| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О диффузии бесстолкновительного газа В. В. Козлов Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 219, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S004057792404010X 
Реферативные базы данных:
    1. Уравнение диффузииРечь пойдет о следующем дифференциальном уравнении:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial t}=t\sigma^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+ \mu\sigma^2[f'(x-ct)-f'(x+ct)],
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $u\colon \mathbb{R}_{t,x} \to \mathbb{R}$ – неизвестная функция двух переменных, $\sigma^2$, $c$ – положительные константы ($c$ – скорость распространения возмущения),
$$
\begin{equation*}
\mu=e^{-c^2/2\sigma^2}\biggl[\,\int_{-c}^c e^{-x^2/2\sigma^2}\,dx\biggr]^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
$\xi \mapsto f(\xi)$ – вещественная дифференцируемая функция ($f'=df/d\xi$), определяющая задачу Коши для уравнения (1.1): Легко проверить, что уравнение (1.1) обратимо: оно не меняется при обращении времени $t \mapsto -t$. При $c \to \infty$ уравнение (1.1) переходит в обратимое уравнение
$$
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial t}=t\sigma^2\,\frac{\partial^2u}{\partial x^2}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Замена времени $t \mapsto \tau=t^2/2$ превращает его в классическое уравнение теплопроводности $u'_\tau=\sigma^2u''_{xx}$ с тем же начальным условием. Неоднородная часть уравнения (1.1) представляет собой две одинаковые волны, которые разбегаются в разные стороны с одной и той же скоростью $c$. Устремим теперь в уравнении (1.1) скорость $c$ к нулю, считая начальное условие дважды непрерывно дифференцируемой функцией. Раскрывая неопределенность в неоднородной части (1.1) по обычному правилу, приходим к уравнению
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial(u-f)}{\partial t}= t\sigma^2\,\frac{\partial^2(u-f)}{\partial x^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $u-f=0$ при $t=0$, его единственным ограниченным решением будет $u(t,x)=f(x)$. Так что при $c=0$ никакого распространения возмущений вообще не будет. Строго говоря, (1.1) не является дифференциальным уравнением в обычном смысле, поскольку неоднородное возмущение зависит от начального условия. Тем не менее оно обладает рядом свойств, которые позволяют отнести его к уравнениям параболического типа. Отметим еще, что в теории обобщенных решений рассматриваются дифференциальные уравнения, правые части которых явно зависят от начальных условий (см., например, п. 3.5 в [1]). Теорема 1. Если $f$ – ограниченная и непрерывно дифференцируемая функция, то в области $\mathbb{R}_{t,x}\setminus\{t=0\}$ существует единственное ограниченное решение $u(t,x)$ такое, что: Если $f=\alpha=\operatorname{const}$, то решением уравнения (1.1) (с условием Коши (1.2)), очевидно, будет $u(t,x)=\alpha$. Пусть $f(x)=\alpha+g(x)$ и функция $|g(x)|$ суммируемая на $\mathbb{R}$. Тогда $u(t,x)\to\alpha$ при $|t|\to\infty$ равномерно по $x$. Утверждение п. 5 теоремы 1 указывает на конечность скорости распространения диффузии (которая не превосходит $c$). Предположения об аналитичности начального условия $f$ еще не гарантирует аналитичности решения уравнения (1.1) на плоскости $\mathbb{R}^2=\{t,x\}$. Это неверно уже для уравнения (1.3): наличие множителя $t$ в правой части (1.3) не спасает положения, как можно убедиться с помощью простого изменения классического примера Ковалевской. Теорема 1 доказывается просто. Положим
$$
\begin{equation}
u(t,x)=\int_{-c}^c f(x-vt)e^{-v^2/2\sigma^2}\,dv \cdot \biggl(\,\int_{-c}^c e^{-x^2/2\sigma^2}\,dx\biggr)^{\!-1}.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Ясно, что $u(0,x)=f(x)$. Эта функция удовлетворяет уравнению (1.1). Точнее, ее следует представить в следующем виде:
$$
\begin{equation}
u(t,x)=\frac{1}{t}\int_{x-ct}^{x+ct} f(z) e^{-(x-z)^2/(2\sigma^2t^2)}\,dz\cdot\biggl(\, \int_{-c}^c e^{-x^2/2\sigma^2}\,dx\biggr)^{\!-1}.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Если функция $f$ непрерывна и ограничена, то она дифференцируема на плоскости $\mathbb{R}^2=\{t,x\}$ за вычетом оси $\{t=0\}$. Тем не менее $u(t,x) \rightrightarrows f(x)$ при $t\to 0$. Если $f \in C^1(\mathbb{R})$, то после дифференцирования по $t$ и двух дифференцирований по $x$ приходим к уравнению (1.1). Из формулы (1.5) сразу же вытекает утверждение п. 2 теоремы. Заключение п. 3 следует из явных формул для последовательных производных функции (1.5) (типа формулы (1.1)). Если $|f(\,\cdot\,)|$ – суммируемая на $\mathbb{R}$ функция, то из (1.5) вытекает неравенство где
$$
\begin{equation}
M=\int_{-\infty}^\infty|f(z)|\,dz,\qquad \nu^{-1}=\int_{-c}^c e^{-x^2/2\sigma^2}\,dx.
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Следовательно, $u(t,x) \rightrightarrows 0$ при $|t| \to \infty$. Пусть теперь точка $x \in \mathbb{R}$ находится на расстоянии $d(x)$ от носителя функции $f$ (где она отлична от нуля). Так как $|v|\leqslant c$, то $f(x-vt)=0$, если $|t|<d(x)/c$. Для доказательства заключения п. 5 остается применить формулу (1.4). Нам осталось доказать единственность ограниченного решения уравнения (1.1) с ограниченным начальным условием (1.2). Действительно, пусть $u_1$ и $u_2$ – два таких решения с одним и тем же данным Коши (1.2). Тогда (ввиду линейности) функция $u=u_1-u_2$ удовлетворяет уравнению теплопроводности $u'_t=t\sigma^2 u''_{xx}$ с нулевым начальным условием. Но, как известно, ввиду предположения об ограниченности $u_1$ и $u_2$ функция $u$ тождественно равна нулю. Замечание. Уравнение (1.1) можно представить как неоднородное возмущение классического уравнения теплопроводности: 2. Газ ЮттнераУравнение (1.1) имеет прямое отношение к диффузии плотности бесстолкновительного релятивистского газа. Такой газ часто называют газом Юттнера [2]; длина свободного пробега частиц считается много больше размеров сосуда. Нерелятивистский бесстолкновительный газ – это газ Кнудсена. Если частицы движутся по одной прямой, то бесстолкновительный газ можно представить как континуум одинаковых частиц, которые постоянно упруго сталкиваются друг с другом: как известно, при упругом ударе одинаковых частиц происходит обмен их скоростей. Рассмотрим ансамбль частиц, движущихся по инерции по прямой. Пусть $H(p)$ – функция Гамильтона, $p$ – импульс частицы. Уравнения свободного движения имеют совсем простой вид:
$$
\begin{equation}
\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p}\quad (=h(p)),\qquad \dot{p}=0.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Пусть функция $H$ четна по $p$, а ее производная (скорость частицы) монотонно изменяется от $-c$ до $c$ при изменении $p$ от $-\infty$ до $+\infty$. Выразительным примером служит релятивистский гамильтониан где $m_0$ – масса покоя частицы, $c$ – скорость света.Статистическое уравнение Лиувилля для системы (2.1) имеет следующий вид:
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial\rho}{\partial x}h(p)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Оно немедленно решается: если $\rho_0(x,p)$ – плотность ансамбля в начальный момент, то Общие свойства таких решений для газа Юттнера указаны в работе [3]. Особое внимание уделено изучению плотности в конфигурационном пространстве: Пусть, в частности, где $f$ и $\varphi$ – неотрицательные интегрируемые функции, причем Тогда
$$
\begin{equation}
u(t,x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-h(p)t)\varphi(p)\,dp.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Так как $\rho_0$ – плотность распределения вероятностей в пространстве $\mathbb{R}^2=\{p,x\}$, то и, следовательно, При некоторых общих естественных предположениях, указанных в работе [3], плотность (2.3) стремится к нулю равномерно по $x$ при $|t|\to\infty$. Это заведомо так, если, например, функция $\varphi$ ограничена, а функция $f$ обладает компактным носителем. Однако в общем случае не удается указать уравнение в частных производных конечного порядка, которому удовлетворяет функция (2.4). Если положить
$$
\begin{equation}
\varphi(p)=h'(p)e^{-h^2(p)/2\sigma^2}\cdot\biggl(\, \int_{-\infty}^\infty h'(p)e^{-h^2(p)/2\sigma^2}\,dp\biggr)^{\!-1},
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
то после замены $v=h(p)$ (напомним, что согласно предположению $h'(p)>0$ для всех $p \in \mathbb{R}$) для плотности $u(t,x)$ получаем формулу (1.4). Следовательно, $u(0,x)=f(x)$ и (согласно разделу 1) эта функция удовлетворяет уравнению (1.1). Стоит подчеркнуть, что распределение (2.5) не совпадает с каноническим распределением Гиббса в статистической механике $Z^{-1}e^{-\beta H}$, где $\beta>0$, а $Z$ – нормировочный множитель. Для гамильтоновых систем с релятивистским гамильтонианом (2.2) распределение Гиббса обычно называют распределением Юттнера (см. [4]). В разделе 5 обсуждается диффузия плотности релятивистского газа при других выборах функции $\varphi(p)$. 3. Обобщенное решениеПоскольку релятивистский газ предполагается бесстолкновительным, его плотность в конфигурационном пространстве может иметь сингулярности. В этом случае следует говорить об обобщенном решении уравнения (1.1). Рассмотрим случай, когда в начальный момент весь газ сосредоточен в одной точке $x=0$, а распределение по импульсам по-прежнему имеет вид (2.5). Тогда можно положить $f(z)=\delta(z)$. Согласно формуле (1.5)
$$
\begin{equation}
u(t,x)=\frac{e^{-x^2/(2\sigma^2 t^2)}}{|t|}\cdot\biggl(\, \int_{-c}^c e^{-x^2/2\sigma^2}\,dx\biggr)^{\!-1}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
внутри светового конуса (когда $x^2<c^2t^2$) и $u(t,x)=0$ во всех остальных точках плоскости $\mathbb{R}^2=\{t,x\}$. Из (3.1) вытекает, что $u(t,x) \to 0$ при $|t|\to\infty$ как $1/t$, если $x \ne 0$. На границе светового конуса $u(t,x)=C/|t|$, где $C>0$ – некоторая константа. Так что функция плотности $u(t,x)$ не гладкая (она даже разрывная) в каждой из полуплоскостей $\{t>0\}$ и $\{t<0\}$. Но это обстоятельство не противоречит теореме 1, поскольку дельта-функцию Дирака никак нельзя считать ограниченной. Согласно (3.1)
$$
\begin{equation}
\int_{-\infty}^\infty u(t,x)\,dx=\int_{-ct}^{ct}u(t,x)\,dx=1.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Впрочем, последнее равенство очевидно с самого начала, так как скорость всех частиц не превосходит $c$. Поскольку $u\geqslant 0$ и выполнено (3.2), то в каждый момент времени функцию $u$ можно считать плотностью распределения вероятностей в конфигурационном пространстве. В частности, можно вычислить энтропию этого распределения и рассмотреть ее эволюцию со временем. Хорошо известно, что энтропия исходного распределения в фазовом пространстве $\mathbb{R}^2=\{p,x\}$ постоянна как функция времени. Энтропию (3.3) следует считать грубой: она возникает при огрублении исходной плотности $\rho(t,x,p)$ путем ее усреднения по импульсам. В итоге существенная часть информации теряется и функция (3.3) уже не будет постоянной. Обычно огрубление сводится к усреднению плотности $\rho$ по ячейкам малого диаметра, на которые разбивают фазовое пространство (см., например, [5], [6]). Если в качестве плотности распределения взять функцию (3.1), то энтропия (3.3) с точностью до аддитивной константы будет равна $\ln|t|$. Следовательно, она возрастает вместе с ростом $|t|$. С другой стороны, несколько неожиданным выглядит тот факт, что $s(t)$ стремится к $-\infty$ (а не к нулю) при $t \to 0$. Эти наблюдения можно обобщить. Пусть $z \mapsto g(z)$ – гладкая функция, заданная на полупрямой $\{z \geqslant 0\}$. Положим Теорема 2. Пусть $g(z)-zg'(z)>0$ ($<0 $) для всех $z>0$. Тогда $\dot\varkappa(t)>0$ ($<0$) для всех $t>0$. Действительно, если плотность $u$ задается формулой (3.1), то
$$
\begin{equation*}
\varkappa(t)=\int_{-c}^c g(U)\,dw,\qquad\text{где}\quad U=\frac{\nu}{t}e^{-w^2/2\sigma^2},
\end{equation*}
\notag
$$
а $\nu$ определяется в (1.7). Следовательно, Что и требовалось доказать. Положим, например, $g(z)=-z\ln z$. Тогда $g-zg'=z>0$. Следовательно, грубая энтропия возрастает при положительных $t$. Если же $g(z)=z^2/2$, то $g-zg'=-z^2/2<0$. В этом случае функция (3.4) убывает. Отметим, что функция $z \mapsto g(z)-zg'(z)$ является двойственной по Лежандру к функции $z \mapsto g(z)$ (но только выраженной через исходную переменную $z$). Если $g(\,\cdot\,)$ – выпуклая вверх функция (т. е. $g''<0$), то $g(z)-zg'(z)$ возрастает при положительных $z$. Если же функция $g$ выпукла вниз, то эта разность, наоборот, убывает. 4. Уравнение диффузии на окружностиПусть $S=\{x\mod{2\pi}\}$ – окружность и пусть $f\colon S \to \mathbb{R}$ – непрерывно дифференцируемая функция. Уравнение (1.1) будет уравнением на $S$, поскольку его правая часть $2\pi$-периодична по $x$. Более того, решение (1.4) также будет периодическим по $x$ с периодом $2\pi$; следовательно, его можно рассматривать как функцию на цилиндре $\mathbb{R}_t \times S$. Для уравнения диффузии на окружности справедлива теорема 1 о существовании и единственности периодических по $x$ решений, удовлетворяющих свойствам 1–5. Но только свойство 4 следует уточнить. С этой целью рассмотрим более общую формулу (1.4): где $\varphi$ – бесконечно дифференцируемая функция на $\mathbb{R}=\{v\}$. Представим периодическую функцию $f$ (данное Коши) в виде $\langle f\rangle+g$, где
$$
\begin{equation*}
\langle f\rangle=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(x)\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
а среднее $2\pi$-периодической функции $g$ равно нулю. Пусть $G_1 \in C^2(S)$ – первообразная функции $g$; она $2\pi$-периодична, но определена с точностью до произвольного аддитивного слагаемого. Выберем среди них одну с нулевым средним значением. Тогда найдется единственная функция $G_2 \in C^3(S)$ с нулевым средним такая, что $dG_2/dx=G_1$. И так далее. Пусть $\varphi^{(n)}$ – $n$-я производная функции $\varphi$; $\varphi^{(0)}=\varphi$. Теорема 3. Функцию (4.1) можно представить в виде формального ряда Этот ряд будет ее асимптотическим разложением: если его оборвать на $N$-м члене, то разность между $u(t,x)$ и суммой первых $N$ слагаемых не превосходит $M_{N}/t^{N+1}$, $M_N=\operatorname{const}$. В общем случае числа $M_N$ стремятся к бесконечности сверхэкспоненциально быстро, поэтому ряд (4.2) расходится. Тем не менее можно говорить о том, что решение дифференциального уравнения на окружности представляет семейство пар волн, которые движутся навстречу друг другу с одинаковой скоростью $c$, а их амплитуды убывают с возрастанием времени степенным образом. Если функция $\varphi$ четная, то $\varphi^{(k)}(c)=\varphi^{(k)}(-c)$ при четных $k$ и $\varphi^{(k)}(c)=-\varphi^{(k)}(-c)$ при нечетных $k$. В частности, для решения (1.4) имеем
$$
\begin{equation*}
u(t,x)=\langle f\rangle+\frac{\mu}{t}[G_1(x+ct)-G_1(x-ct)]+ O\biggl(\frac{1}{t^2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
При $c \to \infty$ асимптотический ряд (4.2) исчезает и о волновом характере диффузии говорить не приходится. Теорема 3 доказывается с помощью повторного интегрирования по частям в формуле (4.1):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u(t,x)&=\langle f\rangle+\int_{-c}^cg(x-vt)\varphi(v)\,dv= \\ &=\langle f\rangle-\frac{1}{t}[\varphi(v)G_1(x-vt)]_{-c}^c +\frac{1}{t}\int_{-c}^c G_1(x-vt)\varphi'(v)\,dv. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее слагаемое представляется в следующем виде: Далее этот интеграл преобразуется с помощью формулы интегрирования по частям. В итоге интеграл (4.1) “разворачивается” в формальный ряд (4.2). Его свойство асимптотичности сразу же выводится из ограниченности функций $\varphi^{(k)}$ на отрезке $[-c,c]$ и ограниченности $2\pi$-периодических функций $G_k$. Это завершает доказательство теоремы. Замечание. Если $\varphi(v)=\nu^{-1}e^{-v^2/2\sigma^2}$, то можно непосредственно проверить, что ряд (4.2) действительно формально удовлетворяет дифференциальному уравнению (1.1). Рассмотрим теперь газ Юттнера в “сосуде” – на отрезке $[a,b] \subset \mathbb{R}$. Считаем, что при ударе релятивистской частицы о границу ее скорость меняет знак. С помощью естественного двулистного накрытия отрезка окружностью, разветвленного в точках $x=a$ и $x=b$, эта задача сводится к задаче о движении релятивистских частиц по окружности. Эта редукция для газа Кнудсена, впервые рассмотренная Пуанкаре [7], детально обсуждается в работе [8]. Таким образом, диффузия газа Юттнера на отрезке (эволюция его плотности) описывается той же формулой (4.1). Следовательно, и в этом случае выравнивание плотности газа имеет волновой характер. Отметим еще, что распространение температуры в твердых телах также носит волновой характер. Обсуждение этого явления (“второй звук”) и соответствующих экспериментов можно найти в работе [9]. В классической работе [10] рассмотрено уравнение теплопроводности с неоднородным слагаемым $F(u)$. При некоторых предположениях относительно функции $F$ доказано, что решения этого уравнения стремятся при $t \to +\infty$ к некоторой незатухающей “волне”. 5. Другие уравнения диффузииДиффузия с конечной скоростью может описываться и другими уравнениями, которые отличаются от (1.1). С этой целью рассмотрим формулу (4.1), которая при некотором выборе функции $\varphi(\,\cdot\,)$ приводит к дифференциальным уравнениям конечного порядка для плотности релятивистского газа. Положим, например, $\varphi(v)=e^v$ при $-c \leqslant v \leqslant 0$ ($c$ – положительная константа) и $\varphi(v)=0$ при $v>0$. При таком выборе функции $\varphi$ почти все частицы движутся влево. Несложно проверить, что плотность газа удовлетворяет следующему уравнению:
$$
\begin{equation}
u=t\,\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{f(x)-e^{-c}f(x+ct)}{1-e^{-c}}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
с данным Коши Это уравнение вообще не содержит производных по времени и не инвариантно при обращении времени. Тем не менее уравнение (5.1) с начальным условием (5.2) имеет единственное ограниченное решение если начальное данное $f$ является ограниченной непрерывно дифференцируемой функцией. Единственность вытекает из того факта, что уравнение $u=tu'_x$ с начальным условием $u=0$ имеет единственное нулевое ограниченное решение.Полагая теперь $\varphi(v)=e^{|v|}$, рассмотрим плотность
$$
\begin{equation}
u(t,x)=\int_{-c}^c f(x-vt)e^{-|v|}\,\frac{dv}{2(1-e^{-c})}.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
С помощью двукратного интегрирования по частям можно показать, что эта функция удовлетворяет следующему уравнению:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag u&=t^2\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{te^{-c}}{2(1-e^{-c})} [f'(x-ct)-f'(x+ct)]+{} \\ &\qquad+\frac{1}{2(1-e^{-c})}[2f(x)-e^{-c}f(x+ct)-e^{-c}f(x-ct)]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
При $t=0$ получаем $u=f(x)$. В отличие от уравнения (5.1), это уравнение инвариантно при обращении времени. Этот факт – следствие четности функции $e^{-|v|}$. Как и уравнение (5.1), уравнение (5.4) не содержит производных по времени. Однако оно имеет единственное ограниченное решение, если данное Коши $f$ является непрерывно дифференцируемой ограниченной функцией. Это решение, конечно, задается формулой (5.3). Более того, для его решений справедливы все заключения теоремы 1. Если $c \to \infty$, то уравнения (5.1) и (5.4) переходят в следующие: Эта уравнения были указаны в работе [11] в связи с исследованием плотности газа Кнудсена на прямой.Аналогом уравнения (1.1) в $n$-мерном эвклидовом пространстве $\mathbb{R}^n=\{x\}$ служит уравнение
$$
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial t}=t\sigma^2\Delta u+ \sigma^2e^{-c^2/2\sigma^2}\biggl(c\int_{|v| \leqslant c}e^{-v^2/2\sigma^2}\,d^nv\biggr)^{-1} \int_{|v|=c}\biggl(\sum\frac{\partial V}{\partial x_i}v_i\biggr)\,ds.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Здесь $u(t,x)$ – неизвестная функция с начальным условием $u(0,x)=f(x)$, $V=f(x-vt)$, $v \in \mathbb{R}^n$, $ds$ – элемент площади $(n-1)$-мерной сферы $|v|=c$. Для интеграла по “$0$-мерной сфере” $|v|=c$ имеем формулу Следовательно, при $n=1$ уравнение (5.5) переходит в (1.1). А при $c \to \infty$ из (5.5) получаем “обратимое” уравнение теплопроводности $u'_t=t\sigma^2\Delta u$ в пространстве $\mathbb{R}^n=\{x\}$. Уравнение (5.5) имеет единственное ограниченное решение с ограниченным условием Коши:
$$
\begin{equation*}
u(t,x)=\int_{|v| \leqslant c}f(x-vt)e^{-v^2/2\sigma^2}\,d^nv\cdot\biggl(\, \int_{|v| \leqslant c}e^{-v^2/2\sigma^2}\,d^nv\biggr)^{\!-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнение (5.5) выводится из этой формулы применением известной подготовительной формулы Грина
$$
\begin{equation*}
\int_D U \Delta V\,d\tau+\int_D \sum_{i=1}^n\, \frac{\partial U}{\partial v_i}\, \frac{\partial V}{\partial v_i}\,d\tau= \int_{\partial D}U\,\frac{\partial V}{\partial n}\,ds,
\end{equation*}
\notag
$$
если положить Так как $n$ – нормаль к границе $\partial D$, то
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial V}{\partial n}=\sum\frac{\partial V}{\partial v_i}\, \frac{v_i}{|v|}=-\frac{t}{c}\sum\frac{\partial f}{\partial x_i}v_i.
\end{equation*}
\notag
$$
В заключение укажем одно естественное обобщение уравнения (1.1). С этой целью заменим формулу (1.4) следующей:
$$
\begin{equation}
u(t,x)=\nu\int_a^b f(x-vt)e^{-v^2/2\sigma^2}\,dv,\qquad \nu^{-1}=\int_a^b e^{-x^2/2\sigma^2}\,dx,
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
причем $a<b$ и $a$, $b$ могут принимать значения $-\infty$, $+\infty$. Эта формула имеет следующую прозрачную интерпретацию: $u(t,x)$ – плотность части бесстолкновительного газа (обычного или релятивистского), состоящей из частиц, скорость которых заключена в интервале $(a,b)$. Функция $f$ считается ограниченной и непрерывно дифференцируемой. Функция $u(t,x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению, обобщающему уравнение (1.1):
$$
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial t}=t\sigma^2\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+ \sigma^2\nu [e^{-b^2/2\sigma^2}f'(x-bt)- e^{-a^2/2\sigma^2}f'(x-at)].
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Кроме того, должно быть учтено начальное условие (1.2). Если $a$ и $b$ одновременно устремить к $w$, то формула (5.6) даст волну $u(t,x)=f(x-wt)$. Решения обобщенного уравнения (5.7) также удовлетворяют теореме 1, кроме утверждения п. 2, которое справедливо лишь при условии $-a=b>0$. Кроме того, п. 5 теоремы 1 нуждается в очевидном уточнении. Вообще, вывод уравнений теплопроводности (и диффузии) с конечной скоростью распространения тепла – старая и нетривиальная проблема релятивистской механики сплошных сред. Один из возможных путей ее решения – обобщение закона теплопроводности Фурье, приводящее к гиперболическому уравнению теплопроводности (см., например, обзор [12]). Другой путь связан с изучением теплопроводности в средах с памятью. Наиболее известное уравнение теплопроводности с памятью – это уравнение Гуртина–Пипкина [13]. В работе [14] получено уравнение распространения тепла в одномерном кристалле:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2 T}{\partial t^2}+\frac{1}{t}\, \frac{\partial T}{\partial t}=c^2\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}, \qquad T\big|_{t=0}=T_0(x),\qquad \frac{\partial T}{\partial t}\bigg|_{t=0}=0,
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
где $c$ – скорость звука. Уравнение (5.8) отличается от уравнения теплопроводности в [12] наличием множителя $1/t$ перед производной по времени. Этот множитель делает уравнение (5.8) обратимым: как и уравнение (1.1), оно не меняется при замене $t$ на $-t$. Решение уравнения (5.8) представимо в виде
$$
\begin{equation}
T=\frac{1}{\pi}\int_{-1}^1\frac{T_0(x-cts)}{\sqrt{1-s^2}}\,ds,
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
который напоминает формулу (1.4). Обсуждение уравнения (5.8) (и его дискретных аналогов), а также сравнение с другими подходами имеется в работе [15]. Более общее рассмотрение (с учетом многомерности кристалла) содержится в [16]. В работе [17] обсуждается задача о распространении тепла в бесстолкновительной среде. В частности, в этой работе имеется формула для температуры, аналогичная (2.4). Правда, этот подход, основанный на теории ансамблей Гиббса, развивается применительно к гармоническому кристаллу. Решение (5.9) демонстрирует волновую природу и степенное затухание процесса распространения тепла. Более общие результаты в этом направлении содержатся в разделе 4 (теорема 3). Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Koz24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|