| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Многокомпонентная обобщенная неизоспектральная суперинтегрируемая иерархия Абловица–Каупа–Ньюэлла–Сигура Цзинь-Сю Ли, Хай-Фэн Ван School of Science, Jimei University, Xiamen, China
Английская версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 221, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924120067 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеСупералгебры Ли имеют множество приложений в области математической физики [1], включая решение симметрий [2]–[4] и получение суперинтегрируемых иерархий. Некоторые из суперинтегрируемых иерархий были получены в солитонных и интегрируемых системах [5]–[10]. Построение уравнений играет важную роль в математике. Метод обратного рассеяния является одним из способов построения уравнений. На его основе Белинский и Захаров [11] исследовали интегрирование уравнений Эйнштейна и построили точные солитонные решения интегрируемых систем. Спектральный параметр вспомогательной линейной задачи был рассмотрен Бурцевым и др. [12] как переменная величина, что дало возможность построить ряд новых интегрируемых уравнений. В обширном собрании статей по суперматематике и ее приложениям заметно недоставало подробного описания элементарных концепций, на которых строится теория. Лейтес [13] исправил этот недостаток. Большое внимание физиков и математиков привлекла квантовая теория струн [14]–[20]. Как в физике, так и в математике важную роль играют симметрии. Орлов и Шульман [21] рассмотрели неизоспектральные потоки нелинейного уравнения Шредингера и предложили регулярный метод получения симметрий. Гельфанд и Дикий [22] представили обобщение иерархии Кортевега–де Фриза и нашли ее гамильтонову структуру. Затем Орлов [23] предложил суперверсию иерархии Кадомцева–Петвиашвили и представил ее неизоспектральные симметрии. Соответствующая алгебра, которая имеет коммутативную и некоммутативную части, была представлена Гриневичем и др. [24], после чего они получили симметрии интегрируемых систем. Более того, в литературе обсуждалось множество суперсимметричных расширений некоторых известных уравнений [25]–[27]. В последние годы растет интерес к обобщенным интегрируемым иерархиям, таким как обобщенная суперинтегрируемая иерархия Абловица–Каупа–Ньюэлла–Сигура (АКНС) [28]–[31], обобщенная суперинтегрируемая иерархия нелинейного уравнения Шредингера и модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза [32], обобщенная интегрируемая иерархия Вадати–Конно–Итикавы [33] и другие [34], [35]. Между тем обобщенная интегрируемая иерархия допускает математические и физические симметрии и законы сохранения [36], [37], поэтому изучение обобщенной интегрируемой иерархии имеет большое значение. Мощный инструмент для генерации гамильтоновой структуры интегрируемых систем предложен в статье [38]. Основываясь на работе [38], Чжан и др. [39], [40] предложили метод генерации изоспектральных и неизоспектральных интегрируемых иерархий. Недавно Ван и Чжан [41] построили многокомпонентную неполупростую алгебру Ли и вывели многомерные изоспектральные и неизоспектральные интегрируемые иерархии. Построение многомерных алгебр Ли и супералгебр Ли играет важную роль в изучении многокомпонентных суперинтегрируемых иерархий. Введя дополнительно возмущающий член, Шэнь и др. [42] получили обобщенную интегрируемую систему АКНС, связанную с неполупростыми алгебрами Ли. Хань и Юй [43] получили обобщенную суперинтегрируемую иерархию АКНС, связанную с супералгеброй Ли $spl(2,1)$. Ю [44] расширил супералгебру Ли $sl(2,1)$ до $sl(4,1)$ и получил нелинейную суперинтегрируемую связанную систему АКНС. Основываясь на работе [44], Ху и др. [45] рассмотрели нелинейную обобщенную суперинтегрируемую связанную систему АКНС. Однако число исследований, посвященных приложениям многокомпонентных обобщенных суперинтегрируемых иерархий, невелико. Ван и др. [46] построили новый тип многокомпонентной супералгебры Ли $sl(2N,1)$ и получили многокомпонентную суперинтегрируемую иерархию Дирака. В настоящей статье мы вывели многокомпонентную обобщенную супериерархию АКНС. В настоящей работе в матричную спектральную задачу АКНС добавлен возмущающий член. Получены обобщенная неизоспектральная суперинтегрируемая иерархия АКНС, ассоциированная с супералгеброй Ли $Gsl(2,1)$, и связанная обобщенная неизоспектральная суперинтегрируемая иерархия АКНС, ассоциированная с супералгеброй Ли $Gsl(4,1)$. Затем с помощью тождества суперследа [47] получены супербигамильтоновы структуры. Наконец, получена многокомпонентная обобщенная неизоспектральная супериерархия АКНС. 2. Предварительные сведенияПусть $\widetilde{\mathbb{C}}^l=\bigl\{X=(x_1,\ldots,x_l)^\mathrm{T}, x_j=\sum_{m\geqslant0}a_{jm}\lambda^{m}, m=0, 1, 2,\ldots\bigr\}$ – $l$-мерное комплексное линейное пространство [48]. Если $A, B, C$ $\in \widetilde{\mathbb{C}}^l$ удовлетворяют условиям
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, [A, B]=-[B, A],\qquad [\alpha A+\beta B, C]=\alpha[A, C]+\beta[B, C],\\ [[A, B], C]+[[B, C], A]+[[C, A], B]=0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
то $\widetilde{\mathbb{C}}^l$ является супералгеброй Ли. Здесь $[\,\cdot\, ,\,\cdot\,]$ – суперскобки Ли в пространстве $\widetilde{\mathbb{C}}^l$. Супералгебра Ли $sl(m/n)$ может быть определена следующим образом:
$$
\begin{equation*}
sl(m/n)=\biggl\{X=\begin{pmatrix} A_{m\times m}&B_{m\times n}\\ C_{n\times m}&D_{n\times n}\end{pmatrix}, \quad \operatorname{str}X=\operatorname{tr}A-\operatorname{tr}D\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Bigl(\begin{smallmatrix} A_{m\times m}&0\\ 0&D_{n\times n}\end{smallmatrix}\Bigr)$ – бозонная матрица (четный элемент), $\Bigl(\begin{smallmatrix} 0&B_{m\times n}\\ C_{n\times m}&0\end{smallmatrix}\Bigr)$ – фермионная матрица (нечетный элемент). Предполагается, что пространство $\widetilde{\mathbb{C}}^l$ имеет базис $\{e_{1}(n),\ldots,e_{l}(n)\}$, где $e_{1}(n)=(\lambda^{N_{1}n\pm x},0,\ldots,0)^\mathrm{T}$, $e_{2}(n)=(0, \lambda^{N_{2}n\pm x},0,\ldots,0)^\mathrm{T}$, $\ldots$ , $e_{l}(n)=(0,\ldots,0, \lambda^{N_{l}n\pm x})^\mathrm{T}$, $x=0, \pm1,\ldots,\pm(N_i-1)$. Напомним базовую подалгебру алгебры Ли $A_1$:
$$
\begin{equation}
e_1=\begin{pmatrix} 1&\hphantom{-}0\\ 0&-1\\ \end{pmatrix},\qquad e_2=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0\\ \end{pmatrix},\qquad e_3=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0\\ \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{1}
$$
с коммутаторами
$$
\begin{equation*}
[e_1,e_2]=2e_2, \qquad [e_1,e_3]=-2e_3,\qquad [e_2,e_3]=e_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Обобщенная супералгебра Ли $sl(2,1)$ ($Gsl(2,1)$) с произвольной константой, предложенная в работе [46], имеет следующий базис:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, E_1=\begin{pmatrix} \varepsilon e_1&0\\ 0&0 \end{pmatrix},\qquad E_2=\begin{pmatrix} \varepsilon e_2&0\\ 0&0\\ \end{pmatrix},\qquad E_3=\begin{pmatrix} e_3&0\\ 0&0 \end{pmatrix},\\ E_4=\begin{pmatrix} 0&\varepsilon e^\mathrm{T}_{10}\\ -\varepsilon e_{20}&0 \end{pmatrix}, \qquad E_5=\begin{pmatrix} 0&e^\mathrm{T}_{20}\\ e_{10}&0 \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $e_1$, $e_2$, $e_3$ задаются в (1), $e_{10}=\begin{pmatrix} 1&0\end{pmatrix}$, $e_{20}=\begin{pmatrix} 0&1\end{pmatrix}$. Генераторы обобщенной супералгебры Ли $sl(2,1)$ $E_i$, $0\leqslant i\leqslant5$, удовлетворяют следующим соотношениям:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, [E_1,E_2]=2\varepsilon E_2, \qquad [E_1,E_3]=-2\varepsilon E_3, \qquad [E_1,E_4]=\varepsilon E_4,\qquad [E_1,E_5]=-\varepsilon E_5,\\ [E_2,E_3]=E_1, \qquad [E_2,E_4]=0, \qquad [E_2,E_5]=E_4,\qquad [E_3,E_4]=\varepsilon E_5, \\ [E_3,E_5]=0, \qquad [E_4,E_4]_+=-2\varepsilon E_2, \qquad [E_4,E_5]_+=E_1,\qquad [E_5,E_5]_+=2E_3, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $E_1$, $E_2$, $E_3$ – четные элементы, $E_4$, $E_5$ – нечетные элементы, $\varepsilon\in\mathbb{R}$, $[\cdot ,\cdot]$ – коммутатор, $[\cdot ,\cdot]_+$ – антикоммутатор. Более того, супералгебра Ли $Gsl(2,1)$ удовлетворяет тождеству Якоби (см. [46]). Пусть $G_1$=$\operatorname{span}\{E_1, E_2, E_3\}$, $G_2$=$\operatorname{span}\{E_4, E_5\}$, тогда $Gsl(2, 1)=G_1\oplus G_2$. Введем обозначения
$$
\begin{equation*}
[G_i,G_j]=\{[C,D]|C\in G_i,D\in G_j\},\qquad [G_i,G_j]_+=\{[C,D]_+|C\in G_i,D\in G_j\},
\end{equation*}
\notag
$$
тогда можно получить следующие свойства замыкания $G_1$ и $G_2$:
$$
\begin{equation*}
[G_1,G_1]\subseteq G_1,\qquad [G_1,G_2]\subseteq G_2,\qquad [G_2,G_2]_+\subseteq G_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Супералгебру Ли $Gsl(2,1)$ (2) можно расширить до $Gsl(4,1)$ (см. [48]):
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} E_1&=\begin{pmatrix} \varepsilon e_1&0&0\\ 0&\varepsilon e_1&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix},&\qquad E_2&=\begin{pmatrix} \varepsilon e_2&0&0\\ 0&\varepsilon e_2&0\\0&0&0 \end{pmatrix},\\ E_3&=\begin{pmatrix} e_3&0&0\\ 0&e_3&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}, &\qquad E_4&=\begin{pmatrix} 0&\varepsilon e_1&0\\ 0&\varepsilon e_1&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \\ E_5&=\begin{pmatrix} 0&\varepsilon e_2&0\\ 0&\varepsilon e_2&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix},&\qquad E_6&=\begin{pmatrix} 0&e_3&0\\ 0&e_3&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \\ E_7&=\begin{pmatrix} 0&0&\varepsilon e_{10}^\mathrm{T}\\ 0&0&0\\ -\varepsilon e_{20}&\varepsilon e_{20}&0 \end{pmatrix},&\qquad E_8&=\begin{pmatrix} 0&0&e_{20}^\mathrm{T}\\ 0&0&0\\ e_{10}&-e_{10}&0 \end{pmatrix}, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3}
$$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &[E_1,E_2]=2\varepsilon E_2, \qquad [E_1,E_3]=-2\varepsilon E_3, \qquad [E_1,E_4]=0, \qquad [E_1,E_5]=2\varepsilon E_5,\\ &[E_1,E_6]=-2\varepsilon E_{6}, \qquad [E_1,E_7]=\varepsilon E_7, \qquad [E_1,E_8]=-\varepsilon E_8, \qquad [E_2,E_3]=E_1,\\ &[E_2,E_4]=-2\varepsilon E_5, \qquad [E_2,E_5]=0, \qquad [E_2,E_6]=E_4, \qquad [E_2,E_7]=0, \\ & [E_2,E_8]=E_7, \qquad [E_3,E_4]=2\varepsilon E_6, \qquad [E_3,E_5]=-E_4, \qquad [E_3,E_6]=0, \\ &[E_3,E_7]=\varepsilon E_8, \qquad [E_3,E_8]=0, \qquad [E_4,E_5]=2\varepsilon E_5, \qquad [E_4,E_6]=-2\varepsilon E_6,\\ &[E_4,E_7]=0, \qquad [E_4,E_8]=0, \qquad [E_5,E_6]=E_4, \qquad [E_5,E_7]=0, \\ & [E_5,E_8]=0,\qquad [E_6,E_7]=0,\qquad [E_6,E_8]=0, \\ & [E_7,E_7]_+=2\varepsilon (E_5-E_2),\qquad [E_7,E_8]_+=E_1-E_4, \qquad [E_8,E_8]_+=2(E_3-E_6), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $E_1$, $E_2$, $E_3$, $E_4$, $E_5$ – четные элементы, $E_7$, $E_8$ – нечетные элементы, $\varepsilon\in\mathbb{R}$. Далее обобщенная супералгебра Ли $sl(2N,1)$ ($Gsl(2N,1)$) может быть получена путем расширения $Gsl(4,1)$. Алгебра $Gsl(2N,1)$ задается следующим образом: $k=1,2,\dots,N$. Коммутационные и антикоммутационные соотношения для величин (4) имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &[E_1,E_2]=2\varepsilon E_2, \quad [E_1,E_3]=-2\varepsilon E_3, \quad [E_1,E_{3k-1}]=2\varepsilon E_{3k-1}, \quad [E_1,E_{3k}]=-2\varepsilon E_{3k},\\ &[E_2,E_3]=E_{1}, \quad [E_2,E_{3k}]=E_{3k-2}, \quad [E_2,E_{3k-2}]=-2\varepsilon E_{3k-1}, \,\,\, [E_3,E_{3k-1}]=-E_{3k-2},\\ &[E_3,E_{3k-2}]=2\varepsilon E_{3k}, \quad [E_1,E_{3N+1}]=\varepsilon E_{3N+1}, \quad [E_2,E_{3N+1}]=0, \\ & [E_3,E_{3N+1}]=\varepsilon E_{3N+2}, \quad[E_1,E_{3N+2}]=-\varepsilon E_{3N+2}, \quad [E_2,E_{3N+2}]=E_{3N+1}, \\ & [E_3,E_{3N+2}]=0,\quad [E_1,E_{3k-2}]=[E_2,E_{3k-1}]=[E_3,E_{3k}]=[E_{3k-1},E_{3j-1}]={}\\ &\quad =[E_{3k},E_{3j}]=[E_{3k-2},E_{3j-2}]= [E_{3k-1},E_{3N+1}]=[E_{3k},E_{3N+1}]=[E_{3k-2},E_{3N+1}]={}\\ &\quad =[E_{3k-1},E_{3N+2}]=[E_{3k},E_{3N+2}]=[E_{3k-2},E_{3N+2}]=0, \quad [E_{3k-1},E_{3j}]=E_{3j-2},\\ &[E_{3k-1},E_{3j-2}]=-2\varepsilon E_{3j-1},\quad [E_{3k},E_{3j-2}]=2\varepsilon E_{3j}, \quad [E_{3N+1},E_{3N+1}]_{+}=2\varepsilon (E_{5}-E_{2}),\\ &[E_{3N+1},E_{3N+2}]_{+}=E_{1}-E_{4},\quad [E_{3N+2},E_{3N+2}]_{+}=2(E_{3}-E_{6}),\qquad k,j=2,3,\dots,N, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $E_1$, $E_2$, $E_3$, $E_{3k-2}$, $E_{3k-1}$, $E_{3k}$ – четные элементы, $E_{3N+1}$, $E_{3N+2}$ – нечетные элементы, $\varepsilon\in\mathbb{R}$.
3. Обобщенная суперинтегрируемая иерархия АКНСРассмотрим теперь обобщенную неизоспектральную задачу АКНС, ассоциированную с супералгеброй Ли $Gsl(2,1)$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \psi_x=U\psi,\psi_t=V\psi,\lambda_t=\sum_{i\geqslant0}k_i(t)\lambda^{-i},\\ \begin{aligned} \, U&=\begin{pmatrix} U_1&U_a\\ U_b&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \varepsilon(\lambda+h_1)&\varepsilon p_1&\varepsilon\alpha\\ q_1&-\varepsilon(\lambda+h_1)&\beta\\ \beta&-\varepsilon\alpha&0 \end{pmatrix}, \\ V&=\begin{pmatrix} V_1&V_a\\ V_b&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \varepsilon a_1&\hphantom{-}\varepsilon b_1&\varepsilon\varrho\\ c_1&-\varepsilon a_1&\sigma\\ \sigma&-\varepsilon\varrho&0 \end{pmatrix},\\ \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $h_1$=$\varepsilon\mu(p_1q_1+2\alpha\beta)$ – возмущение, причем $\mu$ – произвольная четная константа, а $p_1$, $q_1$ – четные потенциалы, тогда как $\alpha$ и $\beta$ – нечетные потенциалы, $a_1,$ $b_1,$ $c_1,$ – коммутирующие поля, $\varrho$, $\sigma$ – антикоммутирующие поля. Нечетные переменные удовлетворяют условию Для получения уравнения рекурсии необходимо ввести следующее стационарное уравнение нулевой кривизны:
$$
\begin{equation}
V_x=\frac{\partial U}{\partial\lambda}\lambda_t+[U,V].
\end{equation}
\tag{6}
$$
Из (5) и (6) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a_{1x}&=p_1c_{1}-q_1b_1+\alpha\sigma+\beta\varrho+\lambda_t,\\ b_{1x}&=2\varepsilon\lambda b_{1}+2\varepsilon h_1b_1-2\varepsilon p_1a_1-2\varepsilon \alpha\varrho,\\ c_{1x}&=-2\varepsilon\lambda c_{1}-2\varepsilon h_1c_1+2\varepsilon q_1a_1+2\beta\sigma,\\ \varrho_{x}&=\varepsilon\lambda\varrho+\varepsilon h_1\varrho+p_1\sigma-\varepsilon\alpha a_1-\beta b_1,\\ \sigma_{x}&=-\varepsilon\lambda \sigma-\varepsilon h_1\sigma+\varepsilon q_1\varrho-\varepsilon\alpha c_1+\varepsilon\beta a_1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
$$
Введем разложения в ряд Лорана
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_k=\sum_{i=0}^\infty\ a_{ki} \lambda^{-i},\qquad b_k=\sum_{i=0}^\infty\ b_{ki} \lambda^{-i},\qquad c_k=\sum_{i=0}^\infty\ c_{ki} \lambda^{-i},\qquad k=1,\\ \varrho=\sum_{i=0}^\infty\ \varrho_{i} \lambda^{-i},\qquad \sigma=\sum_{i=0}^\infty \sigma_{i} \lambda^{-i}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим эти разложения в формулы (7), получим уравнения рекурсии
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a_{ix}&=p_1c_{i}+\alpha\sigma_{i}+\beta\varrho_i-q_1b_i+k_{i}(t),\\ b_{ix}&=2\varepsilon b_{i+1}+2\varepsilon h_1b_i-2\varepsilon p_1a_i-2\varepsilon \alpha\varrho_i,\\ c_{ix}&=-2\varepsilon c_{i+1}-2\varepsilon h_1c_i+2\varepsilon q_1a_i+2\beta\sigma_i,\\ \varrho_{ix}&=\varepsilon\varrho_{i+1}+\varepsilon h_1\varrho_i+p_1\sigma_i-\varepsilon\alpha a_i-\beta b_i,\\ \sigma_{ix}&=-\varepsilon \sigma_{i+1}-\varepsilon h_1\sigma_i+\varepsilon q_1\varrho_i-\varepsilon\alpha c_i+\varepsilon\beta a_i. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
Из этого следует рекурсивное соотношение
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} c_{1,n+1}\\ b_{1,n+1}\\ \sigma_{n+1}\\ \varrho_{n+1} \end{pmatrix}=L\begin{pmatrix} c_{1n}\\ b_{1n}\\ \sigma_{n}\\ \varrho_{n} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{9}
$$
где
$$
\begin{equation*}
L=\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2\varepsilon}\partial+q_1\partial^{-1}p_1-h_1&-q_1 \partial^{-1}q_1& q_1\partial^{-1}\alpha+\dfrac{1}{\varepsilon}\beta& q_1\partial^{-1}\beta\\ p_1\partial^{-1}p_1&\dfrac{1}{2\varepsilon}\partial- p_1\partial^{-1}q_1-h_1&p_1\partial^{-1}\alpha&p_1\partial^{-1}\beta+\alpha\\ -\alpha+\beta\partial^{-1}p_1&-\beta\partial^{-1}q_1&-\dfrac{1}{\varepsilon}\partial-h_1+\beta\partial^{-1}\alpha&q_1+\beta\partial^{-1}\beta\\ \alpha\partial^{-1}p_1&-\alpha\partial^{-1}q_1+\dfrac{1}{\varepsilon}\beta&-\dfrac{1}{\varepsilon}p_1+\alpha\partial^{-1}\alpha&\dfrac{1}{\varepsilon}\partial+\alpha \partial^{-1}\beta-h_1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Выбрав начальные условия имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, b_1={}&p_1,\qquad c_1=q_1,\qquad \varrho_1=\alpha,\qquad \sigma_1=\beta,\qquad a_1=k_{1}(t)x,\\ b_2={}&\frac{1}{2\varepsilon}p_{1x}-h_1p_1+k_{1}(t)xp_1,\qquad c_2=-\frac{1}{2\varepsilon}q_{1x}-h_1q_1+k_{1}(t)xq_1,\\ \sigma_2={}&-\frac{1}{\varepsilon}\beta_x-h_1\beta+k_{1}(t)x\beta,\quad \varrho_2=\frac{1}{\varepsilon}\alpha _x+k_{1}(t)x\alpha,\quad a_2=-\frac{1}{2\varepsilon}p_1q_1+\frac{1}{\varepsilon}\beta\alpha+k_{2}(t)x,\\ b_3={}&\frac{1}{4\varepsilon^{2}}p_{1,xx}-\frac{1}{2\varepsilon}h_{1x}p_1 -\frac{1}{\varepsilon}h_1p_{1x}+h_1^{2}p_1-\frac{1}{2\varepsilon}p_1^{2}q_1+\frac{1}{\varepsilon}p_1\beta\alpha+{}\\ &+\frac{1}{\varepsilon}\alpha\alpha_x+k_{1}(t)\biggl(\frac{1}{2\varepsilon}p_{1x}x+\frac{1}{2\varepsilon}p_1-h_1p_1x\biggr)+p_1k_{2}(t)x,\\ c_3={}&\frac{1}{4\varepsilon^{2}}q_{1,xx}+\frac{1}{2\varepsilon}h_{1x}q_1 +\frac{1}{\varepsilon}h_1q_{1x}+h_1^{2}q_1-\frac{1}{2\varepsilon}q_1^{2}p_1+\frac{1}{\varepsilon}q_1\beta\alpha-{}\\ &-\frac{1}{\varepsilon}\beta\beta_x+k_{1}(t)\biggl(-\frac{1}{2\varepsilon}q_{1x}x-\frac{1}{2\varepsilon}q_1-h_1q_1x\biggr)+q_1k_{2}(t)x,\\ \varrho_3={}&\frac{1}{\varepsilon^{2}}\alpha_{xx}-\frac{1}{\varepsilon}h_{1x}\alpha -\frac{2}{\varepsilon}h_1\alpha_x+h_1^{2}\alpha+\frac{1}{\varepsilon^{2}}p_1\beta_x-\frac{1}{2\varepsilon}\alpha p_1q_1+{}\\ &+\frac{1}{2\varepsilon^{2}}\beta p_{1x}+k_{1}(t)\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\alpha_xx-h_1\alpha x+\frac{1}{\varepsilon}\alpha\biggr)+\alpha k_{2}(t)x,\\ \sigma_3={}&\frac{1}{\varepsilon^{2}}\beta_{1,xx}+\frac{1}{\varepsilon}h_{1x}\beta +\frac{2}{\varepsilon}h_1\beta_x+h_1^{2}\beta+\frac{1}{\varepsilon}q_1\alpha_x+\frac{1}{2\varepsilon}\alpha q_{1x}-{}\\ &-\frac{1}{2\varepsilon}\beta p_1q_1+k_{1}(t)\biggl(-\frac{1}{\varepsilon}\beta_xx-\frac{1}{\varepsilon}\beta-h_1\beta x\biggr)+\beta k_{2}(t)x,\\ a_3={}&\frac{1}{4\varepsilon^{2}}p_1q_{1x}-\frac{1}{4\varepsilon^{2}}p_{1x}q_1+\frac{1}{\varepsilon^{2}}\alpha\beta_x-\frac{1}{\varepsilon^{2}}\alpha_x\beta+\frac{1}{\varepsilon}p_1q_1h_1+\frac{2}{\varepsilon}\alpha\beta h_1+{}\\ &+\frac{1}{\varepsilon}k_1(t)\biggl[-\frac{1}{2}p_1q_1x-\alpha\beta x+\partial^{-1}\biggl(\beta\alpha-\frac{1}{2}q_1p_1\biggr)\biggr]+k_3(t)x. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Введем временну́ю спектральную задачу где
$$
\begin{equation*}
V^{(n)}=V_+^{(n)}+\Delta_{1n}=\sum_{i=0}^n\begin{pmatrix} \varepsilon a_{1i}&\hphantom{-}\varepsilon b_{1i}&\varepsilon\varrho_i\\ c_{1i}&-\varepsilon a_{1i}&\sigma_i\\ \sigma_i&-\varepsilon\varrho_i&0 \end{pmatrix}\lambda^{n-i}+\Delta_{1n},
\end{equation*}
\notag
$$
а $\Delta_{1n}$ – модификационный член, который можно полагать равным
$$
\begin{equation}
\Delta_{1n}=\begin{pmatrix} \varepsilon H_1&0&0\\ 0&-\varepsilon H_1&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Прямым вычислением из уравнения
$$
\begin{equation}
\frac{\partial U}{\partial u}u_{t}-V_{x}^{(n)}+\frac{\partial U}{\partial \lambda}\lambda_{t}^{(n)}+[U,V^{(n)}]=0,\qquad n\geqslant0,
\end{equation}
\tag{12}
$$
мы получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, h_{1,t_n}&=H_{1x},\\ p_{1,t_n}&=b_{1n,x}-2\varepsilon h_1b_{1n}+2\varepsilon p_1a_{1n}+2\varepsilon\alpha\varrho_n+2\varepsilon p_1H_1=2\varepsilon b_{1,n+1}+2\varepsilon p_1H_1,\\ q_{1,t_n}&=c_{1n,x}-2\varepsilon q_{1}a_{1n}+2\varepsilon h_1c_{1n}-2\beta\sigma_n-2\varepsilon q_1H_1=-2\varepsilon c_{1,n+1}-2\varepsilon q_1H_1,\\ \alpha_{t_n}&=\varrho_{n,x}-\varepsilon h_1\varrho_n-p_1\sigma_n+\varepsilon a_{1n}\alpha+b_{1n}\beta+\varepsilon \alpha H_1=\varepsilon \varrho_{n+1}+\varepsilon \alpha H_1,\\ \beta_{t_n}&=\sigma_{n,x}-\varepsilon\beta a_{1n}+\varepsilon\alpha c_{1n}+\varepsilon h_1 \sigma_n-\varepsilon q_1\varrho_n-\varepsilon \beta H_1=-\varepsilon \sigma_{n+1}-\varepsilon\beta H_1, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13}
$$
что приводит к тождеству
$$
\begin{equation*}
(p_1q_1+2\alpha\beta)_{t_{n}} =2\varepsilon q_1b_{1,n+1}-2\varepsilon p_1c_{1,n+1}+2\varepsilon \varrho_{n+1}\beta-2\varepsilon\alpha\sigma_{n+1}=-2\varepsilon (a_{1,n+1})_{x}+2\varepsilon k_{n+1}(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому мы получаем $H_1=-2\mu\varepsilon^{2}a_{1,n+1}+2\varepsilon^{2}\mu k_{n+1}(t)x$ в (11). Обобщенная суперинтегрируемая иерархия АКНС выводится в следующем виде:
$$
\begin{equation}
u_{t_n}=\begin{pmatrix} p_1\\ q_1\\ \alpha\\ \beta \end{pmatrix}_{t_n}=\begin{pmatrix} 2\varepsilon b_{1,n+1}+4\varepsilon^{3}\mu p_1(-a_{1,n+1}+k_{n+1}(t)x)\\ -2\varepsilon c_{1,n+1}-4\varepsilon^{3}\mu q_1(-a_{1,n+1}+k_{n+1}(t)x)\\ \varepsilon\varrho_{n+1}+2\varepsilon^{3}\mu\alpha (-a_{1,n+1}+k_{n+1}(t)x)\\ -\varepsilon \sigma_{n+1}-2\varepsilon^{3}\mu\beta (-a_{1,n+1}+k_{n+1}(t)x) \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{14}
$$
В случае $n=2$ формулы (13) принимают вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, p_{1,t_2}={}&\frac{1}{2\varepsilon}p_{1,xx}-h_{1x}p_1-2h_1p_{1x}+2\varepsilon h_1^{2}p_1-p_1^{2}q_1+2p_1\beta\alpha+2\alpha\alpha_x+{}\\ &+\varepsilon\mu p_1(-p_1q_{1x}+q_1p_{1x}-4\alpha\beta_x+4\alpha_x\beta-4\varepsilon h_1p_1q_1-8\varepsilon h_1\alpha\beta)+{}\\ &+k_1(t)(p_{1x}x+p_1-2\varepsilon h_1p_1x+2\varepsilon \alpha^{2}x+2\varepsilon^{2}\mu p_1^{2}q_1x+4\varepsilon^{2}\mu p_1\alpha\beta x-{}\\ &-4\varepsilon\mu p_1\partial^{-1}\beta\alpha+2\varepsilon\mu p_1\partial^{-1}q_1p_1)+2\varepsilon p_1k_2(t)x,\\ q_{1,t_2}={}&-\frac{1}{2\varepsilon}q_{1,xx}-h_{1x}q_1-2h_1q_{1x}-2\varepsilon h_1^{2}q_1+p_1q_1^{2}-2q_1\beta\alpha+\frac{2}{\varepsilon}\beta\beta_x+{}\\ &+\varepsilon\mu q_1(p_1q_{1x}-p_{1x}q_1+4\alpha\beta_x-4\alpha_x\beta+4\varepsilon h_1p_1q_1+8\varepsilon h_1\alpha\beta)+{}\\ &+k_1(t)(q_{1x}x+q_1+2\varepsilon h_1q_1x-2\varepsilon^{2}\mu p_1q_1^{2}x-4\varepsilon^{2}\mu q_1\alpha\beta x+{}\\ &+4\varepsilon^{2}\mu q_1\partial^{-1}\beta\alpha-2\varepsilon^{2}\mu q_1\partial^{-1}q_1p_1)-2\varepsilon q_1k_2(t)x,\\ \alpha_{t_2}={}&\frac{1}{\varepsilon}\alpha_{xx}-h_{1x}\alpha-2h_1\alpha_{x}+\varepsilon h_1^{2}\alpha+\frac{1}{\varepsilon}p_1\beta_x-\frac{1}{2}\alpha p_1q_1+\frac{1}{2\varepsilon}\beta p_{1x}-{}\\ &-\varepsilon\mu\alpha\biggl(\frac{1}{2}p_1q_{1x}-\frac{1}{2}q_1p_{1x}+2\alpha\beta_x-2\alpha_x\beta+2\varepsilon h_1p_1q_1+4\varepsilon h_1\alpha\beta\biggr)+{}\\ &+k_1(t)(\alpha_{1x}x+\alpha-\varepsilon h_1\alpha x+\varepsilon^{2}\mu \alpha p_1q_1-2\varepsilon^{2}\mu\alpha\partial^{-1}\beta\alpha+{}\\ &+\varepsilon^{2}\mu\alpha\partial^{-1}p_1q_1)+\varepsilon\alpha k_2(t)x,\\ \beta_{t_2}={}&-\frac{1}{\varepsilon}\beta_{xx}-h_{1x}\beta-2h_1\beta_{x}+\varepsilon h_1^{2}\beta-q_1\alpha_x-\frac{1}{2}\alpha q_{1x}+\frac{1}{2\varepsilon}\beta p_{1}q_1+{}\\ &+\varepsilon\mu\beta\biggl(\frac{1}{2}p_1q_{1x}-\frac{1}{2}q_1p_{1x}+2\alpha\beta_x-2\alpha_x\beta+2\varepsilon h_1p_1q_1+4\varepsilon h_1\alpha\beta\biggr)+{}\\ &+k_1(t)(\beta_{x}x+\beta+\varepsilon h_1\beta x-\varepsilon^{2}\mu \beta p_1q_1x+2\varepsilon^{2}\mu\beta\partial^{-1}\beta\alpha-{}\\ &-\varepsilon^{2}\mu\beta\partial^{-1}p_1q_1)-\varepsilon\beta k_2(t)x, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, V^{(2)}=\begin{pmatrix} V^{(2)}_{11}& \hphantom{-}V^{(2)}_{12}& V^{(2)}_{13}\\ V^{(2)}_{21}& -V^{(2)}_{11}& V^{(2)}_{23}\\ V^{(2)}_{23}& -V^{(2)}_{13}& 0 \end{pmatrix},\\ \begin{aligned} \, V^{(2)}_{11}={}&\varepsilon\lambda^{2} -\frac{1}{2}(p_1q_1+2\alpha\beta)+{}\\ &+\varepsilon\mu\biggl(-\frac{1}{2}p_1q_{1x}+\frac{1}{2}p_{1x}q_1-2\alpha\beta_x+2\alpha_x\beta -2\varepsilon h_1p_1q_1-4\varepsilon h_1\alpha\beta\biggr)+{}\\ &+k_1(t)(\varepsilon\lambda x+\varepsilon^{2}\mu p_1q_1 x+2\varepsilon^{2}\mu\alpha\beta x-2\varepsilon^{2}\mu\partial^{-1}\beta\alpha+\varepsilon^{2}\mu\partial^{-1}p_1q_1)+\varepsilon k_2(t)x, \notag \\ V^{(2)}_{12}={}&\varepsilon\lambda p_1+\frac{1}{2}p_{1x}-\varepsilon h_1p_1+\varepsilon p_1k_1(t)x,\qquad V^{(2)}_{13}=\varepsilon\lambda \alpha+\alpha_{x}-\varepsilon h_1\alpha+\varepsilon \alpha k_1(t)x, \notag \\ V^{(2)}_{21}={}&\lambda q_1-\frac{1}{2\varepsilon}q_{1x}-h_1q_1+q_1k_1(t)x,\qquad\;\;\;\,\, V^{(2)}_{23}=\lambda\beta-\frac{1}{\varepsilon}\beta_{x}-h_1\beta+\beta k_1(t)x. \notag \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{16}
$$
В случае $\varepsilon=-1/2i$, $p_1=\pm2iq_1^*$, $h_1=\alpha=\beta=\mu=k_1(t)=k_2(t)=k_3(t)=0$ система (15) превращается в знаменитое нелинейное уравнение Шредингера 3.1. Супергамильтонова структураПосредством прямого вычисления мы получаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \bigg\langle V,\frac{\partial U}{\partial \lambda}\bigg\rangle=2\varepsilon^{2}a_1,\quad \bigg\langle V,\frac{\partial U}{\partial p_1}\bigg\rangle=2\varepsilon^{3}\mu q_1a_1+\varepsilon c_1,\quad \bigg\langle V,\frac{\partial U}{\partial q_1}\bigg\rangle=2\varepsilon^{3}\mu p_1a_1+\varepsilon b_1,\\ \bigg\langle V,\frac{\partial U}{\partial \alpha}\bigg\rangle=4\varepsilon^{3}\mu\beta a_1+2\varepsilon\sigma,\quad \bigg\langle V,\frac{\partial U}{\partial \beta}\bigg\rangle=-4\varepsilon^{3}\mu\alpha a_1-2\varepsilon\varrho. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{18}
$$
Подставляя (18) в тождество суперследа
$$
\begin{equation}
\frac{\delta}{\delta u}\int\bigg\langle V,\frac{\partial U}{\partial \lambda}\bigg\rangle\, dx=\lambda^{-\gamma}\frac{\partial}{\partial\lambda}\lambda^{\gamma} \begin{pmatrix} \langle V,\partial U/\partial p_1\rangle\\ \langle V,\partial U/\partial q_1\rangle\\ \langle V,\partial U/\partial \alpha\rangle\\ \langle V,\partial U/\partial \beta\rangle \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{19}
$$
и сравнивая коэффициенты при $\lambda^{-n-2}$ в обеих частях (19), получаем
$$
\begin{equation}
\frac{\delta}{\delta u}\int(2\varepsilon^{2}a_{1,n+2})\,dx=(\gamma-n-1) \begin{pmatrix} 2\varepsilon^{3}\mu q_1a_{1,n+1}+\varepsilon c_{1,n+1}\\ 2\varepsilon^{3}\mu p_1a_{1,n+1}+\varepsilon b_{1,n+1}\\ 4\varepsilon^{3}\mu\beta a_{1,n+1}+2\varepsilon\sigma_{n+1}\\ -4\varepsilon^{3}\mu\alpha a_{1,n+1}-2\varepsilon\varrho_{n+1} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Рассмотрим частный случай $n=0$ в (14), при этом $\gamma=0$. Тогда имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} 2\varepsilon^{3}\mu q_1a_{1,n+1}+\varepsilon c_{1,n+1}\\ 2\varepsilon^{3}\mu p_1a_{1,n+1}+\varepsilon b_{1,n+1}\\ 4\varepsilon^{3}\mu\beta a_{1,n+1}+2\varepsilon\sigma_{n+1}\\ -4\varepsilon^{3}\mu\alpha a_{1,n+1}-2\varepsilon\varrho_{n+1} \end{pmatrix}=\frac{\delta H_{n+1}}{\delta u},\qquad H_{n+1}=-\int\frac{2\varepsilon^{2}a_{1,n+2}}{n+1}\,dx,\qquad n\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате прямого вычисления получаем
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} c_{1,n+1}\\ b_{1,n+1}\\ \sigma_{n+1}\\ \varrho_{n+1} \end{pmatrix}=R\begin{pmatrix} 2\varepsilon^{3}\mu q_1a_{1,n+1}+\varepsilon c_{1,n+1}\\ 2\varepsilon^{3}\mu p_1a_{1,n+1}+\varepsilon b_{1,n+1}\\ 4\varepsilon^{3}\mu\beta a_{1,n+1}+2\varepsilon\sigma_{n+1}\\ -4\varepsilon^{3}\mu\alpha a_{1,n+1}-2\varepsilon\varrho_{n+1} \end{pmatrix}-k_{n+1}(t)x\begin{pmatrix} 2\varepsilon^{2}\mu q_1\\ 2\varepsilon^{2}\mu p_1\\ 2\varepsilon^{2}\mu \beta\\ 2\varepsilon^{2}\mu \alpha \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{21}
$$
а оператор рекурсии $R$ имеет следующий вид:
$$
\begin{equation*}
R=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\varepsilon}-2\varepsilon\mu q_1\partial^{-1}p_1&2\varepsilon\mu q_1\partial^{-1}q_1& -\varepsilon\mu q_1\partial^{-1}\alpha& \varepsilon\mu q_1\partial^{-1}\beta\\ -2\varepsilon\mu p_1\partial^{-1}p_1&\dfrac{1}{\varepsilon}+2\varepsilon\mu p_1\partial^{-1}q_1&-\varepsilon\mu p_1\partial^{-1}\alpha&\varepsilon\mu p_1\partial^{-1}\beta\\ -2\varepsilon\mu\alpha\partial^{-1}p_1&2\varepsilon\mu\alpha\partial^{-1}q_1&\dfrac{1}{2\varepsilon}-\varepsilon\mu\alpha\partial^{-1}\alpha&\varepsilon\mu\alpha\partial^{-1}\beta\\ -2\varepsilon\mu\beta\partial^{-1}p_1&2\varepsilon\mu\beta\partial^{-1}q_1&-\varepsilon\mu\beta\partial^{-1}\alpha&-\dfrac{1}{2\varepsilon}+\varepsilon\mu\beta\partial^{-1}\beta \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{t_n}&=\begin{pmatrix} p_1\\ q_1\\ \alpha\\ \beta \end{pmatrix}_{t_n}=\begin{pmatrix} 2\varepsilon b_{1,n+1}+4\varepsilon^{3}\mu p_1(-a_{1,n+1}+k_{n+1}(t)x)\\ -2\varepsilon c_{1,n+1}-4\varepsilon^{3}\mu q_1(-a_{1,n+1}+k_{n+1}(t)x)\\ \varepsilon\varrho_{n+1}+2\varepsilon^{3}\mu\alpha (-a_{1,n+1}+k_{n+1}(t)x)\\ -\varepsilon \sigma_{n+1}-2\varepsilon^{3}\mu\beta (-a_{1,n+1}+k_{n+1}(t)x) \end{pmatrix}={} \notag \\ &=Q\begin{pmatrix} c_{1,n+1}\\ b_{1,n+1}\\ \sigma_{n+1}\\ \varrho_{n+1} \end{pmatrix}=QR\begin{pmatrix} 2\varepsilon^{3}\mu q_1a_{1,n+1}+\varepsilon c_{1,n+1}\\ 2\varepsilon^{3}\mu p_1a_{1,n+1}+\varepsilon b_{1,n+1}\\ 4\varepsilon^{3}\mu\beta a_{1,n+1}+2\varepsilon\sigma_{n+1}\\ -4\varepsilon^{3}\mu\alpha a_{1,n+1}-2\varepsilon\varrho_{n+1} \end{pmatrix}-Qk_{n+1}(t)x\begin{pmatrix} 2\varepsilon^{2}\mu q_1\\ 2\varepsilon^{2}\mu p_1\\ 2\varepsilon^{2}\mu \beta\\ 2\varepsilon^{2}\mu\alpha \end{pmatrix}=:{} \notag \\ &=:J\begin{pmatrix} 2\varepsilon^{3}\mu q_1a_{1,n+1}+\varepsilon c_{1,n+1}\\ 2\varepsilon^{3}\mu p_1a_{1,n+1}+\varepsilon b_{1,n+1}\\ 4\varepsilon^{3}\mu\beta a_{1,n+1}+2\varepsilon\sigma_{n+1}\\ -4\varepsilon^{3}\mu\alpha a_{1,n+1}-2\varepsilon\varrho_{n+1} \end{pmatrix}-Qk_{n+1}(t)x\begin{pmatrix} 2\varepsilon^{2}\mu q_1\\ 2\varepsilon^{2}\mu p_1\\ 2\varepsilon^{2}\mu \beta\\ 2\varepsilon^{2}\mu\alpha \end{pmatrix}=:{} \notag \\ &=:J\frac{\delta H_{n+1}}{\delta u}-Qk_{n+1}(t)x\begin{pmatrix} 2\varepsilon^{2}\mu q_1\\ 2\varepsilon^{2}\mu p_1\\ 2\varepsilon^{2}\mu \beta\\ 2\varepsilon^{2}\mu\alpha \end{pmatrix}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{22}
$$
где
$$
\begin{equation*}
Q=\begin{pmatrix} -4\varepsilon^{3}\mu p_1\partial^{-1}p_1&2\varepsilon+4\varepsilon^{3}\mu p_1\partial^{-1}q_1&-4\varepsilon^{3}\mu p_1\partial^{-1}\alpha&-4\varepsilon^{3}\mu p_1\partial^{-1}\beta\\ 4\varepsilon^{3}\mu q_1\partial^{-1}p_1-2\varepsilon&-4\varepsilon^{3}\mu q_1\partial^{-1}q_1&4\varepsilon^{3}\mu q_1\partial^{-1}\alpha&4\varepsilon^{3}\mu q_1\partial^{-1}\beta\\ -2\varepsilon^{3}\mu\alpha\partial^{-1}p_1&2\varepsilon^{3}\mu\alpha\partial^{-1}q_1&-2\varepsilon^{3}\mu\alpha\partial^{-1}\alpha&\varepsilon-2\varepsilon^{3}\mu\alpha\partial^{-1}\beta\\ 2\varepsilon^{3}\mu\beta\partial^{-1}p_1&-2\varepsilon^{3}\mu\beta\partial^{-1}q_1&2\varepsilon^{3}\mu\beta\partial^{-1}\alpha-\varepsilon&2\varepsilon^{3}\mu\beta\partial^{-1}\beta \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
и супергамильтониан обобщенной иерархии АКНС имеет вид
$$
\begin{equation*}
J=\begin{pmatrix} -8\varepsilon^{2}\mu p_1\partial^{-1}p_1&8\varepsilon^{2}\mu p_1\partial^{-1}q_1+2&-4\varepsilon^{2}\mu p_1\partial^{-1}\alpha&4\varepsilon^{2}\mu p_1\partial^{-1}\beta\\ 8\varepsilon^{2}\mu q_1\partial^{-1}p_1-2&-8\varepsilon^{2}\mu q_1\partial^{-1}q_1&4\varepsilon^{2}\mu q_1\partial^{-1}\alpha&-4\varepsilon^{2}\mu q_1\partial^{-1}\beta\\ -4\varepsilon^{2}\mu\alpha\partial^{-1}p_1&4\varepsilon^{2}\mu\alpha\partial^{-1}q_1&-2\varepsilon^{2}\mu\alpha\partial^{-1}\alpha&2\varepsilon^{2}\mu\alpha\partial^{-1}\beta-\dfrac{1}{2}\\ 4\varepsilon^{2}\mu\beta\partial^{-1}p_1&-4\varepsilon^{2}\mu\beta\partial^{-1}q_1&2\varepsilon^{2}\mu\beta\partial^{-1}\alpha-\dfrac{1}{2}&-2\varepsilon^{2}\mu\beta\partial^{-1}\beta \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь из (9) и (22) мы имеем супербигамильтонову структуру
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{t_n}=:{}&J\frac{\delta H_{n+1}}{\delta u}-Qk_{n+1}(t)x\begin{pmatrix} 2\varepsilon^{2}\mu q_1\\ 2\varepsilon^{2}\mu p_1\\ 2\varepsilon^{2}\mu \beta\\ 2\varepsilon^{2}\mu\alpha \end{pmatrix}=QL\begin{pmatrix} c_{n}\\ b_{n}\\ \sigma_{n}\\ \varrho_{n} \end{pmatrix}=QLR\begin{pmatrix} 2\varepsilon^{3}\mu q_1a_{1n}+\varepsilon c_{1n}\\ 2\varepsilon^{3}\mu p_1a_{1n}+\varepsilon b_{1n}\\ 4\varepsilon^{3}\mu\beta a_{1n}+2\varepsilon\sigma_{n}\\ -4\varepsilon^{3}\mu\alpha a_{1n}-2\varepsilon\varrho_{n} \end{pmatrix}-{} \notag \\ &-QLk_{n}(t)x\begin{pmatrix} 2\varepsilon^{2}\mu q_1\\ 2\varepsilon^{2}\mu p_1\\ 2\varepsilon^{2}\mu \beta\\ 2\varepsilon^{2}\mu \alpha \end{pmatrix}=:W\frac{\delta H_{n}}{\delta u}+k_{n}(t)xG,\qquad n\geqslant1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
Супергамильтониан имеет вид $W=QLR=(W_{ij})_{4 \times 4}$, $i,j=1,2,3,4$, где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, W_{11}={}&-2\varepsilon\mu \partial p_1\partial^{-1}p_1+2p_1\partial^{-1}p_1+4\varepsilon^{2}\mu p_1h_1\partial^{-1}p_1-4\varepsilon^{3}\mu^{2}p_1\partial^{-1}T\partial^{-1}p_1,\\ W_{12}={}&2\varepsilon\mu\partial p_1\partial^{-1}q_1-2p_1\partial^{-1}q_1-2h_1-4\varepsilon^{2}\mu h_1p_1\partial^{-1}q_1-4\varepsilon^{2}\mu p_1\partial^{-1}q_1h_1+{}\\ &+4\varepsilon^{3}\mu^{2}p_1\partial^{-1}T\partial^{-1}q_1,\\ W_{13}={}&-\varepsilon\mu\partial p_1\partial^{-1}\alpha+p_1\partial^{-1}\alpha+2\varepsilon^{2}\mu p_1h_1\partial^{-1}\alpha+2\varepsilon^{2}\mu p_1\partial^{-1}\alpha h_1-{}\\ &-2\varepsilon^{3}\mu^{2}p_1\partial^{-1}T\partial^{-1}\alpha,\\ W_{14}={}&\varepsilon\mu\partial p_1\partial^{-1}\beta-p_1\partial^{-1}\beta-\alpha-2\varepsilon^{2}\mu h_1p_1\partial^{-1}\beta-2\varepsilon^{2}\mu p_1\partial^{-1}\beta h_1+{}\\ &+2\varepsilon^{3}\mu^{2}p_1\partial^{-1}T\partial^{-1}\beta,\\ W_{21}={}&-2\varepsilon\mu\partial q_1\partial^{-1}p_1-2q_1\partial^{-1}p_1+2h_1-4\varepsilon^{2}\mu h_1q_1\partial^{-1}p_1-4\varepsilon^{2}\mu q_1\partial^{-1}p_1h_1+{}\\ &+4\varepsilon^{3}\mu^{2}q_1\partial^{-1}T\partial^{-1}p_1,\\ W_{22}={}&2\varepsilon\mu\partial q_1\partial^{-1}q_1+2q_1\partial^{-1}q_1+4\varepsilon^{2}\mu h_1q_1\partial^{-1}q_1+4\varepsilon^{2}\mu q_1\partial^{-1}q_1h_1-{}\\ &-4\varepsilon^{3}\mu^{2}q_1\partial^{-1}T\partial^{-1}q_1,\\ W_{23}={}&-\varepsilon\mu\partial q_1\partial^{-1}\alpha-q_1\partial^{-1}\alpha-\dfrac{\beta}{\varepsilon}-2\varepsilon^{2}\mu h_1q_1\partial^{-1}\alpha-2\varepsilon^{2}\mu q_1\partial^{-1}\alpha h_1+{}\\ &+2\varepsilon^{3}\mu^{2}q_1\partial^{-1}T\partial^{-1}\alpha,\\ W_{24}={}&\varepsilon\mu\partial q_1\partial^{-1}\beta+q_1\partial^{-1}\beta+2\varepsilon^{2}\mu h_1q_1\partial^{-1}\beta+2\varepsilon^{2}\mu q_1\partial^{-1}\beta h_1-{}\\ &-2\varepsilon^{3}\mu^{2}q_1\partial^{-1}T\partial^{-1}\beta,\\ W_{31}={}&-2\varepsilon\mu\partial \alpha\partial^{-1}p_1+\alpha\partial^{-1}p_1+2\varepsilon^{2}\mu\alpha\partial^{-1}p_1h_1+2\varepsilon^{2}\mu h_1\alpha\partial^{-1}p_1-{}\\ &-2\varepsilon^{3}\mu^{2}\alpha\partial^{-1}T\partial^{-1}p_1,\\ W_{32}={}&2\varepsilon\mu\partial \alpha\partial^{-1}q_1-\alpha\partial^{-1}q_1+\dfrac{\beta}{\varepsilon}-2\varepsilon^{2}\mu \alpha\partial^{-1}q_1h_1-2\varepsilon^{2}\mu h_1\alpha\partial^{-1}q_1+{}\\ &+2\varepsilon^{3}\mu^{2}\alpha\partial^{-1}T\partial^{-1}q_1,\\ W_{33}={}&-\varepsilon\mu\partial \alpha\partial^{-1}\alpha+\dfrac{1}{2}\alpha\partial^{-1}\alpha-\dfrac{1}{2\varepsilon}p_1+\varepsilon^{2}\mu h_1\alpha\partial^{-1}\alpha+\varepsilon^{2}\mu \alpha\partial^{-1}\alpha h_1-{}\\ &-\varepsilon^{3}\mu^{2}\alpha\partial^{-1}T\partial^{-1}\alpha,\\ W_{34}={}&-\varepsilon\mu\partial \alpha\partial^{-1}\beta-\dfrac{1}{2}\alpha\partial^{-1}\beta+\dfrac{1}{2}h_1-\varepsilon^{2}\mu h_1\alpha\partial^{-1}\beta-\varepsilon^{2}\mu \alpha\partial^{-1}\beta h_1+{}\\ &+\varepsilon^{3}\mu^{2}\alpha\partial^{-1}T\partial^{-1}\beta,\\ W_{41}={}&-2\varepsilon\mu\partial \beta\partial^{-1}p_1-\beta\partial^{-1}p_1+\alpha-2\varepsilon^{2}\mu h_1\beta\partial^{-1}p_1-2\varepsilon^{2}\mu \beta\partial^{-1}p_1h_1+{}\\ &+2\varepsilon^{3}\mu^{2}\beta\partial^{-1}T\partial^{-1}p_1,\\ W_{42}={}&2\varepsilon\mu\partial \beta\partial^{-1}q_1+\beta\partial^{-1}q_1+2\varepsilon^{2}\mu h_1\beta\partial^{-1}q_1+2\varepsilon^{2}\mu \beta\partial^{-1}q_1h_1-{}\\ &-2\varepsilon^{3}\mu^{2}\beta\partial^{-1}T\partial^{-1}q_1,\\ W_{43}={}&-\varepsilon\mu\partial \beta\partial^{-1}\alpha-\dfrac{1}{2}\beta\partial^{-1}\alpha+\dfrac{1}{2}h_1-\varepsilon^{2}\mu h_1\beta\partial^{-1}\alpha-\varepsilon^{2}\mu \beta\partial^{-1}\alpha h_1+{}\\ &+\varepsilon^{3}\mu^{2}\beta\partial^{-1}T\partial^{-1}\alpha,\\ W_{44}={}&\varepsilon\mu\partial \beta\partial^{-1}\beta+\dfrac{1}{2}\beta\partial^{-1}\beta+\dfrac{1}{2}q_1+\varepsilon^{2}\mu h_1\beta\partial^{-1}\beta+\varepsilon^{2}\mu \beta\partial^{-1}\beta h_1-{}\\ &-\varepsilon^{3}\mu^{2}\beta\partial^{-1}T\partial^{-1}\beta, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
$$
причем
$$
\begin{equation*}
G=-\begin{pmatrix} 2\varepsilon^{2}\mu\partial p_1-4\varepsilon^{3}\mu h_1p_1+4\varepsilon^{4}\mu^{2}p_1\partial^{-1}T\\ 2\varepsilon^{2}\mu\partial q_1+4\varepsilon^{3}\mu h_1q_1+4\varepsilon^{4}\mu^{2}q_1\partial^{-1}T\\ 2\varepsilon^{2}\mu\partial\alpha-2\varepsilon^{3}\mu h_1\alpha+2\varepsilon^{4}\mu^{2}\alpha\partial^{-1}T\\ 2\varepsilon^{2}\mu\partial\beta+2\varepsilon^{3}\mu h_1\beta-2\varepsilon^{4}\mu^{2}\beta\partial^{-1}T \end{pmatrix}, \qquad T=p_1\partial q_1+q_1\partial p_1+2\alpha\partial \beta-2\beta\partial \alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
4. Связанная обобщенная суперинтегрируемая иерархия АКНСРассмотрим расширенную спектральную задачу, ассоциированную с супералгеброй Ли $sl(4,1)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \psi_x&=U\psi,\qquad \psi_t=V\psi,\qquad \lambda_t=\sum_{i\geqslant0}k_i(t)\lambda^{-i},\\ \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U &=\begin{pmatrix} U_1&U_2&U_a\\ 0&U_1+U_2&0\\ U_b&-U_b&0 \end{pmatrix}, \qquad \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V =\begin{pmatrix} V_1&V_2&V_a\\ 0&V_1+V_2&0\\ V_b&-V_b&0 \end{pmatrix}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{4} U_1&=\begin{pmatrix} \varepsilon(\lambda+h_2)&\varepsilon p_1\\ q_1-\varepsilon(\lambda+h_2) \end{pmatrix},&\quad U_2&=\begin{pmatrix} 0&\varepsilon p_2\\ q_2&0 \end{pmatrix},
&\quad U_a&=(\varepsilon\alpha\,\, \beta)^\mathrm{T},&\quad U_b&=(\beta\,\, -\varepsilon\alpha),\\
V_1&=\begin{pmatrix} \varepsilon a_1&\hphantom{-}\varepsilon b_1\\ c_1&-\varepsilon a_1 \end{pmatrix},&\quad V_2&=\begin{pmatrix} \varepsilon a_2&\hphantom{-}\varepsilon b_2\\ c_2&-\varepsilon a_2 \end{pmatrix},
&\quad V_a&=(\varepsilon\varrho\,\, \sigma)^\mathrm{T},&\quad V_b&=(\sigma\,\, -\varepsilon\varrho). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $h_2=\varepsilon\mu(p_1q_2+q_1p_2+p_2q_2-2\alpha\beta)$ – возмущение, $\mu$ – произвольная четная константа, $p_1, p_2, q_1, q_2$ – четные потенциалы, $\alpha, \beta$ – нечетные потенциалы, $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ – коммутативные поля, $\varrho, \sigma$ – антикоммутативные поля. Используя стационарное уравнение нулевой кривизны
$$
\begin{equation}
\kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V _x=\frac{\partial \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U }{\partial\lambda}\lambda_t+[ \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U , \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ],
\end{equation}
\tag{26}
$$
получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a_{1x}&=p_1c_{1}+\alpha\sigma+\beta\varrho-q_1b_{1}+\lambda_t,\\ b_{1x}&=2\varepsilon\lambda b_{1}+2\varepsilon h_2b_{1}-2\varepsilon p_1a_{1}-2\varepsilon \alpha\varrho,\\ c_{1x}&=-2\varepsilon\lambda c_{1}-2\varepsilon h_2c_{1}+2\varepsilon q_1a_{1}+2\beta\sigma,\\ a_{2x}&=(p_1+p_2)c_{2}-(q_1+q_2)b_{2}+p_2c_{1}-q_2b_{1}-\alpha\sigma-\beta\varrho,\\ b_{2x}&=2\varepsilon\lambda b_{2}-2\varepsilon(p_1+p_2)a_{2}-2\varepsilon p_2a_{1}+2\varepsilon \alpha\varrho+2\varepsilon h_2 b_{2},\\ c_{2x}&=-2\varepsilon\lambda c_{2}+2\varepsilon(q_1+q_2)a_{2}-2\varepsilon h_2 c_{2}+2\varepsilon q_2a_{1}-2\beta\sigma,\\ \varrho_{x}&=\varepsilon\lambda\varrho+\varepsilon h_2\varrho+p_1\sigma-\varepsilon\alpha a_1-\beta b_1,\\ \sigma_{x}&=-\varepsilon \sigma\lambda-\varepsilon h_2\sigma+\varepsilon q_1\varrho-\varepsilon\alpha c_1+\varepsilon\beta a_1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{27}
$$
Подставив разложения в ряд Лорана
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_k=\sum_{i=0}^\infty a_{ki} \lambda^{-i},\qquad b_k=\sum_{i=0}^\infty b_{ki} \lambda^{-i},\qquad c_k=\sum_{i=0}^\infty\ c_{ki} \lambda^{-i},\qquad k=1,2,\\ \varrho=\sum_{i=0}^\infty \varrho_{i} \lambda^{-i},\qquad \sigma=\sum_{i=0}^\infty \sigma_{i} \lambda^{-i} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
в (27), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a_{1i,x}&=p_1c_{1i}+\alpha\sigma_{i}+\beta\varrho_i-q_1b_{1i}+k_{i}(t),\\ b_{1i,x}&=2\varepsilon b_{1,i+1}+2\varepsilon h_2b_{1i}-2\varepsilon p_1a_{1i}-2\varepsilon \alpha\varrho_i,\\ c_{1i,x}&=-2\varepsilon c_{1,i+1}-2\varepsilon h_2c_{1i}+2\varepsilon q_1a_{1i}+2\beta\sigma_i,\\ a_{2i,x}&=(p_1+p_2)c_{2i}-(q_1+q_2)b_{2i}+p_2c_{1i}-q_2b_{1i}-\alpha\sigma_i-\beta\varrho_i,\\ b_{2i,x}&=2\varepsilon b_{2,i+1}-2\varepsilon(p_1+p_2)a_{2i}-2\varepsilon p_2a_{1i}+2\varepsilon \alpha\varrho_i+2\varepsilon h_2 b_{2i},\\ c_{2i,x}&=-2\varepsilon c_{2,i+1}+2\varepsilon(q_1+q_2)a_{2i}-2\varepsilon h_2 c_{2i}+2\varepsilon q_2a_{1i}-2\beta\sigma_i,\\ \varrho_{ix}&=\varepsilon\varrho_{i+1}+\varepsilon h_2\varrho_i+p_1\sigma_i-\varepsilon\alpha a_i-\beta b_i,\\ \sigma_{ix}&=-\varepsilon \sigma_{i+1}-\varepsilon h_2\sigma_i+\varepsilon q_1\varrho_i-\varepsilon\alpha c_i+\varepsilon\beta a_i. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{28}
$$
Используя приведенные выше соотношения рекурсии, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} c_{1,n+1}\\ b_{1,n+1}\\ \sigma_{n+1}\\ \varrho_{n+1}\\ c_{2,n+1}\\ b_{2,n+1} \end{pmatrix}= \kern1pt\overline{\vphantom{L}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt \begin{pmatrix} c_{1n}\\ b_{1n}\\ \sigma_{n}\\ \varrho_{n}\\ c_{2n}\\ b_{2n} \end{pmatrix}+k_n(t)x\begin{pmatrix} q_1\\ p_1\\ \beta\\ \alpha\\ q_{2}\\ p_2 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{29}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\kern1pt\overline{\vphantom{L}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt =\begin{pmatrix} \kern1pt\overline{\vphantom{L}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _{11}& \kern1pt\overline{\vphantom{L}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _{12}& \kern1pt\overline{\vphantom{L}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _{13}\\ \kern1pt\overline{\vphantom{L}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _{21}& \kern1pt\overline{\vphantom{L}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _{22}& \kern1pt\overline{\vphantom{L}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _{23}\\ \kern1pt\overline{\vphantom{L}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _{31}& \kern1pt\overline{\vphantom{L}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _{32}& \kern1pt\overline{\vphantom{L}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _{33} \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
причем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \kern1pt\overline{\vphantom{L}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _{11}&=\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2\varepsilon}\partial+q_1\partial^{-1}p_1-h_2&-q_1 \partial^{-1}q_1\\ p_1\partial^{-1}p_1&\dfrac{1}{2\varepsilon}\partial- p_1\partial^{-1}q_1-h_2 \end{pmatrix},\\ \kern1pt\overline{\vphantom{L}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _{12}&=\begin{pmatrix} q_1\partial^{-1}\alpha+\dfrac{1}{\varepsilon}\beta& q_1\partial^{-1}\beta\\ p_1\partial^{-1}\alpha&p_1\partial^{-1}\beta+\alpha \end{pmatrix},\\ \kern1pt\overline{\vphantom{L}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _{13}&=\begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix},\qquad \kern1pt\overline{\vphantom{L}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _{21}=\begin{pmatrix} -\alpha+\beta\partial^{-1}p_1&-\beta\partial^{-1}q_1\\ \alpha\partial^{-1}p_1&-\alpha\partial^{-1}q_1+\dfrac{1}{\varepsilon}\beta \end{pmatrix},\\ \kern1pt\overline{\vphantom{L}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _{22}&=\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{\varepsilon}\partial-h_2+\beta\partial^{-1}\alpha&q_1+\beta\partial^{-1}\beta\\ -\dfrac{1}{\varepsilon}p_1+\alpha\partial^{-1}\alpha&\dfrac{1}{\varepsilon}\partial-h_2+\alpha\partial^{-1}\beta \end{pmatrix},\qquad \kern1pt\overline{\vphantom{L}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _{23}=\begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix},\\ \kern1pt\overline{\vphantom{L}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _{31}&=\begin{pmatrix} (q_1+q_2)\partial^{-1}p_2+q_2\partial^{-1}p_1&-(q_1+q_2)\partial^{-1}q_2-q_2\partial^{-1}q_1 \\ (p_1+p_2)\partial^{-1}p_2+p_2\partial^{-1}p_1&-(p_1+p_2)\partial^{-1}q_2-p_2\partial^{-1}q_1 \end{pmatrix},\\ \kern1pt\overline{\vphantom{L}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _{32}&=\begin{pmatrix} -q_1\partial^{-1}\alpha-\dfrac{1}{\varepsilon}\beta&-q_1\partial^{-1}\beta\\ -p_1\partial^{-1}\alpha&-p_1\partial^{-1}\beta-\alpha \end{pmatrix},\\ \kern1pt\overline{\vphantom{L}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _{33}&=\begin{pmatrix} (q_1+q_2)\partial^{-1}(p_1+p_2)-\dfrac{1}{2\varepsilon}\partial-h_2&-(q_1+q_2)\partial^{-1}(q_1+q_2)\\ (p_1+p_2)\partial^{-1}(p_1+p_2)&-(p_1+p_2)\partial^{-1}(q_1+q_2)-h_2+\dfrac{1}{2\varepsilon}\partial \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выбрав начальные условия
$$
\begin{equation}
a_{10}=a_{20}=1, \qquad b_{10}=c_{10}=b_{20}=c_{20}=\varrho_0=\sigma_0=k_{0}(t)=0,
\end{equation}
\tag{30}
$$
имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, b_{11}={}&p_1,\qquad c_{11}=q_1,\qquad b_{21}=p_1+2p_2,\qquad c_{21}=q_1+2q_2,\\ \varrho_1={}&\alpha,\qquad \sigma_1=\beta,\qquad a_{11}=k_{1}(t)x,\qquad b_{12}=\frac{1}{2\varepsilon}p_{1x}-h_2p_1+k_{1}(t)xp_1,\\ c_{12}={}&-\frac{1}{2\varepsilon}q_{1x}-h_2q_1+k_{1}(t)xq_1,\qquad \varrho_2=\frac{1}{\varepsilon}\alpha _x+h_2\alpha+k_{1}(t)x\alpha,\\ \sigma_2={}&-\frac{1}{\varepsilon}\beta_x-h_2\beta+k_{1}(t)x\beta,\qquad a_{12}=-\frac{1}{2\varepsilon}p_1q_1+\frac{1}{\varepsilon}\beta\alpha+k_{2}(t)x,\\ a_{22}={}&-\frac{1}{2\varepsilon}p_1q_1-\frac{1}{\varepsilon}p_2q_2-\frac{1}{\varepsilon}q_1p_2-\frac{1}{\varepsilon}p_1q_2+\frac{1}{\varepsilon}\alpha\beta,\\ b_{13}={}&\frac{1}{4\varepsilon^{2}}p_{1,xx}-\frac{1}{2\varepsilon}h_{2x}p_1 -\frac{1}{\varepsilon}h_2p_{1x}+h_2^{2}p_1-\frac{1}{2\varepsilon}p_1^{2}q_1+\frac{1}{\varepsilon}p_1\beta\alpha+\frac{1}{\varepsilon}\alpha\alpha_x+{} \\ &+k_{1}(t)\biggl(\frac{1}{2\varepsilon}p_{1x}x+\frac{1}{2\varepsilon}p_1-h_2p_1x\biggr)+p_1k_{2}(t)x,\\ c_{13}={}&\frac{1}{4\varepsilon^{2}}q_{1,xx}+\frac{1}{2\varepsilon}h_xq_1 +\frac{1}{\varepsilon}hq_{1x}+h^{2}q_1-\frac{1}{2\varepsilon}q_1^{2}p_1+\frac{1}{\varepsilon}q_1\beta\alpha-\frac{1}{\varepsilon}\beta\beta_x+{} \\ &+k_{1}(t)\biggl(-\frac{1}{2\varepsilon}q_{1x}x-\frac{1}{2\varepsilon}q_1-hq_1x\biggr)+q_1k_{2}(t)x,\\ b_{23}={}&\frac{1}{4\varepsilon^{2}}p_{1,xx}+2p_{2,xx}-\frac{1}{2\varepsilon}(h_xp_1+hp_{1x}+2h_xp_2+2hp_{2x})+{} \\ &+k_1(t)\biggl(\frac{1}{2\varepsilon}p_{2x}x+\frac{1}{2\varepsilon}p_2-hp_2x\biggr)+p_2k_2(t)x,\\ c_{23}={}&\frac{1}{4\varepsilon^{2}}q_{1,xx}+\frac{1}{2\varepsilon^{2}}q_{2,xx}+\frac{1}{2\varepsilon}(h_xq_1-p_1q_1^{2})+\frac{1}{\varepsilon}(h_xq_2+2hq_{2x}+hq_{1x}+{} \\ &+q_1\alpha\beta-2q_2p_1q_1-2q_1p_2q_2-q_2^{2}p_2-p_1q_2^{2})+h^{2}q_1+2h^{2}q_2+\frac{1}{\varepsilon^{2}}\beta\beta_x+{} \\ &+k_1(t)\biggl(-\frac{1}{2\varepsilon}q_{2x}x-\frac{1}{2\varepsilon}q_2-hq_2x\biggr)+q_2k_2(t)x,\\ \varrho_3={}&\frac{1}{\varepsilon^{2}}\alpha_{xx}-\frac{1}{\varepsilon}h_x\alpha -\frac{2}{\varepsilon}h\alpha_x+h^{2}\alpha+\frac{1}{\varepsilon^{2}}p_1\beta_x-\frac{1}{2\varepsilon}\alpha p_1q_1+\frac{1}{2\varepsilon^{2}}\beta p_{1x}+{} \\ &+k_{1}(t)\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\alpha_xx+\frac{1}{\varepsilon}\alpha-h\alpha x\biggr)+\alpha k_{2}(t)x,\\ \sigma_3={}&\frac{1}{\varepsilon^{2}}\beta_{1,xx}+\frac{1}{\varepsilon}h_x\beta +\frac{2}{\varepsilon}h\beta_x+h^{2}\beta+\frac{1}{\varepsilon}q_1\alpha_x+\frac{1}{2\varepsilon}\alpha q_{1x}-\frac{1}{2\varepsilon}\beta p_1q_1+{} \\ &+k_{1}(t)\biggl(-\frac{1}{\varepsilon}\beta_xx-\frac{1}{\varepsilon}\beta-h\beta x\biggr)+\beta k_{2}(t)x. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Введем временну́ю спектральную задачу
$$
\begin{equation*}
\psi_{t_n}= \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(n)}\psi,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(n)}= \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V _+^{(n)}+\Delta_{2n}=\sum\limits_{i=0}^n\begin{pmatrix} \varepsilon a_{1i}&\varepsilon b_{1i}&\varepsilon a_{2i}&\varepsilon b_{2i}&\varepsilon\varrho_i\\ c_{1i}&-\varepsilon a_{1i}&c_{2i}&-\varepsilon a_{2i}&\sigma_i\\ 0&0&\varepsilon(a_{1i}+a_{2i})&\varepsilon(b_{1i}+b_{2i})&0\\ 0&0&c_{1i}+c_{2i}&-\varepsilon(a_{1i}+a_{2i})&0\\ \sigma_i&-\varepsilon\varrho_i&-\sigma_i&\varepsilon\varrho_i&0 \end{pmatrix}\lambda^{n-i}+\Delta_{2n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\Delta_{2n}=\begin{pmatrix} \varepsilon H_2&0&0&0&0\\ 0&-\varepsilon H_2&0&0&0\\ 0&0&\varepsilon H_2&0&0\\ 0&0&0&-\varepsilon H_2&0\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
$\Delta_{2n}$ – модификационный член. Используя уравнение нулевой кривизны
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U }{\partial \bar u}\bar u_{t}- \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V _{x}^{(n)}+\frac{\partial \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U }{\partial \lambda}\lambda_{t}^{(n)}+[ \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U , \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(n)}]=0,\qquad n\geqslant0,
\end{equation}
\tag{31}
$$
получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h_{2,t_n}&=H_{2x},\\ p_{1,t_n}&=b_{1n,x}-2\varepsilon hb_{1n}+2\varepsilon p_1a_{1n}+2\varepsilon\alpha\varrho_n+2\varepsilon p_1H_2=2\varepsilon b_{1,n+1}+2\varepsilon p_1H_2,\\ q_{1,t_n}&=c_{1n,x}-2\varepsilon q_{1}a_{1n}+2\varepsilon hc_{1n}-2\beta\sigma_n-2\varepsilon q_1H_2=-2\varepsilon c_{1,n+1}-2\varepsilon q_1H_2,\\ p_{2,t_n}&=b_{2n,x}-2\varepsilon hb_{2n}+2\varepsilon p_1a_{2n}+2\varepsilon ha_{1n}+2\varepsilon ha_{2n}-2\varepsilon\alpha\varrho_n+2\varepsilon p_2H_2={} \\ &=2\varepsilon b_{2,n+1}+2\varepsilon p_2H_2,\\ q_{2,t_n}&=c_{2n,x}-2\varepsilon q_1a_{2n}+2\varepsilon hc_{2n}-2\varepsilon q_2a_{1n}-2\varepsilon q_2a_{2n}+2\beta\sigma_n-2\varepsilon q_2H_2={} \\ &=-2\varepsilon c_{2,n+1}-2\varepsilon q_2H_2,\\ \alpha_{t_n}&=\varrho_{n,x}-\varepsilon h\varrho_n-p_1\sigma_n+\varepsilon a_{1n}\alpha+b_{1n}\beta+\varepsilon \alpha H_2=\varepsilon \varrho_{n+1}+\varepsilon \alpha H_2,\\ \beta_{t_n}&=\sigma_{n,x}-\varepsilon\beta a_{1n}+\varepsilon\alpha c_{1n}+\varepsilon h \sigma_n-\varepsilon q_1\varrho_n-\varepsilon \beta H_2=-\varepsilon \sigma_{n+1}-\varepsilon\beta H_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя приведенные выше результаты, имеем тождество
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (p_1q_2+q_1p_2+p_2q_2-2\alpha\beta)_{t_{n}} ={}&-2\varepsilon((p_1+p_2)c_{2,n+1}-(q_1+q_2)b_{2,n+1}+p_2c_{1,n+1}-{} \\ &-q_2b_{1,n+1}+\alpha\sigma_{n+1}+\beta\varrho_{n+1})=-2\varepsilon (a_{2,n+1})_{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы получаем $H_{2}=-2\mu\varepsilon^{2}a_{2,n+1}$. Связанная неизоспектральная обобщенная супериерархия АКНС выводится в следующем виде:
$$
\begin{equation}
u_{t_n}=\begin{pmatrix} p_1\\ q_1\\ \alpha\\ \beta\\ p_2\\ q_2 \end{pmatrix}_{t_n}=\begin{pmatrix} 2\varepsilon b_{1,n+1}-4\varepsilon^{3}\mu p_1a_{2,n+1}\\ -2\varepsilon c_{1,n+1}+4\varepsilon^{3}\mu q_1a_{2,n+1}\\ \varepsilon\varrho_{n+1}-2\varepsilon^{3}\mu\alpha a_{2,n+1}\\ -\varepsilon \sigma_{n+1}+2\varepsilon^{3}\mu \beta a_{2,n+1}\\ 2\varepsilon b_{2,n+1}-4\varepsilon^{3}\mu p_2a_{2,n+1}\\ -2\varepsilon c_{2,n+1}+4\varepsilon^{3}\mu q_2a_{2,n+1} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{32}
$$
В случае $n=2$ в (32) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, p_{1,t_2}={}&\frac{1}{2\varepsilon}p_{1,xx}-h_{2x}p_1-2h_2p_{1x}+2\varepsilon h_{2}^{2}p_1-p_{1}^{2}q_1+2p_1\beta\alpha+2\alpha\alpha_{x}+2\varepsilon^{2}\mu p_1k_1(t)\times{} \\ &\times[p_1q_2x+p_2q_2x+p_2q_1x+2\beta\alpha x+\partial^{-1}(p_1q_2+p_2q_2+p_2q_1+2\beta\alpha)]+{} \\ &+k_1(t)(p_{1x}x+p_1-2\varepsilon h_2p_1x)+2\varepsilon p_1k_2(t)x,\\ q_{1,t_2}={}&-\frac{1}{2\varepsilon}q_{1,xx}-h_{2x}q_1-2h_2q_{1x}+2\varepsilon h_{2}^{2}q_1+p_{1}q_1^{2}-2q_1\beta\alpha+{} \\ &+\dfrac{2}{\varepsilon}\beta\beta_x+2h_2\beta^{2}-2\varepsilon^{2}\mu q_1k_1(t)\times{} \\ &\times [p_1q_2x+p_2q_2x+p_2q_1x+2\beta\alpha x+\partial^{-1}(p_1q_2+p_2q_2+p_2q_1+2\beta\alpha)]+{} \\ &+k_1(t)(q_{1x}x+q_1-2\varepsilon h_2q_1x)-2\varepsilon q_1k_2(t)x,\\ \alpha_{t_2}={}&\frac{1}{\varepsilon}\alpha_{xx}-h_{2x}\alpha-2h_{2}\alpha_x+\varepsilon h_2^{2}\alpha+\frac{1}{\varepsilon}p_1\beta_x-\frac{1}{2}\alpha p_1q_1+\frac{1}{2\varepsilon}\beta p_{1x}+\varepsilon^{2}\mu \alpha k_1(t)\times{} \\ &\times [p_1q_2x+p_2q_2x+p_2q_1x+2\beta\alpha x-\partial^{-1}(p_1q_2+p_2q_2+p_2q_1+2\beta\alpha)]+{} \\ &+k_1(t)(\alpha_{x}x+\alpha-\varepsilon h_2\alpha x)+\varepsilon \alpha k_2(t)x,\\ \beta_{t_2}={}&-\frac{1}{\varepsilon}\beta_{xx}-h_{2x}\beta-2h_{2}\beta_x+\varepsilon h_2^{2}\beta+\frac{1}{2}\beta p_1q_1-\frac{1}{2}\alpha q_{1x}-q_1\alpha_x-\varepsilon^{2}\mu \beta k_1(t)\times{} \\ &\times [p_1q_2x+p_2q_2x+p_2q_1x+2\beta\alpha x-\partial^{-1}(p_1q_2+p_2q_2+p_2q_1+2\beta\alpha)]+{} \\ &+k_1(t)(\beta_{x}x+\beta+\varepsilon h_2\beta x)-\varepsilon \beta k_2(t)x,\\ p_{2,t_2}={}&\frac{1}{2\varepsilon}(p_{1,xx}+2p_{2,xx})-h_{2x}p_1-h_{2}p_{1x}-h_2p_{1x}-2h_{2x}p_2-2h_2p_{2x}+2\varepsilon^{2}\mu p_2k_1(t)\times{} \\ &\times[p_1q_2x+p_2q_2x+p_2q_1x+2\beta\alpha x-\partial^{-1}(p_1q_2+p_2q_2+p_2q_1+2\beta\alpha)]+{} \\ &+k_1(t)(p_{2x}x+p_2-2\varepsilon h_2p_2x)+2\varepsilon p_2k_2(t)x,\\ q_{2,t_2}={}&-\frac{1}{2\varepsilon}(q_{1,xx}+2q_{2,xx})-h_{2x}q_1-h_{2}p_{1x}-4h_2q_{2x}-2h_{2x}q_2+4q_2p_1q_1+{} \\ &+4p_2q_2q_1+p_1q_1^{2}+2q_2^{2}p_2+2q_1^{2}p_2-h_2q_{1x}-2\varepsilon h_2^{2}-4\varepsilon h_2^{2}q_2-\frac{2}{\varepsilon}\beta\beta_x-2q_1\alpha\beta-{} \\ &-2\varepsilon^{2}\mu q_2k_1(t) [p_1q_2x+p_2q_2x+p_2q_1x+2\beta\alpha x-\partial^{-1}(p_1q_2+p_2q_2+{} \\ &+p_2q_1+2\beta\alpha)]+k_1(t)(q_{2x}x+q_2-2\varepsilon h_2q_2x)-2\varepsilon q_2k_2(t)x, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(n)}=\begin{pmatrix} \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{11}& \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{12}& \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{13}& \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{14}& \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{15}\\ \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{21}& - \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{11}& \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{23}& - \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{13}& \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{25}\\ 0&0& \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{11}+ \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{13}& \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{12}+ \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{14}&0\\ 0& 0& \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{21}+ \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{23}&- \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{11}- \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{13}&0\\ \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{25}& - \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{15}&- \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{25}& \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{15}&0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{33}
$$
причем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{11}={}&-2\varepsilon\mu\beta_{xx}-2\varepsilon^{2}\mu h_{2x}\beta-4\varepsilon^{2}\mu h_2\beta_x-2\varepsilon^{2}\mu q_1\alpha_x-\varepsilon^{2}\mu\alpha q_{1x}+\varepsilon^{2}\mu\beta p_1q_1-{} \\ &-2\varepsilon^{3}\mu h_{2}^{2}\beta-\frac{1}{2}p_1q_1+\beta\alpha+\lambda^{2}+k_1(t)(2\varepsilon^{2}\mu \beta_xx+2\varepsilon^{2}\mu\beta+{} \\ &+2\varepsilon^{3}\mu h_2\beta x+\varepsilon\lambda x)+k_2(t)x(\varepsilon-2\varepsilon^{3}\mu\beta),\\ \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{12}={}&\frac{1}{2}p_{1x}-\varepsilon h_2p_1+\varepsilon p_1\lambda+\varepsilon p_1k_1(t)x,\\ \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{13}={}&-\beta_x-\varepsilon h_2\beta+\varepsilon \lambda^{2}+\varepsilon\beta k_1(t)x,\\ \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{14}={}&\frac{1}{2}(p_1x+2p_2x)-\varepsilon h_2(p_1+2p_2)+\varepsilon\lambda(p_1+2p_2)+\varepsilon p_2k_1(t)x,\\ \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{15}={}&\alpha_x-\varepsilon h_2\alpha+\varepsilon\alpha\lambda+\varepsilon\alpha k_1(t)x,\\ \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{21}={}&-\frac{1}{2\varepsilon}q_{1x}-h_2q_1+q_1\lambda+q_1 k_1(t)x,\\ \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{23}={}&-\frac{1}{2\varepsilon}(q_{1x}+2q_{2x})-h_2(q_1+2q_2)+(q_1+2q_2)\lambda+q_2 k_1(t)x,\\ \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ^{(2)}_{25}={}&-\frac{1}{\varepsilon}\beta_x-h_2\beta+\beta\lambda+\beta k_1(t)x. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{34}
$$
4.1. Супергамильтонова структураИз (25) прямым вычислением получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bigg\langle \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ,\frac{\partial \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U }{\partial \lambda}\bigg\rangle&=4\varepsilon^{2}a_1+2\varepsilon^{2}a_2,\qquad \bigg\langle \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ,\frac{\partial \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U }{\partial p_1}\bigg\rangle=2\varepsilon^{3}\mu q_2(2a_1+a_2)+\varepsilon(2c_1+c_2),\\ \bigg\langle \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ,\frac{\partial \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U }{\partial q_1}\bigg\rangle&=2\varepsilon^{3}\mu p_2(2a_1+a_2)+\varepsilon(2b_1+b_2),\\ \bigg\langle \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ,\frac{\partial \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U }{\partial p_2}\bigg\rangle&=2\varepsilon^{3}\mu (q_1+q_2)(2a_1+a_2)+\varepsilon(c_1+c_2),\\ \bigg\langle \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ,\frac{\partial \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U }{\partial q_2}\bigg\rangle&=2\varepsilon^{3}\mu (p_1+p_2)(2a_1+a_2)+\varepsilon(b_1+b_2),\\ \bigg\langle \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ,\frac{\partial \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U }{\partial \alpha}\bigg\rangle&=-4\varepsilon^{3}\mu \beta(2a_1+a_2)+2\varepsilon\sigma,\qquad \bigg\langle \kern1.1pt\overline{\vphantom{V}\kern6.3pt}\kern-7.4pt V ,\frac{\partial \kern1.1pt\overline{\vphantom{U}\kern6.3pt}\kern-7.4pt U }{\partial \beta}\bigg\rangle=4\varepsilon^{3}\mu \alpha(2a_1+a_2)-2\varepsilon\varrho. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставив приведенные выше результаты в тождество суперследа, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\delta}{\delta u}\int(4\varepsilon^{2}a_{1,n+2}+{}&2\varepsilon^{2}a_{2,n+2})\,dx=(\gamma-n-1)\times{} \notag \\ &\times \begin{pmatrix} 2\varepsilon^{3}\mu q_2(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})+\varepsilon (2c_{1,n+1}+c_{2,n+1})\\ 2\varepsilon^{3}\mu p_2(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})+\varepsilon (2b_{1,n+1}+b_{2,n+1})\\ -4\varepsilon^{3}\mu\beta(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})+2\varepsilon\sigma_{n}\\ 4\varepsilon^{3}\mu\alpha(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})-2\varepsilon\varrho_{n}\\ 2\varepsilon^{3}\mu(q_1+q_2)(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})+\varepsilon c_{1,n+1}+\varepsilon c_{2,n+1}\\ 2\varepsilon^{3}\mu(p_1+p_2)(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})+\varepsilon b_{1,n+1}+\varepsilon b_{2,n+1} \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{35}
$$
Подставив $n=0$ в (35), имеем $\gamma=0$. Таким образом, мы получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{pmatrix} 2\varepsilon^{3}\mu q_2(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})+\varepsilon (2c_{1,n+1}+c_{2,n+1})\\ 2\varepsilon^{3}\mu p_2(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})+\varepsilon (2b_{1,n+1}+b_{2,n+1})\\ -4\varepsilon^{3}\mu\beta(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})+2\varepsilon\sigma_{n}\\ 4\varepsilon^{3}\mu\alpha(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})-2\varepsilon\varrho_{n}\\ 2\varepsilon^{3}\mu(q_1+q_2)(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})+\varepsilon c_{1,n+1}+\varepsilon c_{2,n+1}\\ 2\varepsilon^{3}\mu(p_1+p_2)(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})+\varepsilon b_{1,n+1}+\varepsilon b_{2,n+1} \end{pmatrix}=\frac{\delta \kern2.0pt\overline{\vphantom{U}\kern6.8pt}\kern-8.8pt H _{n+1}}{\delta u},\\ \kern2.0pt\overline{\vphantom{U}\kern6.8pt}\kern-8.8pt H _{n+1}=-\int\frac{2\varepsilon^{2}}{n+1}(2a_{1,n+2}+a_{2,n+2})\,dx. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, прямое вычисление позволяет получить рекурсивное соотношение в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \begin{pmatrix} c_{1,n+1}\\ b_{1,n+1}\\ \sigma_{n+1}\\ \varrho_{n+1}\\ c_{2,n+1}\\ b_{2,n+1} \end{pmatrix}={}& \kern1.6pt\overline{\vphantom{R}\kern5.4pt}\kern-7.0pt R \begin{pmatrix} 2\varepsilon^{3}\mu q_2(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})+\varepsilon (2c_{1,n+1}+c_{2,n+1})\\ 2\varepsilon^{3}\mu p_2(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})+\varepsilon (2b_{1,n+1}+b_{2,n+1})\\ -4\varepsilon^{3}\mu\beta(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})+2\varepsilon\sigma_{n+1}\\ 4\varepsilon^{3}\mu\alpha(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})-2\varepsilon\varrho_{n+1}\\ 2\varepsilon^{3}\mu(q_1+q_2)(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})+\varepsilon c_{1,n+1}+\varepsilon c_{2,n+1}\\ 2\varepsilon^{3}\mu(p_1+p_2)(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})+\varepsilon b_{1,n+1}+\varepsilon b_{2,n+1} \end{pmatrix}+{} \notag \\ &+k_{n+1}(t)x\begin{pmatrix} 4\varepsilon^{2}\mu q_1\\ 4\varepsilon^{2}\mu p_1\\ 4\varepsilon^{2}\mu \beta\\ 4\varepsilon^{2}\mu \alpha\\ -4\varepsilon^{2}\mu(2q_1+q_2)\\ -4\varepsilon^{2}\mu(2p_1+p_2)\\ \end{pmatrix},\qquad \kern1.6pt\overline{\vphantom{R}\kern5.4pt}\kern-7.0pt R =\begin{pmatrix} \kern1.6pt\overline{\vphantom{R}\kern5.4pt}\kern-7.0pt R _{11}& \kern1.6pt\overline{\vphantom{R}\kern5.4pt}\kern-7.0pt R _{12}& \kern1.6pt\overline{\vphantom{R}\kern5.4pt}\kern-7.0pt R _{13}\\ \kern1.6pt\overline{\vphantom{R}\kern5.4pt}\kern-7.0pt R _{21}& \kern1.6pt\overline{\vphantom{R}\kern5.4pt}\kern-7.0pt R _{22}& \kern1.6pt\overline{\vphantom{R}\kern5.4pt}\kern-7.0pt R _{23}\\ \kern1.6pt\overline{\vphantom{R}\kern5.4pt}\kern-7.0pt R _{31}& \kern1.6pt\overline{\vphantom{R}\kern5.4pt}\kern-7.0pt R _{32}& \kern1.6pt\overline{\vphantom{R}\kern5.4pt}\kern-7.0pt R _{33} \end{pmatrix}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{36}
$$
причем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \kern1.6pt\overline{\vphantom{R}\kern5.4pt}\kern-7.0pt R _{11}&=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\varepsilon}+2\varepsilon\mu q_1\partial^{-1}p_1&-2\varepsilon\mu q_1\partial^{-1}q_1\\ 2\varepsilon\mu p_1\partial^{-1}p_1&\dfrac{1}{\varepsilon}-2\varepsilon\mu p_1\partial^{-1}q_1, \end{pmatrix},\quad \kern1.6pt\overline{\vphantom{R}\kern5.4pt}\kern-7.0pt R _{12}=\begin{pmatrix} \varepsilon\mu q_1\partial^{-1}\alpha&- \varepsilon\mu q_1\partial^{-1}\beta\\ \varepsilon\mu p_1\partial^{-1}\alpha&-\varepsilon\mu p_1\partial^{-1}\beta, \end{pmatrix},\\ \kern1.6pt\overline{\vphantom{R}\kern5.4pt}\kern-7.0pt R _{13}&=\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{\varepsilon}+2\varepsilon\mu q_1\partial^{-1}p_2& -2\varepsilon\mu q_1\partial^{-1}q_2\\ 2\varepsilon\mu p_1\partial^{-1}p_2&-\dfrac{1}{\varepsilon}-2\varepsilon\mu p_1\partial^{-1}q_2, \end{pmatrix},\\ \kern1.6pt\overline{\vphantom{R}\kern5.4pt}\kern-7.0pt R _{21}&=\begin{pmatrix} 2\varepsilon\mu \beta\partial^{-1}p_1&-2\varepsilon\mu \beta\partial^{-1}q_1\\ 2\varepsilon\mu \alpha\partial^{-1}p_1&-2\varepsilon\mu \alpha\partial^{-1}q_1, \end{pmatrix},\\ \kern1.6pt\overline{\vphantom{R}\kern5.4pt}\kern-7.0pt R _{22}&=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2\varepsilon}+\varepsilon\mu \beta\partial^{-1}\alpha&-\varepsilon\mu\beta\partial^{-1}\beta\\ \varepsilon\mu \alpha\partial^{-1}\alpha&-\dfrac{1}{2\varepsilon}-\varepsilon\mu\alpha\partial^{-1}\beta, \end{pmatrix},\quad \kern1.6pt\overline{\vphantom{R}\kern5.4pt}\kern-7.0pt R _{23}=\begin{pmatrix} 2\varepsilon\mu \beta\partial^{-1}p_2&-2\varepsilon\mu\beta\partial^{-1}q_2\\ 2\varepsilon\mu \alpha\partial^{-1}p_2&-2\varepsilon\mu\alpha\partial^{-1}q_2, \end{pmatrix},\\ \kern1.6pt\overline{\vphantom{R}\kern5.4pt}\kern-7.0pt R _{31}&=\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{\varepsilon}-2\varepsilon\mu (2q_1+q_2)\partial^{-1}p_1&2\varepsilon\mu(2q_1+q_2)\partial^{-1}q_1\\ (2p_1+p_2)\partial^{-1}p_1&-\dfrac{1}{\varepsilon}+2\varepsilon\mu(2p_1+p_2)\partial^{-1}q_1, \end{pmatrix},\\ \kern1.6pt\overline{\vphantom{R}\kern5.4pt}\kern-7.0pt R _{32}&=\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{\varepsilon}-2\varepsilon\mu -\varepsilon\mu (2q_1+q_2)\partial^{-1}\alpha&\varepsilon\mu(2q_1+q_2)\partial^{-1}\beta\\ -\varepsilon\mu (2p_1+p_2)\partial^{-1}\alpha&\varepsilon\mu(2p_1+p_2)\partial^{-1}\beta, \end{pmatrix},\\ \kern1.6pt\overline{\vphantom{R}\kern5.4pt}\kern-7.0pt R _{33}&=\begin{pmatrix} \dfrac{2}{\varepsilon}-2\varepsilon\mu (2q_1+q_2)\partial^{-1}p_2&2\varepsilon\mu(2q_1+q_2)\partial^{-1}q_2\\ -\varepsilon\mu -2\varepsilon\mu (2p_1+p_2)\partial^{-1}p_2&\dfrac{2}{\varepsilon}+2\varepsilon\mu(2p_1+p_2)\partial^{-1}q_2 \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы получаем неизоспектральную обобщенную супериерархию АКНС следующего вида:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bar u_{t_n}={}&\begin{pmatrix} p_1\\ q_1\\ \alpha\\ \beta\\ p_2\\ q_2 \end{pmatrix}_{t_n}= \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q \begin{pmatrix} c_{1,n+1}\\ b_{1,n+1}\\ \sigma_{n+1}\\ \varrho_{n+1}\\ c_{2,n+1}\\ b_{2,n+1} \end{pmatrix}={} \notag \\ ={}& \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q \kern1.6pt\overline{\vphantom{R}\kern5.4pt}\kern-7.0pt R \begin{pmatrix} 2\varepsilon^{3}\mu q_2(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})+\varepsilon (2c_{1,n+1}+c_{2,n+1})\\ 2\varepsilon^{3}\mu p_2(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})+\varepsilon (2b_{1,n+1}+b_{2,n+1})\\ -4\varepsilon^{3}\mu\beta(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})+2\varepsilon\sigma_{n+1}\\ 4\varepsilon^{3}\mu\alpha(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})-2\varepsilon\varrho_{n+1}\\ 2\varepsilon^{3}\mu(q_1+q_2)(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})+\varepsilon c_{1,n+1}+\varepsilon c_{2,n+1}\\ 2\varepsilon^{3}\mu(p_1+p_2)(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})+\varepsilon b_{1,n+1}+\varepsilon b_{2,n+1} \end{pmatrix}+{} \notag\\ &+ \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q k_{n+1}(t)x\begin{pmatrix} 4\varepsilon^{2}\mu q_1\\ 4\varepsilon^{2}\mu p_1\\ 4\varepsilon^{2}\mu \beta\\ 4\varepsilon^{2}\mu \alpha\\ -4\varepsilon^{2}\mu(2q_1+q_2)\\ -4\varepsilon^{2}\mu(2p_1+p_2)\\ \end{pmatrix}=:{} \notag \\ =:{}& \kern1.1pt{\vphantom{J}\kern5.2pt}\kern-6.4pt J\kern0.1pt \begin{pmatrix} 2\varepsilon^{3}\mu q_2(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})+\varepsilon (2c_{1,n+1}+c_{2,n+1})\\ 2\varepsilon^{3}\mu p_2(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})+\varepsilon (2b_{1,n+1}+b_{2,n+1})\\ -4\varepsilon^{3}\mu\beta(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})+2\varepsilon\sigma_{n+1}\\ 4\varepsilon^{3}\mu\alpha(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})-2\varepsilon\varrho_{n+1}\\ 2\varepsilon^{3}\mu(q_1+q_2)(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})+\varepsilon c_{1,n+1}+\varepsilon c_{2,n+1}\\ 2\varepsilon^{3}\mu(p_1+p_2)(2a_{1,n+1}+a_{2,n+1})+\varepsilon b_{1,n+1}+\varepsilon b_{2,n+1} \end{pmatrix}+{} \notag \\ &+ \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q k_{n+1}(t)x\begin{pmatrix} 4\varepsilon^{2}\mu q_1\\ 4\varepsilon^{2}\mu p_1\\ 4\varepsilon^{2}\mu \beta\\ 4\varepsilon^{2}\mu \alpha\\ -4\varepsilon^{2}\mu(2q_1+q_2)\\ -4\varepsilon^{2}\mu(2p_1+p_2)\\ \end{pmatrix}=:{} \notag \\ =:{}& \kern1.1pt{\vphantom{J}\kern5.2pt}\kern-6.4pt J\kern0.1pt \frac{\delta \kern2.0pt\overline{\vphantom{U}\kern6.8pt}\kern-8.8pt H _{n+1}}{\delta u}+ \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q k_{n+1}(t)x\begin{pmatrix} 4\varepsilon^{2}\mu q_1\\ 4\varepsilon^{2}\mu p_1\\ 4\varepsilon^{2}\mu \beta\\ 4\varepsilon^{2}\mu \alpha\\ -4\varepsilon^{2}\mu(2q_1+q_2)\\ -4\varepsilon^{2}\mu(2p_1+p_2)\\ \end{pmatrix}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{37}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ={}& \left(\begin{matrix} -4\varepsilon^{3}\mu p_1\partial^{-1}p_2&2\varepsilon+4\varepsilon^{3}\mu p_1\partial^{-1}p_2&4\varepsilon^{3}\mu p_1\partial^{-1}\alpha\\ 4\varepsilon^{3}\mu q_1\partial^{-1}p_2-2\varepsilon&-4\varepsilon^{3}\mu q_1\partial^{-1}q_2&-4\varepsilon^{3}\mu q_1\partial^{-1}\alpha\\ -2\varepsilon^{3}\mu\alpha\partial^{-1}p_2&2\varepsilon^{3}\mu\alpha\partial^{-1}q_2&2\varepsilon^{3}\mu\alpha\partial^{-1}\alpha\\ 2\varepsilon^{3}\mu\beta\partial^{-1}p_2&-2\varepsilon^{3}\mu\beta\partial^{-1}q_2&-2\varepsilon^{3}\mu\beta\partial^{-1}\alpha-\varepsilon\\ -4\varepsilon^{3}\mu p_2\partial^{-1}p_2&4\varepsilon^{3}\mu p_2\partial^{-1}q_2&4\varepsilon^{3}\mu p_2\partial^{-1}\alpha\\ 4\varepsilon^{3}\mu q_2\partial^{-1}p_2&-4\varepsilon^{3}\mu q_2\partial^{-1}q_2&-4\varepsilon^{3}\mu q_2\partial^{-1}\alpha \end{matrix} \right. \\ &\qquad\qquad \left.\begin{matrix} 4\varepsilon^{3}\mu p_1\partial^{-1}\beta&-4\varepsilon^{3}\mu p_1\partial^{-1}(p_1+p_2)&4\varepsilon^{3}\mu p_1\partial^{-1}(q_1+q_2)\\ -4\varepsilon^{3}\mu q_1\partial^{-1}\beta& 4\varepsilon^{3}\mu q_1\partial^{-1}(p_1+p_2)&-4\varepsilon^{3}\mu q_1\partial^{-1}(q_1+q_2)\\ \varepsilon+2\varepsilon^{3}\mu\alpha\partial^{-1}\beta&-2\varepsilon^{3}\mu\alpha\partial^{-1}(p_1+p_2)&2\varepsilon^{3}\mu\alpha\partial^{-1}(q_1+q_2)\\ -2\varepsilon^{3}\mu\beta\partial^{-1}\beta&2\varepsilon^{3}\mu\beta\partial^{-1}(p_1+p_2)&-2\varepsilon^{3}\mu\beta\partial^{-1}(q_1+q_2)\\ 4\varepsilon^{3}\mu p_2\partial^{-1}\beta&-4\varepsilon^{3}\mu p_2\partial^{-1}(p_1+p_2)&4\varepsilon^{3}\mu p_2\partial^{-1}(q_1+q_2)+2\varepsilon\\ -4\varepsilon^{3}\mu q_2\partial^{-1}\beta&4\varepsilon^{3}\mu q_2\partial^{-1}(p_1+p_2)-2\varepsilon&-4\varepsilon^{3}\mu q_2\partial^{-1}(q_1+q_2) \end{matrix}\right). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы также получаем супергамильтоновы операторы
$$
\begin{equation*}
\kern1.1pt{\vphantom{J}\kern5.2pt}\kern-6.4pt J\kern0.1pt =\begin{pmatrix} \hphantom{-} \kern1.1pt{\vphantom{J}\kern5.2pt}\kern-6.4pt J\kern0.1pt _{1}&\hphantom{-} \kern1.1pt{\vphantom{J}\kern5.2pt}\kern-6.4pt J\kern0.1pt _{2}&- \kern1.1pt{\vphantom{J}\kern5.2pt}\kern-6.4pt J\kern0.1pt _{1}\\ \hphantom{-} \kern1.1pt{\vphantom{J}\kern5.2pt}\kern-6.4pt J\kern0.1pt _{4}&\hphantom{-} \kern1.1pt{\vphantom{J}\kern5.2pt}\kern-6.4pt J\kern0.1pt _{3}&- \kern1.1pt{\vphantom{J}\kern5.2pt}\kern-6.4pt J\kern0.1pt _{4}\\ - \kern1.1pt{\vphantom{J}\kern5.2pt}\kern-6.4pt J\kern0.1pt _{1}&- \kern1.1pt{\vphantom{J}\kern5.2pt}\kern-6.4pt J\kern0.1pt _{2}&\hphantom{-} \kern1.1pt{\vphantom{J}\kern5.2pt}\kern-6.4pt J\kern0.1pt _{5} \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
причем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \kern1.1pt{\vphantom{J}\kern5.2pt}\kern-6.4pt J\kern0.1pt _{1}&=\begin{pmatrix} 8\varepsilon^{2}\mu p_1\partial^{-1}p_1&-8\varepsilon^{2}\mu p_1\partial^{-1}q_1+2\\ -8\varepsilon^{2}\mu q_1\partial^{-1}p_1-2&8\varepsilon^{2}\mu q_1\partial^{-1}q_1 \end{pmatrix},\\ \kern1.1pt{\vphantom{J}\kern5.2pt}\kern-6.4pt J\kern0.1pt _{2}&=\begin{pmatrix} 4\varepsilon^{2}\mu p_1\partial^{-1}\alpha&-4\varepsilon^{2}\mu p_1\partial^{-1}\beta\\ -4\varepsilon^{2}\mu q_1\partial^{-1}\alpha&4\varepsilon^{2}\mu q_1\partial^{-1}\beta \end{pmatrix},\\ \kern1.1pt{\vphantom{J}\kern5.2pt}\kern-6.4pt J\kern0.1pt _{3}&=\begin{pmatrix} 2\varepsilon^{2}\mu \alpha\partial^{-1}\alpha&-2\varepsilon^{2}\mu \alpha\partial^{-1}\beta-\dfrac{1}{2}\\ -2\varepsilon^{2}\mu \beta\partial^{-1}\alpha-\dfrac{1}{2}&2\varepsilon^{2}\mu\beta\partial^{-1}\beta \end{pmatrix},\\ \kern1.1pt{\vphantom{J}\kern5.2pt}\kern-6.4pt J\kern0.1pt _{4}&=\begin{pmatrix} 4\varepsilon^{2}\mu\alpha\partial^{-1}p_1&-4\varepsilon^{2}\mu\alpha\partial^{-1}q_1\\ -4\varepsilon^{2}\mu\beta\partial^{-1}p_1&4\varepsilon^{2}\mu\beta\partial^{-1}q_1 \end{pmatrix},\\ \kern1.1pt{\vphantom{J}\kern5.2pt}\kern-6.4pt J\kern0.1pt _{5}&=\begin{pmatrix} -8\varepsilon^{2}\mu p_2\partial^{-1}(p_1\kern-1pt +\kern-1pt p_2)-8\varepsilon^{2}\mu p_1\partial^{-1}p_2&8\varepsilon^{2}\mu p_2\partial^{-1}(q_1\kern-1pt +\kern-1pt q_2)\kern-1pt +\kern-1pt 8\varepsilon^{2}\mu p_1\partial^{-1}q_2\kern-1pt +\kern-1pt 4 \\ 8\varepsilon^{2}\mu q_2\partial^{-1}(p_1\kern-1pt +\kern-1pt p_2)\kern-1pt +\kern-1pt 8\varepsilon^{2}\mu q_1\partial^{-1}q_2-4&-8\varepsilon^{2}\mu q_2\partial^{-1}(q_1\kern-1pt +\kern-1pt q_2)-8\varepsilon^{2}\mu q_1\partial^{-1}q_2 \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, эта неизоспектральная обобщенная супериерархия АКНС имеет следующую супербигамильтонову структуру:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bar u_{t_n}&=: \kern1.1pt{\vphantom{J}\kern5.2pt}\kern-6.4pt J\kern0.1pt \frac{\delta \kern2.0pt\overline{\vphantom{U}\kern6.8pt}\kern-8.8pt H _{n+1}}{\delta u}+ \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q k_{n+1}(t)x\begin{pmatrix} 4\varepsilon^{2}\mu q_1\\ 4\varepsilon^{2}\mu p_1\\ 4\varepsilon^{2}\mu \beta\\ 4\varepsilon^{2}\mu \alpha\\ -4\varepsilon^{2}\mu(2q_1+q_2)\\ -4\varepsilon^{2}\mu(2p_1+p_2)\\ \end{pmatrix}= \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q \begin{pmatrix} c_{1,n+1}\\ b_{1,n+1}\\ \sigma_{n+1}\\ \varrho_{n+1}\\ c_{2,n+1}\\ b_{2,n+1} \end{pmatrix}={} \notag \\ &= \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q \kern1pt\overline{\vphantom{L}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt \begin{pmatrix} c_{1n}\\ b_{1n}\\ \sigma_{n}\\ \varrho_{n}\\ c_{2n}\\ b_{2n} \end{pmatrix}+ \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q k_n(t)x\begin{pmatrix} q_1\\ p_1\\ \beta\\ \alpha\\ q_2\\ p_2 \end{pmatrix}= \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q \kern1pt\overline{\vphantom{L}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt \kern1.6pt\overline{\vphantom{R}\kern5.4pt}\kern-7.0pt R \frac{\delta \kern2.0pt\overline{\vphantom{U}\kern6.8pt}\kern-8.8pt H _{n}}{\delta u}+k_{n}(t)x \kern0.8pt\overline{\vphantom{U}\kern6.8pt}\kern-7.6pt G =: \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W \frac{\delta \kern2.0pt\overline{\vphantom{U}\kern6.8pt}\kern-8.8pt H _{n}}{\delta u}+k_{n}(t)x \kern0.8pt\overline{\vphantom{U}\kern6.8pt}\kern-7.6pt G . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{38}
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
G=\begin{pmatrix} 4\varepsilon^{2}\mu\partial p_1-8\varepsilon^{3}\mu h_1p_1-8\varepsilon^{4}\mu^{2}p_1\partial^{-1}\Omega\\ 4\varepsilon^{2}\mu\partial q_1+8\varepsilon^{3}\mu h_2q_1+8\varepsilon^{4}\mu^{2}q_1\partial^{-1}\Omega\\ 4\varepsilon^{2}\mu(2\beta p_1-\partial\alpha)+4\varepsilon^{3}\mu h_2\alpha-2\varepsilon^{4}\mu^{2}\alpha\partial^{-1}\Omega\\ -4\varepsilon^{2}\mu\partial\beta+4\varepsilon^{3}\mu (2q_1\alpha-h_2\beta)+4\varepsilon^{4}\mu^{2}\beta\partial^{-1}\Omega\\ -4\varepsilon^{2}\mu\partial(2p_1+p_2)+8\varepsilon^{3}\mu h_2(2p_1+p_2)-8\varepsilon^{4}\mu^{2}p_2\partial^{-1}\Omega\\ -4\varepsilon^{2}\mu\partial(2q_1+q_2)-8\varepsilon^{3}\mu h_2(2q_1+q_2)+8\varepsilon^{4}\mu^{2}q_2\partial^{-1}\Omega \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\Omega=p_2\partial q_1+q_1\partial p_2+p_1\partial q_2+q_2\partial p_1+p_2\partial q_2+q_2\partial p_2+2p_1\partial q_1+2q_1\partial p_1-2\beta\partial \alpha+2\alpha\partial\beta$. Можно получить и супергамильтонов оператор $ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W = \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q \kern1pt\overline{\vphantom{L}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt \kern1.6pt\overline{\vphantom{R}\kern5.4pt}\kern-7.0pt R =( \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{ij})_{6 \times 6}$, $i,j=1,2,3,4,5,6$ (см. приложение). 5. Многокомпонентная обобщенная суперинтегрируемая иерархия АКНСРассмотрим многокомпонентную суперинтегрируемую обобщенную неизоспектральную задачу АКНС. Введем многокомпонентную обобщенную спектральную задачу АКНС
$$
\begin{equation}
\psi_{x}=\widehat{U}\psi,\qquad \psi_{t}=\widehat{V}\psi,
\end{equation}
\tag{39}
$$
где
$$
\begin{equation}
\widehat{U} = \small \begin{pmatrix} \widetilde{U}&U_2&U_3&\dots&U_{N-1}&U_N&U_a\\ 0&\widetilde{U}+U_2&U_3&\dots&U_{N-1}&U_N&0\\ 0&0&\widetilde{U}+U_2+U_3&\dots&U_{N-1}&U_N&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&\widetilde{U}+U_2+\cdots+U_{N-1}&U_N&0\\ 0&0&0&\dots&0&\widetilde{U}+U_2+\cdots+U_{N}&0\\ U_b&-U_b&0&\dots&0&0&0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{40}
$$
$$
\begin{equation}
\widehat{V} = \small \begin{pmatrix} V_1&V_2&V_3&\dots&V_{N-1}&V_N&V_a\\ 0&V_1+V_2&V_3&\dots&V_{N-1}&V_N&0\\ 0&0&V_1+V_2+V_3&\dots&V_{N-1}&V_N&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&V_1+V_2+\cdots+V_{N-1}&V_N&0\\ 0&0&0&\dots&0&V_1+V_2+\cdots+V_{N}&0\\ V_b&-V_b&0&\dots&0&0&0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{41}
$$
причем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widetilde{U}&=\begin{pmatrix} \varepsilon(\lambda+h_k)&\varepsilon p_1\\ q_1&-\varepsilon(\lambda+h_k) \end{pmatrix}, \qquad U_k=\begin{pmatrix} 0&\varepsilon p_k\\ q_k&0 \end{pmatrix},\\ U_a&=\begin{pmatrix} \varepsilon\alpha&\beta\\ \end{pmatrix}^\mathrm{T}, \qquad U_b=\begin{pmatrix} \beta&-\varepsilon\alpha \end{pmatrix},\qquad k=2,\dots,N,\\ V_j&=\begin{pmatrix} \varepsilon a_j&\varepsilon b_j\\ c_j&-\varepsilon a_j \end{pmatrix}, \quad V_a=\begin{pmatrix} \varepsilon\varrho&\sigma \end{pmatrix}^\mathrm{T}, \quad V_b=\begin{pmatrix} \sigma&-\varepsilon\varrho \end{pmatrix},\quad j=1,2,\dots,N. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{42}
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
h_{k}=\varepsilon\mu\biggl(\,\sum_{j=1}^{k-1}q_kp_j+\sum_{j=1}^{k}p_kq_j\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
– возмущение, $k=3,4,\dots,N$, $p_k$, $q_k$, $k=1,2,\dots,N$, – четные потенциалы, $\alpha$, $\beta$ – нечетные потенциалы, $a_j$, $b_j$, $c_j$, $j=1,2,\dots,N$, – коммутирующие поля, $\varrho$, $\sigma$ – антикоммутирующие поля. Для стационарного уравнения нулевой кривизны
$$
\begin{equation}
\widehat{V}_{x}=\frac{\partial \widehat U}{\partial\lambda}\lambda_t+[\widehat{U},\widehat{V}]
\end{equation}
\tag{43}
$$
получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a_{1x}&=p_1c_{1}+\alpha\sigma+\beta\varrho-q_1b_{1}+\lambda_t,\\ b_{1x}&=2\varepsilon\lambda b_{1}+2\varepsilon h_kb_{1}-2\varepsilon p_1a_{1}-2\varepsilon \alpha\varrho,\\ c_{1x}&=-2\varepsilon\lambda c_{1}-2\varepsilon h_kc_{1}+2\varepsilon q_1a_{1}+2\beta\sigma,\\ a_{2x}&=(p_1+p_2)c_{2}-(q_1+q_2)b_{2}+p_2c_{1}-q_2b_{1}-\alpha\sigma-\beta\varrho,\\ b_{2x}&=2\varepsilon\lambda b_{2}-2\varepsilon(p_1+p_2)a_{2}-2\varepsilon p_2a_{1}+2\varepsilon \alpha\varrho+2\varepsilon h_k b_{2},\\ c_{2x}&=-2\varepsilon\lambda c_{2}+2\varepsilon(q_1+q_2)a_{2}-2\varepsilon h_k c_{2}+2\varepsilon q_2a_{1}-2\beta\sigma,\\ a_{kx}&=\sum_{j=1}^{k}(c_{j}p_k-q_jb_k)+\sum_{j=1}^{k-1}(p_{j}c_k-b_jq_k),\\ b_{kx}&=2\varepsilon(\lambda+h_k)b_k-2\varepsilon\biggl(\,\sum_{j=1}^{k}p_{j}a_k+\sum_{j=1}^{k-1}p_k a_j\biggr),\\ c_{kx}&=-2\varepsilon(\lambda+h_k)c_k+2\varepsilon\biggl(\,\sum_{j=1}^{k}a_kq_j+\sum_{j=1}^{k-1}a_jq_k\biggr),\\ \varrho_{x}&=\varepsilon\lambda\varrho+\varepsilon h_k\varrho+p_1\sigma-\varepsilon\alpha a_1-\beta b_1,\\ \sigma_{x}&=-\varepsilon \lambda\sigma-\varepsilon h_k\sigma+\varepsilon q_1\varrho-\varepsilon\alpha c_1+\varepsilon\beta a_1,\qquad k=3,4,\dots,N. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{44}
$$
Подставив разложения в ряд Лорана в (44), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_{1i,x}&=p_1c_{1i}+\alpha\sigma_i+\beta\varrho_i-q_1b_{1i}+k_i(t),\\ b_{1i,x}&=2\varepsilon b_{1,i+1}+2\varepsilon h_kb_{1i}-2\varepsilon p_1a_{1i}-2\varepsilon \alpha\varrho_i,\\ c_{1i,x}&=-2\varepsilon c_{1,i+1}-2\varepsilon h_kc_{1i}+2\varepsilon q_1a_{1i}+2\beta\sigma_i,\\ a_{2i,x}&=(p_1+p_2)c_{2i}-(q_1+q_2)b_{2i}+p_2c_{1i}-q_2b_{1i}-\alpha\sigma_i-\beta\varrho_i,\\ b_{2i,x}&=2\varepsilon b_{2,i+1}-2\varepsilon(p_1+p_2)a_{2i}-2\varepsilon p_2a_{1i}+2\varepsilon \alpha\varrho_i+2\varepsilon h_k b_{2i},\\ c_{2x}&=-2\varepsilon c_{2,i+1}+2\varepsilon(q_1+q_2)a_{2i}-2\varepsilon h_k c_{2i}+2\varepsilon q_2a_{1i}-2\beta\sigma_i,\\ a_{ki,x}&=\sum_{j=1}^{k}(c_{ji}p_k-q_jb_{ki})+\sum_{j=1}^{k-1}(p_{j}c_{ki}-b_{ji}q_k),\\ b_{ki,x}&=2\varepsilon b_{k,i+1}+2\varepsilon h_kb_{ki}-2\varepsilon\biggl(\,\sum_{j=1}^{k}p_{j}a_{ki}+\sum_{j=1}^{k-1}p_k a_{ji}\biggr),\\ c_{ki,x}&=-2\varepsilon c_{k,i+1}-2\varepsilon h_k c_{ki}+2\varepsilon\biggl(\,\sum_{j=1}^{k}a_{ki}q_j+\sum_{j=1}^{k-1}a_{ji}q_k\biggr),\\ \varrho_{ix}&=\varepsilon\varrho_{i+1}+\varepsilon h_k\varrho_i+p_1\sigma_i-\varepsilon a_{1i}\alpha-b_{1i}\beta ,\\ \sigma_{ix}&=-\varepsilon \sigma_{i+1}-\varepsilon h_k\sigma_i+\varepsilon q_1\varrho_i-\varepsilon\alpha c_{1i}+\varepsilon\beta a_{1i},\qquad k=3,4,\dots,N. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\widehat{V}^{(n)}=(\lambda^{n}\widehat{V})_{+}+\Delta_{kn}$, где $\Delta_{kn}$ – модификационный член, который можно выбрать в виде
$$
\begin{equation}
\Delta_{kn}=\begin{pmatrix} \varepsilon H_k&0&0&0&\cdots&0\\ 0&-\varepsilon H_k&0&0&\cdots&0\\ 0&0&\varepsilon H_k&0&\cdots&0\\ 0&0&0&-\varepsilon H_k&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&0&\cdots&0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{45}
$$
где $H_k=-2\varepsilon^{2}\mu a_{k,n+1}$, $\mu$ – произвольная четная константа. Уравнение нулевой кривизны
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \widehat U}{\partial \widehat u}\widehat u_{t}-\widehat{V}^{(n)}_{x}+\frac{\partial \widehat U}{\partial\lambda}\lambda_t^{(n)}+[\widehat{U},\widehat{V}^{(n)}]=0
\end{equation}
\tag{46}
$$
порождает многокомпонентную неизоспектральную обобщенную иерархию АКНС
$$
\begin{equation}
\widehat u_{t_n}=\begin{pmatrix} 2\varepsilon b_{1,n+1}+2\varepsilon p_1H_k\\ -2\varepsilon c_{1,n+1}-2\varepsilon q_1H_k\\ \varepsilon\varrho_{n+1}+\varepsilon \alpha H_k\\ -\varepsilon\sigma_{n+1}-\varepsilon \beta H_k\\ 2\varepsilon b_{k,n+1}+2\varepsilon p_kH_k\\ -2\varepsilon c_{k,n+1}-2\varepsilon q_kH_k \end{pmatrix},\qquad k=1,2,\dots, N.
\end{equation}
\tag{47}
$$
В случае $N=1$ многокомпонентная обобщенная супериерархия АКНС (47) приводит к обобщенной супериерархии АКНС (14). В случае $N=2$ многокомпонентная обобщенная супериерархия АКНС (47) сводится к связанной обобщенной супериерархии АКНС (22). 6. ОбсуждениеМы вывели неизоспектральные обобщенные иерархии АКНС $Gsl(2,1)$ и $Gsl(4,1)$ и получили супербигамильтоновы структуры. В случае, когда $\mu=0 $ в (5) и (25), неизоспектральные обобщенные супериерархии АКНС были сведены к нормальной неизоспектральной обобщенной супериерархии АКНС и связанной неизоспектральной обобщенной супериерархии АКНС. Основываясь на супералгебре Ли $Gsl(2N,1)$, мы получили неизоспектральную многокомпонентную обобщенную супериерархию АКНС, что предоставляет новые возможности для развития исследований супералгебры Ли $Gsl(2N,1)$. В последнее время среди исследователей наблюдается большой интерес к многокомпонентным интегрируемым иерархиям. Критически важным в нашей статье является введение возмущающего члена. Мы полагаем, что такой подход позволит в будущем получить многокомпонентные обобщенные суперинтегрируемые иерархии АКНС, ассоциированные с другими супералгебрами Ли. ПриложениеСупергамильтониан $ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W = \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q \kern1pt\overline{\vphantom{L}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt \kern1.6pt\overline{\vphantom{R}\kern5.4pt}\kern-7.0pt R =( \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{ij})_{6 \times 6}$, $i,j=1,2,3,4,5,6$, задается следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{11}={}&2\varepsilon\mu \partial p_1\partial^{-1}p_1+2p_1\partial^{-1}p_1-4\varepsilon^{2}\mu p_1(\partial^{-1}p_1h_2+h_2\partial^{-1}p_1)-4\varepsilon^{3}\mu^{2}p_1\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}p_1,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{12}={}&-2\varepsilon\mu \partial p_1\partial^{-1}q_1-2p_1\partial^{-1}q_1-2h_2+4\varepsilon^{2}\mu p_1(\partial^{-1}q_1h_2+h_2\partial^{-1}q_1)+{}\\ &+4\varepsilon^{3}\mu^{2}p_1\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}q_1,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{13}={}&-\varepsilon\mu\partial p_1\partial^{-1}\alpha+p_1\partial^{-1}\alpha-2\varepsilon^{2}\mu p_1(h_2\partial^{-1}\alpha+\partial^{-1}\alpha h_2)-2\varepsilon^{3}\mu^{2}p_1\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}\alpha,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{14}={}&-\varepsilon\mu\partial p_1\partial^{-1}\beta-p_1\partial^{-1}\beta-\alpha+2\varepsilon^{2}\mu p_1(h_2\partial^{-1}\beta+\partial^{-1}\beta h_2)+2\varepsilon^{3}\mu^{2}p_1\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}\beta,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{15}={}&2\varepsilon\mu\partial p_1\partial^{-1}p_2-2p_1\partial^{-1}p_1+4\varepsilon^{2}\mu p_1(h_2\partial^{-1}p_2+\partial^{-1}p_2 h_2)-4\varepsilon^{3}\mu^{2}p_1\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}p_2,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{16}={}&-2\varepsilon\mu\partial p_1\partial^{-1}q_2+2p_1\partial^{-1}q_1+2h_2+4\varepsilon^{2}\mu p_1(h_2\partial^{-1}q_2-\partial^{-1}q_2 h_2-2\partial^{-1}q_1h_2)+{}\\ &+4\varepsilon^{3}\mu^{2}p_1\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}q_2,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{21}={}&2\varepsilon\mu\partial q_1\partial^{-1}p_1-2q_1\partial^{-1}p_1+2h_2+4\varepsilon^{2}\mu q_1(h_2\partial^{-1}p_1+\partial^{-1}p_1 h_2)+{}\\ &+4\varepsilon^{3}\mu^{2}q_1\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}p_1,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{22}={}&-2\varepsilon\mu\partial q_1\partial^{-1}q_1+2q_1\partial^{-1}q_1-4\varepsilon^{2}\mu q_1(h_2\partial^{-1}q_1+\partial^{-1}q_1 h_2)-4\varepsilon^{3}\mu^{2}q_1\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}q_1,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{23}={}&\varepsilon\mu\partial q_1\partial^{-1}\alpha-q_1\partial^{-1}\alpha-\dfrac{\beta}{\varepsilon}+2\varepsilon^{2}\mu q_1(h_2\partial^{-1}\alpha+\partial^{-1}\alpha h_2)+2\varepsilon^{3}\mu^{2}q_1\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}\alpha,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{24}={}&-\varepsilon\mu\partial q_1\partial^{-1}\beta+q_1\partial^{-1}\beta-2\varepsilon^{2}\mu q_1(h_2\partial^{-1}\beta+\partial^{-1}\beta h_2)-2\varepsilon^{3}\mu^{2}q_1\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}\beta,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{25}={}&2\varepsilon\mu\partial q_1\partial^{-1}p_2+2q_1\partial^{-1}p_1-2h_2+4\varepsilon^{2}\mu q_1(h_2\partial^{-1}p_2-\partial^{-1}p_2 h_2-2\partial^{-1}p_1h_2)+{}\\ &+4\varepsilon^{3}\mu^{2}q_1\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}p_2,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{26}={}&-2\varepsilon\mu\partial q_1\partial^{-1}q_2-2q_1\partial^{-1}q_1-4\varepsilon^{2}\mu q_1(h_2\partial^{-1}q_2-\partial^{-1}q_2 h_2-2\partial^{-1}q_1h_2)-{}\\ &-4\varepsilon^{3}\mu^{2}q_1\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}q_2,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{31}={}&2\varepsilon\mu(2p_1\beta-\partial \alpha)\partial^{-1}p_1+\alpha\partial^{-1}p_1+2\varepsilon^{2}\mu(h_2\alpha\partial^{-1}p_1-\alpha\partial^{-1}p_1 h_2)-{}\\ &-2\varepsilon^{3}\mu^{2}\alpha\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}p_1,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{32}={}&-2\varepsilon\mu(2p_1\beta-\partial\alpha)\partial^{-1}q_1-\alpha\partial^{-1}q_1+\dfrac{\beta}{\varepsilon}+2\varepsilon^{2}\mu(-h_2\alpha\partial^{-1}q_1+\alpha\partial^{-1}q_1 h_2+{}\\ &+\alpha\partial^{-1}q_2h_2)+2\varepsilon^{3}\mu^{2}\alpha\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}q_1,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{33}={}&\varepsilon\mu(2p_1\beta-\partial\alpha)\partial^{-1}\alpha+\dfrac{1}{2}\alpha\partial^{-1}\alpha-\dfrac{p_1}{2\varepsilon}+\varepsilon^{2}\mu(h_2\alpha\partial^{-1}\alpha-\alpha\partial^{-1}\alpha h_2)-{}\\ &-2\varepsilon^{3}\mu^{2}\alpha\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}\alpha,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{34}={}&\varepsilon\mu(2p_1\beta-\partial\alpha)\partial^{-1}\beta-\dfrac{1}{2}\alpha\partial^{-1}\beta+\dfrac{h_2}{2}-\varepsilon^{2}\mu(h_2\alpha\partial^{-1}\beta-\alpha\partial^{-1}\beta h_2)+{}\\ &+\varepsilon^{3}\mu^{2}\alpha\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}\beta,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{35}={}&2\varepsilon\mu(2p_1\beta-\partial\alpha)\partial^{-1}p_2+2\varepsilon^{2}\mu(h_2\alpha\partial^{-1}p_2+\alpha\partial^{-1}p_2 h_2+2\alpha\partial^{-1}p_1h_2)-{}\\ &-2\varepsilon^{3}\mu^{2}\alpha\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}p_2,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{36}={}&-2\varepsilon\mu(2p_1\beta-\partial\alpha)\partial^{-1}q_2+\alpha\partial^{-1}q_1-\dfrac{\beta}{\varepsilon}-2\varepsilon^{2}\mu(h_2\alpha\partial^{-1}q_2+\alpha\partial^{-1}q_2 h_2+{}\\ &+2\alpha\partial^{-1}q_1h_2)+2\varepsilon^{3}\mu^{2}\alpha\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}q_2,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{41}={}&-2\varepsilon\mu\partial\beta\partial^{-1}p_1-\beta\partial^{-1}p_1+\alpha-2\varepsilon^{2}\mu(h_2\beta\partial^{-1}p_1-\beta\partial^{-1}p_1 h_2-2q_1\alpha\partial^{-1}p_1)+{}\\ &+2\varepsilon^{3}\mu^{2}\beta\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}p_1,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{42}={}&2\varepsilon\mu\partial\beta\partial^{-1}q_1+\beta\partial^{-1}q_1+2\varepsilon^{2}\mu(h_2\beta\partial^{-1}q_1-\beta\partial^{-1}q_1 h_2-2q_1\alpha\partial^{-1}q_1)-{}\\ &-2\varepsilon^{3}\mu^{2}\beta\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}q_1,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{43}={}&-\varepsilon\mu\partial\beta\partial^{-1}\alpha-\dfrac{1}{2}\beta\partial^{-1}\alpha+\dfrac{1}{2}h_2-\varepsilon^{2}\mu(h_2\beta\partial^{-1}\alpha-2q_1\alpha\partial^{-1}\alpha)+{}\\ &+\varepsilon^{3}\mu^{2}\beta\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}\alpha,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{44}={}&\varepsilon\mu\partial\beta\partial^{-1}\beta+\dfrac{1}{2}\beta\partial^{-1}\beta+\dfrac{1}{2}q_1+\varepsilon^{2}\mu(h_2\beta\partial^{-1}\beta-\beta\partial^{-1}\beta h_2-2q_1\alpha\partial^{-1}\beta)-{}\\ &-\varepsilon^{3}\mu^{2}\beta\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}\beta,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{45}={}&-2\varepsilon\mu\partial\beta\partial^{-1}p_2+\beta\partial^{-1}p_1-\alpha-2\varepsilon^{2}\mu(h_2\beta\partial^{-1}p_2-\beta\partial^{-1}p_2 h_2-2q_1\alpha\partial^{-1}p_2)+{}\\ &+2\varepsilon^{3}\mu^{2}\beta\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}p_2,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{46}={}&2\varepsilon\mu\partial\beta\partial^{-1}q_2-\beta\partial^{-1}q_1+2\varepsilon^{2}\mu(h_2\beta\partial^{-1}q_2-\beta\partial^{-1}q_2 h_2-2q_1\alpha\partial^{-1}q_2)-{}\\ &-2\varepsilon^{3}\mu^{2}\beta\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}q_2,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{51}={}&-2\varepsilon\mu\partial(2p_1+p_2)\partial^{-1}p_1-2p_1\partial^{-1}p_1+4\varepsilon^{2}\mu(h_2p_2\partial^{-1}p_1-p_2\partial^{-1}p_1 h_2+{}\\ &+2h_2p_1\partial^{-1}p_1)-4\varepsilon^{3}\mu^{2}p_2\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}p_1,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{52}={}&2\varepsilon\mu\partial(2p_1+p_2)\partial^{-1}q_1+2p_1\partial^{-1}q_1+2h_2-4\varepsilon^{2}\mu(h_2p_2\partial^{-1}q_1-p_2\partial^{-1}q_1 h_2+{}\\ &+2h_2p_1\partial^{-1}q_1)+4\varepsilon^{3}\mu^{2}p_2\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}q_1,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{53}={}&-\varepsilon\mu\partial(2p_1+p_2)\partial^{-1}\alpha-p_1\partial^{-1}\alpha+2\varepsilon^{2}\mu(h_2p_2\partial^{-1}\alpha-p_2\partial^{-1}\alpha h_2+2h_2p_1\partial^{-1}\alpha)-{}\\ &-2\varepsilon^{3}\mu^{2}p_2\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}\alpha,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{54}={}&\varepsilon\mu\partial(2p_1+p_2)\partial^{-1}\beta+p_1\partial^{-1}\beta+\alpha-2\varepsilon^{2}\mu(h_2p_2\partial^{-1}\beta-p_2\partial^{-1}\beta h_2+{}\\ &+2h_2p_1\partial^{-1}\beta)+2\varepsilon^{3}\mu^{2}p_2\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}\beta,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{55}={}&-2\varepsilon\mu\partial(2p_1+p_2)\partial^{-1}p_2-2p_2\partial^{-1}p_1+2(p_1+p_2)\partial^{-1}(2p_1+p_2)+{}\\ &+4\varepsilon^{2}\mu(h_2p_2\partial^{-1}p_2-p_2\partial^{-1}p_2 h_2+2h_2p_1\partial^{-1}p_2)-2\varepsilon^{3}\mu^{2}p_2\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}p_2,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{56}={}&2\varepsilon\mu\partial(2p_1+p_2)\partial^{-1}q_2-2p_2\partial^{-1}(q_1+q_2)-2p_1\partial^{-1}(2q_1+q_2)-4h_2-{}\\ &-4\varepsilon^{2}\mu(h_2p_2\partial^{-1}q_2+p_2\partial^{-1}q_2 h_2+2h_2p_1\partial^{-1}q_2+2p_2\partial^{-1}q_1h_2)-{}\\ &-2\varepsilon^{3}\mu^{2}p_2\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}q_2,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{61}={}&-2\varepsilon\mu\partial(2q_1+q_2)\partial^{-1}p_1+2q_1\partial^{-1}p_1-2h_2-4\varepsilon^{2}\mu(h_2q_2\partial^{-1}p_1-q_2\partial^{-1}p_1 h_2+{}\\ &+2h_2q_1\partial^{-1}p_1)+4\varepsilon^{3}\mu^{2}q_2\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}p_1,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{62}={}&2\varepsilon\mu\partial(2q_1+q_2)\partial^{-1}q_1-2q_1\partial^{-1}q_1+4\varepsilon^{2}\mu(h_2q_2\partial^{-1}q_1-q_2\partial^{-1}q_1 h_2+{}\\ &+2h_2q_1\partial^{-1}q_1)+4\varepsilon^{3}\mu^{2}q_2\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}q_1,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{63}={}&-\varepsilon\mu\partial(2q_1+q_2)\partial^{-1}\alpha+q_1\partial^{-1}\alpha+\dfrac{\beta}{\varepsilon}-2\varepsilon^{2}\mu(h_2q_2\partial^{-1}\alpha-q_2\partial^{-1}\alpha h_2+{}\\ &+2h_2q_1\partial^{-1}\alpha)+2\varepsilon^{3}\mu^{2}q_2\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}\alpha,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{64}={}&\varepsilon\mu\partial(2q_1+q_2)\partial^{-1}\beta-q_1\partial^{-1}\beta+2\varepsilon^{2}\mu(h_2q_2\partial^{-1}\beta-q_2\partial^{-1}\beta h_2+2h_2q_1\partial^{-1}\beta)-{}\\ &-2\varepsilon^{3}\mu^{2}q_2\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}\beta,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{65}={}&-2\varepsilon\mu\partial(2q_1+q_2)\partial^{-1}p_2+2q_2\partial^{-1}p_1-2(q_1+q_2)\partial^{-1}(2p_1+p_2)+4h_2-{}\\ &-4\varepsilon^{2}\mu h_2(2q_1+q_2)\partial^{-1}p_2-4\varepsilon^{2}\mu q_2\partial^{-1}(2p_1+p_2)h_2+4\varepsilon^{3}\mu^{2}q_2\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}p_2,\\ \kern0.2pt\overline{\vphantom{W}\kern9.9pt}\kern-10.2pt W _{66}={}&2\varepsilon\mu\partial(2q_1+q_2)\partial^{-1}q_2-2q_2\partial^{-1}q_1+2(q_1+q_2)\partial^{-1}(2q_1+q_2)+{}\\ &+4\varepsilon^{2}\mu h_2(2q_1+q_2)\partial^{-1}q_2+4\varepsilon^{2}\mu q_2\partial^{-1}(2q_1+q_2)h_2-4\varepsilon^{3}\mu^{2}q_2\partial^{-1}\Omega\partial^{-1}q_2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Omega=p_2\partial q_1+q_1\partial p_2+p_1\partial q_2+q_2\partial p_1+p_2\partial q_2+q_2\partial p_2+2p_1\partial q_1+2q_1\partial p_1-2\beta\partial \alpha+2\alpha\partial\beta$. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{LiWan24} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|