| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Нелинейные волны в параболическом уравнении с оператором растяжения пространственного аргумента и запаздыванием Е. П. Кубышкин, В. А. Куликов Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Ярославль, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 220, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924080063 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеНелинейные волны (пространственно неоднородные решения), возникающие в нелинейных распределенных динамических системах, находят широкое применение при объяснении различных физических явлений, а также используются при решении прикладных задач, в частности в оптических и волоконно-оптических системах связи, как носители информации. Их пространственная неоднородность используется для кодирования и уплотнения информации. Работа посвящена изучению условий и механизмов возникновения нелинейных волн в математической модели генератора оптического излучения с оператором преобразования пространственных координат в контуре двумерной запаздывающей обратной связи и тонким слоем нелинейной среды. Математическая модель описывается уравнением динамики фазовой модуляции в нелинейной оптической системе и представляет собой начально-краевую задачу для дифференциального уравнения параболического типа с оператором преобразования пространственного аргумента в нелинейном функционале обратной связи. Уравнение рассматривается в области, определяемой апертурой светового излучения, с условиями непроницаемости на границе. Первые экспериментальные результаты образования пространственно неоднородных структур и волн в различных нелинейных оптических системах были получены в конце 80-х годов прошлого столетия и опубликованы в работах [1]–[3]. Такие структуры возникают в плоскости, ортогональной направлению распространения световой волны. Их возникновение обусловлено нелинейностью системы, которая обеспечивается тонким слоем нелинейной проводящей среды и контуром двумерной обратной связи с оператором пространственного преобразования световой волны в плоскости излучения оптического генератора. В указанных работах также предложена математическая модель для описания этого явления и приведены результаты ее численного анализа в случае оператора поворота плоскости световой волны. Подробное построение математической модели приведено в книге [4]. Начально-краевая задача и различные ее обобщения изучались в большом количестве работ. Отметим некоторые из них. В большинстве работ начально-краевая задача рассматривается на окружности [5]–[7] и с оператором поворота пространственного аргумента на фиксированный угол. Изучается возможность бифуркации из однородного состояния равновесия пространственно неоднородного периодического решения (бифуркация Андронова–Хопфа), исследуется его устойчивость. В работе [8] указанная краевая задача изучается в предположении малости коэффициента диффузии, где cтроится асимптотика бегущих волн. В работе [9] также рассмотрен случай малого коэффициента диффузии. Задача построения бегущих волн сводится к решению аналогичной задачи для некоторой более простой параболической системы, названной квазинормальной формой. В работе [10] рассматривается возможность бифуркации неоднородных по пространственной переменной периодических решений в начально-краевой задаче с оператором поворота в круге. Показана возможность бифуркации ротационных волн. В работах [11], [12] начально-краевая задача рассмотрена в многомерной области с оператором преобразования достаточно общего вида. Сформулированы условия на возможность бифуркации из однородного состояния равновесия пространственно неоднородного периодического решения, предложен алгоритм построения такого решения. Модель работы [1] не учитывает фактора временно́го запаздывания в контуре обратной связи. Учет временно́го запаздывания выполнен в работах [13], [14], где для математической модели работы [1] на окружности с запаздывающим аргументом в функционале обратной связи показана возможность бифуркации из однородного состояния равновесия пространственно неоднородных бегущих волн и исследуется их устойчивость. Для круговой области математическая модель с запаздывающим аргументом в функционале обратной связи рассмотрена в работах [15], [16]. Показана возможность бифуркации из однородных состояний равновесия ротационных волн и инвариантных торов. В настоящей работе изучаются бифуркации автоколебательных решений из однородных состояний равновесия указанной выше начально-краевой задачи в круге для нелинейного дифференциального уравнения параболического типа с оператором растяжения пространственного аргумента и временны́м запаздыванием в нелинейном функционале обратной связи. Такой вид преобразования пространственных координат может быть легко реализуем практически. Для этого в контуре обратной связи ставится специальная линза. Исследуются динамика однородных состояний равновесия и их устойчивость в зависимости от параметров начально-краевой задачи. В плоскости параметров управления (коэффициента усиления и величины запаздывания) с использованием метода $D$-разбиений построены области устойчивости (неустойчивости) однородных состояний равновесия. Исследована динамика областей устойчивости в зависимости от величины коэффициента растяжения пространственного аргумента начально-краевой задачи, изучены возможные механизмы потери устойчивости однородными состояниями равновесия. Показана возможность бифуркации Андронова–Хопфа с двукратным числом собственных функций. С использованием метода центральных многообразий и теории бифуркаций исследованы бифуркации пространственно неоднородных автоколебательных решений при изменении параметров управления, а также их устойчивость. Показана возможность бифуркации устойчивых ротационных и спиральных волн. 2. Математическая постановка задачиДля функционально-дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом
$$
\begin{equation}
u_t(\rho,\phi,t)+u(\rho,\phi,t)=D\Delta_{\rho \phi} u(\rho,\phi,t) +\alpha^{-2}K(1+\gamma \cos (u(\rho/\alpha,\phi,t-T)))
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
относительно функции $u(\rho,\phi,t+s)$, заданной в полярных координатах $0\leqslant \rho \leqslant R$, $0 \leqslant \phi \leqslant 2\pi$ ($R>0$) и $t \geqslant 0$, $-T \leqslant s \leqslant 0$ ($T>0$), в котором $\Delta_{\rho \phi}$ – оператор Лапласа, записанный в полярных координатах, выражение $u(\rho/\alpha,\phi,t)$ ($\alpha >1$) задает оператор растяжения пространственных координат, $D$, $K$ – положительные постоянные, $0 < \gamma < 1$, в области $ \kern1.9pt\overline{\vphantom{K}\kern7.2pt}\kern-9.0pt K\kern0.2pt _R \times \mathbb R ^+$, где
$$
\begin{equation*}
\kern1.9pt\overline{\vphantom{K}\kern7.2pt}\kern-9.0pt K\kern0.2pt _R=\{(\rho,\phi)\colon 0\leqslant \rho \leqslant R,0 \leqslant \phi \leqslant 2\pi \},\qquad \mathbb R ^+ =\{t\colon 0 \leqslant t <\infty \},
\end{equation*}
\notag
$$
рассматривается начально-краевая задача вида
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u_{\rho}(R,\phi,t)=0,\qquad u(\rho,0,t)=u(\rho,2\pi,t),\qquad u_{\phi}(\rho,0,t)=u_{\phi}(\rho,2\pi,t), \notag \\ u(\rho,\phi,t+s)|_{t=0} =u_0(\rho,\phi,s) \in H_0(K_R;-T,0). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
В задаче (2.2) пространство начальных условий определяется как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_0(K_R;-T,0) ={}& \{u(\rho,\phi,s)\!: u(\rho,\phi,s) \in C( \kern1.9pt\overline{\vphantom{K}\kern7.2pt}\kern-9.0pt K\kern0.2pt _R \times [-T,0]),\,\text{при каждом}\, s \\ & u(\rho,\phi,s) \in H^2(K_R), u(\rho,0,s)=u(\rho,2\pi,s), u_{\phi}(\rho,0,s)=u_{\phi}(\rho,2\pi,s)\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где пространство функций $H^2(K_R) \subset W_2^2(K_R)$ и получено замыканием множества функций $\{u(\rho,\phi)\colon u(\rho,\phi) \in C^2( \kern1.9pt\overline{\vphantom{K}\kern7.2pt}\kern-9.0pt K\kern0.2pt _R),\, u_\rho(R,\phi) = 0,\, u(\rho,0)=u(\rho,2\pi),\, u_{\phi}(\rho,0)=u_{\phi}(\rho,2\pi)\}$ в метрике пространства функций $W_2^2(K_R)$. Обозначим через $L_2(K_R)$ пространство вещественнозначных определенных в круге $K_R$ функций $u(\rho,\phi)$, для которых
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|u(\rho,\phi)\|_{L_2}=(u(\rho,\phi),u(\rho,\phi))_{L_2}^{1/2}<\infty,\\ (u(\rho,\phi),v(\rho,\phi))_{L_2}=\int_{K_R}\rho u(\rho,\phi)v(\rho,\phi)\, d\rho\, d\phi. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и ниже $W_2^2(K_R) \subset L_2(K_R)$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W_2^2(K_R)={}&\{u(\rho,\phi)colon \|u(\rho,\phi)\|_{W_2^2}=(u(\rho,\phi),u(\rho,\phi))_{W_2^2}^{1/2} < \infty,\\ & \qquad (u(\rho,\phi),v(\rho,\phi))_{W_2^2} = (u(\rho,\phi),v(\rho,\phi))_{L_2} + (\Delta_{\rho \phi}u(\rho,\phi),\Delta_{\rho \phi}v(\rho,\phi))_{L_2}\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
$C( \kern1.9pt\overline{\vphantom{K}\kern7.2pt}\kern-9.0pt K\kern0.2pt _R)$ и $C^2( \kern1.9pt\overline{\vphantom{K}\kern7.2pt}\kern-9.0pt K\kern0.2pt _R)$ – пространства непрерывных и дважды непрерывно дифференцируемых в $ \kern1.9pt\overline{\vphantom{K}\kern7.2pt}\kern-9.0pt K\kern0.2pt _R$ функций, для которых определена норма
$$
\begin{equation*}
\|u(\rho,\phi)\|_C=\max _{\rho,\phi}|u(\rho,\phi)|, \qquad \|u(\rho,\phi)\|_{C^2}=\|u(\rho,\phi)\|_C+\|\Delta_{\rho \phi} u(\rho,\phi)\|_C < \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Фазовым пространством начально-краевой задачи (2.1), (2.2) является пространство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H(K_R;-T,0) ={}& \{u(\rho,\phi,s)\!: u(\rho,\phi,s) \in L_2( K_R)\\ & \qquad \text{при каждом }\, -T \leqslant s \leqslant 0, \|u(\rho,\phi,s)\|_{L_2}\in C([-T,0])\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
норму в котором определим как
$$
\begin{equation*}
\|u(\rho,\phi,s)\|_{H} = \max_{s}\|u(\rho,\phi,s)\|_{L_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Областью определения правой части уравнения (2.1) является пространство $H_0(K_R;-T,0)$. Норму в $H_0(K_R;-T,0)$ определим как
$$
\begin{equation*}
\|u(\rho,\phi,s)\|_{H_0} = \max _{s}\|u(\rho,\phi,s)\|_{W^2_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Под решением начально-краевой задачи (2.1), (2.2), определенным при $t>0$, будем понимать функцию $u(\rho,\phi,t+s) \in H_0(K_R;-T,0)$ (при каждом $t>0$), непрерывно дифференцируемую по $t$ при $t>0$, обращающую уравнение (2.1) в тождество и удовлетворяющую начальным условиям (2.2). Решение начально-краевой задачи (2.1), (2.2) может быть построено методом шагов следующим образом. Решение $u(\rho,\phi,t+s)$ начально-краевой задачи (2.1), (2.2) построим последовательно на отрезках $t_{k-1} \leqslant t \leqslant t_k$, $t_k=Tk$, $k=1,2,\dots$, $t_0=0$. Значения $u(\rho,\phi,t)$ на указанных отрезках обозначим соответственно через $u^{(k)}(\rho,\phi,t)$, $u^{(0)}(\rho,\phi,t-T)\equiv u_0(\rho,\phi,t-T)$. В результате для определения $u^{(k)}(\rho,\phi,t)$ получим рекуррентную последовательность начально-краевых задач вида
$$
\begin{equation}
u_t^{(k)}+u^{(k)}-D\Delta_{\rho \phi} u^{(k)}=\alpha^{-2}K(1+\gamma \cos (u^{(k-1)}(\rho/\alpha,\phi,t - T))) \equiv f^{(k)}(\rho,\phi,t), \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
u^{(k)}_{\rho}(R,\phi,t)=0,\qquad u^{(k)}(\rho,0,t)=u^{(k)}(\rho,2\pi,t), \qquad u_{\phi}^{(k)}(\rho,0,t)=u_{\phi}^{(k)}(\rho,2\pi,t),
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
$$
\begin{equation}
u^{(k)}(\rho,\phi,t_{k-1}) =u^{(k-1)}(\rho,\phi,t_{k-1}),\quad u^{(1)}(\rho,\phi,0)=u_0(\rho,\phi,0),\quad k=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
в которых правая часть уравнений (2.3) и начальные условия (2.5) – на каждом шаге вполне определенные функции. Решения задач (2.3)–(2.5) задаются формулой
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u^{(k)}(\rho,{}&\phi,t) = \int_{K_R}\rho_1 G(\rho,\phi,t-t_{k-1},\rho_1,\phi_1)u^{(k-1)}(\rho_1,\phi_1,t_{k-1})\,d\rho_1\,d\phi_1 +{} \notag \\ &+\int_{t_{k-1}}^t \int_{K_R}\rho_1 G(\rho,\phi,t-\tau,\rho_1,\phi_1)f^{(k)}(\rho_1,\phi_1,\tau)\,d\rho_1\,d\phi_1\,d\tau,\quad k=1,2,\dots, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где $G(\rho,\phi,t,\rho_1,\phi_1)$ – функция Грина однородной части (при $f^{(k)}(\rho,\phi,t) \equiv 0$) краевой задачи (2.3), (2.4). Из (2.6) также следуют единственность решения начально-краевой задачи (2.1), (2.2) и его непрерывная зависимость от начальных условий и параметров уравнения, т. е. корректность поставленной начально-краевой задачи, а также нарастание гладкости решения по переменной $t$ при $t \to \infty$, свойственное решениям уравнений с запаздывающим аргументом. В работе изучаются условия и характер потери устойчивости однородными состояниями равновесия $u_*(K,\alpha,\gamma)$ и обусловленные этим бифуркации пространственно неоднородных автоколебательных решений начально-краевой задачи (2.1), (2.2), а также их устойчивость. 3. Анализ устойчивости однородных состояний равновесия начально-краевой задачи (2.1), (2.2)Однородные состояния равновесия $u_*\!=u_*(K,\alpha,\gamma)$ начально-краевой задачи (2.1), (2.2) определяются как решения уравнения Это уравнение в зависимости от $K, \alpha$ и $\gamma$ может иметь несколько решений, в том числе кратные. Исследуем условия возникновения состояний равновесия, их устойчивость и механизмы потери устойчивости в зависимости от параметров уравнения (2.1).Выберем одно из решений $u_*=u_*(K,\alpha,\gamma)$ уравнения (3.1) и запишем начально-краевую задачу (2.1), (2.2) в его окрестности, осуществив замену $u(\rho,\phi,t) \to u_*(K,\alpha,\gamma) + u(\rho,\phi,t)$. В результате получим начально-краевую задачу
$$
\begin{equation}
u_t(\rho,\phi,t)+u(\rho,\phi,t)=D\Delta_{\rho \phi} u(\rho,\phi,t) -bu(\rho/\alpha,\phi,t - T) +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
{}+ \frac12 b_2u(\rho/\alpha,\phi,t - T)^2+\frac16 bu(\rho/\alpha,\phi,t-T)^3+\cdots,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
$$
\begin{equation}
u_{\rho}(R,\phi,t)=0,\qquad u(\rho,0,t)=u(\rho,2\pi,t),\qquad u_{\phi}(\rho,0,t)=u_{\phi}(\rho,2\pi,t), \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
b=b(K,\alpha,\gamma)=u_*(K,\alpha,\gamma)\frac{\gamma \sin(u_*(K,\alpha,\gamma))}{1+\gamma \cos (u_*(K,\alpha,\gamma))},
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
$$
\begin{equation}
b_2=b_2(K,\alpha,\gamma)=-u_*(K,\alpha,\gamma)\frac{\gamma \cos(u_*(K,\alpha,\gamma))}{1+\gamma \cos (u_*(K,\alpha,\gamma))},
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где точками обозначены слагаемые, имеющие по $u(\rho/\alpha,\phi,t - T)$ более высокий порядок малости в норме $H_0(K_R;-T,0)$. Рассмотрим линейную часть (3.2), (3.3)
$$
\begin{equation}
u_t(\rho,\phi,t)+u(\rho,\phi,t) = D\Delta_{\rho \phi}u(\rho,\phi,t)-bu(\rho/\alpha,\phi,t - T),
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
$$
\begin{equation}
u_{\rho}(R,\phi,t)=0,\qquad u(\rho,0,t)=u(\rho,2\pi,t),\qquad u_{\phi}(\rho,0,t)=u_{\phi}(\rho,2\pi,t), \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
Определяя решения (3.6), (3.7) вида $u(\rho,\phi,t)=u(\rho, \phi) e^{\lambda t}$ (решения Эйлера), где $\lambda \in \mathbb C$, получим пучок операторов
$$
\begin{equation}
P(\lambda)u(\rho, \phi) \equiv \lambda u(\rho, \phi) + u(\rho, \phi) - D\Delta_{\rho, \phi} u(\rho, \phi) + bu(\rho/\alpha, \phi) e^{- \lambda T},
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
действующий в $\tilde L_{2}(K_R)$ с областью определения $\tilde H^{2}(K_R)$, точки спектра которого определяют устойчивость решений начально-краевой задачи (3.6), (3.7), а соответствующие им собственные функции – решения искомого вида. Знаком “тильда” мы обозначаем комплексное расширение соответствующего функционального пространства, скалярное произведение и норма в котором обобщается стандартным образом. Представим $u(\rho,\phi) \in H^{2}(K_R)$ в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u(\rho,\phi) =u_{00}(\rho)v_{00} + \sum_{n=-\infty}^\infty \sum_{j=1}^\infty u_{nj}(\rho)e^{in\phi}v_{nj},\quad u_{00}(\rho) = \frac{1} {\sqrt \pi R},\quad u_{nj}(\rho)=\frac{R_{nj}(\rho)}{(2\pi)^{1/2}}, \\ R_{nj}(\rho)=\frac{\sqrt 2/R J_n(\gamma_{nj}\rho/R)}{(1-n^2/\gamma_{jn}^2)^{1/2}|J_n(\gamma_{nj})|}, \quad n \geqslant 0,\quad R_{-nj}(\rho) = R_{nj}(\rho), \\ (R_{nj}(\rho),R_{np}(\rho))_{L_2(0,R)}=\int_0^R \rho R_{nj}(\rho)R_{np}(\rho)\,d\rho =\delta_{jp}, \\ i=\sqrt{-1}, \qquad v_{00}, v_{0j} \in \mathbb R,\qquad v_{nj}\in \mathbb C,\qquad v_{-nj}=\bar v_{nj}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
где $J_n(\rho)$ – функции Бесселя первого рода $n$-го порядка, $\gamma_{nj}$ – $j$-й положительный ноль функции $J_n^{\prime}(\rho)$, $\gamma_{00} = 0$, $\delta_{jp}$ – символ Кронекера,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, v_{0} = (v_{00}, v_{01},v_{02},\dots)\in l_2^2 \subset l_2,\\ l_2^2 =\biggl\{v = (v_0,v_1,v_2,\dots), v_{k} \in \mathbb R\colon \|v\|_{l_2^2} = \biggl(v_{0}^2 + \sum_{k=1}^{\infty} k^4v_{k}^2\biggr)^{\!1/2} <\infty\biggr\}, \\ v_{n} = (0,v_{n1}, v_{n2},v_{n3},\dots) \in \tilde l_{\,2}^{\,2} \subset \tilde l_2,\\ \tilde l_{\,2}^{\,2} = \biggl\{v=(v_0,v_1,v_2,v_3,\dots), v_{k} \in \mathbb C\colon \|v\|_{\tilde l_{\,2}^{\,2}} = \biggl(|v_0|^2+\sum_{k=1}^{\infty} k^4|v_{k}|^2\biggr)^{\!1/2} <\infty\biggr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Функции $u_{00}(\rho), u_{0j}(\rho), u_{nj}(\rho)e^{in\phi}, u_{-nj}(\rho)e^{-in\phi}$, $j,n=1,2,\dots$, являясь полной системой собственных функций оператора Лапласа, образуют ортогональный базис в $\tilde H^{2}(K_R)$ и ортонормированный базис в $\tilde L_{2}(K_R)$, т. е. $v_{0} \in l_2^2$ и $v_{n} \in \tilde l_{\,2}^{\,2}$ определяются однозначно. Подставим ряд (3.9) в тождество (3.8) и спроецируем на $u_{00}(\rho)$, $u_{0j}(\rho)$, $u_{nj}(\rho)e^{in\phi}$, $u_{-nj}(\rho)e^{-in\phi}$, $j,n=1,2,\dots$ . В результате получим последовательность операторных уравнений в пространстве $\tilde l_2$ с областью определения $\tilde l_{\,2}^{\,2}$ вида для определения $v_{n} \in \tilde l_{\,2}^{\,2}$, где $P^{(n)}(\lambda,\alpha)$ – бесконечномерные матрицы c элементами
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, P^{(n)}_{jj}(\lambda,\alpha)=\lambda + 1 + D\gamma_{nj}^2 +ba^{(n)}_{jj}(\alpha)e^{-\lambda T}, \quad P^{(n)}_{jq}(\lambda,\alpha)=ba^{(n)}_{jq}(\alpha)e^{-\lambda T},\quad j \ne q, \notag \\ \\ a^{(n)}_{jq}(\alpha) = \int_0^R \rho R_{nq}(\rho/\alpha)R_{np}(\rho)\,d\rho, \notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
$j,q = 0,1,\dots$ при $n=0$ и $j,q = 1,2,\dots$ при $n>0$. Отметим, что коэффициенты $a^{(n)}_{jq}(\alpha) \to 0$ при $j,q \to \infty$. Совокупность значений $\lambda^{(n)}_*$, при которых операторные уравнения (3.10) имеют ненулевые решения $v^{(n)}_{*} \in \tilde l_{\,2}^{\,2}$, определяет множество точек спектра пучка операторов (3.8), а решения $v^{(n)}_{*}$ с учетом (3.9) – соответствующие собственные функции. Анализ расположения $\lambda^{(n)}_*$ позволяет построить в пространстве параметров области устойчивости решений начально-краевой задачи (3.6), (3.7), т. е. исследовать условия потери устойчивости состоянием равновесия $u_*= u_*(K,\alpha,\gamma)$. Воспользуемся для этого методом $D$-разбиения [17]. Рассмотрим для каждого $n$ последовательность “усеченных” конечномерных матриц $P_N^{(n)}(\lambda,\alpha)$, в которых $j,q = 0,1,\dots,N$ при $n=0$ и $j,q = 1,2,\dots,N$ при $n>0$. Приравняем к нулю определитель матрицы $P_N^{(n)}(\lambda,\alpha)$ и выделим в этом равенстве элемент $P^{(n)}_{jj}(\lambda,\alpha)$. В результате получим выражение
$$
\begin{equation}
\lambda+ 1 + D\gamma_{nj}^2 +ba^{(n)}_{jj}(\alpha)e^{-\lambda T} + \Delta_{N}^{(nj)}(b,T,\lambda,\alpha) = 0,
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
в котором функция $\Delta_{N}^{(nj)}(b,T,\lambda,\alpha)$ получена в результате объединения выражений, не содержащих $P^{(n)}_{jj}(\lambda,\alpha)$, и при этом $ a^{(n)}_{jj}(1)=1, \Delta_{N}^{(nj)}(b,T,\lambda,1) \equiv 0$. Положив в (3.12) в соответствии с методом $D$-разбиений [17] $\lambda = i\omega$, $\omega \geqslant 0$, имеем
$$
\begin{equation}
i\omega + 1 + D\gamma_{nj}^2 +ba^{(n)}_{jj}(\alpha)e^{-i\omega T} + \Delta_{N1}^{(nj)}(b,T,\omega,\alpha) + i \Delta_{N2}^{(nj)}(b,T,\omega,\alpha)=0.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Выделив в (3.13) вещественную и мнимую части, получим систему уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1 + D\gamma_{nj}^2 +ba^{(n)}_{jj}(\alpha)\cos(\omega T) + \Delta_{N1}^{(nj)}(b,T,\omega,\alpha) &=0, \\ \omega - ba^{(n)}_{jj}(\alpha)\sin(\omega T) + \Delta_{N2}^{(nj)}(b,T,\omega,\alpha) &= 0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
из которых находим
$$
\begin{equation}
b = b(\omega) =\frac{(-1)^{k+1}(1 + D\gamma_{nj}^2 + \Delta_{N1}^{(nj)}(b,T,\omega,\alpha))}{a^{(n)}_{jj}(\alpha)\cos(\operatorname{arctg}((\omega + \Delta_{N2}^{(nj)}(b,T,\omega,\alpha)) /(1+D\gamma_{nj}^2 + \Delta_{N1}^{(nj)}(b,T,\omega,\alpha))))},
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
$$
\begin{equation}
T = T(\omega) =\omega^{-1}\biggl(\pi k - \operatorname{arctg}\biggl(\frac{\omega + \Delta_{N2}^{(nj)}(b,T,\omega,\alpha)}{1+D\gamma_{nj}^2 + \Delta_{N1}^{(nj)}(b,T,\omega,\alpha)}\biggr)\biggr),\qquad k=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
При этом $\Delta_{N1}^{(nj)}(b,T,\omega,1) \equiv 0$, $\Delta_{N2}^{(j)}(b,T,\omega,1) \equiv 0$. Выражения (3.14), (3.15) определяют совокупность кривых $ b(\omega), T(\omega)$ в плоскости $(b,T)$, заданных в неявном виде, на которых пучок операторов (3.8) имеет точки спектра, расположенные на мнимой оси комплексной плоскости. Это дает возможность построить в плоскости $(b,T)$ (при фиксированных других параметрах) область устойчивости решений начально-краевой задачи (3.6), (3.7). Построим итерационный процесс
$$
\begin{equation}
b^{(p)}(\omega) =(-1)^{k+1}\frac{1 + D\gamma_{nj}^2 + \Delta_{N1}^{(nj)}(b^{(p-1)}(\omega),T^{(p-1)}(\omega),\omega,\alpha)}{B^{(p)}(\omega)}, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
B^{(p)}(\omega) =a^{(n)}_{jj}(\alpha)\cos\biggl(\operatorname{arctg}\biggl(\frac{\omega + \Delta_{N2}^{(nj)}(b^{(p-1)}(\omega),T^{(p-1)}(\omega),\omega,\alpha)} {1+D\gamma_{nj}^2 + \Delta_{N1}^{(nj)}(b^{(p-1)}(\omega),T^{(p-1)}(\omega),\omega,\alpha)}\biggr)\biggr),
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
$$
\begin{equation}
T^{(p)}(\omega) =\omega^{-1}\biggl(\pi k - \operatorname{arctg}\biggl(\frac{\omega + \Delta_{N2}^{(nj)}(b^{(p-1)}(\omega),T^{(p-1)}(\omega),\omega,\alpha)} {1+D\gamma_{nj}^2 + \Delta_{N1}^{(nj)}(b^{(p-1)}(\omega),T^{(p-1)}(\omega),\omega,\alpha)}\biggr)\biggr),
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
$$
\begin{equation}
\qquad \qquad k=1,2,\dots, \quad p=1,2,\dots\,. \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
При $\alpha = 1$ функции $b(\omega) = b^{(0)}(\omega)$, $T(\omega) = T^{(0)}(\omega)$ в (3.16), (3.17) выражаются явно. Немного увеличим параметр $\alpha$ и выберем в качестве начального приближения $b^{(0)}(\omega)$, $T^{(0)}(\omega)$, полученные при $\alpha = 1$. Итерационный процесс (3.16), (3.17) достаточно быстро сходится как по $p$, так и по $N$ в силу свойств функций $\Delta_{N1}^{(nj)}(b,T,\omega,\alpha)$, $\Delta_{N2}^{(nj)}(b,T,\omega,\alpha)$ и достаточно быстрого стремления к нулю коэффициентов $a^{(n)}_{jq}(\alpha)$ при $j \ne q$. Вновь увеличим немного параметр $\alpha$ и выбрем в качестве начального приближения $b^{(0)}(\omega)$, $T^{(0)}(\omega)$ выражения, полученные для предыдущего значения $\alpha$. Получим сходящийся итерационный процесс. Двигаясь таким образом по параметру $\alpha$, можно построить с любой степенью точности функции $b(\omega)$, $T(\omega)$ как решения уравнений (3.14), (3.15) и соответствующие им кривые в плоскости $(b,T)$ для различных значений $n$ и других параметров. Эти кривые необходимо дополнить прямыми $b=b_*$, где $b_*$ определяются как решения уравнения $\operatorname{det} P_N^{(n)}(0,\alpha)=0$, $N \to \infty$, и соответствуют нулевым точкам спектра пучка операторов (3.8). Это дает возможность построить картину $D$-разбиений плоскости параметров $(b,T)$ при других фиксированных параметрах (3.8). При этом посредством $D_j$ обозначаются области в плоскости $(b,T)$, при значении параметров из которых пучок операторов (3.8) имеет $j$ точек спектра, принадлежащих правой комплексной полуплоскости, а границы этих областей соответствуют точкам спектра, лежащим на мнимой оси. Заметим, что прямая $b=0$ согласно (3.10) принадлежит области $D_0$. Двигаясь от прямой $b=0$ в направлении увеличения и уменьшения параметра $b$ при $T>0$, определяем область $D_0$. Дополнительная проверка отсутствия точек спектра пучка операторов (3.8) в правой комплексной полуплоскости при значении параметров $(b,T) \in D_0$ осуществляется следующим образом. На внутренность области $D_0$ наносится сетка по $b$ и $Т$ с шагом $h>0$. В точках сетки вычисляется приращение функции $\operatorname{Arg} (\operatorname{det} P_N^{(n)}(\lambda,\alpha))$ при обходе в положительном направлении границы полукруга $\{\lambda = r e^{i\psi}, 0 \leqslant r \leqslant R, -\pi/2 \leqslant \psi \leqslant \pi/2 \}$. Равенство нулю приращения аргумента обеспечивает отсутствие корней уравнения $\operatorname{det} P_N^{(n)}(\lambda,\alpha)=0$ в точках указанного полукруга. Увеличивая $R$, получим аналогичное утверждение для правой комплексной полуплоскости. Границы областей $D_j$ в дальнейшем будем рассматривать в виде зависимости $T=T_j(b)$. Отметим, что анализ движения точек спектра пучка операторов (3.8) при изменении параметров $b$ и $T$, связанного с прохождением границы области $D_0$ (и других областей), требует отдельного рассмотрения. Об этом будет сказано ниже. Параметр $b$ не является параметром начально-краевой задачи (2.1), (2.2) (параметром математической модели), поэтому перестроим плоскость $(b,T)$ в плоскость параметров $(K,T)$. Используем для этого полученные из (3.1)–(3.4) выражения
$$
\begin{equation}
K=K(u)=\frac{\alpha^{2}u}{1+\gamma \cos (u)},\quad b=b(u)=\frac{u\gamma \sin(u)}{1+\gamma \cos (u)},\quad K^{\prime}(u)=\frac{\alpha^{2}(1+b(u))}{1+\gamma\ \cos (u)},
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
которые рассмотрим как функции состояния равновесия $u$. Обозначим через $U_k$, $k=1,2,\dots$, области на оси $u \geqslant 0$, в которых $b(u) > -1$. В этих областях функция $K(u)$ монотонно возрастает при увеличении $u$. Отметим, что состояния равновесия $u$ начально-краевой задачи (2.1), (2.2), для которых $b(u) < -1$, всегда неустойчивы, поэтому такие области рассматривать не будем. Выразим при $u \in U_j$ функции $u=u_k(K)$, $k=1,2,\dots$, и подставим в $b(u)$. В результате получим счетное число функций $b=b_k(K)=b(u_k(K))$. Подставим теперь эти функции в зависимости $T=T_j(b)$. В итоге получим уравнения $T=T_{jk}(K)= T_j(b_k(K))$ границ областей $D_j$ в плоскости $(K,T)$. При значениях параметров $K$, $T$, принадлежащих этим кривым, пучок операторов (3.1), построенных на состоянии равновесия $u_k(K)$, будет иметь точки спектра, принадлежащие мнимой оси комплексной плоскости. На рис. 1 для значений $D=0.1$, $\gamma =0.5$ и различных значений $\alpha$ приведены картины $D$-разбиений плоскости параметров $(K,T)$ характеристического уравнения (3.12) (пучка операторов (3.8)). Вычисления проводились для значений $N=5,6,7$. Наблюдалась хорошая сходимость результатов. На рис. 1 в соответствии с методом $D$-разбиений через $D_j$ обозначены области, при значении параметров из которых пучок операторов (3.8) имеет $j$ точек спектра, принадлежащих правой комплексной полуплоскости, а границы этих областей соответствуют точкам спектра, лежащим на мнимой оси. Кривые, отмеченные треугольником, относятся к состояниям равновесия, принадлежащим области $U_1$, кривые, отмеченные звездочкой, – к области $U_2$, кривые, отмеченные квадратом, – к области $U_3$. Каждая кривая имеет маркер (на рисунках они проставлены не везде), первая цифра которого показывает номер $n$, вторая – значение $j$ соответствующей собственной функции пучка операторов (3.8). Точками на рисунках условно обозначена совокупность границ областей $D_j$, не имеющих принципиального значения для рассматриваемой задачи. Из рис. 1 видно, что имеются значения параметров $\alpha,K, T$, при которых на границе области устойчивости $D_0$ (и других $D_j$) пучок операторов (3.8) имеет пару комплексно-сопряженных точек спектра $\pm i \omega_*, \omega_*>0$ (правая граница области $D_0$). Если при этом $n=0$, такой точке спектра $i \omega_*$ соответствует одна собственная функция
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u^*_{0j}(\rho)= \sum_{k=0}^\infty u_{0k}(\rho)v_{0k},\qquad v_{0} = (v_{00},v_{01},\dots) \in \tilde l^{\,2}_{\,2},\qquad P^{(0)}(i \omega_*,\alpha)v_0 =0,\\ \|u^*_{0j}(\rho)\|_{L_2}=1, \quad j>0,\qquad u^*_{00}(\rho) \equiv u^*_{00} = \mathrm{const}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Если $n \ne 0$, такой точке спектра $i\omega_*$ соответствуют две собственные функции $u^*_{nj}(\rho,\phi)=u^*_{nj}(\rho)e^{in\phi}$, $u^*_{-nj}(\rho,\phi)=u^*_{nj}(\rho)e^{-in\phi}$, $\|u^*_{nj}(\rho,\phi)\|_{L_2}=1$, где
$$
\begin{equation}
u^*_{nj}(\rho)=\sum_{j=1}^\infty u_{nj}(\rho)v_{nj},\quad v_{n} = (0,v_{n1},\dots) =(0,v_{*n})\in \tilde l^{\,2}_{\,2}, \quad P^{(n)}(i \omega_*,\alpha)v_{*n} =0.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Введем в рассмотрение сопряженный с (3.8) пучок операторов $P^*(\lambda)$ из условия
$$
\begin{equation*}
(P(\lambda)u(\rho, \phi),v(\rho, \phi))_{\tilde L_2} = (u(\rho, \phi), P^*(\lambda)v(\rho, \phi))_{\tilde L_2}, \qquad u(\rho, \phi),v(\rho, \phi) \in \tilde H^2(K_R).
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом равенства
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \int_0^{2\pi}\int_0^{R}\rho u(\rho/\alpha,\phi)\bar v(\rho,\phi)\, d\rho\, d\phi = \int_0^{2\pi}\int_0^{R_*}\rho u(\rho,\phi)Q_{\alpha_*}\bar v(\rho,\phi) \,d\rho\, d\phi,\\ \alpha_*=\frac{1}{\alpha},\qquad R_*=\frac{R}{\alpha}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
где
$$
\begin{equation}
Q_{\alpha_*} v(\rho,\phi) = \begin{cases} \alpha_*^{-2}v(\rho/\alpha_*,\phi), &0 \leqslant \rho \leqslant R_*,\\ 0,&R_*< \rho \leqslant R, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
– оператор сжатия, имеем вид сопряженного оператора
$$
\begin{equation}
P^*(\lambda)v(\rho, \phi) \equiv \lambda v(\rho, \phi) + v(\rho, \phi) - D\Delta_{\rho, \phi} v(\rho, \phi) + bQ_{\alpha_*}v(\rho, \phi) e^{- \lambda T}.
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
При этом если $\lambda_*$ – точка спектра пучка операторов (3.8), тогда $\bar \lambda_*$ – точка спектра пучка операторов (3.23). Таким образом, точке спектра $i\omega_*$ пучка операторов (3.8) отвечает точка спектра $- i\omega_*$ пучка операторов (3.23), а соответствующие ей собственные функции имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, v_{0j}^*(\rho)= \sum_{k=0}^\infty u_{0k}(\rho)w_{0k},\quad w_{0} = (w_{00},w_{01},\dots) \in \tilde l^{\,2}_{\,2},\quad P^{(0)*}(- i \omega_*,\alpha)w_0 =0,\quad j>0, \notag \\ v^*_{00}(\rho) \equiv v^*_{00} = \mathrm{const} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
при $n=0$ и
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, v^*_{nj}(\rho,\phi)=v^*_{nj}(\rho)e^{in\phi},\qquad v^*_{-nj}(\rho,\phi)=v^*_{nj}(\rho)e^{-in\phi}, \\ v^*_{nj}(\rho)=\sum_{k=1}^\infty u_{nk}(\rho)w_{nk},\qquad w_{n} = (0,w_{n1},\dots) =(0,w_{*n})\in \tilde l^{\,2}_{\,2}, \\ P^{(n)*}(-i \omega^*,\alpha)w_{*n} =0 \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
при $n \ne 0$. Здесь $P^{(n)*}(\,\cdot\,)$ – сопряженная с $P^{(n)}(\,\cdot\,)$ матрица. Функции (3.24), (3.25) могут быть выбраны удовлетворяющими следующим условиям:
$$
\begin{equation}
(P^{\prime}(i\omega_*)u^*_{0j}(\rho),v^*_{0j}(\rho))_{\tilde L_2} =1, \qquad (P^{\prime}(i\omega_*)u^*_{0j}(\rho),\bar v^*_{0j}(\rho))_{\tilde L_2} =0
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &((P^{\prime}(i\omega_*)u^*_{nj}(\rho,\phi)),v^*_{nj}(\rho,\phi))_{\tilde L_2} =1, \quad ((P^{\prime}(i\omega_*)u^*_{-nj}(\rho,\phi)), v^*_{nj}(\rho,\phi))_{\tilde L_2} =0, \\ &((P^{\prime}(i\omega_*)u^*_{nj}(\rho,\phi)),v^*_{-nj}(\rho,\phi))_{\tilde L_2} =0, \quad ((P^{\prime}(i\omega_*)u^*_{-nj}(\rho,\phi)), v^*_{-nj}(\rho,\phi))_{\tilde L_2} =1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
Исследуем движение точек спектра пучка операторов (3.8) при прохождении параметрами $K,T$ границы области $D_0$ (области $D_j$). Выберем точку $K_*,T_*$ границы области $D_0$ (области $D_j$), при которой пучок операторов (3.8), построенный на состоянии равновесия $u_*=u(K_*,\alpha,\gamma)$, имеет точки спектра $\pm i \omega_*, \omega_*>0$. Положим в (3.8) $K=K^*+\varepsilon$, где $\varepsilon$ – малый параметр, и обозначим соответствующий пучок операторов $P(\lambda;\varepsilon)$. Также имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_*(\varepsilon)&= u(K_*+ \varepsilon,\alpha,\gamma) = u_*+\varepsilon u_{*1} + \cdots,\qquad u_{*1}=\frac{u_*}{K_*(1+b(u_* ))}, \notag \\ b(\varepsilon)&=b(u_*(\varepsilon)) = b(u_*) + \varepsilon b_1 +\cdots,\qquad b_1=\gamma \sin(u_*) + \frac{u_*\gamma \cos(u_*)}{1+b(u_*)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
Рассмотрим сначала случай $n=0$. Пучок операторов (3.8) имеет точки спектра $\lambda (\varepsilon), \bar \lambda (\varepsilon), \lambda (0)=i \omega_*$ и соответствующие им собственные функции $u^*_{0j}(\rho;\varepsilon), \bar u^*_{0j}(\rho;\varepsilon)$, аналитически зависящие от $\varepsilon$ при $|\varepsilon| < \varepsilon_0$. Представим разложения
$$
\begin{equation}
\lambda (\varepsilon) = i \omega_* + \varepsilon \lambda_1+\cdots,\qquad u^*_{0j}(\rho;\varepsilon)= u^*_{0j}(\rho) +\varepsilon u^{(1)}_{0j}(\rho)+\cdots
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
и подставим их в (3.8). Приравняв коэффициенты при первой степени параметра $\varepsilon$, получим для определения $u^{(1)}_{0j}(\rho)$ операторное уравнение в пространстве $\tilde L_{2}(K_R)$
$$
\begin{equation}
P(i\omega_*;0)u^{(1)}_{0j}(\rho) + \lambda_1 P^{\prime}(i\omega_*;0)u^*_{0j}(\rho) +b_1u^*_{0j}(\rho)e^{-i\omega_*T_*} = 0
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
с областью определения $\tilde H^{2}(K_R)$. Условие разрешимости уравнения (3.30)
$$
\begin{equation*}
(\lambda_1 P^{\prime}(i\omega_*;0)u^*_{0j}(\rho) +b_1u^*_{0j}(\rho)e^{-i\omega_*T^*},v^*_{0j}(\rho))_{\tilde L_2}=0
\end{equation*}
\notag
$$
позволяет однозначно определить
$$
\begin{equation}
\lambda_1 = - b_1e^{-i\omega_*T^*}(u^*_{0j}(\rho/\alpha),v^*_{0j}(\rho))_{\tilde L_2}.
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
При выполнении условия (3.31) решение $u^{(1)}_{0j}(\rho)$ уравнения (3.30), удовлетворяющее условию $(u^{(1)}_{0j}(\rho), v^*_{0j}(\rho))_{\tilde L_2} =0$, определяется однозначно. Аналогично определяются последующие слагаемые в разложениях (3.29). В случае $n>0$ точкам спектра $\lambda (\varepsilon)$ ($\lambda (0)=i \omega_*$) и $\bar \lambda (\varepsilon)$ отвечают соответственно собственные функции
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u^*_{nj}(\rho,\phi;\varepsilon)= u^*_{nj}(\rho;\varepsilon)e^{in\phi},\qquad u^*_{-nj}(\rho,\phi;\varepsilon)= u^*_{nj}(\rho;\varepsilon)e^{-in\phi},\\ \bar u^*_{nj}(\rho,\phi;\varepsilon), \bar u^*_{-nj}(\rho,\phi;\varepsilon), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.32}
$$
которые аналитически зависят от $\varepsilon$ при $|\varepsilon| < \varepsilon_0$. Представим $\lambda (\varepsilon)$ в виде (3.29) и
$$
\begin{equation}
u^*_{nj}(\rho;\varepsilon)= u^*_{nj}(\rho) +\varepsilon u^{(1)}_{nj}(\rho)+\cdots,\qquad u^*_{-nj}(\rho;\varepsilon)= u^*_{-nj}(\rho) +\varepsilon u^{(1)}_{-nj}(\rho)+\cdots.
\end{equation}
\tag{3.33}
$$
Подставим $u^*_{nj}(\rho,\phi;\varepsilon)$ в (3.8) и приравняем коэффициенты при первой степени $\varepsilon$. В результате получим для определения $u^{(1)}_{nj}(\rho)$ операторное уравнение в пространстве $\tilde L_{2}(K_R)$
$$
\begin{equation}
P(i\omega_*;0)u^{(1)}_{nj}(\rho)e^{in\phi} + (\lambda_1 P^{\prime}(i\omega_*;0)u^*_{nj}(\rho) +b_1e^{-i\omega_*T_*}u^*_{nj}(\rho/\alpha))e^{in\phi} = 0
\end{equation}
\tag{3.34}
$$
с областью определения $\tilde H^{2}(K_R)$. Из первого условия разрешимости этого уравнения
$$
\begin{equation*}
((\lambda_1 P^{\prime}(i\omega_*;0)u^*_{nj}(\rho) +b_1e^{-i\omega_*T_*}u^*_{nj}(\rho/\alpha))e^{in\phi},v^*_{nj}(\rho)e^{in\phi})_{\tilde L_2}=0
\end{equation*}
\notag
$$
однозначно определяем
$$
\begin{equation}
\lambda_1 = - b_1e^{-i\omega_*T_*}(u^*_{nj}(\rho/\alpha),v^*_{nj}(\rho))_{\tilde L_2}.
\end{equation}
\tag{3.35}
$$
Второе условие разрешимости уравнения (3.34)
$$
\begin{equation*}
((\lambda_1 P^{\prime}(i\omega_*;0)u^*_{nj}(\rho) +b_1e^{-i\omega_*T_*}u^*_{nj}(\rho/\alpha))e^{in\phi},v^*_{nj}(\rho)e^{-in\phi})_{\tilde L_2}=0
\end{equation*}
\notag
$$
выполняется автоматически. При выполнении условия (3.35) решение $u^{(1)}_{nj}(\rho)$ уравнения (3.34), удовлетворяющее равенству $(u^{(1)}_{nj}(\rho), v^*_{nj}(\rho))_{\tilde L_2} =0$, определяется однозначно. Аналогично определяются последующие слагаемые в разложениях (3.28), (3.33). Знак $\operatorname{Re} \lambda_1$ определяет движение точек спектра (3.8) при прохождении параметрами $K$ и $T$ границ построенных областей, что позволяет определить картину $D_j$-разбиений. В соответствии с этим определена картина $D$-разбиений, приведенная на рис. 1. Отметим, что на границе области устойчивости пучок операторов (3.8) может иметь две пары комплексно-сопряженных точек спектра, лежащих на мнимой оси комплексной плоскости (см. рис. 1б). При этом одной из точек спектра $i\omega_{*1}, \omega_{*1} > 0$ отвечает собственная функция вида (3.19), а другой точке спектра $i\omega_{*2}, \omega_{*2} > 0$ отвечают две собственные функции вида (3.20). Между $\omega_{*1}$ и $\omega_{*2}$ могут быть выполнены резонансные соотношения. Отметим также, что при $\alpha =1$ возможна лишь потеря устойчивости с прохождением одной комплексно-сопряженной пары точек спектра (3.8), которым отвечают собственные функции вида (3.19). 4. Бифуркации нелинейных волн начально-краевой задачи (2.1), (2.2)Изучим возможные бифуркации пространственно неоднородных решений начально-краевой задачи (2.1), (2.2) из однородных состояний равновесия, обусловленные потерей их устойчивости. Воспользуемся для этого методом инвариантных (центральных) многообразий распределенных динамических систем [18], [19] и теорией нормальных форм нелинейных обыкновенных диффреренциальных уравнений в окрестности состояний равновесия [20]. При фиксированных $D, \gamma,\alpha$ выберем параметры $K_*,T_* $ таким образом, чтобы они соответствовали точке границы области устойчивости состояния равновесия $u_*(K_*,\alpha,\gamma)$ (см. рис. 1) начально-краевой задачи (2.1), (2.2) и при этом пучок операторов (3.8) имел одну пару комплексно-сопряженных точек спектра $\pm i \omega_*, \omega_* > 0$, отвечающих случаю $n > 0$ (см., например, рис. 1в,г, кривые с маркером (11)). Положим $K=K_*+ \varepsilon$, где $\varepsilon$ – малый параметр, и исследуем возможность бифуркации из состояния равновесия $u^*(\varepsilon)$, определяемого согласно (3.28), пространственно неоднородных решений при изменении параметра $\varepsilon$. Отметим, что теперь в (3.2)–(3.5), (3.8), (3.23) $b = b(\varepsilon)$ определяется согласно (3.28) и
$$
\begin{equation}
b_2=b_2(\varepsilon)=-(K^*+\varepsilon)\gamma \cos(u^*(\varepsilon)).
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
В дальнейшем будем использовать обозначения $P(\lambda;\varepsilon)$ для пучка операторов (3.8) и $P^*(\lambda;\varepsilon)$ для пучка операторов (3.23). В случае $n>0$ точкам спектра $\lambda(\varepsilon)$, $\bar \lambda(\varepsilon)$, $\lambda(0)=i \omega_*$ пучка операторов $P(\lambda; \varepsilon)$ соответствуют собственные функции (3.32). Точкам спектра $\bar \lambda(\varepsilon)$, $\lambda(\varepsilon)$ пучка операторов $P^*(\lambda;\varepsilon)$ соответствуют собственные функции
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, v^*_{nj}(\rho,\phi;\varepsilon)= v^*_{nj}(\rho;\varepsilon)e^{in\phi},\qquad v^*_{-nj}(\rho,\phi;\varepsilon)= v^*_{nj}(\rho;\varepsilon)e^{-in\phi},\\ \bar v^*_{nj}(\rho,\phi;\varepsilon), \bar v^*_{-nj}(\rho,\phi;\varepsilon), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где $v^*_{nj}(\rho;\varepsilon)$, $v^*_{-nj}(\rho;\varepsilon)$, $v^*_{nj}(\rho;0) = v^*_{nj}(\rho)$, $v^*_{-nj}(\rho;0) = v^*_{-nj}(\rho)$ – аналитически зависящие от $\varepsilon$ при $ |\varepsilon| < \varepsilon_0 $ функции, а $v^*_{nj}(\rho)$, $v^*_{-nj}(\rho)$ определены в (3.25). Функции (4.2) могут быть выбраны таким образом, чтобы между функциями (3.32) и (4.2) были выполнены соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (P^{\prime}(\lambda(\varepsilon);\varepsilon)u^*_{nj}(\rho,\phi;\varepsilon),v^*_{nj}(\rho,\phi;\varepsilon))_{\tilde L_2} &=1, \\ (P^{\prime}(\lambda(\varepsilon);\varepsilon)u^*_{-nj}(\rho,\phi;\varepsilon), v^*_{nj}(\rho,\phi;\varepsilon))_{\tilde L_2} &=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (P^{\prime}(\lambda(\varepsilon);\varepsilon)u^*_{nj}(\rho,\phi;\varepsilon),v^*_{-nj}(\rho,\phi;\varepsilon))_{\tilde L_2} &=0, \\ (P^{\prime}(\lambda(\varepsilon);\varepsilon)u^*_{-nj}(\rho,\phi;\varepsilon),v^*_{-nj}(\rho,\phi;\varepsilon))_{\tilde L_2} &=1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Рассмотрим присоединенную к (3.6), (3.7) (формально сопряженную [21] с (3.6), (3.7)) начально-краевую задачу
$$
\begin{equation}
v_t(\rho,\phi,t)-v(\rho,\phi,t) =-D\Delta_{\rho \phi}v(\rho,\phi,t)+b(\varepsilon)Q_{\alpha_*} v(\rho,\phi,t + T),
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
$$
\begin{equation}
v_{\rho}(R,\phi,t)=0,\qquad v(\rho,0,t)=v(\rho,2\pi,t),\qquad v_{\phi}(\rho,0,t)=v_{\phi}(\rho,2\pi,t), \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
относительно функции $v(\rho,\phi,t+s)$ в области $ \kern1.9pt\overline{\vphantom{K}\kern7.2pt}\kern-9.0pt K\kern0.2pt _R \times \mathbb R ^-$, где $\mathbb R ^- =\{t: -\infty < t \leqslant 0 \}$, $0 \leqslant s \leqslant T$ ($T>0$). Фазовым пространством начально-краевой задачи (4.5), (4.6) является пространство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H(K_R;0,T) ={}& \{v(\rho,\phi,s)\!: v(\rho,\phi,s) \in L_2( K_R)\, \text{при каждом}\, 0 \leqslant s \leqslant T, \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\|v(\rho,\phi,s)\|_{L_2}\in C([0,T])\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
областью определения правой части уравнения (4.5) является пространство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_0(K_R;0,T) ={}& \{v(\rho,\phi,s)\!: v(\rho,\phi,s) \in C( \kern1.9pt\overline{\vphantom{K}\kern7.2pt}\kern-9.0pt K\kern0.2pt _R \times [0,T]), v(\rho,0,s)=v(\rho,2\pi,s),\\ & v_{\phi}(\rho,0,s)=v_{\phi}(\rho,2\pi,s), \, \text{при каждом}\, s\,\,\,v(\rho,\phi,s) \in H^2(K_R)\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Нормы в этих пространствах вводятся по аналогии с $ H(K_R;-T,0)$, $H_0(K_R;-T,0)$. Начально-краевая задача (4.5), (4.6) имеет единственное решение при $-\infty < t \leqslant 0$, которое непрерывно зависит от начальных условий и параметров уравнения. Это легко доказывается методом шагов. Между элементами пространств $u(\rho,\phi,s)\kern-0.5pt \in \kern-0.5pt H(K_R;-T,0)$ и $v(\rho,\phi,s) \in H(K_R;0,T)$ определим скалярное произведение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \langle u(\rho,\phi,s),v(\rho,\phi,s)\rangle={}&(u(\rho,\phi,0),v(\rho,\phi,0))_{\tilde L_2} -{} \notag \\ &- b(\varepsilon)\int_{-T}^0 (u(\rho/\alpha,\phi,\xi),v(\rho,\phi,\xi +T))_{\tilde L_2}\,d\xi. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Решения задач (3.6), (3.7) и (4.5), (4.6) связаны между собой следующим образом. Обозначим через $u(\rho,\phi,t +s)$ и $v(\rho,\phi,t +s)$ решения задач (3.6), (3.7) и (4.5), (4.6) соответственно, определенные при $t > \tau_1$, $u(\rho,\phi,\tau_1 +s) =u_0(\rho,\phi,s) \in H_0(K_R;-T,0)$ и $t < \tau_2$, $v(\rho,\phi,\tau_2 +s) =v_0(\rho,\phi,s) \in H_0(K_R;0,T)$, и пусть при этом $\tau_1 < \tau_2$. Тогда при $\tau_1 < t < \tau_2$ справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\langle u(\rho,\phi,t+s),v(\rho,\phi,t +s)\rangle = c,\qquad c =\mathrm{const}.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Для решений $u(\rho,\phi,t +s)$ и $v(\rho,\phi,t +s)$, определенных при $-\infty < t < \infty$, равенства (4.8) выполнены при всех $t$. Для доказательства равенства (4.8) продифференцируем его по $t$ с учетом уравнений (3.6) и (4.5). В результате имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{d}{dt} \langle u(\rho,\phi,&t+s),v(\rho,\phi,t+s)\rangle =(u_t(\rho,\phi,t),v(\rho,\phi,t))_{\tilde L_2} +(u(\rho,\phi,t),v_t(\rho,\phi,t))_{\tilde L_2}-{} \notag \\ &- b\int_{-T}^0 (u_t(\rho/\alpha,t+\phi,\xi),v(\rho,\phi,\xi +T))_{\tilde L_2}\,d\xi -{} \notag \\ &- b\int_{-T}^0 (u(\rho/\alpha,\phi,t+\xi),v_t(\rho,\phi,t+\xi +T))_{\tilde L_2}\,d\xi ={} \notag \\ ={}&- (u(\rho,\phi,t),v(\rho,\phi,0))_{\tilde L_2} + D(\Delta_{\rho \phi}u(\rho,\phi,t),v(\rho,\phi,t))_{\tilde L_2} +{} \notag \\ &+ (u(\rho,\phi,t),v(\rho,\phi,t))_{\tilde L_2} -D(u(\rho,\phi,t),\Delta_{\rho \phi}v(\rho,\phi,t))_{\tilde L_2} -{} \notag \\ &- b (u(\rho/\alpha,\phi,t-T),v(\rho,\phi,t))_{\tilde L_2} + b (u(\rho,\phi,t),Q_{\alpha_*}v(\rho,\phi,t+T))_{\tilde L_2} -{} \notag \\ &-b (u(\rho/\alpha,\phi,t),v(\rho,\phi,t+T))_{\tilde L_2} + b (u(\rho/\alpha,\phi,t-T),v(\rho,\phi,t))_{\tilde L_2} +{} \notag \\ &+ b\int_{-T}^0 (u(\rho/\alpha,\phi,t+\xi),v_t(\rho,\phi,t+\xi +T))_{\tilde L_2}\,d\xi -{} \notag \\ &- b\int_{-T}^0 (u(\rho/\alpha,\phi,t+\xi),v_t(\rho,\phi,t+\xi +T))_{\tilde L_2}\,d\xi =0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Определяя теперь решения задачи (4.5), (4.6) вида $v(\rho,\phi,t)=v(\rho, \phi) e^{p t}$, $p \in \mathbb C$, получим характеристический пучок операторов
$$
\begin{equation}
Q(p)v(\rho, \phi) \equiv p v(\rho, \phi) - v(\rho, \phi) + D\Delta_{\rho, \phi} v(\rho, \phi) - bQ_{\alpha_*}v(\rho, \phi) e^{p T}\equiv - P^*(-p)v(\rho, \phi),
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
действующий в $\tilde L_2(K_R)$ с областью определения $\tilde H^2(K_R)$. Точки спектра (4.10) и точки спектра (3.8) могут быть упорядочены таким образом, что будут выполнены соотношения $p_j = -\bar \lambda_j, j=1,2,\dots$ . Таким образом, пучок операторов $Q(p;\varepsilon)$ имеет пару комплексно-сопряженных точек спектра $p(\varepsilon) = -\bar\lambda(\varepsilon), \bar p(\varepsilon)$, которым отвечают собственные функции (4.2). Введем в рассмотрение функции
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} e_{1}(\rho,\phi,s;\varepsilon) &= u^*_{nj}(\rho,\phi;\varepsilon)e^{\lambda(\varepsilon)s}= u^*_{nj}(\rho;\varepsilon)e^{in\phi}e^{\lambda(\varepsilon)s}, &\qquad &\bar e_{1}(\rho,\phi,s;\varepsilon), \\ e_{2}(\rho,\phi,s;\varepsilon) &=u^*_{-nj}(\rho,\phi;\varepsilon)e^{\lambda(\varepsilon)s}= u^*_{nj}(\rho;\varepsilon)e^{-in\phi}e^{\lambda(\varepsilon)s},&\qquad &\bar e_{2}(\rho,\phi,s;\varepsilon) \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} h_{1}(\rho,\phi,s;\varepsilon) &= v^*_{nj}(\rho,\phi;\varepsilon)e^{p(\varepsilon)s}= v^*_{nj}(\rho;\varepsilon)e^{in\phi}e^{p(\varepsilon)s},&\qquad &\bar h_{1}(\rho,\phi,s;\varepsilon), \\ h_{2}(\rho,\phi,s;\varepsilon) &=v^*_{-nj}(\rho,\phi;\varepsilon)e^{p(\varepsilon)s}= v^*_{nj}(\rho;\varepsilon)e^{-in\phi}e^{p(\varepsilon)s},&\qquad &\bar h_{2}(\rho,\phi,s;\varepsilon), \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
между которыми согласно (4.3) выполнены соотношения
$$
\begin{equation}
\langle e_{j}(\rho,\phi,s;\varepsilon),h_{k}(\rho,\phi,s;\varepsilon)\rangle = \delta_{jk},\quad \langle e_{j}(\rho,\phi,s;\varepsilon),\bar h_{k}(\rho,\phi,s;\varepsilon)\rangle = 0, \quad j,k=1,2.
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Обозначим через $H_+(\varepsilon)$ линейную оболочку функций (4.11), т. е. множество функций вида
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_+(\rho,\phi,s;\varepsilon) ={}& e_{1}(\rho,\phi,s;\varepsilon)z_1 + \bar e_{1}(\rho,\phi,s;\varepsilon)\bar z_1 + e_{2}(\rho,\phi,s;\varepsilon)z_2 + \bar e_{2}(\rho,\phi,s;\varepsilon)\bar z_2={} \notag \\ ={}&(u^*_{nj}(\rho;\varepsilon)e^{\lambda(\varepsilon)s}z_1 + \bar u^*_{nj}(\rho;\varepsilon)e^{\bar \lambda(\varepsilon)s}\bar z_2)e^{in\phi} + (\bar u^*_{nj}(\rho;\varepsilon)e^{\bar \lambda(\varepsilon)s}\bar z_1 +{} \notag \\ &+ u^*_{nj}(\rho;\varepsilon)e^{\lambda(\varepsilon)s} z_2)e^{-in\phi},\qquad z_1,z_2 \in \mathbb C, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
а через $H_-(\varepsilon)$ – множество функций $u_-(\rho,\phi,s) \in H_0(K_R;-T,0)$, для которых справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
\langle u_-(\rho,\phi,s),h_{j}(\rho,\phi,s;\varepsilon)\rangle =0,\qquad \langle u_-(\rho,\phi),\bar h_{j}(\rho,\phi,s;\varepsilon)\rangle =0,\qquad j=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно (4.13)
$$
\begin{equation*}
H_+(\varepsilon)\oplus H_-(\varepsilon) =H_0(K_R,-T,0).
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $H_+(\varepsilon)$ определяет четырехмерное пространство решений $u_+(\rho,\phi,t +s;\varepsilon)$ начально-краевой задачи (3.6), (3.7) вида (4.14), в котором $z_j=z_j(t)$ – решения уравнений Обозначим через
$$
\begin{equation*}
S_{u_*}(R)=\{u(\rho,\phi,s)\colon u(\rho,\phi,s) \in H_0(K_R;-T,0), \|u(\rho,\phi,s) -u_*\|_{H_0} <R\}
\end{equation*}
\notag
$$
шар радиуса $R$ c центром в точке $u_* = u_*(K,\alpha,\gamma)$ пространства $H_0(K_R;-T,0)$. В случае $u_* =0$ будем использовать обозначение $S(R) = S_0(R)$. В дальнейшем полагаем $S_{\pm}(R;\varepsilon) = S(R)\cap H_{\pm}(\varepsilon)$. Множество $M(\varepsilon) \subset S(R)$ будем называть инвариантным многообразием начально-краевой задачи (3.2)–(3.5), если для ее решений $u(\rho,\phi,t +s)$ с начальными условиями $u(\rho,\phi,t_0 +s) \in M(\varepsilon)$ при некотором $t_0$ следует, что $u(\rho,\phi,t +s) \in M(\varepsilon)$ при всех $t >t_0$ и $u(\rho,\phi,t +s) \in S(R)$. Результаты работы [18] и монографии [19] применительно к начально-краевой задаче (3.2)–(3.5) позволяют сформулировать следующие теоремы. Теорема 1. Существуют такие $\varepsilon_0 > 0$ и $R >0$, что при $|\varepsilon|< \varepsilon_0$ начально-краевая задача (3.1)–(3.5) имеет инвариантное многообразие $M(\varepsilon) \subset S(R)$, которое может быть представлено в виде где нелинейный оператор $G(u_+;\varepsilon)$ ($G(0;\varepsilon)\equiv 0$) действует из $S_{+}(R;\varepsilon) \oplus [-\varepsilon_0,\varepsilon_0]$ в $S_{-}(R;\varepsilon)$ и гладко зависит от входящих переменных (в смысле дифференцирования по Фреше). Обозначим через $d(u(\rho,\phi,s);\varepsilon)$ расстояние от точки $u(\rho,\phi,s) \in S(R)$ до множества $M(\varepsilon)$ в метрике пространства $H_0(K_R;-T,0)$. Справедлива Теорема 2. Пусть $u_0(\rho,\phi,s) \in S(R)$ – начальное условие для решения $u(\rho,\phi,t +s;\varepsilon)$ начально-краевой задачи (3.2)–(3.5) $(u(\rho,\phi,s;\varepsilon) = u_0(\rho,\phi,s))$. Тогда при $t >0$ справедливо неравенство где $K,\alpha_0 >0$ – некоторые постоянные. Таким образом, поведение решений начально-краевой задачи (3.2)–(3.5) с начальными условиями из $S(R)$ полностью определяется поведением решений на инвариантном многообразии $M(\varepsilon)$, которое может быть описано поведением решений некоторой четырехмерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Следуя [19], будем называть многообразие $M(\varepsilon)$ центральным многообразием начально-краевой задачи (3.2)–(3.5). На основании представления (4.14) оператор $G(u_+;\varepsilon)$ будем рассматривать как оператор $G(\rho,\phi,s,z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\varepsilon)$,
$$
\begin{equation*}
G(\rho,\phi,s,z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2,\bar z;\varepsilon) \equiv G(\rho,\phi+2\pi,s,z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\varepsilon), \quad G(\rho,\phi,s,0,0,0,0;\varepsilon) \equiv 0,
\end{equation*}
\notag
$$
действующий из $\mathbb C^4 \oplus [-\varepsilon_0,\varepsilon_0]$ в $S_{+}(R)$ и гладко зависящий от входящих переменных. Тогда с учетом (4.14), (4.15) представим оператор $G(\rho,\phi,s,z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\varepsilon)$ и систему обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих поведение траекторий (3.2)–(3.5) на $M(\varepsilon)$, в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, G(\rho,{}&\phi,s,z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\varepsilon) = e_{1}(\rho,\phi,s;\varepsilon)z_1 +\bar e_{1}(\rho,\phi,s;\varepsilon)\bar z_1 +e_{2}(\rho,\phi,s;\varepsilon)z_2+{} \notag \\ &+\bar e_{2}(\rho,\phi,s;\varepsilon)\bar z_2 + v_{2000}(\,\cdot\,)z_1^2 + v_{1100}(\,\cdot\,)z_1 \bar z_1+v_{0200}(\,\cdot\,)\bar z_1^2 +\dots + v_{0030}(\,\cdot\,)z_2^3 +{} \notag \\ &+ v_{0021}(\,\cdot\,)z_2^2\bar z_2 + v_{0012}(\,\cdot\,)z_2\bar z_2^2+ v_{0003}(\,\cdot\,)\bar z_2^3+ g(\rho,\phi,s,z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\bar\varepsilon), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
в котором
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, v_{jkpq}(\,\cdot\,)=v_{jkpq}(\rho,\phi,s;\varepsilon), \qquad v_{jkpq}(\,\cdot\,) =\bar v_{kjpq}(\,\cdot\,) =\bar v_{jkqp}(\,\cdot\,),\\ \|g(\rho,\phi,z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\bar\varepsilon)\|_{H_1} =o(|z|^3), \qquad |z| =(|z_1|^2 + |z_2|^2)^{1/2} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation}
\dot z_1 =\lambda_1(\bar\varepsilon) z_1+Z_1(z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\bar\varepsilon) \equiv Z_1^*(z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\bar\varepsilon),
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
$$
\begin{equation}
\dot z_2 =\lambda_2(\varepsilon) z_2+Z_2(z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\varepsilon) \equiv Z_2^*(z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\varepsilon),
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
где $|Z_j(z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\varepsilon)| = o(|z|^2)$, $j=1,2$. Уравнения для $\bar z_1,\bar z_2$ получаются комплексным сопряжением (4.19), (4.20). Отметим важные свойства функций $g(\rho,\phi,z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\varepsilon), Z_j(z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\varepsilon)$, $j=1,2$. Пусть $u^*(\rho,\phi,t +s;\varepsilon)$ – решение начально-краевой задачи (3.2)–(3.5). Продолжим его периодически по $\phi$ на $\mathbb R $. Функция $u^*(\rho,\phi+c,t + s;\varepsilon)$, где $c$ – произвольное вещественное число, также является решением задачи (3.2)–(3.5), в чем легко убедиться непосредственно, обозначив $\phi_1 = \phi+c$ и с учетом равенства $\Delta_{\rho,\phi}u^* = \Delta_{\rho,\phi_1}u^*$. Исходя из этого и с учетом (4.14) получаем, что система (4.19), (4.20) инвариантна относительно преобразований
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P_c(z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2) &= (z_1e^{ic},\bar z_1e^{-ic},z_2e^{-ic},\bar z_2e^{ic}),\\ P_r(z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2) &= (z_2,\bar z_2,z_1,\bar z_1), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
а также для любого вещественного $c$ справедливо тождество
$$
\begin{equation}
g(\rho,\phi+c,z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\varepsilon) \equiv g(\rho,\phi,z_1e^{ic},\bar z_1e^{-ic},z_2e^{-ic},\bar z_2e^{ic};\varepsilon).
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
Следствием этого является представление
$$
\begin{equation}
\dot z_1 =\lambda_1(\bar\varepsilon) z_1+z_1Z^{\circ}_{1}(z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\varepsilon) +\bar z_2Z^{\circ}_{2}(z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\varepsilon),
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
$$
\begin{equation}
\dot z_2 =\lambda_2(\varepsilon) z_2+z_2Z^{\circ}_{1}(z_2,\bar z_2,z_1,\bar z_1;\varepsilon) +\bar z_1Z^{\circ}_{2}(z_2,\bar z_2,z_1,\bar z_1;\varepsilon),
\end{equation}
\tag{4.24}
$$
где гладкие по своим переменным функции имеют вид
$$
\begin{equation*}
Z^{\circ}_{j}(z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\varepsilon) = A_j(\varepsilon)|z_1|^2 + B_j(\varepsilon)|z_2|^2 + C_j(\varepsilon)z_1z_2 +D_j(\varepsilon)\bar z_1\bar z_2 + S_j(z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\varepsilon),
\end{equation*}
\notag
$$
$A_j(\varepsilon), B_j(\varepsilon), C_j(\varepsilon),D_j(\varepsilon)$ – комплекснозначные функции $\varepsilon$, $|S_j(z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\varepsilon)| =O( |z|^4)$, $|z|^2=|z_1|^2+|z_2|^2$. Перечисленные свойства $g(\,\cdot\,), Z_j(\,\cdot\,)$, $j=1,2$, являются следствием круговой симметрии начально-краевой задачи (3.2)–(3.5). Система (4.23), (4.24), инвариантная относительно преобразований (4.21), подробно исследована в работе [22]. Приведем некоторые результаты анализа этой системы, необходимые для исследования бифуркаций автоколебательных решений задачи (3.2)–(3.5). Приведем систему (4.23), (4.24) к “резонансной нормальной форме” [20]. На основании (4.21) резонансными кубическими мономами в уравнении для $\dot z_j$ являются лишь мономы $z_j|z_1|^2$ и $z_j|z_2|^2$. Таким образом, полиномиальной заменой переменных система (4.23), (4.24) может быть приведена к виду
$$
\begin{equation}
\dot z_1 = z_1(\lambda(\varepsilon) + d_1(\varepsilon)|z_1|^2 + d_2(\varepsilon)|z_2|^2) +Q(z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\varepsilon),
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
$$
\begin{equation}
\dot z_2 = z_2(\lambda(\varepsilon) + d_2(\varepsilon)|z_1|^2 + d_1(\varepsilon)|z_2|^2) +Q(z_2,\bar z_2,z_1,\bar z_1;\varepsilon),
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
где $d_j(\varepsilon)=a_j(\varepsilon)+ic_j(\varepsilon)$, а функция $Q(*)=O(|z|^5)$ инвариантна относительно преобразований $P_c$ в следующей форме:
$$
\begin{equation*}
e^{ic}Q(z_1 e^{ic},\bar z_1 e^{-ic} ,z_2 e^{-ic},\bar z_2 e^{ic};\varepsilon) = Q(z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Нормализующая замена может быть выбрана коммутирующей с преобразованиями (4.21), откуда следует, что система (4.25), (4.26) сохраняет все свойства симметрии исходной системы. Систему (4.25), (4.26) будем называть полной нормальной формой, а систему, получающуюся из (4.25), (4.26) отбрасыванием функций $Q(*)$, – укороченной нормальной формой. Систему (4.25), (4.26) будем далее изучать при малых $|\varepsilon|$ в некоторой не зависящей от $\varepsilon$ окрестности точки $(z_1,z_2) = (0,0)$. Укороченную нормальную форму запишем в виде
$$
\begin{equation}
\dot z_1 = z_1(\gamma(\varepsilon) + i\omega(\varepsilon) + d_1(\varepsilon)|z_1|^2+d_2(\varepsilon)|z_2|^2),
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
$$
\begin{equation}
\dot z_2 = z_2(\gamma(\varepsilon) + i\omega(\varepsilon) + d_2(\varepsilon)|z_1|^2+d_1(\varepsilon)|z_2|^2),
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
$\lambda(\varepsilon) =\gamma(\varepsilon) + i\omega(\varepsilon)$, $\gamma(0)=0$, $\omega(\varepsilon)=\omega_* +\varepsilon \omega_1(\varepsilon)$. Введем полярные координаты $z_j=r_je^{\phi_j}$, $r_j \geqslant 0$, $j=1,2$. Тогда для квадратов амплитуд $p_j = r^{2}_j$, $j=1,2$, получим систему уравнений
$$
\begin{equation}
\dot p_1 = 2p_1(\gamma(\varepsilon)+a_1(\varepsilon)p_1 + a_2(\varepsilon)p_2), \qquad \dot p_2 = 2p_2(\gamma(\varepsilon) +a_2(\varepsilon)p_1 + a_1(\varepsilon)p_2),
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
$$
\begin{equation}
\dot \phi_1 =\omega(\varepsilon) + c_1(\varepsilon)p_1+c_2(\varepsilon)p_2, \qquad \dot \phi_2 =\omega(\varepsilon) + c_2(\varepsilon)p_1+c_1(\varepsilon)p_2.
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
Уравнения для амплитуд “отщепились” от уравнений для фаз $\phi_j$, по которым имеют место вращения с постоянными угловыми скоростями. Поведение решений укороченной нормальной формы (4.27), (4.28) определяется свойствами системы уравнений (4.29). Предположим, что выполнены следующие условия:
$$
\begin{equation}
\frac{d\gamma(\varepsilon)}{d\varepsilon}\bigg|_{\varepsilon=0}=\gamma_1 >0,\quad a_1(0) <0,\quad a_1(0)+a_2(0) <0,\quad a_1(0)^2-a_2(0)^2 \ne 0,
\end{equation}
\tag{4.31}
$$
которые в силу гладкости функций $\gamma(\varepsilon)$, $a_j(\varepsilon)$ выполняются при $|\varepsilon| < \varepsilon_0$. Первое условие в (4.31) обусловлено выбранной точкой границы области $D_0$, второе условие обеспечивает диссипативность системы уравнений (4.27), (4.28), последнее условие – это некоторое условие невырожденности. Состояниями равновесия системы (4.29), (4.30) являются следующие точки:
$$
\begin{equation}
p_{10}(\varepsilon) = p_{20}(\varepsilon) = 0, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
p_{10}(\varepsilon) = p_{20}(\varepsilon) = -\frac{\gamma(\varepsilon)}{a_1(\varepsilon) + a_2(\varepsilon)}= -\frac{\varepsilon \gamma_1}{a_1(0) + a_2(0)}+ O(\varepsilon^2),
\end{equation}
\tag{4.32}
$$
$$
\begin{equation}
p_{10}(\varepsilon) = 0,\qquad p_{20}(\varepsilon) = -\frac{\gamma(\varepsilon)}{a_1(\varepsilon)} = -\frac{\varepsilon \gamma_1}{a_1(0)} + O(\varepsilon^2),
\end{equation}
\tag{4.33}
$$
$$
\begin{equation}
p_{10}(\varepsilon) = -\frac{\gamma(\varepsilon)}{a_1(\varepsilon)} = -\frac{\varepsilon \gamma_1}{a_1(0)} + O(\varepsilon^2),\qquad p_{20}(\varepsilon) = 0.
\end{equation}
\tag{4.34}
$$
При сделанных предположениях (4.31) возможны три вида фазового портрета системы уравнений (4.29). При $\varepsilon <0$ имеется единственное асимптотически устойчивое нулевое состояние равновесия (рис. 2а). При $\varepsilon > 0$ возможны два варианта: при $a_1(0)^2 - a_2(0)^2 < 0$ имеем фазовый портрет, представленный на рис. 2б, при $a_1(0)^2 - a_2(0)^2 > 0$ – фазовый портрет, представленный на рис 2в. Фазовые портреты не содержат предельных циклов, и при малых $|\varepsilon| \ne 0$ все особые точки грубые, т. е. либо экспоненциально устойчивые, либо экспоненциально неустойчивые. В системе уравнений (4.27), (4.28) нулевому состоянию равновесия (4.32) системы (4.29), (4.30) отвечает состояние равновесия $z_{10}(\varepsilon) = z_{20}(\varepsilon) = 0$, состояниям равновесия (4.33) и (4.34) в системе (4.27), (4.28) отвечают предельные циклы $L_{10}(\varepsilon)$ и $L_{20}(\varepsilon)$ в виде окружностей радиуса $r_0 = (-\gamma(\varepsilon)/a_1(\varepsilon))^{1/2}$, лежащие в плоскостях $z_2 = 0$ и $z_1 = 0$ соответственно. Угловые скорости движения точкек по этим предельным циклам постоянны и одинаковы. Ненулевой особой точке (4.32) системы (4.29), (4.30) в системе (4.27), (4.28) соответствует двумерный инвариантный тор $T^2_0(\varepsilon)$, составленный из замкнутых траекторий. Тор $T^2_0(\varepsilon)$ как целое переводится в себя преобразованием $P_r$. Каждая замкнутая траектория на торе переводится в себя преобразованием $P_r P_{c}$, где $c = (\phi_{20}-\phi_{10})/2$. Устойчивость перечисленных инвариантных множеств в укороченной нормальной форме (4.27), (4.28) совпадает с устойчивостью соответствующих особых точек в амплитудной системе (4.29), (4.30). Других изолированных инвариантных множеств система (4.27), (4.28) не имеет. В полной нормальной форме (4.25), (4.26) плоскости $z_2 = 0$ и $z_1 = 0$ перестают быть инвариантными, однако при $0<\varepsilon < \varepsilon_0$ в системе (4.25), (4.26) существуют изолированные предельные циклы $L_1(\varepsilon)$ и $L_2(\varepsilon)$, близкие к предельным циклам $L_{10}(\varepsilon)$ и $L_{20}(\varepsilon)$ системы (4.27), (4.28) аналогичного характера устойчивости (см., например, [23]). Периодические решения, их определяющие, имеют вид
$$
\begin{equation}
z_1(t;\varepsilon^{1/2}) = r_*(t;\varepsilon^{1/2})e^{i\phi_1(t;\varepsilon)},\quad r_*(t;\varepsilon^{1/2}) = \varepsilon^{1/2}r_* + O(\varepsilon^{3/2}),\quad r_*=\biggl(-\frac{\gamma_1}{a_1(0)}\biggr)^{1/2}, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\dot \phi_1(t; \varepsilon) = \omega_* + \varepsilon \omega_{*1}+O(\varepsilon^2),\quad \omega_{*1}= \omega_1(0)-\frac{\gamma_1c_1(0)}{a_1(0)},\quad z_2(t) = O(\varepsilon^{3/2}),
\end{equation}
\tag{4.35}
$$
$$
\begin{equation}
z_2(t;\varepsilon^{1/2}) = r_*(t;\varepsilon^{1/2})e^{i\phi_2(t;\varepsilon)},\quad \dot \phi_2(t; \varepsilon) = \omega_* + \varepsilon \omega_{*1} +O(\varepsilon^2),\quad z_1(t) = O(\varepsilon^{3/2}).
\end{equation}
\tag{4.36}
$$
В полной нормальной форме (4.25), (4.26) при $0<\varepsilon < \varepsilon_0$ существует близкий к $T^2_0(\varepsilon)$ двумерный инвариантный тор $T_2(\varepsilon)$ той же устойчивости (см. в этой связи также [23]). Из симметрии системы (4.25), (4.26) следует, что структура траекторий на торе в системе (4.25), (4.26) такая же, как и в укороченной системе (4.27), (4.28). Действительно, плоскость $r_1 = r_2$ инвариантна относительно полной нормальной формы (4.25), (4.26). Как и для укороченной нормальной формы, движение в этой плоскости с начальными фазами $\phi_{10}$ и $\phi_{20}$ может быть представлено в виде
$$
\begin{equation}
z_1(t) = z(t)e^{i\phi_{10}},\qquad z_2(t) = z(t)e^{i\phi_{20}},
\end{equation}
\tag{4.37}
$$
где $z(t) = r(t)e^{i\phi(t)}$, $\phi(0) =0$, a $z(t)$ определяется из уравнения
$$
\begin{equation}
\dot z = z(\gamma(\varepsilon) + i\omega(\varepsilon) + (d_1(\varepsilon)+d_2(\varepsilon))|z|^2) + Q(z,\bar z, ze^{i(\phi_{10}+\phi_{20})}, \bar ze^{-i(\phi_{10}+\phi_{20})};\varepsilon).
\end{equation}
\tag{4.38}
$$
При этом использовано свойcтво инвариантности функции $Q(*)$ относительно преобразования (4.21). Уравнение (4.38) имеет при $0<\varepsilon < \varepsilon_0$ предельный цикл, близкий к окружности вида
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, z(t) = r(t)e^{i\phi(t)},\qquad r(t) = \varepsilon^{1/2}\biggl(-\frac{\gamma_1}{a_1(0)+ a_2(0)}\biggr)^{1/2} + O(\varepsilon), \\ \dot \phi(t) = \omega_* + \varepsilon \omega_{**1} +O(\varepsilon^2),\qquad \omega_{**1} = \omega_1(0) -\frac{\gamma_1(c_1(0)+ c_2(0))}{a_1(0)+ a_2(0)}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.39}
$$
Этот цикл, как и в случае (4.27), (4.28), порождает в системе (4.25), (4.26) инвариантный тор $T_2(\varepsilon)$, заполненный замкнутыми траекториями (4.37). Отметим, что в работе [22] показано, что в некоторой фиксированной окрестности точки $(z_1, z_2)=(0,0)$ системы уравнений (4.25), (4.26) нет других замкнутых траекторий, кроме перечисленных выше. Перенесем полученные результаты на начально-краевую задачу (3.2)–(3.5) с учетом структуры (4.18), (4.22) и уравнений (4.19), (4.20). Подставив периодические решения (4.35) и (4.36) в (4.18), получим периодические решения (3.2), (3.3) вида
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u_1(\rho,\psi,s;\varepsilon^{1/2}) = \varepsilon^{1/2}u_{*}(\rho,\psi;\varepsilon^{1/2}) = \varepsilon^{1/2}r_*(u^*_{nj}(\rho)e^{i\psi} +\bar u^*_{nj}(\rho)e^{-i\psi}) + \varepsilon u_{1*}(\rho,\psi;\varepsilon^{1/2}), \notag \\ \psi = n\phi + (\omega_* + \varepsilon \omega_{*1}+O(\varepsilon^2))(t+s) + c,\qquad c=\mathrm{const}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.40}
$$
где $u_{1*}(\rho,\psi;\varepsilon^{1/2})= u_{1*}(\rho,\psi + 2\pi;\varepsilon^{1/2})$ – гладко зависящая от своих переменных функция, и
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u_2(\rho,\psi,s;\varepsilon^{1/2}) = \varepsilon^{1/2}u_*(\rho,\psi;\varepsilon^{1/2}),\\ \psi = - n\phi + (\omega_* + \varepsilon \omega_{*1}+O(\varepsilon^2))(t+s) + c,\qquad c=\mathrm{const}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.41}
$$
которые являются идентичными спиральными волнами, вращающимися в противоположных направлениях. В этом легко убедиться, записав главную часть этих решений в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u^*_{nj}(\rho)e^{i\psi} +\bar u^*_{nj}(\rho)e^{-i\psi} = R^*(\rho)\cos(\psi +\psi^*(\rho)), \\ R^*(\rho) =|u^*_{nj}(\rho)|,\qquad \psi^*(\rho)=\arg (u^*_{nj}(\rho)). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.42}
$$
Подставим теперь семейство периодических решений (4.39) в (4.18). В результате получим однопараметрическое семейство периодических решений (инвариантный тор $T_2(\varepsilon)$) начально-краевой задачи (3.2), (3.3) вида
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{\circ}(\rho,t+s;\varepsilon^{1/2})={}&\varepsilon^{1/2}(u_{**}(\rho,n+\psi;\varepsilon^{1/2}) + u_{**}(\rho,-n+\psi;\varepsilon^{1/2})) ={} \\ ={}&\varepsilon^{1/2}r_{**}((u^*_{nj}(\rho)e^{i(n +\psi)} +\bar u^*_{nj}(\rho)e^{-i(n+\psi)}) +{} \\ &+ (u^*_{nj}(\rho)e^{i(-n +\psi)} +\bar u^*_{nj}(\rho)e^{-i(-n+\psi)})) +{} \\ &+\varepsilon(u_{2*}(\rho,n+\psi;\varepsilon^{1/2}) + u_{2*}(\rho,-n+\psi;\varepsilon^{1/2})), \\ \phi ={}& (\omega_* + \varepsilon \omega_{**1} +O(\varepsilon^2))(t+s) + c,\qquad c=\mathrm{const}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.43}
$$
где $u_{2*}(\rho,\psi;\varepsilon^{1/2})= u_{2*}(\rho,\psi + 2\pi;\varepsilon^{1/2})$ – гладко зависящая от своих переменных функция. Семейство периодических решений (4.43) представляет собой семейство стоячих волн, инвариантных относительно сдвига по угловой переменной (ведущий центр). Рассмотрим алгоритм вычисления коэффициентов разложений (4.18)–(4.20) (разложений (4.25), (4.26)). Для этого воспользуемся подходом, используемым в работах [24], [25]. Для этого перейдем от (3.2)–(3.5) к эквивалентной начально-краевой задаче в области $ \kern1.9pt\overline{\vphantom{K}\kern7.2pt}\kern-9.0pt K\kern0.2pt _R \times [-T,0] \times \mathbb R ^+$, положив $w(\rho, \phi, s, t)=u(\rho, \phi, t+s)$:
$$
\begin{equation}
w_s( \rho, \phi, 0, t) ={} -w(\rho, \phi, 0, t)+D \Delta_{\rho \phi}w(\rho, \phi, 0, t) - b(\varepsilon)w(\rho/\alpha, \phi, -T,t)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+ b_2(\varepsilon)w^2(\rho/\alpha, \phi, -T, t) + b(\varepsilon)w^3(\rho/\alpha, \phi, -T, t)/6+\cdots, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
w_\rho( R, \phi, s, t) ={} 0,\quad w(\rho,0,s,t) = w(\rho, 2\pi,s,t), \quad w_{\phi}(\rho,0,s,t) = w_{\phi}(\rho, 2\pi,s,t), \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
w( \rho, \phi, s, 0) ={} w_0(\rho, \phi,s) \in H_0(K_R;-T,0).
\end{equation}
\tag{4.45}
$$
В рассматриваемом случае условие принадлежности траекторий системы уравнений (4.19), (4.20) в силу многообразия (4.18) начально-краевой задаче (4.44), (4.45) ((3.2)–(3.5)) определяют тождества
$$
\begin{equation}
\frac{d G(\,\cdot\,)}{dt} \equiv \sum_{j=1}^2\biggl(\frac{\partial G(\,\cdot\,)}{\partial z_j}Z_{j}^*(z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\varepsilon) + \frac{\partial G(\,\cdot\,)}{\partial \bar z_j}\bar Z_{j}^*(z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\varepsilon)\biggr) \equiv \frac{\partial G(\,\cdot\,)}{\partial s},
\end{equation}
\tag{4.46}
$$
$$
\begin{equation}
G_s(\rho,\phi,0,z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\varepsilon)\equiv - G(\rho,\phi,0,z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\varepsilon) + {} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad +D\Delta_{\rho \phi} G(\rho,\phi,0,z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\bar\varepsilon) -b(\varepsilon)G(\rho/\alpha,\phi,-T,z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\varepsilon)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad +\frac12 b_2(\varepsilon)G(\rho/\alpha,\phi,-T,z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\varepsilon)^2 +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad +\frac16 b(\varepsilon)G(\rho/\alpha,\phi,-T,z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;\varepsilon)^3+\cdots,
\end{equation}
\tag{4.47}
$$
для определения коэффициентов разложения (4.18) и коэффициентов $d_1(\varepsilon)$, $d_2(\varepsilon)$ системы уравнений (4.25), (4.26). Приравнивая в (4.46), (4.47) коэффициенты при одинаковых степенях $z_1$, $\bar z_1$, $z_2$, $\bar z_2$, получим для определения функций, входящих в (4.18), рекуррентную последовательность краевых задач. При первых степенях равенства выполняются автоматически в силу (4.14), (4.15). При других степенях часть краевых задач однозначно разрешима, однозначной разрешимости другой части добиваемся выбором коэффициентов $d_1(\varepsilon)$, $d_2(\varepsilon)$. Остановимся более подробно на этих вычислениях. Приравняем в (4.46), (4.47) коэффициенты при $z^2$. В результате получим для определения $v_{2000}(\rho,\phi,s;\varepsilon)$ краевую задачу
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \lambda(\varepsilon)v_{2000}(\rho,\phi,s;\varepsilon) = v_{2000s}(\rho,\phi,s;\varepsilon), \notag \\ v_{2000s}(\rho,\phi,0;\varepsilon) = - v_{2000}(\rho,\phi,s;\varepsilon) +D \Delta_{\rho \phi}v_{2000}(\rho,\phi,s;\varepsilon)- b(\varepsilon) v_{2000}(\rho/\alpha,\phi,-T_*;\varepsilon) +{}\notag\\ \qquad\qquad\qquad\quad\,\,\;{}+ \frac12 b_2(\varepsilon)e^{-2\lambda(\varepsilon)T_*}(u^*_{nj}(\rho/\alpha))^2e^{i2n\phi}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.48}
$$
которая имеет единственное решение
$$
\begin{equation*}
v_{2000}(\rho,\phi,s;\varepsilon)= w_{2000}(\rho;\varepsilon)e^{i2n\phi + 2\lambda(\varepsilon)s},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, L(2\lambda(\varepsilon),&n;\varepsilon)w_{2000}(\rho;\varepsilon)\equiv 2\lambda(\varepsilon) w_{2000}(\rho;\varepsilon) + w_{2000}(\rho;\varepsilon) - D\biggl(\frac{1}{\rho}\frac{d }{d\rho}\biggl(\rho \frac{d }{d\rho}\biggr)-\frac{n^2}{\rho^2}\biggr)\times{} \notag \\ &\times w_{2000}(\rho;\varepsilon) + b(\varepsilon)w_{2000}(\rho;\varepsilon) e^{- \lambda(\varepsilon) T_*} = \frac12 b_2(\varepsilon)e^{-2\lambda(\varepsilon)T_*}(u^*_{nj}(\rho/\alpha))^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.49}
$$
Так как $2i\omega_*$ не является точкой спектра пучка операторов $P(\lambda;0)$, определен ограниченный оператор $L^{-1}(2\lambda(\varepsilon),n;\varepsilon)\colon \tilde L_2(0,R) \to \tilde H^2(0,R)$, где $\tilde H^2(0,R) =\{w(\rho)\colon w(\rho,\phi)\equiv w(\rho)\in \tilde H^2(K_R)\}$. В связи с этим имеем
$$
\begin{equation}
w_{2000}(\rho;\varepsilon) =\frac12 b_2(\varepsilon)e^{-2\lambda(\varepsilon)T_*} L^{-1}(2\lambda(\varepsilon),n;\varepsilon)(u^*_{nj}(\rho/\alpha))^2.
\end{equation}
\tag{4.50}
$$
Для практического построения $w_{2000}(\rho;\varepsilon)$ представим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, w_{2000}(\rho;\varepsilon) = \sum_{j=1}^{\infty} p_{2nj}(\varepsilon) R_{2nj}(\rho), \notag \\ (u^*_{nj}(\rho/\alpha))^2= \sum_{j=1}^{\infty} f_{2nj}(\varepsilon) R_{2nj}(\rho), \quad f_{2nj}(\varepsilon) = ((u^*_{nj}(\rho/\alpha))^2,\quad R_{2nj}(\rho))_{L_2(0,R)}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.51}
$$
Подставив (4.51) в (4.49) и спроецировав на систему функций $R_{2nj}(\rho)$, $j=1,2,\dots$, получим линейную алгебраическую систему уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, P^{(n)}(2\lambda(\varepsilon),\alpha;\varepsilon) p_{2n}(\varepsilon) =\frac12 b_2(\varepsilon) e^{- 2\lambda(\varepsilon)T_*}f_{2n}(\varepsilon), \\ p_{2n}(\varepsilon)=(p_{2n1}(\varepsilon),p_{2n2}(\varepsilon),\dots),\qquad f_{2n}(\varepsilon)=(f_{2n1}(\varepsilon),f_{2n2}(\varepsilon),\dots), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.52}
$$
в пространстве $\tilde l_2$, бесконечномерная матрица $P^{(n)}(2\lambda(\varepsilon),\alpha;\varepsilon)$ которой определена в (3.10). Из (4.52) находим
$$
\begin{equation*}
p_{2n}(\varepsilon) =\frac12 b_2(\varepsilon) e^{- 2\lambda(\varepsilon)T_*} (P^{(n)}(2\lambda(\varepsilon),\alpha;\varepsilon))^{-1}f_{2n}(\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично для определения $v_{1100}(\rho,\phi,s;\varepsilon)$ имеем краевую задачу
$$
\begin{equation*}
(\lambda(\varepsilon) + \bar \lambda(\varepsilon))v_{1100}(\rho,\phi,s;\varepsilon) = v_{1100s}(\rho,\phi,s;\varepsilon),
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v_{1100s}(\rho,\phi,0;\varepsilon) ={}&{-} v_{1100}(\rho,\phi,s;\varepsilon) + D \Delta_{\rho \phi}v_{1100}(\rho,\phi,s;\varepsilon) - b(\varepsilon) v_{1100}(\rho/\alpha,\phi,s;\varepsilon) +{} \notag \\ &+ b_2(\varepsilon)e^{-(\lambda(\varepsilon) + \bar \lambda(\varepsilon))T_*}u^*_{nj}(\rho/\alpha)\bar u^*_{nj}(\rho/\alpha), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.53}
$$
единственное решение которой имеет вид
$$
\begin{equation*}
v_{1100}(\rho,\phi,s;\varepsilon) \equiv w_{1100}(\rho;\varepsilon)e^{(\lambda(\varepsilon) + \bar \lambda(\varepsilon))s}, \qquad w_{11}(\rho;\varepsilon)=\sum_{j=0}^{\infty} p_{0j}(\varepsilon) R_{0j}(\rho),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, L(\lambda(\varepsilon) +{}& \bar \lambda(\varepsilon),0;\varepsilon)w_{1100}(\rho;\varepsilon)\equiv (\lambda(\varepsilon) + \bar \lambda(\varepsilon)) w_{1100}(\rho;\varepsilon) + w_{1100}(\rho;\varepsilon) -{} \notag \\ {}& - D\biggl(\frac{1}{\rho}\frac{d }{d\rho}\biggl(\rho \frac{d }{d\rho}\biggr)\biggr)w_{1100}(\rho;\varepsilon) +b(\varepsilon)w_{1100}(\rho;\varepsilon) e^{- (\lambda(\varepsilon) + \bar \lambda(\varepsilon)) T_*} ={} \notag \\ ={}& b_2(\varepsilon)e^{-(\lambda(\varepsilon) + \bar \lambda(\varepsilon))T_*}u^*_{nj}(\rho/\alpha)\bar u^*_{nj}(\rho/\alpha), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.54}
$$
или
$$
\begin{equation}
w_{1100}(\rho;\varepsilon) = b_2(\varepsilon)e^{-(\lambda(\varepsilon) + \bar \lambda(\varepsilon))T_*} L^{-1}(\lambda(\varepsilon) + \bar \lambda(\varepsilon);\varepsilon)u^*_{nj}(\rho/\alpha)\bar u^*_{nj}(\rho/\alpha),
\end{equation}
\tag{4.55}
$$
так как при $|\varepsilon| < \varepsilon_0$ $\lambda(\varepsilon) + \bar \lambda(\varepsilon)$ не является точкой спектра пучка операторов $P(\lambda; \varepsilon)$. Для практического построения $w_{1100}(\rho;\varepsilon)$ представим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, w_{1100}(\rho;\varepsilon) = \sum_{k=0}^{\infty} p_{0k}(\varepsilon) R_{0k}(\rho),\qquad u^*_{nj}(\rho/\alpha)\bar u^*_{nj}(\rho/\alpha)= \sum_{k=0}^{\infty} f_{0k}(\varepsilon) R_{0k}(\rho), \notag \\ f_{0k}(\varepsilon) = (u^*_{nj}(\rho/\alpha)\bar u^*_{nj}(\rho/\alpha),R_{0k}(\rho))_{L_2(0,R)}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.56}
$$
Подставив (4.51) в (4.50) и спроецировав на систему функций $R_{0k}(\rho)$, $k=0,1,\dots$, получим линейную алгебраическую систему уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, P^{(0)}(\lambda(\varepsilon) + \bar \lambda(\varepsilon),\alpha;\varepsilon) p_{0}(\varepsilon) =b_2(\varepsilon) e^{- (\lambda(\varepsilon) + \bar \lambda(\varepsilon))T_*}f_{0}(\varepsilon), \\ p_{0}(\varepsilon)=(p_{00}(\varepsilon),p_{01}(\varepsilon),\dots),\qquad f_{0}(\varepsilon)=(f_{00}(\varepsilon),f_{01}(\varepsilon),\dots), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.57}
$$
в пространстве $\tilde l_2$, в которой бесконечномерная матрица $P^{0}(\lambda(\varepsilon) + \bar \lambda(\varepsilon),\alpha;\varepsilon)$ определена в (3.10). Из (4.52) находим
$$
\begin{equation*}
p_{0}(\varepsilon) =b_2(\varepsilon) e^{- (\lambda(\varepsilon) + \bar \lambda(\varepsilon))T_*} (P^{(0)}(\lambda(\varepsilon) + \bar \lambda(\varepsilon),\alpha;\varepsilon))^{-1}f_{0}(\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично находятся и другие функции $ v_{jk}(\rho,\phi,s;\varepsilon)$ представления (4.18). Отметим имеющиеся равенства между этими функциями:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, w_{0200}(\rho;\varepsilon) =w_{0101}(\rho;\varepsilon) = w_{0002}(\rho;\varepsilon) = \bar w_{2000}(\rho;\varepsilon),\\ w_{0020}(\rho;\varepsilon) = w_{2000}(\rho;\varepsilon) =w_{1010}(\rho;\varepsilon), \\ w_{1100}(\rho;\varepsilon) = w_{0011}(\rho;\varepsilon) = w_{1001}(\rho;\varepsilon) = w_{0110}(\rho;\varepsilon). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.58}
$$
С учетом равенств (4.58) приравняем теперь в (4.46), (4.47) коэффициенты при $z^3$. В результате получим для определения $v_{3000}(\rho,\phi,s;\varepsilon)$ краевую задачу
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, 3\lambda(\varepsilon)v_{3000}(\rho,\phi,s;\varepsilon) = v_{3000s}(\rho,\phi,s;\varepsilon), \\ v_{3000s}(\rho,\phi,0;\varepsilon) = - v_{3000}(\rho,\phi,0;\varepsilon) + D \Delta_{\rho \phi}v_{3000}(\rho,\phi,0;\varepsilon) - b(\varepsilon) v_{3000}(\rho/\alpha,\phi,-T_*;\varepsilon) +{} \\ {}+\biggl(b_2(\varepsilon)w_{2000}(\rho/\alpha;\varepsilon)u^*_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon) +\frac16 b(\varepsilon) u^{*3}_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon)\biggr)e^{ - 3\lambda(\varepsilon)T_*}e^{i3n\phi}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.59}
$$
которая имеет единственное решение
$$
\begin{equation*}
v_{3000}(\rho,\phi,s;\varepsilon)= w_{3000}(\rho;\varepsilon)e^{i3n\phi + 3\lambda(\varepsilon)s},
\end{equation*}
\notag
$$
в котором $w_{3000}(\rho;\varepsilon)$ определяется из уравнения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, L(3\lambda(\varepsilon),&3n;\varepsilon)w_{3000}(\rho;\varepsilon) =\notag\\ &= \biggl(b_2(\varepsilon)w_{2000}(\rho/\alpha;\varepsilon)u^*_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon) +\frac16 b(\varepsilon) u^{*3}_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon)\biggr)e^{ - 3\lambda(\varepsilon)T_*}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.60}
$$
Так как $3i\omega_*$ не является точкой спектра пучка операторов $P(\lambda;0)$, определен ограниченный оператор $L^{-1}(3\lambda(\varepsilon),n;\varepsilon)\!: \tilde L_2(0,R) \to \tilde H^2(0,R)$. В связи с этим имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, w_{3000}(\rho;\varepsilon) ={}&e^{-3\lambda(\varepsilon)T_*} L^{-1}(3\lambda(\varepsilon),n;\varepsilon)\times{} \notag \\ &\times \biggl(b_2(\varepsilon)w_{2000}(\rho/\alpha;\varepsilon)u^*_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon) + \frac16 b(\varepsilon) u^{*3}_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.61}
$$
Практическое построение $w_{3000}(\rho;\varepsilon)$ выполняется аналогично $w_{2000}(\rho;\varepsilon)$ по схеме (4.51), (4.52). Приравняв теперь в (4.46), (4.47) коэффициенты при $z_1^2 \bar z_1$, получим краевую задачу вида
$$
\begin{equation}
e_{1}(\rho,{} {}\phi,s;\varepsilon)d_1(\varepsilon) + (2\lambda(\varepsilon) +\bar \lambda(\varepsilon)) v_{2100}(\rho,\phi,s;\varepsilon) = v_{2100s}(\rho,\phi,s;\varepsilon),
\end{equation}
\tag{4.62}
$$
$$
\begin{equation}
v_{2100s}(\rho,{} {}\phi,0;\varepsilon) = - v_{2100}(\rho,\phi,0;\varepsilon) + D \Delta_{\rho \phi}v_{2100}(\rho,\phi,0;\varepsilon) - b(\varepsilon) v_{2100}(\rho/\alpha,\phi,-T_*;\varepsilon) +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+ \biggl(b_2(\varepsilon)(w_{2000}(\rho/\alpha;\varepsilon)\bar u_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon) + w_{1100}(\rho;\varepsilon)u_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon)) +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad+\frac12 b(\varepsilon) u^{*2}_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon)\bar u_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon)\biggr) e^{- (2\lambda(\varepsilon) +\bar \lambda(\varepsilon))T_*} e^{in\phi }.
\end{equation}
\tag{4.63}
$$
При $d_1(\varepsilon) \equiv 0$ краевая задача (4.62), (4.63) не разрешима при $\varepsilon =0$. Разрешимости добиваемся выбором $d_1(\varepsilon)$. Общее решение уравнения (4.62) с учетом структуры (4.18) и (4.63) имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v_{2100}(\rho,\phi,s;\varepsilon) ={}& \biggl(w_{2100}(\rho;\varepsilon)e^{in\phi} +{} \notag \\ &+ d_1(\varepsilon) \int _0^s e^{-(2\lambda(\varepsilon) +\bar \lambda(\varepsilon))s_1}e_{n1}(\rho,\phi,s_1;\varepsilon)\,ds_1\biggr)e^{(2\lambda(\varepsilon) +\bar \lambda(\varepsilon))s}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.64}
$$
где $w_{2100}(\rho;\varepsilon)\in \tilde H^2(0,R)$ – произвольная функция. Подставив (4.64) в (4.63), получим операторное уравнение в $L_2(0,R)$ вида
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, L(2\lambda(\varepsilon) +{}& \bar \lambda(\varepsilon) ,n;\varepsilon) w_{2100}(\rho;\varepsilon) = f_{2100}(\rho;\varepsilon) \equiv {} \notag \\ &\equiv - d_1(\varepsilon)\biggl(u^*_{nj}(\rho;\varepsilon) - b(\varepsilon) e^{- (2\lambda(\varepsilon) +\bar \lambda(\varepsilon))T_*}\frac{1 -e^{-(\lambda(\varepsilon) +\bar \lambda(\varepsilon))T_*}}{\lambda(\varepsilon) +\bar \lambda(\varepsilon)}u^*_{nj}(\rho/ \alpha;\varepsilon)\biggr)+{} \notag \\ &\quad + \biggl(b_2(\varepsilon)(w_{2000}(\rho/\alpha;\varepsilon)\bar u_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon) + w_{1100}(\rho/\alpha;\varepsilon)u_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon)) +{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad+\frac12 b(\varepsilon) u^{*2}_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon)\bar u^*_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon)\biggr) e^{- (2\lambda(\varepsilon) +\bar \lambda(\varepsilon))T_*}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.65}
$$
Операторное уравнение (4.65) разрешимо не всегда, так как
$$
\begin{equation*}
L(2\lambda(0) + \bar \lambda(0),n;0)u^*_{nj}(\rho;0) =L(i\omega_*,n;0)u^*_{nj}(\rho;0) = 0,
\end{equation*}
\notag
$$
а также $L^*(-i\omega_*)v^*_{nj}(\rho;0) =0$, где $L^*(-i\omega_*;0)$ – сопряженный с $L(i\omega_*;0)$ в смысле скалярного произведения (3.9) оператор. Обозначим через $\gamma(\varepsilon)$, $\gamma(0)=0$ и $u^{\gamma}_{nj}(\rho;\varepsilon)$, $u^{\gamma}_{nj}(\rho;0) = u^*_{nj}(\rho;0)$ соответственно точку спектра и собственную функцию пучка операторов $L(2\lambda(\varepsilon) + \bar \lambda(\varepsilon) +\lambda,n;\varepsilon)$, а через $\bar \gamma(\varepsilon)$ и $v^{\gamma}_{nj}(\rho;\varepsilon)$, $v^{\gamma}_{nj}(\rho;0) = v^*_{nj}(\rho;0)$ – точку спектра и собственную функцию сопряженного пучка операторов $L^*(2\bar\lambda(\varepsilon) + \lambda(\varepsilon) +\lambda,n;\varepsilon)$, т. е.
$$
\begin{equation*}
L(2\lambda(\varepsilon) + \bar \lambda(\varepsilon) +\gamma(\varepsilon),n;\varepsilon)u^{\gamma}_{nj}(\rho;\varepsilon) = 0, \qquad L^*(2\bar\lambda(\varepsilon) + \lambda(\varepsilon) +\bar \gamma(\varepsilon),n;\varepsilon)v^{\gamma}_{nj}(\rho;\varepsilon) =0,
\end{equation*}
\notag
$$
и выберем их удовлетворяющими условиям
$$
\begin{equation}
\biggl(u^{\gamma}_{nj}(\rho;\varepsilon) - b(\varepsilon) e^{- (2\lambda(\varepsilon) +\bar \lambda(\varepsilon))T_*}\frac{1 -e^{-(\lambda(\varepsilon) +\bar \lambda(\varepsilon))T_*}}{\lambda(\varepsilon) +\bar \lambda(\varepsilon)}u^{\gamma}_{nj}(\rho/ \alpha;\varepsilon), v^{\gamma}_{nj}(\rho;\varepsilon)\biggr)_R=1.
\end{equation}
\tag{4.66}
$$
Необходимым и достаточным условием разрешимости уравнения (4.65) в $\tilde L_2(0,R)$ является равенство $(f_{2100}(\rho;\varepsilon),v^{\gamma}_{nj}(\rho;\varepsilon))_R =0$ [26]. Отсюда с учетом (4.65), (4.66) находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, d_1(\varepsilon) &=a_1(\varepsilon) + ic_1(\varepsilon) = e^{ - (2\lambda(\varepsilon) +\bar \lambda(\varepsilon))T_*} \biggl(b_2(\varepsilon)(w_{2000}(\rho/\alpha;\varepsilon)\bar u_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon) +{} \notag \\ &+ w_{1100}(\rho;\varepsilon)u_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon)) +\frac12 b(\varepsilon) u^{*2}_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon)\bar u^*_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon), v^{\gamma}_{nj}(\rho;\varepsilon)\biggr)_{L_2(0,R)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.67}
$$
Решение уравнения (4.65) выберем удовлетворяющим условию
$$
\begin{equation*}
(w_{2100}(\rho;\varepsilon),v^{\gamma}_{nj}(\rho;\varepsilon))_{L_2(0,R)} =0.
\end{equation*}
\notag
$$
Такое решение определяется однозначно. Для практического построения $w_{2100}(\rho;\varepsilon)$ представим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, w_{2100}(\rho;\varepsilon) = \sum_{k=1}^{\infty} p_{k}(\varepsilon) R_{nk}(\rho),\qquad f_{2100}(\rho;\varepsilon)= \sum_{k=1}^{\infty} f_{k}(\varepsilon) R_{nk}(\rho), \notag \\ u^*_{nj}(\rho;\varepsilon)= \sum_{k=1}^{\infty} u_{k}(\varepsilon) R_{nk}(\rho), \notag \\ f_{k}(\varepsilon) = ( f_{2100}(\rho;\varepsilon),R_{nk}(\rho))_{L_2(0,R)},\qquad u^*_{k}(\varepsilon) = (u^*_{nj}(\rho;\varepsilon),R_{nk}(\rho))_{L_2(0,R)}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.68}
$$
$p_{2100}(\varepsilon)=(p_{1}(\varepsilon),p_{2}(\varepsilon),\dots)$, $f_{2100}(\varepsilon)=(f_{1}(\varepsilon),f_{2}(\varepsilon),\dots)$, $u^*(\varepsilon)=(u^*_{1}(\varepsilon),u^*_{2}(\varepsilon),\dots)$. Подставив (4.68) в (4.65) и спроецировав на систему функций $R_{nj}(\rho)$, $j=1,2,\dots$, получим линейную алгебраическую систему уравнений
$$
\begin{equation}
P^{(n)}(2\lambda(\varepsilon) + \bar \lambda(\varepsilon),\alpha;\varepsilon) p_{2100}(\varepsilon) =f_{2100}(\varepsilon)
\end{equation}
\tag{4.69}
$$
в пространстве $\tilde l_2$, бесконечномерная матрица $P^{(n)}(2\lambda(\varepsilon) + \bar \lambda(\varepsilon),\alpha;\varepsilon)$ которой определена в (3.10). Решение (4.69) будем строить в виде разложения по параметру $\varepsilon$, представив
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, p_{2100}(\varepsilon) &=p_0 + \varepsilon p_1 + \cdots ,\qquad f_{2100}(\varepsilon) = f_0 + \varepsilon f_1 + \cdots, \\ u^*(\varepsilon) &= u^*_0 + \varepsilon u^*_1 + \cdots,\qquad d_1(\varepsilon) = d_{10} + \varepsilon d_{11} + \cdots. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.70}
$$
Подставим (4.70) в (4.69) и приравняем коэффициенты в равенстве при одинаковых степенях $\varepsilon$. В результате получим рекуррентную последовательность линейных уравнений в $\tilde l_2$ вида
$$
\begin{equation}
P^{(n)}(i\omega_*,\alpha;0) p_{j} = d_{1j} P_{\lambda}^{(n)}(i\omega_*,\alpha;0)u^*_0 + F_{j}(p_{0},\dots,p_{j-1}).
\end{equation}
\tag{4.71}
$$
При этом $P^{(n)}(i\omega_*,\alpha;0)u^*_0 =0$. Выберем $P^{(n)*}(-i\omega_*,\alpha;0)v^*_0 =0$ таким образом, чтобы $(P_{\lambda}^{(n)}(i\omega_*,\alpha;0)u^*_0,v^*_0)_{l_2} =1$. С учетом этого из условия разрешимости (4.71) $(d_{1j} P^{(n)}(i\omega_*,\alpha;0)u^*_0 + F_{j}(p_{0},\dots,p_{j-1}),v^*_0)_{l_2}=0$ имеем $d_{2j} =-( F_{j}(p_{0},\dots,p_{j-1}),v^*_0)_{l_2}$. Решение $p_{j}$ выбираем удовлетворяющим условию $(P_{\lambda}^{(n)}(i\omega_*,\alpha;0)p_{j},v^*_0)_{l_2} =0$. В этом случае ряды (4.70) будут сходящимися по $\varepsilon$ при $|\varepsilon| < \varepsilon_0$. При практическом вычислении $d_{1j}$ и $p_{j}$ необходимо использовать конечномерную матрицу $P_N^{(n)}(i\omega_*,\alpha;0)$, увеличивая $N$ до получения стабильных результатов. Приравняв теперь в (4.46), (4.47) коэффициенты при $z_1z_2 \bar z_2$, получим краевую задачу вида
$$
\begin{equation}
e_{1}(\rho,\phi,s;\varepsilon)d_2(\varepsilon) + (2\lambda(\varepsilon) +\bar \lambda(\varepsilon)) v_{1011}(\rho,\phi,s;\varepsilon) = v_{1011s}(\rho,\phi,s;\varepsilon),
\end{equation}
\tag{4.72}
$$
$$
\begin{equation}
v_{1011s}(\rho,\phi,0;\varepsilon) = - v_{1011}(\rho,\phi,0;\varepsilon) + D \Delta_{\rho \phi}v_{1011}(\rho,\phi,0;\varepsilon) - b(\varepsilon) v_{1011}(\rho/\alpha,\phi,-T_*;\varepsilon) +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad + (b_2(\varepsilon)(w_{1010}(\rho/\alpha;\varepsilon)\bar u_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon) + (w_{0011}(\rho/\alpha;\varepsilon)+w_{1001}(\rho/\alpha;\varepsilon))u_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon)) +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad + b(\varepsilon) u^{*2}_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon)\bar u_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon)) e^{- (2\lambda(\varepsilon) +\bar \lambda(\varepsilon))T_*} e^{in\phi}.
\end{equation}
\tag{4.73}
$$
Краевая задача (4.72), (4.73) аналогична краевой задаче (4.63), (4.64). Из условия разрешимости определяется коэффициент $d_2(\varepsilon)$, который в этом случае имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, d_2(\varepsilon) ={}&a_2(\varepsilon) + ic_2(\varepsilon) = e^{ - (2\lambda(\varepsilon) +\bar \lambda(\varepsilon))T_*} (b_2(\varepsilon)(w_{1010}(\rho/\alpha;\varepsilon)\bar u_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon) +{} \\ &+ (w_{0011}(\rho/\alpha;\varepsilon)+w_{1001}(\rho/\alpha;\varepsilon))u_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon)) +{} \\ &+ b(\varepsilon) u^{*2}_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon)\bar u^*_{nj}(\rho/\alpha;\varepsilon), v^{\gamma}_{nj}(\rho;\varepsilon))_{L_2(0,R)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Однозначное решение $v_{1011}(\rho,\phi,s;\varepsilon)$ и разложение $d_2(\varepsilon) = d_{20} + \varepsilon d_{21} + \cdots$ строятся по изложенной выше схеме. Изложенное выше сформулируем окончательно в виде следующей теоремы. Теорема 3. Пусть при выбранных $D$, $\alpha$, $\gamma$ параметры $K_*$, $T_*$ принадлежат границе области устойчивости состояния равновесия $u_* = u_*(K_*,\alpha,\gamma)$ и при этом пучок операторов (3.8) имеет точки спектра $\lambda = \pm i\omega_*$, $\omega_*>0$, при некотором $n >0$, пусть также $\gamma_1 >0$, $a_1(0),a_1(0)+a_2(0) <0$, $a_1(0)^2-a_2(0)^2 \ne 0$. Тогда существуют такие $\varepsilon_0, R >0$, что при $K = K_* + \varepsilon$, $0 <\varepsilon < \varepsilon_0$, в шаре $S_{u_*(\varepsilon)}(R)$ фазового пространства $H_{0}(K_R;-T,0)$ начально-краевая задача (2.1), (2.2) имеет два взаимно инвариантных пространственно неоднородных периодических решения $\varepsilon^{1/2}u_*(\rho,\psi;\varepsilon^{1/2})$, $\psi =\pm n\phi + (\omega_* + \varepsilon \omega_{*1}+O(\varepsilon))(t+s)+ c$, $c=\mathrm{const}$, периода $T(\varepsilon) =2\pi/(\omega_* + \varepsilon \omega_{*1} +O(\varepsilon))$ вида (4.40), (4.41), являющихся спиральными волнами, вращающимися в противоположных направлениях, и двумерный инвариантный тор $\varepsilon^{1/2}u_{**}(\rho,n+\psi;\varepsilon^{1/2})$, $\phi = (\omega_* + \varepsilon \omega_{**1} +O(\varepsilon^2))(t+s) + c$, $c=\mathrm{const}$, вида (4.43), заполненный периодическими решениями одного периода $T(\varepsilon) =2\pi/(\omega_{*} + \varepsilon \omega_{**1} +O(\varepsilon))$ (ведущий центр). При этом если $a_1(0)^2 - a_2(0)^2 < 0$, периодические решения асимптотически орбитально устойчивые, а тор неустойчив. Если $a_1(0)^2 - a_2(0)^2 > 0$, периодические решения неустойчивы, а тор асимптотически орбитально устойчив. Все остальные решения начально-краевой задачи (2.1), (2.2) с начальными условиями из $S_{u_*(\varepsilon)}(R)$ при $t \to \infty$ стремятся к устойчивым автоколебательным решениям в норме $H_{0}(K_R;-T,0)$. В качестве примера рассмотрим начально-краевую задачу (2.1), (2.2) в случае $D=0.01$, $\gamma=0.5$, $\alpha =1.2$. Выберем $K_*\cong 3.704$, $T_*\cong 2.278$ принадлежащими границе области $D_0$ устойчивости состояния равновесия $u_*=u_*(K_*,\alpha,\gamma) \cong 2.041 \in U_1$, которая соответствует случаю $n=1$ (см. рис. 1г). При этом пучок операторов (3.8) имеет точки спектра $ \pm i\omega_*, \omega_*\cong 0.5512$, которым отвечают собственные функции (4.11), где составляющие функции $u_{11}(\rho) = u^{re}_{11}(\rho) +i u^{im}_{11}(\rho)$, построенные согласно алгоритму раздела 3, имеют вид, представленный на рис. 3. Для вычисления $\lambda_1=\gamma_1 + i\sigma_1, d_1(0), d_2(0)$ в соответствии с изложенными выше алгоритмами написана программа на языке Python. Вычисления проводились для $N=5, 6, 7$. Результаты вычислений при указанных значениях $N$ стабилизируются. В результате имеем $\lambda_1 \cong 0.1023 + i0.04485$, $ d_1(0) \cong -0.05632 - i0.02761$, $d_2(0) \cong -0.1087-i 0.08742$. В соответствии с теоремой 3 при $0 <\varepsilon < \varepsilon_0$ начально-краевая задача (2.1), (2.2) в окрестности состояния равновесия $u_*$ имеет два устойчивых периодических решения (спиральные волны) вида (4.40), (4.41) и неустойчивый двумерный инвариантный тор вида (4.43). При этом $r_*\cong 1.347$, $\omega_{*1} \cong -0.004221$, $r_{**} \cong 0.7873$, $\omega_{**1}\cong-0.5105$. На рис. 4 для фиксированного значения $t$ приведен вид указанных пространственно неоднородных решений (волн), вычисленных согласно (4.40), (4.41) и (4.43) для приведенных значений параметров с точностью до $O(\varepsilon)$ при $\varepsilon = 0.1$. На рис. 4а представлена спиральная волна, вращающаяся по часовой стрелке, на рис. 4б – спиральная волна, вращающаяся против часовой стрелки, на рис. 4в – ведущий центр. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KubKul24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|