| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Нелинейная динамика двухосного ферромагнетика на полуоси В. В. Киселевab a Институт физики металлов им. М. Н. Михеева Уральского отделения Российской академии наук, Екатеринбург, Россия b Физико-технологический институт УрФУ, Екатеринбург, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 220, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924090034 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеПрогресс в аналитическом описании нелинейной динамики магнитных сред связан с возможностью представления базисных уравнений теории магнетизма в виде условия коммутативности двух дифференциальных операторов [1], [2]. В безграничной среде с однородным основным состоянием такое представление ($L$–$A$-пара) используется для отображения начальных условий для поля намагниченности в набор данных рассеяния вспомогательной системы линейных дифференциальных уравнений. Эволюция данных рассеяния далее вычисляется простым интегрированием. Обратное преобразование дает полное решение задачи Коши для поля намагниченности, которое описывает нелинейную интерференцию частицеподобных солитонов и диспергирующих спиновых волн. К сожалению, такое нелинейное и нелокальное обобщение преобразования Фурье встречает серьезные трудности при его распространении на образцы конечных размеров из-за невозможности получить простое отображение начально-краевых условий задачи в данные рассеяния вспомогательной системы. Для полуограниченных образцов исключение составляет выделенный класс граничных условий, которые далее будем называть интегрируемыми [3]–[7]. При интегрируемых краевых условиях поле намагниченности на полуоси (пространственная координата $0 \leqslant x<\infty$) по определенной симметрии может быть продолжена на всю ось $-\infty<x<+\infty$. После этого задача, в принципе, допускает решение с помощью традиционной техники обратного спектрального преобразования. Такой прием представляет нелинейное обобщение метода изображений, используемого в электростатике при решении линейных краевых задач с определенной пространственной симметрией. Для ограниченных магнитных сред физически содержательные интегрируемые краевые условия установлены в работе [8]. Однако для изучения нелинейной динамики конечных магнитных систем метод обратной задачи рассеяния мало используется. Между тем объединение метода изображений с техникой обратного спектрального преобразования оказалось эффективным для анализа солитонов и диспергирующих волн в полуограниченной ферромагнитной пленке с помощью нелинейного уравнения Шредингера [9], а также при изучении локализованных возбуждений гейзенберговского ферромагнетика и ферромагнетика с легкоосной магнитной анизотропией в рамках моделей Ландау–Лифшица [10], [11]. В перечисленных работах учитывались граничные условия, соответствующие частичному закреплению спинов на краю образца, а также предельные случаи свободных краевых спинов и спинов, полностью закрепленных на поверхности образца. При таких условиях обменные взаимодействия и магнитная анизотропия типа “легкая ось” (ось анизотропии параллельна границе образца) допускают формирование локализованных около поверхности образца солитонов с дискретными частотами и характерными модуляционными свойствами. Кроме того, предсказаны движущиеся солитоны, ядра которых сильно деформируются при отражении от границы образца. Физические свойства таких солитонов невозможно исследовать методами неограниченной среды. В настоящей работе мы изучаем нелинейную динамику полубесконечного ферромагнетика при учете основного обменного взимодействия, а также энергий орторомбической магнитной анизотропии и магнитостатических полей. Плотность энергии ферромагнетика с квадратичной по намагниченности анизотропией имеет вид [12]–[15]
$$
\begin{equation}
w=\frac{1}{2}[\alpha (\partial_i \mathbf{M} \cdot \partial_i \mathbf{M})-(\mathbf{M} \cdot \widetilde{K} \mathbf{M})-(\mathbf{H}^{\mathrm{m}} \cdot \mathbf{M})] .
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Здесь $\mathbf{M}$ – вектор плотности магнитного момента среды ($\mathbf{M}^2=M_0^2=\mathrm{const}$), $\alpha>0$ – постоянная обменного взаимодействия, $\widetilde{K}=\mathrm{diag}(\widetilde{K}_1, \widetilde{K}_2, \widetilde{K}_3)$ – постоянные кристаллографической анизотропии, $\partial_i$ – производные по пространственным координатам $x_i$; по дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Внутреннее магнитное поле $\mathbf{H}^{\mathrm{m}}$ определяется уравнениями магнитостатики
$$
\begin{equation}
\operatorname{rot} \mathbf{H}^{\mathrm{m}} =0, \qquad \operatorname{div} (\mathbf{H}^{\mathrm{m}}+4 \pi \mathbf{M}) =0 .
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Далее будем рассматривать квазиодномерные возбуждения, распространяющиеся вдоль оси $Ox$, перпендикулярной границе $x=0$ образца. В этом случае $\mathbf{M}=\mathbf{M}(x,t)$, где $0 \leqslant x<\infty$ – пространственная координата, $t \geqslant 0$ – время. Тогда уравнения магнитостатики (1.2) допускают явное решение
$$
\begin{equation*}
\mathbf{H}^{\mathrm{m}} = -4 \pi M_1 \mathbf{e}_1, \qquad \mathbf{e}_1=(1,0,0),
\end{equation*}
\notag
$$
– приближение Винтера [16]. Вклады энергий кристаллографической анизотропии и размагничивающего поля объединяются в эффективную плотность энергии магнитной анизотропии:
$$
\begin{equation*}
-\frac{1}{2}(\mathbf{M} \cdot \widetilde{K} \mathbf{M})-\frac{1}{2}(\mathbf{H}^{\mathrm{m}} \cdot \mathbf{M})=-\frac{1}{2}(\mathbf{M} \cdot \widehat{K} \mathbf{M}),
\end{equation*}
\notag
$$
характеризующуюся постоянными $\widehat{K}=\mathrm{diag}(K_1, K_2, K_3)$, $K_1=\widetilde{K}_1- 4 \pi$, $K_{2,3}=\widetilde{K}_{2,3}$. Далее мы полагаем, что $K_1<K_2<K_3$. Пусть вдоль границы $x= 0$ образца имеется эффективное поле однонаправленной поверхностной анизотропии [17]–[19]: $\mathbf{H}=H \mathbf{e}_3$, $\mathbf{e}_3=(0,0,1)$. Для дальнейшего анализа удобно перейти к безразмерным переменным:
$$
\begin{equation*}
\mathbf{n}=-\frac{\mathbf{M}}{M_0}, \qquad x'=x \sqrt{\frac{K_3-K_1}{\alpha}}, \qquad t'=\gamma M_0 (K_3-K_1) t,\qquad h=\frac{H}{M_0 \sqrt{\alpha (K_3-K_1)}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma$ – магнитомеханическое отношение, $M_0$ – номинальная намагниченность среды. Возможные распределения намагниченности в образце определяются уравнениями Ландау–Лифшица [13]–[15], [20], [21]:
$$
\begin{equation}
\partial_{t'}\mathbf{n}=[\mathbf{n} \times (\partial_{x'}^2 \mathbf{n}+\hat{J} \mathbf{n})],\qquad \mathbf{n}^2=1,\qquad 0<x<\infty,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
с интегрируемыми краевыми условиями
$$
\begin{equation}
\mathbf{n} \to (0,0,1),\qquad \partial_{x'} \mathbf{n} \to 0 \qquad \textrm{при}\quad x \to +\infty,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
$$
\begin{equation}
[\mathbf{n} \times (\partial_{x'} \mathbf{n}+ h \mathbf{e}_3)]|_{x'=0}=0,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
и начальным распределением намагниченности Здесь $\hat{J}=\widehat{K}/(K_3-K_1)$, $J_1<J_2<J_3$. Штрихи в обозначениях новых переменных далее опускаем. Выбор асимптотического краевого условия (1.4) соответствует минимуму плотности энергии среды при $x\gg 1$. Начальное возмущение $\mathbf{n}_0(x)$ в (1.6) должно быть согласовано с условиями (1.4), (1.5). Будем отсчитывать энергию системы от основного состояния среды при $x\gg 1$. Тогда полная энергия образца в безразмерных переменных принимает вид
$$
\begin{equation}
E=\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} dx [(\partial_x \mathbf{n})^2-(\mathbf{n} \cdot \hat{J} \mathbf{n}) + J_3]-n_3(x, t)|_{x=0}\, h.
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Модель Ландау–Лифшица (1.3) с квадратичной по намагниченности анизотропией (1.7) является наиболее общим интегрируемым уравнением для ферромагнетиков [1], [2]. Важно, что она учитывает в том числе и вклад размагничивающих полей. Краевое условие (1.5) соответствует частичному закреплению спинов на границе образца. При $h=0$ оно переходит в условие задачи со свободными поверхностными спинами а в пределе $|h| \to \infty$ сводится к требованию полного закрепления спинов на границе образца: Выбор знака в правой части равенства (1.9) конкретизируем в ходе дальнейшего анализа.Чтобы пояснить особенности решения задачи (1.3)–(1.6) для двухосного ферромагнетика, напомним некоторые факты, связанные с интегрированием уравнения Ландау–Лифшица:
$$
\begin{equation}
\partial_t \mathbf{S} = [\mathbf{S} \times \partial^2_x \mathbf{S}]+[\mathbf{S} \times \hat{J} \mathbf{S}], \qquad \mathbf{S}^2=1,
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
в неограниченной среде (при $-\infty<x<+\infty$). В этом случае векторное поле $\mathbf{S}(x, t)$ предполагается нужное число раз дифференцируемым по переменным $x$, $t$. Уравнение (1.10) эквивалентно условию коммутативности двух дифференциальных операторов [1], [2], [22]:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, {} [\partial_x - L, \partial_t - A]=0, \\ \begin{aligned} \, L(x ,t, \lambda)&=-i \sum_{\beta=1}^{3} w_\beta (\lambda) S_\beta \sigma_\beta, \\ A(x, t, \lambda)&=-i \sum_{\beta=1}^{3} ( w_\beta (\lambda) [\mathbf{S} \times \partial_x \mathbf{S}]_\beta+2 a_\beta (\lambda) S_\beta ) \sigma_\beta, \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
где $\sigma_\beta$, $\beta=1,2,3$, – матрицы Паули, $a_1 (\lambda)=-w_2 (\lambda) w_3 (\lambda)$ (и циклическая перестановка индексов $1,2,3$ для других коэффициентов). Коэффициенты $w_\beta$ удовлетворяют ограничениям
$$
\begin{equation*}
w_\beta^2 -w_\gamma^2 =-\frac{1}{4} (J_\beta-J_\gamma),\qquad \beta,\gamma=1,2,3,
\end{equation*}
\notag
$$
которые допускают униформизацию мероморфными функциями спектрального параметра $\lambda$:
$$
\begin{equation}
w_1 (\lambda)=\frac{\rho}{\operatorname{sn}(\lambda, k)},\qquad w_2 (\lambda)=\frac{\rho\operatorname{dn}(\lambda, k)}{\operatorname{sn}(\lambda, k)},\qquad w_3 (\lambda)=\frac{\rho\operatorname{cn}(\lambda, k)}{\operatorname{sn}(\lambda, k)}.
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
Здесь $\operatorname{sn}(\lambda, k)$, $\operatorname{cn}(\lambda, k)$, $\operatorname{dn}(\lambda, k)$ – эллиптические функции Якоби с модулем $k =\sqrt{(J_2-J_1)/(J_3-J_1)}$, $0<k^2<1$ [23]–[25]. Справедливы соотношения
$$
\begin{equation}
J_3-J_1 = 4 \rho^2,\qquad J_2 - J_1 = 4 \rho^2 k^2, \qquad J_3-J_2=4 \rho^2 k'^2,
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
где $k'=\sqrt{1-k^2}$ – дополнительный модуль. Далее, если не оговорено особо, все эллиптические функции Якоби имеют модуль $k$. В случае уравнений Ландау–Лифшица для изотропного ферромагнетика и ферромагнетиков с легкоосной анизотропией коммутационные представления имеют тот же вид (1.11), но содержат коэффициенты $w_\beta (\lambda)$, которые являются рациональными функциями $\lambda$ в комплексной $\lambda$-плоскости [1], [2]. В случае двухосного ферромагнетика коэффициенты в представлении (1.11) оказались двоякопериодическими функциями спектрального параметра $\lambda$ с периодами $4 K$, $4 i K'$, где $K=K(k)$ – полный эллиптический интеграл первого рода с модулем $k$, $K'=K(k')$ [23], [24]. В фундаментальной ячейке своей периодичности на $\lambda$-плоскости коэффициенты $w_\beta (\lambda)$ являются аналитическими функциями всюду, за исключением конечного числа простых полюсов. Это обстоятельство существенно меняет спектральную задачу, которая лежит в основе метода интегрирования уравнений (1.3) и (1.10). Метод обратной задачи рассеяния для построения решений модели двухосного ферромагнетика на всей оси ($-\infty<x<\infty$) развит в статьях [26]–[29]. В данной работе мы объединяем его с методом изображений для решения начально-краевой задачи на полуоси ($0\leqslant x<\infty$). Для дальнейшего анализа перепишем коммутационное представление (1.11) в проинтегрированном виде. Для этого введем матрицу параллельного переноса вдоль оси $Ox$ из точки $x'$ в точку $x$. Она определяется уравнениями [1]
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \partial_x T_0(x, x', \lambda) = L(x, \lambda) T_0(x, x', \lambda),\qquad \partial_{x'} T_0(x, x', \lambda) = - T_0(x, x', \lambda) L(x, \lambda), \\ \partial_t T_0(x, x', \lambda) =A(x, \lambda) T_0(x, x', \lambda) - T_0(x, x', \lambda) A(x', \lambda) \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
с нормировочным условием $T_0(x, x, \lambda)=I$, где $I$ – единичная матрица. Здесь и далее, если не оговорено особо, мы не указываем зависимость функций от времени $t$. Справедливы свойства суперпозиции
$$
\begin{equation}
T_0(x, x', \lambda) T_0(x', y, \lambda)=T_0(x, y, \lambda)
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
и унимодулярности матрицы переноса Они являются следствиями первого уравнения (1.14), нормировочного условия и бесследовости матрицы $L(x, \lambda)$. Кроме того, специальная симметрия операторов $L(\lambda)$ и $A(\lambda)$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, L^*(\lambda^*)=\sigma_2 L(\lambda) \sigma_2, \qquad A^*(\lambda^*)=\sigma_2 A(\lambda) \sigma_2,\\ \sigma_3 L^*([\lambda \pm 2 i K']^*)\sigma_3=\sigma_3 L(\lambda \pm 2 K) \sigma_3=L(\lambda),\\ \sigma_3 A^*([\lambda \pm 2 i K']^*)\sigma_3=\sigma_3 A(\lambda \pm 2 K) \sigma_3=A(\lambda) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
проявляется в инволюциях:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, T_0^* (x, x', \lambda^*)&=\sigma_2 T_0 (x, x', \lambda) \sigma_2, \\ T_0(x, x', \lambda \pm 2K)&=\sigma_3 T_0(x, x', \lambda) \sigma_3,\\ T_0^*(x, x', [\lambda \pm 2 i K']^*)&=\sigma_3 T_0(x, x', \lambda) \sigma_3. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
В настоящей работе применение метода изображений к задаче (1.3)–(1.6) на полуоси достигается посредством модификации матрицы переноса и ее трансформационных свойств. Статья имеет следующую структуру. В разделе 2 мы приводим основные соотношения метода изображений, которые позволяют включить задачу (1.3)–(1.6) в схему обратной задачи рассеяния на интервале $-\infty<x<+\infty$. С помощью модифицированной матрицы переноса определим фундаментальные решения Йоста вспомогательной линейной системы, которые используются далее для построения решений модели двухосного ферромагнетика с требуемыми краевыми условиями (1.4), (1.5). В разделе 3 мы исследуем аналитические и трансформационные свойства функций Йоста и обсуждаем переход от поля намагниченности в образце к спектральным данным, в которых начально-краевая задача (1.3)–(1.6) допускает явные решения. Находим асимптотические ряды для решений Йоста вблизи особой точки вспомогательной линейной системы. Это позволяет в разделе 4 построить серию локальных интегралов движения для солитонов и волн в полубесконечном образце. Мы получаем дополнительные законы сохранения, которые гарантируют выполнение для солитонов верных краевых условий при их столкновении с границей образца. В разделе 5 излагается схема восстановления по спектральным данным решений задачи (1.3)–(1.6), которые описывают систему солитонов и диспергирующих волн в ферромагнитном образце. Вычисления осуществляются методами теории функций комплексной переменной и сводятся к решению задачи сопряжения аналитических функций на римановой поверхности, топологически эквивалентной тору. В разделе 6 получены явные формулы для элементарных солитонов в полубесконечном двухосном ферромагнетике. Мы исследуем особенности их взаимодействия с границей образца. 2. Метод изображенийДля включения начально-краевой задачи (1.3)–(1.6) в схему обратной задачи рассеяния продолжим поле $\mathbf{n}(x, t)$, заданное на полуоси ($0 \leqslant x < \infty$), четным образом на всю ось:
$$
\begin{equation}
\mathbf{S}(x, t)=\begin{cases} \mathbf{n}(x, t), & x \geqslant 0, \\ \mathbf{n}(-x, t), & x < 0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Функция $\mathbf{S}(x, t)$ непрерывна в точке $x=0$, но ее производная по $x$ в этой точке имеет скачок:
$$
\begin{equation}
\mathbf{S}(x, t)|_{x=+0}=\mathbf{S}(x, t)|_{x=-0}=\mathbf{n}(x, t)|_{x=+0}, \qquad \Delta\partial_x \mathbf{S}|_{x=0}=2 \partial_x \mathbf{n}|_{x=+0},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $\Delta f|_{x=0}=f(x)|_{x=+0}-f(x)|_{x=-0}$. Формулы (2.2) позволяют трактовать граничное условие (1.5) как дополнительное ограничение на выбор функции $\mathbf{S}(x, t)$
$$
\begin{equation*}
[\mathbf{S} \times (\Delta \partial_x \mathbf{S}+2 h \mathbf{e}_3)]|_{x=0}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
которое равносильно матричной связи [8]
$$
\begin{equation}
A_{+}(\lambda) K(\lambda) - K(\lambda) A_{-}(\lambda)=0,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $A_\pm (\lambda) \equiv V(x, \lambda)|_{x = \pm 0}$, $K(\lambda)=2 w_3 (\lambda) I+ ih \sigma_3$. Матрицу переноса для поля (2.1) определим формулами
$$
\begin{equation}
T(x, y, \lambda)=\begin{cases} T_0 (x, y, \lambda), & x, y>0, \\ T_0 (x, +0,\lambda) K(\lambda) T_0 (-0, y, \lambda), & x>0>y, \\ T_0 (x, -0,\lambda) K^{-1}(\lambda) T_0 (+0, y, \lambda), & x<0<y. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
В отличие от $T_0 (x, y, \lambda)$ она не является унимодулярной:
$$
\begin{equation}
\operatorname{det} T(x, y, \lambda)=[4 w_3^2 (\lambda)+h^2]^{(\operatorname{sgn} x - \operatorname{sgn} y)/2} .
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Свойства нормировки и суперпозиции также изменяются:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, T(x, x, \lambda)=I \quad \text{при}\quad x\ne 0,\qquad T(x, y, \lambda)=T^{-1}(y, x, \lambda), \\ T(+0, -0, \lambda)=T^{-1}(-0, +0, \lambda)=K(\lambda). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
В то же время новая матрица переноса удовлетворяет тем же дифференциальным уравнениям:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \partial_x T(x, y, \lambda) = L(x, \lambda) T(x, y, \lambda),\qquad \partial_y T(x, y, \lambda) = -T(x, y, \lambda) L(y, \lambda),\\ \partial_t T(x, y, \lambda) =A(x, \lambda) T(x, y, \lambda) - T(x, y, \lambda) A(y, \lambda), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
которые были в случае поля $\mathbf{S}(x,t)$ без особенностей на интервале $-\infty<x<+\infty$. Условия совместности уравнений (2.7) эквивалентны уравнению Ландау–Лифшица (1.10) для расчета поля $\mathbf{S}(x,t)$ при $x \ne 0$ и дополнительному ограничению (2.3) в точке $x=0$. Это позволяет включить начально-краевую задачу (1.3)–(1.6) для двухосного ферромагнетика на полуоси в схему метода обратной задачи рассеяния на интервале $-\infty<x<+\infty$. Заметим, что новая матрица переноса (2.4) отличается от прежней только наличием множителей $K(\lambda)$ и $K^{-1}(\lambda)$, которые обладают следующими свойствами симметрии:
$$
\begin{equation*}
K^*(\lambda^*)=\sigma_2 K(\lambda) \sigma_2, \qquad \sigma_3 K(\lambda \pm 2 K) \sigma_3=K(\lambda),\qquad \sigma_3 K^*([\lambda \pm 2 i K']^*)\sigma_3=-K(\lambda) .
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что для новой матрицы переноса сохраняются две первые инволюции (1.16):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, T^* (x, y, \lambda^*)&=\sigma_2 T (x, y, \lambda) \sigma_2, \\ T(x, y, \lambda \pm 2K)&=\sigma_3 T (x, y, \lambda) \sigma_3. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Изменится только последняя из инволюций (1.16):
$$
\begin{equation}
T^*(x, y, [\lambda \pm 2 i K']^*)=\operatorname{sgn}(x y)\sigma_3 T(x, y, \lambda) \sigma_3.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Кроме того, четность продолжения порождает новую симметрию операторов:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, L^*(-x, -\lambda^*)=-\sigma_2 L(x, \lambda) \sigma_2, \qquad A^*(-x, -\lambda^*)=\sigma_2 A(x, \lambda) \sigma_2, \\ K^*(-\lambda^*)=-\sigma_2 K^{-1}(\lambda) \sigma_2 [4 w_3^2 (\lambda)+h^2], \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
которая, как и в работах [9]–[11], приводит к дополнительному ограничению на матрицу переноса:
$$
\begin{equation}
T(x, y, \lambda) = \operatorname{sgn}(x y) \sigma_2 T^*(-x, -y, -\lambda^*) \sigma_2[4 w_3^2 (\lambda)+h^2]^{(\operatorname{sgn} x -\operatorname{sgn} y)/2}.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
3. Функции Йоста. Данные рассеянияПерейдем к обсуждению перехода к спектральным данным поля намагниченности (2.1). Для этого введем матричные функции Йоста:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, T_\pm (x, \lambda, t)=\lim_{y \to \pm \infty} [T(x, y, \lambda) \exp (-i w_3(\lambda) y\sigma_3)],\\ \operatorname{det} T_\pm (x, \lambda) = [4 w_3^2 (\lambda)+h^2]^{(\operatorname{sgn} x \mp 1)/2}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Они являются фундаментальными решениями вспомогательной линейной системы
$$
\begin{equation}
\partial_x T_\pm (x, \lambda) = L(x, \lambda) T_\pm (x, \lambda)
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
с асимптотическими условиями
$$
\begin{equation}
T_{\pm}(x, t, \lambda) \to \varphi_0 (x, \lambda) \equiv \exp (-i w_3(\lambda) x\sigma_3) \qquad \text{при}\quad x \to \pm \infty,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
которые согласованы с поведением поля $\mathbf{n}(x, t)$ (1.4) при $x \to +\infty$. На контуре
$$
\begin{equation}
\Gamma =\{ |\operatorname{Re} \lambda| \leqslant 2 K, \, \operatorname{Im} \lambda =0, 2 K' \}\qquad \mathrm{mod}(4 K, 4 i K')
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
решения Йоста определены одновременно, поэтому связаны между собой:
$$
\begin{equation}
T_{-} (x, \lambda)=T_{+} (x, \lambda) T(\lambda) , \qquad \lambda \in \Gamma.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Матрица перехода $T$ зависит только от $\lambda$ и времени $t$. Зависимость от времени, как и ранее, не указываем. Если $\lambda \in \Gamma$, то решения Йоста осциллируют при $x \to \pm \infty$. Поэтому множеству $\Gamma$ соответствует непрерывный спектр вспомогательной линейной системы (3.2). Далее векторы-столбцы матриц Йоста мы будем нумеровать верхними индексами: $T_\pm=(T_\pm^{(1)}, T_\pm^{(2)})$. Векторные функции $T_{-}^{(1)}(x, \lambda)$ и $T_{+}^{(2)}(x, \lambda)$ допускают аналитическое продолжение с контура $\Gamma$ в область
$$
\begin{equation*}
D_{+}=\{\lambda\!: \operatorname{Im} w_3 (\lambda)>0\} \equiv \{\lambda\!: | \operatorname{Re} \lambda| \leqslant 2 K,\; -2 K' < \operatorname{Im} \lambda<0 \}\qquad \mathrm{mod}(4 K, 4 i K').
\end{equation*}
\notag
$$
Столбцы $T_{+}^{(1)}$ и $T_{-}^{(2)}$ являются аналитическими функциями в области
$$
\begin{equation*}
D_{-}=\{\lambda\!: \operatorname{Im} w_3 (\lambda)<0\} \equiv \{\lambda\!: | \operatorname{Re} \lambda| \leqslant 2 K,\; 0 < \operatorname{Im} \lambda< 2 K' \}\qquad \mathrm{mod}(4 K, 4 i K'),
\end{equation*}
\notag
$$
за исключением, быть может, простых полюсов в точках $\lambda=\lambda_0 \in D_{-}$, являющихся корнями уравнений $2 w_3(\lambda) \pm i h=0$. Полюсы $\lambda=\lambda_0$ унаследованы от матрицы $K^{-1}(\lambda)$ (см. (2.4), (3.1)). Свойства симметрии матрицы трансляции $T(x, y, \lambda)$ порождают ограничения на решения Йоста:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, T_\pm(\lambda \pm 2 K)=\sigma_3 T_\pm(\lambda) \sigma_3,\\ T_\pm^*([\lambda \pm 2 i K']^*)=\pm \operatorname{sgn} x\sigma_3 T_\pm(\lambda) \sigma_3,\qquad T_\pm^{*}(\lambda^*)=\sigma_2 T_\pm(\lambda) \sigma_2, \\ T_\pm (x, \lambda) = \pm \operatorname{sgn}x\sigma_2 T_\mp^*(-x, -\lambda^*) \sigma_2 [4 w_3^2 (\lambda)+h^2]^{(\operatorname{sgn} x \mp 1)/2}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
В левой и правой частях этих равенств спектральный параметр $\lambda$ выбирается в областях аналитичности соответствующих столбцов или принадлежит контуру $\Gamma$. Редукции (3.6) конкретизируют вид матрицы перехода:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, T(\lambda)=\begin{pmatrix} a(\lambda) & - \bar{b}(\lambda) \\ b(\lambda) & \bar{a}(\lambda) \end{pmatrix}, \qquad a(\lambda)\bar{a}(\lambda)+b(\lambda)\bar{b}(\lambda)=4 w_3^2 (\lambda)+h^2,\\ \begin{aligned} \, &a(\lambda)=a(\lambda \pm 2K)=- a^*[(\lambda \pm 2i K')^*]=-a^*(-\lambda^*),\qquad \lambda \in D_{+};\\ &\bar{a}(\lambda)=a^*(\lambda^*),\qquad \lambda \in D_{-}; \\ &b(\lambda)=-b(\lambda \pm 2K)=b^*[(\lambda \pm 2i K')^*]=b(-\lambda),\qquad \bar{b}(\lambda)=b^*(\lambda^*),\qquad \lambda \in \Gamma. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Связь решений Йоста в (3.5) приводит к представлению
$$
\begin{equation}
a(\lambda)= \frac{\operatorname{det}[T_{-}^{(1)}(x, \lambda),T_{+}^{(2)}(x, \lambda)]}{\operatorname{det} T_{+}(x, \lambda)}=\frac{\operatorname{det}[T_{-}^{(1)}(x, \lambda),T_{+}^{(2)}(x, \lambda)]}{[4 w_3^2 (\lambda)+h^2]^{(\operatorname{sgn}x-1)/2}}.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Поэтому в записи редукций (3.7) для функции $a(\lambda)$ мы учли, что она допускает аналитическое продолжение с контура $\Gamma$ в область $D_{+}$. Тогда $\bar{a}(\lambda)=a^*(\lambda^*)$ будет аналитической функцией в области $D_{-}$. В областях своей аналитичности элементы $a(\lambda)$ и $\bar{a}(\lambda)$ матрицы перехода могут иметь нули, которые далее будем предполагать простыми. Если $\lambda=\lambda_j \in D_{+}$ – нуль функции $a(\lambda)$, то $\lambda=\lambda_j^* \in D_{-}$ является нулем функции $\bar{a}(\lambda)$. Коэффициент прохождения $a(\lambda)$ может обращаться в нуль также в особых точках $u=\tilde{\lambda}_0 \in D_{+}$, которые являются корнями уравнений $2 w_3(\lambda) \pm i h=0$ (см. (2.4), (3.1), (3.8)). Редукции разбивают множество нулей $\{\lambda_j\}$ функции $a(\lambda)$ на две группы:
$$
\begin{equation}
\lambda=\lambda_s \equiv u_s - i K', \quad \lambda_s - 2 K,\quad -\lambda_s^*, \quad -\lambda_s^*+2 K, \qquad s=1,2,\ldots, N;
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
$$
\begin{equation}
\lambda=\lambda_p \equiv u_p - i K' + i \theta_p,\quad \lambda_p^*- 2 i K',\quad \lambda_p- 2 K,\quad \lambda_p^*- 2 i K'-2 K,\quad -\lambda_p^*,
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
$$
\begin{equation}
-\lambda_p- 2 i K',\quad -\lambda_p^*+2 K, \quad -\lambda_p- 2 i K'+2 K,\quad p=1,2,\ldots, M \ \ \mathrm{mod}(4 K, 4 i K'), \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
где $0<u_{s,p}< 2 K$, $0<\theta_p<K'$. Согласно (3.8), если $a(\lambda_j)=0$, столбцы $T_{-}^{(1)}(\lambda_j)$ и $T_{+}^{(2)}(\lambda_j)$ пропорциональны:
$$
\begin{equation}
T_{-}^{(1)}(x, \lambda_j)=\gamma(\lambda_j)T_{+}^{(2)}(x, \lambda_j) .
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Эти формулы определяют векторные решения системы (3.2), которые экспоненциально убывают при $x \to \pm \infty$. Поэтому набор $\{\lambda_j\}$ соответствует дискретному спектру вспомогательной системы (3.2). Нетрудно проверить, что редукции (3.6) конкретизируют нормировочные множители $\gamma(\lambda_j)$ и объединяют их в группы, которые соответствуют нулям типа (3.9) и (3.10):
$$
\begin{equation}
\gamma(\lambda_s)=\gamma^*(\lambda_s)=-\gamma(\lambda_s - 2 K),\qquad \gamma(-\lambda_s^*)=\gamma^*(-\lambda_s^*)=-\gamma(-\lambda_s^* + 2 K),\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\gamma(\lambda_s)\gamma^*(-\lambda_s^*)=h^2+4 w_3^2 (\lambda_s), \qquad \lambda_s = u_s - i K',\qquad s=1,2,\ldots, N;
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
$$
\begin{equation}
\gamma(\lambda_p)=\gamma^*(\lambda_p^*-2 i K')=-\gamma(\lambda_p - 2 K)=-\gamma^*(\lambda_p^*-2 i K'-2 K),\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\gamma(-\lambda_p^*)=\gamma^*(-\lambda_p-2 i K')=-\gamma(-\lambda_p^* + 2 K)=\gamma^*(-\lambda_p^*-2 i K'+2 K),\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\gamma(\lambda_p)\gamma^*(-\lambda_p^*)=h^2+4 w_3^2 (\lambda_s), \qquad \lambda_p = u_p - i K'+i \theta_p,\qquad p=1,2,\ldots, M,
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
где $0<u_{s,p}< 2 K$, $0<\theta_p<K'$. Как и в работах [9]–[11], существуют полезные представления независимых элементов матрицы перехода в терминах функции Йоста $T_{+}(x, \lambda)$, где $x>0$:
$$
\begin{equation}
a(\lambda)={} (2 w_3(\lambda)+ i h)[T_{+}(+0, \lambda)]_{22} [T_{+}^*(+0, -\lambda^*)]_{22} +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+(2 w_3(\lambda)- i h)[T_{+}(+0, \lambda)]_{12} [T_{+}^*(+0, -\lambda^*)]_{12},
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
$$
\begin{equation}
b(\lambda)={} (2 w_3(\lambda)+ i h)[T_{+}^*(+0, \lambda^*)]_{12} [T_{+}^*(+0, -\lambda^*)]_{22} -{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
-(2 w_3(\lambda)- i h)[T_{+}^*(+0, \lambda^*)]_{22} [T_{+}^*(+0, -\lambda^*)]_{12}.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Для дальнейшего анализа необходима информация об асимптотическом поведении функций $T_\pm (\lambda)$, $a(\lambda)$ вблизи особой точки $\lambda=0$ cистемы (3.2). В окрестности точки $\lambda=0$ при $x>0$ представим функцию $T_{+}(x, \lambda)$ в виде [1], [2]
$$
\begin{equation}
T_{+}(x, \lambda) =(I+\Phi(x, \lambda))\exp[-iw_3 (\lambda) x \sigma_3+Z(x, \lambda)],
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
где $\Phi$ и $Z$ – соответственно антидиагональная и диагональная матричные функции такие, что
$$
\begin{equation*}
\Phi(x, \lambda) \to 0,\quad Z(x, \lambda) \to 0 \qquad \text{при} \quad x \to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
После подстановки представления (3.16) в уравнение (3.2) и выделения диагональной и недиагональной частей получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \partial_x \Phi - 2 i w_3 n_3 \Phi \sigma_3 - i\Phi ( w_1 n_1 \sigma_1 + w_2 n_2 \sigma_2) \Phi +i (w_1 n_1 \sigma_1 + w_2 n_2 \sigma_2)=0, \\ & \partial_x Z =- i w_3 (n_3 -1) \sigma_3 - i (w_1 n_1 \sigma_1 + w_2 n_2 \sigma_2) \Phi. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Разложим функции $w_\beta (\lambda)$, $\beta=1,2,3$, в ряды по степеням $\lambda$:
$$
\begin{equation*}
w_\beta (\lambda)=\sum_{k=-1}^{+\infty} w_\beta^{(k)} \lambda^k, \qquad w_\beta^{(-1)}=\rho,\qquad w_\beta^{(2 s)}=0,\qquad s=0,1,2,\ldots\, .
\end{equation*}
\notag
$$
Будем искать решение системы (3.17) в виде степенных рядов:
$$
\begin{equation}
\Phi=\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^n \begin{pmatrix} 0 & - \omega_n^*(x) \\ \omega_n (x) & 0 \end{pmatrix},\qquad Z=\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^n \begin{pmatrix} \zeta_n (x) & 0 \\ 0& \zeta_n^*(x) \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Получим цепочку рекуррентных соотношений для последовательного вычисления всех функций $\omega_n (x)$ и $\zeta_n (x)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \partial_x \omega_s -{}& 2 i n_3 \sum_{m=0}^{s+1} w_3^{(s-m)} \omega_m -{} \\ &- \sum_{\{p+k+q=s\}} \omega_p (w_1^{(k)} n_1 - iw_2^{(k)} n_2) \omega_q + i(w_1^{(s)} n_1+iw_2^{(s)} n_2)=0,\\ \zeta_s={}& i w_3^{(s)} \int_x^{+\infty} d x'\, [n_3 (x')-1]+i \int_x^{+\infty} dx' \,\sum_{m=0}^{s+1} (w_1^{(s-m)} n_1-i w_2^{(s-m)} n_2) \omega_m, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $s=0,1,2,\ldots$ , $\sum_{\{p+k+q=s\}}$ обозначает сумму произведений трех множителей, индексы которых удовлетворяют ограничению $p+k+q=s$, а
$$
\begin{equation*}
\omega_0 (x) = \frac{n_1+ i n_2}{1+n_3} \equiv \frac{n_{+}}{1+n_3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Первые шаги рекуррентной процедуры дают следующие выражения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \zeta_0&=\frac{1}{2}\ln(1+n_3)+\frac{1}{2}\int_{x}^{+\infty} d x'\, p(x'),\qquad p(x)=\frac{n_1 \partial_x n_2-n_2 \partial_x n_1}{1+n_3},\qquad \omega_1=\frac{\partial_x \omega_0}{2 i \rho}, \\ \zeta_1 &=\frac{i}{4 \rho} \int_{x}^{+\infty} d x'\,\biggl[\frac{1}{2}(\partial_{x'} \mathbf{n})^2 + 2 \rho^2 (1-n_3^2+k^2 n_2^2)\biggr]-\frac{1}{4 \rho} \biggl(p(x)+\frac{i\partial_x n_3}{1+n_3} \biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Асимптотическое разложение по степеням $\lambda$ решения Йоста $T_{-}(x, \lambda)$ при $x>0$ получаем из $T_{+}(x, \lambda)$ формальной заменой
$$
\begin{equation*}
\mathbf{n}(x) \to \mathbf{S}(x),\qquad \int_{x}^{+\infty} \to \int_{x}^{-\infty}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что при $x>0$ справедливо тождество
$$
\begin{equation*}
\int_{x}^{-\infty}d x'\, \biggl( \frac{S_1 \partial_{x'} S_2 - S_2 \partial_{x'} S_1}{1+S_3}\biggr)=\int_{x}^{+\infty} d x' \, p(x').
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом этого замечания сравнение формул (2.4), (3.1) для $T_{+}(x, \lambda)$ и $T_{-}(x, \lambda)$ приводит к заключению, что в ведущем порядке при $x>0$ справедлива цепочка равенств
$$
\begin{equation}
\frac{\lambda}{2 \rho}T_{-}(x, \lambda)=T_{+}(x, \lambda) =(I+\Phi_0(x)+O(\lambda))\exp \biggl[-\frac{i \rho}{\lambda}\sigma_3 x +Z_0(x)+O(\lambda) \biggr],
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Phi_0=\begin{pmatrix} 0 & - \omega_0^*(x) \\ \omega_0 (x) &0 \end{pmatrix},\qquad Z_0= \begin{pmatrix} \zeta_0 (x) & 0 \\ 0& \zeta_0^*(x) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Формулы (3.5), (3.19) приводят к оценке коэффициента прохождения:
$$
\begin{equation}
a(\lambda)=\frac{2\rho}{\lambda}+O(1) \qquad \text{при} \quad |\lambda|\ll 1.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Явный вид аналитической функции $a(\lambda)$ восстанавливается по ее нулям в области $D_{+}$, асимптотическому поведению (3.20) вблизи особой точки $\lambda=0$ и коэффициенту отражения $b(\lambda)$ [2], [22]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a(\lambda)&= [2 w_3(\lambda)+i\alpha]\prod_{s=1}^N [\operatorname{cn}(\lambda-u_s)-i\operatorname{sn}(\lambda-u_s)] [\operatorname{cn}(\lambda+u_s)-i\operatorname{sn}(\lambda+u_s)] \times{} \notag\\ &\times \prod_{p=1}^M \frac{[\operatorname{cn}(\lambda-u_p-i \theta_p)-i\operatorname{sn}(\lambda-u_p-i \theta_p)]}{[\operatorname{cn}(\lambda-u_p+i \theta_p)+i\operatorname{sn}(\lambda-u_p+i \theta_p)]}\frac{[\operatorname{cn}(\lambda+u_p-i \theta_p)-i\operatorname{sn}(\lambda+u_p-i \theta_p)]}{[\operatorname{cn}(\lambda+u_p+i \theta_p)+i\operatorname{sn}(\lambda+u_p+i \theta_p)]}\times{} \notag\\ & \times \exp \biggl(\frac{i}{2 \pi} \int_{0}^{2 K} d\mu \ln[1-|b(\mu)|^2 (4 w_3^2 (\mu)+h^2)^{-1}] \frac{\operatorname{cn}(\mu-\lambda)}{\operatorname{sn}(\mu-\lambda)}\biggr), \quad \lambda \in D_{+}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
где $\alpha^2=h^2$. Уточним связь между вещественными параметрами $\alpha$ и $h$. Из представления (3.14) с учетом предпоследней из редукций (3.6) получаем
$$
\begin{equation*}
a(\lambda)|_{\lambda=K}=i h \operatorname{det} T_{+}(+0, \lambda)|_{\lambda=K}=i h.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, непосредственно из (3.21), используя свойства симметрии функции $b(\mu)$ (3.7), находим $a(\lambda)|_{\lambda=K}=i \alpha (-1)^N$. Сравнение равенств дает искомую связь: где $N$ – число групп нулей типа (3.9) у функции $a(\lambda)$. Таким образом, с помощью вспомогательной линейной системы (3.2) мы построили отображение поля намагниченности полубесконечного двухосного ферромагнетика с начально-краевыми условиями (1.4)–(1.6) в набор данных рассеяния. Он включает спектральные плотности $b(\lambda)$, $\lambda \in \Gamma$, дискретные нули $\{\lambda_j\}$ функции $a(\lambda)$ и нормировочные коэффициенты $\{\gamma(\lambda_j)\}$. Их эволюцию находим стандартным образом [1], [2] с помощью второго уравнения (2.7):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, b(t, \lambda)=b(t, \lambda)|_{t=0}e^{4 i a_3 (\lambda) t},\qquad \gamma(t, \lambda_j)=\gamma(0, \lambda_j)e^{4 i a_3 (\lambda_j) t},\\ a(t, \lambda)=a(t, \lambda)|_{t=0}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Постоянные интегрирования $b(0,\lambda)$, $\gamma(0,\lambda)$, $a(0,\lambda)$ определяются из уравнений (3.2) по заданному начальному распределению намагниченности (1.6). С физической точки зрения функции $b(\lambda)$ непрерывного спектра вспомогательной системы (3.2) параметризуют диспергирующие спиновые волны, а данные дискретного спектра $\{\lambda_j\}$ определяют частицеподобные солитоны полубесконечного двухосного ферромагнетика. 4. Законы сохраненияДля нелинейных возбуждений в полуограниченном образце существует серия интегралов движения, производящей функцией которых является не зависящий от времени элемент $a(\lambda)$ матрицы перехода. Физически содержательные интегралы движения получим разложением функции $\ln (a(\lambda)/[4 w_3^2 (\lambda)+h^2]^{1/2})$ в ряд по степеням параметра $\lambda$ ($|\lambda|\ll 1$). Для этого достаточно воспользоваться формулами (3.14), (3.16) и (3.18). Коэффициенты при разных степенях $\lambda$ будут независимыми локальными интегралами движения системы солитонов и волн. Первый член разложения
$$
\begin{equation}
\ln \biggl(\frac{a(\lambda)}{[4 w_3^2 (\lambda)+h^2]^{1/2}}\biggr)=-\frac{i\lambda}{2\rho}E+O(\lambda^2)
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
определяет полную энергию образца (см. (1.7), (1.13)):
$$
\begin{equation*}
E=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}[(\partial_{x'} \mathbf{n})^2+2 \rho^2 (1-n_3^2-k^2 n_2^2)]\, dx' - h n_3|_{x=0}.
\end{equation*}
\notag
$$
В то же время разложение левой части равенства (4.1) в ряд по степеням $\lambda$ можно получить, воспользовавшись дисперсионным соотношением (3.21). Сравнение рядов позволяет выразить все интегралы движения через спектральные данные задачи. Для энергии системы получаем
$$
\begin{equation}
E=(-1)^{N+1} h + 4 \rho \biggl(\,\sum_{s=1}^{N}\operatorname{dn} u_s + 2 \sum_{p=1}^{M} \operatorname{Re} \operatorname{dn}(u_p+i \theta_p) \biggr)+\int_{0}^{2 K} d \lambda\, \omega(\lambda) n(\lambda),
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где
$$
\begin{equation*}
n(\lambda)=-\frac{1}{4 \pi \rho}\ln \biggl(1-\frac{|b(\lambda)|^2}{4 w_3^2 (\lambda)+h^2} \biggr)>0,\qquad \omega(\lambda)=4 \rho^2 \frac{\operatorname{dn} \lambda}{\operatorname{sn}^2 \lambda}.
\end{equation*}
\notag
$$
В терминах данных рассеяния полная энергия полубесконечного образца “диагонализуется”: записывается в виде суммы дискретных вкладов от солитонов и квазичастиц непрерывного спектра спиновых волн. Величина $n(\lambda)$ имеет смысл плотности магнонов с законом дисперсии
$$
\begin{equation*}
\omega(\lambda)=4 \rho^2 \frac{\operatorname{dn} \lambda}{\operatorname{sn}^2 \lambda}=\sqrt{(p^2+J_3-J_1)(p^2+J_3-J_2)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $p=2 \rho \operatorname{cn} \lambda/\operatorname{sn} \lambda$ – волновое число спиновых волн [2]. Когда поле $\mathbf{S}(x,t)$ не имеет особенностей на интервале $-\infty<x<+\infty$, спектральная плотность $b(\lambda)$ вблизи особой точки $\lambda=0$ содержит только экспоненциально малые вклады [2]. В настоящей работе первая производная функции $\mathbf{S}(x,t)$ по $x$ имеет скачок в точке $x=0$. Из-за наличия особенности у поля $\mathbf{S}(x,t)$ на вещественной оси $x$ коэффициент $b(\lambda)$ приобретает степенную малость при $|\lambda|\ll 1$. Условие $b(\lambda) \equiv 0$ определяет солитонные состояния в отсутствие диспергирующих волн. Отсюда следует, что для солитонов в полубесконечном образце коэффициент $b(\lambda)$ является производящей функцией дополнительных законов сохранения. Разложение по степеням $\lambda$ коэффициента $b(\lambda)$ получим с помощью представления (3.15) и ряда (3.16), (3.18) для функции $T_{+}(+0,\lambda)$:
$$
\begin{equation}
b(\lambda, t) =-2 \sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{2 n} \biggl[i h \omega_{2 n}+2 \sum_{k=0}^{n} w_3^{(2 k-1)} \omega_{2 (n-k)+1} \biggr] \exp \biggl(2 \sum_{p=0}^{\infty} \zeta_{2 p} \lambda^{2 p} \biggr)\Bigg|_{x=0}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Для чисто солитонных состояний все предэкспоненциальные множители должны обращаться в нуль:
$$
\begin{equation}
\biggl[i h \omega_{2 n}+2 \sum_{k=0}^{n} w_3^{(2 k-1)} \omega_{2 (n-k)+1} \biggr]\Bigg|_{x=0}=0,
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где $n=0,1,2,\ldots\,$. Соотношения (4.4) гарантируют выполнение для солитонов верных краевых условий на границе $x=0$ образца.
5. Интегрирование модели ферромагнетика с помощью задачи Римана на тореРешение исходной начально-краевой задачи для уравнения Ландау–Лифшица (1.3)–(1.6) будет найдено, если удастся найти обратное отображение данных рассеяния (3.23) в поле намагниченности $\mathbf{n}(x,t)$. Это достигается методами теории функций комплексной переменной. Следуя [11], введем матричные функции $P_{+}(x, \lambda)$ и $P_{-}(x, \lambda)$, аналитические в областях $D_{+}$ и $D_{-}$ соответственно:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P_{+}(x, \lambda)&=(T_{-}^{(1)}(x, \lambda), T_{+}^{(2)}(x, \lambda))\varphi_0^{-1}(x, \lambda)\operatorname{diag}(S_2^*(x, \lambda^*), S_1^*(x, \lambda^*)),\\ P_{-}(x, \lambda)&=(T_{+}^{(1)}(x, \lambda), T_{-}^{(2)}(x, \lambda))\varphi_0^{-1}(x, \lambda)\operatorname{diag}(S_1(x, \lambda), S_2(x, \lambda)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Здесь $\varphi_0 (x, \lambda)=\exp[-i w_3 (\lambda) x \sigma_3]$, $S_{1,2}(x, \lambda)$ – функции, кусочно-постоянные по переменной $x$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_1(x, \lambda)&=H(x)+(2 w_3 (\lambda) -i \alpha) H(-x),\quad S_1^{-1}(x, \lambda)=H(x)+(2 w_3 (\lambda) -i \alpha)^{-1} H(-x),\\ S_2(x, \lambda)&=H(-x)+(2 w_3 (\lambda) -i \alpha)^{-1} H(x),\quad S_2^{-1}(x, \lambda)=H(-x)+(2 w_3 (\lambda) -i \alpha) H(x), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
$H(x)=(1+\operatorname{sgn}x)/2$ – ступенчатая функция Хевисайда. Вычисление матриц $P_\pm(x, \lambda)$ сводится к решению следующей задачи Римана. Необходимо построить двоякопериодические функции $P_{+}(x, \lambda)$ и $P_{-}(x, \lambda)$ с периодами $[4 K, 4 i K']$, аналитические в областях $D_{+}$ и $D_{-}$ соответственно, которые на контуре $\Gamma$ связаны условием сопряжения
$$
\begin{equation}
P_{-}(x,\lambda)=\frac{P_{+}(x,\lambda)\varphi_0 (x,\lambda)}{a_m (x, \lambda)}\begin{pmatrix} 1 & - \bar{b}_m(x,\lambda) \\ -b_m(x,\lambda) &1 \end{pmatrix}\varphi_0^{-1} (x,\lambda),\qquad \lambda \in \Gamma,
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
и удовлетворяют редукциям
$$
\begin{equation}
P_{\pm}(x, \lambda) =\sigma_3 P_\pm(x, \lambda \pm 2 K) \sigma_3 = \sigma_3 P^*_\pm (x, [\lambda \pm 2 i K']^*) \sigma_3, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
P_\pm(x, \lambda) = \mp \operatorname{sgn}x\sigma_2 P_\pm^*(-x, -\lambda^*) \sigma_2 \operatorname{diag}[\theta(\mp x, \lambda), \theta(\pm x, \lambda)],
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
$$
\begin{equation}
P_{+}(x, \lambda) = \sigma_2 P^*_{-}(x, \lambda^*) \sigma_2 ,\qquad \lambda \in \Gamma.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Здесь для упрощения записи введены обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_m (x, \lambda)&= \operatorname{det} P_{+}(x, \lambda)= a(\lambda) S_1^{-1}(x, \lambda) S_2^*(x, \lambda^*),\qquad \lambda \in D_{+},\\ \bar{a}_m (x, \lambda)&= \operatorname{det} P_{-}(x, \lambda)= a_m^*(x, \lambda^*),\qquad \lambda \in D_{-},\\ b_m (x, \lambda)&= b(\lambda) [S_1^*(x, \lambda^*)]^{-1} S_2^*(x, \lambda^*),\qquad \bar{b}_m (x, \lambda)=b_m^* (x, \lambda^*),\qquad \lambda \in \Gamma,\\ \theta(x, \lambda)&=H(x)+f(\lambda) H(-x),\qquad f(\lambda)=\frac{i \alpha-2 w_3 (\lambda)}{i \alpha+2 w_3 (\lambda)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Условие сопряжения (5.2) является иной формой записи связи (3.5) решений Йоста на контуре $\Gamma$. Редукции (5.3), (5.4) следуют из редукций (3.6) для функций Йоста. Для любой невырожденной ($2 \times 2$)-матрицы справедливо тождество
$$
\begin{equation*}
A^{-1}=\frac{\sigma_2 A^{\mathrm{T}} \sigma_2}{\operatorname{det} A},
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому равенство (5.4) можно привести к виду
$$
\begin{equation*}
P_{+}^{-1}(x, \lambda)=\frac{P_{-}^\unicode{8224} (x, \lambda^*)}{a_m (x, \lambda)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Индексы $\mathrm{T}$ и $\unicode{8224}$ обозначают операции транспонирования и эрмитова сопряжения. Это позволяет переписать условие сопряжения (5.2) в терминах одной лишь функции $P_{-}(x, \lambda)$:
$$
\begin{equation}
P_{-}^\unicode{8224} (x,\lambda^*) P_{-}(x,\lambda) =\varphi_0 (x,\lambda) \begin{pmatrix} 1 & - \bar{b}_m(x,\lambda) \\ -b_m(x,\lambda) &1 \end{pmatrix} \varphi_0^{-1} (x,\lambda),\qquad \lambda \in \Gamma.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
В данном случае задача Римана (5.2)–(5.4) формулируется на римановой поверхности, топологически эквивалентной тору, так как функции $P_\pm (x, \lambda)$ двоякопериодичны по спектральному параметру $\lambda$. Отличительная особенность такой задачи состоит в том, что редукции (5.3) в значительной степени фиксируют алгебраическую структуру матричных функций $P_\pm (x, \lambda)$. Они определяются с точностью до умножения на вещественную диагональную матрицу [2]:
$$
\begin{equation}
N = \operatorname{diag}(\varepsilon_1, \varepsilon_2), \qquad \varepsilon_1^2=\varepsilon_2^2=1.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Для конкретизации чисел $\varepsilon_{1,2}$ используем значение $P_{-}(x, \lambda)$ в точке $\lambda=0$. Согласно (3.19), (5.1) при $x>0$ имеем
$$
\begin{equation}
P_{-}(\lambda, x)|_{\lambda=0} = \begin{pmatrix} 1 & -\omega_0^*(x) \\ \omega_0 (x) &1 \end{pmatrix} \sqrt{\frac{1+n_3 (x)}{2}}\exp\biggl(\frac{i \sigma_3}{2} \int_x^{\infty} dx'\, p(x')\biggr).
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Отсюда при $x \to +\infty$ получаем нормировочное условие Привлекательность предложенного подхода состоит в том, что решения задачи Римана на интервалах $-\infty<x<0$ и $0<x<+\infty$ строятся независимо. Для вычисления поля намагниченности в образце достаточно выполнить расчеты на интервале $0<x<+\infty$. Действительно, из (5.7) следует важное соотношение:
$$
\begin{equation}
n_i \sigma_i = P_{-}(\lambda)|_{\lambda=0}\, \sigma_3 P^\unicode{8224}_{-}(\lambda)|_{\lambda=0},\qquad 0 \leqslant x<\infty,
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
где по дважды повторяющимся индексам производится суммирование. По известному решению $P_{-}(x, \lambda)$ формула (5.9) реконструирует искомые решения начально-краевой задачи для уравнения Ландау–Лифшица (1.3)–(1.6), которые описывают систему солитонов и диспергирующих волн в полубесконечном образце двухосного ферромагнетика. Далее ограничимся обсуждением задачи Римана для солитонов в отсутствие спиновых волн. Тогда $b_m (\lambda)=\bar{b}_m (\lambda) \equiv 0$, и условие сопряжения (5.5) упрощается:
$$
\begin{equation}
P_{-}(\lambda) P_{-}^\unicode{8224}(\lambda^*)=P_{-}^\unicode{8224}(\lambda^*)P_{-}(\lambda)=I.
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Задача Римана сводится к построению мероморфных двоякопериодических функций $P_{-}(\lambda)$ с периодами [$4 K, 4 i K'$], с нулями в точках $\lambda_j^* \in D_{+}$ и полюсами в точках $\lambda_j \in D_{-}$. Такое построение осуществляется алгебраическими методами. Типичные солитоны получим и проанализируем в следующем разделе.
6. Солитоны полуограниченного двухосного ферромагнетика6.1. Доменные стенкиНули (3.9) функции $a(\lambda)$ параметризуют солитоны, которые описывают процессы перемагничивания образца, сопровождающиеся движением доменных стенок и их отражениями от края образца. Построим на интервале $0 \leqslant x < \infty$ простейшую мероморфную функцию $P_{-}(\lambda)$, четыре полюса которой совпадают с нулями функции $a(\lambda)$ (3.9):
$$
\begin{equation}
\lambda_1 = u -i K', \qquad \lambda_2 = \lambda_1 - 2 K, \qquad \lambda_3=-\lambda_1^*,\qquad \lambda_4=-\lambda_1^*+2 K,
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
где $0<u< 2 K$. Как и в неограниченной среде [2], будем искать функцию $P_{-}(\lambda)$ в виде разложения на “простые дроби” (по дзета-функциям Вейерштрасса) с периодами [$4 K, 4 i K'$]:
$$
\begin{equation}
P_{-}(\lambda) = A^{(0)}+A^{(1)} \zeta_1 +A^{(2)} \zeta_2 +A^{(3)} \zeta_3 +A^{(4)} \zeta_4,
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
где $\zeta_i =\zeta(\lambda-\lambda_i)$, $i=1,2,3,4$. В результате преобразования $f(\lambda) \to f(\lambda+ 2 K)$ дзета-функции переходят друг в друга с точностью до аддитивных членов [23]–[25]:
$$
\begin{equation}
\zeta_1 \to \zeta_2, \qquad \zeta_2 \to \zeta_1 + 2 \eta_1,\qquad \zeta_3 \to \zeta_4 + 2 \eta_1, \qquad \zeta_4 \to \zeta_3.
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
После замены $f(\lambda) \to f^*[(\lambda- 2 i K')^*]$ они принимают вид Используя формулы (6.2)–(6.4), из первых условий симметрии (5.3) находим ограничения на матрицы $A^{(i)}$:
$$
\begin{equation*}
A^{(2)}=\sigma_3 A^{(1)} \sigma_3 = A^{(1)*}, \qquad A^{(4)}=\sigma_3 A^{(3)} \sigma_3 = A^{(3)*}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что у матриц $A^{(1,3)}$ диагональные элементы вещественны, а недиагональные элементы – мнимые числа. При этом матрица $A^{(0)}$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
A^{(0)}= \begin{pmatrix} r_1 & \eta_1 [A_{12}^{(1)}-A_{12}^{(3)}] \\ \eta_1 [A_{21}^{(1)}-A_{21}^{(3)}] & r_2 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $r_{1,2}$ – вещественные числа. Матричная функция (6.2) должна иметь периоды [$4 K, 4 i K'$]. Это возможно, только если сумма ее вычетов в параллелограмме периодов равна нулю [25]: Это условие выполняется, если диагональные элементы матриц $A^{(1)}$ и $A^{(3)}$ связаны равенствами
$$
\begin{equation}
A^{(1)}_{\beta \beta}=-A^{(3)}_{\beta \beta},\qquad \beta=1,2.
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
Дальнейшие вычисления выполним, предполагая справедливость этих ограничений. Окончательный результат подтвердит их правильность. Положим $\tilde{A}^{(j)}=k R A^{(j)}/2$, $R=\mathrm{diag}(r_1, r_2)$ и перепишем матрицу $P_{-}(\lambda)$ (6.2) в форме $P_{-}(\lambda)=R \Psi(\lambda)$, где
$$
\begin{equation}
\Psi(\lambda)=I+\begin{pmatrix} \tilde{A}_{11}^{(1)} \varphi(\lambda)& \tilde{A}_{12}^{(1)} \alpha(\lambda)+\tilde{A}_{12}^{(3)} \beta(\lambda) \\ \tilde{A}_{21}^{(1)} \alpha(\lambda)+\tilde{A}_{21}^{(3)} \beta(\lambda) & \tilde{A}_{22}^{(1)} \varphi(\lambda) \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
\varphi(\lambda)=\frac{2}{k}[\zeta_1+\zeta_2-\zeta_3-\zeta_4], \qquad \alpha(\lambda)=\frac{2}{k}[\zeta_1-\zeta_2+\eta_1],\qquad \beta(\lambda)=\frac{2}{k}[\zeta_3-\zeta_4-\eta_1].
\end{equation*}
\notag
$$
Множитель $2/k$ введен для упрощения последующих формул. В представлении (6.7) мы учли соотношения (6.6). Требование отсутствия полюсов в левой части равенства (5.10) эквивалентно двум независимым матричным уравнениям
$$
\begin{equation}
P_{-}(\lambda)|_{\lambda=\lambda_1^*}[\tilde{A}^{(1)}]^\unicode{8224}=0, \qquad P_{-}(\lambda)|_{\lambda=\lambda_3^*}[\tilde{A}^{(3)}]^\unicode{8224}=0,
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
которые имеют нетривиальные решения только при условии вырожденности матриц $\tilde{A}^{(1,3)}$ и $P_{-}(\lambda_{1,3}^*)$ [1], [2], [30]. Положим
$$
\begin{equation*}
\tilde{A}^{(1)}_{ab}=(X)_a (\xi_1^*)_b, \qquad \tilde{A}^{(3)}_{ab}=(Y)_a (\xi_3^*)_b,\qquad a,b=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
предполагая справедливость ограничений (6.6): Уравнения (6.8) означают, что векторы $\xi_{1,3} \in \operatorname{Ker} P_{-}(\lambda_{1,3}^*)$ такие, что
$$
\begin{equation}
P_{-}(\lambda_1^*) \xi_1=0, \qquad P_{-}(\lambda_3^*) \xi_3=0.
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
Структуру матриц $P_{-}(\lambda_{1,3}^*)$ при $x>0$ выявим с помощью результатов раздела 3:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P_{-}(\lambda_{1,3}^*)={}&(T_{+}^{(1)}(\lambda_{1,3}^*), T_{-}^{(2)}(\lambda_{1,3}^*))\varphi_0^{-1}(\lambda_{1,3}^*)\operatorname{diag}[1,(2 w_3 (\lambda_{1,3}^*)-i \alpha)^{-1}]={} \notag\\ ={}&i \sigma_2 (T_{+}^{*(2)}(\lambda_{1,3}), -\gamma^*(\lambda_{1,3}) T_{+}^{*(2)}(\lambda_{1,3}^*))\times{} \notag \\ &\times \varphi_0^{-1}(\lambda_{1,3}^*)\operatorname{diag}[1,(2 w_3 (\lambda_{1,3}^*)-i \alpha)^{-1}]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
Здесь мы воспользовались формулами (3.11), (5.1) и предпоследней из редукций (3.6). Из представления (6.11) находим векторы $\xi_{1,3} \in \operatorname{Ker} P_{-}(\lambda_{1,3}^*)$ с точностью до несущественного общего множителя:
$$
\begin{equation*}
\xi_j = \begin{pmatrix} \nu^*_{1,3} (x,t) \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \nu^*_{1,3} (x,t)=\frac{\gamma^*(\lambda_{1,3})}{[2 w_3 (\lambda_{1,3})+i \alpha]^*}\exp[-2 i w_3^* (\lambda_{1,3}) x].
\end{equation*}
\notag
$$
В данном случае имеется только одна группа нулей вида (3.9) ($N=1$), поэтому $\alpha=-h$ (см. (3.22)). Выделим зависимость от времени из выражений (3.23) для $\gamma (\lambda_{1,3})$, учтем свойства их симметрии (3.12) и выразим коэффициенты $w_3(\lambda_{1,3})$ и $a_3(\lambda_{1,3})$ через эллиптические функции Якоби. В результате получим следующие функции $\xi_{1,3}(x, t)$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \xi_{1}(x, t)=\begin{pmatrix} -ip(x,t) \\ 1 \end{pmatrix},\qquad \xi_{3}(x, t)=\begin{pmatrix} -iq(x,t) \\ 1 \end{pmatrix}, \\ p =\kappa\exp[-2 \rho x\operatorname{dn} u+(2 \rho k)^2 t \operatorname{sn} u \operatorname{cn} u],\\ q =\frac{f}{\kappa}\exp[-2 \rho x\operatorname{dn} u -(2 \rho k)^2 t \operatorname{sn} u \operatorname{cn} u],\qquad f=\frac{h+ 2 \rho\operatorname{dn} u}{h- 2 \rho\operatorname{dn} u}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
Здесь и далее используем вещественный параметр $\kappa = \gamma(t, \lambda_1)|_{t=0}/(h- 2 \rho\operatorname{dn} u_1)$ вместо постоянной интегрирования $\gamma (t, \lambda_1)|_{t=0}$. В результате подстановки (6.12) в (6.10) получаем систему уравнений, из которых находим компоненты векторов $X$ и $Y$:
$$
\begin{equation}
\frac{X_1}{q}=-\frac{Y_1}{p}=\frac{i}{pq\varphi(\lambda_1^*)-\beta(\lambda_1^*)}, \qquad X_2 = -Y_2 = \frac{1}{pq\beta(\lambda_1^*)-\varphi(\lambda_1^*)}.
\end{equation}
\tag{6.13}
$$
Это решение, как и ожидалось, удовлетворяет ограничению (6.9). Диагональная матрица $R^{-2}$ может быть выражена через $\Psi (\lambda)$ из соотношения (5.10) и оказывается кратной единичной матрице:
$$
\begin{equation*}
R^{-2}=\Psi(\lambda)\Psi^\unicode{8224}(\lambda^*)=r^{-2} I .
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда находим $R = r N$, где $r>0$, $N=\operatorname{diag}(\varepsilon_1, \varepsilon_2)$, $\varepsilon_1^2=\varepsilon_2^2=1$. Используя тождества
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \alpha(\lambda)=\operatorname{sn}(\lambda-u)-i\operatorname{cn}(\lambda-u),\qquad \beta(\lambda)=\operatorname{sn}(\lambda+u)-i\operatorname{cn}(\lambda+u),\\ \alpha(\lambda) \alpha^*(\lambda^*)= \beta(\lambda) \beta^*(\lambda^*)=1,\\ \varphi(\lambda)-\varphi(\lambda_1^*)=\beta(\lambda_1^*) \alpha(\lambda)\beta(\lambda),\qquad \beta(\lambda_1^*)=\frac{k\operatorname{sn} u\operatorname{cn} u}{\operatorname{dn} u}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.14}
$$
представим солитонную матрицу $P_{-}(\lambda)$ в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P_{-}(\lambda)&=r N \begin{pmatrix} \beta(\lambda_1^*)[1+pq\alpha(\lambda)\beta(\lambda)] & i[p\beta(\lambda)-q\alpha(\lambda)]\\ i[p\alpha(\lambda)-q\beta(\lambda)] & \beta(\lambda_1^*)[pq+\alpha(\lambda)\beta(\lambda)] \end{pmatrix}, \\ r^{-2} &= \beta^2 (\lambda_1^*) [1+p^2 q^2]+p^2+q^2 +p q \delta. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.15}
$$
Комбинация
$$
\begin{equation*}
\delta=\beta^2 (\lambda_1^*) [\alpha(\lambda) \beta(\lambda)+\alpha^*(\lambda^*) \beta^*(\lambda^*)]-\alpha(\lambda) \beta^*(\lambda^*)-\beta(\lambda) \alpha^*(\lambda^*)
\end{equation*}
\notag
$$
по построению не зависит от $\lambda$:
$$
\begin{equation*}
\delta=2 [\operatorname{sn}^2 u - \operatorname{cn}^2 u -\beta^2 (\lambda_1^*)].
\end{equation*}
\notag
$$
Нормировка (5.8) конкретизирует выбор матрицы $N=\sigma_3$. Тогда при $x>0$, как и положено, имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{det} P_{-}(\lambda)=a_m^* (\lambda^*)=[\operatorname{cn}(\lambda-u)+i\operatorname{sn}(\lambda-u)][\operatorname{cn}(\lambda+u)+i\operatorname{sn}(\lambda+u)].
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью (5.9), (6.15) реконструируем односолитонное решение уравнений Ландау–Лифшица (1.3) двухосного ферромагнетика с граничными условиями (1.4), (1.5):
$$
\begin{equation}
n_3 = 1 - \frac{2 |s|^2}{u^2+|s|^2},\qquad n_{+}=n_1+i n_2 = \frac{2 u s }{u^2+|s|^2},
\end{equation}
\tag{6.16}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u={}&u^*=\beta(\lambda_1^*) \biggl[\frac{1}{\sqrt{|f|}}\exp(2 \rho x \operatorname{dn} u) - \operatorname{sgn} f \sqrt{|f|} \exp(-2 \rho x \operatorname{dn} u) \biggr], \\ s ={}& \operatorname{sgn} \kappa\biggl[ \sqrt{|f|}\frac{\operatorname{sgn} f}{|\kappa|} \exp[-(2 \rho k)^2 t \operatorname{sn} u \operatorname{cn} u+i \operatorname{am} u]-{}\\ & - \frac{|\kappa|}{\sqrt{|f|}}\exp[(2 \rho k)^2 t \operatorname{sn} u \operatorname{cn} u-i \operatorname{am} u]\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\operatorname{sn} u$, $\operatorname{cn} u$, $\operatorname{am} u$ – эллиптические функции Якоби с модулем $k$. В сравнительно малых полях $|h|<2 \rho \operatorname{dn} u$ (при $f<0$) солитон (6.16) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, n_1 +i n_2 &=\frac{2 \beta(\lambda_1^*) \operatorname{sgn} \kappa\operatorname{ch} y[-\operatorname{cn} u\operatorname{ch} s+i\operatorname{sn} u\operatorname{sh} s]}{\mathrm{ch}^2 s-\operatorname{sn}^2 u+\beta^2 (\lambda_1^*) \operatorname{ch}^2 y},\\ n_3 &=-1+\frac{2\beta^2 (\lambda_1^*) \operatorname{ch}^2 y }{\operatorname{ch}^2 s-\operatorname{sn}^2 u+\beta^2 (\lambda_1^*) \operatorname{ch}^2 y}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.17}
$$
Здесь $y=2 \rho x\operatorname{dn} u -\ln|f|/2$, $s=(2 \rho k)^2 \operatorname{sn} u\operatorname{cn} u(t-t_0)$,
$$
\begin{equation*}
t_0=(2 \rho k)^{-2} (\operatorname{sn} u\operatorname{cn} u)^{-1} \ln\frac{\sqrt{|f|}}{|\kappa|}.
\end{equation*}
\notag
$$
В больших полях $|h|>2 \rho \operatorname{dn} u$ (при $f>0$) солитон (6.16) записывается в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, n_1 +i n_2 &=\frac{2 \beta(\lambda_1^*) \operatorname{sgn} \kappa\operatorname{sh} y[-\operatorname{cn} u\operatorname{sh} s+i\operatorname{sn} u\operatorname{ch} s]}{\operatorname{ch}^2 s-\operatorname{cn}^2 u+\beta^2 (\lambda_1^*) \operatorname{sh}^2 y},\\ n_3 &=-1+\frac{2\beta^2 (\lambda_1^*) \operatorname{sh}^2 y }{\operatorname{ch}^2 s-\operatorname{cn}^2 u+\beta^2 (\lambda_1^*) \operatorname{sh}^2 y}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.18}
$$
Взаимодействие солитонов (6.17), (6.18) с границей образца сопровождается перемагничиванием среды посредством вращений спиновых моментов. Изменения намагниченности в ядрах солитонов весьма значительны – порядка намагниченности насыщения. Отражение солитонов (6.17), (6.18) от края образца сопровождается всплеском приграничных колебаний намагниченности. В слабых поверхностных полях $|h|< 2 \rho \operatorname{dn} u$ в момент $t=t_0$ столкновения с границей все спины в солитоне (6.17) ложатся в плоскость $Oxz$ – распределение намагниченности в пределах солитона становится неелевским1. В случае отрицательных полей $-2 \rho \operatorname{dn} u<h<0$ компонента $n_3$ намагниченности монотонно возрастает по мере удаления вглубь образца, а при положительных полях $0<h<2 \rho \operatorname{dn} u$ она достигает минимума $n_3^{(0)}=1-2 \operatorname{dn}^2 u$ в некоторой точке $x_0=\ln|f|/(4 \rho \operatorname{dn} u)$ вблизи границы образца (см. рис. 1). В сильных полях $|h|> 2 \rho \operatorname{dn} u$ в момент отражения $t=t_0$ все спины в солитоне (6.18) ложатся в плоскость $Oyz$ – распределение намагниченности в области локализации солитона становится блоховским. В отрицательных полях $h<-2 \rho \operatorname{dn} u$ компонента намагниченности $n_3$ монотонно возрастает по мере удаления вглубь образца, а при $h>2 \rho \operatorname{dn} u$ в точке $x_0=\ln|f|/(4 \rho \operatorname{dn} u)$ наблюдается полное перемагничивание среды: $n_3^{(0)}=-1$ (см. рис. 2).  Рис. 1.Компонента $n_3$ при $-2 \rho \operatorname{dn} u<h<0$ (а), $0<h<2 \rho \operatorname{dn} u$ (б) и в момент $t=t_0$ столкновения солитона (6.17) с границей образца (в) при $\kappa>0$, $0<u<K$.  Рис. 2.Компонента $n_3$ при $h<-2 \rho \operatorname{dn} u$ (а), $h>2 \rho \operatorname{dn} u$ (б) и в момент $t=t_0$ столкновения солитона (6.18) с границей образца (в) при $\kappa>0$, $0<u<K$. На больших расстояниях от края образца при $x\gg 1$, $t \to +\infty$ нелинейное возбуждение (6.16) принимает вид доменной стенки, типичной для безграничной среды (см. рис. 3):
$$
\begin{equation}
n_3 = \operatorname{th} y_{+},\qquad n_1+ i n_2 \equiv n_{+}=-\operatorname{sgn}\kappa\exp[-i\operatorname{am} u]\operatorname{ch}^{-1} y_{+},
\end{equation}
\tag{6.19}
$$
$y_{+}=l_0^{-1} (x - V t -x_{+})$, $x_{+}=l_0 \ln[|\kappa| /\beta(\lambda_1^*)]$. Параметры $l_0 =(2 \rho \operatorname{dn} u)^{-1}>0$ и $V = 2 \rho k^2 \operatorname{sn} u \operatorname{cn} u/\operatorname{dn} u>0$ определяют толщину доменной стенки и скорость ее удаления от границы образца, $x_{+}$ – координата центра доменной стенки в сопутствующей системе отсчета, где $x-V t =0$. В другом предельном случае при $x\gg 1$, $t \to -\infty$, $x+V t =\mathrm{const}$ получаем похожую доменную стенку:
$$
\begin{equation}
n_3 = \operatorname{th} y_{-},\qquad n_{+}=\operatorname{sgn}\kappa\operatorname{sgn}f \exp[i\operatorname{am} u]\operatorname{ch}^{-1} y_{-},
\end{equation}
\tag{6.20}
$$
$y_{-}=l_0^{-1} (x + V t -x_{-})$, $x_{-}=l_0 \ln[|f /(\kappa \beta(\lambda_1^*))|]$, которая из глубины образца со скоростью $-V$ приближается к его границе. Отметим, что хотя в пределе $u \to 0$ ($u \to K$), $x_\pm=\mathrm{const}\gg 1$ формулам (6.19), (6.20) отвечают неподвижные доменные стенки вдали от края образца, около границы $x=0$ образца локализация доменной стенки невозможна, так как в решении (6.16) множитель $\beta(\lambda_1^*)$ обращается в нуль при $u=0, K$. Согласно формуле (4.2) поверхностное поле $h<0$ понижает энергию образца с одной доменной стенкой. На больших расстояниях от края образца в центре доменной стенки, где $y_{-}=0$ или $y_{+}=0$, вектор $\mathbf{n}$ лежит в плоскости $Oxy$. Единственным результатом столкновения солитона (6.16) с границей образца является сдвиг $x_{+}-x_{-}$ положения доменной стенки и поворот вектора $\mathbf{n}$ в центре стенки на угол $-2 \operatorname{am} u$ в случае поверхностного поля $-2 \rho \operatorname{dn} u<h<0$ или поворот на угол $\pi-2 \operatorname{am} u$, когда $h<-2 \rho \operatorname{dn} u$ (см. (6.19), (6.20)). Интересно и важно, что величина поверхностного поля пороговым образом меняет “жесткость” границы образца, и это проявляется в скачкообразном изменении ориентации намагниченности в центре доменной стенки при ее отражении от края образца. В случае свободных краевых спинов в решении (6.16) параметр $f=-1$. Тогда солитон (6.16) удовлетворяет граничному условию (1.8). В пределе $h \to -\infty$ имеем $f=1$. Формула (6.16) описывает односолитонное состояние при полном закреплении краевых спинов в соответствии с условиями
$$
\begin{equation*}
n_3|_{x=0}=-1, \qquad n_3 \to 1 \qquad \text{при}\quad x \to +\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
В общем случае наличие $N$ групп нулей типа (3.9) у функции $a(u)$ проявляется в формировании $N$ доменных стенок в образце. Можно показать, что характер полного закрепления спинов на краях образца и число доменных стенок связаны между собой соотношениями
$$
\begin{equation*}
n_3|_{x=0}=(-1)^N, \qquad n_3 \to 1 \qquad \text{при}\quad x \to +\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
6.2. Бризеры на полуосиВторая группа нулей (3.10) функции $a(\lambda)$ параметризует прецессирующие бризеры двухосного ферромагнетика. Элементарному бризеру в полуограниченном образце соответствуют восемь нулей:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \lambda_1^{(1)}=u-i K'+i \theta, \qquad 0<\theta<K',\qquad 0<u<2 K,\qquad \lambda_2^{(1)}=-\lambda_1^{(1)*};\\ \lambda_\beta^{(2)}=\lambda_\beta^{(1)*}-2 i K',\qquad \lambda_\beta^{(3)}=\lambda_\beta^{(1)}-2 K,\qquad \lambda_\beta^{(4)}=\lambda_\beta^{(2)}-2 K,\qquad \beta=1,2. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.21}
$$
Они совпадают с полюсами мероморфной на торе матричной функции $P_{-}(\lambda)$. Будем искать ее в виде разложения по дзета-функциям Вейерштрасса с периодами [$4 K, 4 i K'$], а точнее по функциям
$$
\begin{equation*}
f_\beta^{(1,2)}(\lambda)=\zeta(\lambda-\lambda_\beta^{(1,2)})-\eta_3, \qquad f_\beta^{(3,4)}(\lambda)=\zeta(\lambda-\lambda_\beta^{(3,4)})+\eta_2,
\end{equation*}
\notag
$$
которые обладают следующими трансформационными свойствами:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & f_\beta^{(1,2)}(\lambda+2 K)=f_\beta^{(3,4)}(\lambda)+\eta_1, \qquad f_\beta^{(3,4)}(\lambda+2 K)=f_\beta^{(1,2)}(\lambda)+\eta_1,\\ & f_\beta^{(1,3)*}[(\lambda-2 i K')^*]=f_\beta^{(2,1)}(\lambda), \qquad f_\beta^{(3,4)*}[(\lambda-2 i K')^*]=f_\beta^{(4,3)}(\lambda). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При $x>0$ редукции приводят к следующей алгебраической структуре матрицы $P_{-}(\lambda)$ [2]:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, P_{-}(\lambda)=R\Psi(\lambda), \\ \Psi(\lambda)=R \biggl[I+\sum_{\beta=1}^{2} [R^\beta f_\beta^{(1)}(\lambda)+\sigma_3 R^{\beta *} \sigma_3 f_\beta^{(2)}(\lambda)+\sigma_3 R^{\beta *} \sigma_3 f_\beta^{(3)}(\lambda) +R^{\beta *} f_\beta^{(4)}(\lambda)] \biggr],\notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.22}
$$
где $R=\mathrm{diag}(r_1,r_2)$ – вещественная матрица. Представление (6.22) имеет периоды [$4 K, 4 i K'$] только при условии
$$
\begin{equation}
R^1_{a a}+R^2_{a a}+R^{1*}_{a a}+R^{2*}_{a a}=0,\qquad a=1,2.
\end{equation}
\tag{6.23}
$$
Дальнейшие вычисления проводим, предполагая справедливость равенств (6.23). Окончательный результат подтвердит их правильность. Следуя [2], построим матрицы $R^\beta$. Требование обращения в нуль вычетов в полюсах левой части равенства равносильно двум независимым матричным уравнениям
$$
\begin{equation}
P_{-}(\lambda_\beta^{(1)*}) R^{\beta \unicode{8224}}=0,\qquad \beta=1,2.
\end{equation}
\tag{6.25}
$$
Вырожденную матрицу $R^\beta$ запишем в виде
$$
\begin{equation*}
R^\beta_{a b}=X_a^\beta \xi_b^{\beta *},\qquad a,b=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из (6.25) следует, что $\xi^\beta \in \operatorname{Ker} P_{-}(\lambda_\beta^{(1)*})$:
$$
\begin{equation}
P_{-}(\lambda_\beta^{(1)*}) \xi^\beta =0,\qquad \beta=1,2.
\end{equation}
\tag{6.26}
$$
При $x>0$ структуру матрицы $P_{-}(\lambda_\beta^{(1)*})$ конкретизируют формулы (5.1), (3.11), (3.6):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P_{-}(\lambda_{1}^*)={}&i \sigma_2 [T_{+}^{*(2)}(\lambda_\beta^{(1)}), -\gamma^*(\lambda_\beta^{(1)}) T_{+}^{*(2)}(\lambda_\beta^{(1)})]\varphi_0^{-1}(\lambda^{(1)*}_\beta)\times{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\times \operatorname{diag}[1,(2 w_3 (\lambda_\beta^{(1)*})-i h)^{-1}]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.27}
$$
В данном случае $\alpha=h$, так как в (3.22) $N=0$. Отсюда находим явный вид векторов $\xi^\beta$ с точностью до несущественного множителя:
$$
\begin{equation}
\xi^\beta = \begin{pmatrix} \kappa^*(\lambda_\beta^{(1)}) \exp[-2 i w_3 (\lambda_\beta^{(1)*}) x-4 i a_3 (\lambda_\beta^{(1)*})t] \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \beta=1,2.
\end{equation}
\tag{6.28}
$$
Здесь введены новые комплексные параметры $\kappa(\lambda_\beta^{(1)})$ вместо прежних нормировочных постоянных $\gamma(\lambda_\beta^{(1)}, t)|_{t=0}$. Согласно последней из формул (3.13) они связаны между собой:
$$
\begin{equation}
\kappa(\lambda_1^{(1)})=\frac{\gamma(\lambda_1^{(1)}, t)|_{t=0}}{2 w_3 (\lambda_1^{(1)})+ih},\qquad \kappa^*(\lambda_2^{(1)})=\frac{f(\lambda_1^{(1)})}{\kappa(\lambda_1^{(1)})},\qquad f(\lambda)=\frac{ih- 2 w_3 (\lambda)}{ih+2 w_3 (\lambda)}.
\end{equation}
\tag{6.29}
$$
Поскольку $\lambda_2^{(1)}=-\lambda_1^{(1)*}$, получаем
$$
\begin{equation*}
-2 i w_3^* (\lambda_{1,2}^{(1)*}) x-4 i a_3 (\lambda_{1,2}^{(1)*})t=-l_0^{-1} (x \mp V t)+i(\omega t \mp p x).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее мы докажем, что выражения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, l_0 = [2 \operatorname{Im} w_3 (\lambda_1^{(1)})]^{-1}>0,\qquad V=-\frac{2 \operatorname{Im} a_3 (\lambda_1^{(1)})}{\operatorname{Im} w_3 (\lambda_1^{(1)})},\\ p=2 \operatorname{Re} w_3 (\lambda_1^{(1)}),\qquad \omega=-4 \operatorname{Re} a_3 (\lambda_1^{(1)}) \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.30}
$$
определяют толщину стенок $l_0$, ограничивающих ядро бризера, скорость $V$ движения его центра, волновое число $p$ и частоту $\omega$ колебаний намагниченности в ядре бризера. Формулы (6.22), (6.26) приводят к системе алгебраических уравнений для расчета компонент $X^\gamma_a$:
$$
\begin{equation}
\xi_a^\beta+\sum_{\gamma=1}^{2} [(F_a)_{\beta \gamma} X_a^\gamma+(Q_a)_{\beta \gamma} X_a^\gamma]=0,
\end{equation}
\tag{6.31}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (F_a)_{\beta \gamma}&=(\xi^{\gamma *} \cdot \xi^\beta)f_\gamma^{(1)}(\lambda_\beta^{(1)*})-(-1)^a (\xi^{\gamma *} \cdot \sigma_3 \xi^\beta)f_\gamma^{(3)}(\lambda_\beta^{(1)*}),\\ (Q_a)_{\beta \gamma}&=(\xi^{\gamma} \cdot \xi^\beta)f_\gamma^{(4)}(\lambda_\beta^{(1)*})-(-1)^a (\xi^{\gamma} \cdot \sigma_3 \xi^\beta)f_\gamma^{(2)}(\lambda_\beta^{(1)*}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.32}
$$
Систему (6.31) полезно переписать в терминах двумерных векторов $\mathbf{p}_a=(\xi^1_a,\xi^2_a)$, $\mathbf{X}_a=(X^1_a,X^2_a)$:
$$
\begin{equation}
\mathbf{p}_a + F_a \mathbf{X}_a+Q_a \mathbf{X}_a^* =0, \qquad a=1,2.
\end{equation}
\tag{6.33}
$$
($2 \times 2$)-Матрицы $F_a$ и $Q_a$ (6.32) обладают следующими свойствами симметрии: Из уравнений (6.33) выражаем векторы $\mathbf{X}_a$ через $\mathbf{p}_a$ и $\mathbf{p}_a^*$:
$$
\begin{equation}
\mathbf{X}_a=-\frac{1}{D_a}[\widetilde{F}_a \mathbf{p}_a+Q_a \mathbf{p}_a^*],
\end{equation}
\tag{6.35}
$$
где
$$
\begin{equation*}
D_a=D_a^*=\operatorname{det} F_a -|(Q_a)_{21}|^2,\qquad \widetilde{F}_a=\begin{pmatrix} \hphantom{-}(F_a)_{22}& -(F_a)_{12} \\ -(F_a)_{21}& \hphantom{-} (F_a)_{11} \end{pmatrix} = F_a^{-1} \operatorname{det} F_a.
\end{equation*}
\notag
$$
В терминах $\mathbf{X}_a$ и $\mathbf{p}_a$ условие двоякопериодичности функции $\Psi(\lambda)$ (6.23) принимает вид равенств
$$
\begin{equation*}
(\mathbf{p}_a^* \cdot \mathbf{X}_a)+(\mathbf{p}_a \cdot \mathbf{X}_a^*)=0,\qquad a=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
которые благодаря свойствам (6.34) выполняются тождественно. Матрицу $R^{-2}$ выразим через $\Psi(\lambda)$ из соотношения (6.24):
$$
\begin{equation}
R^{-2}=\Psi(\lambda)\Psi^\unicode{8224} (\lambda^*).
\end{equation}
\tag{6.36}
$$
По построению правая часть этого равенства не зависит от $\lambda$ и является положительно определенной диагональной матрицей. Удобное для дальнейшего анализа представление $R$ получается из (6.36) при $\lambda=0$. Солитонная матрица $P_{-}(\lambda)=R\Psi(\lambda)$ содержит парные комбинации дзета-функций Вейерштрасса, а именно
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \varphi_\beta^{(1,3)}(\lambda)&= \varphi_\beta^{(3,1)}(\lambda)=f_\beta^{(1)}(\lambda)+f_\beta^{(3)}(\lambda)=\zeta(\lambda-\lambda_\beta^{(1)})+\zeta(\lambda-\lambda_\beta^{(3)})-\eta_1 - 2 \eta_3,\\ g_\beta^{(1,3)}(\lambda)&=-g_\beta^{(3,1)}(\lambda)=f_\beta^{(1)}(\lambda)-f_\beta^{(3)}(\lambda)=\zeta(\lambda-\lambda_\beta^{(1)})-\zeta(\lambda-\lambda_\beta^{(3)})+\eta_1, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.37}
$$
а также совокупности $\varphi_\beta^{(3,4)}(\lambda)$ и $g^{(2,4)}_\beta(\lambda)$, которые получаются из (6.37) заменой верхних индексов: $1,3 \to 2,4$. Формулы для элементов матрицы $P_{-}(\lambda)$ можно переписать в терминах более популярных эллиптических функций Якоби с модулем $k$. Для выражений $g^{(1,3)}_\beta(\lambda)$ и $g^{(2,4)}_\beta(\lambda)$ это достигается сразу:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, g^{(1,3)}_\beta(\lambda)&=\frac{1+\operatorname{dn}(\lambda-\lambda_\beta^{(1)})}{2\operatorname{sn}(\lambda-\lambda_\beta^{(1)})}=\frac{\operatorname{dn} \lambda+\operatorname{dn} \lambda_\beta^{(1)}}{2[\operatorname{sn} \lambda\operatorname{cn} \lambda_\beta^{(1)}-\operatorname{cn} \lambda\operatorname{sn} \lambda_\beta^{(1)}]}, \\ g^{(2,4)}_\beta(\lambda)&=\frac{1+\operatorname{dn}(\lambda-\lambda_\beta^{(2)})}{2\operatorname{sn}(\lambda-\lambda_\beta^{(2)})}=\biggl(\frac{k}{2}\biggr)^2 \frac{1}{g_\beta^{(1,3) *}(\lambda^*)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.38}
$$
Что касается функций $\varphi_\beta^{(m, n)}(\lambda)$ и их значений в точках $\lambda_\beta^{(1)*}$, то они входят в выражение для $P_{-}(\lambda)$ группами, которые оказываются мероморфными двоякопериодическими функциями от переменных $\lambda$, $2 \operatorname{Re} \lambda_1^{(1)}$, $2 i \operatorname{Im} \lambda_1^{(1)}$. Поэтому их также удается выразить через эллиптические функции Якоби с модулем $k$, например
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Phi \equiv \varphi_2^{(1,3)}(\lambda_2^{(1)*})-{}&\varphi_1^{(1,3)}(\lambda_2^{(1)*})+\varphi_1^{(2,4)}(\lambda_2^{(1)*})=\frac{g_2^{(1,3)*}(\lambda_1^{(1)*})}{g_2^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)})} g_1^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)*}),\\ [\varphi_1^{(2,4)}(\lambda_2^{(1)*})]^2-{}& [\varphi_2^{(1,3)}(\lambda_2^{(1)*})]^2- |\varphi_1^{(1,3)}(\lambda_2^{(1)*})|^2 ={}\\ &=|\Phi|^2+ \varphi_1^{(1,3)*}(\lambda_2^{(1)*}) \Phi + \varphi_1^{(1,3)}(\lambda_2^{(1)*}) \Phi^*,\\ \varphi_\beta^{(1,3)}(\lambda)-{}&\varphi_\beta^{(2,4)}(\lambda)-\varphi_\beta^{(1,3)}(\lambda_\beta^{(1)*})=- \frac{g_\beta^{(1,3)}(\lambda)}{g_\beta^{(1,3)*}(\lambda^*)}g_\beta^{(1,3)}(\lambda_\beta^{(1)*}), \\ \varphi_1^{(1,3)}(\lambda)-{}&\varphi_2^{(1,3)}(\lambda)+\varphi_2^{(2,4)}(\lambda_1^{(1)*})=\frac{g_{1}^{(1,3)}(\lambda) g_{2}^{(1,3)}(\lambda)}{g_2^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)})},\\ \varphi_1^{(2,4)}(\lambda)-{}&\varphi_2^{(2,4)}(\lambda)+\varphi_2^{(2,4)}(\lambda_1^{(1)*})=\frac{g_{1}^{(2,4)}(\lambda) g_{2}^{(2,4)}(\lambda)}{g_2^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.39}
$$
Вычисления облегчают свойства симметрии коэффициентов:
$$
\begin{equation*}
\varphi_{1}^{(2,4)}(\lambda_2^{(1)*})=-\varphi_{2}^{(2,4)}(\lambda_1^{(1)*}),\qquad g_{1}^{(2,4)}(\lambda_2^{(1)*})=-g_{2}^{(2,4)}(\lambda_1^{(1)*}) =-\biggl(\frac{k}{2}\biggr)^2 \frac{1}{g_2^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)})}
\end{equation*}
\notag
$$
– вещественные числа;
$$
\begin{equation*}
\varphi_{2}^{(1,3)}(\lambda_2^{(1)*})=-\varphi_{1}^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)*}),\qquad g_{2}^{(1,3)}(\lambda_2^{(1)*})=g_{1}^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)*})
\end{equation*}
\notag
$$
– мнимые числа;
$$
\begin{equation*}
\varphi_{1}^{(1,3)}(\lambda_2^{(1)*})=-\varphi_{2}^{(1,3)*}(\lambda_1^{(1)*}),\qquad g_{1}^{(1,3)}(\lambda_2^{(1)*})=-g_{2}^{(1,3)*}(\lambda_1^{(1)*})
\end{equation*}
\notag
$$
– комплексные числа; $g^{(1,3)}_1(0)=-g_2^{(1,3)*}(0)$. С их помощью нетрудно проверить, что второе из соотношений (6.39) является следствием первого. Все тождества настоящей работы доказываются сравнением разложений по дзета-функциям Вейерштрасса левой и правой частей соответствующих равенств [25]. В качестве точек нормировки выбираются нули левой части каждого из соотношений (6.38), (6.39). Опуская простые, но утомительные преобразования, приведем окончательный вид матрицы $P_{-}(\lambda)$ в терминах функций Якоби:
$$
\begin{equation}
P_{-}(\lambda)=r \begin{pmatrix} A(\lambda)& -\bar{a}_m (\lambda) B^*(\lambda^*)\\ B(\lambda)&\hphantom{-}\bar{a}_m (\lambda) A^*(\lambda^*) \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{6.40}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A(\lambda)={}&|m|^2 \biggl[|\xi_{1}^1 \xi_1^2|^2 g_1^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)*}) \biggl( g_2^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)})\biggl[\frac{g_1^{(1,3)}(\lambda)}{g_2^{(1,3)*}(\lambda^*)}-\frac{g_2^{(1,3)}(\lambda)}{g_1^{(1,3)*}(\lambda^*)} \biggr]-g_1^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)*})\biggr)-{} \\ &-[g_1^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)*})]^2\biggr]-[g_1^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)*})]^2 \biggl(|\xi_1^1|^2 \frac{g_1^{(1,3)}(\lambda)}{g_1^{(1,3)*}(\lambda^*)}+|\xi_1^2|^2 \frac{g_2^{(1,3)}(\lambda)}{g_2^{(1,3)*}(\lambda^*)} \biggr)-{} \\ &-\biggl(\frac{k}{2g_2^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)})}\biggr)^2 \biggl[\xi_1^1 \xi_1^2 g_1^{(2,4)}(\lambda) g_2^{(2,4)}(\lambda)+\xi_1^{1*} \xi_1^{2*} g_1^{(1,3)}(\lambda) g_2^{(1,3)}(\lambda)\biggr]-{} \\ &- |g_2^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)*})|^2 \biggl(\xi_1^1\xi_1^{2*} \frac{g_2^{(1,3)}(\lambda)}{g_1^{(1,3)*}(\lambda^*)}+\xi_1^{1*}\xi_1^2 \frac{g_1^{(1,3)}(\lambda)}{g_2^{(1,3)*}(\lambda^*)} \biggr), \\ B(\lambda)={}&B^{(1)} g_{1}^{(1,3)}(\lambda)+B^{(2)} g_{2}^{(1,3)}(\lambda) - B^{(1)*} g_{1}^{(2,4)}(\lambda) - B^{(2)*} g_{2}^{(2,4)}(\lambda), \\ B^{(1)}={}& g_{1}^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)*}) \xi_1^{1*} (|\xi_1^2|^2+m^*)-|\xi_1^1|^2 \biggl(\xi_1^{2 *} g_2^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)*}) + \xi_1^2 \biggl(\frac{k}{2}\biggr)^2 \frac{1}{g_2^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)})}\biggr), \\ B^{(2)}={}& g_{1}^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)*}) \xi_1^{2*} (|\xi_1^1|^2+m)+|\xi_1^2|^2 \biggl(\xi_1^{1 *} g_2^{(1,3)*}(\lambda_1^{(1)*}) + \xi_1^1 \biggl(\frac{k}{2}\biggr)^2 \frac{1}{g_2^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)})}\biggr), \\ m={}&\frac{g_2^{(1,3)*}(\lambda_1^{(1)*})}{g_2^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)})},\qquad \bar{a}_m (\lambda)=\frac{g_1^{(1,3)}(\lambda)g_2^{(1,3)}(\lambda)}{g_1^{(1,3)*}(\lambda^*)g_2^{(1,3)*}(\lambda^*)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поясним выбор множителя $r$ в формуле (6.40). Вычисления показывают, что матрица $R^{-2}$ (6.36) пропорциональна единичной матрице: Это уравнение определяет $R$ с точностью до множителя $N=\operatorname{diag}(\varepsilon_1, \varepsilon_2)$, $\varepsilon_{1,2}=\pm 1$. Окончательный выбор $N$ конкретизирует нормировочное условие (5.8). В данном случае коэффициент $\bar{a}_m (0)=1$, а компоненты $\xi^{(1,2)}_1 \to 0$ при $x \to +\infty$. Поэтому нормировочное условие (5.8) выполняется, если при $x \to +\infty$
$$
\begin{equation*}
r^{-1} \to A(\lambda, x)_{\lambda=0,\, x=\infty}=-|m|^2 [g_1^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)*})]^2>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Прямой проверкой можно убедиться, что новое представление $P_{-}(\lambda)$ (6.40) удовлетворяет уравнениям (6.26) и редукциям (5.3). Для этого достаточно воспользоваться соотношениями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, g_{1,2}^{(2,4)}(\lambda_{1,2}^{(1)*})=\frac{1}{g_{1,2}^{(1,3)*}(\lambda_{1,2}^{(1)})}=0,\\ g_\beta^{(1,3)}(\lambda \pm 2 K)=-g_\beta^{(1,3)}(\lambda),\qquad g_\beta^{(2,4)}(\lambda \pm 2 K)=-g_\beta^{(2,4)}(\lambda),\\ g_\beta^{(1,3)*}[(\lambda \pm 2 i K')^*]=\biggl(\frac{k}{2}\biggr)^2 \frac{1}{g_\beta^{(1,3)*}(\lambda^*)}=g_\beta^{(2,4)}(\lambda). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью формул (5.9), (6.28), (6.40) находим бризерное возбуждение в двухосном ферромагнетике на полуоси:
$$
\begin{equation}
n_3 = \frac{|A(\lambda)|_{\lambda=0}|^2-|B(\lambda)|_{\lambda=0}|^2}{|A(\lambda)|_{\lambda=0}|^2+|B(\lambda)|_{\lambda=0}|^2},\qquad n_1 + in_2 =\frac{2 B(\lambda)|_{\lambda=0}\,A^*(\lambda)|_{\lambda=0}}{|A(\lambda)|_{\lambda=0}|^2+|B(\lambda)|_{\lambda=0}|^2}.
\end{equation}
\tag{6.42}
$$
Это решение при конечных значениях $h \ne 0$ удовлетворяет смешанному краевому условию (1.5), которое учитывает частичное закрепление спинов на границе образца. Когда $h=0$ и $h \to \infty$, параметр $f$ в формулах (6.29) принимает значения $f=-1$ и $f=1$. При $f=-1$ решение (6.42) описывает солитон в образце со свободными краевыми спинами (1.8). В случае $f=1$ формулы (6.42) определяют солитонные состояния при полном закреплении спинов на границе образца в соответствии с условием Протяженность и динамические свойства бризерного решения (6.40), (6.42) обусловлены экспоненциальной зависимостью компонент $\xi_1^\beta$ от координаты $x$ и времени $t$ (6.28)–(6.30). Бризер представляет движущееся частицеподобное возбуждение, которое упруго отражается от границы образца. Скорость солитона $\pm V$ и толщина стенок $l_0$, ограничивающих его ядро, а также частота $\omega$ и волновое число $p$ волновых процессов в ядре бризера определяются формулами (6.30). Внутренняя структура солитона сильно изменяется в ходе взаимодействия с границей образца. Поэтому решение (6.42) невозможно получить ранее известными методами теории солитонов для неограниченной среды. В момент столкновения бризера с границей образца наблюдается всплеск $\mathbf{n}(x, t)|_{x=0}$ колебаний намагниченности на краю $x=0$ образца (рис. 4). Локализованное возбуждение (6.42) демонстрирует структурную устойчивость при столкновениях с границей образца и другими солитонами.  Рис. 4.Компоненты бризера (6.42): $n_1 (x, t)|_{x=0}$ (сплошная линия), $n_2 (x, t)|_{x=0}$ (штриховая линия) и $n_3 (x, t)|_{x=0}$ (штрихпунктирная линия) при $x=0$; $t=t_0$ – момент столкновения с границей. Построим бризерную матрицу $P_{-}(\lambda)$ иным способом, который упрощает анализ асимптотического поведения солитонов после их столкновения с краем образца. Кроме того, он позволяет разложить на множители выражение для $r^{-2}$ (6.41). Представим матричную функцию элементарного бризера в виде произведения двух матриц: Матрица $P^{(\beta)}$ содержит четыре полюса из набора (6.21) с нижним индексом $\beta$. Соотношение (6.24) выполняется, если
$$
\begin{equation}
P^{(\beta)}(\lambda) P^{(\beta)\unicode{8224}} (\lambda^*)=I,\qquad \beta=1,2.
\end{equation}
\tag{6.44}
$$
При $x>0$ редукции (5.3) конкретизируют матрицы $P^{(\beta)}(\lambda)$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, P^{(\beta)}(\lambda)=N_\beta\chi_\beta(\lambda), \\ \chi_\beta(\lambda)=I+M_\beta f_\beta^{(1)}(\lambda)+\sigma_3 M_{\beta}^* \sigma_3 f_\beta^{(2)}(\lambda)+\sigma_3 M_{\beta} \sigma_3 f_\beta^{(3)}(\lambda) +M_{\beta}^* f_\beta^{(4)}(\lambda),\notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.45}
$$
где $N_\beta$ – невырожденные вещественные диагональные матрицы. Как и ранее, требование отсутствия полюсов в левой части равенств (6.44) приводит к двум независимым матричным уравнениям:
$$
\begin{equation}
\chi_\beta(\lambda_\beta^{(1)*}) M_\beta^\unicode{8224} =0,\qquad \beta=1,2.
\end{equation}
\tag{6.46}
$$
Отсюда следует, что матрицы $\chi_\beta(\lambda_\beta^{(1)*})$ и $M_\beta$ должны быть вырожденными. Запишем элементы матрицы $M_\beta$ в виде $(M_\beta)_{ab}=X_a^\beta \eta_b^{\beta *}$, $a,b=1,2$. Тогда векторы $\eta^\beta \in \mathrm{Ker} \chi^{(\beta)}(\lambda_\beta^{(1)*})$ такие, что
$$
\begin{equation}
\chi_\beta(\lambda_\beta^{(1)*}) \eta^\beta=0,\qquad \beta=1,2.
\end{equation}
\tag{6.47}
$$
Структура вырожденной матрицы $P_{-}(\lambda_\beta^{(1)*})$ определяется формулой (6.11). При факторизации (6.43) получаем соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P_{-}(\lambda_\beta^{(1)*})&=P^{(2)}(\lambda_\beta^{(1)*})P^{(1)}(\lambda_\beta^{(1)*})={} \notag \\ &=i \sigma_2 [T^{(2)}_{+} (\lambda_\beta^{(1)}),-\gamma^*(\lambda_\beta^{(1)})T^{(2)*}_{+} (\lambda_\beta^{(1)})] \varphi_0^{-1}(\lambda_\beta^{(1)*}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.48}
$$
где $\beta=1,2$. Матрица $P^{(2)}(\lambda_1^{(1)*}) N_1$ невырожденная, поэтому из (6.48) заключаем, что $\operatorname{Ker}\chi_1 (\lambda_1^{(1)*})=\operatorname{Ker}P_{-} (\lambda_1^{(1)*})$. Отсюда сразу находим вектор $\eta^1$ с точностью до несущественного множителя. Он совпадает с прежним вектором $\xi^1$ (6.28):
$$
\begin{equation}
\eta^1=\xi^1 = \begin{pmatrix} \xi_1^1\\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \xi_1^1=\kappa^* (\lambda_1^{(1)}) \exp[-l_0^{-1} (x - V t)+ i(\omega t-px)].
\end{equation}
\tag{6.49}
$$
Компоненты вектора $\mathbf{X}^1$ найдем из системы (6.45), (6.47) ($\beta=1$). Поскольку $f_1^{(2)}(\lambda_\beta^{(1)*})=f_1^{(4)}(\lambda_\beta^{(1)*})=0$, решение будет простым:
$$
\begin{equation*}
X_1^1=-\frac{\xi_1^1}{F_1},\qquad X_2^1=-\frac{1}{F_2},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
F_1 = |\xi_1^1|^2 \varphi_1^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)*})+g_1^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)*}),\qquad F_2 = |\xi_1^1|^2 g_1^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)*})+\varphi_1^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)*})
\end{equation*}
\notag
$$
– мнимые числа. Матрицу $N_1^{-2}$ определяет уравнение
$$
\begin{equation*}
N_1^{-2} = \chi_1 (\lambda)\chi_1^\unicode{8224} (\lambda^*)=r_1^{-2} I.
\end{equation*}
\notag
$$
При вычислении коэффициента
$$
\begin{equation*}
r_1^{-2}=-[g_1^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)*})]^2 (1+|\xi_1^1|^4)+\delta|\xi_1^1|^2+ \biggl(\frac{k}{2}\biggr)^2 [(\xi_1^1)^2+(\xi_1^{1*})^2]
\end{equation*}
\notag
$$
возникает комбинация эллиптических функций
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \delta={}&g_1^{(1,3)}(\lambda) g_1^{(1,3)*}(\lambda^*)+\biggl(\frac{k}{2}\biggr)^4 \frac{1}{g_1^{(1,3)}(\lambda) g_1^{(1,3)*}(\lambda^*)}-{} \notag\\ &-[g_1^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)*})]^2 \biggl(\frac{g_1^{(1,3)}(\lambda)}{g_1^{(1,3)*}(\lambda^*)}+\frac{g_1^{(1,3)*}(\lambda^*)}{g_1^{(1,3)}(\lambda)} \biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.50}
$$
которая не зависит от $\lambda$. Можно показать, что
$$
\begin{equation*}
\delta=\frac{\operatorname{cn} u(1+\operatorname{dn} u)}{\operatorname{sn}^2 u} \bigg|_{u=\lambda_1^{(1)}-\lambda_1^{(1)*}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Однако окончательные формулы записываются проще, если воспользоваться выражением для $\delta$, которое получается из (6.50) при $\lambda=0$:
$$
\begin{equation}
\delta =|g_1^{(1,3)}(0)|^2 + \biggl(\frac{k}{2}\biggr)^4 \frac{1}{|g_1^{(1,3)}(0)|^2}-[g_1^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)*})]^2 \biggl(\frac{g_1^{(1,3)}(0)}{g_1^{(1,3)*}(0)}+\frac{g_1^{(1,3)*}(0)}{g_1^{(1,3)}(0)} \biggr).
\end{equation}
\tag{6.51}
$$
Дальнейшие вычисления являются согласованными, если выбрать $N_1 = r_1 I$, где вещественная функция $r_1 (x, t)$ удовлетворяет условию
$$
\begin{equation}
r_1^{-1} \to ig_1^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)*}) \qquad \text {при}\quad x \to+\infty.
\end{equation}
\tag{6.52}
$$
В результате матричная функция $P^{(1)}(\lambda)$ принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, P^{(1)}(\lambda)=r_1 \begin{pmatrix} A^{(1)}(\lambda)& -\bar{a}_1 (\lambda) B^{(1)*}(\lambda^*)\\ B^{(1)}(\lambda)& \bar{a}_1 (\lambda) A^{(1)*}(\lambda^*) \end{pmatrix},\qquad \bar{a}_1 (\lambda) = \frac{g_1^{(1,3)}(\lambda)}{g_1^{(1,3)*}(\lambda^*)}, \\ \begin{aligned} \, A^{(1)}(\lambda) &= i g_1^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)*}) [1+|\xi_1^1|^2 \bar{a}_1 (\lambda)],\\ B^{(1)}(\lambda) &= -i \biggl[\xi_1^{1*} g_1^{(1,3)}(\lambda)+\xi_1^1 \biggl(\frac{k}{2}\biggr)^2 \frac{1}{g_1^{(1,3)*}(\lambda^*)} \biggr]. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.53}
$$
Матрица $P^{(1)}(\lambda_2^{(1)*})=N_1 \chi_1 (\lambda_2^{(1)*})$ невырожденная. Поэтому из (6.48) следует, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Ker}\chi_2 (\lambda_2^{(1)*}) =\operatorname{Ker}(P_{-}(\lambda_2^{(1)*})[P^{(1)}(\lambda_2^{(1)*})]^{-1}),
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, вектор $\eta^2$ можно выбрать в виде
$$
\begin{equation}
\eta^2= \begin{pmatrix} \eta_1^2 \\ \eta_2^2 \end{pmatrix}= P^{(1)}(\lambda_2^{(1)*})\xi^2,
\end{equation}
\tag{6.54}
$$
где вектор $\xi^2$ определяется формулами (6.28)–(6.30):
$$
\begin{equation*}
\xi^2 = \begin{pmatrix} \xi_1^2\\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \xi_1^2=\frac{f(\lambda_1^{(1)})}{\kappa (\lambda_1^{(1)})} \exp[-l_0^{-1} (x + V t)+ i(\omega t+px)].
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисления матричной функции $P^{(2)}(\lambda)$ осуществляются по той же процедуре и отличаются только тем, что теперь компонента $\eta_2^2 \ne 1$. Приведем окончательный результат:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, P^{(2)}(\lambda)&=r_2 \begin{pmatrix} A^{(2)}(\lambda) & -\bar{a}_2 (\lambda) B^{(2)*}(\lambda^*)\\ B^{(2)}(\lambda) & \bar{a}_2 (\lambda) A^{(2)*}(\lambda^*) \end{pmatrix},\qquad \bar{a}_2 (\lambda) = \frac{g_2^{(1,3)}(\lambda)}{g_2^{(1,3)*}(\lambda^*)}, \\ A^{(1)}(\lambda) &= i g_1^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)*}) [|\eta_2^2|^2+|\eta_1^2|^2 \bar{a}_2 (\lambda)], \\ B^{(2)}(\lambda) &= -i \biggl[\eta_2^2 \eta_1^{2*} g_2^{(1,3)}(\lambda)+\eta_1^2 \eta_2^{2*} \biggl(\frac{k}{2}\biggr)^2 \frac{1}{g_2^{(1,3)*}(\lambda^*)} \biggr], \end{aligned} \\ r_2^{-2}=-[g_1^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)*})]^2 (|\eta_2^2|^4+|\eta_1^2|^4)+\delta|\eta_1^2 \eta_2^2|^2+ \biggl(\frac{k}{2}\biggr)^2 [(\eta_1^2 \eta_2^{2*})^2+(\eta_2^2 \eta_1^{2*})^2]. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.55}
$$
Заметим, что при $x \to +\infty$ и конечных $t$ векторы
$$
\begin{equation*}
\xi^1, \,\xi^2 \to \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом пределе имеем
$$
\begin{equation}
P^{(1)}(\lambda)=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \bar{a}_1 (\lambda) \end{pmatrix},\qquad \eta^2 \to \begin{pmatrix} 0\\ m \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{6.56}
$$
где
$$
\begin{equation*}
m=\bar{a}_1 (\lambda_2^{(1)}) = \frac{g_1^{(1,3)}(\lambda_2^{(1)*})}{g_1^{(1,3)*}(\lambda_2^{(1)})}=\frac{g_2^{(1,3)*}(\lambda_1^{(1)*})}{g_2^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Коэффициент $r_2$ выберем так, чтобы выполнялось условие
$$
\begin{equation*}
r_2^{-1}=ig_1^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)*}) |m|^2 \qquad \text{при} \quad x \to +\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда матричная функция $P_{-}(\lambda)$ (6.43), как и положено, будет удовлетворять нормировочному условию (5.8):
$$
\begin{equation*}
P_{-}(\lambda=0,x \to +\infty)=\mathrm{diag}(1,\bar{a}_1 (0)\bar{a}_2 (0))=I.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мы учли, что $\bar{a}_1 (0)\bar{a}_2 (0) =\bar{a}_m (0)=1$. Решение задачи Римана (6.24) однозначно. Сопоставление двух представлений $P_{-}(\lambda)$ (6.40) и (6.43), (6.53), (6.55) приводит к разложению функции $r(x, t)$ (6.41) на множители: С помощью факторизации (6.43) матричной функции $P_{-}(\lambda)$ легко вычислить структуру бризера в глубине образца. Пусть для определенности параметр $V>0$. На больших расстояниях от края образца (при $x \gg 1$) в пределе $x+V t=\mathrm{const}$, $t \to -\infty$ вектор Поэтому матрица $P^{(1)}(\lambda)$ приобретает такой же вид, как в (6.56). Тогда упрощается и вектор $\eta^2$ (6.54):
$$
\begin{equation}
\eta^2 \to \begin{pmatrix} \xi_1^2 \\ m \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{6.57}
$$
Бризерное решение (5.9) определяется итоговой матричной функцией:
$$
\begin{equation*}
P_{-}(0)=\tilde{r} \begin{pmatrix} \tilde{A} & -\tilde{B}^* \\ \tilde{B} & \tilde{A}^* \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\tilde{r}$, $\tilde{A}$, $\tilde{B}$ представляют значения $r_2$, $A^{(2)}(0)$, $B^{(2)}(0)$ (6.55) при специальном выборе в (6.57) вектора $\eta^2$. В результате на больших расстояниях от края образца в пределе $x+V t =\mathrm{const}$, $t \to - \infty$ бризеру (5.9) отвечает следующее распределение намагниченности:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, n_3^{(-)}=\frac{1}{\Delta^2_{-}}[c^2 (\operatorname{ch}^2 y_{-}-\sin^2 \delta)-D_{1}^2-k^2 \cos^2 s_{-}],\\ (n_1+in_2)^{(-)}=\frac{2 ic}{\Delta^2_{-}} \operatorname{ch}(y_{-}+i \delta)[D_2 \cos s_{-}-i D_{1} \sin s_{-}], \\ \Delta^2_{-}=c^2 (\operatorname{ch}^2 y_{-}-\sin^2 \delta)+D_{1}^2+k^2 \cos^2 s_{-},\\ y_{-}=l_{0}^{-1} (x+V t-x_{-}^{(0)}),\qquad x_{-}^{(0)}=l_0 \ln\biggl|\frac{f(\lambda_1^{(1)})}{m \kappa(\lambda_1^{(1)})}\biggr|,\\ s_{-}=\omega t+px+\mathrm{arg}\biggl(\frac{f(\lambda_1^{(1)})}{m \kappa(\lambda_1^{(1)})}\biggr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.58}
$$
Здесь для упрощения записи введены обозначения
$$
\begin{equation*}
c=2 i g_1^{(1,3)}(\lambda_1^{(1)*}),\quad D_{1,2}=|g_1^{(1,3)}(0)|\mp\biggl(\frac{k}{2}\biggr)^2 |g_1^{(1,3)}(0)|^{-1},\quad 2 i\delta= \ln\biggl[\frac{g_1^{(1,3)*}(0)}{g_1^{(1,3)}(0)}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Локализованное в пространстве возбуждение (6.58) совпадает с бризерным состоянием неограниченной среды, которое детально проанализировано в книгах [2], [31]. В данном случае бризер находится на большом удалении от края $x=0$ образца и приближается к нему со скоростью $-V$. Отметим, что вдали от границы образца (при $x\gg 1$) асимптотику бризерного решения можно найти сразу из общих формул (5.9), (6.40). Однако полное решение краевой задачи связано с более утомительными вычислениями. Аналогичное рассмотрение можно провести, выполняя факторизацию бризерной матрицы $P_{-}(\lambda)$ в обратной последовательности:
$$
\begin{equation*}
P_{-}(\lambda)=\widetilde{P}^{(1)}(\lambda) \widetilde{P}^{(2)}(\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Иными словами, вначале вычисляем матричную функцию $\widetilde{P}^{(2)}(\lambda)$ с нулями в четырех точках (6.21) с нижним индексом $\beta=2$, а затем для расчета $\widetilde{P}^{(1)}(\lambda)$ добавляем оставшиеся нули (6.21) с нижним индексом $\beta=1$. В силу однозначной разрешимости задачи Римана мы получим ту же самую бризерную матрицу $P_{-}(\lambda)$. Новая форма ее записи дает альтернативное разбиение на множители функции $r(x,t)$ (6.41) и оказывается удобной для исследования структуры бризера после отражения от границы образца в другом предельном случае:
$$
\begin{equation*}
x - V t =\mathrm{const},\qquad x\gg 1,\qquad t \to +\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку в настоящей работе мы нашли полное решение краевой задачи при наличии бризера, воспользуемся общими формулами (5.9), (6.40) для определения его структуры после отражения от края $x=0$ образца, когда при $x\gg 1$ солитон со скоростью $V>0$ продвигается вглубь образца ($t \to +\infty$). В сопутствующей солитону системе отсчета, где $x- V t=\mathrm{const}$, в пределе $t \to +\infty$ можно положить $\xi_1^2=0$. Тогда солитонное решение краевой задачи (5.9), (6.40) упрощается и трансформируется в типичный бризер неограниченной среды:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, n_3^{(+)}=\frac{1}{\Delta^2_{+}}[c^2 (\operatorname{ch}^2 y_{+}-\sin^2 \delta)-D_{1}^2-k^2 \cos^2 s_{+}],\\ (n_1+in_2)^{(+)}=-\frac{2 ic}{\Delta^2_{+}} \operatorname{ch}(y_{+}+i \delta)[D_2 \cos s_{+}-i D_{1} \sin s_{+}], \\ \Delta^2_{+}=c^2 (\operatorname{ch}^2 y_{+}-\sin^2 \delta)+D_{1}^2+k^2 \cos^2 s_{+},\\ y_{+}=l_{0}^{-1} (x+V t-x_{+}^{(0)}),\qquad x_{+}^{(0)}=l_0 \ln\biggl|\frac{\kappa(\lambda_1^{(1)})}{m}\biggr|,\\ s_{+}=\omega t-px+\mathrm{arg}\biggl[\frac{m}{\kappa(\lambda_1^{(1)})}\biggr]. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.59}
$$
Сравнение формул (6.58), (6.59) свидетельствует об упругом отражении бризера от края образца. В центрах ядер предельных солитонов (6.58), (6.59), где $y_\pm =0$, эволюция намагниченности описывается формулами
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, n_3^{(\pm)}=\frac{1}{(\Delta_\pm)^2}[c^2 \cos^2 \delta - D_1^2-k^2 \cos^2 \Phi_\pm],\\ (n_1+in_2)^{(\pm)}=\mp \frac{2 ic\cos \delta}{(\Delta_\pm)^2}[D_2 \cos \Phi_\pm -iD_1 \sin \Phi_\pm], \\ (\Delta_\pm)^2 = c^2 \cos^2 \delta +D_1^2+k^2 \cos^2 \Phi_\pm,\qquad \Phi_\pm =\Omega t+\varphi^{(0)}_\pm,\\ \varphi_{+}^{(0)}=-px_{+}^{(0)}+\mathrm{arg}\biggl[\frac{m}{\kappa(\lambda_1^{(1)})}\biggr],\qquad \varphi_{-}^{(0)}=px_{-}^{(0)}+\mathrm{arg}\biggl[\frac{f(\lambda_1^{(1)})}{m \kappa(\lambda_1^{(1)})}\biggr]. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.60}
$$
Здесь $\Omega=\omega- p V$ – частота прецессии намагниченности в сопутствующих солитонам системах координат. В сопутствующих системах отсчета вектор $\mathbf{n}$ прецессирует с частотой $\Omega$ вокруг наиболее легкой оси $z$ орторомбической анизотропии. Наличие дополнительной слабой анизотропии проявляется в том, что проекция вектора $\mathbf{n}$ на плоскость $Oxy$ движется по эллипсу с коэффициентом сжатия $D_1/D_2$. Полуоси эллипса синхронно пульсируют с удвоенной частотой $2 \Omega$, так как с такой частотой осциллирует проекция намагниченности на ось $Oz$. После отражения от границы образца начальная фаза прецессии претерпевает сдвиг
$$
\begin{equation*}
\pi+\varphi_{+}^{(0)}-\varphi_{-}^{(0)}=\pi-p (x_{+}^{(0)}+x_{-}^{(0)})+\mathrm{arg}\biggl[\frac{m^2}{f(\lambda^{(1)}_1)}\biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
который зависит от степени закрепления краевых спинов. Центр солитона смещается на расстояние
$$
\begin{equation*}
x_{+}^{(0)}-x_{-}^{(0)}= l_0 \ln\biggl|\frac{\kappa^2 (\lambda^{(1)}_1)}{f(\lambda^{(1)}_1)}\biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что в безграничной среде бризеры могут быть в том числе и неподвижными. Скорость $\mp V$ бризеров (6.58), (6.59) при $x\gg 1$ обращается в нуль, когда параметр $\lambda_1^{(1)}=u-i K'+i \theta$, где $u=0, K$ [2]. В полуограниченном образце локализация неподвижного бризера около края $x=0$ образца невозможна. Неподвижного бризерного решения краевой задачи (1.4), (1.5) не существует, так как в общих формулах (5.9), (6.40) функции $B(\lambda)|_{\lambda=0}$ обращаются в нуль при тех значениях параметра $\lambda^{(1)}_1$, которые соответствуют условию $V=0$. 7. ЗаключениеВ работе предложена процедура интегрирования уравнений Ландау–Лифшица полубесконечного двухосного ферромагнетика с помощью нелинейного обобщения метода изображений и задачи Римана на торе. Учитывались краевые условия, соответствующие частичному закреплению спинов на краю образца, а также предельные случаи свободных краевых спинов и полного их закрепления на поверхности образца. Ранее было установлено, что обменные взаимодействия [9], [10], а также обменные взаимодействия в совокупности с кристаллографической анизотропией типа “легкая ось” [11] (ось анизотропии параллельна границе образца) допускают формирование неподвижных солитонов, локализованных в приграничном слое образца. В настоящей работе рассмотрен общий случай орторомбической квадратичной по намагниченности анизотропии. Ось наиболее легкого намагничивания также направлена вдоль границы образца. Однако в плоскости, ортогональной границе образца, есть дополнительная анизотропия, которая имеет кристаллографическое происхождение и/или обусловлена учетом размагничивающих полей. В работе установлено, что такая анизотропия подавляет локализацию солитонов около поверхности образца. В ситуации общего положения существуют только движущиеся солитоны – доменные стенки и прецессирующие бризеры. Показано, что числом доменных стенок в образце можно управлять, меняя характер полного закрепления спинов на его краях. Столкновения солитонов с поверхностью образца сопровождаются всплесками модуляции намагниченности на его границе. Поворот намагниченности в центре доменной стенки при ее отражении от края образца пороговым образом зависит от величины поля однонаправленной поверхностной анизотропии. В ходе взаимодействия с границей образца ядра солитонов претерпевают значительные изменения. Поэтому их динамические свойства невозможно описать методами, пригодными для неограниченной среды. Для упрощения анализа изменений структуры бризеров после их столкновений с поверхностью образца предложена специальная факторизация матричных функций задачи Римана. Актуально экспериментальное подтверждение предсказаний теории об упругом отражении солитонов от поверхности образца. Установлено, что эволюцию любого начального возмущения намагниченности в полуограниченном образце можно трактовать в терминах идеального газа солитонов и магнонов. Найдены новые законы сохранения, которые гарантируют выполнение для солитонов верных краевых условий при их взаимодействии с границей образца. Полученные результаты полезны для анализа солитонных процессов вблизи границ реальных образцов. Их следует учитывать при выборе стратегии численного моделирования нелинейных явлений в образцах конечных размеров, а также использовать для верификации расчетов. БлагодарностиАвтор выражает благодарность А. А. Расковалову за оформление рисунков и помощь в подготовке рукописи к публикации. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kis24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|