| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Иерархия нелокального нелинейного уравнения Шредингера с самосогласованными источниками и его динамика Ци Лиa, Цю-Юань Дуаньb a Department of Mathematics, East China University of Technology, Nanchang, China b Department of Mathematics, Fuzhou Vocational College of Technology, Fuzhou, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 219, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924060047 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеАбловиц и Мусслимани [1] ввели нелокальное нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) где звездочка обозначает комплексное сопряжение, а $q$ – комплекснозначная функция вещественных переменных $x$ и $t$. Они назвали ее $PT$-симметричным НУШ, что было мотивировано изучением симметрии четность-время в квантовой физике и оптике. Уравнение (1) устанавливает соответствие между нелокальными интегрируемыми редукциями и физически значимыми моделями [2]. Лоу и Хуан [3] предложили физику Алисы–Боба, называемую также существенно нелокальной системой Алисы–Боба, и объяснили физические аспекты нелокальных нелинейных систем. После их пионерской работы было проведено большое количество физически и математически значимых исследований.Обратная задача рассеяния для нелокального НУШ была развита на основе новой лево/правосторонней задачи Римана [1]. В принципе, для нахождения решений новых нелокальных интегрируемых систем были развиты некоторые другие методы, применимые в классическом (локальном) случае, такие как метод Хироты, преобразования Дарбу и Беклунда [4]–[13]. Например, техника редуцирования решений применяется для получения точных решений в виде двойного вронскиана для классических нелокальных интегрируемых уравнений, редуцированных из иерархии Абловица–Каупа–Ньюэла–Сигура (АКНС) [14]. Обнаружены также некоторые новые, по сравнению с наблюдаемыми в их локальных аналогах, интересные свойства уравнений. Исследованы многие свойства интегрируемых систем с самосогласованными источниками, в которых благодаря источнику возникают уединенные волны, движущиеся с непостоянной скоростью, что приводит к большому разнообразию динамики солитонных решений [15]–[24]. Обычно интегрируемые системы можно рассматривать как условие совместности пары линейных уравнений. Одно из этих уравнений связано с прямой задачей рассеяния, в которой фигурируют аналитические собственные функции и связанные с ними данные рассеяния [25]. В классическом случае член с источником в интегрируемых системах с самосогласованными источниками вводится с помощью квадрата собственной функции. Однако в нелокальном случае дополнительная симметрийная редукция приводит к новому свойству квадратов собственных функций и, следовательно, члена с источником. Кроме того, она также может влиять на форму и эволюцию солитона. Поэтому представляет интерес ввести и исследовать нелокальные интегрируемые системы с самосогласованными источниками. В настоящей работе вводится новая иерархия нелокального НУШ с самосогласованными источниками и находятся солитонные решения с помощью обратной задачи рассеяния. Ключевым моментом является нелокальное изменение квадрата собственной функции. Мы исследуем его динамику и сравниваем ее с динамикой в случае нелокальных систем без источников. Статья имеет следующую структуру. В разделе 2 исследуются соответствующее изменение собственной функции в нелокальном случае и связь между квадратом собственной функции и источником. Вводится иерархия нелокального НУШ с самосогласованными источниками. В разделе 3 описана прямая задача рассеяния и данные рассеяния. В разделе 4 рассмотрены солитонные решения нелокального НУШ с самосогласованными источниками и их динамика. Заключение представлено в разделе 5. 2. Иерархия нелокального НУШ с самосогласованными источниками и квадраты собственных функцийНелокальное НУШ (1) было получено с помощью новой нелокальной редукции задачи рассеяния для иерархии АКНС, причем была доказана его интегрируемость [1]. Мы начнем с задачи рассеяния для иерархии АКНС и найдем новую иерархию нелокального НУШ с самосогласованными источниками. Покажем, что нелокальное условие может привести к некоторым изменениям свойств квадратов рассматриваемых собственных функций, а также к изменению соответствующей пары Лакса. Для этого начнем со следующей спектральной задачи для иерархии АКНС:
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix}\psi_1\\\psi_2\end{pmatrix}_{x}=P\begin{pmatrix}\psi_1\\\psi_2\end{pmatrix}, \qquad P=\begin{pmatrix}-\lambda & q\\ \hphantom{-}r &\lambda\end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $q=q(x,t), r=r(x,t)$ – пара гладких потенциальных функций, $\lambda$ – спектральный параметр, а $(\psi_1,\psi_2)^\mathrm{T}$ – столбец двухкомпонентной векторной функции, зависящей от вещественных переменных $x$ и $t$. Рассмотрим эволюцию во времени собственной функции
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix}\psi_1\\\psi_2\end{pmatrix}_{t}=Q\begin{pmatrix}\psi_1\\\psi_2\end{pmatrix},\qquad Q=\begin{pmatrix}A & \hphantom{-}B\\C &-A\end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{3}
$$
где скалярные функции $A, B$ и $C$ предстоит определить. Предположим, что $\lambda$ не зависит от переменной $t$. Из представления нулевой кривизны, соответствующего уравнениям (2) и (3), т. е. $P_t-Q_x+[P,Q]=0$, получим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, A=\partial^{-1}(r,q)\begin{pmatrix}-B \\\hphantom{-}C\end{pmatrix}+A_0, \\ \begin{pmatrix}q\\r\end{pmatrix}_t=L\begin{pmatrix}-B \\\hphantom{-} C\end{pmatrix}-2\lambda\begin{pmatrix}-B \\\hphantom{-} C\end{pmatrix}-2A_0\begin{pmatrix}-q \\\hphantom{-} r\end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, L=\sigma\partial-2\sigma\begin{pmatrix}q \\r\end{pmatrix}\partial^{-1}(r,q),\qquad \partial=\frac{\partial}{\partial x}, \\ \partial^{-1}=\frac{1}{2} \biggl(\int_{-\infty}^{x}-\int_{x}^{\infty}\biggr)\,dx,\qquad \sigma= \begin{pmatrix}-1 & 0\\\hphantom{-} 0 & 1\end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5}
$$
$A_0$ – константа интегрирования. Далее мы рассмотрим нелокальное изменение квадратов собственных функций при следующей симметрийной редукции: Введем обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \phi_j\doteq(\phi_{1j},\phi_{2j})^\mathrm{T},\qquad \phi_{j-}\doteq(\phi_{1j-},\phi_{2j-})^\mathrm{T}, \\ \phi_{ij}\doteq \phi_i(x,t,\lambda_j),\qquad \phi_{ij-}\doteq \phi_i(-x,t,\lambda_j), \quad i=1,2,\\ q\doteq q(x,t),\qquad q_-\doteq q(-x,t). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для оператора $L$ справедливы следующие соотношения:
$$
\begin{equation}
L\Phi_j =2\lambda_j\Phi_j,\qquad \Phi_j=2(\phi_{1j}^2,\phi_{2j}^2)^\mathrm{T},
\end{equation}
\tag{7а}
$$
$$
\begin{equation}
L\Psi_j =2\lambda_j^*\Psi_j,\qquad \Psi_j=-2(\phi_{2j-}^{*2},\phi_{1j-}^{*2})^\mathrm{T},\qquad j=1,2,\dots,J,
\end{equation}
\tag{7б}
$$
где функции $\{\phi_j\}$ удовлетворяют спектральному уравнению (2), а именно
$$
\begin{equation}
\phi_{1j,x}=-\lambda_j\phi_{1j}+q\phi_{2j},\qquad \phi_{2j,x}=-q_-^*\phi_{1j}+\lambda_j\phi_{2j}, \qquad j=1,2,\dots,J.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Действительно, формулу (7а) можно получить с помощью спектрального уравнения (2) при наложении условия симметрийной редукции (6). Предположим, что ($\lambda=ik$)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \lambda_j&=ik_j,\qquad\operatorname{Im}k_j>0,\qquad j=1,2,\dots,J_1,\\ \lambda_j&=i\bar{k}_j,\qquad\operatorname{Im}\bar{k}_j<0,\qquad j=J_1+1,\dots,J, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
где $\{k_j,\bar{k}_j\}$ – $J$ различных дискретных собственных чисел, что будет обсуждаться в разделе 3. Чтобы получить интересующую нас иерархию и соответствующую пару Лакса, разложим $(-B,C)^\mathrm{T}$ в (4) следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix}-B\\\hphantom{-}C\end{pmatrix}=\sum_{m=1}^n\begin{pmatrix}-b_m\\\hphantom{-}c_m\end{pmatrix} (2ik)^{n-m}+\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{J}\biggl(\frac{\Phi_j}{ik-\lambda_j}+\frac{\Psi_j}{ik-\lambda_j^*}\biggr)
\end{equation}
\tag{10}
$$
при условии $(B,C)^\mathrm{T}|_{n=0}=(0,0)^\mathrm{T}$. Теперь положим $A_0=-i(2k)^n/2$ и подставим (10) в (4). Приравняв коэффициенты перед одинаковыми степенями $k$, получим
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix}q\\-q_-^*\end{pmatrix}_t=-(-i)^{n-1}L^n\begin{pmatrix}q \\q_-^*\end{pmatrix}-\sum_{j=1}^{J}(\Phi_j-\Psi_j),\qquad n=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Подстановка (7) в уравнение (11) приводит к уравнению
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix}q\\-q_-^*\end{pmatrix}_t=-(-i)^{n-1}L^n\begin{pmatrix}q \\q_-^*\end{pmatrix} -2\sum_{j=1}^{J}\begin{pmatrix}\phi_{1j}^2-\phi_{2j-}^{*2}\\ \phi_{2j}^2-\phi_{1j-}^{*2}\end{pmatrix} ,\qquad n=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{12}
$$
которое вместе с (8) порождает иерархию НУШ с самосогласованными источниками. Одновременно нужно преобразовать функции $A, B, C$. При этом соответствующая пара Лакса (3) определяется выражениями
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \begin{pmatrix}-B \\\hphantom{-}C\end{pmatrix}={}&-\sum_{m=1}^n(-i)^{m-1}(2k)^{n-m}L^{m-1}\begin{pmatrix}q\\q_-^*\end{pmatrix} +\sum_{j=1}^{J}\begin{pmatrix}\dfrac{\phi_{1j}^2}{ik-\lambda_j}-\dfrac{\phi_{2j-}^{*2}}{ik-\lambda^*_j}\\ \dfrac{\phi_{2j}^2}{ik-\lambda_j}-\dfrac{\phi_{1j-}^{*2})}{ik-\lambda^*_j}\end{pmatrix}, \\ A={}&\sum_{m=1}^n(-i)^{m-1}(2k)^{n-m}\partial^{-1}(q_-^*,-q)L^{m-1}\begin{pmatrix}q\\q_-^*\end{pmatrix}-\frac{i}{2}(2k)^n+{} \\ &+\sum_{j=1}^{J}\biggl[\frac{(\phi_{1j}\phi_{2j})_x}{ik-\lambda_j}-\frac{(\phi^*_{1j-}\phi_{2j-}^*)_x}{ik-\lambda^*_j}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13}
$$
В частности, второй член иерархии (12) с учетом (8) можно представить в виде следующей системы (для $n=2$):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q_t &= i(q_{xx}+2q^2q_-^*)-2\sum_{j=1}^{J}(\phi_{1j}^2-\phi_{2j-}^{*2}),\\ \phi_{1j,x}&=-\lambda_j\phi_{1j}+q \phi_{2j},\qquad\phi_{2j,x}=-q_-^*\phi_{1j}+\lambda_j \phi_{2j},\qquad j=1,2,\dots, J, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
которая представляет собой нелокальное НУШ с самосогласованными источниками, а пара Лакса, связанная с уравнениями (14), определяется выражениями (для $n=2$)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, A &= -2ik^2+iq q_-^*+\sum_{j=1}^{J}\biggl(\frac{\phi_{1j}\phi_{2j}}{ik-\lambda_j}-\frac{\phi^*_{1j-}\phi_{2j-}^*}{ik-\lambda^*_j}\biggr),\\ B &= 2kq+iq_x-\sum_{j=1}^{J}\biggl(\frac{\phi_{1j}^2}{ik-\lambda_j}+\frac{\phi_{2j-}^{*2}}{ik-\lambda^*_j}\biggr),\\ C &= -2kq^*_{-}+q_{x-}^*+\sum_{j=1}^{J}\biggl(\frac{\phi_{2j}^2}{ik-\lambda_j}-\frac{\phi_{1j-}^{*2}}{ik-\lambda^*_j}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Заметим, что при выводе уравнений (11)–(15) использовалось разложение (10). Эволюция собственных функций в представлении Лакса (3) с учетом (13) имеет сингулярность, отличную от сингулярности нелокального НУШ без источников, которая рассмотрена в работе [1]. 3. Прямая задача рассеяния и данные рассеянияВ этом разделе мы перечислим некоторые результаты, относящиеся к прямой задаче рассеяния. Рассмотрим спектральную задачу (2) с граничными условиями
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \lim_{x\to -\infty}\phi(x,k)&=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}e^{-ikx}, \qquad \lim_{x\to -\infty}\bar{\phi}(x,k)=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}e^{ikx}, \\ \lim_{x\to +\infty}\psi(x,k)&=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}e^{ikx}, \qquad \lim_{x\to +\infty}\bar{\psi}(x,k)=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}e^{-ikx}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16}
$$
при этом везде ниже $\bar{\phi}$ не означает функцию, комплексно-сопряженную к $\phi$. Четыре решения Йоста представим в виде
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} M(x,k)&=e^{ikx}\phi(x,k),&\qquad \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M\kern0.1pt (x,k)&=e^{-ikx}\bar{\phi}(x,k), \\ N(x,k)&=e^{-ikx}\psi(x,k),&\qquad \kern1.2pt\overline{\vphantom{N}\kern7.0pt}\kern-8.7pt N\kern0.5pt (x,k)&=e^{ikx}\bar{\psi}(x,k). \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{17}
$$
При условии $\int_{\mathbb{R}}|f|dx<\infty$ функции $M(x,k)$ и $N(x,k)$ аналитичны в верхней полуплоскости комплексной плоскости $k$, а функции $ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M\kern0.1pt (x,k)$, $ \kern1.2pt\overline{\vphantom{N}\kern7.0pt}\kern-8.7pt N\kern0.5pt (x,k)$ аналитичны в нижней полуплоскости плоскости $k$ [25]. Между четырьмя собственными функциями существуют линейные соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \phi(x,k)&=a(k)\bar{\psi}(x,k)+b(k)\psi(x,k), \\ \bar{\phi}(x,k)&=\bar{a}(k)\psi(x,k)+\bar{b}(k)\bar{\psi}(x,k), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{18}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a(k)&=W(\phi(x,k),\psi(x,k)),\qquad \bar{a}(k)=W(\bar{\psi}(x,k),\bar{\phi}(x,k)), \\ b(k)&=W(\bar{\psi}(x,k),\phi(x,k)),\qquad \bar{b}(k)=W(\bar{\phi}(x,k),\psi(x,k)), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{19}
$$
причем функция $a(k)$ ($\bar{a}(k)$) аналитична при $\operatorname{Im}k>0$ ($\operatorname{Im}k<0$), а функции $b(k)$, $\bar{b}(k)$ определены только при $\operatorname{Im}k=0$. Здесь $W(\mu,\nu)$ – вронскиан, заданный формулой $W(\mu,\nu)\equiv\mu_1\nu_2-\nu_1\mu_2$. Известно, что при условии симметрийной редукции (6) [1], [25] решения Йоста удовлетворяют важным симметрийным соотношениям:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, N(x,k)&=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} M^*(-x,-k^*),\\ \kern1.2pt\overline{\vphantom{N}\kern7.0pt}\kern-8.7pt N\kern0.5pt (x,k)&= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M\kern0.1pt ^*(-x,-k^*). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
Поэтому данные рассеяния удовлетворяют симметрийным соотношениям
$$
\begin{equation}
a(k)=a^*(-k^*),\qquad \bar{a}(k)=\bar{a}^*(-k^*),\qquad \bar{b}(k)=-b^*(-k^*).
\end{equation}
\tag{21}
$$
Это означает, что если $k_j=\xi_j+i\eta_j$ является нулем (собственным числом) функции $a(k)$ в верхней полуплоскости, то $-k_j^*=-\xi_j+i\eta_j$ также является нулем функции $a(k)$ в верхней полуплоскости плоскости $k$. Аналогично, если $\bar{k}_j$ является нулем функции $\bar{a}(k)$ в нижней полуплоскости, то $-\bar{k}_j^*$ также является нулем этой функции в нижней полуплоскости плоскости $k$. В работе [1] с помощью лево/правосторонней задачи Римана–Гильберта и так называемых проекционных операторов найдены соотношения между функциями $N(x,k)$, $ \kern1.2pt\overline{\vphantom{N}\kern7.0pt}\kern-8.7pt N\kern0.5pt (x,k)$, $M(x,k)$, $ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M\kern0.1pt (x,k)$,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \kern1.2pt\overline{\vphantom{N}\kern7.0pt}\kern-8.7pt N\kern0.5pt (x,k)&=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+\sum_{\ell=1}^J\frac{C_\ell N(x,k_\ell )e^{2ik_\ell x}}{k-k_\ell }+\frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\rho(\xi)e^{2i\xi x}N(x,\xi)}{\xi-(k- i0)}\,d\xi,\\ N(x,k)&=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}+\sum_{\ell=1}^{\overline{J}}\frac{\overline{C}_\ell \kern1.2pt\overline{\vphantom{N}\kern7.0pt}\kern-8.7pt N\kern0.5pt (x,\bar{k}_\ell)e^{-2i\bar{k}_\ell x}}{k-\bar{k}_\ell}-\frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\bar{\rho}(\xi)e^{-2i\xi x} \kern1.2pt\overline{\vphantom{N}\kern7.0pt}\kern-8.7pt N\kern0.5pt (x,\xi)}{\xi-(k+ i0)}\,d\xi, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{22}
$$
где левосторонние коэффициенты отражения определяются формулами
$$
\begin{equation}
\rho(k)\equiv \frac{b(k)}{a(k)},\qquad\bar{\rho}(k)\equiv \frac{\bar{b}(k)}{\bar{a}(k)},
\end{equation}
\tag{23}
$$
а левосторонние нормировочные константы – формулами
$$
\begin{equation}
C_\ell \equiv\frac{b(k_\ell)}{a'(k_\ell)},\qquad \overline{C}_\ell \equiv\frac{\bar{b}(\bar{k}_\ell)}{\bar{a}'(\bar{k}_\ell)}.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Собственные значения (нули функций $a(k,t)$ и $\bar{a}(k,t)$) расположены на мнимой оси, т. е. $ k_j=-k_j^*$, $\bar{k}_j=-\bar{k}_j^*$. Из приведенных соотношений после некоторых вычислений мы получим эволюцию нормировочных констант для нелокального НУШ с самосогласованными источниками (14) в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C_{\ell}&=C_{\ell}(0)\exp\biggl[-4ik_{\ell}^2 t-2\int_0^t\beta_{\ell}(z)\,dz\biggr],\qquad \ell=1,\dots,J_1,\\ \overline{C}_{\ell}&=\overline{C}_{\ell}(0) \exp\biggl[4i\bar{k}_{\ell}^2 t+2\int_0^t\bar{\beta}_{\ell}(z)\,dz\biggr],\qquad \ell=J_1+1,\dots,J. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
$$
Здесь $\beta_{\ell}(t),\bar{\beta}_{\ell}(t)$ – произвольные непрерывные функции времени $t$ (подробности можно найти, например, в работах [18]–[21]). Заметим, что эволюция нормировочных констант очевидным образом отличается от их эволюции в случае нелокального НУШ без самосогласованных источников.
4. Решения нелокального НУШ с самосогласованными источниками и их динамикаСогласно результатам работы [1], если положить коэффициент отражения равным нулю, получим следующие соотношения между функциями Йоста:
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M\kern0.1pt _2^*(-x,-\bar{k}_j^*)\\ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M\kern0.1pt _1^*(-x,-\bar{k}_j^*)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+\sum_{\ell=1}^J\frac{C_\ell e^{2ik_\ell x}}{\bar{k}_j-k_\ell } \begin{pmatrix}N_1(x,k_\ell)\\ N_2(x,k_\ell)\end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{26}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix}N_2^*(-x,-k_j^*)\\ N_1^*(-x,-k_j^*)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}-\sum_{\ell=1}^{\overline{J}}\frac{\overline{C}_\ell^* e^{2i\bar{k}_\ell x}}{k_j-\bar{k}_\ell}\begin{pmatrix} \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M\kern0.1pt _1(x,\bar{k}_\ell)\\ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M\kern0.1pt _2(x,\bar{k}_\ell)\end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{27}
$$
при этом потенциал можно восстановить по формуле
$$
\begin{equation}
q(t,x)=-2i\sum_{\ell=1}^J C_\ell^* N_2^*(-x,k_\ell )e^{2ik_\ell^* x}.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Из (17) и (26) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \phi_{1\ell}=\sqrt{2\beta_\ell(t)C_\ell(t)}e^{ik_\ell x}N_1(x,t,k_\ell),\quad \phi_{2\ell}&=\sqrt{2\beta_\ell(t)C_\ell(t)}e^{ik_\ell x}N_2(x,t,k_\ell),\\ &\qquad \ell=1,\dots,J_1, \\ \phi_{1\ell}=\sqrt{-2\beta_\ell(t)\overline{C}_\ell(t)}e^{-i\bar{k}_\ell x} \kern1.2pt\overline{\vphantom{N}\kern7.0pt}\kern-8.7pt N\kern0.5pt _1(x,t,\bar{k}_\ell),\quad \phi_{2\ell}&=\sqrt{-2\beta_\ell(t)\overline{C}_\ell(t)}e^{-i\bar{k}_\ell x} \kern1.2pt\overline{\vphantom{N}\kern7.0pt}\kern-8.7pt N\kern0.5pt _2(x,t,\bar{k}_\ell),\\ & \qquad \ell=J_1+1,\dots,J. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
$$
Таким образом, уравнения (28), (29) порождают многосолитонные решения нелокального НУШ с самосогласованными источниками (14). Опишем динамику солитонов. Явный вид односолитонного решения следует из (28), (29) при $J_1=1$, $J=2$, т. е.
$$
\begin{equation}
q(t,x)=-\frac{2iC_1^*(t)(k_1-\bar{k}_1)^2 e^{-2ik_1 x}}{(k_1-\bar{k}_1)^2+\overline{C}_1^*(t)C_1^*(t)e^{-2i(k_1-\bar{k}_1) x}},
\end{equation}
\tag{30а}
$$
$$
\begin{equation}
\phi_{11}=\sqrt{2\beta_1(t)C_1(t)}e^{ik_1x}N_1(x,t,k_1), \,\, \phi_{21}=\sqrt{2\beta_1(t)C_1(t)}e^{ik_1x}N_2(x,t,k_1),
\end{equation}
\tag{30б}
$$
$$
\begin{equation}
\phi_{12}=\sqrt{-2\beta_2(t)\overline{C}_1(t)}e^{i\bar{k}_1x} \kern1.2pt\overline{\vphantom{N}\kern7.0pt}\kern-8.7pt N\kern0.5pt _1(x,t,\bar{k}_1),\quad \phi_{22}=\sqrt{-2\beta_2(t)\overline{C}_1(t)}e^{i\bar{k}_1x} \kern1.2pt\overline{\vphantom{N}\kern7.0pt}\kern-8.7pt N\kern0.5pt _2(x,t,\bar{k}_1).
\end{equation}
\tag{30в}
$$
Эволюция во времени нормировочных констант $C_1(t)$ и $\overline{C}_1(t)$ определяется выражениями (25):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C_1(t)&=C_1(0)\exp\biggl[4i\eta_1^2 t-2\int_0^t\beta_1(z)\,dz\biggr] ={} \\ &= (\eta_1+\bar{\eta}_1)\exp\biggl[i\biggl(\varphi_1+\frac{\pi}{2}\biggr)\biggr] \exp\biggl[4i\eta_1^2 t-2\int_0^t\beta_1(z)\,dz\biggr],\\ \overline{C}_1(t)&=\overline{C}_1(0)\exp\biggl[-4i\bar{\eta}_1^2 t+2\int_0^t\bar{\beta}_1(z)\,dz\biggr] ={} \\ &= (\eta_1+\bar{\eta}_1)\exp\biggl[i\biggl(\bar{\varphi}_1+\frac{\pi}{2}\biggr)\biggr] \exp\biggl[-4i\bar{\eta}_1^2 t+2\int_0^t\bar{\beta}_1(z)\,dz\biggr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{31}
$$
где $k_1=i\eta_1$, $\bar{k}_1=-i\bar{\eta}_1$, $\eta_1>0$, $\bar{\eta}_1>0$, $\varphi_1$, $\bar{\varphi}_1$ – произвольные вещественные постоянные, $\beta_{\ell}(t)$, $\bar{\beta}_{\ell}(t)$ – произвольные функции времени $t$. Подстановка (31) в (30а) приводит к общему виду двухпараметрического семейства односолитонных решений в виде бризеров
$$
\begin{equation}
q(t,x)=-\frac{2(\eta_1+\bar{\eta}_1)e^{-i\varphi_1}e^{-4i\eta_1^2 t}e^{2\eta_1 x}\exp\bigl[-2\int_0^t\beta_1^*(z)\,dz\bigr]}{1+e^{-i(\varphi_1+\bar{\varphi}_1)}e^{4i(\bar{\eta}_1^2-\eta_1^2) t}e^{2(\eta_1+\bar{\eta}_1) x}\exp\bigl[2\int_0^t[\bar{\beta}_1^*(z)-\beta_1^*(z)]\,dz\bigr]}.
\end{equation}
\tag{32}
$$
Если положить $\bar{\eta}_1=\eta_1\equiv\eta$ и $\overline{C}_1(t)=-C_1^*(t)$, что означает $\varphi_1+\bar{\varphi}_1=0$ и $\bar{\beta}_1(t)+\beta_1^*(t)=0$, то формула (32) приводит к односолитонному решению
$$
\begin{equation}
q(t,x)=-\frac{4\eta_1 e^{-i\varphi_1}e^{-4i\eta_1 ^2 t}e^{2\eta_1 x}\exp\bigl[-2\int_0^t\beta_1 ^*(z)\,dz\bigr]}{1+e^{4\eta_1 x}\exp\bigl[-2\int_0^t[\beta_1 (z)+\beta_1 ^*(z)]\,dz\bigr]}.
\end{equation}
\tag{33}
$$
Покажем, что односолитонное решение (30) содержит сингулярность. Пусть $\bar{\beta}_1(t)=\beta_1(t)$, тогда решение (30) содержит сингулярность в точке $x=0$ при
$$
\begin{equation}
t_n=\frac{(2n+1)\pi-(\varphi_1+\bar{\varphi}_1)}{4(\eta_1^2-\bar{\eta}_1^2)},\qquad n\in \mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Если положить $\bar{\beta}_1(t)=\beta_1(t)\equiv \beta(t)$ и при этом $\bar{\eta}_1=\eta_1\equiv\eta$, то формулы (30) сводятся к выражению
$$
\begin{equation}
q(t,x)=-\frac{4\eta e^{-i\varphi_1}e^{-4i\eta^2 t}e^{2\eta x}\exp\bigl[-2\int_0^t\beta^*(z)\,dz\bigr]}{1+e^{-i(\varphi_1+\bar{\varphi}_1)}e^{4\eta x}},
\end{equation}
\tag{35}
$$
в котором сингулярности отсутствуют, если $\varphi_1+\bar{\varphi}_1\neq(2n+1)\pi$ при любом целом $n$. Форма и эволюция односолитонного решения в виде бризера (32) изображены на рис. 1а, 1б при выборе параметров
$$
\begin{equation}
\eta_1=0.1,\quad\bar{\eta}_1=0.2,\quad\varphi_1=\frac{\pi}{6},\quad\bar{\varphi}_1=-\frac{\pi}{3},\quad\beta_1(t)=\cos t,\quad\bar{\beta}_1(t)= -\sin t.
\end{equation}
\tag{36}
$$
Форма и эволюция односолитонного решения вида (33) изображены на рис. 1в при выборе параметров
$$
\begin{equation}
\eta_1=0.1,\quad\bar{\eta}_1=0.1,\quad\varphi_1=\frac{\pi}{6},\quad\bar{\varphi}_1=-\frac{\pi}{6},\quad\beta_1(t)=\cos t,\quad\bar{\beta}_1(t)=-\cos t.
\end{equation}
\tag{37}
$$
Если взять те же параметры (36), кроме параметров $\beta_1(t)$ и $\bar{\beta}_1(t)$, которые возьмем $\beta_1(t)=\bar{\beta}_1(t)=0$, то источник исчезнет, как показано на рис. 1г. Заметим, что на эволюцию влияют две функции: $\beta_1(t)$ и $\bar{\beta}_1(t)$, что отличается от случая нелокального НУШ без самосогласованных источников.  Рис. 1.Трехмерное изображение (а) и график плотности (б) односолитонного решения в виде бризера (32) с параметрами (36). Трехмерное изображение односолитонного решения (33) с параметрами (37) (в). Трехмерное изображение односолитонного решения в виде бризера (32) с параметрами (36), кроме $\beta_1(t)$ и $\bar{\beta}_1(t)$ (г). Нелокальное НУШ без самосогласованных источников можно рассматривать как линейное уравнение Шредингера с самоиндуцированным нелинейным “потенциалом” $V \equiv q(t,x)q^*(t,-x)$ (ср. [1]). Как нелокальное НУШ без источника, так и индуцированный нелинейным образом “потенциал” в нелокальном случае являются $PT$-симметричными. В случае нелокального НУШ с самосогласованными источниками при выборе $\bar{\eta}_1=\eta_1\equiv\eta$, $\bar{\varphi}_1=\varphi_1\equiv\varphi$ односолитонное решение (32) можно представить следующим образом:
$$
\begin{equation}
q(t,x)=-2\eta e^{-(4i\eta ^2 t+\rho_{11}^*)} \operatorname{sch} {(2\eta x+\rho_{12}^*-i\varphi }),
\end{equation}
\tag{38}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\rho_{11}=\int_0^t(\bar{\beta}_1(z)+\beta_1(z))\,dz,\qquad \rho_{12}=\int_0^t(\bar{\beta}_1(z)-\beta_1(z))\,dz.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом индуцированный потенциал задается выражением
$$
\begin{equation}
V \equiv q(t,x)q^*(t,-x)=4\eta^2 e^{-(\rho_{11}+\rho_{11}^*)} \operatorname{sch} {(2\eta x+\rho_{12}^*-i\varphi }) \operatorname{sch} {(2\eta x-\rho_{12}-i\varphi )}.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Если положить $\operatorname{Re}(\bar{\beta}_1(z))=\operatorname{Re}(\beta_1(z))$, то потенциал (39) принимает вид
$$
\begin{equation}
V=4\eta^2 e^{-2 \operatorname{Re}(\beta_1)} \operatorname{sch}^2 {(2\eta x-\rho_{12}-i\varphi )},
\end{equation}
\tag{40}
$$
форма и эволюция которого изображены на рис. 2а при следующем выборе параметров:
$$
\begin{equation}
\eta=0.1,\quad\varphi=\frac{\pi}{6},\quad\beta_1(t)=-0.5\sin t,\quad\bar{\beta}_1(t)=-(0.5+0.1 i )\sin t.
\end{equation}
\tag{41}
$$
Для сравнения параметры на рис. 2б выбраны такими же, как и в (41), кроме параметров $\bar{\beta}_1(t)$ и $\beta_1(t)$, которые выбираем $\bar{\beta}_1(t)=\beta_1(t)=0$. Здесь $\beta(t)$ и $\bar{\beta}(t)$ по-прежнему действуют как источники, влияющие на форму и эволюцию.  Рис. 2.Трехмерное изображение индуцированного потенциала (40) с параметрами (41) (а). Трехмерное изображение решения (40) с теми же параметрами (41), кроме $\bar{\beta}_1(t)$ и $\beta_1(t)$: $\bar{\beta}_1(t)=\beta_1(t)=0$ (б) . Теперь возьмем $J_1=2$, $J=4$. Из (28) получим следующее двухсолитонное решение:
$$
\begin{equation}
q(x)=-2i C_1^*N_2^*(-x,k_1)e^{2\eta_1x}+C_2^*N_2^*(-x,k_2)e^{2\eta_2x},
\end{equation}
\tag{42}
$$
где $N_2^*(x,k_j)$ определяется уравнениями (26), (27), а нормировочные константы – выражениями (25),
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C_1&=\frac{(\eta_1+\bar{\eta}_1)(\eta_1+\bar{\eta}_2)}{|\eta_2-\eta_1|}\exp\biggl[4i\eta_1^2t-2\int_0^t\beta_1(z)\,dz\biggr]\exp\biggl[i\biggl(\varphi_1+\frac{\pi}{2}\biggr)\biggr],\\ C_2&=\frac{(\eta_2+\bar{\eta}_2)(\eta_2+\bar{\eta}_1)}{|\eta_2-\eta_1|}\exp\biggl[4i\eta_2^2t-2\int_0^t\beta_2(z)\,dz\biggr]\exp\biggl[i\biggl(\varphi_2+\frac{\pi}{2}\biggr)\biggr],\\ \overline{C}_1&=\frac{(\eta_1+\bar{\eta}_1)(\eta_2+\bar{\eta}_1)}{|\bar{\eta}_2-\bar{\eta}_1|}\exp\biggl[-4i\bar{\eta}_1^2t+2\int_0^t\bar{\beta}_1(z)\,dz\biggr]\exp\biggl[i\biggl(\bar{\varphi}_1+\frac{\pi}{2}\biggr)\biggr],\\ \overline{C}_2&=\frac{(\eta_2+\bar{\eta}_2)(\eta_1+\bar{\eta}_2)}{|\bar{\eta}_2-\bar{\eta}_1|}\exp\biggl[-4i\bar{\eta}_2^2t+2\int_0^t\bar{\beta}_2(z)\,dz\biggr]\exp\biggl[i\biggl(\bar{\varphi}_2+\frac{\pi}{2}\biggr)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{43}
$$
В этом случае нелегко проанализировать взаимодействие двух солитонов, но известно, что они рассеиваются упруго. Взаимодействие двух солитонов в виде бризеров, описанное выражением (42), показано на рис. 3а со значениями параметров
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \eta_1=0.1,\qquad\eta_2=0.3,\qquad\varphi_1=\frac{\pi}{3},\qquad\varphi_2=\frac{\pi}{4},\\ \bar{\varphi}_1=\frac{\pi}{6},\qquad\bar{\varphi}_2=\frac{\pi}{5},\qquad \bar{\eta}_1=0.2,\qquad\bar{\eta}_2=0.4,\\ \beta_1(t)=2 \sin t+0.03,\qquad\beta_2(t)=3\cos t +0.04,\\ \bar{\beta}_1(t)=-2\sin t-0.03,\qquad\bar{\beta}_2(t)=-3\cos t-0.04. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{44}
$$
Для сравнения на рис. 3б и 3в показаны два соответствующих односолитонных решения со значениями параметров
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \eta_1=0.1,\qquad\bar{\eta}_1=0.2,\qquad\varphi=\frac{\pi}{3},\qquad\bar{\varphi}=\frac{\pi}{6},\\ \beta(t)=2\sin t+0.03,\qquad\bar{\beta}(t)= -2 \sin t-0.03 \end{gathered}
\end{equation}
\tag{45}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \eta_1=0.3,\qquad\bar{\eta}_1=0.4,\qquad\varphi=\frac{\pi}{4},\qquad\bar{\varphi}=\frac{\pi}{5},\\ \beta(t)=3\cos t+0.04,\qquad\bar{\beta}(t)= -3\cos t-0.04 \end{gathered}
\end{equation}
\tag{46}
$$
соответственно. На форму и эволюцию двухсолитонного решения влияют две функции: $\beta(t)$ и $\bar{\beta}(t)$.  Рис. 3.График плотности для взаимодействия двух солитонов типа бризеров (42) с параметрами (44) (а). Графики плотности двух соответствующих единичных солитонов типа бризеров (32) с параметрами (45) (б) и (46) (в). 5. ВыводыВ работе предложен метод построения нелокального НУШ с самосогласованными источниками. Мы начали со спектральной задачи для иерархии АКНС и рассмотрели квадраты собственных функций и член с источником в нелокальном случае, которые отличаются от их классических (локальных) аналогов. При наложении симметрийных условий квадрат собственной функции, соответствующей оператору $L$, изменяется, и нелокальное изменение приводит к новым членам с источниками в нелокальном случае. Дан анализ солитонных решений интегрируемого нелокального НУШ с самосогласованными источниками, основанный на методе обратной задачи рассеяния. Показано, что член с новым источником приводит к большому разнообразию динамики солитонных решений. Наш метод можно применить к другим нелокальным интегрируемым уравнениям с самосогласованными источниками. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{LiDua24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|