Разностные уравнения Хироты

Дан обзор избранных вопросов теории билинейного разностного уравнения Хироты. Это трехмерное разностное уравнение замечательно тем, что оно дает канонические интегрируемые дискретизации для большинства важнейших солитонных уравнений. Как и в непрерывной теории, разностное уравнение Хироты принадлежит некоторой бесконечной иерархии. В основу изложения положена дискретная версия представления нулевой кривизны, которое записывается в виде разностных уравнений Захарова–Шабата для $M$-операторов, реализованных как разностные или псевдоразностные операторы. Предлагается единый подход к описанию различных типов $M$-операторов и вариантов представления нулевой кривизны. Рассмотрены различные двумерные редукции уравнения Хироты, среди них – разностные аналоги таких важных солитонных уравнений, как КдФ, sine-Гордон, цепочка Тоды, релятивистская цепочка Тоды. Детально разобраны эти и другие типичные примеры.