| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) Стабилизация фронта в среде с разрывными характеристиками Н. Т. Левашова, Е. А. Чунжук, А. О. Орлов Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 220, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924070079 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеУравнение автоволновой диффузии может быть использовано для описания процессов химической кинетики, например медленного горения [1], или различных проблем биофизики. В частности, это уравнение лежит в основе модели ФицХью–Нагумо [2], а также созданной на ее основе модели развития мегаполисов [3], [4]. Упомянутые модельные задачи описывают бистабильную активную среду, которая может находиться в одном из двух устойчивых состояний, а при наличии возмущения в среде возникает автоволна переключения с ярко выраженным автоволновым фронтом – областью резкого изменения характеристик среды. По разные стороны фронта среда находится в различных устойчивых состояниях. Область, в которой характеристики среды имеют большие градиенты, называют внутренним переходным слоем. Опубликовано много работ по аналитическому исследованию решения уравнения автоволновой диффузии (см., например, [5]–[7]). В настоящей работе для получения основных результатов мы используем аппарат асимптотических методов, в частности асимптотический метод дифференциальных неравенств [8]. Использование этого метода позволяет сформулировать условия существования решений в виде движущегося фронта, как, например, это сделано в работе [9] в случае среды с непрерывными характеристиками. Тем не менее в физических задачах иногда удобно использовать модель среды с разрывными характеристиками [4], [10]. В последнее время опубликовано большое количество работ, содержащих аналитическое исследование с помощью асимптотических методов решений параболических задач с разрывными коэффициентами. В частности, в работе [11] получены условия существования стационарного решения с большим градиентом на границе разрыва сред в одномерном случае, а в статье [12] приводятся условия устойчивости такого решения. В работe [13] исследуется уравнение с разрывным адвективным и диффузионным слагаемыми. Однако не все аспекты модельных задач до сих пор обоснованы теоретически: в частности, теоретического анализа требует процесс распространения автоволны в среде с разрывными характеристиками. Физические постановки таких задач предполагают как прохождение фронта через линию разрыва, так и “запирание” автоволны. В последнем случае можно интерпретировать линию разрыва характеристик среды как барьер для прохождения автоволнового фронта. В настоящей работе мы исследуем распространение автоволнового фронта в среде с барьерами и условия его стабилизации к стационарному решению с большим градиентом на границе раздела сред в одномерном случае. Основной метод исследования – асимптотический метод дифференциальных неравенств – базируется на построении асимптотического приближения решения при помощи алгоритма Васильевой [14]. Применение этого алгоритма в настоящей задаче требует детального рассмотрения поведения решения в окрестности двух особых точек: точки локализации фронта и точки разрыва сред. Это приводит к тому, что для определения скорости движения фронта получается система уравнений, что в основном отличает настоящую работу от ранее опубликованных. 2. Постановка задачиРассмотрим следующую начально-краевую задачу:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \varepsilon^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\varepsilon\frac{\partial u}{\partial t}=f(u,x,\varepsilon),\qquad -1<x<1,\;t>0, \\ &u_x(-1,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0, \qquad u(x,0)=u_\mathrm{init}(x),\quad -1\leqslant x\leqslant 1, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\varepsilon \in(0;\varepsilon_0]$ – малый параметр, а функция в правой части определена на некотором множестве возможных значений $u\in I_u$ и при всех $x$ из отрезка $[-1,1]$ имеет разрыв первого рода вдоль плоскости $(u,x_0)$, где $x_0$ – заданная внутренняя точка интервала $(-1;1)$, достаточно удаленная от его краев:
$$
\begin{equation*}
f(u,x,\varepsilon)= \begin{cases} f^\mathrm{l}(u,x,\varepsilon), &u\in I_u, \; -1\leqslant x\leqslant x_0,\\ f^\mathrm{r}(u,x,\varepsilon), &u\in I_u, \;\,\, x_0< x\leqslant 1, \end{cases}\qquad f^\mathrm{l}(u,x_0,\varepsilon)\neq f^\mathrm{r}(u,x_0,\varepsilon),\quad u\in I_u.
\end{equation*}
\notag
$$
В свою очередь, функции $f^\mathrm{l}(x,u,\varepsilon)$ и $f^\mathrm{r}(x,u,\varepsilon)$ являются трижды непрерывно дифференцируемыми функциями, и, кроме того, выполняется следующее условие. Условие 1. Пусть уравнение $f^\mathrm{l}(u,x,0)=0$ имеет изолированный корень $\varphi_1(x)$, а уравнение $f^\mathrm{r}(u,x,0)=0$ имеет три изолированных упорядоченных корня $\varphi_1(x)$, $\varphi_2(x)$, $\varphi_3(x)$, для которых выполняются неравенства Пусть, кроме того, выполняются неравенства Будем считать, что в начальный момент времени фронт уже сформирован в окрестности некоторой точки $x_{00}\in (x_0;1)$. Процесс формирования решения вида фронта у задачи вида (1) с кубической нелинейностью в правой части описан в работе [15]. Определим области
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, D_T:=\{(x,t)\in (-1,1)\times (0;T]\},\qquad D^{(-)}_T:=\{(x,t)\in (-1,x_0)\times(0;T]\}, \\ D^{(+)}_T:=\{(x,t)\in (x_0,1)\times(0;T]\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Решение задачи (1) мы будем понимать в смысле следующего определения. Определение 1. Функция $u_{\varepsilon}(x,t)\in C^{1,0}(\overline D_T)\cap C^{2,1}(D_T^{(-)}\cup D_T^{(+)})$ называется решением задачи (1), если она удовлетворяет уравнению (1) в каждой из областей $D^{(\mp)}_T$, а также условию в начальный момент времени и граничному условию. Известно [6], [9], что при выполнении условия 1 у задачи (1) существует решение вида фронта, возрастающее от значений $\varphi_1(x)$ до значений $\varphi_3(x)$ и движущееся справа налево в направлении точки разрыва. Целью настоящей работы является доказательство того, что решение, имеющее форму движущегося фронта, за конечный промежуток времени попадает в область притяжения устойчивого решения соответствующей стационарной задачи
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \varepsilon^2\,\frac{d^2 u}{d x^2}=f(u,x,\varepsilon),\qquad -1<x<1, \\ & \frac{du}{dx}(-1,x)= \frac{du}{dx}(1,x)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3}
$$
В работе [12] доказано существование устойчивого решения этой задачи в смысле следующего определения. Определение 2. Функция $u_{s,\varepsilon}(x)\in C^1([-1;1])\cap C^{2}((-1;x_0)\cup (x_0;1))$ называется решением задачи (3), если она удовлетворяет уравнению (3) при $x\in (-1,x_0)\cup(x_0;1)$, а также граничным условиям задачи. В настоящем исследовании мы будем пользоваться методом верхних и нижних решений [16] и основанным на нем асимптотическим методом дифференциальных неравенств [8]. Приведем здесь определения верхего и нижнего решений задач (1) и (3). Определение 3. Непрерывные функции $\underline{U}(x,t,\varepsilon)$, $\overline{U}(x,t,\varepsilon)$ называются нижним и верхним решениями задачи (1), если при достаточно малых положительных $\varepsilon$ выполняется следующая система неравенств.
Определение верхнего и нижнего решений задачи (3), функций $\overline U_{\!s}(x,\varepsilon)$, $\underline U_{\,s}(x,\varepsilon)$, отличается только отсутствием зависимости от времени и, как следствие, производной по времени в операторном неравенстве $2^0$. Из существования верхнего и нижнего решений следует существование решения соответствующей задачи ((1) или (3)) в смысле определения 1 или определения 2, заключенного между этими верхним и нижним решениями [12], [17], [18]:
$$
\begin{equation}
\underline U(x,t,\varepsilon) \leqslant u_{\varepsilon}(x,t)\leqslant \overline U(x,t,\varepsilon),\qquad (x,t)\in\overline D_T,
\end{equation}
\tag{4}
$$
$$
\begin{equation}
\underline U_{\,s}(x,\varepsilon) \leqslant u_{s,\varepsilon}(x)\leqslant \overline U_{\!s}(x,\varepsilon),\qquad x\in[-1;1].
\end{equation}
\tag{5}
$$
Согласно асимптотическому методу дифференциальных неравенств [8] для доказательства существования решения вида фронта у задач (1) и (3) следует построить верхнее и нижнее решения этих задач в виде модификаций асимптотических приближений по малому параметру $\varepsilon$ таких решений. Основная идея доказательства теоремы о стационировании решения параболической задачи заключается в том, чтобы показать, что решение вида движущегося фронта за конечный промежуток времени $T>0$ попадает в область устойчивости стационарного решения, которой, как установлено в работе [12], является интервал (5). Для осуществления предложенной идеи доказательства нам требуется построить асимптотическое приближение вида движущегося фронта задачи (1). Для описания поведения решения в окрестностях точек $x=x_0$, разрыва функции $f(u,x,\varepsilon)$ и $x=x_*(t)$, характеризующей положение движущегося фронта в момент времени $t$, введем растянутые переменные
$$
\begin{equation*}
\xi_0=\frac{x-x_0}{\varepsilon},\qquad \xi=\frac{x-x_*(t)}{\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $\Delta(t):=x_*(t)-x_0$. Для того чтобы сформулировать остальные условия, при которых возможно построение асимптотического приближения решения вида фронта и доказательство теорем о его существовании и стабилизации, обратимся к так называемым присоединенным уравнениям [14]. Эти уравнения записываются через растянутые переменные с учетом того, что дифференциальный оператор в левой части уравнения (1) в этих переменных представляется как $\frac{\partial^2}{\partial\xi_0^2} +O(\varepsilon)$ или $\frac{\partial^{2}}{\partial \xi^2}+\frac{dx_*}{dt}\frac{\partial}{\partial \xi}+O(\varepsilon)$:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^{2}\tilde{u}^\mathrm{l}}{\partial \xi_0^2}=f^\mathrm{l}(\tilde{u}^\mathrm{l},x_0,0),\qquad \frac{\partial^{2}\tilde{u}^\mathrm{r}}{\partial \xi^2}+V\frac{\partial\tilde{u}^\mathrm{r}}{\partial \xi}=f^\mathrm{r}(\tilde{u}^\mathrm{r},x_0+\Delta,0),
\end{equation}
\tag{6}
$$
где обозначено $V:=dx_*/dt$. Во втором уравнении $V$ и $\Delta$ являются параметрами, причем $\Delta\in[0,1-x_0)$. Введем следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\Phi^\mathrm{l}=\frac{\partial\tilde u^\mathrm{l}}{\partial\xi_0},\qquad \Phi^\mathrm{r}=\frac{\partial\tilde u^\mathrm{r}}{\partial\xi}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу условия 1 точка $(\varphi_1(x_0),0)$ фазовой плоскости $(u^\mathrm{l},\Phi^\mathrm{l})$ является точкой покоя типа седла первого уравнения (6), а точка $(\varphi_3(x_0+\Delta),0)$ для каждого параметра $\Delta\in[0,1-x_0)$ – точкой покоя типа седла второго уравнения (6). Будем определять функции $\Phi^\mathrm{l}(\tilde u^\mathrm{l})$ и $\Phi^\mathrm{r}(\tilde u^\mathrm{r},V,\Delta)$ как сепаратрисы этих седел, строго положительные соответственно при $\tilde u^\mathrm{l}\neq \varphi_1(x_0)$ и $\tilde u^\mathrm{r}\neq \varphi_3(x_0+\Delta)$, $0\leqslant\Delta\leqslant 1-x_0$. Согласно доказанному в монографии [7] существует такое множество значений $a>\varphi_1(x_0)$, что при $\tilde{u}^\mathrm{l}\in(\varphi_1(x_0),a]$ задача Коши
$$
\begin{equation}
\Phi^\mathrm{l}\frac{d\Phi^\mathrm{l}}{d\tilde u^\mathrm{l}}=f^\mathrm{l}(\tilde u^\mathrm{l},x_0,0),\qquad \Phi^\mathrm{l}(\varphi_1(x_0))=0
\end{equation}
\tag{7}
$$
имеет положительное решение. Также для каждого $\Delta\in[0,1-x_0)$ существует такое значение параметра $V$ и множество значений $b\in(\varphi_1(x_0+\Delta),\varphi_3(x_0+\Delta))$, что задача Коши
$$
\begin{equation}
\Phi^\mathrm{r}\, \frac{\partial\Phi^\mathrm{r}}{\partial\tilde{u}^\mathrm{r}}+V\Phi^\mathrm{r} = f^\mathrm{r}(\tilde{u}^\mathrm{r},x_0+\Delta,0),\qquad \Phi^\mathrm{r} (\varphi_3(x_0+\Delta),V,\Delta)=0
\end{equation}
\tag{8}
$$
имеет положительное решение при $\tilde{u}^\mathrm{r}\in[b,\varphi_3(x_0+\Delta))$. Задачи (7) и (8) определяют указанные сепаратрисы. Условие 2. Пусть существует не пустой интервал $[a,b]\subset(\varphi_1(x_0+\Delta),\varphi_3(x_0+\Delta))$ значений переменной $p$, на котором определена функция $\Phi^\mathrm{l}(p)$, а также функция $\Phi^\mathrm{r}(p,V,\Delta)$ для каждого значения параметра $\Delta\in[0,1-x_0)$ и соответствующих значений параметра $V$, и пусть существуют такие величины $p_0\in[a,b]$ и $V_0$, что выполняется равенство $H_0^\mathrm{l}(p_0,V_0,\Delta):=\Phi^\mathrm{l}(p_0)-\Phi^\mathrm{r}(p_0,V_0,\Delta)=0$. Пусть, кроме того, $\frac{\partial H_0^\mathrm{l}}{\partial p}(p_0,V_0,\Delta)>0$. Замечание 1. При выполнении условия 2 уравнение $H_0^\mathrm{l}(p_0,V_0,\Delta)=0$ однозначно определяет зависимость $p_0(V_0,\Delta)$ для каждого значения параметра $\Delta\in[0,1-x_0)$. Замечание 2. Используя уравнения (7) и (8), а также условие 2, можно получить выражение где $\Phi(p_0)=\Phi^\mathrm{l}(p_0)=\Phi^\mathrm{r}(p_0,V_0,\Delta)$. Условие 3. Пусть существует такая величина $s_0$, что выполняется равенство $H_0^\mathrm{l}(s_0,0,0)=0$. Замечание 3. В работе [12] выполнение этого условия требовалось для доказательства существования решения стационарной задачи (3). Зависимость $V_0(\Delta)$ при $\Delta\in[0,1-x_0)$ можно однозначно определить из равенства
$$
\begin{equation}
p_0(V_0,\Delta)= \int_0^{-\Delta/\varepsilon}\Phi^\mathrm{r}(\tilde u^\mathrm{r}(\xi,t),V_0, \Delta)\,d\xi+s_0,
\end{equation}
\tag{10}
$$
где $s_0$ – величина, определенная условием 3. Это следует из условия 2 и того, что $\Phi^\mathrm{r}_V(\tilde u^\mathrm{r},V,\Delta)>0$. Выражение для $\Phi^\mathrm{r}_V$ можно получить, продифференцировав уравнение (8) по переменной $V$ и решив полученное линейное уравнение с условием $\Phi^\mathrm{r}_V(\varphi_3(x_0+\Delta),V,\Delta)=0$. Рассмотрим теперь задачу Коши
$$
\begin{equation}
\frac{d\Delta}{dt}=V_0(\Delta),\qquad \Delta(0)=x_{00}-x_0.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Из условия 4 следует, что $\Delta=0$ является единственной точкой покоя уравнения (11). Выражение для производной $dV_0/d\Delta$ при $\Delta=0$ можно получить, продифференцировав по $\Delta$ равенство (10), cчитая $V_0=V_0(\Delta)$. Учитывая также условие 2 и выражение (9), получим
$$
\begin{equation}
\frac{dV_0}{d\Delta}(0)= -\frac{1}{\varepsilon}\frac{f^\mathrm{l}(s_0,x_0,0)-f^\mathrm{r}(s_0,x_0,0)}{\Phi^\mathrm{r}_V(s_0,0,0)}-\frac{\Phi^\mathrm{r}_\Delta(s_0,0,0)}{\Phi^\mathrm{r}_V(s_0,0,0)}.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Из условия 2 и положительности функции $\Phi^\mathrm{r}_V$ следует, что при достаточно малых $\varepsilon$ выполняется неравенство $(dV_0/d\Delta)(0)<0$. Тем самым $\Delta=0$ является устойчивой точкой покоя уравнения (11). По своему смыслу функция $x_*(t)=x_0+\Delta(t)$ определяет положение фронта в каждый момент времени $t$. При выполнении неравенства (2) движение возрастающего фронта происходит справа налево в направлении точки разрыва [6]. Тем самым функция $V_0(\Delta)$ является отрицательной при $\Delta\in[0, 1-x_{00}]$, и задача Коши (11) имеет единственное решение $\Delta(t)$, монотонно убывающее от $\Delta=1-x_{00}$ до $\Delta=0$ при $t\to+\infty$. 3. Построение асимптотического приближения решения вида фронтаАсимптотическое представление решения задачи (1) состоит из трех частей:
$$
\begin{equation}
U(x,t,\varepsilon) = \begin{cases} U^\mathrm{L}(x,t,\varepsilon),& \,\,\,\,-1\leqslant x \leqslant x_0,\\ U^{\mathrm{R},(-)}(x,t,\varepsilon),& \,\,\,\,\,\,x_0\leqslant x\leqslant x_*(t),\\ U^{\mathrm{R},(+)}(x,t,\varepsilon),& x_*(t)\leqslant x\leqslant 1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{13}
$$
Будем сшивать асимптотическое представление до непрерывности в точках $x_0$ и $x_*(t)$ для каждого $t\in[0,+\infty)$ таким образом, чтобы выполнялись равенства
$$
\begin{equation}
U^\mathrm{L}(x_0,t,\varepsilon) = U^{\mathrm{R},(-)}(x_0,t,\varepsilon)=p(t)+q,
\end{equation}
\tag{14}
$$
$$
\begin{equation}
U^{\mathrm{R},(-)}(x_*,t,\varepsilon) =U^{\mathrm{R},(+)}(x_*,t,\varepsilon)=s(t).
\end{equation}
\tag{15}
$$
Функции $p(t)$, $s(t)$, как и константа $q$, подлежат определению. Каждая из функций $ U^\mathrm{L}$, $U^{\mathrm{R},(\mp)}$ является суммой функций регулярной части, зависящих от переменной $x$, функций переходного слоя в окрестностях точки разрыва и точки локализации фронта, зависящих соответственно от растянутых переменных $\xi_0$ и $\xi$. В суммы $U^\mathrm{L}$, $U^{\mathrm{R},(+)}$ входят еще пограничные функции, зависящие от растянутых переменных $\rho_{\mp}=(x\pm1)/\varepsilon$:
$$
\begin{equation}
U^\mathrm{L}(x,t,\varepsilon) = \bar u^\mathrm{l}(x,\varepsilon)+ L(\xi_0,t,\varepsilon)+ Q^\mathrm{l}(\xi_0,\varepsilon) + \Pi^\mathrm{l}(\rho_{-},\varepsilon),
\end{equation}
\tag{16}
$$
$$
\begin{equation}
U^{\mathrm{R},(-)}(x,t,\varepsilon) =\bar u^{\mathrm{r},(-)}(x,\varepsilon)+ R^{(-)}(\xi,t,\varepsilon)+ Q^\mathrm{r}(\xi_0,\varepsilon),
\end{equation}
\tag{17}
$$
$$
\begin{equation}
U^{\mathrm{R},(+)}(x,t,\varepsilon) = \bar u^{\mathrm{r},(+)}(x,\varepsilon)+R^{(+)}(\xi,t,\varepsilon)+ Q^\mathrm{r}(\xi_0,\varepsilon)+ \Pi^\mathrm{r}(\rho_{+},\varepsilon).
\end{equation}
\tag{18}
$$
Каждую из функций, входящих в асимптотическое приближение, будем представлять в виде суммы по степеням малого параметра. Для доказательства теоремы о стационировании решения вида движущегося фронта достаточно построить его асимптотическое представление до второго порядка точности. Исходя из этого представим функции, входящие в правые части (16)–(18), в виде следующих разложений:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \bar u^\mathrm{l}(x,\varepsilon):= \varphi_1(x)+\sum_{i=1}^2\varepsilon^i \bar u_i^\mathrm{l}(x), \qquad \bar u^{r,(\mp)}(x,\varepsilon):=\varphi_{1,3}(x)+\sum_{i=1}^2\varepsilon^i \bar u_i^{r,(\mp)}(x),\\ \begin{alignedat}{2} L(\xi_0,t,\varepsilon)&:=\sum_{i=0}^2\varepsilon^i L_i(\xi_0,t),&\qquad Q^\mathrm{l,r}(\xi_0,\varepsilon):&=\sum_{i=1}^2\varepsilon^i Q_i^\mathrm{l,r}(\xi_0),\\ R^{(\mp)}(\xi,t,\varepsilon)&:=\sum_{i=0}^2\varepsilon^i R_i^{(\mp)}(\xi,t),&\qquad \Pi^\mathrm{l,r}(\rho_{\mp},\varepsilon)&:=\sum_{i=1}^2\varepsilon^i \Pi_i^\mathrm{l,r}(\rho_{\mp}). \end{alignedat} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнения для функций регулярной части получаются, если приравнять коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$ в правой и левой частях разложения Тейлора каждого из равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varepsilon^2\,\frac{d^2}{dx^2}(\bar u^\mathrm{l}(x,\varepsilon))&=f^\mathrm{l}(\bar u^\mathrm{l}(x,\varepsilon),x,\varepsilon)+O(\varepsilon^3),\\ \varepsilon^2\,\frac{d^2}{dx^2}(\bar u^{r,(\mp)}(x,\varepsilon))&=f^\mathrm{r}(\bar u^{r,(\mp)}(x,\varepsilon),x,\varepsilon)+O(\varepsilon^3). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнения для функций $L_i(\xi_0,t),\;R_i^{(\mp)}(\xi,t)$, $i=0,1,2$, и $Q_i^\mathrm{l,r}(\xi_0)$, $i=1,2$, переходного слоя получаются, если приравнять коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$ в правой и левой частях разложений Тейлора каждого из равенств
$$
\begin{equation}
\frac{d^2}{d\xi_0^2} Q^\mathrm{l}(\xi_0,\varepsilon)= f^\mathrm{l}( \bar u^\mathrm{l}(x_0+\varepsilon\xi_0,\varepsilon)+ Q^\mathrm{l}(\xi_0,\varepsilon),x_0+\varepsilon\xi_0,\varepsilon)-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{\frac{d^2}{d\xi_0^2} Q^\mathrm{l}(\xi_0,\varepsilon)={}}-f^\mathrm{l}(\bar u^\mathrm{l}(x_0+\varepsilon\xi_0,\varepsilon),x_0+\varepsilon\xi_0,\varepsilon)+O(\varepsilon^3), \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{\partial^2}{\partial\xi_0^2}-\varepsilon \frac{\partial}{\partial t}\biggr) L(\xi_0,t,\varepsilon)=f^\mathrm{l}(\bar u^\mathrm{l}(x_0+\varepsilon\xi_0,\varepsilon)+Q^\mathrm{l}(\xi_0,\varepsilon)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad +L(\xi_0,t,\varepsilon),x_0+\varepsilon\xi_0,\varepsilon)-f^\mathrm{l}(\bar u^\mathrm{l}(x_0+\varepsilon\xi_0,\varepsilon)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad +Q^\mathrm{l}(\xi_0,\varepsilon),x_0+\varepsilon\xi_0,\varepsilon)+O(\varepsilon^3), \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\frac{d^2}{d\xi_0^2} Q^\mathrm{r}(\xi_0,\varepsilon)=f^\mathrm{r}(\bar u^{\mathrm{r},(-)}(x_0+\varepsilon\xi_0,\varepsilon)+Q^\mathrm{r}(\xi_0,\varepsilon),x_0+\varepsilon\xi_0,\varepsilon)-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad -f^\mathrm{r}(\bar u^{\mathrm{r},(-)}(x_0+\varepsilon\xi_0,\varepsilon),x_0+\varepsilon\xi_0,\varepsilon)+O(\varepsilon^3), \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{\partial^2}{\partial\xi^2}+V\frac{\partial}{\partial \xi}-\varepsilon \frac{\partial}{\partial t}\biggr) R^{(-)}(\xi,t,\varepsilon)=f^\mathrm{r}(\bar u^{\mathrm{r},(-)}(x_*+\varepsilon\xi,\varepsilon)+ R^{(-)}(\xi,t,\varepsilon)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad +Q^\mathrm{r}(\xi+\Delta/\varepsilon,\varepsilon),x_*+\varepsilon\xi,\varepsilon)- f^\mathrm{r}(\bar u^{\mathrm{r},(-)}(x_*+\varepsilon\xi,\varepsilon)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad +Q^\mathrm{r}(\xi+\Delta/\varepsilon,\varepsilon),x_*+\varepsilon\xi,\varepsilon)+O(\varepsilon^3),
\end{equation}
\tag{19}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{\partial^2}{\partial\xi^2}+V\frac{\partial}{\partial \xi}-\varepsilon \frac{\partial}{\partial t}\biggr) R^{(+)}(\xi,t,\varepsilon)=f^\mathrm{r}( \bar u^{\mathrm{r},(+)}(x_*+\varepsilon\xi,\varepsilon)+ R^{(+)}(\xi,t,\varepsilon)+ {} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad +Q^\mathrm{r}(\xi+\Delta/\varepsilon,\varepsilon),x_*+\varepsilon\xi,\varepsilon)-f^\mathrm{r}(\bar u^{\mathrm{r},(+)}(x_*+\varepsilon\xi,\varepsilon),x_*+\varepsilon\xi,\varepsilon) -{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad -f^\mathrm{r}( \bar u^{\mathrm{r},(-)}(x_*+\varepsilon\xi,\varepsilon)+ Q^\mathrm{r}(\xi+\Delta/\varepsilon,\varepsilon),x_*+\varepsilon\xi,\varepsilon)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad +f^\mathrm{r}(\bar u^{\mathrm{r},(-)}(x_*+\varepsilon\xi,\varepsilon),x_*+\varepsilon\xi,\varepsilon)+O(\varepsilon^3),
\end{equation}
\tag{20}
$$
где через $V$ обозначена скорость движения фронта $V(t,\varepsilon):=d\Delta/dt$. Граничные значения $L_i(0,t)$, $R_i^{(\mp)}(0,t)$, $i=0,1,2$, и $Q_i^\mathrm{l,r}(0)$, $i=1,2$, будем определять таким образом, чтобы с точностью до $O(\varepsilon^3)$ выполнялись равенства (14) и (15). Потребуем также выполнения условия убывания функций переходного слоя на бесконечности
$$
\begin{equation}
L_i(-\infty,t)=0,\qquad R_i^{(\mp)}(\mp\infty,t)=0,\qquad Q_i^\mathrm{l,r}(\mp\infty)=0,\qquad t\geqslant 0,\; i=0,1,2.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Введенные ранее функции $s(t)$, $p(t)$ и величина $q$ определяются из условий сшивания производных асимптотических представлений при $x=x_0$ и $x=x_*(t)$ для каждого $t>0$:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial U^\mathrm{L}}{\partial x}(x_0,t,\varepsilon) =\frac{\partial U^{\mathrm{R},(-)}}{\partial x}(x_0,t,\varepsilon)+O(\varepsilon^2),
\end{equation}
\tag{22}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial U^{\mathrm{R},(-)}}{\partial x}(x_*,t,\varepsilon) =\frac{\partial U^{\mathrm{R},(+)}}{\partial x}(x_*,t,\varepsilon)+O(\varepsilon^2).
\end{equation}
\tag{23}
$$
При этом функции $s(t)$, $p(t)$, $\Delta(t)$ и величину $q$ будем представлять в виде разложения по степеням малого параметра:
$$
\begin{equation}
s(t)=s_0+\varepsilon s_1(t),\qquad q=\varepsilon q_1+\varepsilon^2 q_2,
\end{equation}
\tag{24}
$$
Ниже мы покажем, что величину $s_0$ в первом из этих равенств следует определять из условия 3. Скорость движения фронта $V=d\Delta/dt$ также представим в виде разложения по степеням $\varepsilon$:
$$
\begin{equation}
V(t)=V_0(t)+\varepsilon V_1(t)+ \varepsilon^2 V_2(t),
\end{equation}
\tag{27}
$$
полагая, что имеют место соотношения
$$
\begin{equation*}
V_0+\varepsilon V_1=\frac{d\tilde\Delta}{dt},\qquad V_2=\frac{d\Delta_2}{dt}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пограничные функции $\Pi^\mathrm{l,r}(\rho_{\mp},\varepsilon)$, входящие в суммы (16) и (18), строятся стандартным образом [14] и являются экспоненциально малыми вне малых окрестностей границ отрезка. Мы здесь не будем подробно на них останавливаться. 3.1. Функции переходного слоя нулевого порядкаФункцию $L_0(\xi_0,t)$ определим как решение следующей задачи:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial^2 L_0}{\partial\xi_0^2}=f^\mathrm{l}(\varphi_{1}(x_0)+L_0,x_0,0),\qquad \xi_0<0,\\ &L_0(0,t)+\varphi_1(x_0)=p(t),\qquad L_0(-\infty,t)=0,\quad t\geqslant0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{28}
$$
Обозначим $\tilde u^\mathrm{l}(\xi_0,t)=\varphi_{1}(x_0)+L_0(\xi_0,t)$. Уравнение (28), переписанное с использованием этого обозначения, совпадает с первым присоединенным уравнением (6), а производная $\Phi^\mathrm{l}=\partial\tilde u^\mathrm{l}/\partial\xi_0$ определяется как решение задачи Коши (7). В свою очередь, функцию $\tilde u^\mathrm{l}(\xi_0,t)$ можно получить, решая уравнение $\partial\tilde u^\mathrm{l}/\partial\xi_0=\Phi^\mathrm{l}(\tilde u^\mathrm{l})$ с условием $\tilde u^\mathrm{l}(0,t)=p(t)$, считая $t$ параметром. Введем функцию
$$
\begin{equation*}
\tilde{u}^\mathrm{r}(\xi,t)=\begin{cases} \varphi_1(x_*)+R_0^{(-)}(\xi,t),&\xi\leqslant 0,\;t\geqslant 0,\\ \varphi_3(x_*)+R_0^{(+)}(\xi,t),&\xi\geqslant 0,\;t\geqslant 0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Из равенств (19), (20) в нулевом порядке с учетом условия сшивания (14) и условия на бесконечности (21) следует, что функцию $\tilde{u}^\mathrm{r}(\xi,t)$ можно определить как решение задачи
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{{\partial }^{2}\tilde{u}^\mathrm{r}}{\partial {\xi}^{2}}+V_0\frac{\partial\tilde{u}^\mathrm{r}}{\partial \xi}=f^\mathrm{r}(\tilde{u}^\mathrm{r},x_0+\tilde \Delta,0),\qquad \xi> -\Delta/\varepsilon,\\ &\tilde{u}^\mathrm{r}( -\Delta/\varepsilon,t)= p(t), \qquad \tilde{u}^\mathrm{r}(+\infty,t) =\varphi_3(x_0+\tilde\Delta), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
$$
где $t\geqslant0$ играет роль параметра. Уравнение (29) совпадает cо вторым присоединенным уравнением (6). Производная $\partial \tilde u^\mathrm{r}/\partial\xi=\Phi^\mathrm{r}(\tilde u^\mathrm{r},V_0,\tilde\Delta)$ определяется из задачи Коши (8). Исходя из условия сшивания (15) положим $\tilde u^\mathrm{r}(0,t)=s(t)$ и получим представление
$$
\begin{equation*}
\tilde u^\mathrm{r}(\xi,t)=\int_0^{\xi}\Phi^\mathrm{r}(\tilde u^\mathrm{r}(\xi,t),V_0,\tilde\Delta)\,d\xi+s(t),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда с учетом условия при $\xi=-\Delta/\varepsilon$ задачи (29) приходим к равенству
$$
\begin{equation}
p(t)=\int_0^{-\Delta/\varepsilon}\Phi^\mathrm{r}(\tilde u^\mathrm{r}(\xi,t),V_0,\tilde\Delta)\,d\xi+s(t).
\end{equation}
\tag{30}
$$
Для определенных указанным способом функций $\tilde u^\mathrm{l}(\xi_0,t)$ и $\tilde u^\mathrm{r}(\xi,t)$ имеют место оценки [5], [7]
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, |\tilde u^\mathrm{l}(\xi_0,t)-\varphi_1(x_0)|\leqslant Ce^{-\kappa|\xi_0|},\qquad |\tilde u^\mathrm{r}(\xi,t)-\varphi_{3}(x_0+\tilde \Delta)|\leqslant Ce^{-\kappa\xi}, \notag \\ |\tilde u^\mathrm{r}( -\Delta/\varepsilon,t)-\varphi_{1}(x_0+\tilde \Delta)|\leqslant Ce^{-\kappa\Delta/\varepsilon}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{31}
$$
где $C$ и $\kappa$ – некоторые положительные константы. 3.2. Функции переходного слоя порядка выше нулевогоВ первом порядке сначала определим функции $Q_1^\mathrm{l,r}(\xi_0)$ как решения задач
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{d^2 Q_1^\mathrm{l,r}}{d\xi_0^2}=f^\mathrm{l,r}_u(\varphi_{1}(x_0),x_0,0) Q_1^\mathrm{l,r},\qquad \xi_0\in\mathbb{R}^{\mp},\\ &Q_1^\mathrm{l}(0)+\bar u_1^\mathrm{l}(x_0)=Q_1^\mathrm{r}(0)+\bar u_1^{\mathrm{r},(-)}(x_0)=q_1,\qquad Q_1^\mathrm{l,r}(\mp\infty)=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{32}
$$
где $q_1$ – старший коэффициент разложения (24) для величины $q$. Его определим из условия сшивания производных
$$
\begin{equation*}
\frac{d Q_1^\mathrm{l}}{d\xi_0}(0)=\frac{d Q_1^\mathrm{r}}{d\xi_0}(0).
\end{equation*}
\notag
$$
Задачу для функции $R_{1}^{(-)}( \xi ,t)$ будем решать при $ \xi\in (-\Delta/\varepsilon,0)$, $t\geqslant0$, а для функции $R_{1}^{(+)}( \xi ,t )$ – при $ \xi>0$, $t\geqslant0$, при этом переменная $t$ играет роль параметра. Эти задачи имеют следующий вид:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, &\frac{\partial ^2R_1^{(\mp)}}{\partial {\xi ^2}}+V_0\frac{\partial R_1^{(\mp)}}{\partial \xi} - f_u^\mathrm{r}(\tilde u^\mathrm{r}(\xi,t),x_0+\tilde\Delta,0 )R_1^{(\mp)} = \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad =-V_1\Phi^\mathrm{r}(\tilde u^\mathrm{r}(\xi,t),V_0,\tilde\Delta) +R_1^{(\mp)}f(\xi,t), \end{aligned}\\ R_1^{(-)}(-\infty,t) = 0,\\ R_1^{(\mp)}(0,t)+\bar u_1^{r,(\mp)}(x_*) = 0,\qquad R_1^{(+)}(-\Delta/\varepsilon,t)=0,\quad \Delta/\varepsilon\to+\infty. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{33}
$$
Здесь $R_1^{(\mp)}f(\xi,t)$ – не содержащие параметр $V_1$ известные функции, экспоненциально убывающие до нуля при $\xi\to\mp\infty$, а функцию $V_1$ определим позже таким образом, чтобы условие сшивания производных (23) выполнялось с точностью $O(\varepsilon)$. Решения этих задач можно выписать в явном виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R_1^{(\mp)}{}&(\xi ,t) = -\bar u_1^{r,(\mp)}(x_*)\frac{\Phi^\mathrm{r}(\tilde u^\mathrm{r}(\xi,t),V_0,\tilde\Delta)}{\Phi^\mathrm{r}(s(t),V_0,\tilde\Delta)}+{} \notag \\ &+ \Phi^\mathrm{r}(\tilde u^\mathrm{r}(\xi,t),V_0,\tilde\Delta)\int_0^{\xi} {\frac{e^{ - V_0\xi'}}{(\Phi^\mathrm{r}(\tilde u^\mathrm{r}(\xi',t),V_0,\tilde\Delta))^2}\,d\xi'}\times{} \notag\\ &\times\int_{\begin{smallmatrix} - \Delta/\varepsilon\\ +\infty \end{smallmatrix} }^{\xi'} e^{V_0\eta} \Phi^\mathrm{r}(\tilde u^\mathrm{r}(\eta,t),V_0,\tilde\Delta)(-V_1\Phi^\mathrm{r}(\tilde u^\mathrm{r}(\eta,t),V_0,\tilde\Delta)+R_1f^{(\mp)}(\eta,t) )\,d\eta. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{34}
$$
Функцию $L_1(\xi_0,t)$ определим как решение задачи
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial^2 L_1}{\partial\xi_0^2}=f^\mathrm{l}_u(\tilde u^\mathrm{l}(\xi_0,t),x_0,0)L_1+L_1f(\xi_0,t),\qquad \xi_0<0,\;t\geqslant0,\\ &L_1(-\infty,t)=0,\qquad L_1(0,t)=R_1^{(-)}(-\Delta/\varepsilon,t), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{35}
$$
где $L_1f(\xi_0,t)$ – известная функция, которая экспоненциально убывает до нуля при $\xi_0\to-\infty$. Решение этой задачи можно выписать в явном виде аналогично (34). Функции переходного слоя второго порядка определяются в той же последовательности, что и первого порядка, из линейных задач, аналогичных (32), (33), (35), причем справедливы оценки [19]
$$
\begin{equation}
|Q^\mathrm{l,r}_{i}(\xi_0)|\leqslant Ce^{-\kappa|\xi_0|},\qquad |L_{i}(\xi_0,t)|\leqslant Ce^{-\kappa|\xi_0|},\qquad |R^{(\mp)}_{i}(\xi,t)|\leqslant Ce^{-\kappa|\xi|},
\end{equation}
\tag{36}
$$
где $i=1,2$, $C$ и $\kappa$ – некоторые положительные константы. 3.3. Сшивание производных асимптотического представления решенияПроведем сшивание производных асимптотического приближения решения согласно равенствам (22), (23). В результате определим коэффициенты $p_i(t)$ и $V_i$ в представлениях (25) и (27). Введем функции
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_0^\mathrm{l}(p,V_0,\tilde\Delta)&=\Phi^\mathrm{l}(p)-\Phi^\mathrm{r}(p,V_0,\tilde\Delta), \\ H^\mathrm{l}_i(p,s,\Delta)&=\frac{\partial L_{i}}{\partial \xi_0}(0,t)-\frac{\partial R_{i}^{(-)}}{\partial \xi}\left(-\Delta/\varepsilon,t\right),\qquad i=1,2, \\ H^\mathrm{r}_1(s,V_1,\Delta)&=\frac{\partial R_{1}^{(-)}}{\partial \xi}(0,t)+\frac{d\varphi_1}{dx}(x_0+\Delta) -\frac{\partial R_{1}^{(+)}}{\partial \xi}(0,t)-\frac{d\varphi_3}{dx}(x_0+\Delta), \\ H^\mathrm{r}_2(s,V_2,\Delta)&=\frac{\partial R_{2}^{(-)}}{\partial \xi}(0,t)+\frac{d\bar u_1^{\mathrm{r},(-)}}{dx}(x_0+\Delta) -\frac{\partial R_{2}^{(+)}}{\partial \xi}(0,t)-\frac{d\bar u_1^{\mathrm{r},(+)}}{dx}(x_0+\Delta)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 4. Функции $Q^\mathrm{l,r}_i$, $i=1,2$, определены таким образом, что не вносят невязок в условие (22) (см. (32)), и, кроме того, функции $Q_i^\mathrm{r}(\xi_0)$ являются гладкими в точке $\xi_0=\Delta/\varepsilon$, поэтому не вносят невязок в условие (23). Выполнение равенств (22), (23) означает, что должны выполняться равенства $H_{i}^\mathrm{l,r}=O(\varepsilon^{3-i})$, $i=0,1,2$. Из условия 2 следует, что выполняется равенство $H_0^\mathrm{l}(p_0,V_0,\tilde\Delta)=0$. Определим величину $V_1$ таким образом, чтобы выполнялось равенство С учетом явных представлений (34) для функций $R_1^{(\mp)}(\xi,t)$ это равенство можно привести к виду с известной функцией $G_1^\mathrm{r}(t)$ и выразить отсюда $V_1$, поскольку
$$
\begin{equation}
K(t)=\int_{ - \tilde\Delta/\varepsilon }^{+\infty} {e^{V_0\eta }(\Phi^\mathrm{r}(\tilde u^\mathrm{r}(\eta ,t),V_0,\tilde\Delta))^2\, d\eta}
\end{equation}
\tag{38}
$$
– строго положительная функция. Функция $\tilde\Delta(t)$ определяется из задачи Коши
$$
\begin{equation}
\frac{d\tilde\Delta}{dt}=V_0(\tilde\Delta)+\varepsilon V_1(\tilde\Delta),\qquad \tilde\Delta(0)=x_{00}-x_0.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Функцию $p_1(t)$ из разложения (25) определим таким образом, чтобы для каждого $t\geqslant0$ выполнялось равенство
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial H_0^\mathrm{l}}{\partial p}(p_0,V_0,\tilde\Delta) p_1(t)+H_1^\mathrm{l}(p_0,s_0,\tilde \Delta)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Это возможно, поскольку выполняется условие 2. Если в последнем равенстве и в равенстве (37) положить $\tilde\Delta=0$, $V_0=0$, $V_1=0$ и исключить из полученной системы равенств производную $\frac{\partial R_{1}^{(-)}}{\partial \xi}(0,t)$, то получим условие сшивания производных асимптотического приближения первого порядка решения задачи (3). Исходя из этих соображений можем заключить, что $V_1(0)=0$. Принимая во внимание условие 4 и неравенство $(dV_0/d\Delta)(0)<0$ (см. (12)), приходим к выводу, что при достаточно малых $\varepsilon$ точка $\tilde\Delta=0$ является единственной асимптотически устойчивой точкой покоя уравнения (39). Для коэффициентов $s_1(t)$ и $V_2(t)$ представлений (24) и (27) имеем равенство
$$
\begin{equation}
\frac{\partial H_1^\mathrm{r}}{\partial s}(s_0,V_1,\tilde \Delta)s_1(t)+H^\mathrm{r}_2(V_2,s_0,\tilde\Delta)=0.
\end{equation}
\tag{40}
$$
Отсюда можно получить выражение для $V_2(t)$ в виде
$$
\begin{equation}
V_2(t)=K^{-1}(t)\biggl(\frac{\partial H_1^\mathrm{r}}{\partial s}(s_0,V_1,\tilde \Delta)s_1(t)+G_2^\mathrm{r}(t)\biggr),
\end{equation}
\tag{41}
$$
где $G_2^\mathrm{r}(t)$ – известная функция. Далее из условия (30) с учетом (24)–(26) в первом порядке получаем
$$
\begin{equation}
p_1(t)=-\Phi^\mathrm{r}(p_0,V_0,\tilde \Delta)\Delta_2(t)+s_1(t).
\end{equation}
\tag{42}
$$
Исключая из (41) и (42) функцию $s_1(t)$, получим уравнение, связывающее $V_2(t)$ и $\Delta_2(t)$. Определим функцию $\Delta_2(t)$ как решение задачи Коши
$$
\begin{equation*}
\frac{d\Delta_2}{dt}=K^{-1}(t)\biggl(\frac{\partial H_1^\mathrm{r}}{\partial s}(s_0,V_1,\tilde \Delta)(p_1(t)+\Phi^\mathrm{r}(p_0,V_0,\tilde \Delta)\Delta_2(t))+G_2^\mathrm{r}(t)\biggr), \qquad \Delta_2(0)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Затем определим $s_1(t)$ из соотношения (42). Наконец, определим функцию $p_2(t)$ из равенства
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial H_0^\mathrm{l}}{\partial p}(p_0,V_0,\tilde \Delta) p_2+G_2^\mathrm{l}(t)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $G_2^\mathrm{l}(t)$ – известная функция, в которую входят члены разложения Тейлора второго порядка функции $H_0^\mathrm{l}(p,V_0,\tilde\Delta)$ и первого порядка функции $H^\mathrm{l}_1(p,s,\Delta)$, а также слагаемое $H_2^\mathrm{l}(p_0,s_0,\tilde \Delta)$.
4. Существование решенияКак отмечено выше, для доказательства теоремы существования решения задачи (1) будем использовать асимптотический метод дифференциальных неравенств, который заключается в построении верхнего и нижнего решений этой задачи как модификации асимптотического приближения решения. 4.1. Нижнее и верхнее решения вида движущегося фронтаОбозначим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \underline \Delta(t):=\Delta(t)+\varepsilon^2 \delta(t),\qquad \underline x(t)=x_0+\underline\Delta(t), \qquad \underline\xi=\frac{x-\underline x(t)}{\varepsilon},\\ \underline V=\frac{d\underline\Delta}{dt}=V(t)+\varepsilon^2V_\delta(t),\qquad \underline p(t)=p(t)-\varepsilon \tau_p,\qquad \underline s(t)=s(t)-\varepsilon \tau_s(t), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где функции $s(t)$, $p(t)$, $\Delta(t)$ и $V(t)$ – определенные выше суммы (24)–(27), $\tau_p$ – положительная константа, $\tau_s(t)$, $\delta(t)$, $V_\delta(t)=d\delta/dt$ – функции, которые определим ниже. Нижнее решение задачи (1) построим следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\underline{U}(x,t,\varepsilon)= \notag\\ &= \begin{cases} \underline{U}^\mathrm{L}(x,t,\varepsilon)= U^\mathrm{L}(x,t,\varepsilon)|_{\underline p}-\varepsilon^2(\mu+ l(\xi_0,t))-\varepsilon^3\pi^\mathrm{l}(\rho_-)+\underline\Omega^\mathrm{l},& -1\leqslant x \leqslant x_0,\\ \underline U^{\mathrm{R},(-)}(x,t,\varepsilon)= U^{\mathrm{R},(-)}(x,t,\varepsilon)|_{\underline \xi,\underline\Delta,\underline V,\underline p}-\varepsilon^2(\mu+r^{(-)}(\underline\xi,t)),& x_0\leqslant x\leqslant\underline x,\\ \underline U^{\mathrm{R},(+)}(x,t,\varepsilon)= U^{\mathrm{R},(+)}(x,t,\varepsilon)|_{\underline \xi,\underline\Delta,\underline V,\underline p}-{}\\ \quad {}-\varepsilon^2 (\mu+ r^{(+)}(\underline\xi,t))-\varepsilon^3\pi^\mathrm{r}(\rho_+)+\underline\Omega^\mathrm{r},& \underline x\leqslant x\leqslant 1. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{43}
$$
Здесь через $U^\mathrm{L}(x,t,\varepsilon)|_{\underline p}$, $U^{\mathrm{R},(\mp)}(x,t,\varepsilon)|_{\underline \xi,\underline\Delta, \underline V,\underline p}$ обозначены функции, построенные по тому же алгоритму, что и функции (16)–(18), но с заменой параметров $p$, $\Delta$, $V$ соответственно на $\underline p$, $\underline\Delta$ и $\underline V$, а переменной $\xi$ – на $\underline\xi$; величины $\underline\Omega^\mathrm{l}$, $\underline\Omega^\mathrm{r}$ компенсируют малые, но отличные от нуля невязки, вносимые пограничными функциями в условия непрерывного сшивания нижнего решения при $x=x_0$ и $x=\underline x$; $\mu$ – положительная константа. Остальные слагаемые, добавленные в нижнее решение, определяются таким образом, чтобы оно удовлетворяло определению 3. В частности, функции $\pi^\mathrm{l,r}(\rho_{\mp})$ добавлены для того, чтобы выполнялись неравенства п. $3^0$ в этом определении. Их подробное описание можно найти в работе [20]. Функции $\underline{U}^\mathrm{L}(x,t,\varepsilon)$ и $\underline U^{\mathrm{R},(-)}(x,t,\varepsilon)$ сшиваются до непрерывности в точке $x_0$ в каждый момент времени, а функции $\underline U^{\mathrm{R},(-)}(x,t,\varepsilon)$ и $\underline U^{\mathrm{R},(+)}(x,t,\varepsilon)$ – в точке $\underline x(t)$ таким образом, чтобы выполнялись равенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \underline{U}^\mathrm{L}(x_0,t,\varepsilon)&= \underline U^{\mathrm{R},(-)}(x_0,t,\varepsilon)=\underline p(t)+q-\varepsilon^2\mu,\\ \underline p(t)&=\int_0^{-\bar\Delta/\varepsilon}\Phi^\mathrm{r}(\tilde u^\mathrm{r}(\xi,t),\underline V,\underline \Delta)\,d\xi +\underline s(t),\\ \underline U^{\mathrm{R},(-)}(\underline x(t),t,\varepsilon)&=\underline U^{\mathrm{R},(+)}(\underline x(t),t,\varepsilon)=\underline s(t)+ Q^\mathrm{r}(\underline\Delta/\varepsilon,\varepsilon)-\varepsilon^2\mu, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{44}
$$
где $q$ – величина, входящая в равенство (14). Функции $r^{(\mp)}(\underline \xi ,t)$ определяются как решения задач
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, &\frac{\partial ^2r^{(\mp)}}{\partial \underline\xi ^2}{}+V_0\frac{\partial r^{(\mp)}}{\partial\underline \xi} - f_u^\mathrm{r}(\tilde u^\mathrm{r}(\underline \xi,t),x_0+\tilde\Delta ,0)r^{(\mp)}= V_\delta\Phi(\tilde u^\mathrm{r}(\underline\xi,t),V_0,\tilde\Delta)-{} \\ &\qquad-\biggl(f^\mathrm{r}_u(\tilde u^\mathrm{r}(\underline \xi,t),x_0+\tilde\Delta,0)\frac{d\varphi_{1,3}}{dx}(x_0+\tilde\Delta)+f^\mathrm{r}_x(\tilde u^\mathrm{r}(\underline \xi,t),x_0+\tilde\Delta,0)\biggr)\delta(t)+{} \\ &\qquad+\bigl(f^\mathrm{r}_u(\tilde u^\mathrm{r}(\underline \xi,t),x_0+\tilde\Delta,0)-f^\mathrm{r}_u(\varphi_{1,3} (x_0+\tilde\Delta),x_0+\tilde\Delta,0)\bigr)\mu, \end{aligned} \\ r^{(\mp)}(0,t) = 0,\qquad r^{(-)} ( -\underline\Delta/\varepsilon,t)\to 0,\qquad \underline\Delta/\varepsilon\to+\infty,\qquad r^{(+)} ( +\infty,t) = 0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{45}
$$
соответственно на интервалах $(-\underline\Delta/\varepsilon;0)$ и $(0;+\infty)$ для каждого $t\geqslant0$. Для функций $r^{(\mp)}(\underline\xi,t)$ можно получить явные выражения вида (34). Функция $l(\xi_0,t)$ является решением задачи
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{\partial^2 l}{\partial\xi_0^2}=f^\mathrm{l}_u(\tilde u^\mathrm{l}(\xi_0,t),x_0,0)l+ (f^\mathrm{l}_u(\tilde u^\mathrm{l}(\xi_0,t),x_0,0)-f^\mathrm{l}_u(\varphi_{1}(x_0),x_0,0))\mu, \\ \xi_0<0,\;\;t\geqslant0, \qquad l(-\infty,t)=0,\qquad l(0,t)=r^{(-)}(-\underline\Delta/\varepsilon,t). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{46}
$$
Верхнее решение имеет вид, схожий с нижним, с тем отличием, что все слагаемые, модифицирующие асимптотическое приближение, добавляются в верхнее решение с противоположными знаками. Аналогично тому, как это сделано в работе [12], можно показать, что построенные таким образом нижнее и верхнее решения удовлетворяют неравенствам в п. $2^0$ из определения 3, а также неравенству в п. $4^0$ при $\hat x= x_0$, если $\mu$ и $\tau_p$ – положительные константы, а $\varepsilon$ достаточно мало. Если учесть равенства (37) и (40) и явные выражения для производных функций $r^{(\mp)}(\underline\xi,t)$, разность производных нижнего решения справа и слева от точки $\underline x$ можно представить в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{d\underline U^{\mathrm{R},(-)}}{dx}(\underline x,t,\varepsilon)-{}&\frac{d\underline U^{\mathrm{R},(+)}}{dx}(\underline x,t,\varepsilon)={} \\ &=-\varepsilon\biggl(K(t)V_\delta(t)+\frac{\partial H_1^\mathrm{r}}{\partial s}(s_0,V_1,\tilde \Delta)\tau_s(t)+G_\delta(t)\biggr)+O(\varepsilon^2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь функция $K(t)$ дается выражением (38), а $G_\delta(t)$ – известная функция. Скачок нужного знака производной верхнего решения в точке $\underline x$ обеспечивается выбором функции $V_\delta(t)$, входящей в правые части задач (45), таким образом, чтобы выполнялось равенство
$$
\begin{equation}
K(t)V_\delta+\frac{\partial H_1^\mathrm{r}}{\partial s}(s_0,V_1,\tilde \Delta)\tau_s(t)+G_\delta(t)=B_1,
\end{equation}
\tag{47}
$$
где $B_1$ – положительная константа. Из условия сшивания (44) с учетом равенств (10) и (42) получаем уравнение
$$
\begin{equation}
\tau_p=\Phi^\mathrm{r}(p_0,V_0,\Delta_0)\delta(t)+\tau_s(t).
\end{equation}
\tag{48}
$$
Исключая $\tau_s$ из (47) и (48), положив $V_\delta=d\delta/dt$ и учитывая, что функция $K(t)$ положительна в любой момент времени, получим уравнение для функции $\delta(t)$. Поставим для нее задачу Коши
$$
\begin{equation*}
\frac{d\delta}{dt}=K^{-1}(t)\biggl(-\frac{\partial H_1^\mathrm{r}}{\partial s}(s_0,V_1,\tilde \Delta)(\tau_p-\Phi^\mathrm{r}(p_0,V_0,\tilde\Delta)\delta(t))-G_\delta(t)+B_1\biggr),\qquad \delta(0)=\delta_0,
\end{equation*}
\notag
$$
решение которой строго положительно, если выбрать величину $B_1$ достаточно большой, а $\delta_0$ положительной. Наконец, из уравнения (48) можно определить функцию $\tau_s(t)$, обеспечивающую непрерывность верхнего и нижнего решений. Для проверки упорядоченности верхнего и нижнего решений нужно рассмотреть разность верхнего и нижнего решений отдельно на каждом из отрезков $[-1,x_0]$ и $[x_0,1]$. На отрезке $[-1,x_0]$ выражение для этой разности можно привести к виду
$$
\begin{equation*}
\overline U^\mathrm{L}-\underline U^\mathrm{L}= 2\varepsilon \tau_p\frac{\partial L_0}{\partial p}(\xi_0,t)\bigg|_{p_0}+2\varepsilon^2\biggl(\tau_p\frac{\partial L_1}{\partial p}(\xi_0,t)\biggl|_{p_0}+l(\xi_0,t)+\mu\biggr)+O(\varepsilon^3).
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого $t\geqslant 0$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial L_0}{\partial p}(\xi_0,t)=\frac{\Phi^\mathrm{l}(\tilde u^\mathrm{l}(\xi_0,t))}{\Phi^\mathrm{l}(p_0(t))}.
\end{equation*}
\notag
$$
Его можно получить, если продифференцировать уравнение и условие при $\xi_0=0$ в постановке (28) по параметру $p$ и решить получившуюся в результате линейную задачу. Подставим это равенство в выражение для разности верхнего и нижнего решений и учтем экспоненциальные оценки (31), (36). Тогда получим оценку
$$
\begin{equation*}
\overline U^\mathrm{L}-\underline U^\mathrm{L}\geqslant \varepsilon C_0e^{-\kappa_0\xi_0}+\varepsilon^2 (C_1e^{-\kappa_1\xi_0}+2\mu)+O(\varepsilon^3),
\end{equation*}
\notag
$$
где $0<\kappa_1\leqslant\kappa_0$, $C_0,C_1$ – константы, причем $C_0>0$. Аналогично тому, как это сделано в работе [21], можно показать, что правая часть неравенства принимает положительные значения при положительных $\mu$ и достаточно малых $\varepsilon$. Проверка упорядоченности верхнего и нижнего решений на отрезке $[x_0;1]$ проводится так же, как в [21]. Из существования верхнего и нижнего решений задачи (1) следует справедливость следующего утверждения. Теорема 1. При выполнении условий 1–4 и достаточно малых $\varepsilon$ для любого $T>0$ при $0\leqslant t\leqslant T$ существует единственное решение $u_{\varepsilon}(x,t)$ задачи (1), для которого функция $U(x,t,\varepsilon)$, определенная выражениями (13), (16)–(18), является равномерным асимптотическим приближением с точностью $O(\varepsilon^3)$. 5. Стабилизация решения начально-краевой задачиСогласно результатам работы [12] при выполнении условий 1–3 у задачи (3) существует решение, причем оно локально единственно и асимптотически устойчиво с областью притяжения не менее интервала, определенного неравенствами (5), где $\underline{U}_{\,s}( x,\varepsilon)$ и $\overline{U}_{\!s}( x,\varepsilon)$ – нижнее и верхнее решения задачи (3). В частности, нижнее решение имеет вид
$$
\begin{equation*}
\underline{U}_{\,s}( x,\varepsilon) = \begin{cases} U_{s1}^\mathrm{L}(x,\xi_0) - {\varepsilon }( \mu_s + l_s(\xi_0)+\pi^\mathrm{l}(\rho_-)) ,& x\in[-1;x_0],\; \xi_0\leqslant 0,\\ U_{s1}^\mathrm{R}(x,\xi_0) - {\varepsilon }( \mu_s + r_s(\xi_0)+\pi^\mathrm{r}(\rho_+)) ,& x\in[\bar x,1],\; \xi_0 \geqslant 0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $U_{s1}^\mathrm{L,R}(x,\xi_0)$ – асимптотическое приближение первого порядка решения задачи (3), $\mu_s$ – достаточно большая положительная константа, функции $l_s(\xi_0)$, $r_s(\xi_0)$ определяются из задач вида (45), (46), в которых $\tilde\Delta=\underline\Delta=0$, нет зависимости от времени, а в правые части уравнений добавлены слагаемые, обеспечивающие положительность этих функций. Как и для всех функций переходного слоя, для них справедливы оценки (36). Функции $\pi^\mathrm{l,r}(\rho_{\mp})$ имеют тот же смысл, что и в выражении (43). Нашей целью является доказательство следующей теоремы о стабилизации. Теорема 2. При выполнении условий 1–4 и достаточно малом значении $\varepsilon$ для решения $u_{\varepsilon}(x,t)$ задачи (1) с гладкой начальной функцией, имеющей вид фронта, сформированного во внутренней точке отрезка $[x_0,1]$, выполняется предельное равенство: Доказательство основывается на следующем утверждении, доказанном, например, в работе [18]. Для любой гладкой начальной функции задачи (1), заключенной между верхним и нижним решениями в начальный момент времени, существует единственное решение $u_{\varepsilon}(x,t)$ этой задачи, которое в любой момент времени $t > 0$ также заключено между верхним и нижним решениями задачи (1). Для доказательства теоремы 2 применим следующую схему. На этапе 1 c учетом того, что точка $\tilde\Delta=0$ является единственной и асимптотически устойчивой точкой покоя уравнения (39), оценим сверху интервал времени $T_0$, за который, вне зависимости от начального положения фронта (точки $x_{00}\in[x_0,1]$), значения функции $\tilde\Delta(t)$ будут иметь порядок $O(\varepsilon^2)$. На этапе 2 докажем, что при $t>T_0$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
\underline{U}(x,t,\varepsilon)\geqslant\underline{U}_{\,s}(x,\varepsilon).
\end{equation}
\tag{49}
$$
Далее заметим, что верхним решением задачи (1) является решение $u_{s,\varepsilon}(x)$ стационарной задачи (3), и если будет выполнено неравенство (49), то справедливой окажется следующая цепочка неравенств (см. также (4)):
$$
\begin{equation*}
u_{s,\varepsilon}(x)\geqslant u_{\varepsilon}(x,t)\geqslant\underline{U}(x,t,\varepsilon)\geqslant\underline{U}_{\,s}(x,\varepsilon),
\end{equation*}
\notag
$$
а это означает, что при $t>T_0$ решение $u_{\varepsilon}(x,t)$ параболической задачи будет находиться внутри локальной области притяжения устойчивого стационарного решения (5). В силу асимптотической устойчивости отсюда следует выполнение предельного равенства из формулировки теоремы 2. $\underline{\textrm{Этап 1.}}$ Оценим интервал времени $T_0$, достаточный для того, чтобы при $t\geqslant T_0$ выполнялась оценка $\tilde\Delta(t)=O(\varepsilon^2)$. Сначала заметим, что скорость движения фронта при перемещении из начального положения в окрестность точки $x_0$ радиуса $\tilde\Delta(t)= O(\varepsilon|\!\ln{\varepsilon}|)$ в нулевом порядке можно считать равной скорости движения фронта в задаче вида (1), в правой части которой стоит непрерывная функция $f^\mathrm{r}(u,x,\varepsilon)$. Это перемещение происходит в течение конечного интервала времени $t_1$ [6]. Интервал времени $t_2$, в течение которого точка локализации фронта затем переместится в $\varepsilon^2$-окрестность точки $x_0$, можно оценить с помощью рассуждений из работы [22]. Для этого интервала получим оценку
$$
\begin{equation*}
t_2\sim \varepsilon\biggl|\ln\biggl(\frac{\varepsilon}{|\!\ln \varepsilon|}\biggr)\biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым точка локализации фронта окажется в $\varepsilon^2$-окрестности точки $x_0$ за конечное время $T_0=t_1+t_2$. При $t\geqslant T_0$ имеет место оценка
$$
\begin{equation}
\underline p(t)= p_0(t)+\varepsilon(p_1-\tau_p)=s_0+O(\varepsilon).
\end{equation}
\tag{50}
$$
Здесь мы учли равенство (10). $\underline{\textrm{Этап 2.}}$ Докажем теперь, что если $\varepsilon$ достаточно мало, то при $t>T_0$ и $x\in[-1;1]$ выполняется неравенство (49). Рассмотрим сначала отрезок $x\in[-1;x_0]$. Разность нижних решений параболической и стационарной задач на этом отрезке выписывается как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \underline{U}(x,t,\varepsilon)-\underline{U}_{\,s}(x,\varepsilon)={}& L_0(\xi_0,t)-L_{s0}(\xi_0)+\varepsilon (Q_1^\mathrm{l}(\xi_0)+L_1(\xi_0,t)-L_{s1}(\xi_0))+{} \notag \\ &+ {\varepsilon }( \mu_s + l_s(\xi_0))+O(\varepsilon^2), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{51}
$$
где $L_{si}$, $i=0,1$, определяются из задач, которые получаются соответственно из (28) и (35), если заменить $p(t)$ на $s_0$ в задаче (28) и положить $\Delta=0$ в задаче (35). Принимая во внимание равенство (50), можно получить оценку
$$
\begin{equation*}
|L_0(\xi_0,t)-L_{s0}(\xi)|\leqslant C\varepsilon e^{-\kappa\xi_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как отмечалось ранее, функция $l_s(\xi_0)$ принимает строго положительные значения и экспоненциально убывает до нуля при $\xi_0\to -\infty$, а $\mu_s$ – положительная константа. Сумма $\mu_s + l_s(\xi_0)$ может быть сделана достаточно большой, чтобы выражение в правой части (51) принимало положительные значения при $\xi_0\leqslant 0$, если $\varepsilon$ достаточно мало. Тем самым неравенство (49) будет выполнено на отрезке $-1\leqslant x \leqslant x_0$. На отрезке $x\in[x_0;1]$ разность нижних решений принимает одно из выражений
$$
\begin{equation}
\underline{U}(x,t,\varepsilon)-\underline{U}_{\,s}(x,\varepsilon)=U^{\mathrm{R},(\mp)}(x,t,\varepsilon)|_{\underline \xi,\underline\Delta,\underline V,\underline p}-U_{s1}^\mathrm{R} +{\varepsilon }( \mu_s + r_s(\xi_0)+\pi^\mathrm{r}(\rho_+)).
\end{equation}
\tag{52}
$$
При $t>T_0$, а значит, $\tilde\Delta(t)=O(\varepsilon^2)$, $\underline\xi=\xi_0+O(\varepsilon)$, выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
U^{\mathrm{R},(\mp)}(x,t,\varepsilon)|_{\underline \xi,\underline\Delta,\underline V,\underline p}-U_{s1}^\mathrm{R}=\tilde u^\mathrm{r}(\underline\xi,t)-\tilde u_s^\mathrm{r}(\xi_0)+O(\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $\tilde u_s^\mathrm{r}(\xi_0)$ определяется как решение задачи
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial \tilde u_s^\mathrm{r}}{\partial\xi_0}=\Phi^\mathrm{r}(\tilde u^\mathrm{r},0,0),\qquad \xi_0>0,\qquad \tilde u_s^\mathrm{r}(0)=s_0,
\end{equation*}
\notag
$$
а функция $\tilde u^\mathrm{r}(\underline\xi,t)$ для каждого $t>0$ определяется как решение задачи
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial \tilde u^\mathrm{r}}{\partial\underline\xi}=\Phi^\mathrm{r}(\tilde u^\mathrm{r},V_0,\tilde\Delta),\qquad \underline\xi>-\underline\Delta/\varepsilon,\qquad \tilde u^\mathrm{r}(-\underline\Delta/\varepsilon,t)=\underline p(t).
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом равенств $\underline\Delta=O(\varepsilon^2)$, $V_0(\tilde\Delta)=O(\varepsilon)$ (см. (12)) и (50), имеющих место при $t>T_0$, экспоненциальных оценок (31) и теоремы о зависимости решения задачи Коши от параметров имеем соотношение
$$
\begin{equation*}
|\tilde u^\mathrm{r}(\underline\xi,t)-\tilde u_s^\mathrm{r}(\xi_0)|\leqslant C\varepsilon e^{-\kappa\xi_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так же, как и на отрезке $-1\leqslant x \leqslant x_0$, положительность правой части (52) обеспечивается за счет положительной суммы $\mu_s+r_s(\xi_0)$. Итак, доказательство неравенства (49), а вместе с тем и теоремы 2 завершено. 6. ПримерВ качестве примера рассмотрим задачу (1) с правой частью, имеющей вид
$$
\begin{equation*}
f(u,x)= \begin{cases} u, & -1\leqslant x\leqslant 0,\\ u(u-1)(u-3), & \hphantom{-{}} 0< x\leqslant 1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Функции $\Phi^\mathrm{l}(\tilde u^\mathrm{l})$ и $\Phi^\mathrm{r}(\tilde u^\mathrm{r},V_0)$ определяются как решения задач Коши
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Phi^\mathrm{l}\frac{d\Phi^\mathrm{l}}{d\tilde u^\mathrm{l}}=\tilde u^\mathrm{l},\qquad 0<\tilde{u}^\mathrm{l}<p,\qquad \Phi^\mathrm{l}(0)=0; \\ \Phi^\mathrm{r} \frac{\partial\Phi^\mathrm{r}}{\partial\tilde{u}^\mathrm{r}}+V_0\Phi^\mathrm{r} = \tilde{u}^\mathrm{r}(\tilde{u}^\mathrm{r}-1)(\tilde{u}^\mathrm{r}-3),\qquad p<\tilde{u}^\mathrm{r}<3,\qquad \Phi^\mathrm{r} (3,V_0)=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнение из условия 2 имеет вид
$$
\begin{equation}
H_0^\mathrm{l}(p_0,V_0):=p_0-\Phi^\mathrm{r}(p_0,V_0)=0.
\end{equation}
\tag{53}
$$
Отсюда можно численно определить зависимость $V_0(p_0)$. График зависимости представлен на рис. 1б. Заметим, что неравенство для производной $dH_0^\mathrm{l}/dp$ из условия 2 приводится к виду Это неравенство задает ограничение на значения $p_0$, удовлетворяющие условию 2. Этим объясняется, что точки пересечения сепаратрис $\Phi^\mathrm{l}=\tilde u$ и $\Phi^\mathrm{r}(\tilde u,V_0)$ для различных значений $V_0$ на фазовой плоскости $(\tilde u,\Phi)$ на рис. 1а лежат правее значения $u=1.5$. Зависимость $\tilde\Delta(p_0)$ определим из равенства
$$
\begin{equation}
\tilde{u}^\mathrm{r}(-\tilde\Delta/\varepsilon)=p_0(t),
\end{equation}
\tag{54}
$$
где $\tilde{u}$ определяется как решение задачи
$$
\begin{equation*}
\frac{d\tilde{u}^\mathrm{r}}{d\xi}=\Phi^\mathrm{r}(\tilde{u}^\mathrm{r},V_0),\qquad \xi>0,\qquad \tilde{u}^\mathrm{r}(0)=s_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $s_0$ определяется из условия 3 и для рассматриваемого примера принимает значение $s_0\simeq 1.89$. Исключая $p_0$ из уравнений (53) и (54), можно получить зависимость $V_0(\tilde\Delta)$. График этой зависимости, полученный численно, представлен на рис. 1в. Будем считать, что положение фронта в начальный момент времени задается координатой $x_{00}$. Для определения положения фронта необходимо решить задачу Коши
$$
\begin{equation*}
\frac{d\tilde\Delta}{dt}=V(\tilde\Delta),\qquad \tilde\Delta(0)=x_{00}.
\end{equation*}
\notag
$$
График решения этой задачи представлен на рис. 1г.
7. ЗаключениеВ работе приведен алгоритм построения асимптотического приближения решения уравнения диффузии, имеющего вид фронта, распространяющегося в среде с разрывными характеристиками. Этот алгоритм может быть использован для описания распространения автоволн в слоистых средах и для решения обратных задач по определению характеристик таких сред [23]. Также возможно распространение результатов настоящего исследования на многомерный случай. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{LevChuOrl24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|