| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Явные многосолитонные решения смешанного уравнения Чена–Ли–Лю, полученные с помощью задачи Римана–Гильберта Юй-Минь Чжэнa, Юнь-Цин Янa, Юн-Шуай Чжанb, Вэй Люcd a Department of Mathematics, Zhejiang University of Science and Technology, Hangzhou, China b Department of Mathematics, Shaoxing University, Shaoxing, China c College of Mathematic and Information Science, Shandong Technology and Business University, Yantai, Shandong, China d Yantai Key Laboratory of Big Data Modeling and Intelligent Computing, Yantai, Shandong, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 220, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924090071 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеМеханика жидкости играет важную роль во многих областях исследований, таких как геофизика, океанография, биология, метеорология и т. д. В ходе этих исследований интегрируемые нелинейные уравнения в частных производных, в том числе нелинейное уравнение Шредингера (НУШ), уравнение Кортевега–де Фриза (КдФ), уравнение Кадомцева–Петвиашвили (КП) и др., обеспечивают фундаментальное понимание того, как ведет себя жидкость, как можно на нее воздействовать и ей управлять. Результаты исследований находят свое применение в науке и технике в самых различных областях, в том числе в механике жидкости, теории волн на воде, физике плазмы, нелинейной оптике и конденсатах Бозе–Эйнштейна [1]–[3]. Одним из наиболее важных уравнений в физике является НУШ которое управляет эволюцией комплексной огибающей слабонелинейного одномерного волнового пакета в физической среде. Это уравнение возникает во многих областях физики, таких как волны на глубокой воде, оптика, акустика, конденсация Бозе–Эйнштейна и т. д. [2], [3]; в последние годы этому уравнению уделялось большое внимание.Уравнение Чена–Ли–Лю (ЧЛЛ) также называемое НУШ с производной второго типа, было предложено в работе [4] при изучении интегрируемости нелинейных гамильтоновых систем методом обратной задачи рассеяния с использованием линеаризации нелинейных гамильтоновых систем и их отождествления с временны́м уравнением Лакса. Известно, что уравнение ЧЛЛ моделирует распространение самоусиливающихся оптических импульсов без фазовой самомодуляции. Изолированное самоусиление встречается реже, чаще оно изучается в сочетании с фазовой самомодуляцией [5], [6]. В 2007 году Мозес, Маломед и Уайз сообщили об эксперименте [7], в котором были обнаружены оптические импульсы с изолированным самоусилением. Этот эксперимент впервые продемонстрировал физическую реализацию уравнения ЧЛЛ.Смешанное уравнение ЧЛЛ (или уравнение ЧЛЛ-НУШ) предложенное Кунду в 1984 г. [8], представляет собой вполне интегрируемую модель, которую можно получить из модифицированного НУШ (также известного как уравнение Дисте), если не учитывать средний поток в уравнениях гидродинамики [9]. В работе [10] Чан с соавторами, используя билинейный метод Хироты, нашли решения смешанного уравнения ЧЛЛ типа волн-убийц и показали, что это уравнение может описывать явления в нелинейных оптических волокнах и волновых каналах на воде. Преобразование Дарбу для смешанного уравнения ЧЛЛ было предложено в [11], где также были представлены решения типа множественных бризеров и волн-убийц. Для смешанного уравнения ЧЛЛ в работе [12] рассматривался метод Римана–Гильберта, а в работе [13] – метод $\bar{\partial}$-одевания, и были найдены многосолитонные решения. Начально-краевые задачи, связанные со смешанным уравнением ЧЛЛ, решались методом Фокаса в [14]. Несмотря на то, что к смешанному уравнению ЧЛЛ уже применялись подход Римана–Гильберта, метод $\bar{\partial}$-одевания и метод преобразования Дарбу, насколько нам известно, существуют три проблемы, заслуживающие дальнейшего рассмотрения.• Предложенный в работе [12] метод Римана–Гильберта для смешанного уравнения ЧЛЛ имеет слабое место, связанное с решениями Йоста. Для НУШ с производной решения Йоста обычно стремятся не к унитарной матрице, а к интегральному члену, связанному с модулем потенциала, который усложняет процедуру получения солитонных решений. Если решать задачу Римана–Гильберта как обычно, то мультисолитонные решения будут содержать этот интегральный член, поэтому в случае смешанного уравнения ЧЛЛ нельзя получить их явный вид. Эта проблема существует и для метода $\bar{\partial}$-одевания. • В общем случае мультисолитонные решения нелинейного интегрируемого уравнения задаются через детерминанты. Применив какое-либо программное обеспечение, можно получить солитонное решение первого или второго порядка. Однако вычисление детерминантов усложняется с ростом размера соответствующих матриц. Явные мультисолитоны могут быть получены на основе этих детерминантов только теоретически. • Известно, что столкновения множественных солитонов являются упругими. Однако, насколько мы можем это утверждать, данное явление не было подтверждено для смешанного уравнения ЧЛЛ. В настоящей статье мы решаем смешанное уравнение ЧЛЛ с помощью подхода Римана–Гильберта, находим его явные многосолитонные решения и рассматриваем упругость столкновения при взаимодействии солитонов, применяя формулу Коши–Бине. Статья организована следующим образом: в разделе 2 мы проводим спектральный анализ для смешанного уравнения ЧЛЛ, рассматривая в том числе аналитические, асимптотические и симметрийные свойства решений Йоста и соответствующие условия на вычеты. В разделе 3 мы строим модифицированную задачу Римана–Гильберта, которая удовлетворяет условию нормировки. Потенциал смешанного уравнения ЧЛЛ восстанавливается по асимптотике решения задачи Римана–Гильберта, заданного через детерминанты. В разделе 4 мы приводим явные выражения для многосолитонных решений, полученные на основе формулы Коши–Бине, и рассматриваем упругие столкновения множественных солитонов, в которых пространственные и фазовые сдвиги заданы в явном виде. Мы завершаем эту статью выводами и обсуждениями в разделе 5. 2. Спектральный анализСмешанное уравнение ЧЛЛ интегрируемо, поскольку оно является условием совместности следующей пары Лакса [15]:
$$
\begin{equation}
\Phi_x(x,t,\lambda)=X(x,t,\lambda)\Phi(x,t,\lambda),\qquad\Phi_t(x,t,\lambda)=T(x,t,\lambda)\Phi(x,t,\lambda),
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, X=-i\lambda^2\sigma_3-\frac{i}{4}Q^2\sigma_3+\lambda Q-\frac{i}{2}\sigma_3,\qquad Q=\begin{bmatrix} 0 &q\\ -\bar q &0\end{bmatrix}, \\ \begin{aligned} \, T&={-}2i\lambda^4\sigma_3-i\lambda^2Q^2\sigma_3-\frac{1}{4}[Q,Q_x]-\frac{i}{8}Q^4\sigma_3+2\lambda^3Q-{} \\ &\quad\,-i\lambda Q_x\sigma_3+\frac{1}{2}\lambda Q^3-2i\lambda^2\sigma_3-\frac{i}{2}\sigma_3, \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
черта над символом обозначает комплексное сопряжение, $[\,{\cdot}\,,\,{\cdot}\,]$ – коммутатор и $\sigma_3$ – матрица Паули. Другими словами, условие $X_t-T_x+[X,T]=0$ эквивалентно смешанному уравнению ЧЛЛ. Мы требуем, чтобы $q(x,0)\to 0$ при $x\to\pm\infty$. Непрерывный спектр представляет собой набор комплексных $\lambda$, таких что значение $\lambda^2$ вещественное. Это означает, что $\lambda\in\Sigma$, где $\Sigma=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)\cup(-i\infty,0)\cup(i\infty,0)$. Для каждого $\lambda\in\Sigma$ мы вводим $\Phi_{\pm}(x,t,\lambda)$ как решения Йоста пары Лакса, которые удовлетворяют асимптотическому условию
$$
\begin{equation}
\Phi_{\pm}(x,t,\lambda)=e^{-i\theta(x,t,\lambda)\sigma_3}+O(1),\qquad x\to\pm\infty,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $\theta(x,t,\lambda)$ задается как
$$
\begin{equation*}
\theta(x,t,\lambda)=\biggl(\lambda^2+\frac{1}{2}\biggr)x+2\biggl(\lambda^2+\frac{1}{2}\biggr)^{\!2}t.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы избавиться от осцилляций, положим
$$
\begin{equation}
\Phi_{\pm}(x,t,\lambda)=\Psi_{\pm}(x,t,\lambda)e^{-i\theta(x,t,\lambda)\sigma_3},
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
так что
$$
\begin{equation*}
\Psi_{\pm}(x,t,\lambda)\to I\quad\text{при}\quad x\to\pm\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $I$ – единичная матрица размера $2\times 2$. Подставляя (2.3) в (2.1) получаем, что модифицированная собственная функция $\Psi(x,t,\lambda)$ удовлетворяет следующим дифференциальным уравнениям:
$$
\begin{equation}
\Psi_x+i\biggl(\lambda^2+\frac{1}{2}\biggr)[\sigma_3,\Psi]=\widetilde X\Psi,
\end{equation}
\tag{2.4a}
$$
$$
\begin{equation}
\Psi_t+2i\biggl(\lambda^2+\frac{1}{2}\biggr)^{\!2}[\sigma_3,\Psi]=\widetilde T\Psi,
\end{equation}
\tag{2.4b}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde X&=-\frac{i}{4}Q^2\sigma_3+\lambda Q, \\ \widetilde T&=-i\lambda^2Q^2\sigma_3-\frac{1}{4}[Q,Q_x]-\frac{i}{8}Q^4\sigma_3+2\lambda^3Q-i\lambda Q_x\sigma_3+\frac{1}{2}\lambda Q^3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
2.1. Аналитические, асимптотические и симметрийные свойства решений ЙостаСначала рассмотрим свойства аналитичности решений Йоста. Можно решить дифференциальное уравнение по $x$ (2.4a) для фиксированного $t$, используя метод вариации постоянных:
$$
\begin{equation}
\Psi_{\pm}(x,t,\lambda)= I+\int^x_{\pm\infty}e^{-i(\lambda^2+1/2)(x-y)\sigma_3}\widetilde X(y,t,\lambda)\Psi_{\pm}(y,t,\lambda)e^{i(\lambda^2+1/2)(x-y)\sigma_3}\,dy.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Заметим, что вторые столбцы этих матричных уравнений содержат $e^{-2i(\lambda^2+1/2)(x-y)}$, и это означает, что вторые столбцы матриц $\Psi_{+}$ и $\Psi_{-}$ ограничены и аналитичны при значениях $\lambda$, принадлежащих областям $\mathcal D_{+}$ и $\mathcal D_{-}$ соответственно, где область
$$
\begin{equation}
\mathcal D_{+}=\{\lambda\colon\arg\lambda\in(0,\pi/2)\cup(\pi,3\pi/2)\}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
образует первый и третий квадранты комплексной $\lambda$-плоскости, а область
$$
\begin{equation*}
\mathcal D_{-}=\{\lambda\colon\arg\lambda\in(\pi/2,\pi)\cup(3\pi/2,2\pi)\}
\end{equation*}
\notag
$$
образует второй и четвертый квадранты (см. рис. 1). Аналогичные рассуждения справедливы для первых столбцов. Пусть $[\Psi_{\pm}]_j$ ($j=1,2$) обозначает $j$-е столбцы матриц $\Psi_{\pm}$, тогда $[\Psi_{-}]_1$ и $[\Psi_{+}]_2$ аналитичны в $\mathcal D_{+}$ и непрерывны в $\mathcal D_{+}\cup\Sigma$, а $[\Psi_{+}]_1$ и $[\Psi_{-}]_2$ аналитичны в $\mathcal D_{-}$ и непрерывны в $\mathcal D_{-}\cup\Sigma$. Для анализа асимптотических свойств решений Йоста применим разложение ВКБ, записав решение уравнений (2.4a), (2.4b) в виде
$$
\begin{equation}
\Psi=D+\frac{\Psi_1}{\lambda}+\frac{\Psi_2}{\lambda^2}+\frac{\Psi_3}{\lambda^3}+\cdots,\qquad |\lambda|\to\infty,
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где $D$, $\Psi_1$, $\Psi_2$, $\Psi_3$ не зависят от $\lambda$. Подставляя приведенное выше выражение в (2.4a), получаем, что $D$ – диагональная матрица c элементами порядка $O(\lambda^2)$. Рассмотрим элементы порядка $O(\lambda)$ и диагональные элементы порядка $O(1)$. В порядке $O(\lambda)$ имеем уравнение
$$
\begin{equation}
i[\sigma_3,\Psi_1]=QD,\quad\text{т. е.}\quad\Psi_1^{(\mathrm o)}=\frac{i}{2}QD\sigma_3,
\end{equation}
\tag{2.8a}
$$
где $\Psi_1^{(\mathrm o)}$ обозначает внедиагональную часть матрицы $\Psi_1$. В порядке $O(1)$ имеем уравнение
$$
\begin{equation}
D_x=-\frac{i}{4}Q^2\sigma_3D+Q\Psi_1^{(\mathrm o)},\quad\text{т. е.}\quad D_x=-\frac{i}{4}|q|^2\sigma_3D.
\end{equation}
\tag{2.8b}
$$
С учетом того, что $\Psi_{\pm}(x,t,\lambda)\to I$ при $x\to\pm\infty$, это уравнение дает
$$
\begin{equation*}
D=\begin{bmatrix} \exp\bigl(-\frac{i}{4}\int_{\pm\infty}^x|q(y,t)|^2\,dy\bigr) & 0 \\ 0 & \exp\bigl(\frac{i}{4}\int_{\pm\infty}^x|q(y,t)|^2\,dy\bigr) \end{bmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, асимптотическое поведение решений $\Psi_{\pm}(x,t,\lambda)$ задается следующим образом: при $|\lambda|\to\infty$
$$
\begin{equation}
\Psi_{\pm}(x,t,\lambda)\to\begin{bmatrix} \exp\bigl(-\frac{i}{4}\int_{\pm\infty}^x|q(y,t)|^2\,dy\bigr) & 0 \\ 0 & \exp\bigl(\frac{i}{4}\int_{\pm\infty}^x|q(y,t)|^2\,dy\bigr) \end{bmatrix}+O\biggl(\frac{1}{\lambda}\biggr);
\end{equation}
\tag{2.9a}
$$
при $\lambda\to 0$ аналогично
$$
\begin{equation}
\Psi_{\pm}(x,t,\lambda)\to\begin{bmatrix} \exp\bigl(\frac{i}{4}\int_{\pm\infty}^x|q(y,t)|^2\,dy\bigr) & 0 \\ 0 & \exp\bigl(-\frac{i}{4}\int_{\pm\infty}^x|q(y,t)|^2\,dy\bigr) \end{bmatrix}+O(\lambda).
\end{equation}
\tag{2.9b}
$$
Вообще говоря, при решении нелинейных интегрируемых уравнений асимптотическое поведение функций $\Psi_{\pm}(x,t,\lambda)$ при $\lambda\to 0$ не является необходимым [16], но для смешанного уравнения ЧЛЛ обратная задача, получающаяся из (2.8a), записывается как и содержит интегральный член (в матрице $D$). Этот интегральный член затрудняет вычисление матричного потенциала в явном виде. Асимптотическое поведение функций $\Psi_{\pm}(x,t,\lambda)$ при $\lambda\to 0$ используется для нахождения этого интегрального члена. Так же, как в случаях уравнения Каупа–Ньюэлла, обычного уравнения ЧЛЛ, уравнений Герджикова–Иванова и Фокаса–Ленеллса [17], [18], решения Йоста $\Psi_{\pm}$ подчиняются следующим соотношениям симметрии:
$$
\begin{equation}
\Psi(x,t,\lambda)=\sigma_3\Psi(x,t,-\lambda)\sigma_3,\qquad \Psi(x,t,\lambda)=\sigma_2\overline{\Psi(x,t,\bar\lambda) \vphantom{|^{|^.}} }\sigma_2.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Если записать их поэлементно, получим уравнения
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \Psi_{11}(x,t,\lambda)&=\Psi_{11}(x,t,-\lambda),&\qquad \Psi_{12}(x,t,\lambda)&=-\Psi_{12}(x,t,-\lambda), \\ \Psi_{21}(x,t,\lambda)&=-\Psi_{21}(x,t,-\lambda),&\qquad\Psi_{22}(x,t,\lambda)&=\Psi_{22}(x,t,-\lambda), \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
а также уравнения
$$
\begin{equation*}
\Psi_{11}(x,t,\lambda)=\overline{\Psi_{22}(x,t,\bar\lambda) \vphantom{|^{|^.}} },\qquad \Psi_{12}(x,t,\lambda)=-\overline{\Psi_{21}(x,t,\bar\lambda) \vphantom{|^{|^.}} }.
\end{equation*}
\notag
$$
Из приведенных выше соотношений симметрии следует, что имеются всего два независимых решения: зная $\Psi_{11}(x,t,\lambda)$ и $\Psi_{12}(x,t,\lambda)$, мы получаем матричные решения Йоста $\Psi_{\pm}(x,t,\lambda)$. Симметрии упрощают решение задачи Римана–Гильберта; мы подробно проиллюстрируем это в следующем разделе. 2.2. Коэффициенты рассеянияФункции $\Phi_{\pm}(x,t,\lambda)=\Psi_{\pm}(x,t,\lambda)e^{-i\theta(x,t,\lambda)\sigma_3}$ являются решениями дифференциальных уравнений (2.1) и удовлетворяют граничному условию (2.2) при $x\to\pm\infty$. Следовательно, в силу единственности решения дифференциального уравнения при $\lambda\in\Sigma$ они связаны соотношением
$$
\begin{equation}
\Phi_{+}(x,t,\lambda)=\Phi_{-}(x,t,\lambda)S(\lambda)
\end{equation}
\tag{2.12a}
$$
или
$$
\begin{equation}
\Psi_{+}(x,t,\lambda)=\Psi_{-}(x,t,\lambda)e^{-i\theta(x,t,\lambda)\sigma_3}S(\lambda)e^{i\theta(x,t,\lambda)\sigma_3},
\end{equation}
\tag{2.12b}
$$
где $S(\lambda)$ – регулярная матрица, называемая матрицей рассеяния. Опираясь на симметрийные свойства (2.11), мы можем положить
$$
\begin{equation}
S(\lambda)=\begin{bmatrix} \phantom{-}\overline{a(\bar\lambda) \vphantom{|^{|^.}} } & b(\lambda) \\ -\overline{b(\bar\lambda) \vphantom{|^{|^.}} } & a(\lambda) \end{bmatrix},
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
где $a(\lambda)$, $b(\lambda)$ – коэффициенты рассеяния, при этом $a(\lambda)$ – четная функция от $\lambda$, а $b(\lambda)$ – нечетная функция от $\lambda$,
$$
\begin{equation*}
a(\lambda)=a(-\lambda),\qquad b(\lambda)=-b(-\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Если записать уравнение (2.12b) по столбцам, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, {} [\Psi_{+}]_1&=\overline{a(\bar\lambda) \vphantom{|^{|^.}} } [\Psi_{-}]_1- \overline{b(\bar\lambda) \vphantom{|^{|^.}} }e^{2i\theta(x,t,\lambda)}[\Psi_{-}]_2, \\ [\Psi_{+}]_2&=b(\lambda)e^{-2i\theta(x,t,\lambda)}[\Psi_{-}]_1+a(\lambda)[\Psi_{-}]_2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Поскольку $ \operatorname{tr} X= \operatorname{tr} T=0$, имеем по формуле Абеля $\partial_x\det\Phi=\partial_t\det\Phi=0$ и Из (2.12b) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} a(\lambda)&=\det\bigl([\Psi_{-}]_1\;\, [\Psi_{+}]_2\bigr),&\qquad b(\lambda)&=\det\bigl([\Psi_{+}]_2\;\,[\Psi_{-}]_2\bigr)e^{2i\theta(x,t,\lambda)}, \\ \overline{a(\bar\lambda) \vphantom{|^{|^.}} }&=\det\bigl([\Psi_{+}]_1\;\,[\Psi_{-}]_2\bigr),&\qquad \overline{b(\bar\lambda) \vphantom{|^{|^.}} }&=-\det\bigl([\Psi_{-}]_1\;\,[\Psi_{+}]_1\bigr)e^{-2i\theta(x,t,\lambda)}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
На основании аналитических и асимптотических свойств решений Йоста $\Psi_{\pm}(x,t,\lambda)$ получаем, что коэффициенты рассеяния $a(\lambda)$ и $b(\lambda)$ обладают следующими свойствами: • коэффициент $a(\lambda)$ аналитичен при $\lambda\in\mathcal D_{+}$ и непрерывен при $\lambda\in\mathcal D_{+}\cup\Sigma$, а коэффициент $b(\lambda)$ всего лишь непрерывен при $\lambda\in\Sigma$. • Если $|\lambda|\to\infty$, то
$$
\begin{equation}
a(\lambda)=\exp\biggl(\frac{i}{4}\int^{+\infty}_{-\infty}|q(y,t)|^2\,dy\biggr)+O\biggl(\frac{1}{\lambda}\biggr),\qquad b(\lambda)=O\biggl(\frac{1}{\lambda}\biggr).
\end{equation}
\tag{2.16a}
$$
• Если $\lambda\to 0$, то
$$
\begin{equation}
a(\lambda)=\exp\biggl(-\frac{i}{4}\int^{+\infty}_{-\infty}|q(y,t)|^2\,dy\biggr)+O(\lambda),\qquad b(\lambda)=O(\lambda).
\end{equation}
\tag{2.16b}
$$
Коэффициент $a(\lambda)$ аналитичен при $\lambda\in\mathcal D_{+}$, поэтому мы предполагаем, что он имеет конечные нули в $\mathcal D_{+}$. Поскольку $a(\lambda)$ – четная функция от $\lambda$, каждый ноль $\lambda_j$ функции $a(\lambda)$ сопровождается нулем $-\lambda_j$. Предположим, что $a(\lambda)$ имеет $2N$ простых нулей $\{\pm\lambda_j\}_{j=1}^{N}$ в $\mathcal D_{+}$, причем $\{\lambda_j\}_{j=1}^N$ лежат в первом квадранте. Пусть
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \alpha(\lambda)&=a(\lambda) \prod_{j=1}^N\frac{\lambda^2-\bar\lambda_j^2}{\lambda^2-\lambda_j^2}\exp\biggl(-\frac{i}{4}\int^{+\infty}_{-\infty}|q(y,t)|^2\,dy\biggr), \\ \overline{\alpha(\bar\lambda) \vphantom{|^{|^.}} }&=\overline{a(\bar\lambda) \vphantom{|^{|^.}} } \prod_{j=1}^N\frac{\lambda^2-\lambda_j^2}{\lambda^2-\bar\lambda_j^2 \vphantom{|^{|^.}} }\exp\biggl(\frac{i}{4}\int^{+\infty}_{-\infty}|q(y,t)|^2\,dy\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
тогда $\alpha(\lambda)$ аналитична при $\lambda\in\mathcal D_{+}$ и не имеет нулей в $\mathcal D_{+}$, а $\overline{\alpha(\bar\lambda) \vphantom{|^{|^.}} }$ аналитична при $\lambda\in\mathcal D_{-}$ и не имеет нулей в $\mathcal D_{-}$. В силу (2.16a) имеем $\alpha(\lambda)\to 1$, $\overline{\alpha(\bar\lambda) \vphantom{|^{|^.}} }\to 1$ при $|\lambda|\to\infty$ в соответствующей области. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{5} \ln\alpha(\lambda)&=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Sigma}\frac{\ln\alpha(\xi)}{\xi-\lambda}\,d\xi,&\qquad &\frac{1}{2\pi i}\int_{\Sigma}\frac{\ln\overline{\alpha(\bar{\xi}) \vphantom{|^{|^.}} }}{\xi-\lambda}\,d\xi=0,&\qquad \lambda&\in\mathcal D_{+}, \\ \ln\overline{\alpha(\bar\lambda) \vphantom{|^{|^.}} }&=-\frac{1}{2\pi i} \int_{\Sigma}\frac{\ln\overline{\alpha(\bar{\xi}) \vphantom{|^{|^.}} }}{\xi-\lambda}\,d\xi,&\qquad &\frac{1}{2\pi i}\int_{\Sigma}\frac{\ln\alpha(\xi)}{\xi-\lambda}\,d\xi=0,&\qquad\lambda&\in\mathcal D_{-}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Тогда $a(\lambda)$ и $\overline{a(\bar\lambda) \vphantom{|^{|^.}} }$ в силу (2.17) можно переписать как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a(\lambda)&=\prod_{j=1}^N\frac{\lambda^2-\lambda_j^2}{\lambda^2-\bar\lambda_j^2 \vphantom{|^{|^.}} } \exp\biggl[\frac{i}{4}\int^{+\infty}_{-\infty}|q(y,t)|^2\,dy+\frac{1}{2\pi i}\int_{\Sigma} \frac{\ln(1-b(\xi)\overline{b(\bar{\xi}) \vphantom{|^{|^.}} }\,)}{\xi-\lambda}\,d\xi\biggr], \\ \overline{a(\bar\lambda) \vphantom{|^{|^.}} }&=\prod_{j=1}^N\frac{\lambda^2-\bar\lambda_j^2}{\lambda^2-\lambda_j^2} \exp\biggl[-\frac{i}{4}\int^{+\infty}_{-\infty}|q(y,t)|^2\,dy-\frac{1}{2\pi i}\int_{\Sigma} \frac{\ln(1-b(\xi)\overline{b(\bar{\xi}) \vphantom{|^{|^.}} }\,)}{\xi-\lambda}\,d\xi\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
В безотражательном случае, т. е. при $b(\lambda)=0$, для $\lambda\in\Sigma$ получаем тета-условие
$$
\begin{equation}
4\sum_{j=1}^N\arg(\lambda_j)+\frac{1}{4}\int^{+\infty}_{-\infty}|q(y,t)|^2\,dy=0.
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Теперь рассмотрим условия на вычеты. В силу $a(\lambda_j)=0$ из (2.15) следует, что существует $b_j$, такое что
$$
\begin{equation}
[\Psi_{+}]_2(x,t,\lambda_j)=b_je^{-2i\theta(x,t,\lambda_j)}[\Psi_{-}]_1(x,t,\lambda_j).
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Из соотношений симметрии (2.11) следует, что
$$
\begin{equation}
[\Psi_{+}]_1(x,t,\bar\lambda_j)=-\bar{b}_je^{2i\theta(x,t,\bar\lambda_j)}[\Psi_{-}]_2(x,t,\bar\lambda_j).
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Таким образом, вычеты функций $\frac{[\Psi_{+}]_2(x,t,\lambda)}{a(\lambda)^{\vphantom{|^|}}}$ и $\frac{[\Psi_{+}]_1(x,t,\lambda)}{\overline{a(\bar\lambda) \vphantom{|^{|^.}} }}$ в точках $\lambda_j$ и $\bar\lambda_j$ равны
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathop{\rm Res}\limits _{\lambda=\lambda_j}\frac{[\Psi_{+}]_2(x,t,\lambda)}{a(\lambda)}&= \frac{[\Psi_{+}]_2(x,t,\lambda_j)}{\dot a(\lambda_j)}= r_je^{-2i\theta(x,t,\lambda_j)}[\Psi_{-}]_1(x,t,\lambda_j), \\ \mathop{\rm Res}\limits _{\lambda=\bar\lambda_j}\frac{[\Psi_{+}]_1(x,t,\lambda)}{\overline{a(\bar\lambda) \vphantom{|^{|^.}} }}&= \frac{[\Psi_{+}]_1(x,t,\bar\lambda_j)}{\overline{\dot a(\lambda_j) \vphantom{|^{|^.}} }}= -\bar r_je^{2i\theta(x,t,\bar\lambda_j)}[\Psi_{-}]_2(x,t,\bar\lambda_j), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
где $\dot a(\lambda)=\frac{da(\lambda)}{d\lambda}$ и $r_j=\frac{b_j}{\dot a(\lambda_j)}$. Условия на вычеты играют существенную роль при решении задачи Римана–Гильберта, которую мы рассмотрим в следующем разделе.
3. Задача Римана–ГильбертаВведем мероморфную функцию
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, M(x,t,\lambda)=\begin{cases} M_{+}(x,t,\lambda), & \lambda\in\mathcal D_{+}, \\ M_{-}(x,t,\lambda), & \lambda\in\mathcal D_{-}, \end{cases} \\ \begin{aligned} \, M_{+}(x,t,\lambda)&=\exp\biggl(-\frac{i}{4}\int^{x}_{-\infty}|q(y,t)|^2\,dy\,\sigma_3\biggr) \biggl[[\Psi_{-}]_1\;\;\frac{[\Psi_{+}]_2}{a(\lambda)}\biggr], \\ M_{-}(x,t,\lambda)&=\exp\biggl(-\frac{i}{4}\int^{x}_{-\infty}|q(y,t)|^2\,dy\,\sigma_3\biggr) \biggl[\frac{[\Psi_{+}]_1}{\overline{a(\bar\lambda) \vphantom{|^{|^.}} }}\;\;[\Psi_{-}]_2\biggr]. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
На основе свойств решений Йоста $\Psi_{\pm}(x,t,\lambda)$ получаем, что $M(x,t,\lambda)$ удовлетворяет следующим условиям. • Условие скачка
$$
\begin{equation}
M_+(x,t,\lambda)=M_-(x,t,\lambda)e^{-i\theta(x,t,\lambda)} J(\lambda) e^{i\theta(x,t,\lambda)}, \qquad\lambda\in\Sigma,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где
$$
\begin{equation*}
J(\lambda)=\begin{bmatrix} 1 & r(\lambda)\\ \bar r(\bar\lambda) & 1+r(\lambda)\bar r(\bar\lambda) \end{bmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
• Условие нормировки
$$
\begin{equation}
M(x,t,\lambda)=I+O\biggl(\frac{1}{\lambda}\biggr),\qquad |\lambda|\to\infty.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
• Второй столбец матрицы $M_{+}(x,t,\lambda)$ и первый столбец матрицы $M_{-}(x,t,\lambda)$ имеют простые полюсы в точках $\pm\lambda_j$, $j=1,2,\ldots,N$. Вычеты в этих точках задаются как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathop{\rm Res}\limits _{\lambda=\lambda_j}[M(x,t,\lambda)]_2&=r_je^{-2i\theta(x,t,\lambda_j)}[M(x,t,\lambda_j)]_1, \\ \mathop{\rm Res}\limits _{\lambda=\bar\lambda_j}[M(x,t,\lambda)]_1&=-\bar r_je^{2i\theta(x,t,\bar\lambda_j)}[M(x,t,\bar\lambda_j)]_2 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
для $j=1,2,\ldots,N$. • Потенциал $q(x,t)$ восстанавливается из асимптотики функции $M(x,t,\lambda)$:
$$
\begin{equation}
q(x,t)=\frac{V_N}{W_N},\qquad V_N=\lim_{|\lambda|\to+\infty}{2i\lambda M_{12}(x,t,\lambda)},\quad W_N=M_{11}(x,t,0),
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где $M_{11}(x,t,0)$ – содержащий потенциал интегральный член, который выводится из асимптотического поведения, заданного в (2.9b). Формула (3.5) показывает, как найти потенциал смешанного уравнения ЧЛЛ, решив задачу Римана–Гильберта. Решения задачи Римана–ГильбертаДалее мы для краткости пишем $\theta(\lambda)$ вместо $\theta(x,t,\lambda)$. Рассмотрим решения в безотражательном случае. Так как $M_{11}(x,t,\lambda)$ – четная функция от $\lambda$, а $M_{12}(x,t,\lambda)$ – нечетная функция от $\lambda$, в соответствии с формулой Племеля [19], [20] разумно предположить, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, M_{11}(x,t,\lambda)&=1+\sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{\lambda-\bar\lambda_k \vphantom{|^{|^.}} }-\frac{1}{\lambda+\bar\lambda_k \vphantom{|^{|^.}} }\biggr)f_k, \\ M_{12}(x,t,\lambda)&=\sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{\lambda-\lambda_k}+\frac{1}{\lambda+\lambda_k}\biggr)g_k, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где $f_k$ – вычет функции $M_{11}(x,t,\lambda)$ в точке $\bar\lambda_k$, а $g_k$ – вычет функции $M_{12}(x,t,\lambda)$ в точке $\lambda_k$. В силу (3.4) вычеты $f_k$ и $g_k$ связаны следующими линейными уравнениями:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f_k&=-\bar r_ke^{2i\theta(\bar\lambda_k)}\sum_{j=1}^N \biggl(\frac{1}{\bar\lambda_k-\lambda_j \vphantom{|^{|^.}} }+\frac{1}{\bar\lambda_k+\lambda_j \vphantom{|^{|^.}} }\biggr)g_j, \\ g_k&=r_ke^{-2i\theta(\lambda_k)} \biggl[1+\sum_{j=1}^N\biggl(\frac{1}{\lambda_k-\bar\lambda_j \vphantom{|^{|^.}} }-\frac{1}{\lambda_k+\bar\lambda_j \vphantom{|^{|^.}} }\biggr)f_j\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Для удобства введем $N$-компонентные векторы-столбцы
$$
\begin{equation}
|f\kern1pt\rangle=\bigl[f_1\;\, f_2\;\ldots\; f_N \bigr]^{\mathrm T},\qquad |g\rangle=\bigl[ g_1\;\,g_2\;\ldots\;g_N \bigr]^{\mathrm T},\qquad |\eta\rangle=\bigl[\eta_1\;\,\eta_2\;\ldots\;\eta_N \bigr]^{\mathrm T},
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
где $\eta_k=r_ke^{-2i\theta(\lambda_k)}$. Тогда уравнения (3.7) можно записать как
$$
\begin{equation}
|f\kern1pt\rangle=\widetilde\omega|g\rangle,\qquad|g\rangle=|\eta\rangle+\omega|f\kern1pt\rangle,
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
где $\widetilde\omega$ и $\omega$ – матрицы размера $N\times N$ с элементами
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde\omega_{kj}&=-\bar r_ke^{2i\theta(\bar\lambda_k)} \biggl(\frac{1}{\bar\lambda_k-\lambda_j \vphantom{|^{|^.}} }+\frac{1}{\bar\lambda_k+\lambda_j \vphantom{|^{|^.}} }\biggr), \\ \omega_{kj}&=r_ke^{-2i\theta(\lambda_k)} \biggl(\frac{1}{\lambda_k-\bar\lambda_j \vphantom{|^{|^.}} }-\frac{1}{\lambda_k+\bar\lambda_j \vphantom{|^{|^.}} }\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Решив уравнения (3.9) напрямую, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |f\kern1pt\rangle=\widetilde\omega(I-\omega\widetilde\omega)^{-1}|\eta\rangle,\qquad |g\rangle=(I-\omega\widetilde\omega)^{-1}|\eta\rangle. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Подставим эти выражения в (3.6), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_{11}(x,t,\lambda)&=\frac{\det(I-\omega\widetilde\omega+|\eta\rangle\langle\tilde z|\,\widetilde\omega)}{\det(I-\omega\widetilde\omega)}, \\ M_{12}(x,t,\lambda)&=\frac{\det(I-\omega\widetilde\omega+|\eta\rangle\langle z|)}{\det(I-\omega\widetilde\omega)}-1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\langle z|$ и $\langle\tilde z|$ – два $N$-компонентных вектора-строки,
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \langle\tilde z|&=\bigl[\tilde z_1\;\,\tilde z_2\;\ldots\;\tilde z_N\bigr],&\qquad \tilde z_k&=\frac{1}{\lambda-\bar\lambda_k \vphantom{|^{|^.}} }-\frac{1}{\lambda+\bar\lambda_k \vphantom{|^{|^.}} }, \\ \langle z|&=\bigl[z_1\;\,z_2\;\ldots\;z_N\bigr],&\qquad z_k&=\frac{1}{\lambda-\lambda_k}+\frac{1}{\lambda+\lambda_k}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Из соотношений симметрии (2.11) получаем $M_{21}(x,t,\lambda)$ и $M_{22}(x,t,\lambda)$. Таким образом, мы нашли мероморфную матричную функцию $M(x,t,\lambda)$. Кроме того, по формуле (3.5) можно найти решение смешанного уравнения ЧЛЛ в предварительной детерминатной форме. Теорема 1. Солитонные решения $N$-го порядка смешанного уравнения ЧЛЛ задаются как где Приведенные выше достаточно сложные детерминанты можно найти в явном виде, применив формулу Коши–Бине, что мы сделаем в следующем разделе. 4. Асимптотический анализ мультисолитонных решений смешанного уравнения ЧЛЛЧтобы получить явные $N$-солитонные решения смешанного уравнения ЧЛЛ, необходимо вычислить детерминанты матриц размера $N\times N$ в (3.11). В этом разделе мы сначала приводим явные выражения для этих детерминантов, полученные по формуле Коши–Бине, а затем рассматриваем асимптотический анализ солитонов $N$-го порядка. 4.1. Явные выражения для солитонов $N$-го порядкаВведем матрицы размера $N\times N$
$$
\begin{equation*}
A=-\omega,\qquad B=\widetilde\omega,\qquad F=-\omega+|\eta\rangle\langle Y|,
\end{equation*}
\notag
$$
матрицу $C$ размера $N\times (N+1)$ с элементами
$$
\begin{equation*}
C_{k,0}=\eta_k,\quad C_{k,j}=-\omega_{k,j},\qquad k,j=1,2,\ldots,N,
\end{equation*}
\notag
$$
и матрицу $D$ размера $(N+1)\times N$ с элементами
$$
\begin{equation*}
D_{0,j}=1,\quad D_{k,j}=\widetilde\omega_{k,j},\qquad k,j=1,2,\ldots,N.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда солитон $N$-го порядка задается формулой
$$
\begin{equation}
q(x,t)=\frac{4iV}{W},\qquad V=\det(I+CD)-\det(I+AB),\quad W=\det(I+FB).
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
По формуле Коши-Бине имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \det(I+CD)=1+\sum_{\tau=1}^N\sum_{\substack{1\leqslant n_1<n_2<\cdots<n_\tau\leqslant N,\\ 0\leqslant m_1<m_2<\cdots<m_\tau\leqslant N\,}} &C[n_1,n_2,\ldots, n_\tau;m_1,m_2,\ldots,m_\tau]\times \notag\\ &\times D[m_1,m_2,\ldots,m_\tau;n_1,n_2,\ldots, n_\tau], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где через $C[n_1,n_2,\ldots,n_\tau;m_1,m_2,\ldots,m_\tau]$ обозначен детерминант подматрицы в $C$, которая составлена из элементов строк с номерами $[n_1,n_2,\ldots,n_\tau]$ и столбцов с номерами $[m_1,m_2,\ldots,m_\tau]$; аналогичное обозначение применяется для других матриц. Суммирование в (4.2) можно разбить на две части: при $m_1=0$ и при остальных $m_1\geqslant 1$. Если вычесть часть с $m_1\geqslant 1$, то оставшаяся часть суммы в (4.2) в точности равна $V$,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, V=\sum_{\tau=1}^N\sum_{\substack{1\leqslant n_1<n_2<\cdots<n_\tau\leqslant N,\\ 1\leqslant m_2<\cdots<m_\tau\leqslant N\,}} &C[n_1,n_2,\ldots, n_\tau;0,m_2,\ldots,m_\tau]\times{} \notag\\ &\quad \times D[0,m_2,\ldots,m_\tau;n_1,n_2,\ldots, n_\tau], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &C[n_1,n_2,\ldots, n_\tau;0,m_2,\ldots,m_\tau]D[0,m_2,\ldots,m_\tau;n_1,n_2,\ldots, n_\tau]= \\ &\quad =(-4)^{\tau-1} \prod_{n,m}\frac{r_n\,\bar r_m\,\bar\lambda_m^2\,e^{2i\theta(\bar\lambda_m)-2i\theta(\lambda_n)}}{(\lambda_n^2-\bar\lambda_m^2)^2} \prod_{\substack{n'<n,\\ m'<m\,}}(\lambda_n^2-\lambda_{n'}^2)^2(\bar\lambda_m^2-\bar\lambda_{m'}^2)^2; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $m\in\{m_2,m_3,\ldots,m_\tau\}$, $n\in\{n_1,n_2,\ldots,n_\tau\}$. С помощью аналогичных вычислений получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, W&=\det(I+FB)= \notag\\ &=1+\sum_{\tau=1}^N\sum_{\substack{1\leqslant n_1<n_2<\cdots<n_\tau\leqslant N,\\ 1\leqslant m_1<m_2<\cdots<m_\tau\leqslant N\,}} F[n_1,n_2,\ldots, n_\tau;m_1,m_2,\ldots,m_\tau] \notag\\ &\kern140pt\times B[m_1,m_2,\ldots,m_\tau;n_1,n_2,\ldots, n_\tau], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &F[n_1,n_2,\ldots, n_\tau;m_1,m_2,\ldots,m_\tau]B[m_1,m_2,\ldots,m_\tau;n_1,n_2,\ldots, n_\tau]= \\ &\qquad=(-4)^{\tau} \prod_{n,m}\frac{\bar r_m\,r_n\,\lambda_n^2\,e^{2i\theta(\bar\lambda_m)-2i\theta(\lambda_n)}}{(\lambda_n^2-\bar\lambda_m^2)^2 \vphantom{|^{|^.}} } \prod_{\substack{n'<n,\\ m'<m\,}}(\bar\lambda_m^2-\bar\lambda_{m'}^2)^2(\lambda_n^2-\lambda_{n'}^2)^2 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
с $m\in\{m_2,m_3,\ldots,m_\tau\}$, $n\in\{n_1,n_2,\ldots,n_\tau\}$. По формулам (4.1)–(4.4) напрямую получаем явные решения уравнения ЧЛЛ. Пример 1. Если $N=1$, то из (4.3) и (4.4) имеем Пример 2. Если $N=2$, то из (4.3) и (4.4) имеем 4.2. Асимптотический анализ солитонных решенийПредположим, что
$$
\begin{equation}
\rho_1^2\cos\nu_1<\rho_2^2\cos\nu_2<\cdots<\rho_N^2\cos\nu_N,
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
и обозначим через $\Lambda_k$ прямую $x=-2t-4t\rho_k^2\cos\nu_k^{}$ на плоскости $(x,t)$, являющуюся траекторией $k$-го солитона, $k=1,2,\ldots, N$. Если $x+2t+4t\rho_k^2\cos\nu_k^{}=\text{const}$, то для траектории $j$-го солитона мы имеем
$$
\begin{equation}
\Lambda_j\colon\, x+2t+4t\rho_k^2\cos\nu_k+4t(\rho_j^2\cos\nu_j-\rho_k^2\cos\nu_k)\,\to\, \begin{cases} +\infty, & j>k, \\ -\infty, & j<k. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
e^{-2i\theta(\lambda_j)}\to \begin{cases} +\infty, & j>k, \\ \text{const}, & j=k, \\ 0, & j<k. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Следовательно, мы можем рассмотреть только члены, содержащие одновременно $e^{-2i\theta(\lambda_n)}$ и $e^{2i\theta(\bar\lambda_n)}$ при $n>k$. Из (4.3) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V&\sim C[k,k+1,\ldots,N;0,k+1,\ldots,N]D[0,k+1,\ldots,N;k,k+1,\ldots,N]= \\ &=(-4)^{N-k}\prod_{n=k}^N\prod_{m=k+1}^N \frac{\bar r_mr_n\bar\lambda_m^2e^{2i\theta(\bar\lambda_m)-2i\theta(\lambda_n)}}{(\lambda_n^2-\bar\lambda_m^2)^2 \vphantom{|^{|^.}} } \prod_{\substack{k\leqslant n'<n<\leqslant N,\\ k+1\leqslant m'<m\leqslant N}}(\lambda_n^2-\lambda_{n'}^2)^2(\lambda_m^2-\lambda_{m'}^2)^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом (4.4) это дает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W &\sim F[k,k+1,\ldots,N;k,k+1,\ldots,N]B[k,k+1,\ldots,N;k,k+1,\ldots,N]+{} \\ &\quad+ F[k+1,k+2,\ldots,N;k+1,k+2,\ldots,N]\times{} \\ &\kern80 pt \times B[k+1,k+2,\ldots,N;k+1,k+2,\ldots,N]= \\ &=(-4)^{N+1-k}\prod_{m,n=k}^N\frac{\bar r_mr_n\lambda_n^2 e^{2i\theta(\bar\lambda_m)-2i\theta(\lambda_n)}}{(\lambda_n^2-\bar\lambda_m^2)^2 \vphantom{|^{|^.}} } \prod_{\substack{k\leqslant n'<n\leqslant N,\\ k\leqslant m'<m\leqslant N}}(\lambda_n^2-\lambda_{n'}^2)^2(\bar\lambda_m^2-\bar\lambda_{m'}^2)^2+{} \\ &\quad +(-4)^{N-k}\prod_{m,n=k+1}^N\frac{\bar r_mr_n\lambda_n^2 e^{2i\theta(\bar\lambda_m)-2i\theta(\lambda_n)}}{(\lambda_n^2-\bar\lambda_m^2)^2 \vphantom{|^{|^.}} } \prod_{\substack{k+1\leqslant n'<n\leqslant N,\\k+1\leqslant m'<m\leqslant N}}(\lambda_n^2-\lambda_{n'}^2)^2(\bar\lambda_m^2-\bar\lambda_{m'}^2)^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из (4.1) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q(x,t)=\sum_{k=1}^N 2i\rho_k\sin\nu_k \operatorname{sch} \biggl(2\theta_{k,\mathrm I}+\frac{i\nu_k}{2}+\frac{i\pi}{4}&{}+x_{k,0}+\Delta\chi_k^{(+)}\biggr)\times{} \notag\\ &\times e^{-2i\theta_{k,\mathrm R}-{i\nu_k}/{2}-i\pi/4+i\Delta\mu_k^{(+)}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
При этом пространственные сдвиги и фазовые сдвиги равны
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta\chi_k^{(+)}&=\sum_{n=k+1}^N\ln\frac{|\lambda_n^2-\lambda_k^2|^2}{|\lambda_n^2-\bar\lambda_k^2|^2 \vphantom{|^{|^.}} }, \\ \Delta\mu_k^{(+)}&=2\sum_{n=k+1}^N[\arg(\lambda_n^2-\lambda_k^2)+\arg(\lambda_n^2-\bar\lambda_k^2)-i\nu_k^{}]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При $t\to-\infty$ аналогично имеем
$$
\begin{equation}
\Lambda_j\colon\, x+2t+4t\rho_k^2\cos\nu_k+4t(\rho_j^2\cos\nu_j-\rho_k^2\cos\nu_k)\,\to\, \begin{cases} -\infty, & j>k, \\ +\infty, & j<k, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
и это означает, что
$$
\begin{equation}
e^{-2i\theta(\lambda_j)}\to\begin{cases} 0, & j>k, \\ \text{const}, & j=k, \\ +\infty, & j<k. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Из (4.3) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V&\sim C[1,2,\ldots,k;0,1,\ldots,k-1]D[0,1,\ldots,k-1;1,2,\ldots,k]= \\ &=(-4)^{k-1}\prod_{n=1}^k\prod_{m=1}^{k-1} \frac{\bar r_mr_n\bar\lambda^2_me^{2i\theta(\bar\lambda_m)-2i\theta(\lambda_n)}}{(\lambda_n^2-\bar\lambda_m^2)^2} \prod_{\substack{1\leqslant n'<n\leqslant k,\\ 1\leqslant m'<m\leqslant k-1}}(\lambda_n^2-\lambda_{n'}^2)^2(\bar\lambda_m^2-\bar\lambda_{m'}^2)^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом (4.4) это дает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W&\sim F[1,2,\ldots,k-1;1,2,\ldots,k-1]B[1,2,\ldots,k-1;1,2,\ldots,k-1]+{} \\ &\quad+F[1,2,\ldots,k;1,2,\ldots,k]B[1,2,\ldots,k;1,2,\ldots,k]= \\ &=(-4)^{k-1}\prod_{n=1}^{k-1}\prod_{m=1}^{k-1} \frac{\bar r_mr_n\lambda_n^2e^{2i\theta(\bar\lambda_m)-2i\theta(\lambda_n)}}{(\lambda_n^2-\bar\lambda_m^2)^2 \vphantom{|^{|^.}} } \prod_{\substack{1\leqslant n'<n\leqslant k-1,\\ 1\leqslant m'<m\leqslant k-1}}(\lambda_n^2-\lambda_{n'}^2)^2(\bar\lambda_m^2-\bar\lambda_{m'}^2)^2+{} \\ &\quad+(-4)^{k}\prod_{n=1}^{k}\prod_{m=1}^{k} \frac{\bar r_mr_n\lambda_n^2e^{2i\theta(\bar\lambda_m)-2i\theta(\lambda_n)}}{(\lambda_n^2-\bar\lambda_m^2)^2 \vphantom{|^{|^.}} } \prod_{\substack{1\leqslant n'<n\leqslant k,\\ 1\leqslant m'<m\leqslant k}}(\lambda_n^2-\lambda_{n'}^2)^2(\bar\lambda_m^2-\bar\lambda_{m'}^2)^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из (4.1) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q(x,t)=\sum_{k=1}^N 2i\rho_k\sin\nu_k \operatorname{sch} \biggl(2\theta_{k,\mathrm I}+\frac{i\nu_k}{2}+\frac{i\pi}{4}&{}+x_{k,0}+\Delta\chi_k^{(-)}\biggr)\times{} \notag\\ &\times e^{-2i\theta_{k,\mathrm R}-{i\nu_k}/{2}-i\pi/4+i\Delta\mu_k^{(-)}}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
При этом пространственные сдвиги и фазовые сдвиги равны
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta\chi_k^{(-)}&=\sum_{n=1}^{k-1}\ln\frac{|\lambda_n^2-\lambda_k^2|^2}{|\lambda_n^2-\bar\lambda_k^2|^2 \vphantom{|^{|^.}} }, \\ \Delta\mu_k^{(-)}&=2\sum_{n=1}^{k-1}[\arg(\lambda_n^2-\lambda_k^2)+\arg(\lambda_n^2-\bar\lambda_k^2)-i\nu_k^{}]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнивая пространственные и фазовые сдвиги, можно сделать вывод, что столкновения между этими $N$ солитонами являются упругими. 5. Подведение итогов и обсуждениеМы рассмотрели смешанное уравнение ЧЛЛ и соответствующую задачу Римана–Гильберта. Мы получили решения Йоста и изучили их аналитические, асимптотические и симметрийные свойства. Предположив, что коэффициент рассеяния $a(\lambda)$ имеет $2N$ нулей, мы рассмотрели условия на вычеты для решений Йоста и применили их к модифицированной задаче Римана–Гильберта. Подведем итог. Смешанное уравнение ЧЛЛ имеет следующие особенности: • когда спектральный параметр стремится к бесконечности, решения Йоста стремятся к интегральному члену, содержащему потенциал, а не к единичной матрице, что отличает нашу систему от системы АКНС; • при нахождении этого интегрального члена следует учитывать асимптотическое поведение решений Йоста при стремлении спектрального параметра к нулю; • интегральный множитель следует ввести в задачу Римана–Гильберта так, чтобы задача Римана–Гильберта удовлетворяла условию нормировки. Решив задачу Римана–Гильберта, мы получили детерминантные формулы для многосолитонных решений. С помощью формулы Коши–Бине детерминанты можно вычислить в явном виде; мы нашли в явном виде солитоны первого и второго порядков. Кроме того, мы рассмотрели асимптотику многосолитонных решений и проверили упругость столкновения солитонов. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ZheYanZha24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|