| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Неизоспектральные уравнения Кадомцева–Петвиашвили, получающиеся с помощью подхода матриц Коши А. Й. Тефераab, Да-Цзюнь Чжанab a Department of Mathematics, Shanghai University, Shanghai, China b Newtouch Center for Mathematics of Shanghai University, Shanghai, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 221, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924100040 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеНеизоспектральные интегрируемые уравнения относятся к классу нелинейных уравнений, обладающих парами Лакса, но в отличие от изоспектральных интегрируемых систем содержат зависящие от времени спектральные параметры, т. е. $\lambda_t\neq 0$ [1], где $\lambda$ – спектральный параметр. Эти уравнения играют важную роль в математическом моделировании определенных физических явлений. Например, с помощью неизоспектральных солитонных уравнений обычно описываются уединенные волны в неоднородных средах [2], [3], поскольку амплитуды и скорости этих волн зависят от времени. На сегодняшний день имеются разнообразные подходы к исследованию неизоспектральных уравнений, такие как метод обратной задачи рассеяния [2], [4]–[8], билинейный метод Хироты [3], [9]–[13], преобразование Дарбу [14]–[17] и др. Основное внимание в настоящей статье уделяется разработке прямого метода исследования неизоспектральных уравнений следующего вида:
$$
\begin{equation}
4u_t+y(u_{xxx}+6uu_x+3\partial^{-1}u_{yy})+2xu_y+4\partial^{-1}u_y=0,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
$$
\begin{equation}
4v_t+y(v_{xxx}-6v^2v_x+6v_x\partial^{-1}v_y+3\partial^{-1}v_{yy})+2xv_y-v^2+3\partial^{-1}v_y=0,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $u$ и $v$ – функции от $x$, $y$ и $t$. Оператор $\partial^{-1}$ означает интегрирование по $x$, т. е. $\partial^{-1}f(x)=\int f(x)\,dx$. Уравнение (1.1) представляет собой неизоспектральное уравнение Кадомцева–Петвиашвили (нКП), которое было найдено еще в 1982 г. в работе [18] как мастер-симметрия уравнения КП. Это уравнение решалось с использованием билинейного метода [19]–[21], преобразования Дарбу [22]–[24] и других подходов. Уравнение (1.2) представляет собой неизоспектральное модифицированное уравнение Кадомцева–Петвиашвили (нмКП), его решение было получено с помощью билинейного метода в работах [25], [26]. В настоящей статье мы разрабатываем прямой алгебраический метод построения явных решений уравнений нКП и нмКП – так называемый подход матриц Коши. Этот подход был впервые систематически использован в работе [27] для исследования интегрируемых решеточных четырехточечных уравнений и впоследствии получил свое развитие как более общая схема в [28], [29] и для дискретных, и для непрерывных интегрируемых систем. Метод матриц Коши был недавно распространен на нелокальные интегрируемые системы [30], системы с самосогласованными источниками [31], [32] и самодуальное $SU(N)$-уравнение Янга–Миллса [33], [34]. Этот подход опирается на уравнение Сильвестра и дисперсионные соотношения. Дисперсионные соотношения для уравнений нКП и нмКП эволюционируют со временем нелинейным образом, что делает процедуру более сложной. Основная цель нашей работы – сформулировать подход матриц Коши для таких неизоспектральных случаев. Мы увидим, что данный случай во многом отличается от изоспектрального случая (ср. с работой [35]). Организация статьи следующая. В разделе 2 мы устанавливаем структуру матрицы Коши для уравнений нКП и нмКП. В разделе 3 получены явные решения этих неизоспектральных уравнений, приведены и проанализированы некоторые примеры полученных решений и представлены их графики. Раздел 4 содержит заключительные замечания. В статье имеется приложение, которое посвящено решениям уравнения Сильвестра с треугольными тёплицевыми матрицами в качестве коэффициентов. 2. Подход матриц Коши к уравнениям нКП и нмКП2.1. Общая схемаНайдем структуру матриц Коши для уравнений (1.1), (1.2). Начнем с уравнения Сильвестра
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{L} \boldsymbol{M} - \boldsymbol{M} \boldsymbol{K} = \boldsymbol{r} \boldsymbol{s} ^{\mathrm T},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $ \boldsymbol{L} , \boldsymbol{K} \in\mathbb{C}_{N\times N}[t]$ суть заданные матричнозначные функции от $t$, одетая матрица Коши $ \boldsymbol{M} \in\mathbb{C}_{N\times N}[x,y,t]$ подлежит определению, а $ \boldsymbol{r} $ и $ \boldsymbol{s} $ – векторы-столбцы, зависящие от переменных $(x,y,t)$,
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{r} =(\rho_1,\rho_2,\ldots,\rho_N)^{\mathrm T},\qquad \boldsymbol{s} =\bigr(\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_N)^{\mathrm T};
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
функции $\{\rho_i\}$ и $\{\sigma_i\}$ обычно называются плосковолновыми факторами. Мы предполагаем, что матрицы $ \boldsymbol{L} $ и $ \boldsymbol{K} $ не имеют общих собственных значений при любом $t$, это гарантирует, что уравнение Сильвестра (2.1) имеет единственное решение $ \boldsymbol{M} $ для заданных $ \boldsymbol{L} $, $ \boldsymbol{K} $, $ \boldsymbol{r} $ и $ \boldsymbol{s} $ [36]. Введем дисперсионные соотношения
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{r} _x = \boldsymbol{L} \boldsymbol{r} , \quad \boldsymbol{s} _x =- \boldsymbol{K} ^{\mathrm T} \boldsymbol{s} ,
\end{equation}
\tag{2.3a}
$$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{r} _y =- \boldsymbol{L} ^2 \boldsymbol{r} , \quad \boldsymbol{s} _y =( \boldsymbol{K} ^{\mathrm T})^2\kern1pt \boldsymbol{s} ,
\end{equation}
\tag{2.3b}
$$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{r} _t =\biggl(\frac{x}{2} \boldsymbol{L} ^2-y \boldsymbol{L} ^3+\alpha \boldsymbol{L} \biggr) \boldsymbol{r} , \quad \boldsymbol{s} _t =\biggl(-\frac{x}{2}( \boldsymbol{K} ^{\mathrm T})^2+y( \boldsymbol{K} ^{\mathrm T})^3+(1-\alpha) \boldsymbol{K} ^{\mathrm T}\biggr) \boldsymbol{s} ,
\end{equation}
\tag{2.3c}
$$
где $\alpha$ – произвольное вещественное число. Эти соотношения совместны, если эволюция матриц $ \boldsymbol{K} (t)$ и $ \boldsymbol{L} (t)$ задается как
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{K} _t=\frac{1}{2} \boldsymbol{K} ^2,\qquad \boldsymbol{L} _t=\frac{1}{2} \boldsymbol{L} ^2.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Используя составляющие уравнения Сильвестра (2.1), введем скалярные функции
$$
\begin{equation}
S^{(i,j)}= \boldsymbol{s} ^{\mathrm T} \boldsymbol{K} ^j( \boldsymbol{I} + \boldsymbol{M} )^{-1} \boldsymbol{L} ^i \boldsymbol{r} ,\qquad i,j\in\mathbb{Z},
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $ \boldsymbol{I} $ – единичная матрица $N$-го порядка. Мы называем $\{S^{(i,j)}\}$ мастер-функциями, они играют центральную роль при построении нелинейных уравнений в подходе матриц Коши. Мы увидим, что любые производные $S^{(i,j)}_\theta$, где через $\theta$ обозначена переменная $x$, $y$ или $t$, можно выразить через $\{S^{(i,j)}\}$. Тогда нелинейные уравнения записываются в замкнутом виде относительно некоторых функций $S^{(i,j)}$ и их производных, что также будет показано в настоящей статье. Чтобы получить выражения для $S^{(i,j)}_\theta$, сначала необходимо исследовать эволюцию матрицы $ \boldsymbol{M} $ по своим переменным, что можно сделать на основе уравнения Сильвестра (2.1) и дисперсионных соотношений (2.3a)–(2.3c). Докажем следующий результат. Предложение 1. Если вектор-функции $ \boldsymbol{r} $ и $ \boldsymbol{s} $ удовлетворяют дисперсионным соотношениям (2.3a)–(2.3c), то эволюция матрицы $ \boldsymbol{M} $, определяемой уравнением Сильвестра (2.1), задается следующим образом: Доказательство. Поскольку матрицы $ \boldsymbol{L} $ и $ \boldsymbol{K} $ не зависят от $x$ и $y$, доказательство уравнений (2.6a) и (2.6b) такое же, как в работе [35]. Чтобы получить уравнение (2.6c), возьмем производную уравнения Сильвестра (2.1) по $t$ и используем уравнения (2.3c). Имеем Далее, чтобы вывести эволюцию функций $S^{(i,j)}$, введем вспомогательные векторы
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{u} ^{(i)}=( \boldsymbol{I} + \boldsymbol{M} )^{-1} \boldsymbol{L} ^i \boldsymbol{r} ,\qquad i\in\mathbb{Z},
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
которые связаны c $S^{(i,j)}$ как
$$
\begin{equation}
S^{(i,j)}= \boldsymbol{s} ^{\mathrm T} \boldsymbol{K} ^j( \boldsymbol{I} + \boldsymbol{M} )^{-1} \boldsymbol{L} ^i \boldsymbol{r} = \boldsymbol{s} ^{\mathrm T} \boldsymbol{K} ^j \boldsymbol{u} ^{(i)}.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Уравнения эволюции векторов $ \boldsymbol{u} ^{(i)}$ по $x$ и $y$ были получены в [35], они имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \boldsymbol{u} ^{(i)}_x&= \boldsymbol{u} ^{(i+1)}-S^{(i,0)} \boldsymbol{u} ^{(0)}, \\ \boldsymbol{u} _y^{(i)}&=- \boldsymbol{u} ^{(i+2)}+S^{(i,0)} \boldsymbol{u} ^{(1)}+S^{(i,1)} \boldsymbol{u} ^{(0)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Теперь, чтобы найти $ \boldsymbol{u} ^{(i)}_t$, возьмем производную по $t$ в (2.8), получим
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{M} _t \boldsymbol{u} ^{(i)}+( \boldsymbol{I} + \boldsymbol{M} ) \boldsymbol{u} ^{(i)}_t=i \boldsymbol{L} ^{i-1} \boldsymbol{L} _t \boldsymbol{r} + \boldsymbol{L} ^{i} \boldsymbol{r} _t.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Подставим в это уравнение соотношения (2.6c), (2.3c) и (2.4), умножим его слева на $( \boldsymbol{I} + \boldsymbol{M} )^{-1}$ и используем (2.9). Это дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \boldsymbol{u} ^{(i)}_t &=\biggl(\alpha+\frac{i}{2}\biggr) \boldsymbol{u} ^{(i+1)}- \biggl(\alpha-\frac{1}{2}\biggr) \boldsymbol{u} ^{(0)}S^{(i,0)}+ \frac{x}{2}( \boldsymbol{u} ^{(i+2)}- \boldsymbol{u} ^{(1)}S^{(i,0)}- \boldsymbol{u} ^{(0)}S^{(i,1)})+{} \notag\\ &\quad+y( \boldsymbol{u} ^{(0)}S^{(i,2)}+ \boldsymbol{u} ^{(1)}S^{(i,1)}+ \boldsymbol{u} ^{(2)}S^{(i,0)}- \boldsymbol{u} ^{(i+3)}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Теперь мы готовы найти эволюцию функций $S^{(i,j)}$. Заметим, что производная функции $S^{(i,j)}$ по переменной $\theta=x,y,t$ рассчитывается как
$$
\begin{equation}
S^{(i,j)}_\theta=(\partial_\theta \boldsymbol{s} ^{\mathrm T}) \boldsymbol{K} ^j \boldsymbol{u} ^{(i)}+ \boldsymbol{s} ^{\mathrm T}(\partial_\theta \boldsymbol{K} ^j) \boldsymbol{u} ^{(i))}+ \boldsymbol{s} ^{\mathrm T} \boldsymbol{K} ^j(\partial_\theta \boldsymbol{u} ^{(i)}).
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Тогда, используя производные функций $ \boldsymbol{s} $, $ \boldsymbol{u} ^{(i)}$ и $ \boldsymbol{K} $, получаем
$$
\begin{equation}
S^{(i,j)}_x =S^{(i+1,j)}-S^{(i,j+1)}-S^{(i,0)}S^{(0,j)},
\end{equation}
\tag{2.14a}
$$
$$
\begin{equation}
S^{(i,j)}_y =-S^{(i+2,j)}+S^{(i,j+2)}+S^{(i,1)}S^{(0,j)}+S^{(i,0)}S^{(1,j)},
\end{equation}
\tag{2.14b}
$$
$$
\begin{equation}
S^{(i,j)}_t =\biggl(\alpha+\frac{i}{2}\biggr)S^{(i+1,j)}- \biggl(\alpha-\frac{1}{2}\biggr)S^{(0,j)}S^{(i,0)}+ \biggl(1-\alpha+\frac{j}{2}\biggr)S^{(i,j+1)}+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad+\frac{x}{2}(S^{(i+2,j)}-S^{(i,j+2)}-S^{(1,j)}S^{(i,0)}-S^{(0,j)}S^{(i,1)})+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad+y(S^{(0,j)}S^{(i,2)}+S^{(1,j)}S^{(i,1)}+S^{(2,j)}S^{(i,0)}-S^{(i+3,j)}+S^{(i,j+3)}).
\end{equation}
\tag{2.14c}
$$
Можно многократно использовать эти уравнения и получить для функций $S^{(i,j)}$ производные более высокого порядка. Приведем формулы для некоторых из них:
$$
\begin{equation}
S^{(i,j)}_{xx} =S^{(i+2,j)}+S^{(i,j+2)}-2 S^{(i+1,j+1)}S^{(0,j)}+2 S^{(i,0)}S^{(0,j+1)}-2S^{(i+1,0)}S^{(0,j)}- \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad -S^{(i,0)}S^{(1,j)}+S^{(i,1)}S^{(0,j)}+2 S^{(0,0)}S^{(i,0)}S^{(0,j)},
\end{equation}
\tag{2.14d}
$$
$$
\begin{equation}
S^{(i,j)}_{xxx} =S^{(i+3,j)}-S^{(i,j+3)}-3S^{(i+2,j+1)}+3S^{(i+1,j+2)}-3S^{(i+2,0)}S^{(0,j)}-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad -3S^{(i,0)}S^{(0,j+2)}+6 S^{(i+1,0)}S^{(0,j+1)}-3S^{(i+1,0)}S^{(1,j)}-3S^{(i,1)}S^{(0,j+1)}-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad -S^{(i,2)}S^{(0,j)}-S^{(i,0)}S^{(2,j)}+3S^{(i+1,1)}S^{(0,j)}+3S^{(i,0)}S^{(1,j+1)}+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad +6S^{(i+1,0)}S^{(0,0)}S^{(0,j)}-6S^{(i,0)}S^{(0,0)}S^{(0,j+1)}+2S^{(i,1)}S^{(1,j)}+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad +3S^{(i,0)}S^{(0,0)}S^{(1,j)}+3S^{(i,0)}S^{(1,0)}S^{(0,j)}-3S^{(i,0)}S^{(0,1)}S^{(0,j)}-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad-3S^{(i,1)}S^{(0,0)}S^{(0,j)}-6 S^{(i,0)}{S^{(0,0)}}^2 S^{(0,j)},
\end{equation}
\tag{2.14e}
$$
$$
\begin{equation}
S^{(i,j)}_{xy} =-S^{(i+3,j)}-S^{(i,j+3)}+S^{(i+2,j+1)}+S^{(i+1,j+2)}+S^{(i+2,0)}S^{(0,j)}-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad -S^{(i,0)}S^{(0,j+2)}-S^{(i,1)}S^{(0,j+1)}+S^{(i+1,0)}S^{(1,j)}-S^{(i,2)}S^{(0,j)}+S^{(i,0)}S^{(2,j)}+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad +S^{(i+1,1)}S^{(0,j)}-S^{(i,0)}S^{(1,j+1)}-S^{(i,1)}S^{(0,0)}S^{(0,j)}-S^{(i,0)}S^{(0,0)}S^{(1,j)}-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad -S^{(i,0)}S^{(0,1)}S^{(0,j)}-S^{(i,0)}{S^{(1,0)}}S^{(0,j)}.
\end{equation}
\tag{2.14f}
$$
Нам также потребуются интегралы, такие как $\partial^{-1}S^{(i,j)}_y$ и $\partial^{-1}S^{(i,j)}_{yy}$. Чтобы их найти, сначала получим из (2.14a) следующие соотношения:
$$
\begin{equation}
S^{(i,j+1)}_x =S^{(i+1,j+1)}-S^{(i,j+2)}-S^{(i,0)}S^{(0,j+1)},
\end{equation}
\tag{2.15a}
$$
$$
\begin{equation}
S^{(i+1,j)}_x =S^{(i+2,j)}-S^{(i+1,j+1)}-S^{(i+1,0)}S^{(i,j)}.
\end{equation}
\tag{2.15b}
$$
Сложим эти уравнения, имеем
$$
\begin{equation}
S^{(i+2,j)}-S^{(i,j+2)}=(S^{(i,j+1)}+S^{(i+1,j)})_x+S^{(0,j+1)}S^{(i,0)}+S^{(0,j)}S^{(i+1,0)}.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Если положить $i=0$ в (2.15a) и $j=0$ в (2.15b), то мы получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S^{(0,j+1)}&=-S^{(0,j)}_x+S^{(1,j)}-S^{(0,0)}S^{(0,j)}, \\ S^{(i+1,0)}&=S^{(i,0)}_x+S^{(i,1)}+S^{(0,0)}S^{(i,0)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Тогда, подставляя приведенные выше соотношения в (2.14b), имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \partial^{-1}S^{(i,j)}_y&=-(S^{(i,j+1)}+S^{(i+1,j)})+\partial^{-1}(S^{(i,0)}S^{(i,0)}_x-S^{(i,0)}_x S^{(0,j)}), \\ \partial^{-1}S^{(i,j)}_{yy}&=S^{(i+3,j)}-S^{(i,j+3)}+S^{(i+2,j+1)}-S^{(i+1,j+2)}-S^{(0,j)}S^{(i+1,1)}-{} \\ &\quad-S^{(0,j+1)}S^{(i,1)}-S^{(1,j)}S^{(i+1,0)}-S^{(1,j+1)}S^{(i,0)}+{} \\ &\quad+\partial_y \partial^{-1}(S^{(i,0)}S^{(0,j)}_x-S^{(i,0)}_x S^{(0,j)}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
2.2. Уравнение нКПТеперь мы готовы вывести уравнение нКП (1.1). Пусть Положив $\alpha=1/2$ и $(i,j)=(0,0)$ в эволюционных уравнениях, полученных в п. 2.1, имеем
$$
\begin{equation}
w_t =\frac{1}{2}(S^{(0,1)}+S^{(1,0)})+\frac{x}{2}(S^{(2,0)}-S^{(0,2)}-wS^{(1,0)}-wS^{(0,1)})+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad\,+y(wS^{(2,0)}+wS^{(0,2)}+S^{(1,0)}S^{(0,1)}+S^{(0,3)}-S^{(3,0)}),
\end{equation}
\tag{2.20b}
$$
$$
\begin{equation}
w_{xxx} =S^{(3,0)}-S^{(0,3)}+3(S^{(2,1)}-S^{(2,1)})-4w(S^{(2,0)}+S^{(0,2)})+8 S^{(1,0)}S^{(0,1)}-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad\,-3(S^{(1,0)^2}+S^{(0,1)^2})+6wS^{(1,1)}+12w^2(S^{(1,0)}-S^{(0,1)})-6w^4,
\end{equation}
\tag{2.20d}
$$
$$
\begin{equation}
\partial^{-1}w_{yy} =S^{(3,0)}-S^{(0,3)}+S^{(2,1)}-S^{(1,2)}-2wS^{(1,1)}-S^{(0,1)^2}-S^{(1,0)^2}.
\end{equation}
\tag{2.20f}
$$
С помощью непосредственной подстановки выводим уравнение
$$
\begin{equation}
4w_t+y(w_{xxx}+6w_x^2+3\partial^{-1}w_{yy})+2xw_y+2\partial^{-1}w_y=0,
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
которое является потенциальной версией уравнения нКП. Если положить $u=2w_x$, то получаем уравнение нКП (1.1)
$$
\begin{equation}
4u_t+y(u_{xxx}+6uu_x+3\partial^{-1}u_{yy})+2xu_y+4\partial^{-1}u_y=0,
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
решение которого задается как
$$
\begin{equation}
u=2( \boldsymbol{s} ^{\mathrm T}( \boldsymbol{I} + \boldsymbol{M} )^{-1} \boldsymbol{r} )_x.
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Используя предложение 5.1 в [29] и его доказательство, выводим
$$
\begin{equation}
u=2(\ln\tau)_{xx},\qquad\tau=| \boldsymbol{I} + \boldsymbol{M} |.
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
Заметим, что существует калибровочное преобразование, приводящее уравнение нКП (2.22) к уравнению КП
$$
\begin{equation}
4\tilde u_{\tilde t}+\tilde u_{\tilde x\tilde x\tilde x}+6\tilde u\tilde u_{\tilde x}+3\partial^{-1}_{\tilde x}\tilde u_{\tilde y\tilde y}=0, \qquad \tilde u=\tilde u(\tilde x,\tilde y,\tilde t).
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Это преобразование координат было найдено в работе [37], оно задается как
$$
\begin{equation}
\tilde x=xy^{-1/3},\qquad\tilde y=3y^{1/3},\qquad \tilde t=t,\qquad\tilde u=y^{2/3}\biggl(u-\frac{x^2}{18y^2}\biggr).
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
2.3. Уравнение нмКПЧтобы вывести уравнение нмКП (1.2), зададим т. е. $w$ – та же, что и в (2.19). Положив $\alpha=3/4$ и $(i,j)=(-1,0)$, получаем, что дифференцирование уравнений (2.14a)–(2.14f) дает
$$
\begin{equation}
V_t =-\frac{1}{4}(wV+S^{(-1,1)})+\frac{x}{2}(S^{(-1,2)}-VS^{(1,0)}+wS^{(-1,1)})+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad\,+y(VS^{(2,0)}-wS^{(-1,2)}-S^{(1,0)}S^{(-1,1)}-S^{(-1,3)}),
\end{equation}
\tag{2.28b}
$$
$$
\begin{equation}
V_{xx} =-VS^{(1,0)}-S^{(-1,2)}+2VS^{(0,1)}+2Vw^2-wS^{(-1,1)},
\end{equation}
\tag{2.28d}
$$
$$
\begin{equation}
V_{xxx} =S^{(-1,3)}-wS^{(2,0)}-3wS^{(0,2)}+3wS^{(1,1)}+6wVS^{(1,0)}-9wVS^{(0,1)}-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad\,-6w^3V+wS^{(-1,2)}+3S^{(0,1)}S^{(-1,1)}-2 S^{(1,0)}S^{(-1,1)}+3w^2 S^{(-1,1)},
\end{equation}
\tag{2.28e}
$$
$$
\begin{equation}
V_{xy} =S^{(-1,3)}-VS^{(0,2)}-VS^{(1,1)}+VS^{(2,0)}-2wVS^{(1,0)}-wVS^{(0,1)}+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad\,+wS^{(1,-2)}+S^{(0,1)}S^{(-1,1)}+w^2 S^{(-1,1)}.
\end{equation}
\tag{2.28f}
$$
Используя уравнения (2.20a) и (2.28c), мы можем записать (2.28d) как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V_{xx}&=-VS^{(1,0)}-S^{(-1,2)}+2VS^{(0,1)}+2Vw^2-wS^{(-1,1)}= \\ &=-2VS^{(1,0)}+2VS^{(0,1)}+2Vw^2+V_y=-2Vw_x+V_y, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и далее как
$$
\begin{equation}
\frac{V_{xx}}{V}=-2w_x+\frac{V_y}{V}=\biggl(\frac{V_x}{V}\biggr)_{\!{}^{\scriptstyle x}}+\biggl(\frac{V_x}{V}\biggr)^{\!2}.
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
Тогда с помощью непосредственной подстановки выводим уравнение
$$
\begin{equation}
4V_t+y(V_{xxx}+6V_xw_x+6Vw_y+3V_{xy})+2xV_y+2wV+V_x=0,
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
где $w_x$ и $w_y$ заданы в (2.20a) и (2.20c). Исключая $w$ в (2.30) с помощью (2.29), получаем уравнение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 4V_t+y\biggl(V_{xxx}-3\frac{V_{xx}V_x}{V}&{}+6V\partial^{-1}\biggl(\!\biggl(\frac{V_x}{V}\biggr)_{\!{}^{\scriptstyle x}}\frac{V_y}{V}\biggr)+ 3V\partial^{-1}\biggl(\frac{V_y}{V}\biggr)_{\!{}^{\scriptstyle y\,}}\biggr)+2x V_y-{} \notag\\ &{}-V\partial^{-1}\biggl(\frac{V_x}{V}\biggr)^{\!2}+V\partial^{-1}\biggl(\frac{V_y}{V}\biggr)=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
которое после преобразования $\mu=\ln V$ дает уравнение
$$
\begin{equation}
4\mu_t+y(\mu_{xxx}-2(\mu_x)^3+6\partial^{-1}\mu_{xx}\mu_y+3\partial^{-1}\mu_{yy})+2x\mu_y-\partial^{-1}\mu_x^2+\partial^{-1}\mu_y=0.
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
Это на самом деле потенциальная версия уравнения нмКП (1.2). Положив $v=\mu_x$, приходим к уравнению нмКП (1.2)
$$
\begin{equation}
4v_t+y(v_{xxx}-6v^2v_x+6v_x\partial^{-1}v_y+3\partial^{-1}v_{yy})+2xv_y-v^2+3\partial^{-1}v_y=0,
\end{equation}
\tag{2.33}
$$
решение которого имеет вид
$$
\begin{equation}
v=\partial_x\ln(1- \boldsymbol{s} ^{\mathrm T}( \boldsymbol{I} + \boldsymbol{M} )^{-1} \boldsymbol{L} ^{-1} \boldsymbol{r} ).
\end{equation}
\tag{2.34}
$$
Заметим, что уравнение (2.29) записывается через $u$ и $v$ как и его можно рассматривать как преобразование Миуры для перехода от уравнения нКП к уравнению нмКП.3. Явный вид решений и их динамикаВ этом разделе мы строим решения уравнений нКП и нмКП, решая уравнение Сильвестра (2.1) совместно с дисперсионными соотношениями (2.3a)–(2.3c). Некоторые полученные решения проанализированы и проиллюстрированы на графиках. 3.1. Явный вид решенийЗаметим, что в изоспектральном случае, изучавшемся в [35], матрицы $ \boldsymbol{L} $ и $ \boldsymbol{K} $ являются постоянными, и можно доказать, что $( \boldsymbol{L} , \boldsymbol{K} )$ и любые матрицы, подобные им, приводят к таким же решениям изоспектрального уравнения КП. Это означает, что на практике нам нужно рассматривать только канонические формы матриц $ \boldsymbol{L} $ и $ \boldsymbol{K} $, т. е. диагональные или жордановы формы или их комбинации. Однако в неизоспектральном случае матрицы $ \boldsymbol{L} $ и $ \boldsymbol{K} $ больше не являются постоянными и должны подчиняться эволюционным уравнениям (2.4). При этом матрицы, подобные $ \boldsymbol{L} $ и $ \boldsymbol{K} $, могут не удовлетворять эволюционным уравнениям (2.4). В этом пункте для удобства мы рассмотрим только случай, когда матрицы $ \boldsymbol{L} $, $ \boldsymbol{K} $ являются диагональными или нижнетреугольными тёплицевыми. Второй случай более подробно представлен в приложении. 3.1.1. Диагональный случайЕсли матрицы $ \boldsymbol{L} $ и $ \boldsymbol{K} $ диагональные,
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{L} =\operatorname{diag}(l_1,l_2,\ldots,l_N),\qquad \boldsymbol{K} =\operatorname{diag}(k_1,k_2,\ldots,k_N),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $\{l_i,k_i\}$ зависят от $t$, то из уравнений (2.4) мы без труда находим
$$
\begin{equation}
l_i=l_i(t)=-\frac{2}{t+2c_i},\qquad k_i=k_i(t)=-\frac{2}{t+2d_i},\qquad c_i,d_i\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Для векторов $ \boldsymbol{r} $ и $ \boldsymbol{s} $, заданных в виде (2.2), которые удовлетворяют соотношениям (2.3a)–(2.3c), мы имеем решения
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \rho_i&=e^{\xi_i},&\qquad\xi_i&=l_ix-l_i^2y-2\alpha\ln(t+2c_i)+\xi^{(0)}_i, \\ \sigma_i&=e^{\eta_i},&\qquad\eta_i&=-k_ix+k_i^2y+2(\alpha-1) \ln(t+2d_i)+\eta^{(0)}_i, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $\xi^{(0)}_i,\eta^{(0)}_i$ постоянные, а $l_i(t)$ и $k_i(t)$ заданы в (3.2). В этом случае уравнение Сильвестра (2.1) определяет одетую матрицу Коши $ \boldsymbol{M} =(M_{ij})_{N\times N}$ с элементами Задав $\{ \boldsymbol{L} $, $ \boldsymbol{K} $, $ \boldsymbol{r} $, $ \boldsymbol{s} $, $ \boldsymbol{M} \}$, можно найти решения уравнений нКП и нмКП с помощью формул (2.24) и (2.34) соответственно. 3.1.2. Случай нижнетреугольных тёплицевых матрицНижнетреугольная тёплицева матрица – это квадратная матрица, которая имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{F} _c^{[N]}[f(c)]=\begin{pmatrix} f & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \dfrac{\partial_cf}{1!} & f & 0 & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial^2_cf}{2!} & \dfrac{\partial_c f}{1!} & f & \ddots & 0 \vphantom{\bigg|^{|^|}} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \dfrac{\partial^{N-1}_c f}{(N-1)!} & \ldots & \dfrac{\partial^2_cf}{2!} & \dfrac{\partial_cf}{1!} & f \vphantom{\bigg|^{|^|}} \end{pmatrix}_{\!{}^{\scriptstyle N\times N}},
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где $f(c)$ – производящая функция. Нижний индекс в обозначении матрицы указывает, что она генерируется путем взятия производных по $c$. Пусть
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{L} = \boldsymbol{F} _{c_1}^{[N]}[l_1],\qquad \boldsymbol{K} = \boldsymbol{F} _{d_1}^{[N]}[k_1],
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где $l_1$ и $k_1$ заданы в (3.2), и мы рассматриваем их как функции от $c_1$ и $d_1$ соответственно. Можно проверить, что такие матрицы $ \boldsymbol{L} $ и $ \boldsymbol{K} $ удовлетворяют уравнениям (2.4). В этом случае векторы-столбцы $ \boldsymbol{r} $ и $ \boldsymbol{s} $ задаются как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \boldsymbol{r} =\biggl(\rho_1,\partial_{c_1}\rho_1,\ldots,\frac{\partial^{N-1}_{c_1}\rho_1}{(N-1)!}\biggr)^{\!\mathrm T}, \qquad \boldsymbol{s} =\biggl(\sigma_1,\partial_{d_1}\sigma_1,\ldots,\frac{\partial^{N-1}_{d_1}\sigma_1}{(N-1)!}\biggr)^{\!\mathrm T}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где $\rho_1$ и $\sigma_1$ определены в (3.3). Процедура нахождения матрицы $ \boldsymbol{M} $ из уравнения Сильвестра (2.1) для этого случая гораздо сложнее, чем для изоспектрального случая [35]. Подробности мы здесь опустим, их можно найти в приложении. Опять же задав $\{ \boldsymbol{L} $, $ \boldsymbol{K} $, $ \boldsymbol{r} $, $ \boldsymbol{s} $, $ \boldsymbol{M} \}$, мы можем найти решения уравнений нКП и нмКП с помощью формул (2.24) и (2.34). 3.2. Явные решения уравнения нКП и их динамика3.2.1. Односолитонное решениеПри $N=1$ имеем
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{L} =l_1(t),\quad\; \boldsymbol{K} =k_1(t),\quad\; \boldsymbol{r} =\rho_1=e^{\xi_1},\quad\; \boldsymbol{s} =\sigma_1=e^{\eta_1},\quad\; \boldsymbol{M} =\frac{\rho_1\sigma_1}{l_1-k_1},
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
где $\rho_1$, $\sigma_1$ заданы выражениями (3.3) при $\alpha=1/2$, а $l_1$ и $k_1$ заданы в (3.2). Таким образом, односолитонное решение уравнения нКП, полученное из (2.24), имеет вид
$$
\begin{equation}
u(x,y,t)=\frac{(l_1-k_1)^2}{2}\operatorname{sch}^2\biggl(\frac{\xi_1+\eta_1-\ln(l_1-k_1)}{2}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Форма и движение решения показаны на рис. 1. При фиксированном $t$ это решение имеет форму линейного солитона на плоскости $(x,y)$. На прямой линейный солитон имеет амплитуду
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2}(l_1-k_1)^2=\frac{8(c_1-d_1)^2}{(2c_1+t)^2(2d_1+t)^2},
\end{equation*}
\notag
$$
которая зависит от времени и стремится к нулю при $t\to \pm\infty$. Кроме того, направление движения линейного солитона изменяется со временем.  Рис. 1.Форма односолитонного решения (3.9) при $c_1=1$, $d_1=-3$, $\xi_1^{(0)}=\eta_1^{(0)}=0$: трехмерные графики для $t=-1$ (а) и $t=-3$ (б). 3.2.2. Двухсолитонное решениеПри $N=2$ имеем
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{L} =\begin{pmatrix} l_1 & 0 \\ 0 & l_2 \end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{K} =\begin{pmatrix} k_1 & 0 \\ 0 & k_2 \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
и
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{r} =(\rho_1,\rho_2)^{\mathrm T},\qquad \boldsymbol{s} =(\sigma_1,\sigma_2)^{\mathrm T}, \qquad \boldsymbol{M} =\begin{pmatrix} \dfrac{\rho_1\sigma_1}{l_1-k_1} & \dfrac{\rho_1\sigma_2}{l_1-k_2} \\ \dfrac{\rho_2\sigma_1}{l_2-k_1} & \dfrac{\rho_2\sigma_2}{l_2 -k_2}\vphantom{\bigg|^{|}} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
где $\rho_i$, $\sigma_i$ заданы выражениями (3.3) при $\alpha=1/2$, а $l_i$ и $k_i$ заданы в (3.2). Из (2.24) получаем решение где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tau =| \boldsymbol{I} + \boldsymbol{M} |&=1+\frac{(2c_1+t)(2d_1+t)\rho_1\sigma_1}{4(c_1-d_1)}+\frac{(2c_2+t)(2d_2+t)\rho_2 \sigma_2}{4(c_2-d_2)}+{} \notag\\ &\quad +A_{12}\frac{(2c_1+t)(2c_2+t)(2d_1+t)(2d_2+t)\rho_1 \sigma_1 \rho_2\sigma_2}{16(c_1-d_1)(c_2-d_2)} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
и
$$
\begin{equation}
A_{12}=\frac{(c_1-c_2)(d_1-d_2)}{(c_2-d_1)(d_2-c_1)}.
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Форма и движение этого решения показаны на рис. 2. В частном случае, когда $c_1=c_2$, но $d_1\neq d_2$, так что $A_{12}=0$, функция $\tau$ сводится к
$$
\begin{equation}
\tau=1+\frac{(2c_1+t)(2d_1+t)\rho_1 \sigma_1}{4(c_1-d_1)}+\frac{(2c_2+t)(2d_2+t)\rho_2 \sigma_2}{4(c_2-d_2)}.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Такой частный случай приводит к резонансу линейных солитонов, который имеет форму буквы Y [38], как показано на рис. 3.  Рис. 2.Форма и движение двухсолитонного решения (3.12) при $c_1=5$, $c_2=3$, $d_1=4$, $d_2=2$, $\xi_1^{(0)}=\xi_2^{(0)}=\eta_1^{(0)}=\eta_2^{(0)}=0$: трехмерные графики для $t=-7$ (а) и $t=-7.2$ (б).  Рис. 3.Резонанс двух солитонов (3.12) при $c_1=c_2=1$, $d_1=-3$, $d_2=-0.7$, $\xi_1^{(0)}=\xi_2^{(0)}=\eta_1^{(0)}=\eta_2^{(0)}=0$: трехмерные графики для $t=0$ (а) и $t=-0.5$ (б). 3.2.3. Двухполюсное решениеНижнетреугольные тёплицевы матрицы $ \boldsymbol{L} $ и $ \boldsymbol{K} $ приводят к так называемым многополюсным решениям. Подробнее об этом случае можно узнать в приложении. Двухполюсное решение получается, если положить
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{L} =\begin{pmatrix} l_1 & 0 \\ \partial_{c_1}l_1 & l_1 \end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{r} _1=(\rho_1,\partial_{c_1}\rho_1)^{\mathrm T},\qquad \boldsymbol{s} _1=(\sigma_1,\partial_{d_1}\sigma_1)^{\mathrm T},
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
где $\rho_1$, $\sigma_1$ заданы выражениями (3.3) при $\alpha=1/2$, а $l_1$ и $k_1$ заданы в (3.2). В этом случае матрица $ \boldsymbol{M} $ имеет вид (см. приложение)
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{M} =\begin{pmatrix} \rho_1 & 0 \\ \partial_{c_1}\rho_1 & \rho_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dfrac{1}{l_1-k_1} & \dfrac{\partial_{d_1}k_1}{(l_1-k_1)^2} \\ -\dfrac{\partial_{c_1}l_1}{(l_1-k_1)^2} \vphantom{\Biggl\}} & -\dfrac{2(\partial_{c_1}l_1)(\partial_{d_1}k_1)}{(l_1-k_1)^3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sigma_1 & \partial_{c_1}\sigma_1 \\ \partial_{c_1}\sigma_1 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Таким образом, решение задается как где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tau=| \boldsymbol{I} + \boldsymbol{M} |&=1+\frac{\rho_1\sigma_1}{l_1-k_1}+\frac{64((2d_1+t)(2d_1+t+2x)+8y)^2}{(k_1-l_1)^4(2c_1+t)^2(2d_1+t)^8}\rho_1^2\sigma_1^2+{} \notag\\ &\quad +F_1\biggl(l_1^2-k_1^2-\frac{(k_1-l_1)(2(2c_1+t)(2c_1+t-2x)+16y)}{(2c_1+t)^3} \biggr)\rho_1^{}\sigma_1^{} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
и
$$
\begin{equation*}
F_1=\frac{2(2d_1+t)(2d_1+t+2x)-16y}{(k_1-l_1)^2(2d_1+t)^3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Форма и движение решения (3.18) показаны на рис. 4.  Рис. 4.Форма и движение двухполюсного решения (3.18) при $c_1=2$, $d_1=1$, $\xi_1^{(0)}=\eta_1^{(0)}=0$: трехмерные графики для $t=-3$ (а) и $t=-5$ (б). 3.3. Явные решения уравнения нмКП и их динамика3.3.1. Односолитонное решениеПри $N=1$ имеем
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{L} =l_1(t),\quad \boldsymbol{K} =k_1(t),\quad \boldsymbol{r} =\rho_1=e^{\xi_1},\quad \boldsymbol{s} =\sigma_1=e^{\eta_1},\quad \boldsymbol{M} =\frac{\rho_1\sigma_1}{l_1-k_1},
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
где $\rho_1$, $\sigma_1$ заданы выражениями (3.3) при $\alpha=3/4$, а $l_1$ и $k_1$ заданы в (3.2). Односолитонное решение уравнения нмКП, полученное из (2.34), имеет вид
$$
\begin{equation}
v=\partial_x\ln\frac{4(c_1-d_1)+(2c_1+t)^2e^{\xi_1+\eta_1}}{4(c_1-d_1)+(2c_1+t)(2d_1+t)e^{\xi_1+\eta_1})}.
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Форма и движение этого решения показаны на рис. 5. Видно, что линейный солитон со временем меняет амплитуду и скорость.  Рис. 5.Форма односолитонного решения (3.21) при $c_1=1$, $d_1=-1$, $\xi_1^{(0)}=\eta_1^{(0)}=0$: трехмерные графики для $t=2.7$ (а) и $t=3.6$ (б). 3.3.2. Двухсолитонное решениеПри $N=2$ для $ \boldsymbol{L} $, $ \boldsymbol{K} $, $ \boldsymbol{r} $, $ \boldsymbol{s} $, $ \boldsymbol{M} $ можно использовать формулы (3.10) и (3.11), где $\rho_1$, $\sigma_1$ заданы выражениями (3.3) при $\alpha=3/4$, а $l_i$, $k_i$ заданы в (3.2). Тогда двухсолитонное решение уравнения нмКП, полученное из (2.34), имеет вид
$$
\begin{equation}
v=\partial_x \ln\bigl(1+\tfrac{(2c_1+t)((1+M_{22})e^{\eta_1}-M_{21}e^{\eta_2})e^{\xi_1}+(2c_2+t)((1+M_{11})e^{\eta_2}-M_{12}e^{\eta_2})e^{\xi_2}} {2(1+M_{11}+M_{22}-M_{12}M_{21}+M_{11}M_{22})}\bigr),
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
где $ \boldsymbol{M} =(M_{ij})_{2\times 2}$. Форма и движение этого решения показаны на рис. 6.  Рис. 6.Форма и движение двухсолитонного решения (3.22) при $c_1=5$, $c_2=3$, $d_1=4$, $d_2=2$, $\xi_1^{(0)}=\xi_2^{(0)}=\eta_1^{(0)}=\eta_2^{(0)}=0$: трехмерные графики для $t=-7$ (а) и $t=-7.5$ (б). 3.3.3. Двухполюсное решениеБудем использовать формулы (3.16) и (3.17) для задания матриц $ \boldsymbol{L} $, $ \boldsymbol{K} $ и векторов $ \boldsymbol{r} $, $ \boldsymbol{s} $, $ \boldsymbol{M} $, где $\rho_1$, $\sigma_1$ заданы выражениями (3.3) при $\alpha=3/4$, а $l_1$, $k_1$ заданы в (3.2). Решение принимает вид
$$
\begin{equation*}
v=\partial_x \ln\biggl(1-\frac{(16y-(2c_1+t)(6c_1+3t-4x))F_1+(2c_1+t)^2(F_2-F_3)}{2(1+M_{11}-M_{12}M_{21}+M_{22}+M_{11}M_{22})(2c_1+t)^2(2d_1+t)^3}\, e^{\xi_1+\eta_1}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $ \boldsymbol{M} =(M_{ij})_{2\times 2}$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_1&=M_{12}(2d_1+t)^3+(1+M_{11})[(2d_1+t)(2d_1+t+4x)+16y], \\ F_2&=2M_{12}(2d_1+t)^3+2(1+M_{11})((2d_1+t)(2d_1+t+4x)+16y), \\ F_3&=(2c_1+t)[(1+M_{22})(2d_1+t)^3+M_{21}(2d_1+t)(2d_1+t+4x)+16yM_{21}]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это решение изображено на рис. 7.  Рис. 7.Форма и движение двухполюсного решения (3.18) при $c_1=2$, $d_1=3$, $\xi_1^{(0)}=\eta_1^{(0)}=0$: трехмерные графики для $t=0.5$ (а) и $t=1.5$ (б). 4. Заключительные замечанияВ представленной работе мы разработали подход матриц Коши для построения уравнения нКП и уравнения нмКП вместе с их явными солитонными решениями. В этом подходе отправной точкой служит уравнение Сильвестра (2.1). Через составляющие этого уравнения мы определили скалярные функции $\{S^{(i,j)}\}$ с помощью выражений (2.5). После наложения на векторы $ \boldsymbol{r} $ и $ \boldsymbol{s} $ условий, выражающихся дисперсионными соотношениями, мы получили уравнения эволюции для функций $\{S^{(i,j)}\}$. Затем мы вывели уравнения нКП и нмКП и получили их решения. Мы представили в явном виде решения, соответствующие диагональным и нижнетреугольным тёплицевым матрицам $ \boldsymbol{L} $ и $ \boldsymbol{K} $ в уравнении Сильвестра (2.1). Отметим, что для нижнетреугольных тёплицевых матриц $ \boldsymbol{L} $ и $ \boldsymbol{K} $ получаются так называемые многополюсные решения. Мы проанализировали динамику полученных решений уравнений нКП и нмКП. Форма и движение односолитонного решения уравнения нКП и уравнения нмКП показаны на рис. 1 и рис. 5 соответственно. Эти решения являются линейными солитонами, а их амплитуды и скорости изменяются со временем, что обусловлено влиянием неизоспектральности. В случае двухсолитонного решения в неизоспектральном случае при некоторых значениях параметров существует резонанс линейных солитонов, при котором наблюдается Y-образное взаимодействие линейных солитонов, причем как амплитуды, так и углы между прямыми изменяются со временем. Что касается дальнейших исследований по этой теме, то мы хотели бы отметить следующее. Во-первых, из схемы матриц Коши для матричной системы КП можно сформулировать самодуальное $SU(N)$-уравнение Янга–Миллса. Одной из интересных задач является вывод неизоспектрального самодуального уравнения Янга–Миллса на основе подхода матриц Коши [34]. Во-вторых, отметим, что уравнение нКП (1.1) соответствует изоспектральному уравнению КП-II. Было бы интересно применить подход матриц Коши к уравнению КП-I и его неизоспектральной форме. На этой основе можно исследовать ламповые решения в неоднородных средах. Кроме того, можно также применить подход матриц Коши при изучении дифференциально-разностных уравнений КП и мКП и их неизоспектральных обобщений (ср. с работами [39], [40]). Приложение. Решение уравнения (2.1) с треугольными тёплицевыми матрицамиПоскольку в неизоспектральном случае матрицы $ \boldsymbol{L} $ и $ \boldsymbol{K} $ зависят от времени и подчиняются уравнениям (2.4), решение уравнения Сильвестра (2.1) становится более сложным, чем в [35]. На основе тёплицевой матрицы (3.5), порожденной функцией $f(c)$, определим еще одну матрицу, порожденную функцией $f(c)$:
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{H} ^{[N]}[f(c)]=\begin{pmatrix} f & \ldots & \dfrac{\partial^{N-3}_c f}{(N-3)!} & \dfrac{\partial^{N-2}_c f}{(N-2)!} & \dfrac{\partial^{N-1}_c f}{(N-1)!} \\ \vdots & {}\ .^{\displaystyle\,.\,^{{}_{\displaystyle.}}}\ {} & \dfrac{\partial^{N-2}_c f}{(N-2)!} & \dfrac{\partial^{N-1}_c f}{(N-1)!} & 0 \\ \dfrac{\partial^{N-3}_c f}{(N-3)!} & {}\ .^{\displaystyle\,.\,^{{}_{\displaystyle.}}}\ {} & \dfrac{\partial^{N-1}_c f}{(N-1)!} & 0 & 0 \\ \dfrac{\partial^{N-2}_c f}{(N-2)!} & {}\ .^{\displaystyle\,.\,^{{}_{\displaystyle.}}}\ {} & {}\ .^{\displaystyle\,.\,^{{}_{\displaystyle.}}}\ {} & {}\ .^{\displaystyle\,.\,^{{}_{\displaystyle.}}}\ {} & \vdots \\ \dfrac{\partial^{N-1}_c f}{(N-1)!} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \end{pmatrix}_{N\times N}.
\end{equation}
\tag{A.1}
$$
Некоторые свойства таких матриц можно найти в работе [41] и предложении 3 в [34]. Рассмотрим функции $l_1$ и $k_1$, определенные в (3.2), которые зависят от $c_1$ и $d_1$ соответственно. Пусть
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{L} = \boldsymbol{F} _{c_1}^{[N]}[l_1],\qquad \boldsymbol{K} = \boldsymbol{F} _{d_1}^{[N]}[k_1],
\end{equation}
\tag{A.2}
$$
(см. формулы (3.6)). Используя определения (3.5) и (A.1), выразим векторы $ \boldsymbol{r} $ и $ \boldsymbol{s} $, заданные в (3.7), как
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{r} = \boldsymbol{F} \,\mathbf e_N, \qquad \boldsymbol{s} = \boldsymbol{H} \,\mathbf e_N,\qquad \boldsymbol{F} = \boldsymbol{F} ^{[N]}_{c_1}[\rho_1], \qquad \boldsymbol{H} = \boldsymbol{H} ^{[N]}_{d_1}[\sigma_1],
\end{equation}
\tag{A.3}
$$
где $\rho_1$ и $\sigma_1$ взяты из (3.3) и $\mathbf e_N$ –$N$-мерный вектор-столбец вида Будем искать решение $ \boldsymbol{M} $ уравнения Сильвестра (2.1) в виде
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{M} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{G} \boldsymbol{H} ,
\end{equation}
\tag{A.4}
$$
где $ \boldsymbol{F} $ и $ \boldsymbol{H} $ заданы в (A.3), а матрица $ \boldsymbol{G} $ подлежит определению. Тогда (2.1) можно переписать как уравнение
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{L} \boldsymbol{F} \boldsymbol{G} \boldsymbol{H} - \boldsymbol{F} \boldsymbol{G} \boldsymbol{H} \boldsymbol{K} = \boldsymbol{F} \mathbf e_N\mathbf e_N^{\mathrm T} \boldsymbol{H} ,
\end{equation}
\tag{A.5}
$$
которое сводится к
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{L} \boldsymbol{G} - \boldsymbol{G} \boldsymbol{K} ^{\mathrm T}=\mathbf e_N\mathbf e_N^{\mathrm T}.
\end{equation}
\tag{A.6}
$$
Здесь мы применили следующие соотношения (см. предложение 3 в [34]):
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{L} \boldsymbol{F} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{L} ,\qquad \boldsymbol{H} \boldsymbol{K} = \boldsymbol{K} ^{\mathrm T} \boldsymbol{H} .
\end{equation}
\tag{A.7}
$$
Чтобы решить уравнение (A.6), предположим, что $ \boldsymbol{G} =( \boldsymbol{g} _1, \boldsymbol{g} _2,\ldots, \boldsymbol{g} _N)$, где
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{g} _j=(g_{1,j}, g_{2,j},\ldots,g_{N,j})^{\mathrm T}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассматривая первые столбцы матриц в (A.6), имеем
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} l_1 g_{1,1} \\ (\partial_{c_1} l_1) g_{1,1}+l_1 g_{2,1} \\ \frac{1}{2!}(\partial_{c_1}^2 l_1) g_{1,1}+(\partial_{c_1}l_1) g_{2,1}+l_1 g_{3,1} \\ \vdots \\ \frac{1}{(N-1)!}(\partial_{c_1}^{N-1}l_1)g_{1,1}+\cdots+l_1 g_{N,1} \end{pmatrix}- k_1 \begin{pmatrix} g_{1,1} \\ g_{2,1} \\ g_{3,1} \\ \vdots \\ \,g_{N,1}\, \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ \,0\, \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{A.8}
$$
Первая строка уравнения (A.8) дает $g_{1,1}=1/(l_1-k_1)$, а для остальных строк имеем
$$
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{m-1}\frac{\partial_{c_1}^n l_1}{n!}\,g_{m-n,1}+(l_1-k_1)g_{m,1}=0,\qquad m=2,3,\ldots, N.
\end{equation}
\tag{A.9}
$$
Отсюда получаем выражения
$$
\begin{equation}
g_{1,1}=\frac{1}{l_1-k_1},\qquad g_{m,1}=-\frac{1}{l_1-k_1}\biggl(\,\sum_{n=1}^{m-1}\frac{\partial_{c_1}^nl_1}{n!}\,g_{m-n,1}\biggr), \quad m=2,3,\ldots,N,
\end{equation}
\tag{A.10}
$$
из которых можно найти $g_{2,1}, g_{3,1},\ldots, g_{N,1}$. Например,
$$
\begin{equation}
g_{2,1}=-\frac{\partial_{c_1}l_1}{(l_1-k_1)^2},\qquad g_{3,1}=\frac{(\partial_{c_1}l_1)^2}{(l_1-k_1)^3}-\frac{\partial_{c_1}^2l_1}{2 (l_1-k_1)^2}.
\end{equation}
\tag{A.11}
$$
Пусть задан столбец $ \boldsymbol{g} _1$. Рассмотрим вторые столбцы матриц в (A.6), что дает
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} l_1 g_{1,2} \\ (\partial_{c_1} l_1) g_{1,2}+l_1 g_{2,2} \\ \frac{1}{2!}(\partial_{c_1}^2l_1) g_{1,2}+(\partial_{c_1}l_1) g_{2,2}+l g_{3,2} \\ \vdots \\ \frac{1}{(N-1)!}(\partial_{c_1}^{N-1}l_1)g_{1,2}+\cdots+l_1 g_{N,2} \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} (\partial_{d_1} k_1) g_{1,1}+k_1 g_{1,2} \\ (\partial_{d_1} k_1) g_{2,1}+k_1 g_{2,2} \\ (\partial_{d_1} k_1) g_{3,1}+k_1 g_{3,2} \\ \vdots \\ (\partial_{d_1} k_1) g_{N,1}+k_1 g_{N,2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \,0\, \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{A.12}
$$
Элементы столбца $ \boldsymbol{g} _2$ можно найти из уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_{1,2}&=\frac{1}{l_1-k_1}(\partial_{d_1} k_1)g_{1,1}, \\ g_{m,2}&=\frac{1}{l_1-k_1}\biggl((\partial_{d_1} k_1)g_{m,1}-\sum_{n=1}^{m-1}\frac{\partial_{c_1}^nl_1}{n!}\,g_{m-n,2}\biggr), \qquad m=2,3,\ldots,N, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которые дают
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_{1,2}&=\frac{\partial_{d_1} k_1}{(l_1-k_1)^2},\qquad g_{2,2}=-\frac{2(\partial_{c_1}l_1)(\partial_{d_1} k_1)}{(l_1-k_1)^3}, \\ g_{3,2}&=\frac{3(\partial_{d_1} k_1)(\partial_{c_1}l_1)^2}{(l_1-k_1)^4} -\frac{(\partial_{d_1} k_1)(\partial_{c_1}^2l_1)}{(l_1-k_1)^3} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и т. д. В общем случае для $j$-го столбца ($j>1$) в матричном уравнении (A.6) имеем
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{L} \boldsymbol{g} _j-\sum_{n=1}^{j-1}\frac{\partial_{d_1}^nk_1}{n!} \boldsymbol{g} _{j-n}-k_1 \boldsymbol{g} _j= \boldsymbol{0} ,
\end{equation}
\tag{A.13}
$$
откуда следует, что $ \boldsymbol{g} _j$ можно найти по формуле
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{g} _j=\sum_{n=1}^{j-1}\frac{\partial_{d_1}^nk_1}{n!} ( \boldsymbol{L} -k_1 \boldsymbol{I} _N)^{-1} \boldsymbol{g} _{j-n},
\end{equation}
\tag{A.14}
$$
если известны $ \boldsymbol{g} _1, \boldsymbol{g} _2,\dots, \boldsymbol{g} _{j-1}$. Наконец, отсюда получаем $ \boldsymbol{G} =( \boldsymbol{g} _1, \boldsymbol{g} _2,\ldots, \boldsymbol{g} _N)$. БлагодарностиАвторы выражают благодарность рецензенту за указание на работы [18] и [37]. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{TefZha24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|