| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Об однозначной разрешимости задачи дивергенция-ротор в неограниченных областях и энергетических оценках решений А. В. Горшков Механико-математический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 221, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924110023 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеЗадачей дивергенция-ротор (в англоязычной литературе div-curl problem) называется задача восстановления векторного поля по заданной вихревой функции и дивергенции. Эта задача возникает в уравнениях электро- и гидродинамики. В настоящей статье эта задача рассматривается для соленоидальных полей (с нулевой дивергенцией), заданных во внешней двумерной области $\Omega \subset \mathbb{R}^2$, которая является дополнением односвязной области с кусочно-гладкой границей. Она имеет физическую интерпретацию как модель течения несжимаемой среды вокруг тела. С условием прилипания и заданным потоком на бесконечности внешняя задача имеет вид
$$
\begin{equation}
\operatorname{curl} \mathbf{v}(\mathbf{x}) = w(\mathbf{x}),
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
$$
\begin{equation}
\mathbf{v}(\mathbf{x})=0,\qquad \mathbf{x}\in\partial\Omega,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
$$
\begin{equation}
\mathbf{v}(\mathbf{x})\to \mathbf{v}_\infty,\qquad |\mathbf{x}|\to \infty.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Здесь $\mathbf{x}=(x_1,x_2) \in \Omega \subset \mathbb{R}^2$, $\mathbf{v} = (v_1,v_2)$ – двумерное векторное поле, $\operatorname{curl}\mathbf{v}(\mathbf{x}) = \partial_{x_1}v_2 - \partial_{x_2}v_1$ и $\mathbf{v}_\infty$ – заданный вектор. Рассматриваемая область $\Omega = \mathbb{R}^2\setminus \overline G$ является дополнением к ограниченной односвязной области $G$ с кусочно-гладкой границей. В дополнение к приведенным уравнениям мы будем предполагать условие нулевой циркуляции на бесконечности
$$
\begin{equation}
\lim_{R\to\infty}\oint_{|\mathbf{x}|=R} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{l} = 0.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Это требование позволяет получать течения с конечной кинетической энергией. Задача восстановления векторного поля по ротору в ограниченных, неограниченных, внешних областях и для всего пространства была предметом множества исследований. Для двумерных и трехмерных областей с граничным условием на тангенциальную и нормальную компоненты скорости эта задача изучалась в работах [1]–[3]. Для внешних трехмерных областей асимптотические свойства решений получены в работе [4]. С граничным условием Неймана внешняя задача дивергенция-ротор была исследована в работе [5]. С условием непротекания разрешимость краевой задачи исследовалась в работах [6], [7]. Была получена оценка оператора Био–Савара $\|\mathbf{v}\|_{L_\infty}$ поля скоростей $\mathbf{v}$ через нормы $\|w\|_{L_1}$ и $\|w\|_{L_\infty}$. Для задачи Коши $(L_p - L_q)$- и $L_\infty$-оценки получены в [8]. В ограниченных областях оценки решения в пространстве $L_2$ приводятся в [9]. В неограниченных областях $L_p$-оценки решения $\mathbf{v}(\mathbf{x})$ с $p>1$ обусловлены бесконечностью кинетической энергии векторного поля даже за вычетом скорости потока $\mathbf{v}_\infty$. Условие (1.5) вместе с условием прилипания (1.3) согласно формуле Стокса влечет нулевое среднее роторной функции: В настоящей статье доказано, что из последнего равенства следуют $L_2$- и $H^1$-оценки решений и энергия потока становится конечной (за вычетом скорости потока $\mathbf{v}_\infty$).С условием прилипания эта задача, вообще говоря, неразрешима. Для ее разрешимости требуется ряд дополнительных условий на вихревую функцию. В работе Квартапэлли, Уальс-Гриза [10] выведены проекционные условия на вихревую функцию, заключающиеся в ортогональности ротора гармоническим функциям. Векторное поле представляется как косой градиент $v = \nabla^\perp \psi$ функции тока $\psi$, где $\nabla_x^\perp = (-\partial_{x_2}, \partial_{x_1})$. Тогда в ограниченных областях из условия прилипания следуют нулевые граничные условия для функции тока:
$$
\begin{equation*}
\psi(x)=\frac {\partial \psi (x)}{\partial n} =0,\qquad x \in \partial \Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Из соотношения согласно формуле Грина следует ортогональность $\operatorname{curl} v$ гармоническим функциям. Это и есть условие прилипания, выраженное в терминах только вихревой функции. Оказывается, этот принцип ортогональности может быть распространен на внешние области. В настоящей работе выведено аналогичное условие ортогональности для внешних областей. Без ограничения общности поток на бесконечности можно считать горизонтальным: $\mathbf{v}_\infty=(v_\infty, 0)$. Условие ортогональности имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\frac 1{2\pi} \int_{\Omega} \frac {w(x)}{\Phi(z)^k}\, dx = \begin{cases} 0, &k\in \mathbb{N}\cup \{0\},\, k\neq 1, \\ i v_\infty, &k=1, \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
где $\Phi$ – отображение Римана области $\Omega$ на круг $B_{r_0}$ радиуса $r_0$, которое стремится к тождественному на бесконечности. В случае, когда область есть внешность круга, условие ортогональности (1.6) приведено в статье автора [11], где было найдено граничное условие для ротора $\operatorname{curl} v(t,x)$ нестационарной системы Стокса и получено явное решение задачи обтекания кругового цилиндра. Для функции ротора будем рассматривать весовое пространство
$$
\begin{equation*}
L_{2,N}(\Omega) = \biggl\{f(x)\!: \|f(\cdot)\|_{L_{2,N}(\Omega)}^2=\int_\Omega |f(x)|^2 (1+|x|^2)^N \, dx <\infty\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Основным результатом является следующая теорема. Теорема 1. Если $w \in L_{2,N}(\Omega)$ с $N>1$ удовлетворяет условию (1.6), то существует единственное решение задачи (1.1)–(1.5), удовлетворяющее оценке 2. Когомологии де РамаЗдесь мы приведем известные сведения о когомологиях де Рама, которые затем будут распространены на векторные поля с условием прилипания. Когомология касательных полей во внешних областях с нулевым условием на бесконечности была описана в работе [6]. Касательные поля вместо условия прилипания (1.4) удовлетворяют более слабому требованию:
$$
\begin{equation}
(\mathbf{v}, \mathbf{n}) = 0, \qquad \mathbf{x} \in \partial \Omega,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $\mathbf{n}$ – вектор внешней нормали к границе области. Решение задачи (1.1), (1.2), (1.4) с этим краевым условием существует, но не единственно. С условием прилипания (1.3), напротив, указанная выше система обретает единственность, но теряет существование. Рассмотрим комплекс де Рама
$$
\begin{equation*}
0\to \Lambda^{0}(\Omega){\stackrel {\nabla}{\to }}\Lambda^{1}(\Omega){\stackrel {\operatorname{curl}} {\to }}\Lambda^{2}(\Omega),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Lambda^{k}$ – пространство $k$-форм. Гармоническим полем назовем бездивергентное безвихревое поле, касательное к границе и стремящееся к заданному постоянному вектору $\mathbf{v}_\infty$ на бесконечности. Для $\Omega = B_{r_0}$, где $B_{r_0}=\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^2,\,|\mathbf{x}| > r_0 \}$, $r_0>0$, – внешность круга радиуса $r_0$, бездивергентное поле, касательное к $\partial \Omega$, восстанавливается по ротору согласно формуле
$$
\begin{equation}
\mathbf{v}(\mathbf{x}) = \frac 1{2\pi}\int_{B_{r_0}} \biggl( \frac {(\mathbf{x}-\mathbf{y})^\perp}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|^2} - \frac {(\mathbf{x}-\mathbf{y}^*)^\perp}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}^*|^2} \biggr) w(\mathbf{y})\,\mathrm{d}\mathbf{y} + \theta \frac {\mathbf{x}^\perp}{|\mathbf{x}|^2} + \nabla \Psi,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $\mathbf{y}^*= r_0^2 \mathbf{y} / |\mathbf{y}|^2$, $\mathbf{x}^\perp = (-x_2,x_1)$, а ядро интегрального оператора есть косой градиент $\nabla_\mathbf{x}^\perp = (-\partial_{x_2}, \partial_{x_1})$ функции Грина оператора Лапласа во внешности круга:
$$
\begin{equation*}
G(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \frac 1{2\pi} \ln \frac {r_0|\mathbf{x}-\mathbf{y}|}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}^*||\mathbf{y}|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поле $\theta\, \mathbf{x}^\perp / |\mathbf{x}|^2$ является дискретным вихрем, а параметр $\theta$ определяет его интенсивность. Величина $\nabla \Psi$ является потенциальным течением вокруг диска с условием непротекания (2.1), условием на бесконечности (1.4) и потенциалом
$$
\begin{equation*}
\Psi (r,\varphi)=\mathbf{v}_\infty r\biggl(1+{\frac {r_0^{2}}{r^{2}}}\biggr)\cos \varphi.
\end{equation*}
\notag
$$
Само поле дается формулами
$$
\begin{equation}
V_r = \frac {\partial \Psi}{\partial r}=\mathbf{v}_\infty\biggl(1-{\frac {r_0^{2}}{r^{2}}}\biggr)\cos \varphi,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
$$
\begin{equation}
V_{\varphi} ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \Psi}{\partial \varphi }}=-\mathbf{v}_\infty\biggl(1+{\frac {r_0^{2}}{r^{2}}}\biggr)\sin \varphi.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Поскольку область $\Omega$ не является односвязной, векторное поле восстанавливается по ротору однозначно с точностью до интенсивности циркуляции поля вокруг диска $\theta \in \mathbb{R}$. Тогда когомология является одномерной и совпадает с пространством безвихревых гармонических полей, которые не являются потенциальными:
$$
\begin{equation*}
\mathcal H^{1}(\Omega)={\operatorname {Ker} \operatorname{curl}} / {\operatorname {Im} \nabla}= \biggl\{ \theta \frac {\mathbf{x}^\perp}{|\mathbf{x}|^2},\,\theta \in \mathbb{R} \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для построения когомологии в произвольной внешней области с односвязной границей мы воспользуемся отображением Римана $\Phi$ области $\Omega$ в единичный круг $B_1$: Функция Грина оператора Лапласа для плоских задач имеет вид
$$
\begin{equation*}
G(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \frac 1{2\pi} \ln |\mathbf{x}-\mathbf{y}| + g(\mathbf{x},\mathbf{y}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varphi(\mathbf{x},\mathbf{y})$ – гармоническая функция, отвечающая тому или иному граничному условию, и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\Delta_x G(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \delta(\mathbf{x} - \mathbf{y}).
\end{equation*}
\notag
$$
Функция Грина для оператора Лапласа во внешней области с нулевым граничным условием имеет вид
$$
\begin{equation*}
G(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \frac 1{2\pi} \ln \frac {|\Phi(\mathbf{x})-\Phi(\mathbf{y})|}{|\Phi(\mathbf{x})-\Phi(\mathbf{y})^*||\Phi(\mathbf{y})|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Она представима в виде суммы фундаментального решения и гармонической функции $\varphi(\mathbf{x},\mathbf{y})$
$$
\begin{equation*}
\ln \frac {|\Phi(\mathbf{x})-\Phi(\mathbf{y})|}{|\Phi(\mathbf{x})-\Phi(\mathbf{y})^*||\Phi(\mathbf{y})|} = \ln |\mathbf{x}-\mathbf{y}| + \varphi(\mathbf{x},\mathbf{y})
\end{equation*}
\notag
$$
и удовлетворяет граничному условию
$$
\begin{equation*}
G(\mathbf{x}_0,\mathbf{y}) = 0,\qquad \mathbf{x}_0 \in \partial \Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Косой градиент этой функции
$$
\begin{equation*}
\nabla_\mathbf{x}^\perp G(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \frac 1{2\pi} D\Phi^t \biggl( \frac {(\Phi(\mathbf{x})-\Phi(\mathbf{y}))^\perp}{|\Phi(\mathbf{x})-\Phi(\mathbf{y})|^2} - \frac {(\Phi(\mathbf{x})-\Phi(\mathbf{y})^*)^\perp}{|\Phi(\mathbf{x})-\Phi(\mathbf{y})^*|^2} \biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
является псевдоковектором, с помощью которого решается задача дивергенция-ротор во внешней области. Здесь $D\Phi$ – матрица Якоби, компоненты которой удовлетворяют соотношениям Коши–Римана:
$$
\begin{equation*}
D\Phi = \begin{pmatrix} \operatorname{Re} \Phi'_{x_1} &\operatorname{Re} \Phi'_{x_2} \\ \operatorname{Im} \Phi'_{x_1} &\operatorname{Im} \Phi'_{x_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Re} \Phi'_{x_1} &-\operatorname{Im} \Phi'_{x_1} \\ \operatorname{Im} \Phi'_{x_1} &\hphantom{-}\operatorname{Re} \Phi'_{x_1} \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
а $D\Phi^t$ – транспонированная к ней матрица. Функция $G(\mathbf{x},\mathbf{y})$ связана с косым градиентом функции Грина для внешности круга через ковариантное соотношение с матрицей $D\Phi^t$, поскольку косой градиент $\nabla_\mathbf{x}^\perp$ является псевдоковектором. Построим гармоническое соленоидальное векторное поле во внешней области. Для этого рассмотрим еще одну функцию Грина:
$$
\begin{equation*}
G_2(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \frac 1{2\pi} \ln |\Phi(\mathbf{x})-\Phi(\mathbf{y})|.
\end{equation*}
\notag
$$
Она представима как
$$
\begin{equation*}
G_2(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \frac 1{2\pi} \ln |\mathbf{x}-\mathbf{y}| + \frac 1{2\pi} \ln \frac{|\Phi(\mathbf{x})-\Phi(\mathbf{y})|}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее слагаемое в этой формуле есть гармоническая функция. Оно имеет устранимую особенность при $\mathbf{y}\to \mathbf{x}$:
$$
\begin{equation*}
\ln \frac{|\Phi(\mathbf{x})-\Phi(\mathbf{y})|}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|} \to \ln |\Phi'(\mathbf{x})|,\qquad \mathbf{y}\to \mathbf{x}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оно является гармонической функцией согласно определению логарифма
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Ln} z = \ln|z| + i\operatorname{Arg} z.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим косой градиент этой функции при $\mathbf{y}=0$:
$$
\begin{equation*}
K(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \frac 1{2\pi} D\Phi^t \frac{(\Phi(\mathbf{x})-\Phi(\mathbf{y}))^\perp}{|\Phi(\mathbf{x})-\Phi(\mathbf{y})|^2} = \nabla_\mathbf{x}^\perp G_2(\mathbf{x},\mathbf{y}).
\end{equation*}
\notag
$$
Полученное поле является также гармоническим, и оно определяет исследуемую когомологию:
$$
\begin{equation}
V(\mathbf{x}) = \frac 1{2\pi} \nabla_\mathbf{x}^\perp \ln |\Phi(\mathbf{x})| = \frac 1{2\pi} D\Phi^t \frac{(\Phi(\mathbf{x}))^\perp}{|\Phi(\mathbf{x})|^2} = \nabla_\mathbf{x}^\perp G_2(\mathbf{x},0).
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Действительно, косой градиент ортогонален градиенту и, следовательно, является соленоидальным: Ротор косого градиента является оператором Лапласа, и из определения функции Грина получим
$$
\begin{equation*}
\operatorname{curl} \nabla_\mathbf{x}^\perp = \Delta = \delta(\mathbf{x}).
\end{equation*}
\notag
$$
В области $\Omega$ это поле является безвихревым. Отображение Римана отображает $\Omega$ в единичный круг: Тогда на границе областиСледовательно, градиент $\nabla \ln {|\Phi(\mathbf{x})|}$ ортогонален границе области, а $V$, как косой градиент, является касательным и обращается в нуль на бесконечности. Поле $V$ связано с точечным вихрем $\frac 1{2\pi} \frac{\mathbf{x}^\perp}{\vert\mathbf{x}\vert^2}$ ковариантным соотношением через матрицу $D\Phi^t$ и $V$ есть фундаментальное решение оператора ротора. Пусть $\nabla \Psi$ – поток Стокса, т. е. соленоидальное потенциальное течение вокруг области с условием непротекания и условием на бесконечности $\mathbf{v}_\infty$. Для внешности круга оно дается формулами (2.3), (2.4), а в общем случае строится с помощью конформного отображения. Касательное векторное поле находится по формуле
$$
\begin{equation*}
\mathbf{v} = \nabla_\mathbf{x}^\perp G(\mathbf{x},\mathbf{y}) \ast w + \theta V + \nabla \Psi
\end{equation*}
\notag
$$
с точностью до циркуляционного течения $\theta V$ интенсивности $\theta$ (здесь $\ast$ обозначает оператор свертки). Оно касательно к границе области $\Omega$ и
$$
\begin{equation*}
\mathbf{v}(\mathbf{x})\to \mathbf{v}_\infty,\qquad |\mathbf{x}|\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда когомология имеет вид
$$
\begin{equation*}
\mathcal H^{1}(\Omega)={\operatorname {Ker} \operatorname{curl}} / {\operatorname {Im} \nabla}= \{ \theta V,\theta \in \mathbb{R} \}
\end{equation*}
\notag
$$
и также является одномерной.
3. Задача диверенция-ротор во внешней области и интегральное условие прилипанияРешение задачи (1.1)–(1.5) в области $\Omega$ будем искать в виде ряда Фурье по функциям $e^{ik\varphi}$ в полярных координатах $r$, $\varphi$:
$$
\begin{equation*}
\mathbf{v}(r,\varphi) = \sum_{k=-\infty}^\infty \mathbf{v}_{k}(r)e^{ik\varphi}, \qquad w(r,\varphi) = \sum_{k=-\infty}^\infty w_k(r)e^{ik\varphi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
\mathbf{v}(r,\varphi) = (v_r, v_\varphi), \qquad \mathbf{v}_k(r) = (v_{r,k}, v_{\varphi,k}) =\frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} \mathbf{v}(r,\varphi) e^{-ik\varphi}\, d\varphi
\end{equation*}
\notag
$$
представляют собой векторное поле и его коэффициенты Фурье, разложенные на радиальную и тангенциальную составляющие. Взаимосвязь между декартовой и полярной системами координат для потока на бесконечности $\mathbf{v}_\infty=(v^\infty_1,v^\infty_2)$ задается формулами
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, v^\infty_{r}&=v^\infty_1\cos \varphi + v^\infty_2\sin \varphi, \\ v^\infty_{\varphi}&=v^\infty_2\cos \varphi - v^\infty_1\sin \varphi. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда его коэффициенты Фурье определяются как
$$
\begin{equation}
v^\infty_{r,k} =\frac{\delta_{|k|,1}}2 (v^\infty_1 - i k v^\infty_2),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
$$
\begin{equation}
v^\infty_{\varphi,k} =\frac{\delta_{|k|,1}}2 (v^\infty_2 + i k v^\infty_1),
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\delta_{|k \vert,1}=\begin{cases}1, & |k|=1,\\0, & |k|\neq 1.\end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
v^\infty_{\varphi,k} = \operatorname{sgn}(k) iv^\infty_{r,k},
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где функция знака
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sgn}(k) = \begin{cases} \hphantom{-}1, &k > 0, \\ \hphantom{-}0, &k=0, \\ -1,& k<0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Все коэффициенты Фурье внешнего потока равны нулю, за исключением $k=\pm 1$. Для горизонтального потока $\mathbf{v}_\infty=(v_\infty,0)$ получаем
$$
\begin{equation*}
v^\infty_{r,k}=\frac{\delta_{|k|,1}}2 v_\infty, \qquad v^\infty_{\varphi,k}=i k\frac{\delta_{|k|,1}}2 v_\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
3.1. Оценки решений задачи диверегенция-ротор во внешности кругаИсследуем задачу (1.1)–(1.4) в области $B_{r_0}=\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^2,\,|\mathbf{x}| > r_0 \}$, $r_0>0$. Уравнения (1.1), (1.2) в полярных координатах для $v_{r,k}$, $v_{\varphi,k}$ имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac {1}{r}\frac {\partial }{\partial r} (rv_{r,k})+\frac {ik}{r} v_{\varphi,k} &= 0,\\ \frac {1}{r}\frac {\partial }{\partial r} (rv_{\varphi,k})- \frac {ik}{r} v_{r,k} &= w_k. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Решение этой системы, которое удовлетворяет условию на бесконечности (1.4), записывается следующим образом:
$$
\begin{equation}
v_{r,k} = \operatorname{sgn}(k) \frac{ir^{-|k|-1}}2 \int_{r_0}^r s^{|k|+1}w_k(s)\, ds + \operatorname{sgn}(k) \frac{ir^{|k|-1}}2 \int_r^\infty s^{-|k|+1}w_k(s)\,ds + v^\infty_{r,k},
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
$$
\begin{equation}
v_{\varphi,k} = \frac{r^{-|k|-1}}2 \int_{r_0}^r s^{|k|+1}w_k(s)\, ds - \frac{r^{|k|-1}}2 \int_r^\infty s^{-|k|+1}w_k(s)\, ds + v^\infty_{\varphi,k},
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где $\delta_{|k|,1}$ – символ Кроннекера, $\mathbf{v}_\infty$ – скорость потока на бесконечности. Эти формулы имеют интегральное представление в виде закона Био–Савара:
$$
\begin{equation}
\mathbf{v}(\mathbf{x}) =\frac 1{2\pi} \int_{B_{r_0}} \frac{(\mathbf{x}-\mathbf{y})^\perp}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|^2} w(\mathbf{y}) \, d\mathbf{y} + \mathbf{v}_\infty,
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где $\mathbf{x}^\perp = (-x_2,x_1)$. Поэтому формулы (3.4), (3.5) являются разложением в ряд Фурье сингулярного ядра оператора Био–Савара. Ядро оператора Био–Савара есть косой градиент $\nabla_\mathbf{x}^\perp = (-\partial_{x_2}, \partial_{x_1})$ функции Грина оператора Лапласа на плоскости,
$$
\begin{equation*}
G(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \frac 1{2\pi} \ln |\mathbf{x}-\mathbf{y}|.
\end{equation*}
\notag
$$
Формулы (3.4), (3.5) вместе с условием прилипания (1.3) приводят к соотношениям на ротор векторного поля:
$$
\begin{equation}
\int_{r_0}^\infty s^{-|k|+1}w_k(s)\, ds = 2ik v^\infty_{r,k} = 2 v^\infty_{\varphi,k},\qquad k\in \mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Эти соотношения являются аналогом условия ортогональности ротора гармоническим функциям в пространстве $L_2$ [10]. Учитывая, что $z=re^{i\varphi}$, последнее соотношение можно переписать как
$$
\begin{equation*}
\frac 1{2\pi} \int_{B_{r_0}} \frac w{z^k}\, d\mathbf{x} = \begin{cases} 0, &k \geqslant 0,\, k\neq 1, \\ 2 i v^\infty_{r,k}, &k=1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Для внешних областей условие ортогональности нарушается для функций вида $1/z$. Теорема 2 (закон Био–Савара в полярных координатах). Пусть дана функция $w \in L_1(B_{r_0})$ и коэффициенты Фурье $w_k(r)$ удовлетворяют (3.7). Тогда существует единственное решение задачи (1.1)–(1.5), даваемое формулами (3.4), (3.5) с коэффициентами Фурье $v_{r,k}$, $v_{\varphi,k} \in L_\infty(r_0,\infty)$. Доказательство. В самом деле, если $w$ $\in L_1(B_{r_0})$, то $s^{-|k|+1} w_k(s)\in L_1(r_0,\infty)$, $k \in \mathbb{Z}$. Из (3.7) следует (1.3). Формулы (3.4), (3.5) определяют коэффициенты Фурье решения уравнений (1.1), (1.2). Так как из условия прилипания следует, что циркуляция $\mathbf{v}$ вокруг границы равняется нулю, то решение уравнений (1.1), (1.2) становится единственным. Для первых слагаемых в формулах (3.4), (3.5) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl| {r^{-|k|-1}} \int_{r_0}^r s^{|k|+1}w_k(s)\, ds \biggr|={}& \frac{r^{-|k|-1}}{2\pi} \biggl| \int_{r_0}^r\int_0^{2\pi} s^{|k|}w(s, \varphi)e^{ik\varphi}\, d\mathbf{x} \biggr| \leqslant{} \\ &\leqslant \frac 1{2\pi r} \int_{r_0}^r\int_0^{2\pi} |w(\mathbf{x})|\,d\mathbf{x} \to 0,\qquad r\to \infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и аналогично Тогда $v_{r,k}$, $v_{\varphi,k}$ стремятся к коэффициентам Фурье потока $\mathbf{v}_\infty$ при $r\to \infty$. Так как градиент $\nabla \mathbf{v}$ получается из $w$ через интегральное преобразование (3.6) с сингулярным ядром типа Зигмунда–Кальдерона [12]
$$
\begin{equation*}
\nabla_\mathbf{x} \frac{(\mathbf{x}-\mathbf{y})^\perp}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|^2},
\end{equation*}
\notag
$$
то для $p >1$ имеем
$$
\begin{equation}
\|\nabla \mathbf{v}(\cdot)\|_{L_p} \leqslant C \| w \|_{L_p}.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Далее, само ядро относится к ядрам типа Харди–Литтлвуда–Соболева [8], и для значений $1<p<2<q<\infty$, удовлетворяющих условию $1/q = 1/p - 1/2$, справедлива следующая оценка с некоторой $C>0$:
$$
\begin{equation*}
\|\mathbf{v} - \mathbf{v}_\infty\|_{L_q(\mathbb{R}^2)} \leqslant C \|w\|_{L_p(\mathbb{R}^2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Но даже для $\mathbf{v}_\infty = 0$ оценка $L_2$-нормы самой функции $\|\mathbf{v}(\cdot)\|_{L_p}$ с $p=2$ через ротор $w$, вообще говоря, неверна. Например, завихренные течения вида $\mathbf{x}^\perp/ |\mathbf{x}|^2$ имеют бесконечную кинетическую энергию. Доказательство. Оценим первые слагаемые в формулах (3.4), (3.5) для $k \neq 0$, $|k| \neq N-1$: Эта оценка позволяет оценить $L_2$-норму:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{r_0}^\infty {}& \biggl| r^{-|k|-1} \int_{r_0}^r s^{|k|+1}w_k(s)\, ds \biggr|^2 r\,dr \leqslant{} \\ & \leqslant \int_{r_0}^\infty \frac {C^2}{|2|k|-2N+2|} \|w_k(\cdot)\|^2_{L_{2,N}(r_0,\infty; r)} \biggl(\frac 1 {r^N} + \biggl( \frac{r_0}{r} \biggr)^{\!k+1} \cdot \frac 1{r_0^N} \biggr)^{\!2} r \,dr \leqslant{} \\ &\leqslant \frac {C^2}{||k|-N+1|} \|w_k(\cdot)\|^2_{L_{2,N}(r_0,\infty; r)} \biggl( \frac {r_0^{-2N+2}}{2N-2} + \frac{r_0^{2-2N}}{2k} \biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $|k|=N-1$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl| r^{-|k|-1} {}& \int_{r_0}^r s^{|k|+1}w_k(s)\, ds \biggr| = \biggl| r^{-|k|-1} \int_{r_0}^r \frac{s^{|k|+1/2}}{(1+s)^N}w_k(s) (1+s)^N \sqrt s\, ds \biggr|\leqslant{} \\ &\leqslant \biggl| r^{-|k|-1} \int_{r_0}^r s^{|k|+ 1/2 - N}w_k(s) (1+s)^N \sqrt s\, ds \biggr|\leqslant{} \\ &\leqslant r^{-|k|-1} \sqrt{\int_{r_0}^r s^{-1}\, ds}\, \|w_k(\cdot)\|_{L_{2,N}(r_0,\infty; r)} \leqslant \frac{ \sqrt {\ln r - \ln r_0}}{r^{|k|+1}} \|w_k(\cdot)\|_{L_{2,N}(r_0,\infty; r)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и последнее выражение также для $k\neq 0$ принадлежит пространству $L_2(r_0,\infty; r)$. Вторые слагаемые в формулах (3.4), (3.5) оценим аналогично:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl| r^{|k|-1}{}& \int_r^\infty s^{-|k|+1}w_k(s)\, ds \biggr| = \biggl| r^{|k|-1} \int_r^\infty \frac{s^{-|k|+1/2}}{(1+s)^N}w_k(s) (1+s)^N \sqrt s\, ds \biggr|\leqslant{} \\ &\leqslant \biggl| r^{|k|-1} \int_r^\infty s^{-|k|+ 1/2 - N}w_k(s) (1+s)^N \sqrt s\, ds \biggr|\leqslant{} \\ &\leqslant r^{|k|-1} \sqrt{\int_r^\infty s^{-|2k|+1 - 2N}\, ds}\,\, \sqrt{\int_r^\infty w^2_k(s) (1+s^2)^N s\, ds} \leqslant{} \\ &\leqslant \frac 1{r^N \sqrt{|2|k|+2N-2|}} \|w_k(\cdot)\|_{L_{2,N}(r_0,\infty; r)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это выражение также для $k\neq 0$ принадлежит пространству $L_2(r_0,\infty; r)$. Случай $k=0$ требует отдельного рассмотрения. Из (3.4), (3.5) с учетом условия прилипания имеем
$$
\begin{equation*}
v_{r,0} = 0,\qquad v_{\varphi,0} = \frac 1r \int_{r_0}^r s w_0(s)\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось оценить $v_{\varphi,0}$. Именно это слагаемое обеспечивает выполнение требования равенства нулю среднего от ротора (3.9). Действительно, если
$$
\begin{equation*}
\frac 1{2\pi} \int_{r_0}^\infty s w_0(s)\, ds = \int_{B_{r_0}} w(\mathbf{x})\, d\mathbf{x} \neq 0,
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
v_{\varphi,0} = \frac 1r \int_{r_0}^r s w_0(s)\, ds \sim \frac 1r,
\end{equation*}
\notag
$$
и $v_{\varphi,0}$ ведет себя на бесконечности как $1/r$ и, следовательно, не принадлежит пространству $L_2(r_0,\infty; r)$. Итак, по условию леммы
$$
\begin{equation*}
v_{\varphi,0} = \frac 1r \int_{r_0}^r s w_0(s)\,ds = -\frac 1r \int_r^\infty s w_0(s)\, ds,
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |v_{\varphi,0}| ={}& \biggl| \frac 1r \int_r^\infty s w_0(s)\,ds \biggr| \leqslant{} \\ &\leqslant \biggl| r^{-1} \int_r^\infty s^{ 1/2 - N}w_0(s) (1+s)^N \sqrt s\, ds \biggr|\leqslant{} \\ &\leqslant r^{-1} \sqrt{\int_r^\infty s^{1 - 2N}\,ds}\, \sqrt{\int_r^\infty w^2_0(s) (1+s^2)^N s\,ds} \leqslant{} \\ &\leqslant \frac 1{r^N \sqrt{2N-2}} \|w_0(\cdot)\|_{L_{2,N}(r_0,\infty; r)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
И поэтому $v_{\varphi,0}$ ввиду (3.9) принадлежит пространству $L_2(r_0,\infty; r)$. Тогда, суммируя по $k$ и пользуясь равенством Парсеваля для рядов Фурье, получим требуемое в лемме неравенство. Лемма доказана. Неравенство (3.8) позволяет получить оценку в пространстве $H^1$. Следствие 1. В условиях леммы 1 верна следующая оценка: 3.2. Задача дивергенция-ротор во внешности односвязной областиПредположим, что $\Phi$ есть отображение Римана из области $\Omega$ во внешность круга $B_{r_0}$ такое, что где $p=y_1+iy_2 \in \mathbb{C}$. Тогда для $z=x_1+ix_2 \in \mathbb{C}$ обратное преобразование $\Phi^{-1}(z)\! : B_{r_0} \to \Omega$ удовлетворяет соотношению В дополнение к этому предположим, что
$$
\begin{equation}
\biggl(\Phi^{-1}\biggr)'(z)=1+O\biggl(\frac 1{z^2} \biggr).
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Итак, имеются две векторные переменные: $\mathbf{y}=(y_1, y_2) \in \Omega$ и $\mathbf{x}=(x_1, x_2) \in B_{r_0}$. Сделаем замену $\mathbf{y}$ на $\mathbf{x}$ в системе уравнений (1.1), (1.2). Пусть $\mathbf{v}(p)$ определяет векторное поле в $\Omega$, где $p=y_1+iy_2$. Учитывая, что векторное поле восстанавливается по ротору через ковариантный косой градиент, определим векторное поле во внешности круга через ковариантное соотношение:
$$
\begin{equation*}
\mathbf{v}(\mathbf{y}) = D\Phi^t \hat{ \mathbf{v}}(\mathbf{x}(\mathbf{y})),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
D\Phi = \begin{pmatrix} \operatorname{Re} \Phi'_{x_1} &\operatorname{Re} \Phi'_{x_2} \\ \operatorname{Im} \Phi'_{x_1} &\operatorname{Im} \Phi'_{x_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Re} \Phi'_{x_1} &-\operatorname{Im} \Phi'_{x_1} \\ \operatorname{Im} \Phi'_{x_1} &\hphantom{-}\operatorname{Re} \Phi'_{x_1} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\mathbf{v}(\mathbf{x})=(D\Phi^{-1})^t \mathbf{v}(\Phi^{-1}(\mathbf{x}))=(D\Phi^{-1})^t \mathbf{v}(\operatorname{Re} \Phi^{-1}(x_1+ix_2), \operatorname{Im} \Phi^{-1}(x_1+ix_2))
\end{equation*}
\notag
$$
определяет векторное поле в $B_{r_0}$, а $\hat w(\mathbf{x}) = w(\Phi(\mathbf{x}))$ задает вихревую функцию в $B_{r_0}$. Из соотношений Коши–Римана
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial x_1}{\partial y_1} = \frac{\partial x_2}{\partial y_2}, \qquad \frac{\partial x_2}{\partial y_1} = - \frac{\partial x_1}{\partial y_2}
\end{equation*}
\notag
$$
имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{div}_{\mathbf{y}} \mathbf{v}(\mathbf{y}) &= \frac{\partial v_1}{\partial y_1}+\frac{\partial v_2}{\partial y_2}= \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \frac{\partial x_1}{\partial y_1}+ \frac{\partial v_1}{\partial x_2} \frac{\partial x_2}{\partial y_1}+\frac{\partial v_2}{\partial x_1} \frac{\partial x_1}{\partial y_2}+ \frac{\partial v_2}{\partial x_2} \frac{\partial x_2}{\partial y_2}={}\\ &=\frac{\partial v_1}{\partial x_1} \frac{\partial x_1}{\partial y_1}+ \frac{\partial v_1}{\partial x_2} \frac{\partial x_2}{\partial y_1}+\frac{\partial v_2}{\partial x_1} \frac{\partial x_1}{\partial y_2}+ \frac{\partial v_2}{\partial x_2} \frac{\partial x_2}{\partial y_2} =\\ &=\frac{\partial x_1}{\partial y_1}\biggl( \frac{\partial v_1}{\partial x_1}+\frac{\partial v_2}{\partial x_2} \biggr) - \frac{\partial x_2}{\partial y_1} \biggl(\frac{\partial v_2}{\partial x_1} - \frac{\partial v_1}{\partial x_2} \biggr)=\\ &= \frac{\partial x_1}{\partial y_1} \operatorname{div}_{\mathbf{x}} v(\mathbf{x}) - \frac{\partial x_2}{\partial y_1} \operatorname{curl}_{\mathbf{x}} v(\mathbf{x}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичным образом получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{curl}_{\mathbf{y}} \mathbf{v}(\mathbf{y}) &= \frac{\partial v_2}{\partial y_1} - \frac{\partial v_1}{\partial y_2}= \frac{\partial v_2}{\partial x_1} \frac{\partial x_1}{\partial y_1}+ \frac{\partial v_2}{\partial x_2} \frac{\partial x_2}{\partial y_1}-\frac{\partial v_1}{\partial x_1} \frac{\partial x_1}{\partial y_2}- \frac{\partial v_1}{\partial x_2} \frac{\partial x_2}{\partial y_2}={}\\ &= \frac{\partial x_1}{\partial y_1} \operatorname{curl}_{\mathbf{x}} v(\mathbf{x}) + \frac{\partial x_2}{\partial y_1} \operatorname{div}_{\mathbf{x}} v(\mathbf{x}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Окончательно, система (1.1), (1.2) принимает вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\partial x_1}{\partial y_1} \operatorname{div}_{\mathbf{x}} \mathbf{v}(\mathbf{x})- \frac{\partial x_2}{\partial y_1} \operatorname{curl}_{\mathbf{x}} \mathbf{v}(\mathbf{x})&= 0, \\ \frac{\partial x_2}{\partial y_1} \operatorname{div}_{\mathbf{x}} \mathbf{v}(\mathbf{x}) + \frac{\partial x_1}{\partial y_1} \operatorname{curl}_{\mathbf{x}} \mathbf{v}(\mathbf{x}) &= \hat w(\mathbf{x}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{div}_{\mathbf{x}} \mathbf{v}(\mathbf{x}) = \frac {\partial x_2/\partial y_1}{ ( \partial x_1/\partial y_1 )^2 + (\partial x_1/\partial y_2)^2}\hat w(\mathbf{x}), \\ \operatorname{curl}_{\mathbf{x}} \mathbf{v}(\mathbf{x}) = \frac {\partial x_1/\partial y_1}{ ( \partial x_1/\partial y_1)^2 +(\partial x_1/\partial y_2)^2}\hat w(\mathbf{x}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Но комплексная производная $\Phi'(p)$ определяется как
$$
\begin{equation*}
\Phi'(p) = \frac{\partial x_1}{\partial y_1} + i \frac{\partial x_2}{\partial y_1} = \frac{\partial x_2}{\partial y_2} - i \frac{\partial x_1}{\partial y_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{curl} \mathbf{v}_{\mathbf{x}} + i \operatorname{div} \mathbf{v}_{\mathbf{x}} = \frac {\Phi'(p)}{|\Phi'(p)|^2} \hat w.
\end{equation*}
\notag
$$
Найдем дивергенцию поля
$$
\begin{equation}
\hat {\mathbf{v}} = (D\Phi^{-1})^t \mathbf{v}(\Phi^{-1}(\mathbf{x})).
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Матрица Якоби и транспонированная к ней матрица имеют вид
$$
\begin{equation*}
D\Phi^{-1} = \begin{pmatrix} \vphantom{\Biggl\}}\dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} &-\dfrac{\partial y_2}{\partial x_1} \\ \dfrac{\partial y_2}{\partial x_1} &\hphantom{-}\dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} \end{pmatrix},\qquad (D\Phi^{-1})^t = \begin{pmatrix} \vphantom{\Biggl\}}\hphantom{-}\dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} &\dfrac{\partial y_2}{\partial x_1} \\ -\dfrac{\partial y_2}{\partial x_1} &\dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
D\Phi^{-1} =\frac 1{|\Phi'|^2} \begin{pmatrix} \vphantom{\Biggl\}}\hphantom{-}\dfrac{\partial x_1}{\partial y_1} &\dfrac{\partial x_2}{\partial y_1} \\ -\dfrac{\partial x_2}{\partial y_1} &\dfrac{\partial x_1}{\partial y_1} \end{pmatrix},\qquad (D\Phi^{-1})^t = \frac 1{|\Phi'|^2} \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x_1}{\partial y_1} & -\dfrac{\partial x_2}{\partial y_1} \\ \dfrac{\partial x_2}{\partial y_1} &\vphantom{\Biggl\}}\hphantom{-} \dfrac{\partial x_1}{\partial y_1} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{div}_{\mathbf{x}} \hat{ \mathbf{v}}(\mathbf{x}) &= \frac{\partial y_1}{\partial x_1} \operatorname{div}_{\mathbf{x}} \mathbf{v} + \frac{\partial y_2}{\partial x_1} \operatorname{curl}_{\mathbf{x}} \mathbf{v} ={} \\ &=\frac 1{|\Phi'|^2} \biggl( \frac{\partial y_1}{\partial x_1} \frac{\partial x_2}{\partial y_1}+ \frac{\partial y_2}{\partial x_1} \frac{\partial x_1}{\partial y_1} \biggr)w = 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Найдем ротор $\hat{ \mathbf{v}}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{curl}_{\mathbf{x}} \hat{ \mathbf{v}}(\mathbf{x}) &= \frac{\partial y_1}{\partial x_1} \operatorname{curl}_{\mathbf{x}} \mathbf{v} - \frac{\partial y_2}{\partial x_1} \operatorname{div}_{\mathbf{x}} \mathbf{v} ={} \\ &=\frac 1{|\Phi'|^2} \biggl( \frac{\partial y_1}{\partial x_1} \frac{\partial x_1}{\partial y_1}- \frac{\partial y_2}{\partial x_1} \frac{\partial x_2}{\partial y_1} \biggr)={} \\ &=\biggl( \biggl( \frac{\partial y_1}{\partial x_1} \biggr)^{\!2} + \biggl( \frac{\partial y_2}{\partial x_1} \biggr)^{\!2}\, \biggr) \hat w = |{\Phi^{-1}}'|^2 \hat w. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Система (1.1)–(1.4) при ковариантной замене с отображением Римана переходит в следующую систему, заданную в $B_{r_0}$:
$$
\begin{equation}
\operatorname{curl} \mathbf{v}(\mathbf{x}) = |{\Phi^{-1}}'|^2 \hat w(\mathbf{x}),
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
$$
\begin{equation}
\mathbf{v}(\mathbf{x})\to\mathbf{v}_\infty,\qquad |\mathbf{x}|\to \infty.
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Введем обозначение где индекс $k$ означает $k$-й коэффициент Фурье и $z=re^{i\varphi}=x_1+ix_2$. Перепишем соотношения (3.13), (3.14) в полярных координатах в терминах коэффициентов Фурье $v_{r,k}$, $v_{\varphi,k}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rv_{r,k})+{\frac {ik}{r}} v_{\varphi,k} = 0,\\ &{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rv_{\varphi,k})-{\frac {ik}{r}} v_{r,k} = q_k(r). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В предположении нулевой циркуляции (1.5) из теоремы Стокса получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{R\to\infty}\oint_{|\mathbf{x}|=R} \mathbf{v}(\mathbf{x}) \cdot d\mathbf{l}&= \frac 1{2 \pi} \int_{B_{r_0}} \hat w(\mathbf{x}) \, dx={} \\ &= \frac 1{2 \pi} \int_{B_{r_0}} \frac {\hat w(\mathbf{x})}{|\Phi' |^2} \, dx = \int_{r_0}^\infty \biggl[\frac {\hat w(\mathbf{x})}{|\Phi'|^2} \biggr]_{k=0} s \, ds = 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Решение приведенной выше системы является единственным. Существование решения, как и в случае диска, обеспечено приводимыми ниже моментными соотношениями. Решение этой системы для $k\in\mathbb{Z}$ выводится аналогично (3.4), (3.5) и дается формулами
$$
\begin{equation}
\hat v_{r,k} = \operatorname{sgn}(k) \frac{ir^{-|k|-1}}2 \int_{r_0}^r s^{|k |+1}q_k\, ds + \operatorname{sgn}(k) \frac{ir^{|k|-1}}2 \int_r^\infty s^{-|k|+1}q_k\, ds + v^\infty_{r,k},
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
$$
\begin{equation}
\hat v_{\varphi,k} = \frac{r^{-|k|-1}}2 \int_{r_0}^r s^{|k|+1}q_k\, ds - \frac{r^{|k|-1}}2 \int_r^\infty s^{-|k|+1}q_k\, ds + v^\infty_{\varphi,k}.
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Эти формулы вместе с условием прилипания (3.15) приводят к соотношениям на завихренность:
$$
\begin{equation*}
\int_{r_0}^\infty s^{-|k|+1} q_k(s) \, ds = 2ik v^\infty_{r,k} = 2 v^\infty_{\varphi,k},\qquad k\in \mathbb{Z},
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation*}
\frac 1{2\pi}\int_{B_{r_0}} \frac {\hat w(\Phi^{-1}(\mathbf{x}))}{z^k} |{\Phi^{-1}}'(\mathbf{x})|^2 \, dx = 2ik v^\infty_{r,k} = 2 v^\infty_{\varphi,k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти моментные соотношения в области $\Omega$ имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac 1{2\pi}\int_{\Omega} \frac {w(\mathbf{x})}{\Phi(z)^k} \, dx = 2ik v^\infty_{r,k} = 2 v^\infty_{\varphi,k}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Для горизонтального потока со скоростью $\mathbf{v}_\infty=(v_\infty, 0)$ получим
$$
\begin{equation*}
\frac 1{2\pi} \int_{\Omega} \frac {w(\mathbf{x})}{\Phi(z)^k}\, d\mathbf{x} = \begin{cases} 0, &k \geqslant 0,\, k\neq 1, \\ i \mathbf{v}_\infty, &k=1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Формулы (3.17), (3.18) определяют коэффициенты Фурье интегрального преобразования
$$
\begin{equation}
\hat{ \mathbf{v}}(\mathbf{x})=\frac 1{2\pi} \int_{B_{r_0}} \frac{(\mathbf{x}-\mathbf{y})^\perp}{|\mathbf{x}-\mathbf{y} |^2} |{\Phi^{-1}}'(\mathbf{y})|^2 \hat w(\mathbf{y})\,d\mathbf{y} +\mathbf{v}_\infty.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Возвращаясь к исходному полю для $\mathbf{x} \in \Omega$, получаем
$$
\begin{equation}
\mathbf{v}(\mathbf{x})=\frac 1{2\pi} D\Phi^t(\mathbf{x}) \int_{\Omega} \frac{(\Phi(\mathbf{x})-\Phi(\mathbf{y}))^\perp}{|\Phi(\mathbf{x})-\Phi(\mathbf{y}) |^2} w(\mathbf{y})\,d\mathbf{y} +\mathbf{v}_\infty.
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Ядро этой формулы является косым градиентом функции Грина:
$$
\begin{equation*}
G(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \frac 1{2\pi} \ln |\Phi(\mathbf{x})-\Phi(\mathbf{y})|.
\end{equation*}
\notag
$$
3.3. Доказательство теоремы 1Единственность решения задачи (1.1)–(1.5) следует из наличия условия прилипания и структуры соответствующей когомологии. Существование решения следует из его явного вида (3.17), (3.18). Поле $\hat {\mathbf{v}}$, связанное с $\mathbf{v}$ ковариантным соотношением (3.12), определяется формулой (3.20). Из моментных соотношений следует, что среднее ротора равняется нулю. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\int_{B_{r_0}} w(\Phi^{-1}(\mathbf{x})) |{\Phi^{-1}}'(\mathbf{x})|^2\, d\mathbf{x}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из леммы 1 с учетом (3.11) с некоторыми $C_1$, $C_2$ получаем
$$
\begin{equation*}
\| \mathbf{v}(\cdot) - \mathbf{v}_\infty \|_{H^1(B_{r_0})} \leqslant C_1 \| w(\Phi^{-1}(\cdot)) |{\Phi^{-1}}'(\cdot)|^2 \|_{L_{2,N}(B_{r_0})} \leqslant C_2 \| w(\cdot) \|_{L_{2,N}(\Omega)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Неравенство
$$
\begin{equation*}
\| \mathbf{v}(\cdot) - \mathbf{v}_\infty \|_{H^1(\Omega)} \leqslant C_3 \| \hat {\mathbf{v}}(\cdot) - \mathbf{v}_\infty \|_{H^1(B_{r_0})}
\end{equation*}
\notag
$$
с некоторой $C_3>0$ завершает доказательство теоремы. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gor24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|