| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Самогравитирующее хиггсово поле скалярного заряда Ю. Г. Игнатьев Институт физики Казанского (Приволжского) федерального университета, Казань, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 219, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924050088 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеПоскольку в результате скалярно-гравитационной неустойчивости космологической среды скалярно заряженных фермионов с потенциалом Хиггса, по-видимому, образуются скалярно заряженные черные дыры [1]–[3], необходимо детально рассмотреть вопрос о таких изолированных статических черных дырах. Функция Лагранжа $L_\mathrm{s}$ скалярного поля Хиггса есть1
$$
\begin{equation}
L_\mathrm{s}=\frac{1}{16\pi}(g^{ik} \Phi_{,i} \Phi_{,k} -2V(\Phi)),
\end{equation}
\tag{1}
$$
где
$$
\begin{equation}
V(\Phi)=-\frac{\alpha}{4} \biggl(\Phi^{2} -\frac{m_\mathrm{s}^{2}}{\alpha}\biggr)^{2}
\end{equation}
\tag{2}
$$
– потенциальная энергия скалярного поля, $\alpha$ – константа самодействия, $m_\mathrm{s}$ – масса бозонов. Тензор энергии-импульса скалярных полей относительно функции Лагранжа (1) есть
$$
\begin{equation}
T^i_{k} =\frac{1}{16\pi}(2\Phi^{,i}\Phi_{,k}- \delta^i_k\Phi_{,j} \Phi^{,j}+2V(\Phi)\delta^i_k).
\end{equation}
\tag{3}
$$
Уравнения Эйнштейна имеют вид
$$
\begin{equation}
R^i_k-\frac{1}{2}\delta^i_k R=8\pi T^i_k + \delta^i_k \Lambda_0,
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $\Lambda_0$ – затравочное значение космологической постоянной, связанное с ее наблюдаемым значением $\Lambda$, получающимся при изъятии постоянных слагаемых в потенциальной энергии, соотношением
$$
\begin{equation}
\Lambda=\Lambda_0-\frac{1}{4}\frac{m_\mathrm{s}^4}{\alpha}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
В координатах кривизн (см., например, [4])
$$
\begin{equation}
ds^2=e^{\nu(r)}\,dt^2-e^{\lambda(r)}\,dr^2-r^2\, d\Omega,
\end{equation}
\tag{6}
$$
$$
\begin{equation}
T^1_1=-\frac{e^{-\lambda(r)}}{16\pi}{\Phi'}^2-\frac{\alpha}{32\pi}\biggl(\Phi^2-\frac{m^2_\mathrm{s}}{\alpha}\biggr)^2\qquad (\equiv -p_\parallel), \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
T^2_2=T^3_3=T^4_4=\frac{e^{-\lambda(r)}}{16\pi}{\Phi'}^2-\frac{\alpha}{32\pi}\biggl(\Phi^2-\frac{m^2_\mathrm{s}}{\alpha}\biggr)^2\qquad (\equiv -p_\perp=\varepsilon),
\end{equation}
\tag{7}
$$
где $p_\parallel$ – радиальное давление, $p_\perp$ – давление вдоль поверхности сферы, $\varepsilon$ – плотность энергии скалярного поля.
2. Безмассовое скалярное поле – решение Фишера2.1. Решения ФишераВпервые метрика скалярно заряженной черной дыры в случае безмассового канонического скалярного поля была найдена в работе Фишера [5]. Кратко приведем необходимые здесь основные результаты этой работы. В координатах кривизн (6) и в случае безмассового скалярного поля с помощью известного первого интеграла уравнения безмассового скалярного поля где штрихом обозначена производная по радиальной переменной $r$, $G$ – сингулярный скалярный заряд, Фишер свел два независимых уравнения Эйнштейна к следующим2:
$$
\begin{equation}
e^{-\lambda}(1+r\nu')-1=-{\Phi'}^2r^2 e^{-\lambda}, \qquad e^{-\lambda}(1-r\lambda')-1={\Phi'}^2r^2 e^{-\lambda}.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Сумму этих уравнений можно представить в виде Далее с помощью функции Фишер определил решения системы уравнений Эйнштейна–Лапласа:
$$
\begin{equation}
e^\nu=\frac{1}{r}WW',\qquad e^\lambda=r\frac{W'}{W}, \qquad \Phi'=-\frac{G}{r}W.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Подстановка (12) в уравнения (8), (9), (10) приводит к замкнутому дифференциальному уравнению второго порядка относительно функции $W(r)$, с помощью которого легко находится его первый интеграл, в свою очередь, приводящий к уравнению первого порядка с разделяющимися переменными:
$$
\begin{equation}
rW'-W+\frac{a^2}{W}=C_1\equiv 2km\qquad \Rightarrow\qquad \frac{WW'}{W^2+2kmW-a^2}=\frac{1}{r}\quad (a^2\equiv kG^2),
\end{equation}
\tag{13}
$$
где $C_1,k$ – произвольные константы интегрирования, $m$ – сингулярная масса. Таким образом, задача решена в квадратурах, исследование решения – дело техники. Соотношения (12), (13) мы и будем называть решениями Фишера. 2.2. Свойства решений ФишераДалее мы несколько отойдем от цитированной работы Фишера, вводя новую безразмерную функцию $f(r)$:
$$
\begin{equation}
W(r)\equiv \kappa(f(r)-p), \qquad f(r)\geqslant p\equiv \frac{km}{\sqrt{k^2m^2+a^2}}\equiv\frac{km}{\kappa},\qquad \kappa\equiv \sqrt{k^2m^2+a^2}.
\end{equation}
\tag{14}
$$
С помощью этой функции решение уравнения (13) можно записать в форме алгебраического уравнения относительно функции
$$
\begin{equation}
|f^2-1|^{1/2} \left|\frac{f+1}{f-1}\right|^p=\frac{C_2 r}{\sqrt{k^2m^2+a^2}},
\end{equation}
\tag{15}
$$
где $C_2$ – константа интегрирования. Полагая, что на бесконечности метрика (6) стремится к псевдоевклидовой, т. е.
$$
\begin{equation}
\nu(r)|_{r\to\infty}\to 0,\qquad \lambda(r)|_{r\to\infty}\to 0,
\end{equation}
\tag{16}
$$
получим из (11) Но тогда согласно (14) Сравнивая это выражение с уравнением (15) в пределе $r\to\infty$, найдем $C_2=1$. Таким образом, приведем уравнение (15) к окончательному виду:
$$
\begin{equation}
|f^2-1|^{1/2} \left|\frac{f+1}{f-1}\right|^p=\xi,\qquad \xi\equiv\frac{r}{\kappa},\quad \kappa=\sqrt{k^2m^2+kG^2}.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Уравнение (19) определяет однопараметрическое семейство решений $f(x;p)$, которое, в свою очередь, с помощью формул (12) полностью определяет решение задачи:
$$
\begin{equation}
W=\kappa(f-p), \quad e^\nu=\frac{f'_\xi}{\xi}(f-p),\quad e^\lambda=\frac{\xi f'_\xi}{f-p},\quad \Phi'_\xi=-G\frac{f'_\xi}{\xi}.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Таким образом, метрика также задается однопараметрическим семейством функций, скалярный же потенциал $\Phi$ зависит от двух параметров $\kappa$, $p$, но его производная $\Phi'$ по-прежнему определяется однопараметрическим семейством функций. Укажем точные решения уравнения (19) для частных значений параметра $p=0,1/2$. При $p=0$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, f=\sqrt{1+\xi^2},\qquad e^\nu=1, \\ e^\lambda= \frac{\xi^2}{1+\xi^2},\qquad \Phi'_\xi=\kappa G\frac{\sqrt{1+\xi^2}}{\xi},\\ \Phi=\kappa G\biggl(\sqrt{1+\xi^2}-\ln\frac{\sqrt{1+\xi^2}+1}{\sqrt{1+\xi^2}-1}\biggr), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{21}
$$
в этом случае $m=0$ и метрика порождается безмассовым зарядом $G$. При $p=1/2$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, f=\xi-1, \qquad e^\nu=1-\frac{3}{2\xi},\\ e^\lambda= \biggl(1-\frac{3}{2\xi}\biggr)^{-1},\qquad \Phi'_\xi=\kappa G\biggl(1-\frac{3}{2\xi}\biggr),\qquad \Phi= \kappa G\biggl(\xi-\frac{3}{2}\ln \xi\biggr), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{22}
$$
в этом вырожденном случае $m^2=G^2/3k$, $\kappa=2km$, и метрика с точностью до переобозначений совпадает с метрикой Шварцшильда. В обоих указанных случаях скалярный потенциал имеет асимптотики
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Phi(\xi)|_{\xi\to0}\sim \ln \xi, \qquad \Phi'(\xi)|_{\xi\to 0}\sim \frac{1}{\xi},\\ \Phi(\xi)|_{\xi\to\infty}\sim \kappa G\xi, \qquad \Phi'(\xi)\|_{\xi\to\infty}\sim \kappa G=\mathrm{const}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Подробно решения с безмассовым скалярным полем в других координатных системах исследованы в работе [6] (см. также обзоры [7], [8]). 3. Скалярное поле с потенциалом Хиггса точечного скалярного заряда в псевдоевклидовой метрикеИсследуем теперь гравитационное поле, порожденное скалярным зарядом с потенциалом Хиггса в метрике (6). Уравнение скалярного поля Хиггса $\Phi(r)$ в этой метрике имеет вид
$$
\begin{equation}
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\biggl(r^2e^{(\nu-\lambda)/2}\frac{d}{dr}\Phi\biggr)-e^{(\nu-\lambda)/2}\Phi(m^2_\mathrm{s}-\alpha\Phi^2)=0.
\end{equation}
\tag{23}
$$
В работе [9] уравнение (23) решалось в псевдоевклидовой метрике $\nu=\lambda=0$ для центрального точечного скалярного заряда $G$. В этом случае при константе самодействия $\alpha=0$ уравнение (23) сводится к известному уравнению Юкавы
$$
\begin{equation}
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\biggl(r^2\frac{d}{dr}\Phi\biggr)-m_\mathrm{s}^2\Phi=0
\end{equation}
\tag{24}
$$
и имеет своим решением потенциал Юкавы где $G$ – скалярный заряд. Фактор константы самодействия $\alpha\not\equiv0$ принципиально меняет характер решений уравнения (23). Теперь это уравнение не имеет устойчивых решений с нулевой асимптотикой на бесконечности Устойчивыми решениями уравнения (23) в пространственно плоской метрике становятся решения с ненулевой асимптотикой на бесконечности, соответствующей особым устойчивым точкам динамической системы:
$$
\begin{equation}
\Phi(r)|_{r\to\infty}\to \Phi_\pm=\pm \frac{m_\mathrm{s}}{\sqrt{\alpha}}.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Для решений, близких к устойчивым, полагая в линейном приближении вместо (24) получим уравнение
$$
\begin{equation}
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\biggl(r^2\frac{d\phi}{dr}\biggr)+2m_\mathrm{s}^2\phi=0.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Обратим внимание на изменение знака у массивного члена по сравнению с уравнением Юкавы (24), благодаря которому устойчивое решение уравнения для поля Хиггса имеет вид [9]
$$
\begin{equation}
\Phi(r)=\pm\frac{m_\mathrm{s}}{\sqrt{\alpha}}+\frac{C_1}{r}\cos(\sqrt{2}m_\mathrm{s}r)+\frac{C_2}{r}\sin(\sqrt{2}m_\mathrm{s}r)\!\quad\! \Rightarrow\!\quad \! \pm\frac{m_\mathrm{s}}{\sqrt{\alpha}}+\frac{2G}{r}\cos(\sqrt{2}m_\mathrm{s}r),
\end{equation}
\tag{30}
$$
т. е. вместо экспоненциального затухания потенциала Юкавы (25) имеем квазипериодический потенциал. Наличие фундаментального скалярного поля с потенциалом Хиггса принципиально изменяет физическую картину. Теперь вакуумному состоянию соответствует одна из устойчивых точек потенциала Хиггса (27), которой, в свою очередь, соответствует нулевая энергия скалярного поля. 4. Самогравитирующее скалярное поле с потенциалом Хиггса4.1. Полевые уравненияУчитывая сказанное выше, исследуем решение полной задачи о самогравитирующем скалярном поле Хиггса. Нетривиальные комбинации3 уравнений Эйнштейна с космологической постоянной в метрике (6) можно привести к следующему виду:
$$
\begin{equation}
e^\lambda-1-r\nu'-r^2e^\lambda \biggl[\Lambda-\frac{\alpha}{2}\biggl(\Phi^2-\frac{m^2_\mathrm{s}}{\alpha}\biggr)^{\!2}\,\biggr]=0.
\end{equation}
\tag{32}
$$
Будем искать близкие к устойчивым решения системы уравнений (23), (31), (32), полагая (28). Тогда в нулевом приближении по малости $\phi(r)$ уравнение (23) обращается в тождество, а уравнение (31) дает В результате уравнение (32) сведется к замкнутому уравнению относительно $\nu$ (или $\lambda$) решая которое, найдем
$$
\begin{equation}
\nu_0=-\lambda_0=\ln\biggl(1-\frac{2m}{r}-\frac{\Lambda r^2}{3}\biggr),
\end{equation}
\tag{35}
$$
где $m$ – постоянная интегрирования. Таким образом, в нулевом приближении получаем известное решение Шварцшильда–де Ситтера [10]:
$$
\begin{equation}
ds^2= \biggl(1-\frac{2m}{r}-\frac{\Lambda r^2}{3}\biggr)\,dt^2 -\biggl(1-\frac{2m}{r}-\frac{\Lambda r^2}{3}\biggr)^{-1}\,dr^2-r^2\,d\Omega^2.
\end{equation}
\tag{36}
$$
На первый взгляд кажется, что решение (36) не зависит от скалярного поля $\Phi(r)$. Однако это не так. Для правильной интерпретации этого решения мы должны учесть, во-первых, формулу (27) для невозмущенного скалярного поля $\Phi_\pm$ и, во-вторых, формулу для перенормировки наблюдаемой космологической постоянной (5), полагая в (36)
$$
\begin{equation*}
\Lambda=\Lambda_0-\frac{1}{4}m^2_\mathrm{s}\Phi^2_\pm.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, решение (36) помимо центральной массы $m$ определяется и квадратом невозмущенного значения скалярного потенциала, т. е. в конечном итоге квадратом скалярного заряда. Оказывается, что и в первом приближении по малости $\phi$ решение (36) остается справедливым. Действительно, вследствие (31) в первом приближении сохраняется соотношение (33), а значит, сохраняется и уравнение (34). Таким образом, метрика (36) сохраняется в линейном по $\phi$ приближении. Поэтому в линейном приближении уравнение поля (23) можно рассматривать на фоне решения Шварцшильда–де Ситтера (36). Итак, получим в линейном приближении (28) уравнение для возмущения скалярного поля $\phi(x)$:
$$
\begin{equation}
\frac{d^2\phi}{dr^2}+\frac{d}{dr}\ln(r^2e^{\nu_0(r)})\frac{d\phi}{dr}+2m^2_\mathrm{s}\phi=0.
\end{equation}
\tag{37}
$$
Вводя безразмерную переменную $x$ и безразмерные неотрицательные параметры $\gamma,\sigma$
$$
\begin{equation}
x= \frac{r}{2m},\qquad \gamma=\frac{4}{3}\Lambda m^2\geqslant 0,\qquad \sigma=2\sqrt{2}mm_\mathrm{s}\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{38}
$$
перепишем уравнение (37) в терминах этих величин:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{d^2\phi}{dx^2}+{}&\frac{d}{dx}\ln(x(x-1-\gamma x^3))\frac{d\phi}{dx}+\sigma^2\phi=0\quad \Rightarrow{} \notag\\ &\Rightarrow\quad \frac{d^2\phi}{dx^2}+\frac{1-2x+4\gamma x^3}{x(1-x+\gamma x^3)}\frac{d\phi}{dx}+\sigma^2\phi=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{39}
$$
Для удобства анализа, а также численного интегрирования будем рассматривать линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка (39) также и в форме нормальной системы уравнений первого порядка:
$$
\begin{equation}
\frac{d\phi}{dx}=z(x),\qquad \frac{dz}{dx}=-\frac{1-2x+4\gamma x^3}{x(1-x+\gamma x^3)} z-\sigma^2\phi.
\end{equation}
\tag{40}
$$
4.2. Горизонты и сингулярностьРешения уравнения поля $\phi(x)$ (39) в значительной степени определяются горизонтами и сингулярностью черной дыры, определяющими поведение аргумента логарифмической функции в этом уравнении:
$$
\begin{equation}
r^2e^{\nu_0}\equiv r^2\biggl(1-\frac{2m}{r}-\frac{\Lambda r^2}{3}\biggr)=0\qquad \Rightarrow\qquad x (1-x+\gamma x^3)=0.
\end{equation}
\tag{41}
$$
Сингулярности соответствует нулевой корень уравнения (41) $x_0=0$, а горизонтам, если они существуют, – положительные вещественные корни кубического уравнения:
$$
\begin{equation}
e^{\nu_0}=0\qquad \Rightarrow\qquad \gamma x^3-x+1=0.
\end{equation}
\tag{42}
$$
Дискриминант $\Delta$ кубического уравнения (42) имеет вид При $\Delta>0$ все корни уравнения горизонта (42) вещественные, при $\Delta<0$ один корень вещественный и два комплексно-сопряженные, при $\Delta=0$ все три корня вещественные, причем по крайней мере два из них совпадают. При $\gamma>0$ и $\gamma<4/27$, $\Delta>0$ все три корня вещественные, причем один из них ($x_0<-3$) отрицателен и два ($1<x_1<3/2$, $x_2>3/2$) положительны. Таким образом, при $0<\gamma<4/27$ метрика имеет два горизонта: внутренний ($r_1$) и внешний ($r_2$): При $\gamma=4/27$ оба горизонта сливаются в один двукратно вырожденный, $r_1=r_2$. При $\gamma>4/27$ горизонты отсутствуют и гравитационное поле черной дыры описывается метрикой с голой сингулярностью $r=0$. При $\gamma\equiv0$ остается один шварцшильдовский горизонт. При $\gamma<0$ и $\Delta<0$ также имеется один вещественный положительный корень4, которому соответствует один горизонт $x_1<1$.Таким образом, в зависимости от значения $\gamma$ трехмерное пространство делится горизонтами на $\mathrm{R}$- и $\mathrm{T}$-области по радиальной переменной $x$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \gamma\leqslant 0\colon\quad & \mathbf{X_1}=[0,x_1],\, (\mathrm{T}); \quad \mathbf{ X_3}=(x_1,+\infty),\, (\mathrm{R}); \\ 0<\gamma<\frac{4}{27}\colon\quad & \mathbf{X_1}=[0,x_1],\, (\mathrm{T});\quad \mathbf{ X_2}=(x_1,x_2), \, (\mathrm{R}); \quad \mathbf{X_3}=(x_2,+\infty), \,(\mathrm{T});\\ \gamma>\frac{4}{27}\colon\quad & \mathbf{ X_3}=[0,+\infty), \,(\mathrm{T}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{45}
$$
Ниже на рис. 1 показано поведение решений уравнения (39) в областях $\mathbf{X_1}$, $\mathbf{X_2}$, $\mathbf{X_3}$ в случае $\gamma=0.1<4/27$, отвечающие следующим начальным значениям в каждой из областей:
$$
\begin{equation}
\mathbf{X_1}\!: \phi(0)=\pm1, z(0)=0,\quad \mathbf{X_2}\!: \phi(2)=\pm1, z(0)=0,\quad \mathbf{X_3}\!: \phi(3)=\pm1, z(0)=0,
\end{equation}
\tag{46}
$$
при этом полагалось $\sigma=1$. 4.3. Частные решенияВ двух частных случаях уравнение (39) решается в квадратурах. 4.3.1. Безмассовое скалярное поле $m_\mathrm{s}=0$Заметим, что, строго говоря, мы не вправе рассматривать случай нулевой массы скалярных бозонов, так как при $m_\mathrm{s}=0$ скалярный потенциал Хиггса (2) вырождается в параболический потенциал, т. е. при этом мы выходим за рамки исследуемой модели. Устойчивые точки $\Phi_\pm$ динамической системы (27) вырождаются в одну нулевую точку $\Phi_+=\Phi_-=0$. Только это тривиальное решение $\Phi=0$ теперь и является устойчивым. Поэтому в рамках нашей модели мы можем рассматривать лишь асимптотически безмассовое скалярное поле в смысле приближения т. е. в области $r\to0$. В этом случае уравнение (39) сразу интегрируется:
$$
\begin{equation}
\phi=C_1 +C_2\int\frac{dx}{x(\gamma x^3-x+1)}\equiv C_1+C_2 J(x),
\end{equation}
\tag{48}
$$
где В частности, при $\Lambda=0\Rightarrow\gamma=0$ этот интеграл легко вычисляется:
$$
\begin{equation}
\phi(x)=C_1+C_2\ln\biggl|\frac{x-1}{x}\biggr|\quad \Rightarrow\quad \Phi=\frac{m_\mathrm{s}}{\sqrt{\alpha}}+C_2\ln\biggl|1-\frac{2m}{r}\biggr|, \quad m_\mathrm{s}\to0,\,\, \Lambda=0,
\end{equation}
\tag{50}
$$
и имеет асимптотику на бесконечности
$$
\begin{equation}
\Phi(r)|_{r\to\infty}\backsimeq\frac{m_\mathrm{s}}{\sqrt{\alpha}}-\frac{2m C_2}{r}.
\end{equation}
\tag{51}
$$
При $\gamma\not=0$ интеграл в (48) также вычисляется в элементарных функциях:
$$
\begin{equation}
J(x)= \ln|x|+\sum_{i=1}^{3}\delta_i\ln|x-x_i|,\qquad \delta_i\equiv \frac{1-\gamma x^2_i}{3\gamma x^2_i-1},
\end{equation}
\tag{52}
$$
где $x_i$ – корни уравнения поверхности горизонта. Таким образом, решение (48) в случае невырожденных корней $x_i$ (42) приводит к логарифмической асимптотике на бесконечности:
$$
\begin{equation}
\Phi(r)|_{r\to\infty}\backsimeq\frac{m_\mathrm{s}}{\sqrt{\alpha}}+C_2(1+\delta_1+\delta_2+\delta_3)\ln \frac{r}{2m}.
\end{equation}
\tag{53}
$$
В частности, решение (50) получается из (42)–(52) при $\gamma=0$, $x_1=1$, $\delta_1=-1$, в этом случае в сумме (52) сохраняется лишь один член, соответствующий простому горизонту $x=x_1=1$. Однако вследствие условия (47) для корректности этой оценки необходимо выполнение условий
$$
\begin{equation}
1\ll x\ll \frac{1}{2mm_\mathrm{s}}\quad\Rightarrow\quad 2m\ll \frac{1}{m_\mathrm{s}},
\end{equation}
\tag{54}
$$
т. е. комптоновская длина волны скалярного бозона должна быть гораздо больше радиуса горизонта черной дыры и, кроме того, $r_\infty\ll m^{-1}_\mathrm{s}$. 4.3.2. Нулевая космологическая постоянная $\mathbf{\Lambda\equiv0}$В этом случае решение уравнения (39) выражается через конфлюэнтные функции Гойна $\mathrm{H}_{\mathrm{c}}(2i\sigma,0,0,0,0,x)$ [11]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \phi(x) ={}& C_1 e^{2i\sigma x}\mathrm{H}_{\mathrm{c}}(2i\sigma,0,0,0,0 x)+{} \notag \\ &+ C_2 e^{2i \sigma x}\mathrm{H}_{\mathrm{c}}(2i\sigma,0,0,0,0,x)\int \frac{e^{-2i\sigma x}\,dx}{x(x - 1)\mathrm{H}^2_{\mathrm{c}}(2i\sigma,0,0,0,0,x)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{55}
$$
В общем случае функции $\mathrm{H}_{\mathrm{c}}(x)$ имеют две регулярные и одну иррегулярную сингулярности ранга 1 в точках $x=[0,1,\infty]$. В дальнейшем мы, однако, не будем использовать точное решение (55), учитывая, во-первых, его частный характер, а во-вторых, тот факт, что, к сожалению, функции $\mathrm{HeunC}(x)$, определяющие его решение при $\Lambda=0$, по сей день весьма ненадежно протабулированы в прикладных математических пакетах при достаточно больших аргументах $x$. Поэтому уравнение (39) мы будем интегрировать численными методами.
5. Асимптотическое поведение решений уравнения $(39)$5.1. Поведение решений вблизи сингулярности $r=0$При $x\to0$ уравнение поля (39) сводится к простому дифференциальному уравнению второго порядка которое имеет решения
$$
\begin{equation}
\phi(x)= C_1 \mathrm{I}_0(\sigma x)+C_2\mathrm{Y}_0(\sigma x)\backsimeq C_1+C_2\frac{2}{\pi}\ln \sigma x,\qquad \sigma x \to 0,
\end{equation}
\tag{57}
$$
где $\mathrm{I}_0(z)$ и $\mathrm{Y}_0(z)$ – функции Бесселя первого и второго рода соответственно. Таким образом, потенциал скалярного поля логарифмически расходится вблизи сингулярности, его производная равна
$$
\begin{equation}
\left.\Phi'\right|_{x\to0}\backsimeq \frac{C_1}{x}=\frac{G}{r}.
\end{equation}
\tag{58}
$$
5.2. Поведение решений вблизи горизонтовОчевидно, что решение системы (40) вблизи горизонтов сингулярно, поэтому главным членом правой части второго уравнения (40) вблизи горизонтов является член, пропорциональный $z(x)$. Отбрасывая вблизи горизонта $x_a$ последний член в правой части этого уравнения и интегрируя, найдем
$$
\begin{equation}
z(x)|_{x\to x_a}\backsimeq C_1\frac{x}{\gamma x^3-x+1}.
\end{equation}
\tag{59}
$$
Учитывая, что $x_i$ суть корни уравнения горизонта (44), запишем согласно теореме Виета где для определенности $x_b\neq x_a$ – положительный корень уравнения (44), а $x_c$ – отрицательный корень. Таким образом, вблизи горизонта $x=x_a>0$ получим
$$
\begin{equation*}
z(x)\backsimeq C_1\frac{x_a}{\gamma(x-x_a)(x_a-x_b)(x_a-x_c)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрируя это соотношение, найдем асимптотическое выражение для потенциальной функции $\psi(x)$ вблизи горизонта $x=x_a$
$$
\begin{equation}
\phi(x)|_{x\to x_a}\sim \frac{C_1\ln|x-x_a|}{\gamma(x_a-x_b)(x_a-x_c)}+C_2.
\end{equation}
\tag{60}
$$
Очевидно, что в областях $\mathbf{X_1}$ и $\mathbf{X_2}$ разность $x_a-x_b$ имеет противоположные знаки, что объясняет разрыв второго рода функции $\psi(x)$ при переходе через горизонт. За правым горизонтом функция $\psi(x)$ имеет характер затухающих периодических колебаний. 5.3. Поведение решения на бесконечности5.3.1. Малые значения $\gamma\ll 1$При малых $\gamma$ в промежуточной области значений $x$
$$
\begin{equation}
1\ll x\ll \frac{1}{\sqrt{\gamma}},\qquad \gamma\ll 1,
\end{equation}
\tag{61}
$$
уравнение (39) сводится к простому дифференциальному уравнению
$$
\begin{equation}
\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2}{x}\frac{d\psi}{dx}+\sigma^2\psi=0,
\end{equation}
\tag{62}
$$
которое имеет решение
$$
\begin{equation}
\phi(x)= c_1\frac{\sin\sigma x}{x}+c_2\frac{\cos\sigma x}{x}=\frac{C_1}{r}\sin\sqrt{2}m_\mathrm{s} r+\frac{C_2}{r}\cos\sqrt{2}m_\mathrm{s} r,
\end{equation}
\tag{63}
$$
т. е. описывает затухающие периодические колебания с частотой $\omega$ и периодом $\tau$,
$$
\begin{equation}
\omega=\sigma, \quad \tau=\frac{2\pi}{\sigma}\qquad \Rightarrow\qquad T=\frac{\sqrt{2}\pi}{m_\mathrm{s}}.
\end{equation}
\tag{64}
$$
Таким образом, в промежуточной области значений радиальной переменной $x$ решение уравнения поля с точностью до переобозначений $C_1=0$, $C_2=2G$ совпадает с решением в плоском пространстве-времени (30). 5.3.2. Асимптотика $x\to\infty$, $\gamma x^2\gg 1$В области уравнение (39) принимает вид
$$
\begin{equation}
\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{4}{x}\frac{d\psi}{dx}+\sigma^2\psi=0
\end{equation}
\tag{66}
$$
и имеет решение
$$
\begin{equation}
\phi(x)= \frac{C_1}{x^3}(\sigma x\cos{\sigma x}-\sin\sigma x)+\frac{C_2}{x^3}(\cos{\sigma x}+\sigma x \sin\sigma x).
\end{equation}
\tag{67}
$$
И в этом случае получаем затухающие колебания с периодом (64), однако амплитуда колебаний падает уже пропорционально $1/x^2$. Итак, заметим, что в случае малых значений $\gamma$ может образовываться промежуточная область с затухающими пропорционально $1/x$ колебаниями скалярного поля, которые в дальнейшем быстро падают:
$$
\begin{equation}
\gamma\ll 1,\qquad x\in \biggl(1,\frac{1}{\sqrt{\gamma}}\biggr)\!: \quad \phi\backsimeq \frac{e^{i\sigma x}}{x};
\end{equation}
\tag{68}
$$
$$
\begin{equation}
\forall\gamma \quad x\in \biggl(\mathrm{Max}\biggl\{\frac{1}{\sqrt{\gamma}},1\biggr\},+\infty\biggr)\!: \quad \phi\backsimeq \frac{e^{i\sigma x}}{x^2}.
\end{equation}
\tag{69}
$$
6. Усреднение осцилляций скалярного потенциалаПриведенный анализ показывает осциллирующий характер скалярного поля вне области горизонтов. При этом надо подчеркнуть, что осцилляции скалярного поля имеют сугубо микроскопический характер, соответствующий колебаниям с комптоновской длиной волны $e^{i\sqrt{2}m_\mathrm{s} r}$. Макроскопический наблюдатель при этом может измерять лишь некоторые средние динамические величины, соответствующие этим колебаниям, в частности макроскопические плотность энергии и давление. При этом макроскопическая картина соответствует некоторой, вообще говоря, анизотропной среде с макроскопическими характеристиками давления и плотности энергии и соответствующим макроскопическим уравнением состояния. Ситуация здесь аналогична микроскопическим осцилляциям скалярного поля на поздних стадиях эволюции Вселенной (см. [12], [13]). Отличие заключается лишь в характере осцилляций: в космологической ситуации это временны́е осцилляции $e^{im_\mathrm{s} t}$, в нашей ситуации – пространственные. Кроме того, в космологической ситуации это колебания вблизи нулевого значения потенциала $\Phi=0$, которое соответствует устойчивой точке равновесия космологической модели, в нашем случае это колебания вблизи устойчивых точек равновесия $\Phi_\pm$ статической системы. Разлагая выражения для компонент тензора энергии-импульса (7) по малости возмущения $\phi$ скалярного потенциала (28), получим в квадратичном приближении
$$
\begin{equation}
T^4_4=\varepsilon=\frac{e^{\nu_0(r)}}{16\pi}{\phi'}^2-\frac{m^2_\mathrm{s}}{8\pi}\phi^2, \qquad -T^1_1=p_\parallel=\frac{e^{\nu_0(r)}}{16\pi}{\phi'}^2+\frac{m^2_\mathrm{s}}{8\pi}\phi^2.
\end{equation}
\tag{70}
$$
Выражая эти величины через используемые нами переменную $x$ и функции $\phi(x)$ и $z(x)$, получим безразмерные выражения для физических величин $\varepsilon(r)$ и $p_\parallel(r)$:
$$
\begin{equation}
16\pi(2m)^2\varepsilon= e^{\nu_0(x)}z^2-\sigma^2\phi^2, \qquad 16\pi(2m)^2 p_\parallel= e^{\nu_0(x)}z^2+\sigma^2\phi^2,
\end{equation}
\tag{71}
$$
где $e^{\nu_0(x)}$ описывается выражением (42). Учитывая быстроосцилирующий характер решений системы уравнений (40) при $\sigma x\gg 1$, усредним величины (71) по достаточно большому интервалу радиальной переменной, применяя технику усреднения космологических флуктуаций скалярного поля [12], [13]. Именно, введем макроскопическое среднее от быстропеременной функции $f(r)$:
$$
\begin{equation}
\overline{f(r)}= \frac{1}{T}\int_{r-T/2}^{r+T/2}f(r)\,dr\qquad \Rightarrow\qquad \overline{f(x)}= \frac{1}{\tau}\int_{x-\tau/2}^{x+\tau/2}f(x)\,dx
\end{equation}
\tag{72}
$$
в ВКБ-приближении Полагая в дальнейшем справедливыми в приближении (73) асимптотические формулы (см. (68), (69))
$$
\begin{equation}
\phi(x)\backsimeq \phi_0 e^{i\sigma x}\frac{1}{x^\beta}, \qquad z(x)\backsimeq i\sigma\phi_0 e^{i\sigma x}\frac{1}{x^\beta},
\end{equation}
\tag{74}
$$
получим в соответствующих случаях
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \overline{\phi(x)}\approx 0, \qquad \overline{z(x)}\approx 0;\\ \overline{\phi^2(x)}\approx \frac{|\phi_0|^2}{x^{2\beta}}, \qquad \overline{z^2(x)}\approx \frac{\sigma^2|\phi_0|^2}{x^{2\beta}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя эти выражения в (71), получим для макроскопических средних плотности энергии и давления осцилляций скалярного поля
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 16\pi(2m)^2\ \overline{\varepsilon(x)}&\backsimeq [e^{\nu_0(x)}-1]\frac{\sigma^2|\phi_0|^2}{x^{2\beta}}= -\frac{1+\gamma x^3}{x}\frac{\sigma^2|\phi_0|^2}{x^{2\beta}},\\ 16\pi(2m)^2\ \overline{p_\parallel(x)}&\backsimeq -[e^{\nu_0(x)}+1]\frac{\sigma^2|\phi_0|^2}{x^{2\beta}}=-\frac{1-2x+\gamma x^3}{x}\frac{\sigma^2|\phi_0|^2}{x^{2\beta}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{75}
$$
Заметим, во-первых, что левые части этих соотношений представляют собой выражения для безразмерных нормированных макроскопической средней плотности энергии и радиального давления скалярного поля. Во-вторых, заметим, что плотность энергии осцилляций отрицательна, $\varepsilon<0$. Далее, в области $\forall \gamma$ согласно (69) получим
$$
\begin{equation*}
\overline{\varepsilon}|_{\gamma x^3\to\infty}\backsimeq -\frac{\gamma\sigma^2|\phi_0|^2}{16\pi(2m)^2 x^2},\qquad \overline{p_\parallel}\to \overline{\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, в области $\gamma x^3\gg1$ микроскопические осцилляции скалярного поля создают макроскопический фон с отрицательной плотностью энергии и уравнением состояния $\overline{p}=-\overline{\varepsilon}$, т. е. проявляют себя как макроскопическое фантомное скалярное поле. Масса-энергия этого поля
$$
\begin{equation*}
M_\mathrm{s}(r)=4\pi \int_{r_0}^r \overline{\varepsilon} r^2\,dr \sim -\frac{\gamma m_\mathrm{s}^2|\phi_0|^2}{8\pi}(r-r_0)
\end{equation*}
\notag
$$
растет пропорционально радиусу, тем самым уменьшая наблюдаемую массу черной дыры. Заметим, однако, что согласно (45) область $\forall \gamma$ (см. (69)) при $\gamma>0$ является $\mathrm{T}$-областью, в которой не существует стационарного состояния и отсутствует бесконечно удаленный наблюдатель. Фактически в $\mathrm{T}$-областях мы должны переставить местами пространственные и временны́е координаты. Поэтому при $\gamma>0$ “внешняя область” $\forall \gamma$ фактически является космологическим продолжением решения. Таким образом, для правильной интерпретации статического скалярного поля заряда мы должны положить $\gamma<0$. В этом случае возможная и правильная интерпретация формул (75) и следующих за ними – макроскопическая плотность энергии осцилляций становится положительной, вместе с этим положительной становится и макроскопическая масса скалярного гало. К более подробному изучению этого вопроса мы намерены возвратиться в следующей статье. 7. Численное моделирование7.1. “Общие” численные решенияДля проведения численного интегрирования системы полевых уравнений (40) сформулируем очевидное свойство решений этой системы. Свойство 1 (общее численное решение). Пусть $\mathbf{\Psi}_1(x0;x)$ и $\mathbf{\Psi}_2(x0;x)$ – решения соответствующих задач Коши для этой системы: Для удобства будем называть решение (78) общим численным решением системы линейных однородных дифференциальных уравнений. В дальнейшем по умолчанию мы будем пользоваться этим свойством для исследования численных моделей. 7.2. Малые значения параметра $\gamma<4/27$В этом случае, как мы отмечали выше, метрика (36) имеет два горизонта $H_\pm$ (44), через которые невозможно аналитически продолжить решение полевых уравнений (40). На рис. 1 показаны графики потенциальной функции $\phi(x)$ при
$$
\begin{equation}
\gamma=0.1<\frac{4}{27}\qquad \Rightarrow \qquad x_1=1.153467305, \, x_2= 2.423622140
\end{equation}
\tag{79}
$$
в трех областях
$$
\begin{equation*}
\mathbf{X_1}=[0,r_1),\qquad \mathbf{ X_2}=(x_1,x_2),\qquad \mathbf{X_3}=(x_2,+\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
При этом начальные условия выбирались следующими:
$$
\begin{equation*}
\mathbf{X_1}\!: x(1)=\pm1,\; x'(1)=0,\quad \mathbf{X_2}\!: x(1.2)=\pm1,\; x'(1.2)=0,\quad \mathbf{X_3}\!: x(3)=\pm1,\; x'(3)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
 Рис. 1.Поведение решений уравнения (39) в случае $\gamma=0.1$ в областях $\mathbf{X_1}$, $\mathbf{X_2}$, $\mathbf{X_3}$. Сплошные линии соответствуют положительным начальным значениям $\phi$, штриховые – отрицательным. Черными кружками на оси абсцисс отмечены радиус сингулярности $x=0$ и радиусы горизонтов $x_1\approx 1.153467305$ и $x_2\approx 2.423622140$. 7.3. Большие значения параметра $\gamma>4/27$При $\gamma>4/27$ горизонты в метрике (36) отсутствуют, т. е. мы имеем черную дыру с голой сингулярностью $r=0$. В этом случае уравнения поля (40) имеют аналитические решения во всем пространстве $r\geqslant0$. На рис. 2, 3 показаны графики потенциальной функции $\phi(x)$ и ее производной $\phi'(x)$ при $\gamma=0.2>4/27$. Здесь, как и на рис. 1, штриховыми линиями обозначены графики потенциальных функций при отрицательных значениях стартового потенциала, сплошными линиями – при положительных значениях. На рис. 4 показаны затухающие колебания скалярного потенциала в случае голой сингулярности ($\gamma=1$). 8. ЗаключениеПодводя итоги, отметим полученные основные результаты.
Заметим, что в связи с конструируемой на основе механизма скалярно-гравитационной неустойчивости теории образования сверхмассивных черных дыр в ранней Вселенной появление скалярного гало с отрицательной энергией вне горизонтов черной дыры могло бы стать дополнительным источником информации при наблюдении этих объектов. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ign24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|