| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 25 научных статьях (всего в 25 статьях) Комбинированная обобщенная солитонная иерархия Каупа–Ньюэлла с наследственным оператором рекурсии и бигамильтоновой структурой Вэнь-Сю Маabcd a Department of Mathematics, Zhejiang Normal University, Zhejiang, China b Department of Mathematics, King Abdulaziz University, Jeddah, Saudi Arabia c Department of Mathematics and Statistics, University of South Florida, Tampa, USA d Material Science Innovation and Modelling, Department of Mathematical Sciences, North-West University, Mafikeng Campus, Mmabatho, South Africa
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 221, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924100027 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеИнтегрируемые модели связаны с матричными задачами нахождения собственных чисел [1], [2], т. е. с парами Лакса [3], для этих моделей существуют наследственный оператор рекурсии, который порождает одни симметрии из других, а также бигамильтонова структура, которая связывает симметрии с сохраняющимися величинами [4]. Матричные задачи на собственные числа также используются для формулировки обратного преобразования рассеяния, которое позволяет решать задачи с начальными условиями [1]. Интегрируемые модели имеют разнообразное применение в физических науках и инженерии, в таких областях как волны на воде, нелинейная оптика и квантовая механика [2]. Существуют хорошо известные примеры интегрируемых моделей, в частности интегрируемые модели Абловица–Каупа–Ньюэлла–Сигура [5] и их интегрируемые спаривания [6]. Матричные алгебры Ли обеспечивают прочное основание для интегрируемых моделей в рамках формализма представления нулевой кривизны [6]–[8]. Всегда важно понимать, какого типа матричная задача на собственные числа может привести к интегрируемым моделям. В настоящей статье мы предлагаем новую ($4\times 4$)-матричную задачу на собственные числа типа задачи Каупа–Ньюэлла и строим соответствующую солитонную иерархию исходя из специальной матричной алгебры Ли. Представление нулевой кривизны является мощным формализмом в построении интегрируемых моделей (подробнее см. [8], [9]). Как обычно, обозначим столбец вектора потенциалов через $u=(u_1,\dots,u_q)^\mathrm{T}$, а спектральный параметр – через $\lambda$. Пусть $\tilde g$ – данная матричная алгебра петель с петельным параметром $\lambda$. Матрица $F_0$ из $\tilde g$ называется псевдорегулярной, если она удовлетворяет условиям
$$
\begin{equation}
\operatorname{Im} \operatorname{ad}_{F_0} \oplus \operatorname{Ker} \operatorname{ad}_{F_0} = \tilde g,\qquad [\operatorname{Ker} \operatorname{ad}_{F_0},\operatorname{Ker} \operatorname{ad}_{F_0}]=0,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $\operatorname{ad}_{F_0}$ означает сопряженное действие матрицы $F_0$ на $\tilde g$. Возьмем одну псевдорегулярную матрицу $F_0$ и $q$ линейно независимых матриц $F_1,\dots ,F_q$ в $\tilde g$ и введем пространственную спектральную матрицу:
$$
\begin{equation}
\mathcal{M}=\mathcal{M}(u,\lambda) = F_0(\lambda)+ u_1 F_1(\lambda)+\cdots + u_q F_q (\lambda).
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Затем вычислим решение, заданное в виде ряда Лорана стационарного уравнения нулевой кривизны в основной алгебре петель $\tilde g$. Псевдорегулярность гарантирует существование такого решения в виде ряда Лорана. После этого можно найти бесконечную последовательность временны́х спектральных матриц
$$
\begin{equation}
\mathcal{N}^{[m]} = (\lambda ^m Z)_+ +\Delta _m, \qquad (\lambda ^m Z)_+=\sum_{n=0}^m \lambda ^{m-n}Z^{[n]},\qquad m\geqslant 0, \quad \Delta_m\in \tilde g,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
которая предоставляет вторые части пар Лакса, при этом уравнения нулевой кривизны
$$
\begin{equation}
\mathcal{M}_{t_m}-\mathcal{N}^{[m]}_{x}+[\mathcal{M},\mathcal{N}^{[m]}]=0, \qquad m\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
порождают солитонную иерархию: Уравнения нулевой кривизны (1.5) в действительности представляют собой условие разрешимости пространственной и временно́й матричных задач на собственные числа:
$$
\begin{equation}
\varphi_x=\mathcal{M}\varphi, \qquad \varphi_{t_m}=\mathcal{N}^{[m]}\varphi ,\qquad m\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
В процессе определения модифицирующих членов $\Delta _m$, $m\geqslant 0$, мы часто будем использовать метод проб и ошибок. Теперь можно задать бигамильтонову структуру для результирующей солитонной иерархии (1.6), определив наследственный оператор рекурсии и применив так называемое тождество следа
$$
\begin{equation}
\frac {\delta}{\delta u} \int \operatorname{tr}\biggl(Z \frac{\partial \mathcal{M}}{\partial \lambda} \biggr)\, dx = \lambda^{-\kappa} \frac {\partial}{\partial \lambda} \lambda^{\kappa} \operatorname{tr}\biggl(Z \frac {\partial \mathcal{M}}{\partial u}\biggr),
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
где $\delta/\delta u$ – вариационная производная по $u$, а $\kappa$ – константа, не зависящая от спектрального параметра $\lambda$. Отсюда следует, что любой член в солитонной иерархии имеет бигамильтонову структуру и, следовательно, интегрируется по Лиувиллю (см., например, [8]–[10]). В литературе существуют различные иерархии моделей, интегрируемых по Лиувиллю [5]–[20]. Среди однокомпонентных интегрируемых иерархий отметим иерархию Кортевега–де Фриза, иерархию нелинейного уравнения Шредингера и иерархию модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза [1], [2]. Случай двух компонент также очень популярен, к хорошо известным примерам такого рода относятся интегрируемая иерархия Абловица–Каупа–Ньюэлла–Сигура [5], интегрируемая иерархия Гейзенберга [21], интегрируемая иерархия Каупа–Ньюэлла [22] и интегрируемая иерархия Вадати–Конно–Итикавы [23]. Все указанные солитонные иерархии связаны со спектральными $(2\times 2)$-матрицами. Случай спектральных матриц более высокого порядка приводит к более высокому уровню сложности. Цель работы – предложить конкретную спектральную $(4\times 4)$-матрицу типа Каупа–Ньюэлла и построить соответствующие иерархии четырехкомпонентных моделей, интегрируемых по Лиувиллю, в рамках формализма представления нулевой кривизны на основе специальной матричной алгебры Ли. Вводятся наследственный оператор рекурсии и бигамильтонова структура, показывающие интегрируемость по Лиувиллю полученной солитонной иерархии. Предложен наглядный пример, состоящий из комбинированных обобщенных интегрируемых нелинейных уравнений Шредингера с производной. Выводы и заключительные замечания представлены в разделе 4. 2. Солитонная иерархия с четырьмя потенциаламиВозьмем произвольное действительное число $\delta$ и квадратную матрицу $T$ порядка $r\in \mathbb{N}$, которая удовлетворяет условию где $I_r$ обозначает единичную матрицу порядка $r$. Введем ряд $\tilde g$ блочных матриц:
$$
\begin{equation}
\tilde g=\biggl\{ A=\begin{bmatrix} A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 \end{bmatrix}_{2r\times 2r} \biggm| A_4=TA_1T^{-1},\ A_3 =\delta TA_2 T^{-1} \biggr\}.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Очевидно, этот ряд формирует матричную алгебру Ли, причем матричный коммутатор $[A,B]=AB-BA$ является скобкой Ли. В дальнейшем мы используем эту матричную алгебру Ли вместе с условиями $r=2$, $\delta=1$ и
$$
\begin{equation}
T=\begin{bmatrix} 0& 1\\1 & 0\end{bmatrix}\quad \text{или} \quad \begin{bmatrix} \hphantom{-}0& -1\\ -1 & \hphantom{-}0\end{bmatrix}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
при построении нужной нам специальной спектральной матрицы. Пусть $u=u(x,t)=(u_1,u_2,u_3,u_4)^\mathrm{T}$ – вектор столбец с четырьмя потенциалами, а $\alpha_1$ и $\alpha _2 $ – два произвольных вещественных числа. Предположим также, что Исходя из результатов последних исследований матричных задач на собственные значения с четырьмя потенциалами (см. примеры матричных задач на собственные значения произвольного порядка [24]–[27] и четвертого порядка [28], [29]) мы вводим и изучаем матричную задачу на собственные значения вида
$$
\begin{equation}
\varphi_x=\mathcal{M} \varphi=\mathcal{M}(u,\lambda )\varphi, \qquad \mathcal{M}= \begin{bmatrix} 0 & \lambda u_1 &\lambda u_2 & \alpha _1 \lambda ^2 \\ \lambda u_3 & 0 &\alpha _2 \lambda ^2 &\lambda u_4 \\ \lambda u_4 &\alpha _2 \lambda ^2 & 0 & \lambda u _3 \\ \alpha _1 \lambda ^2 & \lambda u_2 & \lambda u_1 & 0 \end{bmatrix},
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $\lambda$, как обычно, является спектральным параметром. Спектральная матрица $\mathcal{M}$ строится по указанной выше матричной алгебре Ли $\tilde g$ и является в некотором смысле $(4\times 4)$-матричным обобщением задачи Каупа–Ньюэлла на собственные значения [22]. Для $(4\times 4)$-матричных задач на собственные значения нелегко определить пару Лакса, которая порождает иерархию интегрируемых моделей. Интересно заметить, что указанная задача на собственные значения порождает соответствующую интегрируемую иерархию, обладающую наследственным оператором рекурсии и бигамильтоновой структурой. Все уравнения этой иерархии обладают специальными комбинированными структурами. Для построения нужной солитонной иерархии обычно начинают с соответствующего стационарного уравнения нулевой кривизны (1.3). Опираясь на представленную матричную алгебру Ли, выберем матрицу вида
$$
\begin{equation}
Z =\begin{bmatrix} a & \hphantom{-}b & \hphantom{-}e & f\, \\ c &-a & -f &g \\ g &- f & -a & c \\ f & \hphantom{-}e & \hphantom{-}b & a \end{bmatrix} =\sum_{n\geqslant 0} \lambda ^{-n} Z ^{[n]}.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Причина использования такой структуры заключается в том, что со специальной спектральной матрицей $\mathcal{M}$ вида (2.5) произвольная матрица из $\tilde g$ приводит к матричному коммутатору вида (2.6). Как следствие, соответствующее стационарное уравнение нулевой кривизны (1.3) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{cases} a_x=\lambda c u_1+ \lambda g u_2 - \lambda b u_3 - \lambda e u_4, \\ b_x=\alpha \lambda ^2 e - 2 \lambda a u_1 - 2 \lambda f u_2, \\ c_x=-\alpha \lambda ^2 g + 2 \lambda a u_3 + 2 \lambda f u_4, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{cases} e_x=\alpha \lambda ^2 b - 2 \lambda f u_1 - 2 \lambda a u_2, \\ g_x=-\alpha \lambda ^2 c + 2 \lambda f u_3 + 2 \lambda a u_4, \\ f_x= \lambda g u_1 + \lambda c u_2 - \lambda e u_3 - \lambda b u_4. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Анализируя эти уравнения, можно предположить, что основные элементы решения $Z $ представимы в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} a&=\sum_{n\geqslant 0}\lambda ^{-2n} a^{[n]},&\qquad b&=\sum_{n\geqslant 0}\lambda ^{-2n-1} b^{[n]},&\qquad c&=\sum_{n\geqslant 0}\lambda ^{-2n-1} c^{[n]}, \\ e&=\sum_{n\geqslant 0}\lambda ^{-2n-1} e^{[n]},&\qquad f&=\sum_{n\geqslant 0}\lambda ^{-2n} f^{[n]},&\qquad g&=\sum_{n\geqslant 0}\lambda ^{-2n-1} g^{[n]}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Для нахождения решения $Z$ рекуррентным способом уравнения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, -\alpha \lambda f_x &= u_3 b_x + u_1 c_x + u_4 e_x + u_2 g_x, \\ -\alpha \lambda a_x &= u_4 b_x + u_2 c_x + u_3 e_x + u_1 g_x \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
являются ключевыми, в чем можно непосредственно убедиться. Теперь видно, что уравнения (2.7) и (2.8) приводят к двум начальным уравнениям
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a^{[0]}_{x}&=u_1 c^{[0]} +u_2 g^{[0]} - u_3 b^{[0]} - u_4 e^{[0]}, \\ f^{[0]}_{x}&=u_1 g^{[0]} +u_2 c^{[0]} - u_3 e^{[0]} - u_4 b^{[0]} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
и рекуррентным соотношениям для определения решения в виде ряда Лорана
$$
\begin{equation}
\begin{cases} a^{[n+1]}_x= -\frac 1 \alpha (u_4 b^{[n]}_x+ u_2 c^{[n]}_x + u_3 e^{[n]}_x + u_1 g^{[n]}_x), \\ f^{[n+1]}_x= -\frac 1 \alpha (u_3 b^{[n]}_x+ u_1 c^{[n]}_x + u_4 e^{[n]}_x + u_2 g^{[n]}_x), \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{cases} b^{[n+1]}= \frac 1 {\alpha} ( e_{x} ^{[n]} +2 u_1 f^{[n+1]} +2 u_2 a^{[n+1]} ), \\ c^{[n+1]}= \frac 1 {\alpha} (- g_{x} ^{[n]} + 2 u_3 f^{[n+1]} + 2 u_4 a^{[n+1]}), \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{cases} e^{[n+1]}= \frac 1 {\alpha} (b_{x} ^{[n]} + 2 u_1 a^{[n+1]} +2 u_2 f^{[n+1]}), \\ g^{[n+1]}= \frac 1 {\alpha} (-c_{x} ^{[n]}+ 2 u_3 a^{[n+1]} + 2 u_4 f^{[n+1]}), \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
где $n\geqslant 0$. Чтобы достичь единственности решения в виде ряда Лорана, зафиксируем начальные данные, решив систему (2.11),
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} b ^{[0]}&=\beta u_1 +\gamma u_2,&\qquad c ^{[0]}&=\beta u_3 + \gamma u_4, \\ e ^{[0]}&=\beta u_2+ \gamma u_1,&\qquad g ^{[0]}&=\beta u_4 +\gamma u_3, \\ a ^{[0]}&=\mathrm{const},&\qquad f ^{[0]}&=\mathrm{const}, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
где две константы $\beta$ и $\gamma$ произвольны, и фиксируем константы интегрирования системы (2.12) равными нулю,
$$
\begin{equation}
a ^{ [n] }|_{u=0}=0,\qquad f ^{ [n] }|_{u=0}=0,\qquad n\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Начальные значения для $a^{[0]}$ и $f^{[0]}$ не влияют на все остальные коэффициенты решения в виде ряда Лорана, но две константы $\beta$ и $\gamma$ вносят разнообразие в соответствующие интегрируемые модели, выявляя комбинированную структуру в итоговых моделях. Теперь можно провести следующие вычисления:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{cases} a^{[1]}=-\frac{1}{\alpha} [(\gamma u_3+ \beta u_4) u_1 +(\beta u_3+ \gamma u_4) u_2], \\ f^{[1]}=-\frac{1}{\alpha} [(\beta u_3+ \gamma u_4) u_1+(\gamma u_3+ \beta u_4) u_2], \end{cases} \\ \begin{cases} b^{[1]}=\frac{1}{\alpha} \bigl\{ \gamma u_{1,x}+\beta u_{2,x} -\frac{2}{\alpha} [(\beta u_3+ \gamma u_4) u_1 +(\gamma u_3+ \beta u_4) u_2 ]u_1-{} \\ \qquad\quad -{} \frac{2}{\alpha} [(\gamma u_3+ \beta u_4) u_1 +(\beta u_3+ \gamma u_4) u_2]u_2 \bigr\}, \\ c^{[1]}=\frac{1}{\alpha} \bigl\{ -\gamma u_{3,x}-\beta u_{4,x} -\frac{2}{\alpha} [(\beta u_3+ \gamma u_4) u_1 +(\gamma u_3+ \beta u_4) u_2 ]u_3-{} \\ \qquad\quad -{} \frac{2}{\alpha} [(\gamma u_3+ \beta u_4) u_1 +(\beta u_3+ \gamma u_4) u_2]u_4 \bigr\}, \end{cases} \\ \begin{cases} e^{[1]}= \frac{1}{\alpha} \bigl\{ \beta u_{1,x}+\gamma u_{2,x} -\frac 2 \alpha [(\gamma u_3+ \beta u_4) u_1 +(\beta u_3+ \gamma u_4) u_2 ]u_1-{} \\ \qquad\quad -{} \frac{2}{\alpha} [(\beta u_3+ \gamma u_4) u_1 +(\gamma u_3+ \beta u_4) u_2]u_2 \bigr\}, \\ g^{[1]}= \frac{1}{\alpha} \bigl\{ -\beta u_{3,x}-\gamma u_{4,x} -\frac 2 \alpha [(\gamma u_3+ \beta u_4) u_1 +(\beta u_3+ \gamma u_4) u_2 ]u_3-{} \\ \qquad\quad -{} \frac{2}{\alpha} [(\beta u_3+ \gamma u_4) u_1 +(\gamma u_3+ \beta u_4) u_2]u_4 \bigr\}. \end{cases} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тщательно исследовав соответствующее уравнение нулевой кривизны, введем временну́ю матричную задачу на собственные значения,
$$
\begin{equation}
\varphi_{t_m}=\mathcal{N}^{[m]} \varphi= \mathcal{N}^{[m]} (u ,\lambda)\varphi, \qquad \mathcal{N}^{[m]} =\lambda (\lambda^{2m+1} Z )_+, \qquad m\geqslant 0
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
(где индекс $+$ обозначает полиномиальную часть $\lambda$, как и в выражении (1.4)), чтобы породить соответствующие интегрируемые модели. Условия разрешимости пространственной и временно́й матричных задач на собственные значения (2.5) и (2.17) являются в точности уравнениями нулевой кривизны (1.5). Все указанные уравнения нулевой кривизны приводят к солитонной иерархии с четырьмя потенциалами:
$$
\begin{equation}
u_{t_m }=X^{[m]}=X^{[m]}(u ) = (b^{[m]}_x,e^{[m ]}_x, c^{[m ]}_x, g^{[m ]}_x )^\mathrm{T},\qquad m\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
или, точнее, к иерархии моделей с четырьмя уравнениями:
$$
\begin{equation}
u_{1,t_m }= b^{[m ]}_x,\qquad u_{2,t_m}= e^{[m ]}_x,\qquad u_{3,t_m}= c^{[m ]}_x,\qquad u_{4,t_m }= g^{[m ]}_x,\qquad m\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Первым нелинейным примером в этой иерархии является модель обобщенных интегрируемых нелинейных уравнений Шредингера с производной:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} u_{1,t_1}= \frac{1}{\alpha} ( \gamma u_{1,xx}+ \beta u_{2,xx}) -\frac{2}{\alpha ^2} \{ [(\beta u_3 + \gamma u_4) u_1 + ( \gamma u_3 +\beta u_4 )u_2 ]u_{1}\}_x-{} \\ \qquad\quad -{} \frac{2}{\alpha ^2}\{ (\gamma u_3 + \beta u_4) u_1 + ( \beta u_3 +\gamma u_4 )u_2 ]u_{2} \}_x, \\ u_{2,t_1}=\frac{1}{\alpha} (\beta u_{1,xx}+ \gamma u_{2,xx}) -\frac{2}{\alpha ^2} \{ [(\gamma u_3 + \beta u_4) u_1 + ( \beta u_3 +\gamma u_4 )u_2 ]u_{1}\}_x-{} \\ \qquad\quad -{} \frac{2}{\alpha ^2}\{ (\beta u_3 + \gamma u_4) u_1 + ( \gamma u_3 +\beta u_4)u_2 ]u_{2} \}_x, \\ u_{3,t_1}= - \frac{1}{\alpha} (\gamma u_{3,xx}+ \beta u_{4,xx}) -\frac{2}{\alpha ^2} \{ [( \beta u_3 +\gamma u_4) u_1 + (\gamma u_3 + \beta u_4) u_2]u_{3}\}_x-{} \\ \qquad\quad -{} \frac{2}{\alpha ^2}\{(\gamma u_3 +\beta u_4) u_1 + (\beta u_3 + \gamma u_4) u_2 ]u_{4} \}_x, \\ u_{4,t_2}=-\frac{1}{\alpha} (\beta u_{3,xx}+ \gamma u_{4,xx}) -\frac{2}{\alpha ^2} \{ [(\gamma u_3 + \beta u_4) u_1 + ( \beta u_3 +\gamma u_4)u_2 ]u_{3}\}_x-{} \\ \qquad\quad -{} \frac{2}{\alpha ^2}\{ (\beta u_3 + \gamma u_4) u_1 + (\gamma u_3 +\beta u_4)u_2 ]u_{4} \}_x. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Эта система представляет собой комбинированную интегрируемую модель с четырьмя компонентами, которая расширяет категорию связанных интегрируемых моделей типа нелинейного уравнения Шредингера (см., например, [30]–[32]). Отметим тот факт, что каждое уравнение в системе (2.20) содержит линейную комбинацию двух членов с производными второго порядка, поэтому такую модель мы называем комбинированной моделью. Два частных случая $\beta=0$ и $\gamma=0$ полученной солитонной иерархии приводят к некомбинированным интегрируемым моделям. Если положить $\alpha =\beta=1$ и $\gamma=0$ в модели (2.20), получим связанную интегрируемую модель нелинейного уравнения Шредингера с производной:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} u_{1,t_1}= u_{2,xx} -2 [(u_1u_3 +u_2u_4 ) u_1+ (u_1u_4+u_2u_3) u_2]_x, \\ u_{2,t_1}=u_{1,xx} -2 [(u_1u_4 +u_2u_3 ) u_1+ (u_1u_3+u_2u_4 ) u_2]_x, \\ u_{3,t_1}=-u_{4,xx} -2 [(u_1u_3 +u_2u_4 ) u_3+ (u_1u_4+u_2u_3 ) u_4]_x, \\ u_{4,t_1}=- u_{3,xx} -2 [(u_1u_4 +u_2u_3 ) u_3+ (u_1u_3+u_2u_4 ) u_4]_x. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Если положить $\alpha =\gamma=1$ и $\beta=0$ в модели (2.20), получим другую связанную интегрируемую модель нелинейного уравнения Шредингера с производной:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} u_{1,t_1}= u_{1,xx} -2 [(u_1u_4 +u_2u_3 ) u_1+ (u_1u_3+u_2u_4 ) u_2]_x, \\ u_{2,t_1}= u_{2,xx} -2 [(u_1u_3 +u_2u_4 ) u_1+ (u_1u_4+u_2u_3 ) u_2]_x, \\ u_{3,t_1}=- u_{3,xx} -2 [(u_1u_4 +u_2u_3 ) u_3+ (u_1u_3+u_2u_4 ) u_4]_x, \\ u_{4,t_1}=- u_{4,xx} -2 [(u_1u_3 +u_2u_4 ) u_3+ (u_1u_4+u_2u_3 ) u_4]_x. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Наблюдается интересное явление, которое заключается в том, что в полученных двух моделях происходит просто обмен первой компоненты со второй и третьей с четвертой в векторных полях правой части. Удивительно, что эти две некомбинированные модели всё равно коммутируют друг с другом. 3. Оператор рекурсии и бигамильтонова структураЧтобы выявить бигамильтонову структуру и показать интегрируемость солитонной иерархии (2.19) по Лиувиллю, воспользуемся тождеством следов (1.8) для случая пространственной задачи на собственные значения (2.5). С помощью представления решения $Z$ в виде ряда Лорана (2.6) нетрудно получить следующие соотношения:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \operatorname{tr} \biggl(Z \frac {\partial \mathcal{M}}{\partial \lambda}\biggr)&=2(2\alpha \lambda f + b u_3 + c u_1 + e u_4 + g u_2), \\ \operatorname{tr} \biggl( Z \frac {\partial \mathcal{M}}{\partial u }\biggr) &= 2(\lambda c, \lambda g, \lambda b, \lambda e)^\mathrm{T}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
и, как следствие этих вычислений, тождество следов порождает соотношение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac {\delta }{\delta u} \int \lambda^{-2 n-1} & (2\alpha f ^{[n +1]} + u_3 b^{[n]} + u_4 e^{[n]} + u_1c^{[n]} + u_2 g^{[n]}) \, dx={} \notag \\ &= \lambda^{-\kappa }\frac \partial {\partial \lambda} \lambda^{\kappa-2 n} (c^{ [n] }, g^{ [n] }, b^{ [n] }, e^{ [n] }) ^\mathrm{T}, \qquad n\geqslant 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Проверка для значения $n =1$ дает $\kappa =0$, и, следовательно, приходим к уравнению
$$
\begin{equation}
\frac{\delta }{\delta u} \mathcal{H}^{ [n] } = ( c^{[ n ]}, g^{[ n ]},b^{[ n ]} , e^{[ n ]})^\mathrm{T}, \qquad n\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где гамильтоновы функционалы имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal{H}^{ [0] }={}&\int \frac 12 [u_1(\beta u_3 + \gamma u_4) + u_2(\beta u_4 + \gamma u_3)+{} \\ &+ u_3(\beta u_1 + \gamma u_2)+u_4(\beta u_2 + \gamma u_1)]\, dx, \\ \mathcal{H}^{ [n] }={}&-\int \frac 1 {2n} ( 2\alpha f ^{[n +1]} + u_3 b^{[n]} + u_1c^{[n]} + u_4 e^{[n]} + u_2 g^{[n]}) \, dx,\qquad n\geqslant 1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Приведенные гамильтоновы функционалы $\mathcal{H}^{[0]}$ получены прямыми вычислениями. Представленный уравнением (3.3) результат позволяет получить гамильтонову структуру для солитонной иерархии (2.19):
$$
\begin{equation}
u_{t_m}=X^{[m]}=J_1 \frac {\delta \mathcal{H}^{[m]}}{\delta u}, \qquad m\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где гамильтонов оператор $J_1$ задается выражением
$$
\begin{equation}
J_1=\left[\,\begin{array}{ccc@{\,\,\,}|@{\,\,\,}ccc} &&&\partial & &0 \\ &0 & &&&\\ &&&0 & &\partial \\ \hline \partial & & 0 &&&\\ &&&&0 &\\ 0&&\partial&&& \end{array}\, \right],
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
а функционалы $\mathcal{H}^{[m]}$ заданы выражениями (3.4). Согласно гамильтоновой структуре для каждой модели иерархии существует взаимосвязь $Y =J_1 \frac {\delta \mathcal{H}}{\delta u}$ между симметрией $Y$ и сохраняющимся функционалом $\mathcal{H}$. Характеристическую абелеву алгебру векторных полей $X^{[n]}$:
$$
\begin{equation}
[\![ X^{[n_1]},X^{[n_2]} ]\!]= X^{[n_1]}{'}(u)[X^{[n_2]}]-X^{[n_2]}{'}(u)[X^{[n_1]}]=0,\qquad n_1,n_2\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
можно получить из алгебры операторов Лакса:
$$
\begin{equation}
[\![\mathcal{N}^{[n_1]},\mathcal{N}^{[n_2]}]\!]= \mathcal{N}^{[n_1]}{'}(u)[X^{[n_2]}] - \mathcal{N}^{[n_2]}{'}(u)[X^{[n_1]}] + [ \mathcal{N}^{[n_1]},\mathcal{N}^{[n_2]}] =0
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
для $n_1,n_2\geqslant 0$. Это непосредственный результат связи между изоспектральными уравнениями нулевой кривизны (подробнее см. [33]). С другой стороны, на основе рекуррентного соотношения $X^{[m +1]}=\Phi X^{[m]}$ можно определить наследственный оператор рекурсии $\Phi=(\Phi_{jk})_{4\times 4}$ [4] для солитонной иерархии (2.19). Оператор $\Phi$ имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\displaystyle \begin{cases} \Phi_{11}= - \frac{2}{\alpha^2} (\partial u_1 \partial ^{-1} u_3 + \partial u_2 \partial ^{-1} u_4),\\ \Phi_{12}=\frac{1}{\alpha} \partial_x- \frac 2 { \alpha ^2} (\partial u_1 \partial ^{-1} u_4 + \partial u_2 \partial ^{-1} u_3), \\ \Phi_{13}=- \frac{2}{\alpha ^2} (\partial u_1 \partial ^{-1} u_1 + \partial u_2 \partial ^{-1} u_2),\\ \Phi_{14}=-\frac{2}{\alpha ^2} ( \partial u_1 \partial ^{-1} u_2 + \partial u_2 \partial ^{-1} u_1 ); \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \Phi_{21}= \frac{1}{\alpha} \partial_x -\frac 2 { \alpha^2} (\partial u_1 \partial ^{-1} u_4 + \partial u_2 \partial ^{-1} u_3),\\ \Phi_{22}= -\frac 2 {\alpha ^2} (\partial u_1 \partial ^{-1} u_3 + \partial u_2 \partial ^{-1} u_4), \\ \Phi_{23}=- \frac{2}{\alpha ^2} (\partial u_1 \partial ^{-1} u_2 + \partial u_2 \partial ^{-1} u_1),\\ \Phi_{24}=- \frac{2}{\alpha ^2} (\partial u_1 \partial ^{-1} u_1 +\partial u_2 \partial ^{-1} u_2 ); \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \Phi_{31}= -\frac{2}{\alpha^ 2} ( \partial u_3 \partial ^{-1} u_3+ \partial u_4 \partial ^{-1} u_4),\\ \Phi_{32}=- \frac{2}{\alpha ^2} (\partial u_3 \partial ^{-1} u_4 +\partial u_4 \partial ^{-1} u_3), \\ \Phi_{33}= - \frac{2}{\alpha ^2} ( \partial u_3 \partial ^{-1} u_1 + \partial u_4 \partial ^{-1} u_2),\\ \Phi_{34}= -\frac{1}{\alpha} \partial_x -\frac 2 {\alpha ^2} (\partial u_3 \partial ^{-1} u_2 +\partial u_4 \partial ^{-1} u_1 ); \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \Phi_{41}=- \frac{2}{\alpha ^2} ( \partial u_3 \partial ^{-1} u_4 + \partial u_4 \partial ^{-1} u_3),\\ \Phi_{42}= - \frac 2 {\alpha ^2} (\partial u_3 \partial ^{-1} u_3 + \partial u_4 \partial ^{-1} u_4), \\ \Phi_{43}= -\frac{1}{\alpha} \partial_x - \frac 2 {\alpha ^2} (\partial u_3 \partial ^{-1} u_2 + \partial u_4 \partial ^{-1} u_1),\\ \Phi_{44}=- \frac{2}{\alpha ^2} ( \partial u_3 \partial ^{-1} u_1 + \partial u_4 \partial ^{-1} u_2 ). \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Наследственность оператора $\Phi$ означает [34], что он удовлетворяет уравнению для произвольного векторного поля $X$, где производная Ли $L_X \Phi$ определяется выражением
$$
\begin{equation*}
(L_X\Phi ) Y = \Phi [\![ X , Y ]\!] -[\![ X ,\Phi Y ]\!].
\end{equation*}
\notag
$$
Оператор $\Psi=\Psi(x,t,u,u_x,\dots)$ является оператором рекурсии для данного эволюционного уравнения $u_t=X(u)$, если $\Psi$ удовлетворяет уравнению Легко проверить, что $L_{X^{[0]}}\Phi=0$, и, таким образом, имеем
$$
\begin{equation}
L_{X^{[m]}}\Phi = L_{\Phi X^{[m-1]} }\Phi= \Phi L_{X^{[m-1]}} \Phi =\cdots= \Phi ^{m}L_{X^{[0]}}\Phi =0,\qquad m\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Это означает, что оператор $\Phi$ является оператором рекурсии для любой модели иерархии (2.19). В литературе можно найти также несколько символьных алгоритмов непосредственного вычисления операторов рекурсии для данного нелинейного уравнения в частных производных (см., например, [35]). Проведя прямой анализ, можно показать, что операторы $J_1$ и $J_2= \Phi J_1 $ составляют гамильтонову пару. А именно, любая линейная комбинация $J$ операторов $J_1$ и $J_2$ также является гамильтонианом, поскольку удовлетворяет уравнению
$$
\begin{equation}
\int (Y^{[1]})^\mathrm{T} J'(u) [J Y^{[2]} ] Y^{[3]}\, dx +\mathrm{cycle} (Y^{[1]},Y^{[2]},Y^{[3]})=0,
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
где $Y^{[i]}$ – произвольные векторные поля. Таким образом, иерархия (2.19) обладает бигамильтоновой структурой [36]:
$$
\begin{equation}
u_{t_m }=X^{ [m] }=J_1\frac {\delta \mathcal{H}^{ [m] }}{\delta u}=J_2 \frac {\delta \mathcal{H}^{ [m -1]}}{\delta u},\qquad m\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Отсюда следует, что соответствующие гамильтоновы функционалы коммутируют друг с другом относительно соответствующих двух скобок Пуассона [8]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \{ \mathcal{H}^{[n_1]},\mathcal{H}^{[n_2]} \} _{J_1} &=\int \biggl(\frac {\delta \mathcal{H}^{[n_1]}}{\delta u}\biggr)^{\!\mathrm{T}} J_1 \frac {\delta \mathcal{H}^{[n_2]}}{\delta u} \, dx =0, \\ \{ \mathcal{H}^{[n_1]},\mathcal{H}^{[n_2]} \} _{J_2} &=\int \biggl(\frac {\delta \mathcal{H}^{[n_1]}}{\delta u}\biggr)^{\!\mathrm{T}} J_2 \frac {\delta \mathcal{H}^{[n_2]}}{\delta u} \, dx =0, \end{aligned} \qquad n_1,n_2\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Бигамильтонова структура влечет за собой также свойство наследственности оператора рекурсии $\Phi$ [4]. В заключение отметим, что любая модель иерархии (2.19) интегрируема по Лиувиллю и обладает бесконечным числом коммутирующих симметрий $\{X^{ [n] }\}_{n =0}^\infty$ и сохраняющихся функционалов $\{\mathcal{H}^{ [n] }\}_{n=0}^\infty$. Одной из наглядных интегрируемых моделей является система (2.20), которая добавляется к уже существующей категории нелинейных комбинированных гамильтоновых моделей с четырьмя компонентами, интегрируемых по Лиувиллю. 4. Заключительные замечанияИсходя из специальной матричной алгебры Ли получена $(4\times 4)$-матричная задача на собственные значения типа задачи Каупа–Ньюэлла, а также успешно построена иерархия четырехкомпонентных интегрируемых моделей в рамках формализма представления нулевой кривизны. Ключевым моментом является нахождение частного решения в виде ряда Лорана соответствующего стационарного уравнения нулевой кривизны. Посредством построения наследственного оператора рекурсии и гамильтоновой структуры показано, что полученная солитонная иерархия является бигамильтоновой и поэтому интегрируемой по Лиувиллю. Представляется интересным вопрос о виде математических структур солитонов, которые могут существовать в итоговых интегрируемых моделях. Можно использовать различные мощные и эффективные подходы, включая метод Римана–Гильберта [37], метод одевания Захарова–Шабата [38], преобразование Дарбу [39]–[41] и метод определителей [42]. Кроме солитонных решений, большой интерес представляют лампы, кинки, бризеры, волны-убийцы и особенно решения, описывающие взаимодействия между ними (см., например, [43]–[50]); их можно вывести из солитонных решений посредством редукции волнового числа. Нелокальные редуцированные интегрируемые модели представляют собой другую важную область, их можно получить с помощью нелокальных групповых редукций или преобразований подобия матричных задач на собственные числа (см., например, [51]–[53]). Изучение солитонов нелокальных интегрируемых моделей, важных в математике и физике, является новым направлением. Интегрируемые модели вызывают большой интерес, при этом они строятся на основе связей между различными областями математики, такими как алгебраическая геометрия, теория Ли и теория гамильтоновых уравнений. Взаимодействие между математикой и физикой обогащает каждую из указанных областей науки и часто приводит к открытию новых математических структур. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ma24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|