| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Стационарный тепловой фронт в задаче восстановления коэффициента теплопроводности полупроводника по данным моделирования М. А. Давыдоваa, Г. Д. Рублевb a Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия b Институт физики атмосферы им. А. М. Обухова РАН, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 220, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924080026 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеЗначимость процессов тепломассопереноса как в естественной среде, так и в технологических процессах, инженерии и энергетике определяется их решающим влиянием на процессы изменения агрегатного состояния вещества, на механические, химические, электроизоляционные и другие свойства материалов, на характер течения химических реакций, в том числе процессов горения и окисления. Создание и использование новых материалов, особенно с учетом планомерного внедрения энергосберегающих технологий, требует непрерывного контроля различных теплофизических процессов, связанных с оцениванием тепловых потоков и теплофизических характеристик материалов, например коэффициента теплопроводности. В теории теплопередачи расчет сложного теплообмена реализуется путем разделения на составляющие по механизму переноса тепла и изучения этих составляющих методами математической физики и научного опыта. Например, среди методов измерения теплопроводности широкое распространение получили метод стационарного теплового потока [1] и зондовый метод [2], целесообразность использования которых определяется физикой теплового процесса. Ведущая роль в задачах определения тепловых и концентрационных полей, плотностей потоков тепла и вещества, а также восстановления коэффициентов теплопроводности и диффузии по данным наблюдений отводится методам математической физики и математического моделирования (см., например, [3]–[12]), в частности численного моделирования (см., например, [11], [13], [14]) как ведущего метода исследования нелинейных процессов. Изменение климатической, экологической и эпидемиологической обстановки в крупных городах и регионах способствует возникновению новых, в том числе математических, методов оценки плотностей эмиссионных потоков климатических и антропогенных газов [15], [16], определения коэффициентов атмосферной турбулентной диффузии [17], [18], оценки плотности миграционных потоков и коэффициентов подвижности популяций в задачах взаимодействия миграционных популяционных процессов с демографическими процессами [19], [20]. В настоящей работе на основе нового подхода к исследованию сингулярно возмущенных задач нелинейной теплопроводности [21], [8] изучена пространственно-одномерная тепловая модель с тепловым потоком вида $W=-k_0u_0^{\sigma}u^{-\sigma}u_{x}$, где $u(x)$ – значение температуры в точке с координатой $x$, $k(u)=k_0u_0^{\sigma}u^{-\sigma}$ – коэффициент теплопроводности. Такой вид выражения потоковых членов (с отрицательным степенным показателем) типичен для полупроводников, полимеров, в пористых средах, в кристаллическом водороде, в некоторых задачах химии и физики моря (см., например, [7]). Степенная зависимость коэффициента теплопроводности от температуры часто встречается в задачах горения (см., например, [6], [13]), а также в задачах популяционной динамики [20]. Квазилинейное уравнение теплопроводности может быть сведено к уравнению с квадратичной зависимостью от градиента решения. Впервые одномерная стационарная сингулярно возмущенная задача Дирихле для уравнения такого типа исследовалась в работе [22], где на основе метода пограничных функций [23] и метода сшивания доказывалось существование классического решения с внутренним переходным слоем. Многомерный аналог такой задачи изучен в работе [8], где с использованием метода дифференциальных неравенств [24] и принципа сравнения [25] доказано существование устойчивых решений с пограничными и внутренними переходными слоями. Методы [22], [8] получили дальнейшее развитие в работе [21], в которой задача нелинейной теплопроводности с конвекцией и нелинейными граничными условиями исследовалась на наличие стационарных асимптотически устойчивых по Ляпунову решений с пограничными и внутренними слоями на основе принципа сравнения [25], [26]. В работе [21] предложены эффективный метод расчета тепловых полей в прямолинейных нагревательных элементах печей-теплообменников и новый метод восстановления коэффициентов теплопроводности и теплообмена по данным моделирования с использованием нового численно-асимптотического подхода (подробнее см. раздел 4). Одним из наиболее значимых направлений в современной теории контрастных структур является приложение к решению коэффициентных обратных задач (численно-асимптотический подход). В работах [27], [28] предложена и проиллюстрирована концепция асимптотического решения обратных коэффициентных задач для нестационарных сингулярно возмущенных уравнений, решения которых содержат переходные слои. Применение асимптотического анализа сводит исходную прямую нелинейную задачу к последовательности более простых разрешимых задач, выявляющих связи между коэффициентами прямой задачи и параметрами соответствующей обратной задачи. Таким образом, использование априорной информации о положении движущихся слоев позволяет оптимизировать численные расчеты, существенно повышая стабильность решения соответствующей обратной задачи (см., например, [29]–[31]) в сравнении со стандартными методами [12]. В настоящей работе с использованием информации о локализации стационарного теплового фронта восстановлен коэффициент теплопроводности нелинейной среды с отрицательным степенным показателем. Другая модификация численно-асимптотического метода впервые предложена в работе [32], где использовалось параметризованное асимптотическое приближение решения прямой задачи с целью восстановления параметров модели. Данный подход оказался эффективным при решении некоторых прикладных задач геофизики (см., например, [33]) и других приложений [21]. Настоящая работа имеет следующую структуру. В разделе 2 обсуждаются постановка стационарной задачи нелинейной теплопроводности с тепловым потоком вида $W=-k_0u_0^{\sigma}u^{-\sigma}u_{x}$, достаточные условия существования стационарного теплового фронта и асимптотическое приближение решения по малому параметру задачи. Раздел 3 посвящен обоснованию формальных построений и исследованию свойства асимптотической устойчивости по Ляпунову этого решения как стационарного решения соответствующей параболической задачи. В разделе 4 предлагается новый эффективный метод восстановления коэффициента теплопроводности нелинейной среды с отрицательным степенным показателем по положению внутреннего слоя стационарной тепловой структуры в сочетании с данными наблюдений и в сравнении с методом восстановления этого же коэффициента из работы [21]. 2. Задача о стационарном тепловом фронте: асимптотическое приближение решения с внутренним слоемРассмотрим пространственно-одномерную модель нелинейной теплопроводности с тепловым потоком вида $W=-k_0u_0^{\sigma}u^{-\sigma}u_{x}$, где $u(x)$ – значение температуры в точке с координатой $x$, $k(u)=k_0u_0^{\sigma}u^{-\sigma}$ – коэффициент теплопроводности ($0<k_1 < k(u) <k_2$, $k(u_0)=k_0$, $\sigma>0$). Эта модель учитывает боковой теплообмен с окружающей средой с температурой $U$ по закону Ньютона:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, k_0u_0^{\sigma}\,\frac{d}{d x}\biggl( u^{-\sigma}\,\frac{d u}{d x}\biggr)- \gamma(u-U)+f(u,x)=0, \qquad x \in (0,l), \\ -k_0u_0^{\sigma}\biggl(u^{-\sigma}\,\frac{du}{dx}\biggr)\bigg|_{x=0}=q_1, \qquad k_0u_0^{\sigma}\biggl(u^{-\sigma}\,\frac{du}{dx}\biggr)\bigg|_{x=l}=q_2, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\gamma>0$ – коэффициент бокового теплообмена, $f(u,x)$ – мощность распределенных тепловых источников, $q_{i}$ – величины тепловых потоков на границе расчетной области при $x = 0$ и $x = l$. Такой вид выражения потоковых членов типичен для полупроводников [21] и полимеров и часто встречается в различных физических задачах (см., например, [6], [20]). В настоящей работе изучены вопросы о существовании решений с внутренними переходными слоями (стационарный тепловой фронт) в задаче (1) и об асимптотической устойчивости по Ляпунову таких решений как стационарных решений соответствующих параболических задач. С этой целью приведем задачу (1) к безразмерному виду. Без ограничения общности будем полагать, что значение коэффициента теплопроводности $k_0$ известно при значении температуры $u=U$, т. е. $u_0=U$. Определив безразмерные температуру и длину как отношение соответствующих размерных величин к $U$ и $l$ (предполагается, что температура среды не сильно отличается от температуры окружающей среды), а также полагая, что процессы энерговыделения и бокового теплообмена преобладают над процессом тепловой диффузии, приходим к задаче в безразмерных переменных:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, {\varepsilon}^2( u^{-\sigma}u_{x})_{x}- \bar{\gamma}(u-1)+\bar{f}(u,x)=0, \qquad x \in (0,1), \\ u_{x}(0,\varepsilon)+\bar{q}_1u^{\sigma}(0,\varepsilon)=0, \qquad -u_{x}(1,\varepsilon)+\bar{q}_2u^{\sigma}(1,\varepsilon)=0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2}
$$
где наличие малого параметра $\varepsilon \in I_{\varepsilon}$, $I_{\varepsilon}:=(0,\varepsilon_0]$, $0 < \varepsilon_0 \ll 1$, определяет соотношение между членами уравнения. Обозначения для безразмерных переменных сохранены в целях удобства. Заметим, что преобладание процессов энерговыделения и бокового теплообмена над процессом тепловой диффузии характерно, например, для работы прямолинейных нагревательных элементов в печах-теплообменниках [21]. В отношении задачи (2) предположим выполнение следующих условий. Условие 1. Функция $\bar{f}(u,x)$ достаточно гладкая при $x \in [0,1]$, ${0<u}\in I$, $I$ – некоторый интервал. Условие 2. Вырожденное уравнение $\bar{\gamma}(u-1)-\bar{f}(u, x) = 0$ имеет три корня $u = \varphi_{i} (x)\in I$, $i = \overline{1,3}$, причем $\varphi_1(x) < \varphi_2(x) < \varphi_{3}(x)$, $\bar{f}_{u} (\varphi_{i}(x), x)<\bar{\gamma}$, где $ i = 1,3$, и $\bar{f}_{u} (\varphi_2(x), x)>\bar{\gamma}$. Степень гладкости функции $\bar{f}(u, x)$ определяется порядком асимптотического приближения решения, которое предстоит построить. Примером достаточно гладкой функции $\bar{f}(u, x)$, которая удовлетворяет условию 2, является нелинейность типа Олли [20] с насыщением источника и стока (см. раздел 4). Этот же тип нелинейности встречается в задачах горения. Асимптотическое приближение решения с внутренним переходным слоем, соответствующее переходу с корня вырожденного уравнения $\varphi_{3}(x)$ на корень $\varphi_1(x)$, получается путем $C^{1}$-сшивания двух асимптотик погранслойного типа:
$$
\begin{equation}
U^{(\mp)}(x, \varepsilon) = \bar{u}^{(\mp)}(x, \varepsilon) + \Pi^{(\mp)}(\tau_{(\mp)}, \varepsilon) + Q^{(\mp)}(\xi,\hat{x},\varepsilon),
\end{equation}
\tag{3}
$$
где
$$
\begin{equation}
\bar{u}^{(\mp)}(x, \varepsilon) = \bar{u}_0^{(\mp)}(x)+ \varepsilon \bar{u}_1^{(\mp)}(x)+\varepsilon^2 \bar{u}_2^{(\mp)}(x) + \cdots,\qquad x \in [0, 1],
\end{equation}
\tag{4}
$$
$$
\begin{equation}
\Pi^{(\mp)}(\tau_{(\mp)}, \varepsilon)= \varepsilon \Pi_1^{(\mp)}(\tau_{(\mp)}) +\varepsilon^2 \Pi_2^{(\mp)}(\tau_{(\mp)})+ \cdots, \qquad \tau_{(-)} = \frac{x}{\varepsilon},\quad \tau_{(+)} = \frac{x-1}{\varepsilon},
\end{equation}
\tag{5}
$$
$$
\begin{equation}
Q^{(\mp)}(\xi, \hat{x}, \varepsilon) = Q^{(\mp)}_0(\xi, \hat{x}) + \varepsilon Q^{(\mp)}_1 (\xi, \hat{x}) + \cdots, \qquad \xi = \frac{x-\hat{x}}{\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Здесь $\bar{u}^{(\mp)}$ – регулярные ряды, $\bar{u}_0^{(-)}(x)=\varphi_{3}(x)$, $\bar{u}_0^{(+)}(x)=\varphi_1(x)$; $\Pi^{(-)}$ и $\Pi^{(+)}$ – пограничные ряды, описывающие пограничные слои в окрестностях точек $x = 0$ и $x = 1$ соответственно; $Q^{(\mp)}$ – функции внутреннего переходного слоя, описывающие пограничные слои в окрестности точки сшивания $x = \hat{x}(\varepsilon)$ асимптотик (3), положение которой определим условием
$$
\begin{equation*}
u(\hat{x}(\varepsilon),\varepsilon) = \varphi_2(\hat{x}(\varepsilon)),
\end{equation*}
\notag
$$
а саму точку $\hat{x}(\varepsilon)$ найдем в виде разложения по степеням малого параметра в процессе построения асимптотического приближения решения с внутренним слоем. Ниже показано, что задачи, описывающие коэффициенты разложения (6), содержат зависимость от $\hat{x}$ как от параметра, чем и объясняется наличие зависимости от $\hat{x}$ коэффициентов разложения (6). С целью построения асимптотических приближений (3) рассмотрим две вспомогательные краевые задачи для уравнения из задачи (2):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varepsilon^2\biggl( \frac{d^2u}{dx^2} -\frac{\sigma}{u} \biggl(\frac{du}{dx}\biggr)^{\!2}\,\biggr)-u^{\sigma} (\bar{\gamma}(u-1)-\bar{f}(u, x)) =0, \qquad 0<x<\hat{x}, \\ u_{x}(0,\varepsilon)+\bar{q}_1u^{\sigma}(0,\varepsilon)=0, \qquad u(\hat{x},\varepsilon) = \varphi_2(\hat{x}), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varepsilon^2\biggl( \frac{d^2u}{dx^2} -\frac{\sigma}{u} \biggl(\frac{du}{dx}\biggr)^{\!2}\,\biggr)-u^{\sigma} (\bar{\gamma}(u-1)-\bar{f}(u, x)) =0, \qquad \hat{x}<x<1, \\ u(\hat{x},\varepsilon) = \varphi_2(\hat{x}),\qquad u_{x}(1,\varepsilon)-\bar{q}_2u^{\sigma}(1,\varepsilon)=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8}
$$
Докажем, что при условиях 1 и 2 существуют классические решения погранслойного типа задач (7) и (8), асимптотические приближения которых имеют вид (3), где задаче (7) отвечает разложение (3) с индексом “$-$”, а задаче (8) – разложение (3) с индексом “$+$”. Подставляя разложения (3) в задачи (7) и (8) и применяя алгоритм Васильевой [23], получим последовательность задач для определения коэффициентов асимптотических рядов (3). В частности, для коэффициентов регулярных разложений имеем конечные уравнения:
$$
\begin{equation*}
\bar{u}^{(\mp)}_{n}(x) =(\bar{u}^{(\mp)}_0(x))^{-\sigma} (\gamma -\bar{f}_{u}(\bar{u}^{(\mp)}_0(x),x))^{-1}\bar{f}^{\,(\mp)}_{n}(x),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\bar{f}^{\,(\mp)}_{n}(x)$ – известные функции, выражающиеся через члены асимптотики $\bar{u}^{(\mp)}_{k}(x)$, $k <n $, $n>0$. Например, $\bar{f}^{\,(\mp)}_1(x) = 0$. Главные члены погранслойных разложений, описывающих пограничные слои в окрестности точки $x=\hat{x}$, определяются как решения нелинейных задач
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{d^2\tilde{u}^{(\mp)}}{d\xi^2} = \frac{\sigma}{\tilde{u}^{(\mp)}} \biggl( \frac{d\tilde{u}^{(\mp)}}{d\xi} \biggr)^{\!2} + (\tilde{u}^{(\mp)})^{\sigma} ( \bar{\gamma}(\tilde{u}^{(\mp)}-1)-\bar{f}(\tilde{u}^{(\mp)}, \hat{x})), \\ \tilde{u}^{(\mp)}(0,\hat{x}) = \varphi_2(\hat{x}), \qquad \tilde{u}^{(\mp)}(\mp \infty,\hat{x}) =\bar{u}_0^{(\mp)}(\hat{x}), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{9}
$$
где $\tilde{u}^{(\mp)}(\xi,\hat{x}) :=\bar{u}_0^{(\mp)}(\hat{x})+Q_0^{(\mp)}(\xi,\hat{x})$, $\hat{x} \in (0, 1)$. Для исследования разрешимости нелинейных задач нулевого приближения (9) рассмотрим присоединенную систему уравнений
$$
\begin{equation}
\frac{d \tilde{v}}{d \xi} = \frac{\sigma}{\tilde{u}} \tilde{v}^2 + \tilde{u}^{\sigma} (\bar{\gamma}(\tilde{u}-1)-\bar{f}(\tilde{u}, \hat x)), \qquad \frac{d \tilde{u}}{d \xi} = \tilde{v}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Фазовые траектории этой системы описываются явными уравнениями, которые получаются с использованием первого интеграла этой системы. Например, уравнение для входящей в седло $(\varphi_1(\hat x),0)$ сепаратрисы и уравнение для исходящей из седла $(\varphi_{3}(\hat x),0)$ сепаратрисы при $\tilde{v}<0$ представимы в виде
$$
\begin{equation}
\tilde{v}^{(+)}(\tilde{u},\hat x) = -\sqrt{ 2\int_{\varphi_1(\hat x)}^{\tilde{u}}( \bar{\gamma}(\mu-1)-\bar{f}(\mu, \hat x))\biggl(\frac{\tilde{u}^2}{\mu}\biggr)^{\!\sigma}\,d\mu},
\end{equation}
\tag{11}
$$
$$
\begin{equation}
\tilde{v}^{(-)}(\tilde{u},\hat x) = -\sqrt{ 2\int_{\varphi_{3}(\hat x)}^{\tilde{u}} ( \bar{\gamma}(\mu-1)-\bar{f}(\mu,\hat x))\biggl(\frac{\tilde{u}^2}{\mu}\biggr)^{\!\sigma}\,d\mu}.
\end{equation}
\tag{12}
$$
С использованием уравнений (11), (12) легко получить решения задач (9). Действительно, уравнениям из задач (9) с условиями на бесконечности соответствует присоединенная система (10) с условиями на бесконечности $\tilde{u}^{(\mp)}(\mp \infty) =\bar{u}_0^{(\mp)}(\hat{x})$, $\tilde{v}^{(\mp)}(\mp \infty) =0$. Решения задач (9) даются квадратурными формулами, которые следуют из уравнений (11), (12):
$$
\begin{equation}
-\int_{\varphi_2(\hat{x})}^{\tilde{u}^{(\mp)}(\xi,\hat{x})} \Biggl[\sqrt{2\int_{\bar{u}^{(\mp)}_0(\hat{x})}^{\zeta}( \bar{\gamma}(\mu-1)-\bar{f}(\mu, \hat{x}))\biggl(\frac{\zeta^2}{\mu}\biggr)^{\!\sigma}\,d\mu }\,\Biggr]^{-1} \,d \zeta = \xi.
\end{equation}
\tag{13}
$$
При $n\geqslant 1$ имеем следующие линейные задачи:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \frac{d^2Q_{n}^{(\mp)}}{d\xi^2} &- 2\sigma\frac{d\ln{\tilde{u}^{(\mp)}}}{d\xi}\frac{dQ_{n}^{(\mp)}}{d\xi}+ \biggl( \sigma\biggl( \frac{d\ln{\tilde{u}^{(\mp)}}}{d\xi} \biggr)^{\!2}-{} \\ &-\bigl[(\tilde{u}^{(\mp)})^{\sigma} ( \bar{\gamma}(\tilde{u}^{(\mp)}-1)-\bar{f}(\tilde{u}^{(\mp)}, \hat{x})) \bigr]^\prime_{u} \biggr) Q_{n}^{(\mp)} =H_{n}^{(\mp)}(\xi, \hat{x}) , \end{aligned} \\ Q_{n}^{(\mp)}(0,\hat{x}) = -\bar{u}^{(\mp)}_{n}(\hat{x}), \qquad Q_{n}^{(\mp)}(\mp \infty,\hat{x}) = 0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $H_{n}^{(\mp)}(\xi, \hat{x})$ – известные на $n$-м шаге функции, выражающиеся рекуррентно через члены асимптотики порядка $k<n$; через $[\cdots]^\prime_{u}$ обозначены производные по переменной $u$, зависящие от аргументов $({\tilde{u}^{(\mp)}}(\xi, \hat{x}), \hat{x})$. Так как функции $\tilde{v}^{(\mp)}(\xi,\hat{x})=\tilde{u}_{\xi}^{(\mp)}(\xi,\hat{x})$ являются частными решениями соответствующих однородных уравнений, в чем легко убедиться путем дифференцирования уравнений из задач (9) по переменной $\xi$, то решения краевых задач относительно функций $Q_{n}^{(\mp)}$ получаются с использованием метода функции Грина:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Q^{(\mp)}_{n}(\xi, \hat{x}) ={}& - \bar{u}^{(\mp)}_{n}(\hat{x})\frac{ \tilde{v}^{(\mp)}(\xi,\hat{x})}{ \tilde{v}^{(\mp)}(0,\hat{x})}+ \tilde{v}^{(\mp)}(\xi,\hat{x} )\int_0^{\xi} \biggl(\frac{{\tilde{u}^{(\mp)}}(\chi,\hat{x})^{\sigma}}{ \tilde{v}^{(\mp)}(\chi,\hat{x}) }\biggr)^{\!2}\,d\chi\times{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\times \int_{\mp \infty}^{\chi}\ \frac{\tilde{v}^{(\mp)}(s,\hat{x})}{{\tilde{u}^{(\mp)}}(s,\hat{x})^{2\sigma}} H_{n}^{(\mp)}(s, \hat{x})\,ds. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
Формула (14) имеет следующую структуру. Первое слагаемое – это решения краевых задач для соответствующих однородных уравнений с неоднородными граничными условиями при $\xi=0$ и условиями на бесконечности, которые легко получить с использованием фундаментальной системы решений однородных уравнений, построенных по аналогии с работой [23] для случая, когда одно нетривиальное частное решение однородного уравнения известно. Второе слагаемое – это решения краевых задач для неоднородных уравнений с однородными граничными условиями при $\xi=0$ и условиями на бесконечности, которые получены на основе метода функции Грина. По аналогии с работой [34] можно показать экспоненциальное убывание при $\xi \to \mp \infty$ функций $Q_{n}^{(\mp)}(\xi, \hat{x})$, определяемых формулой (14). В окрестности левой границы при $n\geqslant 1$ для определения функций $\Pi^{(-)}_{n}(\tau_{(-)})$ имеем краевые задачи
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{d^2\Pi_{n}}{d\tau_{(-)}^2} -\varphi^{\sigma}_{3 }(0) (\bar{\gamma} -\bar{f}_{u}(\varphi_{3 }(0),0) )\Pi_{n} = H^{-}_{n}(\tau_{(-)}), \\ \frac{d\Pi_{n}(0)}{d\tau_{(-)}} = g_1^{(n)}, \qquad \Pi_{n}(+\infty) = 0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{15}
$$
где $g_1^{(n)}, H^{-}_{n}(\tau_{(-)})$ – известные на $n$-м шаге функции, выражающиеся рекуррентно через члены асимптотики порядка $k<n$. В частности,
$$
\begin{equation*}
g_1^{(1)} = -( \bar q_1\varphi^{\sigma}_{3}(0)+\varphi_{3} '(0)), \qquad H_1^{(-)}(\tau_{(-)})=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Решения задач (15) легко получить в явном виде. Задачи относительно функций $\Pi^{(+)}_{n}(\tau_{(+)})$ имеют аналогичный вид. Итак, построены асимптотические приближения (3) решений с пограничными слоями задач (7) и (8). Обозначим через $U_n^{(\mp)}(x,\varepsilon)$ частичные суммы $n$-го порядка асимптотических рядов (3). Из алгоритма построения формальных асимптотик следует
$$
\begin{equation}
L_{\varepsilon}[U_n^{(\mp)}] := \varepsilon^2\biggl( \frac{d^2U_n^{(\mp)}}{dx^2} -\frac{\sigma}{U_n^{(\mp)}} \biggl(\frac{dU_n^{(\mp)}} {dx}\biggr)^{\!2} \biggr)-{} \qquad \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\hphantom{L_{\varepsilon}[U_n^{(\mp)}] :={}} - ( U_n^{(\mp)})^{\sigma} ( \bar{\gamma}(U_n^{(\mp)}-1)-\bar{f}(U_n^{(\mp)}, x))=O(\varepsilon^{n+1}),
\end{equation}
\tag{16}
$$
$$
\begin{equation}
N_1[U_n^{(-)}]|_{x=0} := \frac{dU_n^{(-)}(0,\varepsilon)}{dx} + \bar q_1U_n^{(-)\sigma}(0,\varepsilon) = O(\varepsilon^{n}) ,\quad N_2[U_n^{(+)}]|_{x=1} = O(\varepsilon^{n}),
\end{equation}
\tag{17}
$$
$$
\begin{equation}
U_n^{(\mp)}(\hat{x},\varepsilon)=\varphi_2(\hat{x}),\qquad n\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Существование классических решений с пограничными слоями в задачах (7) и (8) при условиях 1 и 2 докажем с использованием метода [24], основанного на принципе сравнения (см., например, [25], [26]). Доказательство представим только для задачи (7). В случае задачи (8) соответствующее доказательство аналогично. Функции $\alpha(x,\varepsilon)$, $\beta(x,\varepsilon) \in \mathbb C^2_{(0,\hat{x})}\cap \mathbb C^{1}_{[0,\hat{x})}\cap \mathbb C_{[0,\hat{x}]}$ называются упорядоченными нижним и верхним решениями задачи (7) соответственно, если при $\varepsilon\in I_{\varepsilon}$ выполняются неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \alpha(x,\varepsilon) \leqslant \beta(x,\varepsilon), \qquad x \in [0,\hat{x}], \notag \\ L_{\varepsilon}\left[\beta\right] \leqslant 0 \leqslant L_{\varepsilon}\left[\alpha\right], \qquad x \in (0,\hat{x}), \\ N_1[\beta]|_{x=0} \leqslant 0 \leqslant N_1[\alpha]|_{x=0}, \notag \\ \beta(\hat{x},\varepsilon) \geqslant \varphi_2(\hat{x}), \qquad \alpha(\hat{x},\varepsilon) \leqslant \varphi_2(\hat{x}). \notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{19}
$$
Существование нижнего и верхнего решений задачи (7) гарантирует существование решения $u(x,\varepsilon)$ этой задачи такого, что $\alpha(x,\varepsilon) \leqslant u(x,\varepsilon) \leqslant \beta(x,\varepsilon)$. Следуя методу [24], получим нижнее и верхнее решения путем модификаций частичной суммы соответствующего ряда (3) определенным образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \alpha_{n}(x,\varepsilon) &=U^{(-)}_{n}(x,\varepsilon) - \varepsilon^{n}( e^{-\mu\tau_{(-)}} - r_{\alpha}(\xi,\hat{x}) + \kappa), \\ \beta_{n}(x,\varepsilon) &= U^{(-)}_{n}(x,\varepsilon) + \varepsilon^ {n}( e^{-\mu\tau_{(-)}} + r_{\beta}(\xi,\hat{x}) + \kappa) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
при фиксированном $n$, где $n\geqslant 1$, числа $\mu >0$, $\kappa>0$, параметр $\varepsilon\in I_{\varepsilon}$, а функции $r_{\alpha,\beta}(\xi,\hat{x})$, как функции переменной $\xi$, являются решениями задач вида
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \frac{d^2r_{\alpha, \beta}}{d\xi^2} &- 2\sigma\frac{d\ln{\tilde{u}^{(-)}}}{d\xi}\frac{dr_{\alpha,\beta}}{d\xi} +{} \\ &+\biggl( \sigma\biggl( \frac{d\ln{\tilde{u}^{(-)}}}{d\xi} \biggr)^{\!2} -[(\tilde{u}^{(-)})^{\sigma} ( \bar{\gamma}(\tilde{u}^{(-)}-1)-\bar{f}(\tilde{u}^{(-)}, \hat{x})) ]^\prime_{u} \biggr)r_{\alpha, \beta}={} \\ ={}& \pm Ce^{\bar {\kappa} \xi} \mp \kappa \biggl([(\tilde{u}^{(-)})^{\sigma}( \bar{\gamma}(\tilde{u}^{(-)}-1)-\bar{f}(\tilde{u}^{(-)}, \hat{x})) ]^\prime_{u}-{} \\ &- \sigma\biggl( \frac{d\ln{\tilde{u}^{(-)}}}{d\xi} \biggr)^{\!2}- \varphi^{\sigma}_{3 }(\hat{x}) (\bar{\gamma} -\bar{f}_{u}(\varphi_{3 }(\hat{x}),\hat{x}) ) \biggr), \end{aligned} \\ r_{\alpha, \beta}(0,\hat{x})= 0, \qquad r_{\alpha, \beta}(-\infty,\hat{x}) =0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
$C>0$, $\bar\kappa >0$. В правой части уравнения последовательно знаки “$+$” и “$-$” соответствуют индексу $\alpha$, знаки “$-$” и “$+$” - индексу $\beta$. Соответствующий выбор параметров $\kappa$, $\mu$, $C$, $\bar\kappa$ обеспечивает выполнение дифференциальных неравенств (19). Например, с учетом оценки (16) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L_{\varepsilon}[\beta_{n}] ={}& O(\varepsilon^{n+1})- \varepsilon^{n}\kappa \varphi^{\sigma}_{3 }({x}) (\bar{\gamma} -\bar{f}_{u}(\varphi_{3 }({x}),{x}) ) +{} \\ &+\varepsilon^{n}e^{-\mu\tau_{(-)}}[\mu^2-\varphi^{\sigma}_{3 }(0) (\bar{\gamma} -\bar{f}_{u}(\varphi_{3 }({0}),{0}) )] - \varepsilon^{n}Ce^{\bar\kappa\xi}\leqslant 0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при достаточно большом $\kappa$ и достаточно малом $\mu$. Аналогично получаем $L_{\varepsilon}[\alpha_{n}]\geqslant0$. Докажем упорядоченность верхнего и нижнего решений. Для этого рассмотрим разность
$$
\begin{equation*}
\beta_{n}(x,\varepsilon) - \alpha_{n}(x,\varepsilon) = 2\varepsilon^{n}\kappa + \varepsilon^ {n}[ r_ {\beta}(\xi,\hat{x}) - r_{\alpha}(\xi,\hat{x})] + 2\varepsilon^{n} e^{-\mu\tau_{(-)}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $ F_{n}(\xi,\hat{x}) := r_{\beta}(\xi,\hat{x}) - r_{\alpha}(\xi,\hat{x})$. Тогда функция $F_{n}$ является решением задачи
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \frac{d^2F_{n}}{d\xi^2} &- 2\sigma\frac{d\ln{\tilde{u}^{(-)}}}{d\xi}\frac{dF_{n}}{d\xi}+{}\\ &+ \biggl( \sigma\biggl( \frac{d\ln{\tilde{u}^{(-)}}}{d\xi} \biggr)^{\!2} -\bigl[(\tilde{u}^{(-)})^{\sigma} ( \bar{\gamma}(\tilde{u}^{(-)}-1)-\bar{f}(\tilde{u}^{(-)}, \hat{x}))\bigr]^\prime_{u} \biggr)F_{n}={} \\ ={}&-2Ce^{\bar {\kappa} \xi} + 2\kappa \biggl(\bigl[(\tilde{u}^{(-)})^{\sigma} ( \bar{\gamma}(\tilde{u}^{(-)}-1)-\bar{f}(\tilde{u}^{(-)}, \hat{x}))\bigr]^\prime_{u}-{} \\ &- \sigma\biggl( \frac{d\ln{\tilde{u}^{(-)}}}{d\xi} \biggr)^{\!2}- \varphi^{\sigma}_{3 }(\hat{x}) (\bar{\gamma} -\bar{f}_{u}(\varphi_{3 }(\hat{x}),\hat{x})) \biggr), \end{aligned} \\ F_{n}(0,\hat{x}) = 0, \qquad F_{n}(-\infty,\hat{x}) =0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{21}
$$
Решение задачи (21) представимо в явном виде и дается формулой, аналогичной формулам (14). Следовательно, знак функции $ F_{n}(\xi,\hat{x})$ определяется знаком правой части уравнения из задачи (21), которая экспоненциально убывает при $\xi \to -\infty$. Выбирая параметры $C$, $\bar\kappa$ и $\kappa$ так, чтобы выполнялось неравенство $F_{n}(\xi,\hat{x})\geqslant 0$, $ -\infty < \xi \leqslant 0$, получаем $\beta_{n}(x,\varepsilon) - \alpha_{n}(x,\varepsilon)\geqslant 0$, $x \in [0,\hat{x}]$. Учитывая оценки (17), в граничных точках имеем неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, N_1[\beta_{n}]|_{x=0} = - \mu \varepsilon^{n-1} + O(\varepsilon^{n})<0, \qquad N_1[\alpha_{n}]|_{x=0} = \mu \varepsilon^{n-1} + O (\varepsilon^{n})>0, \\ \beta_{n}|_{x=\hat{x}} = \varphi_2(\hat{x}) + \varepsilon^{n}\kappa > \varphi_2(\hat{x}), \qquad \alpha_{n}|_{x=\hat{x}} = \varphi_2(\hat{x}) - \varepsilon^{n}\kappa < \varphi_2(\hat{x}), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{22}
$$
так как $\mu >0$, $\kappa >0$, а $\varepsilon$ достаточно мало. Таким образом, справедлива Теорема 1. Пусть выполнены условия 1, 2. Тогда для любого $\varepsilon \in I_{\varepsilon}$ существует классическое решение $u(x,\varepsilon)$ задачи (7) такое, что для любого фиксированного $n\geqslant 0$ имеет место оценка в равномерной норме: где $U_{n}^{(-)}(x,\varepsilon)$ – частичная сумма асимптотического ряда $U^{(-)}(x,\varepsilon)$. Вернемся к построению формального асимптотического приближения решения с внутренним переходным слоем в задаче (2) путем $C^1$-согласования асимптотик погранслойного типа (3) в точке $\hat{x}$, которая ищется в виде разложения по степеням малого параметра. Заметим, что коэффициенты разложения (6) теперь зависят от $\varepsilon$ через аргумент $\hat{x}(\varepsilon)$. Определим функцию
$$
\begin{equation*}
H(x) = \tilde{v}^{(+)}(\varphi_2(x),x) -\tilde{v}^{(-)}(\varphi_2(x),x) = \frac{-2I(x)}{\tilde{v}^{(+)}(\varphi_2(x),x) + \tilde{v}^{(-)}(\varphi_2(x),x)},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
I(x) :=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_{3}(x)}( \bar{\gamma}(\mu-1)-\bar{f}(\mu,x))\biggl(\frac{\varphi_2^2(x)}{\mu}\biggr)^{\!\sigma}\,d\mu,
\end{equation*}
\notag
$$
функции $\tilde{v}^{(+)}(\tilde{u},x)$ и $\tilde{v}^{(-)}(\tilde{u},x)$ определены формулами (11) и (12). Достаточные условия существования решения с внутренним переходом с корня вырожденного уравнения $\varphi_{3}(x)$ на корень $\varphi_1(x)$ в задаче (2) формулируются в терминах функции $I(x)$ по аналогии с краевой задачей Дирихле для уравнения $\varepsilon^2u^{\prime\prime}=F(u,x)$, где соответствующие достаточные условия формулируются в терминах функции [23]
$$
\begin{equation*}
\bar {I}(x) :=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_{3}(x)}F(\mu,x)\,d\mu.
\end{equation*}
\notag
$$
Как и в работе [23], одним из основных условий существования решения с внутренним переходом с корня $\varphi_{3}(x)$ на корень $\varphi_1(x)$ является условие существования сепаратрисы, соединяющей сёдла $(\varphi_1(x),0)$ и $(\varphi_{3}(x),0)$ в полуплоскости $\tilde{v}<0$ при некотором значении параметра $x = x_0\in (0,1)$. Поскольку $\left(\frac{\varphi_2^2(x_0)}{\mu}\right)^{\sigma}>0$ при $\varphi_1(x_0)<{\mu}<\varphi_{3}(x_0)$, график подынтегральной функции в уравнении $I(x_0)=0$ того же вида, что и график функции $B(\mu,x)= \bar{\gamma}(\mu-1)-\bar{f}(\mu,x)$. Поэтому существование точки $x_0$ геометрически обеспечивается равенством площадей нижней и верхней полуволн графика. Замечание 1. При $x = x_0$ на фазовой плоскости системы (10) реализуется ячейка [22]: седла $(\varphi_1(x_0),0)$ и $(\varphi_{3}(x_0),0)$ соединены двумя сепаратрисами, одна из которых расположена в полуплоскости $\tilde{v}>0$, причем сепаратрисы расположены симметрично относительно оси $\tilde{v}=0$. В этом легко убедиться, получив уравнения сепаратрис при $\tilde{v}>0$ по аналогии с тем, как были получены уравнения (11) и (12). Cуществование двух соединительных сепаратрис при некотором значении параметра $x$ обеспечивает сосуществование двух контрастных структур в задаче (2). Замечание 2. Если при нескольких значениях $x$ из интервала $(0,1)$ образуется ячейка на фазовой плоскости присоединенной системы (10), то в задаче (2) может существовать несколько решений с внутренними слоями. Замечание 3. Указанные решения могут сосуществовать друг с другом, а также с решениями погранслойного типа, так что решение задачи (2) в целом неединственно. Для того чтобы исключить случай, когда соединительная сепаратриса имеет место при любом $x$ из интервала $(0,1)$, потребуем выполнение следующего условия. Заметим, что условие 4 используется при построении асимптотики старшего порядка и обосновании формальных построений, а также при исследовании стационарного решения с внутренним слоем на наличие свойства асимптотической устойчивости по Ляпунову. Положение точки сшивания $\hat{x}$ определяется из условия $C^{1}$-согласования построенных асимптотик погранслойного типа (3) при $x = \hat{x}$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \varepsilon\biggl( &\frac{dU^{(+)}}{dx} - \frac{dU^{(-)}}{dx}\biggr)\bigg|_{x=\hat{x}} = \frac{dQ_0^{(+)}(0,\hat{x})}{d\xi} - \frac{dQ_0^{(-)}(0,\hat{x})}{d\xi} + \varepsilon \biggl( \frac{d\bar{u}_0^{(+)}(\hat{x})}{dx} - \frac{d\bar{u}_0^{(-)}(\hat{x})}{dx}\biggr)+{} \notag \\ &\quad+ \varepsilon \biggl( \frac{dQ_1^{(+)}(0,\hat{x})}{d\xi} - \frac{dQ_1^{(-)}(0,\hat{x})}{d\xi}\biggr) + \cdots = H(\hat{x}(\varepsilon)) + \varepsilon G(\hat{x}(\varepsilon)) + \cdots = 0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G(\hat{x}(\varepsilon)) :={}& \frac{dQ_1^{(+)}(0,\hat{x})}{d\xi} - \frac{dQ_1^{(-)}(0,\hat{x})}{d\xi} + \varphi_1'(\hat{x})-\varphi_{3}'(\hat{x}) ={} \\ ={}& \frac{1}{\tilde{v}^{(+)}(0,\hat{x})}\int_{+ \infty}^{0}\biggl(\frac{\varphi_2(\hat{x})}{ \tilde{u}^{(+)}(s,\hat{x}) }\biggr)^{2\sigma}{v}^{(+)}(s,\hat{x})H_1^{(+)}(s, \hat{x})\,ds -{} \\ &- \frac{1}{\tilde{v}^{(-)}(0,\hat{x})}\int_{- \infty}^{0}\biggl(\frac{\varphi_2(\hat{x})}{ \tilde{u}^{(-)}(s,\hat{x}) }\biggr)^{2\sigma}\tilde{v}^{(-)}(s,\hat{x})H_1^{(-)}(s, \hat{x})\,ds + \varphi_1'(\hat{x})-\varphi_{3}'(\hat{x}) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
с учетом того, что $\bar{u}_1^{(\mp)}(\xi) = 0$. Полагая $\hat{x} (\varepsilon)=x_0 + \varepsilon x_1 + \varepsilon ^2 x_2 + \cdots$, где $x_0$ определим условием 3, и представляя в виде разложения по степеням $\varepsilon$ каждое слагаемое в уравнении (23), приходим к равенству
$$
\begin{equation}
H(x_0) + \varepsilon ( H'(x_0)x_1 + G(x_0)) + \cdots = 0,
\end{equation}
\tag{24}
$$
выполнение которого в нулевом приближении обеспечивается условием 3. Следовательно, существует решение $\tilde{u}(\xi,x_0) \in \mathbb C^2_{(-\infty, \infty)}$ задач (9), представимое квадратурной формулой (13) при $\hat{x} = x_0$ и описывающее внутренний слой контрастной (тепловой) структуры в нулевом приближении. Приравнивая к нулю коэффициенты при $\varepsilon^{n}$ в уравнении (23), в силу условия 4 получим однозначно разрешимые уравнения относительно $x_{n}$, $n>0$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varepsilon^{1}\!: \quad I'(x_0)x_1 - \tilde{v}(\varphi_2(x_0),x_0)G(x_0)= 0, \\ \varepsilon^{n}\!: \quad I'(x_0)x_{n} + \tilde{f}_{n}(x_0)= 0, \qquad n>1, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\tilde{v}(\varphi_2(x_0),x_0):= \tilde{v}^{(+)}(\varphi_2(x_0),x_0) = \tilde{v}^{(-)}(\varphi_2(x_0),x_0)$, $\tilde{f}_{n}(x_0) $ – известные значения. Например,
$$
\begin{equation*}
G(x_0) = \frac{1}{\tilde{v}(\varphi_2(x_0),x_0)}\int_{- \infty}^{+\infty}\biggl(\frac{\varphi^2_2({x_0})}{ \tilde{u}(s,x_0) }\biggr)^{\!\sigma}\tilde{v}(s,x_0)f_{x}(\tilde{u},x_0)s\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, построено формальное асимптотическое приближение решения с внутренним слоем в задаче (2), причем частичная сумма $n$-го порядка $U_n^{(\mp)}(x,\varepsilon)$ соответствующего асимптотического приближения удовлетворяет оценкам (16) и (17). Для того чтобы доказать существование решения с внутренним слоем в задаче (2), достаточно доказать существование точки $\hat{x}(\varepsilon)$, в которой выполняется уравнение (23), и получить асимптотическое приближение по параметру $\varepsilon$ для этой точки. Это легко сделать на основе метода сшивания [22], поскольку существование решений погранслойного типа задач (7) и (8) доказано. Следствием применения этого подхода является следующая оценка (в равномерной норме) производной решения:
$$
\begin{equation}
\biggl\|\frac{d u(x,\varepsilon)}{dx} - \frac{d U_n^{(\mp)} (x,\varepsilon)}{dx}\biggr\| = O(\varepsilon^n), \qquad n\geqslant 0, \quad x \in [0,1],
\end{equation}
\tag{25}
$$
которая понадобится далее. Однако применение метода сшивания не доказывает устойчивости по Ляпунову решения с внутренним слоем как стационарного решения соответствующей параболической задачи, что необходимо для дальнейшего исследования контрастной структуры на наличие свойства асимптотической устойчивости по Ляпунову. Поэтому обоснование формальных построений получим с использованием теорем сравнения. 3. Существование и асимптотическая устойчивость стационарного теплового фронтаС целью обоснования формальных построений асимптотического приближения решения с внутренним слоем задачи (2) и его исследования на наличие свойства асимптотической устойчивости по Ляпунову как стационарного решения соответствующей параболической задачи используем асимптотический метод дифференциальных неравенств [24] и соответствующие теоремы сравнения [25], [26]. Функции $\alpha(x,\varepsilon), \beta(x,\varepsilon) \in \mathbb{C}^2 ((0,\hat{x}_{\alpha,\beta})\cup(\hat{x}_{\alpha,\beta},1)) \cap \mathbb{C}^1([0,\hat{x}_{\alpha,\beta})\cup(\hat{x}_{\alpha,\beta},1]) \cap \mathbb{C}{[0,1]}$ называются упорядоченными нижним и верхним решениями задачи (2) соответственно, если при $\varepsilon \in I_{\varepsilon}$ выполняются следующие неравенства:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha(x,\varepsilon) \leqslant \beta(x,\varepsilon), \qquad x\in [0,1], \\ L_{\varepsilon}[\beta(x,\varepsilon)] \leqslant 0 \leqslant L_{\varepsilon}[\alpha(x,\varepsilon)], \qquad x\in (0,1), \\ N_{i}[\beta(x,\varepsilon)]|_{x=i-1} \leqslant 0\leqslant N_{i}[\alpha(x,\varepsilon)]|_{x=i-1} , \qquad i=1, 2, \\ \alpha'_{x}(\hat{x}_{\alpha}-0,\varepsilon) - \alpha'_{x}(\hat{x}_{\alpha}+0,\varepsilon)\leqslant 0, \qquad \beta'_{x}(\hat{x}_{\beta}-0,\varepsilon) - \beta'_{x}(\hat{x}_{\beta}+0,\varepsilon) \geqslant 0.\end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
При фиксированном $n$, где $n\geqslant 2$, числах $\mu^{(\mp)} >0$, $\kappa>0$ и параметре $\varepsilon\in I_{\varepsilon}$ определим верхнее решение $\beta_{n}(x,\varepsilon)$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\beta_{n}^{(\mp)}(x,\varepsilon) = \begin{cases} \varphi_3(x)+Q^{(-)}_0(\xi_{\beta}) + \sum_{i=1}^{n}\varepsilon^{i}( \bar{u}_i^{(-)}(x) + \Pi_{i}^{(-)}(\tau_{(-)})+Q_i^{(-)}(\xi_{\beta})) +{} \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad {}+ \varepsilon^{n}( \kappa +Q_{\beta}^{(-)}(\xi_{\beta})+ e^{-\mu^{(-)} \tau_{(-)}}), \qquad 0\leqslant x\leqslant \hat{x}_{\beta}, \\ \varphi_1(x)+Q^{(+)}_0(\xi_{\beta}) + \sum_{i=1}^{n}\varepsilon^{i}( \bar{u}_i^{(+)}(x) + \Pi_{i}^{(+)}(\tau_{(+)})+Q_i^{(+)}(\xi_{\beta})) +{} \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad {}+ \varepsilon^{n}( \kappa +Q_{\beta}^{(+)}(\xi_{\beta})+ e^{\mu^{(+)} \tau_{(+)}}), \qquad \hat{x}_{\beta} \leqslant x \leqslant 1, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\hat{x}_{\beta} = \sum_{i=0}^{n-1}\varepsilon^{i}x_{i} + \varepsilon^{n} (x_{n}+\delta), \qquad \delta >0, \qquad \xi_{\beta} = \frac{x-\hat{x}_{\beta}}{\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Функции ${Q}_{i}^{(\mp)}(\xi_{\beta})$ определяются как решения задач относительно функций ${Q}_{i}^{(\mp)}(\xi)$ при замене $\xi$ на $\xi_{\beta}$ и $\hat{x}$ на $\hat{x}_{\beta}$. Уравнения для определения функций $Q_{\beta}^{(\mp)}(\xi_{ \beta})$ получаются при замене в уравнениях относительно функций $Q_{n}^{(\mp)}(\xi)$ переменных $\xi$ на $\xi_{\beta}$ и $\hat{x}$ на $\hat{x}_{\beta}$, а также замене неоднородности уравнения на функцию
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \kappa F(\tilde{u}_{\beta}^{(\mp)}(\xi_{\beta},\hat x_{\beta}),{}&\bar{u}_0^{(\mp)}(\hat x_{\beta}),\hat x_{\beta}):= \kappa B_{u}(\tilde{u}_{\beta}^{(\mp)}(\xi_{\beta},\hat x_{\beta}),\hat x_{\beta} )-{} \\ &-\kappa\biggl[( \bar{u}_0^{(\mp)}(\hat x_{\beta}))^{\sigma}( \bar{\gamma}-\bar{f}_{u}(\bar{u}_0^{(\mp)}(\hat x_{\beta}), \hat{x}_{\beta}))+\sigma\biggl( \frac{d\ln{\tilde{u}^{(\mp)}}}{d\xi} \biggr)^{\!2}\,\biggr], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
причем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Q_{\beta}^{(\mp)}(0) =-\kappa, \qquad Q_{ \beta}^{(\mp)}(\mp\infty) =0,\qquad \tilde{u}^{(\mp)}_{\beta}=\tilde{u}^{(\mp)}(\xi_{\beta},\hat x_{\beta}), \\ B(u,x)=u^{\sigma} ( \bar{\gamma}(u-1)-\bar{f}(u,x)). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично определяется нижнее решение. Доказательство того, что полученная таким образом пара функций $\alpha_n(x,\varepsilon)$, $\beta_n(x,\varepsilon)$ является упорядоченной, проводится по аналогии с соответствующим доказательством из работы [24]. С учетом оценки (16) и в силу условия 2 приходим к следующим неравенствам при $ x\in (0,1)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L_{\varepsilon}[\beta^{(-)}_n] &= - \varepsilon^{n}\kappa \varphi_{3}^{\sigma}(x) (\bar{\gamma}-\bar{f}_{u}(\varphi_{3}(x) ,x )) + O(\varepsilon^{n}) <0, \qquad 0\leqslant x \leqslant \hat{x}_{\beta}, \\ L_{\varepsilon}[\beta^{(+)}_n] &= - \varepsilon^{n}\kappa \varphi_1^{\sigma}(x) (\bar{\gamma}-\bar{f}_{u}(\varphi_1(x) ,x)) + O(\varepsilon^{n}) <0, \qquad \hat{x}_{\beta}\leqslant x \leqslant 1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая оценки (17), в граничных точках имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, N_1[\beta_{n}^{(-)}]|_{x=0} &= - \mu^{(-)} \varepsilon^{n-1} + O(\varepsilon^{n})<0, \\ N_2[\beta_{n}^{(+)}]|_{x=1} &= - \mu^{(+)} \varepsilon^{n-1} + O(\varepsilon^{n})<0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{26}
$$
так как $\mu^{(\pm)} >0$, а $\varepsilon$ достаточно мало. Производные по $x$ функций $\alpha_n(x, \varepsilon)$ и $\beta_n(x, \varepsilon) $ испытывают скачки конечной величины и определенного знака в точках $\hat x_{\alpha}$ и $\hat x_{\beta}$ соответственно. Например, в силу условия 4
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \beta'_{n_{x}}(\hat{x}_{\beta}-{}&0,\varepsilon) - \beta'_{n_{x}}(\hat{x}_{\beta}+0,\varepsilon) = \varepsilon^{n-1}\biggl(\delta\frac{I'(x_0)}{\tilde{v}(0,x_0)} +\frac{\kappa}{\tilde{v}(0,x_0)}\times{} \\ &\times \int_{- \infty}^{+\infty}\biggl(\frac{\varphi_2(x_0)}{ \tilde{u}(s,x_0) }\biggr)^{2\sigma} F(\tilde{u}(s,x_0),\bar{u}_0^{(\mp)}(x_0),x_0)\tilde{v}(s,x_0)s\,ds\biggr) + O(\varepsilon^{n})>0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\geqslant 2$ и достаточно большом $\delta$. Аналогично проверяются дифференциальные неравенства в случае нижнего решения. Итак, на основании принципа сравнения [25], [26] приходим к оценке в равномерной норме:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \| u(x,\varepsilon) - U_{n-2}^{(\mp)}(x,\varepsilon)\| \leqslant{}& \|u(x,\varepsilon) - \beta_{n}^{(\mp)}(x,\varepsilon)\| +{} \\ &+ \| \beta_{n}^{(\mp)}(x,\varepsilon) - U_{n-2}^{(\mp)}(x,\varepsilon)\| =O(\varepsilon^{n-1}), \qquad n\geqslant 2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2. Пусть выполнены условия 1–4. Тогда для любого $\varepsilon \in I_{\varepsilon}$ существует классическое решение $u(x,\varepsilon)$ задачи (2) такое, что для любого фиксированного $n\geqslant 0$ имеет место оценка в равномерной норме Лемма 1. Пусть $\alpha_{n}^{(\mp)}(x,\varepsilon)$, $\beta_{n}^{(\mp)}(x,\varepsilon)$ – нижнее и верхнее решения задачи (2), а $u_{\varepsilon}(x):=u(x,\varepsilon)$ – решение задачи (2) из теоремы 2. Тогда для любого $\varepsilon \in I_{\varepsilon}$ имеют место оценки Докажем, например, вторую оценку:
$$
\begin{equation}
\frac{d}{dx}( \alpha_{n}^{(\mp)}(x,\varepsilon) - u_{\varepsilon}(x)) = \frac{d}{dx}(\alpha_{n}^{(\mp)}(x,\varepsilon) - U_{n}^{(\mp)}(x,\varepsilon)) +\frac{d}{dx}( U_{n}^{(\mp)}(x,\varepsilon)-u_{\varepsilon}(x)).
\end{equation}
\tag{27}
$$
Из равенства (27) с учетом оценки (25) следует искомая оценка. Исследуем свойство асимптотической устойчивости по Ляпунову решения $u_{\varepsilon}(x)$ как стационарного решения параболической задачи
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, M_{\varepsilon}[v] :=\varepsilon ^2 \biggl( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} -\frac{\partial v}{\partial t} - \frac{\sigma}{v}\biggl( \frac{\partial v}{\partial x}\biggr)^{\!2}\,\biggr) - v^{\sigma} ( \bar{\gamma}(v-1)-\bar{f}(v, x))=0, \quad x \in (0,1), \, t>0, \\ N_1[v(x,t,\varepsilon)]\big|_{x=0} = 0 ,\qquad N_2[v(x,t,\varepsilon)]\big|_{x=1} = 0, \\ v(x,0,\varepsilon) = u_\mathrm{init}(x,\varepsilon), \qquad x \in [0,1], \end{gathered}
\end{equation}
\tag{28}
$$
при $u_\mathrm{init}(x,\varepsilon) = u_{\varepsilon}(x)$. Будем полагать, что дополнительные условия в задаче (28) согласованы:
$$
\begin{equation*}
N_1[u_\mathrm{init}(x,\varepsilon)]\big|_{x=0} = 0 ,\qquad N_2[u_\mathrm{init}(x,\varepsilon)]\big|_{x=1} = 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Для доказательста асимптотической устойчивости стационарного решения $u_{\varepsilon}(x)$ в качестве упорядоченных нижнего и верхнего решений задачи (28) используем сжимающиеся негладкие барьеры (см., например, [35], [5]) следующего вида:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \hat{\alpha}^{(\mp)}_{n}(x,t,\varepsilon) &= u_{\varepsilon}(x) + (\alpha^{(\mp)}_{n}(x,\varepsilon) - u_{\varepsilon}(x))e^{-\lambda t}, \\ \hat{\beta}^{(\mp)}_{n}(x,t,\varepsilon) &= u_{\varepsilon}(x) + (\beta^{(\mp)}_{n}(x,\varepsilon) - u_{\varepsilon}(x))e^{-\lambda t}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
$$
где $\lambda >0$, $\alpha^{(\mp)}_{n}(x,\varepsilon)$ и $\beta^{(\mp)}_{n}(x,\varepsilon)$ – нижнее и верхнее решения задачи (2), $n\geqslant 2$ фиксировано, $\varepsilon \in I_{\varepsilon}$. Заметим, что функции (29) не являются гладкими в точках $\hat{x}_{\alpha}$ и $\hat{x}_{\beta}$ соответственно в силу свойств функций ${\alpha}^{(\mp)}_{n}(x,\varepsilon)$ и ${\beta}^{(\mp)}_{n}(x,\varepsilon)$ (см., например, [35]). Так как функции $\hat{\alpha}^{(\mp)}_{n}(x,t,\varepsilon)$ и $\hat{\beta}^{(\mp)}_{n}(x,t,\varepsilon)$ определены формулами (29), то имеет место неравенство $\hat{\alpha}^{(\mp)}_{n}(x,t,\varepsilon) \leqslant \hat{\beta}^{(\mp)}_{n}(x,t,\varepsilon) $ при $x \in [0,1]$, $t\geqslant0$, причем если $\alpha^{(\mp)}_{n}(x,\varepsilon)\leqslant u_\mathrm{init}(x,\varepsilon) \leqslant \beta^{(\mp)}_{n}(x,\varepsilon)$, то $\hat{\alpha}^{(\mp)}_{n}(x,0,\varepsilon) \leqslant u_\mathrm{init}(x,\varepsilon) \leqslant \hat{\beta}^{(\mp)}_{n}(x,0,\varepsilon)$ при $x \in [0,1]$. Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_{\varepsilon}&[\hat{\beta}^{(\mp)}_{n}] = \varepsilon^2\biggl( \frac{d^2\hat{\beta}^{(\mp)}_{n}}{dx^2} - \frac{\sigma}{\hat{\beta}^{(\mp)}_{n}}\biggl( \frac{d\hat{\beta}^{(\mp)}_{n}}{dx} \biggr)^{\!2} \, \biggr) +\varepsilon^2\lambda(\beta^{(\mp)}_{n}-u_{\varepsilon})e^{-\lambda t} -{} \\ &-( {\hat{\beta}^{(\mp)}_{n}})^{\sigma} ( \bar{\gamma}({\hat{\beta}^{(\mp)}_{n}}-1)-\bar{f}(\hat{\beta}^{(\mp)}_{n},x)) =\\ ={}&L_{\varepsilon}[u_{\varepsilon}] + e^{-\lambda t}[ L_{\varepsilon}[\beta^{(\mp)}_{n}] - L_{\varepsilon}[u_{\varepsilon}] ] +\varepsilon^2e^{-\lambda t}\biggl[ P\biggl( \frac{d{\beta}^{(\mp)}_{n}}{dx},{\beta}^{(\mp)}_{n}\biggr)- P\biggl( \frac{du_{\varepsilon}}{dx},u_{\varepsilon}\biggr)\biggr]+{} \\ &+\varepsilon^2\biggl[ P\biggl( \frac{du_{\varepsilon}}{dx},u_{\varepsilon}\biggr)-P\biggl( \frac{d\hat{\beta}^{(\mp)}_{n}}{dx},\hat{\beta}_{n}\biggr)\biggr]+ \varepsilon^2\lambda (\beta^{(\mp)}_{n}-u_{\varepsilon})e^{-\lambda t}+{} \\ &+ B(u_{\varepsilon},x) - B(\hat{\beta}^{(\mp)}_{n},x) + e^{-\lambda t}[ B(\beta^{(\mp)}_{n},x) - B(u_{\varepsilon},x)], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $P(v,u)=\sigma v^2/u$. Применяя формулу Лагранжа, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_{\varepsilon}[\hat{\beta}^{(\mp)}_{n}] ={}& L_{\varepsilon}[u_{\varepsilon}] + e^{-\lambda t}\biggl[ L_{\varepsilon}[\beta^{(\mp)}_{n}] - L_{\varepsilon}[u_{\varepsilon}] +P_{vv}^{*}( \theta_1-\theta_{3}e^{-\lambda t})\biggl(\varepsilon\frac{d(\beta^{(\mp)}_{n}-u_{\varepsilon})}{dx}\biggr)^{\!2} +{} \\ &+{\varepsilon^2}P_{uu}^{**}( \theta_2-\theta_{4}e^{-\lambda t})( \beta^{(\mp)}_{n} - u_{\varepsilon})^2+ \varepsilon^2( P_{vu}^{*}( \theta_2-\theta_{4}e^{-\lambda t} )+{} \\ &+ P_{uv}^{**}( \theta_1-\theta_{3} e^{-\lambda t})) ( \beta^{(\mp)}_{n} - u_{\varepsilon})\frac{d}{dx} ( \beta^{(\mp)}_{n} - u_{\varepsilon})+{} \\ &+B_{uu}^{*}( \theta_{5}-\theta_{6} e^{-\lambda t}) (\beta^{(\mp)}_{n}-u_{\varepsilon})^2 + \varepsilon^2\lambda( \beta^{(\mp)}_{n} - u_{\varepsilon}) \biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $P_{vv}^{*}$, $P_{uu}^{**}$, $P_{vu}^{*}$, $P_{uv}^{**}$ и $B_{uu}^{*}$ – значения производных в некоторых промежуточных точках, $0<\theta_{i}<1$, $ i = \overline{1,6}$. Учитывая теорему 1 и лемму 1, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_{\varepsilon}[\hat{\beta}^{(-)}]={}& e^{-\lambda t}\{- \varepsilon^{n}\kappa \varphi_{3}^{\sigma}(x) (\bar{\gamma}-\bar{f}_{u}(\varphi_{3}(x) ,x))+{} \\ &+ O(\varepsilon^{n})+O(\varepsilon^{2n-2})+O(\varepsilon^{n+1})\}< 0, \qquad 0 \leqslant x\leqslant\hat{x}_{\beta}, \\ M_{\varepsilon}[\hat{\beta}^{(+)}]={}& e^{-\lambda t}\{- \varepsilon^{n}\kappa \varphi_1^{\sigma}(x) (\bar{\gamma}-\bar{f}_{u}(\varphi_1(x) ,x)) +{} \\ &+ O(\varepsilon^{n})+O(\varepsilon^{2n-2})+O(\varepsilon^{n+1})\}< 0, \qquad \hat{x}_{\beta}\leqslant x\leqslant 1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\geqslant 2$, достаточно большом $\kappa>0$ и $\varepsilon \in I_{\varepsilon}$. Аналогично получаем $M_{\varepsilon}[\hat{\alpha}^{(\pm)}]> 0$. При $x=0$ и $x=1$ имеем Аналогично получаем $N_{i}[\hat{\alpha}_{n}^{(\mp)}]|_{x=i-1}>0$, $i=1,2$. Действительно, учитывая первую оценку (26) и граничное условие при $x=0$, например, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &N_1[\hat{\beta}^{(-)}_{n}{}]|_{x=0} = N_1[\hat{\beta}^{(-)}_{n}]|_{x=0}+ \bar q_1u^{\sigma}_{\varepsilon}(0)-\bar q_1u^{\sigma}_{\varepsilon}(0)+\bar q_1(\beta^{(-)}_{n}(0,\varepsilon))^{{\sigma}}e^{-\lambda t}-{} \\ &\qquad\qquad\qquad\hphantom{={}}-\bar q_1(\beta^{(-)}_{n}(0,\varepsilon))^{{\sigma}}e^{-\lambda t} +( \bar q_1u^{\sigma}_{\varepsilon}(0)-\bar q_1u^{\sigma}_{\varepsilon}(0))e^{-\lambda t}={} \\ &\quad= e^{-\lambda t} (\bar q_1 \sigma u_1^{\sigma -1}(\beta^{(-)}_{n}-u_{\varepsilon})|_{x=0} - \bar q_1 \sigma u_2^{\sigma -1}(\beta^{(-)}_{n}-u_{\varepsilon})|_{x=0} -\mu^{(-)}\varepsilon^{n-1} + O(\varepsilon^{n}) ) ={} \\ &\quad= e^{-\lambda t}( -\mu^{(-)}\varepsilon^{n-1} -\bar q_1 \sigma (\sigma -1) u_{3}^{\sigma -2}( \theta_{7}-\theta_{8} e^{-\lambda t})(\beta^{(-)}_{n}-u_{\varepsilon})^2|_{x=0}+ O(\varepsilon^{n})) ={} \\ &\quad=e^{-\lambda t}(-\mu^{(-)}\varepsilon^{n-1}+O(\varepsilon^{n})+O(\varepsilon^{2n})) < 0,\qquad n\geqslant 2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $ \bar q_1 \sigma u_{i}^{\sigma -1}$, $i=1,2$, и $ \bar q_1\sigma (\sigma -1) u_{3}^{\sigma -2}$ – значения производных функции $\bar q_1 u^{\sigma}$ в некоторых промежуточных точках $u_k$, $k=\overline{1, 3}$. Итак, функции $\hat{\alpha}^{(\mp)}_{n}(x,t,\varepsilon)$ и $\hat{\beta}^{(\mp)}_{n}(x,t,\varepsilon)$ при соответствующем выборе параметров $\kappa$, $\mu^{(\mp)}$, $\delta$ и $\lambda$, достаточно малом $\varepsilon$ и фиксированном $n\geqslant 2$ являются упорядоченными нижним и верхним решениями задачи (28). Следовательно, задача (28) имеет решение $v(x,t,\varepsilon)$ такое, что $\hat{\alpha}_{n}(x,t,\varepsilon) \leqslant v(x,t,\varepsilon) \leqslant \hat{\beta}_{n}(x,t,\varepsilon)$ [25]. С учетом этого приходим к следующей теореме. Теорема 3. Пусть выполнены условия 1–4. Тогда для любого $\varepsilon \in I_{\varepsilon}$ решение $u(x,\varepsilon)$ задачи (2) из теоремы 2 асимптотически устойчиво по Ляпунову как стационарное решение параболической задачи (28) с локальной областью притяжения $u_\mathrm{init}(x)\in [ \alpha_2(x,\varepsilon),\beta_2 (x,\varepsilon)]$ и, следовательно, единственно в этой области. 4. О восстановлении коэффициента теплопроводности с отрицательным степенным показателем по данным моделированияОбратные задачи теплообмена обычно некорректны. Их некорректность обусловлена неустойчивостью решения относительно малых возмущений входных (измеряемых) данных, а иногда и неединственностью решения (в случае нелинейных обратных задач). Это приводит к необходимости выделения решения путем разработки специальных регуляризирующих алгоритмов приближенного решения [11], [12]. Важный класс обратных задач теплообмена составляют коэффициентные обратные задачи, среди которых типичной является задача восстановления неизвестного коэффициента теплопроводности по дополнительным измерениям температуры $u(x,t)$, $x\in \Omega$, в некоторых выбранных точках $x^m$, $m=1, 2,\dots,M$, внутри образца: Традиционный подход к приближенному решению данной обратной задачи состоит в параметрической идентификации. Выбирается конечномерный базис $\eta_{\beta}(u)$, $\beta=1,2,\dots,K$, и неизвестный коэффициент теплопроводности ищется в виде Поэтому задача сводится к нахождению неизвестных коэффициентов разложения $k_{\beta}$ путем решения задачи конечномерной оптимизации для функционала
$$
\begin{equation*}
J_{\alpha}=\sum_{m=1}^{M}\int_0^T(u(x^m,t)-g_m(t))^2\,dt+\alpha \sum_{\beta=1}^{K}k_{\beta}^2,\qquad m=1,2,\dots,M,
\end{equation*}
\notag
$$
где $u(x^m,t)$ – модельные данные, $\alpha$ – параметр регуляризации. Отметим, что ввиду своей нелинейности данная обратная задача отличается повышенной сложностью [11]. В соответствии с методами, приведенными в [36], [12], операторное уравнение определяющее некорректно поставленную задачу относительно $X$, где $u \in U$, $X\in F$, $U$ и $F$ – метрические пространства, оператор $G$ обратим, но $G^{-1}$ не является непрерывным, можно заменить близким ему (в некотором смысле) уравнением, для которого возможность определения устойчивого решения может основываться на дополнительной информации о решении, позволяющей, например, сузить класс возможных решений до компактного множества [36]. Такая ситуация типична для прикладных задач. Применение методов асимптотического анализа в прямой сингулярно возмущенной задаче позволяет получить асимптотическое приближение решения прямой задачи в зависимости от параметров соответствующей обратной задачи или выявить связи между коэффициентами прямой задачи и параметрами соответствующей обратной задачи, заменив тем самым исходное операторное уравнение на близкое (в некотором смысле) ему уравнение в соответствующей корректно поставленной задаче.4.1. Использование параметризованного асимптотического приближения решения прямой задачиВ настоящем разделе используются данные моделирования тепловых полей в прямолинейных нагревательных элементах печей-теплообменников, на основе этих данных предлагается метод восстановления коэффициента теплопроводности и теплообмена по данным моделирования [21]. Тепловое поле в прямолинейном нагревательном элементе с длиной $l$ описывается нелинейной моделью, учитывающей боковой теплообмен с окружающей средой с температурой $U$ по закону Ньютона:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{d}{d x}\biggl( k(u)\frac{d u}{d x}\biggr) = \gamma( u - U) - f(x), \qquad x\in (0,l), \\ k(u)\frac{du}{dx}\bigg|_{x=0} = 0, \qquad u|_{x=l} = \bar{g}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{30}
$$
где $\gamma>0$ – коэффициент теплообмена, $f(x)>0$ – мощность распределенного теплового источника, связанного с прохождением тока через нагреватель. Вид граничных условий зависит от способа закрепления нагревателя. В данном случае предполагается, что левый торец теплоизолирован, а правый торец поддерживается при постоянной температуре $\bar{g}$. Допустим достаточную гладкость коэффициентов задачи (30) и выполнение следующего условия: $0<k_1<k(u)<k_2$ при $u\in I$. Выберем в качестве параметров модели (30) параметры реальных карбидокремниевых (SiC) нагревателей [37], [38], используемых с целью поддержания расплавленного состояния алюминия в течение длительного времени: длина нагревателя $l \approx 3.5\,$м, диаметр $54\,$мм, т. е. диаметр много меньше длины нагревателя, и характерный диапазон рабочей температуры находится в интервале от $350^\circ$ C до $1230^\circ$ C. Температуру в рабочей камере примем равной $U = 700^\circ$ C. В результате интерполяции (см. рис. 1а) с использованием данных, полученных опытным путем [38], в указанном интервале температур получена следующая функциональная зависимость коэффициента теплопроводности от температуры:
$$
\begin{equation*}
k(u) = \frac{1674}{u^{0.67}} \,\, \frac{\text{Вт}}{\text{м}\cdot\mathrm{K}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Среднее значение коэффициента теплопроводности в области характерных рабочих температур нагревателя составляет $\langle k\rangle \approx 17\,\text{Вт}/(\text{м}\cdot\mathrm{K})$. Мощность выделения тепла на единицу длины нагревателя может достигать $f_{\text{max}} = 63$ кВт/м. Вся тепловая энергия (без учета потерь), полученная в нагревательном элементе в результате преобразования электроэнергии, должна быть передана теплоотдачей к перерабатываемым материалам, иначе температура может превысить допустимые для материала пределы, что приведет к разрушению нагревателя. Следовательно, в уравнении (30), приведенном к безразмерному виду, слагаемые в правой части уравнения, описывающие процессы тепловыделения и теплоотдачи через боковую поверхность нагревателя, должны быть одинаково большими:
$$
\begin{equation}
\frac{\gamma l^2}{k(u,x)} = O(\varepsilon^{-2}), \qquad \frac{f(x) l^2}{Uk(u,x)} = O(\varepsilon^{-2}),
\end{equation}
\tag{31}
$$
где $0<\varepsilon \ll 1$. Поэтому задача (30) в безразмерных переменных при условии (31) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varepsilon^2(u_{xx} -A_1(u)u^2_{x})= \theta(u)( \bar{\gamma}(u-1)-\bar{f}(x)), \qquad x\in (0,1), \\ u_x(0,\varepsilon) = 0, \qquad u(1,\varepsilon) = g, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{32}
$$
где $\theta(u)>0$, $\bar{f}(x) >0$ при $x\in [0,1]$, $0<g:=\bar{g}U^{-1}<1$, $\varepsilon = \sqrt{\frac{U\cdot\langle k \rangle}{f_{\text{max}}\cdot l^2}} \sim 0.1$. С учетом реальных параметров задачи (30) выберем следующие коэффициенты в задаче (32) (подробнее см. [21]): $\bar{f}(x) \equiv 1$, $\bar{\gamma} = 2$, $\theta(u) = 0.86u^{0.67}$, $A_1(u) = 0.67u^{-1}$, $g = 0.6$. Асимптотическое приближение решения с пограничными слоями нулевого порядка задачи (32) в этом случае дается квадратурной формулой:
$$
\begin{equation}
U_0(x,\varepsilon) = \tilde{u}(\rho), \qquad \rho = \frac{x-1}{\varepsilon},
\end{equation}
\tag{33}
$$
где
$$
\begin{equation*}
-\int_{0.6}^{\tilde{u}(\rho)}\Biggl[\sqrt{2\cdot0.86\int_{1+\bar{f}(1)/\bar{\gamma}}^{\zeta} (\bar{\gamma}(\xi - 1)-\bar{f}(1))\biggl(\frac{\zeta^2}{\xi}\biggr)^{\!\sigma}\,d\xi}\,\Biggr]^{-1} \, d\zeta = \rho, \qquad \sigma=0.67.
\end{equation*}
\notag
$$
При выбранных значениях параметров прямой задачи (32) имеем следующую оценку остаточного члена:
$$
\begin{equation*}
\max_{x\in[0,1]}| u(x,\varepsilon) - U_0(x,\varepsilon)| \leqslant 3.77\times 10^{-6},
\end{equation*}
\notag
$$
где в качестве точного решения $ u(x,\varepsilon)$ прямой задачи (32) используется ее численное решение (подробнее см. [21] и методы [39], [40]). Теперь воспользуемся асимптотическим приближением (33) с целью восстановления коэффициента $k(u)$ и коэффициента $\bar{\gamma}>0$ при условии, что имеет место степенная параметризация $k(u) = k_0(u_0/u)^{\sigma}$, $\sigma >0$, и значение $k(u)$ в одной точке известно: $k(u_0) = k_0$, например $k(1000\,\mathrm{K}) = 16\,\text{Вт}/(\text{м}\cdot\mathrm{K})$ (см. рис. 1а). Заметим, что в прикладных задачах достаточно часто используются различные параметризации неизвестных коэффициентов задачи, в которых параметры подлежат восстановлению (см., например, [32], [33]). В данном случае алгоритму нахождения распределения температуры вдоль нагревателя можно сопоставить оператор $G\!: \mathbb{R}^2 \to \mathbb C_{[0,1]}\cap \mathbb C_{[0,1)}^{1} \cap {\mathbb C}_{(0,1)}^{^2}$, который набору параметров $X \equiv (\sigma \ \bar{\gamma})^\mathrm{T}$ ставит в соответствие распределение температуры $u(x,\varepsilon)$: Обратная задача состоит в определении положительного набора параметров $(\sigma \ \bar{\gamma})$ по известной информации о распределении тепла вдоль нагревателя $u_{s}(x,\varepsilon)$, наблюдаемого экспериментально с ошибкой $s$ ($\|u - u_{s}\|_{L_2}\leqslant {s}$, где $u$ – точные данные):
$$
\begin{equation}
G_{\varepsilon}[X_{\varepsilon,s}] = u_s, \qquad X_{\varepsilon,s} \in \Pi^2 \subset \mathbb{R^+}^2.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Решение обратной задачи (35) может быть найдено как элемент $X_{\varepsilon,s}$ компактного множества $\Pi^2:=[\sigma_1,\sigma_2]\times [\gamma_1, \gamma_2]$ из $\mathbb{{R}^+}^2$, реализующий минимум функционала на данном множестве априорных ограничений. Следовательно, задача (35) является корректно поставленной [12]. Использование асимптотического приближения решения прямой задачи, которое дается формулой (33), эквивалентно тому, что вместо точного оператора $G$ задается оператор $G_{\varepsilon}$ с ошибкой $\|G - G_{\varepsilon}\|_ {\Pi^2 \to \mathbb C_{[0,1]}\cap \mathbb C_{[0,1)}^{1} \cap \mathbb C_{(0,1)}^{^2}}\leqslant 3.77\cdot 10^{-6}$ (оценка остаточного члена). Таким образом, достаточно трудоемкая процедура вычисления образа оператора (34) заменена более простыми операциями. Поиск минимума функционала (36) реализован с использованием симплексного алгоритма Нелдера–Мида из библиотеки SciPy [41]. При минимизации была задана абсолютная погрешность на уровне $10^{-8}$. В качестве симуляции экспериментальных данных $u_s$ использовалось численное решение прямой задачи при ${\sigma}=0.673$, $\bar{\gamma}=2$, $g=0.6$, $\bar{f}(1)=1$ с наложением шума, который задавался как случайная величина с нормальным распределением, где среднее – нулевое значение, а стандартное отклонение составляет 0.025 (рис. 1б). Восстановлены следующие значения параметров: ${\sigma}_{\varepsilon,s}=0.702$, $\bar{\gamma}_{\varepsilon,s}=2.008$. Ошибка восстановления составила $\Delta\sigma=0.029$, $\Delta\gamma=0.008$. Восстановленные профили коэффициента тепловой диффузии $k(T)$ и безразмерной температуры $u(x)$ представлены на рис. 1a, б. 4.2. Использование априорной информации о положении стационарного теплового фронтаАлгоритм восстановления коэффициента $k(u) = k_0(u_0/u)^{\sigma}$, $\sigma >0$, где значение $k(u)$ в одной точке известно $(k(u_0) = k_0)$, представляется еще более простым, если в уравнении из задачи (30) заменить тепловой источник и вместо задачи (30) рассмотреть, например, задачу (1). Температуру окружающей среды примем равной $U = 700^\circ$ C и положим известным значение коэффициента теплопроводности при этой температуре: $k(973\,\mathrm{K}) \approx 16.5 \,\text{Вт}/(\text{м}\cdot\mathrm{K})=k_0$ (см. рис. 2а). После приведения к безразмерному виду приходим к задаче типа (2):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, {\varepsilon}^2(u_{xx} -A_1(u)u^2_{x})= \theta(u)(\bar{\gamma}(u-1)-\bar{f}(u,x)), \qquad x \in (0,1), \\ u_{x}(0,\varepsilon)+\bar{q}_1u^{\sigma}(0,\varepsilon)=0, \qquad -u_{x}(1,\varepsilon)+\bar{q}_2u^{\sigma}(1,\varepsilon )=0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{37}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\varepsilon = \sqrt{\frac{U\cdot k_0}{f_\mathrm{max}\cdot l^2}}, \qquad A_1(u) = \sigma u^{-1}, \qquad \theta(u) = u^{\sigma}, \qquad \bar{q}_{i}=\frac {l q_{i}}{Uk_0}, \qquad i=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что для этой задачи выполнены условия существования решения с внутренним слоем из раздела 2, и стационарный тепловой фронт с локализацией внутри отрезка $[0,1]$ можно наблюдать. Алгоритм построения формальной асимптотики решения с внутренним слоем содержит алгоритм определения положения внутреннего слоя, в соответствии с которым $\hat{x} =x_0 + \varepsilon x_1 + \varepsilon ^2 x_2 + \cdots$, где $x=x_0$ – решение нелинейного уравнения $I(x, \sigma)=0$ (см. условие 3). Следовательно, алгоритму нахождения положения внутреннего слоя можно сопоставить оператор $ \kern1.1pt\overline{\vphantom{G}\kern6.3pt}\kern-7.4pt G \colon \mathbb{R}^{+1} \to (0,1)$, который параметру модели $\sigma$ ставит в соответствие координату $\hat{x}\in (0,1)$, определяющую положение внутреннего слоя:
$$
\begin{equation}
\kern1.1pt\overline{\vphantom{G}\kern6.3pt}\kern-7.4pt G [\sigma] = \hat{x}.
\end{equation}
\tag{38}
$$
Обратная задача состоит в определении положительного параметра $\sigma$ по наблюдаемому с ошибкой $s$ положению $\hat{x}_{s}$ внутреннего слоя ($\|\hat{x} - \hat{x}_{s}\|_{L_2}\leqslant {s}$):
$$
\begin{equation}
\kern1.1pt\overline{\vphantom{G}\kern6.3pt}\kern-7.4pt G _{\varepsilon}[{\sigma_{\varepsilon,s}}] =\hat{x}_{s}, \qquad \sigma_{\varepsilon,s} \in\Pi^1\subset \mathbb{R^+}^1,
\end{equation}
\tag{39}
$$
где $ \kern1.1pt\overline{\vphantom{G}\kern6.3pt}\kern-7.4pt G _{\varepsilon}$ – оператор, заданный вместо оператора $ \kern1.1pt\overline{\vphantom{G}\kern6.3pt}\kern-7.4pt G $, $\Pi^1$ – компактное множество возможных решений. Задача (39) может быть решена с использованием априорной информации о положении внутреннего слоя, полученной на основе асимптотического анализа. В самом деле, поскольку $|\hat{x} -x_0| =O(\varepsilon)$, то $I(\hat{x}, \sigma)=O(\varepsilon)$ и, следовательно, $I(\hat{x}_{s}, \sigma)=O(\varepsilon)+O(s)$. Таким образом, обратная задача (39) сводится к решению нелинейного уравнения Это уравнение определяет параметр $\sigma$ с некоторой погрешностью: $|\sigma -\sigma_{\varepsilon,s}| =O(\varepsilon)+O(s)$.Проиллюстрируем применение метода на следующем примере. В качестве модельного источника $\bar{f}(u,x)$ выберем нелинейность типа Олли [20] – суперпозицию линейного источника и нелинейного стока с насыщением: $\bar{f}(u,x)=\alpha (u-\delta_1(x))-\beta(x)(u-\delta_2)^3$, где $\delta_{i}$ – параметры насыщения, $\alpha>\bar\gamma$. Положим следующие значения параметров соответствующей прямой задачи (37): $ \varepsilon = 0.005$, $ \alpha = 1.5$, $ \bar{\gamma} = 1$, $ \delta_2 = 2$, $\delta_1(x) = 1.32+0.01x$, $\beta(x) = 1 + x$, $\bar {q}_1 = \bar {q}_2 = 0.5$. В качестве симуляции экспериментальных данных $u_s$ используем численное решение прямой задачи при $\sigma=0.673$ (соответствует SiC) с наложением шума, который задается как случайная величина с нормальным распределением, где среднее – нулевое значение, а стандартное отклонение составляет 0.05 (рис. 2б). Прямая задача решена методом прямых [39], где при интегрировании по времени применялся метод “BDF” из библиотеки SciPy [40]. Положение внутреннего слоя и наблюдаемое положение внутреннего слоя определяются как абсциссы точек пересечения корня $u=\varphi_2(x)$ вырожденного уравнения
$$
\begin{equation*}
\bar{\gamma}(u-1)-\alpha (\mu-\delta_1(x))-\beta(x)(u-\delta_2)^3=0
\end{equation*}
\notag
$$
с численным решением и с “экспериментальной” кривой: $\hat{x} = 0.7300$, $\hat{x}_s = 0.7298$ (см. рис. 2б). Корни вырожденного уравнения получены в результате численного счета и представлены на рис. 2б. Заметим, что в нулевом приближении положение внутреннего слоя определяется уравнением
$$
\begin{equation}
I(x,\sigma) :=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_{3}(x)}( \bar{\gamma}(\mu-1)-\alpha (\mu-\delta_1(x))-\beta(x)(\mu-\delta_2)^3)\biggl(\frac{\varphi_2^2(x)}{\mu}\biggr)^{\!\sigma}\,d\mu=0,
\end{equation}
\tag{41}
$$
численное решение которого при $\sigma=0.673$ дает следующий результат: $x_0 = 0.7019$. С целью восстановления параметра $\sigma$ значение $x=\hat{x}_s = 0.7298$ подставлено в уравнение (41) и получено решение относительно $\sigma$ на основе метода дихотомии: $\sigma_{\varepsilon,s}=0.651$. Ошибка восстановления составила $|\sigma -\sigma_{\varepsilon,s}| =0.022$. Восстановленный профиль коэффициента теплопроводности $k(T)$ представлен на рис. 2a. 5. ЗаключениеВ настоящей работе получил дальнейшее развитие новый подход к исследованию прямых и обратных задач для сингулярно возмущенного уравнения теплопроводности с нелинейной тепловой диффузией, основанный на методах асимптотического анализа. С использованием нового подхода изучена устойчивая стационарная тепловая структура в пространственно-одномерной задаче с тепловым потоком вида $W=-k_0u_0^\sigma u^{-\sigma}u_{x}$. Применение асимптотического анализа сводит исходную прямую нелинейную задачу к последовательности более простых разрешимых задач, выявляющих связи между коэффициентами прямой задачи и положением теплового фронта. С использованием этой информации получен новый эффективный метод восстановления коэффициента теплопроводности с отрицательным степенным показателем по положению внутреннего слоя стационарной тепловой структуры в сочетании с данными наблюдений. Данный метод применим в случаях других параметризаций коэффициента теплопроводности. Постановки прямой и обратных задач, построение асимптотического приближения решения с внутренним слоем, доказательство теоремы существования и исследование свойства асимптотической устойчивости по Ляпунову стационарного решения с внутренним слоем выполнены М. А. Давыдовой; численные расчеты выполнены Г. Д. Рублевым. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{DavRub24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|