| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Асимптотика решений задачи Коши для одного сингулярно возмущенного дифференциально-операторного уравнения переноса А. В. Нестеров Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 220, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924080075 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеНастоящая работа является продолжением серии работ, в которых исследовались сингулярно возмущенные дифференциально-операторные уравнения переноса вида
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varepsilon^2\biggl(U_{t} +\sum_{i=1}^m D_i (p)U_{x_i}\biggr)=L_p U+\varepsilon^\alpha F(U,p)+\varepsilon^\beta \sum_{i=1}^m B_{i,p} U_{x_i x_i }, \\ \alpha,\beta >0,\qquad | x_i |<\infty,\qquad t>0,\qquad p\in P. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $0<\varepsilon \ll 1$ – малый параметр, решение $U(\bar{x},t,p)$ зависит от пространственных переменных и времени $(\bar{x},t)$, а также от переменной $p$, по которой действуют линейные операторы $L_p$,$B_{i,p}$, коэффициенты переноса $D_i (p)\ne \mathrm{const}$ считаются функциями переменной $p$, нелинейное слагаемое $F(U,p)$ есть функция своих переменных. Это уравнение исследовалось как для одномерного случая $m=1$, так и для многомерного случая $m>1$ при различных показателях $\alpha,\beta >0$, от которых существенно зависят уравнения, описывающие некоторые члены асимптотики. Рассматривается случай, когда оператор $L_p$ имеет однократное нулевое собственное значение, что относит задачу к так называемому критическому случаю [1]. Ранее строились асимптотики решений задачи Коши для одномерных линейных ($F(U,p)=0$) и нелинейных уравнений при разных требованиях на нелинейность $\varepsilon^\alpha F(U,p)$ [2]–[4], уравнений с многими пространственными переменными без слагаемых с вторыми производными ($B_{i,p} =0$) [5] и при наличии малых диффузионных слагаемых $\varepsilon ^{3}\sum_{i=1}^m B_{i,p} U_{x_i x_i}$, где $B_{i,p}$ – операторы, действующие по переменной $p$ на вторые производные решения [6]. Во всех случаях для уравнений ставились начальные условия типа “узкая шапочка” чтобы получить асимптотику решения в области больших градиентов.Как упомянуто выше, все эти сингулярно возмущенные уравнения имеют общую особенность – наличие малого параметра при операторе переноса в сочетании с нулевым однократным собственным значением линейного оператора $L_p$, что относит задачу к так называемому критическому случаю [1]. Во всех случаях формальное асимптотическое разложение решения строилось в виде суммы функций “всплеска” и пограничных функций. Интересной и важной особенностью всех задач является то, что главный член формального асимптотического разложения описывается либо уравнением параболического типа, в том числе уравнением типа обобщенного уравнения Бюргерса, либо уравнением типа обобщенного уравнения Бюргерса–Кортевега–де Фриза. Отметим, что одной из первых работ, в которой исследовалась сингулярно возмущенная система двух уравнений переноса в критическом случае, была работа Васильевой [7], в которой было обнаружено явление переходного слоя (но его структура не была найдена). Исследованиям сингулярно возмущенных уравнений переноса и близких к ним посвящена многочисленная литература как чисто теоретического, так и прикладного характера. В книге [8] методом согласования асимптотических разложений построены асимптотические разложения решений сингулярно возмущенной системы гиперболических уравнений, а также уравнения переноса (типа Бюргерса) с малой диффузией. В работе [9] построено асимптотическое разложение решения начально-краевой задачи для сингулярно возмущенной системы уравнений переноса
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varepsilon (\partial_{t} u+A(x,t)\partial_{x} u)+B(x,t)u=f(x,t),\qquad(x,t)\in \Omega, \\ u|_{t=0} =u^0(x),\qquad \Omega r=\{(x,t)\!:x\in [0,1],t\in [0,T]\}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
методом С. А. Ломова, при условиях вещественности, отделимости и положительности собственных значений $\lambda_i (x,t)>0$ обобщенной задачи
$$
\begin{equation*}
B(x,t)\psi_i (x,t)=\lambda_i (x,t)A(x,t)\psi_i (x,t).
\end{equation*}
\notag
$$
Увеличение числа уравнений в системе с двух до бесконечности приводит к дифференциально-операторному уравнению, в котором дискретный номер уравнения переходит в континуальную переменную. Также сингулярно возмущенные дифференциально-операторные уравнения переноса могут представлять интерес для физической кинетики, теории коагуляции [10], газовой динамики [11], теории переноса нейтронов [12] и др. В работах [13]–[15] строились асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных дифференциально-операторных уравнений теории переноса нейтронов. Такие уравнения могут возникать при моделировании процессов переноса в многофазных средах (с бесконечным количеством фаз) в случае, когда процессы обмена между фазами происходят намного быстрее, чем процессы механического переноса. В физических задачах наличие нулевого собственного значения оператора $L_p$ может быть связано с законами сохранения. 2. Постановка задачиВ настоящей работе строится асимптотическое разложение решения задачи Коши для сингулярно возмущенного дифференциально-операторного уравнения переноса при $\alpha =2$, $\beta =4$ с диффузионными слагаемыми, в которых коэффициенты перед производными являются функциями переменной $p$:
$$
\begin{equation}
\varepsilon^2\biggl(U_{t} +\sum_{i=1}^m D_i (p)U_{x_i } \biggr)=L_p U+\varepsilon^2F(U,p)+\varepsilon^{4}\sum_{i=1}^m B_i (p)U_{x_i x_i},
\end{equation}
\tag{1}
$$
Здесь $U(\bar{x},t,p)$ – решение, зависящее от времени, пространственных переменных и переменной $p,p\in P$, $0<\varepsilon \ll 1$ – малый положительный параметр, $D_i (p)\ne \mathrm{const}$ – функции, принадлежащие по переменной $p$ соответствующему классу, $L_p$ – линейный оператор, действующий по переменной $p$, $P$ – область изменения переменной $p$, соответствующая оператору $L_p$, $F(U,p)$ – достаточно гладкая по $U$ функция, она удовлетворяет условию $F(0,p)=0$, $\omega (\bar{z} ,p)$ быстро убывает вместе со всеми своими производными при $\| {\bar{z} }\|\to \infty$,
$$
\begin{equation}
|\omega^{(k)}(\bar{z} ,p)|<Ce^{-\kappa \|\bar{z}\|^2}\quad \forall z,C,\kappa >0,\quad \forall k=0,1,\dots,
\end{equation}
\tag{3}
$$
где константы $C,\kappa$ могут зависеть от номера $k$. Переменная $p$ принадлежит своему множеству значений $P$, соответствующему оператору $L_p$ (например, сегмент $P=[p_1,p_2]$ или интервал $P=(p_1,p_2)$ с конечными или бесконечными $p_1$, $p_2$). В пространстве функций $u(\bar{x},t,p)$ задано скалярное произведение $(u_1,u_2)$ по отношению к переменной $p$, согласованное с линейным пространством, в котором действует оператор $L_p$. Коэффициенты при вторых производных удовлетворяют условию $B_i (p)>0\,\, \forall p\in P$. Перечислим все условия на данные задачи. Условие 1. Оператор $L_p$ имеет счетное количество простых собственных значений $\lambda_i$, $i=0,1,2,\dots$, которым отвечает полная система ортонормированных собственных функций $h_i (p)$, $i=0,1,2,\dots$ . Условие 2. Оператор $L_p$ имеет однократное нулевое собственное значение $\lambda_0 =0$, которому отвечает собственная функция $h_0 (p)$ (собственную функцию сопряженного оператора $L^\ast$, отвечающую нулевому собственному значению, обозначим $h_0^\ast (p)$). Условие 3. Ненулевые собственные значения оператора $L_p$ имеют отрицательные вещественные части: $\operatorname{Re}\lambda_i \leqslant -\kappa <0$, $i=1,2,\dots$ . Начальные условия (2), имеющие вид асимптотически узкой “шапочки”, выбраны для того, чтобы исследовать асимптотику решения в наиболее интересных зонах больших градиентов начальных условий. Наличие нулевого собственного значения у оператора $L_p$ относит задачу к так называемому критическому случаю [1]. Настоящая работа является продолжением работ [2]–[6]. Основная цель настоящей работы – получение формального асимптотического разложения решения задачи (1), (2) по малому параметру и определение задач, описывающих главный член разложения, представляющих в прикладных областях основной интерес. Асимптотическое разложение решения начальной задачи строится методом пограничных функций [1] и имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, U(\bar{x},t,p)&= \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U (\bar{x},t,p)+S(\zeta,t,p)+\Pi (\xi,\tau,p)+R_N ={} \notag \\ &=\sum_{i=0}^N \varepsilon^{i} (\bar{u}_i (\bar{x},t,p)+s_i (\bar{\zeta},t,p)+\pi_i (\bar{\xi},\tau,p))+R_N = U_N +R_N. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4}
$$
Вид переменных $\bar{\zeta}$, $\bar{\xi}$, $\tau$ описан ниже. Порядок разложения $N$ определяется гладкостью входных данных. Для краткости записи в тех случаях, когда это не вызывает неоднозначности, в формулах зависимость от переменной $p$ может быть опущена. В соответствии с погранслойным методом Васильевой и Бутузова [1] нелинейная функция $F(U)$ представляется в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, F(U)={}&F( \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U +S+\Pi +R)= F( \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U )+(F( \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U +S)-F( \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U ))+ (F( \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U +\Pi )-F( \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U ))+{} \notag \\ &+(F( \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U +S+\Pi +R)-F( \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U +S)-F( \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U +\Pi)+F( \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U ))= {} \notag \\ ={}& \bar{F}+SF+\Pi F+RF, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5}
$$
где для краткости зависимость от $p$ опущена. Регулярная часть $ \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U $ в представлениях (4) и (5) играет вспомогательную роль.
3. Построение асимптотикиПостроение асимптотического разложения для решения аналогичных задач подробно описано в работах [2]–[4], поэтому многие выкладки ниже опущены. 3.1. Построение регулярной части асимптотического разложенияРегулярная часть асимптотического разложения решения задачи (1) при условиях (2) равна нулю, но для дальнейшего изложения необходимо выписать задачу, из которой определяется главное слагаемое регулярной части:
$$
\begin{equation}
\kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U (\bar{x},t,p)=\sum_{i=0}^N \varepsilon^{i} \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U _i (\bar{x},t,p).
\end{equation}
\tag{6}
$$
Подставляя разложение (6) в уравнение (1), стандартным способом получаем уравнения для первых членов разложения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L_p \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U _0 (\bar{x},t,p)&=0, \\ L_p \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U _1 (\bar{x},t,p)&=0, \\ L_p \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U _2 (\bar{x},t,p)&=\biggl(u_{0,t} +\sum_{i=1}^m D_i (p)u_{0,x_i }\biggr)-F(u_0,p). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из первого уравнения получаем $ \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U _0 (\bar{x},t,p)=h(p)u_0(\bar{x},t)$, где $u_0 (\bar{x},t)$ – пока не определенная функция. Опуская выкладки, аналогичные выкладкам в работах [2]–[6], сразу выпишем уравнение, которому подчиняется функция $u_0 (\bar{x},t)$: где Полученное выражение для коэффициентов $V_i$ существенно для дальнейших построений.При начальных условиях, зависящих только от растянутых переменных $\bar{x}/\varepsilon$, начальные условия для $u_0$ имеют вид $u_0(\bar{x},0,p)=0$, поэтому $u_0 (\bar{x},t,p)\equiv 0$ для любых $\bar{x},t,p$, все остальные $u_i$ тоже равны нулю. В соответствии с этим $ \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U =0$, и представление (5) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, F(U)&=F(S+\Pi +R)= F(S)+F(\Pi )+ (F(S+\Pi +R)-F(S)-F(\Pi ))={} \notag \\ &= SF+\Pi F+RF. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
3.2. Построение функции $S$Функция $S$, зависящая от растянутых переменных $\bar{\zeta},t$, строится стандартно в виде
$$
\begin{equation}
S(\bar{\zeta},t,p)=\sum_{i=0}^N {\varepsilon^{i}} s_i (\bar{\zeta},t,p),\qquad \zeta_i =\frac{x_i -V_i t}{\varepsilon}, \qquad i=1,\dots,m,
\end{equation}
\tag{9}
$$
где коэффициенты $V_i$ определены в (7). Функция $S$ есть решение уравнения
$$
\begin{equation}
\varepsilon^2\biggl(S_{t} +\sum_{i=1}^m D_i (p)S_{x_i} \biggr)=L_p S+\varepsilon^2SF+\varepsilon^{4}\sum_{i=1}^m B_i (p)S_{x_i x_i }, \qquad |\bar{\zeta}|<\infty,\,\, t>0.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Переходя к переменным $(\bar{\zeta},t)$ и принимая во внимание (8), получаем уравнение для определения $S(\bar{\zeta},t,p)$. Введем обозначение Тогда уравнение для определения функции $S$ можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\varepsilon^2S_{t} +\varepsilon \sum_{i=1}^m \Psi_i (p)S_{\zeta_i} =L_p S+\varepsilon^2F(S,p)+\varepsilon ^2\sum_{i=1}^m B_i (p)S_{\zeta_i \zeta_i}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Подставляя (9) в (11), стандартным способом [1] получаем соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varepsilon^0\!: L_p s_0 &=0, \\ \varepsilon^{1}\!: L_p s_1 &=\tilde{S}_1, \\ \varepsilon^2\!: L_p s_2 &=s_{0,t} +\tilde{S}_2, \\ \dots\dots\dots &\dots\dots\dots, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \tilde{S}_1 &=\sum_{i=1}^m \Psi_i (p)s_{0,\zeta_i}, \\ \tilde{S}_2 &=\sum_{i=1}^m \Psi_i (p)s_{1,\zeta_i} -F(s_0 ,p)-\sum_{i=1}^m B_i (p)s_{0,\zeta_i \zeta_i}, \\ \dots &\dots\dots\dots\dots\dots\, . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из первого соотношения получаем
$$
\begin{equation}
s_0 (\bar{\zeta},t,p)=\varphi_0 (\bar{\zeta},t)h_0 (p).
\end{equation}
\tag{12}
$$
Легко показать, что уравнение для $s_1$ разрешимо, и его решение можно записать в виде
$$
\begin{equation}
s_1 (\bar{\zeta},t)=\varphi_1 (\bar{\zeta},t)h_0 (p)+G\tilde{S}_1.
\end{equation}
\tag{13}
$$
В соотношениях (12) и (13) $\varphi_0 (\bar{\zeta},t),\varphi_1 (\bar{\zeta},t)$ – пока не определенные функции, зависящие от переменных $(\bar{\zeta},t)$, $G$ – псевдообратный к $L_p$ оператор. Линейный оператор $G$ назовем псевдообратным к оператору $L$, имеющему однократное нулевое собственное значение $\lambda =0$, если решение уравнения $LY=F$ при выполнении условия $(F,h_0^{\ast })=0$ представимо в виде $Y=GF+Ch_0$, где $C$ не зависит от $p$, $h_0^{\ast }$ – собственная функция сопряженного оператора $L^{\ast }$, отвечающая собственному значению $\lambda =0$. Исключим с помощью (13) функцию $\varphi_1$ из условия разрешимости уравнения для определения $s_2$: Подставляя в это уравнение $s_0 =\varphi_0 h_0$, $\tilde{S}_2$, исключая $s_1$ с помощью соотношения (13), принимая во внимание наложенные условия и легко проверяемое равенство
$$
\begin{equation*}
(\Psi_i h_0 ,h_0^{\ast}) =((D_i (p)-V_i )h_0 ,h_0^{\ast })=0\quad\forall i,
\end{equation*}
\notag
$$
получаем замкнутое уравнение для определения $\varphi_0$. Введем обозначения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Psi_i =D_i (p)-V_i, \qquad B_{i,\mathrm{eff}} =(B_i (p)h_0 ,h^\ast_0), \qquad M_{ii} =(\Psi_i G\Psi_i h_0 ,h^\ast_0)-B_{i,\mathrm{eff}}, \\ M_{ij} =\frac{(\Psi_i G\Psi_j h_0 ,h^\ast_0 )+(\Psi_j G\Psi_i h_0 ,h^\ast_0 )}{2}, \qquad F_\mathrm{eff} (\varphi_0 )=F(\varphi_0 h_0 ,h^\ast_0). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Тогда уравнение для определения $\varphi_0$ может быть записано в компактной форме:
$$
\begin{equation}
\varphi_{0,t} +\sum_{i,j=1}^m {M_{ij} \varphi_{0,\zeta_j \zeta_i }} -F_\mathrm{eff} (\varphi_0 )=0.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Наложим следующее условие диссипативности. Условие 5. Квадратичная форма $\sum_{i,j=1}^m M{ }_{ij}z_i z_j$ является отрицательно знакоопределенной (или полузнакоопределенной): Уравнение (16) является параболическим уравнением со слабой нелинейностью. Начальные условия для определения функции $\varphi_0$ поставим ниже. Уравнения для остальных членов разложения (9) получаются стандартно [1]. Опуская объемные выкладки, которые приведены, например, в работах [2], [3], вводя обозначение
$$
\begin{equation*}
\tilde{F}_{i,\mathrm{eff}} =(\Psi_i G{F}'(\varphi_0 h_0 )h_0,h^\ast_0),\qquad i>0,
\end{equation*}
\notag
$$
и принимая во внимание обозначения (15), запишем уравнение для определения $\varphi_1$:
$$
\begin{equation}
\varphi_{1,t} +\sum_{i,j=1}^m M_{ij} \varphi_{1,\zeta_i \zeta_j} +\sum_{i=1}^m \tilde{F}_{i,\mathrm{eff}} \varphi_1 =\Phi_1 (\bar{\zeta},t),
\end{equation}
\tag{17}
$$
где $\Phi_1$ выражается через $\varphi_0$. Отметим, что уравнение (17), в отличие от уравнения (16), является линейным. Уравнения для остальных членов разложения получаются аналогично и имеют аналогичный вид (с заменой индекса у $\varphi_1$ и $\Phi_1$ с 1 на $n$, при этом $\Phi_n$ выражается через уже построенные $\varphi_j$, $j<n$). 3.3. Построение функции $\Pi$Построенная выше функция $S$ ни в каком приближении не может удовлетворить начальным условиям ввиду жестко определенной зависимости от переменной $p$. Для удовлетворения начальным условиям строится функция
$$
\begin{equation}
\Pi (\bar{\xi},\tau,p)=\sum_{i=0}^N {\varepsilon^{i}} \pi_i (\bar{\xi},\tau,p),\qquad \bar{\xi}=\frac{\bar{x}}{\varepsilon},\quad \tau =\frac{t}{\varepsilon^2}.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Построение функции $\Pi$ делается стандартно [1]. Функция $\Pi$ есть решение уравнения
$$
\begin{equation}
\Pi_{\tau} +\varepsilon \sum_{i=1}^m D_i (p)\Pi_{\xi_i} =L_p \Pi +\varepsilon \Pi F+\varepsilon^2\sum_{i=1}^m B_{i,p} \Pi_{\xi_i \xi_i}, \qquad \| \bar{\xi}\|<\infty,\,\, \tau >0.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Совместно с функцией $S$ она должна удовлетворять начальным условиям и быть функцией погранслоя:
$$
\begin{equation}
S(\bar{\zeta},0,p)+\Pi (\bar{\xi},0,p)=\omega (\bar{x}\varepsilon ^{-1},p), \qquad \Pi (\bar{\xi},\tau ,p)_{\tau \to +\infty} \to 0.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Построение уравнений, из которых определяются члены разложения (17), проводится стандартно [1], описано во многих работах и здесь не приводится. Главный член разложения (18) есть решение уравнения
$$
\begin{equation}
\pi_{0,\tau } =L_p \pi_0,\qquad \| \bar{\xi}\|<\infty,\,\, \tau >0.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Начальные условия для $s_0$ и $\pi_0$ ставятся совместно, с условием $\pi_0 \to 0$ при $\tau \to \infty$:
$$
\begin{equation}
\pi_0 |_{\tau =0} +s_0 |_{t=0} =\omega (\bar{\xi},p),\qquad \pi_0 (\bar{\xi},\tau,p)_{\tau \to +\infty} \to 0.
\end{equation}
\tag{22}
$$
В силу условий 1–3 на собственные значения оператора $L_p$ и условия (20) функция $\pi_0$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\pi_0 (\bar{\xi},\tau,p)=\sum_{i=1}^\infty C_i (\bar{\xi})h_i (p)e^{\lambda_i \tau}.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Начальные условия для $\varphi_0$ и $\pi_0$ получаем из (21) и (22) с учетом равенства $s_0 =\varphi_0 (\bar{\zeta},t)h_0 (p)$, а также с учетом полноты и ортонормированности системы собственных функций $h_i (p)$:
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^\infty C_i (\bar{\xi})h_i (p)+\varphi_0 (\bar{\zeta},0)h_0 (p)=\omega (\bar{\xi},p)=\sum_{i=0}^\infty \omega_i (\bar{\xi})h_i (p).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда однозначно находятся $\varphi_0 (\bar{\zeta},0)$ и все $C_i(\bar{\xi})$, $i=1,2,\dots$,
$$
\begin{equation}
\varphi_0 (\bar{\zeta},0)=\omega_0 (\bar{\zeta}),\qquad C_i (\bar{\xi})=\omega_i (\bar{\xi})\quad \forall i\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Начальные условия для $\varphi_0$ определены, функция $\pi_0$ построена в явном виде. Остальные функции $\pi_i$, $i\geqslant 1$, определяются из неоднородных уравнений
$$
\begin{equation}
\pi_{i,\tau} =L_p \pi_i +P_i,\qquad i\geqslant 1,\quad |\bar{\xi}|<\infty,\quad \tau >0.
\end{equation}
\tag{25}
$$
Здесь $P_i$, $i\geqslant 1$, выражаются через уже построенные функции $\pi_j$, $j<i$. Начальные условия для функций $\varphi_i$ и $\pi_i$ ставятся совместно:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, s_i (\bar{\zeta},0,p)+\pi_i (\bar{\xi},0,p)=0, \\ \pi_i (\bar{\xi},\tau,p)_{\tau \to \infty} \to 0\quad \forall i>0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{26}
$$
Из (26) получаем начальные условия для $\varphi_i$ и $\pi_i$ по аналогии с [1]. Дополнительно наложим следующее условие. Условие 6. Пусть выполняется неравенство Легко показать, что при выполнении условия (27) выполняются оценки
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, | \omega_j (\bar{\xi})|={}&|(\omega (\bar{\xi},p),h_j (p))|\leqslant \|\omega (\bar{\xi},p)\| \,\|h_j (p)\|=\|\omega (\bar{\xi},p)\|<{} \notag \\ & <Ce^{-\kappa \|\bar{\xi}\|^2}\quad\forall \,j=0,1,\dots\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{28}
$$
Тем самым построены задачи для определения всех членов асимптотического разложения (4).
4. Оценки функций $S$ и $\Pi$Зафиксируем число $N$ в разложении (4). Справедливы следующие теоремы об оценках членов разложений. Теорема 1. При выполнении условий 1–6 существуют постоянные $T_1 >0$, $\kappa >0$, $C>0$ такие, что на $[0,T_1]$ все $\varphi_i(\bar{\zeta},t)$ для $0\leqslant i\leqslant N$ существуют, единственны и удовлетворяют оценкам вместе с частными производными всех порядков. Доказательство теоремы проводится методом последовательных приближений:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi_{0,t}^j +\sum_{i,j=1}^m M_{ij} \varphi_{0,x_i x_j}^j =F^j,\qquad j=1,2,\dots, \\ \varphi_0^j (\bar{x},0)=\omega_0 (\bar{x})\quad \forall j=1,2,\dots,\qquad F^{1}=0,\qquad F^j=F_\mathrm{eff} (\varphi_0^{j-1}(x,t)),\quad j>1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для доказательства сходимости процесса и оценки (29) на промежутке $[0,T_1]$, $T_1 >0$, используются оценки фундаментального решения параболической части оператора уравнений (16), (17) (оценки (11.2) монографии [16]). Оценка промежутка $[0,T_1]$, $T_1 >0$, на котором гарантировано существование решений, и экспоненциальная оценка (29) получаются в процессе доказательства теоремы. Пусть $F_\mathrm{eff} (U)$ определена на множестве $\Upsilon\!: |U|\leqslant U^0$, $U^0 >0$, $K={\max_{\Upsilon }| {F}'_\mathrm{eff} (U)|}$, и выполнено условие $C <U^0$, где $C$ – константа в неравенстве (3). Тогда можно взять любое $T_1 >0$, удовлетворяющее двум неравенствам $0<C(1-KT_1 )^{-1}<U^0$, $KT_1 <1$. Замечание 1. Существование решений задачи Коши на ограниченном интервале по времени для квазилинейного параболического уравнения (16) и линейного уравнения (17) при гладких быстро убывающих начальных условиях, удовлетворяющих оценкам (29), следует из более общих теорем (см. [16], гл. IV, V). Замечание 2. Величины $\kappa >0$, $C>0$ в оценках (29) могут зависеть от номера $i$. Замечание 3. Из оценок (29) следуют оценки Теорема 2. При выполнении условий 1–6 для любого $T>0$ все $\pi_i (\bar{\xi},\tau,p)$ на $[0,T]$ существуют, единственны и имеют оценку где $C>0$, $\kappa >0$ – константы. Здесь снова величины $\kappa >0$, $C>0$ могут зависеть от номера $i$. Подробные доказательства этих теорем практически дословно повторяют доказательства соответствующих теорем из работ [2], [3] и здесь не приводятся. 5. Оценка остаточного членаОграничимся теоремой об оценке остаточного члена в асимптотическом разложении (4) по невязке. Теорема 3. Если справедливы условия 1–6, то решение задачи (1), (2) представимо в виде где $S+\Pi$ есть построенное асимптотическое разложение, и остаточный член $R_N$ удовлетворяет задаче Коши Доказательство теоремы 3 (оценка $r=O(\varepsilon^{N+1}))$ непосредственно вытекает из оценок (29)–(31) и алгоритма построения асимптотического разложения. 6. Заключение1. В силу оценок (29) асимптотическое разложение (5) при $t>t_0$, где $t_0 >0$ – любое фиксированное (не зависящее от $\varepsilon$) число, имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, U(\bar{x},t,p)&=\sum_{i=0}^N \varepsilon^i (s_i (\bar{\zeta},t,p)+\pi_i (\bar{\xi},\tau,p))+R_N ={} \notag \\ &= s_0 (\bar{\zeta},t,p)+O(\varepsilon)=\varphi_0 (\bar{\zeta},t)h_0 (p)+O(\varepsilon). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{32}
$$
В этом представлении $\varphi_0 (\bar{\zeta},t)$ есть решение уравнения (16). Отметим, что уравнение (16), описывающее функцию $\varphi_0 (\bar{\zeta},t)$, может быть параболическим даже тогда, когда исходное уравнение является параболическим не для всех значений переменной $p$. 2. Интересной представляется интерпретация асимптотического поведения решения задачи (1), (2) и аналогичных ей [2]–[6] с физической точки зрения. Уравнения подобного типа могут описывать некую многофазную субстанцию, концентрация которой ($U(\bar{x},t,p)$) зависит от пространственных переменных, времени и переменной $p$ (масса коагулирующих частиц, импульс и т. д.). Уравнение описывает механический перенос субстанции (оператор переноса, стоящий в левой части уравнения), сопровождающийся “перемешиванием” (коагуляция и диссоциация, обмен импульсами при столкновениях и т. д.), которое описывается оператором $L_p$. В случаях, когда процессы перемешивания протекают намного быстрее процессов переноса, уравнение становится сингулярно возмущенным с малым параметром при операторе переноса. Нулевое собственное значение у оператора, описывающего перемешивание, означает, что уравнение (1) имеет определенный закон сохранения. Полученное асимптотическое разложение описывает особенности поведения решения, в том числе и неочевидные. После асимптотически быстрого установления “квазиравновесного состояния” (которое описывается функцией $\Pi$) зависимость решения от переменной $p$ (с точностью до $O(\varepsilon)$) фактически сводится к собственной функции $h_0 (p)$, отвечающей нулевому собственному значению оператора $L_p$. Пространственно-временна́я зависимость описывается уравнением (16), которое является параболическим даже при нулевых коэффициентах при вторых производных в уравнении (1). Такой эффект есть следствие условия $D_i (p)\ne \mathrm{const}$ в случае сильного перешивания фаз. Легко показать, что при $D_i (p)=\mathrm{const}$ такой эффект не возникает. 3. Требование однократности нулевого собственного значения оператора является существенным. При большей кратности асимптотическое разложение решения задачи (1), (2) будет иметь иной вид. 4. При иной расстановке степеней малого параметра, а также при изменении условий на функцию $F$ и на операторы $L$, $B$ асимптотика решения может иметь иной вид. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Nes24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|