| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Нелокальные симметрии двух двухкомпонентных уравнений типа уравнения Камассы–Холма Цзы-Ци Ли, Кай Тянь Department of Mathematics, China University of Mining and Technology, Beijing, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 220, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924090046 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеПоследние три десятилетия интенсивно изучаются интегрируемые уравнения типа уравнения Камассы–Холма (КХ), при этом выявлены интересные свойства этих уравнений в различных проявлениях. Само уравнение КХ было получено из физической системы уравнений, описывающей волны на воде [1], [2], а также появляется как уравнение геодезического потока для $H^1$-правоинвариантных метрик на группе Ботта–Вирасоро [3], [4]. Его интегрируемость была доказана с геометрической точки зрения на основе $\mathfrak{sl}(2)$-значной линейной спектральной задачи [5]. Такие уравнения имеют бесконечно много локальных и/или нелокальных (инфинитезимальных) симметрий, которые представляют собой эффективный инструмент для выявления сложных свойств этих уравнений. Было показано, что уравнение КХ, а также модифицированное уравнение КХ допускают зависящие от псевдопотенциалов нелокальные инфинитезимальные симметрии, которые тесно связаны с линейными спектральными задачами [6]–[8]. Кроме того, были получены преобразования симметрии в конечном виде путем интегрирования указанных нелокальных инфинитезимальных симметрий; такие преобразования приводят к нетривиальным решениям и преобразованиям Беклунда и Дарбу для обоих уравнений [9], [10]. В настоящей работе обсуждаются двухкомпонентные уравнения типа КХ с помощью метода, основанного на нелокальных симметриях. Собственные функции линейной спектральной задачи играют роль псевдопотенциалов [11], мы построим выраженные через них нелокальные инфинитезимальные симметрии. Рассматриваемое нами двухкомпонентное уравнение КХ (2-КХ) имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, m_t&=-um_x-2u_xm+\sigma\rho\rho_x,\qquad m=u-u_{xx}, \\ \rho_t&=-(\rho u)_x, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $u=u(x,t)$, $\rho=\rho(x,t)$, параметр $\sigma=\pm 1$ и нижние индексы означают частные производные по соответствующим независимым переменным. Известно, что уравнение (1) происходит из теории волн на мелкой воде, у него есть линейная спектральная задача, а также бигамильтонова структура [12]. Если $\rho=0$, уравнение (1) сводится к уравнению КХ (с $\kappa=0$), т. е. Впервые уравнение (1) в случае $\sigma=-1$ было предложено как тригамильтонова система, дуальная к уравнению Ито [13], а уравнение для случая $\sigma=1$ было построено в теории деформации бигамильтоновой структуры гидродинамического типа [14], а также получено бигамильтоновым методом [15]. Были построены некоторые типы решений уравнения (1) (при фиксированном параметре $\sigma$, равном $1$ или $-1$) с помощью различных методов, например с использованием взаимосвязи между уравнением (1) с $\sigma=1$ и первым отрицательным потоком иерархии Абловица–Каупа–Ньюэлла–Сигура [14], [16], методом обратной задачи рассеяния [17], билинейным методом [18], с помощью преобразований Дарбу [19] и Беклунда [20], [21] и т. д. Другим уравнением, которое мы рассматриваем, является двухкомпонентное обобщение модифицированного уравнения КХ вида [22]
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} m_t&=(mqr)_x,&\qquad m&=q-q_x, \\ n_t&=(nqr)_x,&\qquad n&=-r-r_x, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $q=q(x,t)$ и $r=r(x,t)$. Если $q=u_x+u$ и $r=-u_x+u$, то $n=-m=-(u-u_{xx})$ и уравнение (3) сводится к модифицированному уравнению КХ [13], [23] В рамках тригамильтоновой дуальности уравнение (3) было получено как система, дуальная к иерархии Вадати–Конно–Ишикавы [22]. Если ввести $q=u_x+u$ и $r=v_x-v$, то уравнение (3) можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} m_t&=[m(u_xv_x-u_xv+uv_x-uv)]_x, &\qquad m&=u-u_{xx}, \\ n_t&=[n(u_xv_x-u_xv+uv_x-uv)]_x, &\qquad n&=v-v_{xx}, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{5}
$$
впервые полученном в работе [24], где также была показана его интегрируемость и представлены линейная спектральная задача и бесконечный набор сохраняющихся величин. Путем анализа спектральной и обратной спектральной задач уравнения (5) показано существование у него переплетающихся пиконов [25]. Уравнение 2-КХ (1) является изоспектральным потоком, полученным из его линейной спектральной задачи, при этом спектральный параметр рассматривается как сохраняющаяся величина (функционал). То же самое утверждение справедливо для уравнения (3). Гамильтонов оператор для любой гамильтоновой системы переводит функциональные градиенты сохраняющихся величин в инфинитезимальные симметрии. Этот механизм применим также и к спектральным параметрам и порождает нелокальные инфинитезимальные симметрии, выраженные через собственные функции линейных спектральных задач. Таким способом для некоторых суперинтегрируемых уравнений были построены нелокальные инфинитезимальные симметрии, квадратично зависящие от собственных функций линейных спектральных задач [26]. Основную информацию по нелокальным симметриям дифференциальных уравнений можно найти в работе [27] (см. также приведенную там литературу). Статья имеет следующую структуру. В разделе 2 вычислены функциональные градиенты спектральных параметров для уравнения 2-КХ (1) и уравнения (3) и отображены с помощью гамильтоновых операторов в нелокальные инфинитезимальные симметрии. Кроме того, эти симметрии сводятся к некоторым квадратичным зависимостям от собственных функций линейных спектральных задач. В разделе 3 путем введения для каждого случая соответствующего псевдопотенциала нелокальные инфинитезимальные симметрии продолжены на линейные спектральные задачи и уравнения, управляющие псевдопотенциалами, а затем явно проинтегрированы с порождением преобразований симметрии в конечном виде для расширенных систем. С помощью этих конечных преобразований симметрии из тривиальных решений получены некоторые нетривиальные. В разделе 4 из конечных преобразований симметрии, полученных в разделе 3, выведены преобразования Беклунда для уравнения 2-КХ (1) и уравнения (3). Выводы и обсуждения приводятся в разделе 5. 2. Нелокальные инфинитезимальные симметрииМы проведем подробный вывод нелокальных инфинитезимальных симметрий уравнения 2-КХ (1) на основе бигамильтоновых структур и линейной спектральной задачи. Параллельно кратко изложим соответствующие результаты для уравнения (3). 2.1. Случай уравнения 2-КХ (1)Уравнение 2-КХ (1) можно представить как гамильтонову систему двумя способами [12]–[15]:
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} m_t \\ \rho_t \end{pmatrix}=\mathcal B_1\begin{pmatrix} \delta_m \\ \delta_\rho \end{pmatrix}\frac{1}{2}\int u(-u_x^2-u^2+\sigma\rho^2)\,dx=\mathcal B_2\begin{pmatrix} \delta_m \\ \delta_\rho \end{pmatrix}\frac{1}{2}\int(2mu-\sigma\rho^2)\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
где пара совместных гамильтоновых операторов $\mathcal B_1$ и $\mathcal B_2$ задана в виде
$$
\begin{equation}
\mathcal B_1=\begin{pmatrix} \partial_x-\partial^3_x &0 \\ 0 &-\sigma\,\partial_x \end{pmatrix},\qquad \mathcal B_2=\begin{pmatrix} -m\,\partial_x-\partial_xm &-\rho \partial_x \\ -\partial_x\rho &0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{6}
$$
У этого уравнения есть линейная спектральная задача (со спектральным параметром $\lambda$) [12], [14], [28]
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} f \\ g \end{pmatrix}_x =\mathbb L\begin{pmatrix} f \\ g \end{pmatrix}, \qquad \mathbb L \equiv\begin{pmatrix} 0 &1 \\ \dfrac{1}{4}-\lambda m+\lambda^2\sigma\rho^2 &0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{7a}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} f \\ g \end{pmatrix}_t =\mathbb M\begin{pmatrix} f \\ g \end{pmatrix}, \qquad \mathbb M \equiv\begin{pmatrix} \dfrac{u_x}{2} &- \dfrac{1}{2\lambda}-u \\ -\dfrac{1}{8\lambda}+u\biggl(\dfrac{1}{4}+\lambda m-\lambda^2\sigma\rho^2\biggr) -\dfrac{\lambda}{2}\sigma\rho^2 &-\dfrac{u_x}{2} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{7b}
$$
При выполнении изоспектрального предположения о том, что спектральный параметр $\lambda$ не зависит от $x$ и $t$, уравнения (7a) и (7b) становятся совместны, т. е. уравнение нулевой кривизны тождественно выполняется для произвольного параметра $\lambda$ тогда и только тогда, когда $(m,\rho)$ является решением уравнения 2-КХ (1). Для вычисления функционального градиента параметра $\lambda$ нужна также сопряженная спектральная задача
$$
\begin{equation}
\bigl(\begin{matrix} \hat f &\hat g \end{matrix}\bigr)_x =-\bigl(\begin{matrix} \hat f &\hat g \end{matrix}\bigr)\mathbb L,
\end{equation}
\tag{9a}
$$
$$
\begin{equation}
\bigl(\begin{matrix} \hat f &\hat g \end{matrix}\bigr)_t =-\bigl(\begin{matrix} \hat f &\hat g \end{matrix}\bigr)\mathbb M.
\end{equation}
\tag{9b}
$$
Условием совместности уравнений (9a) и (9b) по-прежнему является уравнение нулевой кривизны (8). Между линейной спектральной задачей (7a), (7b) и сопряженной ей задачей (9a), (9b) существует интересная связь, которую сформулируем следующим образом. Лемма 1. Если пара функций $(f,g)^{\mathrm T}$ является решением спектральной задачи (7a), (7b), то пара $(-g,f)$ удовлетворяет сопряженной спектральной задаче (9a), (9b). Вычислим сначала вариационную производную спектрального параметра $\lambda$ по $m$. Вводя произвольное малое возмущение $m+\varepsilon\Delta m$, из (7a) получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \begin{pmatrix} f_\ast[\Delta m] \\ g_\ast[\Delta m] \end{pmatrix}_x&=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ \displaystyle\frac{1}{4}-\lambda m+\lambda^2\sigma\rho^2 &0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} f_\ast[\Delta m] \\ g_\ast[\Delta m] \end{pmatrix}+{} \notag \\ &\qquad{}+\begin{pmatrix} 0 &0 \\ -\lambda\Delta m-(m-2\lambda\sigma\rho^2)\langle\Delta m,\delta_m\lambda\rangle &0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} f \\ g \end{pmatrix}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10}
$$
где $f_\ast[\Delta m]$ и $g_\ast[\Delta m]$ означают производные по направлению функции $f$ и $g$ соответственно, а спаривание $\langle\Delta m,\delta_m\lambda\rangle$ определяется как
$$
\begin{equation*}
\langle\Delta m,\delta_m\lambda\rangle\equiv\int\Delta m(\delta_m\lambda)\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Умножая слева обе части уравнения (10) на $(\hat f,\hat g)$ и интегрируя по $x$, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int\bigl(\begin{matrix} \hat f &\hat g \end{matrix}\bigr)\begin{pmatrix} f_\ast[\Delta m] \\ g_\ast[\Delta m] \end{pmatrix}_x\,dx=\int\bigl(\begin{matrix} \hat f &\hat g \end{matrix}\bigr)\begin{pmatrix} 0 &1 \\ \displaystyle\frac{1}{4}-\lambda m+\lambda^2\sigma\rho^2 &0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} f_\ast[\Delta m] \\ g_\ast[\Delta m] \end{pmatrix}\,dx+{} \notag \\ &\qquad{}+\int\bigl(\begin{matrix} \hat f &\hat g \end{matrix}\bigr)\begin{pmatrix} 0 &0 \\ -\lambda\Delta m-(m-2\lambda\sigma\rho^2)\langle\Delta m,\delta_m\lambda\rangle &0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} f \\ g \end{pmatrix}\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11}
$$
Интегрируя левую часть уравнения (11) по частям с нулевыми граничными условиями и учитывая (9a), получим
$$
\begin{equation*}
\int\bigl(\begin{matrix} \hat f &\hat g \end{matrix}\bigr)\begin{pmatrix} 0 &0 \\ -\lambda\Delta m-(m-2\lambda\sigma\rho^2)\langle\Delta m,\delta_m\lambda\rangle &0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} f \\ g \end{pmatrix}\,dx=0,
\end{equation*}
\notag
$$
или равнозначное уравнение
$$
\begin{equation}
-\langle\Delta m,\delta_m\lambda\rangle\int(m-2\lambda\sigma\rho^2)f\hat g\,dx -\int\lambda\Delta m f\hat g\,dx=0.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Поскольку возмущение $\Delta m$ произвольно, согласно (12) вариационная производная спектрального параметра $\lambda$ по $m$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\delta_m\lambda=-\lambda f\hat g\biggl[\int(m-2\lambda\sigma\rho^2)f\hat g\,dx\biggr]^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично получим вариационную производную спектрального параметра $\lambda$ по $\rho$:
$$
\begin{equation*}
\delta_\rho\lambda=2\lambda^2\sigma\rho f\hat g\biggl[\int(m-2\lambda\sigma\rho^2)f\hat g\,dx\biggr]^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, доказана следующая лемма. Лемма 2. Функциональный градиент спектрального параметра $\lambda$ для линейной спектральной задачи (7a), (7b) вместе с сопряженной задачей (9a), (9b) имеет вид Замечание 1. Функциональный градиент спектрального параметра $\lambda$ будет использован для получения нелокальных инфинитезимальных симметрий. Для этой цели не важен множитель $-[\int(m-2\lambda\sigma\rho^2)f\hat g\,dx]^{-1}$ в (13), поэтому он отбрасывается. Применяя гамильтонов оператор $\mathcal B_1$ (см. (6)) к функциональному градиенту параметра $\lambda$ и упрощая результат с помощью (7a) и (9a), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \begin{pmatrix} \Omega^m \\ \Omega^\rho \end{pmatrix} &\equiv\mathcal B_1\begin{pmatrix} \lambda f\hat g \\ -2\lambda^2\sigma\rho f\hat g \end{pmatrix}\biggr|_{(7a),\,(9a)}= \notag \\ &=\begin{pmatrix} 4\lambda^2(m-\lambda\sigma\rho^2)(g\hat g-f\hat f) -4\lambda^3\sigma\rho\rho_xf\hat g+2\lambda^2m_xf\hat g \\ 2\lambda^2\rho(g\hat g-f\hat f)+2\lambda^2\rho_x f\hat g \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
В то же время гамильтонов оператор $\mathcal B_2$ (см. (6)) отображает функциональный градиент параметра $\lambda$ согласно формуле
$$
\begin{equation*}
\mathcal B_2\begin{pmatrix} \lambda f\hat g \\ -2\lambda^2\sigma\rho f\hat g \end{pmatrix}\biggr|_{(7a),(9a)}=-\frac{1}{2\lambda}\begin{pmatrix} \Omega^m \\ \Omega^\rho \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что уравнение 2-КХ (1) инвариантно (с точностью до первой степени по $\varepsilon$) относительно инфинитезимального преобразования
$$
\begin{equation}
u\mapsto u+\varepsilon\Omega^u,\qquad m\mapsto m+\varepsilon\Omega^m,\qquad \rho\mapsto\rho+\varepsilon\Omega^\rho,
\end{equation}
\tag{15}
$$
где $\Omega^m$ и $\Omega^\rho$ определены в (14). В силу соотношения $m=u-u_{xx}$ в уравнении 2-КХ (1) должно выполняться условие $\Omega^m\equiv(\partial_x-\partial_x^3)(\lambda f\hat g)=\Omega^u-\Omega^u_{xx}$. Поэтому возьмем
$$
\begin{equation}
\Omega^u\equiv\partial_x(\lambda f\hat g)|_{(7a),(9a)} =\lambda(g\hat g-f\hat f).
\end{equation}
\tag{16}
$$
Прямыми вычислениями доказано следующее утверждение. Предложение 1. Уравнение 2-КХ (1) инвариантно (с точностью до первой степени по $\varepsilon$) относительно инфинитезимального преобразования (15), где $\Omega^u$, $\Omega^m$ и $\Omega^\rho$ заданы выражениями (16), (14). Другими словами, функции $(\Omega^u,\Omega^m,\Omega^\rho)$, заданные выражениями (16), (14), представляют собой инфинитезимальную симметрию уравнения 2-КХ (1). Согласно лемме 1 и полагая $(\hat f,\hat g)=(-g,f)$ в (16), (14), из предложения 1 получим редуцированную нелокальную инфинитезимальную симметрию уравнения 2-КХ (1). Следствие 1. Уравнение 2-КХ (1) инвариантно (с точностью до первой степени по $\varepsilon$) относительно инфинитезимального преобразования Нелокальная инфинитезимальная симметрия (17) будет расширена (см. (28)) и затем проинтегрирована с получением однопараметрического преобразования симметрии (30), которое отображает уравнение 2-КХ (1) в (32), т. е. в уравнение 2-КХ в новых переменных $(\tilde x,\tilde t,\tilde u,\tilde m,\tilde\rho)$. 2.2. Случай уравнения (3)Тем же способом строятся нелокальные инфинитезимальные симметрии для уравнения (3). Мы опустим некоторые вычислительные подробности и сформулируем ключевые выводы. Уравнение (3) является бигамильтоновой системой [22], т. е.
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} m_t \\ n_t \end{pmatrix}=\mathcal D_1\begin{pmatrix} \delta_m \\ \delta_n \end{pmatrix}\int mq r^2\,dx=\mathcal D_2\begin{pmatrix} \delta_m \\ \delta_n \end{pmatrix}\int mr\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
где два совместных гамильтонова оператора $\mathcal D_1$ и $\mathcal D_2$ имеют вид
$$
\begin{equation}
\mathcal D_1=\begin{pmatrix} 0 &\partial_x^2-\partial_x \\ -\partial_x^2-\partial_x &0 \end{pmatrix},\qquad \mathcal D_2=\begin{pmatrix} \partial_xm\,\partial^{-1}_xm\,\partial_x &\partial_xm\,\partial^{-1}_xn\,\partial_x \\ \partial_xn\,\partial^{-1}_xm\,\partial_x &\partial_xn\,\partial^{-1}_xn\,\partial_x \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Для уравнения (3) [22], [24] существует линейная спектральная задача со спектральным параметром $z$:
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} f \\ g \end{pmatrix}_x =\mathbb F\begin{pmatrix} f \\ g \end{pmatrix}, \qquad \mathbb F \equiv\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} &zm \\ zn &-\dfrac{1}{2} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{19a}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} f \\ g \end{pmatrix}_t =\mathbb G\begin{pmatrix} f \\ g \end{pmatrix}, \qquad \mathbb G \equiv\begin{pmatrix} \dfrac{1}{4z^2}+\dfrac{1}{2}qr & \dfrac{q}{2z}+zmqr \\ -\dfrac{r}{2z}+znqr &-\dfrac{1}{4z^2}-\dfrac{1}{2}qr\vphantom{\Biggr\}} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{19b}
$$
Соответствующим образом формулируется сопряженная спектральная задача
$$
\begin{equation}
\bigl(\begin{matrix} \hat f &\hat g \end{matrix}\bigr)_x =-\bigl(\begin{matrix} \hat f &\hat g \end{matrix}\bigr)\mathbb F,
\end{equation}
\tag{20a}
$$
$$
\begin{equation}
\bigl(\begin{matrix} \hat f &\hat g \end{matrix}\bigr)_t =-\bigl(\begin{matrix} \hat f &\hat g \end{matrix}\bigr)\mathbb G.
\end{equation}
\tag{20b}
$$
Вычисляя вариационные производные спектрального параметра $z$ по $m$ и $n$, получим функциональный градиент параметра $z$
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \delta_mz \\ \delta_nz \end{pmatrix}=-z\biggl[\int(mg\hat f+nf\hat g)\,dx\biggr]^{-1}\begin{pmatrix} g\hat f \\ f\hat g \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Применяя гамильтонов оператор $\mathcal D_1$ (см. (18)) к функциональному градиенту параметра $z$ (без множителя $-z[\int(mg\hat f+nf\hat g)\,dx]^{-1}$) и упрощая выражения с учетом (19a) и (20a), получим
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \Omega^m \\ \Omega^n \end{pmatrix}\equiv\mathcal D_1\begin{pmatrix} g\hat f \\ f\hat g \end{pmatrix}\biggr|_{(19a),(20a)}=\begin{pmatrix} 2z^2m(nf\hat g-mg\hat f)-zm_x(f\hat f-g\hat g) \\ 2z^2n(nf\hat g-mg\hat f)-zn_x(f\hat f-g\hat g) \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Из соотношений $m=q-q_x$ и $n=-r-r_x$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\Omega^m\equiv-(\partial_x-\partial_x^2)(f\hat g) =\Omega^q-\Omega^q_{\,x},\qquad \Omega^n\equiv(-\partial_x-\partial_x^2)(g\hat f) =-\Omega^r-\Omega^r_{\,x}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому разумно положить
$$
\begin{equation}
\Omega^q \equiv-\partial_x(f\hat g)|_{(19a),(20a)} =zm(f\hat f-g\hat g)-f\hat g,
\end{equation}
\tag{23}
$$
$$
\begin{equation}
\Omega^r \equiv\partial_x(g\hat f)|_{(19a),(20a)} =zn(f\hat f-g\hat g)-g\hat f.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Предложение 2. Уравнение (3) инвариантно (с точностью до первой степени по $\varepsilon$) относительно инфинитезимального преобразования Можно убедиться, что любому заданному решению $(f,g)^{\mathrm T}$ линейной спектральной задачи (19a), (19b) соответствует пара функций $(-g,f)$, удовлетворяющая сопряженной спектральной задаче (20a), (20b). Поэтому инфинитезимальную симметрию (25) можно редуцировать. Следствие 2. Уравнение (3) инвариантно (с точностью до первой степени по $\varepsilon$) относительно инфинитезимального преобразования Замечание 2. Как упоминалось в разделе 1, уравнение (3) можно преобразовать в уравнение (5), переопределив $q=u_x+u$ и $r=v_x-v$. Но в настоящий момент непонятно, как можно продолжить инфинитезимальные преобразования (25) или (26) на $u$ и $v$. Для построения нелокальных симметрий уравнения (5) нужно воспользоваться другими методами. 3. Конечные преобразования симметрииПродолжим нелокальные инфинитезимальные симметрии (см. следствия 1 и 2 в разделе 2) на расширенные системы, связанные с уравнением 2-КХ (1) и с уравнением (3), а затем проинтегрируем их и получим преобразования симметрии в конечной форме для расширенных систем. Кроме того, мы построим нетривиальные решения для обоих уравнений. 3.1. Случай уравнения 2-КХ (1)Наряду с уравнением 2-КХ (1) и его линейной спектральной задачей (7a), (7b) введем систему первого порядка
$$
\begin{equation}
p_t =\lambda^3u(m-2\lambda\sigma\rho^2)f^2 +\frac{\lambda}{8}(1-4\lambda^2\sigma\rho^2)f^2-\frac{\lambda}{2}g^2.
\end{equation}
\tag{27b}
$$
Действительно, имеем условие
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\partial^2 p}{\partial t\,\partial x} -\frac{\partial p}{\partial x\,\partial t} &=-\lambda^3f^2(m_t+um_x+2u_xm-\sigma\rho\rho_x) +4\lambda^4f^2\sigma\rho(\rho_t+(\rho u)_x)-{} \\ &\qquad{}-\lambda\biggl(\frac{1}{4}+2\lambda^2um -\lambda^2(1+4\lambda u)\sigma\rho^2\biggr)f(f_x-g)+{} \\ &\qquad{}+\lambda g\biggl(g_x -\biggl(\frac{1}{4}-\lambda m+\lambda^2\sigma\rho^2\biggr)f\biggr)-{} \\ &\qquad{}-2\lambda^3(m-2\lambda\sigma\rho^2)f \biggl(f_t-\frac{u_x}{2}f+\biggl(\frac{1}{2\lambda}+u\biggr)g\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, уравнения (27a) и (27b) совместны тогда и только тогда, когда справедливо уравнение 2-КХ (1) и его линейная спектральная задача (7a), (7b). Таким образом, система (27a), (27b) вводит новый псевдопотенциал $p$. Рассмотрим расширенную систему, состоящую из уравнений (1), (7a), (7b) и (27a), (27b), в которую входят зависимые переменные $u$, $m$, $\rho$, $f$, $g$ и $p$. Продолжая нелокальную инфинитезимальную симметрию (17) (см. следствие 1) на расширенную систему, получим инфинитезимальную симметрию расширенной системы, выраженную через эволюционное векторное поле
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\lambda fg\,\frac{\partial}{\partial u} +\lambda\biggl(\biggl(\frac{1}{4}-\lambda m+\lambda^2\sigma\rho^2\biggr)f^2+g^2\biggr) \frac{\partial}{\partial u_x} +\lambda^2(2\rho fg+\rho_xf^2)\frac{\partial}{\partial\rho}+{} \notag \\ &\qquad{}+\lambda^2\biggl(2\rho\biggl(\frac{1}{4}-\lambda m+\lambda^2\sigma\rho^2\biggr)f^2 +2(\rho g+2\rho_xf)g+\rho_{xx}f^2\biggr)\frac{\partial}{\partial\rho_x}+{} \notag \\ &\qquad{}+\lambda^2(4(m-\lambda\sigma\rho^2)fg -2\lambda\sigma\rho\rho_xf^2+m_xf^2)\frac{\partial}{\partial m} +fp\frac{\partial}{\partial f}+{} \notag \\ &\qquad{}+(gp-\lambda^3(m-2\lambda\sigma\rho^2)f^3) \frac{\partial}{\partial g} +(p^2+\lambda^6\sigma\rho^2f^4+\lambda^2p_xf^2)\frac{\partial}{\partial p}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{28}
$$
которое эквивалентно неэволюционному векторному полю
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbf V&=-\lambda^2f^2\,\frac{\partial}{\partial x}+(\lambda fg-\lambda^2u_x f^2) \frac{\partial}{\partial u} +\lambda\biggl(\biggl(\frac{1}{4}-\lambda u+\lambda^2\sigma\rho^2\biggr)f^2 +g^2\biggr)\frac{\partial}{\partial u_x}+{} \notag \\ &\qquad+2\lambda^2\rho fg\,\frac{\partial}{\partial\rho} +\lambda^2\biggl(2\rho\biggl(\frac{1}{4}-\lambda m+\lambda^2\sigma\rho^2\biggr)f^2 +2(\rho g+2\rho_xf)g\biggr)\frac{\partial}{\partial\rho_x}+{} \notag \\ &\qquad{}+\lambda^2(4(m-\lambda\sigma\rho^2)fg -2\lambda\sigma\rho\rho_xf^2)\frac{\partial}{\partial m} +(fp-\lambda^2f^2g)\frac{\partial}{\partial f}+{} \notag \\ &\qquad{}+\biggl(gp-\lambda^2\biggl(\frac{1}{4}-\lambda^2\sigma\rho^2\biggr)f^3\biggr) \frac{\partial}{\partial g}+(p^2+\lambda^6\sigma\rho^2f^4)\frac{\partial}{\partial p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
$$
Заметим, что $\mathbf V$ нужно понимать как векторное поле в пространстве с координатами $(x,t,u,u_x,m,\rho,\rho_x,f,g,p)$, где $u_x$ и $\rho_x$ играют ту же роль, что и другие зависимые переменные. Векторное поле $\mathbf V$, заданное выражением (29), порождает однопараметрическую группу симметрий расширенной системы (1), (7a), (7b), (27a), (27b)
$$
\begin{equation}
(\tilde x,\tilde t,\tilde u,\tilde m,\tilde\rho, \tilde f,\tilde g,\tilde p) \equiv\exp(\varepsilon\mathbf V)(x,t,u,m,\rho,f,g,p),
\end{equation}
\tag{30}
$$
которую можно описать в явном виде:
$$
\begin{equation}
\tilde x =x+\ln\biggl|\frac{2(1-\varepsilon p+\varepsilon\lambda^2fg)-\varepsilon\lambda^2f^2} {2(1-\varepsilon p+\varepsilon\lambda^2fg)+\varepsilon\lambda^2f^2}\biggr|,\qquad \tilde t=t,
\end{equation}
\tag{31a}
$$
$$
\begin{equation}
\tilde u =\frac{u[4(1-\varepsilon p+\varepsilon\lambda^2fg)^2+\varepsilon^2\lambda^4f^4] -4\varepsilon\lambda(\lambda u_xf^2-fg)(1-\varepsilon p+\varepsilon\lambda^2fg)-\varepsilon^2\lambda^3f^4} {4(1-\varepsilon p+\varepsilon\lambda^2fg)^2-\varepsilon^2\lambda^4f^4},
\end{equation}
\tag{31b}
$$
$$
\begin{equation}
\tilde m =\frac{[4(1-\varepsilon p+\varepsilon\lambda^2fg)^2-\varepsilon^2\lambda^4 f^4]^2} {16[(1-\varepsilon p)^2-\varepsilon^2\lambda^6\sigma\rho^2f^4]^2} \biggl[m\frac{(1-\varepsilon p)^2+\varepsilon^2\lambda^6\sigma\rho^2f^4} {(1-\varepsilon p)^2-\varepsilon^2\lambda^6\sigma\rho^2f^4}-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad{}-\frac{2\varepsilon\lambda^3\sigma(\rho\rho_xf^2+2\rho^2fg)(1-\varepsilon p) +4\varepsilon^2\lambda^7\sigma^2\rho^4f^4}{(1-\varepsilon p)^2-\varepsilon^2\lambda^6\sigma\rho^2f^4}\biggr],
\end{equation}
\tag{31c}
$$
$$
\begin{equation}
\tilde\rho =\frac{\rho[4(1-\varepsilon p+\varepsilon\lambda^2fg)^2-\varepsilon^2\lambda^4 f^4]} {4[(1-\varepsilon p)^2-\varepsilon^2\lambda^6\sigma\rho^2f^4]},
\end{equation}
\tag{31d}
$$
$$
\begin{equation}
\tilde{f} =\frac{2f}{\sqrt{4(1-\varepsilon p+\varepsilon\lambda^2fg)^2-\varepsilon^2\lambda^4 f^4}}, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\tilde g =\frac{4g[(1-\varepsilon p)^2+\varepsilon^2\lambda^6\sigma\rho^2f^4] -\varepsilon\lambda^2f(1-\varepsilon p)(f^2-4g^2-4\lambda^2\sigma\rho^2 f^2)} {2[(1-\varepsilon p)^2-\varepsilon^2\lambda^6\sigma\rho^2f^4] \sqrt{4(1-\varepsilon p+\varepsilon\lambda^2fg)^2-\varepsilon^2\lambda^4f^4}}, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\tilde p =\frac{p(1-\varepsilon p)+\varepsilon\lambda^6\sigma\rho^2f^4} {(1-\varepsilon p)^2-\varepsilon^2\lambda^6\sigma\rho^2 f^4}. \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
С помощью прямых, но трудоемких вычислений можно показать, что расширенная система (1), (7a), (7b), (27a), (27b) инвариантна относительно преобразования (30). Другими словами, если переменные $(x,t,u,m,\rho,f,g,p)$ удовлетворяют расширенной системе (1), (7a), (7b), (27a), (27b), то переменные $(\tilde x,\tilde t,\tilde u,\tilde m,\tilde\rho, \tilde f,\tilde g,\tilde p)$, заданные формулой (30), удовлетворяют той же системе (с заменой $(x,t,u,m,\rho,f,g,p)$ на $(\tilde x,\tilde t,\tilde u,\tilde m, \tilde\rho,\tilde f,\tilde g,\tilde p)$ в расширенной системе). В частности, как часть расширенной системы, в нее входит уравнение 2-КХ, записанное в новых переменных $(\tilde x,\tilde t,\tilde u,\tilde m,\tilde\rho)$, заданных выражениями (31a)–(31d), т. е.
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tilde m_{\tilde t}&=-\tilde u\tilde m_{\tilde x} -2\tilde u_{\tilde x}\tilde m +\sigma\tilde\rho\tilde\rho_{\tilde x},\qquad \tilde m=\tilde u-\tilde u_{\tilde x\tilde x}, \\ \tilde\rho_{\tilde t}&=-(\tilde\rho\tilde u)_{\tilde x}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{32}
$$
Имея конечные преобразования симметрии (30), можно построить нетривиальные решения уравнения 2-КХ (1). Например, зададим тривиальное решение $(u,m,\rho)=(u_0,u_0,\rho_0)$ уравнения 2-КХ (1), где $u_0$ и $\rho_0$ считаются постоянными, такими что
$$
\begin{equation*}
u_0^2>\sigma\rho_0^2\qquad \text{и}\qquad \frac{1}{4}-\lambda u_0+\lambda^2\sigma\rho_0^2>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда получим частное решение системы (7a), (7b) (при $(u,m,\rho)=(u_0,u_0,\rho_0)$)
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} f \\ g \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ k \end{pmatrix}\exp\biggl(k\biggl[x-\biggl(\frac{1}{2\lambda}+u_0\biggr)t\biggr]\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и соответствующее решение системы (27a), (27b)
$$
\begin{equation*}
p=\frac{\lambda^3}{2k}(\lambda\sigma\rho_0^2-u_0) \exp\biggl(2k\biggl[x-\biggl(\frac{1}{2\lambda}+u_0\biggr)t\biggr]\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $k=\sqrt{(1/4)-\lambda u_0+\lambda^2\sigma\rho_0^2}$ (обычный положительный квадратный корень). Подстановка полученных выражений в (31a)–(31d) приводит к нетривиальному решению уравнения 2-КХ (1), представленному в параметрическом виде:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \tilde x&=x+\ln|1-2\lambda u_0-2k\Xi|-\ln|1-2\lambda u_0+2k|,\qquad \tilde t=t, \\ \tilde u&=\frac{1+2\lambda u_0+2k\Xi}{4\lambda} -\frac{\lambda(u_0^2-\sigma\rho_0^2)}{1-2\lambda u_0-2k\Xi}, \\ \tilde m&=\frac{1}{((1+2\lambda u_0-2k\Xi)/2+2\lambda^2(u_0^2-\sigma\rho_0^2)/(1-2\lambda u_0-2k\Xi))^2}\times{} \\ &\qquad\times{}\biggl[u_0-3\lambda\sigma\rho_0^2 +8\lambda\sigma\rho_0^2\biggl(\frac{2\lambda^2(u_0^2-\sigma\rho_0^2)}{2k\Xi+2\lambda u_0-1} +k\Xi-\lambda u_0\biggr)\biggr], \\ \tilde\rho&=\frac{\rho_0}{(1+2\lambda u_0-2k\Xi)/2 +2\lambda^2(u_0^2-\sigma\rho_0^2)/(1-2\lambda u_0-2k\Xi)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Xi\equiv\begin{cases} \operatorname{th}\biggl(k\biggl[x-\biggl(\dfrac{1}{2\lambda}+u_0\biggr)t\biggr] +\ln\sqrt{\dfrac{\varepsilon\lambda^2}{4k}(1-2\lambda u_0+2k)}\biggr), &\varepsilon>0, \\ \operatorname{cth}\biggl(k\biggl[x-\biggl(\dfrac{1}{2\lambda}+u_0\biggr)t\biggr] +\ln\sqrt{-\dfrac{\varepsilon\lambda^2}{4k}(1-2\lambda u_0+2k)}\biggr), &\varepsilon<0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
3.2. Случай уравнения (3)Дополнительно к уравнению (3) и его линейной спектральной задаче (19a), (19b) введем систему первого порядка с новым псевдопотенциалом $p$ следующим образом: Нелокальную инфинитезимальную симметрию (26) (см. следствие 2) можно продолжить на расширенную систему (3), (19a), (19b), (33a), (33b) и таким образом получить инфинитезимальную симметрию расширенной системы:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &-(2zmfg+f^2)\,\frac{\partial}{\partial q}-(2znfg-g^2)\,\frac{\partial}{\partial r} +(2z^2m(nf^2+mg^2)+2zm_xfg)\,\frac{\partial}{\partial m}+{} \\ &\qquad+(2z^2n(nf^2+mg^2)+2zn_xfg)\,\frac{\partial}{\partial n} +(fp+2zf_xfg)\frac{\partial}{\partial f}+{} \\ &\qquad{}+(gp+zfg^2+2zg_xfg)\frac{\partial}{\partial g} +(p^2+2zp_xfg)\,\frac{\partial}{\partial p}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
или равнозначное выражение в неэволюционном виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf W&=-2zfg\,\frac{\partial}{\partial x}-(2zqfg+f^2)\,\frac{\partial}{\partial q} +(2zrfg+g^2)\,\frac{\partial}{\partial r}+2z^2m(nf^2+mg^2)\,\frac{\partial}{\partial m}+{} \\ &\qquad{}+2z^2n(nf^2+mg^2)\,\frac{\partial}{\partial n} +fp\,\frac{\partial}{\partial f} +(gp+zfg^2)\,\frac{\partial}{\partial g}+p^2\,\frac{\partial}{\partial p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Однопараметрическое преобразование, порожденное векторным полем $\mathbf W$, т. е.
$$
\begin{equation}
(\tilde x,\tilde t,\tilde q,\tilde r,\tilde m,\tilde n, \tilde f,\tilde g,\tilde p) \equiv\exp(\varepsilon\mathbf W)(x,t,q,r,m,n,f,g,p),
\end{equation}
\tag{34}
$$
можно представить в следующем явном виде:
$$
\begin{equation}
\tilde x =x+\ln\frac{(1-\varepsilon p-\varepsilon zfg)^2}{(1-\varepsilon p)^2},\qquad \tilde t=t,
\end{equation}
\tag{35a}
$$
$$
\begin{equation}
\tilde q =q\frac{(1-\varepsilon p-\varepsilon zfg)^2}{(1-\varepsilon p)^2} -\frac{\varepsilon f^2(1-\varepsilon p-\varepsilon zfg)}{(1-\varepsilon p)^2},
\end{equation}
\tag{35b}
$$
$$
\begin{equation}
\tilde r =r\frac{(1-\varepsilon p)^2}{(1-\varepsilon p-\varepsilon zfg)^2} +\frac{\varepsilon g^2(1-\varepsilon p)}{(1-\varepsilon p-\varepsilon zfg)^2},
\end{equation}
\tag{35c}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\tilde m} =\frac{1}{m}-\frac{2\varepsilon z^2nf^2}{m(1-\varepsilon p)} -\frac{2\varepsilon z^2g^2}{1-\varepsilon p-\varepsilon zfg},
\end{equation}
\tag{35d}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\tilde n} =\frac{1}{n} -\frac{2\varepsilon z^2m g^2}{n(1-\varepsilon p-\varepsilon zfg)} -\frac{2\varepsilon z^2f^2}{1-\varepsilon p},
\end{equation}
\tag{35e}
$$
$$
\begin{equation}
\tilde f =\frac{f}{1-\varepsilon p},\qquad \tilde g=\frac{g}{1-\varepsilon p-\varepsilon zfg},\qquad \tilde p=\frac{p}{1-\varepsilon p}. \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
Прямыми вычислениями показано, что расширенная система (3), (19a), (19b), (33a), (33b) инвариантна относительно преобразования (34). Следует подчеркнуть, что новые переменные $(\tilde x,\tilde t,\tilde q,\tilde r,\tilde m,\tilde n)$, заданные формулами (35a)–(35e), удовлетворяют системе
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \tilde m_{\tilde t}&=(\tilde m\,\tilde q\,\tilde r)_{\tilde x}, &\qquad \tilde m&=\tilde q-\tilde q_{\tilde x}, \\ \tilde n_{\tilde t}&=(\tilde n\,\tilde q\,\tilde r)_{\tilde x}, &\qquad \tilde n&=-\tilde r-\tilde r_{\tilde x}, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
в том случае, если они удовлетворяют расширенной системе (3), (19a), (19b), (33a), (33b). Зададим тривиальное решение $(q,r,m,n)=(1,r_0,1,-r_0)$ системы (3), где $r_0$ – константа такая, что Решение системы (19a), (19b) при $(q,r,m,n)=(1,r_0,1,-r_0)$ возьмем в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \begin{pmatrix} f \\ g \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ \dfrac{2k-1}{2z} \end{pmatrix}\exp\biggl(k\biggl[x+\frac{(3-4k^2)t}{4z^2}\biggr]\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а соответствующее решение системы (33a), (33b) – в виде
$$
\begin{equation*}
p=\frac{z^2r_0}{2k}\exp\biggl(2k\biggl[x+\frac{(3-4k^2)t}{4z^2}\biggr]\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $k=\sqrt{1/4-z^2r_0}$. Подставляя их в (35a)–(35e), получим нетривиальное решение системы (3), т. е.
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \tilde x&=x+2\ln|1-2k\Theta|-2\ln(1+2k),&\qquad \tilde t&=t, \\ \tilde q&=\biggl(1-\frac{1}{4z^2r_0}\biggr)\Theta^2 +\frac{1}{4z^2r_0}, &\qquad \tilde m&=\frac{-1}{2k\Theta-4z^2r_0/(1-2k\Theta)}, \\ \tilde r&=-\frac{4z^2r_0^2}{(1-2k\Theta)^2}+\frac{2r_0}{1-2k\Theta}, &\qquad \tilde n&=\frac{r_0}{2k\Theta-4z^2r_0^2/(1-2k\Theta)}, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Theta\equiv\begin{cases} \operatorname{cth}\biggl(k\biggl[x+\dfrac{(3-4k^2)t}{4z^2}\biggr] +\ln\sqrt{\dfrac{\varepsilon(1-4k^2)}{8k}}\,\biggr), &\varepsilon>0, \\ \operatorname{th}\biggl(k\biggl[x+\dfrac{(3-4k^2)t}{4z^2}\biggr] +\ln\sqrt{\dfrac{(-\varepsilon)(1-4k^2)}{8k}}\,\biggr), &\varepsilon<0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 3. Как упоминалось в разделе 1, если то $m=-n=u-u_{xx}$ и уравнение (3) сводится к модифицированному уравнению КХ (4). Согласно ограничениям (36) редуцирование нелокальных симметрий уравнения (3) должно привести к нелокальным симметриям модифицированного уравнения КХ (4). Кратко изложим некоторые результаты. Расширенная система, состоящая из модифицированного уравнения КХ (4), его линейной спектральной задачи
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} f \\ g \end{pmatrix}_x =\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} &zm \\ -zm &-\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} f \\ g \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{37a}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} f \\ g \end{pmatrix}_t =\begin{pmatrix} \dfrac{1}{4z^2}-\dfrac{1}{2}(u_x^2-u^2) &\dfrac{1}{2z}(u_x+u)-zm(u_x^2-u^2) \\ \dfrac{1}{2z}(u_x-u)-zm(u_x^2-u^2) &-\dfrac{1}{4z^2}+\dfrac{1}{2}(u_x^2-u^2) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} f \\ g \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{37b}
$$
и пары совместных уравнений
$$
\begin{equation}
p_t =-z^2m(u_x^2-u^2)f^2-\frac{1}{2}(u_x+u)g^2-\frac{fg}{2z},
\end{equation}
\tag{38b}
$$
допускает инфинитезимальную симметрию, выраженную через неэволюционное векторное поле вида
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf W_{\mathrm{mCH}}&=-2zfg\,\frac{\partial}{\partial x} -\frac{1}{2}(f^2-g^2+4zu_xfg)\,\frac{\partial}{\partial u} -\frac{1}{2}(f^2+g^2+4zufg)\,\frac{\partial}{\partial u_x}-{} \\ &\qquad{}-2z^2m^2(f^2-g^2)\,\frac{\partial}{\partial m} +fp\,\frac{\partial}{\partial f}+(gp+zfg^2)\,\frac{\partial}{\partial g} +p^2\,\frac{\partial}{\partial p}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которая порождает однопараметрические преобразования симметрии расширенной системы (состоящей из модифицированного уравнения КХ, уравнений (4), (37a), (37b) и (38a), (38b)),
$$
\begin{equation*}
(\tilde x,\tilde t,\tilde u,\tilde m,\tilde f,\tilde g,\tilde p) \equiv\exp(\varepsilon\mathbf W_{\mathrm{mCH}})(x,t,u,m,f,g,p),
\end{equation*}
\notag
$$
представимые в явном виде:
$$
\begin{equation}
\tilde x =x+\ln\frac{(1-\varepsilon p-\varepsilon zfg)^2}{(1-\varepsilon p)^2},\qquad \tilde t=t,
\end{equation}
\tag{39a}
$$
$$
\begin{equation}
\tilde u =(u_x+u)\frac{(1-\varepsilon p-\varepsilon zfg)^2}{2(1-\varepsilon p)^2} -(u_x-u)\frac{(1-\varepsilon p)^2}{2(1-\varepsilon p-\varepsilon zfg)^2}-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad{}-\frac{\varepsilon f^2(1-\varepsilon p-\varepsilon zfg)}{2(1-\varepsilon p)^2} +\frac{\varepsilon g^2(1-\varepsilon p)}{2(1-\varepsilon p-\varepsilon zfg)^2},
\end{equation}
\tag{39b}
$$
4. Преобразования БеклундаПредставленные в разделе 3 конечные преобразования симметрии приводят к преобразованиям Бeклунда для уравнения 2-КХ (1), а также для уравнения (3). 4.1. Преобразование Беклунда для уравнения 2-КХ (1)Рассматривая преобразование симметрии (30), введем функцию
$$
\begin{equation}
s\equiv\frac{\varepsilon\lambda f^2}{1-\varepsilon p}.
\end{equation}
\tag{40}
$$
Тогда согласно уравнениям (7a) и (27a) получим
$$
\begin{equation*}
s_x+\lambda^2(m-2\lambda\sigma\rho^2)s^2 =\frac{2\varepsilon\lambda fg}{1-\varepsilon p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, из (7a), (7b) и (27a), (27b) следует, что $s$ удовлетворяет уравнениям
$$
\begin{equation}
s_{xx} =\frac{s_x^2}{2s}-\lambda^2[(m-2\lambda\sigma\rho^2)s^2]_x -\frac{\lambda^4}{2}(m-2\lambda\sigma\rho^2)^2s^3 +2\biggl(\frac{1}{4}-\lambda m+\lambda^2\sigma\rho^2\biggr)s,
\end{equation}
\tag{41a}
$$
$$
\begin{equation}
s_t =-\frac{1}{8}[s_x+\lambda^2(m-2\lambda\sigma\rho^2)s^2]^2 -[s_x+\lambda^2(m-2\lambda\sigma\rho^2)s^2] \biggl(u+\frac{1}{2\lambda}\biggr)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+\biggl[\lambda^2u(m-2\lambda\sigma\rho^2) -\frac{\lambda^2}{2}\sigma\rho^2+\frac{1}{8}\biggr]s^2+u_xs.
\end{equation}
\tag{41b}
$$
Можно убедиться, что (41a) и (41b) совместны в том и только том случае, если справедливо уравнение 2-КХ (1). Используя функцию $s$, заданную выражением (40), можно переписать систему (31a)–(31d) в виде
$$
\begin{equation}
\tilde x =x+\ln\biggl|\frac{2+\lambda s_x+\lambda^3(m-2\lambda\sigma\rho^2)s^2-\lambda s} {2+\lambda s_x+\lambda^3(m-2\lambda\sigma\rho^2)s^2+\lambda s}\biggr|, \qquad \tilde t=t,
\end{equation}
\tag{42a}
$$
$$
\begin{equation}
\tilde u =\frac{u([2+\lambda s_x+\lambda^3(m-2\lambda\sigma\rho^2)s^2]^2+\lambda^2s^2)-\lambda s^2} {[2+\lambda s_x+\lambda^3(m-2\lambda\sigma\rho^2)s^2]^2-\lambda^2s^2}-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad{}-\frac{[2\lambda u_xs-s_x-\lambda^2(m-2\lambda\sigma\rho^2)s^2] [2+\lambda s_x+\lambda^3(m-2\lambda\sigma\rho^2)s^2]} {[2+\lambda s_x+\lambda^3(m-2\lambda\sigma\rho^2)s^2]^2-\lambda^2s^2},
\end{equation}
\tag{42b}
$$
$$
\begin{equation}
\tilde m =\frac{([2+\lambda s_x+\lambda^3(m-2\lambda\sigma\rho^2)s^2]^2-\lambda^2s^2)^2} {16[1-\lambda^4\sigma\rho^2s^2]^2} \biggl[m-\frac{2\lambda^2\sigma(\rho\rho_xs+\rho^2s_x)}{1-\lambda^4\sigma\rho^2s^2}\biggr],
\end{equation}
\tag{42c}
$$
$$
\begin{equation}
\tilde\rho =\rho\frac{[2+\lambda s_x+\lambda^3(m-2\lambda\sigma\rho^2)s^2]^2-\lambda^2s^2} {4[1-\lambda^4\sigma\rho^2s^2]}.
\end{equation}
\tag{42d}
$$
Таким образом, получено преобразование Беклунда для уравнения 2-КХ (1). Сформулируем этот результат в виде следующего предложения. Предложение 3. Предположим, что справедливо уравнение 2-КХ (1), а также уравнения (41a), (41b). Тогда переменные $(\tilde x,\tilde t,\tilde u,\tilde m,\tilde\rho)$, заданные системой (42a)–(42d), представляют решение уравнения 2-КХ (1), заданное в параметрическом виде. Замечание 4. Пусть Замечание 5. При $\rho=0$ результаты п. 2.1 и п. 3.1, включая инфинитезимальную симметрию из следствия 1, конечное преобразование симметрии (30) и преобразование Беклунда из предложения 3, сводятся к случаю уравнения КХ (2). В частности, преобразования $x\mapsto\tilde x$ и $m\mapsto\tilde m$, описанные уравнениями (31a) и (31c), при $\rho=0$ по сути совпадают с результатами, полученными для уравнения КХ (2) в работе [10]. 4.2. Преобразование Беклунда для уравнения (3)Исходя из конечного преобразования симметрии (34) можно получить преобразование Беклунда для уравнения (3). Пусть тогда согласно (19a), (19b) и (33a), (33b) имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{\varepsilon zfg}{1-\varepsilon p}=\frac{s_x+zn s^2-s}{2zm},\qquad \frac{\varepsilon zg^2}{1-\varepsilon p}=\frac{(s_x+zn s^2-s)^2}{4z^2m^2s}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation}
s_{xx} =\frac{s_x^2}{2s}-z(ns^2)_x+\frac{m_x}{m}(s_x+zns^2-s) -\frac{z^2}{2}n^2s^3+\biggl(2z^2mn+\frac{1}{2}\biggr)s,
\end{equation}
\tag{45a}
$$
$$
\begin{equation}
s_t =-\frac{q}{8z^3m^2}(s_x+zns^2-s)^2-\frac{s-2zq}{4z^3m}(s_x+zns^2-s)+qrs_x +\frac{s}{2z^2}.
\end{equation}
\tag{45b}
$$
Можно убедиться, что уравнения (45a) и (45b) совместны тогда и только тогда, когда справедливо уравнение (3). Выражения (35a)–(35e) перепишем через $s$:
$$
\begin{equation}
\tilde x =x+\ln\frac{[2zm-(s_x+zns^2-s)]^2}{4z^2m^2},\qquad \tilde t=t,
\end{equation}
\tag{46a}
$$
$$
\begin{equation}
\tilde q =q\frac{[2zm-(s_x+zns^2-s)]^2}{4z^2m^2} -\frac{[2zm-(s_x+zns^2-s)]s}{2z^2m},
\end{equation}
\tag{46b}
$$
$$
\begin{equation}
\tilde r =r\frac{4z^2m^2}{[2zm-(s_x+zns^2-s)]^2} +\frac{(s_x+zns^2-s)^2}{zs[2zm-(s_x+zns^2-s)]^2},
\end{equation}
\tag{46c}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\tilde m} =\frac{1}{m} \biggl(1-2zns-\frac{(s_x+zns^2-s)^2}{s[2zm-(s_x+zns^2-s)]}\biggr),
\end{equation}
\tag{46d}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\tilde n} =\frac{1}{n}\biggl(1-2zns-\frac{(s_x+zns^2-s)^2}{s[2zm-(s_x+zns^2-s)]}\biggr).
\end{equation}
\tag{46e}
$$
Теперь наличие преобразования Беклунда для уравнения (3) можно сформулировать в виде следующего предложения. Предложение 4. Предположим, что справедливы уравнение (3) и система (45a), (45b), тогда переменные $(\tilde x,\tilde t,\tilde q,\tilde r,\tilde m,\tilde n)$, описанные выражениями (46a)–(46e), представляют собой решение системы (3), заданное в параметрическом виде. Замечание 6. Следуя замечанию 3, при наложении ограничений (36) формулы (45a), (45b) можно свести к виду 5. Выводы и обсужденияПостроены нелокальные инфинитезимальные симметрии, зависящие от собственных функций линейных (сопряженных) спектральных задач для уравнения 2-КХ (1) и уравнения (3). Нелокальная инфинитезимальная симметрия (17) продолжена на расширенную систему, состоящую из уравнений (1), (7a), (7b) и (27a), (27b), и проинтегрирована, что привело к конечному преобразованию симметрии (30), которое позволяет вывести нетривиальное решение и преобразование Беклунда для уравнения 2-КХ (1). На основе нелокальной инфинитезимальной симметрии (26) получено конечное преобразование симметрии для расширенной системы (3), (19a), (19b) и (33a), (33b). После этого построено нетривиальное решение и преобразование Беклунда для уравнения (3). Как указано в замечании 2, продолжить нелокальные инфинитезимальные симметрии (25) или (26) на уравнение (5) затруднительно. Было бы интересно исследовать нелокальные симметрии уравнения (5) другими способами. Перспективной задачей является анализ полного набора точечных симметрий расширенной системы в каждом конкретном случае, поскольку симметрийные редукции позволят построить больше частных решений. БлагодарностиАвторы выражают благодарность рецензенту за конструктивные замечания, которые помогли улучшить изложение результатов. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{LiTia24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|