| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Квазиграммианная петлевая динамика многокомпонентного полудискретного уравнения коротких импульсов А. Инам, М. Аль-Хассан Department of Physics, University of the Punjab, Lahore, Pakistan
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 220, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924090083 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ XXI в. оптика и фотоника являются основой для базовых технологий, которые расширяют возможности, оказывающие влияние на общество во многих сферах, включая обработку информации, поиск и отбор данных, создание светочувствительных матриц, национальную безопасность и здравоохранение. Роль фотоники и оптики в экономическом процветании и технологической модернизации стала еще более явной благодаря недавнему прогрессу в области нанотехнологий и элементарной оптики. За исследования в области нелинейной оптики по распространению и использованию ультракоротких оптических импульсов чрезвычайно малой длительности ($10^{-15}$–$10^{-18}$ с) были присуждены Нобелевская премия по химии в 1999 г. и Нобелевская премия по физике в 2018 г. Новой темой в теории нелинейных сред стали математические модели генерации коротких оптических импульсов [1]–[3]. Дискретные интегрируемые системы играют основополагающую роль во многих разделах математической физики. Наиболее известным является дискретное нелинейное уравнение Шредингера (НУШ)
$$
\begin{equation*}
iu_{n,t}=u_{n+1}-2u_n+u_{n-1}\pm u_nu_n^\ast(u_{n+1}+u_{n-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Впервые оно было представлено в работах Абловица и Ладика [4], [5]. Дискретные интегрируемые системы имеют замечательную математическую структуру, объясняющую, в том числе, некоторые физические и биологические явления [6]–[9]. НУШ, которое описывает, каким образом медленно изменяющиеся пакеты квазимонохроматических волн развиваются в слабонелинейных средах с дисперсией, успешно применялось в различных областях, включая нелинейную оптику и фотонику. Однако НУШ теряет точность в области ультракоротких импульсов, когда длительность оптического импульса имеет порядок фемтосекунд ($10^{-15}$ с). Для описания ультракоротких процессов требуется модифицировать стандартные модели медленно меняющейся огибающей, построенные на основе НУШ. В литературе выделяются два подхода к решению этой проблемы. Первым шагом является повышение порядка НУШ путем добавления нескольких членов более высокого порядка. Второй шаг состоит в построении разумного приближения для зависящей от частоты диэлектрической проницаемости в соответствующем спектральном диапазоне. Одной из моделей, предложенных с использованием этой стратегии, является уравнение коротких импульсов (КИ). Известное уравнение КИ [1], [10], предложенное Шефером и Уэйном при исследовании псевдосферических поверхностей для описания распространения ультракоротких оптических импульсов в оптике и фотонике [1], [11]–[13], имеет вид
$$
\begin{equation}
\partial_x\partial_t u=u+\frac{1}{6}\partial_{xx} u^3.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Здесь $u=u(x,t)$ – вещественнозначная динамическая переменная, задающая напряженность электрического поля, а нижние индексы $x$ и $t$ обозначают частные производные. Известно, что уравнение КИ вполне интегрируемо. Аспекты его интегрируемости исследовались с разных сторон, в том числе с точки зрения существования бигамильтоновой структуры [10], законов сохранения [2], линейной изоспектральной задачи (схемы Вадати–Конно–Ичикавы) [14], билинейного метода Хироты [3], [15], [16], наличия периодических и солитонных решений [17]–[20] и многих других. C использованием преобразования годографа была обнаружена связь уравнения КИ и уравнения синус-Гордон [21], [22]. В работе [1] было показано, что уравнение КИ дает более хорошее приближение к решениям уравнений Максвелла, чем НУШ, с точки зрения физического понимания того, как сверхкороткие импульсы распространяются через нелинейную среду. Это уравнение имеет множество применений в оптике и фотонике [23]. Принимая во внимание обширное применение уравнения КИ, целесообразно исследовать его решения. Преобразование годографа (или преобразование взаимности), введенное Кингстоном и Роджером в 1982 г., меняет местами независимые и зависимые переменные и приводит систему к консервативной форме. Чтобы преобразовать уравнение КИ и соответствующую пару Лакса, запишем следующее преобразование взаимности, переводящее переменные $\{x,t\}$ в новые переменные $\{X,T\}$:
$$
\begin{equation}
dX=\omega\,dx+\frac{1}{2} u^2\omega\,dt,\qquad dT=dt.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Здесь и далее $\omega^2=1+(u_x)^2$. Под действием этого преобразования уравнение (1.1) переходит в
$$
\begin{equation}
x_{\kern-1pt\scriptscriptstyle XT}=-\frac{1}{2}(u^2)_{\scriptscriptstyle X},\qquad u_{\scriptscriptstyle XT}=u x_{\kern-1pt\scriptscriptstyle X},
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где нижние индексы $X$ (пространственная переменная) и $T$ (временна́я переменная) обозначают частные производные. Можно рассмотреть более общую систему уравнений
$$
\begin{equation}
x_{\scriptscriptstyle XT}=-\frac{1}{2}(uv)_{\scriptscriptstyle X},\qquad u_{\scriptscriptstyle XT}=u x_{\scriptscriptstyle X},\qquad v_{\scriptscriptstyle XT}=v x_{\scriptscriptstyle X}.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Имея в виду физический смысл уравнения КИ, мы сочли естественным исследовать его полудискретную, т. е. дискретную по $X$ и непрерывную по $T$, версию (уравнение пдКИ):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \partial_T(x_{n+1}-x_n)+\frac{1}{2}(u_{n+1}^2-u_n^2)=0, \\ & \partial_T(u_{n+1}-u_n)-\frac{1}{2}\bigl((x_{n+1}-x_n)u_n+u_{n+1}(x_{n+1}-x_n)\bigr)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Более общая система уравнений задается как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \partial_T(x_{n+1}-x_n)+\frac{1}{2}(u_{n+1}v_{n+1}-u_nv_n)=0, \\ & \partial_T(u_{n+1}-u_n)-\frac{1}{2}\bigl((x_{n+1}-x_n)u_n+u_{n+1}(x_{n+1}-x_n)\bigr)=0, \\ & \partial_T(v_{n+1}-v_n)-\frac{1}{2}\bigl((x_{n+1}-x_n)v_n+v_{n+1}(x_{n+1}-x_n)\bigr)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Здесь и далее $n$ в нижнем индексе отвечает дискретной переменной в $X$-направлении, определенной на решетке. Система уравнений (1.6) возникает как условие совместности следующей пары разностно-дифференциальных уравнений:
$$
\begin{equation}
\Omega_{n+1}=\begin{pmatrix} 1+\lambda\Delta_nx_n & \lambda\Delta_nu_n \\ \lambda\Delta_nv_n & 1-\lambda\Delta_nx_n \end{pmatrix}\Omega_n,\qquad \partial_T\Omega_n=\begin{pmatrix} -1/4\lambda & -u_n/2\, \\ \phantom{-}v_n/2 & \phantom{-}1/4\lambda \end{pmatrix}\Omega_n,
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
где $x_n$, $u_n$ и $v_n$ – вещественные функции, а $\Delta_n$ – оператор приращения в прямом направлении, определенный для произвольной дискретнозначной функции $l_n$ как $\Delta_nl_n=l_{n+1}-l_n$. Уравнение КИ в последние годы было предметом обширных исследований с использованием различных методов поиска решений, но стандартному бинарному преобразованию Дарбу (СБПД) для этого уравнения не уделялось должного внимания. В настоящей работе мы изучаем СБПД, чтобы найти решения многокомпонентного уравнения пдКИ [24]–[29]. Мы строим бинарную матрицу Дарбу, используя частные решения для собственных векторов-столбцов пары Лакса как в прямом, так и в сопряженном пространстве. С помощью многократных СБПД мы получаем для предложенной системы солитонные решения в форме квазиграммианов. Перечислим основные разделы настоящей работы. Обобщенная форма многокомпонентного уравнения пдКИ обсуждается в разделе 2 как условие совместности пары линейных дифференциально-разностных уравнений. В разделе 3 сформулированы прямое преобразование Дарбу (ПД) решений прямой пары Лакса и сопряженное ПД решений сопряженной пары Лакса. Краткий обзор СБПД в контексте ковариантности пары Лакса содержится в разделе 4. Дополнительно получено выражение для потенциала через частные матричные решения сопряженной и прямой пар Лакса. В разделе 5 получены одно- и двухпетлевые решения уравнения пдКИ для размерностей $M=1$ и $M=2$. В конце статьи в разделе 5 подведены краткие итоги работы. 2. Многокомпонентное обобщение и представление через пару ЛаксаЧтобы получить матричное обобщение системы уравнений (1.6), начнем с представления многокомпонентного уравнения пдКИ через пару Лакса. В общем случае пара Лакса задается как
$$
\begin{equation}
\Omega_{n+1}=\mathcal M_n\Omega_n,\qquad \partial_T\Omega_n=\mathcal N_n\Omega_n,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathcal M_n=\mathcal I+\lambda(\mathcal P_{n+1}-\mathcal P_n),\qquad\mathcal N_n=\mathcal R_n+\lambda^{-1}\mathcal R_0
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
и $\Omega_n$ – матрица размера $2^M\times 2^M$ (собственная матрица пары Лакса (2.1)). Блочные матрицы $\mathcal I$, $\mathcal P_n$, $\mathcal R_n$ и $\mathcal R_0$ размера $2^M\times 2^M$ имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \mathcal I&=\begin{pmatrix} I & O \\ O & I \end{pmatrix},& \qquad \mathcal P_n&=i\begin{pmatrix} \chi_n & \phantom{-}\mathcal U_n \\ \mathcal V_n & -\chi_n \end{pmatrix}, \\ \mathcal R_n&=\begin{pmatrix}O & -\frac{1}{2}\mathcal U_n \\ \frac{1}{2}\mathcal V_n & O \end{pmatrix},& \qquad \mathcal R_0&=-\frac{i}{4}\begin{pmatrix} I & \phantom{-}O \\ O & -I \end{pmatrix}, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $\mathcal V_n=\mathcal U_n^{\kern1pt\mathrm T}$ (верхний индекс T означает транспонирование) – блочная матрица размера $2^{M-1}\times 2^{M-1}$, а $O$ и $I$ – соответственно нулевая и единичная матрицы размера $2^{M-1}\times 2^{M-1}$. Из условия совместности пары Лакса (2.1) $\partial_T\mathcal M_n+\mathcal M_n\mathcal N_n-\mathcal N_{n+1}\mathcal M_n=0$ получаем матричное уравнение пдКИ
$$
\begin{equation}
\partial_T(\mathcal P_{n+1}-\mathcal P_n)+(\mathcal P_{n+1}-\mathcal P_n)\mathcal R_n-\mathcal R_{n+1}(\mathcal P_{n+1}+\mathcal P_n)=0.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Подставив в него выражения для $\mathcal P_n$ и $\mathcal R_n$ из (2.3), имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \partial_T(\chi_{n+1}-\chi_n)+\frac{1}{2}(\mathcal U_{n+1}\mathcal V_{n+1}-\mathcal U_n\mathcal V_n)=0, \\ & \partial_T(\mathcal U_{n+1}-\mathcal U_n)-\frac{1}{2}\bigl((\chi_{n+1}-\chi_n)\mathcal U_n+\mathcal U_{n+1}(\chi_{n+1}-\chi_n)\bigr)=0, \\ & \partial_T(\mathcal V_{n+1}-\mathcal V_n)-\frac{1}{2}\bigl((\chi_{n+1}-\chi_n)\mathcal V_n+\mathcal V_{n+1}(\chi_{n+1}-\chi_n)\bigr)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
В частном случае $\chi_n=x_n$, $ \mathcal U_n=u_n$ матричные уравнения пдКИ (2.5) сводятся к уравнениям (1.6). В более общем случае возьмем
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \chi^{(2)}_n&=x_n I_{2\times 2},& \quad \mathcal U^{(2)}_n&=\left(\begin{array}{c:c} \phantom{-}u_{n,1\kern1pt} & \kern2pt u_{n,2} \vphantom{u_{{n,2}_|}}\\ \hdashline -u_{n,2}\kern1pt& \kern2pt u_{n,1} \end{array}\right)_{\!2\times 2}, \\ \chi^{(3)}_n&=x_n I_{4\times 4},& \quad \mathcal U^{(3)}_n&=\left(\begin{array}{cc:cc} \phantom{-}u_{n,1} & \phantom{-}u_{n,2}\kern1pt & \kern2pt u_{n,3} & \phantom{-}0 \\ -u_{n,2} & \phantom{-}u_{n,1} & \kern2pt 0 & \phantom{-}u_{n,3} \vphantom{u_{{n,2}_|}} \\ \hdashline -u_{n,3} & \phantom{-^A}0 & \kern2pt u_{n,1}\kern1pt & -u_{n,2} \\ \phantom{-}0 & -u_{n,3} & \kern2pt u_{n,2} & \phantom{-}u_{n,1} \end{array}\right)_{\!4\times 4}, \\ \chi^{(4)}_n&=x_n I_{8\times 8},& \quad \mathcal U^{(4)}_n&=\left(\begin{array}{cccc:cccc} \phantom{-}u_{n,1} & \phantom{-}u_{n,2} & \phantom{-}0& \phantom{-}0\, & \kern2pt\phantom{-}u_{n,3} & \phantom{-}0 & u_{n,4} & \phantom{-}0 \\ -u_{n,2} & \phantom{-}u_{n,1} & \phantom{-}0 & \phantom{-}0\, & \kern2pt\phantom{-}0 & \phantom{-}u_{n,3} & 0 & \phantom{-}u_{n,4} \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}u_{n,1} & \phantom{-}u_{n,2}\, & \kern2pt{-u_{n,4}} & \phantom{-}0 & u_{n,3} & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -u_{n,2} & \phantom{-}u_{n,1}\, & \kern2pt\phantom{-}0 & -u_{n,4} & 0 & \phantom{-}u_{n,3} \vphantom{u_{{n,2}_|}}\\ \hdashline -u_{n,3} & \phantom{-}0 & \phantom{-}u_{n,4} & \phantom{-^A}0\, & \kern2pt\phantom{-}u_{n,1} & -u_{n,2} & 0 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}0 & -u_{n,3} & \phantom{-}0 & \phantom{-}u_{n,4}\, & \kern2pt\phantom{-}u_{n,2} & \phantom{-}u_{n,1} & 0 & \phantom{-}0 \\ -u_{n,4} & \phantom{-}0 & -u_{n,3} & \phantom{-}0\, & \kern2pt\phantom{-}0 & \phantom{-}0 & u_{n,1} & -u_{n,2} \\ \phantom{-}0 & -u_{n,4} & \phantom{-}0 & -u_{n,3}\, & \kern2pt\phantom{-}0 & \phantom{-}0 & u_{n,2} & \phantom{-}u_{n,1} \end{array}\right)_{\!8\times 8}\kern-9pt. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставив эти выражения в систему уравнений (2.5), можно получить соответственно двух-, трех- и четырехкомпонентные уравнения пдКИ. Двухкомпонентные уравнения пдКИ представляют собой систему
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \partial_T(x_{n+1}-x_n)+\frac{1}{2}\sum_{l=1}^2(u_{n+1,l}^2-u_{n,l}^2)=0, \\ & \partial_T(u_{n+1,l}-u_{n,l})-\frac{1}{2}\bigl((x_{n+1}-x_n)u_{n,l}+u_{n+1,l}(x_{n+1}-x_n)\bigr)=0, \quad l=1,2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Трехкомпонентные уравнения пдКИ задаются как система
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \partial_T(x_{n+1}-x_n)+\frac{1}{2}\sum_{l=1}^3(u_{n+1,l}^2-u_{n,l}^2)=0, \\ & \partial_T(u_{n+1,l}-u_{n,l})-\frac{1}{2}\bigl((x_{n+1}-x_n)u_{n,l}+u_{n+1,l}(x_{n+1}-x_n)\bigr)=0, \quad l=1,2,3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично $M$-компонентные уравнения пдКИ записываются как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \partial_T(x_{n+1}-x_n)+\frac{1}{2}\sum_{l=1}^M(u_{n+1,l}^2-u_{n,l}^2)=0, \\ & \partial_T(u_{n+1,l}-u_{n,l})-\frac{1}{2}\bigl((x_{n+1}-x_n)u_{n,l}+u_{n+1,l}(x_{n+1}-x_n)\bigr)=0, \quad l=1,2,\ldots,M. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В общем случае матрицы $\chi^{(M)}_n$ и $\mathcal U^{(M)}_n$ размера $2^{M-1}\times 2^{M-1}$ имеют следующий вид:
$$
\begin{equation}
\chi^{(M)}_n=x_nI_{2^{M-1}\times 2^{M-1}},\qquad \mathcal {U}^{(M)}_n=\left(\begin{array}{c:c} \mathbb{U}^{(1)}_n & \mathbb{U}^{(2)}_n \\ \hdashline \mathbb{U}^{(3)}_n & \mathbb{U}^{(4)}_n \vphantom{\mathbb{U}^{(4)^|}_n} \end{array}\right),
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где $\mathbb{U}^{(l)}_n$ ($l=1,2,3,4$) – квадратные блочные матрицы размера $2^{M-2}\times 2^{M-2}$, причем $\mathbb{U}^{(3)}_n=-(\mathbb{U}^{(2)}_n)^{\mathrm T}$ и $\mathbb{U}^{(4)}_n=(\mathbb{U}^{(1)}_n)^{\mathrm T}$. Матрицы $\mathbb{U}^{(1)}_n$ и $\mathbb{U}^{(2)}_n$ задаются как
$$
\begin{equation}
\mathbb{U}^{(1)}_n=\operatorname{diag}\bigl(\mathbb{X}^{(1)}_n,\mathbb{X}^{(1)}_n,\ldots,\mathbb{X}^{(1)}_n\bigr),\qquad \mathbb{U}^{(2)}_n=\left(\begin{array}{c:c} \mathbb{Y}^{(1)}_n & \mathbb{Y}^{(2)}_n \\ \hdashline \mathbb{Y}^{(3)}_n & \mathbb{Y}^{(4)}_n \vphantom{\mathbb{Y}^{(4)^|}_n} \end{array}\right),
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathbb{X}^{(1)}_n=\begin{pmatrix} \phantom{-}u_{n,1} & u_{n,2} \\ -u_{n,2} & u_{n,1} \end{pmatrix},\qquad \mathbb{X}^{(l)}_n=\begin{pmatrix} u_{n,l+1} & 0 \\ 0 & u_{n,l+1} \end{pmatrix}, \quad l=2,3,\ldots,M-1,
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
$\mathbb{Y}^{(3)}_n=-(\mathbb{Y}^{(2)}_n)^{\mathrm T}$, $\mathbb{Y}^{(4)}_n=(\mathbb{Y}^{(1)}_n)^{\mathrm T}$, квадратные блочные матрицы $\mathbb{Y}^{(1)}_n$, $\mathbb{Y}^{(2)}_n$ задаются формулами
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathbb{Y}^{(1)}_n=\operatorname{diag}(\mathbb{X}^{(2)}_n,\mathbb{X}^{(2)}_n,\ldots,\mathbb{X}^{(2)}_n), \\ \mathbb{Y}^{(2)}_n=\begin{pmatrix} \phantom{-}\mathbb{X}^{(3)}_n & \kern-5pt\mathbb{O} & \phantom{-}\mathbb{X}^{(4)}_n & \ldots & \mathbb{X}^{(M)}_n \\ \mathbb{O} & \mathbb{X}^{(3)}_n & \mathbb{O} & \ddots & \kern-8pt\vdots \\ -\mathbb{X}^{(4)}_n & \kern-5pt\mathbb{O} & \phantom{-}\mathbb{X}^{(3)}_n & \ddots & \mathbb{X}^{(4)}_n \\ \vdots & \kern-4pt\ddots & \ddots & \ddots & \kern-8pt\mathbb{O} \\ \kern3pt-\mathbb{X}^{(M)}_n & \ldots & -\mathbb{X}^{(4)}_n & \mathbb{O} & \mathbb{X}^{(3)}_n \end{pmatrix}; \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
здесь $\mathbb{O}$ – нулевая матрица размера $2\times 2$. Используя выражения (2.6)–(2.9) в матричных уравнениях пдКИ (2.5), выводим векторное или многокомпонентное расширение (обобщение) уравнений (1.5):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \partial_T(x_{n+1}-x_n)+\frac{1}{2}\sum_{l=1}^M(u_{n+1,l}^2-u_{n,l}^2)=0, \\ & \partial_T(u_{n+1,l}-u_{n,l})-\frac{1}{2}\bigl((x_{n+1}-x_n)u_{n,l}+u_{n+1,l}(x_{n+1}-x_n)\bigr)=0,\quad l=1,2,\ldots,M.\kern-20pt \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
В векторном виде оно записывается как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \partial_T(x_{n+1}-x_n)+\frac{1}{2}(\mathbf u_{n+1}^2-\mathbf u_n^2)=0, \\ & \partial_T(\mathbf u_{n+1}-\mathbf u_n)-\frac{1}{2}\bigl((x_{n+1}-x_n)\mathbf u_n+\mathbf u_{n+1}(x_{n+1}-x_n)\bigr)=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
где $\mathbf u_n=(u_{n,1},u_{n,2},\ldots,u_{n,M})^{\mathrm T}$ – $M$-мерный вектор и $x_n$ – скаляр.
3. Прямое и сопряженное преобразования ДарбуПД предоставляет систематический способ построения новых решений интегрируемых систем, заданных дифференциальными уравнениями, дифференциально-разностными уравнениями и разностно-разностными уравнениями [30]–[34], путем модификации имеющихся решений с помощью нескольких алгебраических и дифференциальных операций. В нашем случае с помощью матриц Дарбу $D_n(T;\lambda)$ и $D_n(T;\zeta)$ размера $2^M\times 2^M$ мы задаем ПД решений прямой пары Лакса (2.1) и сопряженной пары Лакса соответственно. Матричное решение $\Omega_n$ линейной системы (2.1) в пространстве $\mathcal S$ преобразуется в новое решение $\widetilde\Omega_n$ в пространстве $\widetilde{\mathcal S}$ с помощью матрицы Дарбу $D_n(T;\lambda)$, т. е.
$$
\begin{equation}
D_n(\lambda)\colon\mathcal S\to\widetilde{\mathcal S},\qquad \Omega_n\to\widetilde\Omega_n.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Однократное ПД задается как
$$
\begin{equation}
\Omega_n\to\widetilde\Omega_n=D_n(T;\lambda)\Omega_n,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $D_n(T;\lambda)$ – матрица Дарбу размера $2^M\times 2^M$. Мы можем выбрать следующий анзац для матрицы Дарбу $D_n(T;\lambda)$: где $\Theta_n$ – вспомогательная матрица размера $2^M\times 2^M$, подлежащая определению, а $I$ – единичная матрица размера $2^M\times 2^M$. Новое решение $\widetilde\Omega_n$ допускает пару Лакса
$$
\begin{equation}
\widetilde\Omega_{n+1}=\widetilde{\mathcal M}_n \widetilde\Omega_n,\qquad \partial_T\widetilde\Omega_n=\widetilde{\mathcal N}_n \widetilde\Omega_n
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
с матрицами $\widetilde{\mathcal M}_n$ и $\widetilde{\mathcal N}_n$, заданными как
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathcal M}_n=\mathcal I+\lambda(\widetilde{\mathcal P}_{n+1}-\widetilde{\mathcal P}_n),\qquad \widetilde{\mathcal N}_n=\widetilde{\mathcal R}_n+\lambda^{-1} \widetilde{\mathcal R}_0,
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \widetilde{\mathcal I}&=\begin{pmatrix} I & \phantom{-}O \\ O & -I \end{pmatrix},& \qquad \widetilde{\mathcal P}_n&=i\begin{pmatrix} \widetilde\chi_n & \phantom{-}\widetilde{\mathcal U}_n \\ \widetilde{\mathcal V}_n & -\widetilde\chi_n \end{pmatrix}, \\ \widetilde{\mathcal R}_n&=\begin{pmatrix} O & -\frac{1}{2}\widetilde{\mathcal U}_n \\ \frac{1}{2}\widetilde{\mathcal V}_n & O \end{pmatrix},& \quad \widetilde{\mathcal R}_0&=-\frac{i}{4}\begin{pmatrix} I & \phantom{-}O \\ O & -I \end{pmatrix}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Преобразованные матричные функции $\widetilde{\mathcal P}_n$, $\widetilde{\mathcal R}_n$ и $\widetilde{\mathcal R}_0$ получаются заменой $\chi_n$, $\mathcal U_n$ и $\mathcal V_n$ на $\widetilde\chi_n$, $\widetilde{\mathcal U}_n$ и $\widetilde{\mathcal V}_n$ в матрицах $\mathcal P_n$, $\mathcal R_n$ и $\mathcal R_0$ в соотношениях (2.3). Условие совместности $\partial_T\widetilde{\mathcal M}_n+\widetilde{\mathcal M}_n\widetilde{\mathcal N}_n-\widetilde{\mathcal N}_{n+1}\widetilde{\mathcal M}_n=0$ дает следующие матричные уравнения:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \partial_T(\widetilde\chi_{n+1}-\widetilde\chi_n)+\frac{1}{2}(\widetilde{\mathcal U}_{n+1}\widetilde{\mathcal V}_{n+1}- \widetilde{\mathcal U}_n\widetilde{\mathcal V}_n)=0, \\ & \partial_T(\widetilde{\mathcal U}_{n+1}-\widetilde{\mathcal U}_n)- \frac{1}{2}\bigl((\widetilde\chi_{n+1}-\widetilde\chi_n)\widetilde{\mathcal U}_n+ \widetilde{\mathcal U}_{n+1}(\widetilde\chi_{n+1}-\widetilde\chi_n)\bigr)=0, \\ & \partial_T(\widetilde{\mathcal V}_{n+1}-\widetilde{\mathcal V}_n)- \frac{1}{2}\bigl((\widetilde\chi_{n+1}-\widetilde\chi_n)\widetilde{\mathcal V}_n+ \widetilde{\mathcal V}_{n+1}(\widetilde\chi_{n+1}-\widetilde\chi_n)\bigr)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Дальнейшее разложение матричных уравнений (3.7) приводит к следующим многокомпонентным (или векторным) уравнениям:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \partial_T(\tilde x_{n+1}-\tilde x_n)+\frac{1}{2}\sum_{l=1}^M(\tilde u_{n+1,l}^2-\tilde u_{n,l}^2)=0, \\ & \partial_T(\tilde u_{n+1,l}-\tilde u_{n,l})- \frac{1}{2}\bigl((\tilde x_{n+1}-\tilde x_n)\tilde u_{n,l}+\tilde u_{n+1,l}(\tilde x_{n+1}-\tilde x_n)\bigr)=0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
для $l=1,2,\ldots,M$. Дискретная матрица Дарбу $D_n(T;\lambda)$ удовлетворяет дискретным уравнениям Дарбу–Лакса
$$
\begin{equation}
D_{n+1}\mathcal M_n=\widetilde{\mathcal M}_nD_n,\qquad \partial_TD_n+D_n\mathcal N_n=\widetilde{\mathcal N}_nD_n.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
В нескольких известных примерах вспомогательные объекты типа матрицы $\Theta_n$ получаются из собственных функций, связанных с парой Лакса для спектральной задачи при определенных значениях спектральных параметров. В нашем случае мы выбираем $\Theta_n=\mathcal G_n \Lambda^{-1}(\mathcal G_n)^{-1}$, где $\mathcal G_n$ – частное ($2^M\times 2^M$)-матричное решение пары Лакса (2.1). Для построения матрицы $\mathcal G_n$ мы используем собственные вектор-функции $\Omega_n(\lambda_l)|e\rangle_l$, отвечающие собственным значениям $\lambda_l$, для $l=1,2,\ldots,2^M$, а в качестве матрицы $\Lambda$ выбираем диагональную матрицу размера $2^M\times 2^M$, составленную из собственных значений. Матрица $\mathcal G_n$ размера $2^M\times 2^M$ обратима и задается как
$$
\begin{equation}
\mathcal G_n=\bigl(\Omega_n(\lambda_1)|e\rangle_1,\Omega_n(\lambda_2)|e\rangle_2,\ldots\Omega_n(\lambda_{2^M})|e\rangle_{2^M}\bigr)\equiv \bigl(g_n^{(1)},\ldots, g_n^{(2^M)}\bigr)
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
для
$$
\begin{equation}
\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_{2^M}).
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Независимые решения (собственные вектор-столбцы) $g_n^{(1)},g_n^{(2)},\ldots,g_n^{(2^M)}$ удовлетворяют паре Лакса (2.1) для $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_{2^M}$, откуда следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |g^{(l)}\rangle_{n+1}&=|g^{(l)}\rangle_n+\lambda_l(\mathcal P_{n+1}-\mathcal P_n)|g^{(l)}\rangle_n, \\ \partial_T|g^{(l)}\rangle_n&=\mathcal R_n|g^{(l)}\rangle_n+\lambda_l^{-1}\mathcal R_0|g^{(l)}\rangle_n,\qquad l=1,2,\ldots,2^M. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
С учетом (3.11) уравнения (3.12) в матричной форме могут быть записаны как
$$
\begin{equation}
\mathcal G_{n+1}=\mathcal G_n+ (\mathcal P_{n+1}-\mathcal P_n) \mathcal G_n \Lambda, \qquad \partial_T\mathcal G_n=\mathcal R_n \mathcal G_n+\mathcal R_0\mathcal G_n \Lambda^{-1}.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Преобразование матриц $\mathcal P_n^{[1]}$, $\mathcal R_n^{[1]}$ и $\mathcal R_0^{[1]}$ – это то, что мы ищем, чтобы преобразовать решения в пространстве $\mathcal S$ в решения в пространстве $\widetilde{\mathcal S}$. В свете вышеизложенного можно доказать следующие предложения. Предложение 1. Уравнения (3.4) остаются инвариантными относительно ПД (3.2), если новые решения для потенциалов $\widetilde{\mathcal P}_n$ имеют вид и при этом выполнено условие ковариантности Доказательство. Уравнение (3.14) описывает связь между новым и старым потенциалами (т. е. $\widetilde{\mathcal P}_n$ и $\mathcal P_n$ соответственно), которая получается как следствие ковариантности пары Лакса (2.1) под действием ПД. Теперь рассмотрим разностный член в левой части уравнения (3.15), чтобы показать, что выбор матрицы $\Theta_n$ в виде $\Theta_n=\mathcal G_n\Lambda^{-1}(\mathcal G_n)^{-1}$ удовлетворяет условию (3.15): Предложение 2. Уравнения (3.4) остаются инвариантными относительно ПД (3.2), если новые решения для потенциалов $\widetilde{\mathcal R}_n$ имеют вид (здесь и далее $\mathcal R_0=\mathrm{const}$ означает, что $\mathcal R_0$ – постоянная матрица) и при этом выполнено условие ковариантности Доказательство. Уравнение (3.16) описывает связь между новым и старым потенциалами (т. е. $\widetilde{\mathcal R}_n$ и $\mathcal R_n$ соответственно), которая получается как следствие ковариантности пары Лакса (2.1) под действием ПД. С другой стороны, из третьего равенства в (3.6) и соотношений (2.3) мы можем заключить, что $\widetilde{\mathcal R}_0=\mathcal R_0$. Теперь возьмем производную по $T$ от $\Theta_n$, чтобы показать, что выбор матрицы $\Theta_n$ в виде $\Theta_n=\mathcal G_n\Lambda^{-1}(\mathcal G_n)^{-1}$ удовлетворяет условию (3.17): Замечание 1. Вкратце изложим результаты, полученные на данный момент. Выбор матрицы $\Theta_n$ в виде $\Theta_n=\mathcal G_n\Lambda^{-1}(\mathcal G_n)^{-1}$ удовлетворяет требованиям ковариантности ПД, заданным в (3.15) и (3.17). Таким образом, ПД сохраняет систему, т. е. если набор данных $\{\Omega_n,\mathcal P_n,\mathcal R_n\}$ является нетривиальным решением пары Лакса (2.1), (2.4), то набор данных $\{\widetilde\Omega_n,\widetilde{\mathcal P}_n, \widetilde{\mathcal R}_n\}$ дает нетривиальное решение той же спектральной задачи. Соотношения (2.10) также совместны с ПД. Теорема 1. Пусть $\mathcal G_{n,1},\mathcal G_{n,2},\ldots,\mathcal G_{n,K}$ – частные матричные решения прямой пары Лакса (2.1), отвечающие $\Lambda_1,\Lambda_2,\ldots,\Lambda_K$ соответственно. Тогда $K$-я итерация ПД решений спектральной задачи записывается через квазидетерминанты следующим образом: Теорема 2. Пусть $\mathcal G_{n,1},\mathcal G_{n,2},\ldots,\mathcal G_{n,K}$ – частные матричные решения прямой пары Лакса (2.1), отвечающие $\Lambda_1,\Lambda_2,\ldots,\Lambda_K$ соответственно. Тогда $K$-я итерация ПД решений уравнения пдКИ записывается через квазидетерминанты следующим образом: Замечание 2. $K$-кратное ПД (3.20) решений уравнения пдКИ более удобно записать как Лемма 1. Пусть $\mathbb{P}_n$ – матрица эрмитова проектора размера $2^M\times 2^M$, заданная через частные решения $g_n^{(i)}$, представляющие собой векторы-столбцы (кет-векторы), и $g_n^{(i)\unicode{8224}}$, представляющие собой векторы-строки (бра-векторы), прямой пары Лакса (2.1). Тогда $K$-кратное ПД матричного решения $\Omega_n^{[K]}$ выражается через матрицу эрмитова проектора $\mathbb{P}_n$: если матрица $\mathbb{P}_n$ удовлетворяет условиям $\mathbb{P}_n^2=\mathbb{P}_n$, $\mathbb{P}_n+\mathbb{P}_n^\perp=I$ и задается как Доказательство. Чтобы получить доказательство, запишем матрицу $\Theta_n$ в виде Лемма 2. Пусть $\mathbb{P}_n$ – эрмитов проектор, удовлетворяющий условиям леммы 1. Тогда $K$-кратное ПД решений уравнения пдКИ выражается через матрицу эрмитова проектора $\mathbb{P}_n$ как Замечание 3. На следующем шаге мы формулируем сопряженное ПД. Для этого запишем сопряженную пару Лакса (2.1) как Теорема 3. Пусть $\mathcal H_{n,1},\mathcal H_{n,2},\ldots,\mathcal H_{n,K}$ – частные матричные решения сопряженной пары Лакса (3.29), отвечающие $\Xi_1,\Xi_2,\ldots,\Xi_K$ соответственно. Тогда $K$-я итерация ПД решений сопряженной спектральной задачи записывается через квазидетерминанты следующим образом: Теорема 4. Пусть $\mathcal H_{n,1},\mathcal H_{n,2},\ldots,\mathcal H_{n,K}$ – частные матричные решения сопряженной пары Лакса (3.29), отвечающие $\Xi_1,\Xi_2,\ldots,\Xi_K$ соответственно. Тогда $K$-я итерация ПД решений сопряженной спектральной задачи записывается через квазидетерминанты следующим образом: Доказательство легко получить по индукции [35]–[37]. Лемма 3. Пусть $\mathbb{T}_n$ – матрица эрмитова проектора размера $2^M\times 2^M$, заданная через частные решения $h_n^{(i)}$, представляющие собой векторы-столбцы (кет-векторы), и $h_n^{(i)\unicode{8224}}$, представляющие собой векторы-строки (бра-векторы), сопряженной пары Лакса (3.29). Тогда $K$-кратное ПД матричного решения $\Psi_n^{[K]}$ выражается через матрицу эрмитова проектора $\mathbb{T}_n$: если матрица $\mathbb{T}_n$ удовлетворяет условиям $\mathbb{T}_n^2=\mathbb{T}_n$, $\mathbb{T}_n+\mathbb{T}_n^\perp=I$ и задается как Лемма 4. Пусть $\mathbb{T}_n$ – эрмитов проектор, удовлетворяющий условиям леммы 3. Тогда $K$-кратное ПД решений сопряженной спектральной задачи выражается через матрицу эрмитова проектора $\mathbb{T}_n$ как Доказательство для $\mathcal P_n^{[K]\unicode{8224}}$ аналогично доказательству для $\mathcal P_n^{[K]}$. 4. Стандартное бинарное преобразование ДарбуОпределим решение $\widehat\Omega_n$, лежащее в пространстве $\widehat{\mathcal S}$, которое рассматривается как дубликат прямого пространства $\mathcal S$, используя метод, описанный в [25]–[28], [38]. Поскольку $\widehat{\mathcal S}$ является копией пространства $\mathcal S$, условие нулевой кривизны и представление пары Лакса имеют тот же вид, что и в пространстве $\mathcal S$. Условие совместности данной системы линейных уравнений приводит к уравнениям движения (2.4):
$$
\begin{equation}
\widehat\Omega_{n+1}=\widehat{\mathcal M}_n\widehat\Omega_n,\qquad \partial_T\widehat\Omega_n=\widehat{\mathcal N}_n\widehat\Omega_n,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где матрицы $\widehat{\mathcal M}_n$ и $\widehat{\mathcal N}_n$ заданы как
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathcal M}_n=\mathcal I+\lambda(\widehat{\mathcal P}_{n+1}-\widehat{\mathcal P}_n),\qquad \widehat{\mathcal N}_n=\widehat{\mathcal R}_n+\lambda^{-1}\widehat{\mathcal R}_0.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Мы рассмотрели частные матричные решения $\mathcal G_n$ в прямом пространстве $\mathcal S$ и частные матричные решения $\mathcal H_n$ в сопряженном пространстве $\mathcal S^\unicode{8224}$. Соответствующие матричные решения в пространствах со шляпкой обозначим как $\widehat{\mathcal G}_n\in\widehat{\mathcal S}$ и $\widehat{\mathcal H}_n\in\widehat{\mathcal S}^{\,\unicode{8224}}$. Предполагая далее, что $i\widehat{\mathcal G}_n\in\widetilde{\mathcal S}^\unicode{8224}$, и используя ПД (3.1) и (3.30) в прямом и сопряженном пространствах, определим преобразование
$$
\begin{equation}
D_n^{(-1)\unicode{8224}}(\lambda)\colon\mathcal S^\unicode{8224}\to\widetilde{\mathcal S}^\unicode{8224} .
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Поскольку $\Psi_n\in\mathcal S^\unicode{8224}$ и $\widetilde\Psi_n\in\widetilde{\mathcal S}^\unicode{8224}$, имеем
$$
\begin{equation}
D_n^{(-1)\unicode{8224}}(\lambda)\Psi_n=i\widehat{\mathcal G}_n.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Из $D_n^\unicode{8224}(\lambda)\cdot i\mathcal G_n=0$ получаем, что $i\mathcal G_n=\mathcal G_n^{(-1)\unicode{8224}}$ и, аналогично, $i\widehat{\mathcal G}_n^{}=(\widehat{\mathcal G}_n)^{(-1)\unicode{8224}}$; как результат приведенных выше рассуждений имеем
$$
\begin{equation}
(\widehat{\mathcal G}_n)^{(-1)\unicode{8224}}=D_n^{(-1)\unicode{8224}}(\lambda)\Psi_n^{},\qquad \widehat{\mathcal G}_n^{}=(D_n^{(-1)\unicode{8224}}(\lambda)\Psi_n^{})^{(-1)\unicode{8224}},
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где $D_n(\lambda)=\lambda^{-1}I-\mathcal G_n\Lambda^{-1}(\mathcal G_n)^{-1}$. Используя это выражение в (4.5), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widehat{\mathcal G}_n&=((\lambda^{-1}I-\mathcal G_n\Lambda^{-1}(\mathcal G_n)^{-1})^{(-1)\unicode{8224}}\Psi_n)^{(-1)\unicode{8224}}= \notag\\ &=(\lambda^{-1}I-\mathcal G_n\Lambda^{-1}(\mathcal G_n)^{-1})(\Psi_n)^{(-1)\unicode{8224}}= \mathcal G_n(\lambda^{-1}I-\Lambda^{-1})(\mathcal G_n)^{-1}(\Psi_n)^{(-1)\unicode{8224}}= \notag\\ &=\mathcal G_n^{}(\lambda^{-1}I-\Lambda^{-1})(\Psi_n^\unicode{8224}\mathcal G_n^{})^{-1}=\mathcal G_n^{}\Delta_n^{-1}(\mathcal G_n^{},\Psi_n^{}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где алгебраический потенциал $\Delta_n(\mathcal G_n,\Psi_n)$ задается как
$$
\begin{equation}
\Delta_n^{}(\mathcal G_n^{},\Psi_n^{})=\Psi_n^\unicode{8224}\mathcal G_n^{}(\lambda^{-1}I-\Lambda^{-1})^{-1}.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Аналогично матричное решение $\widehat{\mathcal H}_n$ в сопряженном пространстве $\mathcal S^\unicode{8224}$ записывается следующим образом:
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathcal H}_n^{}=\mathcal H_n^{}\Delta_n^{(-1)\unicode{8224}}(\Omega_n^{},\mathcal H_n^{}),
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
где
$$
\begin{equation}
\Delta_n^{}(\Omega_n^{},\mathcal H_n^{})=-(\lambda^{-1}I-\Xi^{(-1)\unicode{8224}})^{(-1)}\mathcal H_n^\unicode{8224}\Omega_n^{}.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Уравнения (4.7) и (4.9) для решений $\mathcal G_n$ и $\mathcal H_n$ дают следующее условие:
$$
\begin{equation}
\Delta_n^{}(\mathcal G_n^{},\mathcal H_n^{})\Lambda^{-1}=\Xi^{(-1)\unicode{8224}}\Delta_n^{}(\mathcal G_n^{},\mathcal H_n^{})-\mathcal H_n^\unicode{8224}\mathcal G_n.^{}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Можно найти элемент $(\Delta_n)_{pq}$ матрицы $\Delta_n(\mathcal G_n,\mathcal H_n)$:
$$
\begin{equation}
\Delta_n(\mathcal G_n,\mathcal H_n)_{pq}= \frac{\langle\mathcal H_n|\mathcal G_n\rangle_{pq}}{\vphantom{(\bar\zeta^{-1}_p)^2}\bar\zeta^{-1}_p-\lambda^{-1}_q}.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
С учетом приведенных выше формул алгебраический потенциал для уравнения пдКИ выражается через $\mathcal G_n$ и $\mathcal H_n$, т. е. через частные матричные решения прямой и сопряженной пар Лакса соответственно. Матрица Дарбу $\widehat D_n$ в пространстве со шляпкой определяется как
$$
\begin{equation}
\widehat D_n(\lambda)=\lambda^{-1}I-\widehat\Theta_n=\lambda^{-1} I-\widehat{\mathcal G}_n\Xi^{(-1)\unicode{8224}}(\widehat{\mathcal G}_n)^{-1}.
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Следует подчеркнуть, что матрица Дарбу $\widehat D_n(\lambda)$ преобразует решение $\widehat\Omega_n$ не только в решение $\widetilde{\widehat\Omega}_n$, но и в другое новое решение $\widetilde\Omega_n$ (в пространстве $\widetilde{\mathcal S}$),
$$
\begin{equation}
\widetilde{\widehat\Omega}_n=\widetilde\Omega_n=\widehat D_n(\lambda)\widehat\Omega_n.
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Как итог, имеем следующие преобразования Дарбу:
$$
\begin{equation}
D_n(\lambda)\colon\mathcal S\to\widetilde{\mathcal S},\qquad \widehat D_n(\lambda)\colon\widehat{\mathcal S}\to\widetilde{\mathcal S},\qquad D_n(\zeta)\colon\mathcal S^\unicode{8224}\to\widetilde{\mathcal S}^\unicode{8224}.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Результаты в пространстве со шляпкой повторяют результаты для прямого пространства, поскольку $\widehat{\mathcal S}$ рассматривается как дубликат пространства $\mathcal S$. Следовательно, пара Лакса
$$
\begin{equation}
\widetilde{\widehat\Omega}_{n+1}= \widetilde{\!\widehat{\mathcal{M}}\,} _n\widetilde{\widehat\Omega}_n ,\qquad \partial_T\widetilde{\widehat\Omega}_n= \widetilde{\!\widehat{\mathcal{N}}\,} _n\widetilde{\widehat\Omega}_n
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
с матрицами
$$
\begin{equation}
\widetilde{\!\widehat{\mathcal{M}}\,} _n=\mathcal I+\lambda( \widetilde{\!\widehat{\mathcal{P}}\,} _{n+1}- \widetilde{\!\widehat{\mathcal{P}}\,} _n),\qquad \widetilde{\!\widehat{\mathcal{N}}\,} _n= \widetilde{\!\widehat{\mathcal{R}}\,} _n+\lambda^{-1} \widetilde{\!\widehat{\mathcal{R}}\,} _0
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
ковариантна относительно ПД с матрицей Дарбу $\widehat D_n(\lambda)=\lambda^{-1}I-\widehat\Theta_n$, при этом новые решения $ \widetilde{\!\widehat{\mathcal{P}}\,} _n$, $ \widetilde{\!\widehat{\mathcal{R}}\,} _n$ и $ \widetilde{\!\widehat{\mathcal{R}}\,} _0$ задаются как
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widetilde{\!\widehat{\mathcal{P}}\,} _n=\widehat{\mathcal P}_n-\widehat\Theta_n, \\ \widetilde{\!\widehat{\mathcal{R}}\,} _n=\widehat{\mathcal R}_n+[\widehat{\mathcal R}_0,\widehat\Theta_n],\qquad \widetilde{\!\widehat{\mathcal{R}}\,} _0=\widehat{\mathcal R}_0=\mathrm{const}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
где матрица $\widehat\Theta_n$ удовлетворяет уравнениям
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (\widehat\Theta_{n+1}-\widehat\Theta_n)\widehat\Theta_n= (\widehat{\mathcal P}_{n+1}-\widehat{\mathcal P}_n)\widehat\Theta_n-\widehat\Theta_{n+1}(\widehat{\mathcal P}_{n+1}-\widehat{\mathcal P}_n), \\ \partial_T{\widehat\Theta}_n=[{\widehat{\mathcal R}}_n,{\widehat\Theta}_n]+[{\widehat{\mathcal R}}_0,{\widehat\Theta}_n]\widehat\Theta_n. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Матрица $\widehat\Theta_n$ определена в пространстве со шляпкой, $\widehat\Theta_n=\widehat{\mathcal G}_n\Xi^{(-1)\unicode{8224}}(\widehat{\mathcal G}_n)^{-1}$. Далее, используя выражение для $\widehat\Theta_n$, получаем преобразование уравнения движения и решений пары Лакса:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widetilde{\widehat\Omega}_n=(\lambda^{-1}I-\widehat{\mathcal G}_n\Xi^{(-1)\unicode{8224}}(\widehat{\mathcal G}_n)^{-1})\widehat\Omega_n,\qquad \widetilde{\!\widehat{\mathcal{P}}\,} _n=\widehat{\mathcal P}_n-\widehat{\mathcal G}_n\Xi^{(-1)\unicode{8224}}(\widehat{\mathcal G}_n)^{-1}, \\ \widetilde{\!\widehat{\mathcal{R}}\,} _n=\widehat{\mathcal R}_n+[\widehat{\mathcal R}_0,\widehat{\mathcal G}_n\Xi^{(-1)\unicode{8224}}(\widehat{\mathcal G}_n)^{-1}], \qquad \widetilde{\!\widehat{\mathcal{R}}\,} _0={\widehat{\mathcal R}}_0=\mathrm{const}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Из (4.13) получаем равенство
$$
\begin{equation}
\widehat D_n(\lambda)\widehat\Omega_n=D_n(\lambda)\Omega_n,
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
из которого следует, что
$$
\begin{equation}
\widehat\Omega_n=\widehat D_n^{(-1)}(\lambda)D_n(\lambda)\Omega_n.
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
Видно, что $\widehat\Omega_n$ и $\Omega_n$ связаны между собой СБПД с матрицей $B_n(\lambda)=\widehat D_n^{(-1)}(\lambda)D_n(\lambda)$. Таким образом, равенство (4.21) альтернативно можно записать как
$$
\begin{equation}
\widehat\Omega_n\equiv B_n(\lambda)\Omega_n=\widehat D_n^{(-1)}(\lambda)D_n(\lambda)\Omega_n.
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
Используем выражения (3.3) для $D_n(\lambda)$ и (4.12) для $\widehat D_n(\lambda)$ в соотношении (4.22), чтобы выразить решение $\widehat\Omega_n$ через $\mathcal G_n$ и $\mathcal H_n$. Это приводит к следующему результату:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widehat\Omega_n&=(\lambda^{-1} I-\widehat{\mathcal G}_n\Xi^{(-1)\unicode{8224}}(\widehat{\mathcal G}_n)^{-1})^{-1} (\lambda^{-1} I-\mathcal G_n\Lambda^{-1}(\mathcal G_n)^{-1})\Omega_n= \notag\\ &=\widehat{\mathcal G}_n(\lambda^{-1}I-\Xi^{(-1)\unicode{8224}})^{-1}({\widehat{\mathcal G}}_n)^{-1}\mathcal G_n (\lambda^{-1}I-\Lambda^{-1})(\mathcal G_n)^{-1}\Omega_n. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
Используя (4.6), перепишем (4.23) как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat\Omega_n&=\mathcal G_n\Delta_n^{-1}(\mathcal G_n^{},\mathcal H_n^{}) (\lambda^{-1}I-\Xi^{(-1)\unicode{8224}})^{-1}\Delta_n(\mathcal G_n,\mathcal H_n)(\mathcal G_n)^{-1}\mathcal G_n (\lambda^{-1}I-\Lambda^{-1})(\mathcal G_n)^{-1}\Omega_n= \\ &=\mathcal G_n\Delta_n^{-1}(\mathcal G_n^{},\mathcal H_n^{})(\lambda^{-1}I-\Xi^{(-1)\unicode{8224}})^{-1} (\lambda^{-1}\Delta_n(\mathcal G_n,\mathcal H_n)-\Delta_n(\mathcal G_n,\mathcal H_n) \Lambda^{-1})(\mathcal G_n)^{-1}\Omega_n. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим в эту формулу выражение (4.10) для $\Delta_n(\mathcal G_n,\mathcal H_n)\Lambda^{-1}$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat\Omega_n&=\mathcal G_n\Delta_n^{-1}(\mathcal G_n^{},\mathcal H_n^{})(\lambda^{-1}I-\Xi^{(-1)\unicode{8224}})^{-1}\times{} \\ &\quad\times\bigl(\lambda^{-1}\Delta_n^{}(\mathcal G_n^{},\mathcal H_n^{})- \Xi^{(-1)\unicode{8224}}\Delta_n^{}(\mathcal G_n^{},\mathcal H_n^{})+\mathcal H_n^\unicode{8224}\mathcal G_n^{}\bigr) (\mathcal G_n^{})^{-1}\Omega_n^{}= \\ &=(I+\mathcal G_n^{}\Delta_n^{-1}(\mathcal G_n^{},\mathcal H_n^{})(\lambda^{-1}I-\Xi^{(-1)\unicode{8224}})^{-1}\mathcal H_n^\unicode{8224})\Omega_n^{}= \\ &=\biggl(I+\frac{\mathcal G_n^{}\Delta_n^{-1}(\mathcal G_n^{},\mathcal H_n^{})\mathcal H_n^\unicode{8224}}{\lambda^{-1}I-\Xi^{(-1)\unicode{8224}}}\biggr)\Omega_n. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом (4.9) матрица $\widehat\Omega_n$, полученная в результате СБПД матрицы $\Omega_n$, принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widehat\Omega_n^{}&=\Omega_n^{}+\mathcal G_n^{}\Delta_n^{-1}(\mathcal G_n^{},\mathcal H_n^{}) (\lambda^{-1}I-\Xi^{(-1)\unicode{8224}})^{-1}\mathcal H_n^\unicode{8224}\Omega_n^{}= \notag\\ &=\Omega_n^{}-\mathcal G_n^{}\Delta_n^{-1}(\mathcal G_n^{},\mathcal H_n^{})\Delta_n^{}(\Omega_n^{},\mathcal H_n^{}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.24}
$$
Ее можно записать через квазидетерминант как
$$
\begin{equation}
\widehat\Omega_n=\begin{vmatrix} \Delta_n(\mathcal G_n,\mathcal H_n) & \Delta_n(\Omega_n,\mathcal H_n) \\ \mathcal G_n & \fbox{$\Omega_n$} \end{vmatrix}.
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
Это представление называется квазиграммианным решением уравнения пдКИ. Аналогично для сопряженного решения $\widehat\Psi_n\in\widehat{\mathcal S}^{\,\unicode{8224}}$ имеем
$$
\begin{equation}
\widehat\Psi_n^{}=\Psi_n^{}-\mathcal H_n^{}\Delta_n^{(-1)\unicode{8224}}(\mathcal G_n^{},\mathcal H_n^{})\Delta_n^\unicode{8224}(\mathcal G_n^{},\Psi_n^{})= \begin{vmatrix} \Delta_n^\unicode{8224}(\mathcal G_n^{},\mathcal H_n^{}) & \Delta_n^\unicode{8224}(\mathcal G_n^{},\Psi_n^{}) \\ \mathcal H_n & \fbox{$\Psi_n$} \end{vmatrix}.
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
Из (4.21) получаем СБПД решения уравнения пдКИ:
$$
\begin{equation}
\widetilde{\!\widehat{\mathcal{P}}\,} _n=\widehat{\mathcal P}_n-\widehat{\mathcal G}_n\Xi^{(-1)\unicode{8224}}(\widehat{\mathcal G}_n)^{-1}= \mathcal P_n-\mathcal G_n\Lambda^{-1}(\mathcal G_n)^{-1}.
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
Опять же подставляя (4.6) в (4.27), мы можем записать $\widehat{\mathcal P}_n$ в виде квазидетерминанта:
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathcal P}_n^{}=\mathcal P_n^{}+\mathcal G_n^{}\Delta_n^{-1}(\mathcal G_n^{},\mathcal H_n^{})\mathcal H_n^\unicode{8224}= \mathcal P_n-\begin{vmatrix} \Delta_n(\mathcal G_n,\mathcal H_n) & \mathcal H_n^\unicode{8224} \\ \mathcal G_n & \,\fbox{$O$}\, \end{vmatrix}.
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
Решение $\widehat{\mathcal R}_n$ также можно записать в виде квазидетерминанта:
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathcal R}_n=\mathcal R_n+\biggl[\mathcal R_0,\begin{vmatrix} \Delta_n(\mathcal G_n,\mathcal H_n) & \mathcal H_n^\unicode{8224} \\ \mathcal G_n & \,\fbox{$O$}\, \end{vmatrix}\;\biggr],\qquad \widehat{\mathcal R}_0=\mathcal R_0=\mathrm{const}.
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
Пусть $\mathcal G_{n,k}$ – матричные решения, отвечающие $\Lambda=\Lambda_k$, прямой пары Лакса (2.1) и $\mathcal H_{n,k}$ – матричные решения, отвечающие $\Xi=\Xi_k$, сопряженной пары Лакса (3.29) ($k=1,2,\ldots,K$). Тогда $K$-кратное СБПД для $\Omega_n$ записывается через квазидетерминанты следующим образом:
$$
\begin{equation}
\Omega_n^{[K]}=\begin{vmatrix} \Delta_n(\mathcal G_{n,1},\mathcal H_{n,1}) & \ldots & \Delta_n({\mathcal G}_{n,K},\mathcal H_{n,1}) & \Delta_n(\Omega_n,\mathcal H_{n,1}) \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ \Delta_n(\mathcal G_{n,1},\mathcal H_{n,K}) & \ldots & \Delta_n({\mathcal G}_{n,K},\mathcal H_{n,K}) & \Delta_n(\Omega_n,\mathcal H_{n,K}) \\ {\mathcal G}_{n,1} & \ldots & {\mathcal G}_{n,K} & \fbox{$\Omega_n$} \end{vmatrix}.
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
Аналогично повторенное $K$ раз СБПД для $\Psi_n$ записывается через квазидетерминанты следующим образом:
$$
\begin{equation}
\Psi_n^{[K]}=\begin{vmatrix} \Delta_n^\unicode{8224}(\mathcal G_{n,1}^{},\mathcal H_{n,1}^{}) & \ldots & \Delta_n^\unicode{8224}({\mathcal G}_{n,K}^{},\mathcal H_{n,1}^{}) & \Delta_n^\unicode{8224}(\mathcal G_{n,1}^{},\Psi_n^{}) \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \Delta_n^\unicode{8224}(\mathcal G_{n,1}^{},\mathcal H_{n,K}^{}) & \ldots & \Delta_n^\unicode{8224}({\mathcal G}_{n,K}^{},\mathcal H_{n,K}^{}) & \Delta_n^\unicode{8224}({\mathcal G}_{n,K}^{},\Psi_n^{}) \\ \mathcal H_{n,1} & \ldots & \mathcal H_{n,K} & \fbox{$\Psi_n$} \end{vmatrix}.
\end{equation}
\tag{4.31}
$$
Квазидетерминатные выражения для действия $K$-й итерации на $\mathcal P_n$, $\mathcal R_n$, $\mathcal R_0$ таковы:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal P_n^{[K]}&=\mathcal P_n-\begin{vmatrix} \Delta_n^{}(\mathcal G_{n,1}^{},\mathcal H_{n,1}^{}) & \ldots & \Delta_n^{}(\mathcal G_{n,K}^{},\mathcal H_{n,1}^{}) & \mathcal H_{n,1}^\unicode{8224} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \Delta_n^{}(\mathcal G_{n,1}^{},\mathcal H_{n,K}^{}) & \ldots & \Delta_n^{}(\mathcal G_{n,K}^{},\mathcal H_{n,K}^{}) & \mathcal H_{n,K}^\unicode{8224} \\ \mathcal G_{n,1} & \ldots & \mathcal G_{n,K} & \fbox{$O$} \end{vmatrix}, \\ \mathcal R_n^{[K]}&=\mathcal R_n+ \left[\mathcal R_0,\begin{vmatrix} \Delta_n^{}(\mathcal G_{n,1}^{},\mathcal H_{n,1}^{}) & \ldots & \Delta_n^{}(\mathcal G_{n,K}^{},\mathcal H_{n,1}^{}) & \mathcal H_{n,1}^\unicode{8224} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ \Delta_n^{}(\mathcal G_{n,1}^{},\mathcal H_{n,K}^{}) & \ldots & \Delta_n^{}(\mathcal G_{n,K}^{},\mathcal H_{n,K}^{}) & \mathcal H_{n,K}^\unicode{8224} \\ \mathcal G_{n,1} & \ldots & \mathcal G_{n,K} & \fbox{$O$} \end{vmatrix}\,\right], \\ \mathcal R_0^{[K]}&=\mathcal R_0=\mathrm{const}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.32}
$$
Квазидетерминантные решения (4.30)–(4.32) называются квазиграммианными решениями многокомпонентных уравнений пдКИ. Таким же образом итеративно можно получить квазидетерминантные решения для $\mathcal P_n^\unicode{8224}$, $\mathcal R_n^\unicode{8224}$ и $\mathcal R_0^\unicode{8224}$. Замечание 4. Итак, применив СБПД, мы пришли к решениям граммианного типа, записанным через квазидетерминанты. Построив бинарную матрицу Дарбу, мы получили такие решения для пары Лакса (или линейной системы), которые очевидно отличаются от решений, полученных путем применения элементарного ПД. Кроме того, мы получили решения $\Delta_n(\mathcal G_n,\mathcal H_n)$ для потенциалов, записанные через частные матричные решения $\mathcal G_n$ прямой пары Лакса (2.1) и частные матричные решения $\mathcal H_n$ сопряженной пары Лакса (3.29). Таким образом, в СБПД учитываются как решения, лежащие в прямом пространстве $\mathcal S$, так и решения в сопряженном пространстве $\mathcal S^\unicode{8224}$. Отметим, что можно представить частные матричные решения $\mathcal G_n$ и $\mathcal H_n$, построенные с использованием $2^M$ собственных вектор-функций, в виде произведения элементарных решений. После этого потенциал $\Delta_n(\mathcal G_n,\mathcal H_n)$ становится скалярным и представляется через векторные решения прямой пары Лакса (2.1) и ее сопряженной (или дуальной) пары Лакса (3.29). 5. Явные петлевые решенияВ этом разделе мы исследуем, как в явном виде действует последовательное СБПД $\widehat\Omega_n=B_n(\lambda)\Omega_n$ на потенциалы $\mathcal P_n$ и $\mathcal R_n$ уравнений пдКИ (2.4), чтобы получить петлевые решения. Рассмотрим матричное начальное решение вида
$$
\begin{equation}
\mathcal X_{n+1}-\mathcal X_n=\left(\begin{array}{c:c} \rho I& O \\ \hdashline O & \rho I \end{array}\right),\qquad \mathcal U_n=\left(\begin{array}{c:c} O & O \\ \hdashline O & O \end{array}\right),
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где через $\rho=x_{n+1}-x_n$ здесь и далее обозначена ненулевая вещественная постоянная. ($2^M\times 2^M)$-матричное решение $\Omega_n$ пары Лакса (2.1) можно записать как
$$
\begin{equation}
\Omega_n=\left(\begin{array}{c:c} \mathbb{M}_n(\lambda) & O \\ \hdashline O & \mathbb{N}_n(\lambda) \end{array}\right),
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbb{M}_n(\lambda)&=(1+i\rho\lambda)^n e^{iT/4\lambda+\eta}I_{2^{M-1}\times{ 2^{M-1}}}, \\ \mathbb{N}_n(\lambda)&=(1-i\rho\lambda)^n e^{-iT/4\lambda+\eta}I_{2^{M-1}\times{2^{M-1}}} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
и $\eta$ – постоянная интегрирования. Найдем петлевые решения многокомпонентных уравнений пдКИ в случаях $M=1$ и $M=2$. Далее в выражениях для решений линейной системы дифференциально-разностных уравнений (2.4) мы будем использовать обозначение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f_n(\pm\mu_k)=(1\pm i\mu_k\rho)^n e^{\mp iT/4\mu_k+\eta},\qquad k=1,2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
5.1. Случай $M=1$В качестве отправной точки для получения петлевых решений возьмем начальное решение $u_n=v_n=0$. Формула (3.21) дает следующие преобразования $\mathcal X_n$ и $\mathcal U_n$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal X_n^{[K]}=\mathcal X_n-i\Gamma_{n,11}^{[K]},\qquad\mathcal U_n^{[K]}=\mathcal U_n-i\Gamma_{n,12}^{[K]}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
В результате скалярные потенциалы $x_n$ и $u_n$ преобразуются как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, x_n^{[K]}=x_n-i\Gamma_{n,11}^{[K]},\qquad u_n^{[K]}=u_n-i\Gamma_{n,12}^{[K]}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
причем имеет место редукция
$$
\begin{equation}
\Gamma_{n,12}^{[K]}=\Gamma_{n,21}^{[K]},\quad\Gamma_{n,11}^{[K]}=-\Gamma_{n,22}^{[K]}.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Начнем с $x_{n+1}-x_n=\rho$ и $u_n=v_n=0$ (или $\mathcal X_{n+1}-\mathcal X_n=\rho$ и $\mathcal U_{n+1}=\mathcal U_n=0$) в качестве затравочного решения. Соответствующее решение пары Лакса, в свою очередь, сводится к (5.2). Для данного случая уравнения пдКИ имеем $\mathcal X_n=x_n$, $\mathcal U_n=u_n$ и $\mathcal V_n=u_n$. Рассмотрим далее случаи $K=1$ и $K=2$. 5.1.1. Однопетлевое решение (случай $K=1$)Чтобы найти в явном виде петлевые решения из начальных решений, построим матрицу $\mathcal G_{n,k}$ для $M=1$ из собственных векторов-столбцов, удовлетворяющих паре Лакса (2.1) при заданных собственных значениях, с помощью следующего предложения. Предложение 3. Пусть Для выбранных начальных решений пары Лакса (2.1) получаем частное матричное решение вида
$$
\begin{equation}
\mathcal G_{n,1}=\begin{pmatrix} \alpha_{n,1} & \phantom{-}\beta_{n,1} \\ \beta_{n,1} & -\alpha_{n,1} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
где $\alpha_{n,1}=f_n(\lambda_1)$ и $\beta_{n,1}=f_n(-\lambda_1)$, а $f_n(\pm\lambda_1)$ находится по формуле (5.4). Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\Theta_n= \mathcal G_n\Lambda^{-1}(\mathcal G_n)^{-1}= \frac{\lambda_1^{-1}}{\delta_{n,1}^{(+)}+\delta_{n,1}^{(-)}} \begin{pmatrix} \delta_{n,1}^{(+)}-\delta_{n,1}^{(-)} & 2\xi_{n,1} \\ 2\xi_{n,1} & -(\delta_{n,1}^{(+)}-\delta_{n,1}^{(-)}) \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
где $\delta_{n,1}^{(\pm)}=(1\pm i\lambda_1\rho)^{2n}e^{\mp iT/2\lambda_1}$, $\xi_{n,1}=(1+i\lambda_1\rho)^n(1-i\lambda_1\rho)^n$. Из (3.21) выводим выражения для $x_n^{[1]}$ и $u_n^{[1]}$:
$$
\begin{equation}
x_n^{[1]}=x_n-i\lambda^{-1}_1\frac{\delta_{n,1}^{(+)}-\delta_{n,1}^{(-)}}{\delta_{n,1}^{(+)}+\delta_{n,1}^{(-)}},\qquad u_n^{[1]}=i\lambda^{-1}_1\frac{2\xi_{n,1}}{\delta_{n,1}^{(+)}+\delta_{n,1}^{(-)}}.
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Аналогично матричное решение сопряженной пары Лакса задается как
$$
\begin{equation}
\mathcal H_{n,1}=\begin{pmatrix} \gamma_{n,1} & \phantom{-}\omega_{n,1} \\ \omega_{n,1} & -\gamma_{n,1} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
где $\gamma_{n,1}=f_n(\zeta_1)$ и $\omega_{n,1}=f_n(-\zeta_1)$. Явные выражения для $x_n^{\unicode{8224}[1]}$ и $u_n^{\unicode{8224}[1]}$ таковы:
$$
\begin{equation}
x_n^{\unicode{8224}[1]}=x_n^\unicode{8224} +i\zeta^{-1}_1\frac{\kappa_{n,1}^{(+)}-\kappa_{n,1}^{(-)}}{\kappa_{n,1}^{(+)}+\kappa_{n,1}^{(-)}},\qquad u_n^{\unicode{8224}[1]}=-i\zeta^{-1}_1\frac{2\tau_{n,1}}{\kappa_{n,1}^{(+)}+\kappa_{n,1}^{(-)}},
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
где $\kappa_{n,1}^{(\pm)}=(1\pm i\zeta_1\rho)^{2n}e^{\mp iT/2\zeta_1}$, $\tau_{n,1}=(1+i\zeta_1\rho)^n (1-i\zeta_1\rho)^n$. Используем результаты (5.9) и (5.12) в (4.11) и получим явные выражения для потенциала $\Delta_n(\mathcal G_{n,1},\mathcal H_{n,1})$:
$$
\begin{equation}
\Delta_n(\mathcal G_{n,1}, {\mathcal H}_{n,1})=\begin{pmatrix} -\dfrac{\Sigma_{n,1}^{(+)}}{\zeta^{-1}_1+\lambda^{-1}_1} & -\dfrac{\Pi^{(-)}_{n,1}}{\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1} \\ -\dfrac{\Pi^{(-)}_{n,1}}{\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1} & \phantom{-}\dfrac{\Sigma^{(+)}_{n,1}}{\zeta^{-1}_1+\lambda^{-1}_1} \vphantom{\bigg|^{\big|}} \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
(мы учли, что $\bar\zeta_1=-{\zeta}_1$), где
$$
\begin{equation*}
\Sigma_{n,1}^{(\pm)}=\alpha_{n,1}\gamma_{n,1}\pm\beta_{n,1}\omega_{n,1},\qquad \Pi_{n,1}^{(\pm)}=\gamma_{n,1}\beta_{n,1}\pm\omega_{n,1}\alpha_{n,1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, используя соотношения (5.9), (5.12) и (5.14) в (4.28), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \hat x_n^{[1]}&=\hat x_n-i\frac{1}{\mathcal K} \biggl(\frac{\Sigma_{n,1}^{(+)}\Sigma_{n,1}^{(-)}}{\zeta^{-1}_1+\lambda^{-1}_1}+ \frac{\Pi_{n,1}^{(+)}\Pi_{n,1}^{(-)}}{\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1}\biggr), \\ \hat u_n^{[1]}&=-i\frac{1}{\mathcal K} \biggl(\frac{\Sigma_{n,1}^{(+)}\Pi_{n,1}^{(+)}}{\zeta^{-1}_1+\lambda^{-1}_1}- \frac{\Sigma_{n,1}^{(-)}\Pi_{n,1}^{(-)}}{\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1}\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathcal K=-\biggl(\frac{\Sigma_{n,1}^{(+)}}{\zeta^{-1}_1+\lambda^{-1}_1}\biggr)^{\!2}- \biggl(\frac{\Pi_{n,1}^{(-)}}{\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1}\biggr)^{\!2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, мы получили однопетлевое решение однокомпонентного уравнения пдКИ. Помимо спектрального параметра $\lambda$, это решение определяется спектральным параметром $\zeta$. В частном случае $\lambda=\zeta$ мы получаем $\gamma_{n,1}=\alpha_{n,1}$, $\omega_{n,1}=\beta_{n,1}$ и
$$
\begin{equation*}
\Sigma_{n,1}^{(\pm)}=\delta_{n,1}^{(+)}\pm\delta_{n,1}^{(-)},\qquad \Pi_{n,1}^{(-)}=2\xi_{n,1},\qquad \Pi_{n,1}^{(-)}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Как результат, решения (5.15) вырождаются в решения, получающиеся путем обычного ПД. Такие редуцированные решения совпадают с найденными в [23] с помощью элементарного ПД. Графики решений (5.11) показаны на рис. 1. Замечание 5. Чтобы получить решения (5.15) и (5.11), мы применили СБПД и элементарное ПД соответственно. Выражение (5.11) задает петлевое решение в прямом пространстве, а выражение (5.15) – петлевое решение как в сопряженном (или дуальном), так и в прямом пространстве. Тем самым имеется очевидная разница между решениями. Термин “граммианные решения” относится к (5.15). Решение (5.11) можно напрямую получить из (5.15), используя редукцию $\lambda=\zeta$. Поскольку мы получаем решения не только в прямом, но и в сопряженном (или дуальном) пространстве, это говорит о важности СБПД. Тот факт, что мы можем получить решения (5.11) из (5.15), просто приравнивая спектральные параметры в прямом и дуальном пространствах без использования элементарного ПД, – еще один заслуживающий внимания аспект СБПД. 5.1.2. Двухпетлевое решение (случай $K=2$)Построим матрицу $\mathcal G_{n,k}$ в случае $M=1$ из собственных векторов-столбцов, удовлетворяющих паре Лакса (2.1) для заданных собственных значений, с помощью следующего предложения. Предложение 4. Пусть Для выбранных начальных решений пары Лакса (2.1), т. е. для $x_{n+1}-x_n=\rho$ и $u_n=v_n=0$, получаем частные матричные решения вида
$$
\begin{equation}
\mathcal G_{n,1}=\begin{pmatrix} \alpha_{n,1} & \phantom{-}\beta_{n,1} \\ \beta_{n,1} &-\alpha_{n,1} \end{pmatrix},\qquad \mathcal G_{n,2}=\begin{pmatrix} \alpha_{n,2} & \phantom{-}\beta_{n,2} \\ \beta_{n,2} &-\alpha_{n,2}\\ \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
где $\alpha_{n,k}=f_n(\lambda_k)$, $\beta_{n,k}=f_n(-\lambda_k)$ ($k=1,2$). Пользуясь формулой (3.21), выводим выражения для $x_n^{[2]}$ и $u_n^{[2]}$:
$$
\begin{equation}
x_n^{[2]}=x_n +i\lambda_0\frac{\varphi_n}{\Phi_n},\qquad u_n^{[2]}=2i\lambda_0\frac{\phi_n}{\Phi_n},
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
где $\lambda_0=\lambda_1^{-1}\lambda_2^{-1}(\lambda_2^2-\lambda_1^2)$,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \phi_n&=\lambda_1(\delta_{n,1}^{(+)}\xi_{n,2}+\delta_{n,1}^{(-)}\xi_{n,2})- \lambda_2(\delta_{n,2}^{(+)}\xi_{n,1}+\delta_{n,2}^{(-)}\xi_{n,1}), \\ \varphi_n&=(\lambda_2-\lambda_1)(\delta_{n,1}^{(+)}\delta_{n,2}^{(+)}-\delta_{n,1}^{(-)}\delta_{n,2}^{(-)})+ (\lambda_1+\lambda_2)(\delta_{n,1}^{(+)}\delta_{n,2}^{(-)}-\delta_{n,1}^{(-)}\delta_{n,2}^{(+)}), \end{aligned} \\ \Phi_n=8\lambda_1\lambda_2\xi_{n,1}\xi_{n,2}- (\lambda_1+\lambda_2)^2(\delta_{n,1}^{(+)}\delta_{n,2}^{(-)}+\delta_{n,1}^{(-)}\delta_{n,2}^{(+)})- (\lambda_1-\lambda_2)^2(\delta_{n,1}^{(+)}\delta_{n,2}^{(+)}+\delta_{n,1}^{(-)}\delta_{n,2}^{(-)}) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\delta_{n,k}^{(\pm)}=(1\pm i\lambda_k\rho)^{2n}e^{\mp iT/2\lambda_k},\quad \xi_{n,k}=(1+i\lambda_k\rho)^n(1-i\lambda_k\rho)^n,\qquad k=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Матричные решения $\mathcal H_{n,1}$ и $\mathcal H_{n,2}$ сопряженной пары Лакса задаются как
$$
\begin{equation}
\mathcal H_{n,1}=\begin{pmatrix} \gamma_{n,1} & \phantom{-}\omega_{n,1} \\ \omega_{n,1} &-\gamma_{n,1} \end{pmatrix},\qquad \mathcal H_{n,2}=\begin{pmatrix} \gamma_{n,2} & \phantom{-}\omega_{n,2} \\ \omega_{n,2} &-\gamma_{n,2} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
где $\gamma_{n,k}=f_n(\zeta_k)$ и $\omega_{n,k}=f_n(-\zeta_k)$ ($k=1,2$). Используем (5.17) и (5.19) в (4.11), получим явные выражения для потенциалов $\Delta_n(\mathcal G_{n,k},\mathcal H_{n,j})$ ($k,j=1,2$):
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \Delta_n(\mathcal G_{n,1},\mathcal H_{n,1})&\,{=}\!\begin{pmatrix} -\frac{\Sigma_{n,11}^{(+)}}{\zeta^{-1}_1+\lambda^{-1}_1} & -\frac{\Pi^{(-)}_{n,11}}{\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1} \\ -\frac{\Pi^{(-)}_{n,11}}{\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1} & \phantom{-}\frac{\Sigma^{(+)}_{n,11}}{\zeta^{-1}_1+\lambda^{-1}_1} \end{pmatrix}\!,&\;\; \Delta_n(\mathcal G_{n,1},\mathcal H_{n,2})&\,{=}\!\begin{pmatrix} -\frac{\Sigma_{n,12}^{(+)}}{\zeta^{-1}_2+\lambda^{-1}_1} & -\frac{\Pi^{(-)}_{n,21}}{\zeta^{-1}_2-\lambda^{-1}_1} \\ -\frac{\Pi^{(-)}_{n,21}}{\zeta^{-1}_2-\lambda^{-1}_1} & \phantom{-}\frac{\Sigma^{(+)}_{n,12}}{\zeta^{-1}_2+\lambda^{-1}_1} \end{pmatrix}\!, \\ \Delta_n(\mathcal G_{n,2},\mathcal H_{n,1})&\,{=}\!\begin{pmatrix} -\frac{\Sigma_{n,21}^{(+)}}{\zeta^{-1}_1+\lambda^{-1}_2} & -\frac{\Pi^{(-)}_{n,12}}{\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_2} \\ -\frac{\Pi^{(-)}_{n,12}}{\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_2} & \phantom{-}\frac{\Sigma^{(+)}_{n,21}}{\zeta^{-1}_1+\lambda^{-1}_2} \end{pmatrix}\!,&\;\; \Delta_n(\mathcal G_{n,2},\mathcal H_{n,2})&\,{=}\!\begin{pmatrix} -\frac{\Sigma_{n,22}^{(+)}}{\zeta^{-1}_2+\lambda^{-1}_2} & -\frac{\Pi^{(-)}_{n,22}}{\zeta^{-1}_2-\lambda^{-1}_2} \\ -\frac{\Pi^{(-)}_{n,22}}{\zeta^{-1}_2-\lambda^{-1}_2} & \phantom{-}\frac{\Sigma^{(+)}_{n,22}}{\zeta^{-1}_2+\lambda^{-1}_2} \end{pmatrix} \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
(мы учли, что $\bar\zeta_1=-{\zeta}_1$), где
$$
\begin{equation*}
\Sigma_{n,kj}^{(\pm)}=\alpha_{n,k}\gamma_{n,j}\pm\beta_{n,k}\omega_{n,j},\qquad \Pi_{n,kj}^{(\pm)}=\gamma_{n,k}\beta_{n,j}\pm\omega_{n,k}\alpha_{n,j}
\end{equation*}
\notag
$$
для $k,j=1,2$. Теперь, используя выражения (5.17) и (5.19) в (4.28), получаем
$$
\begin{equation}
\hat x_n^{[2]}=\hat x_n-i\frac{\Gamma_{n,1}}{\Upsilon_{n,1}}-i\frac{\Gamma_{n,2}}{\Upsilon_{n,2}},\qquad \hat u_n^{[2]}=-i\frac{\Gamma_{n,3}}{\Upsilon_{n,1}}-i\frac{\Gamma_{n,4}}{\Upsilon_{n,2}}
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Gamma_{n,1}&=\frac{\Sigma_{n,11}^{(+)}\Sigma_{n,11}^{(-)}}{\zeta^{-1}_1+\lambda^{-1}_1}+ \frac{\Pi_{n,11}^{(+)}\Pi_{n,11}^{(-)}}{\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1}, \\ \Gamma_{n,2}&=\frac{\Sigma_{n,22}^{(+)}\Sigma_{n,22}^{(-)}}{\zeta^{-1}_2+\lambda^{-1}_2}+ \frac{\Pi_{n,22}^{(+)}\Pi_{n,22}^{(-)}}{\zeta^{-1}_2-\lambda^{-1}_2}- \frac{1}{\Upsilon_{n,1}}\frac{\Sigma_{n,22}^{(+)}\mathcal C_4}{\zeta^{-1}_2+\lambda^{-1}_2}-{} \\ &\quad-\frac{1}{\Upsilon_{n,1}}\frac{\Pi_{n,22}^{(-)}\mathcal C_3}{\zeta^{-1}_2-\lambda^{-1}_2}+ \frac{1}{\Upsilon_{n,1}^2}(\mathcal C_1\mathcal C_4-\mathcal C_2\mathcal C_3)+ \frac{1}{\Upsilon_{n,1}}(\mathcal C_2\Pi_{n,22}^{(+)}-\mathcal C_1\Sigma_{n,22}^{(-)})+{} \\ &\quad+\frac{\mathcal C_1}{\Upsilon_{n,1}^3}(\mathcal E_2\Pi_{n,11}^{(+)}-\mathcal E_1\Sigma_{n,11}^{(-)})+ \frac{\mathcal C_2}{\Upsilon_{n,1}^3}(\mathcal E_1\Pi_{n,11}^{(+)}+\mathcal E_2\Sigma_{n,11}^{(-)})+{} \\ &\quad+\frac{1}{\Upsilon_{n,1}^2}\frac{\Sigma_{n,22}^{(+)}}{\zeta^{-1}_2+\lambda^{-1}_2} (\mathcal E_1\Sigma_{n,11}^{(-)}-\mathcal E_2\Pi_{n,11}^{(+)})+ \frac{1}{\Upsilon_{n,1}^2}\frac{\Pi_{n,22}^{(-)}}{\zeta^{-1}_2-\lambda^{-1}_2} (\mathcal E_1\Pi_{n,11}^{(+)}+\mathcal E_2\Sigma_{n,11}^{(-)}), \\ \Gamma_{n,3}&=\frac{\Sigma_{n,11}^{(+)}\Pi_{n,11}^{(+)}}{\zeta^{-1}_1+\lambda^{-1}_1}- \frac{\Sigma_{n,11}^{(-)}\Pi_{n,11}^{(-)}}{\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1}, \\ \Gamma_{n,4}&=\frac{\Sigma_{n,22}^{(+)}\Pi_{n,22}^{(+)}}{\zeta^{-1}_2+\lambda^{-1}_2}- \frac{\Sigma_{n,22}^{(-)}\Pi_{n,22}^{(-)}}{\zeta^{-1}_2-\lambda^{-1}_2}- \frac{1}{\Upsilon_{n,1}}\frac{\Sigma_{n,22}^{(+)}\mathcal C_3}{\zeta^{-1}_2+\lambda^{-1}_2}+{} \\ &\quad+\frac{1}{\Upsilon_{n,1}}\frac{\Pi_{n,22}^{(-)}\mathcal C_4}{\zeta^{-1}_2-\lambda^{-1}_2}+ \frac{1}{\Upsilon_{n,1}^2}(\mathcal C_1\mathcal C_3+\mathcal C_2\mathcal C_4)- \frac{1}{\Upsilon_{n,1}}(\mathcal C_1\Pi_{n,22}^{(+)}+\mathcal C_2\Sigma_{n,22}^{(-)})-{} \\ &\quad-\frac{\mathcal C_1}{\Upsilon_{n,1}^3} (\mathcal E_1\Pi_{n,11}^{(+)}+\mathcal E_2\Sigma_{n,11}^{(-)})+ \frac{\mathcal C_2}{\Upsilon_{n,1}^3} (\mathcal E_2\Pi_{n,11}^{(+)}-\mathcal E_1\Sigma_{n,11}^{(-)})+{} \\ &\quad+\frac{1}{\Upsilon_{n,1}^2}\frac{\Sigma_{n,22}^{(+)}}{\zeta^{-1}_2+\lambda^{-1}_2} (\mathcal E_1\Pi_{n,11}^{(+)}+\mathcal E_2\Sigma_{n,11}^{(-)})+ \frac{1}{\Upsilon_{n,1}^2}\frac{\Pi_{n,22}^{(-)}}{\zeta^{-1}_2-\lambda^{-1}_2} (\mathcal E_2\Pi_{n,11}^{(+)}-\mathcal E_1\Sigma_{n,11}^{(-)}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \Upsilon_{n,1}&=-\biggl(\frac{\Sigma_{n,11}^{(+)}}{\zeta^{-1}_1+\lambda^{-1}_1}\biggr)^{\!2}- \biggl(\frac{\Pi_{n,11}^{(-)}}{\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1}\biggr)^{\!2}, \\ \Upsilon_{n,2}&=-\biggl(\frac{\Sigma_{n,22}^{(+)}}{\zeta^{-1}_2+\lambda^{-1}_2}-\frac{\mathcal C_1}{\kappa}\biggr)^{\!2}- \biggl(\frac{\Pi_{n,22}^{(-)}}{\zeta^{-1}_2-\lambda^{-1}_2}+\frac{\mathcal C_2}{\kappa}\biggr)^{\!2}, \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, \mathcal C_1&=\mathcal A_2\frac{\Pi_{n,21}^{(-)}}{\zeta^{-1}_2-\lambda^{-1}_1}+ \mathcal A_1\frac{\Sigma_{n,12}^{(+)}}{\zeta^{-1}_2+\lambda^{-1}_1}, \\ \mathcal C_2&=\mathcal A_2\frac{\Sigma_{n,12}^{(+)}}{\zeta^{-1}_2+\lambda^{-1}_1}- \mathcal A_1\frac{\Pi_{n,21}^{(-)}}{\zeta^{-1}_2-\lambda^{-1}_1}, \\ \mathcal C_3&=\mathcal A_1\Pi_{n,21}^{(+)}-\mathcal A_2\Sigma_{n,12}^{(-)}+\ \mathcal A_3\Pi_{n,12}^{(+)}+\mathcal A_4\Sigma_{n,21}^{(-)}, \\ \mathcal C_4&=\mathcal A_1\Sigma_{n,12}^{(-)}+\mathcal A_2\Pi_{n,21}^{(+)}+ \mathcal A_3\Sigma_{n,21}^{(-)}-\mathcal A_4\Pi_{n,12}^{(+)} \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\mathcal E_1=\mathcal A_1\mathcal A_3+\mathcal A_2\mathcal A_4$, $\mathcal E_2=\mathcal A_1\mathcal A_4-\mathcal A_2\mathcal A_3$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal A_1&=-\frac{\Sigma_{n,11}^{(+)}\Sigma_{n,21}^{(+)}}{(\zeta^{-1}_1+\lambda^{-1}_1)(\zeta^{-1}_1+\lambda^{-1}_2)}- \frac{\Pi_{n,11}^{(-)}\Pi_{n,12}^{(-)}}{(\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1)(\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_2)}, \\ \mathcal A_2&=-\frac{\Sigma_{n,21}^{(+)}\Pi_{n,11}^{(-)}}{(\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1)(\zeta^{-1}_1+\lambda^{-1}_2)}+ \frac{\Sigma_{n,11}^{(+)}\Pi_{n,12}^{(-)}}{(\zeta^{-1}_1+\lambda^{-1}_1)(\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_2)}, \\ \mathcal A_3&=-\frac{\Sigma_{n,11}^{(+)}\Sigma_{n,12}^{(+)}}{(\zeta^{-1}_1+\lambda^{-1}_1)(\zeta^{-1}_2+\lambda^{-1}_1)}- \frac{\Pi_{n,11}^{(-)}\Pi_{n,21}^{(-)}}{(\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1)(\zeta^{-1}_2-\lambda^{-1}_1)}, \\ \mathcal A_4&=-\frac{\Sigma_{n,11}^{(+)}\Pi_{n,21}^{(-)}}{(\zeta^{-1}_1+\lambda^{-1}_1)(\zeta^{-1}_2-\lambda^{-1}_1)}+ \frac{\Sigma_{n,12}^{(+)}\Pi_{n,11}^{(-)}}{(\zeta^{-1}_2+\lambda^{-1}_1)(\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, однокомпонентное уравнение пдКИ имеет двухпетлевое решение (5.20). Помимо спектрального параметра $\lambda$, решение (5.20) определяется спектральным параметром $\zeta$. В частном случае $\lambda=\zeta$ мы получаем $\gamma_{n,k}=\alpha_{n,k}$, $\omega_{n,k}=\beta_{n,k}$ ($k=1,2$), а также
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{alignedat}{3} \Pi_{n,11}^{(+)}&=2\xi_{n,1},&\qquad\Sigma_{n,11}^{(\pm)}&=\delta_{n,1}^{(+)}\pm\delta_{n,1}^{(-)}, \\ \Pi_{n,22}^{(+)}&=2\xi_{n,2},&\qquad\Sigma_{n,22}^{(\pm)}&=\delta_{n,2}^{(+)}\pm\delta_{n,2}^{(-)}, \\ \Pi_{n,12}^{(\pm)}&=\pm\Pi_{n,21}^{(\pm)}&\qquad\Sigma_{n,12}^{(\pm)}&=\Sigma_{n,21}^{(\pm)}, \end{alignedat} \\ \Pi_{n,11}^{(-)}=\Pi_{n,22}^{(-)}=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Как результат, решения (5.20) вырождаются в решения, получающиеся путем обычного ПД. Такие редуцированные решения совпадают с найденными в [23] с помощью элементарного ПД. Графики решений (5.20) показаны на рис. 2. 5.2. Случай $M=2$Возьмем начальные решения $x_{n+1}-x_n=\rho$ и $u_n=v_n\,{=}\,0$ (или $\mathcal X_{n+1}-\mathcal X_n=\rho I_{2\times 2}$ и $\mathcal U_{n+1}=\mathcal U_n=O_{2\times 2}$). Формула (3.21) дает следующие преобразования $\mathcal X_n$ и $\mathcal U_n$:
$$
\begin{equation}
\mathcal X_n^{[K]}=\mathcal X_n-i\Gamma_{n,11}^{[K]},\qquad\mathcal U_n^{[K]}=\mathcal U_n-i\Gamma_{n,12}^{[K]}.
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
Из условия (5.21) следует, что скалярные потенциалы $x_n$ и $u_{n,1}$, $u_{n,2}$ преобразуются как
$$
\begin{equation}
x_n^{[K]}=x_n-i\Gamma_{n,11}^{[K]},\qquad u_{n,1}^{[K]}=u_{n,1}-i\Gamma_{n,13}^{[K]},\qquad u_{n,2}^{[K]}=u_{n,2}-i\Gamma_{n,14}^{[K]},
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
причем имеет место редукция
$$
\begin{equation}
\Gamma_{n,11}^{[K]}=\Gamma_{n,22}^{[K]},\qquad \Gamma_{n,13}^{[K]}=\Gamma_{n,24}^{[K]},\qquad \Gamma_{n,14}^{[K]}=-\Gamma_{n,23}^{[K]}.
\end{equation}
\tag{5.23}
$$
Соответствующее решение пары Лакса, в свою очередь, сводится к (5.2). Для данного случая уравнения пдКИ имеем
$$
\begin{equation}
\mathcal X_n=x_nI_{2\times 2},\qquad \mathcal U_n=\left(\begin{array}{c:c} \phantom{-}u_{n,1} & u_{n,2} \\ \hdashline -u_{n,2} & u_{n,1} \end{array}\right)
\end{equation}
\tag{5.24}
$$
и $\mathcal V_n=\mathcal U_n^{\mathrm T}$. Рассмотрим случай $K=1$. 5.2.1. Однопетлевое решение (случай $K=1$)Чтобы найти в явном виде петлевые решения, построим матрицу $\mathcal G_{n,k}$ для $M=2$ из собственных векторов-столбцов, удовлетворяющих паре Лакса (2.1) для заданных собственных значений, с помощью следующего предложения. Предложение 5. Пусть Для выбранных выше начальных решений пары Лакса (2.1), т. е. для $u_n=v_n=0$ и $x_{n+1}-x_n=\rho$, получаем частное матричное решение вида
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} g_{n,1}^{(11)} \\ g_{n,1}^{(21)} \\ g_{n,1}^{(31)} \\ g_{n,1}^{(41)} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sigma_{11}\epsilon(\lambda_1 )\\ \sigma_{21}\epsilon(\lambda_1) \\ \sigma_{31}\epsilon(-\lambda_1) \\ \sigma_{41}\epsilon(-\lambda_1) \end{pmatrix},\qquad \mathcal G_{n,1}=\begin{pmatrix} \alpha_{n,1} & \phantom{-}\beta_{n,1} & \phantom{-}\upsilon_{n,1} & \phantom{-}\pi_{n,1} \\ \beta_{n,1} & -\alpha_{n,1} & -\pi_{n,1} & \phantom{-}\upsilon_{n,1} \\ \upsilon_{n,1} & \phantom{-}\pi_{n,1} & -\alpha_{n,1} & -\beta_{n,1} \\ \pi_{n,1} & -\upsilon_{n,1} & \phantom{-}\beta_{n,1} & -\alpha_{n,1} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{5.26}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\alpha_{n,1}=\sigma_{11}f_n(\lambda_1),\quad \beta_{n,1}=\sigma_{21}f_n(\lambda_1),\quad \upsilon_{n,1}=\sigma_{31}f_n(-\lambda_1),\quad \pi_{n,1}=\sigma_{41}f_n(-\lambda_1),
\end{equation*}
\notag
$$
а $\sigma_{11}$, $\sigma_{21}$, $\sigma_{31}$, $\sigma_{41}$ – произвольные постоянные. Из (3.21) выводим $K$-кратное ПД решений двухкомпонентного уравнения пдКИ:
$$
\begin{equation}
u^{[K]}_{n,1}=-i(\Gamma^{[K]})_{13},\qquad u^{[K]}_{n,2}=-i(\Gamma^{[K]})_{14},\qquad x_n^{[K]}=x_n-i(\Gamma^{[K]})_{11}.
\end{equation}
\tag{5.27}
$$
В односолитонном случае $K=1$ мы имеем $\mathcal E^{(1)}=I_4$, $\mathcal Q_n=\mathcal G_{n,1}$ и $\widehat{\mathcal Q}_n=\mathcal G_{n,1}\Lambda_1^{-1}$. Подставляя (3.22) в (5.27), получаем явные выражения для $x_n^{[1]}$ и $u_{n,1}^{[1]}$, $u_{n,2}^{[1]}$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, x_n^{[1]}=x_n-i\lambda^{-1}_1\frac{\sigma_1\delta_{n,1}^{(+)}-\sigma_2\delta_{n,1}^{(-)}}{\sigma_1\delta_{n,1}^{(+)}+\sigma_2\delta_{n,1}^{(-)}}, \\ u_{n,1}^{[1]}=-2i\lambda^{-1}_1\sigma_3\frac{\xi_{n,1}}{\sigma_1\delta_{n,1}^{(+)}+\sigma_2\delta_{n,1}^{(-)}},\qquad u_{n,2}^{[1]}=2i\lambda^{-1}_1\sigma_4\frac{\xi_{n,1}}{\sigma_1\delta_{n,1}^{(+)}+\sigma_2\delta_{n,1}^{(-)}}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.28}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\sigma_1=\sigma_{11}^2+\sigma_{21}^2,\quad\sigma_2=\sigma_{31}^2+\sigma_{41}^2,\quad \sigma_3=\sigma_{11}\sigma_{31}+\sigma_{21}\sigma_{41},\quad \sigma_4=\sigma_{11}\sigma_{41}-\sigma_{21}\sigma_{31}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\delta_{n,1}^{(\pm)}=(1\pm i\lambda_1\rho)^{2n}e^{\mp iT/2\lambda_1},\qquad \xi_{n,1}=(1+i\lambda_1\rho)^n (1-i\lambda_1\rho)^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично матричное решение сопряженной пары Лакса задается как
$$
\begin{equation}
\mathcal H_{n,1}=\begin{pmatrix} \gamma_{n,1} & \phantom{-}\omega_{n,1} & \phantom{-}\vartheta_{n,1} & \phantom{-}\varrho_{n,1} \\ \omega_{n,1} & -\gamma_{n,1} & -\varrho_{n,1} & \phantom{-}\vartheta_{n,1}\\ \vartheta_{n,1} & \phantom{-}\varrho_{n,1} &-\gamma_{n,1} & -\omega_{n,1} \\ \varrho_{n,1} &-\vartheta_{n,1} & \phantom{-}\omega_{n,1} & -\gamma_{n,1} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{5.29}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\gamma_{n,1}=\sigma_{11}f_n(\zeta_1),\quad \omega_{n,1}=\sigma_{21}f_n(\zeta_1),\quad \vartheta_{n,1}=\sigma_{31}f_n(-\zeta_1),\quad \varrho_{n,1}=\sigma_{41}f_n(-\zeta_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда можно получить явные выражения для $x_n^{\unicode{8224}[1]}$ и $u_{n,1}^{\unicode{8224}[1]}$, $u_{n,2}^{\unicode{8224}[1]}$. Используем результаты (5.26) и (5.29) в (4.11) и выведем явное выражение для потенциала $\Delta_n(\mathcal G_{n,1},\mathcal H_{n,1})$:
$$
\begin{equation}
\Delta_n(\mathcal G_{n,1},\mathcal H_{n,1})=\begin{pmatrix} -\dfrac{\Sigma_{n,11}^{(+)}}{\zeta^{-1}_1+\lambda^{-1}_1} & \phantom{-}0 & -\dfrac{\sigma_5\Pi_{n,11}^{(-)}}{\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1} & -\dfrac{\sigma_6\Pi_{n,11}^{(-)}}{\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1} \\ \phantom{-}0 & -\dfrac{\Sigma^{(+)}_{n,11}}{\zeta^{-1}_1+\lambda^{-1}_1} & -\dfrac{\sigma_6\Pi_{n,11}^{(-)}}{\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1} & \phantom{-}\dfrac{\sigma_5\Pi_{n,11}^{(-)}}{\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1} \\ -\dfrac{\sigma_5\Pi_{n,11}^{(-)}}{\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1} & -\dfrac{\sigma_6\Pi^{(-)}_{n,11}}{\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1} & \phantom{-}\dfrac{\Sigma_{n,11}^{(+)}}{\zeta^{-1}_1+\lambda^{-1}_1} & \phantom{-}0 \\ -\dfrac{\sigma_6\Pi^{(-)}_{n,11}}{\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1} & \phantom{-}\dfrac{\sigma_5\Pi^{(-)}_{n,11}}{\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1} & \phantom{-}0 & \phantom{-}\dfrac{\Sigma_{n,11}^{(+)}}{\zeta^{-1}_1+\lambda^{-1}_1} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{5.30}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Sigma_{n,11}^{(\pm)}=\sigma_1\alpha_{n,1}\gamma_{n,1}\pm\sigma_2\beta_{n,1}\omega_{n,1},\qquad \Pi_{n,11}^{(\pm)}=\gamma_{n,1}\beta_{n,1}\pm\omega_{n,1}\alpha_{n,1}
\end{equation*}
\notag
$$
(здесь мы учли, что $\bar\zeta_1=-{\zeta}_1$) и $\sigma_5=\sigma_{11}\sigma_{31}-\sigma_{21}\sigma_{41}$ , $\sigma_6=\sigma_{11}\sigma_{41}+\sigma_{21}\sigma_{31}$. Теперь, используя соотношения (5.26), (5.28) и (5.30) в (4.28), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \hat x_n^{[1]}&=\hat x_n+ i\biggl(\frac{\Sigma_{n,1}^{(+)}\Sigma_{n,1}^{(-)}} {\zeta^{-1}_1+\lambda^{-1}_1}+(\sigma_5^2+ \sigma_4\sigma_6)\frac{\Pi_{n,1}^{(+)}\Pi_{n,1}^{(-)}}{\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1}\biggr), \\ \hat u_{n,1}^{[1]}&=-i\biggl(\frac{\sigma_5\Sigma_{n,11}^{\prime(-)}\Pi_{n,11}^{(-)}}{\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1}- \frac{\sigma_3\Sigma_{n,11}^{(+)}\Pi_{n,11}^{(+)}}{\zeta^{-1}_1+\lambda^{-1}_1}+ 2\frac{\sigma_6\Sigma_{n,11}^{\prime\prime(-)}\Pi_{n,11}^{(-)}}{\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1}\biggr), \\ \hat u_{n,2}^{[1]}&=-i\biggl(\frac{\sigma_6\Sigma_{n,11}^{\prime(+)}\Pi_{n,11}^{(-)}}{\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1}- \frac{\sigma_4\Sigma_{n,11}^{(+)}\Pi_{n,11}^{(+)}}{\zeta^{-1}_1+\lambda^{-1}_1}- 2\frac{\sigma_5\Sigma_{n,11}^{\prime\prime(+)}\Pi_{n,11}^{(-)}}{\zeta^{-1}_1-\lambda^{-1}_1}\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.31}
$$
а также
$$
\begin{equation*}
\Sigma_{n,11}^{\prime(\pm)}=\sigma_1'\alpha_{n,1}\gamma_{n,1}\pm\sigma_2'\beta_{n,1}\omega_{n,1},\qquad \Sigma_{n,11}^{\prime\prime(\pm)}= \sigma_7\alpha_{n,1}\gamma_{n,1}\pm\sigma_8\beta_{n,1}\omega_{n,1},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\sigma_1'=\sigma_{11}^2-\sigma_{21}^2,\quad \sigma_2'=\sigma_{31}^2-\sigma_{41}^2,\quad \sigma_7=\sigma_{11}\sigma_{21},\quad \sigma_8=\sigma_{31}\sigma_{41}.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, мы получили однопетлевое решение двухкомпонентного уравнения пдКИ. Помимо спектрального параметра $\lambda$, это решение определяется спектральным параметром $\zeta$. В частном случае $\lambda=\zeta$ мы получаем
$$
\begin{equation*}
\gamma_{n,1}=\alpha_{n,1},\quad \omega_{n,1}=\beta_{n,1},\quad \vartheta_{n,1}=\upsilon_{n,1}\quad \varrho_{n,1}=\pi_{n,1}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Pi_{n,11}^{(-)}=2\xi_{n,1},\qquad \Pi_{n,11}^{(-)}=0, \\ \Sigma_{n,11}^{(\pm)}=\sigma_1\delta_{n,1}^{(+)}\pm\sigma_2\delta_{n,1}^{(-)},\qquad \Sigma_{n,11}^{\prime(\pm)}=\sigma_1'\delta_{n,1}^{(+)}\pm\sigma_2'\delta_{n,1}^{(-)},\qquad \Sigma_{n,11}^{\prime\prime(\pm)}=\sigma_7\delta_{n,1}^{(+)}\pm\sigma_8\delta_{n,1}^{(-)}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Как результат, решения (5.31) вырождаются в решения, получающиеся путем обычного ПД. Такие редуцированные решения совпадают с найденными в [23] с помощью элементарного ПД. Графики решений (5.28) показаны на рис. 3. 6. Заключительные замечанияМы исследовали многокомпонентное обобщение уравнения пдКИ, которое является условием интегрируемости системы двух линейных дифференциально-разностных уравнений. Чтобы получить обобщенную формулировку задачи и найти многопетлевые решения, мы построили СБПД, используя элементарное ПД. Путем $K$-кратного СБПД мы вычислили квазидетерминантные многосолитонные решения для потенциала $\Delta_n(\mathcal G_n,\mathcal H_n)$ и многопетлевые решения, представленные как отношения обычных детерминантов. Применяя свойства квазидетерминантов, мы исследовали точные многопетлевые решения предложенной системы, называемые “граммианными решениями”. Полученные выражения позволили нам найти нетривиальные решения системы высшего порядка для случаев $M=1$ и $M=2$. На рис. 1–3 представлены профили некоторых аналитических решений. В результате исследования было обнаружено, что граммианные решения являются солитонными решениями как в сопряженном (дуальном) пространстве, так и в прямом пространстве, и поэтому они характеризуются двумя спектральными параметрами. Кроме того, при равенстве спектральных параметров граммианные решения сводятся к решениям, получающимся с помощью элементарного ПД. Уравнение КИ рассматривается как математическая модель, описывающая распространение сверхкоротких импульсов в нелинейной среде. Таким образом, найденные нами решения могут найти свое применение в оптике и фотонике. С использованием аналогичной процедуры можно исследовать полудискретные и дискретные версии различных интегрируемых систем и искать их аналитические решения. Кроме того, полудискретный аналог многокомпонентного уравнения пдКИ, описанный в представленной работе, может служить основой для методов численного интегрирования, таких как метод самоадаптивных подвижных сеток. В будущем мы планируем исследовать с помощью СБПД петлевую динамику полностью дискретных уравнений КИ. БлагодарностиИсследовательское оборудование, использованное для этой работы, было предоставлено физическим факультетом Университета Пенджаба, Лахор, Пакистан. Авторы глубоко признательны за эту поддержку. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{InaUl 24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|