| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Тройная эквивалентность осциллирующего поведения для скалярного дифференциального уравнения с запаздыванием П. Н. Нестеровa , Д. И. Ставрулакисbc a Центр интегрируемых систем, Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Ярославль, Россия b School of Mathematics, Georgia Institute of Technology, Atlanta, GA, USA c Department of Mathematics, Ariel University, Ariel, Israel
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 220, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924070080 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеРассмотрим неавтономное дифференциальное уравнение первого порядка с запаздыванием в случае, когда функция $p\colon\mathbb{R}\to[0,+\infty)$ локально интегрируема по Лебегу, функция $\tau\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ измерима по Лебегу, $\tau(t)\leqslant t$ для всех $t\in\mathbb{R}$ и $\lim_{t\to\infty}\tau(t)=+\infty$. Решая уравнение (1), мы видим, что функция $x$ на $[\tau_{\mathrm m}(s),+\infty)$, где $\tau_{\mathrm m}(s):=\inf_{t\geqslant s}\tau(t)$, является локально абсолютно непрерывной, так что уравнение (1) выполнено почти всюду (п. в.) на $[s,+\infty)$. Ограничение функции $x$ на $[\tau_{\mathrm m}(s),s]$ называется начальными данными. Мы называем вещественную функцию $x\colon A\to\mathbb{R}$, где $A\subset\mathbb{R}$, осциллирующей, если она имеет произвольно большие нули. В противном случае она называется неосциллирующей. Очевидно, что $x(t)$ неосциллирующая, если она положительная или отрицательная при всех достаточно больших $t$. Всюду далее мы используем обозначения Ландау.В настоящей статье изучается осциллирующее поведение решений уравнения (1) в критическом случае, когда Сначала мы напоминаем некоторые известные критерии сравнения, связывающие уравнение (1) со следующим обыкновенным уравнением (ОДУ) второго порядка: Затем вводится метод центрального многообразия, в котором (1) рассматривается как возмущение уравнения при этом поведение решений уравнения (1) снова связывается с двумерной системой. Далее мы применяем некоторые известные результаты к сравнению асимптотического поведения положительных и осциллирующих решений, показывая, что осциллирующие решения пренебрежимо малы по сравнению с положительными решениями. Наконец, объединяя полученные результаты, мы доказываем новые соответствия между известными методами и критериями осциллирующего поведения решения для рассматриваемых случаев. В заключение мы обсуждаем некоторые технические вопросы, а также открытые проблемы. Доказанные соответствия объединяют и проясняют, казалось бы, разрозненные известные результаты, улучшая при этом все известные критерии.Первые критерии осциллирующего поведения для уравнения (1) были получены Мышкисом [1]. Он доказал, что константа $1/e$ задает порог между осциллирующим и неосциллирующим поведением. В каком-то смысле настоящая статья представляет собой детальный анализ этого порога. Лемма 1 (см. [1], теорема 48). Пусть функции $p$, $\tau$ непрерывны и Лемма 2 (см. [1], теорема 39). Пусть функции $p$, $\tau$ непрерывны и Впоследствии в статьях [2]–[5] эти критерии были обобщены до различных интегральных критериев, наиболее общим из которых, пожалуй, является следующий. Лемма 3 [2]. Если существует непрерывная функция $\mu\colon\mathbb{R}\to(0,+\infty)$, удовлетворяющая условию Критерий (2) эквивалентен лемме 1 в силу следующей известной замены переменных (впервые введенной в [6] и обобщенной в приложении B статьи [7]). Лемма 4. Пусть функция $\mu\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ измерима по Лебегу, локально ограничена и $\inf_{\mathbb{R}}\mu>0$. Пусть В качестве недавнего развития приведенных выше результатов отметим доказательство следующей давно известной гипотезы, представленное в работе [8]. Лемма 5. Пусть функция $\tau$ не убывает и Когда параметры достигают критического значения $1/e$, для возникновения осцилляций достаточно малого “возмущения” в смысле верхнего предела. Для более подробного обсуждения этого явления мы отсылаем читателя к работам [4], [8]. 2. Критическое состояниеЕсли выполнено условие
$$
\begin{equation}
\limsup_{t\to\infty}\int_{\tau(t)}^{t}p(s)\,ds=\liminf_{t\to\infty}\int_{\tau(t)}^{t}p(s)\,ds=\frac{1}{e},
\end{equation}
\tag{4}
$$
то говорят о критическом состоянии для осцилляций: в этом случае возможно и наличие, и отсутствие осцилляций. В настоящей статье мы рассматриваем два случая: $p(s)\to 1$, $t-\tau(t)\to 1/e$ и $p(s)\to 1/e$, $ t-\tau(t)\to 1$. С точностью до масштабирования результаты, относящиеся к одному случаю, применимы и к другому, поскольку они эквивалентны согласно лемме 4. Заметим, что иногда критическим также называется состояние, когда $\int_{\tau(t)}^{t}p(s)\,ds\geqslant 1/e$, хотя, как мы увидим далее, этот случай в значительной степени входит в (4) (см. лемму 5). Первые результаты об осцилляциях в критическом состоянии были получены в работах [9], [10], и более точными методами – в работах [11], [12], где отмечался следующий факт. Замечание 1. Критерии осциллирующего поведения для уравнения Это утверждение было строго доказано Таном, Ю и Ваном [15], которые адаптировали некоторые методы и преобразования, обычно используемые для нейтральных уравнений [16]. Очевидно, что в общем случае измеримых параметров доказательство идентично. Теорема 1 [15]. Пусть $p(t)\geqslant 1/e$ для всех $t\in\mathbb{R}$. Все решения уравнения первого порядка с запаздыванием осциллируют тогда и только тогда, когда осциллируют все решения ОДУ второго порядка Конечно, этот результат напрямую применим только для постоянного запаздывания, но впоследствии он был обобщен на случай, когда $\int_{\tau(t)}^{t}p(s)\,ds\geqslant 1/e$. Теорема 2 [17]–[19]. Пусть $t-\tau(t)\geqslant 1/e$ для всех $t\in\mathbb{R}$. Тогда имеют место следующие утверждения. 1. Если уравнение первого порядка с запаздыванием имеет положительное решение, то это справедливо и для ОДУ второго порядка
$$
\begin{equation}
x''(t)+2e^{3}\biggl(t-\tau(t)-\frac{1}{e}\biggr)x(t)=0.
\end{equation}
\tag{7}
$$
2. Предположим, что
$$
\begin{equation}
\sup_{t\geqslant 0}\biggl(t-\tau(t)-\frac{1}{e}\biggr)e^{e(t-\tau(t))}<a\in(0,1).
\end{equation}
\tag{8}
$$
Если ОДУ второго порядка имеет положительное решение, то это справедливо и для уравнения первого порядка с запаздыванием Хотя на первый взгляд может показаться, что условие (8) ограничивает эквивалентность теорем 1 и 2, асимптотика, необходимая для отсутствия осцилляций как для уравнения с запаздыванием, так и для обыкновенного уравнения, указывает на то, что можно отказаться от этого предположения. Напомним, что когда ОДУ второго порядка $x''(t)+f(t)x(t)=0$ с неотрицательной функцией $f$ не имеет осциллирующих решений, должны быть выполнены условия (см. [13], [14], [20])
$$
\begin{equation}
\int_0^{\infty}f(s)\,ds<+\infty\quad\text{и}\quad\limsup_{t\to\infty}\,t\!\int_t^{\infty}f(s)\,ds\leqslant 1.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Таким образом, можно ожидать, что асимптотика запаздывания, вытекающая из условий (10), имеет вид $t-\tau(t)=1/e+O(t^{-2})$, хотя с полной общностью нельзя предположить, что это соотношение выполнено. Замечание 2. Если $t-\tau(t)=1/e+O(t^{-1})$ (что в силу (10) выполнено, например, когда $t\mapsto(t-\tau(t)-1/e)$ убывает до нуля), то уравнение (9) можно фактически заменить на (7). Это является непосредственным следствием простых модификаций доказательств в [17], [19], а также следующей хорошо известной леммы об эквивалентности условий осциллирующего поведения для двух ОДУ второго порядка. Лемма 6 [21]. Пусть $f(t)\geqslant 0$ для всех $t\in\mathbb{R}$. Все решения уравнения осциллируют тогда и только тогда, когда осциллируют все решения уравнения Лемма 5, теоремы 1, 2 и замечание 2 приводят к следующей гипотезе. Гипотеза 1. В теореме 2 условие (8) можно опустить. Другими словами, если предположить, что $t-\tau(t)\geqslant 1/e$ для всех $t\in\mathbb{R}$, все решения уравнения осциллируют тогда и только тогда, когда осциллируют все решения уравнения Таким образом, мы можем рассматривать как в значительной степени решенный случай, когда параметры всегда лежат выше критического значения $1/e$, поскольку он сводится к осцилляциям для известного ОДУ, для которого имеется множество результатов (см., например, работы [13], [14], [20], [22]–[27] и ссылки в них). Более сложным является случай, когда параметры колеблются вокруг критического состояния, поскольку тогда теорема 1 больше не работает, и проблему осцилляций для уравнения с запаздыванием, как правило, нельзя свести к аналогичной проблеме для уравнения второго порядка. В этом легко убедиться путем непосредственного сравнения известных критериев наличия осцилляций для уравнений (5), (6). Лемма 7 [25], [26]. Все решения уравнения где $\alpha,\beta\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$ и $\rho\in(0,1)$, осциллируют. Лемма 8 [28]. Уравнение где $K\in(0,+\infty)$ и $\rho\in(2/3,1)$, не имеет положительных решений. В предположении, что (1) можно сравнить с уравнением с постоянным запаздыванием, к которому применима теорема 1 (см. [29]), классические критерии Кнезера–Хилле для уравнений (5), (6) были описаны, например, в работах [30], [31]. Результатов, в которых непосредственно исследуется случай колебаний параметров около критического значения $1/e$, не так много. Авторам известны только следующие два. Лемма 9 [32]. Пусть $\int_t^{t+1}p(s)\,ds>0$ для $t\geqslant t_0$ и Тогда все решения уравнения $x'(t)+p(t)x(t-1)=0$ осциллируют. Лемма 10 [12]. Пусть существует непрерывная функция $\tilde p\colon\mathbb{R}\to[0,+\infty)$, такая что $\tilde p(t)\leqslant p(t)$ для всех $t\in\mathbb{R}$ и Предположим, что В критерии из работы [32] требуется, грубо говоря, чтобы $p(t)=1/e+O(t^{-1})$, в то время как критерий из работы [12] более точный, в нем требуется, чтобы $p(t)=1/e+O(t^{-2})$ (ср. с обсуждением в [12], [28]). 3. Центральное многообразиеНедавно было показано [28], что проблему осцилляций для уравнения (1) в критическом случае можно решить, используя геометрический подход. За некоторыми ранними результатами такого рода мы отсылаем читателя к работам [8], [33], [34]. Далее мы предполагаем, что функции $p(t)$ и $\tau(t)$ удовлетворяют условиям
$$
\begin{equation}
\lim_{t\to +\infty}p(t)=\frac{1}{e},\qquad \lim_{t\to +\infty}(t-\tau(t))=1.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Сначала сделаем замену переменной $x(t)=e^{-t}y(t)$, чтобы преобразовать уравнение (1) к виду
$$
\begin{equation}
\dot y=y(t)-p(t)e^{t-\tau(t)}y(\tau(t)),\qquad t\geqslant s.
\end{equation}
\tag{12}
$$
После некоторых тривиальных манипуляций с правой частью (12) перепишем его в виде следующего функционально-дифференциального уравнения: где $y_t(\theta)=y(t+\theta)$ (для $-h\leqslant\theta\leqslant 0$) – элемент пространства $C_h\equiv C([-h,0],\mathbb{C})$, которое состоит из всех функций, непрерывных на $[-h,0]$ и действующих в пространство $\mathbb{C}$. Выберем запаздывание $h=s-\tau_{\mathrm m}(s)\geqslant 0$ так, чтобы для $t\geqslant s$ было выполнено неравенство $0\leqslant t-\tau(t)\leqslant h$. Норма в $C_h$ вводится стандартным образом:
$$
\begin{equation}
\|\varphi\|_{C_h}=\sup_{-h\leqslant\theta\leqslant 0}|\varphi(\theta)|.
\end{equation}
\tag{14}
$$
В уравнении (13) $B_0$ – ограниченный линейный функционал из $C_h$ в $\mathbb{C}$, заданный формулой
$$
\begin{equation}
B_0\varphi(\theta)=\varphi(0)-\varphi(-1),\qquad\varphi(\theta)\in C_h.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Наконец, функционал $G(t,\varphi(\theta))$ из $C_h$ в $\mathbb{C}$ имеет вид
$$
\begin{equation}
G(t,\varphi(\theta))=\varphi(-1)-p(t)e^{t-\tau(t)}\varphi(\tau(t)-t).
\end{equation}
\tag{16}
$$
Будем рассматривать (13) как возмущение линейного автономного уравнения Проверка того, что функционал $G(t,\varphi(\theta))$ является малым возмущением, на самом деле нетривиальна из-за наличия переменного запаздывания $\tau(t)$. Соответствующие задачи обсуждались в статье [35]. Оказывается, что в этом случае выбор $C_h$ в качестве фазового пространства для уравнения (13) не подходит. Нам следует действовать по-другому. Напомним, что функция $\varphi\in C_h$ называется липшицево-непрерывной, если существует положительная константа $K$ (константа Липшица), такая что
$$
\begin{equation}
|\varphi(\theta_1)-\varphi(\theta_2)|\leqslant K|\theta_1-\theta_2|,\qquad -h\leqslant\theta_1,\theta_2\leqslant 0.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Заметим, что в этом условии константа $K$ зависит от функции $\varphi(\theta)$. Введем следующее пространство. Определение 1. Обозначим как $LC_h$ подпространство в $C_h$, состоящее из всех липшицево-непрерывных функций и снабженное нормой Заметим, что пространство $LC_h$ с нормой (19) является банаховым. Пусть $y_t(\theta)$ – решение задачи (13) с начальным значением $y_{\scriptscriptstyle T}=\varphi$, где $\varphi\in C_h$ и $T\geqslant s$. Тогда в силу ограниченности параметров (см. условие (11)) и вида функционала $G(t,\varphi)$, определенного в (16), решение $y_t(\theta)$ принадлежит пространству $LC_h$ при $t\geqslant T+h$. Следовательно, динамика, описываемая уравнением (13), определяется поведением решений из $LC_h$. Теперь мы легко можем проверить, что $G(t,\varphi)$ как функционал, действующий из $LC_h$, является малым возмущением. Поскольку в силу (11) при $t\to\infty$ выполняется асимптотическая формула $p(t)e^{t-\tau(t)}=1+o(1)$, имеем
$$
\begin{equation}
G(t,\varphi(\theta))=\varphi(-1)-\varphi(\tau(t)-t)+o(1)\varphi(\tau(t)-t).
\end{equation}
\tag{20}
$$
Следовательно, с учетом (11), (19) для любой $\varphi\in LC_h$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |G(t,\varphi(\theta))|&\leqslant |\varphi(-1)-\varphi(\tau(t)-t)|+o(1)|\varphi(\tau(t)-t)|\leqslant{} \notag\\ &\leqslant K_{\varphi}o(1)+o(1)\|\varphi\|_{C_h}\leqslant o(1)\|\varphi\|_{LC_h}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{21}
$$
Это доказывает малость функционала $G(t,\varphi(\theta))$ при $t\to\infty $. Таким образом, мы можем использовать известные методы теории возмущений для анализа динамики уравнения (13). Еще одним полезным фактом, позволяющим применять теорию возмущений, является следующий известный результат. Предложение 1. Для невозмущенного уравнения (17) с функционалом (15) характеристическое уравнение имеет корни $\lambda_1=\lambda_2=0$ (т. е. ноль – корень кратности два), а все остальные корни имеют отрицательные вещественные части. Это предложение описывает стандартную ситуацию, когда возможно применить некоторые идеи теории центрального многообразия (см., например, книгу [36]). В работе [37] мы предложили некоторое обобщение этой теории на функционально-дифференциальные системы. Теперь представим предлагаемый метод, в котором используется классический подход из книги [38] (см. также [39]). Сначала требуется разложить пространство $C_h$ в прямую сумму двух определенных подпространств. Это делается следующим образом. Известно, что линейное автономное уравнение (17) при $t\geqslant 0$ порождает в $C_h$ сильно непрерывную полугруппу $T(t)\colon C_h\to C_h$. Оператор сдвига $T(t)$ уравнения (17) задается следующим образом: $T(t)\varphi=y_t^\varphi(\theta)$, где $\varphi\in C_h$, а $y_t^\varphi(\theta)$ – единственное решение уравнения (17) с начальным значением $y_0^\varphi(\theta)=\varphi$. Инфинитезимальный генератор $A$ этой полугруппы определяется равенством $A\varphi=\varphi'(\theta)$, где $\varphi\in D(A)$. Область определения оператора $A$,
$$
\begin{equation*}
D(A)=\bigl\{\varphi\in C_h\,\big|\,\varphi'(\theta)\in C_h,\;\,\varphi'(0)=B_0\varphi\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
плотна в $C_h$. Предположим, что $B_0$ имеет представление Рисса
$$
\begin{equation*}
B_0\varphi =\int_{-h}^{0}\varphi(\theta)\,d\eta(\theta),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\eta(\theta)$ – скалярная функция на $[-h,0]$ с ограниченной вариацией. С уравнением (17) можно связать транспонированное уравнение
$$
\begin{equation}
\dot y_\ast=-\int_{-h}^{0}y_\ast(t-\theta)\,d\eta(\theta),\qquad t\leqslant 0,
\end{equation}
\tag{23}
$$
где $y_\ast(t)$ – комплексная скалярная функция. Фазовым пространством для уравнения (23) является $C_h'\equiv C([0,h],\mathbb{C})$. Для любых $\psi\in C_h'$ и $\varphi\in C_h$ зададим билинейную форму
$$
\begin{equation}
\bigl(\psi(\xi),\varphi(\theta)\bigr)=\psi(0)\varphi(0)-\int_{-h}^{0}\int_0^{\theta}\psi(\xi-\theta)\varphi(\xi)\,d\eta(\theta)\,d\xi.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Пусть $\Lambda=\{\lambda_1,\lambda_2\}$, где $\lambda_1=\lambda_2=0$ суть корни характеристического уравнения (22) (см. предложение 1). Теперь разложим пространство $C_h$ в прямую сумму Здесь $P_\Lambda$ – линейная оболочка обобщенных собственных функций оператора $A$, соответствующих собственным значениям из множества $\Lambda$, а $Q_\Lambda$ – некоторое дополнительное подпространство в $C_h$, такое что $T(t)Q_\Lambda\subseteq Q_\Lambda$. Пусть $\Phi(\theta)$ – двумерный вектор-строка, элементами которого являются обобщенные собственные функции $\varphi_1(\theta),\varphi_2(\theta)$ оператора $A$, соответствующие собственным значениям из $\Lambda$ и тем самым образующие базис в $P_\Lambda$. Пусть, кроме того, $\Psi(\xi)$ – двумерный вектор-столбец, элементы $\psi_1(\xi)$, $\psi_2(\xi)$ которого образуют базис отвечающего $\Lambda$ обобщенного собственного пространства $P_\Lambda^{\kern1pt\mathrm T}$ транспонированного уравнения (23). Мы можем выбрать векторы $\Phi(\theta)$ и $\Psi(\xi)$ так, что
$$
\begin{equation}
\bigl(\Psi(\xi),\Phi(\theta)\bigr)=\bigl\{\bigl(\psi_i(\xi),\varphi_j(\theta)\bigr)\bigr\}_{1\leqslant i,j\leqslant 2}=I.
\end{equation}
\tag{26}
$$
Поскольку $\Phi(\theta)$ образует базис в $P_\Lambda$ и $AP_\Lambda\subseteq P_\Lambda$, существует $(2\times 2)$-матрица $D$, спектр которой совпадает с $\Lambda$, такая что $A\Phi(\theta)=\Phi(\theta)D$. Нетрудно проверить, что с учетом (26) для уравнения (17) с функционалом (15) имеют место следующие выражения для векторов $\Phi(\theta)$, $\Psi(\xi)$ и матрицы $D$:
$$
\begin{equation}
\Phi(\theta)=\bigl(1\;\;\theta\bigr),\qquad \Psi(\xi)=\binom{2/3-2\xi}{2},\qquad D=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Окончательно подпространства $P_\Lambda$ и $Q_\Lambda$ в разложении (25) можно определить следующим образом:
$$
\begin{equation}
P_\Lambda=\bigl\{\varphi\in C_h\,\big|\,\varphi(\theta)=\Phi(\theta)u,\;u\in\mathbb{C}^2\bigr\},\qquad Q_\Lambda=\bigl\{\varphi\in C_h\,\big|\,(\Psi,\varphi)=0\bigr\}.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Здесь и далее символ $\mathbb{C}^2$ обозначает пространство двумерных комплексных векторов-столбцов. Пусть $y_t(\theta)$ – произвольное решение уравнения (12) для $t\geqslant s$. Разложим его в соответствии с (25) и используем (28). Имеем
$$
\begin{equation}
y_t(\theta)=y_t^{P_\Lambda}+y_t^{Q_\Lambda},\qquad y_t^{P_\Lambda}(\theta)=\Phi(\theta)u(t),\quad u(t)\in\mathbb{C}^2.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Из теоремы 6.1 в [38] следует, что функция $u(t)$ является решением системы ОДУ Теперь мы можем определить основное понятие предлагаемого в настоящей работе метода – понятие критического многообразия для уравнения (13). Определение 2. Двумерное линейное пространство $\mathcal W(t)\subset LC_h\subset C_h$ называется критическим многообразием (или многообразием типа центрального) для уравнения (13) при $t\geqslant t_\ast\geqslant s $, если выполняются следующие условия. 1. Существует двумерный вектор-строка $H(t,\theta)$, элементы которого непрерывны по $t$ при $t\geqslant t_\ast$ и принадлежат пространству $LC_h$, а также подпространству $Q_\Lambda$ как функции от $\theta\in[-h,0]$ при всех $t\geqslant t_\ast$. Кроме того, $\|H(t,\,{\cdot}\,)\|_{LC_h}\to 0$ при $t\to\infty$, где
$$
\begin{equation*}
\| H(t,\,{\cdot}\,)\|_{LC_h}=\|\,|H(t,\,{\cdot}\,)|\,\|_{LC_h}
\end{equation*}
\notag
$$
и $|\,{\cdot}\,|$ обозначает некоторую норму в пространстве двумерных векторов-строк. 2. Пространство $\mathcal W(t)$ для $t\geqslant t_*$ определяется формулой
$$
\begin{equation}
\mathcal W(t)=\bigl\{\varphi(\theta)\in LC_h\,\big|\,\varphi(\theta)=\Phi(\theta)u+H(t,\theta)u,\;u\in\mathbb{C}^2\bigr\}.
\end{equation}
\tag{31}
$$
3. Пространство $\mathcal W(t)$ положительно инвариантно для траекторий уравнения (13) при $t\geqslant t_*$, т. е. если $y_{\scriptscriptstyle T}\in\mathcal W(T)$ при $T\geqslant t_*$, то $y_t\in\mathcal W(t)$ при $t\geqslant T$. Имеет место следующая теорема существования [35]. Теорема 3. При достаточно больших $t$ в пространстве $LC_h$ существует критическое многообразие $\mathcal W(t)$ уравнения (13). Из разложения (29) теперь следует, что если $y_t(\theta)$ является решением уравнения (13), лежащим в многообразии (31) при достаточно больших $t$, то система (30) принимает вид
$$
\begin{equation}
\dot u=[D+\Psi(0)G(t,\Phi(\theta)+H(t,\theta))]u,\qquad t\geqslant T.
\end{equation}
\tag{32}
$$
Эту систему называют системой на критическом многообразии. Важное свойство многообразия $\mathcal W(t)$ состоит в том, что оно является притягивающим для всех траекторий уравнения (13) (см. работу [35]). Теорема 4. Пусть $y(t)$ – решение уравнения (12), заданное при $t\geqslant T\geqslant s$. Существует достаточно большое $t_\ast\geqslant T$, такое что при $t\geqslant t_\ast$ имеет место следующая асимптотическая формула: Предположим, что $u^{(1)}(t)$, $u^{(2)}(t)$ – фундаментальные решения системы (32) на критическом многообразии и $y(t)$ – произвольное решение уравнения (12), заданное при $t\geqslant T$. Из теоремы 4 получаем следующее асимптотическое представление этого решения при $t\to\infty$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, y_t(\theta)&=(\Phi(\theta)+H(t,\theta))\bigl(c_1u^{(1)}(t)+c_2u^{(2)}(t)\bigr)+O(e^{-\beta t})= \notag\\ &=c_1(y_1)_t(\theta)+c_2(y_2)_t(\theta)+O(e^{-\beta t}),\qquad t\to\infty, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{33}
$$
где $c_1$, $c_2$ – произвольные комплексные константы, а вещественное число $\beta>0$ зависит только от параметров уравнения и является одним и тем же для всех решений. Здесь $(y_1)_t(\theta)$ и $(y_2)_t(\theta)$ – решения уравнения (13), образующие базис критического многообразия $\mathcal W(t)$:
$$
\begin{equation}
(y_i)_t(\theta)=(\Phi(\theta)+H(t,\theta))u^{(i)}(t),\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Положив
$$
\begin{equation*}
u^{(1)}(t)=\binom{u_1^{(1)}(t)}{u_2^{(1)}(t)},\qquad u^{(2)}(t)=\binom{u_1^{(2)}(t)}{u_2^{(2)}(t)},
\end{equation*}
\notag
$$
с учетом выражений (27) и того факта, что $H(t,\theta)=o(1)$, получаем
$$
\begin{equation}
y_i(t)=(y_i)_t(0)=\bigl(1+o(1)\;\;\, o(1)\bigr)u^{(i)}(t)=(1+o(1))u_1^{(i)}(t)+o(u_2^{(i)}(t)),\quad i=1,2.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Следовательно, для произвольного решения $y(t)$ уравнения (12) мы имеем
$$
\begin{equation}
y(t)=y_t(0)=c_1y_1(t)+c_2y_2(t)+O(e^{-\beta t}),\qquad t\to\infty .
\end{equation}
\tag{36}
$$
Таким образом, чтобы получить решение задачи об осцилляциях для уравнения (12) (и, очевидно, для исходного уравнения (1)), необходимо построить асимптотику фундаментальных решений $u^{(1)}(t )$, $u^{(2)}(t)$ системы (32), вследствие (35) и (36) определяющих динамику всех решений уравнения (12). В работах [35], [37] было показано, что вектор-строка $H(t,\theta)$, существование которого требуется для системы (32) на критическом многообразии, является решением в некотором слабом смысле следующей функционально-краевой задачи для уравнения в частных производных:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Phi(\theta)\Psi(0)G(t,\Phi(\theta)+H(t,\theta))&{}+ H(t,\theta)\bigl(D+\Psi(0)G(t,\Phi(\theta)+H(t,\theta))\bigr)+\frac{\partial H}{\partial t}= \notag\\ &=\begin{cases} \dfrac{\partial H}{\partial\theta}, & {-h}\leqslant\theta <0,\\ B_0H+G(t,\Phi(\theta)+H(t,\theta)), &\kern26pt\theta=0. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{37}
$$
Теперь мы можем записать матрицу коэффициентов системы (32), применив соотношения (16), (27) и положив $H(t,\theta)=\bigl(h_1(t,\theta)\;\; h_2(t,\theta)\bigr)$. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Psi(0)&G(t,\Phi(\theta)+H(t,\theta))=\frac{2}{3} \begin{pmatrix} 1+h_1(t,-1) & -1+h_2(t,-1) \\ 3(1+h_1(t,-1)) & 3(-1+h_2(t,-1)) \end{pmatrix}-{} \notag\\ &-\frac{2}{3}p(t)e^{t-\tau(t)} \begin{pmatrix} 1+h_1(t,\tau(t)-t) & \tau(t)-t+h_2(t,\tau(t)-t) \\ 3(1+h_1(t,\tau(t)-t)) & 3(\tau(t)-t+h_2(t,\tau(t)-t)) \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{38}
$$
Эту матрицу можно упростить, используя следующие обозначения:
$$
\begin{equation}
a(t)= p(t)e^{t-\tau(t)}-1,\qquad q(t)=t-\tau(t)-1,\qquad s(t)=\frac{1}{e}-p(t).
\end{equation}
\tag{39}
$$
Нетрудно проверить, что в силу (11) мы имеем
$$
\begin{equation*}
a(t)=o(1),\qquad q(t)=o(1),\qquad a(t)=q(t)+es(t)+O(s(t)q(t)).
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, учтем, что $\|H(t,\,{\cdot}\,)\|_{LC_h}\to0$ при $t\to\infty$. Отсюда следует, что Окончательно получаем
$$
\begin{equation}
\Psi(0)G(t,\Phi(\theta)+H(t,\theta))= \frac{2}{3}a(t)\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}+ \frac{2}{3}q(t)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}+o(a(t))+o(q(t)).
\end{equation}
\tag{40}
$$
Замечание 3. Поскольку исходное уравнение (12) имеет вещественные коэффициенты, все его решения можно считать вещественными. По той же причине мы можем выбрать вещественное решение системы (37). Отсюда следует, что система (32) на критическом многообразии является системой ОДУ с вещественными коэффициентами. Таким образом, при необходимости можно считать, что базис критического многообразия $\mathcal W(t)$ составляют вещественные функции (34). В этом случае константы $c_1$ и $c_2$ в асимптотическом представлении (36) для произвольного вещественного решения $y(t)$ задачи (12) также вещественны. 4. Осциллирующие решения имеют коразмерность дваКозакевич [40] и Мышкис [1] исследовали представление решений в неосциллирующем случае. Они доказали, что осциллирующие решения имеют коразмерность два. Напомним известную лемму сравнения, утверждающую, что отношение положительных решений монотонно. Исходное утверждение, а именно теорема 41 в [1] для непрерывных параметров, справедливо в общем случае измеримых параметров с аналогичным доказательством [41]. Альтернативное доказательство см. в [4], а обобщение на уравнения более высокого порядка – в [42] и [43], глава 17. Приведем менее общую версию утверждения, достаточную для настоящего обсуждения. Лемма 11. Пусть $x$ – решение уравнения неотрицательное на полуоси $(-\infty,0]$ и положительное на отрезке $[0,a)$; пусть $y$ – решение уравнения в котором $t\geqslant\sigma(t)\geqslant\tau(t)$ при всех $t\geqslant 0$. Предположим, что Если либо $x$ не возрастает на $(-\infty,0]$, либо $\tau=\sigma$, то отношение $y/x$ не убывает на $[0,a)$. В случае, когда такое отношение положительных решений строго монотонно, можно получить асимптотическое представление положительных решений. В силу линейности и с учетом леммы 11 существование строго монотонного отношения эквивалентно существованию отношения с верхним пределом, равным $+\infty$, или с нижним пределом, равным $0^{+}$. Лемма 12 ( см. [40] и [1], теорема 43). Пусть уравнение имеет два положительных решения $x_1$, $x_2$, таких что Тогда любое решение $x$ имеет при больших $t$ следующее представление: Кроме того, никакое положительное решение $x$ не может удовлетворять условию $x(t)=o(x_2(t))$. Лемма 13 ( см. [40] и [1], доказательство теоремы 46). Пусть уравнение не имеет осциллирующих решений и Тогда для любого осциллирующего решения $y$ и любого положительного решения $x$ (которое затухает не быстрее любой экспоненты) имеет место соотношение Диблик [44] обнаружил, что если уравнение не имеет осциллирующих решений, то при достаточно слабых предположениях существует пара положительных решений со строго монотонным отношением. Строгая монотонность объясняется тем, что это отношение является решением другого линейного уравнения с запаздыванием. Лемма 14 [44]. Пусть $x$ – фиксированное положительное решение уравнения Тогда для любого другого решения $y$ отношение $z:=y/x$ является решением уравнения Наоборот, для любого решения $z$ уравнения (44) произведение $xz$ является решением уравнения (43). Таким образом, чтобы применить асимптотическое представление из леммы 12, достаточно доказать существование строго монотонных решений уравнения (44). Для непрерывных параметров доказательство получается сразу; для измеримого запаздывания необходимы несколько более тонкие рассуждения, поэтому мы приводим это доказательство. В силу того, что в уравнении (44) $\frac{x(\tau(t))}{x(t)}\geqslant 1$, можно для простоты масштабировать коэффициент так, чтобы он равнялся 1, и далее мы считаем, что это условие выполнено. В работе [44] соотношение (42) было доказано путем исследования уравнения (44) (см. также [45], [46]). Лемма 15. Рассмотрим уравнение где $\tau(t)<t$, $\lim_{t\to\infty}\tau(t)=\infty$. Пусть запаздывание $\tau(t)$ локально отделено от $t$ (т. е. для любого компактного интервала $J\subset[0,+\infty)$ найдется $\varepsilon_{\scriptscriptstyle J}>0$, такое что $\tau(t)<t-\varepsilon_{\scriptscriptstyle J}$ для всех $t\in J$). Тогда любое решение $y$, отвечающее положительной начальной функции, такое что $y(0)>y(s)$ при $s<0$, остается положительным и строго возрастающим на $[0,+\infty)$. Доказательство. Предположим, что решение $y$ не является строго возрастающим. Зададим величину (считая, что множество в точной нижней грани непусто) Рассмотрим два случая. 1. Пусть $y(w)\leqslant y(\tau(w))$. Тогда по предположению $w>0$. Используя неравенства $y(0)>y(s)$, $s<0$ и определение $w$, после интегрирования уравнения (45) получаем противоречие:
$$
\begin{equation*}
0\geqslant y(w)-y(\tau(w))\geqslant y(w)-y(\max\{\tau(w),0\})\geqslant\int_{\max\{\tau(w),0\}}^{w}[y(t)-y(\tau(t))]\,dt>0.
\end{equation*}
\notag
$$
2. Пусть существует последовательность $s_n$, стремящаяся к $w^{+}$, такая что Это дает (мы интегрируем уравнение с учетом $y(0)>y(s)$, $s<0$)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0&\geqslant y(s_n)-y(\tau(s_n))=y(s_n)-y(w)+y(w)-y(\tau(s_n))\geqslant \\ &\geqslant\int_{w}^{s_n}[y(t)-y(\tau(t))]\,dt+[y(w)-y(\tau(s_n))]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Зададим $\psi(t):=|\!\min\{0,y(t)-y(\tau(t))\}|$ для $t\geqslant w$. Поскольку $\tau(t)$ локально отделена от $t$, при $t$, бо́льших $w$ и достаточно близких к $w$, мы имеем неравенство из которого для таких $t$ получаем $\psi(t)\equiv 0$. Далее имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &\geqslant\int_{w}^{s_n}[y(t)-y(\tau(t))]\,dt+[y(w)-y(\tau(s_n))]\geqslant \\ &\geqslant -\int_{w}^{s_n}\psi(r)\,dr+[y(w)-y(\tau(s_n))]=y(w)-y(\tau(s_n)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что $\tau(t)$ локально отделена от $t$, а $s_n\to w^{+}$, получаем (используя неравенства $y(0)>y(s)$, $s<0$ и определение $w$) противоречие Отсюда заключаем, что $y(t)>y(\tau(t))$, следовательно, $y'(t)>0$ для $t>0$. Следствие 1. Если отношение положительных решений уравнения (43) (или положительное решение уравнения (45)) неограничено, то оно при больших $t$ также является строго монотонным. Из лемм 12–15 получаем следующее асимптотическое разложение решений. Следствие 2. Рассмотрим уравнение $x'(t)=-x(\tau(t))$, считая, что $\tau(t)<t$, $\lim_{t\to\infty}\tau(t)=\infty$, функция $\tau(t)$ локально отделена от $t$ и Предположим, что это уравнение не имеет положительных решений, убывающих быстрее любой экспоненты. Тогда существуют два положительных решения $x_1$, $x_2$, таких что отношение $\frac{x_1(t)}{x_2(t)}$ строго возрастает и При этом любое другое решение $x$ при больших $t$ можно выразить как где $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$. Кроме того, любое решение $x$ удовлетворяет условию $x(t)=o(x_2(t))$, если и только если оно является осциллирующим. 5. Асимптотики положительных решенийТеперь покажем, что затухающий экспоненциальный член в (33) не может описывать никаких положительных решений. Фактически далее мы рассматриваем два разных метода доказательства этого утверждения. Лемма 16 [1]. Предположим, что уравнение имеет два положительных решения $x_1$, $x_2$, таких что и аналогично уравнение где $t\geqslant\sigma(t)\geqslant\tau(t)$, имеет два положительных решения $y_1$, $y_2$, таких что Тогда Лемма 17 [47]. При $\tau\to (1/e)^{-}$ характеристическое уравнение для уравнения $x'(t)=-x(t-\tau)$, а именно имеет два вещественных корня, один из которых стремится к $-e^{-}$, а второй – к $-e^{+}$. Лемма 4, следствие 2 и леммы 16, 17 немедленно дают следующий результат. Лемма 18. 1. Пусть $\sigma(t)\to 1/e$ при $t\to\infty$. Тогда для любого фиксированного $\varepsilon>0$ всякое положительное решение уравнения удовлетворяет предельному равенству 2. Пусть выполнены условия (11). Тогда для любого фиксированного $\varepsilon>0$ всякое положительное решение уравнения (1) удовлетворяет предельному равенству Отметим, что этот асимптотический результат является прямым следствием приведенного ниже интегрального неравенства (вместе с леммой 17). В понимании авторов оба метода доказательства независимы. Лемма 19 (см. [8], теорема 2.1). Пусть $\sigma(t)\to 1/e$ при $t\to\infty$. Тогда для любого фиксированного $\varepsilon>0$ всякое положительное решение уравнения удовлетворяет неравенству где $\lambda$ – корень уравнения $\lambda=e^{\lambda(1/e-\varepsilon)}$ на отрезке $[1,e]$. 6. Тождественность двух представлений для решенияТеорема 5. Пусть выполнены условия (11). Тогда (в обозначениях раздела 2) уравнение (1) имеет положительное решение, если и только если центральное многообразие имеет базис $y_1$, $y_2$, в котором функции $y_1$, $y_2$ положительны, их отношение $\frac{y_1(t)}{y_2(t)}$ строго возрастает и Кроме того, в этом случае (когда уравнение (1) имеет положительное решение), эквивалентны следующие свойства решения $x$ уравнения (1): 1) решение $x$ осциллирующее, 2) имеет место асимптотика $x(t)=O(e^{-(1+\beta)t})$, 3) имеет место асимптотика $x(t)=e^{-t}o(y_2(t))$. Доказательство. Возьмем решения $x_1$, $x_2$ из следствия 2, применим асимптотику (36), следствие 2 и лемму 18. Имеем следующее представление: 7. Уравнение Тана–Ю–Вана совпадает с системой на центральном многообразииМы пришли к заключению, что осцилляции в двумерной системе на центральном многообразии эквивалентны осцилляциям в уравнении с запаздыванием и, следовательно, эквивалентны осцилляциям в ОДУ второго порядка из теорем 1, 2 (когда параметры остаются выше критического значения $1/e$). Таким образом, мы имеем тройную эквивалентность осциллирующего поведения. Теперь покажем, что в случае отсутствия осцилляций справедливо более сильное утверждение: система на центральном многообразии асимптотически эквивалентна другой двумерной системе, которая совпадает с ОДУ второго порядка с точностью до остаточного члена. По поводу стандартного определения асимптотической эквивалентности мы отсылаем читателя к книге [48] и ссылкам в ней. Для простоты рассмотрим два случая: $p(t)\equiv 1/e$, $t-\tau(t)\geqslant 1$ и $p(t)\geqslant 1/e$, $t-\tau(t)\equiv 1$. Замечание 4. Пусть выполнены условия (11). 1. Если предположить, что $p(t)\equiv 1/e$, $t-\tau(t)\geqslant 1$, то выражение (40) принимает вид
$$
\begin{equation}
\Psi(0)G(t,\Phi(\theta)+H(t,\theta))= \frac{2}{3}a(t)\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}+ \frac{2}{3}q(t)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}+o(q(t))+o(a(t)),
\end{equation}
\tag{47}
$$
где $q(t)=t-\tau(t)-1$ и $a(t)=e^{t-\tau(t)-1}-1=q(t)(1+o(1))$. В силу теоремы 2 и условий (10) мы также с необходимостью имеем Соответственно, система (32) сводится к
$$
\begin{equation}
\dot u=\biggl(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+ \frac{2}{3}q(t)\biggl[\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}+o(1)\biggr]\biggr)u,\qquad t\geqslant T.
\end{equation}
\tag{49}
$$
2. Если предположить, что $p(t)\geqslant 1/e$, $t-\tau(t)\equiv 1$, то формула (40) принимает вид
$$
\begin{equation*}
\Psi(0)G(t,\Phi(\theta)+H(t,\theta))= \frac{2}{3}a(t)\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}+o(a(t)),
\end{equation*}
\notag
$$
где $a(t)=ep(t)-1$. В силу теоремы 2 и условий (10) мы также с необходимостью имеем Соответственно, система (32) сводится к Теорема 6. Пусть выполнены условия (11), $p(t)\equiv 1/e$, $t-\tau(t)\geqslant 1$ и разность $t-\tau(t)$ не равна тождественно 1 начиная с некоторого $t$ (или $p(t)\geqslant 1/e$, $t-\tau(t)\equiv 1$ и $p(t)$ не равна тождественно $1/e$ начиная с некоторого $t$). Если уравнение (1) не имеет осциллирующих решений, то в центральном многообразии существует базис $y_1$, $y_2$, такой что функции $y_1$, $y_2$ положительны, Доказательство. Рассмотрим случай $p(t)\equiv 1/e$, $t-\tau(t)\geqslant 1$ (доказательство для $p(t)\geqslant 1/e$, $t-\tau(t)\equiv 1$ идентично). Зафиксируем индекс $i\in\{1,2\}$. Из (49) напрямую получаем Теперь покажем, что $v_1^{(i)}$ должна быть неосциллирующей функцией. Предположим, что $v_1^{(i)}(t)$ принимает как отрицательные, так и положительные значения при сколь угодно больших $t$. Аппроксимируем соотношения (52) уравнением с непрерывными параметрами на компактном интервале $[\alpha,\beta]$, таком что $v_1^{(i)}(\alpha)>0$, $v_1^{(i)}(\beta)>0$, и при этом внутри $[\alpha,\beta]$ также достигаются отрицательные значения. Используя непрерывность, получаем, что решение $(\tilde v_1^{(i)},\tilde v_2^{(i)})$ приближенного уравнения непрерывно дифференцируемо и сколь угодно близко к $(v_1^{( i)},v_2^{(i)})$. Таким образом, существует точка $\xi\in(\alpha,\beta)$, такая что $\dot{\tilde v}_1^{(i)}(\xi)=0$ и $\tilde v_1^{(i)}(\xi)<0$ сколь угодно близко к истинному минимуму. Однако, используя (53), непрерывность параметров и положительность $y_i$, мы также должны иметь
$$
\begin{equation*}
0<(1+o(1))\tilde v_1^{(i)}(\xi)+o(1)\dot{\tilde v}_1^{(i)}(\xi)<0,
\end{equation*}
\notag
$$
что приводит к противоречию. Следовательно, решение $v_1^{(i)}$ имеет постоянный знак при всех достаточно больших $t$. Из (52) немедленно заключаем, что решение $v_2^{(i)}$ монотонное и, следовательно, знакопостоянное. Заметим, что, поскольку $q(t)$ отлично от нуля при больших $t$, решение $v_2^{(i)}$ также отлично от нуля при больших $t$. Отсюда получаем (вновь используя (52)), что решение $v_1^{(i)}$ строго монотонное и либо положительное, либо отрицательное при всех достаточно больших $t$. Предположим, что $v_1^{(i)}$, $v_2^{(i)}$ имеют разные знаки, например, $v_1^{(i)}(t)>0>v_2^{(i)}(t)$. Тогда $v_2^{(i)}$ не возрастает и, следовательно, ограничено сверху отрицательной константой. Отсюда получаем (интегрируя (52)), что $v_1^{(i)}$ меняет знак при большом $t$, что приводит к противоречию. Итак, $v_1^{(i)}$, $v_2^{(i)}$ имеют один и тот же постоянный знак. Теперь достаточно показать, что $v_2^{(i)}(t)=v_1^{(i)}(t)o(1)$. В силу линейности достаточно рассмотреть случай, когда обе функции положительны. В этом случае $v_1^{(i)}$ строго возрастает, а $v_2^{(i)}$ не возрастает. Если то мы видим (интегрируя (52)), что $v_1^{(i)}$ неограничена. Отсюда $v_2^{(i)}(t)=v_1^{(i)}(t)o(1)$. Если то опять же имеем $v_2^{(i)}(t)=v_1^{(i)}(t)o(1)$. Теперь положительность функций $y_i$ немедленно влечет положительность решений $v_1^{(i)}$.8. Обсуждение и открытые проблемыЗаметим, что системы из теоремы 6, асимптотически эквивалентные системе на критическом многообразии, совпадают с точностью до остаточного члена с уравнениями (6) и (7) из теорем 1, 2. Мы полагаем, что это соответствие указывает на эффективность метода центрального многообразия. Если бы можно было оценить соответствующие остаточные члены или пренебречь ими, то можно было бы заново получить теоремы 1 и 2 совершенно независимыми методами – исключительно посредством изучения системы на центральном многообразии. Хотя в общем случае трудно оценить $H(t,\theta)$, интуитивно понятно, что $H(t,\theta)$ имеет тот же порядок, что и $a(t)$ и $q(t)$, аналогично результатам, полученным в [28], где $a(t)$ составлена из тригонометрических полиномов с убывающими коэффициентами. Возможно, более точные оценки остаточного члена и дальнейшее усовершенствование метода центрального многообразия помогут разрешить гипотезу 1. Такие результаты, по-видимому, потребуют расширения существующих методов, основанных на центральном многообразии, чтобы рассмотреть возмущение $G(t,\theta)$, интегрально малое в некотором подходящем смысле, подразумеваемом теоремой 2 и условиями (10). Аналогичные соображения относительно малости интеграла снова потребуются для прямого обобщения и расширения методов, используемых в теореме 2. Однако заметим, что такие определения интегральной малости могут быть сложны с точки зрения идеи и технически. В некоторых случаях (например, в рамках подхода работ [7], [49]–[53]) известно, что возмущения уравнений малы, однако выражения, описывающие малость, поддаются анализу и интуитивно понятны только тогда, когда мы обращаемся непосредственно к решениям. Случай, когда параметры колеблются около критического порога $1/e$, возможно, еще более сложен. Асимптотическое описание фундаментальной матрицы (32) с учетом (27), (38), (40) требует различных методов асимптотического интегрирования (см., например, [48]) и сталкивается с двумя нетривиальными препятствиями. Во-первых, поскольку функции $a(t)$ и $q(t)$ в (40) колеблются около нуля, в рамках данного подхода нельзя применить стандартные асимптотические теоремы. Во-вторых, для вычисления асимптотики фундаментальных решений $u^{(1)}(t)$ и $u^{(2)}(t)$ не всегда достаточно главной части матрицы коэффициентов (32) (см. формулу (40)). В этой ситуации требуется использовать явное выражение (38) и, следовательно, решать задачу (37) в частных производных. Однако явный вид решения задачи (37) является открытой проблемой. Заметим, что в некоторых случаях можно получить приближенное решение задачи (37) при наличии дополнительной информации о функциях $p(t)$ и $\tau(t)$ исходного уравнения (1); например, когда функции $a(t)$ и $q(t)$ в (39) являются конечными тригонометрическими полиномами, коэффициенты которых стремятся к нулю [28]. В этой ситуации можно построить аппроксимацию решения (37) в замкнутой форме. Чтобы получить асимптотику фундаментальной матрицы (32), можно затем использовать технику усреднения [54] и известную теорему Левинсона [55]. Обнадеживает тот факт, что результаты, полученные при таких предположениях, улучшили все предыдущие результаты в случае уравнения
$$
\begin{equation*}
x'(t)+\frac{1}{e}\biggl(1+K\frac{\sin^2(\pi t)+\gamma}{t^\rho}\biggr)x(t-1)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $K,\rho>0$ и $\gamma\in\mathbb{R}$. Это уравнение было предметом многочисленных исследований, в которых последовательно улучшались критерии наличия осцилляций (см., например, [9], [12], [18], [28]). Интересно, можно ли использовать аналогичный подход для более широкого класса функций $p(t)$ и $\tau(t)$. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{NesSta24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|