| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) К вопросу о решениях решеточных уравнений Адлера–Бобенко–Суриса и решеточных уравнений типа Буссинеска Сун-Линь Чжаоa, Кэ Яньa, Ин-Ин Суньb a Department of Applied Mathematics, Zhejiang University of Technology, Hangzhou, China b Department of Mathematics, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 219, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924060059 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеКонцепция многомерной совместности, введенная Нийхоффом с соавторами [1], которая с начала 2000-х гг. исследовалась и развивалась во многих других работах (см., например, [2]–[6]), в широком смысле признана значительным прорывом в области дискретных интегрируемых систем. Среди интегрируемых двумерных разностных уравнений многомерно согласованные уравнения, заданные в вершинах $\mathbb{Z}^2$-решеток, образуют особо примечательное подмножество. Свойство многомерной совместности для четырехвершинного уравнения этого типа с зависимой переменной $u:=u(n,m)$ и непрерывными параметрами решетки $p$ и $q$ можно геометрически интерпретировать как совместность вокруг куба (3D-совместность). Это свойство позволяет расширить четырехугольник до куба путем добавления третьего измерения так, чтобы значения зависимой переменной были согласованными в вершинах куба (см. рис. 1). В уравнении (1.1) используются сокращенные обозначения $\tilde u:=u(n+1,m)$, $\hat u:=u(n,m+1)$, $\hat{\tilde u}:=u(n+1, m+1)$. Если решеточное уравнение является 3D-совместным, то само уравнение, его преобразование Беклунда и его пара Лакса напрямую и явно связаны [7]–[9].На основе свойства 3D-совместности и трех дополнительных требований к решеточным уравнениям, а именно аффинной линейности, $D_4$-симметрии и так называемого “свойства тетраэдральности”, в работе [10] была проведена классификация нелинейных интегрируемых дискретных уравнений, заданных в вершинах элементарного четырехугольника $\mathbb{Z}^2$-решетки. Эта классификация, известная как список решеточных уравнений Адлера–Бобенко–Суриса (АБС), состоит из девяти решеточных уравнений H1, H2, $\mathrm H3_\delta$, $\mathrm A1_\delta$, A2, $\mathrm Q1_\delta$, Q2, $\mathrm Q3_\delta$, Q4. Следует отметить, что если из списка исключить уравнение Q4, также известное как уравнение Адлера [11], то уравнение $\mathrm Q3_\delta$ может выступать в качестве верхнего уравнения в списке АБС. Это означает, что другие (“нижние”) уравнения можно получить как вырожденные случаи уравнения $\mathrm Q3_\delta$ [12] (см. также схему (2.28) в п. 2.3 настоящей работы). Список уравнений мы приводим в приложении А (см. уравнения (А.1)). Среди них некоторые относятся к категории решеточных уравнений типа Кортевега–де Фриза (КдФ). Например, “самое нижнее” уравнение H1 есть не что иное, как хорошо известное решеточное потенциальное уравнение КдФ (рпКдФ), которое впервые появилось как нелинейная суперпозиция преобразований Беклунда потенциального уравнения КдФ [13]. Уравнение $\mathrm H3_\delta$ при $\delta=0$ соответствует модифицированному уравнению рпКдФ (мрпКдФ), а уравнение $\mathrm Q1_\delta$ при $\delta=0$ – решеточному уравнению КдФ шварицанного типа (рКдФШ), т. е. уравнению с перекрестным соотношением (см. обзорную статью [14]). Заметим, что все эти три уравнения можно вывести из уравнения Нийхофа–Квиспеля–Капеля (НКК), выбирая различные значения параметров [15]. Помимо решеточных функций с одной компонентой в каждом узле решетки, существуют трехмерные непротиворечивые трехкомпонентные отображения, связанные с уравнением Буссинеска (см. [16]). Решеточное потенциальное уравнение Буссинеска (рпБ) [17] (одно из решеточных уравнений типа Буссинеска) было введено как первый пример решеточной иерархии Гельфанда–Дикого высшего ранга [18]. Нижним членом этой иерархии является уравнение H1. По аналогии с уравнением рпКдФ уравнение рпБ можно получить как нелинейную суперпозицию преобразований Белунда для потенциального уравнения Буссинеска [19]. Вместе с уравнением рпБ были также предложены два трехкомпонентных уравнения, связанных преобразованием Миуры, – модифицированное уравнение рпБ (мрпБ) [18] и решеточное уравнение Буссинеска шварцианного типа [20]. Было обнаружено, что все эти трехкомпонентные решеточные уравнения типа Буссинеска являются 3D-совместными. Работа Хиетаринты [21] была посвящена поиску интегрируемых решеточных многокомпонентных уравнений типа Буссинеска; как результат, была получена замечательная классификация интегрируемых уравнений типа Буссинеска. Впоследствии было доказано, что все решеточные уравнения типа Буссинеска из списка Хиетаринты возникают из так называемых расширенных решеточных систем Буссинеска [22] В работе [23] Хиетаринта и Чжан представили подробный обзор решеточных уравнений типа Буссинеска, в том числе непрерывный предел этих уравнений, их представление Лакса, билинейные формы Хироты и солитонные решения в терминах казоратианов, основанные на трехкомпонентных формах на элементарном четырехугольнике. Для решения решеточных уравнений из списка АБС и решеточных уравнений типа Буссинеска применялось множество классических методов, таких как метод обратной задачи рассеяния [24], [25], преобразование Дарбу [26]–[28], билинейный метод Хироты [29]–[32] и подход матриц Коши [33]–[35]. В рамках билинейного метода для построения начальных решений нелинейных решеточных уравнений использовалась идея неподвижной точки. Для уравнения H1 (А.1е) существуют четыре типа затравочных решений:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} & {-}pn-qm+\mu_0,&\qquad &(-1)^n\frac{p}{2}-qm+\mu_0, \\ &{-}pn+(-1)^m\frac{q}{2}+\mu_0,&\qquad &(-1)^n\frac{p}{2}+(-1)^m\frac{q}{2}+\mu_0, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где постоянная $\mu_0\in\mathbb{C}$. Первое из них можно рассматривать как линейное фоновое решение уравнения H1, связанное с его солитонными решениями [29], а остальные можно использовать при построении (частично) осциллирующих решений [36]. В работе [37] мы показали, что уравнения рпКдФ, мрпКдФ и рКдФШ имеют (частично) осциллирующие решения. Отличительная особенность солитонных, частично осциллирующих и осциллирующих решений в первую очередь связана с основным элементом, возникающим из соответствующих решений, а именно со следующим дискретным плосковолновым множителем: для линейных решений
$$
\begin{equation*}
-pn-qm+\mu_0\;\,\to\;\, -pn+(-1)^m\frac{q}{2}+\mu_0\;\,\to\;\,(-1)^n\frac{p}{2}+(-1)^m\frac{q}{2}+\mu_0
\end{equation*}
\notag
$$
плосковолновые множители суть
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{p+k}{p-k}\biggr)^{\!n}\biggl(\frac{q+k}{q-k}\biggr)^{\!m}\rho^0\;\,\to\;\, \biggl(\frac{p+k}{p-k}\biggr)^{\!n}\frac{q-(-1)^mk}{q-k}\rho^0\;\,\to\;\, \frac{p-(-1)^nk}{p-k}\frac{q-(-1)^mk}{q-k}\rho^0.
\end{equation*}
\notag
$$
Цель настоящей статьи – воспользоваться преимуществами подхода матриц Коши, разработанного в статьях [33]–[35], чтобы изучить (частично) осциллирующие решения решеточных уравнений АБС (А.1) и некоторых решеточных уравнений типа Буссинеска. Мы подробно исследуем солитонные решения решеточных уравнений АБС (за исключением эллиптического случая уравнения Q4) и решеточных уравнений типа Буссинеска, рассматривая их линейные фоновые решения. Нас интересуют решения, возникающие из (частично) осциллирующих затравочных решений. Подход матриц Коши был впервые предложен в работе Нийхофа, Аткинсона и Хиетаринты [34] для построения солитонных решений всех решеточных уравнений из списка АБС, кроме Q4. Впоследствии этот подход получил свое развитие в работах Чжана и Чжао с соавторами [33], [35], [38], которые применили его для построения нескольких интегрируемых дискретных уравнений и их точных решений. Помимо дискретных интегрируемых систем, подход матриц Коши применялся при исследовании непрерывных и полудискретных интегрируемых систем, а также солитонных решений [39], [40]. (Обобщенный) подход матриц Коши возникает из знаменитого уравнения Сильвестра в матричной теории [41], где он всегда дополняется дисперсионными соотношениями или плосковолновыми множителями. Чтобы получить (частично) осциллирующие решения решеточных уравнений АБС, мы предлагаем модификацию обычного плосковолнового множителя
$$
\begin{equation}
\theta(k)=\biggl(\frac{p+k}{p-k}\biggr)^{\!n}\biggl(\frac{q+k}{q-k}\biggr)^{\!m}\rho^0,\qquad\rho^0=\text{const},
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
и вводим “ложный” неавтономный плосковолновой множитель1
$$
\begin{equation}
\rho(k)=\prod^{n-1}_{i=0}\biggl(\frac{f_ip+k}{f_ip-k}\biggr)\prod^{m-1}_{j=0}\biggl(\frac{g_jq+k}{g_jq-k}\biggr)\rho^0,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где $f_i:=f(i)$ и $g_j:=g(j)$ суть дискретные функции, удовлетворяющие условию $f_i^2=g_j^2=1$. Этот нетривиальный плосковолновой множитель выводится из свойства 3D-совместности (см. приложение Б). Если $f_i=g_j=1$, то (1.4) сводится к выражению (1.3), которое можно использовать для генерации солитонных решений решеточных уравнений АБС в рамках метода матриц Коши (см. работы [34], [35]). Мы показываем, что другие варианты этого множителя, такие как $(f_i,g_j)=((-1)^i,(-1)^j)$ или $(f_i,g_j)=(1,(-1)^j)$, могут привести к осциллирующим или частично осциллирующим решениям решеточных уравнений АБС. Для построения (частично) осциллирующих решений решеточных уравнений типа Буссинеска мы аналогично будем использовать дискретные функции $\mathcal F_l:=\mathcal F(l)$ и $\mathcal G_h:=\mathcal G( h)$, удовлетворяющие условию $\mathcal F_l^3=\mathcal G_h^3=1$, и “ложные” неавтономные плосковолновые множители
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \varrho(k)&=\prod^{n-1}_{l=0}\biggl(\frac{\mathcal F_lp+k}{\mathcal F_lp+\omega k}\biggr) \prod^{m-1}_{h=0}\biggl(\frac{\mathcal G_hq+k}{\mathcal G_hq+\omega k}\biggr)\varrho^0, \\ \sigma(k)&=\prod^{n-1}_{l=0}\biggl(\frac{\mathcal F_lp+k}{\mathcal F_lp+\omega^2 k}\biggr) \prod^{m-1}_{h=0}\biggl(\frac{\mathcal G_hq+k}{\mathcal G_hq+\omega^2 k}\biggr)\sigma^0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где параметр $\omega\neq 1$ является кубическим корнем из единицы, а $\varrho^0$, $\sigma^0$ – постоянные. Настоящая статья организована следующим образом. В разделе 2 мы начинаем с рассмотрения определяющей системы уравнений, которая связана с “ложным” неавтономным плосковолновым множителем (1.4). Далее мы вводим мастер-функции $S^{(i,j)}$, $S(a,b)$ и $V(a)$ и используем их для вывода решеточных уравнений типа КдФ в замкнутой форме. Мы также представляем солитонные и (частично) осциллирующие решения уравнения $\mathrm Q3_\delta$, вырожденные случаи которого можно использовать для построения решений всех “нижних” уравнений из списка АБС. Раздел 3 посвящен солитонным и (частично) осциллирующим решениям решеточных уравнений типа Бусинеска. Раздел 4 содержит выводы и некоторые замечания. Статья содержит четыре приложения. 2. Решеточные уравнения АБС и их решенияВ этом разделе мы применяем подход матриц Коши, чтобы заново рассмотреть решения решеточных уравнений (А.1). В отличие от традиционного подхода матриц Коши (см. [34], [35]), мы начинаем с усовершенствованного плосковолнового множителя (1.4). Этот подход дает как минимум три различных типа решений: солитонные, осциллирующие и частично осциллирующие решения решеточных уравнений АБС (А.1). 2.1. Уравнение Сильвестра и мастер-функцииСначала рассмотрим следующие определяющие уравнения:
$$
\begin{equation}
\boldsymbol K \boldsymbol M+{} \boldsymbol M \boldsymbol K= \boldsymbol r\, {}^{\mathrm t\kern-0.5pt}\boldsymbol c\, ,
\end{equation}
\tag{2.1а}
$$
$$
\begin{equation}
(f_np \boldsymbol I- \boldsymbol K)\tilde{ \boldsymbol r} =(f_n p \boldsymbol I+ \boldsymbol K) \boldsymbol r,
\end{equation}
\tag{2.1б}
$$
$$
\begin{equation}
(g_mq \boldsymbol I- \boldsymbol K)\hat{ \boldsymbol r} =(g_m q \boldsymbol I+ \boldsymbol K) \boldsymbol r,
\end{equation}
\tag{2.1в}
$$
в которых $ \boldsymbol M\in\mathbb{C}_{N\times N}$ и $ \boldsymbol r\in\mathbb{C}_{N\times 1}$ суть неизвестные матрицы, зависящие от переменных $n$ и $m$, а вектор $ {}^{\mathrm t\kern-0.5pt}\boldsymbol c\, \in\mathbb{C}_{1\times N}$ и матрица $ \boldsymbol K\in\mathbb{C}_{N\times N}$ нетривиальные и постоянные. Для разрешимости уравнения Сильвестра (2.1а), мы предполагаем, что $\mathcal E( \boldsymbol K)\cap\mathcal E(- \boldsymbol K)=\varnothing$, где $\mathcal E( \boldsymbol K)$ обозначает множество собственных значений матрицы $ \boldsymbol K$ [41], [42]. Мы обозначаем единичную матрицу как $ \boldsymbol I$, причем индекс, указывающий ее размер, опускается. Теперь введем мастер-функции
$$
\begin{equation}
S^{(i,j)}= {}^{\mathrm t\kern-0.5pt}\boldsymbol c\, \boldsymbol K^j( \boldsymbol I+ \boldsymbol M)^{-1} \boldsymbol K^i \boldsymbol r,\qquad i,j\in\mathbb{Z},
\end{equation}
\tag{2.2а}
$$
$$
\begin{equation}
S(a,b)= {}^{\mathrm t\kern-0.5pt}\boldsymbol c\, (b \boldsymbol I+ \boldsymbol K)^{-1}( \boldsymbol I+ \boldsymbol M)^{-1}(a \boldsymbol I+ \boldsymbol K)^{-1} \boldsymbol r,
\end{equation}
\tag{2.2б}
$$
$$
\begin{equation}
V(a)=1- {}^{\mathrm t\kern-0.5pt}\boldsymbol c\, ( \boldsymbol I+ \boldsymbol M)^{-1}(a \boldsymbol I+ \boldsymbol K)^{-1} \boldsymbol r,\qquad a,b\in\mathbb{C},
\end{equation}
\tag{2.2в}
$$
которые играют решающую роль при построении решеточных уравнений в замкнутой форме. При выполнении уравнения Сильвестра (2.1а) справедливы симметрийные свойства [35]
$$
\begin{equation}
V(a)=1- {}^{\mathrm t\kern-0.5pt}\boldsymbol c\, ( \boldsymbol I+ \boldsymbol M)^{-1}(a \boldsymbol I+ \boldsymbol K)^{-1} \boldsymbol r= 1- {}^{\mathrm t\kern-0.5pt}\boldsymbol c\, (a \boldsymbol I+ \boldsymbol K)^{-1}( \boldsymbol I+ \boldsymbol M)^{-1} \boldsymbol r,
\end{equation}
\tag{2.3б}
$$
которые сохраняются при преобразованиях подобия. В самом деле, предположим, что матрица $ \kern1.8pt\overline{\vphantom{\boldsymbol K}\kern8.1pt}\kern-10.1pt\boldsymbol K\kern0.2pt $ подобна матрице $ \boldsymbol K$, а $ \boldsymbol T$ – матрица преобразования подобия, т. е.
$$
\begin{equation}
\kern1.8pt\overline{\vphantom{\boldsymbol K}\kern8.1pt}\kern-10.1pt\boldsymbol K\kern0.2pt = \boldsymbol T \boldsymbol K \boldsymbol T^{-1}.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Введем обозначения
$$
\begin{equation}
\kern1.8pt\overline{\vphantom{\boldsymbol M}\kern10.3pt}\kern-12.1pt\boldsymbol M = \boldsymbol T \boldsymbol M \boldsymbol T^{-1},\qquad \bar{ \boldsymbol r}= \boldsymbol T \boldsymbol r,\qquad \overline{ {}^{\mathrm t\kern-0.5pt}\boldsymbol c\, }= {}^{\mathrm t\kern-0.5pt}\boldsymbol c\, \boldsymbol T^{-1}.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Тогда напрямую получаем уравнения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, S^{(i,j)}= {}^{\mathrm t\kern-0.5pt}\boldsymbol c\, \boldsymbol K^j( \boldsymbol I+ \boldsymbol M)^{-1} \boldsymbol K^i \boldsymbol r= \overline{ {}^{\mathrm t\kern-0.5pt}\boldsymbol c\, } \kern1.8pt\overline{\vphantom{\boldsymbol K}\kern8.1pt}\kern-10.1pt\boldsymbol K\kern0.2pt ^j( \boldsymbol I+ \kern1.8pt\overline{\vphantom{\boldsymbol M}\kern10.3pt}\kern-12.1pt\boldsymbol M )^{-1} \kern1.8pt\overline{\vphantom{\boldsymbol K}\kern8.1pt}\kern-10.1pt\boldsymbol K\kern0.2pt ^i\bar{ \boldsymbol r}, \\ \begin{aligned} \, S(a,b)&= {}^{\mathrm t\kern-0.5pt}\boldsymbol c\, (b \boldsymbol I+ \boldsymbol K)^{-1}( \boldsymbol I+ \boldsymbol M)^{-1}(a \boldsymbol I+ \boldsymbol K)^{-1} \boldsymbol r= \\ &=\overline{ {}^{\mathrm t\kern-0.5pt}\boldsymbol c\, }(b \boldsymbol I+ \kern1.8pt\overline{\vphantom{\boldsymbol K}\kern8.1pt}\kern-10.1pt\boldsymbol K\kern0.2pt )^{-1} ( \boldsymbol I+ \kern1.8pt\overline{\vphantom{\boldsymbol M}\kern10.3pt}\kern-12.1pt\boldsymbol M )^{-1}(a \boldsymbol I+ \kern1.8pt\overline{\vphantom{\boldsymbol K}\kern8.1pt}\kern-10.1pt\boldsymbol K\kern0.2pt )^{-1}\bar{ \boldsymbol r}, \end{aligned}\\ V(a)=1- {}^{\mathrm t\kern-0.5pt}\boldsymbol c\, ( \boldsymbol I+ \boldsymbol M)^{-1}(a \boldsymbol I+ \boldsymbol K)^{-1} \boldsymbol r= 1-\overline{ {}^{\mathrm t\kern-0.5pt}\boldsymbol c\, }( \boldsymbol I+ \kern1.8pt\overline{\vphantom{\boldsymbol M}\kern10.3pt}\kern-12.1pt\boldsymbol M )^{-1}(a \boldsymbol I+ \kern1.8pt\overline{\vphantom{\boldsymbol K}\kern8.1pt}\kern-10.1pt\boldsymbol K\kern0.2pt )^{-1}\bar{ \boldsymbol r}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
из которых вытекает инвариантность мастер-функций относительно преобразований подобия. С помощью уравнений (2.1) можно вывести сдвиговые соотношения для мастер-функций (2.2). Сдвиговые соотношения для мастер-функции $S^{(i,j)}$ представлены в следующем предложении. Предложение 1. Если матрицы $ \boldsymbol M$, $ \boldsymbol K$ и векторы $ \boldsymbol r$, $ {}^{\mathrm t\kern-0.5pt}\boldsymbol c\, $ удовлетворяют определяющим уравнениям (2.1), то для мастер-функции $S^{(i,j)}$, заданной в (2.2а), справедливы следующие соотношения, связанные с операциями $\widetilde{\phantom{a}}$-сдвига и $\widehat{\phantom{a}}$-сдвига: Доказательство. Докажем только соотношение (2.7а), поскольку (2.7б) доказывается аналогично с заменой $p$ на $q$, $\widetilde{\phantom{a}}$-сдвигов на $\widehat{\phantom{a}}$-сдвиги и $f_n$ на $g_m$. Сначала рассмотрим сдвиговое соотношение для $ \boldsymbol M$. Вычитая уравнение (2.1а) из сдвинутого $\widetilde{(2.1а)}$ и используя (2.1а) и (2.1б), имеем
$$
\begin{equation}
(f_np \boldsymbol I- \boldsymbol K)\widetilde{ \boldsymbol M}=(f_np \boldsymbol I+ \boldsymbol K) \boldsymbol M.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Подставив $ \boldsymbol K \boldsymbol M$ из уравнения Сильвестра (2.1а) в (2.8), приходим к соотношению
$$
\begin{equation}
(f_np \boldsymbol I- \boldsymbol K)\widetilde{ \boldsymbol M}- \boldsymbol M(f_np \boldsymbol I- \boldsymbol K)= \boldsymbol r\, {}^{\mathrm t\kern-0.5pt}\boldsymbol c\, .
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Чтобы получить сдвиговое соотношение (2.7а), введем вспомогательную вектор-функцию
$$
\begin{equation}
\boldsymbol u^{(i)}=( \boldsymbol I+ \boldsymbol M)^{-1} \boldsymbol K^i \boldsymbol r,\qquad i\in\mathbb{Z},
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
которая связана с $S^{(i,j)}$ равенством
$$
\begin{equation}
S^{(i,j)}= {}^{\mathrm t\kern-0.5pt}\boldsymbol c\, \boldsymbol K^j \boldsymbol u^{(i)}.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Умножим обе части формулы (2.10) слева на матрицу $ \boldsymbol I+ \boldsymbol M$ и применим $\widetilde{\phantom{a}}$-сдвиг, тогда соотношение (2.9) дает
$$
\begin{equation*}
(f_np \boldsymbol I- \boldsymbol K)\widetilde{ \boldsymbol u}^{(i)}=f_np \boldsymbol u^{(i)}+ \boldsymbol u^{(i+1)}- \boldsymbol u^{(0)}\widetilde S^{(i,0)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, умножая слева на $ {}^{\mathrm t\kern-0.5pt}\boldsymbol c\, \boldsymbol K^j$ и используя (2.11), получаем (2.7а). Доказательство завершено. С учетом симметрийного свойства (2.3а) нетрудно вывести два дополнительных сдвиговых соотношения:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f_n p\widetilde S^{(i,j)}-\widetilde S^{(i+1,j)}&=f_n pS^{(i,j)}+S^{(i,j+1)}-S^{(i,0)}\widetilde S^{(0,j)}, \\ g_m q\widehat S^{(i,j)}-\widehat S^{(i+1,j)}&=g_m qS^{(i,j)}+S^{(i,j+1)}-S^{(i,0)}\widehat S^{(0,j)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
В следующем предложении показаны сдвиговые свойства функций $S(a,b)$ и $V(a)$. Предложение 2. Если матрицы $ \boldsymbol M$, $ \boldsymbol K$ и векторы $ \boldsymbol r$, $ {}^{\mathrm t\kern-0.5pt}\boldsymbol c\, $ удовлетворяют уравнениям (2.1), то для мастер-функций $S(a,b)$ и $V(a)$, заданных в (2.2б) и (2.2в), справедливы следующие соотношения, связанные операциями $\widetilde{\phantom{a}}$-сдвига и $\widehat{\phantom{a}}$-сдвига: Доказательство. Введем вспомогательную вектор-функцию Аналогично предыдущему, учитывая симметрийное свойство (2.3), также имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 1-(f_np+a)\widetilde S(a,b)+(f_np-b)S(a,b)&=V(a)\widetilde V(b), \\ 1-(g_mq+a)\widehat S(a,b)+(g_mq-b)S(a,b)&=V(a)\widehat V(b). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
2.2. Решеточные уравнения типа КдФ и уравнение НККВведем переменные
$$
\begin{equation*}
w=S^{(0,0)},\qquad v=S^{(-1,0)}-1,\qquad z=S^{(-1,-1)}-\sum_{i=0}^{n-1}(f_ip)^{-1}-\sum_{j=0}^{m-1}(g_jq)^{-1}+z_0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $z_0\in\mathbb{C}$. По аналогии с тем, как это сделано в работе [34], некоторые решеточные уравнения типа КдФ можно получить из сдвиговых соотношений (2.7), (2.12), (2.13) и (2.17). Эти уравнения, записанные в замкнутой форме, перечислены ниже. 1. Уравнение рпКдФ
$$
\begin{equation}
(f_np-g_mq+\widehat w-\widetilde w\kern1pt)(f_np+g_mq+w-\widehat{\widetilde w}\kern1pt)=p^2-q^2,
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
которое можно переписать как используя точечное преобразование
$$
\begin{equation}
\mu=w-\sum_{i=0}^{n-1}f_ip-\sum_{j=0}^{m-1}g_jq+\mu_0,\qquad \mu_0\in\mathbb{C}.
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
2. Уравнение мрпКдФ
$$
\begin{equation}
\hat{\tilde v}(f_np\tilde v-g_mq\hat v)=v(f_np\hat v-g_mq\tilde v),
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
которое можно переписать как
$$
\begin{equation}
\nu(p\hat\nu-q\tilde\nu)=\hat{\tilde\nu}(p\tilde\nu-q\hat\nu),
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
используя точечное преобразование
$$
\begin{equation}
\nu=\prod^{n-1}_{i=0}f_i\prod^{m-1}_{j=0}g^{-1}_jv.
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
3. Уравнение рКдФШ
$$
\begin{equation}
p^2(z-\tilde z)(\hat z-\hat{\tilde z})=q^2(z-\hat z)(\tilde z-\hat{\tilde z}).
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
4. “Неавтономное” уравнение НКК
$$
\begin{equation}
\frac{1-(f_np+b)\widehat{\widetilde S}(a,b)+(f_np-a)\widehat S(a,b)}{1-(g_mq+b)\widehat{\widetilde S}(a,b)+(g_mq-a)\widetilde S(a,b)}= \frac{1-(g_mq+a)\widehat S(a,b)+(g_mq-b)S(a,b)}{1-(f_np+a)\widetilde S(a,b)+(f_np-b)S(a,b)}.
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Замечание 1. В приведенных выше решеточных уравнениях типа КдФ уравнения (2.18) и (2.21) являются автономными, поскольку их можно преобразовать в уравнения (2.19) и (2.22) с помощью преобразований (2.20) и (2.23) соответственно. Уравнение рКдФШ (2.24) автономно само по себе. Однако уравнение НКК (2.25) автономно при $f_n=g_m=1$ и неавтономно при $f_n=(-1)^n$ или $g_m=(-1)^m$, поскольку в последнем случае его невозможно преобразовать в автономное уравнение. Замечание 2. Для разных значениях $f_i$ и $g_j$ слагаемое в (2.20) превращается в затравочные решения (1.2) уравнения (2.19), т. е. мы имеем: 1) линейное решение $\mu=-np-mq+\mu_0$ при $f_i=g_j=1$; 2) осциллирующее решение $\mu=(-1)^n\frac{p}{2}+(-1)^m\frac{q}{2}+\mu_0$ при $f_i=(-1)^i$, $g_j=(-1)^j$; 3) частично осциллирующее решение $\mu=-np+(-1)^m\frac{q}{2}+\mu_0$ при $f_i=1$, $g_j=(-1)^j$; 4) частично осциллирующее решение $\mu=(-1)^n\frac{p}{2}-mq+\mu_0$ при $f_i=(-1)^i$, $g_j=1$. 2.3. Уравнение $\mathrm Q3_\delta$ и его вырожденные случаиХорошо известно, что автономное уравнение НКК дает решение и уравнения $\mathrm Q3_\delta$ при $\delta=0$, и уравнения $\mathrm Q3_\delta$ в зависимости от выбора знака двух дополнительных параметров $a$ и $b$ [34]. Хотя уравнение НКК (2.25) неавтономно при $f_n=(-1)^n$ или $g_m=(-1)^m$, мы представляем доказательства того, что это уравнение все еще дает четырехчленное решение уравнения $\mathrm Q3_\delta$. Теорема 1. Функция Доказательство аналогично приведенному в работе [34], поэтому мы его опускаем. Аналогично рациональному солитонному случаю, описанному в [34], можно получить решения для “нижних” решеточных уравнений Q2, $\mathrm Q1_\delta$, $\mathrm H3_\delta$, H2 и H1 из решения для $\mathrm Q3_\delta$ путем подбора параметров $a$ и $b$ и соответствующей модификации коэффициентов $A$, $B$, $C$ и $D$. Этот процесс происходит по следующей схеме: Переходы, отвечающие верхней последовательности горизонтальных стрелок и содержащие вырождения Q-уравнений, получаются путем аккуратных предельных переходов типа $b\to a$, а переходы от Q-уравнений к H-уравнениям, показанные вертикальными стрелками, получаются из пределов $a\to 0$ или $b\to 0$.$\underline{\mathrm Q3_\delta\to\mathrm Q2}$. Подстановка в $\mathrm Q3_\delta$
$$
\begin{equation*}
b=a(1-2\epsilon),\qquad u\to\frac{\delta}{4a^2}\biggl(\frac{1}{\epsilon}+1+(1+2u)\epsilon\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
приводит к уравнению Q2. При этом четыре постоянные $A$, $B$, $C$ и $D$, подчиненные условию (2.27), заменяются на новые постоянные $A$, $D$ и $\xi_0$ по следующему правилу:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A\to\delta\frac{A\epsilon}{4a^2},\qquad B\to\frac{\delta}{8a^2}\biggl(\frac{1}{\epsilon}+1-\xi_0+\biggl(\frac{3+\xi_0^2}{2}+2AD\biggr)\epsilon\biggl), \\ C\to\frac{\delta}{8a^2}\biggl(\frac{1}{\epsilon}+1+\xi_0+\biggl(\frac{3+\xi_0^2}{2}+2AD\biggr)\epsilon\biggl),\qquad D\to\delta \frac{D\epsilon}{4a^2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда решение уравнения Q2 принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u&=\frac{(\xi+\xi_0)^2+1}{4}+a(\xi+\xi_0)S(-a,a)+a^2(Z(a,-a)+Z(-a,a))+AD+{} \notag\\ &\quad +\frac{A\rho(a)(1-2aS(a,a))+D\rho(-a)(1+2aS(-a,-a))}{2}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \xi=\xi_{n,m}=2a\biggl(\,\sum^{n-1}_{i=0}\frac{f_ip}{a^2-p^2}+\sum^{m-1}_{j=0}\frac{g_jq}{a^2-q^2}\biggr), \\ Z(a,-a)=-\partial_b S(a,b)\big|_{b=-a},\qquad Z(-a,a)=Z(a,-a)\big|_{a\to-a}, \\ \rho(a)=\prod^{n-1}_{i=0}\frac{f_ip+a}{f_ip-a}\prod^{m-1}_{j=0}\frac{g_jq+a}{g_jq-a}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
$\underline{\mathrm Q2\to\mathrm Q1_\delta}$. Подстановка позволяет получить уравнение $\mathrm Q1_\delta$ из Q2. Заменяя постоянные $A$, $D$ и $\xi_0$ как
$$
\begin{equation*}
A\to\frac{2A}{\epsilon},\qquad D\to\frac{2D}{\epsilon},\qquad \xi_0\to\xi_0+\frac{2B}{\epsilon},
\end{equation*}
\notag
$$
находим решение уравнения $\mathrm Q1_\delta$:
$$
\begin{equation}
u=A\rho(a)(1-2aS(a,a))+B(\xi+\xi_0+2aS(-a,a))+D\rho(-a)(1+2aS(-a,-a)),
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
где постоянные $A$, $B$ и $D$ удовлетворяют условию $\underline{\mathrm Q3_\delta\to\mathrm H3_\delta}$. Подстановка
$$
\begin{equation*}
b=\frac{1}{\epsilon^2},\qquad u\to\sqrt{\delta}\epsilon^3\,\frac{u}{2}
\end{equation*}
\notag
$$
и замены
$$
\begin{equation*}
A\to\sqrt{\delta}\epsilon^3\,\frac{A}{2},\qquad B\to\sqrt{\delta}\epsilon^3\,\frac{B}{2},\qquad C\to\sqrt{\delta}\epsilon^3\,\frac{C}{2},\qquad D\to\sqrt{\delta}\epsilon^3\,\frac{d}{2}
\end{equation*}
\notag
$$
дают решение уравнения $\mathrm H3_\delta$
$$
\begin{equation}
u=(A+(-1)^{n+m}B)\vartheta V(a)+((-1)^{n+m}C+D)\vartheta^{-1}V(-a),
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
в котором функция $\vartheta$ задается как
$$
\begin{equation}
\vartheta=\prod^{n-1}_{i=0}\frac{P}{a-f_ip}\prod^{m-1}_{j=0}\frac{Q}{a-g_jq},
\end{equation}
\tag{2.33}
$$
где $P$, $Q$ определяются уравнением (А.3), а постоянные $A$, $B$, $C$ и $D$ подчинены единственному ограничению $\underline{\mathrm Q2\to\mathrm H2}$: Чтобы вывести решение уравнения H2 из решения уравнения Q2, рассмотрим случай
$$
\begin{equation*}
a=\frac{1}{\epsilon},\qquad u\to\frac{1}{4}+\epsilon^2 u.
\end{equation*}
\notag
$$
Преобразование постоянных $A$, $D$ и $\xi_0$ задается как
$$
\begin{equation*}
A\to A\biggl(\epsilon+\frac{\zeta_1\epsilon^2}{2}\biggr),\qquad D\to A\biggl(-\epsilon+\frac{\zeta_1\epsilon^2}{2}\biggr),\qquad \xi_0\to\epsilon\zeta_0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $A$, $\zeta_0$ и $\zeta_1$ – произвольные постоянные. Решение уравнения H2 имеет вид
$$
\begin{equation}
u=\frac{(\zeta+\zeta_0)^2}{4}-(\zeta+\zeta_0)S^{(0,0)}+2S^{(0,1)}-A^2+(-1)^{n+m}A(\zeta+\zeta_1-2S^{(0,0)}),
\end{equation}
\tag{2.35}
$$
где $\zeta=2\bigl(\sum^{n-1}_{i=0}f_ip+\sum^{m-1}_{j=0}g_jq\bigr)$. $\underline{\mathrm Q1_\delta\to\mathrm H1}$. Переход от решения уравнения $\mathrm Q1_\delta$ к решению уравнения H1 можно совершить, положив вместе с
$$
\begin{equation*}
A\to\delta A\,\frac{(1+\zeta_1\epsilon)}{2},\qquad D\to\delta A\,\frac{-1+\zeta_1\epsilon}{2},\qquad B\to\delta B,\qquad \xi_0\to\epsilon\zeta_0.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате получаем решение уравнения H1 вида
$$
\begin{equation}
u=B(\zeta+\zeta_0-2S^{(0,0)})+(-1)^{n+m}A(\zeta+\zeta_1-2S^{(0,0)}),
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
где $A$ и $B$ подчиняются единственному условию 2.4. Точные решенияИз приведенных выше рассуждений видно, что решения уравнений (А.1) из списка АБС задаются мастер-функциями $S^{(i,j)}$, $S(a,b)$ и $V(a)$, в которых $ {}^{\mathrm t\kern-0.5pt}\boldsymbol c\, $, $ \boldsymbol r$, $ \boldsymbol M$ и $ \boldsymbol K$ определяются уравнениями (2.1). Следовательно, чтобы получить точные решения этих уравнений, нам всего лишь нужно решить определяющие уравнения (2.1). Учитывая инвариантность этих мастер-функций относительно преобразования подобия и ковариантность уравнений (2.1) при преобразованиях (2.4)–(2.6), здесь мы переходим к решению уравнений (2.1), в которых матрица $ \boldsymbol K$ записана в канонической жордановой форме, т. е. уравнений
$$
\begin{equation}
\boldsymbol \Gamma \boldsymbol M+{} \boldsymbol M \boldsymbol \Gamma= \boldsymbol r\, {}^{\mathrm t\kern-0.5pt}\boldsymbol c\, ,
\end{equation}
\tag{2.38а}
$$
$$
\begin{equation}
(f_np \boldsymbol I- \boldsymbol \Gamma)\tilde{ \boldsymbol r} =(f_np \boldsymbol I+ \boldsymbol \Gamma) \boldsymbol r,
\end{equation}
\tag{2.38б}
$$
$$
\begin{equation}
(g_mq \boldsymbol I- \boldsymbol \Gamma)\hat{ \boldsymbol r} =(g_mq \boldsymbol I+ \boldsymbol \Gamma) \boldsymbol r,
\end{equation}
\tag{2.38в}
$$
где $ \boldsymbol \Gamma$ – каноническая жорданова форма матрицы $ \boldsymbol K$, удовлетворяющая условию
$$
\begin{equation*}
\mathcal E( \boldsymbol \Gamma)\cap\mathcal E(- \boldsymbol \Gamma)=\varnothing.
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнения (2.38б) и (2.38в) линейны, и мы получаем
$$
\begin{equation}
\boldsymbol r=(f_np \boldsymbol I+ \boldsymbol \Gamma)(f_np \boldsymbol I- \boldsymbol \Gamma)^{-1}(g_mq \boldsymbol I+ \boldsymbol \Gamma)(g_mq \boldsymbol I- \boldsymbol \Gamma)^{-1} \boldsymbol r^0,
\end{equation}
\tag{2.39}
$$
где $ \boldsymbol r^0$ – $N$-мерный постоянный вектор-столбец. Как известно, уравнение Сильвестра (2.38а) решается путем представления матрицы $ \boldsymbol M$ в виде произведения трех матриц $ \boldsymbol F \boldsymbol G \boldsymbol H$ [35], поэтому здесь мы только приведем наиболее общие смешанные решения $ \boldsymbol r$ и $ \boldsymbol M$ (обозначения см. в приложении В). Теорема 2. Для системы уравнений (2.38) с общими матрицами Замечание 3. Если $f_n=g_m=1$, мы получаем обычное смешанное солитонно-жорданово решение, которое приведено в [35]. При $f_n=(-1)^n$ или $g_m=(-1)^{m}$ мы можем получить (частично) осциллирующие решения решеточных уравнений (А.1) из списка АБС. Далее перечислены примеры решений уравнения рпКдФ (2.19) (или H1). Мы используем обозначения
$$
\begin{equation}
\rho_{ij}=\rho_ic_j,\qquad e^{A_{12}}=\biggl(\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}\biggr)^{\!2},\qquad \eta_1=\sum^{n-1}_{i=0}\frac{2f_ip}{p^2-k_1^{2}}+\sum^{m-1}_{j=0}\frac{2g_jq}{q^2-k_1^{2}}.
\end{equation}
\tag{2.43}
$$
В случае $ \boldsymbol \Gamma=k_1$ имеем
$$
\begin{equation}
\mu=\frac{2k_1\rho_{11}}{2k_1+\rho_{11}}-\sum_{i=0}^{n-1}f_ip-\sum_{j=0}^{m-1}g_jq+\mu_0.
\end{equation}
\tag{2.44}
$$
В случае $ \boldsymbol \Gamma=\operatorname{diag}(k_1,k_2)$ соответствующее решение имеет вид
$$
\begin{equation}
\mu=\frac{4k_1k_2(\rho_{11}+\rho_{22})+2(k_1+k_2)e^{A_{12}}\rho_{11}\rho_{22}}{4k_1k_2+2k_2\rho_{11}+2k_1\rho_{22}+e^{A_{12}}\rho_{11}\rho_{22}}- \sum_{i=0}^{n-1}f_ip-\sum_{j=0}^{m-1}g_jq+\mu_0.
\end{equation}
\tag{2.45}
$$
В случае $ \boldsymbol \Gamma=\bigl(\begin{smallmatrix} k_1 & 0 \\ 1 & k_1 \end{smallmatrix}\bigr)$ мы получаем простейшее решение в форме жордановых блоков:
$$
\begin{equation}
\mu=\frac{16(\rho_{11}+k_1^{4}\eta_1\rho_{12})-4k_1\rho_{12}^{2}}{16k_1^{4}+8k_1^{3}(\rho_{11}+\eta_1\rho_{12})-8k_1^{2}\rho_{12}-\rho_{12}^{2}}- \sum_{i=0}^{n-1}f_ip-\sum_{j=0}^{m-1}g_jq+\mu_0.
\end{equation}
\tag{2.46}
$$
Решения (2.44)–(2.46) имеют линейную или (частично) осциллирующую фоновую составляющую Мы приводим графики эти решений, исключая фон, и показываем только основную часть, которую обозначаем как $w$. На рис. 2 показано решение $w$ с линейным затравочным решением $-pn-qm+\mu_0$, при этом в фоновой части мы взяли $f_i=g_j=1$. Рис. 2.Форма и движение решений $w$, заданных формулами (2.44)–(2.46), при $p=0.1$ и $\rho_i^0c_j=1$: односолитонное решение (2.44) с $q=0.2$ и $k_1=0.7$ (а); двухсолитонное решение (2.45) с $q=2$, $k_1=0.7$ и $k_2=0.4$ (б); решение в форме жордановых блоков (2.46) с $q=0.2$ и $k_1=0.7$ (в). При $(f_i,g_j)=((-1)^i,(-1)^j)$ решение $w$ (а также $\mu$) принимает четыре возможных постоянных значения в каждом элементарном четырехугольнике на плоскости $\mathbb{Z}^2$ в зависимости от четности значений $n$ и $m$. В табл. 1 мы приводим явные выражения для решения $w$, отвечающего (2.44). Следует отметить, что при заданной $w$ остальные три значения в табл. 1 связаны с $\widetilde w$, $\widehat w$ и $\widehat{\widetilde w}$. Кроме того, $w$ обладает свойством периодичности по дискретной независимой переменной $n$ или $m$ с минимальным положительным периодом, равным $2$. Решение уравнения рпКдФ для этого случая показано на рис. 3. Аналогичные свойства справедливы и для решений уравнения мрпКдФ (2.21), (2.22), уравнения рКдФШ (2.24), неавтономных уравнений НКК (2.25) и других уравнений из списка АБС (А.1). Таблица 1.Решение $w$, заданное в (2.44), при $(f_i,g_j)=((-1)^i,(-1)^j)$.
 Рис. 3.Осциллирующее решение $w$, заданное в (2.44), при $p=0.1$, $q=0.2$, $k_1^{}=0.5$ и $\rho_1^0c_1^{}=1$: осциллирующее решение с $m=2$ (а); осциллирующее решение с $n=2$ (б).  Рис. 4.Частично осциллирующее решение $w$, заданное в (2.44), при $p=0.1$, $q=0.2$, $k_1^{}=0.15$ и $\rho_1^0c_1^{}=1$: частично осциллирующее решение с $m=2$ (а); частично осциллирующее решение с $n=-2$ (б). При $(f_i,g_j)=(1,(-1)^j)$ и фиксированном $n$ решение $w$ (а также $\mu$) принимает два возможных постоянных значения по $m$-направлению в зависимости от четности значения $m$. В табл. 2 мы приводим решения $w$, заданные формулой (2.44). На рис. 4 изображены частично осциллирующие решения. Таблица 2.Решение $w$, заданное в (2.44), при $(f_i,g_j)=(1,(-1)^j)$.
Замечание 4. В частично осциллирующем случае $(f_i,g_j)=(1,(-1)^j)$ положим $w=w_1$, если $m$ четное, и $w=w_2$, если $m$ нечетное. Нетрудно показать, что имеет место следующее уравнение “на двух уровнях”: 3. Решеточные уравнения типа Буссинеска и их решенияВ этом разделе мы используем подход матриц Коши для решения решеточных уравнений типа Буссинеска. Аналогично случаю уравнений АБС начнем с “ложного” неавтономного плосковолнового множителя (1.5). Если $\mathcal F_n=\mathcal G_m=1$, плосковолновые множители (1.5) задаются формулой
$$
\begin{equation}
\varrho_{n,m}=\biggl(\frac{p+k}{p+\omega k}\biggr)^{\!n}\biggl(\frac{q+k}{q+\omega k}\biggr)^{\!m}\varrho^0,\qquad \sigma_{n,m}=\biggl(\frac{p+k}{p+\omega^2k}\biggr)^{\!n}\biggl(\frac{q+k}{q+\omega^2 k}\biggr){\!^m}\sigma^0,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
впервые представленной в прямом линеаризующем преобразовании для решеточной иерархии Гельфанда–Дикого [18]. Если $\mathcal F_n=\omega^n$ или $\mathcal G_m=\omega^m$, то в силу $\omega^3=1$ мы имеем следующие плосковолновые множители: при $\mathcal F_n=\omega^n$, $\mathcal G_m=1$
$$
\begin{equation}
\varrho_{n,m}=\frac{p+\omega^{1-n}k}{p+\omega k}\biggl(\frac{q+k}{q+\omega k}\biggr)^{\!m}\varrho^0,\qquad \sigma_{n,m}=\frac{p+k}{p+\omega^{-n}k}\biggl(\frac{q+k}{q+\omega^2 k}\biggr)^{\!m}\sigma^0;
\end{equation}
\tag{3.2а}
$$
при $\mathcal F_n=1$, $\mathcal G_m=\omega^m$
$$
\begin{equation}
\varrho_{n,m}=\biggl(\frac{p+k}{p+\omega k}\biggr)^{\!n}\frac{q+\omega^{1-m}k}{q+\omega k}\varrho^0,\qquad \sigma_{n,m}=\biggl(\frac{p+k}{p+\omega^2 k}\biggr)^{\!n}\frac{q+k}{q+\omega^{-m}k}\sigma^0;
\end{equation}
\tag{3.2б}
$$
при $\mathcal F_n=\omega^n$, $\mathcal G_m=\omega^m$
$$
\begin{equation}
\varrho_{n,m}=\frac{p+\omega^{1-n}k}{p+\omega k}\frac{q+\omega^{1-m}k}{q+\omega k}\varrho^0,\qquad \sigma_{n,m}=\frac{p+k}{p+\omega^{-n}k}\frac{q+k}{q+\omega^{-m}k}\sigma^0.
\end{equation}
\tag{3.2в}
$$
Результаты, собранные в этом разделе, опираются на работу [33]. 3.1. Определяющие уравнения и мастер-функцииРассмотрим следующую систему уравнений:
$$
\begin{equation}
\boldsymbol L \boldsymbol M+ \boldsymbol M \boldsymbol L'= \boldsymbol r\, {}^{\mathrm t\!}\boldsymbol s ,
\end{equation}
\tag{3.3а}
$$
$$
\begin{equation}
\kern-15pt\tilde{ \boldsymbol r}=(\mathcal F_np \boldsymbol I+ \boldsymbol L) \boldsymbol r,\qquad \kern19pt \hat{ \boldsymbol r}=(\mathcal G_mq \boldsymbol I+ \boldsymbol L) \boldsymbol r,
\end{equation}
\tag{3.3б}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{ {}^{\mathrm t\!}\boldsymbol s }= {}^{\mathrm t\!}\boldsymbol s (\mathcal F_np \boldsymbol I- \boldsymbol L')^{-1},\qquad \widehat{ {}^{\mathrm t\!}\boldsymbol s }= {}^{\mathrm t\!}\boldsymbol s (\mathcal G_mq \boldsymbol I- \boldsymbol L')^{-1},
\end{equation}
\tag{3.3в}
$$
где функции $\mathcal F_n$, $\mathcal G_m$ удовлетворяют условию $\mathcal F_n^3=\mathcal G_m^3=1$, решеточные параметры $p,q\in\mathbb{C}$, матрицы $ \boldsymbol L=\operatorname{diag}( \boldsymbol L_1, \boldsymbol L_2)$, $ \boldsymbol L'=\operatorname{diag}(-\omega \boldsymbol L_1,-\omega^2 \boldsymbol L_2)$ известные и постоянные, причем $\omega^2+\omega+1=0$, а $ \boldsymbol M$, $ \boldsymbol r$ и $ {}^{\mathrm t\!}\boldsymbol s $ зависят $(n,m)$. Мы предполагаем, что матрицы $ \boldsymbol L_i\in\mathbb{C}_{N_i\times N_i}$ ($i=1,2$), где $N_1+N_2=N$, удовлетворяют условиям
$$
\begin{equation*}
\mathcal E( \boldsymbol L_1)\cap \mathcal E(\omega \boldsymbol L_1)=\varnothing,\qquad \mathcal E( \boldsymbol L_2)\cap \mathcal E(\omega^2 \boldsymbol L_2)=\varnothing,\qquad \mathcal E( \boldsymbol L_1)\cap \mathcal E(\omega^2 \boldsymbol L_2)=\varnothing.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее введем инвариантные относительно преобразования подобия матрицы, зависящие от $ \boldsymbol M$:
$$
\begin{equation}
W^{(i,j)}(a,b)= {}^{\mathrm t\!}\boldsymbol s (b \boldsymbol I+ \boldsymbol L')^j( \boldsymbol I+ \boldsymbol M)^{-1}(a \boldsymbol I+ \boldsymbol L)^i \boldsymbol r,\qquad i,j\in\mathbb{Z},\quad a,b\in\mathbb{C}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Имеем следующий результат о сдвиговых соотношениях для матриц $W^{(i,j)}(a,b)$. Предложение 3. Если $ \boldsymbol M$, $ \boldsymbol L$, $ \boldsymbol L'$, $ \boldsymbol r$, $ {}^{\mathrm t\!}\boldsymbol s $ удовлетворяют определяющим уравнениям (3.3), то для мастер-функций $W^{(i,j)}(a,b)$, заданных в (3.4), справедливы следующие соотношения, связанные с операцией $\widetilde{\phantom{a}}$-сдвига: Доказательство. Сначала обратимся к уравнению Сильвестра (3.3а) 3.2. Решеточные уравнения типа БуссинескаОпираясь на $\widetilde{\phantom{a}}$-сдвиговые соотношения (3.10) вместе с их $\widehat{\phantom{a}}$-аналогами, выведем несколько уравнений типа Буссинеска. Для этого зададим
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} v_a&:= W^{(-1,0)}(a,0)-1,&\qquad w_b&:= W^{(0,-1)}(0,b)-1, \\ s_a&:= W^{(-1,1)}(a,0)-a,&\qquad t_b&:= W^{(1,-1)}(0,b)-b, \\ r_a&:= W^{(-1,2)}(a,0)-a^2,&\qquad z_b&:=W^{(2,-1)}(0,b)-b^2 \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
и
$$
\begin{equation}
W^{(i,j)}=W^{(i,j)}(0,0),\qquad \eta=W^{(0,0)},\qquad s_{a,b}=W^{(-1,-1)}(a,b)-(a+b)^{-1}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
при $b\neq-a$. Для удобства записи решеточных уравнений введем обозначение $G(a,b)=a^3+b^3$. Получаем следующие уравнения (подробности расчетов можно найти в [33]). 1. Решеточные уравнения, содержащие $\eta$, $v_a$ и $s_a$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \tilde s_a=(\mathcal F_np+\eta)\tilde v_a-(\mathcal F_np-a)v_a,\qquad \hat s_a=(\mathcal G_mq+\eta)\hat v_a-(\mathcal G_mq-a)v_a, \\ \biggl(\mathcal F_np+\mathcal G_mq-\hat{\tilde\eta}+\frac{s_a}{v_a}\biggr)(\mathcal F_np-\mathcal G_mq+\hat\eta-\tilde\eta)= \frac{p^{(1)}_a\tilde v_a-q^{(1)}_a\hat v_a}{v_a}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
где
$$
\begin{equation*}
p^{(1)}_a=\frac{G(p,-a)}{\mathcal F_np-a},\qquad q^{(1)}_a=\frac{G(q,-a)}{\mathcal G_mq-a}.
\end{equation*}
\notag
$$
После точечного преобразования
$$
\begin{equation}
v_a=\frac{x}{x_a},\qquad s_a=\frac{y-v_ay_a}{x_a},\qquad\eta=z-z_0,
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
в котором
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, x_a=\prod^{n-1}_{l=0}(\mathcal F_lp-a)^{-1}\prod^{m-1}_{h=0}(\mathcal G_hq-a)^{-1}c_1,\qquad y_a=x_a(z_0-c_2), \\ z_0=c_2(n+m)-\sum^{n-1}_{l=0}\mathcal F_lp-\sum^{m-1}_{h=0}\mathcal G_hq+c_3, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\{c_i\}$ – постоянные, получаем решеточное уравнение в замкнутой форме
$$
\begin{equation}
\tilde y=\tilde xz-x,\qquad \hat y=\hat xz-x,\qquad y=x(\hat{\tilde z}-3c_2)+\frac{G(p,-a)\tilde x-G(q,-a)\hat x}{\hat z-\tilde z}.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Оно совпадает с уравнением (A-2) в [21]. 2. Решеточные уравнения, содержащие $\eta$, $w_b$ и $t_b$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, t_b=(\mathcal F_np+b)\widetilde w_b-(\mathcal F_np-\tilde\eta)w_b,\qquad t_b=(\mathcal G_mq+b)\widehat w_b-(\mathcal G_mq-\hat\eta)w_b, \\ \biggl(\mathcal F_np+\mathcal G_mq+\eta-\frac{\hat{\tilde t}_b}{\widehat{\widetilde w}_b}\biggr)(\mathcal F_np-\mathcal G_mq+\hat\eta-\tilde\eta)= \frac{p^{(2)}_b\widehat w_b-q^{(2)}_b\widetilde w_b}{\widehat{\widetilde w}_b}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
где $p^{(2)}_b=p^{(1)}_a|_{a\to-b}$ и $q^{(2)}_b=q^{(1)}_a|_{a\to-b}$. После точечного преобразования
$$
\begin{equation}
w_b=\frac{x}{x_b},\qquad t_b=\frac{y-w_by_b}{x_b},\qquad\eta=z-z_0,
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
в котором
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, x_b=\prod^{n-1}_{l=0}(-\mathcal F_lp-b)\prod^{m-1}_{h=0}(-\mathcal G_hq-b) c_1,\qquad y_b=x_b(z_0-c_2), \\ z_0=-c_2(n+m)-\sum^{n-1}_{l=0}\mathcal F_lp-\sum^{m-1}_{h=0}\mathcal G_hq+c_3, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
получаем еще одно решеточное уравнение в замкнутой форме
$$
\begin{equation}
y=x\tilde z-\tilde x,\qquad y=x\hat z-\hat x,\qquad \hat{\tilde y}=\hat{\tilde x}(z-3c_2)+\frac{G(p,b)\hat x-G(q,b)\tilde x}{\hat z-\tilde z}.
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Оно представляет собой антисимметризованную версию уравнения (3.15) с заменами
$$
\begin{equation*}
p\to-p,\qquad q\to-q,\qquad n\to-n,\qquad m\to-m,\qquad a\to b.
\end{equation*}
\notag
$$
3. Решеточные уравнения, содержащие $\eta$, $W^{(1,0)}$ и $W^{(0,1)}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal F_np\tilde\eta-\widetilde W^{(0,1)}=\mathcal F_np\eta+W^{(1,0)}-\eta\tilde\eta,\qquad \mathcal G_mq\hat\eta-\widehat{W}^{(0,1)}=\mathcal G_mq\eta+W^{(1,0)}-\eta\hat\eta, \\ \!\begin{aligned} \, \widehat{\widetilde W}{}^{(1,0)}\!+W^{(0,1)}&= \mathcal F_n\mathcal G_mpq-(\mathcal F_np+\mathcal G_mq-\hat{\tilde\eta})(\mathcal F_np+\mathcal G_mq+\eta)\,{+}\, \frac{G(p,-q)}{\mathcal F_np\,{-}\,\mathcal G_mq\,{+}\,\hat\eta\,{-}\,\tilde\eta}. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Их можно записать как стандартное уравнение рпБ
$$
\begin{equation}
\tilde z=x\tilde x-y,\qquad \hat z=x\hat x-y,\qquad z=x\hat{\tilde x}-\hat{\tilde y}+\frac{G(p,-q)}{\hat x-\tilde x},
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
если применить точечное преобразование
$$
\begin{equation}
\eta=x+x_0,\qquad W^{(1,0)}=y+x_0\eta-y_0,\qquad W^{(0,1)}=z+x_0\eta-z_0,
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
в котором
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, x_0&=\sum^{n-1}_{l=0}\mathcal F_lp+\sum^{m-1}_{h=0}\mathcal G_hq+c_1, \\ y_0&=\frac{x_0^2}{2}+\frac{1}{2}\biggl(\,\sum^{n-1}_{l=0}\mathcal F_l^2p^2+\sum^{m-1}_{h=0}\mathcal G_h^2q^2+c_2\biggr)+c_3, \\ z_0&=\frac{x_0^2}{2}-\frac{1}{2}\biggl(\,\sum^{n-1}_{l=0}\mathcal F_l^2p^2+\sum^{m-1}_{h=0}\mathcal G_h^2q^2+c_2\biggr)-c_3. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Замечание 5. Мы получаем различные затравочные решения уравнения (3.19) в зависимости от выбора $\mathcal F_l$ и $\mathcal G_h$. Приведем список этих решений. Если $\mathcal F_l=\mathcal G_h=1$, то затравочное решение имеет вид 4. Решеточные уравнения, содержащие $v_a$, $w_b$ и $s_{a,b}$. Первая система имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (\mathcal F_np-a)s_{a,b}-(\mathcal F_np+b)\tilde s_{a,b}=\tilde v_a w_b,\quad (\mathcal G_mq-a)s_{a,b}-(\mathcal G_mq+b)\hat s_{a,b}=\hat v_a w_b, \\ v_a\widehat{\widetilde w}_b= w_b\frac{\frac{p^{(1)}_a}{\mathcal F_np+b}\tilde v_a\widehat w_b-\frac{q^{(1)}_a}{\mathcal G_mq+b}\hat v_a\widetilde w_b} {(\mathcal F_np+b)\widetilde w_b-(\mathcal G_mq+b)\widehat w_b}-\frac{G(a,b)}{(\mathcal F_np+b)(\mathcal G_mq+b)}s_{a,b}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
а вторая записывается как
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (\mathcal F_np-a)s_{a,b}-(\mathcal F_np+b)\tilde s_{a,b}=\tilde v_a w_b,\quad (\mathcal G_mq-a)s_{a,b}-(\mathcal G_mq+b)\hat s_{a,b}=\hat v_a w_b, \\ v_a\widehat{\widetilde w}_b= w_b\frac{\frac{p^{(2)}_b}{\mathcal F_np-a}\tilde v_a\widehat w_b-\frac{q^{(2)}_b}{\mathcal G_mq-a}\hat v_a\widetilde w_b} {(\mathcal F_np+b)\widetilde w_b-(\mathcal G_mq+b)\widehat w_b}-\frac{G(a,b)}{(\mathcal F_np-a)(\mathcal G_mq-a)}\hat{\tilde s}_{a,b}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Применив к уравнениям (3.25) или (3.26) одно и то же точечное преобразование
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, s_{a,b}&=\prod^{n-1}_{l=0}\biggl(\frac{\mathcal F_lp-a}{\mathcal F_lp+b}\biggr) \prod^{m-1}_{h=0}\biggl(\frac{\mathcal G_hq-a}{\mathcal G_hq+b}\biggr)x, \\ v_a&=\prod^{n-1}_{l=0}(\mathcal F_lp-a)\prod^{m-1}_{h=0}(\mathcal G_hq-a)y, \\ w_b&=\prod^{n-1}_{l=0}(\mathcal F_lp+b)^{-1}\prod^{m-1}_{h=0}(\mathcal G_hq+b)^{-1}z, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
мы приходим соответственно к уравнениям
$$
\begin{equation}
\tilde yz=x-\tilde x,\qquad \hat yz=x-\hat x,\qquad y\hat{\tilde z}=z\frac{G(p,-a)\tilde y\hat z-G(q,-a)\hat y\tilde z}{\tilde z-\hat z}-G(a,b)x
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
и
$$
\begin{equation}
\tilde yz=x-\tilde x,\qquad \hat yz=x-\hat x,\qquad y\hat{\tilde z}=z\frac{G(p,b)\tilde y\hat z-G(q,b)\hat y\tilde z}{\tilde z-\hat z}-G(a,b)\hat{\tilde x}.
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
Уравнение (3.28) – это уравнение (C-3) из работы [21], а уравнение (3.29) – это антисимметризованнная версия уравнения (3.28) с заменами
$$
\begin{equation*}
n\to-n,\qquad m\to-m,\qquad y\to z,\qquad z\to-y,\qquad a\to-b.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что уравнения (3.28) и (3.29) имеют общее решение (3.27), это приводит к уравнениям
$$
\begin{equation}
\tilde yz=x-\tilde x,\qquad \hat yz=x-\hat x,\qquad y\hat{\tilde z}=z\frac{P_{a,b}\tilde y\hat z-Q_{a,b}\hat y\tilde z}{\tilde z-\hat z}-G_{a,b}(x+\hat{\tilde x}),
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
где
$$
\begin{equation*}
P_{a,b}=\frac{G(p,-a)+G(p,b)}{2},\qquad Q_{a,b}=\frac{G(q,-a)+G(q,b)}{2},\qquad \Omega_{a,b}=\frac{G(a,b)}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если применить преобразование
$$
\begin{equation*}
x=\frac{x_1-\Omega_{a,b}}{2\Omega_{a,b}(x_1+\Omega_{a,b})},\qquad y=\frac{y_1}{x_1+\Omega_{a,b}},\qquad z=\frac{z_1}{x_1+\Omega_{a,b}},
\end{equation*}
\notag
$$
то из (3.30) мы получаем уравнение (C-4) из работы [21]
$$
\begin{equation}
\tilde y_1z_1=x_1-\tilde x_1,\quad \hat y_1z_1=x_1-\hat x_1,\quad y_1\hat{\tilde z}_1=\frac{z_1(P_{a,b}\hat z_1\tilde y_1-Q_{a,b}\tilde z_1\hat y_1)}{\tilde z_1-\hat z_1}-x_1\hat{\tilde x}_1+\Omega_{a,b}^2.
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
3.3. Точные решенияРешения решеточного уравнения типа Буссинеска можно построить аналогично решениям уравнений АБС, поскольку мастер-функция $W^{(i,j)}(a,b)$ инвариантна относительно преобразования подобия. Решая определяющие уравнения
$$
\begin{equation}
\boldsymbol \Lambda \boldsymbol M+ \boldsymbol M \boldsymbol \Lambda'= \boldsymbol r\, {}^{\mathrm t\!}\boldsymbol s ,
\end{equation}
\tag{3.32а}
$$
$$
\begin{equation}
\kern-14pt\tilde{ \boldsymbol r}=(\mathcal F_np \boldsymbol I+ \boldsymbol \Lambda) \boldsymbol r,\qquad\kern16pt \hat{ \boldsymbol r}=(\mathcal G_mq \boldsymbol I+ \boldsymbol \Lambda) \boldsymbol r,
\end{equation}
\tag{3.32б}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{ {}^{\mathrm t\!}\boldsymbol s }= {}^{\mathrm t\!}\boldsymbol s (\mathcal F_np \boldsymbol I- \boldsymbol \Lambda')^{-1},\qquad \widehat {}^{\mathrm t\!}\boldsymbol s = {}^{\mathrm t\!}\boldsymbol s (\mathcal G_mq \boldsymbol I- \boldsymbol \Lambda')^{-1},
\end{equation}
\tag{3.32в}
$$
где $ \boldsymbol \Lambda=\operatorname{diag}( \boldsymbol \Lambda_1, \boldsymbol \Lambda_2)$ и $ \boldsymbol \Lambda'=\operatorname{diag}(-\omega \boldsymbol \Lambda_1,-\omega^2 \boldsymbol \Lambda_2)$ – канонические жордановы формы матриц $ \boldsymbol L$, $ \boldsymbol L'$. Чтобы гарантировать разрешимость уравнения (3.32а), предположим, что
$$
\begin{equation*}
\mathcal E( \boldsymbol \Lambda_1)\cap \mathcal E(\omega \boldsymbol \Lambda_1)=\varnothing,\qquad \mathcal E( \boldsymbol \Lambda_2)\cap \mathcal E(\omega^2 \boldsymbol \Lambda_2)=\varnothing,\qquad \mathcal E( \boldsymbol \Lambda_1)\cap \mathcal E(\omega^2 \boldsymbol \Lambda_2)=\varnothing.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим блочно-диагональные матрицы общего вида (обозначения приведены в приложении Г)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \boldsymbol \Lambda_1&=\operatorname{diag}\bigl( \boldsymbol \Lambda^{[N_{11}]}_{\mathrm D}(\{k_{1,\iota}\}_{\iota=1}^{N_{11}}), \boldsymbol \Lambda^{[N_{12}]}_{\mathrm J}(k_{1,N_{11}+1}),\ldots, \boldsymbol \Lambda^{[N_{1s}]}_{\mathrm J}(k_{1,N_{11}+(s-1)})\bigr), \\ \boldsymbol \Lambda_2&=\operatorname{diag}\bigl( \boldsymbol \Lambda^{[N_{21}]}_{\mathrm D}(\{k_{2,\iota}\}_{\iota=1}^{N_{21}}), \boldsymbol \Lambda^{[N_{22}]}_{\mathrm J}(k_{2,N_{21}+1}),\ldots, \boldsymbol \Lambda^{[N_{2t}]}_{\mathrm J}(k_{2,N_{21}+(t-1)})\bigr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.33}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\sum_{\gamma=1}^{s}N_{1\gamma}=N_1,\qquad \sum_{\gamma=1}^{t}N_{2\gamma}=N_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Суммируем результаты: наиболее общее смешанное решение имеет следующий вид. Теорема 3. Определяющие уравнения (3.32) с матрицами общего вида Далее для примера рассмотрим уравнение рпБ (3.19), чтобы получить в явном виде точные решения. Если $N_1=N_2=1$ и $k_{1,1}=k_1$, $k_{2,1}=k_2$, то решение уравнения (3.19) записывается как
$$
\begin{equation}
x=\eta-x_0,\qquad y=W^{(1,0)}-x_0\eta+y_0,\qquad z= W^{(0,1)}-x_0\eta+z_0
\end{equation}
\tag{3.36}
$$
с затравочными решениями (3.21) и
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \eta=\frac{H_0(\varrho+\sigma)+A_1\varrho\sigma}{H_0+H_1\varrho+H_2\sigma+H_3\varrho\sigma}, \\ \begin{aligned} \, W^{(1,0)}&=\frac{H_0(k_1\varrho+k_2\sigma)+A_2\varrho\sigma}{H_0+H_1\varrho+H_2\sigma+H_3\varrho\sigma}, \\ W^{(0,1)}&=\frac{-\omega H_0(k_1\varrho+\omega k_2\sigma)-\omega A_3\varrho\sigma}{H_0+H_1\varrho+H_2\sigma+H_3\varrho\sigma}, \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.37}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A_1=-(2\omega+1)(k_1^3-k_2^3),\quad A_2=(k_1+k_2)A_1, \quad A_3=(1-\omega^2)(k_1^3-k_2^3)(\omega^2 k_1+k_2), \\ \begin{alignedat}{3} H_0&=3k_1k_2(2k_1k_2-\omega k_1^2-\omega^2 k_2^2),&\qquad H_1&=(\omega^2-1)k_2(\omega k_1^2-2k_1k_2+\omega^2 k_2^2), \\ H_2&=(\omega-1)k_1(\omega k_1^2-2k_1k_2+\omega^2 k_2^2),&\qquad H_3&=(k_1-k_2)(\omega^2 k_2-\omega k_1), \end{alignedat}\\ \begin{aligned} \, \varrho&=\prod^{n-1}_{l=0}\biggl(\frac{\mathcal F_lp+k_1}{\mathcal F_lp+\omega k_1}\biggr) \prod^{m-1}_{h=0}\biggl(\frac{\mathcal G_hq+k_1}{\mathcal G_hq+\omega k_1}\biggr)\varrho^0, \\ \sigma&=\prod^{n-1}_{l=0}\biggl(\frac{\mathcal F_lp+k_2}{\mathcal F_lp+\omega^2 k_2}\biggr) \prod^{m-1}_{h=0}\biggl(\frac{\mathcal G_hq+k_2}{\mathcal G_hq+\omega^2 k_2}\biggr)\sigma^0. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $k_1=k_2$, то выражения (3.37) упрощаются и принимают вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \eta=\frac{H_0(\varrho+\sigma_1)}{H_0+H_1\varrho+H_2\sigma_1},\qquad W^{(1,0)}=k_1\eta,\qquad W^{(0,1)}=-\frac{\omega H_0k_1(\varrho+\omega \sigma_1)}{H_0+H_1\varrho+H_2\sigma_1}, \\ H_0=3k_1,\qquad H_1=1-\omega^2,\qquad H_2=1-\omega,\qquad \sigma_1=\sigma|_{k_2\to k_1}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.38}
$$
Если $\mathcal F_l=\mathcal G_h=1$, то решение (3.38) есть в точности солитонное решение (3.10) из работы [33], вещественное при $\sigma^0=\varrho^{0^*}$. Если $\mathcal F_l=\omega^l$ или $\mathcal G_h=\omega^h$, то формула (3.38) дает (частично) осциллирующее решение уравнения рпБ (3.19). Поскольку в этом случае нельзя рассматривать решение $\sigma$ как комплексно-сопряженное к $\varrho$, (частично) осциллирующее (3.38) является комплексным. Аналогично уравнениям АБС для частично осциллирующего решения с $(\mathcal F_l,\mathcal G_h)=(1,\omega^h)$ или $(\mathcal F_l,\mathcal G_h)=(\omega^l,1)$ мы можем переписать решеточное уравнение типа Буссинеска в “трехуровневом” виде, введя $(x_j,y_j,z_j)$ ($j=1,2,3$) в терминах $l$ или $h=3d$, $h=3d+1$, $h=3d+2$, где $d\in\mathbb{Z}$. Соответствующая “трехуровневая” система может быть расширена до “многокомпонентной” системы, если применить $\widehat{\phantom{a}}$- или $\widetilde{\phantom{a}}$-сдвиг. Решения и свойства “многокомпонентных” решеточных систем типа Буссинеска заслуживают дальнейшего изучения.
4. ЗаключениеВ данной статье мы представили обобщенный подход матриц Коши, основанный на результатах предыдущих работ [33]–[35], который можно использовать для того, чтобы заново получить решения всех уравнений АБС (кроме Q4) и некоторых решеточных уравнений типа Буссинеска. Мы исходили из определяющих уравнений (2.1), содержащих функции $f_n$ и $g_m$, удовлетворяющие условию $f^2_n=g^2_m=1$. Затем мы ввели мастер-функции $S^{(i,j)}$, $ S(a,b)$, $V(a)$, которые обладают рядом свойств, таких как симметричность, инвариантность относительно преобразований подобия и сдвиговые соотношения. На основе этих сдвиговых соотношений мы получили некоторые решеточные уравнения типа КдФ, в том числе уравнения рпКдФ (2.18), мрпКдФ (2.21), рКдФШ (2.24) и НКК (2.25). Среди этих уравнений первые три являются автономными, поскольку их можно преобразовать в автономные уравнения посредством простых точечных преобразований (см. также работу [37]). Хотя уравнение НКК (2.25) неавтономно при $f_n=(-1)^n$ или $g_m=(-1)^m$, его всё же можно использовать для построения решений уравнения $\mathrm Q3_\delta$. Кроме того, решения других уравнений в списке (А.1) получаются с использованием схемы вырождения (2.28). Мы привели наиболее общие смешанные решения уравнений (2.38), записанных в канонической жордановой форме, на основе которых получаются точные решения решеточных уравнений из списка АБС, за исключением Q4. Мы построили солитонные, осциллирующие и частично осциллирующие решения, выбрав соответственно
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (f_n,g_m)=(1,1),\quad (f_n,g_m)=((-1)^n,(-1)^m) \\ \text{и}\quad (f_n,g_m)=(1,(-1)^m)\quad\text{или}\quad (f_n,g_m)=((-1)^n,1). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В отличие от солитонного решения осциллирующие решения являются периодическими (см. формулы (2.44)–(2.46)). Для получения решений решеточных уравнений типа Буссинеска мы применили аналогичную стратегию, т. е. ввели в определяющие уравнения (3.3) две вспомогательные функции $\mathcal F_n$ и $\mathcal G_m$ с условием $\mathcal F^3_n=\mathcal G^3_m=1$. Затем из сдвиговых соотношений (3.5) мы получили некоторые трехкомпонентные решеточные уравнения типа Буссинеска в замкнутой форме, а также их аналоги, полученные с помощью $\widehat{\phantom{a}}$-сдвига по переменной $q$, которые соответствуют уравнениям (A-2), (B-2), (C-3) и (C-4), впервые введенным в [21]. Солитонные, колебательные и частично осциллирующие решения соответствуют
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (\mathcal F_n,\mathcal G_m)=(1,1),\quad (\mathcal F_n,\mathcal G_m)=(\omega^n,\omega^m) \\ \text{и}\quad (\mathcal F_n,\mathcal G_m)=(1,\omega^m)\quad\text{или}\quad(\mathcal F_n,\mathcal G_m)=(\omega^n,1). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $(\mathcal F_n,\mathcal G_m)=(\omega^n,\omega^m)$, решение остается периодическим (см. формулу (3.37)). Что касается решения (3.38), то в солитонном случае оно вещественное при $\sigma^0=\varrho^{0^*}$. Осциллирующее и частично осциллирующее решение комплексные независимо от того, выполнено условие $\sigma^0=\varrho^{0^*}$ или нет. В заключение мы хотели бы подчеркнуть некоторые важные изменения, внесенные в подход матриц Коши по сравнению с работами [33], [35]. Прежде всего, постоянные параметры решетки $p$ и $q$ заменяются на $\mathbb{F}_np$ и $\mathbb{G}_mq$, где $(\mathbb{F}n,\mathbb{G}_m)=(f_n,g_m)$ в случае решеточных уравнений АБС и $(\mathbb{F}n,\mathbb{G}_m)=(\mathcal F_n,\mathcal G_m)$ в случае решеточных уравнений Буссинеска. Хотя эти изменения, вообще говоря, приводят к неавтономным решеточным уравнениям (см. работы [46], [47]), мы показываем, что ограничения $f^2_n=g_m^2=1$ и $\mathcal F ^3_n=\mathcal G_m^3=1$ позволяют вывести автономные решеточные уравнения типа АБС и Буссинеска. Такая модификация приводит к появлению (частично) осциллирующих решений полученных решеточных уравнений. Поскольку в непрерывном случае осциллирующие множители $((-1)^n,(-1)^m)$ или $(\omega^n,\omega^m)$ нарушают дифференцируемость и не возникают в аналитических решениях, для осциллирующих решений не существует непрерывного предела. Однако частично осциллирующий плосковолновой множитель в дискретной экспоненте допускает прямой непрерывный предел. Таким образом, полудискретные уравнения типа КдФ [39] и полудискретные уравнения типа Буссинеска [23] по-прежнему могут обладать частично осциллирующими решениями. Эту схему можно обобщить на всю решеточную иерархию Гельфанда–Дикого [18] (см. также [48]), взяв уравнения (3.3) с $ \boldsymbol L'=\operatorname{diag}(-\omega \boldsymbol L_1,-\omega^2 \boldsymbol L_2,\ldots,-\omega^{N-1} \boldsymbol L_{N-1})$ и $\mathcal F^N_n=\mathcal G^N_m=1$, где $\omega^N=1$. Однако следует отметить, что эту схему нельзя применить к расширенным решеточным уравнениям типа Буссинеска [22], поскольку невозможно ввести независимые переменные $n$ или $m$ в три решения $\omega_1(k)$, $\omega_2(k)$ и $\omega_3(k)=k$ полиномиального симметричного уравнения третьего порядка вида
$$
\begin{equation*}
G_3(\omega,k)=\sum_{j=1}^3\alpha_j(\omega^j-k^j)=0,\qquad \alpha_3\equiv 1,
\end{equation*}
\notag
$$
с коэффициентами $\{\alpha_j\}$ и параметром $k$. Кроме того, в частично осциллирующем случае, переопределяя зависимые переменные, можно переписать исходные решеточные уравнения в “двухуровневой” или “трехуровневой” форме. После этого их можно расширить до “многокомпонентных” решеточных уравнений, пренебрегая позициями зависимых переменных и применяя $\widetilde{\phantom{a}}$- или $\widehat{\phantom{a}}$-сдвиг. Получающиеся “многокомпонентные” решеточные уравнения чрезвычайно интересны и заслуживают дальнейшего изучения. В работе [49] мы построили солитонные решения неавтономных решеточных уравнений АБС с помощью билинейного метода. Следовательно, положив $p_n=f_np$ и $q_m=g_mq$, можно восстановить осциллирующие решения уравнений H1, H2, $\mathrm H3_\delta$ и $\mathrm Q1_\delta$ в контексте билинейной структуры. Эту методику можно естественным образом обобщить на случай уравнений Бусинеска [23], что и будет сделано в будущем. Приложение А. Некоторые решеточные уравнения из списка АБСПосле переопределения параметров решетки некоторые решеточные уравнения из списка АБС можно записать как (А.1)
$$
\begin{equation}
\mathrm Q3_\delta: \quad P(u\hat u+\tilde u\hat{\tilde u})-Q(u\tilde u+\hat u\hat{\tilde u})= (p^2-q^2)\biggl(\tilde u\hat u+u\hat{\tilde u}+\frac{\delta^2}{4PQ}\biggr),
\end{equation}
\tag{А.1а}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm Q2: \quad (q^2-a^2)(u-\hat u)(\tilde u-\hat{\tilde u})-(p^2-a^2)(u-\tilde u)(\hat u-\hat{\tilde u})+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad+(p^2-a^2)(q^2-a^2)(q^2-p^2)(u+\tilde u+\hat u+\hat{\tilde u})= \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad=(p^2-a^2)(q^2-a^2)(q^2-p^2)((p^2-a^2)^2+(q^2-a^2)^2-(p^2-a^2)(q^2-a^2)),
\end{equation}
\tag{А.1б}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm Q1_\delta: \quad (q^2-a^2)(u-\hat u)(\tilde u-\hat{\tilde u})-(p^2-a^2)(u-\tilde u)(\hat u-\hat{\tilde u})= \frac{\delta^2 a^4(p^2-q^2)}{(p^2-a^2)(q^2-a^2)},
\end{equation}
\tag{А.1в}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm H3_\delta: \quad P(a^2-q^2)(u\tilde u+\hat u\hat{\tilde u})-Q(a^2-p^2)(u\hat u+\tilde u\hat{\tilde u})=\delta(p^2-q^2),
\end{equation}
\tag{А.1г}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm H2: \quad (u-\hat{\tilde u})(\tilde u-\hat u)+(p^2-q^2)(u+\tilde u+\hat u+\hat{\tilde u})=p^4-q^4,
\end{equation}
\tag{А.1д}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm H1: \quad(u-\hat{\tilde u})(\hat u-\tilde u)=p^2-q^2,
\end{equation}
\tag{А.1е}
$$
где $\delta$ – постоянная и в уравнении (А.1а) точки $(p,P)$ и $(q,Q)$ принадлежат эллиптической кривой а в уравнении (А.1в) Уравнения $\mathrm A1_\delta$ и A2 мы не выписываем, поскольку уравнения $\mathrm A1_\delta$ и $\mathrm Q1_\delta$ становятся эквивалентными после точечного преобразования переменных, аналогично эквивалентны уравнения A2 и $\mathrm Q3_\delta$ при $\delta=0$.
Приложение Б. Вывод плосковолнового множителя (1.4)Возьмем H1 в качестве примера и представим вывод плосковолнового множителя (1.4) для $i=j=1$ с использованием свойства 3D-совместности. Подробную информацию можно найти в [36]. Уравнение H1 (А.1е) обладает свойством 3D-совместности [10]. Отсюда следует, что мы можем добавить третье направление с параметром $k$, и новое уравнение записывается как два уравнения
$$
\begin{equation}
(u-\bar{\tilde u}\kern1pt)(\bar u-\tilde u)=p^2-k^2,\qquad (u-\hat{\bar u})(\hat u-\bar u)=k^2-q^2,
\end{equation}
\tag{Б.1}
$$
которые служат преобразованием Беклунда для уравнения H1. Затравочное решение уравнения (Б.1) выберем из (1.2): где мы в некотором смысле воспользовались простыми равенствами $((-1)^np)^2=p^2$ и $((-1)^mq)^2=q^2$. Заметив, что $\tilde u_\theta=u_\theta\pm p$ и $\hat u_\theta=u_\theta\pm q$, где знак определяется знаками выражений $(-1)^n$ и $(-1)^m$, которые можно выбрать по $(\pm p)^2$ и $(\pm q)^2$, положим
$$
\begin{equation}
\bar u=\bar u_\theta+\kappa,\quad\text{где}\quad \bar u_\theta=u_\theta-k.
\end{equation}
\tag{Б.3}
$$
Подстановка в (Б.1) равенств (Б.2) и (Б.3) приводит к уравнениям
$$
\begin{equation}
\tilde\kappa=E_n(p)\frac{\kappa}{\kappa+F_n(p)},\qquad \hat\kappa=E_m(q)\frac{\kappa}{\kappa+F_m(q)},
\end{equation}
\tag{Б.4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
E_n(p)=(-1)^np+k,\quad F_n(p)=(-1)^np-k,\quad (E_m(q),F_m(q))=(E_n(p),F_n(p))\big|_{n\to m,p\to q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Введем $\kappa=\Xi/\Theta$, $\Phi=(\Xi,\Theta)^{\mathrm T}$, тогда (Б.4) переписывается как
$$
\begin{equation}
\widetilde\Phi=\begin{pmatrix} E_n(p) & 0 \\ 1 & F_n(p) \end{pmatrix}\Phi,\qquad \widehat\Phi=\begin{pmatrix} E_m(q) & 0 \\ 1 & F_m(q) \end{pmatrix}\Phi.
\end{equation}
\tag{Б.5}
$$
Поэлементно имеем
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \Xi_{n,m}&=\hbar_n(p)\Xi_{0,m},&\qquad \Theta_{n,m}&=\frac{1-(-1)^n}{2}\frac{1}{p-k}\Delta_n(p)\Xi_{0,m}+\Delta_n(p)\Theta_{0,m}, \\ \Xi_{n,m}&=\hbar_m(q)\Xi_{n,0},&\qquad \Theta_{n,m}&=\frac{1-(-1)^m}{2}\frac{1}{q-k}\Delta_m(q)\Xi_{n,0}+\Delta_m(q)\Theta_{n,0}, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{Б.6}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \hbar_n(p)&=\prod_{j=0}^{n-1}E_j(p)=\prod_{j=0}^{n-1}((-1)^jp+k),&\qquad \hbar_0&=1, \\ \Delta_n(p)&=\prod_{j=0}^{n-1}F_j(p)=\prod_{j=0}^{n-1}((-1)^jp-k),&\qquad \Delta_0&=1, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
и $(\hbar_m(q),\Delta_m(q))=(\hbar_n(p),\Delta_n(p))|_{n\to m,p\to q}$. Заметим, что
$$
\begin{equation}
\frac{1-(-1)^n}{2}\frac{1}{p-k}=\frac{1}{2k}\biggl(\frac{\hbar_n(p)}{\Delta_n(p)}-1\biggr).
\end{equation}
\tag{Б.7}
$$
Тогда уравнения (Б.6) принимают вид
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \Xi_{n,m}&=\hbar_n(p)\Xi_{0,m},&\qquad \Theta_{n,m}&=\frac{\hbar_n(p)-\Delta_n(p)}{2k}\Xi_{0,m}+\Delta_n(p)\Theta_{0,m}, \\ \Xi_{n,m}&=\hbar_m(q)\Xi_{n,0},&\qquad \Theta_{n,m}&=\frac{\hbar_m(q)-\Delta_m(q)}{2k}\Xi_{n,0}+\Delta_m(q)\Theta_{n,0} \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{Б.8}
$$
и приводят к
$$
\begin{equation}
\Phi_{n,m}=\begin{pmatrix} \hbar_n(p)\hbar_m(q) & 0 \\ \dfrac{\hbar_n(p)\hbar_m(q)-\Delta_n(p)\Delta_m(q)}{2k} & \Delta_n(p)\Delta_m(q) \end{pmatrix}\Phi_{0,0}.
\end{equation}
\tag{Б.9}
$$
Это показывает, что
$$
\begin{equation}
\kappa_{n,m}=\frac{\frac{2k}{2k-1}\frac{\hbar_n(p)\hbar_m(q)\Xi_{0,0}}{\Delta_n(p)\Delta_m(q)\Theta_{0,0}}} {1+\frac{1}{2k-1}\frac{\hbar_n(p)\hbar_m(q)\Xi_{0,0}}{\Delta_n(p)\Delta_m(q)\Theta_{0,0}}} =\frac{2k\rho(k)}{1+\rho(k)},
\end{equation}
\tag{Б.10}
$$
где мы ввели обозначение $\frac{\Xi_{0,0}}{(2k-1)\Theta_{0,0}}=\rho^0$. Функция $\rho(k)$ в (Б.10) есть дискретный плосковолновой множитель (1.4) с $i=j=1$.
Приложение В. Список обозначений для решений уравнений АБСВведем некоторые обозначения, где индексы D и J отвечают матрице $ \boldsymbol \Gamma$ диагонального вида и матрице $ \boldsymbol \Gamma$ в жордановой форме. • Плосковолновой множитель
$$
\begin{equation*}
\rho_s=\prod^{n-1}_{i=0}\biggl(\frac{f_ip+k_s}{f_ip-k_s}\biggr)\prod^{m-1}_{j=0}\biggl(\frac{g_jq+k_s}{g_jq-k_s}\biggr)\rho_s^0.
\end{equation*}
\notag
$$
• Векторы размера $N$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \boldsymbol r_{\scriptscriptstyle{\mathrm D}}^{[N]}(\{k_s\}_1^N)&=(\rho_1,\rho_2,\ldots,\rho_N)^{\mathrm T}, \\ \boldsymbol r_{\mathrm J}^{[N]}(k_1)&=\biggl(\rho_1,\frac{\partial_{k_1}\rho_1}{1!},\ldots,\frac{\partial^{N-1}_{k_1}\rho_1}{(N-1)!}\biggr)^{\mathrm T}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
• Матрицы размера $N\times N$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \boldsymbol \Gamma^{[N]}_{\mathrm D}(\{k_s\}^N_1)&=\operatorname{diag}(k_1, k_2,\ldots,k_N), \\ \boldsymbol \Gamma^{[N]}_{\mathrm J}(a)&=\begin{pmatrix} a & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & a & 0 & \ddots & \vdots \\ 0 & 1 & a & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots &\ddots &\ddots & 0 \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & a\vphantom{\ddots} \end{pmatrix}, \\ \boldsymbol F^{[N]}_{\mathrm D}(\{k_s\}^N_1)&=\operatorname{diag}(\rho_1,\rho_2,\ldots,\rho_N), \\ \boldsymbol H^{[N]}_{\mathrm D}(\{c_s\}^N_1)&=\operatorname{diag}(c_1,\ldots,c_N), \\ \boldsymbol F^{[N]}_{\mathrm J}(k_1)&=\begin{pmatrix} \rho_1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \frac{\partial_{k_1}\rho_1}{1!} & \rho_1 & 0 & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^{2}_{k_1}\rho_1}{2!} & \frac{\partial_{k_1}\rho_1}{1!} & \rho_1 & \ddots & 0 \\ \vdots &\ddots &\ddots & \ddots & 0\\ \frac{\partial^{N-1}_{k_1}\rho_1}{(N-1)!} & \ldots & \frac{\partial^{2}_{k_1}\rho_1}{2!} & \frac{\partial_{k_1}\rho_1}{1!} & \rho_1 \end{pmatrix}, \\ \boldsymbol H^{[N]}_{\mathrm J}(\{c_s\}^N_1)&=\begin{pmatrix} c_1 & \ldots & c_{N-2} & c_{N-1} & c_N \\ \vdots & {}\ .^{\displaystyle\,.\,^{{}_{\displaystyle.}}}\ {} & c_{N-1} & c_N & 0 \\ c_{N-2} & {}\ .^{\displaystyle\,.\,^{{}_{\displaystyle.}}}\ {} & c_N & 0 & 0 \vphantom{\vdots}\\ c_{N-1} & {}\ .^{\displaystyle\,.\,^{{}_{\displaystyle.}}}\ {} & {}\ .^{\displaystyle\,.\,^{{}_{\displaystyle.}}}\ {} & {}\ .^{\displaystyle\,.\,^{{}_{\displaystyle.}}}\ {} & \vdots\\ c_N & 0 & 0 & \ldots & 0\vphantom{\vdots} \end{pmatrix}, \\ \boldsymbol G^{[N]}_{\mathrm D}(\{k_s\}^N_1)&=(g_{i,j})_{N\times N},\qquad g_{i,j}=\frac{1}{k_i+k_j}, \\ \boldsymbol G^{[N]}_{\mathrm J}(a)&= \boldsymbol G^{[N,N]}_{\mathrm{JJ}}(a;a)=(g_{i,j})_{N\times N},\qquad g_{i,j}^{}=\mathrm{C}^{i-1}_{i+j-2}\frac{(-1)^{i+j}}{(2a)^{i+j-1}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
• Матрицы размера $N_1\times N_2$
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \boldsymbol G^{[N_1,N_2]}_{\mathrm{DJ}}(\{k_s\}^{N_1}_1;a)&=(g_{i,j})_{N_1\times N_2},&\qquad g_{i,j}&=-\biggl(\frac{-1}{k_i+a}\biggr)^{\!j}, \\ G^{[N_1,N_2]}_{\mathrm{JJ}}(a;b)&=(g_{i,j})_{N_1\times N_2},&\qquad g_{i,j}^{}&=\mathrm{C}^{i-1}_{i+j-2}\frac{(-1)^{i+j}}{(a+b)^{i+j-1}}, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathrm C^i_j=\frac{j!}{i!\,(j-i)!}$, $j\geqslant i$. • Матрица размера $N\times N$ вида
$$
\begin{equation*}
\mathcal B=\begin{pmatrix} a_0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ a_1 & a_0 & 0 & \ddots &\vdots \\ a_2 & a_1 & a_0 & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots &\ddots & 0 \\ a_{N-1} & \ldots & a_2 & a_1 & a_0 \vphantom{\ddots} \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
со скалярными элементами $\{a_j\}$, которая является нижнетреугольной тёплицевой матрицей $N$-го порядка. Все такие матрицы образуют коммутативное относительно матричного произведения множество $\widetilde G^{[N]}$, а множество
$$
\begin{equation*}
G^{[N]}=\bigl\{\mathcal B\colon \mathcal B\in\widetilde G^{[N]},\,|\mathcal B|\neq 0\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
есть абелева группа. Матрицы такого типа полезны при записи точного решения солитонных уравнений [43], [44].
Приложение Г. Список обозначений для решений решеточных уравнений типа Буссинеска• Диагональная матрица размера $N_{i1}\times N_{i1}$
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol \Lambda^{[N_{i1}]}_{\mathrm D}(\{k_{i,j}\}_{j=1}^{N_{i1}})=\operatorname{diag}(k_{i,1},k_{i,2},\ldots,k_{i,N_{i1}}).
\end{equation*}
\notag
$$
• Жорданова матрица размера $N_{ij}\times N_{ij}$
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol \Lambda^{[N_{ij}]}_{\mathrm J}(a)=\begin{pmatrix} a & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & a & 0 & \ddots & \vdots \\ 0 & 1 & a & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots &\ddots &\ddots & 0 \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & a\vphantom{\ddots} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
• Нижнетреугольная тёплицева матрица размера $N\times N$
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol T^{[N]}(\{a_i\}^N_1)=\begin{pmatrix} a_1 & 0 & \ldots & 0 \\ a_2 & a_1 & \ddots &\vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ a_N & \ldots & a_2 & a_1 \vphantom{\ddots} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
• Косотреугольная тёплицева матрица размера размера $N\times N$
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol H^{[N]}(\{b_j\}^N_1)=\begin{pmatrix} b_1 & \ldots & b_{N-1} & b_N \\ \vdots & {}\ .^{\displaystyle\,.\,^{{}_{\displaystyle.}}}\ {} & b_N & 0 \\ b_{N-1} & {}\ .^{\displaystyle\,.\,^{{}_{\displaystyle.}}}\ {} & {}\ .^{\displaystyle\,.\,^{{}_{\displaystyle.}}}\ {} & \vdots\\ b_N & 0 & \ldots & 0\vphantom{\vdots} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Дополнительно мы вводим следующие обозначения: • плосковолновой множитель
$$
\begin{equation*}
\tau_{i,\iota}=\prod_{l=0}^{n-1}(\mathcal F_lp+k_{i,\iota}) \prod_{h=0}^{m-1}(\mathcal G_hq+k_{i,\iota})\tau_{i,\iota}^0
\end{equation*}
\notag
$$
с постоянными $\tau_{i,\iota}^0$; • плосковолновой множитель
$$
\begin{equation*}
\varsigma_{j,\kappa}=\prod_{l=0}^{n-1}(\mathcal F_lp+\omega^jk_{j,\kappa})^{-1} \prod_{h=0}^{m-1}(\mathcal G_hq+\omega^jk_{j,\kappa})^{-1}\varsigma_{j,\kappa}^0
\end{equation*}
\notag
$$
с постоянными $\varsigma_{j,\kappa}^0$; • матрицы размера $N_i\times N_j$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \boldsymbol G'_{\mathrm{DD}}(\{k_{i,\iota}\}_{\iota=1}^{N_{i1}};\{\omega^jk_{j,\kappa}\}_{\kappa=1}^{N_{j1}})& =\biggl(\frac{1}{k_{i,\iota}-\omega^jk_{j,\kappa}}\biggr)_{\iota,\kappa}, \\ \boldsymbol G'_{\mathrm{DJ}}(\{k_{i,\iota}\}_{\iota=1}^{N_i};\omega^jb)& =\biggl(\frac{1}{(\kappa-1)!}\,\partial^{\kappa-1}_b\frac{1}{k_{i,\iota}-\omega^jb}\biggr)_{\iota,\kappa}, \\ \boldsymbol G'_{\mathrm{JD}}(a;\{\omega^jk_{j,\kappa}\}_{\kappa=1}^{N_j})& =\biggl(\frac{1}{(a-\omega^jk_{j,\kappa})^{\iota}}\biggr)_{\iota,\kappa}, \\ \boldsymbol G'_{\mathrm{JJ}}(a;\omega^jb)&=\biggl(\frac{1}{(\kappa-1)!}\,\partial^{\kappa-1}_b\frac{1}{(a-\omega^jb)^{\iota}}\biggr)_{\iota,\kappa}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ZhaYanSun24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|