepsilon)+\frac{dRu}{d\eta}(\tau,\varepsilon),\bar{u}(1-\eta\varepsilon,\varepsilon)+{} \\ &+Ru(\eta,\varepsilon),\bar{v}(1-\eta\varepsilon,\varepsilon)+Rv(\eta,\varepsilon),1-\eta\varepsilon,\varepsilon\biggr)-{}\\ &-G\biggl(\varepsilon \frac{d \bar{u}}{d x}(1-\eta\varepsilon,\varepsilon),\bar{u}(1-\eta\varepsilon,\varepsilon),\bar{v}(1-\eta\varepsilon,\varepsilon),1-\eta\varepsilon,\varepsilon\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
и аналогичный вид имеют слагаемые в представлении для $F$. Далее исходная система стандартным образом расщепляется на регулярно возмущенные уравнения для регулярных и погранслойных частей асимптотики (для регулярной части дифференциальный оператор в первом уравнении является подчиненным, т. е. первое уравнение рассматривается как конечное):
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \varepsilon^2\frac{d^2\bar{u}}{d x^2}&= \kern1.1pt\overline{\vphantom{G}\kern6.3pt}\kern-7.4pt G ,&\qquad \frac{d^2\bar{v}}{d x^2}&= \kern1.4pt\overline{\vphantom{F}\kern6.0pt}\kern-7.4pt F ,\\ \frac{d^2 Lu}{d \tau^2}&=LG,&\qquad \frac{d^2 Ru}{d \eta^2}&=RG,\\ \frac{d^2 Lv}{d \tau^2}&=\varepsilon^2 LF,&\qquad \frac{d^2 Rv}{d \eta^2}&= \varepsilon^2 RF. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{9}
$$
Эти уравнения связаны через граничные условия, к которым добавлены стандартные условия убывания по растянутому аргументу на бесконечности для пограничных функций: в случае граничных условий Неймана
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{d L u}{d \tau}(0,\varepsilon)+\varepsilon \frac{d\bar u}{dx} (0,\varepsilon)=\varepsilon u^0,\qquad \frac{d R u}{d \eta}(0,\varepsilon)+\varepsilon \frac{d\bar u}{dx} (1,\varepsilon)=\varepsilon u^1, \\ Lu(+\infty,\varepsilon)=0,\qquad Ru(+\infty,\varepsilon)=0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
в случае граничных условий Дирихле
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, L u(0,\varepsilon)+\bar{u}(0,\varepsilon)=u^0,\qquad Ru(0,\varepsilon)+\bar{u}(1,\varepsilon)= u^1,\\ Lu(+\infty,\varepsilon)=0,\qquad Ru(+\infty,\varepsilon)=0 \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, L v(0,\varepsilon)+\bar{v}(0,\varepsilon)=v^0,\qquad Rv(0,\varepsilon)+\bar{v}(1,\varepsilon)= v^1, \\ Lv(+\infty,\varepsilon)=0,\qquad Rv(+\infty,\varepsilon)=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{10}
$$
Порядок определения коэффициентов асимптотического представления (5) следующий. На $k$-м шаге сначала определяются пограничные функции компоненты $v$, затем определяются функции $\bar{u}_k$, $\bar{v}_k$, после чего определяются пограничные функции компоненты $u$. Из уравнений (9) и условий на бесконечности следует, что $Lv_k(\tau)=Rv_k(\eta)=0$ при $k=0,1,2$ в случае граничных условий Неймана и при $k=0,1$ в случае граничных условий Дирихле. Регулярная часть асимптотики – функции $\bar{u}_0(x)$ и $\bar{v}_0(x)$ – определяется из вырожденной системы, определенной в условии A2. В случае условия Дирихле задачи для $Lu_0$, $Ru_0$ имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \frac{d^2 Lu_0}{d \tau^2}&=A(\bar{u}_0(0)+Lu_0(\tau),0)\biggl(\frac{dLu_0}{d\tau}\biggr)^{\!2}+g(\bar{u}_0(0)+Lu_0(\tau),\bar{v}_0(0),0,0),\\ \frac{d^2 Ru_0}{d \eta^2}&=A(\bar{u}_0(1)+Ru_0(\eta),1)\biggl(\frac{dRu_0}{d\eta}\biggr)^{\!2}+g(\bar{u}_0(1)+Ru_0(\eta),\bar{v}_0(1),1,0), \end{aligned} \\ Lu_0(0)=u^0-\bar{u}_0(0),\quad Ru_0(0)=u^1-\bar{u}_0(1), \quad Lu_0(+\infty)=0,\quad Ru_0(+\infty)=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{11}
$$
Известно, что разрешимость этих задач гарантирует условие A3. При этом существует единственное монотонное решение для каждой задачи. Решения задач (11) находятся в квадратурах и имеют стандартную экспоненциальную оценку (см., например, [8]). В случае граничных условий Неймана эти задачи имеют нулевые решения. Так как $Lv_1(\tau)=Rv_1(\eta)=0$, функции регулярной части асимптотики $\bar{u}_1(x)$ и $\bar{v}_1(x)$ определяются из краевой задачи для линейной дифференциально-алгебраической системы уравнений с нулевыми граничными условиями:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \bar{g}_u \bar{u}_1+\bar{g}_v \bar{v}_1 + \bar{g}_\varepsilon=0,\\ \frac{d^2\bar{v}_1}{dx^2}- 2 \overline{B} \frac{d \bar{v}_0}{d x}\frac{d \bar{v}_1}{dx} -\overline{B}_v \biggl(\frac{d \bar{v}_0}{d x}\biggr)^{\!2}\bar{v}_1- \bar{f}_u \bar{u}_1-\bar{f}_v \bar{v}_1 - \bar{f}_\varepsilon=0,\qquad 0< x < 1,\\ \bar{v}_1(0)=0,\qquad \bar{v}_1(1)=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{12}
$$
Используя тождество из условия A2 $g(\varphi(v,x),v,x,0)=0$, получим связь между $\bar{g}_u$ и $\bar{g}_v$: Выразим $\bar{u}_1$ из первого уравнения системы и с учетом связи подставим во второе дифференциальное уравнение. Получим задачу
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{d^2\bar{v}_1}{dx^2} - 2 \overline{B} \frac{d \bar{v}_0}{d x}\frac{d \bar{v}_1}{dx}- \biggl(\overline{B}_v \biggl(\frac{d \bar{v}_0}{d x}\biggr)^{\!2} +\bar{f}_v +\bar{\varphi}_v \bar{f}_u\biggr)\bar{v}_1=f_1,\qquad 0< x < 1,\\ \bar{v}_1(0)=0,\qquad \bar{v}_1(1)=0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{13}
$$
где $f_1$ – известная функция. Линейный дифференциальный оператор задачи (13) не является самосопряженным (приводится к дивергентному виду известной заменой). Сформулируем условие, обеспечивающее существование и единственность решения краевой задачи и, следовательно, дифференциально-алгебраической системы (12) (см. также теорему 3 в работе [11]). Условие A4. Пусть для всех $x \in [0,1]$ выполнено неравенство где $\lambda_0$ – главное собственное значение задачи Существование положительного главного собственного значения $\lambda_0$ и соответствующей положительной собственной функции $\tilde{\Psi}(x)$, $x\in(0,1)$, задачи (14) является хорошо известным результатом (см. [12], теорема 4.3). В случае граничного условия Неймана для $Lu_1$, $Ru_1$ получаем следующие задачи:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{d^2 Lu_1}{d \tau^2}=\bar{g}_u(0)Lu_1, \\ \frac{d^2 Ru_1}{d \eta^2}= \bar{g}_u(1)Ru_1, \\ \frac{d L u_1}{d\tau}(0)=u^0-\frac{d\bar{u}_0}{dx}(0),\qquad \frac{d R u_1}{d\eta}(0)=u^1-\frac{d\bar{u}_0}{dx}(1),\\ Lu_1(+\infty)=0,\qquad Ru_1(+\infty)=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Каждое из уравнений (15) является уравнением с постоянными коэффциентами. Их решения с точностью до множителя – экспоненты с показателями $-\sqrt{\bar{g}_u(0)}\tau$ и $-\sqrt{\bar{g}_u(1)}\eta$ соответственно. В случае условия Дирихле задачи для $Lu_1$, $Ru_1$ имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{d^2 Lu_1}{d\tau^2}-2 A(\bar{u}_0(0)+Lu_0(\tau),0)\frac{d Lu_0}{d\tau}\frac{d Lu_1}{d\tau}-\biggl(\frac{\partial A}{\partial u}(\bar{u}_0(0)+Lu_0(\tau),0)\times{}\\ &\qquad \times\biggl(\frac{dLu_0}{d\tau}\biggr)^{\!2}+\frac{\partial g}{\partial u}(\bar{u}_0(0)+Lu_0(\tau),\bar{v}_0(0),0,0)\biggr)Lu_1 =Lg_1(\tau),\\ &\frac{d^2 Ru_1}{d\eta^2}-2 A(\bar{u}_0(1)+Ru_0(\eta),1)\frac{dRu_0}{d\eta}\frac{dRu_1}{d\eta} -\biggl(\frac{\partial A}{\partial u}(\bar{u}_0(1)+Ru_0(\eta),1)\times{}\\ &\qquad\times\biggl(\frac{dRu_0}{d\eta}\biggr)^{\!2}+\frac{\partial g}{\partial u}(\bar{u}_0(1)+Ru_0(\eta),\bar{v}_0(1),1,0)\biggr)Ru_1 =Rg_1(\eta),\\ &L u_1(0)=-u_1(0),\qquad Ru_1(0)= -u_1(1),\qquad Lu_1(+\infty)=0,\qquad Ru_1(+\infty)=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16}
$$
где $Lg_1$ и $Rg_1$ – известные экспоненциально убывающие функции, выражаемые стандартным образом через коэффициенты асимптотического приближения, найденные на предыдущем этапе. В частности, $Lg_1$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Lg_1(\tau)={}&\biggl(\frac{\partial A}{\partial u}(\bar{u}_0(0)+Lu_0(\tau),0)\biggl(\frac{dLu_0}{d\tau}\biggr)^{\!2}+\frac{\partial g}{\partial u}(\bar{u}_0(0)+Lu_0(\tau),\bar{v}_0(0),0,0)\biggr)\times{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\times \biggl(\frac{d\bar{u}_0}{dx}(0)\tau+\bar{u}_1(0)\biggr)+{} \notag \\ &+\biggl(\frac{\partial A}{\partial x}(\bar{u}_0(0)+Lu_0(\tau),0)\biggl(\frac{dLu_0}{d\tau}\biggr)^{\!2}+\frac{\partial g}{\partial x}(\bar{u}_0(0)+Lu_0(\tau),\bar{v}_0(0),0,0)\biggr)\tau+{} \notag \\ &+\frac{\partial g}{\partial \varepsilon}(\bar{u}_0(0)+Lu_0(\tau),\bar{v}_0(0),0,0)+ 2A(\bar{u}_0(0)+Lu_0(\tau),0)\frac{d \bar{u}_0}{d x}(0)\frac{dLu_0}{d\tau}+{} \notag \\ &+\frac{\partial g}{\partial v}(\bar{u}_0(0)+Lu_0(\tau),\bar{v}_0(0),0,0)\biggl(\frac{d\bar{v}_0}{dx}(0)\tau+\bar{v}_1(0)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{17}
$$
Решения задач (16) даются в явном виде, например для $Lu_1(\tau)$ получим
$$
\begin{equation}
Lu_1(\tau)=-\bar{u}_1(0)\frac{\tilde{v}(\tau)}{\tilde{v}(0)} -\tilde{v}(\tau)\int_0^{\tau}\frac{1}{p(s)({\tilde{v}(s)})^2}\int_s^{+\infty}p(\eta)\tilde{v}(\kappa)Lg_1(\kappa)\,d\kappa\, ds,
\end{equation}
\tag{18}
$$
где
$$
\begin{equation*}
p(\xi)=\exp\biggl(-2\int_0^{\xi}A(\bar{u}_0(0)+Lu_0(y),0)\tilde v(y)\, dy\biggr),\qquad \tilde{v}(\tau)=\frac{dLu_0}{d\tau}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пограничные функции компоненты $u$ следующих порядков определяются из аналогичных задач (с тем же дифференциальным оператором), решение которых выписывается в явном виде. Пограничные функции компоненты $v$ порядка $k\geqslant 3$ в случае краевых условий Неймана и порядка $k\geqslant 2$ в случае краевых условий Дирихле определяются из неоднородных уравнений, решения которых также выписываются явно. Задачи для $Lv_k$, $Rv_k$ имеют вид
$$
\begin{equation*}
\frac{d^2 Lv_k}{d \tau^2}=LF_{k-2}(\tau),\qquad \frac{d^2 Rv_k}{d \eta^2}=RF_{k-2}(\eta),
\end{equation*}
\notag
$$
где $LF_{k-2}$, $RF_{k-2}$ – коэффициенты при $\varepsilon^{k-2}$ в разложении $LF$, $RF$ в ряд по степеням $\varepsilon$. В случае условия Неймана получаем $LF_0 = 0$, поскольку $Lu_0=0$, $Lv_0=0$, $Lv_1=0$. Следовательно, и $Lv_2 = 0$. Аналогично получим $Rv_2 = 0$. Для $Lv_3$ имеем задачу
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{d^2 Lv_3}{d \tau^2} &=LF_1(\tau) = f_u(\bar{u}_0(0), \bar{v}_0(0),0,0) Lu_1(\tau), \\ Lv_3(\infty) &= 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{19}
$$
Для $Lv_2$ в случае условия Дирихле
$$
\begin{equation*}
LF_0(\tau) = f(\bar{u}_0(0)+ Lu_0(\tau), \bar{v}_0(0),0,0) - f(\bar{u}_0(0), \bar{v}_0(0),0,0)
\end{equation*}
\notag
$$
– не равная нулю экспоненциально убывающая функция, и функция $Lv_2$ определяется из задачи
$$
\begin{equation}
\frac{d^2 Lv_2}{d \tau^2}=LF_0(\tau),\qquad Lv_2(\infty)=0.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Очевидно, что при двойном интегрировании экспоненциально убывающих функций $LF_0(\tau)$, $LF_1(\tau)$ в задачах (19) и (20) получаются также экспоненциально убывающие функции. При этом возникающая произвольная линейная часть в этих функциях будет тождественным нулем в силу условий $Lv_2(\infty)=0, Lv_3(\infty) = 0$. Таким образом, условий на бесконечности достаточно для однозначного определения функций $Lv_2(\tau)$, $Lv_3(\tau)$ в задачах (19) и (20). Аналогичным образом определим $Rv_2(\eta)$, $Rv_3(\eta)$. Пограничные функции компоненты $v$ следующих порядков определяются из аналогичных (19) и (20) задач, решения которых также находятся двойным интегрированием. Функции регулярной части асимптотики следующих по $\varepsilon$ порядков $\bar{u}_k(x)$ и $\bar{v}_k(x)$ определяются из краевых задач с таким же дифференциально-алгебраическим оператором, как в задаче для $\bar{u}_1(x)$ и $\bar{v}_1(x)$. Процесс определения коэффициентов асимптотики (5) может быть продолжен до любого порядка по $\varepsilon$. Из способа построения асимптотики стандартным образом следует, что частичные суммы $n$-го порядка $U_n(x,\varepsilon)$ для компоненты $u$ и $V_n(x,\varepsilon)$ для компоненты $v$ удовлетворяют первому уравнению системы (1) по невязке с точностью $O(\varepsilon^{n+1})$ и второму уравнению системы (1) с точностью $O(\varepsilon^{n-1})$. 3. Существование и асимптотика стационарного решенияДля доказательства существования решения в каждом из рассмотренных ниже случаев используется асимптотический метод дифференциальных неравенств (см. обзор [6] и ссылки в этой работе). Основная идея этого метода состоит в модификации построенной асимптотики для получения нижних и верхних решений рассматриваемой задачи. Напомним определение верхнего и нижнего решений. Определение 1. Функции
Известно (см., например, [13] и ссылки в этой работе), что если существуют нижнее и верхнее решения задачи (1), то существует решение $(u(x,\varepsilon),v(x,\varepsilon))$ этой задачи, удовлетворяющее для всех $x\in[0,1]$ неравенствам
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \alpha^{u}(x,\varepsilon)&\leqslant u(x,\varepsilon)\leqslant \beta^{u}(x,\varepsilon),\\ \alpha^{v}(x,\varepsilon)&\leqslant v(x,\varepsilon)\leqslant \beta^{v}(x,\varepsilon). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{21}
$$
3.1. Краевые условия НейманаРассмотрим задачу (1.N) при следующем условии квазимонотонности. Условие A5. Вектор-функция $(g,f)$ является квазимонотонно невозрастающей по $(u,v)$ в области определения и достаточно малых $\varepsilon>0$. Это условие означает, что $g_v\leqslant 0$ при фиксированном $u$, $f_u\leqslant 0$ при фиксированном $v$ в области их изменения. Введем в рассмотрение диффференциально-алгебраическую систему
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \bar{g}_u(x)\gamma_1 + \bar{g}_v(x)\gamma_2 = h_1(x), \\ \frac{d^2 \gamma_2}{d x^2}- 2 \overline{B} \frac{d \bar{v}_0}{d x}\frac{d \gamma_2}{dx}- \overline{B}_v \biggl(\frac{d \bar{v}_0}{d x}\biggr)^{\!2} \gamma_2 - [\bar{f}_u(x)\gamma_1 + \bar{f}_v(x)\gamma_2] = h_2(x), \quad x\in (0,1),\\ \gamma_2(0)> 0,\qquad \gamma_2(1)> 0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{22}
$$
где $ h_1(x) >0$, $ h_2(x) <0$ при $x\in [0,1]$. Имеет место следующий результат. Лемма 1. При выполнении условий A1, A2, A4, A5 дифференциально-алгебраическая система (22) имеет решение $\gamma_1(x)> 0$, $\gamma_2(x)> 0$. Для доказательства, выражая $\gamma_1(x)$ через $\gamma_2(x)$, получим задачу для $\gamma_2(x)$ (аналогичную задаче для $\bar{v}_1(x)$ (12)):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{d^2\gamma_2}{dx^2} - 2 \overline{B} \frac{d \bar{v}_0}{d x}\frac{d \bar \gamma_2}{dx}- \biggl(\overline{B}_v \biggl(\frac{d \bar{v}_0}{d x}\biggr)^{\!2} +\bar{f}_v +\bar\varphi_v \bar{f}_u\biggr)\gamma_2=h(x),\qquad 0< x < 1,\\ \gamma_2(0)> 0,\qquad \gamma_2(1)> 0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{23}
$$
где $ h(x)$ – известная функция, $ h(x)<0$ при $x\in [0,1]$ в силу условия A5 ($\bar{f}_u(x)\leqslant 0$) и условия $ h_1(x)>0$. Очевидно, что $\alpha=0$ является нижним решением задачи (23). Можно показать, что функция $\beta=M W(x)$, где $M$ – некоторая достаточно большая положительная постоянная, $W(x)$ – положительная собственная функция, отвечающая главному собственному значению задачи
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{d^2 \Psi}{dx^2} - 2 \overline{B} \frac{d \bar{v}_0}{d x}\frac{d \Psi}{dx} +k \Psi=0,\qquad -\delta<x<1+\delta,\quad \delta>0, \\ \Psi(-\delta)=0,\qquad \Psi(1+\delta)=0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{24}
$$
при достаточно малом $\delta$ является верхним решением задачи (23). Условие $\gamma_2(x)> 0$ и первое уравнение дифференциально-алгебраической системы приводят к тому, что $\gamma_1(x)> 0$. Теорема 1N. Если выполнены условия A1, A2, A4, A5, то при достаточно малых $\varepsilon$ существует решение $(u(x,\varepsilon),v(x,\varepsilon))$ задачи (1) и для него справедливо асимптотическое представление Доказательство. Выберем нижнее и верхнее решения задачи (1.N) $(\alpha_{n+1}^{u},\alpha_{n+1}^{v})$ и $(\beta_{n+1}^{u},\beta_{n+1}^{v})$ как модификацию формальной асимптотики порядка $(n+1)$. Для медленной компоненты $v$ это функции Рассмотрим задачу (1.N) при следующем условии квазимонотонности. Условие A5*. Вектор-функция $(g,f)$ является квазимонотонно неубывающей по $(u,v)$ в области определения и достаточно малых $\varepsilon$. Это условие означает, что $g_v\geqslant 0$ при фиксированном $u$, $f_u\geqslant 0$ при фиксированном $v$ в области их изменения. В этом случае для верхнего решения в силу условия квазимонотонности должны выполняться дифференциальные неравенства
$$
\begin{equation}
\mathcal{N}_u(\beta_{n+1}^{u}(x,\varepsilon),\alpha_{n+1}^{v}(x,\varepsilon)) \leqslant 0, \qquad \mathcal{N}_v(\alpha_{n+1}^{u}(x,\varepsilon),\beta_{n+1}^{v}(x,\varepsilon)) \leqslant 0.
\end{equation}
\tag{29}
$$
В этом случае ключевую роль в доказательстве аналога теоремы 1N играет положительность решений краевой задачи для дифференциально-алгебраической системы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \bar{g}_u(x)\gamma_1 - \bar{g}_v(x)\gamma_2 = h_1(x), \\ \frac{d^2 \gamma_2}{d x^2}- 2 \overline{B} \frac{d \bar{v}_0}{d x}\frac{d \gamma_2}{dx}- \overline{B}_v \biggl(\frac{d \bar{v}_0}{d x}\biggr)^{\!2} \gamma_2 + \bar{f}_u(x)\gamma_1 - \bar{f}_v(x)\gamma_2 = h_2(x), \qquad x\in (0,1),\\ \gamma_2(0)> 0,\qquad \gamma_2(1)> 0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $ h_1(x) >0$, $ h_2(x) <0$ при $x\in [0,1]$. Доказательство полностью аналогично доказательству леммы 1. Таким образом, справедлива теорема, аналогичная теореме 1N. Теорема 2N. Если выполнены условия A1, A2, A4, A5*, то при достаточно малых $\varepsilon$ существует решение $(u(x,\varepsilon),v(x,\varepsilon))$ задачи (1) и для него справедливо асимптотическое представление Рассмотрим задачу (1.N) в случае, когда условие квазимонотонности не выполняется. Это означает, что $g_v$ при фиксированном $u$, $f_u$ при фиксированном $v$ в области их изменения (между нижним и верхним решениями) меняют знак. В этом случае для верхнего решения должны выполняться дифференциальные неравенства (см. определение 1)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal N_u(\beta_{n+1}^{u}(x,\varepsilon),v) &\leqslant 0, \qquad\alpha _{n+1}^{v}(x,\varepsilon) \leqslant v \leqslant\beta_{n+1}^{v}(x,\varepsilon),\\ \mathcal N_v(u,\beta_{n+1}^{v}(x,\varepsilon)) &\leqslant 0, \qquad\alpha _{n+1}^{u}(x,\varepsilon) \leqslant u \leqslant\beta_{n+1}^{u}(x,\varepsilon). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{30}
$$
Выполнение дифференциальных неравенств, как и в рассмотренных выше случаях, обеспечивается положительностью решений дифференциально-алгебраической системы, принимающей вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \bar{g}_u(x)\gamma_1 - s_1\bar{g}_v(x)\gamma_2 = h_1(x), \\ \frac{d^2 \gamma_2}{d x^2}- 2 \overline{B} \frac{d \bar{v}_0}{d x}\frac{d \gamma_2}{dx}- \overline{B}_v \biggl(\frac{d \bar{v}_0}{d x}\biggr)^{\!2} \gamma_2 + s_2\bar{f}_u(x)\gamma_1 - \bar{f}_v(x)\gamma_2 = h_2(x), \quad x\in (0,1),\\ \gamma_2(0)> 0,\qquad \gamma_2(1)> 0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{31}
$$
при некотором выборе $ h_1(x) >0$, $ h_2(x) <0$, где $x\in [0,1]$, $s_i\in [-1,1]$. Действуя по схеме доказательства леммы 1, можно показать, что $\gamma_1(x)$ и $\gamma_2(x)$ положительны при выполнении следующего условия. Условие A5**. Пусть для всех $x \in [0,1]$ выполнено неравенство Теорема 3N. Если выполнены условия A1, A2, A4, A5**, то при достаточно малых $\varepsilon$ существует решение $(u(x,\varepsilon),v(x,\varepsilon))$ задачи (1) и для него справедливо асимптотическое представление 3.2. Краевые условия ДирихлеВ случае краевых условий Дирихле для компоненты $u$ рассмотрение задачи (1.D) проводится по аналогичной схеме с небольшими изменениями в структуре верхних и нижних решений. В случае выполнения условия квазимонотонности A5 справедлива следующая теорема. Теорема 1D. Если выполнены условия A1–A5, то при достаточно малых $\varepsilon$ существует решение $(u(x,\varepsilon),v(x,\varepsilon))$ задачи (1) и для него справедливо асимптотическое представление Доказательство теоремы 1D аналогично доказательству теоремы 1N. Нижние и верхние решения задачи (1.D) задаются соотношениями
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \alpha_{n+1}^{u}(x,\varepsilon)&=\sum^{n+1}_{k=0}\varepsilon^k (\bar{u}_k(x)+ Lu_k(\tau) + Ru_k(\eta)) - \varepsilon^{n+1}\gamma_1(x)-\varepsilon^{n+1}( Lu_\alpha(\tau) + Ru_\alpha(\eta)),\\ \beta_{n+1}^{u}(x,\varepsilon)&=\sum^{n+1}_{k=0}\varepsilon^k (\bar{u}_k(x)+ Lu_k(\tau) + Ru_k(\eta)) + \varepsilon^{n+1}\gamma_1(x)+\varepsilon^{n+1}( Lu_\beta(\tau) + Ru_\beta(\eta))\\ \end{aligned}
\end{equation}
\tag{32}
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \alpha_{n+1}^{v}(x,\varepsilon)={}&\sum^{n+1}_{k=0}\varepsilon^k \bar{v}_k(x)+ \sum^{n+3}_{k=2}\varepsilon^k( Lv_k(\tau) + Rv_k(\eta)) -{} \\ &- \varepsilon^{n+1}\gamma_2(x)-\varepsilon^{n+3}( Lv_\alpha(\tau) + Rv_\alpha(\eta)),\\ \beta_{n+1}^{v}(x,\varepsilon)={}&\sum^{n+1}_{k=0}\varepsilon^k \bar{v}_k(x)+ \sum^{n+3}_{k=2}\varepsilon^k( Lv_k(\tau) + Rv_k(\eta)) +{} \\ &+\varepsilon^{n+1}\gamma_2(x)+\varepsilon^{n+3}( Lv_\beta(\tau) + Rv_\beta(\eta)), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где положительные функции $\gamma_1(x$) и $\gamma_2(x)$ определены в лемме 1, а положительные функции $Lu_{\alpha}(\tau)$, $Ru_{\alpha}(\eta),$ $Lv_{\alpha}(\tau)$, $Rv_{\alpha}(\eta)$ определяются из задач
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, &\frac{d^2 Lu_\alpha}{d\tau^2}-2 A(\bar{u}_0(0)+Lu_0(\tau),0)\frac{dLu_0}{d\tau}\frac{dLu_\alpha}{d\tau}-\biggl(\frac{\partial A}{\partial u}(\bar{u}_0(0)+{}\\ &\qquad\qquad\qquad+Lu_0(\tau),0)\biggl(\frac{dLu_0}{d\tau}\biggr)^{\!2}+\frac{\partial g}{\partial u}(\bar{u}_0(0)+Lu_0(\tau),\bar{v}_0(0),0,0)\biggr)Lu_\alpha ={} \\ &\qquad\qquad=Lg_\alpha(\tau)-C_0 e^{-\kappa_0 \tau}\equiv \psi_\alpha(\tau),\\ &\frac{d^2 Ru_\alpha}{d\eta^2}-2 A(\bar{u}_0(1)+Ru_0(\eta),1)\frac{dRu_0}{d\eta}\frac{dRu_\alpha}{d\eta}-\biggl(\frac{\partial A}{\partial u}(\bar{u}_0(1)+{}\\ &\qquad\qquad\qquad+Ru_0(\eta),1)\biggl(\frac{dRu_0}{d\eta}\biggr)^{\!2}+\frac{\partial g}{\partial u}(\bar{u}_0(1)+Ru_0(\eta),\bar{v}_0(1),1,0)\biggr)Ru_\alpha ={} \\ &\qquad\qquad=Rg_\alpha(\eta)-C_1 e^{-\kappa_1\eta}\equiv \psi_\alpha(\eta), \end{aligned}\\ \frac{d^2 Lv_\alpha}{d\tau^2}=Lf_\alpha(\tau),\qquad \frac{d^2 Rv_\alpha}{d\eta^2}=Rf_\alpha(\eta), \\ L u_\alpha(0)=0,\qquad Ru_\alpha(0)= 0,\qquad Lu_\alpha(+\infty)=0,\qquad Ru_\alpha(+\infty)=0,\\ L v_\alpha(+\infty)=0,\qquad Rv_\alpha(+\infty)= 0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{33}
$$
где $C_0$, $C_1$, $\kappa_0$ и $\kappa_1$ – некоторые положительные постоянные, которые выбраны так, что $\psi_\alpha(\tau)$ и $\psi_\alpha(\eta)$ отрицательны, а $Lg_\alpha(\tau)$, $Rg_\alpha(\eta)$, $Lf_\alpha(\tau)$, $Rf_\alpha(\eta)$ – известные стандартные экспоненциально убывающие функции, возникающие после подстановки модифицированных нижних решений в регулярной части асимптотики. Например, $Lg_\alpha(\tau)$, $Lf_\alpha(\tau)$ имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Lg_\alpha(\tau)={}&\biggl(\frac{\partial A}{\partial u}(\bar{u}_0(0)+Lu_0(\tau),0)\biggl(\frac{dLu_0}{d\tau}\biggr)^{\!2}\biggr)\gamma_1(0)+{} \\ &+\biggl(\frac{\partial g}{\partial u}(\bar{u}_0(0)+Lu_0(\tau),\bar{v}_0(0),0,0) - \frac{\partial g}{\partial u}(\bar{u}_0(0),\bar{v}_0(0),0,0) \biggr)\gamma_1(0) +{} \\ &+ \biggl(\frac{\partial g}{\partial v}(\bar{u}_0(0)+Lu_0(\tau),\bar{v}_0(0),0,0) - \frac{\partial g}{\partial v}(\bar{u}_0(0),\bar{v}_0(0),0,0)\biggr)\gamma_2(0),\\ Lf_\alpha(\tau)={}&\biggl(\frac{\partial f}{\partial u}(\bar{u}_0(0)+Lu_0(\tau),\bar{v}_0(0),0,0) - \frac{\partial f}{\partial u}(\bar{u}_0(0),\bar{v}_0(0),0,0) \biggr)\times{} \\ &\times (\gamma_1(0)+Lu_\alpha(\tau)) + \biggl(\frac{\partial f}{\partial v}(\bar{u}_0(0)+Lu_0(\tau),\bar{v}_0(0),0,0)\biggr)\gamma_2(0)-{} \\ &-\frac{\partial f}{\partial v}(\bar{u}_0(0),\bar{v}_0(0),0,0)\gamma_2(0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{34}
$$
Аналогичный вид имеют функции $Rg_\alpha(\eta)$, $Rf_\alpha(\eta)$. Функции $Lu_{\beta}(\tau)$ и $Ru_{\beta}(\eta)$ в верхнем решении определяются из аналогичных задач, где $\psi_\beta(\tau)$ и $\psi_\beta(\eta)$ отрицательны. Экспоненциально убывающие положительные поправки к нижнему и верхнему решениям компоненты $u$ определяются по формулам, аналогичным формуле (18). Экспоненциальные поправки к нижнему и верхнему решениям компоненты $v$ находятся двойным интегрированием, они выбраны так, чтобы при проверке дифференциальных неравенств (27) коэффициент при $\varepsilon^{n+1}$ , содержащий функции $Lu_0(\tau)$, $Lu_\alpha(\tau)$, $Ru_0(\eta)$, $Ru_\alpha(\eta)$, был равен нулю. Аналогичным образом определяются $Lv_{\beta}(\tau)$ и $Rv_{\beta}(\eta)$. Проверка дифференциальных неравенств (27) проводится стандартным образом. Условие упорядоченности 1 (см. определение 1), очевидно, выполняется. Для верхнего решения имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal N_u(\beta_{n+1}^{u}(x,\varepsilon),&\beta_{n+1}^{v}(x,\varepsilon))= -\varepsilon^{n+1}[\bar{g}_u(x)\gamma_1 + \bar{g}_v(x)\gamma_2] -{}\\ &\qquad\qquad\qquad-\varepsilon^{n+1}(C_0 e^{-\kappa_0 \tau}+C_1 e^{-\kappa_1 \eta})+ O(\varepsilon^{n+2})={}\\ &=-\varepsilon^{n+1}h_1(x)- \varepsilon^{n+1}(C_0 e^{-\kappa_0 \tau}+C_1 e^{-\kappa_1 \eta})+ O(\varepsilon^{n+2})\leqslant -c\varepsilon^{n+1}, \\ \mathcal N_v(\beta_{n+1}^{u}(x,\varepsilon),{}&\beta_{n+1}^{v}(x,\varepsilon)) =\varepsilon^{n+1}\biggl(\frac{d^2 \gamma_2}{ dx^2} - 2 \overline{B} \frac{d \bar{v}_0}{d x}\frac{d \gamma_2}{dx} -{} \\ &\qquad\qquad\qquad-\overline{B}_v \biggl(\frac{d \bar{v}_0}{d x}\biggr)^{\!2}\gamma_2 - \bar{f}_u \gamma_1-\bar{f}_v \gamma_2 \biggr)+O(\varepsilon^{n+2})={} \\ &=\varepsilon^{n+1}h_2(x)+O(\varepsilon^{n+2})\leqslant -c\varepsilon^{n+1} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{35}
$$
при достаточно малых $\varepsilon$ в силу леммы 1. Проверка дифференциальных неравенств для нижнего решения проводится аналогично. В случае выполнения условия квазимонотонности A5* справедлива следующая теорема. Теорема 2D. Если выполнены условия A1–A5*, то при достаточно малых $\varepsilon$ существует решение $(u(x,\varepsilon),v(x,\varepsilon))$ задачи (1) и для него справедливо асимптотическое представление Проверка дифференциальных неравенств в этом случае практически повторяет проверку при доказательстве теоремы 1D. Рассмотрим теперь случай, когда условие квазимонотонности не выполняется. В этом случае для верхнего решения должны выполняться неравенства (30). Действуя, как и в доказательстве теоремы 1D, получим, что выражения (35) имеют такой же вид, как и при доказательстве теоремы 1D. Но функции $\gamma_1(x$) и $\gamma_2(x)$ определены в этом случае как решения дифференциально-алгебраической системы (31) при выполнении условия A5**. Эти функции участвуют и в определении погранслойных поправок для верхнего и нижнего решений в выражениях (32). Имеет место следующая теорема. Теорема 3D. Если выполнены условия A1–A5**, то при достаточно малых $\varepsilon$ существует решение $(u(x,\varepsilon),v(x,\varepsilon))$ задачи (1) и для него справедливо асимптотическое представление 4. Асимптотическая устойчивость решенийРешения краевых задач (1.D) или (1.N), существование которых доказано в теоремах в предыдущем разделе, можно рассматривать как стационарные решения соответствующей начально-краевой параболической задачи для системы
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, L_u(u,v)&:=\varepsilon^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\varepsilon^2 A(u,x)\biggl(\frac{\partial u}{\partial x}\biggr)^{\!2}-\frac{\partial u }{\partial t}-g(u,v,x,\varepsilon)=0,\\ L_v(u,v)&:=\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}-B(v,x)\biggl(\frac{\partial v}{\partial x}\biggr)^{\!2}-\frac{\partial v }{\partial t}-f(u,v,x,\varepsilon)=0,\quad 0< x < 1,\; t>0, \end{aligned}\\ u(x,0,\varepsilon) = u^0(x,\varepsilon),\qquad v(x,0,\varepsilon) = v^0(x,\varepsilon),\qquad x\in[0,1], \end{gathered}
\end{equation}
\tag{36}
$$
с заданными краевыми условиями для этих задач. Обозначим эти решения $u_s(x,\varepsilon)$, $v_s(x,\varepsilon)$. Устойчивость по Ляпунову этих решений как стационарных решений задачи (36) очевидным образом следует из того, что нижнее и верхнее решения краевой задачи являются нижним и верхним решениями задачи (36) при условии
$$
\begin{equation*}
\alpha^u_{n+1}(x,\varepsilon)\leqslant u^0(x,\varepsilon)\leqslant \beta^u_{n+1}(x,\varepsilon),\qquad \alpha^v_{n+1}(x,\varepsilon)\leqslant v^0(x,\varepsilon)\leqslant \beta^v_{n+1}(x,\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство асимптотической устойчивости по Ляпунову решений $u_s(x,\varepsilon)$, $v_s(x,\varepsilon)$ как стационарных решений задачи (36) использует эффективный во многих классах задач подход построения верхних и нижних решений специальной структуры (см. [6] и ссылки в этой работе). Будем искать верхнее и нижнее решения задачи (36) в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, U_\beta(x,t,\varepsilon)&=u_s(x,\varepsilon)+(\beta^u_{n+1}(x,\varepsilon)-u_s(x,\varepsilon))e^{-\lambda\varepsilon t},\\ U_\alpha(x,t,\varepsilon)&=u_s(x,\varepsilon)+(\alpha^u_{n+1}(x,\varepsilon)-u_s(x,\varepsilon))e^{-\lambda\varepsilon t},\\ V_\beta(x,t,\varepsilon))&=v_s(x,\varepsilon)+(\beta^v_{n+1}(x,\varepsilon)-v_s(x,\varepsilon))e^{-\lambda\varepsilon t},\\ V_\alpha(x,\varepsilon)&=v_s(x,\varepsilon)+(\alpha^v_{n+1}(x,\varepsilon)-v_s(x,\varepsilon))e^{-\lambda\varepsilon t}, \qquad x\in (0,1), \quad t\in \mathbb{R}^+,\end{aligned}
\end{equation}
\tag{37}
$$
где $(\alpha^u_{n+1}(x,\varepsilon)$, $\alpha^v_{n+1}(x,\varepsilon))$ и $(\beta^u_{n+1}(x,\varepsilon)$, $\beta^v_{n+1}(x,\varepsilon))$ – нижнее и верхнее решения этой задачи, $\lambda>0$ – постоянная. Стандартные преобразования, использующие уравнения для членов асимптотики стационарных решений, дифференциальные неравенства для стационарных нижних и верхних решений, а также оценки разности производных асимптотики решений
$$
\begin{equation}
\bigg|\frac{d u_s(x,\varepsilon )}{d x}-\frac{d {{U}_{n}}(x,\varepsilon )}{d x}\bigg|=O(\varepsilon^{n}), \qquad \bigg|\frac{d v_s(x,\varepsilon )}{d x}-\frac{d {{V}_{n}}(x,\varepsilon )}{d x}\bigg|=O(\varepsilon^{n+1}),
\end{equation}
\tag{38}
$$
являющейся следствием доказанной в [7] теоремы для общей краевой задачи (подробнее см. доказательство аналогичной оценки в [14]), показывают, что выполняются соответствующие дифференциальные неравенства для верхних и нижних решений, определенных выражениями (37). В частности, для верхних решений при условии квазимонотонности A5 для стационарного решения, определенного в теореме 1N, после подстановки имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, L_u( U_\beta, V_\beta)&= e^{-\lambda\varepsilon t} (\mathcal N_u(\beta_{n+1}^{u}(x,\varepsilon),\beta_{n+1}^{v}(x,\varepsilon))+\varepsilon\lambda(\beta_{n+1}^{u}-u_s) + O(\varepsilon^{2n+2})) < 0,\\ L_v( U_\beta, V_\beta)&= e^{-\lambda\varepsilon t} (\mathcal N_v(\beta_{n+1}^{u}(x,\varepsilon),\beta_{n+1}^{v}(x,\varepsilon))+\varepsilon\lambda(\beta_{n+1}^{v}-v_s) + O(\varepsilon^{2n+2})) < 0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{39}
$$
при достаточно малых $\varepsilon$ и $\lambda>0$ при $n\geqslant0$ в силу дифференциальных неравенств (35) для $\mathcal N_u(\beta_{n+1}^{u}(x,\varepsilon),\beta_{n+1}^{v}(x,\varepsilon))$ и $\mathcal N_v(\beta_{n+1}^{u}(x,\varepsilon),\beta_{n+1}^{v}(x,\varepsilon))$, так как $(\beta_{n+1}^{u}-u_s)=O(\varepsilon^{n+1})$, $(\beta_{n+1}^{v}-v_s)=O(\varepsilon^{n+1})$. Аналогичным образом проверяется дифференциальное неравенство для $(U_\alpha(x,t,\varepsilon),V_\alpha(x,t,\varepsilon))$. Проверка условий для задачи (1.D) полностью аналогична. Из (39) следует существование решения задачи (36) при условии $\alpha^u_{1}(x,\varepsilon)\leqslant u^0(x,\varepsilon)\leqslant \beta^u_{1}(x,\varepsilon)$, $\alpha^v_{1}(x,\varepsilon)\leqslant v^0(x,\varepsilon)\leqslant \beta^v_{1}(x,\varepsilon)$, где нижние и верхние решения определены в (37). Из теоремы единственности решения задачи и структуры нижних и верхних решений, определяемых в (37), следует локальная единственность решения краевой задачи (1). Теорема 1NS. При выполнении условий A1, A2, A4, A5 при достаточно малых $\varepsilon$ стационарное решение $(u_s(x,\varepsilon),v_s(x,\varepsilon))$ асимптотически устойчиво по Ляпунову как решение задачи (36) с областью устойчивости, по крайней мере, Теорема 1DS. При выполнении условий A1–A5 при достаточно малых $\varepsilon$ стационарное решение $(u_s(x,\varepsilon),v_s(x,\varepsilon))$ асимптотически устойчиво по Ляпунову как решение задачи (36) с областью устойчивости, по крайней мере, Для стационарных решений, существование которых установлено в теоремах 2N, 3N, 2D, 3D, имеют место аналоги этих теорем. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{NefOrl24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|