| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Класс полевых уравнений для нейтрино с ненулевой массой Н. Г. Марчукab a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия b Факультет экономических наук, Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 219, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924060023 
Реферативные базы данных:
    1. ВведениеДля описания динамики фундаментальных частиц спина $1/2$ (лептонов и кварков) в Стандартной модели используются два уравнения – уравнение Дирака (для всех частиц, кроме нейтрино) и уравнение Вейля (для нейтрино). Существование нейтрино было предсказано Паули в 1930 году. Нейтрино было открыто в 1956 году командой экспериментаторов под руководством Коуэна и Райнеса. Было обнаружено, что нейтрино является очень легкой (возможно, безмассовой) левокиральной частицей, а антинейтрино – правокиральной частицей1. В 1957 году в статьях Ландау [1], Салама [2], Ли и Янга [3] было предложено описывать нейтрино уравнением Вейля [4]. Именно это уравнение для нейтрино вошло в Стандартную модель. В 1962 году в дополнение к электронному нейтрино было открыто мюонное нейтрино, а в 2000 году – тау-нейтрино. В 1998 году в эксперименте на детекторе Super-Kamiokande были обнаружены (а потом подтверждены многими экспериментами) осцилляции нейтрино. Теоретическое обоснование возможности осцилляций нейтрино дал Понтекорво еще в 1957 году [5]. В дальнейшем теория осцилляций нейтрино развивалась многими авторами, в том числе из группы Понтекорво. Интерпретация экспериментальных данных с помощью теории нейтринных осцилляций указывает на возможность того, что некоторые (или все) из трех флейворов нейтрино $\nu_e$, $\nu_\mu$, $\nu_\tau$ имеют ненулевые массы и в этом случае не могут описываться уравнением Вейля. В связи с этим стал актуальным вопрос об уравнении для описания нейтрино с ненулевой массой. В литературе (см., например, обзоры [6], [7]) список уравнений, рассматриваемых в настоящее время в качестве кандидатов на уравнение для нейтрино с ненулевой массой, состоит из уравнения Дирака и уравнения Майораны. Также обсуждаются уравнения для так называемых Elko2 спиноров (см., например, [8], [9]). В настоящей работе предлагается дополнить список еще одним уравнением (уравнение (24) для нейтрино и уравнение (28) для антинейтрино). В статье все физические константы (кроме массы частицы, которую далее обозначаем $m\in\mathbb{R}$) взяты равными единице. 2. Матрицы второго порядкаПусть $\operatorname{Mat}(2,\mathbb{C})$ – алгебра комплексных матриц второго порядка, $e$ – единичная матрица второго порядка. Для матриц $V\in\operatorname{Mat}(2,\mathbb{C})$ определены операция эрмитова сопряжения $V\to V^\unicode{8224}$, операция комплексного сопряжения $V\to \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V $, след матрицы $\operatorname{tr}V$, определитель матрицы $\operatorname{det}V$. Кроме того, введем операцию сопряжения называемую реверсом3, и суперпозицию реверса и операции эрмитова сопряжения
$$
\begin{equation*}
V\to V^* = \widetilde{(V^\unicode{8224})}=(\widetilde V)^\unicode{8224}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\sigma^0=e$ и $\sigma^1$, $\sigma^2$, $\sigma^3$ – матрицы Паули,
$$
\begin{equation}
\sigma^0 =\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix},\qquad \sigma^1 =\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix},\qquad \sigma^2 =\begin{bmatrix} 0 & -i\\ i & \hphantom{-}0 \end{bmatrix},\qquad \sigma^3 =\begin{bmatrix} 1 & \hphantom{-}0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Четыре эрмитовы матрицы (2) называются базисом Паули пространства эрмитовых матриц $\operatorname{Herm}(2)$ и пространства комплексных матриц $\operatorname{Mat}(2,\mathbb{C})$. Произвольную матрицу $V\in\operatorname{Mat}(2,\mathbb{C})$ можно записать в виде разложения по базису Паули (сумма по $k=0,1,2,3$): Для сопряженных матриц получаем формулы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, V^\unicode{8224}=\bar v_k\sigma^k,\qquad \widetilde V = v_0\sigma^0 - v_1\sigma^1 - v_2\sigma^2 - v_3\sigma^3, \\ \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V = \bar v_0\sigma^0 + \bar v_1\sigma^1 - \bar v_2\sigma^2 + \bar v_3\sigma^3,\qquad V^* = \bar v_0\sigma^0 - \bar v_1\sigma^1 - \bar v_2\sigma^2 - \bar v_3\sigma^3, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\bar v_0,\bar v_1,\bar v_2,\bar v_3$ – комплексно-сопряженные числа. Введем обозначение для матрицы
$$
\begin{equation*}
J = i\sigma^2 = \begin{bmatrix} \hphantom{-}0 & 1\\ -1 & 0 \end{bmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
со свойствами
$$
\begin{equation*}
J^2=-e,\qquad J^{-1}=-J,\qquad \bar J=J,\qquad J^\unicode{8224} =-J,\qquad \tilde J=-J,\qquad J^*=J.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что операцию сопряжения $*$ можно выразить через операцию комплексного сопряжения матрицы с помощью матрицы $J$:
$$
\begin{equation}
V^* = -J \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V J\qquad \forall V\in\operatorname{Mat}(2,\mathbb{C}).
\end{equation}
\tag{3}
$$
Из этой формулы, в частности, следует формула
$$
\begin{equation}
\tilde\sigma^\mu = -J\bar\sigma^\mu J,\qquad \mu=0,1,2,3.
\end{equation}
\tag{4}
$$
3. Спиноры Вейля и спиноры Дирака в пространстве МинковскогоПусть $\mathbb{R}^{1,3}$ – пространство Минковского с декартовыми координатами $x^\mu$, $\mu=0,1,2,3$, с частными производными $\partial_\mu=\partial/\partial x^\mu$ и с метрическим тензором, заданным диагональной матрицей Минковского
$$
\begin{equation*}
\eta = \|\eta_{\mu\nu}\|= \|\eta^{\mu\nu}\|=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1).
\end{equation*}
\notag
$$
Спиноры Вейля и спиноры Дирака являются объектами геометрии пространства Минковского. Поэтому необходимо задать правило преобразования компонент спиноров при лоренцевых заменах декартовых координат пространства Минковского. Рассмотрим лоренцеву замену декартовых координат пространства Минковского из группы собственных ортохронных преобразований Лоренца4 $SO_+(1,3)$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, x^\mu & \to\acute x^\mu=p^\mu_\nu x^\nu,\qquad P=\|p^\mu_\nu\|\in SO_+(1,3),\\ \partial_\mu & \to\acute\partial_\mu=\frac{\partial}{\partial\acute x^\mu}=q_\mu^\nu\partial_\nu,\qquad Q=\|q_\mu^\nu\|=P^{-1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5}
$$
Для определения спиноров Вейля и спиноров Дирака используется теорема о двойном накрытии групп ([11], с. 66) где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, SL(2,\mathbb{C}) &= \{V\in\operatorname{Mat}(2,\mathbb{C})\colon \operatorname{det}V=1\},\\ SO_+(1,3) &=\{V\in\operatorname{Mat}(4,\mathbb{R})\colon V^\mathrm{T}\eta V=\eta, \operatorname{det} V=1, v_{00}\geqslant1\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и $v_{00}$ – элемент, стоящий в левом верхнем углу матрицы $V$. Для любой матрицы $Q=\|q_\mu^\nu\|\in SO_+(1,3)$ существует единственная пара матриц $\pm S\in SL(2,\mathbb{C})$ такая, что Отметим, что в статье Широкова [12] предложен конструктивный метод нахождения матриц $\pm S\in SL(2,\mathbb{C})$ по заданной матрице $Q\in SO_+(1,3)$.Пусть $S$ – произвольная матрица из группы $SL(2,\mathbb{C})$. Матрицы $S^\unicode{8224}\sigma^\nu S$, $\mu=0,1,2,3$, эрмитовы и могут быть разложены по базису Паули (6). Тогда вещественная матрица коэффициентов разложения $Q=\|q_\mu^\nu\|$ принадлежит собственной ортохронной группе Лоренца $SO_+(1,3)$. Столбец из двух комплекснозначных функций $\zeta^k\colon \mathbb{R}^{1,3}\to\mathbb{C}$, $k=1,2$,
$$
\begin{equation*}
\zeta=\zeta(x) = \begin{bmatrix} \zeta^1(x)\\ \zeta^2(x) \end{bmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
называется левым спинором Вейля5, если при любой замене координат (5) столбец $\zeta$ преобразуется по правилу
$$
\begin{equation*}
\zeta(x) \to\acute\zeta(\acute x)= S^\unicode{8224}\zeta(x(\acute x)),
\end{equation*}
\notag
$$
и называется правым спинором Вейля, если при любой замене координат (5) столбец $\zeta$ преобразуется по правилу
$$
\begin{equation*}
\zeta(x) \to \acute\zeta(\acute x)=\widetilde S\zeta(x(\acute x)),
\end{equation*}
\notag
$$
где матрица $S\in SL(2,\mathbb{C})$ определяется матрицей преобразования координат по формуле (6). В силу теоремы о двойном накрытии спиноры Вейля определены с точностью до знака. Множество левых спиноров Вейля обозначим через $(L)$, а множество правых спиноров Вейля – через $(R)$. Возьмем один левый и один правый спинор Вейля, $\xi\in(L)$, $\chi\in(R)$. Столбец из четырех комплекснозначных функций
$$
\begin{equation*}
\psi=\psi(x) = \begin{bmatrix} \xi(x)\\ \chi(x) \end{bmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
называется спинором Дирака6 или биспинором, если при любой замене координат (5) столбец $\psi$ преобразуется по правилу
$$
\begin{equation}
\psi=\psi(x) \to \acute\psi(\acute x)= \begin{bmatrix} \acute\xi(\acute x) \\ \acute\chi(\acute x) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} S^\unicode{8224} & 0 \\ 0 & \widetilde{S}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \xi(x(\acute x)) \\ \chi(x(\acute x)) \end{bmatrix},
\end{equation}
\tag{7}
$$
где матрица $S\in SL(2,\mathbb{C})$ определяется формулой (6). В настоящей статье используем следующее соглашение: для левых спиноров Вейля будем, как правило, использовать обозначения $\xi,\xi_1,\xi_2,\ldots$ , а для правых спиноров Вейля – обозначения $\chi,\chi_1,\chi_2,\ldots$ . Если спинор может быть как правым, так и левым, то обозначаем его $\zeta,\zeta_1,\ldots$ . 4. Операторы, переводящие спиноры Вейля в спиноры Вейля1. Умножение на комплекснозначную функцию. Возьмем функцию $\lambda\colon \mathbb{R}^{1,3}\to\mathbb{C}$. Если $\zeta\in(L)$, то $\lambda\zeta\in(L)$; если $\zeta\in(R)$, то $\lambda\zeta\in(R)$. В частности, спиноры Вейля можно умножать на комплексные числа. 2. Сумма спиноров одинаковой киральности. Если $\zeta_1,\zeta_2\in(L)$, то $\zeta_1+\zeta_2\in(L)$; если $\zeta_1,\zeta_2\in(R)$, то $\zeta_1+\zeta_2\in(R)$. 3. Оператор дуальности $\ddagger$. Пусть $\zeta$ – спинор Вейля. Определим оператор (называемый оператором дуальности) где черта означает комплексное сопряжение от компонент спинора.Покажем, что этот оператор переводит спинор Вейля в спинор Вейля противоположной киральности (если $\zeta\in(L)$, то $\zeta^\ddagger\in(R)$; если $\zeta\in(R)$, то $\zeta^\ddagger\in(L)$). Действительно, пусть $\zeta\in(L)$, т. е. при замене координат (5) столбец $\zeta$ преобразуется по правилу где матрица $S\in SL(2,\mathbb{C})$ определяется формулой (6). Поэтому столбец $\zeta^\ddagger = J\bar\zeta$ преобразуется по правилу
$$
\begin{equation*}
\zeta^\ddagger\to J\,\overline{S^\unicode{8224}\zeta}=(-J\bar{S}^\unicode{8224} J)(J\bar{\zeta})=(-J\bar{S}^\unicode{8224} J)\zeta^\ddagger.
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью формулы (3) при $V=S^\unicode{8224}$ получим, что
$$
\begin{equation*}
(-J\bar{S}^\unicode{8224} J) = (S^\unicode{8224})^*=\widetilde S.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, столбец $\zeta^\ddagger$ преобразуется по правилу и является правым спинором Вейля. Случай $\zeta\in(R)$ рассматривается аналогично. Еще отметим, что Зарядовое сопряжение спиноров Дирака. Если спиноры Вейля $\xi\in(L)$, $\chi\in(R)$ составляют спинор Дирака $\psi$, то оператор дуальности $\ddagger$ позволяет выписать следующий оператор7, переводящий спинор Дирака снова в спинор Дирака:
$$
\begin{equation}
\psi=\begin{bmatrix} \xi \\ \chi \end{bmatrix} \to \psi^\mathrm{C}= \begin{bmatrix} -\chi^\ddagger \\ \hphantom{-}\xi^\ddagger \end{bmatrix}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Оператор $\psi \to\psi^C$ называется зарядовым сопряжением спинора Дирака. 4. Дифференциальные операторы $\nabla$, $\widetilde\nabla$. Введем обозначения для двух дифференциальных операторов первого порядка
$$
\begin{equation*}
\nabla = \sigma^\mu\partial_\mu,\qquad \widetilde\nabla = \tilde\sigma^\mu\partial_\mu.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем8, что оператор $\nabla$ переводит правые спиноры Вейля в левые спиноры Вейля, а оператор $\widetilde\nabla$ переводит левые спиноры Вейля в правые спиноры Вейля. Пусть $\xi\in(L)$. Покажем, что $\widetilde\nabla\xi\in(R)$. Прежде всего подействуем на обе части равенства (6) операцией сопряжения, получим
$$
\begin{equation}
\tilde\sigma^\mu q_\mu^\nu = \widetilde S\,\tilde\sigma^\nu S^*.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Предполагая, что спинор $\xi$ преобразуется по правилу и используя равенство получим
$$
\begin{equation*}
\tilde\sigma^\mu\partial_\mu\xi\to \tilde\sigma^\mu\acute\partial_\mu\acute\xi= \tilde\sigma^\mu q^\nu_\mu\partial_\nu((S^*)^{-1}\xi) = \widetilde S\,\tilde\sigma^\nu S^*(S^*)^{-1}\partial_\nu\xi = \widetilde S(\tilde\sigma^\nu\partial_\nu\xi).
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $\widetilde\nabla\xi\in(R)$ и $\widetilde\nabla\colon (L)\to (R)$, что и требовалось доказать. Аналогичным образом доказывается, что $\nabla\colon (R)\to(L)$. Замечание 1. Если $\xi\in(L)$, $\chi\in(R)$, то $\widetilde\nabla\chi$ и $\nabla\xi$ не являются спинорами Вейля. В разделе 6 для написания уравнений используются только операторы, переводящие спиноры Вейля в спиноры Вейля (постулат 2). Поэтому для дальнейшего постулируем, что оператор $\widetilde\nabla$ действует только на левые спиноры Вейля, а оператор $\nabla$ действует только на правые спиноры Вейля. Замечание 2. Имеется связь между дифференциальными операторами $\nabla$, $\widetilde\nabla$ и оператором дуальности $\ddagger$. А именно, нетрудно проверить, что для любых9 $\chi\!\in (R)$, $\xi\in(L)$ 5. Уравнения Дирака, Вейля и МайораныРассмотрим гамма-матрицы Дирака в представлении Вейля, имеющие блочный вид
$$
\begin{equation*}
\gamma^\mu=\begin{bmatrix} 0 & \sigma^\mu\\ \tilde\sigma^\mu & 0\end{bmatrix},\qquad \mu=0,1,2,3.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\psi=\psi(x)$ – спинор Дирака (биспинор), удовлетворяющий уравнению Дирака и составленный из двух спиноров Вейля $\psi = \begin{bmatrix} \xi\\ \chi\end{bmatrix}$, $\xi\in(L)$, $\chi\in(R)$. Как известно, уравнение Дирака (11) записывается в виде системы уравнений для спиноров Вейля10
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\nabla\chi +i m\xi = 0,\\ &\widetilde\nabla\xi +i m\chi = 0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
где $m\in\mathbb{R}$ – константа (масса частицы), $i$ – мнимая единица. Если спиноры Вейля $\chi\in(R)$, $\xi\in(L)$ удовлетворяют системе уравнений Дирака (12), то они удовлетворяют уравнениям Клейна–Гордона
$$
\begin{equation}
(\widetilde\nabla\nabla + m^2)\chi=0,\qquad (\nabla\widetilde\nabla + m^2)\xi=0.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Отметим, что $\nabla\widetilde\nabla=\widetilde\nabla\nabla=\square$ – оператор Даламбера. При $m=0$ система уравнений Дирака (12) распадается на два отдельных уравнения для $\xi$ и $\chi$ Уравнение (14) называется уравнением Вейля в правой $($правокиральной$)$ форме, a уравнение (15) называется уравнением Вейля в левой $($левокиральной$)$ форме.В работах Ландау [1], Салама [2], Ли и Янга [3] было предложено описывать нейтрино с помощью уравнения (15), а антинейтрино описывать уравнением (14). В 1937 году Майорана [13] ввел уравнения (уравнения Майораны в правокиральной и в левокиральной форме11)
$$
\begin{equation}
\nabla\chi + i m e^{i\lambda_1}\chi^\ddagger=0,\qquad \widetilde\nabla\xi + i m e^{i\lambda_2}\xi^\ddagger=0
\end{equation}
\tag{16}
$$
для спиноров Вейля $\chi\in(R)$, $\xi\in(L)$ ($m\in\mathbb{R}$; $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}$). Если спиноры Вейля $\chi\in(R)$, $\xi\in(L)$ удовлетворяют уравнениям Майораны (16), то они удовлетворяют уравнениям Клейна–Гордона (13). 6. Описание класса $\mathcal{K}$ полевых уравненийСтандартный подход к релятивистским волновым уравнениям, используемым в квантовой теории поля, получается из теории представлений группы Пуанкаре (см., например, [15]–[17]). Предлагаемый в настоящей статье подход к получению уравнения для нейтрино также может рассматриваться с точки зрения теории представлений группы Пуанкаре. При этом мы сосредоточимся на узком подклассе полевых уравнений. А именно, будем рассматривать четыре постулата, которые выделяют интересующий нас класс дифференциальных уравнений (систем уравнений) первого порядка. Определим класс $\mathcal{K}$ систем дифференциальных уравнений следующими постулатами. Постулат 1. В уравнениях из класса $\mathcal{K}$ неизвестными является пара спиноров Вейля (четыре неизвестные комплексные функции, являющиеся компонентами двух спиноров Вейля). Постулат 2. В уравнениях из класса $\mathcal{K}$ используются только операторы, отображающие спиноры Вейля в спиноры Вейля. Постулат 3. В класс $\mathcal{K}$ входят уравнения первого порядка (в уравнения входят производные $\partial_\mu$ не выше первого порядка) с нулевой правой частью. Число уравнений равно числу неизвестных (системы из четырех комплексных уравнений для четырех комплексных неизвестных). Постулат 4. Если пара спиноров Вейля удовлетворяет уравнению (системе уравнений) из класса $\mathcal{K}$, то каждый из этих спиноров Вейля удовлетворяет соответствующему уравнению Клейна–Гордона. Ниже мы убедимся, что класс $\mathcal{K}$ является вполне обозримым12 и в него входят некоторые новые системы уравнений. Замечание 3. Легко видеть, что выписанные выше системы уравнений – уравнение Дирака (12) и пара уравнений Майораны (16) – удовлетворяют четырем постулатам и, следовательно, входят в класс $\mathcal{K}$. Замечание 4. Упомянутые уравнения для Elko спиноров не входят в класс $\mathcal{K}$, так как число комплексных неизвестных и уравнений для компонент Elko спиноров равно шестнадцати вместо четырех для уравнений из класса $\mathcal{K}$. Приступим к анализу уравнений из класса $\mathcal{K}$. Если $\zeta_1$, $\zeta_2$ – два спинора Вейля, то для упорядоченной пары будем использовать обозначение $(\zeta_1;\zeta_2)$. Введем также обозначения для множеств упорядоченных пар спиноров Вейля (если $\zeta_1\in(R)$, $\zeta_2\in(L)$, то $(\zeta_1;\zeta_2)\in(RL)$ и т. д.).В соответствии с постулатами операторы уравнений из класса $\mathcal{K}$ отображают пару спиноров Вейля в пару спиноров Вейля противоположной киральности (постулаты 2, 3). Поэтому каждое из четырех множеств (17) отображается в соответствующее множество:
$$
\begin{equation*}
(RR)\to(LL),\quad (LL)\to(RR),\quad (RL)\to(LR),\quad (LR)\to(RL).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрев подробно один из случаев, а именно случай отображения $(LL)\to(RR)$, мы сможем перенести результаты на другие три случая. Случай $(LL)\to(RR)$. Рассмотрим два левых спинора Вейля $\xi_1,\xi_2\in(L)$. Выпишем операторы, отображающие эти спиноры в правые спиноры Вейля:
$$
\begin{equation*}
\widetilde\nabla\xi_1,\ \widetilde\nabla\xi_2,\ \xi_1^\ddagger,\ \xi_2^\ddagger.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь можно записать систему уравнений первого порядка вида
$$
\begin{equation}
\widetilde\nabla\xi_1 + \alpha_1 \xi_1^\ddagger + \alpha_2 \xi_2^\ddagger =0,
\end{equation}
\tag{18}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde\nabla\xi_2 + \beta_1 \xi_1^\ddagger + \beta_2 \xi_2^\ddagger =0,
\end{equation}
\tag{19}
$$
где константы $\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2\in\mathbb{C}$ таковы, что каждый из спиноров $\xi_1,\xi_2\in(L)$, удовлетворяющих уравнениям (18), (19), удовлетворяет уравнению Клейна–Гордона (постулат 4), т. е. где $m\in\mathbb{R}$, $m\neq0$. Найдем условия на константы $\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2$. На левые части уравнений (18), (19) подействуем оператором дуальности $\ddagger$ и запишем результат в следующем виде (напомним, что $(\widetilde\nabla\xi)^\ddagger=\nabla(\xi^\ddagger)$, $\xi^{\ddagger\ddagger}=-\xi$):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\nabla(\xi_1^\ddagger) = \bar\alpha_1\xi_1 + \bar\alpha_2\xi_2,\\ &\nabla(\xi_2^\ddagger) = \bar\beta_1\xi_1 + \bar\beta_2\xi_2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
Теперь подействуем на левую часть уравнения (18) оператором $\nabla$. Используя (20), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \nabla\widetilde\nabla\xi_1 + \alpha_1\nabla(\xi_1^\ddagger) + \alpha_2\nabla(\xi_2^\ddagger)& = \nabla\widetilde\nabla\xi_1 + \alpha_1(\bar\alpha_1\xi_1 + \bar\alpha_2\xi_2) + \alpha_2(\bar\beta_1\xi_1 + \bar\beta_2\xi_2)={} \\ & = \nabla\widetilde\nabla\xi_1 + (\alpha_1\bar\alpha_1 + \alpha_2\bar\beta_1)\xi_1 + (\alpha_1\bar\alpha_2 + \alpha_2\bar\beta_2)\xi_2 =0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнивая последнюю строчку этой цепочки равенств с уравнением Клейна–Гордона (13), получим условия на комплексные параметры:
$$
\begin{equation}
\alpha_1\bar\alpha_1 + \alpha_2\bar\beta_1 = m^2,\qquad \alpha_1\bar\alpha_2 + \alpha_2\bar\beta_2=0.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Аналогичным образом из уравнения (19) получим условия
$$
\begin{equation}
\beta_1\bar\alpha_1 + \beta_2\bar\beta_1 = 0,\qquad \beta_1\bar\alpha_2 + \beta_2\bar\beta_2=m^2.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Системы уравнений (21), (22) для констант $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\beta_1$, $\beta_2$ позволяют выписать разные частные решения. Для наших целей удобно использовать частное решение вида
$$
\begin{equation}
\alpha_1 = \beta_2 =0,\qquad \alpha_2 = -\varepsilon e^{i\lambda} i m,\qquad \beta_1 = -\frac{1}{\varepsilon}e^{i\lambda}i m,
\end{equation}
\tag{23}
$$
зависящее от двух параметров $\lambda,\varepsilon\in\mathbb{R}$, $\varepsilon\neq0$. Система уравнений (18), (19) в случае (23) имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\widetilde\nabla\xi_1 - \varepsilon e^{i\lambda}i m \xi_2^\ddagger =0,\\ &\widetilde\nabla\xi_2 - \frac{1}{\varepsilon}e^{i\lambda}i m \xi_1^\ddagger =0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
$$
Систему уравнений (18), (19) запишем в символическом виде с оператором $D_{(1)}\colon (LL)\to(RR)$,
$$
\begin{equation*}
D_{(1)}(\xi_1;\xi_2) := (\widetilde\nabla\xi_1+\alpha_1\xi_1^\ddagger+\alpha_2\xi_2^\ddagger; \widetilde\nabla\xi_2+\beta_1\xi_1^\ddagger+\beta_2\xi_2^\ddagger).
\end{equation*}
\notag
$$
В правой части (25) стоит пара нулевых правых спиноров Вейля. Уравнение (система уравнений) (18), (19) с условиями (21), (22) позволяет определить еще три системы уравнений с операторами $D_{(2)}$, $D_{(3)}$, $D_{(4)}$, отображающими упорядоченные пары спиноров Вейля в упорядоченные пары спиноров Вейля противоположной киральности:
$$
\begin{equation*}
D_{(2)}\colon (RR)\to(LL),\qquad D_{(3)}\colon (RL)\to(LR),\qquad D_{(4)}\colon (LR)\to(RL).
\end{equation*}
\notag
$$
Случай $(RR)\to(LL)$. Пусть $\chi_1,\chi_2\in (R)$. Система уравнений получается из системы уравнений (18), (19) действием оператора дуальности $\ddagger$ на оба уравнения и заменой переменных $(\xi_1;\xi_2)\to (\chi_1;\chi_2)$, где $\xi_1=\chi_1^\ddagger$, $\xi_2=\chi_2^\ddagger$. Получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\widetilde\nabla\xi_1+ \alpha_1\xi_1^\ddagger+\alpha_2\xi_2^\ddagger)^\ddagger &= \nabla(\xi_1^\ddagger)-\bar\alpha_1\xi_1-\bar\alpha_2\xi_2= -\nabla\chi_1-\bar\alpha_1\chi_1^\ddagger-\bar\alpha_2\chi_2^\ddagger,\\ (\widetilde\nabla\xi_2+ \beta_1\xi_1^\ddagger+\beta_2\xi_2^\ddagger)^\ddagger &= \nabla(\xi_2^\ddagger)-\bar\beta_1\xi_1-\bar\beta_2\xi_2= -\nabla\chi_2-\bar\beta_1\chi_1^\ddagger-\bar\beta_2\chi_2^\ddagger. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому система уравнений (18), (19) переходит в систему уравнений (26) вида
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\nabla\chi_1+\bar\alpha_1\chi_1^\ddagger+\bar\alpha_2\chi_2^\ddagger = 0,\\ &\nabla\chi_2+\bar\beta_1\chi_1^\ddagger+\bar\beta_2\chi_2^\ddagger = 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{27}
$$
Те же условия (21), (22) обеспечивают выполнение постулата 4 для уравнений (27), т. е. $(\widetilde\nabla\nabla + m^2)\chi_{1,2}=0$. Подставляя в уравнения (27) частный выбор параметров (23), получим систему уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\nabla\chi_1 + \varepsilon e^{-i\lambda}i m\chi_2^\ddagger = 0,\\ &\nabla\chi_2 + \frac{1}{\varepsilon} e^{-i\lambda}i m\chi_1^\ddagger = 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{28}
$$
Случай $(RL)\to(LR)$. Пусть $\chi\in(R)$, $\xi\in(L)$. Система уравнений с оператором $D_{(3)}\colon (RL)\to(LR)$ получается из системы уравнений (18), (19), если на уравнение (18) подействовать оператором дуальности $\ddagger$ и сделать замену переменных $(\xi_1;\xi_2)\to (\chi;\xi)$, где $\xi_1=\chi^\ddagger$, $\xi_2=\xi$. Получим
$$
\begin{equation*}
(\widetilde\nabla\xi_1+ \alpha_1\xi_1^\ddagger+\alpha_2\xi_2^\ddagger)^\ddagger = \nabla(\xi_1^\ddagger)-\bar\alpha_1\xi_1-\bar\alpha_2\xi_2= -\nabla\chi-\bar\alpha_1\chi^\ddagger-\bar\alpha_2\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому система уравнений (18), (19) переходит в систему уравнений (29) вида
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\nabla\chi+\bar\alpha_1\chi^\ddagger+\bar\alpha_2\xi = 0,\\ &\widetilde\nabla\xi-\beta_1\chi+\beta_2\xi^\ddagger = 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{30}
$$
Условия (21), (22) обеспечивают выполнение постулата 4 для уравнений (30), т. е. $(\widetilde\nabla\nabla + m^2)\chi=0$, $(\nabla\widetilde\nabla + m^2)\xi=0$. Подставляя в уравнения (30) частный выбор параметров (23), получим систему уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\nabla\chi + \varepsilon e^{-i\lambda}i m\xi = 0,\\ &\widetilde\nabla\xi + \frac{1}{\varepsilon}e^{i\lambda}i m\chi = 0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{31}
$$
которая при $\lambda=0$, $\varepsilon=1$ совпадает с уравнением Дирака в представлении Вейля (12). Случай $(LR)\to(RL)$. Пусть $\xi\in(L)$, $\chi\in(R)$. Система уравнений с оператором $D_{(4)}\colon (LR)\to(RL)$ получается из системы уравнений (18), (19), если на уравнение (19) подействовать оператором дуальности $\ddagger$ и сделать замену переменных $(\xi_1;\xi_2)\to (\xi;\chi)$, где $\xi_1=\xi$, $\xi_2=\chi^\ddagger$. В результате придем к системе уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\widetilde\nabla\xi + \alpha_1\xi^\ddagger - \alpha_2\chi = 0,\\ &\nabla\chi + \bar\beta_1\xi + \bar\beta_2\chi^\ddagger = 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{33}
$$
Подставляя в уравнения (33) частный выбор параметров (23), получим систему уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widetilde\nabla\xi + \varepsilon e^{i\lambda}i m\chi = 0,\\ &\nabla\chi + \frac{1}{\varepsilon} e^{-i\lambda}i m\xi = 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнивая систему уравнений (33) с системой уравнений (30), видим, что одна система уравнений получается из другой перестановкой уравнений и заменой параметров
$$
\begin{equation*}
(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2) \to (\acute\alpha_1,\acute\alpha_2,\acute\beta_1,\acute\beta_2) = (\beta_2,\beta_1,\alpha_2,\alpha_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Легко проверить, что это преобразование параметров является симметрией системы уравнений (21), (22). Таким образом, с помощью постулатов 1–4 введен класс $\mathcal{K}$ полевых уравнений, состоящий из трех подклассов уравнений $\mathcal{K}=\mathcal{K}_1\cup\mathcal{K}_2\cup\mathcal{K}_3$ со следующими операторами: первый подкласс $D_{(1)}\colon (LL)\to(RR)$; второй подкласс $D_{(2)}\colon (RR)\to(LL)$; третий подкласс $D_{(3)}\colon (RL)\to(LR)$ и $D_{(4)}\colon (LR)\to(RL)$ (системы уравнений с операторами $D_{(3)}$ и $D_{(4)}$ отличаются лишь перестановкой уравнений и заменой параметров). Уравнения из подклассов $\mathcal{K}_1$ и $\mathcal{K}_2$ предполагается использовать в качестве уравнений для нейтрино и антинейтрино с ненулевой массой. Уравнения из $\mathcal{K}_1$ и $\mathcal{K}_2$ не могут быть получены из уравнений третьего подкласса $\mathcal{K}_3$ без использования оператора дуальности $\ddagger$. Отметим, что оператор дуальности $\ddagger$ переводит полевое уравнение, предположительно описывающее некоторую физическую ситуацию, в другое полевое уравнение, которое описывает другую физическую ситуацию. Это утверждение можно проиллюстрировать на уравнениях Вейля. А именно, безмассовое нейтрино описывается левокиральным уравнением Вейля $\widetilde\nabla\xi=0$. Подействовав на это уравнение оператором дуальности, получим правокиральное уравнение Вейля $\nabla\chi=0$, где $\chi=\xi^\ddagger$. Но это уравнение описывает уже антинейтрино, а не нейтрино. 7. Об “эквивалентности” полученных полевых уравненийВопросы эквивалентности возникают в разных областях математики при необходимости определить, когда два математических объекта совпадают при заменах переменных. Этим вопросам посвящена обширная литература (см., например, [18], а также работы Овсянникова [19] и его учеников [20] и др.). Мы рассматриваем вопрос эквивалентности применительно к узкому классу систем дифференциальных уравнений первого порядка, определенных постулатами 1–4. В этом случае удается обойтись простыми средствами. Так как мы обсуждаем вопросы эквивалентности уравнений, то преобразование уравнений имеет два аспекта – замена неизвестных в уравнениях и преобразование самих уравнений. Необходимое условие допустимости преобразований заключается в том, что преобразование должно быть биективным (взаимно однозначным, обратимым), причем биективными должны быть и замена неизвестных, и преобразование уравнений. Это условие обеспечивает возможность обратного перехода от преобразованного уравнения к исходному. Общий подход к рассмотрению вопроса об эквивалентности уравнений, определенных постулатами 1–4, состоит в том, что мы сначала задаем класс “допустимых” преобразований уравнений (класс замен неизвестных плюс класс преобразований самих уравнений), которые не выводят уравнения за пределы класса $\mathcal{K}$. После этого мы объявляем, что два уравнения “эквивалентны”, если одно уравнение получается из другого с помощью “допустимого” преобразования. Ниже рассмотрены два класса “допустимых” преобразований уравнений, которые порождают два разных понятия “эквивалентности” уравнений. Чтобы их различать, будем использовать для соответствующих уравнений термины “модельная эквивалентность” и “биективная эквивалентность”. 8. Модельная эквивалентность полевых уравнений из классов $\mathcal{K}_1$ и $\mathcal{K}_2$Случай $(LL)\to(RR)$. Начнем с рассмотрения частной системы уравнений для левых спиноров Вейля $\xi_1,\xi_2\in(L)$ получающейся из системы уравнений (24) при $\lambda=0$, $\varepsilon=1$.Зададимся вопросом о том, какие системы уравнений из класса $\mathcal{K}$ могут быть получены из системы уравнений (34), (35). Ответ на этот вопрос зависит от того, какие преобразования системы уравнений мы допускаем. Возьмем четыре константы $p_1,p_2,q_1,q_2\in\mathbb{C}$ и определим по ним четыре константы $r_1,r_2,s_1,s_2\in\mathbb{C}$ такие, что матрицы
$$
\begin{equation}
\begin{bmatrix} r_1 & r_2\\ s_1 & s_2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} p_1 & p_2\\ q_1 & q_2\end{bmatrix}^{-1}
\end{equation}
\tag{36}
$$
не вырождены. Рассмотрим следующее преобразование системы уравнений (34), (35). Уравнение (левую и правую части уравнения) (34) умножим на константу $p_1$ и добавим уравнение (35), умноженное на константу $p_2$. Затем возьмем уравнение (34), умноженное на константу $q_1$, и добавим уравнение (35), умноженное на константу $q_2$. В получившейся системе уравнений сделаем замену неизвестных
$$
\begin{equation*}
(\xi_1;\xi_2)\to(\acute\xi_1;\acute\xi_2)=(p_1\xi_1+p_2\xi_2; q_1\xi_1+q_2\xi_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Получим систему уравнений типа (18), (19)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\widetilde\nabla\acute\xi_1 + \acute\alpha_1 \acute\xi_1^\ddagger + \acute\alpha_2 \acute\xi_2^\ddagger =0,\\ &\widetilde\nabla\acute\xi_2 + \acute\beta_1 \acute\xi_1^\ddagger + \acute\beta_2 \acute\xi_2^\ddagger =0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{37}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \acute\alpha_1 &= - i m(p_1\bar s_1+p_2\bar r_1),\qquad \acute\alpha_2 = - i m(p_1\bar s_2+p_2\bar r_2),\\ \acute\beta_1 &= - i m(q_1\bar s_1+q_2\bar r_1),\qquad \acute\beta_2 = - i m(q_1\bar s_2+q_2\bar r_2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{38}
$$
Справедливо следующее утверждение. Пусть константы $\acute\alpha_1,\acute\alpha_2, \acute\beta_1,\acute\beta_2\in\mathbb{C}$ определены формулами (38) через константы $p_1,p_2,q_1,q_2, r_1,r_2,s_1,s_2\in\mathbb{C}$, которые связаны равенством (36). Тогда они удовлетворяют уравнениям (21), (22). Утверждение доказывается прямым вычислением. Также можно доказать, что уравнения (38) обратимы и позволяют определить константы $p_1,p_2,q_1,q_2\in\mathbb{C}$ через константы $\acute\alpha_1,\acute\alpha_2, \acute\beta_1,\acute\beta_2\in\mathbb{C}$, удовлетворяющие условиям (21), (22). Из проведенного рассмотрения можно сделать следующий вывод: любое из уравнений (18), (19) с условиями (21), (22) может быть получено из одной системы уравнений (34), (35) с помощью линейного преобразования уравнений с постоянными комплексными коэффициентами и соответствующей линейной замены неизвестных. Поэтому будем говорить, что все уравнения (18), (19) с условиями (21), (22) являются модельно эквивалентными13. Случай $(RR)\to(LL)$. Рассмотрение этого случая проводится аналогично проведенному рассмотрению случая $(LL)\to(RR)$. Начинается с рассмотрения частной системы уравнений для правых спиноров Вейля $\chi_1,\chi_2\in(R)$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\nabla\chi_1 + i m\chi_2^\ddagger = 0,\\ &\nabla\chi_2 + i m\chi_1^\ddagger = 0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{39}
$$
которая получается из системы уравнений (28) при $\lambda=0$, $\varepsilon=1$. Показано, что из этой системы уравнений могут быть получены все уравнения вида (27) (с параметрами, удовлетворяющими условиям (21), (22)) с помощью линейного преобразования системы уравнений (39) и линейной замены неизвестных. На этой основе сделан вывод о том, что все уравнения (27) с условиями (21), (22) являются модельно эквивалентными. 9. О модельной эквивалентности полевых уравнений из класса $\mathcal{K}_3$Цель этого параграфа – выделить подклассы модельно эквивалентных систем уравнений из класса $\mathcal{K}_3$. К третьему подклассу класса $\mathcal{K}$ мы отнесли уравнения для двух спиноров Вейля разной киральности вида (30) и вида (33), где комплексные константы $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\beta_1$, $\beta_2$ удовлетворяют соотношениям (21), (22). В разделе 7 даны допустимые преобразования уравнений – линейные замены неизвестных и соответствующие преобразования уравнений, которые позволяют доказать, что все уравнения из первого подкласса (уравнения (18), (19)) модельно эквивалентны между собой и все уравнения из второго подкласса класса $\mathcal{K}$ (уравнения (40)) модельно эквивалентны между собой. Существенный момент доказательства состоит в том, что спиноры Вейля одинаковой киральности можно складывать, поэтому можно рассматривать линейные комбинации уравнений с комплексными коэффициентами. Но в уравнениях из класса $\mathcal{K}_3$ нельзя брать линейные комбинации уравнений, так как нельзя складывать спиноры Вейля разной киральности. Но можно умножать каждое из уравнений на свою комплексную константу, а также можно менять местами первое и второе уравнения. Рассмотрим уравнения (30) с условиями (21), (22), обеспечивающими выполнение постулата 4. Возьмем систему уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\widetilde\nabla\check\xi-\beta_1\check\chi+\beta_2\check\xi^\ddagger = 0,\\ &\nabla\check\chi+\bar\alpha_1\check\chi^\ddagger+\bar\alpha_2\check\xi =0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{40}
$$
получающуюся из (30) перестановкой уравнений и заменой $\xi\to\check\xi$, $\chi\to\check\chi$. Система уравнений (40) модельно эквивалентна системе уравнений (30), так как одна система уравнений получается из другой без использования оператора дуальности $\ddagger$. Теперь возьмем зависящую от двух ненулевых констант $a,b\in\mathbb{C}$ систему уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\nabla\acute\chi+\bar\alpha_1\frac{a}{\bar a}\acute\chi^\ddagger+\bar\alpha_2\frac{a}{b}\acute\xi = 0,\\ &\widetilde\nabla\acute\xi-\beta_1\frac{b}{a}\acute\chi+\beta_2\frac{b}{\bar b}\acute\xi^\ddagger = 0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{41}
$$
получающуюся из системы уравнений (30) умножением первого уравнения на $a$, второго уравнения на $b$ и заменой $\xi\to\acute\xi=a\xi$, $\chi\to\acute\chi=b\chi$. Система уравнений (41) модельно эквивалентна системе уравнений (30) и системе уравнений (40). Критерий модельной эквивалентности двух систем уравнений из класса $\mathcal{K}_3$. Система уравнений из класса $\mathcal{K}_3$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\nabla\acute\chi+\overline{\acute{\alpha}_1}\acute\chi^\ddagger+\overline{\acute\alpha_2}\acute\xi = 0,\\ &\widetilde\nabla\acute\xi-\acute\beta_1\acute\chi+\acute\beta_2\acute\xi^\ddagger = 0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{42}
$$
модельно эквивалентна системе уравнений (30) тогда и только тогда, когда существуют две ненулевые константы $a,b\in\mathbb{C}$, связывающие наборы констант $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\beta_1$, $\beta_2$ и $\acute\alpha_1$, $\acute\alpha_2$, $\acute\beta_1$, $\acute\beta_2$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\acute\alpha_1=\alpha_1\frac{\bar a}{a},\qquad \acute\beta_1=\beta_1\frac{b}{a}, \qquad \acute\alpha_2=\alpha_2\frac{\bar a}{\bar b},\qquad \acute\beta_2=\beta_2\frac{b}{\bar b}.
\end{equation}
\tag{43}
$$
Покажем, как пользоваться этим критерием и что он дает. Прежде всего выделим и рассмотрим случаи наличия нулевых констант. Если в наборе из четырех комплексных констант $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\beta_1$, $\beta_2$ некоторые из констант равны нулю, то по формулам (43) в модельно эквивалентных уравнениях (54) соответствующие константы $\acute\alpha_1$, $\acute\alpha_2$, $\acute\beta_1$, $\acute\beta_2$ тоже равны нулю. Из уравнений (21), (22) легко видеть, что при $m\neq0$ среди констант $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\beta_1$, $\beta_2$ не может быть более двух нулевых констант. При наличии ровно двух нулевых констант возможны только два случая. Во-первых, случай
$$
\begin{equation*}
\alpha_1=\beta_2=0,\qquad \alpha_2\neq0,\qquad \beta_1\neq0,
\end{equation*}
\notag
$$
в котором уравнения (21), (22) дают и константы $\alpha_2$, $\beta_1$ можно выразить через две вещественные константы $\lambda,\varepsilon\in\mathbb{R}$, $\varepsilon\neq0$, по формулам (23). В результате приходим к системе уравнений (31), модельно эквивалентной уравнению Дирака (в представлении Вейля) (12). Во-вторых, случай
$$
\begin{equation*}
\alpha_2=\beta_1=0,\qquad \alpha_1\neq0,\qquad \beta_2\neq0,
\end{equation*}
\notag
$$
в котором уравнения (21), (22) дают и константы $\alpha_1$, $\beta_2$ можно выразить через две вещественные константы $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}$ по формулам
$$
\begin{equation*}
\alpha_1 = -i m e^{-i\lambda_1},\qquad \beta_2 = i m e^{i\lambda_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате приходим к паре уравнений Майораны (16). Теперь предположим наличие только одной нулевой константы. Отметим, что из системы уравнений (21), (22) получаем следующие утверждения: если $\alpha_1=0$, то $\beta_2=0$; если $\beta_2=0$, то $\alpha_1=0$. Значит, в случае только одной нулевой константы мы должны предполагать, что $\alpha_1\neq0$ и $\beta_2\neq0$. Поэтому возможны только два случая: случай $\alpha_2=0$, $\beta_1\neq0$ и случай $\alpha_2\neq0$, $\beta_1=0$. Рассмотрим эти случаи. Пусть $\alpha_2=0$, $\beta_1\neq0$, $\alpha_1\neq0$, $\beta_2\neq0$. Тогда система уравнений (21), (22) дает Из уравнений (44) и (46) видим, что параметры $\alpha_1$, $\beta_2$ можно выразить с помощью вещественных параметров $\lambda_1$, $\lambda_2$:
$$
\begin{equation*}
\alpha_1 = - i m e^{-i\lambda_1},\qquad \beta_2 = i m e^{i\lambda_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставив эти выражения в равенство (45) и умножив результат на $(i m\beta_1 e^{i\lambda_2})^{-1}$, получим
$$
\begin{equation}
e^{i(\lambda_1-\lambda_2)} + \frac{\bar\beta_1}{\beta_1}=0.
\end{equation}
\tag{47}
$$
Записав комплексную константу $\beta_1$ в полярном виде где $n,\rho\in\mathbb{R}$, $n\neq0$, и подставив этот вид $\beta_1$ в (47), приходим к равенству где $k$ – произвольное целое число. Поэтому имеем и система уравнений (30) в этом случае имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \nabla\chi + i m e^{i\lambda_1}\chi^\ddagger=0,\\ & \widetilde\nabla\xi + i m e^{i\lambda_2}\xi^\ddagger + i n e^{(i/2)(\lambda_2-\lambda_1)}\chi = 0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{49}
$$
который отличается от пары уравнений Майораны (16) лишь одним слагаемым, зависящим от произвольной вещественной константы $n\neq0$. Аналогичным образом при $\alpha_2\neq0$, $\beta_1=0$, $\alpha_1\neq0$, $\beta_2\neq0$ получим систему уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \nabla\chi + i m e^{i\lambda_1}\chi^\ddagger - i n e^{(i/2)(\lambda_1-\lambda_2)}\xi=0,\\ & \widetilde\nabla\xi + i m e^{i\lambda_2}\xi^\ddagger = 0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{50}
$$
зависящую от трех вещественных констант $n\neq0$, $\lambda_1$, $\lambda_2$ (и массы $m\neq0$). Наконец, рассмотрим случай ненулевых констант $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\beta_1$, $\beta_2$. Введем обозначения для комплексных констант
$$
\begin{equation*}
A_1 := \frac{\acute\alpha_1}{\alpha_1},\qquad B_1 := \frac{\acute\beta_1}{\beta_1},\qquad A_2 := \frac{\acute\alpha_2}{\alpha_2},\qquad B_2 := \frac{\acute\beta_2}{\beta_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда критерий существования ненулевых констант $a,b\in\mathbb{C}$, для которых выполнены равенства (43), сводится к проверке выполнения следующих условий на константы $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$:
$$
\begin{equation}
|A_1|=1,\qquad |B_2|=1,\qquad B_1\bar A_2=1,\qquad A_2 B_1- B_2 A_1=0,
\end{equation}
\tag{51}
$$
которые дают
$$
\begin{equation*}
A_1 = \frac{\bar a}{a},\qquad B_1 = \frac{b}{a},\qquad A_2 = \frac{\bar a}{\bar b},\qquad B_2 = \frac{b}{\bar b}.
\end{equation*}
\notag
$$
Решение системы уравнений (51) можно записать в полярном виде через три произвольные константы $\phi,\psi,\varepsilon\in\mathbb{R}$, $\varepsilon\neq0$:
$$
\begin{equation*}
A_1 = e^{i\phi},\qquad B_1 = \frac{1}{\varepsilon} e^{\frac{i}{2}(\phi+\psi)},\qquad A_2 = \varepsilon e^{\frac{i}{2}(\phi+\psi)},\qquad B_2 = e^{i\psi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, множество систем уравнений класса $\mathcal{K}_3$, модельно эквивалентных системе уравнений (30), описывается тремя вещественными параметрами $\phi,\psi,\varepsilon\in\mathbb{R}$, $\varepsilon\neq0$, и выглядит следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \nabla\acute\chi+ e^{-i\phi}\bar\alpha_1\acute\chi^\ddagger+ \varepsilon e^{-\frac{i}{2}(\phi+\psi)}\bar\alpha_2\acute\xi = 0,\\ & \widetilde\nabla\acute\xi- \frac{1}{\varepsilon} e^{\frac{i}{2}(\phi+\psi)}\beta_1\acute\chi+ e^{i\psi}\beta_2\acute\xi^\ddagger = 0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{52}
$$
либо в этой системе уравнений можно поменять местами первое и второе уравнения. Пример 1. Возьмем частный случай системы (30) при $\alpha_1=i m_1$, $\alpha_2= i m_2$, $\beta_1=i m_2$, $\beta_2=-i m_1$, где константы $m_1,m_2\in\mathbb{R}$ таковы, что $m_1{}^2+m_2{}^2= m^2$: 10. Биективная эквивалентность полевых уравнений из класса $\mathcal{K}$Введенное понятие модельной эквивалентности уравнений возникает, когда в качестве допустимых преобразований мы берем линейные замены неизвестных (с постоянными комплексными коэффициентами) и соответствующие линейные преобразования уравнений. Если мы расширим множество допустимых преобразований уравнений включением в это множество оператора дуальности $\ddagger$, то придем к понятию биективной эквивалентности полевых уравнений, которое отличается от модельной эквивалентности. А именно, рассмотрения в разделе 6 доказывают, что все уравнения из класса $\mathcal{K}$ являются биективно эквивалентными. В частности, уравнение Дирака (12) биективно эквивалентно паре уравнений Майораны (16). 11. ЗаключениеВ разделе 6 с помощью постулатов 1–4 введен класс $\mathcal{K}$ полевых уравнений, состоящий из трех подклассов уравнений $\mathcal{K}=\mathcal{K}_1\cup\mathcal{K}_2\cup\mathcal{K}_3$ со следующими операторами: первый подкласс $D_{(1)}\colon (LL)\to(RR)$; второй подкласс $D_{(2)}\colon (RR)\to(LL)$; третий подкласс $D_{(3)}\colon (RL)\to(LR)$ и $D_{(4)}\colon (LR)\to(RL)$ (системы уравнений с операторами $D_{(3)}$ и $D_{(4)}$ отличаются лишь перестановкой уравнений и заменой параметров). Доказано, что все уравнения из $\mathcal{K}_1$ являются модельно эквивалентными между собой и все уравнения из $\mathcal{K}_2$ являются модельно эквивалентными между собой. Из класса $\mathcal{K}_3$ выделены несколько подклассов модельно эквивалентных уравнений, а также указаны некоторые новые системы уравнений (см., например, (49) и (54)). Отметим, что при $n\neq 0$, $m_1\neq 0$, $m_2\neq 0$ эти системы уравнений не эквивалентны (модельно) ни уравнениям Дирака, ни уравнениям Майораны. Мы предложили рассматривать систему уравнений (из первого подкласса) (24) в качестве уравнения для нейтрино и систему уравнений (из второго подкласса) (28) в качестве уравнения для антинейтрино. Тем самым мы пополняем список кандидатов на уравнение для нейтрино и антинейтрино с ненулевой массой. В следующей статье будут исследованы симметрии уравнений из класса $\mathcal{K}$, а также установлена связь этих уравнений с кватернионными полевыми уравнениями Ланцоша. БлагодарностиАвтор благодарен сотрудникам отдела математической физики МИАН им. В. А. Стеклова, а также членам исследовательской рабочей группы “Алгебро-геометрические методы в прикладных науках” в Высшей школе экономики за конструктивное и стимулирующее обсуждение результатов работы. Анонимный рецензент журнала ТМФ высказал некоторые вопросы, комментарии и советы, учет которых способствовал улучшению статьи. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Mar24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|