| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Разложение гипергеометрических функций в терминах обобщенных полилогарифмов с нетривиальной заменой переменной М. А. Безугловab, А. И. Онищенкоabc a Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Московская обл., Россия b Институт ядерной физики им. Г. И. Будкера СО РАН, Новосибирск, Россия c Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д. В. Скобельцына, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 219, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924060011 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеГипергеометрические функции одной и многих переменных играют важную роль в различных областях современных физики и математики. В частности, они часто встречаются при вычислении многопетлевых диаграмм в квантовой теории поля. Существует множество методов вычисления скалярных феймановских диаграмм в терминах гипергеометрических функций одной и многих переменных. Среди таких методов отметим метод Меллина–Барнса1, метод DRA [10]–[12], метод функциональных уравнений [13] и точный метод Фробениуса [14]–[16]. Также существует связь между фейнмановскими интегралами и дифференциальными системами Гельфанда–Капранова–Зелевинского2 [19]–[26]. Во всех этих случаях индексы возникающих гипергеометрических функций линейно зависят от параметра размерной регуляризации $\varepsilon$. Далее в практических приложениях нам, как правило, требуется получить разложение полученных функций в ряд Лорана по малому параметру $\varepsilon$ вплоть до определенного порядка. Такие разложения изучались ранее довольно интенсивно (см., например, [27]–[40]). Более того, существуют различные пакеты для автоматического получения подобных разложений [41]–[47]. Тем не менее осталось много нерешенных вопросов. Например, в каких случаях заданная гипергеометрическая функция может быть разложена в терминах обобщенных полилогарифмов или некоторых других функций и существует ли систематическая процедура в каждом случае? Мы хотим получить разложения в терминах хорошо определенных функций, которые в конечном итоге могут быть вычислены при произвольных значениях параметров с как можно более высокой точностью. Обобщенные полилогарифмы Гончарова [48], [49] как раз являются таким типом функций. Их свойства хорошо изучены [50]–[55], и для работы с ними существует ряд пакетов в системах символьных вычислений Mathematica и Maple, таких как HyperInt [56], MPL [57] и PolyLogTools [58]. Также важно то, что они могут быть вычислены численно с любой наперед заданной точностью [55], [59]. В настоящей работе для получения разложений гипергеометрических функций одной и многих переменных, индексы которых линейно зависят от параметра разложения, нами используются методы, изначально разработанные для вычисления многопетлевых фейнмановских диаграмм. В частности, нами использовался метод дифференциальных уравнений [60]–[66] и редукция гипергеометрических систем дифференциальных уравнений к $\varepsilon$-форме [67]–[69]. Данная возможность в случае обобщенных гипергеометрических функций одной переменной упоминалась в работе [14] и интенсивно изучалась в случае одной и многих переменных в [47]. Рассмотрение, проведенное в работе [47], тем не менее ограничено случаем целочисленных индексов гипергеометрических функций. Здесь же мы также рассматриваем и случаи рациональных индексов, когда разложение в терминах обобщенных полилогарифмов все еще возможно. Алгоритмическая процедура разложения была нами реализована в пакете Diogenes для системы символьных вычислений Mathematica. Данный пакет позволяет получать разложения также в некоторых случаях, не описываемых существующими пакетами, и мы надеемся, что он будет полезен в различных практических приложениях. Данный пакет не требует установки дополнительного программного обеспечения за исключением самой системы символьных вычислений Mathematica. Настоящая работа организована следующим образом. В разделе 2 мы детально рассматриваем $\varepsilon$-разложение обобщенных гипергеометрических функций одной переменной. Особое внимание уделено нетривиальным заменам переменной, позволяющим проводить полилогарифмические разложения гипергеометрических функций с рациональными индексами. Разделы 3 и 4 посвящены $\varepsilon$-разложению функций Аппеля и Лауричеллы. Рассмотрение в этих разделах менее детально по сравнению со случаем обобщенных гипергеометрических функций одной переменной. Тем не менее мы рассмотрели несколько случаев с нетривиальными заменами переменной, приводящими к разложениям в терминах обобщенных полилогарифмов Гончарова. В разделе 5 мы кратко рассмотрели возможные направления исследований в будущем. В приложениях приведена необходимая информация об используемых нами обозначениях для обобщенных полилогарифмов, включая циклотомические, а также об основных шагах в приведении дифференциальной системы к $\varepsilon$-форме. Приложение В содержит примеры использования пакета Diogenes. 2. Разложение обобщенных гипергеометрических функцийРассмотрение $\varepsilon$-разложения гипергеометрических функций естественно начать с обобщенных гипергеометрических функций одной переменной, которые могут быть определены с помощью следующего разложения в ряд:
$$
\begin{equation}
{}_p F_q \biggl( \begin{matrix} a_1,\dots,a_p \\ b_1, \dots, b_q \end{matrix} \biggm|z\biggr)= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a_1)_n\dots (a_p)_n}{(b_1)_n\dots (b_q)_n}\frac{z^n}{n!},
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $(\,\cdot\,)_n$ – символ Похгаммера. В настоящей работе мы будем рассматривать наиболее интересный случай $p=q+1$, когда данный ряд сходится в интервале $|z| < 1$. Если дополнительно $\operatorname{Re}(\sum b_i - \sum a_i) > 0$, то область сходимости будет также включать $|z|=1$. Мы также будем считать, что индексы $a_i$ и $b_j$ линейно зависят от малого параметра $\varepsilon$. Также с целью сокращения обозначений мы будем часто опускать индексы гипергеометрической функции и просто писать ${}_p F_q$. Для получения $\varepsilon$-разложений функций ${}_pF_q$ (1) нашей отправной точкой будет дифференциальное уравнение, удовлетворяемое данной гипергеометрической функцией:
$$
\begin{equation}
[z(\theta+a_1)(\theta+a_2)\dots(\theta+a_p)-\theta(\theta+b_1-1)(\theta + b_2-1)\dots (\theta + b_q -1)]{}_p F_q=0,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $\theta = z \frac{d}{dz}$. Это линейное однородное уравнение порядка $p$. Оно может быть использовано для написания матричной системы дифференциальных уравнений для вектора из функции $_p F_q$ и ее производной по $z$ до $q$-го порядка. Для этого определим вектор из $q$ функций где
$$
\begin{equation}
f_0 = {}_p F_q, \qquad f_n = \theta(\theta-1)\dots(\theta -n+1)f_0 = z^n\, \frac{d^n f_0}{dz^n},
\end{equation}
\tag{4}
$$
и рассмотрим дифференциальные уравнения первого порядка для его компонент, которые в случае $n < q$ имеют вид
$$
\begin{equation}
\frac{d}{dz}f_n = \frac{n}{z}f_n + \frac{1}{z}f_{n+1},
\end{equation}
\tag{5}
$$
а для $n = q$ соответствующее дифференциальное уравнение может быть напрямую получено из исходного дифференциального уравнения (2). В результате мы получаем матричную систему дифференциальных уравнений в виде
$$
\begin{equation}
\frac{d\mathbf{J}}{dz} = \mathbf{M}\cdot\mathbf{J},\qquad \mathbf{M} = \frac{\mathbf{A}}{z} + \frac{\mathbf{B}}{z-1},
\end{equation}
\tag{6}
$$
где $\mathbf{M}$, $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ – некоторые $(p \times p)$-матрицы. Данная дифференциальная система является фуксовой и имеет три полюса первого порядка в точках $0$, $1$ и $\infty$. Граничные условия для этой системы просто следуют из определения функции ${}_pF_q$ (1), и мы имеем Для пертурбативного решения данной системы в виде ряда по $\varepsilon$ удобно использовать ее редукцию3 к так называемой $\varepsilon$-форме [67]–[69]. То есть мы используем алгоритм Ли [68] для нахождения рациональной матрицы преобразования $\mathbf{T}$ к каноническому базису $\tilde{\mathbf{J}} = \mathbf{T}^{-1}\mathbf{J}$ такой, что зависимость от $\varepsilon$ в преобразованной системе факторизуется и мы имеем
$$
\begin{equation}
\frac{\tilde{\mathbf{J}}}{dx} = \varepsilon\,\widetilde{\mathbf{M}}\cdot\tilde{\mathbf{J}},
\end{equation}
\tag{8}
$$
где матрица $\widetilde{\mathbf{M}}$ уже не зависит от $\varepsilon$. Необходимо заметить, что данное преобразование не всегда существует. В частности, оно не существует в случае, когда вектор функций $\mathbf{J}$ является сечением нетривиального векторного расслоения над сферой Римана, параметризуемой координатой $z$ [69]. В настоящей работе мы исследуем случаи, когда необходимое преобразование все же удается найти. Более того, при поиске матрицы преобразования $\mathbf{T}$ мы будем допускать возможность рациональной замены переменной $z$. В случае, когда данную матрицу преобразования удается найти и изначальная дифференциальная система может быть сведена к $\varepsilon$-форме, решение редуцированной дифференциальной системы (8) не представляет сложности и может быть записано в виде
$$
\begin{equation}
\mathbf{J} = \mathbf{T}\cdot \operatorname{Pexp} \biggl[ \varepsilon \int_0^z \widetilde{\mathbf{M}}(z')\, dz' \biggr]\cdot\, \mathbf{L}\, \cdot \{1,0,\ldots, 0\}^\mathrm{T},
\end{equation}
\tag{9}
$$
где граничные условия для нового вектора функций $\tilde{\mathbf{J}}$ при $z=0$ связаны с граничными условиями для начального вектора функций $\mathbf{J}$ рациональной по $z$ матрицей адаптера $\mathbf{L}$. Последующее разложение полученного решения (9) по $\varepsilon$ приводит к разложению рассматриваемой функции ${}_pF_q$ в терминах обобщенных полилогарифмов Гончарова4. Разберем теперь детально, когда сведение первоначальной дифференциальной системы к $\varepsilon$-форме вообще возможно. Знание того, как работают балансовые преобразования в алгоритме Ли, указывает на то, что возможность нахождения необходимой матрицы преобразования зависит исключительно от собственных значений матриц $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ и $\mathbf{C} = -\mathbf{A}-\mathbf{B}$, вычисленных при $\varepsilon = 0$, где $\mathbf{C}$ – вычет матрицы $\mathbf{M}$ в бесконечности. Эти матрицы зависят от индексов функции ${}_pF_q$ и могут быть явно выписаны:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbf{A}&:\quad \{0,1-b_1,\dots, 1-b_q\}, \\ \mathbf{B}&:\quad \biggl\{\underbrace{0,\dots,0}_{q}\,,-q-\sum_{i=1}^{p}a_i+\sum_{i=1}^{q}b_i\biggr\}, \\ \mathbf{C}&:\quad \{a_1,a_2,\dots,a_p\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10}
$$
так что сумма всех собственных значений равна нулю. В случае, когда все собственные значения являются целочисленными, т. е. все индексы5 $a$ и $b$ также являются целочисленными, мы можем напрямую использовать алгоритм Ли для балансировки собственных значений и приведения дифференциальной системы к $\varepsilon$-форме. В общем же случае в приложениях значения индексов функций ${}_pF_q$ являются рациональными. В данном случае непосредственное применение алгоритма Ли невозможно. Это происходит потому, что балансовые преобразования (Б.12), используемые в алгоритме, могут сдвигать матричные собственные значения только на $+1$ или $-1$. Данная проблема может быть решена с использованием рациональной замены переменной6, так что собственные значения в преобразованной дифференциальной системе уже являются целочисленными. Эмпирически нами было получено, что такая замена переменной может быть найдена в случаях, описанных в табл. 1. В практических приложениях для ускорения процедуры редукции удобно использовать балансовые преобразования до и после замены переменной. В случае E нами было также замечено, что замену переменной удобно проводить в две стадии $z \to 1+ \tilde{z}^2$ и $\tilde{z} \to i(1+z_4^2)/(1-z_4^2)$ с дополнительной балансировкой собственных значений между ними. Также может случиться, что замена переменных в данных случаях не обязательно приводит к $\varepsilon$-форме, и для получения последней необходимо наложить дополнительные ограничения. Обозначая через $k$ число нецелочисленных верхних индексов, $k = \#\{ a_i\mid i=1,\dots,q; a_i \notin \mathbb{Z} \}$, а через $l$ число нецелочисленных нижних индексов, $l = \#\{ b_j\mid j=1,\dots,p; b_j \notin \mathbb{Z} \}$, и через $n$ наименьший общий знаменатель для всех нецелочисленных индексов, мы эмпирически установили, что сведение соответствующей дифференциальной системы к $\varepsilon$-форме в нашем алгоритме невозможно при выполнении хотя бы одного из следующих условий:
Таблица 1.Случаи, когда дифференциальная система для функции ${}_pF_q$ может быть сведена к $\varepsilon$-форме (см. дополнительные разъяснения, касающиеся случая F, в основном тексте). Здесь $m_i, k_i\in \mathbb{Z}$, $n\in \mathbb{N}$ и $|k_i| < n$.
В случае F требуются дополнительные разъяснения. В случаях B–E преобразования переменной, содержащиеся в табл. 1, автоматически делают все собственные значения целочисленными. Этого не происходит в случае F. Более того, в этом случае такая замена может вообще не существовать. Рассмотрим замену переменной $z = p(z')/q(z')$, где $p$ и $z$ являются взаимно простыми полиномами. Данная замена переменной для дифференциальной системы с рациональными собственными значениями в сингулярных точках $z_i$, имеющими наименьший общий знаменатель $n$, может привести к целочисленным собственным значениям, только если выполнены следующие дополнительные условия на полиномы $p$ и $q$ [69]: где $\tilde{p}_i(z')$ – некоторые другие полиномы, $[\alpha_i:\beta_i]$ являются однородными координатами точек $z_i = \alpha_i/\beta_i$. В нашем случае трех сингулярных точек $z_1 = 0$, $ z_2 = 1$ и $z_3 = \infty$ мы, таким образом, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, p(z') & = \tilde{p}_1^{n}(z'),\\ p(z') - q(z') & = \tilde{p}_2^{n}(z'),\\ q(z') & = \tilde{p}_3^{n}(z'), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
и, как следствие,
$$
\begin{equation}
\tilde{p}_2^{n}(z')+\tilde{p}_3^{n}(z')=\tilde{p}_1^{n}(z').
\end{equation}
\tag{13}
$$
В случае $n = 2$ это уравнение имеет решения $\tilde{p}_1(z') = (1+(z')^2)$, $\tilde{p}_2(z') = (1-(z')^2)$ и $\tilde{p}_3(z') = 2z'$, соответствующие случаю E. В случае же $n >2$, как известно из теоремы Ферма для полиномов, уравнение (13) не имеет ненулевых полиномиальных решений. Таким образом, в случае $n >2$ не существует рациональной замены переменной, приводящей к целочисленным собственным значениям во всех трех сингулярных точках. Тем не менее никто не запрещает нам использовать нерациональные замены, в частности нерациональную матрицу преобразований $T$. Рассмотрим, например, преобразование $T = (z - z_i)^{a} \mathcal{I}$, где $\mathcal{I}$ – единичная матрица. Из уравнения (Б.9) следуют два важных свойства данного преобразования. Во-первых, данное преобразование оставляет матрицу $\mathbf{M}$ дифференциальной системы рациональной, а во-вторых, оно сдвигает все собственные значения в сингулярной точке $z_i$ на $a$. Таким образом, если в некоторой одной сингулярной точке все собственные значения имеют одну и ту же нецелую часть, тогда использование данного преобразования позволяет избавиться от нее во всех данных собственных значениях одновременно. В случае рассматриваемых обобщенных гипергеометрических функций это возможно, только если все верхние индексы $a_i$ имеют одну и ту же нецелую часть, т. е. $\{a_i-a_1\mid i=1,\dots,q \} \in \mathbb{Z}$. Если данное условие выполняется, то, используя матрицу преобразования $T = z^{-a_1}\mathcal{I}$, мы можем сделать все собственные значения в точке $z = \infty$ целочисленными и затем, применяя преобразование $z \to z_1^n/(1+z_1^n)$, сделать также целочисленными собственные значения в точках $z = 0,1$. Заметим, что полученное решение будет иметь вид $y(z_1)*\text{MPLs}(z_1)$, где $y(z_1)$ – некоторая (гипер)эллиптическая кривая. Таким образом, хотя сама (гипер)эллиптическая кривая не входит в ядра повторных интегралов, решение будет содержать ее в качестве общего фактора. Редукция дифференциальной системы для обобщенных гипергеометрических функций к $\varepsilon$-форме сводится к балансировке ее собственных значений в трех сингулярных точках. Последние линейно зависят от индексов гипергеометрической функции и могут быть также сдвинуты с использованием сдвиговых дифференциальных операторов $\mathcal{DF}_{a}^z = \frac{z}{a}\frac{d}{dz}+1$ $(a \ne 0)$ как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal{DF}_{a_j}^z {}_p F_q \biggl( \begin{matrix} a_1,\dots, a_j,\dots,a_p \\ b_1, \dots, b_q \end{matrix} \biggm| z\biggr) &= {}_p F_q \biggl( \begin{matrix} a_1,\dots, a_j+1,\dots,a_p \\ b_1, \dots, b_q \end{matrix} \biggm| z\biggr), \\ \mathcal{DF}_{b_k-1}^z {}_p F_q \biggl( \begin{matrix} a_1,\dots ,a_p \\ b_1, \dots, b_k, \dots, b_q \end{matrix} \Bigg| z\biggr) &= {}_p F_q \biggl(\begin{matrix} a_1,\dots ,a_p \\ b_1, \dots, b_k-1, \dots, b_q \end{matrix} \biggm| z\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
так что
$$
\begin{equation}
{}_p F_q \biggl( \begin{matrix} a_1,\dots,a_p \\ b_1, \dots, b_q \end{matrix} \biggm|z\biggr) =\mathcal{DF}_{s_1}^x\dots \mathcal{DF}_{s_l}^x {}_p F_q \biggl( \begin{matrix} \tilde{a}_1,\dots,\tilde{a}_p \\ \tilde{b}_1, \dots, \tilde{b}_q \end{matrix} \biggm| z\biggr),
\end{equation}
\tag{15}
$$
где $\tilde{a}_i$ и $\tilde{b}_j$ являются новыми наборами индексов. Таким образом, перед использованием балансовых преобразований мы также можем сдвинуть индексы гипергеометрической функции к меньшим значениям, получить разложение гипергеометрической функции со сдвинутыми индексами в терминах обобщенных полилогарифмов, используя описанную выше процедуру, и в конце, используя соотношение (15), получить необходимое разложение начальной функции ${}_pF_q$. В некоторых случаях подобные сдвиги позволяют ускорить общую процедуру разложения. Данные сдвиговые дифференциальные операторы использовались также в работе [47] посредством пакета HYPERDIRE [70]–[73]. 2.1. Пример для случая CПроиллюстрируем описанную процедуру разложения на нескольких конкретных примерах. Сначала рассмотрим $\varepsilon$-разложение функции
$$
\begin{equation}
{}_3F_2 \biggl(\begin{matrix} \frac{1}{2}, 1, -1+2\varepsilon \\ 2-\varepsilon, \frac{1}{2}+\varepsilon \end{matrix}\biggm| z \biggr).
\end{equation}
\tag{16}
$$
Дифференциальная система в данном случае имеет вид
$$
\begin{equation}
\frac{d\mathbf{J}}{dz} = \biggl( \frac{\mathbf{A}}{z} + \frac{\mathbf{B}}{z-1}\biggr)\mathbf{J},
\end{equation}
\tag{17}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & \hphantom{-}0 \\0 & 1 & \hphantom{-}1 \\ 0 & \frac{2\varepsilon^2-3\varepsilon-2}{2} & -\frac{3}{2} \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \frac{1-2\varepsilon}{2} & \frac{1-7\varepsilon-2\varepsilon^2}{2} & -2\varepsilon \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{18}
$$
и $\mathbf{C} = -\mathbf{A} -\mathbf{B}$. Для собственных значений этих матриц получим
$$
\begin{equation}
\mathbf{A} : \biggl\{ 0, -1+\varepsilon, \frac{1-2\varepsilon}{2}\biggr\}, \qquad \mathbf{B} : \{0, 0, -2\varepsilon\}, \qquad \mathbf{C} : \biggl\{ 1, \frac{1}{2}, -1+2\varepsilon\biggr\},
\end{equation}
\tag{19}
$$
следовательно, в соответствии с нашей классификацией мы имеем дело со случаем C. Производя замену переменной $z\to z_2^2$ и применяя необходимые балансовые преобразования, дифференциальную систему (17) можно свести к следующей $\varepsilon$-форме ($\tilde{\mathbf{J}} = \mathbf{T}\cdot\mathbf{J}$):
$$
\begin{equation}
\frac{d\tilde{\mathbf{J}}}{dz_2} = \varepsilon \biggl( \frac{\widetilde{\mathbf{M}}_0}{z_2} + \frac{\widetilde{\mathbf{M}}_1}{z_2-1} + \frac{\widetilde{\mathbf{M}}_{-1}}{z_2+1} \biggr)\cdot\tilde{\mathbf{J}},
\end{equation}
\tag{20}
$$
где
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathbf{M}}_0 = \begin{pmatrix} 2 & 0 & \hphantom{-}0 \\0 & 0 & \hphantom{-}0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix},\qquad \widetilde{\mathbf{M}}_1 = \begin{pmatrix} -3 & \hphantom{-}1 & -\frac{1}{2} \\ \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0\\ \hphantom{-}6 & -2 & \hphantom{-}1 \end{pmatrix},\qquad \widetilde{\mathbf{M}}_{-1} = \begin{pmatrix} -3 & 1 & -\frac{1}{2} \\ \hphantom{-}0 & 0 & \hphantom{-}0 \\ -6 & 2 & \hphantom{-}1 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Далее, используя выражение для первого ряда матрицы преобразования $\mathbf{T}$
$$
\begin{equation}
\mathbf{T}_{(1,*)} = \biggl\{ \frac{1+z^4 (1-4\varepsilon)-4\varepsilon+z^2(-2+4\varepsilon)}{z^2 (\varepsilon-1)}, \frac{2-5\varepsilon+z^2(4\varepsilon-1)}{2(\varepsilon-1)}, \frac{(1+z^2)\varepsilon}{z(1-\varepsilon)} \biggr\}
\end{equation}
\tag{22}
$$
и матрицу адаптера
$$
\begin{equation}
\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{\varepsilon-1}{1-4\varepsilon} \\ \frac{2 (1-\varepsilon)^2}{(2-3\varepsilon)(3\varepsilon-1)} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(1-\varepsilon)(3-4\varepsilon)(1-4\varepsilon)}{4\varepsilon (2-3\varepsilon)(1-3\varepsilon)} & 0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{23}
$$
с помощью формулы (9) получаем следующее разложение нашей гипергеометрической функции:
$$
\begin{equation}
{}_3F_2 \biggl(\begin{matrix} \frac{1}{2}, 1, -1+2\varepsilon \\ 2-\varepsilon, \frac{1}{2}+\varepsilon \end{matrix}\biggm| z \biggr) = 1 - \frac{z}{2} + \varepsilon\biggl\{ 1+\frac{z}{4} + \frac{(1-z)^2}{z} (G_{-1}(\sqrt{z}\,) + G_1(\sqrt{z}\,)) \biggr\} + \mathcal{O}(\varepsilon^2).
\end{equation}
\tag{24}
$$
2.2. Пример для случая EРассмотрим $\varepsilon$-разложение функции
$$
\begin{equation}
{}_3 F_2 \Biggl(\begin{matrix} 1,\frac{\varepsilon +1}{2},\frac{\varepsilon}{2} \vphantom{\Bigl\}} \\ \frac{1-\varepsilon }{2},\frac{\varepsilon +3}{2} \end{matrix} \Biggm|z\Biggr),
\end{equation}
\tag{25}
$$
которая встречается, в частности, при вычислении двухпетлевых поправок к распаду парапозитрония [14]. Дифференциальная система в данном случае имеет вид
$$
\begin{equation}
\frac{d}{dz}\mathbf{J} = \biggl(\frac{\mathbf{A}}{z}+\frac{\mathbf{B}}{z-1}\biggr)\mathbf{J},
\end{equation}
\tag{26}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbf{A} &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & \hphantom{-}0 \\ 0 & 1 & \hphantom{-}1 \\ 0 & \frac{1}{4} (\varepsilon ^2+2 \varepsilon -3) & -1 \end{pmatrix}, \\ \mathbf{B} &=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{4} \varepsilon (\varepsilon +1) & \frac{1}{4} (-2 \varepsilon ^2-11 \varepsilon -9) & -\varepsilon -\frac{3}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{27}
$$
и $\mathbf{C} = -\mathbf{A}-\mathbf{B}$. Вектор граничных условий, очевидно, дается выражением Собственные значения матричных вычетов в сингулярных точках имеют вид
$$
\begin{equation}
\mathbf{A}: \biggl\{0,-\frac{1}{2} (\varepsilon +1),\frac{1}{2}(\varepsilon +1)\biggr\}, \qquad \mathbf{B}:\biggl\{0,0,-\frac{1}{2} (3+2 \varepsilon)\biggr\}, \qquad \mathbf{C}:\biggl\{1,\frac{1}{2}(\varepsilon +1),\frac{\varepsilon}{2}\biggr\}.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Таким образом, в соответствии с нашей классификацией мы имеем дело со случаем E. Производя замену переменной и сводя дифференциальную систему к $\varepsilon$-форме с использованием алгоритма Ли, получим
$$
\begin{equation}
\frac{d}{dz_4}\tilde{\mathbf{J}} = \varepsilon\biggl(\frac{\widetilde{\mathbf{M}}_0}{z_4}+\frac{\widetilde{\mathbf{M}}_1}{z_4-1}+\frac{\widetilde{\mathbf{M}}_{-1}}{z_4+1}+\frac{z_4\widetilde{\mathbf{M}}_w}{z_4^2+1}\biggr)\tilde{\mathbf{J}},
\end{equation}
\tag{31}
$$
где
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathbf{M}}_0=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \hphantom{-}0 \\ 0 & 1 &\hphantom{-} 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \widetilde{\mathbf{M}}_1=\begin{pmatrix} \hphantom{-}0 & 0 & 0 \\ -i & 1 & 0 \\ \hphantom{-}i & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \widetilde{\mathbf{M}}_{-1}=\begin{pmatrix} \hphantom{-}0 & 0 & 0 \\ \hphantom{-}i & 1 & 0 \\ -i & 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{32}
$$
и
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathbf{M}}_w = \begin{pmatrix} 0 & \hphantom{-{}}0 & 0 \\ 0 & {-}4 & 0 \\ 0 & \hphantom{-{}} 4 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{33}
$$
Граничные условия в новом базисе функций имеют вид
$$
\begin{equation}
\tilde{\mathbf{J}}|_{z_4=0} = \biggl\{\frac{1}{8} (\varepsilon -1) (\varepsilon +1)^2,0,0\biggr\},
\end{equation}
\tag{34}
$$
а соответствующая матрица преобразований дается выражением
$$
\begin{equation}
T=\begin{pmatrix} \frac{8}{\varepsilon ^2-1} & \frac{8 i z_4}{\varepsilon ^2-1} & \frac{4 i (z_4^2-1)}{(\varepsilon ^2-1) z_4} \\ -\frac{4 \varepsilon }{\varepsilon ^2-1} & -\frac{4 i z_4 (\varepsilon +(\varepsilon +1) z_4^2-1)}{(\varepsilon -1) (\varepsilon +1) (z_4^2+1)} & -\frac{2 i (z_4^2-1)}{(\varepsilon -1) z_4} \\ \frac{2 \varepsilon (\varepsilon +(\varepsilon +3) z_4^4+2 (\varepsilon +1) z_4^2+3)}{(\varepsilon ^2-1) (z_4^2+1)^2} & \frac{2 i z_4 P(z_4)}{(\varepsilon ^2-1) (z_4^2+1)^3} & \frac{i (\varepsilon +3) (z_4^2-1)}{(\varepsilon -1) z_4} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{35}
$$
где
$$
\begin{equation}
P(z_4)=\varepsilon ^2+4 \varepsilon +(\varepsilon ^2+4 \varepsilon +3) z_4^6+(3 \varepsilon ^2+12 \varepsilon +5) z_4^4+(3 \varepsilon ^2-4 \varepsilon -7) z_4^2-1.
\end{equation}
\tag{36}
$$
Дифференциальная система в $\varepsilon$-форме (31) легко интегрируется в терминах обобщенных полилогарифмов, и мы имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, {}_3 F_2 &\Biggl(\begin{matrix} 1,\frac{\varepsilon +1}{2},\frac{\varepsilon}{2} \vphantom{\Bigr\}} \\ \frac{1-\varepsilon }{2},\frac{\varepsilon +3}{2} \end{matrix} \Biggm|z\Biggr)=1+\varepsilon \biggl(-\frac{(z_4^2+1) G(-1,z_4)}{2 z_4}+\frac{(z_4^2+1) G(1,z_4)}{2 z_4}+1\biggr)+\varepsilon ^2 \times{} \notag \\ &\times \biggl(\!\biggl(2 z_4+\frac{2}{z_4}\Biggr) G(f_4^1,-1,z_4)-\frac{2(z_4^2+1) G(f_4^1,1,z_4)}{z_4}+\biggl(\frac{1}{2 z_4}-\frac{3 z_4}{2}\biggr) G(0,-1,z_4)+{} \notag \\ &+\biggl(\frac{3z_4}{2}-\frac{1}{2 z_4}\biggr) G(0,1,z_4)-\frac{(z_4^2+1)G(-1,z_4)}{2 z_4}+\frac{(z_4^2+1) G(1,z_4)}{2 z_4}-{} \notag \\ &-\frac{(z_4^2+1)G(-1,-1,z_4)}{2 z_4}+\frac{(z_4^2+1) G(-1,1,z_4)}{2 z_4}-\frac{(z_4^2+1) G(1,-1,z_4)}{2 z_4}+{} \notag \\ &+\frac{(z_4^2+1)G(1,1,z_4)}{2 z_4}\biggr)+\mathcal{O}(\varepsilon^3). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{37}
$$
Используя данное решение и соотношения (14), мы можем также получить разложения и для других функций ${}_3 F_2$. Например, имеет место следующее разложение:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, {}_3 F_2 &\biggl(\begin{matrix} 1,\frac{\varepsilon +1}{2},\frac{\varepsilon +2}{2} \\ \frac{1-\varepsilon }{2},\frac{\varepsilon +3}{2} \end{matrix} \biggm|z\biggr) = \mathcal{DF}_{\frac{\varepsilon}{2}}^z {}_3 F_2 \biggl(\begin{matrix} 1,\frac{\varepsilon +1}{2},\frac{\varepsilon}{2} \\ \frac{1-\varepsilon }{2},\frac{\varepsilon +3}{2} \end{matrix} \biggm|z\biggr) =\frac{(z_4^2-1)^2 (G(-1,z_4)-G(1,z_4))}{2(z_4^3+z_4)}+{} \notag \\ &+\frac{\varepsilon(z_4^2-1)}{2(z_4^3+z_4)} \biggl[-4 G(f_4^1,-1,z_4)+4 G(f_4^1,1,z_4)+G(-1,z_4)-G(1,z_4)+{} \notag \\ &+G(-1,-1,z_4)-G(-1,1,z_4)+G(1,-1,z_4)-G(1,1,z_4)+{} \notag \\ &+\frac{(3 z_4^2+1)G(0,1,z_4)}{1-z_4^2}+\frac{(3 z_4^2+1) G(0,-1,z_4)}{z_4^2-1}\biggr]+\mathcal{O}(\varepsilon^2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{38}
$$
2.3. Пример для случая FНаконец, рассмотрим $\varepsilon$-разложение функции
$$
\begin{equation}
{}_2 F_1 \biggl(\begin{matrix} \frac{1-3\varepsilon}{3},\frac{1+\varepsilon}{3} \\ \frac{1}{3} \end{matrix} \biggm|z\biggr).
\end{equation}
\tag{39}
$$
Матрица $\mathbf{M}$ для дифференциальной системы в данном случае имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{z} \\ \frac{(\varepsilon +1) (3 \varepsilon -1)}{9 (z-1)} & \frac{2 (\varepsilon z-z-1)}{3 (z-1) z} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{40}
$$
Для собственных значений матричных вычетов в сингулярных точках получим
$$
\begin{equation}
\mathbf{A}: \biggl\{\frac{2}{3},0\biggr\}, \qquad \mathbf{B}: \biggl\{0,\frac{2 (\varepsilon -2)}{3}\biggr\}, \qquad \mathbf{C}: \biggl\{\frac{\varepsilon +1}{3},\frac{1}{3}-\varepsilon \biggr\}.
\end{equation}
\tag{41}
$$
То есть в соответствии с нашей классификацией мы имеем дело со случаем F, удовлетворяющим дополнительным ограничениям. Таким образом, $\varepsilon$-разложение данной функции может быть вычислено в терминах обобщенных полилогарифмов. В соответствии с общей процедурой сначала мы получим целочисленные собственные значения в бесконечности. С этой целью применим матрицу преобразования
$$
\begin{equation}
\mathbf{T} = z^{-1/3}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{42}
$$
так что матрица преобразованной дифференциальной системы принимает вид
$$
\begin{equation}
\mathbf{M}' = \begin{pmatrix} \frac{1}{3 z} & \frac{1}{z} \vphantom{\Bigr\}}\\ \frac{(\varepsilon +1) (3 \varepsilon -1)}{9 (z-1)} & \frac{2 \varepsilon z-z-3}{3 (z-1) z} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{43}
$$
а собственные значения матричных вычетов в сингулярных точках становятся равными
$$
\begin{equation}
\mathbf{A}'\colon \,\biggl\{1,\frac{1}{3}\biggr\}, \qquad \mathbf{B}'\colon \,\biggl\{0,\frac{2 (\varepsilon -2)}{3}\biggr\}, \qquad \mathbf{C}'\colon \,\biggl\{-\varepsilon,\frac{\varepsilon }{3}\biggr\}.
\end{equation}
\tag{44}
$$
Далее проводим замену переменной $z \to z_1^3/(1+z_1^3)$, и оставшиеся собственные значения делаются целочисленными, а применение дополнительного преобразования
$$
\begin{equation}
\mathbf{T}' = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{3}{4}\vphantom{\Bigl)} \\ -\frac{1}{3} z_1^2 ((2 \varepsilon -1) z_1-\varepsilon ) & \frac{1}{4} z_1^2 (3 \varepsilon +(2 \varepsilon -1)z_1) \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{45}
$$
сводит дифференциальную систему к $\varepsilon$-форме, так что
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathbf{M}} =\begin{pmatrix} -\frac{3 (2 z_1^2-z_1+1)}{4(z_1^3+1)} & \frac{9(2 z_1+1)}{16 (z_1^2-z_1+1)} \vphantom{\biggl)} \\ \frac{ (2 z_1-3)}{3 (z_1^2-z_1+1)} & -\frac{(2 z_1^2+3 z_1-3)}{4(z_1^3+1)} \\ \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{46}
$$
Приведенная дифференциальная система легко интегрируется, и мы получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, {}_2 F_1 \Biggl(\begin{matrix} \frac{1-3\varepsilon}{3},\frac{1+\varepsilon}{3} \vphantom{\Bigr\}}\\ \frac{1}{3} \end{matrix} \Biggm|z\Biggr) ={}&\sqrt[3]{z_1^3+1} + \varepsilon \sqrt[3]{z_1^3+1} \times{} \notag \\ &\times \biggl(\frac{2}{3} G(f_6^0,z_1)-\frac{4}{3}G(f_6^1,z_1)-\frac{2}{3} G(-1,z_1)\biggr) +\mathcal{O}(\varepsilon^2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{47}
$$
2.4. Обзор алгоритмаСуммируя сказанное выше, процедуру разложения можно сформулировать в виде следующего алгоритма. Отправной точкой является гипергеометрическая функция ${}_pF_q$ с индексами $a_i$ и $b_j$, линейно зависящими от $\varepsilon$, вместе с желаемым порядком $\varepsilon$-разложения $o$. На выходе алгоритма мы хотим иметь $\varepsilon$-разложение данной функции в терминах обобщенных полилогарифмов до заданного порядка $o$. Для выполнения поставленной задачи нам необходимо выполнить следующие шаги.
3. Разложение функций АппеляПодход, использованный в предыдущем разделе для получения $\varepsilon$-разложений обобщенных гипергеометрических функций одной переменной, естественным образом обобщается на гипергеометрические функции многих переменных. Для начала рассмотрим функции Аппеля от двух переменных. Четыре основных функции Аппеля можно определить в следующем виде [74], [75]:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} F_1(\alpha,\beta_1,\beta_2,\gamma; x, y) &= \sum_{m,n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_{m+n}(\beta_1)_m(\beta_2)_n}{(\gamma)_{m+n}m!\,n!}x^my^n, &\quad &|x|<1,\; |y|<1, \\ F_2(\alpha,\beta_1,\beta_2,\gamma_1, \gamma_2; x, y) &= \sum_{m,n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_{m+n}(\beta_1)_m(\beta_2)_n}{(\gamma_1)_{m}(\gamma_2)_{n}m!\,n!}x^my^n, &\quad &|x|+|y|<1, \\ F_3(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma; x, y) &= \sum_{m,n=0}^{\infty}\frac{(\alpha_1)_{m}(\alpha_2)_{n}(\beta_1)_m(\beta_2)_n}{(\gamma)_{m+n}m!\,n!}x^my^n, &\quad &|x|<1,\;|y|<1, \\ F_4(\alpha,\beta,\gamma_1, \gamma_2; x, y) &= \sum_{m,n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_{m+n}(\beta)_{m+n}}{(\gamma_1)_{m}(\gamma_2)_{n}m!\,n!}x^my^n, &\quad &\!\!\!\!\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}<1. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{49}
$$
По аналогии с обобщенными гипергеометрическими функциями одной переменной мы также можем ввести сдвиговые дифференциальные операторы для функций Аппеля. Их действие аналогично (14):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl(\frac{a}{\gamma-1}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{b}{\gamma-1}\frac{\partial}{\partial y}+1\biggr)\sum_{m,n=0}^{\infty}\frac{f(m,n)x^my^n}{(\gamma)_{am+bn}} & = \sum_{m,n=0}^{\infty}\frac{f(m,n)x^my^n}{(\gamma-1)_{am+bn}}, \\ \biggl(\frac{a}{\alpha}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{b}{\alpha}\frac{\partial}{\partial y}+1\biggr)\sum_{m,n=0}^{\infty}(\alpha)_{am+bn}f(m,n)x^my^n & = \sum_{m,n=0}^{\infty}(\alpha+1)_{am+bn}f(m,n)x^my^n, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{50}
$$
и их также можно использовать для уменьшения собственных значений матричных вычетов в соответствующих дифференциальных системах до использования балансовых преобразований. Для записи требуемой матричной системы дифференциальных уравнений мы должны определиться с базисом функций. Естественным выбором такого базиса является сама функция вместе с ее частными производными. Также нам достаточно иметь дифференциальную систему только по одной из переменных, например $x$. Это связано с тем, что функции Аппеля вырождаются в обычные гипергеометрические функции в случае, когда один из их аргументов равен нулю. Таким образом, нам не нужна полная система дифференциальных уравнений в пфаффовой форме, т. е. полный дифференциал базисных функций, и мы можем работать только с одной из ее компонент. Граничные условия для дифференциальной системы по одной из переменных можно получить, используя метод из предыдущего раздела. Это особенно удобно, поскольку при решении матричной системы дифференциальных уравнений мы сразу получаем решения для гипергеометрической функции вместе с ее производными, из которых легко составить граничные условия для дифференциальной системы функций Аппеля. В качестве простого примера рассмотрим функцию Аппеля $F_1$. Эта функция удовлетворяет системе из двух уравнений в частных производных второго порядка
$$
\begin{equation}
\biggl[x(1-x)\frac{\partial^2}{\partial x^2} + y(1-x)\frac{\partial^2}{\partial x\, \partial y} + [\gamma - (\alpha +\beta_1+1)x]\frac{\partial}{\partial x}-\beta_1 y \frac{\partial}{\partial y} - \alpha \beta_1\biggr]F_1 = 0,
\end{equation}
\tag{51}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl[y(1-y)\frac{\partial^2}{\partial y^2} + x(1-y)\frac{\partial^2}{\partial x\, \partial y} + [\gamma - (\alpha +\beta_2+1)y]\frac{\partial}{\partial y}-\beta_2 x \frac{\partial}{\partial x} - \alpha \beta_2\biggr]F_1 = 0.
\end{equation}
\tag{52}
$$
Эта система уравнений имеет три линейно независимых решения. Соответственно ее можно свести к системе из трех линейных дифференциальных уравнений по одной из переменных, рассматривая вторую переменную как параметр. Выбирая базис функций как
$$
\begin{equation}
\mathbf{J}_1 = \biggl\{F_1, x\frac{\partial}{\partial x}F_1, y\frac{\partial}{\partial y}F_1 \biggr\},
\end{equation}
\tag{53}
$$
логично предположить, что эти три компоненты являются линейно независимыми. Тогда из уравнений в частных производных (51), (52) следует, что выбранные базисные функции удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial x}\mathbf{J}_1 = \biggl(\frac{\mathbf{A}_0}{x}+\frac{\mathbf{A}_1}{x-1}+\frac{\mathbf{A}_y}{x-y}\biggr)\mathbf{J}_1,
\end{equation}
\tag{54}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathbf{A}_0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & \beta_2-\gamma +1 & 0 \\ 0 & -\beta_2 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{A}_1 =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -\alpha\beta_1 & -\alpha -\beta_1+\gamma -1 & -\beta_1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \\ \mathbf{A}_y = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\beta_2 & \beta_1 \\ 0 & \beta_2 & -\beta_1 \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{55}
$$
и собственные значения матричных вычетов в особых точках имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbf{A}_0: &\quad \{0, 0, \beta _2-\gamma +1 \}, \\ \mathbf{A}_1:&\quad \{0, 0, -\alpha -\beta _1+\gamma -1 \}, \\ \mathbf{A}_y:&\quad \{0, 0, -\beta _1-\beta _2 \}, \\ \mathbf{A}_{\infty}: &\quad \{\alpha, \beta_1, \beta_1 \}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{56}
$$
Граничные условия даются обычной гипергеометрической функцией
$$
\begin{equation*}
F_1(\alpha,\beta_1,\beta_2,\gamma; 0, y) = {}_2 F_1 \biggl(\begin{matrix} \alpha,\beta_2 \\ \gamma \end{matrix} \biggm|y\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
вместе с ее первой производной по $y$. Разложение в ряд по $\varepsilon$ последних может быть найдено с использованием алгоритма из предыдущего раздела. Как уже отмечалось, решение соответствующей системы дифференциальных уравнений дает разложение как для функции ${}_2 F_1$, так и для ее производной $y\frac{d}{dy}{}_2 F_1$. Посмотрим теперь, как можно получить систему дифференциальных уравнений (54), используя методы обычной линейной алгебры. Заметим также, что в общем случае для этого используется процедура приведения системы дифференциальных уравнений к пфаффовой форме с использованием техники базисов Грёбнера [76]. Обозначим базисные функции как $\mathbf{J}_1 = \{J_a, J_b, J_c\}$, тогда уравнения (51) и (52) принимают вид
$$
\begin{equation}
x ((x-1)(J'_b+J'_c)+\beta_1 J_c)+J_b (-\gamma +x (\alpha +\beta_1)+1)+\alpha \beta_1 x J_a = 0,
\end{equation}
\tag{57}
$$
$$
\begin{equation}
(y-1) y^2 \frac{\partial^2}{\partial y^2}F_1+x (y-1) J'_c+J_c (y (\alpha +\beta_2+1)-\gamma )+\alpha \beta_2 J_a y+\beta_2 y J_b =0,
\end{equation}
\tag{58}
$$
где штрих обозначает производную по $x$. В дополнение у нас есть еще одно уравнение, следующее из определения базисных функций: В данных обозначениях сразу становится понятно, что в исходных уравнениях имеется “лишний” член $\frac{\partial^2}{\partial y^2}F_1$, который необходимо выразить через базис функций $\{J_a , J_b, J_c\}$. Для этого, дифференцируя уравнение (51) по $y$ и уравнение (52) по $x$, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &-\beta_1 y^2 \frac{\partial^2}{\partial y^2}F_1-{}(x-1) y \biggl(y \frac{\partial^3}{\partial x\, \partial y^2}F_1+x \frac{\partial^3}{\partial x^2\, \partial y}F_1\biggr)+J'_c (\gamma -{} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad-x (\alpha +\beta_1+2)+1)-(\alpha +1)\beta_1 J_c = 0, \\ &\hphantom{-}x (y-1){} y \biggl(y \frac{\partial^3}{\partial x\, \partial y^2}F_1+x \frac{\partial^3}{\partial x^2\, \partial y}F_1\biggr) +x J'_c (-\gamma +y (\alpha +\beta_2+2)-1)+{} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\qquad+ \beta_2 x y J'_b+\alpha \beta_2 y J_b=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{60}
$$
Заметим, что помимо базисных функций $\{J_a, J_b, J_c \}$ и их первых производных по $x$ эти уравнения зависят только от двух дополнительных комбинаций
$$
\begin{equation*}
\biggl(y \frac{\partial^3}{\partial x\, \partial y^2}F_1+x \frac{\partial^3}{\partial x^2\, \partial y}F_1\biggr)\quad \text{и} \quad \frac{\partial^2}{\partial y^2}F_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, эти уравнения позволяют выразить упомянутые комбинации исключительно через базисные функции. Нас интересует только одна из двух комбинаций, для которой получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (y-1) y^2 \frac{\partial^2}{\partial y^2}F_1 &= \frac{1}{\beta_1 x} [x J'_c (x (\alpha +\beta_1-\gamma-\beta_1 y+\beta_2 y+1)-y(\alpha +\beta_2-\gamma+1))+{} \notag \\ &+\beta_2 (x-1) x y J'_b -(\alpha +1) \beta_1 J_c x (y-1)+\alpha \beta_2 (x-1) y J_b]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{61}
$$
Наконец, подставив это выражение в уравнение (58) и объединив уравнения (57), (58) и (59), мы получим искомую дифференциальную систему (54). С другими функциями Аппеля ситуация аналогичная, с той лишь разницей, что теперь их системы дифференциальных уравнений в частных производных имеют четыре линейно независимых решения. Мы будем выбирать базис для соответствующих систем дифференциальных уравнений в виде7
$$
\begin{equation}
\mathbf{J}_i = \biggl\{F_i, x\frac{\partial}{\partial x}F_i, y\frac{\partial}{\partial y}F_i, yx\frac{\partial^2}{\partial y\partial x }F_i \biggr\},\qquad i=2,3,
\end{equation}
\tag{62}
$$
и
$$
\begin{equation}
\mathbf{J}_4 = \biggl\{F_4, x\frac{\partial}{\partial x}F_4, y\frac{\partial}{\partial y}F_4, y^2(x-(1-\sqrt{y}\,)^2)\frac{\partial^2}{\partial y^2}F_4 +y(x-(1-\sqrt{y}\,)^2-1)\frac{\partial}{\partial y}F_4 \biggr\}.
\end{equation}
\tag{63}
$$
В случае функции $F_4$ такой нетривиальный базис был выбран для того, чтобы заранее упростить собственные значения матричных вычетов. Это необязательно, но позволяет существенно ускорить фактические расчеты. В действительности это базис функций, полученный из $\left\{F_4, x\frac{\partial}{\partial x}F_4, y\frac{\partial}{\partial y}F_4, y^ 2\frac{\partial^2}{\partial y }F_4 \right\}$ с использованием одного балансового преобразования. Системы дифференциальных уравнений в приведенных базисах функций имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{d}{dx}\mathbf{J}_2 &= \biggl(\frac{\mathbf{B}_0}{x}+\frac{\mathbf{B}_1}{x-1}+\frac{\mathbf{B}_{y}}{x-1+y}\biggr)\mathbf{J}_2, \\ \frac{d}{dx}\mathbf{J}_3 &= \biggl(\frac{\mathbf{C}_0}{x}+\frac{\mathbf{C}_1}{x-1}+\frac{\mathbf{C}_{y}}{x-\frac{y}{y-1}}\biggr)\mathbf{J}_3, \\ \frac{d}{dx}\mathbf{J}_4 &= \biggl(\frac{\mathbf{D}_0}{x}+\frac{\mathbf{D}_{y}}{x-(\sqrt{y}+1)^2}+\frac{\mathbf{D}_{-y}}{x-(\sqrt{y}-1)^2}\biggr)\mathbf{J}_4. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{64}
$$
Для того чтобы не загромождать изложение, мы не приводим здесь явные выражения для матриц $\mathbf{B}$, $\mathbf{C}$ и $\mathbf{D}$. Отметим лишь, что в общем случае они зависят от переменной $y$. Тем не менее полезно выписать явные выражения для собственных значений матричных вычетов в сингулярных точках. Для функции $F_2$ они имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbf{B}_0: &\quad \{0,0,1-\gamma_1,1-\gamma_1\}, \\ \mathbf{B}_1:&\quad \{0,0,0,-\alpha -\beta_1+\beta _2+\gamma_1-1\}, \\ \mathbf{B}_y:&\quad \{0,0,0,-\alpha -\beta_1-\beta _2+\gamma_1+\gamma_2-2\}, \\ \mathbf{B}_{\infty}: &\quad \{\alpha,\beta_1,\beta _1,\alpha -\gamma_2+1\}\, , \end{aligned}
\end{equation}
\tag{65}
$$
для функции $F_3$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbf{C}_0: &\quad\{0,0,\alpha_2-\gamma +1,\beta_2-\gamma +1\}, \\ \mathbf{C}_1:& \quad\{0,0,0,-\alpha_1-\beta _1+\gamma -1\}, \\ \mathbf{C}_y:& \quad\{0,0,0,-\alpha_1-\alpha_2-\beta_1-\beta_2+\gamma -1\}, \\ \mathbf{C}_{\infty}: & \quad\{\alpha_1,\alpha_1,\beta_1,\beta_1\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{66}
$$
и, наконец, для функции $F_4$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbf{D}_0: & \quad\{0,0,1-\gamma_1,1-\gamma_1\}, \\ \mathbf{D}_{y}:& \quad\biggl\{0,0,0,-\alpha -\beta +\gamma_1+\gamma_2-\frac{5}{2}\biggr\}, \\ \mathbf{D}_{-y}:& \quad\biggl\{0,0,0,-\alpha -\beta +\gamma_1+\gamma_2-\frac{3}{2}\biggr\}, \\ \mathbf{D}_{\infty}: & \quad\{\alpha,\beta,\alpha -\gamma_2+1,\beta -\gamma_2+1\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{67}
$$
В целом алгоритм получения разложений функций Аппеля работает так же, как и в случае функций ${}_pF_q$. Однако наличие дополнительного параметра усложняет расчеты. Особенно трудоемким в общем случае является поиск необходимой замены переменной. Поэтому на данный момент мы ограничимся только двумя случаями: когда все собственные значения матричных вычетов являются целыми числами (случай А) и когда два матричных вычета содержат полуцелые значения8 (случай B). В последнем случае необходимая замена переменной имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
x_\mathrm{new} =\begin{cases} \sqrt{\dfrac{x-x_1}{x-x_2}},& x_{1,2} \ne \infty, \\ \vphantom{\Bigl\}}\sqrt{x-x_1},& x_{2} = \infty, \end{cases}
\end{equation}
\tag{68}
$$
где $x_1$ и $x_2$ – две сингулярные точки, в которых собственные значения матричных вычетов имеют полуцелые значения. В более сложных случаях, таких как полуцелые собственные значения в трех сингулярных точках, возникают вычислительные проблемы, которые требуют различных подходов как для балансировки собственных значений, так и для поиска подходящей замены переменной. Мы оставим этот вопрос для будущих исследований. Интересно отметить, что для функций $F_1$, $F_2$ и $F_3$ возможны как случай A, так и случай B, а для функции $F_4$ возможен только случай B, даже если все индексы являются целыми числами. В качестве примеров $\varepsilon$-разложений некоторых функций Аппеля, которые выражаются в терминах обобщенных полилогарифмов и требующих нетривиальной замены переменной9, можно рассмотреть следующие функции:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &F_1\biggl(\frac{1}{2};1,2-\frac{d}{2};\frac{3}{2};x,y\biggr) =\frac{G(-1,\sqrt{x}\,)-G(1,\sqrt{x}\,)}{2 \sqrt{x}}+{} \\ &\qquad\qquad+ \frac{\varepsilon}{2\sqrt{x}}(-G(-1,\sqrt{x}\,) (G(-1,\sqrt{y}\,)+G(1,\sqrt{y}\,))+{} \\ &\qquad\qquad+G(1,\sqrt{y}\,)(G(-\sqrt{y},\sqrt{x}\,)-G(\sqrt{y},\sqrt{x}\,)+G(1,\sqrt{x}\,))+{} \\ &\qquad\qquad+G(-1,\sqrt{y}\,)(-G(-\sqrt{y},\sqrt{x}\,)+G(\sqrt{y},\sqrt{x}\,)+G(1,\sqrt{x}\,))-{} \\ &\qquad\qquad-G(-\sqrt{y},-1,\sqrt{x}\,)+G(-\sqrt{y},1,\sqrt{x}\,)-G(\sqrt{y},-1,\sqrt{x}\,)+{} \\ &\qquad\qquad+G(\sqrt{y},1,\sqrt{x}\,)+2G(0,-1,\sqrt{x}\,)-2 G(0,1,\sqrt{x}\,))+\mathcal{O}(\varepsilon^2), \\ &F_1\biggl(\frac{d-2}{2};1,\frac{1}{2};\frac{d}{2};x,y\biggr) = \frac{1}{x}\sqrt{\frac{x}{x-y}}\, \biggl[G\biggl(1,\sqrt{\frac{x}{x-y}}\,\biggr)-G\biggl(-1,\sqrt{\frac{x}{x-y}}\,\biggr)+{} \\ &\qquad\qquad+G\biggl(-\frac{1}{\sqrt{1-y}},\sqrt{\frac{x}{x-y}}\,\biggr)- G\biggl(\frac{1}{\sqrt{1-y}},\sqrt{\frac{x}{x-y}}\,\biggr)\biggr]+ \mathcal{O}(\varepsilon), \\ &F_3\biggl(1,1,1,\frac{d-3}{2},\frac{d}{2},x,y\biggr) = \frac{1}{x}\sqrt{\frac{x}{x+y-xy}}\, \biggl[G\biggl(1,\sqrt{\frac{x}{x-\frac{y}{y-1}}}\,\biggr)-{} \\ &\qquad\qquad-G\biggl(-1,\sqrt{\frac{x}{x-\frac{y}{y-1}}}\,\biggr)+ G\biggl(-\sqrt{1-y},\sqrt{\frac{x}{x-\frac{y}{y-1}}}\,\biggr)-{} \\ &\qquad\qquad-G\biggl(\sqrt{1-y},\sqrt{\frac{x}{ x-\frac{y}{y-1}}}\,\biggr)\biggr]+\mathcal{O}(\varepsilon), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{69}
$$
где $d = 4-2\varepsilon$. Старшие поправки по $\varepsilon$ также могут быть получены с помощью нашего пакета и соответствующие примеры могут быть найдены в ноутбуке с примерами DIOGENES_Examples.nb (см. приложение В). 3.1. ПримерВ качестве конкретного примера рассмотрим функцию
$$
\begin{equation}
F_1\biggl(1,\varepsilon,\frac{1}{2},2-\frac{2\varepsilon}{3}; x, y\biggr),
\end{equation}
\tag{70}
$$
которая достаточно проста, но при этом дает представление об основных моментах общей процедуры разложения. Матрица соответствующей дифференциальной системы в базисе (53) имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{x} & 0 \vphantom{\Bigl\}} \\ -\frac{\varepsilon}{x-1} & \frac{-(\varepsilon +1)x^2+x (-2 \varepsilon/3+(\varepsilon +1/2) y+1)+(2 \varepsilon/3-1/2) y}{(x-1) x (x-y)} & \frac{\varepsilon (y-1)}{(x-1) (x-y)} \\ 0 & \frac{y}{2x (x- y)} & -\frac{\varepsilon }{x-y} \vphantom{\Bigl\}} \\ \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{71}
$$
а граничные условия задаются вектором
$$
\begin{equation}
\mathbf{J}_b= \Biggl\{{}_2 F_1 \Biggl( \begin{matrix} 1, \frac{1}{2} \\ 2-\frac{2\varepsilon}{3} \vphantom{\Bigr\}} \end{matrix} \Biggm|y\Biggr), 0, y\frac{d}{dy}{}_2 F_1 \Biggl( \begin{matrix} 1, \frac{1}{2} \vphantom{\Bigr\}} \\ 2-\frac{2\varepsilon}{3} \end{matrix} \Biggm|y\Biggr)\! \Biggr\}.
\end{equation}
\tag{72}
$$
Разложение функции ${}_2F_1$ и ее первой производной по $y$ в ряд по $\varepsilon$ в терминах обобщенных полилогарифмов можно получить, используя алгоритм из раздела 2. Собственные значения матричных вычетов для матрицы $\mathbf{M}$ в сингулярных точках имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 0: & \quad \biggl\{ 0 \, 0 \, -\frac{1}{2}+\frac{2\varepsilon}{3} \biggr\}, \\ 1:& \quad \biggl\{ -\frac{5 \varepsilon }{3} \, 0 \, 0 \biggr\}, \\ y:& \quad \biggl\{ 0 \, 0 \, -\varepsilon -\frac{1}{2} \biggr\}, \\ \infty: & \quad \{ 1 \, \varepsilon \, \varepsilon \}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{73}
$$
Мы видим, что собственные значения в точках $x=0$ и $x = y$ являются полуцелыми. Следовательно, их можно свести к целочисленным значениям с помощью замены переменной $z_{13} = \sqrt{x/(x-y)}$. Далее дифференциальная система сводится к $\varepsilon$-форме с помощью обычных балансовых преобразований. В итоге мы получаем
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \tilde{\mathbf{J}}}{\partial z_{13}} = \varepsilon \widetilde{\mathbf{M}} \tilde{\mathbf{J}},
\end{equation}
\tag{74}
$$
где
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathbf{M}} =\begin{pmatrix} \frac{2 (3 z_3^2 z_{13}^4-5 z_{13}^2+2)}{3 z_{13} (z_3^2 z_{13}^2-1) (z_{13}^2-1)} & \frac{22 z_3^2 z_{13}^2}{7 (z_{13}^2-1) (z_3^2 z_{13}^2-1)} & -\frac{11 (3 z_3^2 z_{13}^2-7)}{21(z_{13}^2-1) (z_3^2 z_{13}^2-1)} \vphantom{\Bigr\}^2}\\ \frac{4 (3 y+4)}{33 (z_3^2 z_{13}^2-1)} & -\frac{2 (3 y+4) z_{13}}{7 (z_{13}^2-1) (z_3^2z_{13}^2-1)} & -\frac{4 (3 y+4) z_{13}}{21 (z_{13}^2-1) (z_3^2 z_{13}^2-1)} \vphantom{\biggr\}} \\ -\frac{8 z_3^2}{11( z_3^2 z_{13}^2-1)} & \frac{12 z_3^2 z_{13}}{7 (z_{13}^2-1) (z_3^2 z_{13}^2-1)} & \frac{8z_3^2 z_{13}}{7 (z_{13}^2-1) (z_3^2 z_{13}^2-1)} \vphantom{\Bigr\}^2} \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{75}
$$
и $z_3 = \sqrt{1-y}$. Новый базис функций $\tilde{\mathbf{J}}$ связан со старым как $\mathbf{J} = \mathbf{T}\cdot\tilde{\mathbf{J}}$, где
$$
\begin{equation}
\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \frac{6}{11 z_{13}} & 0 & -1\vphantom{\Bigr\}} \\ \frac{4 \varepsilon +(3-10 \varepsilon ) z_{13}^2-3}{11 z_{13}} & 0 & \varepsilon \vphantom{\Bigr\}}\\ \frac{(10 \varepsilon -3) z_{13}^2-3}{11 z_{13}} & \frac{1}{7} (10 \varepsilon -3) & -\frac{5}{7} (\varepsilon -1)\vphantom{\Bigr\}} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{76}
$$
Наконец, интегрируя полученную систему дифференциальных уравнений с учетом граничных условий, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &F_1\biggl(1,\varepsilon,\frac{1}{2},2-\frac{2\varepsilon}{3}; x, y\biggr) =\frac{2}{z_3+1}+\frac{2 \varepsilon}{3 y} \biggl(\frac{3}{z_3}\biggl(-y-\frac{z_3}{z_{13}}+1\biggr) G\biggl(\frac{1}{z_3},z_{13}\biggr)-{} \notag \\ &-4 z_3 G(-1,z_3) +4 z_3 G(0,z_3) +3\biggl(\frac{1}{z_{13}}-z_3\biggr) G(1,z_{13})+3 \biggl(z_3+\frac{1}{z_{13}}\biggr) G\biggl(-\frac{1}{z_3},z_{13}\biggr)- {} \notag \\ &-3\biggl(z_3 +\frac{1}{z_{13}}\biggr) G(-1,z_{13})+4 z_3 (\log (2)-2)+8\biggr)+\mathcal{O}(\varepsilon^2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{77}
$$
Также мы можем использовать дифференциальные операторы сдвига для вычисления более сложных функций. Например, используя соотношение
$$
\begin{equation}
F_1\biggl(1,1+\varepsilon,\frac{1}{2},2-\frac{2\varepsilon}{3}; x, y\biggr) = \biggl(\frac{1}{\varepsilon}\frac{\partial}{\partial x} + 1\biggr) F_1\biggl(1,\varepsilon,\frac{1}{2},2-\frac{2\varepsilon}{3}; x, y\biggr)
\end{equation}
\tag{78}
$$
и вычисляя производные $G$-функций по формуле (А.3), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, F_1\biggl(1,1+\varepsilon,\frac{1}{2},2-{}\frac{2\varepsilon}{3}; x, y\biggr)={}&\frac{1}{x}\biggl( z_{13}G(1,z_{13})+z_{13} G\biggl(-\frac{1}{z_3},z_{13}\biggr)-{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\quad-z_{13} G\biggl(\frac{1}{z_3},z_{13}\biggr)\biggr)+\mathcal{O}(\varepsilon). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{79}
$$
3.2. Функциональные соотношенияИногда, для определенных значений параметров, функции Аппеля можно свести к более простым гипергеометрическим функциям. Исключая тривиальные случаи, когда один из аргументов или индексов равен нулю, мы имеем следующие функциональные соотношения [74], [75]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &F_2(\alpha;\beta_1,\beta_2;\beta_1,\gamma_2;x,y) = (1-x)^{-\alpha}{}_2F_1\biggl( \begin{matrix} \alpha,\beta_2 \\ \gamma_2 \end{matrix} \biggm|\frac{y}{1-x}\biggr), \\ &F_2(\alpha;\beta_1,\beta_2;\gamma_1,\alpha ;x,y) = (1-y)^{-\beta_2}F_1\biggl(\beta_1;\alpha-\beta_2,\beta_2;\gamma_1;x, \frac{x}{1-y}\biggr), \\ &F_3(\alpha,\gamma-\alpha;\beta,\gamma-\beta;\gamma;x,y) = (1-y)^{\alpha+\beta-\gamma} {}_2F_1\biggl(\begin{matrix} \alpha,\beta \\ \gamma \end{matrix} \biggm|x+y-xy\biggr), \\ &F_3\biggl(\alpha,\gamma-\alpha;\beta_1,\beta_2;\gamma;x,\frac{y}{y-1}\biggr) = (1-y)^{\beta_2}F_1(\alpha;\beta_1,\beta_2;\gamma;x,y), \\ &F_4(\alpha;\beta;\gamma,1+\alpha+\beta-\gamma; x(1-y), y(1-x)) ={} \\ &\qquad \qquad= {}_2F_1\biggl(\begin{matrix} \alpha,\beta \\ \gamma \end{matrix} \biggm|x\biggr) {}_2F_1\biggl(\begin{matrix} \alpha,\beta \\ 1+\alpha+\beta-\gamma \end{matrix} \biggm|y\biggr), \\ &F_4(\alpha;\beta;\gamma,\beta; x(1-y), y(1-x)) = (1-x)^{-\alpha}(1-y)^{-\alpha}\times{} \\ &\qquad \qquad \times F_1\biggl(\alpha;1+\alpha-\gamma, \gamma- \beta;\gamma;\frac{xy}{(1-x)(1-y)},\frac{x}{x-1}\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{80}
$$
а также подобные соотношения, получающиеся перестановкой индексов. Мы не включили сюда соотношения для функции $F_1$, поскольку они уже реализованы в системе Wolfram Mathematica. Очевидно, что эти соотношения вместе с описанной процедурой разложения дают нам дополнительные возможности для полилогарифмических разложений в этих частных случаях.
4. Разложение функций ЛауричеллыДальнейшим обобщением функций Аппеля на случай большего количества переменных являются функции Лауричеллы [74], [75]. В настоящей работе мы рассмотрим следующие три функции10:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, F_A^{(n)}(\alpha; \beta_1,\dots, \beta_n;{}& \gamma_1,\dots,\gamma_n; x_1,\dots,x_n) ={} \\ &= \sum_{m_1,\dots, m_n = 0}^{\infty}\frac{(\alpha)_{m_1+\cdots+m_n}(\beta_1)_{m_1}\dots(\beta_n)_{m_n}}{(\gamma_1)_{m_1}\dots(\gamma_n)_{m_n}m_1!\dots m_n!}x_1^{m_1}\dots x_n^{m_n}, \\ F_B^{(n)}(\alpha_1,\dots,\alpha_n;{}& \beta_1,\dots, \beta_n;\gamma; x_1,\dots,x_n) ={} \\ &= \sum_{m_1,\dots, m_n = 0}^{\infty}\frac{(\alpha_1)_{m_1}\dots (\alpha_n)_{m_n}(\beta_1)_{m_1}\dots(\beta_n)_{m_n}}{(\gamma)_{m_1+\cdots+m_n}m_1!\dots m_n!}x_1^{m_1}\dots x_n^{m_n}, \\ F_D^{(n)}(\alpha; \beta_1,\dots, \beta_n;{}& \gamma; x_1,\dots,x_n) ={} \\ &= \sum_{m_1,\dots, m_n = 0}^{\infty}\frac{(\alpha)_{m_1+\cdots+m_n}(\beta_1)_{m_1}\dots(\beta_n)_{m_n}}{(\gamma)_{m_1+\cdots+m_n}m_1!\dots m_n!}x_1^{m_1}\dots x_n^{m_n}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{81}
$$
При $n=2$ функции Лауричеллы, очевидно, сводятся к функциям Аппеля:
$$
\begin{equation}
F_A^{(2)} = F_2, \qquad F_B^{(2)} = F_3, \qquad F_D^{(2)} = F_1.
\end{equation}
\tag{82}
$$
Все шаги разложения функций Лауричеллы в ряд по $\varepsilon$ аналогичны шагам для функций Аппеля. Дифференциальные операторы сдвига могут быть введены точно так же, как в уравнениях (50). Аналогично происходит и вывод систем дифференциальных уравнений. Граничные условия для функций с $n$ переменными даются функциями с $(n-1)$ переменными. Единственным важным отличием является количество переменных, рассматриваемых как параметры в дифференциальных системах, что фактически увеличивает только сложность вычислений. По этой причине мы опустим подробное описание процедуры разложения в данном случае и ограничимся обсуждением ее отличий от процедуры разложения для ранее рассмотренных функций Аппеля. По аналогии со случаем функций Аппеля базис функций для матричной дифференциальной системы может быть выбран как
$$
\begin{equation}
\{\theta_{x_{j_1}} \dots \theta_{x_{j_k}}F_i\, | \, 0 \leqslant k \leqslant n,\; j_1 < j_2 < \dots < j_k\}, \qquad i = {A,B},
\end{equation}
\tag{83}
$$
и где $\theta_a = \partial/\partial a$. Таким образом, для функций $F_A^{(n)}$ и $F_B^{(n)}$ базис состоит из $2^n$ элементов, а для более простых функций $F_D^{(n)}$ базис содержит $n + 1$ элементов. Кроме того, системы дифференциальных уравнений теперь имеют больше особых точек. При $n=3$ системы дифференциальных уравнений по переменной $x_1$ имеют следующие особенности:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, F_A^{(3)}: & \quad \{0, 1, 1- x_2,1-x_3,1-x_2-x_3,\infty\}, \\ F_B^{(3)}:& \quad \biggl\{0,1,\frac{x_2}{x_2-1},\frac{x_3}{x_3-1},\frac{x_2 x_3}{x_2 x_3-x_2-x_3},\infty\biggr\}, \\ F_D^{(3)}:& \quad \{0,1,x_2,x_3,\infty \}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{85}
$$
Чем выше $n$, тем труднее получить желаемые разложения. На практике мы можем более или менее стабильно получать решения для $n = 3$ и в некоторых простых случаях для $n = 4$. Конечно, вычисление разложений для функций $F_D^{(n)}$ проще других из-за меньшего размера базиса, который растет только линейно с ростом $n$. 4.1. ПримерДля функций Лауричеллы вычисление разложений становится весьма громоздким. Поэтому мы приведем лишь довольно простой пример с небольшим количеством деталей. Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation}
F_D^{(3)}\biggl(\frac{1}{2}-\varepsilon;1,\varepsilon,\varepsilon;1+2\varepsilon;x,y,z\biggr).
\end{equation}
\tag{86}
$$
После выбора базиса функций, как указано выше, матрица $\mathbf{M}$ соответствующей дифференциальной системы может быть записана в виде
$$
\begin{equation}
\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{x} & 0 & 0 \vphantom{\bigr\}^2} \\ \frac{1-2 \varepsilon }{2(1- x)} & \frac{2 \varepsilon (x^2-2 x (y+z-1)+y (3 z-1)-z)-3(x-y) (x-z)}{2 (x-1)(x-y) (x-z)} & \frac{y-1}{(x-1) (x-y)} & \frac{z-1}{(x-1) (x-z)} \vphantom{\Bigr\}^2}\\ 0 & \frac{\varepsilon y}{x(x- y)} & \frac{1}{y-x} & 0 \vphantom{\bigr\}^2}\\ 0 & \frac{\varepsilon z}{x(x- z)} & 0 & \frac{1}{z-x}\vphantom{\bigr\}^2} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{87}
$$
Набор собственных значений матричных вычетов в сингулярных точках вычисляется просто, и мы имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 0: & \quad \{0,0,0,0\}, \\ 1: & \quad \biggl\{0,0,0,3 \varepsilon -\frac{3}{2}\biggr\}, \\ y: &\quad \{0,0,0,-\varepsilon -1\}, \\ z: &\quad \{0,0,0,-\varepsilon -1\}, \\ \infty: & \quad \biggl\{1,1,1,\frac{1}{2}-\varepsilon \biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{88}
$$
Данные собственные значения можно привести к целым числам с помощью простой замены переменной $z_x = \sqrt{1-x}$. Далее приведение дифференциальной системы к $\varepsilon$-форме проводится как обычно с использованием алгоритма Ли. Полученная в результате система дифференциальных уравнений легко интегрируется, и искомое разложение принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, F_D^{(3)}\biggl(\frac{1}{2}-\varepsilon;{}&1,\varepsilon,\varepsilon;1+2\varepsilon;x,y,z\biggr)= \frac{1}{z_x}- \frac{2\varepsilon}{z_x} [G(-z_y,z_x)+G(-z_z,z_x)+G(-1,z_y)-{} \notag \\ &-G(-z_y,1)+ G(-1,z_z)-G(-z_z,1)-3 \log z_x-\log (4)]+\mathcal{O}(\varepsilon^2), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{89}
$$
где $z_a = \sqrt{1-a}$.
5. ЗаключениеВ данной работе мы исследовали разложение различных гипергеометрических функций одной и нескольких переменных в ряд по малому параметру $\varepsilon$. В частности, мы изучали случай, когда индексы гипергеометрических функций линейно зависят от $\varepsilon$. Более того, мы ограничились случаями, когда элементы данных разложений могут быть записаны в терминах обобщенных полилогарифмов. Предлагаемая схема разложения основана на приведении соответствующих систем дифференциальных уравнений к $\varepsilon$-форме. В случае обобщенных гипергеометрических функций одной переменной мы нашли и классифицировали довольно много случаев, когда это возможно. Тем не менее могут быть и более экзотические случаи, которые мы упустили. У нас есть основания полагать, что во всех случаях, когда возможно разложение в терминах обобщенных полилогарифмов, должна существовать систематическая процедура нахождения требуемой замены переменной. Также в случаях, когда разложение в терминах обобщенных полилогарифмов невозможно, должна существовать систематическая процедура разложения обобщенных гипергеометрических функций в терминах повторных интегралов с алгебраическими ядрами. Что касается гипергеометрических функций многих переменных, то мы лишь коснулись этой темы, рассмотрев разложение в ряды Лорана функций Аппелля и Лауричеллы в нескольких простых случаях. Систематическое же изучение этих и других гипергеометрических функций многих переменных оставлено на будущее. Также следует проводить дальнейшее улучшение производительности пакета Diogenes в приложениях к гипергеометрическим функциям со многими переменными. Есть много направлений для улучшения, таких как оптимизация алгоритма редукции, параллельные вычисления и т. д. Все эти задачи станут предметом наших будущих исследований. Приложение А. Обобщенные полилогарифмыВ настоящей работе коэффициенты разложения гипергеометрических функций выражаются в терминах так называемых обобщенных полилогарифмов Гончарова11 (MPLs) [48], [49]. Последние определяются рекурсивно как
$$
\begin{equation}
G(a_1,\dots,a_n;x)=\int_0^x \frac{G(a_2,\dots,a_n;x')}{x'-a_1}\,dx', \qquad n>0,
\end{equation}
\tag{А.1}
$$
где $a_i,x \in \mathbb{C}$, $n \in \mathbb{N}$ – вес полилогарифма. Рекурсия начинается с $G(;x)=1$ и при нулевых индексах полилогарифма используется следующее регуляризующее правило:
$$
\begin{equation}
G(\underbrace{0,\dots,0}_n\,;x)=\frac{\log^n x}{n!}.
\end{equation}
\tag{А.2}
$$
Данное определение наиболее удобно для практических приложений и наиболее часто употребляется в физике элементарных частиц. MPLs является наиболее изученным классом функций. Детальный обзор свойств данных обобщенных полилогарифмов, включая структуру их алгебры Хопфа, может быть найден в работах [52], [53], [79]. Здесь же мы просто заметим, что данный класс функций замкнут относительно операций интегрирования и дифференцирования. В случае, когда индексы обобщенного полилогарифма $a_i$ не зависят от $x$ и $R(x)$ является некоторой рациональной функцией переменной $x$, интеграл от произведения $R(x)\cdot G(\vec{a};x)$ может быть записан как линейная комбинация некоторых других обобщенных полилогарифмов с рациональными коэффициентами. Аналогично производная $G(\vec{a}(x);f(x))$ может быть также записана как линейная комбинация обобщенных полилогарифмов. Например, для полной производной мы имеем
$$
\begin{equation}
d G(a_1,\dots,a_n;a_0)=\sum_{i=1}^nG(a_1,\dots,a_{i-1},a_{i+1},\dots,a_n;a_0)\,d \log \biggl(\frac{a_{i-1}-a_{i}}{a_{i+1}-a_i}\biggr),
\end{equation}
\tag{А.3}
$$
где $a_i \ne a_{i \pm 1}$. Помимо обычных обобщенных полилогарифмов мы также использовали так называемые циклотомические полилогарифмы
$$
\begin{equation}
G(f_m^l,\dots,a_n;x)=\int_0^x \frac{x'^lG(a_2,\dots,a_n;x')}{\Phi_m(x')}\,dx', \qquad n>0,
\end{equation}
\tag{А.4}
$$
где $\Phi_m(x')$ – циклотомический полином, определенный как
$$
\begin{equation}
\Phi_m(x)=\prod_{1 \leqslant k \leqslant m \atop \gcd(k, m) = 1} (x - e^{2 \pi i k/m}).
\end{equation}
\tag{А.5}
$$
Данные функции уже изучались довольно детально ранее (см., например, [80]–[82]). Использование циклотомических полилогарифмов позволяет записать коэффициенты разложения рассматриваемых гипергеометрических функций в гораздо более компактной форме. При этом, конечно, все циклотомические полилогарифмы могут быть переписаны в терминах обычных обобщенных полилогарифмов. Например, мы имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, G(\dots,f_4^1,\dots;x) & = \frac{1}{2}(G(\dots,i,\dots;x)+G(\dots,-i,\dots;x)), \\ G(\dots,f_4^0,\dots;x) & = \frac{1}{2i}(G(\dots,i,\dots;x)-G(\dots,-i,\dots;x)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{А.6}
$$
Приложение Б. Метод дифференциальных уравнений и приведение к $\varepsilon$-формеОсновным инструментом, используемым в данной работе, является редукция фуксовой дифференциальной системы к $\varepsilon$-форме. Поэтому имеет смысл напомнить основные шаги данного метода. Рассмотрим матричную систему дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation}
\frac{d \mathbf{J}}{dx} = \mathbf{M}(x,\varepsilon) \mathbf{J},
\end{equation}
\tag{Б.7}
$$
где $\mathbf{J}$ – вектор не зависящих от $x$ функций, $\mathbf{M}$ – матрица, рациональная относительно переменных $x$ и $\varepsilon$. В общем случае матрица $\mathbf{M}$ может также зависеть от других параметров. Важно, что собственные значения матричных вычетов в сингулярных точках относительно переменной $x$ зависят только от $\varepsilon$. Преобразования вектора функций $\mathbf{J}$ с помощью обратимой матрицы $\mathbf{T}$
$$
\begin{equation}
\mathbf{J} = \mathbf{T}(x,\varepsilon) \tilde{\mathbf{J}}
\end{equation}
\tag{Б.8}
$$
приводит к новой системе дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation}
\frac{d \tilde{\mathbf{J}}}{dx} = \widetilde{\mathbf{M}}\tilde{\mathbf{J}} =\biggl[\mathbf{T}^{-1}\mathbf{M} \mathbf{T} - \mathbf{T}^{-1}\frac{d}{dx}\mathbf{T}\biggr]\tilde{\mathbf{J}}.
\end{equation}
\tag{Б.9}
$$
Как было показано в работе [67], иногда преобразование (Б.8) позволяет свести дифференциальную систему к довольно удобному виду
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathbf{M}}(x,\varepsilon) = \varepsilon \sum_r \frac{\overline{\mathbf{M}}_r}{x - x_r} = \varepsilon \overline{\mathbf{M}}(x).
\end{equation}
\tag{Б.10}
$$
Данное представление известно как $\varepsilon$-форма. Одним из наиболее часто используемых способов сведения дифференциальной системы к $\varepsilon$-форме является алгоритм Ли [68]. Существует критерий сводимости дифференциальной системы к $\varepsilon$-форме, сформулированный на языке векторных расслоений над сферой Римана [69]. Основным преимуществом записи дифференциальной системы в такой форме является легкость, с которой получается пертурбативное решение системы дифференциальных уравнений. Алгоритм Ли для редукции дифференциальной системы к $\varepsilon$-форме состоит из двух основных частей12. Первая часть алгоритма состоит в сведении дифференциальной системы к фуксовой форме13, а во второй части происходит нормализация собственных значений матричных вычетов в сингулярных точках. Так как в настоящей работе мы работаем с фиксированным классом функций, начальный базис функций всегда может быть выбран таким образом, что соответствующая дифференциальная система автоматически имеет фуксову форму. Таким образом, для дальнейшего сведения нашей дифференциальной системы к $\varepsilon$-форме нам необходимо использовать только вторую часть алгоритма, которую мы схематически опишем ниже. Предположим, что у нас есть дифференциальная система в фуксовой форме, описываемая матрицей $\mathbf{M}$ вида
$$
\begin{equation}
\mathbf{M}(x,\varepsilon) = \sum_r \frac{\mathbf{M}_r(\varepsilon)}{x - x_r}.
\end{equation}
\tag{Б.11}
$$
Для нормализации собственных значений матриц $\mathbf{M}_r$ в сингулярных точках $x_r$ нам необходимо иметь матрицу преобразования $\mathbf{T}$, которая будет менять их контролируемым образом. Как было показано в [68], в качестве такой матрицы преобразований мы можем использовать балансовое преобразование вида
$$
\begin{equation}
\mathcal{B}(\mathbb{P},x_1,x_2;x) = \mathbb{I} - \mathbb{P} + \frac{x-x_2}{x-x_1}\mathbb{P},
\end{equation}
\tag{Б.12}
$$
где $\mathbb{P}$ – проектор, построенный из собственных векторов матриц $\mathbf{M}_1$ и $\mathbf{M}_2^\mathrm{T}$:
$$
\begin{equation}
\mathbb{P} = \frac{\mathbf{u} \mathbf{w}^\mathrm{T}}{\mathbf{w}^\mathrm{T} \mathbf{u}},\qquad \mathbf{M}_1 \mathbf{u} =\lambda_1 \mathbf{u},\qquad \mathbf{w}^\mathrm{T}\mathbf{M}_2 = \lambda_2 \mathbf{w}^\mathrm{T}.
\end{equation}
\tag{Б.13}
$$
Данное преобразование смещает собственные значения $\lambda_1, \lambda_2$ как $\lambda_1\to \lambda_1 + 1$ и $\lambda_2\to \lambda_2 - 1$. Таким образом, при условии, что собственные значения начальных матричных вычетов имеют вид $n+m\varepsilon$, $n \in \mathbb{Z}$, мы можем построить последовательность балансовых преобразований так, что все собственные значения матричных вычетов в преобразованной системе пропорциональны $\varepsilon$. После того как собственные значения матричных вычетов стали пропорциональны $\varepsilon$, нам остается найти дополнительное не зависящее от $x$ преобразование для того, чтобы полностью явно факторизовать зависимость от $\varepsilon$. В случае, если матрица преобразования $\mathbf{T}$ не зависит от $x$, вклад $\mathbf{T}^{-1}(x,\varepsilon)\frac{d} {dx}\mathbf{T}(x,\varepsilon)$ в уравнении (Б.9) исчезает и остается только слагаемое $\mathbf{T}^{-1}(\varepsilon)\mathbf{M}(\varepsilon)\mathbf{T}(\varepsilon)$, что позволяет нам записать следующее соотношение:
$$
\begin{equation}
\frac{\widetilde{\mathbf{M}}(\varepsilon)}{\varepsilon}\mathbf{T}(\varepsilon,\mu) =\mathbf{T}(\varepsilon,\mu)\frac{\widetilde{\mathbf{M}}(\mu)}{ \mu},
\end{equation}
\tag{Б.14}
$$
где $\mathbf{T}(\varepsilon,\mu) = \mathbf{T}(\varepsilon)\mathbf{T}^{-1}(\mu)$. Данная система линейных уравнений на элементы матрицы $\mathbf{T}(\varepsilon,\mu)$ может быть легко решена для произвольного $\mu$, и мы получаем необходимую факторизацию. Описанная процедура работает, только если собственные значения матричных вычетов в сингулярных точках при $\varepsilon = 0$ являются целочисленными. В случае, если это не так, мы можем попробовать найти подходящую замену переменной $x$ такую, что собственные значения преобразованной системы уже целочисленные. Приложение В. Пакет DiogenesПакет Diogenes может быть свободно загружен из следующего репозитория: https://bitbucket.org/BezuglovMaxim/diogenes-package/src/master/. Весь пакет состоит из одного файла DIOGENES.wl и при условии, что он находится в пути поиска, может быть загружен в систему символьных вычислений Mathematica c помощью команды $<\! <$DIOGENES’ . Основной функцией пакета для разложения гипергеометрических функций в терминах обобщенных полилогарифмов является ExpandHypergeometry. У этой функции три аргумента. Первый аргумент – это гипергеометрическая функция или их комбинация. Второй аргумент – это параметр разложения $\varepsilon$, а третий аргумент – это желаемый порядок разложения по $\varepsilon$, например Для гипергеометрических функций, не определенных в системе Wolfram Mathematica, по умолчанию мы ввели наши собственные обозначения: AppellF2, AppellF3, AppellF4, LauricellaFA, LauricellaFB and LauricellaFD. Аргументы этих функций те же, что и в их определениях. Для функций Лауричеллы пронумерованные индексы и переменные собраны в соответствующие списки, например Существуют также специальные функции ExpandPFQ, ExpandAppell и ExpandLauricella. Первый аргумент этих функций – это соответствующие гипергеометрические функции, а оставшиеся два аргумента те же, что и для функции ExpandHypergeometry. Эти функции допускают задание дополнительных опций, имеющих смысл для отдельных гипергеометрических функций. Например, мы можем потребовать произвести разложение для полного базиса функций в соответствующей дифференциальной системе Правильность вычислений элементов базиса функций может быть проверена с помощью $\theta$-оператора, вычисляющего соответствующую частную производную $\theta[f,x] = x \partial f / \partial x$, Заметим, что $\theta$-оператор может вычислять производные как по отношению к аргументам функций, так и по отношению к их индексам. Соотношения приведения для функций Аппеля из п. 3.2 применяются автоматически, Циклотомические ядра $f_m^l$ определены как f[m,l], Результаты разложений для функций Аппеля и Лауричеллы представляются пакетом в терминах радикалов, в то время как для обобщенных гипергеометрических функций одной переменной используется компактное представление с циклотомическими ядрами. Циклотомические полилогарифмы могут быть переписаны в терминах обычных обобщенных полилогарифмов с помощью функции ConvertCyclotomicGs, Это краткое описание функциональности пакета Diogenes. Дополнительные детали и примеры могут быть найдены в соответствующем ноутбуке с примерами DIOGENES_Examples.nb, находящемся в репозитории пакета. БлагодарностиАвторы благодарны В. В. Бытьеву, Р. Н. Ли, А. В. Котикову и О. Л. Веретину за интересные и стимулирующие обсуждения. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BezOni24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|