| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Самогравитирующее хиггсово поле асимметричного бинарного скалярного заряда Ю. Г. Игнатьев Институт физики Казанского (Приволжского) федерального университета, НИЛ Космология, Казань, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 221, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924100088 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ работе [1] исследовалось самогравитирующее хиггсово поле одиночного массивного скалярного заряда. В этой работе было показано, что в первом приближении по малости скалярного заряда его скалярное поле близко к точке устойчивого равновесия $\Phi=\pm m_s/\sqrt{\alpha}$, а гравитационное поле описывается метрикой Шварцшильда–де Ситтера. При этом в дальней зоне $r\to \infty$ возникают микроскопические осцилляции с отрицательной средней энергией. Этот вопрос требует более глубокого и широкого изучения, в связи с чем в настоящей работе мы исследуем аналогичную задачу для асимметричного скалярного дублета [2]. В асимметричном скалярном дублете участвуют два скалярных поля – классическое поле $\Phi$ с положительной кинетической энергией и фантомное поле $\varphi$ с отрицательной кинетической энергией. Такие поля исследовались в так называемых двухполевых космологических моделях, например в работах [3]–[5] с потенциалом шестого порядка, в работах [6], [7] с экспоненциальным потенциалом и в работах [8], [9] в киральных космологических моделях1. При этом фантомные поля привлекаются в космологию для обеспечения энергетического условия $\varepsilon+p<0$ в целях предотвращения “большого разрыва”2 [10]. С другой стороны, фантомные поля используются и в астрофизике – как в теории черных дыр, так и в теории кротовых нор [11] (см. также [12], [13]) также в целях обеспечения указанного энергетического условия для обеспечения устойчивости объектов. В связи с темой исследования настоящей статьи особо отметим работы [14]–[16], в которых рассматривается возможность существования скалярных гало и скалярных волос в окрестности сверхмассивных черных дыр. С этими работами, в свою очередь, тесно связаны работы по построению теории образования сверхмассивных черных дыр в ранней Вселенной (см. работы [17]–[20] и содержащиеся в них ссылки). Итак, рассмотрим функцию Лагранжа $L$ асимметричного скалярного хиггсова дублета с невзаимодействующими между собой канонической $(\Phi)$ и фантомной $(\varphi)$ компонентами (см., например, [2] и содержащуюся там библиографию):
$$
\begin{equation}
L\equiv L_\mathrm{c}+L_\mathrm{f}=L_s=\frac{1}{16\pi}(g^{ik} \Phi_{,i} \Phi_{,k} -2V(\Phi))+\frac{1}{16\pi}(-g^{ik} \varphi_{,i} \varphi_{,k} -2\upsilon(\varphi)),
\end{equation}
\tag{1}
$$
где
$$
\begin{equation}
V(\Phi)=-\frac{\alpha}{4} \biggl(\Phi^2 -\frac{m_s^2}{\alpha}\biggr)^2, \qquad \upsilon(\varphi)=-\frac{\beta}{4} \biggl(\varphi^2 -\frac{\mu_s^2}{\beta}\biggr)^2
\end{equation}
\tag{2}
$$
– потенциальная энергия канонического и фантомного скалярных полей соответственно, $\alpha$, $\beta$ – их константы самодействия, $m_s$, $\mu_s$ – массы бозонов. Здесь и далее латинские буквы пробегают значения $\overline{1,4}$, греческие – $\overline{1,3}$. Всюду используется планковская система единиц $G=c=\hbar=1$. Тензор энергии-импульса скалярного дублета относительно функции Лагранжа (1) имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, T^i_{k} \equiv T^i_{k (\mathrm{c})}+T^i_{k (\mathrm{f})}={}&\frac{1}{16\pi}(2\Phi^{,i}\Phi_{,k}- \delta^i_k\Phi_{,j} \Phi^{,j}+2V(\Phi)\delta^i_k)+{} \notag \\ &+\frac{1}{16\pi}(-2\varphi^{,i}\varphi_{,k}+ \delta^i_k\varphi_{,j} \varphi^{,j}+2\upsilon(\varphi)\delta^i_k). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3}
$$
Уравнения Эйнштейна имеют вид
$$
\begin{equation}
R^i_k-\frac{1}{2}\delta^i_k R=8\pi T^i_k + \delta^i_k \Lambda_0,
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $\Lambda_0$ – затравочное значение космологической постоянной, связанное с ее наблюдаемым значением $\Lambda$, получающимся при изъятии постоянных слагаемых в потенциальной энергии:
$$
\begin{equation}
\Lambda=\Lambda_0-\frac{1}{4}\frac{m_s^4}{\alpha}-\frac{1}{4}\frac{\mu_s^4}{\beta}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
В координатах кривизн (см., например, [21]) имеем
$$
\begin{equation}
ds^2=e^{\nu(r)}\,dt^2-e^{\lambda(r)}\,dr^2-r^2\, d\Omega^2,
\end{equation}
\tag{6}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, T^1_1=-\frac{e^{-\lambda(r)}}{16\pi}({\Phi'}^2-{\varphi'}^2)-\frac{\alpha}{32\pi}\biggl(\Phi^2-\frac{m^2_s}{\alpha}\biggr)^2-\frac{\beta}{32\pi}\biggl(\varphi^2-\frac{\mu^2_s}{\beta}\biggr)^2\quad (\equiv -p_\parallel),\\ \begin{aligned} \, T^2_2=T^3_3=T^4_4={}&\frac{e^{-\lambda(r)}}{16\pi}({\Phi'}^2-{\varphi'}^2)-\frac{\alpha}{32\pi}\biggl(\Phi^2-\frac{m^2_s}{\alpha}\biggr)^2-{} \\ &-\frac{\beta}{32\pi}\biggl(\varphi^2-\frac{\mu^2_s}{\beta}\biggr)^2\quad (\equiv -p_\perp=\varepsilon), \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7}
$$
где $p_\parallel$ – радиальное давление, $p_\perp$ – давление вдоль поверхности сферы, $\varepsilon$ – плотность энергии скалярного поля.
2. Сферически-симметричное скалярное поле с потенциалом Хиггса точечного бинарного скалярного заряда в псевдоевклидовой метрикеИсследуем теперь гравитационное поле, порожденное бинарным скалярным зарядом с потенциалом Хиггса в метрике (6). Уравнения скалярных канонического и фантомного полей Хиггса в этой метрике имеют вид
$$
\begin{equation}
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\biggl(r^2e^{(\nu-\lambda)/2}\frac{d}{dr}\Phi\biggr)-e^{(\nu-\lambda)/2}\Phi(m^2_s-\alpha\Phi^2)=0,
\end{equation}
\tag{8}
$$
$$
\begin{equation}
\displaystyle \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\biggl(r^2e^{(\nu-\lambda)/2}\frac{d}{dr}\varphi\biggr)+e^{(\nu-\lambda)/2}\varphi(\mu^2_s-\beta\varphi^2)=0.
\end{equation}
\tag{9}
$$
2.1. Устойчивость одномерных решенийПрежде чем приступить к нахождению сферически-симметричных решений полевых уравнений, исследуем устойчивость одномерных решений соответствующих полевых уравнений. Волновые уравнения для одномерных скалярных полей в псевдоевклидовой метрике имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &{}\,\hphantom{-{}}\,\frac{\partial^2}{{\partial t}^2}\Phi-\frac{\partial^2}{{\partial x}^2}\Phi+\Phi(m^2_s-\alpha\Phi^2)=0,\\ &-\frac{\partial^2}{{\partial t}^2}\varphi+\frac{\partial^2}{{\partial x}^2}\varphi+\varphi(\mu^2_s-\beta\varphi^2)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10}
$$
Чтобы применить качественную теорию обыкновенных дифференциальных уравнений к нашей задаче, рассмотрим по отдельности две задачи. В первой из них скалярные поля зависят только от временно́й переменной $t$, т. е. $\Phi(t)$, $\varphi(t)$. Назовем эту ситуацию T-ситуацией. Во второй задаче скалярные поля зависят только от пространственной координаты $x$, т. е. $\Phi(x)$, $\varphi(x)$. Назовем эту ситуацию R-ситуацией. 2.1.1. T-ситуацияВ этом случае, который соответствует, например, космологической ситуации, система уравнений (10) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \ddot{\Phi}+\Phi(m^2_s-\alpha\Phi^2)&=0 \qquad \Rightarrow\qquad \dot{\Phi}=Z, &\quad \dot{Z}&=-\Phi(m^2_s-\alpha\Phi^2),\\ -\ddot{\varphi}+\varphi(\mu^2_s-\beta\varphi^2)&=0 \qquad \Rightarrow \qquad \dot{\varphi}=z, &\quad \dot{z}&=\varphi(\mu^2_s-\beta\varphi^2). \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{11}
$$
Основные матрицы динамических систем (11) (см., например, [22]) имеют вид
$$
\begin{equation}
\mathbf{A}_C=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -m^2+3\alpha\Phi^2 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{A}_F=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \mu^2-3\beta\varphi^2 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Собственные числа этих матриц равны
$$
\begin{equation}
\lambda^{(\mathrm{c})}_{1,2}=\pm i\sqrt{m^2-3\alpha\Phi^2}, \qquad \lambda^{(\mathrm{f})}_{1,2}=\pm \sqrt{\mu^2-3\beta\varphi^2},
\end{equation}
\tag{13}
$$
а координаты особых точек $M^{(c)}(\Phi_0,Z_0)$ и $M^{(f)}(\varphi_0,z_0)$ ($\dot{\Phi}=0$, $\dot{Z}=0$, $\dot{\varphi}=0$, $\dot{z}=0$) равны
$$
\begin{equation}
M^{(c)}_0=[0,0],\qquad M^{(c)}_\pm= \biggl[\pm\frac{m^s}{\sqrt{\alpha}},0\biggr], \qquad M^{(f)}_0=[0,0],\qquad M^{(f)}_\pm= \biggl[\pm\frac{\mu^s}{\sqrt{\beta}},0\biggr].
\end{equation}
\tag{14}
$$
Получим значения собственных чисел (13) в особых точках системы:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} M^{(c)}_0(0,0)\colon \quad \lambda&=\pm i m_s, &\qquad &M^{(c)}_\pm\biggl(\pm\frac{m_s}{\sqrt{\alpha}},0\biggr)\colon &\quad \lambda&=\pm\sqrt{2}m_s,\\ M^{(f)}_0(0,0)\colon \quad\lambda&=\pm \mu_s, &\qquad &M^{(f)}_\pm\biggl(\pm\frac{\mu_s}{\sqrt{\beta}},0\biggr)\colon &\quad \lambda&=\pm i\sqrt{2}\mu_s. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Таким образом, в T-ситуации для канонического скалярного поля нулевая точка $M^{(c)}_0(0,0)$ является устойчивым центром, а точки $M^{(c)}_\pm$ являются седловыми, т. е. им соответствуют неустойчивые решения. Для фантомного поля ситуация противоположная: нулевая точка $M^{(f)}_0(0,0)$ является седловой (неустойчивой), а точки $M^{(f)}_\pm$ являются устойчивыми центрами. В такой системе со временем решение должно стремиться к устойчивому, т. е.
$$
\begin{equation}
\mathbf{T}\colon \quad t\to+\infty\quad \Rightarrow \quad \Phi\to 0, \quad \varphi\to \varphi_\pm=\pm\frac{\mu_s}{\sqrt{\beta}}.
\end{equation}
\tag{16}
$$
2.1.2. R-ситуацияВ этом случае, который соответствует, например, астрофизической ситуации, система уравнений (10) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} -\Phi''+\Phi(m^2_s-\alpha\Phi^2)=0 & \qquad \Rightarrow&\qquad \Phi'&=Z,&\quad Z'&=\Phi(m^2_s-\alpha\Phi^2),\\ \varphi''+\varphi(\mu^2_s-\beta\varphi^2)=0 & \qquad \Rightarrow &\qquad \varphi'&=z, &\quad z'&=-\varphi(\mu^2_s-\beta\varphi^2). \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{17}
$$
В этом случае координаты особых точек не изменятся, т. е. совпадут с (14), однако их характер поменяется на противоположный по сравнению с (15):
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{4} &M^{(c)}_0(0,0) \colon &\quad \lambda &=\pm m_s, &\qquad M^{(c)}_\pm\biggl(\pm\frac{m_s}{\sqrt{\alpha}},0\biggr)&\colon &\quad \lambda& =\pm i\sqrt{2}m_s,\\ &M^{(f)}_0(0,0) \colon &\quad \lambda &=\pm i\mu_s, &\qquad M^{(f)}_\pm\biggl(\pm\frac{\mu_s}{\sqrt{\beta}},0\biggr)&\colon &\quad \lambda& =\pm \sqrt{2}\mu_s. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{18}
$$
Таким образом, в R-ситуации для канонического скалярного поля нулевая точка $M^{(c)}_0(0,0)$ является седловой, т. е. неустойчивой, а точки $M^{(c)}_\pm$ являются центрами, т. е. им соответствуют устойчивые периодические решения. Для фантомного поля ситуация противоположная: нулевая точка $M^{(f)}_0(0,0)$ является устойчивым центром, а точки $M^{(f)}_\pm$ являются седловыми, т. е. неустойчивыми. В такой системе со временем решение должно стремиться к устойчивому, т. е.
$$
\begin{equation}
\mathbf{R}\colon\quad x\to+\infty \qquad \Rightarrow \qquad \Phi\to \Phi_\pm=\pm\frac{m_s}{\sqrt{\alpha}}, \quad \varphi\to 0.
\end{equation}
\tag{19}
$$
В настоящей работе нас интересует именно R-ситуация, поэтому мы обязаны отбирать решения с асимптотикой (19). Решения, не имеющие такой асимптотики, будут неустойчивыми, т. е. при малых изменениях начальных условий задачи Коши эти решения могут бесконечно отличаться друг от друга на пространственной бесконечности. 2.1.3. Дисперсионные соотношенияРассмотрим теперь общее поведение решений $\{\Phi(x,t),\varphi(x,t)\}$ уравнений (10) вблизи особых точек (14) одномерных систем (11) и (17), представляя решения в форме
$$
\begin{equation}
\Phi=\Phi_0+S e^{i\omega t+ikx}, \qquad \varphi=\varphi_0+s e^{i\omega t+ikx}, \qquad S,s\ll 1,
\end{equation}
\tag{20}
$$
где $(\Phi_0,0)$ и $(\varphi_0,0)$ – координаты особых точек. Подставляя (20) в уравнения (10) и линеаризируя их малости $S,s$, получим систему однородных алгебраических уравнений относительно амплитуд $S,c$, условием нетривиальной разрешимости которых являются так называемые дисперсионные отношения, которые в нашем случае будут иметь следующий вид:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Phi_0=\pm \frac{m_s}{\sqrt{\alpha}}\colon &\quad S(-\omega^2+k^2-2m_s^2)=0\quad \Rightarrow\\ &\qquad\Rightarrow \quad \omega=\pm \sqrt{k^2-2m_s^2},\quad S=S_0 e^{\pm i \sqrt{k^2-2m_s^2}t + ikx};\\ \Phi_0=0\colon & \quad S(-\omega^2+k^2+m_s^2)=0\quad \Rightarrow \\ &\qquad\Rightarrow \quad \omega=\pm \sqrt{k^2+m_s^2},\quad S=S_0 e^{i\sqrt{k^2+m_s^2}t\pm ikx};\\ \varphi_0=\pm \frac{\mu_s}{\sqrt{\beta}}\colon &\quad s(\omega^2-k^2-2\mu_s^2)=0\quad \Rightarrow \\ &\qquad\Rightarrow \quad \omega=\pm \sqrt{k^2+2\mu_s^2},\quad s=s_0 e^{\pm i \sqrt{k^2+2m_s^2}t + ikx};\\ \varphi_0=0\colon &\quad s(\omega^2-k^2+\mu_s^2)=0\quad \Rightarrow \\ &\qquad\Rightarrow \quad \omega=\pm \sqrt{k^2-\mu_s^2},\quad s=s_0 e^{\pm i \sqrt{k^2-\mu_s^2}t + ikx}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{21}
$$
Таким образом, решения с $\Phi_0=0$ и $\varphi_0=\pm \mu_s/\sqrt{\beta}$ представляют собой пары запаздывающих и опережающих волн, в то время как решения с $\Phi_0=\pm m_s/\sqrt{\alpha}$ и $\varphi_0=0$ в областях $|k|<\sqrt{2}m_s$ и $|k|<\mu_s$ представляют собой стоячие волны с бесконечно растущей со временем амплитудой, т. е. эти решения неустойчивы в длинноволновом секторе возмущений. Итак, критерии устойчивости решений в общем случае аналогичны критериям устойчивости решений в T-ситуации. Заметим, что длинноволновой сектор возмущений как раз и описывает поведение решений на бесконечности. 2.1.4. Центрально-симметричные решенияИсследуем статические центрально-симметричные решения полевых уравнений. В псевдоевклидовой метрике уравнения (8), (9) в присутствии сингулярного бинарного скалярного заряда ${Q,q}$ принимают вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\biggl(r^2\frac{d\Phi}{dr}\biggr)-m^2\Phi+\alpha\Phi^3=-8\pi \mathrm{Q}\delta(\mathbf{r}),\\ \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\biggl(r^2\frac{d\varphi}{dr}\biggr)+\mu^2\varphi-\beta\varphi^3=8\pi \mathrm{q}\delta(\mathbf{r}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{22}
$$
При этом необходимо иметь в виду соотношение
$$
\begin{equation}
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\biggl(r^2\frac{d}{dr}\frac{1}{r}\biggr)=-4\pi\delta(\mathbf{r}).
\end{equation}
\tag{23}
$$
Согласно вышесказанному будем искать решения уравнений (22), близкие к устойчивым на бесконечности (19), полагая
$$
\begin{equation}
\Phi=\Phi_\pm+\phi,\qquad \phi\ll 1, \quad \varphi\ll 1.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Разлагая уравнения (22) по малым $\phi(r)$, $\varphi(r)$, получим в линейном приближении уравнения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\biggl(r^2\frac{d\phi}{dr}\biggr)+2m^2_s\phi&=-8\pi \mathrm{Q}\delta(\mathbf{r}),\\ \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\biggl(r^2\frac{d\varphi}{dr}\biggr)+\mu^2_s\varphi&=8\pi \mathrm{q}\delta(\mathbf{r}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
$$
Решая эти уравнения с учетом соотношения (23), найдем окончательно
$$
\begin{equation}
\Phi\backsimeq \pm \frac{m_s}{\sqrt{\alpha}}+\frac{2Q}{r}\cos(\sqrt{2}m_s r),\qquad \varphi\backsimeq -\frac{2q}{r}\cos(\mu_s r).
\end{equation}
\tag{26}
$$
Производные потенциалов вблизи заряда равны
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \frac{d\Phi}{dr}\bigg|_{r\to0}&\backsimeq -\frac{2Q}{r^2}, &\qquad \sqrt{2}m_s r&\ll1, \\ \frac{d\varphi}{dr}\bigg|_{r\to0}&\backsimeq \frac{2q}{r^2}, &\qquad \mu_s r&\ll1, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{27}
$$
т. е. ведут себя как напряженности электрического поля точечного заряда. Наличие фундаментального скалярного поля с потенциалом Хиггса принципиально меняет физическую картину. Теперь вакуумному состоянию соответствует одна из устойчивых точек потенциала Хиггса
$$
\begin{equation}
\Phi=\Phi_0=\pm\frac{m_s}{\sqrt{\alpha}}, \qquad \varphi=\varphi_0=0.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Вычисляя согласно (7) плотность энергии скалярного дублета в этой точке, найдем Согласно формуле перенормировки космологической постоянной (5) именно это значение соответствует вкладу фантомного поля в перенормированную космологическую постоянную в устойчивой точке системы
$$
\begin{equation}
\delta\Lambda=8\pi\varepsilon_0=-\frac{1}{4}\frac{\mu_s^4}{\beta}.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Заметим, что в работе [23] численными методами интегрировались уравнения поля для одиночных скалярных зарядов с потенциалом Хиггса в псевдоевклидовом пространстве. В этой работе было показано, что при задании начальных условий вдали от устойчивой точки (28) решение экспоненциально быстро стремится к этой точке, причем процесс перехода сопровождается затухающими вблизи устойчивой точки колебаниями. 3. Самогравитирующий асимметричный скалярный хиггсов дублет3.1. Полевые уравненияУчитывая вышесказанное, исследуем решение полной задачи о самогравитирующем скалярном поле Хиггса. Нетривиальные комбинации уравнений Эйнштейна с космологической постоянной в метрике3 (6) можно привести к виду
$$
\begin{equation}
e^\lambda-1-\frac{r}{2}(\lambda'-\nu')-r^2e^\lambda \biggl[\Lambda_0+\frac{\alpha}{4}\biggl(\Phi^2-\frac{m^2_s}{\alpha}\biggr)^2 +\frac{\beta}{4}\biggl(\varphi^2-\frac{\mu^2_s}{\beta}\biggr)^2\biggr]=0.
\end{equation}
\tag{32}
$$
Будем искать решения системы уравнений (8), (31), (32), близкие к устойчивым (29), полагая
$$
\begin{equation}
\Phi(r)=\Phi_0+\phi(r)\equiv \pm \frac{m_s}{\sqrt{\alpha}}+\phi(r), \qquad \phi(r)\ll1, \quad \varphi(r)\ll 1.
\end{equation}
\tag{33}
$$
Тогда в нулевом приближении по малости $\phi(r),\varphi(r)$ полевые уравнения относительно скалярных полей (22) обращаются в тождество, а уравнение (31) дает В результате уравнение (32) сведется к замкнутому уравнению относительно $\nu$ (или $\lambda$) где в соответствии с (30)
$$
\begin{equation}
\widetilde{\Lambda}\equiv \Lambda_0+\frac{\mu_s^4}{4\beta}.
\end{equation}
\tag{36}
$$
Решая уравнение (35) относительно $\nu(r)$, найдем
$$
\begin{equation}
\nu_0=-\lambda_0=\ln\biggl(1-\frac{2m}{r}-\frac{\widetilde{\Lambda} r^2}{3}\biggr),
\end{equation}
\tag{37}
$$
где $m$ – постоянная интегрирования. Таким образом, в нулевом приближении, как и в случае скалярного монополя [1], получаем известное решение Шварцшильда–де Ситтера [24] с перенормированной согласно (36) космологической постоянной:
$$
\begin{equation}
ds^2= \displaystyle \biggl(1-\frac{2m}{r}-\frac{\widetilde{\Lambda} r^2}{3}\biggr)dt^2 -\biggl(1-\frac{2m}{r}-\frac{\widetilde{\Lambda} r^2}{3}\biggr)^{-1}dr^2-r^2\,d\Omega^2.
\end{equation}
\tag{38}
$$
Оказывается, что и в первом приближении по малости $\phi$ решение (38) остается справедливым. Действительно, вследствие (31) в первом приближении сохраняется соотношение (34), а значит, сохраняется и уравнение (35). Таким образом, метрика (38) сохраняется в линейном по $\phi$, $\varphi$ приближении. Поэтому в линейном приближении уравнение поля (8) можно рассматривать на фоне решения Шварцшильда–де Ситтера (38). Итак, получим в линейном приближении (33) уравнения для возмущений компонент скалярного дублета $\{\phi(r),\varphi(r)\}$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{d^2\phi}{dr^2}+\frac{d}{dr}\ln(r^2e^{\nu_0(r)})\frac{d\phi}{dr}+2m^2_s\phi=0,\\ &\frac{d^2\varphi}{dr^2}+\frac{d}{dr}\ln(r^2e^{\nu_0(r)})\frac{d\varphi}{dr}+\mu^2_s\varphi=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{39}
$$
Вводя безразмерную переменную $x$ и безразмерные неотрицательные параметры $\gamma$, $\sigma$, $\varrho$:
$$
\begin{equation}
x= \frac{r}{2m},\quad \gamma=\frac{4}{3}\widetilde{\Lambda} m^2\geqslant0,\quad \sigma=2\sqrt{2}mm_s\geqslant0,\quad \varrho=\sqrt{2}m\mu_s\geqslant0,
\end{equation}
\tag{40}
$$
перепишем уравнения (39) в терминах этих величин, в которых оба уравнения принимают совершенно одинаковую форму:
$$
\begin{equation}
\frac{d^2\phi}{dx^2}+\frac{1-2x+4\gamma x^3}{x(1-x+\gamma x^3)}\frac{d\phi}{dx}+\sigma^2\phi=0,
\end{equation}
\tag{41}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{d^2\varphi}{dx^2}+\frac{1-2x+4\gamma x^3}{x(1-x+\gamma x^3)}\frac{d\varphi}{dx}+\varrho^2\phi=0.
\end{equation}
\tag{42}
$$
Заметим, что совпадение с точностью до переобозначений полевых уравнений для линейных возмущений канонического и фантомного полей достигается именно вблизи R-устойчивой точки соответствующей динамической системы. Устойчивость решений приводит к их затухающему колебательному режиму вблизи устойчивой особой точки. Запишем также уравнения (41), (42) в форме нормальной системы уравнений первого порядка:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{d\phi}{dx}&=Z(x),\qquad \frac{dZ}{dx}=-\frac{1-2x+4\gamma x^3}{x(1-x+\gamma x^3)} z-\sigma^2\phi,\\ \frac{d\varphi}{dx}&=z(x),\qquad \frac{dz}{dx}=-\frac{1-2x+4\gamma x^3}{x(1-x+\gamma x^3)} z-\varrho^2\varphi. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{43}
$$
4. Асимптотическое поведение решенийАналитическое поведение решений уравнений (41), (42), как и численное моделирование их решений, было подробно изучено в работе [1]. 4.1. Поведение решений вблизи сингулярности $r=0$В случае $\gamma>4/27$, когда в решении Шварцшильда–де Ситтера (38) отсутствуют горизонты, решения уравнений (41), (42) являются аналитическими функциями на всей вещественной полуоси $x\in[0,+\infty)$. Заметим, однако, что в этом случае на всей полуоси $x\in[0,+\infty)$ т. е. всё пространство является $\mathrm{T}$-областью, поэтому для правильной интерпретации решений необходимо поменять местами временну́ю и радиальную координаты в метрике Шварцшильда–де Ситтера (38) [25]. При этом, кроме того, поменяются местами и компоненты тензора энергии-импульса $T^1_1$ и $T^4_4$, а значит, и скаляры $\varepsilon$ и $p_\parallel$.При $x\to0$ уравнения поля (41), (42) сводятся к простым дифференциальным уравнениям второго порядка
$$
\begin{equation}
\phi'' +\frac{\phi'}{x}+\sigma^2\phi=0,\qquad x\to0, \qquad \varphi'' +\frac{\varphi'}{x}+\varrho^2\varphi=0,
\end{equation}
\tag{45}
$$
решения которых имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \phi(x)&= C_1 \mathrm{I}_0(\sigma x)+C_2\mathrm{Y}_0(\sigma x)\backsimeq C_1+C_2\frac{2}{\pi}\ln \sigma x,&\qquad \sigma x &\to 0,\\ \varphi(x)&= \widetilde{C}_1 \mathrm{I}_0(\varrho x)+\widetilde{C}_2\mathrm{Y}_0(\varrho x)\backsimeq \widetilde{C}_1+\widetilde{C}_2\frac{2}{\pi}\ln \varrho x,&\qquad \varrho x &\to 0, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{46}
$$
где $\mathrm{I}_0(z)$ и $\mathrm{Y}_0(z)$ – функции Бесселя первого и второго рода соответственно. Таким образом, потенциалы скалярного поля логарифмически расходятся вблизи сингулярности, их же производные равны
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{4} \Phi'|_{x\to0}&\backsimeq \frac{C_2}{x} &\qquad \Rightarrow &\qquad \frac{d\Phi}{dr}\bigg|_{r\to0}&=\frac{Q}{r}&\qquad \Rightarrow&\qquad C_2&=\frac{\pi Q}{4m},\\ \varphi'|_{x\to0}&\backsimeq \frac{\widetilde{C}_2}{x} &\qquad \Rightarrow &\qquad \frac{d\varphi}{dr}\bigg|_{r\to0}&=\frac{q}{r}&\qquad \Rightarrow&\qquad \widetilde{C}_2&=-\frac{\pi q}{4m}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{47}
$$
Возвращаясь к переменной $r$ согласно (40), получим для главных членов функций $\phi(r)$ и $\varphi(r)$
$$
\begin{equation}
\phi(r)|_{r\to0}\approx \frac{Q}{2m}\ln\bigl(\sqrt{2}m_sr\bigr),\qquad \varphi(r)|_{r\to0}\approx -\frac{q}{2m}\ln\biggl(\frac{\mu_sr}{\sqrt{2}}\biggr).
\end{equation}
\tag{48}
$$
4.1.1. Поведение решений на бесконечности $\gamma x^3\gg 1$В области $x\to\infty$, $\gamma x^2\gg 1$ уравнения (41), (42) принимают вид
$$
\begin{equation}
\frac{d^2\phi}{dx^2}+\frac{4}{x}\frac{d\phi}{dx}+\sigma^2\psi=0,\qquad \frac{d^2\varphi}{dx^2}+\frac{4}{x}\frac{d\varphi}{dx}+\varrho^2\varphi=0,
\end{equation}
\tag{49}
$$
и их решения имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Phi(x)&= \pm\frac{m_s}{\sqrt{\alpha}}+\frac{C_1}{x^3}(\sigma x\cos{\sigma x}-\sin\sigma x)+\frac{C_2}{x^3}(\cos{\sigma x}+\sigma x \sin\sigma x),\\ \varphi(x)&= \frac{C_1}{x^3}(\sigma x\cos{\sigma x}-\sin\sigma x)+\frac{C_2}{x^3}(\cos{\sigma x}+\sigma x \sin\sigma x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{50}
$$
В этом случае получаем затухающие осцилляции с периодами
$$
\begin{equation}
\tau_m=\frac{2\pi}{\sigma}\quad \Rightarrow\quad T_m=\frac{\sqrt{2}\pi}{m_s}, \qquad \tau_\mu=\frac{2\pi}{\varrho}\quad \Rightarrow\quad T_\mu=\frac{2\sqrt{2}\pi}{\mu_s},
\end{equation}
\tag{51}
$$
амплитуда которых падает обратно пропорционально $x^2$. Заметим, что затухание колебаний возмущений асимметричного скалярного дублета как раз и свидетельствует о его устойчивости в состоянии (19),
$$
\begin{equation}
\mathbf{S_0}\colon\quad \biggl\{\Phi_0=\pm \frac{m_s}{\sqrt{\alpha}},\varphi_0=0\biggr\}.
\end{equation}
\tag{52}
$$
На рис. 1 и 2 показаны разные части графика решений уравнения (в различных масштабах) (41) (или (42)), полученные численным интегрированием этого уравнения для значений параметров
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\equiv[\gamma,\sigma,\varrho]=[0.2,\sigma,\varrho]
\end{equation}
\tag{53}
$$
при начальных условиях
$$
\begin{equation}
\mathbf{I}\equiv[x_0,\phi_0=\phi(x_0),Z_0=Z(x_0),\varphi_0=\varphi(x_0),z_0=z(x_0)]=[1,1,0,1,0].
\end{equation}
\tag{54}
$$
Сплошными линиями на рис. 1, 2 обозначены графики, соответствующие параметрам $\sigma,\varrho=1$, штриховыми – $\sigma,\varrho=0.5$, штрихпунктирными – $\sigma,\varrho=2$. Как нетрудно видеть, при больших значениях $x$ эти графики описывают затухающие колебания с периодом (51), обратно пропорциональным $\sigma$, $\varrho$.  Рис. 1.Графики возмущения потенциала $\phi(x)$ (или $\varphi(x)$) для значений параметров (53) и начальных условий (54) на отрезке $x\in[0,20]$.  Рис. 2.Графики возмущения потенциала $\phi(x)$ (или $\varphi(x)$) для значений параметров (53) и начальных условий (54) на отрезке $x\in[20,100]$. В случае малых значений $\gamma$ может образовываться промежуточная область с затухающими пропорционально $1/x$ колебаниями скалярного поля, которые в дальнейшем быстро падают [1]:
$$
\begin{equation}
x\in \biggl(1,\frac{1}{\sqrt{\gamma}}\biggr) \colon \quad \phi\backsimeq \frac{e^{i\sigma x}}{x}, \quad \varphi\backsimeq \frac{e^{i\varrho x}}{x}, \quad \gamma\ll 1;
\end{equation}
\tag{55}
$$
$$
\begin{equation}
x\in \biggl(\mathrm{Max}\biggl\{\frac{1}{\sqrt{\gamma}},1\biggr\},+\infty\biggr) \colon \quad \phi\backsimeq \frac{e^{i\sigma x}}{x^2}, \quad \varphi\backsimeq \frac{e^{i\varrho x}}{x^2} \quad \forall\gamma.
\end{equation}
\tag{56}
$$
5. Макроскопические средние и энергия осцилляций5.1. Усреднение осцилляций вблизи состояния устойчивого равновесияОсцилляции скалярного дублета являются микроскопическими колебаниями с комптоновскими длинами волн $e^{i\sqrt{2}m_s r}$, $e^{i\mu_s r}$. Макроскопический наблюдатель измеряет лишь макроскопические характеристики, например макроскопические плотность энергии и давление. Учитывая быстроосциллирующий характер решений системы уравнений (43) при
$$
\begin{equation}
\sigma x\gg1 \quad \Rightarrow\quad m_s r \gg 1, \qquad \varrho x\gg1 \quad \Rightarrow\quad \mu_s r\gg1,
\end{equation}
\tag{57}
$$
усредним величины (7) по достаточно большому интервалу радиальной переменной вводя согласно [1] макроскопическое среднее от быстропеременной функции $f(r)$:
$$
\begin{equation}
\overline{f(r)}= \frac{1}{T}\int_{r-T/2}^{r+T/2}f(r)\,dr\qquad \Rightarrow\qquad \overline{f(x)}= \frac{1}{\tau}\int_{x-\tau/2}^{x+\tau/2}f(x)\,dx.
\end{equation}
\tag{58}
$$
Пусть $f(r)$ – гладкая функция, так что $f'(r)\sim f/r$, $kr\gg1$. Тогда в приближении ВКБ (57) справедливы следующие соотношения:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \overline{f(r)\sin^{2n}(k r)}&\backsimeq \overline{f(r)\cos^{2n}(k r)} \approx \frac{(2n-1)!!}{2n!!}f(r),\\ \overline{f(r)\sin^{2n+1}(k r)}&\backsimeq \overline{f(r)\cos^{2n+1}(k r)} \approx 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{59}
$$
Поскольку рассматриваемые нами решения имеют осциллирующий характер, макроскопические средние от нечетных степеней потенциалов и их производных обращаются в нуль. Таким образом, разлагая тензор энергии-импульса (7) в квадратичном приближении по малости $\phi(r)$, $\varphi(r)$ вблизи состояния устойчивого равновесия $\mathbf{S_0}$ (52), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 8\pi T^4_4&\equiv 8\pi\varepsilon= -\frac{\mu^4_s}{4\beta}+\frac{e^{\nu_0(r)}}{2}({\phi'}^2-{\varphi'}^2)-m^2_s\phi^2+\frac{1}{2}\mu^2_s\varphi^2,\\ -8\pi T^1_1&=8\pi p_\parallel=\frac{\mu^4_s}{4\beta}+\frac{e^{\nu_0(r)}}{2}({\phi'}^2-{\varphi'}^2)+m^2_s\phi^2-\frac{1}{2}\mu^2_s\varphi^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{60}
$$
Как можно видеть из предыдущего, во всех случаях справедливы следующие асимптотические решения полевых уравнений (либо (26) для плоского пространства, либо (55), (56) для поля Шварцшильда–де-Ситтера)4:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \phi(r)&\backsimeq \cos(\sqrt{2}m_s r)\frac{\phi_0}{r^n}, &\qquad \phi'(r)&\backsimeq -\sin(\sqrt{2}m_s r)\frac{\sqrt{2}m_s\phi_0}{r^n},\\ \varphi(r)&\backsimeq \cos(\mu_s r)\frac{\varphi_0}{r^n}, &\qquad \varphi'(r)&\backsimeq -\sin(\mu_s r)\frac{\mu_s\varphi_0}{r^n}, \quad n=1,2; \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{61}
$$
получим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \overline{\phi(r)}\approx 0,\qquad \overline{\phi'(r)}\approx 0,\qquad \overline{\varphi(r)}\approx 0,\qquad \overline{\varphi'(r)}\approx 0,\\ \overline{\phi^2(r)}\approx \frac{|\phi_0|^2}{2r^{2n}},\qquad \overline{\phi'^2(r)}\approx \frac{m^2_s|\phi_0|^2}{r^{2n}},\qquad \overline{\varphi^2(r)}\approx \frac{|\varphi_0|^2}{2r^{2n}},\qquad \overline{\varphi'^2(r)}\approx \frac{\mu^2_s|\varphi_0|^2}{2r^{2n}}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{62}
$$
Перенормируя согласно (36) космологическую постоянную, чему соответствует удаление постоянного слагаемого в (60), и подставляя в выражения (62), получим для макроскопических средних плотности энергии и давления осцилляций скалярного дублета
$$
\begin{equation}
8\pi\overline{\varepsilon}=(2m_s^2|\phi_0|^2-\mu_s^2|\varphi_0^2|)\frac{e^{\nu_0(r)}-1}{4r^{2n}},\qquad 8\pi \overline{p_\parallel}=(2m_s^2|\phi_0|^2-\mu_s^2|\varphi_0|^2)\frac{e^{\nu_0(r)}+1}{4r^{2n}}.
\end{equation}
\tag{63}
$$
Во-первых, заметим, что левые части соотношений (63) представляют собой выражения для безразмерных нормированных макроскопической средней плотности энергии и радиального давления полей скалярного дублета. Во-вторых, заметим, что в плоском пространстве-времени $\nu(r)=0\Rightarrow e^{\nu_0(r)}-1= 0$, $e^{\nu_0(r)}+1=2$. Поэтому в отсутствие гравитационного поля получим для макроскопических плотности энергии и давления скалярного поля (с учетом перенормировки космологической постоянной)
$$
\begin{equation}
\mathbf{M=0}\colon\quad 8\pi\overline{\varepsilon}=0,\quad 8\pi \overline{p_\parallel}=\frac{2m_s^2|\phi_0|^2-\mu_s^2|\varphi_0|^2}{2r^2},
\end{equation}
\tag{64}
$$
т. е. макроскопическая плотность энергии скалярных полей равна нулю. В-третьих, заметим, что, в отличие от случая классического скалярного синглета [1], макроскопическая плотность энергии осцилляций теперь уже не обязательно отрицательна. Действительно,
$$
\begin{equation}
e^{\nu_0(r)}-1=-\biggl(\frac{2M}{r}+\frac{\widetilde{\Lambda}}{3}r^2\biggr)<0,\qquad e^{\nu_0(r)}+1=\biggl(2-\frac{2M}{r}-\frac{\widetilde{\Lambda}}{3}r^2\biggr).
\end{equation}
\tag{65}
$$
Таким образом, получим при $M\not=0$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 8\pi\overline{\varepsilon}&=-\biggl(\frac{M}{r}+\frac{\widetilde{\Lambda}}{6}r^2\biggr)\frac{2m_s^2|\phi_0|^2-\mu_s^2|\varphi_0|^2}{2r^{2n}},\\ 8\pi \overline{p_\parallel}&=\biggl(1-\frac{M}{r}-\frac{\widetilde{\Lambda}}{6}r^2\biggr)\frac{2m_s^2|\phi_0|^2-\mu_s^2|\varphi_0|^2}{2r^{2n}}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{66}
$$
так что для чисто классического скалярного поля ($\varphi=0$) $\overline{\varepsilon}<0$ (см. [1]), для чисто фантомного поля $\phi=0$, наоборот, $\overline{\varepsilon}>0$. Для любых $\gamma$ согласно (56) получим из (66)
$$
\begin{equation}
\overline{\varepsilon}|_{\gamma x^3\to\infty}=\overline{p_\parallel}|_{\gamma x^3\to\infty} \backsimeq -\frac{\widetilde{\Lambda}}{96\pi r^2}(2m_s^2|\phi_0|^2-\mu_s^2|\varphi_0|^2).
\end{equation}
\tag{67}
$$
Заметим, что в этой дальней области
$$
\begin{equation}
\bar{p}_\parallel\approx \bar{p}_\perp=\bar{\varepsilon} \qquad \forall \gamma
\end{equation}
\tag{68}
$$
макроскопическая среда становится изотропной и описывается предельно жестким уравнением состояния. 5.2. Ориентация скалярного дублетаВ дальнейшем при условии $2m_s^2|\phi_0|^2-\mu_s^2|\varphi_0|^2>0$ скалярный дублет будем называть канонически ориентированным, при условии $2m_s^2|\phi_0|^2-\mu_s^2|\varphi_0|^2<0$ – фантомно ориентированным, а в случае – нейтральным. Из (64), (66) и (67) следует, что во всех случаях для нейтрального скалярного дублета $\overline{\varepsilon}=\overline{p_\parallel}=0$ макроскопические плотности энергии и давления строго равны нулю. В связи с этим выясним, каким микроскопическим параметрам отвечает нейтральный скалярный дублет.Из (46), (47) при $r\to0$ находим
$$
\begin{equation}
\phi\backsimeq \frac{Q}{2m}\ln\bigl(\sqrt{2}m_s r\bigr),\qquad \varphi \backsimeq -\frac{q}{2m}\ln\biggl(\frac{\mu_s}{\sqrt{2}} r\biggr).
\end{equation}
\tag{70}
$$
Отсюда следует
$$
\begin{equation}
\mu_s=2m_s \qquad \Rightarrow \qquad \frac{\phi(r)}{\varphi(r)}\bigg|_{r\to0}=\frac{Q}{q}=\mathrm{const}.
\end{equation}
\tag{71}
$$
Используя это значение в определении нейтрального скалярного дублета (69), получим $Q^2=2q^2$, т. е. нейтральному скалярному дублету соответствуют следующие фундаментальные параметры: Переписывая теперь условие нейтральности дублета (69) в терминах фундаментальных параметров, получим условие его нейтральности: В случае положительной левой части (73) $\Upsilon>0$ скалярный дублет будет канонически ориентированным, в противоположном случае – фантомно ориентированным.5.3. Масса скалярного гало черной дырыКак мы уже отмечали в статье [1], микроскопические осцилляции скалярного поля воспринимаются внешним макроскопическим наблюдателем как некоторая жидкость с макроскопическими плотностью энергии и анизотропным давлением $\bar{p}_\parallel\not=\bar{p}_\perp=\bar{\varepsilon}$. Эту жидкость можно назвать скалярным гало черной дыры. Скалярное гало может иметь свою массу (см., например, [21]) Поскольку микроскопические осцилляции возникают в дальней области $r\to\infty$, массу скалярного гало черной дыры можно оценить с помощью (67):
$$
\begin{equation}
M_s(r)=4\pi \int_{r_0}^r \overline{\varepsilon} r^2\,dr \sim - \frac{\widetilde{\Lambda}}{24}(2m^2_s|\phi_0|^2-\mu^2_s|\varphi_0|^2)(r-r_0),
\end{equation}
\tag{75}
$$
где $r_0\sim \max(m_s,\mu_s)$. Таким образом, в случае канонически ориентированного скалярного дублета масса скалярного гало отрицательна и уменьшает наблюдаемую массу черной дыры $m$. В случае фантомно ориентированного скалярного дублета наблюдаемая масса растет и в принципе может стремиться к бесконечности. В случае нейтрального скалярного дублета наблюдаемая масса черной дыры сохраняется. 6. ЗаключениеПодводя итоги статьи, отметим ее основные результаты. • Построена и исследована математическая модель самогравитирующего асимметричного хиггсова скалярного дублета в случае сферической симметрии. • Показано, что $R$-устойчивым решениям (см. п. 2.1.2) соответствуют решения, близкие к устойчивым точкам потенциала Хиггса (28) с отрицательной полной энергией скалярного дублета При этом в дальней области решения полевых уравнений для скалярных полей имеют характер затухающих микроскопических осцилляций вокруг устойчивого решения.• Показано, что устойчивым решениям соответствует метрика Шварцшильда–де Ситтера с переформатированным отрицательной энергией скалярного дублета значением космологической постоянной. • Показано, что в дальней зоне $r\to\infty$ макроскопическая среда становится изотропной и соответствует идеальной жидкости с предельно жестким уравнением состояния. • Вычислены макроскопические средние плотности энергии и давления скалярных осцилляций и показано, что полная макроскопическая плотность энергии осцилляций определяется с помощью фундаментальных констант скалярного заряда некоторой постоянной $\Upsilon$ (73): при $\Upsilon>0$ плотность энергии отрицательна (канонически ориентированный дублет), при $\Upsilon<0$ плотность энергии положительна (фантомно ориентированный дублет), при $\Upsilon=0$ плотность энергии равна нулю (нейтральный дублет). • Показано, что нейтральному скалярному дублету соответствуют определенные соотношения между его фундаментальными константами. Во-первых, заметим, что в случае фантомно ориентированного скалярного дублета рост массы скалярного гало при $r\to\infty$ в принципе ничем не ограничен, что ставит под сомнение возможность существования такого дублета. Во-вторых, заметим, что в случае канонически ориентированного скалярного дублета увеличение отрицательной массы скалярного гало ограничено массой черной дыры. В предельном случае $M_s=-m$ суммарная наблюдаемая масса черной дыры обращается в нуль. Поэтому дальнейший рост отрицательной энергии, по-видимому, должен прекратиться при некотором $r=r_\infty$. В этом случае бесконечно удаленный наблюдатель будет фиксировать полную нулевую массу объекта, хотя в окрестности черной дыры гравитационное поле будет сильным. Согласно (75) радиус гало этого объекта
$$
\begin{equation*}
r_\infty\backsimeq \frac{24m}{\widetilde{\Lambda}(2m^2_s|\phi_0|^2-\mu^2_s|\varphi_0|^2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, в-третьих, заметим, что в случае нейтрального скалярного дублета макроскопические плотность энергии, давление и масса гало строго равны нулю, т. е. с точки зрения макроскопического наблюдателя скалярное гало полностью отсутствует. Этот факт, а также устойчивость соответствующих полевых решений позволяют сформулировать предположение о возможном существовании сверхтяжелой разнородно скалярно заряженной частицы с фундаментальными параметрами потенциала Хиггса (72). Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ign24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|