| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Адиабатическая теория возмущений для векторного нелинейного уравнения Шредингера с ненулевыми граничными условиями В. М. Ротос School of Mechanical Engineering, Aristotle University of Thessaloniki, Thessaloniki, Greece
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 220, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924070110 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеДостижения в физике атомных конденсатов Бозе–Эйнштейна (БЭК) [1], [2] открыли возможность изучения чисто нелинейных явлений в мезоскопическом масштабе. В частности, большое количество исследований было посвящено изучению макроскопических нелинейных возбуждений БЭК (обзоры по этой теме см., например, в работах [3], [4]). В этом отношении особый интерес представляют так называемые солитоны волн материи либо яркого [5], либо темного [6] типа, которые могут поддерживаться в БЭК с соответственно притягивающим или отталкивающим взаимодействием. При этом в многокомпонентных конденсатах с отталкивающими взаимодействиями могут сосуществовать два типа солитонов (результаты по двухкомпонентным и спинорным конденсатам см., например, в работах [7] и [8] соответственно). Эти так называемые темно-яркие солитоны существуют благодаря тому, что компонента, отвечающая темному солитону, в результате межкомпонентного взаимодействия создает механизм захвата, который дает возможность сформироваться яркой солитонной компоненте (в отталкивающих БЭК это невозможно). Темно-яркие солитоны широко изучались в других контекстах, таких как нелинейная оптика [9] и теория нелинейных волн [10]. В работе [11] было проведено исследование дискретных темно-ярких солитонов, а в работе [12] изучались многомерные обобщения – структуры вихревых ярких солитонов. Важно отметить, что темно-яркие солитоны наблюдались экспериментально в оптике [13], [14] и впоследствии в БЭК [15]–[17]. Интерес к динамике поляризации оптических солитонов вызван, во-первых, необходимостью учета двойного лучепреломления в реальных световодах [18], [19]. Одномодовые оптические волокна поддерживают две моды поляризации благодаря линейному двойному лучепреломлению в сочетании со слабой межмодовой дисперсией. Эти моды взаимодействуют друг с другом посредством эффекта Керра, который стабилизирует солитоны, препятствуя их размыванию вследствие дисперсии, а также уширению и расщеплению из-за двойного лучепреломления. Во-вторых, динамика поляризации тесно связана с перекрестной фазовой модуляцией, которая во многих случаях приводит к образованию связанных солитонных состояний [20], [21]. С учетом поляризации электромагнитного поля распространение световых импульсов в керровской среде описывается системой нелинейных уравнений Шредингера (НУШ) [22]. В общем случае такую систему нельзя проинтегрировать методом обратной задачи рассеяния (МОЗР). Предполагается, что наблюдаемые экспериментально [23]–[26] яркие и темные солитоны в квазиодномерном БЭК будут иметь важное значение с точки зрения приложений в атомной оптике [27], в том числе в атомной интерферометрии, атомных лазерах и когерентном атомном транспорте. Обзор последних экспериментальных и теоретических достижений, связанных с динамикой солитонов в БЭК, представлен в работах [28], [29]. В работе [30] был предложен прямой пертурбативный метод аппроксимации темных солитонных решений возмущенного НУШ. В настоящей статье мы рассматриваем дефокусирующую систему Манакова (векторную систему НУШ) с ненулевыми граничными условиями и используем формализм МОЗР. Полезным полигоном для тестирования новых аналитических и численных подходов к исследованию векторной системы НУШ являются интегрируемые модели. В то же время условия интегрируемости налагают на параметры модели определенные ограничения, которые могут противоречить реальным экспериментальным условиям. В качестве первого шага в преодолении этой проблемы в настоящей статье мы развиваем теорию возмущений для интегрируемой векторной модели НУШ. Очевидно, что небольшое нарушение условия интегрируемости можно рассматривать как возмущение интегрируемой модели. Наш формализм основан на задаче Римана–Гильберта (РГ) для векторной модели НУШ с ненулевыми граничными условиями. Применение задачи РГ для анализа возмущенной динамики солитонов восходит к работам [31]–[34]. Современная версия теории возмущений в терминах задачи РГ была разработана в серии статей [35], [36], а ее наиболее общая формулировка приведена в [37]. Мы используем теорию РГ и адиабатическую теорию возмущений для анализа динамики темно-темных и темно-ярких солитонов в возмущенной задаче с ненулевыми граничными условиями. Статья организована следующим образом. После формулировки модели в разделе 2 мы приводим аналитические решения соответствующей спектральной задачи, чтобы сформулировать задачу РГ. Решив эту задачу, мы получаем темно-темные и темно-яркие солитонные решения интегрируемой системы. В разделе 3 мы разрабатываем так называемое адиабатическое приближение солитонной теории возмущений. Мы изучаем аналитическую динамику возмущенных темно-темного солитона в разделе 4 и темно-яркого солитона в разделе 5. 2. Солитоны невозмущенного векторного НУШ с ненулевыми граничными условиямиДля целостности статьи и чтобы зафиксировать обозначения, приведем основные сведения, касающиеся солитонных решений невозмущенного векторного НУШ с ненулевыми граничными условиями – дефокусирующего уравнения Манакова. Фактически все результаты этого раздела можно найти в статье Принари с соавторами [38], возможно, в других обозначениях, или при другой нормировке, или полученные другими методами. Мы не приводим вывод результатов, если он по существу совпадает с приведенным в [38]. При этом мы отмечаем некоторые подробности получения соотношений, если используются другие подходы. Например, мы не применяем формализм функций Грина, предпочитая иметь дело с интегральными уравнениями Вольтерры. Следует подчеркнуть, что некоторые различия не только относятся к обозначениям, но и носят концептуальный характер. В частности, наши решения Йоста с самого начала подчиняются как спектральным, так и временны́м уравнениям Лакса, поэтому нам не нужно беспокоиться о зависимости различных параметров от времени. Начнем с дефокусирующего уравнения Манакова, записанного в виде
$$
\begin{equation}
i\mathbf u_t=\mathbf u_{xx}-2(|\mathbf u|^2-\mathbf a^2)\mathbf u.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Здесь $\mathbf u=(u_1,u_2)^{\mathrm T}\in\mathbb{C}^2$ есть двумерный комплексный вектор, двумерный вещественный вектор $\mathbf a=(a_1,a_2)^{\mathrm T}\in\mathbb{R}^2$ играет роль фона, $\mathbf a^2=a_1^2+a_2^2\equiv a^2$, а $x$ и $t$ – координаты. Граничные условия задаются как
$$
\begin{equation}
u_j\mathop{\longrightarrow}\limits_{x\to\pm\infty}a_je^{i\theta_\pm^{(j)}},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $\theta_\pm^{(j)}$ – вещественные фазы, $j=1,2$. Уравнение (2.1) допускает представление Лакса [10], [39]
$$
\begin{equation}
U=ikA+Q,\qquad A=\operatorname{diag}(-1,1,1),\qquad Q=\begin{pmatrix} 0 & u_1 & u_2 \\ u_1^* & 0 & 0 \\ u_2^* & 0 & 0\end{pmatrix} ,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
$$
\begin{equation}
V=\begin{pmatrix} 2ik^2+i(|\mathbf u|^2-a^2) & -2ku_1-iu_{1x} & -2ku_2-iu_{2x} \\ -2ku_1^*+iu^*_{1x} & -2ik^2-i(|u_1|^2-a^2) & -iu_1^*u_2 \\ -2ku_2^*+iu^*_{2x} & -iu_1u_2^* & -2ik^2-i(|u_2|^2-a^2) \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где $k$ – не зависящий от времени спектральный параметр. Другими словами, совместна система матричных линейных уравнений поскольку в силу уравнения (2.1) выполнено условие совместности $U_t-V_x+[U,V]\,{=}\,0$. 2.1. Решения типа ЙостаРассмотрим асимптотику матриц $U$ и $V$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, U_\pm&\equiv U(x)\big|_{x\to\pm\infty}=\begin{pmatrix} -ik & a_1e^{i\theta_\pm^{(1)}} & a_2e^{i\theta_\pm^{(2)}} \\ a_1e^{-i\theta_\pm^{(1)}} & ik & 0 \\ a_2e^{-i\theta_\pm^{(2)}} & 0 & ik \end{pmatrix}\equiv ikA+Q_\pm, \\ V_\pm&\equiv V(x)\big|_{x\to\pm\infty}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & ia_2^2 & -ia_1a_2e^{i\theta_\pm^{(2)}-i\theta_\pm^{(1)}} \\ 0 & -ia_1a_2e^{i\theta_\pm^{(1)}-i\theta_\pm^{(2)}} & ia_1^2 \end{pmatrix}-2kU_\pm. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Эти матрицы одновременно можно привести к диагональному виду с помощью не зависящих от координат матриц $D_\pm$ вида
$$
\begin{equation}
D_\pm=\begin{pmatrix} \lambda+k & 0 & \lambda-k \\ ia_1e^{-i\theta_\pm^{(1)}} & -ia_2e^{i\theta_\pm^{(2)}} & -ia_1e^{-i\theta_\pm^{(1)}} \\ ia_2e^{-i\theta_\pm^{(2)}} & \phantom{-}ia_1e^{i\theta_\pm^{(1)}} & -ia_2e^{-i\theta_\pm^{(2)}} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
А именно,
$$
\begin{equation}
D_\pm^{-1}U_\pm D_\pm =i\Lambda, \qquad \Lambda =\operatorname{diag}(-\lambda,k,\lambda),\quad\lambda^2=k^2-a^2,
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
$$
\begin{equation}
D_\pm^{-1}V_\pm D_\pm =i\Omega, \qquad \Omega =\operatorname{diag}(2k\lambda,-k^2-\lambda^2,-2k\lambda)\equiv\operatorname{diag}(\omega_1,\omega_2,\omega_3).
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Нетрудно найти решение уравнений Лакса (2.5) при $x\to\pm\infty$: Далее введем функцию $\Phi$ формулой $\psi=\Phi e^{i\Lambda x+i\Omega t}$. Она подчиняется следующим уравнениям:
$$
\begin{equation}
\Phi_x=U\Phi-i\Phi\Lambda,\qquad \Phi_t=V\Phi-i\Phi\Omega.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
В классе таких функций $\Phi$ выберем решения типа Йоста $J_\pm(x,t)$, удовлетворяющие асимптотическим условиям
$$
\begin{equation}
J_\pm\mathop{\longrightarrow}\limits_{x\to\pm\infty}\quad D_\pm.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Тогда они являются решениями как спектральных уравнений так и временны́х уравнений Очевидно, $\det J_\pm=\det D_\pm=-2\lambda a^2$. Матрица рассеяния $S(k,t)$ задается стандартным образом как 2.2. Аналитичность решений типа ЙостаВ силу определения $\lambda$ приведенные выше соотношения естественным образом формулируются на двулистной римановой поверхности уравнения $\lambda^2=k^2-a^2$. Эта поверхность строится путем склейки двух копий комплексной $k$-плоскости, разрезанной лучами $(-\infty,-a)$ и $(a,\infty)$ на вещественной оси. Для определения аналитических свойств решений типа Йоста заметим, что матрица $ikA=U-Q$ не зависит от $x$. Следовательно, мы можем взять ее асимптотическое значение: $ikA=U_\pm-Q_\pm$. Тогда спектральное уравнение можно записать как
$$
\begin{equation}
J_{\pm x}=U_\pm J_\pm-iJ_\pm\Lambda+(Q-Q_\pm)J_\pm,
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
при этом $\Delta Q_\pm=Q-Q_\pm$ стремится к нулю в обоих пределах $x\to\pm\infty$. Перепишем уравнение (2.15) в интегральной форме
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J_\pm&=D_\pm+\int_{\pm\infty}^x d\xi\,e^{U_\pm(x-\xi)}\Delta Q_\pm J_\pm e^{-i\Lambda(x-\xi)}= \notag\\ &=D_\pm\biggl[\,\int_{\pm\infty}^x d\xi\,D_\pm^{-1}e^{U_\pm(x-\xi)}D_\pm(D_\pm^{-1}\Delta Q_\pm J_\pm )e^{-i\Lambda(x-\xi)}\biggr] \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
и заметим, что $D_\pm^{-1}e^{U_\pm(x-\xi)}D_\pm=e^{i\Lambda(x-\xi)}$. Рассмотрим первый столбец матрицы $D_{-}^{-1}J_{-}$:
$$
\begin{equation*}
(D_{-}^{-1}J_{-})^{[1]}=\begin{pmatrix} 1 \\ \,0\, \\ 0\end{pmatrix}+ \int_{-\infty}^x d\xi\begin{pmatrix}M_{-11} \\ M_{-21}e^{i(k+\lambda)(x-\xi)} \\ M_{-31}e^{2i\lambda(x-\xi)}\end{pmatrix}, \qquad M_{-}=D_{-}^{-1}\Delta Q_{-}J_{-}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из вида подынтегрального выражения следует, что условия аналитичности первого столбца $J_{-}^{[1]}$ матричной функции $J_{-}$ на верхнем листе римановой поверхности имеют вид $ \operatorname{Im} (k+\lambda)\geqslant 0$ и $ \operatorname{Im} (2\lambda)\geqslant 0$ [38]. Аналогично можно показать, что третий столбец $J_{+}^{[3]}$ матричной функции $J_{+}$ допускает аналитическое продолжение на верхний лист, а столбцы $J_{+}^{[1]}$ и $J_{-}^{[3]}$ аналитичны на нижнем листе. При этом вторые столбцы $J_\pm^{[2]}$, вообще говоря, нельзя аналитически продолжить за пределы вещественной оси. 2.3. Сопряженная спектральная задачаСледуя работам [40], [38], для построения недостающих столбцов с требующимися свойствами аналитичности рассмотрим сопряженную спектральную задачу
$$
\begin{equation}
\psi_x^{\mathrm{ad}}=U^{\mathrm{ad}}\psi^{\mathrm{ad}}=(-ikA+Q^{\mathrm T})\psi^{\mathrm{ad}}.
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Как и выше, введем диагонализирующие матрицы $D_\pm^{\mathrm{ad}}$:
$$
\begin{equation*}
D_\pm^{\mathrm{ad}}=\begin{pmatrix} \lambda+k & 0 & \lambda-k \\ -ia_1e^{i\theta_\pm^{(1)}} & \phantom{-}ia_2e^{-i\theta_\pm^{(2)}} & ia_1e^{i\theta_\pm^{(1)}} \\ -ia_2e^{i\theta_\pm^{(2)}} & -ia_1e^{-i\theta_\pm^{(1)}} & ia_2e^{i\theta_\pm^{(2)}}\end{pmatrix},\qquad (D_\pm^{\mathrm{ad}})^{-1}U^{\mathrm{ad}}D_\pm^{\mathrm{ad}}=-i\Lambda,
\end{equation*}
\notag
$$
где $U_\pm^{\mathrm{ad}}=U^{\mathrm{ad}}(x)|_{x\to\pm\infty}$. Аналогично существует матрица $V^{\mathrm{ad}}$, для которой
$$
\begin{equation*}
(D_\pm^{\mathrm{ad}})^{-1}V^{\mathrm{ad}}D_\pm^{\mathrm{ad}}=-i\Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь введем решения $K(x,t)$ сопряженных уравнений Лакса с помощью соотношений $\psi^{\mathrm{ad}}=Ke^{-i\Lambda x-i\Omega t}$ и выделим среди таких функций $K$ решения $K_\pm(x,t)$ типа Йоста с асимптотическим поведением $K_\pm\to D_\pm^{\mathrm{ad}}$ при $x\to\pm\infty$. Эти решения подчиняются сопряженным спектральному и временно́му уравнениям
$$
\begin{equation}
K_{\pm x}=U^{\mathrm{ad}}K_\pm+iK_\pm\Lambda,\qquad K_{\pm t}=V^{\mathrm{ad}}K_\pm+iK_\pm\Omega.
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Столбцы $K_{+}^{[1]}$ и $K_{-}^{[3]}$ матриц $K_\pm$ аналитичны на верхнем листе римановой поверхности, а столбцы $K_{-}^{[1]}$ и $K_{+}^{[3]}$ – на нижнем листе. Тогда можно показать, что столбец удовлетворяет спектральному уравнению (2.12), $\chi_x=U\chi-i\chi\Lambda$, и является аналитическим на верхнем листе. Аналогично столбец удовлетворяет тому же спектральному уравнению и аналитичен на нижнем листе. Связь между решениями типа Йоста $J_\pm$ и $K_\pm$ задается соотношениями [38]
$$
\begin{equation*}
J_\pm^{[j]}=-\frac{1}{\Gamma^{(j)}(k)}A(K_\pm^{[\ell]}\wedge K_\pm^{[n]}),\qquad K_\pm^{[j]}=-\frac{1}{\Gamma^{(j)}(k)}A(J_\pm^{[\ell]}\wedge J_\pm^{[n]})
\end{equation*}
\notag
$$
плюс циклические перестановки по индексам $j$, $\ell$ и $n$. Здесь
$$
\begin{equation*}
\Gamma^{(1)}=\lambda-k, \quad \Gamma^{(2)}=2\lambda,\qquad \Gamma^{(3)}=\lambda+k.
\end{equation*}
\notag
$$
Сопряженная матрица рассеяния $S^{\mathrm{ad}}$ задается формулой $K_{-}=K_{+}E^{-1}S^{\mathrm{ad}}E$ и связана с исходной матрицей $S$ равенством
$$
\begin{equation*}
S^{\mathrm{ad}}=\Gamma\kern1pt T^{\mathrm T}\Gamma^{-1},\qquad T\equiv S^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Gamma=\operatorname{diag}(\lambda-k,2\lambda,\lambda+k)$. Столбцы $\chi$ и $\bar\chi$ выражаются через решения типа Йоста и элементы матрицы рассеяния:
$$
\begin{equation}
\chi(x,k) =2\lambda[s_{11}(k)J_{-}^{[2]}(x,k)-s_{12}(k)e^{-i(\lambda+k)x}J_{-}^{[1]}(x,k)]= \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=2\lambda[t_{33}(k)J_{+}^{[2]}(x,k)-t_{32}(k)e^{i(\lambda-k)x}J_{+}^{[3]}(x,k)],
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
$$
\begin{equation}
\bar\chi(x,k) =-2\lambda[s_{33}(k)J_{-}^{[2]}(x,k)-s_{32}(k)e^{i(\lambda-k)x}J_{-}^{[3]}(x,k)]= \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=-2\lambda[t_{11}(k)J_{+}^{[2]}(x,k)-t_{12}(k)e^{-i(\lambda+k)x}J_{+}^{[1]}(x,k)].
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
2.4. Униформизация и матричные аналитические решенияСледуя работам [38], [41], введем переменную униформизации $z$ с помощью конформного отображения $z=k+\lambda(k)$. Обратное отображение записывается как
$$
\begin{equation*}
k=\frac{z+\hat z^*}{2},\qquad \lambda=\frac{z-\hat z^*}{2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\hat z\equiv a^2/z^*$. При этом отображении ветви разрезов на обоих листах римановой поверхности отображаются в вещественную ось $ \operatorname{Im} z=0$, верхний (нижний) лист отображается в верхнюю (соответственно нижнюю) полуплоскость $\mathbb{C}_{+}$, $ \operatorname{Im} z>0$ (соответственно $\mathbb{C}_{-}$, $ \operatorname{Im} z<0$), а лакуна $-a<k<a$ преобразуется в окружность $|z|=a$. При этом столбцы $J_{-}^{[1]}$, $\chi$ и $J_{+}^{[3]}$ аналитичны в $\mathbb{C}_{+}$, а столбцы $J_{+}^{[1]}$, $\bar\chi$ и $J_{-}^{[3]}$ аналитичны в $\mathbb{C}_{-}$. Построим из них матричные функции $\Phi_{+}$ и $\Phi_{-}$,
$$
\begin{equation}
\Phi_{+}=(J_{-}^{[1]},\chi,J_{+}^{[3]}),\qquad \Phi_{-}=(J_{+}^{[1]},\bar\chi, J_{-}^{[3]}),
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
аналитические во всей полуплоскости $\mathbb{C}_{+}$ и $\mathbb{C}_{-}$ соответственно. С учетом определения (2.14) матрицы рассеяния и выражений (2.21), (2.22) матрицы $\Phi_\pm$ можно представить в следующем виде: где
$$
\begin{equation}
S_{+}=\begin{pmatrix} s_{11} & 0 & 0 \\ s_{21} & \phantom{-}2\lambda t_{33} & 0 \\ s_{31} & -2\lambda t_{32} &1\end{pmatrix},\qquad S_{-}=\begin{pmatrix} 1 & -2\lambda s_{12} & t_{13} \\ 0 & \phantom{-}2\lambda s_{11} & t_{23} \\ 0& 0& t_{33}\end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
и
$$
\begin{equation}
\Phi_{-}^{}=J_{+}^{}ES_{+}'E^{-1}=J_{-}^{}ES_{-}'E^{-1},
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
где
$$
\begin{equation}
S_{+}'=\begin{pmatrix} 1 & \phantom{-}2\lambda t_{12} & s_{13} \\ 0 & -2\lambda t_{11} & s_{23} \\ 0 & 0 & s_{33}\end{pmatrix},\qquad S_{-}'=\begin{pmatrix} t_{11} & 0 & 0 \\ t_{21} & -2\lambda s_{33} & 0 \\ t_{31} & \phantom{-}2\lambda s_{32} & 1\end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\det\Phi_{+}=-4\lambda^2a^2s_{11}t_{33},\qquad \det\Phi_{-}=4\lambda^2a^2t_{11}s_{33}.
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
Вычислив $s_{11}=(J_{+}^{-1}J_{-})_{11}$ в пределе $x\to+\infty$, получим
$$
\begin{equation*}
s_{11}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2\lambda} \biggl(J_{-11}+\frac{ia_1}{\lambda+k}e^{i\theta_{+}^{(1)}}J_{-21}+\frac{ia_2}{\lambda+k}e^{i\theta_{+}^{(2)}}J_{-31}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку элементы столбца $J_{-}^{[1]}$ аналитичны в $\mathbb{C}_{+}$, имеем, что $s_{11}(z)$ также аналитична в $\mathbb{C}_{+}$. Аналогично $t_{33}$ аналитична в $\mathbb{C}_{+}$, а $s_{33}$ и $t_{11}$ аналитичны в $\mathbb{C}_{-}$. 2.5. СимметрииВ силу эрмитовости потенциала $Q$ (2.3) существуют симметрийные соотношения между функциями типа Йоста $J_\pm$ и $K_\pm$. В частности, имеем равенство $J_\pm(x,z)=K_\pm^*(x,z^*)$, получающееся в результате преобразования $z\to z^*$; из этого равенства, в свою очередь, получаются симметрийные соотношения для матриц рассеяния:
$$
\begin{equation}
S^\unicode{8224}(z^*)=\Gamma^{-1}(z)T(z)\Gamma(z),\qquad \Gamma(z)=\operatorname{diag}(-\hat z^*,z-\hat z^*,z).
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
Это, в частности, дает
$$
\begin{equation}
t_{11}^*(z^*)=s_{11}(z),\qquad t_{33}^*(z^*)=s_{33}(z).
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
Симметрия $z\to\hat z^*$ порождает редукции решений типа Йоста
$$
\begin{equation*}
J_\pm^{[1]}(\hat z^*)=-J_\pm^{[3]}(z),\qquad J_\pm^{[2]}(\hat z^*)=J_\pm^{[2]}(z),\qquad \bar\chi(\hat z^*)=\chi(z)
\end{equation*}
\notag
$$
и дополнительные условия на элементы матрицы рассеяния, среди которых отметим следующие:
$$
\begin{equation}
s_{11}(\hat z^*)=s_{33}(z),\qquad t_{11}(\hat z^*)=t_{33}(z).
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
Из соотношения $S(z)\Gamma(z)S^\unicode{8224}(z)=\Gamma(z)$, которое напрямую следует из (2.29), для вещественных $z$ получаем
$$
\begin{equation*}
|s_{11}(z)|^2=1-\frac{a^2-z^2}{a^2}|s_{12}(z)|^2+\frac{z^2}{a^2}|s_{13}(z)|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Второе слагаемое в правой части этого соотношения может быть как положительным, так и отрицательным. Следовательно, мы не можем априори исключить появление нулей функции $s_{11}(z)$ на вещественной оси в пределах отрезка $-a<z<a$. Как и в работе [38], далее мы предполагаем, что $s_{11}(z)$ не имеет вещественных нулей. 2.6. АсимптотикиЧто касается асимптотического поведения решений типа Йоста, то оно задается следующим образом:
Как и в [38], мы полагаем, что асимптотики разностей фаз $\Delta\theta^{(1)}=\theta_{+}^{(1)}-\theta_{-}^{( 1)}$ и $\Delta\theta^{(2)}=\theta_{+}^{(2)}-\theta_{-}^{(2)}$ одинаковы для обеих компонент: $\Delta\theta^{(1)}=\Delta\theta^{(2)}\equiv\Delta\theta$. Тогда асимптотика элементов матрицы рассеяния принимает следующий вид:
2.7. Дискретные собственные значенияВ работе [38] было показано, что следует различать две конфигурации дискретных собственных значений спектральной задачи (2.12): нули $\zeta_n$ функции $s_{11}(z)$, расположенные на окружности $|z|=a$, и нули $z_n$ функции $s_{11}(z)$ внутри этой окружности. Поскольку в дальнейшем для поиска солитонных решений дефокусирующего уравнения Манакова мы будем использовать задачу РГ, первостепенное значение имеет матричное аналитическое решение $\Phi_{+}(z)$. Из формул (2.28) видно, что нули функции $\Phi_{+}$ совпадают с нулями функций $s_{11}(z)$ и $t_{33}(z)$. В то же время симметрийные соотношения (2.30) и (2.31) для элементов матрицы рассеяния влекут, что если $z_n$ – ноль функции $s_{11}$, т. е. $s_{11}(z_n)=0$, то $t_{11}(z_n^*)=0$. В свою очередь, из $t_{11}(z_n^*)=0$ следует, что $t_{33}(\hat z_n)=0$ и в конечном итоге $s_{33}(\hat z_n^*)=0$. В результате ноль $\zeta_n$ на окружности дает ноль второго порядка функции $\Phi_{+}$. Наоборот, если $z_n$ – ноль функции $s_{11}$ внутри круга, то четыре точки $z_n$, $z_n^*$, $\hat z_n$ и $\hat z_n^*$ на $z$-плоскости в общем случае все различны. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать отдельно случай нулей $\zeta_n$, $n=1,\ldots,N$, функции $s_{11}(z)$ на окружности и случай нулей $z_m$, $ m=1,\ldots,M$, этой функции внутри круга. Эти две возможности соответствуют темно-темным и темно-ярким солитонным решениям. 2.7.1. Нули на окружностиКак было показано в [38], для нулей на окружности мы имеем $\chi(\zeta_n)=\bar\chi(\zeta_n^*)=0$. Вводя перенормированные столбцы
$$
\begin{equation}
\tilde\chi(x,z)=\frac{\chi(x,z)}{2\lambda(z)t_{33}(z)},\qquad \tilde{\bar\chi}(x,z)=\frac{\bar\chi(x,z)}{2\lambda(z)t_{11}(z)},
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
получаем, что матричные функции
$$
\begin{equation}
\phi_{+}=(J_{-}^{[1]},\tilde\chi,J_{+}^{[3]}),\qquad \phi_{-}=(J_{+}^{[1]},\tilde{\bar\chi},J_{-}^{[3]})
\end{equation}
\tag{2.37}
$$
имеют простые нули в точках $\zeta_n$ и $\zeta_n^*$. Кроме того, справедливы соотношения
$$
\begin{equation}
J_{-}^{[1]}(x,\zeta_n) =\beta_n(t)e^{2i\lambda(\zeta_n)x}J_{+}^{[3]}(x,\zeta_n),
\end{equation}
\tag{2.38}
$$
$$
\begin{equation}
J_{-}^{[3]}(x,\zeta_n^*) =\beta_n(t)e^{-2i\lambda(\zeta_n^*)x}J_{+}^{[1]}(x,\zeta_n^*),
\end{equation}
\tag{2.39}
$$
где для связанных состояний $(\zeta_n^*/\zeta_n)\beta_n\in\mathbb{R}$. Дифференцируя (2.35) по $t$ и используя уравнение (2.13), находим зависимость $\beta_n(t)$ от времени:
$$
\begin{equation}
\beta_n(t)=\beta_n^{(0)}e^{-2i\omega_1(\zeta_n)t},\qquad \omega_1(\zeta_n)=2k(\zeta_n)\lambda(\zeta_n).
\end{equation}
\tag{2.40}
$$
2.7.2. Нули вне окружностиДля нулей вне окружности ($z_n^2\ne a^2$) матричные функции $\Phi_{+}$ и $\Phi_{-}$, вообще говоря, имеют простые нули в $z_n$, $\hat z_n$ и в $z_n^*$, $\hat z_n^*$ соответственно, причем $z_n$ и $z_n^*$ лежат внутри круга, а $\hat z_n$ и $\hat z_n^*$ – вне круга. В этом случае для столбцов матриц $\Phi_\pm$ имеют место следующие соотношения: для нулей в $\mathbb{C}_{+}$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, J_{-}^{[1]}(x,z_n)=b_n(t)e^{iz_nx}\chi(x,z_n), \\ \chi(x,\hat z_n)=\hat b_n(t)e^{-i\hat z_nx}J_{+}^{[3]}(x,\hat z_n), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.41}
$$
для нулей в $\mathbb{C}_{-}$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, J_{-}^{[3]}(x,\hat z_n^*)=\hat{\bar b}_n(t)e^{i\hat z_n^*x}\bar\chi(x,\hat z_n^*) \\ \bar\chi(x,z_n^*)=\bar b_n(t)e^{-iz_n^*x}J_{+}^{[1]}(x,z_n^*). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.42}
$$
Следует отметить, что коэффициенты $b_n,\ldots,\hat{\bar b}_n$ не являются независимыми,
$$
\begin{equation}
\hat{\bar b}_n=-b_n,\qquad \bar b_n=-\hat b_n,\qquad\hat b_n^*=-\frac{a^2}{z_n^2}(a^2-|z_n|^2)b_n.
\end{equation}
\tag{2.43}
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation}
b_n(t)=b_n(0)e^{-iz_n^2t},\qquad \hat b_n(t)=\hat b_n(0)e^{iz_n^{*2}t}.
\end{equation}
\tag{2.44}
$$
2.8. Задача Римана–ГильбертаМы ставим задачу РГ как задачу о скачке при переходе через ось $ \operatorname{Im} z=0$ для столбцов аналитических решений $\Phi_\pm$. А именно,
$$
\begin{equation}
\frac{J_{-}^{[1]}(x,z)}{s_{11}(z)}-J_{+}^{[1]}(x,z) = \frac{s_{21}(z)}{s_{11}(z)}\,e^{izx}\frac{\chi(x,z)}{2\lambda(z)t_{33}(z)}- \frac{t_{31}(z)}{t_{33}(z)}\,e^{2i\lambda(z)x}J_{+}^{[3]}(x,z),
\end{equation}
\tag{2.45}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{J_{-}^{[3]}(x,z)}{s_{33}(z)}-J_{+}^{[3]}(x,z) = -\frac{s_{23}(z)}{s_{33}(z)}\,e^{-i(\lambda-k)(z)x}\frac{\bar\chi(x,z)}{2\lambda(z)t_{11}(z)}-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad\; -\frac{t_{13}(z)}{t_{11}(z)}\,e^{-2i\lambda(z)x}J_{+}^{[1]}(x,z),
\end{equation}
\tag{2.46}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\chi(x,z)}{2\lambda(z)t_{33}(z)}+\frac{\bar\chi(x,z)}{2\lambda(z)t_{11}(z)} = \frac{t_{12}(z)}{t_{11}(z)}\,e^{-izx}J_{+}^{[1]}(x,z)-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad\;-\frac{t_{32}(z)}{t_{33}(z)}\,e^{-i(\lambda-k)(z)x}J_{+}^{[3]}(x,z).
\end{equation}
\tag{2.47}
$$
Решение этих уравнений получается с помощью проекторов Коши
$$
\begin{equation*}
P_\pm(f(z))=\frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(\zeta)d\zeta}{\zeta-(z\pm i0)},
\end{equation*}
\notag
$$
которые определены для любой функции $f(z)$, интегрируемой на вещественной оси и обращающейся в нуль в пределе $z\to\infty$. Точнее, если $f_\pm(z)$ – функции, аналитические в $\mathbb{C}_\pm$, и $f_\pm\to 0$ при $z\to\infty$, то Чтобы применить проекторы Коши, нужно сначала вычесть полюсы в $z=0$ и значения в $z=\infty$ из обеих частей уравнений (2.45)–(2.47), используя асимптотические формулы (2.32) и (2.33). Например, уравнение (2.46) преобразуется как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{J_{-}^{[3]}(x,z)}{s_{33}(z)}&{}+ \begin{pmatrix}a^2/z \\ ia_1e^{-i\theta_{+}^{(1)}} \\ ia_2e^{-i\theta_{+}^{(2)}}\end{pmatrix}= J_{+}^{[3]}(x,z)+\begin{pmatrix}a^2/z \\ ia_1e^{-i\theta_{+}^{(1)}} \\ ia_2e^{-i\theta_{+}^{(2)}}\end{pmatrix}-{} \notag\\ &{}-\frac{s_{23}(z)}{s_{33}(z)}\,e^{-i(\lambda-k)(z)x}\frac{\bar\chi(x,z)}{2\lambda(z)t_{11}(z)}- \frac{t_{13}(z)}{t_{11}(z)}\,e^{-2i\lambda(z)x}J_{+}^{[1]}(x,z). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.48}
$$
Применим проектор $P_{+}$, тогда, вычисляя вычеты в точках $\zeta_n^*$ и $\hat z_m^*$, с учетом соотношений (2.39) и (2.41) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J_{+}^{[3]}(x,z)&=- \begin{pmatrix} \frac{a^2}{z} \\ ia_1e^{-i\theta_{+}^{(1)}} \\ ia_2e^{-i\theta_{+}^{(2)}} \end{pmatrix}+ \sum_{n=1}^N\frac{\beta_n(t)}{\dot s_{33}(\zeta_n^*)}\frac{e^{-2i\lambda(\zeta_n^*)x}}{z-\zeta_n^*}J_{+}^{[1]}(x,\zeta_n^*)-{} \notag\\ &\quad -\sum_{m=1}^M\frac{b_m(t)}{\dot s_{33}(\hat z_m^*)}\frac{e^{i\hat z_m^*x}}{z-\hat z_m^*}\bar\chi(x,\hat z_m^*)+{} \notag\\ &\quad+\frac{1}{2\pi i} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\zeta}{\zeta-(z+i0)} \biggl[\frac{s_{23}(\zeta)}{s_{33}(\zeta)}e^{-i(\lambda-k)(\zeta)x} \frac{\bar\chi(x,\zeta)}{2\lambda(\zeta) t_{11}(\zeta)}+\frac{t_{13}(\zeta)}{t_{11}(\zeta)}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.49}
$$
Здесь $\dot s_{ij}(z_k)=\frac{ds_{ij}(z)}{dz}\big|_{z_k}$, $N$ – количество нулей функции $s_{33}(z)$ на окружности, а $M$ – количество нулей вне нее. Как обычно, внеинтегральная часть функции $J_{+}^{[3]}$ учитывает вклад солитонного сектора, а интегральный член описывает эффекты излучения. Аналогично решаем два других уравнения (2.45) и (2.47):
$$
\begin{equation}
J_{+}^{[1]}(x,z)=\begin{pmatrix}z \\ ia_1e^{-i\theta_{+}^{(1)}} \\ ia_2e^{-i\theta_{+}^{(2)}}\end{pmatrix}+ z\sum_{n=1}^N\frac{\beta_n(t)}{\zeta_n\dot s_{11}(\zeta_n)} \frac{e^{2i\lambda(\zeta_n)x}}{z-\zeta_n}J_{+}^{[3]}(x,\zeta_n)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\;\;+z\sum_{m=1}^M\frac{b_m(t)}{z_m\dot s_{11}(z_m)} \frac{e^{iz_mx}}{z-z_m}\bar\chi(x,\hat z_m^*)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\;\;+\frac{z}{2\pi i} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\zeta}{\zeta(\zeta-(z-i0))} \biggl[\frac{s_{21}(\zeta)}{s_{11}(\zeta)} e^{i\zeta x}\frac{\chi(x,\zeta)}{2\lambda(\zeta)t_{33}(\zeta)}- \frac{t_{31}(\zeta)}{t_{33}(\zeta)} e^{2i\lambda(\zeta)x}J_{+}^{[3]}(x,\zeta)\biggr],
\end{equation}
\tag{2.50}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\bar\chi(x,z)}{2\lambda(z)t_{11}(z)}= \begin{pmatrix}0 \\ ia_2e^{i\theta_{+}^{(2)}} \\ -ia_1e^{i\theta_{+}^{(1)}}\end{pmatrix}- z\sum_{m=1}^M\frac{\hat b_m(t)}{z_m^*\dot t_{11}(z_m^*)}\frac{e^{-iz_m^*x}}{(z-z_m^*)(z-\hat z_m)}J_{+}^{[1]}(x,z_m^*)-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\;\;-\frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\zeta}{\zeta-(z-i0)} \biggl[\frac{t_{12}(\zeta)}{t_{11}(\zeta)} e^{-i\zeta x}J_{+}^{[1]}(x,\zeta)- \frac{t_{32}(\zeta)}{t_{33}(\zeta)} e^{-i(a^2/\zeta)x}J_{+}^{[3]}(x,\zeta)\biggr].
\end{equation}
\tag{2.51}
$$
Заметим, что в (2.50) отсутствует сумма по $n$, поскольку $\chi(\zeta_n)=\bar\chi(\zeta_n^*)=0$. 2.8.1. Решения типа темно-темных солитоновТемно-темное солитонное решение соответствует безотражательному потенциалу (отсутствуют интегралы в уравнениях (2.49) и (2.50)) и единственному нулю на окружности (т. е. $N=1$, $M=0$). Решим алгебраические уравнения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_{+}^{[1]}(x,z)&= \begin{pmatrix}z \\ ia_1e^{-i\theta_{+}^{(1)}} \\ ia_2e^{-i\theta_{+}^{(2)}}\end{pmatrix}+ \frac{z}{\zeta_1}\frac{\beta_1(t)}{\dot s_{11}(\zeta_1)} \frac{e^{2i\lambda(\zeta_1)x}}{z-\zeta_1}J_{+}^{[3]}(x,\zeta_1), \\ J_{+}^{[3]}(x,z)&= -\begin{pmatrix}a^2/z \\ ia_1e^{-i\theta_{+}^{(1)}} \\ ia_2e^{-i\theta_{+}^{(2)}}\end{pmatrix}+ \frac{\beta_1(t)}{\dot s_{33}(\zeta_1^*)} \frac{e^{-2i\lambda(\zeta_1^*)x}}{z-\zeta_1^*}J_{+}^{[1]}(x,\zeta_1^*) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
относительно $J_{+}^{[3]}(x,z)$, возьмем предел $z\to 0$ и сравним результат с асимптотической формулой (2.33). Получим темно-темное солитонное решение
$$
\begin{equation}
\binom{u_1}{u_2}=\binom{a_1e^{i\theta_{-}^{(1)}}}{a_2e^{i\theta_{-}^{(2)}}} \frac{1 +e^{2y}e^{i\Delta\theta}}{1+e^{2y}},
\end{equation}
\tag{2.52}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \zeta_1=\xi+i\eta,\qquad \beta_1(t)=\beta_1^{(0)}e^{4\xi\eta t},\qquad -\frac{\zeta_1^*}{\zeta_1}\beta_1^{(0)}=e^{2\eta x_0}>0, \\ y=\eta(x-\tilde x(t)),\qquad \tilde x(t)=2\xi\eta t+x_0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.53}
$$
Здесь мы использовали соотношения
$$
\begin{equation}
s_{11}(z)=\frac{z-\zeta_1}{z-\zeta_1^*},\qquad s_{33}(z)=\frac{\hat z^*-\zeta_1}{\hat z^*-\zeta_1^*}.
\end{equation}
\tag{2.54}
$$
В результате мы получаем прямое обобщение скалярного темного солитона с “вектором поляризации” $(a_1e^{i\theta_{-}^{(1)}},a_2e^{i\theta_{-}^{(2)}})^{\mathrm T}$ и $\theta$-условием $(\zeta_1/\zeta_1^*)=e^{i\Delta\theta}$. 2.8.2. Решение типа темно-яркого солитонаТемно-яркое солитонное решение соответствует квартету нулей $z_1$, $z_1^*$, $\hat z_1$ и $\hat z_1^*$ вне окружности $|z|=a$ (т. е. $N=0$, $M=1$) при отсутствии непрерывного спектра. Положим $a_1=0$, $\theta_\pm^{(1)}=0$, $a_2=a$, $\theta_\pm^{(2)}=\theta_\pm$. Решим алгебраические уравнения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_{+}^{[1]}(x,z)&= \begin{pmatrix} z \\ 0 \\ iae^{-i\theta_{+}}\end{pmatrix}+ \frac{b_1(t)}{z_1\dot s_{11}(z_1)}\frac{ze^{iz_1x}}{z-z_1}\bar\chi(\hat z_1^*), \\ \frac{\bar\chi(x,z)}{2\lambda(z)t_{11}(z)}&= \begin{pmatrix} 0 \\ iae^{i\theta_{+}} \\ 0\end{pmatrix}- \frac{\hat b_1(t)}{z_1^*\dot t_{11}(z_1^*)}\frac{ze^{-iz_1^*x}}{(z-z_1^*)(z-\hat z_1)}J_{+}^{[1]}(x,z_1^*), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которые вытекают из (2.50) и (2.51), относительно $J_{+}^{[1]}(x,z)$, вспомним соотношения (2.43) между $b_1$ и $\hat b_1$ и возьмем предел функции $J_{+}^{[1]}$ при $z\to\infty$ (см. (2.35)). Получим темно-яркую солитонную пару
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_1(x,t)&=\eta\biggl(\frac{a^2}{| z_1|^2}-1\biggr)^{\!1/2}e^{-i\varphi} \operatorname{sch} y, \\ u_2(x,t)&=ae^{i\theta_{-}}\frac{1+e^{2y}e^{i\Delta\theta}}{1+e^{2y}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.55}
$$
Здесь, как и выше, $z_1=\xi+i\eta$ и $y=\eta(x-\tilde x)$, $\tilde x(t)=2\xi\eta t+x_0$, но по-другому определяется $x_0$, а именно
$$
\begin{equation}
e^{2\eta x_0}=a^2\biggl(\frac{a^2}{|z_1|^2}-1\biggr)|b_1^{(0)}|^2.
\end{equation}
\tag{2.56}
$$
Кроме того, $t_{11}=\frac{z-z_1^*}{z-z_1}$ и фазовый множитель $\varphi$ задается как
$$
\begin{equation}
\varphi=\xi x-(\xi^2-\eta^2)t+\theta_{-}+b+\frac{\pi}{2},\qquad b=\arg(b_1).
\end{equation}
\tag{2.57}
$$
Следовательно, темно-яркая солитонная пара состоит из двух компонент: яркой $u_1$ и темной $u_2$. Обе компоненты движутся с одинаковой скоростью $2\xi$. Если собственное значение $z_1$ приближается к окружности $|z_1|=a$, яркая компонента исчезает.
3. Солитонная теория возмущений: общие результатыНачнем с рассмотрения возмущенного дефокусирующего уравнения Манакова
$$
\begin{equation}
i\mathbf u_t=\mathbf u_{x x}-2({|\mathbf u|}^2-\mathbf a^2)\mathbf u+\epsilon\mathbf p,\qquad\mathbf p=\binom{p_1}{p_2}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Здесь вектор $\mathbf p$, стремящийся к нулю при $|x|\to\infty$ (в этом случае возмущение не изменяет фон $\mathbf a$), описывает функцию возмущения, а $\epsilon$ – малый параметр. Условие совместности обобщается как
$$
\begin{equation}
U_t-V_x+[U,V]=\epsilon P,\qquad P=\begin{pmatrix} 0 & -ip_1 & -ip_2 \\ ip_1^* & 0 & 0 \\ ip_2^* & 0 & 0\end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
В паре Лакса спектральное уравнение (2.12) сохраняется, а во временно́м уравнении (2.13) возникает член $R_\pm$, отвечающий возмущению:
$$
\begin{equation}
J_{\pm t}=VJ_\pm-iJ_\pm\Omega+\epsilon J_\pm ER_\pm E^{-1}.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Чтобы связать матрицы $P$ из (3.2) и $R_\pm$ из (3.3), сравним смешанные производные $\frac{\partial^2J_\pm}{\partial x\,\partial t}$ и $\frac{\partial^2J_\pm}{\partial t\,\partial x}$. Это дает
$$
\begin{equation*}
R_\pm=R_\pm^{\kern1pt0}+\int_{\pm\infty}^xdx'E^{-1}J_\pm^{-1}PJ_\pm E,
\end{equation*}
\notag
$$
где $R_\pm^{\kern1pt0}$ – пока неизвестные диагональные матрицы. Чтобы их найти, рассмотрим временно́е уравнение (3.3) для $J_{-}$ при $x\to-\infty$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
J_{-}\mathop{\longrightarrow}\limits_{x\to-\infty}D_{-}=\mathrm{const},
\end{equation*}
\notag
$$
из (3.3) получаем $0=V_{-}^{}D_{-}^{}-iD_{-}^{}\Omega+\epsilon D_{-}^{}ER_{-}^{\kern1pt0}E^{-1}$ или
$$
\begin{equation*}
\epsilon R_{-}^{\kern1pt0}=i\Omega-E^{-1}D_{-}^{-1}V_{-}^{}D_{-}^{}E=0
\end{equation*}
\notag
$$
в силу (2.9). Аналогично получаем, что $R_{+}^{\kern1pt0}=0$. В результате имеем
$$
\begin{equation}
R_\pm=\int_{\pm\infty}^xdx'E^{-1}J_\pm^{-1}PJ_\pm E.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Следующий шаг – нахождение индуцированной возмущением эволюции матрицы рассеяния. Дифференцирование уравнения (2.14) по $t$ дает
$$
\begin{equation*}
S_t=i[\Omega,S]+\epsilon S\int_{-\infty}^x dx'\,E^{-1}J_{-}^{-1}PJ_{-}^{}E+\epsilon\int_x^{\infty} dx'\,E^{-1}J_{+}^{-1}PJ_{+}^{}ES
\end{equation*}
\notag
$$
или, в терминах матриц, определяющих аналитическую функцию $\Phi_{+}$ (см. формулу (2.24)),
$$
\begin{equation}
S_t^{}=i[\Omega,S]+\epsilon S_{+}^{}\Upsilon(z)S_{-}^{-1}.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Матрица $\Upsilon$ зависит от возмущения $P$ и определяется формулами
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Upsilon(a,b,z)=\int_a^b dx\,E^{-1}\Phi_{+}^{-1}P\Phi_{+}^{}E, \\ \Upsilon(z)\equiv\Upsilon(-\infty,\infty,z)=\int_{-\infty}^{\infty} dx\,E^{-1}\Phi_{+}^{-1}P\Phi_{+}^{}E. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Уравнение (3.5) позволяет вывести уравнение эволюции для $z_1$, т. е. для амплитуды и скорости солитона (мы не делаем различия между $z_1$ и $\zeta_1$, до тех пор пока не рассматриваем общие соотношения). Действительно, из уравнения (3.5) следует, что $s_{11t}=\epsilon(S_{+}^{}\Upsilon(z)S_{-}^{-1})_{11}$. С другой стороны, поскольку $s_{11}(z_1)=0$, получаем
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{\partial s_{11}}{\partial t}\biggr)_{\!\!z_1}+\biggl(\frac{\partial s_{11}}{\partial z}\biggr)_{\!\!z_1}\frac{dz_1}{dt}=0
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation}
\frac{dz_1}{dt}=-2i\eta\biggl(\frac{\partial s_{11}}{\partial t}\biggr)_{\!\!z_1}.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Теперь учтем явные выражения (2.25) и (3.2) для $S_\pm$ и $P$ и определение (3.6) матрицы $\Upsilon(z) $, в результате имеем
$$
\begin{equation}
\frac{\partial s_{11}}{\partial t}=-i\epsilon s_{11}^{} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!dx\, [(p_1^{}\Phi_{+21}^{}+p_2^{}\Phi_{+31}^{}) (\Phi_{+}^{-1})_{11}^{}-(p_1^*(\Phi_{+}^{-1})_{12}^{}+p_2^*(\Phi_{+}^{-1})_{13}^{})\Phi_{+11}^{}].
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Следует отметить, что явные выражения для $\Phi_{+}$ различны для темно-темных и темно-ярких солитонов. Другими дискретными параметрами, приобретающими дополнительную зависимость от времени под действием возмущения, являются нормировочные множители $\beta_1$ (для темно-темного солитона) и $b_1$ (для темно-яркого солитона). Чтобы определить из уравнений (2.35) и (2.41) их индуцированную возмущением эволюцию, нам нужно сначала вывести возмущенное уравнение эволюции для аналитического решения $\Phi_{+}^{}=(J_ {-}^{[1]},\chi, J_{+}^{[3]})$. Из (3.3) следует, что
$$
\begin{equation}
J_{-t}^{[1]}=VJ_{-}^{[1]}-i\omega_1J_{-}^{[1]}+ \epsilon R_{-11}^{}J_{-}^{[1]}+\epsilon R_{-21}^{}e^{i(\lambda+k)x}J_{-}^{[2]}+\epsilon R_{-31}^{}e^{2i\lambda x}J_{-}^{[3]}.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Теперь нам нужно выразить $J_{-}^{[2]}$ и $J_{-}^{[3]}$ через столбцы $J_{-}^{[1]}$, $\chi$ и $J_{+}^{[3]}$, составляющие решение $\Phi_{+}$. Что касается $J_{-}^{[2]}$, то необходимая формула задается соотношением (2.21). В свою очередь, определенная комбинация равенств (2.21) дает
$$
\begin{equation*}
J_{-}^{[3]}=\frac{s_{13}}{s_{11}}e^{-2i\lambda x}J_{-}^{[1]}- \frac{t_{23}}{s_{11}}e^{-i(\lambda-k)x}\frac{\chi}{2\lambda t_{33}}+\frac{1}{t_{33}}J_{+}^{[3]}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим эти результаты в (3.9), получим
$$
\begin{equation*}
J_{-t}^{[1]}=VJ_{-}^{[1]}-i\omega_1^{}J_{-}^{[1]}+\epsilon\Phi_{+}^{}\Pi^{[1]},
\end{equation*}
\notag
$$
где столбец $\Pi^{[1]}$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\Pi^{[1]}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{s_{11}}(SR_{-})_{11} \\ \dfrac{1}{2\lambda s_{11}}e^{i(\lambda+k)x}\biggl(R_{-21}-\dfrac{t_{23}}{t_{33}}R_{-31}\biggr) \\ \dfrac{1}{t_{33}}e^{2i\lambda x}R_{-31} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Таким же образом получаем уравнение для $J_{+}^{[3]}$:
$$
\begin{equation*}
J_{+}^{[3]}=VJ_{+}^{[3]}-i\omega_3^{}J_{+}^{[3]}+\epsilon\Phi_{+}^{}\Pi^{[3]},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\Pi^{[3]}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{s_{11}}e^{-2i\lambda x}R_{+13} \\ \dfrac{1}{2\lambda t_{33}}e^{-i(\lambda-k)x}\biggl(R_{+23}-\dfrac{s_{21}}{s_{11}}R_{+13}\biggr) \\ \dfrac{1}{t_{33}}(TR_{+})_{33} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Чтобы вывести уравнение эволюции для $\chi$, начнем с уравнения
$$
\begin{equation*}
\chi=2\lambda(s_{11}J_{-}^{[2]}-s_{12}e^{-i(\lambda+k)x}J_{-}^{[1]})
\end{equation*}
\notag
$$
(см. формулы (2.21)) и продифференцируем его по $t$:
$$
\begin{equation}
\chi_t=2\lambda(s_{11t}J_{-}^{[2]}+s_{11}J_{-t}^{[2]}- s_{12t}e^{-i(\lambda+k)x}J_{-}^{[1]}-s_{12}e^{-i(\lambda+k)x}J_{-t}^{[1]}).
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Нетрудно показать, что
$$
\begin{equation}
\Upsilon=S_{-}^{-1}R_{-}^{}S_{-}^{}-S_{+}^{-1}R_{+}^{}S_{+}^{},
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
отсюда получаем Найдем из этого уравнения $s_{11t}$ и $s_{12t}$, подставим их в (3.12) и снова выразим $J_{-}^{[2]}$ и $J_{-}^{[3]}$ через столбцы матрицы $\Phi_{+}$. Получим
$$
\begin{equation*}
\chi_t=V\chi-i\omega_2\chi+\epsilon\Phi_{+}\Pi^{[2]},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\Pi^{[2]}=\begin{pmatrix} \dfrac{2\lambda}{s_{11}}(t_{33}R_{+12}-t_{32}R_{+13})e^{-i(\lambda+k)x} \\ -\dfrac{1}{s_{11}}(R_{+}S)_{11}+R_{-11}+R_{-22}-\dfrac{1}{t_{33}}(t_{13}R_{-31}+t_{23}R_{-32}) \\ \frac{2\lambda}{t_{33}}(s_{11}R_{-32}-s_{12}R_{-31})e^{i(\lambda-k)x} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\Phi_{+t}=V\Phi_{+}-i\Phi_{+}\Omega+\epsilon\Phi_{+}\Pi,\qquad \Pi=(\Pi^{[1]},\Pi^{[2]},\Pi^{[3]}).
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
4. Возмущенный темно-темный солитонДля темно-темного солитона нас интересует эволюция параметров $\Delta\theta$ и $x_0$. Поскольку $\zeta_1=ae^{i\Delta\theta/2}$, из (3.7) получаем
$$
\begin{equation}
\frac{d\,\Delta\theta}{dt}=-\frac{4\eta}{a}e^{-i\Delta\theta/2}\biggl(\frac{\partial s_{11}}{\partial t}\biggr)_{\!\!\zeta_1},
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где производная $\partial s_{11}/\partial t$ задана в (3.8). Следовательно, нам необходимо явное выражение для $\Phi_{+}$. Простые вычисления, основанные на внеинтегральных частях решений (2.49) и (2.50) задачи РГ при $N=1$ и $M=0$, дают
$$
\begin{equation}
\Phi_{+}=\begin{pmatrix} zs_{11}(1+\Psi_1) & 0 & -\frac{a^2}{z}(1-\frac{z}{\zeta_1}\Psi_2 ) \\ ia_1e^{-i\theta_{+}^{(1)}}s_{11}\bigl(1+\frac{z}{\zeta_1^*}\Psi_1\bigr) & -ia_2e^{i\theta_{+}^{(2)}}\frac{z^2-a^2}{z}t_{33} & -ia_1e^{-i\theta_{+}^{(1)}}(1- \Psi_2) \\ ia_2e^{-i\theta_{+}^{(2)}}s_{11}\bigl(1+\frac{z}{\zeta_1^*}\Psi_1\bigr) & \phantom{-}ia_1e^{i\theta_{+}^{(1)}}\frac{z^2-a^2}{z}t_{33} & -ia_2e^{-i\theta_{+}^{(2)}}(1- \Psi_2) \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где
$$
\begin{equation}
\Psi_1=\frac{2i\eta}{z-\zeta_1}\frac{e^{-2y}}{1+e^{-2y}},\qquad \Psi_2=\frac{2i\eta}{z-\zeta_1^*}\frac{e^{-2y}}{1+e^{-2y}}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Теперь подставим выражения для элементов матрицы $\Phi_{+}$ в (3.8) и найдем $\partial s_{11}/\partial t$. Из (4.1) получаем индуцированное возмущением уравнение эволюции для разности фаз $\Delta\theta$:
$$
\begin{equation}
\frac{d\,\Delta\theta}{dt}=-\frac{\epsilon}{a^2\eta} \int_{-\infty}^{\infty} dy\, \operatorname{Im} [\zeta_1(r_1a_1+r_2a_2)] \operatorname{sch} ^2y,
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где мы положили $r_j=p_je^{-i\theta_{+}^{(j)}}$. Уравнения (3.7) и (4.1) дают возможность записать уравнение эволюции для $\zeta_1$
$$
\begin{equation*}
\zeta_{1t}=-i\frac{\epsilon\kern1pt\zeta_1}{2a^2\eta} \int_{-\infty}^{\infty} dy\, \operatorname{Im} [\zeta_1(r_1a_1+r_2a_2)] \operatorname{sch} ^2y
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, уравнения для амплитуды $\eta$ и скорости $\xi$:
$$
\begin{equation}
\eta_t =\frac{1}{2i}(\zeta_{1t}-\zeta_{1t}^*)=-\frac{\epsilon\kern1pt\xi}{2a^2\eta} \int_{-\infty}^{\infty}dy\, \operatorname{Im} [\zeta_1(r_1a_1+r_2a_2)] \operatorname{sch} ^2y,
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
$$
\begin{equation}
\xi_t =\frac{1}{2}(\zeta_{1t}-\zeta_{1t}^*)=\frac{\epsilon}{2a^2} \int_{-\infty}^{\infty}dy\, \operatorname{Im} [\zeta_1(r_1a_1+r_2a_2)] \operatorname{sch} ^2y.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Далее выведем уравнение эволюции для нормировочного множителя $\beta_1$ и, следовательно, для $x_0$. В этом случае удобнее работать с аналитическим решением $\phi_{+}$ (2.37), второй столбец которого равен $\tilde\chi$ (2.36) и которое имеет простой нуль в $\zeta_1$. Матрица $\phi_{+}$ совпадает с $\Phi_{+}$ (4.2), за исключением элементов $\phi_{+22}=-ia_2e^{i\theta_{+}^{(2 )}}$ и $\phi_{+32}=ia_1e^{i\theta_{+}^{(1)}}$. Кроме того, введем матрицу $\widetilde\Pi$, отличающуюся от $\Pi$ (3.16) умножением второй строки $(\Pi_{21},\Pi_{22},\Pi_{23})$ на $2\lambda t_{33}$, и получим уравнение
$$
\begin{equation}
\phi_{+t}=V\phi_{+}-i\phi_{+}\Omega+\epsilon\phi_{+}\widetilde\Pi.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Продифференцируем по $t$ соотношение (2.38) при $n=1$:
$$
\begin{equation*}
(J_{-t}^{[1]})_{\zeta_1}=\beta_{1t}(e^{2i\lambda(z)x}J_{+}^{[3]})_{\zeta_1}+\beta_1\bigl(e^{2i\lambda(z)x}J_{+t}^{[3]}\bigr)_{\zeta_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как результат, в соответствии с уравнением (4.7) получаем
$$
\begin{equation}
\frac{\beta_{1t}}{\beta_1}J_{-}^{[1]}=i(\omega_3-\omega_1)J_{-}^{[1]}+ \epsilon\lim_{z\to\zeta_1}[\phi_{+}(\widetilde\Pi^{[1]}-\beta_1e^{2i\lambda(z)x} \widetilde\Pi^{[3]})].
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Это векторное уравнение. Поскольку первая компонента столбца $\chi$ равна нулю (см. формулу (4.2)), удобнее работать с первой компонентой уравнения (4.8). В этом случае $\widetilde\Pi_{ij}=\Pi_{ij}$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\beta_{1t}}{\beta_1}J_{-11}&=i(\omega_3-\omega_1)J_{-11}+{} \notag\\ &\quad+\epsilon\lim_{z\to\zeta_1}[(\Pi_{11}-\beta_1 e^{2i\lambda(z)x}\Pi_{13})J_{-11}+(\Pi_{31}-\beta_1e^{2i\lambda(z)x}\Pi_{33})J_{+13}]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Вспомним, что $J_{-}^{[1]}(\zeta_1)$ и $J_{+}^{[3]}(\zeta_1)$ связаны соотношением (2.38), и разделим уравнение (4.9) на $J_{-11}$. Учитывая явные выражения (3.10) и (3.11) для $\Pi^{[1]}$ и $\Pi^{[3]}$, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\beta_{1t}}{\beta_1}&=i(\omega_3-\omega_1)+{} \notag\\ &\quad+\epsilon\lim_{z\to\zeta_1} \biggl[\frac{1}{s_{11}}((SR_{-})_{11}-\beta_1R_{+13})+\frac{1}{\beta_1t_{33}}(R_{-31}-\beta_1(TR_{+})_{33})\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Заметим, что левая часть этого уравнения не зависит от $x$, поэтому мы можем рассмотреть предел $x\to+\infty$. В этом пределе
$$
\begin{equation*}
R_{+}=0,\qquad R_{-}=S_{-}\Upsilon(z)S_{-}^{-1},\qquad (SR_{-})_{11}=s_{11}\Upsilon_{11}(z),\qquad R_{-31}=t_{33}\Upsilon_{31}(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, возмущенное уравнение эволюции для $\beta_1$ записывается как
$$
\begin{equation}
\beta_{1t}=i(\omega_3-\omega_1)\beta_1+\epsilon\lim_{z\to\zeta_1}(\Upsilon_{11}\beta_1+\Upsilon_{31}).
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Напомним, что в невозмущенном случае $\beta_1(t)=\beta_1^{(0)}e^{4\xi\eta t}$, где $\beta_1^{(0)}=\mathrm{const}$. При наличии возмущения имеем
$$
\begin{equation*}
\beta_1(t)=\beta_1^{(0)}(t)\exp\biggl(4\int_0^t dt'\,\xi\eta\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда уравнение (4.11) сводится к
$$
\begin{equation}
\beta_{1t}^{(0)}=\epsilon\lim_{z\to\zeta_1}\biggl[\Upsilon_{11}\beta_1^{(0)}+\Upsilon_{31}\exp\biggl(-4\int_0^t dt'\,\xi\eta\biggr)\biggr].
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Найдем $\Upsilon_{11}(z)$ и $\Upsilon_{31}(z)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Upsilon_{11}(z)=\frac{z}{z^2-a^2}\int_{-\infty}^{\infty}dx\,& \biggl[(r_1a_1+r_2a_2)\biggl(1+\frac{z}{\zeta_1^*}\Psi_1\biggr)(1-\Psi_2)-{} \\ &\kern50pt-(r_1^*a_1+r_2^*a_2)\biggl(1-\frac{z}{\zeta_1}\Psi_2\biggr)(1+\Psi_1)\biggr], \\ \Upsilon_{31}(z)=\frac{zs_{11}}{z^2-a^2}\int_{-\infty}^{\infty}dx\,& e^{-2i\lambda(z)x} \biggl[(r_1a_1+r_2a_2)\biggl(1+\frac{z}{\zeta_1^*}\Psi_1\biggr)^{\!2}-{} \\ &\kern50pt-\frac{z^2}{a^2}(r_1^*a_1+r_2^*a_2)(1+\Psi_1)^2\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь координата $y$ взята в виде, отвечающем возможной зависимости параметров солитона от времени:
$$
\begin{equation*}
y=\eta(x-\tilde x(t)),\qquad \tilde x(t)=\frac{2}{\eta}\int_0^t dt'\,\xi\eta+x_0(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку в правой части (4.12) стоит малый параметр $\epsilon$, мы можем выбрать $\beta_1^{(0)}$ в его невозмущенном виде $\beta_1^{(0)}=-(\zeta_1/\zeta_1^*)e^{2\eta x_0}$ (см. (2.53)). Отсюда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\lim_{z\to\zeta_1}\biggl\{\Upsilon_{11}\beta_1^{(0)}+\Upsilon_{31}\exp\biggl(-4\int_0^t dt'\,\xi\eta\biggr)\,\biggr\}= \notag\\ &\quad=-\lim_{z\to\zeta_1}\frac{1}{2\lambda}e^{2\eta x_0}\biggl\{\frac{z}{\zeta_1^*}\frac{2i\eta}{z-\zeta_1} \int_{-\infty}^{\infty}dx\,(r_1a_1+r_2a_2)\frac{e^{-2y}}{1+e^{-2y}}\times{} \notag\\ &\kern88pt\times \biggl[(1-\Psi_1)\frac{\zeta_1}{\zeta_1^*}-\biggl(\frac{z-\zeta_1}{z-\zeta_1^*}+\frac{z}{\zeta_1^*}\Psi_2\biggr)\times{} \notag\\ &\kern110pt\times \exp\biggl(-i\biggl(z-\frac{a^2}{z}\biggr)x-4\int_0^t dt'\,\xi\eta-2\eta x_0\biggr)\biggr]-{} \notag\\ &\kern88pt-\frac{2i\eta}{z-\zeta_1}\int_{-\infty}^{\infty} dx\, (r_1^*a_1+r_2^*a_2)\frac{e^{-2y}}{1+e^{-2y}}\times{} \notag\\ &\kern88pt\times\biggl[\biggl(1-\frac{z}{\zeta_1}\Psi_2\biggr)\frac{\zeta_1}{\zeta_1^*}- \frac{z^2}{a^2}\biggl(\frac{z-\zeta_1}{z-\zeta_1^*}+\Psi_2\biggr)\times{} \notag\\ &\kern110pt\times \exp\biggl(-i\biggl(z-\frac{a^2}{z}\biggr)x-4\int_0^t dt'\,\xi\eta-2\eta x_0\biggr)\biggr]\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Легко заметить, что в этой формуле выражения в квадратных скобках обращаются в нуль при $z\to\zeta_1$. При этом в их знаменателях присутствуют слагаемые $z-\zeta_1$. Следовательно, имеет место неопределенность типа $0/0$, и мы должны использовать правило Лопиталя для оценки предела $z\to\zeta_1$. Получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\beta_{1t}^{(0)}}{\beta_1^{(0)}}=\frac{\epsilon}{2a^2} \int_{-\infty}^{\infty} dx\,\biggl[&\zeta_1(r_1a_1+r_2a_2) \biggl(\frac{\zeta_1}{2i\eta}e^{-2y}-\frac{\zeta_1^*}{2i\eta}e^{2y}+2i\xi x\biggr)-{} \\ &-\zeta_1^*(r_1^*a_1+r_2^*a_2) \biggl(\frac{\zeta_1^*}{2i\eta}e^{-2y}-\frac{\zeta_1}{2i\eta}e^{2y}+2i\xi x-2\biggr)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, из (2.53) следует, что $(2\eta x_0)_t$ задается вещественной частью отношения $\beta_{1t}^{(0)}/\beta_1^{(0)}$. С учетом уравнения (4.5) находим уравнение эволюции для $x_0$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, x_{0t}=\frac{\epsilon}{8a^2\eta^3}\biggl\{& 2\eta\int_{-\infty}^{\infty} dy\,\operatorname{Re}[\zeta_1(r_1a_1+r_2a_2)] \operatorname{sch} ^2y-{} \\ &-a^2\int_{-\infty}^{\infty}dy\, \operatorname{Im} (r_1a_1+r_2a_2)e^{2y} \operatorname{sch} ^2y+{} \\ &+\int_{-\infty}^{\infty}dy\, \operatorname{Im} [\zeta_1^2(r_1a_1+r_2a_2)]e^{-2y} \operatorname{sch} ^2y-{} \\ &-4\xi\eta\int_{-\infty}^{\infty}dy\, \operatorname{Im} [\zeta_1(r_1a_1+r_2a_2)](x-x_0) \operatorname{sch} ^2y\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, в силу равенства
$$
\begin{equation*}
\tilde x_t=2\xi-\frac{\eta_t}{\eta}\frac{2}{\eta}\int_0^t dt'\,\xi\eta+x_{0t}
\end{equation*}
\notag
$$
и уравнения (4.5) мы получаем индуцированное возмущением уравнение эволюции для координаты, задающей положение темно-темного солитона:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tilde x_t=2\xi+\frac{\epsilon}{8a^2\eta^3}\biggl\{& 2\eta\int_{-\infty}^{\infty}dy\,\operatorname{Re}[\zeta_1(r_1a_1+r_2a_2)] \operatorname{sch} ^2y-{} \notag\\ &-a^2\int_{-\infty}^{\infty}dy\, \operatorname{Im} (r_1a_1+r_2a_2)e^{2y} \operatorname{sch} ^2y+{} \notag\\ &+\int_{-\infty}^{\infty}dy\, \operatorname{Im} [\zeta_1^2(r_1a_1+r_2a_2)]e^{-2y} \operatorname{sch} ^2y-{} \notag\\ &-4\xi\int_{-\infty}^{\infty}dy\, \operatorname{Im} [\zeta_1(r_1a_1+r_2a_2)]y \operatorname{sch} ^2y\biggr\} . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Таким образом, адиабатическая динамика возмущенного темно-темного солитона задается двумя уравнениями медленной эволюции параметров: уравнением (4.4) для разности фаз (и связанными с ним уравнениями (4.5) и (4.6) для амплитуды и скорости солитона) и уравнением (4.14) для положения солитона.
5. Возмущенный темно-яркий солитонТак же, как в случае темно-темной солитонной пары, сначала найдем возмущенное уравнение эволюции для разности фаз $\Delta\theta$ из общей формулы (3.7), где производная $\partial s_{11}/\partial t$ определяется уравнением (3.8). Еще раз отметим, что явное выражение для матрицы $\Phi_{+}=(J_{-}^{[1]},\chi, J_{+}^{[3]})$ в случае темно-яркого солитона отличается от выражения (4.2) для темно-темной солитонной пары и находится из задачи РГ. А именно, для $N=0$ и $M=1$ при $a_1=0$ и $a_2=a$ из уравнений (2.45)–(2.47) и (2.49)–(2.51) получаем
$$
\begin{equation}
J_{-}^{[1]} =s_{11}(z)\begin{pmatrix} z \\ 0 \\ iae^{-i\theta^{(+)}} \end{pmatrix}+ ze^{i\varphi}\frac{2i\eta}{z-z_1^*}\biggl(\frac{a^2}{|z_1|^2}-1\biggr)^{\,1/2}\frac{e^{-y}}{1+e^{-2y}} \begin{pmatrix} \,0\, \\ 1\\ 0\end{pmatrix}+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\kern60pt+\frac{z}{z_1^*}\Psi_2 \begin{pmatrix} z_1^*\\ 0 \\ iae^{-i\theta^{(+)}} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
$$
\begin{equation}
\chi(z) =iae^{i\theta^{(+)}}t_{33}(z)\frac{a^2-z^2}{z} \Biggl[\biggl(1-\frac{z}{z_1}\frac{a^2-|z_1|^2}{a^2-zz_1^*}\Psi_2\biggr) \begin{pmatrix} \,0\, \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\kern60pt+\frac{ze^{-i\varphi}}{a^2-zz_1^*}\biggl(\frac{a^2}{|z_1|^2}-1\biggr)^{\!\!1/2}\frac{2i\eta}{z-z_1^*}\frac{e^{-y}}{1+e^{-2y}} \begin{pmatrix} z_1^* \\ 0 \\ iae^{-i\theta^{(+)}} \end{pmatrix}\Biggr],
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
$$
\begin{equation}
J_{+}^{[3]}(z) =-\begin{pmatrix} a^2/z \\ 0 \\ iae^{-i\theta^{(+)}} \end{pmatrix}- 2i\eta e^{-i\varphi}\biggl(\frac{a^2}{|z_1|^2}-1\biggr)^{\!1/2} \frac{a^2}{a^2-zz_1}\frac{e^{-y}}{1+e^{-2y}} \begin{pmatrix} \,0\, \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\kern60pt-\frac{a^2}{a^2-zz_1}\frac{2i\eta}{z_1^*}\frac{e^{-2y}}{1+e^{-2y}} \begin{pmatrix} z_1^* \\ 0 \\ iae^{-i\theta^{(+)}} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Компоненты этих вектор-функций составляют матрицу $\Phi_{+}$. Здесь мы положили
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, b_1(t)=b_1^{(0)}\exp\biggl[2\int_0^t dt'\,\xi\eta-i\int_0^t dt'\,(\xi^2-\eta^2)\biggr], \\ b_1^{(0)}=\frac{e^{\eta x_0}}{a}\biggl(\frac{a^2}{|z_1|^2}-1\biggr)^{\!-1/2}e^{ib}, \qquad b=\arg(b_1^{(0)}). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
В формуле для $b_1(t)$ интегралы в экспоненциальном множителе отражают возможную зависимость солитонных параметров $\xi$ и $\eta$ от времени под действием возмущения. Следовательно, переменные $y$ и $\varphi$ в темно-ярком солитоне имеют вид
$$
\begin{equation}
y=\eta(x-\tilde x(t)),\qquad \tilde x(t)=\frac{2}{\eta}\int_0^t dt'\,\xi\eta+x_0,
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
$$
\begin{equation}
\varphi=\frac{\xi}{\eta}y+\tilde\varphi(t),\qquad \tilde\varphi(t)=\xi\tilde x(t)-\int_0^t dt'\,(\xi^2-\eta^2)+b+\theta_{-}+\frac{\pi}{2}.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
5.1. Возмущенная эволюция разности фаз в темной компонентeПодставив приведенные выше элементы матрицы $\Phi_{+}$ в уравнение (3.8), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl(&\frac{\partial s_{11}}{\partial t}\biggr)_{\!\!z_1}= \frac{i\epsilon}{4}e^{i\Delta\theta}\frac{|z_1|^2}{a^2-z_1^2}\times{} \\ &\quad\times\biggl[\biggl(\frac{a^2}{|z_1|^2}-1\biggr)^{\!1/2} \int_{-\infty}^{\infty}dx\,(r_1e^y-r_1^*e^{-y}) \operatorname{sch} ^2y- \frac{2a}{|z_1|^2}\int_{-\infty}^{\infty}dx\, \operatorname{Im} (r_2z_1) \operatorname{sch} ^2y\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $r_1=p_1e^{i\varphi}$ и $r_2=p_2e^{-i\theta_{+}}$. Отметим, что определение $r_1$ не такое, как в темно-темном случае. В соответствии с (3.7) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{dz_1}{dt}=\frac{\epsilon}{2}e^{i\Delta\theta}\frac{|z_1|^2}{a^2-z_1^2}\times{} \notag\\ &\times\biggl[\biggl(\frac{a^2}{| z_1|^2}-1\biggr)^{\!1/2} \int_{-\infty}^{\infty}dy\,(r_1e^y-r_1^*e^{-y}) \operatorname{sch} ^2y- \frac{2a}{| z_1|^2}\int_{-\infty}^{\infty}dy\, \operatorname{Im} (r_2z_1) \operatorname{sch} ^2y\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Отсюда получаем уравнения эволюции для амплитуды $\eta$ и скорости $\xi$ темно-яркого солитона:
$$
\begin{equation}
\frac{d\eta}{dt} =\frac{\epsilon}{2}\biggl\{\biggl(\frac{a^2}{|z_1|^2}-1\biggr)^{\!1/2} \int_{-\infty}^{\infty}dy\,\biggl[ \operatorname{Im} \biggl(\frac{r_1z_1^2}{a^2-z_1^2}\biggr)e^y- \operatorname{Im} \biggl(\frac{r_1^*z_1^2}{a^2-z_1^2}\biggr)e^{-y}\biggr] \operatorname{sch} ^2y-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\kern28pt-\frac{2a}{|z_1|^2} \operatorname{Im} \biggl(\frac{z_1^2}{a^2-z_1^2}\biggr) \int_{-\infty}^{\infty}dy\, \operatorname{Im} (r_2z_1) \operatorname{sch} ^2y\biggr\},
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{d\xi}{dt} =\frac{\epsilon}{2}\biggl\{\biggl(\frac{a^2}{|z_1|^2}-1\biggr)^{\!1/2} \int_{-\infty}^{\infty}dy\,\biggl[\operatorname{Re}\biggl(\frac{r_1z_1^2}{a^2-z_1^2}\biggr)e^y- \operatorname{Re}\biggl(\frac{r_1^*z_1^2}{a^2-z_1^2}\biggr)e^{-y}\biggr] \operatorname{sch} ^2y-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\kern28pt-\frac{2a}{|z_1|^2}\operatorname{Re}\biggl(\frac{z_1^2}{a^2-z_1^2}\biggr) \int_{-\infty}^{\infty}dy\, \operatorname{Im} (r_2z_1) \operatorname{sch} ^2y\biggr\}.
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Чтобы получить аналогичное уравнение для $\Delta\theta$, начнем с уравнения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{d}{dt}&\frac{z_1}{z_1^*}=\frac{1}{z_1^*} \biggl(\frac{dz_1}{dt}-e^{i\Delta\theta}\frac{dz_1^*}{dt}\biggr)= \notag\\ &=i\epsilon e^{i\Delta\theta} \biggl\{\biggl(\frac{a^2}{|z_1|^2}-1\biggr)^{\!1/2} \int_{-\infty}^{\infty}dy\,\biggl[ \operatorname{Im} \biggl(\frac{r_1z_1}{a^2-z_1^2}\biggr)e^y - \operatorname{Im} \biggl(\frac{r_1^*z_1}{a^2-z_1^2}\biggr)e^{-y}\biggr] \operatorname{sch} ^2y-{} \notag\\ &\kern46pt-\frac{2a}{|z_1|^2} \operatorname{Im} \biggl(\frac{z_1}{a^2-z_1^2}\biggr) \int_{-\infty}^{\infty}dy\, \operatorname{Im} (r_2z_1) \operatorname{sch} ^2y\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
С другой стороны,
$$
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\frac{z_1}{z_1^*}=ie^{i\Delta\theta}\frac{d\,\Delta\theta}{dt}.
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Сравнивая уравнения (5.10) и (5.11), получаем индуцированное возмущением уравнение эволюции для разности фаз темной компоненты:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{d\,\Delta\theta}{dt}=\epsilon\int_{-\infty}^{\infty}dy\, \biggl\{&\biggl(\frac{a^2}{|z_1|^2}-1\biggr)^{\!1/2}\biggl[ \operatorname{Im} \biggl(\frac{r_1z_1}{a^2-z_1^2}\biggr)e^y - \operatorname{Im} \biggl(\frac{r_1^*z_1}{a^2-z_1^2}\biggr)e^{-y}\biggr]-{} \notag\\ &-\frac{2a}{|z_1|^2} \operatorname{Im} \biggl(\frac{z_1}{a^2-z_1^2}\biggr) \int_{-\infty}^{\infty}dy\, \operatorname{Im} (r_2z_1)\biggr\} \operatorname{sch} ^2y. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Очевидно, что при $z_1\to\zeta_1$ уравнение (5.12) сводится к уравнению (4.4) для скалярного темного солитона с $a_1=0$ и $a_2=a$. 5.2. Эволюция положения солитонаСледующий шаг – найти уравнение эволюции для координаты $\tilde x(t)$ (5.5), задающей положение солитона. Для этого нам необходимо вывести такое уравнение для нормировочного множителя $b_1$, поскольку $b_1^{(0)}$ определяет параметр $x_0$, входящий в $\tilde x$. Начнем с уравнения (см. (2.41)) и продифференцируем его по $t$ с учетом (3.10) и (3.15). Это дает
$$
\begin{equation}
\frac{b_{1t}}{b_1}J_{-}^{[1]}(x,z_1)= i(\omega_2-\omega_1)J_{-}^{[1]}(x,z_1)+\epsilon\lim_{z\to z_1}[\Phi_{+}(\Pi^{[1]}-b_1e^{izx}\Pi^{[2]})],
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Phi_{+}(\Pi^{[1]}-b_1e^{izx}\Pi^{[2]})&= (\Pi_{11}- b_1e^{izx}\Pi_{12})J_{-}^{[1]}+{} \notag\\ &\quad +(\Pi_{21}- b_1e^{izx}\Pi_{22})\chi+(\Pi_{31}- b_1e^{izx}\Pi_{32})J_{+}^{[3]}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
В этом векторном уравнении удобно работать с первыми компонентами векторов и рассмотреть предел $x\to-\infty$. В этом пределе (см. соотношение (3.13)). Используя явные выражения (3.10), (3.11) и (3.15) для $\Pi_{ij}$, получаем
$$
\begin{equation}
\frac{b_{1t}}{b_1}=i(\omega_2-\omega_1)+ \epsilon\lim_{z\to z_1}\frac{1}{s_{11}}[-2\lambda b_1(t_{33}R_{+12}-t_{32}R_{+13})+(R_{+}S)_{11}].
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
Найдем $R_{+ij}$ из (5.15) с учетом явного вида (2.25) матрицы $S_{+}$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R_{+11}&=-\Upsilon_{11}+\frac{1}{2\lambda}\frac{s_{21}}{t_{33}}\Upsilon_{12}-s_{11}\frac{t_{31}}{t_{33}}\Upsilon_{13}, \\ R_{+12}&=-\frac{s_{11}}{t_{33}}\biggl(\frac{1}{2\lambda}\Upsilon_{12}+t_{32}\Upsilon_{13}\biggr), \\ R_{+13}&=-s_{11}\Upsilon_{13}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
Подстановка этого результата в (5.16) дает
$$
\begin{equation}
\frac{b_{1t}}{b_1}=i(\omega_2-\omega_1)+\epsilon\lim_{z\to z_1}[\Upsilon_{12}(z)b_1-\Upsilon_{11}(z)].
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
Матричные элементы $\Upsilon_{11}$ и $\Upsilon_{12}$ вычисляются в соответствии с определением (3.6) для матрицы $\Phi_{+}$, столбцы которой заданы в (5.1)–(5.3). В результате имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\Upsilon_{12}(z)b_1-\Upsilon_{11}(z)= \\ &=i\frac{z}{s_{11}}\biggl\{\frac{1}{z} \int_{-\infty}^{\infty} dx\,r_1(1-\Psi_2) \biggl[\frac{z_1}{z_1^*}\biggl(\frac{a^2}{| z_1|^2}-1\biggr)^{\!-1/2}e^{\eta\tilde x(t)}e^{i(z-\xi)x}\times{} \\ &\kern124pt\times \biggl(t_{33}-\frac{z}{z_1}\frac{a^2-|z_1|^2}{a^2-zz_1}\Psi_2\biggr)- \frac{z^2}{a^2-z^2}\biggl(\frac{a^2}{|z_1|^2}-1\biggr)^{\!1/2}\Psi_2\biggr]+{} \\ &\kern40pt+\biggl(\frac{a^2}{| z_1|^2}-1\biggr)^{\!1/2}\frac{2i\eta}{z-z_1^*} \int_{-\infty}^{\infty} dx\,r_1^* \frac{e^{-y}}{1+e^{-2y}}\times{} \\ &\kern124pt\times\biggl[-\frac{z_1}{a^2-zz_1}\Psi_2 e^{\eta\tilde x(t)}e^{i(z-\xi)x}+\frac{z}{a^2-z^2}(s_{11}+\Psi_2)\biggr]+{} \\ &\kern40pt+ia\int_{-\infty}^{\infty} dx\,r_2(1-\Psi_2) \biggl[\frac{z_1}{z_1^*}\Psi_2\frac{e^{\eta\tilde x(t)}}{a^2-zz_1}e^{i(z-\xi)x}- \frac{1}{a^2-z^2}\biggl(s_{11}+\frac{z}{z_1^*}\Psi_2\biggr)\biggr]-{} \\ &\kern40pt-ia\int_{-\infty}^{\infty} dx\,r_2^*\biggl(1-\frac{z}{z_1}\Psi_2\biggr) \biggl[\frac{z_1}{z}\Psi_2\frac{e^{\eta\tilde x(t)}}{a^2-zz_1}e^{i(z-\xi)x}- \frac{1}{a^2-z^2}(s_{11}+ \Psi_2)\biggr]\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Важно отметить, что все четыре выражения в квадратных скобках обращаются в нуль в пределе $z\to z_1$, и то же самое справедливо для $s_{11}$ перед фигурными скобками. Следовательно, мы снова имеем неопределенность $0/0$. Используя правило Лопиталя, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\lim_{z\to z_1}[\Upsilon_{12}(z)b_1-\Upsilon_{11}(z)]= \notag \\ &\qquad=-\frac{1}{2}\frac{z_1}{a^2-z_1^2} \biggl[\biggl(\frac{a^2}{|z_1|^2}-1\biggr)^{\!1/2} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!\!dy\,\biggl(ixz_1-\frac{a^2}{a^2-z_1^2}\biggr)(r_1e^y-r_1^*e^{-y}) \operatorname{sch} ^2y-{} \notag\\ &\kern82pt-\frac{2a}{|z_1|^2} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!\!dy\,\biggl(ixz_1-\frac{a^2}{a^2-z_1^2}\biggr) \operatorname{Im} (r_2z_1) \operatorname{sch} ^2y-{} \notag\\ &\kern82pt-\frac{i}{\eta}\biggl(\frac{a^2}{|z_1|^2}-1\biggr)^{\!1/2}\!\!(a^2-z_1^2) \int_{-\infty}^{\infty}\!\!\!dy\,\biggl(\frac{r_1z_1^*}{a^2-|z_1|^2}+\frac{r_1^*z_1}{a^2-z_1^2}\biggr) \operatorname{sch} y-{} \notag\\ &\kern82pt-i\frac{2a}{\eta} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!\!dy\, \operatorname{Im} (r_2)e^y \operatorname{sch} y\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
Таким образом, мы завершили вывод явного уравнения (5.18) для $b_1$. С другой стороны, соотношения (5.4) дают уравнение эволюции для $b_1$ в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\frac{b_{1t}}{b_1}=i(\omega_2-\omega_1)+(\eta x_0)_t+ib_t+\frac{a^2}{a^2-|z_1|^2}\frac{|z_1|_t}{|z_1|}.
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
Следовательно, уравнения эволюции для $x_0$ и $b$ задаются вещественной и мнимой частями уравнения (5.19):
$$
\begin{equation}
(\eta x_0)_t =\operatorname{Re}\Bigl[\,\lim_{z\to z_1}(\Upsilon_{12}b_1-\Upsilon_{11})\Bigr]-\frac{a^2}{a^2-|z_1|^2}\frac{|z_1|_t}{|z_1|},
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
$$
\begin{equation}
b_t = \operatorname{Im} \Bigl[\,\lim_{z\to z_1}(\Upsilon_{12}b_1-\Upsilon_{11})\Bigr].
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
В свою очередь, из уравнения (5.5) следует, что уравнение эволюции для координаты $\tilde x(t)$, описывающей положение темно-яркого солитона, записывается в виде
$$
\begin{equation*}
\tilde x_t=2\xi-\frac{\eta_t}{\eta}\biggl(\frac{2}{\eta}\int_0^t dt'\,\xi\eta +x_0\biggr)+\frac{1}{\eta}(\eta x_0)_t.
\end{equation*}
\notag
$$
Учтем равенство
$$
\begin{equation*}
\frac{|z_1|_t}{|z_1|}=\frac{z_{1t}}{z_1}-\frac{i}{2}(\Delta\theta)_t,
\end{equation*}
\notag
$$
а также уравнения (5.7), (5.8) и (5.12) для $z_1$, $\eta$ и $\Delta\theta$, получим окончательное уравнение для $\tilde x(t)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\tilde x_t=2\xi+{} \notag \\ &\qquad +\frac{\epsilon}{2\eta^2}\biggl\{\biggl(\frac{a^2}{|z_1|^2}-1\biggr)^{\!1/2} \int_{-\infty}^{\infty}dy\, \biggl[ \operatorname{Im} \biggl(\frac{r_1z_1^2}{a^2-z_1^2}\tilde y\biggr)e^y- \operatorname{Im} \biggl(\frac{r_1^*z_1^2}{a^2-z_1^2}\tilde y\biggr)e^{-y}\biggr] \operatorname{sch} ^2y-{} \notag\\ &\kern54pt-\frac{2a}{|z_1|^2}\int_{-\infty}^{\infty}dy\, \operatorname{Im} (r_2z_1) \operatorname{Im} \biggl(\frac{z_1^2}{a^2-z_1^2}\tilde y\biggr) \operatorname{sch} ^2y-{} \notag\\ &\kern54pt-2a \operatorname{Im} \biggl(\frac{z_1}{a^2-z_1^2}\biggr) \int_{-\infty}^{\infty}dy\, \operatorname{Im} (r_2)e^y \operatorname{sch} y-{} \notag\\ &\kern54pt-2\eta\biggl(\frac{a^2}{|z_1|^2}-1\biggr)^{\!1/2}\frac{a^2}{a^2-|z_1|^2} \int_{-\infty}^{\infty}dy\, \operatorname{Re}\biggl(\frac{r_1^*z_1}{a^2-z_1^2}\biggr) \operatorname{sch} y\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.23}
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
\tilde y=y-\frac{2\eta^2}{a^2-z_1^2}\frac{a^2}{a^2-|z_1|^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
5.3. Эволюция фазы яркой компонентыНапомним, что фаза яркой компоненты определяется формулой (5.6). Следовательно,
$$
\begin{equation}
\tilde\varphi_t=\xi_t\tilde x+\xi\tilde x_t-(\xi^2-\eta^2)+b_t.
\end{equation}
\tag{5.24}
$$
Здесь $\xi_t$ и $\tilde x_t$ заданы уравнениями (5.9) и (5.23). Что касается эволюции $b_t$, то она находится из уравнения (5.22) и имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, b_t=-\frac{\epsilon}{2}\biggl\{&\biggl(\frac{a^2}{|z_1|^2}-1\biggr)^{\!1/2}\!\! \int_{-\infty}^{\infty}dy\, \biggl(\biggl[x\operatorname{Re}\biggl(\frac{r_1z_1^2}{a^2-z_1^2}\biggr)- a^2 \operatorname{Im} \biggl(\frac{r_1z_1}{(a^2-z_1^2)^2}\biggr)\biggr]e^y-{} \notag\\ &\kern82pt-\biggl[x\operatorname{Re}\biggl(\frac{r_1^*z_1^2}{a^2-z_1^2}\biggr)- a^2 \operatorname{Im} \biggl(\frac{r_1^*z_1}{(a^2-z_1^2)^2}\biggr)\biggr]e^{-y}\biggr) \operatorname{sch} ^2y-{} \notag\\ &-\frac{2a}{|z_1|^2}\int_{-\infty}^{\infty}dy\, \operatorname{Im} (r_2z_1)\biggl[x\operatorname{Re}\biggl(\frac{z_1^2}{a^2-z_1^2}\biggr)- a^2 \operatorname{Im} \biggl(\frac{z_1}{(a^2-z_1^2)^2}\biggr)\biggr] \operatorname{sch} ^2y-{} \notag\\ &-\frac{1}{\eta}\biggl(\frac{a^2}{|z_1|^2}-1\biggr)^{\!1/2}\!\! \int_{-\infty}^{\infty}dy\, \biggl[\operatorname{Re}\biggl(\frac{r_1^*z_1^2}{a^2-z_1^2}\biggr)+ \frac{|z_1|^2}{a^2-|z_1|^2}\operatorname{Re}(r_1)\biggr] \operatorname{sch} y-{} \notag\\ &-\frac{2a}{\eta}\operatorname{Re}\biggl(\frac{z_1}{a^2-z_1^2}\biggr) \int_{-\infty}^{\infty}dy\, \operatorname{Im} (r_2)e^y \operatorname{sch} y\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.25}
$$
В результате, подставляя выражения для $\xi_t$, $\tilde x_t$ и $b_t$ в (5.24), получаем возмущенное уравнение эволюции для фазы яркой компоненты темно-яркого солитона:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tilde\varphi_t= \xi^2+\eta^2+\frac{\epsilon}{2} \biggl\{&\biggl(\frac{a^2}{|z_1|^2}-1\biggr)^{\!1/2}\int_{-\infty}^{\infty}dy\, F_1(y) \operatorname{sch} ^2y-{} \notag\\ &-\frac{2a}{|z_1|^2}\int_{-\infty}^{\infty}dy\, \operatorname{Im} (r_2z_1)F_2(y) \operatorname{sch} ^2y-{} \notag\\ &-\frac{2}{\eta}\biggl(\frac{a^2}{|z_1|^2}-1\biggr)^{\!1/2} \frac{|z_1|^2}{a^2-|z_1|^2} \int_{-\infty}^{\infty}dy\, \operatorname{Re}\biggl(\frac{r_1^*z_1^2}{a^2-z_1^2}\biggr) \operatorname{sch} y-{} \notag\\ &-2a\frac{|z_1|^2}{\eta^2} \operatorname{Im} \biggl(\frac{1}{a^2-z_1^2}\biggr) \int_{-\infty}^{\infty}dy\, \operatorname{Im} (r_2)e^y \operatorname{sch} y\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.26}
$$
Здесь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, F_1(y)&=\biggl[y\frac{|z_1|^2}{\eta^2} \operatorname{Im} (r_1 R_1) -\frac{2\xi a^2}{a^2-|z_1|^2} \operatorname{Im} (r_1 R_1^2) +a^2 \operatorname{Im} \bigg(\frac{r_1 R_1}{(a^2-z_1^2)}\biggr)\biggr]e^y-{} \\ &\quad-\biggl[y\frac{|z_1|^2}{\eta^2} \operatorname{Im} (r_1^*R_1) -\frac{2\xi a^2}{a^2-|z_1|^2} \operatorname{Im} (r_1^*R_1^2) +a^2 \operatorname{Im} \biggl(\frac{r_1^*R_1}{(a^2-z_1^2)}\biggr)\bigg]e^{-y}, \\ F_2(y)&=y\frac{|z_1|^2}{\eta^2} \operatorname{Im} (R_1)-\frac{2\xi a^2}{a^2-|z_1|^2} \operatorname{Im} (R_1^2)+ a^2 \operatorname{Im} \biggl(\frac{z_1 R_1}{(a^2-z_1^2)}\biggr) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.27}
$$
и Подведем итог: возмущенный темно-яркий солитон описывается в адиабатическом приближении уравнениями эволюции для положения солитона $\tilde x$ (5.23), его амплитуды $\eta$ (5.8) и скорости $\xi$ (5.9), разности фаз темной компоненты $\Delta\theta$ (5.12) и фазы $\tilde\varphi$ яркой компоненты (5.26). 6. ЗаключениеВ представленной статье мы разработали теорию возмущений для нахождения солитонных решений интегрируемого векторного НУШ с ненулевым граничным условием. Эта модель естественным образом связана с матричной задачей РГ. Мы продемонстрировали, что используемый формализм, основанный на задаче РГ, является эффективным для решения как интегрируемых, так и почти интегрируемых версий векторного НУШ. Мы вывели индуцированные возмущением уравнения эволюции для параметров солитона и применили их к практически важному случаю возмущения, вызванного малым отклонением параметров модели от интегрируемого случая, используя адиабатическое приближение теории возмущений. Мы аналитически изучили динамику возмущенных темно-темного и темно-яркого солитонов. В этой работе мы ограничились изучением адиабатического приближения общей теории возмущений, но наши уравнения позволяют выйти за рамки этого приближения и учесть эффекты искажения формы солитона. Однако количественные характеристики эффектов первого порядка слишком малы, чтобы их можно было проверить экспериментально, по крайней мере в настоящее время. Примеры практических расчетов в первом порядке аппроксимации можно найти в [31] и [42]. В заключение отметим, что наш анализ может быть также использован в качестве теоретической основы для понимания численных результатов будущих экспериментов с темно-темными и темно-яркими солитонами. С другой стороны, несомненно, было бы полезно распространить настоящие исследования на более сложные модели, которые описываются системами динамических уравнений. Такие исследования продолжаются, и соответствующие результаты будут представлены в будущих публикациях. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Rot24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|