| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Матрицы полной, классической и квантовой неопределенностей, полученные с использованием монотонных операторных функций Цзин Я Фаньa, Нань Лиbc, Шунь Лун Лоbc a School of Mathematics and Information Science and Research Center for Mathematics, North Minzu University, Yinchuan, China b Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences, Beijing, China c School of Mathematical Sciences, University of the Chinese Academy of Sciences, Beijing, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 221, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924110035 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеНеопределенность, естественным образом порождаемая измерениями, представляет собой одно из наиболее ярких проявлений квантовой механики. Принцип неопределенности, который ограничивает нашу способность предсказывать результаты несовместимых измерений [1]–[3], не только является неотъемлемой частью квантового формализма, но и оказывается полезным и может эффективно предоставлять важную информацию в различных ситуациях на практике [4]. Например, его можно использовать для обоснования комплексной структуры гильбертова пространства [5], [6], для проверки того, что состояния являются чистыми [7], для подтверждения запутанности [8]–[16], для обнаружения немарковского характера динамики [17], для демонстрации управления в ЭПР-экспериментах [18]–[21] и для анализа безопасности распределения квантовых ключей [22]. Информационное содержание состояния тесно связано с его неопределенностью. Неопределенность квантового состояния можно разделить на три категории: полную, классическую и квантовую неопределенности [23]–[26]. Классическая неопределенность является результатом смешивания и часто количественно определяется энтропией, тогда как квантовая неопределенность тесно связана с квантовой когерентностью [27]–[31]. В квантовой теории информации базовыми компонентами являются квантовые каналы и квантовые состояния. Влияние квантовых каналов на квантовые состояния обычно приводит к декогерентности (потере когерентности) и неопределенности, которые разрушают принцип суперпозиции и порождают квантовую энтропию. Желательно изучить теоретико-информационные и геометрические характеристики квантовых каналов с максимально возможного количества точек зрения и в дальнейшем использовать соответствующие результаты для изучения декогерентности и соотношений неопределенности. Для количественной оценки неопределенностей, порождаемых каналами, в работе [32] с трех разных точек зрения использовалось действие канала на операторы ортонормированного базиса пространства самосопряженных операторов. В работе [33] информационное содержание квантовых каналов исследовалось с помощью матриц Грама, связанных с квантовой информацией Фишера. Квантовая информация Фишера представляет собой ресурсную меру, которая связана с квантовыми флуктуациями сохраняющихся величин и имеет подходящие свойства и определенный физический смысл. Семейство всех метрик, основанных на квантовой информации Фишера, параметризуется операторными монотонными функциями из определенного класса [34]. Различные версии квантовой информации Фишера имеют важные и широко использующиеся приложения в современной квантовой информации. Косая информация Вигнера–Янасе и косая информация Вигнера–Янасе–Дайсона связаны со специальным выбором квантовой информации Фишера [35], [36]. Обобщением двух вышеупомянутых видов косой информации в контексте квантовой информации Фишера является метрически усовершенствованная (metric adjusted) косая информация [37]. Поскольку матрицы неопределенности играют важную роль в исследовании информационно-теоретических аспектов квантовых каналов и обладают большим информационным содержанием, мы обсуждаем неопределенность квантовых каналов, используя матрицы полной, классической и квантовой неопределенностей, связанные с операторными монотонными функциями, и затем выявляем некоторые существенные характеристики квантовых каналов. Оставшаяся часть работы организована следующим образом. В разделе 2 мы напоминаем некоторые понятия, касающиеся операторных монотонных функций и матричных средних, и затем вводим метрически усовершенствованные косую информацию и меру корреляции, а также некоторые другие связанные с нашей задачей величины для неэрмитовых операторов. В разделе 3, используя монотонные метрики, мы вводим три матрицы неопределенности на основе ковариаций между операторами Крауса квантового канала и далее исследуем их основные свойства. В разделе 4 мы применяем матрицы неопределенности для количественной оценки декогерентности, вызванной действием квантовых каналов на квантовые состояния, и затем находим эти матрицы для нескольких типичных каналов, чтобы выявить присущие им особенности и установить некоторые соотношения неопределенностей. Наконец, в разделе 5 мы приводим заключительные замечания. 2. Операторные монотонные функции и метрически усовершенствованная косая информацияВ этом разделе мы напоминаем некоторые идеи, связанные с операторными монотонными функциями, и расширяем концепцию метрически усовершенствованной меры корреляции и некоторых связанных с ней метрик на несамосопряженные операторы. Затем мы получаем несколько соотношений для метрически усовершенствованной косой информации с различными операторными монотонными функциями. Всюду далее через $M_n(\mathbb{C})$ и $M_{n,\mathrm{sa}}(\mathbb{C})$ мы обозначаем соответственно множество всех комплексных матриц размера $n\times n$ и множество самосопряженных матриц размера $n\times n$ со скалярным произведением Гильберта–Шмидта $\langle A|B\rangle= \operatorname{tr} (A^\unicode{8224} B)$. Пусть $M_{n,+}(\mathbb{C})$ – множество строго положительных матриц из $M_n(\mathbb{C})$ и
$$
\begin{equation*}
M_{n,+,1}(\mathbb{C})=\{\rho\in M_n(\mathbb{C})\mid \operatorname{tr} \rho=1,\,\rho>0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Говорят, что $f\colon(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ является операторной монотонной функцией, если для любого натурального $n$ и матриц $A,B\in M_{n,+}(\mathbb{C})$, таких что $0\leqslant A\leqslant B$, выполняются неравенства $0\leqslant f(A)\leqslant f(B)$. Операторная монотонная функция называется нормированной, если $f(1)=1$, и симметричной, если $f(x)=xf(x^{-1})$ [38]–[40]. Мы обозначаем множество всех нормированных симметричных операторных монотонных функций как $\mathcal F_{\mathrm{op}}$. Некоторые канонические функции из множества $\mathcal F_{\mathrm{op}}$ таковы [38], [41]:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{RLD} }(x)=\frac{2x}{x+1},\qquad f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{SLD} }(x)=\frac{x+1}{2},\qquad f_{\scriptscriptstyle\mathrm{BKM}}(x)=\frac{x-1}{\ln x}, \\ f_{\scriptscriptstyle\mathrm{WY}}(x)=\biggl(\frac{\sqrt{x}+1}{2}\biggr)^{\!2},\qquad f_{\scriptscriptstyle\mathrm{WYD}}(x)=\frac{\alpha(1-\alpha)(x-1)^2}{(x^\alpha-1)(x^{1-\alpha}-1)},\quad \alpha\in (0,1). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $f\in\mathcal F_{\mathrm{op}}$ зададим $f(0)=\lim_{x\to 0}f(x)$. Обозначим множества регулярных и нерегулярных функций соответственно как
$$
\begin{equation*}
\mathcal F_{\mathrm{op}}^{\,\mathrm r}=\{f\in\mathcal F_{\mathrm{op}}\mid f(0)\neq 0\},\qquad \mathcal F_{\mathrm{op}}^{\,\mathrm n}=\{f\in\mathcal F_{\mathrm{op}}\mid f(0)=0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $f\in\mathcal F_{\mathrm{op}}^{\,\mathrm r}$ функция $\tilde f$ задается как [38], [40]–[43]
$$
\begin{equation*}
\tilde f(x)=\frac{1}{2}\biggl((x+1)-(x-1)^2\frac{f(0)}{f(x)}\biggr),\qquad x>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\tilde f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{SLD} }\leqslant\tilde f_{\scriptscriptstyle\mathrm{WY}}\leqslant\tilde f_{\scriptscriptstyle\mathrm{WYD}}\leqslant\tilde f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{RLD} }$. Напомним, что ассоциированное среднее для функции $f\in\mathcal F_{\mathrm{op}}$ определяется как $m_f(x,y)=yf(xy^{-1})$, $x,y>0$, а функция $c_f(x,y)=1/m_f(x,y)$, $x,y>0$, называется функцией Ченцова–Морозовой. Поскольку $f\leqslant g$ тогда и только тогда, когда $m_f\leqslant m_g$ [38], имеем $m_{\tilde f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{SLD} }}\leqslant m_{\tilde f_{\scriptscriptstyle\mathrm{WY}}}\leqslant m_{\tilde f_{\scriptscriptstyle\mathrm{WYD}}}\leqslant m_{\tilde f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{RLD} }}$. Лемма 1 [38]. Для любого квантового состояния $\rho$ с собственными значениями $\lambda_i$ и проекторами $E_i$ на соответствующие собственные подпространства, если $s\colon[0,+\infty)\times [0,+\infty)\to\mathbb{R}$ является непрерывной функцией, то где $L_\rho(A)=\rho A$ и $R_\rho(A)=A\rho$ суть левое и правое умножения на $\rho$. Скалярное произведение операторов $A$ и $B$ в гильбертовом пространстве, связанное с состоянием $\rho$ и функцией $f\in{\mathcal F_{\mathrm{op}}}$, определяется формулой [34]
$$
\begin{equation}
\langle A,B\rangle_{\rho,f}= \operatorname{tr} (A^\unicode{8224} c_f(L_\rho,R_\rho)(B)).
\end{equation}
\tag{1}
$$
Соответствующая норма определяется как $\|A\|_{\rho,f}=\sqrt{\langle A,A\rangle_{\rho,f}}$. Для $A,B\in M_n(\mathbb{C})$, $\rho\in M_{n,+,1}(\mathbb{C})$ и $f\in{\mathcal F_{\mathrm{op}}}$ метрически усовершенствованная мера корреляции задается как
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Corr} _\rho^f(A,B)=\frac{f(0)}{2}\langle[\rho,A],[\rho,B]\rangle_{\rho,f}.
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью несложных вычислений получаем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Corr} _\rho^f(A,B)=\frac{1}{2} \operatorname{tr} (\rho({A^\unicode{8224} B}+BA^\unicode{8224}))- \operatorname{tr} (A^\unicode{8224} m_{\tilde f}(L_\rho,R_\rho)(B)).
\end{equation*}
\notag
$$
Мера, сопряженная к $ \operatorname{Corr} _\rho^f(A,B)$, равна $ \operatorname{Corr} _\rho^f(B,A)$. Пусть $X_0=X- \operatorname{tr} (\rho X){\bf 1}$, где $\bf 1$ – единичный оператор, тогда $ \operatorname{Corr} _\rho^f(A_0,B_0)= \operatorname{Corr} _\rho^f(A,B)$. Следуя работе [37], введем метрически усовершенствованную косую информацию состояния $\rho$ относительно оператора $A$ как
$$
\begin{equation*}
I_\rho^f(A):= \operatorname{Corr} _\rho^f(A,A)=\frac{f(0)}{2}\langle[\rho,A],[\rho,A]\rangle_{\rho,f};
\end{equation*}
\notag
$$
в некотором смысле ее можно интерпретировать как количественную оценку квантовой неопределенности оператора $A$ в состоянии $\rho$. С помощью операторных монотонных функций построим другие монотонные метрики. Для любых $A,B\in M_n(\mathbb{C})$ и $\rho\in M_{n,+,1}(\mathbb{C})$ зададим величины
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, J_\rho^f(A,B)=\frac{1}{2} \operatorname{tr} (\rho(A_0^\unicode{8224} B_0+B_0A_0^\unicode{8224}))+ \operatorname{tr} (A_0^\unicode{8224} m_{\tilde f}(L_\rho,R_\rho)(B_0)), \\ C_\rho^f(A,B)= \operatorname{tr} (A^\unicode{8224} m_f(L_\rho,R_\rho)(B)), \\ C_\rho^f(A)=C_\rho^f(A,A),\qquad J_\rho^f(A)=J_\rho^f(A,A),\qquad U_\rho^f(A)=\sqrt{I_\rho^f(A)J_\rho^f(A)}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем следующие простые соотношения:
$$
\begin{equation}
\operatorname{Corr} _\rho^f(A,B)= \operatorname{Cov} _\rho(A,B)-C_\rho^{\tilde f}(A_0,B_0),
\end{equation}
\tag{2}
$$
$$
\begin{equation}
\kern12pt J_\rho^f(A,B)= \operatorname{Cov} _\rho(A,B)+C_\rho^{\tilde f}(A_0,B_0),
\end{equation}
\tag{3}
$$
где обобщенная ковариация и дисперсия задаются как [33]
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Cov} _\rho(A,B)&=\frac{1}{2} \operatorname{tr} (\rho(A^\unicode{8224} B+BA^\unicode{8224}))- \operatorname{tr} (\rho A^\unicode{8224}) \operatorname{tr} (\rho B), \\ V_\rho(A)&= \operatorname{Cov} _\rho(A,A). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно имеем
$$
\begin{equation}
\operatorname{Cov} _\rho(A,B)= \operatorname{Cov} _\rho(A_0,B_0)=\frac{1}{2} \operatorname{tr} (\rho(A_0^\unicode{8224} B_0+B_0A_0^\unicode{8224})),
\end{equation}
\tag{6}
$$
и $ \operatorname{Cov} _\rho(A,B)=\overline{ \operatorname{Cov} _\rho(B,A)}$. Заметим, что $m_f(L_\rho,R_\rho)$ положительно [38], следовательно,
$$
\begin{equation*}
C_\rho^f(A)=\langle A,m_f(L_\rho,R_\rho)(A)\rangle\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда напрямую получаем
$$
\begin{equation}
0\leqslant I_\rho^f(A)\leqslant U_\rho^f(A)\leqslant V_\rho(A)\leqslant J_\rho^f(A).
\end{equation}
\tag{7}
$$
Как следствие спектральной теоремы для коммутирующих операторов получаем следующие результаты. Пусть матрицы $A,B\in M_n(\mathbb{C})$ и для состояния $\rho\in M_{n,+,1}(\mathbb{C})$ выполнено спектральное разложение,
$$
\begin{equation*}
\rho=\sum_{i}\lambda_i|\phi_i\rangle\langle\phi_i|,\qquad a_{ij}=\langle\phi_i|A_0|\phi_j\rangle,\quad b_{ij}=\langle\phi_i|B_0|\phi_j\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{Cov} _\rho(A,B)= \operatorname{Cov} _\rho(A_0,B_0)=\frac{1}{2}\sum_{i,j}(\lambda_i+\lambda_j)\overline{a_{ij}}\,b_{ij}, \\ V_\rho(A)=\frac{1}{2}\sum_{i,j}(\lambda_i+\lambda_j)|a_{ij}|^2, \\ C_\rho^f(A_0)=\sum_{i,j} m_f(\lambda_i,\lambda_j)|a_{ij}|^2,\qquad C_\rho^f(A_0,B_0)=\sum_{i,j}^{} m_f(\lambda_i,\lambda_j)\overline{a_{ij}}\,b_{ij}, \\ \operatorname{Corr} _\rho^f(A,B)=\sum_{i,j}\biggl(\frac{\lambda_i+\lambda_j}{2}-m_{\tilde f}(\lambda_i,\lambda_j)\biggr)\overline{a_{ij}}\,b_{ij}, \\ I_\rho^f(A)=\sum_{i,j}\biggl(\frac{\lambda_i+\lambda_j}{2}-m_{\tilde f}(\lambda_i,\lambda_j)\biggr)|a_{ij}|^2, \\ J_\rho^f(A)=\sum_{i,j}\biggl(\frac{\lambda_i+\lambda_j}{2}+m_{\tilde f}(\lambda_i,\lambda_j)\biggr)|a_{ij}|^2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если две операторные монотонные функции подчиняются отношению частичного порядка, справедливо ли такое же отношение порядка для соответствующей метрически усовершенствованной косой информации? Ответ на этот вопрос следующий: для любых $f,g\in{\mathcal F_{\mathrm{op}}}$ и $A\in M_n(\mathbb{C})$ если $\tilde f\leqslant\tilde g$, то $I_\rho^f(A)\geqslant I_\rho^g(A)$. это следует из того, что
$$
\begin{equation*}
C_\rho^{\tilde g}(A_0)-C_\rho^{\tilde f}(A_0)=\sum_{i,j}(m_{\tilde g}(\lambda_i,\lambda_j)-m_{\tilde f}(\lambda_i,\lambda_j))|a_{ij}|^2\geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
и из определений величин $I_\rho^f(A)$ и $I_\rho^g(A)$. Для всех $f\in{\mathcal F_{\mathrm{op}}}$ при $x>0$ имеем [39]
$$
\begin{equation}
f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{RLD} }(x)=\frac{2x}{1+x}\leqslant f(x)\leqslant\frac{1+x}{2}=f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{SLD} }(x).
\end{equation}
\tag{8}
$$
Нетрудно показать, что $f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{RLD} }(x)=\tilde f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{SLD} }(x)$, $\tilde f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{RLD} }(x)=f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{SLD} }(x)$, отсюда следует, что
$$
\begin{equation}
\tilde f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{SLD} }(x)\leqslant\tilde f(x)\leqslant\tilde f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{RLD} }(x).
\end{equation}
\tag{9}
$$
Доказательство. Положим $\rho=\sum_{i}\lambda_i|\phi_i\rangle\langle\phi_i|$. Тогда Доказательство. Из неравенства (9) имеем $I_\rho^f(A)\leqslant I_\rho^{f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{SLD} }}(A)$. Второе неравенство в (10) вытекает из леммы 2, поскольку Теперь покажем, что $1/2f(0)$ в неравенстве (10) является оптимальной константой, т. е. если $1\leqslant l<1/2f(0)$, то неравенство $I_\rho^{f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{SLD} }}(A)\leqslant lI_\rho^f(A)$ не выполняется. В самом деле, если существует константа $l$, $1\leqslant l<1/2f(0)$, при которой $I_\rho^{f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{SLD} }}(A)\leqslant lI_\rho^f(A)$, то $f(x)\leqslant lf(0)(1+x)$ для любого вещественного $x$ [39]. Однако, если положить $x=1$, то $1=f(1)\leqslant 2lf(0)<1$, мы приходим к противоречию. Очевидно, что (10) эквивалентно неравенству
$$
\begin{equation*}
2f(0)I_\rho^{f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{SLD} }}(A)\leqslant I_\rho^f(A)\leqslant I_\rho^{f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{SLD} }}(A).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, метрически усовершенствованная косая информация с операторной монотонной функцией $f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{SLD} }$, грубо говоря, эквивалентна метрически усовершенствованной косой информации с любой операторной монотонной функцией $f$.
3. Матрицы полной, классической и квантовой неопределенностейВ этом разделе мы вводим три вида матриц неопределенности, порождаемой каналами: матрицу полной неопределенности, матрицу классической неопределенности и матрицу квантовой неопределенности. Сначала обсудим некоторые базовые условия для матриц неопределенности и требования к ним, разумные с физической точки зрения, а затем представим несколько интуитивно понятных и простых матриц-кандидатов. Первая из них – это матрица полной неопределенности, задающаяся через ковариацию $ \operatorname{Cov} _\rho^f(A,B)$ между операторами Крауса квантового канала, вторая – это матрица классической неопределенности, задающаяся через функцию $J_\rho^f(A,B)$, а третья – это матрица квантовой неопределенности, задающаяся через метрически усовершенствованную корреляционную меру $ \operatorname{Corr} _\rho^f(A,B)$ для операторов Крауса канала. Мы раскрываем некоторые основные свойства всех этих матриц неопределенности и устанавливаем связывающее их тождество. Пусть $\mathcal E(\rho)=\sum_{i=1}^m E_i\rho E_i^\unicode{8224} $ есть квантовый канал с совпадающими входным и выходным пространствами, а $\rho$ – состояние в $d$-мерном гильбертовом пространстве. Далее предположим, что $T_\rho(\{E_i\})$ – некоторая матрица, связанная с квантовым состоянием $\rho$ и операторами Крауса $\{E_i\}$ квантового канала $\mathcal E$. Разумная матрица полной неопределенности, порождаемой каналом $\mathcal E$, должна иметь следующие характеристики. (T1): матрица $T_\rho(\{E_i\})\geqslant 0$, причем, если $\mathcal E$ – тождественный канал, достигается равенство. (T2): матрица $T_\rho(\{E_i\})$ унитарно инвариантна, т. е. $T_{U\rho U^\unicode{8224}}(\{UE_i U^\unicode{8224}\})=T_\rho(\{E_i\})$ для любой унитарной матрицы $U$. (T3): матрица $T_\rho(\{E_i\})$ не зависит от вспомогательного канала в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
T_{\rho\otimes\sigma}(\{E_i\otimes{\bf 1}\})=T_\rho(\{E_i\})
\end{equation*}
\notag
$$
для любых состояний $\rho$ и $\sigma$ ; это обосновывается требованием, чтобы тождественный канал не имел неопределенности. (T4): матрица $T_\rho(\{E_i\})$ вогнута в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
T_{\sum_{j}\!p_j\rho_j}(\{E_i\})\geqslant\sum_{j}p_j T_{\rho_j}(\{E_i\})
\end{equation*}
\notag
$$
для любого вероятностного распределения $\{p_j\}$ и любых состояний $\rho_j$; согласно этому требованию смешивание квантовых состояний в среднем увеличивает общую неопределенность, что согласуется с интуитивными представлениями. Для разумной матрицы классической неопределенности $C_\rho(\{E_i\})$, порождаемой каналом $\mathcal E$, мы постулируем следующие условия. (C1): матрица $C_\rho(\{E_i\})\geqslant 0$, причем, если $\mathcal E$ – тождественный канал, достигается равенство. (C2): матрица $C_\rho(\{E_i\})$ унитарно инвариантна, т. е. $C_{U\rho U^\unicode{8224}}(\{UE_i U^\unicode{8224}\})=C_\rho(\{E_i\})$ для любой унитарной матрицы $U$. (C3): матрица $C_\rho(\{E_i\})$ не зависит от вспомогательного канала в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
C_{\rho\otimes\sigma}(\{E_i\otimes{\bf 1}\})=C_\rho(\{E_i\})
\end{equation*}
\notag
$$
для любых состояний $\rho$ и $\sigma$ ; это обосновывается требованием, чтобы тождественный канал не имел классической неопределенности. (C4): матрица $C_\rho(\{E_i\})$ вогнута в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
C_{\sum_{j}\!p_j\rho_j}(\{E_i\})\geqslant\sum_{j} p_jC_{\rho_j}(\{E_i\})
\end{equation*}
\notag
$$
для любого вероятностного распределения $\{p_j\}$ и любых состояний $\rho_j$; согласно этому требованию смешивание квантовых состояний в среднем увеличивает классическую неопределенность, что согласуется с интуитивными представлениями. Для разумной матрицы квантовой неопределенности $Q_\rho(\{E_i\})$, порождаемой каналом $\mathcal E$, мы постулируем следующие условия. (Q1): матрица $Q_\rho(\{E_i\})\geqslant 0$, причем, если $\mathcal E$ – тождественный канал, достигается равенство. (Q2): матрица $Q_\rho(\{E_i\})$ унитарно инвариантна, т. е. $Q_{U\rho U^\unicode{8224}}(\{UE_i U^\unicode{8224}\})=Q_\rho(\{E_i\})$ для любой унитарной матрицы $U$. (Q3): матрица $Q_\rho(\{E_i\})$ не зависит от вспомогательного канала в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
Q_{\rho\otimes\sigma}(\{E_i\otimes{\bf 1}\})=Q_\rho(\{E_i\})
\end{equation*}
\notag
$$
для любых состояний $\rho$ и $\sigma$ ; это обосновывается требованием, чтобы тождественный канал не имел квантовой неопределенности. (Q4): матрица $Q_\rho(\{E_i\})$ вогнута в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
Q_{\sum_{j}\!p_j\rho_j}(\{E_i\})\leqslant\sum_{j} p_jQ_{\rho_j}(\{E_i\})
\end{equation*}
\notag
$$
для любого вероятностного распределения $\{p_j\}$ и любых состояний $\rho_j$; согласно этому требованию смешивание квантовых состояний в среднем уменьшает квантовую неопределенность, что согласуется с интуитивными представлениями. Теперь введем следующие матрицы неопределенности, связанные с операторами Крауса $\{E_i\}$ квантового канала $\mathcal E$. Ковариационная матрица определяется как
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Cov} (\rho,\{E_i\})=( \operatorname{Cov} _\rho(E_i,E_j)),
\end{equation*}
\notag
$$
и мы рассматриваем ее как матрицу полной неопределенности. Далее положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I_f(\rho,\{E_i\})=( \operatorname{Corr} _\rho^f(E_i,E_j)),\qquad J_f(\rho,\{E_i\})=(J_\rho^f(E_i,E_j)), \\ C_f(\rho,\{E_i\})=(C_\rho^f(E_i,E_j)). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\{\widetilde E_j\}$ – другие операторы Крауса квантового канала $\mathcal E$, то существует унитарный оператор $V$, такой что
$$
\begin{equation}
I_f(\rho,\{\widetilde E_i\})=VI_f(\rho,\{E_i\})V^\unicode{8224}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
В самом деле, существуют комплексные числа $v_{ik}$, такие что $\widetilde E_i=\sum_{k}v_{ik}E_k$ для любого $i$. Поэтому для любых $i$, $j$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Corr} _\rho^f(\widetilde E_i,\widetilde E_j)&=\frac{f(0)}{2}\langle[\rho,\widetilde E_i], [\rho,\widetilde E_j]\rangle_{\rho,f}= \frac{f(0)}{2}\biggl\langle\biggl[\rho,\sum_{k}v_{ik}E_k\biggr],\biggl[\rho,\sum_{k'}v_{jk'}E_{k'}\biggr]\biggr\rangle_{\!\rho,f}= \\ &=\frac{f(0)}{2}\sum_{k,k'}v_{ik}^\ast v_{jk'}\langle[\rho,E_k], [\rho, E_{k'}]\rangle_{\rho,f}= \sum_{k,k'}v_{ik}^\ast v_{jk'} \operatorname{Corr} _\rho^f(E_k,E_{k'}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда и вытекает равенство (11). Таким образом, $V=(v_{ik}^\ast)$. Предложение 2. Для любых $f\in{\mathcal F_{\mathrm{op}}}$ и $\rho\in M_{n,+,1}(\mathbb{C})$ Доказательство. Чтобы доказать неравенство (12a), выберем произвольный вектор-столбец $X=(x_1,x_2,\ldots,x_m)^{\mathrm T}\in\mathbb{C}^m$ и для $m$ операторов Крауса канала $\mathcal E$ получим Равенство (12b) следует из того, что $J_\rho^f(E_i,E_j)+ \operatorname{Corr} _\rho^f(E_i,E_j)=2 \operatorname{Cov} _\rho^{}(E_i,E_j)$ для всех $i$, $j$. $\blacksquare$ В предложении 2 мы рассмотрели квантовые состояния из множества $M_{n,+,1}(\mathbb{C})$. Если положить $m_{\tilde f}(0,0)=0$ и либо $m_{\tilde f}(0,y)=0$ при $y>0$, либо $m_{\tilde f}(x,0)=0$ при $x>0$, то для чистого состояния $\rho=|\psi\rangle\langle\psi|$ (с собственными значениями 0 и 1) по определению $C_\rho^{\tilde f}(A_0,B_0)$ и с учетом того, что $m_{\tilde f}(1,1)=1$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C_\rho^{\tilde f}(A_0,B_0)&=C_\rho^{\tilde f}(A,B)- \operatorname{tr} (\rho A^\unicode{8224}) \operatorname{tr} (\rho B)= \\ &= \operatorname{tr} (A^\unicode{8224} m_{\tilde f}(L_\rho,R_\rho)(B))- \operatorname{tr} (\rho A^\unicode{8224}) \operatorname{tr} (\rho B)= \\ &=m_{\tilde f}(1,1) \operatorname{tr} (A^\unicode{8224}|\psi\rangle\langle\psi|B|\psi\rangle\langle\psi|)- \operatorname{tr} (|\psi\rangle\langle\psi|A^\unicode{8224}) \operatorname{tr} (|\psi\rangle\langle\psi|B)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (2) это дает $ \operatorname{Corr} _\rho^f(A,B)= \operatorname{Cov} _\rho(A,B)$ для любых операторов $A$ и $B$. Следовательно, в соответствии со структурой матриц $I_f(\rho,\{E_i\})$ и $ \operatorname{Cov} (\rho,\{E_i\})$ мы получаем $I_f(\rho,\{E_i\})= \operatorname{Cov} (\rho,\{E_i\})$ для любого чистого состояния $\rho$. Нетрудно видеть, что в силу предложения 2
$$
\begin{equation*}
0\leqslant I_f(\rho,\{E_i\})\leqslant \operatorname{Cov} (\rho,\{E_i\})\leqslant J_f(\rho,\{E_i\}),
\end{equation*}
\notag
$$
причем $I_f(\rho,\{E_i\})=0$, если и только если $[\rho,E_i]=0$ для любого $i$. Заметим также, что $ \operatorname{Cov} (\rho,\{E_i\})=0$, если и только если $V_\rho(E_i)=0$ для любого $i$, и это эквивалентно тому, что $\sqrt{\rho}E_i=E_i\sqrt{\rho}=( \operatorname{tr} (\rho E_i))\sqrt{\rho}$ для любого $i$ [44]. Если $E_i={\bf 1}/\sqrt{m}$ для любого $i$ или, эквивалентно, $\mathcal E$ – квантовый тождественный канал, то $J_f(\rho,\{E_i\})=0$. Теорема 1. Ковариационная матрица $ \operatorname{Cov} (\rho,\{E_i\})$ имеет следующие свойства: 1) $ \operatorname{Cov} (U\rho U^\unicode{8224},\{UE_i U^\unicode{8224}\})= \operatorname{Cov} (\rho,\{E_i\})$ для любой унитарной матрицы $U$; 2) $ \operatorname{Cov} (\rho,\{\widetilde E_i\})=V \operatorname{Cov} (\rho,\{E_i\})V^\unicode{8224}$, где $V$ – унитарный оператор, определяющийся так, что $\widetilde E_i=\sum_{k}v_{ik}E_k$ для любого $i$; 3) $ \operatorname{Cov} (\rho\otimes\sigma,\{E_i\otimes{\bf 1}\})= \operatorname{Cov} (\rho,\{E_i\})$ для любых квантовых состояний $\rho$ и $\sigma$; 4) $ \operatorname{Cov} (\rho,\{E_i\})$ вогнута в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Cov} \biggl(\sum_{j}p_j\rho_j,\{E_i\}\biggr)\geqslant\sum_{j}p_j \operatorname{Cov} (\rho_j,\{E_i\})
\end{equation*}
\notag
$$
для любого вероятностного распределения $\{p_j\}$ и любых состояний $\rho_j$; 5) пусть $p+q=1$, $p,q\geqslant 0$, тогда для любых квантовых каналов $\mathcal E$ и $\mathcal F$ с операторами Крауса $\{E_i\}$ и $\{F_j\}$ соответственно где $\{\sqrt{p}E_i\}\cup\{\sqrt{q}F_j\}$ – семейство операторов Крауса, ассоциированных с каналом $p\mathcal E+q\mathcal F$.Доказательство. Свойство 1 получается из определения ковариационной матрицы. Свойство 2 следует из того, что для всех $i$, $j$
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Cov} _\rho(\widetilde E_i,\widetilde E_j)= \operatorname{Cov} _\rho\biggl(\sum_{k}v_{ik}E_k,\sum_{k'}v_{jk'}E_{k'}\biggr)= \sum_{k,k'}v_{ik}^\ast v_{jk'} \operatorname{Cov} _\rho(E_k,E_{k'}).
\end{equation*}
\notag
$$
Для доказательства свойства 3 путем непосредственных вычислений получаем, что для всех $i$, $j$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Cov} _{\rho\otimes\sigma}(E_i\otimes{\bf 1},E_j\otimes{\bf 1})&= \frac{1}{2} \operatorname{tr} \bigl((\rho\otimes\sigma)((E_i^\unicode{8224}\otimes{\bf 1})(E_j\otimes{\bf 1})+(E_j\otimes{\bf 1})(E_i^\unicode{8224}\otimes{\bf 1}))\bigr)-{} \\ &\quad - \operatorname{tr} \bigl((\rho\otimes\sigma)(E_i^\unicode{8224}\otimes{\bf 1})\bigr) \operatorname{tr} \bigl((\rho\otimes\sigma)(E_j\otimes{\bf 1})\bigr)= \\ &=\frac{1}{2} \operatorname{tr} (\rho E_i^\unicode{8224} E_j\otimes\sigma +\rho E_jE_i^\unicode{8224}\otimes\sigma)- \operatorname{tr} (\rho E_i^\unicode{8224}\otimes\sigma) \operatorname{tr} (\rho E_j\otimes\sigma)= \\ &=\frac{1}{2} \operatorname{tr} (\rho(E_i^\unicode{8224} E_j +E_jE_i^\unicode{8224}))- \operatorname{tr} (\rho E_i^\unicode{8224}) \operatorname{tr} (\rho E_j)= \operatorname{Cov} _\rho(E_i,E_j). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Что касается свойства 4, то для любого столбца $X=(x_1,x_2,\ldots,x_m)^{\mathrm T}\in\mathbb{C}^m$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, X^\unicode{8224} \operatorname{Cov} (\rho,\{E_i^{}\})X&=\sum_{i,j} x_i^*x_j^{} \operatorname{Cov} _\rho(E_i^{},E_j^{})= \\ &= \operatorname{Cov} _\rho\biggl(\sum_{i}x_i^{}E_i^{},\sum_{j}x_j^{}E_j^{}\biggr)=V_\rho\biggl(\sum_{i}x_i^{}E_i^{}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из вогнутости дисперсии $V_\rho(A)$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, X^\unicode{8224}& \operatorname{Cov} \biggl(\sum_{j}p_j\rho_j,\{E_i\}\biggr)X=V_{\sum_{j}^{}p_j\rho_j}\biggl(\sum_{i}x_iE_i\biggr)\geqslant \\ &\geqslant\sum_{j}p_jV_{\rho_j}\biggl(\sum_{i}x_iE_i\biggr)= \sum_{j}p_j X^\unicode{8224} \operatorname{Cov} (\rho_j,\{E_i\})X=X^\unicode{8224}\sum_{j}p_j \operatorname{Cov} (\rho_j,\{E_i\})X. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Cov} \biggl(\sum_{j}p_j\rho_j,\{E_i\}\biggr)\geqslant\sum_{j}p_j \operatorname{Cov} (\rho_j,\{E_i\}).
\end{equation*}
\notag
$$
По свойству 3 имеем для всех $i$, $j$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Cov} _{\rho\otimes\sigma}(\sqrt{p}E_i\otimes{\bf 1},\sqrt{p}E_j\otimes{\bf 1})&=p \operatorname{Cov} _\rho(E_i,E_j), \\ \operatorname{Cov} _{\rho\otimes\sigma}(\sqrt{q}\,{\bf 1}\otimes F_i,\sqrt{q}\,{\bf 1}\otimes F_j)&= q \operatorname{Cov} _{\sigma}(F_i,F_j). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, для всех $i$, $j$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Cov} _{\rho\otimes\sigma}(\sqrt{p}E_i\otimes{\bf 1},&\sqrt{q}\,{\bf 1}\otimes F_j)= \sqrt{pq} \operatorname{Cov} _{\rho\otimes\sigma}(E_i\otimes{\bf 1},{\bf 1}\otimes F_j)= \\ &=\frac{1}{2}\sqrt{pq} \operatorname{tr} \bigl((\rho\otimes\sigma)((E_i^\unicode{8224}\otimes{\bf 1})({\bf 1}\otimes F_j)+({\bf 1}\otimes F_j)(E_i^\unicode{8224}\otimes{\bf 1}))\bigr)-{} \\ &\quad-\sqrt{pq} \operatorname{tr} \bigl((\rho\otimes\sigma)(E_i^\unicode{8224}\otimes{\bf 1})\bigr) \operatorname{tr} ((\rho\otimes\sigma)({\bf 1}\otimes F_j))=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда вытекает свойство 5. $\blacksquare$ Как частный случай свойства 2 в теореме 1 имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Cov} (\rho,\{E_{\Pi(i)}\})=P_\Pi \operatorname{Cov} (\rho,\{E_i\})P_\Pi
\end{equation*}
\notag
$$
для любой перестановки $\Pi$ множества из $m$ элементов, где $P_\Pi|i\rangle=|\Pi (i)\rangle$ для вычислительного базиса $\{|i\rangle\}$ пространства $\mathbb{C}^m$. Предложение 3. Матрица $C_f(\rho,\{E_i\})$ имеет следующие свойства: 1) $C_f(U\rho U^\unicode{8224},\{UE_i U^\unicode{8224}\})=C_f(\rho,\{E_i\})$ для любой унитарной матрицы $U$; 2) $C_f(\rho,\{\widetilde E_i\})=VC_f(\rho,\{E_i\})V^\unicode{8224}$, где $V$ – унитарный оператор и $\widetilde E_i=\sum_{k}v_{ik}E_k$ для любого $i$; 3) $C_f(\rho\otimes\sigma,\{E_i\otimes{\bf 1}\})=C_f(\rho,\{E_i\})$ для любых квантовых состояний $\rho$ и $\sigma$; 4) $C_{\tilde f}(\rho,\{E_i- \operatorname{tr} (\rho E_i){\bf 1}\})$ вогнута в том смысле, что для любого вероятностного распределения $\{p_j\}$ и любых состояний $\rho_j$. Доказательство. Поскольку для любого унитарного оператора $U$, если положить $\mathcal U(\rho)=U\rho U^\unicode{8224}$, $\mathcal U^\unicode{8224}(\rho)=U^\unicode{8224}\rho U$, мы имеем Свойство 2 можно проверить напрямую. Для доказательства свойства 3 положим
$$
\begin{equation*}
\rho=\sum_{l}\lambda_l|\phi_l\rangle\langle\phi_l|,\qquad\sigma=\sum_{k}\mu_k |\psi_k\rangle\langle\psi_k|,
\end{equation*}
\notag
$$
тогда
$$
\begin{equation*}
\rho\otimes\sigma=\sum_{l,k}\lambda_l\mu_k|\phi_l\rangle\langle\phi_l|\otimes|\psi_k\rangle\langle\psi_k|.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда для всех $i$, $j$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C_{\rho\otimes\sigma}^f&(E_i^{}\otimes{\bf 1},E_j^{}\otimes{\bf 1})= \operatorname{tr} ((E_i^\unicode{8224}\otimes{\bf 1})m_f^{}(L_{\rho\otimes\sigma}^{},R_{\rho\otimes\sigma}^{})(E_j^{}\otimes{\bf 1}))= \\ &=\smash{\sum_{l,l',k,k'}}m_f(\lambda_l\mu_k,\lambda_{l'}\mu_{k'})\times{}\vphantom{\big|^{|}} \\ &\qquad\qquad \times \operatorname{tr} ((E_i^\unicode{8224}\otimes{\bf 1}) (|\phi_l\rangle\langle\phi_l|\otimes|\psi_k\rangle\langle\psi_k|) (E_j\otimes{\bf 1})|\phi_{l'}\rangle\langle\phi_{l'}|\otimes|\psi_{k'}\rangle\langle\psi_{k'}|)=\vphantom{\big|^{|}} \\ &=\sum_{l,l',k,k'}m_f(\lambda_l\mu_k,\lambda_{l'}\mu_{k'}) \operatorname{tr} (E_i^\unicode{8224}|\phi_l^{}\rangle\langle\phi_l^{}|E_j^{}|\phi_{l'}^{}\rangle\langle\phi_{l'}^{}|) \operatorname{tr} (|\psi_k^{}\rangle\langle\psi_k^{}|\psi_{k'}^{}\rangle\langle\psi_{k'}^{}|)= \\ &=\sum_{l,l,k}m_f^{}(\lambda_l^{}\mu_k^{},\lambda_{l'}^{}\mu_k^{})\langle\phi_l^{}|E_j^{}|\phi_{l'}^{}\rangle \langle\phi_{l'}^{}|E_i^\unicode{8224}|\phi_l^{}\rangle= \\ &=\sum_{l,l'}\sum_{k}\lambda_l^{}\mu_k^{}f\biggl(\frac{\lambda_{l'}}{\lambda_l}\biggr)\langle\phi_l^{}|E_j^{}|\phi_{l'}^{}\rangle \langle\phi_{l'}^{}|E_i^\unicode{8224}|\phi_l^{}\rangle= \\ &=\sum_{l,l'}\lambda_l^{}f\biggl(\frac{\lambda_{l'}}{\lambda_l}\biggr)\langle\phi_l^{}| E_j^{}|\phi_{l'}^{}\rangle \langle\phi_{l'}^{}|E_i^\unicode{8224}|\phi_i^{}\rangle= \\ &=\sum_{l,l'}m_f^{}(\lambda_l^{},\lambda_{l'}^{})\langle\phi_l^{}| E_j^{}|\phi_{l'}^{}\rangle \langle\phi_{l'}^{}|E_i^\unicode{8224}|\phi_l^{}\rangle= C_\rho^f(E_i^{},E_j^{}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\rho=\sum_{i}p_i\rho_i$, $A_0=A- \operatorname{tr} (\rho A){\bf 1}$. Заметим, что выполнено равенство (4), поэтому с учетом вогнутости дисперсии $V_\rho(A)$ по $\rho$ и выпуклости метрически усовершенствованной косой информации $I_\rho^f(A)$ по $\rho$ [37] получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C_\rho^{\tilde f}(A_{0})&=V_{\sum_{i}p_i\rho_i}^{}(A)-I_{\sum_{i}p_i\rho_i}^f(A)\geqslant \\ &\geqslant\sum_{i}p_i^{}(V_{\rho_i}^{}(A)-I_{\rho_i}^f(A))=\sum_{i}p_i^{}C_{\rho_i}^{\tilde f}(A- \operatorname{tr} (\rho_i^{}A){\bf 1}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $C_\rho^{\tilde f}(A_{0})$ вогнута по $\rho$. Тогда для $\rho=\sum_{j}p_j\rho_j$ и для любого столбца $X=(x_1,x_2,\ldots,x_m)^{\mathrm T}\in\mathbb{C}^m$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, X^\unicode{8224} C_{\tilde f}&\biggl(\sum_{j} p_j\rho_j,\biggl\{E_i- \operatorname{tr} \biggl(\sum_{j}p_j\rho_jE_i\biggr){\bf 1}\biggr\}\biggr)X= \\ &=\sum_{k,l}x_k^{\ast}x_l^{}C_{\sum_{j}\!p_j\rho_j}^{\tilde f}(E_k^{}- \operatorname{tr} (\rho E_k^{}){\bf 1},E_l^{}- \operatorname{tr} (\rho E_l^{}){\bf 1})= \\ &=C_{\sum_{j}p_j\rho_j}^{\tilde f}\biggl(\sum_{k}x_k^{}(E_k^{}- \operatorname{tr} (\rho E_k^{}){\bf 1}),\sum_l x_l^{}(E_l^{}- \operatorname{tr} (\rho E_l^{}){\bf 1})\biggr)= \\ &=C_{\sum_{j}p_j\rho_j}^{\tilde f}\biggl(\sum_{k}x_k^{}E_k^{}- \operatorname{tr} \biggl(\sum_{j}p_j\rho_j\sum_{k} x_k E_k\biggr){\bf 1}\biggr)\geqslant \\ &\geqslant\sum_{j}p_j^{}C_{\rho_j}^{\tilde f}\biggl(\sum_{k}x_k^{}E_k^{}- \operatorname{tr} \biggl(\rho_j^{}\sum_{k}x_k^{}E_k^{}){\bf 1}\biggr)= \\^{} &=\sum_{j}p_j^{}C_{\rho_j}^{\tilde f}\biggl(\sum_{k}x_k^{}(E_k^{}- \operatorname{tr} (\rho_j^{}E_k^{}){\bf 1})\biggr)= \\ &=\sum_{j}p_j^{}\sum_{k,l}x_k^{\ast}x_l^{}C_{\rho_j}^{\tilde f}(E_k^{}- \operatorname{tr} (\rho_j^{}E_k^{}){\bf 1},E_l^{}- \operatorname{tr} (\rho_j^{}E_l^{}){\bf 1})= \\ &=X^\unicode{8224}\sum_{j}p_j C_{\tilde f}(\rho_j,\{E_k- \operatorname{tr} (\rho_jE_k){\bf 1}\})X, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует свойство 5. $\blacksquare$ Как частный случай свойства 2 в предложении 3 имеем
$$
\begin{equation*}
C_f(\rho,\{E_{\Pi(i)}\})=P_\Pi C_f(\rho,\{E_i\})P_\Pi
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $f\in{\mathcal F_{\mathrm{op}}}$ и любой перестановки $\Pi$. Кроме того, с учетом равенства (3) мы будем использовать вогнутость матриц $ \operatorname{Cov} (\rho,\{E_i\})$ и $C_{\tilde f}(\rho,\{E_i^0\})$, чтобы доказать вогнутость матрицы $J(\rho,\{E_i\})$ по $\rho$. Поэтому в свойстве 4 в предложении 3 вместо $f$ используется $\tilde f$. Теорема 2. Матрица $J_f(\rho,\{E_i\})$ имеет следующие свойства: 1) $J_f(U\rho U^\unicode{8224},\{UE_i U^\unicode{8224}\})=J_f(\rho,\{E_i\})$ для любой унитарной матрицы $U$; 2) $J_f(\rho,\{\widetilde E_i\})=VJ_f(\rho,\{E_i\})V^\unicode{8224}$, где унитарный оператор $V$ имеет $(i,k)$-й элемент, равный $v_{ik}^\ast$, а $\{\widetilde E_j\}$ – еще один набор операторов Крауса квантового канала $\mathcal E$ и $\widetilde E_i=\sum_{k}v_{ik}E_k$ для любого $i$; 3) $J_f(\rho\otimes\sigma,\{E_i\otimes{\bf 1}\})=J_f(\rho,\{E_i\})$ для любых квантовых состояний $\rho$ и $\sigma$; 4) $J_f(\rho,\{E_i\})$ вогнута в том смысле, что для любого вероятностного распределения $\{p_j\}$ и любых состояний $\rho_i$ справедливо неравенство Доказательство. Для доказательства свойства 1 заметим, что Свойство 2 вытекает из п. 2 предложения 2, п. 2 теоремы 1 и соотношения (11). Для доказательства свойства 3, применяя п. 3 теоремы 1, п. 3 предложения 3 и соотношение (14), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_{\rho\otimes\sigma}^f(E_i^{}\otimes{\bf 1},E_j^{}\otimes{\bf 1})&= \operatorname{Cov} _{\rho\otimes\sigma}^{}(E_i^{}\otimes{\bf 1},E_j^{}\otimes{\bf 1})+C_{\rho\otimes\sigma}^{\tilde f}(E_i^{}\otimes{\bf 1},E_j^{}\otimes{\bf 1})-{} \\ &\quad - \operatorname{tr} ((\rho\otimes\sigma)(E_i^\unicode{8224}\otimes{\bf 1})) \operatorname{tr} ((\rho\otimes\sigma)(E_j^{}\otimes{\bf 1}))= \\ &= \operatorname{Cov} _\rho^{}(E_i^{},E_j^{})+C_\rho^{\tilde f}(E_i^{},E_j^{})- \operatorname{tr} (\rho E_i^\unicode{8224}) \operatorname{tr} (\rho E_j^{})= \\ &= \operatorname{Cov} _\rho^{}(E_i^{},E_j^{})+C_\rho^{\tilde f}(E_i^0,E_j^0)=J_\rho^f(E_i^{},E_j^{}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Свойство 4 вытекает из п. 4 теоремы 1 и п. 4 предложения 3. $\blacksquare$ Свойства матрицы $I_f(\rho,\{E_i\})$ квантовой неопределенности обсуждались в работе [33]. В частности, $I_f(U\rho U^\unicode{8224},\{E_i\})=I_f(\rho,\{E_i\})$, если $U$ коммутирует с $E_i$ и $E_i^\unicode{8224}$. Особенно интересен случай $U=e^{-itH}$, $t\in\mathbb{R}$, когда состояние $\rho$ эволюционирует в $\rho_H(t)=e^{-itH}\rho e^{itH}$ согласно уравнению Ландау–фон Неймана. В этом случае $I_f(\rho_H(t),\{E_i\})=I_f(\rho,\{E_i\})$, где $H$ – эрмитов оператор, удовлетворяющий условиям $[E_i, H]=0$, $[E_i^\unicode{8224},H]=0$. Это означает, что квантовая неопределенность остается постоянной. В соответствии с базовыми свойствами ковариационной матрицы $ \operatorname{Cov} (\rho,\{E_i\})$, метрически усовершенствованной корреляционной матрицы $I_f(\rho,\{E_i\})$ и матрицы $J_f(\rho,\{E_i\})$ мы можем их рассматривать соответственно как матрицу полной неопределенности, матрицу классической неопределенности и матрицу квантовой неопределенности. Метрически усовершенствованная корреляционная матрица дополнительно имеет следующие свойства. Доказательство. Возьмем столбец $X=(x_1,x_2,\ldots,x_m)^{\mathrm T}\in\mathbb{C}^m$ и $m$ операторов Крауса канала $\mathcal E$, тогда В силу предложения 1 и аналогично доказательству предложения 4 имеем следующий результат. Предложение 5. Для любых $f\in\mathcal F^r_{\mathrm{op}}$, $A\in M_n(\mathbb{C})$ и $\rho\in M_{n,+,1}(\mathbb{C})$ справедливы неравенства Константа $1/2f(0)$ в неравенстве (15) является оптимальной. Поскольку неравенство $I_\rho^{f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{SLD} }}(A)\leqslant kI_\rho^f(A)$ не выполняется для любой матрицы $A$ и любого вещественного числа $k$, такого что $1\leqslant k<1/2f(0)$, отсюда следует, что не может быть выполнено неравенство $I_{f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{SLD} }}(\rho,\{E_i\})\leqslant kI_f(\rho,\{E_i\})$. В противном случае, если существует $k$, такое что $1\leqslant k<1/2f(0)$ и
$$
\begin{equation*}
I_{f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{SLD} }}(\rho,\{E_i\})\leqslant kI_f(\rho,\{E_i\}),
\end{equation*}
\notag
$$
то для всех $X=(x_1,x_2,\ldots,x_m)^{\mathrm T}\in\mathbb{C}^m$
$$
\begin{equation*}
X^\unicode{8224} I_{f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{SLD} }}(\rho,\{E_i\})X\leqslant kX^\unicode{8224} I_f(\rho,\{E_i\})X.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation*}
X^\unicode{8224} I_{f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{SLD} }}(\rho,\{E_i\})X=I_\rho^{f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{SLD} }}(\sum_{i}^{}x_iE_i),\qquad X^\unicode{8224} I_f(\rho,\{E_i\})X=I_\rho^f\biggl(\sum_{i}^{}x_iE_i\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует неравенство
$$
\begin{equation*}
I_\rho^{f_{ \scriptscriptstyle\mathrm{SLD} }}\biggl(\sum_{i}^{}x_iE_i\biggr)\leqslant kI_\rho^f\biggl(\sum_{i}x_iE_i\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
которое приводит к противоречию.
4. Применение матриц неопределенностиВ этом разделе мы представляем некоторые примеры использования матриц неопределенности с монотонными метриками для количественной оценки полной, классической и квантовой неопределенностей квантовых каналов и описания соотношений неопределенности. Мы вычисляем ковариационные матрицы и метрически усовершенствованные корреляционные матрицы для некоторых типичных квантовых каналов. Эти результаты могут способствовать более глубокому пониманию теоретико-информационных и геометрических характеристик квантовых каналов. 4.1. Полная, классическая и квантовая неопределенности квантовых каналовВведем семейство мер неопределенности через матрицы полной, классической и квантовой неопределенностей квантовых каналов. Рассмотрим канал $\mathcal E=\mathcal E(\rho)=\sum_{i}E_i\rho E_i^\unicode{8224}$ с операторами Крауса $\{E_i\}$, удовлетворяющими условию $\sum_{i} E_i^\unicode{8224} E_i={\bf 1}$. След ковариационной матрицы и следы матриц с операторными монотонными функциями равны
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, T(\rho,\mathcal E)&=2 \operatorname{tr} \operatorname{Cov} (\rho,\{E_i\})=2\sum_{i}V_\rho(E_i), \\ C_f(\rho,\mathcal E)&= \operatorname{tr} J_f(\rho,\{E_i\})=\sum_{i}J_\rho^f(E_i), \\ Q_f(\rho,\mathcal E)&= \operatorname{tr} I_f(\rho,\{E_i\})=\sum_{i}I_\rho^f(E_i). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, используя свойство 2 из предложения 2, имеем
$$
\begin{equation}
T(\rho,\mathcal E)=Q_f(\rho,\mathcal E)+ C_f(\rho,\mathcal E).
\end{equation}
\tag{16}
$$
Хотя представление Крауса для канала не является единственным, легко проверить, что $T(\rho,\mathcal E)$, $C_f(\rho,\mathcal E)$ и $Q_f(\rho,\mathcal E)$ не зависят от выбора операторов Крауса канала $\mathcal E$. Величина $T(\rho,\mathcal E)$ количественно характеризует полную неопределенность квантового канала $\mathcal E$ в квантовом состоянии $\rho$, величина $C_f(\rho,\mathcal E)$ – классическую неопределенность, а величина $Q_f(\rho,\mathcal E)$ – квантовую неопределенность, и ее можно рассматривать как меру когерентности состояний относительно канала [45]. Основные свойства полной неопределенности $T(\rho,\mathcal E)$ квантового канала $\mathcal E$ в квантовом состоянии $\rho$ следующие: 1) неотрицательность: $T(\rho,\mathcal E)\geqslant 0$, причем равенство достигается, если и только если $\sqrt{\rho}E_i=E_i\sqrt{\rho}=( \operatorname{tr} (\rho E_i))\sqrt{\rho}$ для любого $i$ [44]; 2) унитарная инвариантность: $T(U\rho U^\unicode{8224} ,U\mathcal E U^\unicode{8224})=T(\rho,\mathcal E)$ для любого унитарного оператора $U$ в гильбертовом пространстве системы; 3) вогнутость: $T(\rho,\mathcal E)$ вогнута по $\rho$; 4) независимость от вспомогательного канала: $T(\rho^a\otimes\rho^b,\mathcal E^a\otimes\mathcal{I}^b)=T(\rho^a,\mathcal E^a)$; 5) линейность: $T(\rho,a_1\mathcal E_1+a_2\mathcal E_2)=a_1T(\rho,\mathcal E_1)+a_2T(\rho,\mathcal E_2)$ при $a_1,a_2\geqslant 0$. Основные свойства классической неопределенности $C_f(\rho,\mathcal E)$ квантового канала $\mathcal E$ в квантовом состоянии $\rho$ следующие: 1) неотрицательность: $C_f(\rho,\mathcal E)\geqslant 0$; 2) унитарная инвариантность: $C_f(U\rho U^\unicode{8224},U\mathcal EU^\unicode{8224})=C_f(\rho,\mathcal E)$ для любого унитарного оператора $U$ в гильбертовом пространстве системы, где для $\mathcal E(\rho)=\sum_{i}E_i\rho E_i^\unicode{8224}$
$$
\begin{equation*}
U\mathcal E U^\unicode{8224}(\rho)=\sum_{i}(UE_iU^\unicode{8224})\rho(UE_i U^\unicode{8224})^\unicode{8224};
\end{equation*}
\notag
$$
3) вогнутость: $C_f(\rho,\mathcal E)$ вогнута по $\rho$; 4) независимость от вспомогательного канала: $C_f(\rho^a\otimes\rho^b,\mathcal E^a\otimes\mathcal{I}^b)=C_f(\rho^a,\mathcal E^a)$, где $\mathcal{I}^b$ – тождественный канал в системе $b$. Основные свойства квантовой неопределенности $Q_f(\rho,\mathcal E)$ квантового канала $\mathcal E$ в квантовом состоянии $\rho$ были представлены в работах [33], [45]. Рассмотрим пример кубита. Любое состояние кубита имеет следующее представление Блоха:
$$
\begin{equation*}
\rho=\frac{1}{2}(\mathbf 1+\vec{\mathbf r}\cdot\vec{\boldsymbol\sigma}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\vec{\mathbf r}=(r_1,r_2,r_3)\in{\mathbb{R}^3}$ – вектор Блоха квантового состояния $\rho$, $r=\sqrt{r_1^2+r_2^2+r_3^2}\,{\leqslant}\,1$, и вектор $\vec{\boldsymbol\sigma}=(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)$ составлен из матриц Паули $\sigma_i$. В вычислительном базисе $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
\rho=\frac{(1+r_3)|0\rangle\langle{0}|+(r_1-ir_2)|0\rangle\langle 1|+(r_1+ir_2)|1\rangle\langle{0}|+(1-r_3)|1\rangle\langle 1|}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Состояние $\rho$ имеет спектральное разложение $\rho=\lambda_1|\phi_1\rangle\langle\phi_1|+\lambda_2|\phi_2\rangle\langle\phi_2|$ с собственными значениями $\lambda_1=(1+r)/2$, $\lambda_2=(1-r)/2$ и соответствующими собственными векторами
$$
\begin{equation*}
|\phi_1\rangle=\frac{(r_1-ir_2)|0\rangle-(r_3-r)|1\rangle}{\sqrt{2r(r-r_3)}},\qquad |\phi_2\rangle=\frac{(r_1-ir_2)|0\rangle-(r_3+r)|1\rangle}{\sqrt{2r(r+r_3)}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда непосредственно находим
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Corr} _\rho^f(K_1,K_2)=\frac{r^2f(0)}{(1+r)f\bigl(\frac{1-r}{1+r}\bigr)}(\langle\phi_1|K_1^\unicode{8224}|\phi_2\rangle\langle\phi_2|K_2|\phi_1\rangle+ \langle\phi_2|K_1^\unicode{8224}|\phi_1\rangle\langle\phi_1|K_2|\phi_2\rangle).
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, при $K_1=K_2=K$ имеем
$$
\begin{equation}
I_\rho^f(K)=\frac{r^2f(0)}{(1+r)f\bigl(\frac{1-r}{1+r}\bigr)}(|\langle\phi_1|K|\phi_2\rangle|^2+|\langle\phi_2|K|\phi_1\rangle|^2).
\end{equation}
\tag{17}
$$
Пример 1: детерминированные квантовые вычисления с одним битом (DQC1). Модель DQC1 [46] можно интерпретировать как специальный квантовый канал $\mathcal E_{ \mathrm{DQC}1 }$ для однокубитной системы. Выходное квантовое состояние $\mathcal E_{ \mathrm{DQC}1 }(\rho)$ было получено в работе [47]: Пример 2: амплитудно-демпфирующий канал. Теперь рассмотрим амплитудно-демпфирующий канал (канал спонтанного излучения) в кубитной системе, Пример 3: фазово-демпфирующий канал. Фазово-демпфирующий канал в кубитной системе Пример 4: деполяризующий канал. Для такого канала Пример 5: канал, индуцированный слабыми измерениями. Для фиксированного $x\in[0,1/2]$ рассмотрим канал, индуцированный слабыми измерениями: Мы суммировали полученные результаты в табл. 1, чтобы интуитивно представить общую, классическую и квантовую неопределенности для вышеуказанных каналов в состоянии $\rho$. Таблица 1.Сравнение общей, классической и квантовой неопределенностей для характерных каналов. Здесь введено краткое обозначение $F(r)=f\bigl(\tfrac{1-r}{1+r}\bigr)$.
4.2. Соотношения неопределенностей для квантовых каналов, полученные с использованием монотонных метрикВ этом пункте мы выводим некоторые новые соотношения неопределенностей, используя неотрицательные матрицы неопределенности. Сначала кратко напомним некоторые соотношения неопределенностей. В работе [48] было получено следующее соотношение неопределенностей в терминах дисперсии $V_\rho(A)$:
$$
\begin{equation}
V_\rho(A)V_\rho(B)\geqslant\frac{1}{4}|\! \operatorname{tr} (\rho[A,B])|^2
\end{equation}
\tag{18}
$$
для любых несовместимых операторов $A$, $B$ и квантового состояния $\rho$. Если использовать обобщенную метрически усовершенствованную косую информацию $I_\rho^f(A)$ и величину $U_\rho^f(A)=\sqrt{V_\rho(A)^2-(V_\rho(A)-I_\rho^f(A))^2}$ как меру квантовой неопределенности оператора $A$ в квантовом состоянии $\rho$, то уточненное соотношение неопределенностей Гейзенберга для квантового состояния выглядит следующим образом [49]:
$$
\begin{equation}
I_\rho^f(A)I_\rho^f(B)\geqslant\big|\! \operatorname{Re} \{|\! \operatorname{Corr} _\rho^f|(A,B)\}\big|^2,
\end{equation}
\tag{19}
$$
где
$$
\begin{equation*}
|\! \operatorname{Corr} _\rho^f|(A,B)=\frac{ \operatorname{tr} (\rho A^\unicode{8224} B)+ \operatorname{tr} (\rho AB^\unicode{8224})- \operatorname{tr} (A^\unicode{8224} m_{\tilde f}(L_\rho,R_\rho)(B))- \operatorname{tr} (Am_{\tilde f}(L_\rho,R_\rho)(B^\unicode{8224}))}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $(x+1)/2+\tilde f(x)\geqslant 2f(x)$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U_\rho^f(A) U_\rho^f(B)&\geqslant 4f(0)\big||\! \operatorname{Corr} _\rho^f|(A,B)\big|^2, \\ U_\rho^f(A) U_\rho^f(B)&\geqslant f(0)\big|\! \operatorname{tr} (\rho[A,B])\big|^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, в работах [50], [51] были получены некоторые соотношения неопределенностей типа Шредингера в терминах метрически усовершенствованной косой информации, связанной с наблюдаемыми. Впоследствии в работе [52] эти соотношения были обобщены на неэрмитовы операторы. Такие соотношения неопределенностей являются обобщениями уточненного квантового соотношения неопределенностей в терминах косой информации Вигнера–Янасе [53]. Далее мы изучим несколько соотношений неопределенностей с точки зрения неотрицательности матриц неопределенности. Вследствие того, что метрически усовершенствованная корреляционная матрица, ковариационная матрица и матрица $J_f(\rho,\{E_i\})$ неотрицательны, $I_f(\rho,\{E_i\})\geqslant 0$ $ \operatorname{Cov} (\rho,\{E_i\})\geqslant 0$ и $J_f(\rho,\{E_i\})\geqslant 0$, любой главный минор этих матриц неотрицателен. Это естественным образом приводит к некоторым соотношениям неопределенностей. Например, в силу неотрицательности главного минора второго порядка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, V_\rho(E_i)V_\rho(E_j)&\geqslant|\! \operatorname{Cov} _\rho(E_i,E_j)|^2, \\ I_\rho^f(E_i)I_\rho^f(E_j)&\geqslant|\! \operatorname{Corr} _\rho^f(E_i,E_j)|^2, \\ J_\rho^f(E_i)J_\rho^f(E_j)&\geqslant|J_\rho^f(E_i,E_j)|^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
С помощью простых вычислений находим, что
$$
\begin{equation*}
\big|\! \operatorname{Re} \{|\! \operatorname{Corr} _\rho^f|(A,B)\}\big|= \bigg|\frac{1}{2} \operatorname{Corr} _\rho^f(A,B)+\frac{1}{2} \operatorname{Corr} _\rho^f(B,A)\bigg|= \big|\! \operatorname{Re} \{ \operatorname{Corr} _\rho^f(A,B)\}\big|,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что предыдущий результат (19) может быть усилен до второго соотношения неопределенностей в (20).
5. Краткие итогиВ представленной работе мы построили матрицы полной, классической и квантовой неопределенностей с помощью операторных монотонных функций и получили некоторые их основные свойства. Эти матрицы неопределенности содержат и генерируют больше информационного содержания квантовых каналов, чем предыдущие меры неопределенности. Мы вычислили матрицы неопределенности в явном виде для некоторых важных каналов, чтобы прояснить присущие каналам особенности. Используя неотрицательность матриц неопределенности, порождаемой квантовым каналом, мы установили некоторые новые соотношения неопределенностей, которые заслуживают дальнейшего изучения. Следует отметить, что заранее мы не знали, можно ли очевидным образом разложить полную неопределенность на классические или квантовые компоненты. Однако мы все-таки нашли такое разложение. Как итог, мы ввели три меры неопределенности $T(\rho,\mathcal E)$, $C_f(\rho,\mathcal E)$ и $Q_f(\rho,\mathcal E)$, индуцированные квантовым каналом $\mathcal E$, которые можно интерпретировать как полную, классическую и квантовую неопределенности. Эти меры удовлетворяют равенству
$$
\begin{equation*}
T(\rho,\mathcal E)=Q_f(\rho,\mathcal E)+C_f(\rho,\mathcal E).
\end{equation*}
\notag
$$
Данное разложение напоминает и в некоторой степени вдохновлено следующими результатами теории информации. • Полная неопределенность наблюдаемой величины в заданном состоянии разлагается на классическую и квантовую части [23]. • Наблюдаемая разлагается на классическую часть и часть квантовой флуктуации [54]. • Общая корреляция разлагается на классическую и квантовую части [55]–[57]. На основе этих количественных показателей неопределенности желательно дополнительно изучить их физические следствия и приложения в квантовой обработке информации. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{FanLiLuo24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|