| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Тензор энергии-импульса причинно-несвязанной области Вселенной, космологическая постоянная и инфляционная модель В. И. Кочкин Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 221, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S004057792410012X 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеОдним из важных требований, налагаемых на теории ранней Вселенной современными данными наблюдений, является существование этапа сверхбыстрого (экспоненциального) расширения Вселенной – инфляции. За время, прошедшее от первых инфляционных сценариев Старобинского [1], Гуса [2], Линде [3], [4], было предложено большое разнообразие моделей, и их число постоянно растет. Наиболее простой способ описания космологической инфляции заключается в использовании скалярного поля со специально подобранным потенциалом. Но у такого подхода есть одна важная черта – наличие перед экспоненциальной стадией чисто вакуумного состояния, флуктуации которого и привели к данному расширению. Иными словами, предполагается, что до инфляции уже существовало скалярное поле. Однако остаются неясными физические причины, породившие это поле. На этот счет есть ряд гипотез. Одна из наиболее интересных возможностей решения этой проблемы состоит в том, что Вселенная могла возникнуть как целое “из ничего”, или “отделиться” от какой-то другой Вселенной [5]. Другой подход был предложен Линде [6] в модели вечной инфляции. В этой модели флуктуации скалярного поля порождают экспоненциально расширяющиеся области Вселенной, внутри которых последующие флуктуации порождают следующие расширяющиеся области, и т. д. В данном подходе причина возникновения скалярного поля заменяется на его “вечное существование”. Конкурирующей гипотезой феноменологического описания механизма инфляции является предположение о модификации гравитации на начальной стадии расширения Вселенной. Обычно это осуществляется добавлением некоторой функции скаляра кривизны к действию Гильберта–Эйнштейна. Известно [7]–[9], что данный подход может быть сведен к обычной гравитации со скалярным полем. Поэтому можно считать, что оба подхода дополняют друг друга. В статьях [10], [11] была рассмотрена феноменологическая модель, в которой темная энергия в форме космологической постоянной была отождествлена со средним от тензора энергии-импульса причинно-несвязанной области. В настоящей работе рассмотрена динамика ранней Вселенной начиная от планковского размера и до окончания периода разогрева. Даны ответы на некоторые вопросы, поставленные в статье [11]. Скалярное поле вводится в конце работы, чтобы обсудить полученные результаты. 2. Темная энергия и инфляцияВ работе [11] действие для гравитации и материи схематически представлено в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S={}&\frac{1}{16\pi k}\int_{R_{0}}^{R_{n}} (\tilde{R}+L_\mathrm{m}) \sqrt {-g}\, d^{4}x +\frac{1}{8\pi k}\int \tilde{K} \sqrt {| h| }\, d^{3}x+{} \notag \\ &+\frac{1}{16\pi k}\int_{R_{n}}^{R_\mathrm{out}} (\tilde{R}-2\Lambda) \sqrt {-g}\, d^{4}x, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\tilde{R}$ – скалярная кривизна 4-пространства, $L_\mathrm{m}$ – лагранжиан материи, $\tilde{K}$ – след второй фундаментальной формы границы, $h$ – индуцированная на границе метрика. Область $(R_{n},R_\mathrm{out}$) по построению отвечает темной энергии (в форме $\Lambda$). Член Гиббонса–Хокинга (второе слагаемое в (1)) призван убрать вклад граничного интеграла в области $(R_{0},R_{n}$), возникающего при варьировании действия. Через $R_{n}$ обозначена граница причинно-несвязанной области. При этом предполагалось, что Вселенная расширяется от начального радиуса $R_{0}$ до значения $R_\mathrm{out}$, отвечающего стадии, при которой причинно-несвязанная область становится минимальной. Отметим, что значение $R_\mathrm{out}$ не обязано совпадать с радиусом в стадии максимального расширения Вселенной. Здесь и далее мы принимаем скорость света за единицу. Из действия (1) получаем вариационную задачу с подвижной границей:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 0={}&\int_{R_{0}}^{R_{n}} (G_{ik}+8\pi kT_{ik})\delta g^{ik} \sqrt {-g}\, d^{4}x +\int_{R_{n}}^{R_\mathrm{out}} (G_{ik}+g_{ik}\Lambda)\delta g^{ik} \sqrt {-g}\, d^{4}x+{} \notag \\ & +\int_{R_{n}}^{R_\mathrm{out}} (g^{ik} \delta \tilde{R} _{ik}-2 \delta\Lambda) \sqrt {-g} \, d^{4}x, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $G_{ik}$ – тензор Эйнштейна. Отметим, что положение подвижной границы должно быть описано динамическими переменными и учтено при варьировании (1). Поэтому формальный переход от действия (1) к задаче (2) в общем случае нельзя считать строгим выводом. Однако в рассматриваемой модели это оправдано тем, как определена граница (см. пояснения после уравнения (6)). Результаты, полученные в работах [10], [11], говорят в пользу данного подхода. Важно отметить, что при любом распределении материи в области $(R_{0},R_{n})$ метрика на границе $R_{n}$ и в области $(R_{n},R_\mathrm{out})$ всегда будет изотропной, что связано с построением $\Lambda$. Поэтому в настоящей работе сделано предположение, что данные области можно рассматривать как двухфазную идеальную жидкость с границей в трехмерном пространстве. Тогда задачу (2) можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 0={}&\int_{t_{0}}^{t_\mathrm{out}} \int_{V_{1}} (G_{ik}+8\pi kT_{ik})\delta g^{ik} \sqrt {-g}\, d^{4}x +\int_{t_{0}}^{t_\mathrm{out}} \int_{V_{2}} (G_{ik}+g_{ik}\Lambda)\delta g^{ik} \sqrt {-g}\, d^{4}x+{} \notag \\ & +\int_{t_{0}}^{t_\mathrm{out}} \int_{V_{2}} (g^{ik} \delta \tilde{R} _{ik}-2 \delta\Lambda) \sqrt {-g}\, d^{4}x, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $V_{1}(t)$ и $V_{2}(t)$ – области интегрирования по трехмерному пространству. В случае изотропной метрики задача упрощается, потому что пространственная метрика зависит только от масштабного фактора. Так как уравнения Эйнштейна должны быть справедливы во всей области, третье слагаемое в (3) необходимо приравнять к нулю, что позволило в работах [10], [11] найти явное выражение для $\Lambda$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{t_{0}}^{t_\mathrm{out}} \int_{V} G_{ik}\delta g^{ik} \sqrt {-g}\, d^{4}x=\notag\\ &\qquad\qquad-\int_{t_{0}}^{t_\mathrm{out}} \int_{V_{1}} 8\pi kT_{ik}\delta g^{ik} \sqrt {-g}\, d^{4}x -\int_{t_{0}}^{t_\mathrm{out}} \int_{V_{2}} g_{ik}\Lambda\delta g^{ik} \sqrt {-g}\, d^{4}x, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $V=V_{1}+V_{2}$. Для получения уравнений Эйнштейна из (4) необходимо, чтобы интегрирование производилось по одной области пространства-времени. Поэтому воспользуемся аналогией с гомогенным приближением для многофазной жидкости из классической гидродинамики [12]. Для двухфазной жидкости в гомогенном приближении вводят среду с эффективными параметрами: плотностью смеси, давлением смеси и скоростью смеси. Используя эту аналогию, можно выражение (4) преобразовать к виду
$$
\begin{equation}
0 = \int_{t_{0}}^{t_\mathrm{out}} \int_{V} (G_{ik}+8\pi kT_{ik}+g_{ik}\lambda\Lambda)\delta g^{ik} \sqrt {-g}\, d^{4}x,
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $\lambda=1-V_{1}/V$. Отметим, что к подобному выражению для $\lambda$ можно прийти также из (4) с учетом того, что в случае изотропной метрики подынтегральные выражения зависят только от времени $t$. В уравнении (5) множитель $V_{1}/V$ перед тензором энергии-импульса был внесен в $T_{ik}$. Это оправдано тем, что взаимодействие между $T_{ik}$ и $g_{ik}\lambda\Lambda$ описывает закон сохранения. Из (5) получим следующие уравнения: где $\lambda$ и $\Lambda$ являются функциями времени. Для решения данных уравнений учтем, что функция $\lambda$ связана с космологическим горизонтом между двумя фазами жидкости, который не является какой-то физической границей, а представляет чисто кинематическое следствие общего вида метрики. Из уравнений (6) в случае изотропной метрики получим
$$
\begin{equation}
8\pi k\rho_{00}=\frac{3}{R^{2}}+3\frac{\dot{R}^{2}}{R^{2}} -\lambda\Lambda=8\pi k\rho-\lambda\Lambda,
\end{equation}
\tag{7}
$$
$$
\begin{equation}
8\pi kp_{0}=-\frac{1}{R^{2}}-2\frac{\ddot{R}}{R}-\frac{\dot{R}^{2}}{R^{2}} +\lambda\Lambda=8\pi kp+\lambda\Lambda,
\end{equation}
\tag{8}
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda=3\frac{\ddot{R}}{R}+\frac{3}{2}\frac{\dot{R}^{2}}{R^{2}} +\frac{3}{2}\frac{\Lambda_{0}}{\lambda},
\end{equation}
\tag{9}
$$
где $\Lambda_{0}=\mathrm{const}$ – истинная космологическая постоянная. Закон сохранения имеет вид
$$
\begin{equation}
\dot{\rho}_{00}+3\frac{\dot{R}}{R}(\rho_{00}+p_{0})=-\frac{\lambda}{8\pi k} \frac{d}{dt} (\lambda\Lambda).
\end{equation}
\tag{10}
$$
Используя (7), (9) и (10), а также уравнение состояния $p_{0}=(\gamma -1)\rho_{00}$, получим уравнение, описывающее зависимость радиуса Вселенной (масштабного фактора) от времени:
$$
\begin{equation}
(3\lambda\gamma-2)R\ddot{R}+\frac{1}{2}\left[3\lambda\gamma-2- 6(\gamma-1)\right]\dot{R}^{2}-(3\gamma-2)+\frac{3}{2}\gamma\Lambda_{0}R^{2}=0.
\end{equation}
\tag{11}
$$
В работе [11] полагалось $\lambda=\mathrm{const}$, что позволило решить данное уравнение. В рассматриваемом случае нет возможности аналитически решить это уравнение, так как в него входит неизвестная функция $\lambda(t)$. Исключение составляют случаи $\lambda=1$ и $\lambda=0$. В период инфляции можно положить $\Lambda_{0}=0$. Начало инфляционного расширения по построению модели соответствует значениям $2/3<\lambda\leqslant 1$ и $\gamma=4/3$. Из (11), (7) и (9) получим
$$
\begin{equation}
\dot{R}^{2} =2\ln \biggl(\frac{R}{l_\mathrm{Pl}}\biggr)-\Lambda_{0}R^{2},
\end{equation}
\tag{13}
$$
$$
\begin{equation}
8\pi k\rho_{00} =\frac{3}{R^{2}}\ln \biggl(\frac{R}{l_\mathrm{Pl}}\biggr),
\end{equation}
\tag{14}
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda =\frac{3}{R^{2}}+\frac{3}{R^{2}}\ln \biggl(\frac{R}{l_\mathrm{Pl}}\biggr)-3\Lambda_{0},
\end{equation}
\tag{15}
$$
где $l_\mathrm{Pl}$ – планковская длина. Из уравнения (13) получаем
$$
\begin{equation}
\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erfi}(x)=\frac{t+\mathrm{const}}{\sqrt{2} l_\mathrm{Pl}} \approx\frac{t}{l_\mathrm{Pl}}-1,
\end{equation}
\tag{16}
$$
где $x=\sqrt{\ln (R/l_\mathrm{Pl})}$. Для решения (16) можно разложить функцию $\operatorname{erfi}(x)$ в ряд Маклорена. Этот ряд достаточно быстро сходится при $x<0.71$, т. е. при скорости расширения меньше скорости света (см. (13)). Это позволяет использовать только первый член разложения, что дает где $t_\mathrm{Pl} \leqslant t \leqslant t_{0}$. При $x>0.71$ можно разбить рассматриваемую область $x$ на отрезки по аналогии с кусочно-линейной аппроксимацией. Затем на каждом локальном отрезке $[x_{i-1},x_{i}]$ разложить функцию $\operatorname{erfi}(x)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $a$, отвечающей верхней границе $(x_{i}=a_{i})$:
$$
\begin{equation}
\operatorname{erfi}(x)=\operatorname{erfi}(a)+\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{a^{2}}(x-a).
\end{equation}
\tag{18}
$$
Очевидно, чем дальше $a$ от нуля, тем в меньшей окрестности от этой точки будет применимо это разложение при заданной точности. При использовании данного разложения вместо (17) получим
$$
\begin{equation*}
\frac{t}{t_\mathrm{Pl}}-1=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erfi}(a)+ e^{a^{2}}\biggl(\smash[b]{\sqrt{\ln \biggl(\frac{R}{l_\mathrm{Pl}}}\biggr)}-a\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Данное выражение можно переписать как
$$
\begin{equation}
R=l_\mathrm{Pl} \cdot e^{(b_{1}t/t_\mathrm{Pl}-b_{2})^{2}},
\end{equation}
\tag{19}
$$
где $b_{1}=e^{-a^{2}}$, $b_{2}=e^{-a^{2}} (1+(\sqrt{\pi}/2)\operatorname{erfi}(a) )-a$. Здесь $b_{1}$ и $b_{2}$ являются постоянными только на заданном промежутке и имеют зависимость от времени в общем случае. Использование выражения (19) усложнит, но принципиально не изменит результаты дальнейших вычислений. Поэтому для качественного понимания достаточно использовать (17). В работе [11] было показано, что период разогрева Вселенной наступает, когда выражение, стоящее в квадратных скобках в (11), стремится к нулю при $\lambda\to 2/3$ и $\gamma\to 1$. Но в этой работе не был рассмотрен вариант, когда $\lambda\to 2/3$ и $\gamma\to 2/3$. В данном случае, как это можно проверить непосредственной подстановкой в (11), получим где $t_{0} \leqslant t \leqslant t_\mathrm{reh}$. Здесь $t_\mathrm{reh}$ отвечает окончанию инфляционного периода. При $t=t_{0}$ из (17) и (20) следует соотношение
$$
\begin{equation}
R_{0}=l_\mathrm{Pl}\cdot e^{(t_{0}/t_\mathrm{Pl}-1)^{2}}.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Как было отмечено в [10], за период разогрева, после которого образуется среда, состоящая из ультрарелятивистских частиц $(\lambda\to 0$, $\gamma\to 4/3)$, Вселенная не успевает сильно расшириться. Поэтому мы можем при вычислении функции $\lambda (t)$ приближенно считать, что инфляция заканчивается, когда $\lambda\to 0$. Также в рассматриваемом приближении нет смысла искать, как происходит переход от (17) к (20). Отдельно остановимся на использованном выше параметре состояния с $\gamma =2/3$. Покажем, что оно соответствует среде, создающей ускоренное расширение при стандартном подходе (когда $\lambda\Lambda$ входит в тензор энергии-импульса). Из (7) и (8) с учетом (20) можно получить следующее соотношение:
$$
\begin{equation*}
w=\frac{p}{\rho} =-\frac{t_{0}^{2}/R^{2}+3}{3t_{0}^{2}/R^{2}+3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Но результаты, полученные ниже, позволяют написать $\min (t_{0}^2/R^{2})=t_{0}^{2}/R_{0}^{2}\approx 0.15$ и, следовательно, $-1 \leqslant w \leqslant -0.9$. Аналогично для закона расширения (17) можно найти из уравнений (7), (8) и (12), что Следовательно, для $\lambda =1$ и $\gamma =4/3$ получим $-1 \leqslant w < -1/3$. В расширяющейся Вселенной из-за конечного значения скорости света возможно возникновение причинно-несвязанных областей и, следовательно, горизонта частиц. Как известно, проблема горизонта состоит в том, что в ранние моменты времени не было причинной связи между разными областями видимой сейчас, а также в будущем однородной Вселенной. Данная проблема решается на этапе инфляции. При этом инфляция, можно сказать, устанавливает эту причинную связь между частями Вселенной. Следовательно, чтобы найти явный вид функции $\lambda (t)$, достаточно рассмотреть только инфляционный период. Рассмотрим $\lambda = 1-V_{1}/V$, где $V_{1}$ – объем причинно-связанной области, $V$ – полный объем. Так как $V \sim l^{3}$, можно написать $\lambda =1-(\beta l_\mathrm{H}/l)^{3}$, где $l_\mathrm{H}$ – горизонт частиц в период инфляции. С помощью нормировочного множителя $\beta$ можно добиться равенства $\lambda =0$ при окончании инфляции. В рассматриваемый период можно считать, что $\Lambda_{0} =0$. В случае использования выражения (17) горизонт частиц будет равен
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, l_\mathrm{H}(t)&=R(t)\int_{t_\mathrm{Pl}}^{t_{0}}\frac{dt}{R(t)} = l_\mathrm{Pl}\cdot e^{(t_{0}/t_\mathrm{Pl}-1)^{2}}\int_{t_\mathrm{Pl}}^{t_{0}}\frac{dt}{l_\mathrm{Pl}\cdot e^{(t/t_\mathrm{Pl}-1)^{2}}} = {} \notag \\ & =l_\mathrm{Pl}\cdot e^{(t_{0}/t_\mathrm{Pl}-1)^{2}} \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}\biggl(\frac{t_{0}}{t_\mathrm{Pl}}-1\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{22}
$$
Чтобы рассмотреть область $t_\mathrm{Pl} \leqslant t \leqslant t_\mathrm{reh}$, воспользуемся определением $l_\mathrm{H}$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, l_\mathrm{H}(t)&=R(t)\biggl[ \int_{t_\mathrm{Pl}}^{t_{0}}\frac{dt}{R(t)}+\int_{t_{0}}^{t_\mathrm{reh}}\frac{dt}{R(t)} \biggr] = {} \notag \\ & =R_{0} e^{t/t_{0}-1} \biggl[\int_{t_\mathrm{Pl}}^{t_{0}}\frac{dt}{l_\mathrm{Pl}\cdot e^{(t/t_\mathrm{Pl}-1)^{2}}}+\int_{t_{0}}^{t_\mathrm{reh}}\frac{dt}{R_{0} e^{t/t_{0}-1}}\biggr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
или с учетом (22)
$$
\begin{equation}
l_\mathrm{H}(t)=R_{0} e^{t/t_{0}-1} \biggl[\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}\biggl(\frac{t_{0}}{t_\mathrm{Pl}}-1\biggr)+\frac{l_{0}}{R_{0}}\biggl(1-\frac{1}{e^{t/t_{0}-1}}\biggr) \biggr],
\end{equation}
\tag{24}
$$
где $R_{0}$ определяется выражением (21). Рассмотрим две пространственные точки в космологической системе отсчета. Пусть вначале расстояние между ними составляло $l=l_\mathrm{Pl}$. При $t_\mathrm{Pl} \leqslant t \leqslant t_{0}$ оно будет расти по закону (17), а затем при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_\mathrm{reh}$ – по закону (20). Это позволяет с учетом (24) написать
$$
\begin{equation}
\lambda(t)=1-\biggl[\beta\frac{l_\mathrm{H}}{l} \biggr]^{3}=1- \beta^{3} \biggl[\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}\biggl(\frac{t_{0}}{t_\mathrm{Pl}}-1\biggr)+\frac{l_{0}}{R_{0}}\biggl(1-\frac{1}{e^{t/t_{0}-1}}\biggr) \biggr]^{3}.
\end{equation}
\tag{25}
$$
Величину $\beta=\mathrm{const}$ можно найти из условия, что при $t=t_{0}$ должно быть $\lambda=2/3$. После этого можно найти $t_{0}$ из условия, что при $t \geqslant 60t_\mathrm{Pl}$ должно быть $\lambda=0$. В результате получим $t_{0}=2.36t_\mathrm{Pl}$, $\beta=0.82$, $R_{0}=6.2l_\mathrm{Pl}$. В случае использования выражения (19) значения $t_{0}$ и $R_{0}$ немного увеличатся. Вместо (22) при разбиении промежутка $t_\mathrm{Pl} \leqslant t \leqslant t_{0}$, например, на две части пришлось бы использовать выражение
$$
\begin{equation}
\int_{t_\mathrm{Pl}}^{t_{1}}\frac{dt}{R(t)}+\int_{t_{1}}^{t_{0}}\frac{dt}{R(t)} =\int_{t_\mathrm{Pl}}^{t_{1}}\frac{dt}{l_\mathrm{Pl}\cdot e^{(t/t_\mathrm{Pl}-1)^{2}}}+\int_{t_{1}}^{t_{0}}\frac{dt}{l_\mathrm{Pl}\cdot e^{(b_{1}t/t_\mathrm{Pl}-b_{2})^{2}}}.
\end{equation}
\tag{26}
$$
Рассмотрим скалярное поле, минимально связанное с гравитацией, которому соответствует модель. В изотропном случае согласно (7) и (8) имеем
$$
\begin{equation}
8\pi k\dot \varphi ^{2} =8\pi k(\rho+p)=8\pi k(\rho_{00}+p_{0})=\frac{2}{R^{2}}+2\frac{\dot{R}^{2}}{R^{2}}-2\frac{\ddot{R}}{R},
\end{equation}
\tag{27}
$$
$$
\begin{equation}
8\pi k\cdot 2V(\varphi) =8\pi k(\rho-p)=8\pi k\biggl(\rho_{00}-p_{0}+\frac{2\lambda\Lambda}{8\pi k}\biggr)=\frac{4}{R^{2}}+4\frac{\dot{R}^{2}}{R^{2}}+2\frac{\ddot{R}}{R}.
\end{equation}
\tag{28}
$$
В начале инфляции ($\lambda=1$ и $\gamma=4/3$), используя (12), (13) и (27), (28), получим
$$
\begin{equation}
8\pi k\dot \varphi ^{2} =2\frac{\dot{R}^{2}}{R^{2}}=\frac{4}{R^{2}}\ln \biggl(\frac{R}{l_\mathrm{Pl}}\biggr),
\end{equation}
\tag{29}
$$
$$
\begin{equation}
16\pi kV(\varphi) =\frac{6}{R^{2}}+4\frac{\dot{R}^{2}}{R^{2}}=\frac{6}{R^{2}}+\frac{8}{R^{2}}\ln \biggl(\frac{R}{l_\mathrm{Pl}}\biggr).
\end{equation}
\tag{30}
$$
Отметим, что при $R\to l_\mathrm{Pl}$ должно выполняться условие $\dot{R}^{2}=0=2\ln (R/l_\mathrm{Pl})-\Lambda_{0}R^{2}$ [11]. Тогда из (29) и (30) получим
$$
\begin{equation}
8\pi k\dot \varphi ^{2}=2\Lambda_{0}, \qquad 16\pi kV(\varphi)=\frac{6}{l_\mathrm{Pl}^{2}}.
\end{equation}
\tag{31}
$$
Чтобы дальше преобразовать (29) и (30), необходимо подставить (17):
$$
\begin{equation*}
8\pi k\dot \varphi ^{2}=\frac{4(t/t_\mathrm{Pl}-1)^{2}}{l_\mathrm{Pl}^{2}\cdot e^{2(t/t_\mathrm{Pl}-1)^{2}}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидным решением данного уравнения является
$$
\begin{equation}
\sqrt{8\pi k} |\varphi +\varphi _{0} |=e^{-(t/t_\mathrm{Pl}-1)^{2}},
\end{equation}
\tag{32}
$$
где $\varphi _{0}$ – постоянная интегрирования. Тогда из (30), (32) и (17) получаем
$$
\begin{equation}
16\pi kV(\varphi)=\frac{8\pi k(\varphi +\varphi _{0})^{2}}{l_\mathrm{Pl}^{2}}\biggl( 6+8\ln \frac{1}{\sqrt{8\pi k} |\varphi +\varphi _{0} |} \biggr).
\end{equation}
\tag{33}
$$
Так как $R \geqslant l_\mathrm{Pl}$, согласно (29) получим $\sqrt{8\pi k} |\varphi +\varphi _{0} | \leqslant 1$. На следующем этапе расширения наступает вторая инфляция ($\lambda =2/3$, $\gamma = 2/3$). Используя (27) и (20), получим
$$
\begin{equation}
8\pi k\dot \varphi^{2}=\frac{2}{R^{2}}=\frac{2}{R_{0}^{2}}e^{-2(t/t_{0}-1)}.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Отсюда можно найти $\varphi$ и затем подставить в (28). Однако в этом нет необходимости, так как величиной $2/R^{2}$ можно пренебречь. Это хорошо видно из (35) с учетом, что $\max (1/R)=1/R_{0}$, $R_{0}=6.2l_\mathrm{Pl}$ и $l_{0}=2.36l_\mathrm{Pl}$:
$$
\begin{equation}
16\pi kV(\varphi)=\frac{4}{R^{2}}+\frac{6}{l_{0}^{2}}=\frac{4}{R_{0}^{2}}e^{-2(t/t_{0}-1)}+\frac{6}{l_{0}^{2}} \approx\frac{6}{l_{0}^{2}}.
\end{equation}
\tag{35}
$$
В работе [11] было показано, что период разогрева ($\lambda\to 2/3$ и $\gamma\to 1$) необходим для того, чтобы плотность энергии $\rho_{00}$ была положительна (см. (37)). Так как после экспоненциального расширения происходит значительное увеличение $R$, то, разделив (11) на $R^{2}$ и пренебрегая $(3\gamma -2)/R^{2}$, получим
$$
\begin{equation}
\frac{\ddot{R}}{R}=-\frac{1}{2}\frac{3\lambda\gamma -6\gamma +4}{3\lambda\gamma -2}\frac{\dot{R}^{2}}{R^{2}}.
\end{equation}
\tag{36}
$$
Тогда (27) и (28) с учетом (36) и $\gamma\to 1$ принимают вид
$$
\begin{equation}
8\pi k\dot \varphi ^{2} =3\gamma\frac{3\lambda-2}{3\lambda\gamma -2}\frac{\dot{R}^{2}}{R^{2}}=3\frac{\dot{R}^{2}}{R^{2}},
\end{equation}
\tag{37}
$$
$$
\begin{equation}
16\pi kV(\varphi) =3\frac{3\lambda\gamma +2\gamma -4}{3\lambda\gamma -2}\frac{\dot{R}^{2}}{R^{2}}=3\frac{\dot{R}^{2}}{R^{2}}.
\end{equation}
\tag{38}
$$
То, что согласно (37), (38) мы получили $2V(\varphi)=\dot \varphi ^{2}$, не удивительно, так как $p=0$. Пусть на стадии разогрева $R \propto t^{\alpha}$, где $\alpha <1$. Тогда из (37) следует, что
$$
\begin{equation}
\sqrt{8\pi k} |\varphi|=\frac{\sqrt{3}\alpha t_{2}}{t}.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Здесь постоянная интегрирования $t_{2}$ введена, чтобы получить функцию $\varphi$ в безразмерном виде. Используя полученный результат, можно переписать (38):
$$
\begin{equation}
16\pi kV(\varphi)=3\biggl(\frac{\alpha}{t}\biggr)^{2}=\frac{8\pi k}{t_{2}^{2}}\varphi ^{2}.
\end{equation}
\tag{40}
$$
Постоянные интегрирования $t_{2}$ в (40) и $\varphi _{0}$ в (33) можно рассматривать как параметры модели, определяемые по результатам наблюдений. Из последнего выражения видно, что постоянная $t_{2}$ связана с массой скалярной частицы, описываемой полем $\varphi$. Величина $\varphi _{0}$ связана со временем между окончанием первой инфляции и началом разогрева. Подведем итоги. На рис. 1 схематически представлена форма потенциала скалярного поля, где сохранены пропорции по оси $V(\varphi)$, полученные при вычислениях. В момент начала расширения Вселенной потенциал скалярного поля имел постоянное значение $16\pi kV(\varphi)l_\mathrm{Pl}^{2}=6$. Затем наступает период первой инфляции с потенциалом
$$
\begin{equation*}
16\pi kV(\varphi)l_\mathrm{Pl}^{2}=8\pi k(\varphi +\varphi _{0})^{2} ( 6-8\ln (\sqrt{8\pi k} |\varphi +\varphi _{0} |) ).
\end{equation*}
\notag
$$
На рис. 1 часть этого потенциала, обозначенная пунктирной линией, соответствует классически запрещенной области $R<l_\mathrm{Pl}$. Разность между разрешенным ($R\geqslant l_\mathrm{Pl}$) и максимальным значением потенциала $V(\varphi)$ равна $16\pi kl_\mathrm{Pl}^{2}\Delta V=4\sqrt{e}-6$. После первой инфляции наступает вторая (точки 1, 2 на рис. 1). При рассматриваемом приближении потенциал в этот период можно считать постоянным:
$$
\begin{equation*}
16\pi kV(\varphi)l_\mathrm{Pl}^{2}=\frac{6l_\mathrm{Pl}^{2}}{l_{0}^{2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
В период разогрева Вселенной потенциал принимает вид
$$
\begin{equation*}
16\pi kV(\varphi)l_\mathrm{Pl}^{2}=8\pi k \varphi ^{2}\frac{t_\mathrm{Pl}^{2}}{t_{2}^{2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
3. ЗаключениеМы не знаем достоверно, какие причины привели к рождению нашей Вселенной. Возможно, это были флуктуации скалярного или другого поля. Но возможно, что причина – флуктуация самой метрики, которая связана через $f(R)$-гравитацию с вакуумным средним тензора энергии-импульса. Пока не существует последовательной теории квантовой гравитации, можно только предполагать, какие могут быть ответы на данный вопрос. Поэтому различные сценарии инфляционного расширения могут дополнять друг друга. Как было показано, в предложенной модели существует два инфляционных периода. Для их описания не пришлось вводить скалярное поле, но оно помогло при обсуждении полученных результатов. Попробуем объяснить возникновение первого инфляционного периода. Как предполагается в стандартном подходе [5], перед экспоненциальным расширением существовало скалярное поле, квантовые флуктуации которого и привели к рождению Вселенной. Здесь предпочтительным является возникновение “из ничего” или “отделение” от какой-то другой Вселенной [5]. Последнее возможно в случае замкнутой Вселенной, для которой полная энергия равна нулю. И если Вселенная возникла как квантовая флуктуация из вакуума, то ее время жизни может быть сколь угодно большим (согласно принципу неопределенности Гейзенберга). Предлагаемая модель имеет связь с таким подходом. Действительно, в нашем случае Вселенная замкнутая. Только в этом случае, как показано в работе [10], существует инфляционный период. Кроме того, в начале расширения плотность определялась выражением $8\pi k\rho_{00} =3\Lambda_{0}/2$. Его можно получить, если в (13) положить $\dot{R}=0$ и затем использовать (14). В настоящее время и в отдаленном будущем темная энергия в форме $\Lambda_{0}$ будет доминировать. При этом плотность также будет стремиться к $\Lambda_{0}$, как видно из (7) и (11). Динамика Вселенной в инфляционный период зависела от величин $\rho$, $p$ и $\Lambda$. И, как было отмечено выше, параметр состояния в начале расширения составлял $w=-1$, что в нашем случае отвечает ложному вакууму. Затем ложный вакуум переходит в истинный (характеризуемый $\Lambda_{0}$) с образованием различных частиц. Данная ситуация совпадает с подходом, который предложил Глинер [13]. Он считал, что Вселенная до расширения находилась в вакуумноподобном состоянии с уравнением состояния $p_{V}=-\rho_{V}$ ($w=-1$). Затем квантовые флуктуации нарушили это условие, что привело к расширению Вселенной. Показать, что энергия замкнутой Вселенной равна нулю, достаточно сложно, так как надо учесть все виды энергии. Еще сложнее это сделать для инфляционного периода. Однако в нашем случае в период инфляции можно получить интересный результат. Для проведения грубых оценок достаточно считать, что в конце инфляции справедливо равенство $8\pi k\rho_{00} =3\Lambda_{0}/2$. Предположим, что произошло отделение от другой Вселенной с вакуумом, характеризуемым величинами $\rho_{00}$ и $p_{0}$. Тогда эти величины можно отнести к гипотетическому наблюдателю вне нашей Вселенной. При этом $\rho$ и $p$ будут описывать “внутреннюю” область в период инфляции. Из выражения (28) видно, что потенциалы скалярного поля для “внешнего” ($\tilde{V}$) и “внутреннего” ($V$) наблюдателей связаны преобразованием $\tilde{V}=V-(\lambda\Lambda)/(8\pi k)$. В период второй инфляции согласно (35) и (9) получим $\tilde{V}=0$. В период первой инфляции согласно (30) и (15) получим $8\pi k\tilde{V}=R^{-2}\ln (R/l_\mathrm{Pl})$. В последнем выражении потенциал $\tilde{V}$ равен нулю при $R=l_\mathrm{Pl}$. Отличие от нуля наблюдается в небольшой период времени (первая инфляция длится несколько планковских времен). Таким образом, внешний наблюдатель увидит единичную флуктуацию, отвечающую первой инфляции. Причем мы получили, что инфляция началась до возникновения флуктуации. Однако в данном случае с точки зрения квантовой механики нарушения принципа причинности не происходит. Таким образом, вероятностный характер носит не только возникновение флуктуации в истинном вакууме с образованием замкнутой Вселенной, заполненной ложным вакуумом, но и последующее инфляционное расширение. Следовательно, есть вероятность того, что коллапс Вселенной не произойдет сразу после ее рождения. Отметим, что отделение от другой Вселенной произошло в момент, когда $\Lambda=\Lambda_{0}$. То есть $\Lambda_{0}$ может быть постоянной только для нас, но не для Вселенной, от которой произошло отделение. В работе [11], как и в настоящей работе, стадия разогрева возникала естественным образом из требования положительной определенности плотности энергии. Так же естественно, без дополнительных предположений, удовлетворяется требование медленного скатывания. Очевидно, постоянный потенциал между первой инфляцией и разогревом является приближенным. Чтобы получить точное решение, необходимо учесть, как происходит смена закона расширения (17) на закон (20). Для ответа на данный вопрос придется решить уравнение (11) с учетом (19) и выражения типа (26). Это позволит уточнить форму потенциала в период второй инфляции и в период окончания стадии разогрева Вселенной. Сделать это можно только численными методами. Также необходимо провести исследование устойчивости построенных решений. Полученный потенциал скалярного поля можно аппроксимировать полиномом от $\varphi$ и перейти к модели $f(R)$-гравитации [7]–[9]. Это даст возможность произвести небольшую модификацию действия Гильберта–Эйнштейна на малых масштабах и получить новую информацию об инфляционной стадии расширения Вселенной. Дальнейшее уточнение формы потенциала также позволит неявным образом (через потенциал) ввести функцию $\lambda (t)$ в модель $f(R)$-гравитации. Кроме того, в дальнейшем можно рассмотреть гипотетическую ситуацию, когда из одной квантовой флуктуации образуются две вселенные. Схематически данный случай можно представить, если на рис. 1 сделать зеркальное отражение потенциала относительно оси с номером 3. Тогда получим два потенциала, разделенных небольшой запрещенной областью $\Delta V=(4\sqrt{e}-6)c^{4}/(16\pi kl_\mathrm{Pl}^{2})$. Остается открытым вопрос о вероятности туннелирования между двумя вселенными, а также о физических следствиях данного процесса. То, что этот процесс возможен, легко убедиться из следующих соображений. Рассматривая $\Delta V$ как неопределенность плотности энергии, умножим ее на объем $l_\mathrm{Pl}^{3}$ и на неопределенность времени $\Delta t$:
$$
\begin{equation*}
\Delta V\Delta t\geqslant\Delta Vt_\mathrm{Pl}=\frac{(4\sqrt{e}-6)c^{4}}{16\pi kl_\mathrm{Pl}^{2}}l_\mathrm{Pl}^{3}t_\mathrm{Pl}\approx (2\sqrt{e}-3)\hbar \approx\hbar.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь была использована связь планковских единиц. Последнее выражение подобно принципу неопределенности Гейзенберга. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Koc24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|