| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Об уравнении Хироты с самосогласованным источником А. Б. Хасановa, А. А. Рейимбергановb a Самаркандский государственный университет, Самарканд, Узбекистан b Ургенчский государственный университет, Ургенч, Узбекистан
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 221, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924110059 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеУравнение Хироты
$$
\begin{equation*}
iu_t+\alpha u_{xx}+i \beta u_{xxx}+3i \gamma |u|^2 u_{x}+ \delta |u|^2 u=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\delta$ – действительные константы, удовлетворяющие условию $\alpha\gamma=\beta\delta$, а $u$ – комплекснозначная функция переменных $x$ и $t$, было впервые введено в работе [1]. Это уравнение, имеющее широкий спектр применений, является наиболее часто используемой моделью в области нелинейной науки. Благодаря своим замечательным свойствам стабильности оптические солитоны уравнения Хироты играют важную роль в исследованиях распространения солитонов в оптических волокнах с учетом нелинейных эффектов высокого порядка, таких как дисперсия третьего порядка и процессы самообострения (увеличения крутизны волнового фронта) [2]. В механике океанической жидкости уравнение (1) также применялось для моделирования распространения глубоководных океанских широкополосных волн [3]. В случае, когда $\delta =\pm 2\alpha$ и $\gamma=\pm 2\beta$, уравнение Хироты сводится к уравнению вида
$$
\begin{equation}
iu_t+\alpha ( u_{xx}\pm 2|u|^2u)+i \beta (u_{xxx}\pm 6|u|^2 u_{x}) =0.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Уравнение (1) является вполне интегрируемым, поскольку представляет собой комбинацию комплексного модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза (мКдФ) и нелинейного уравнения Шреденгера (НУШ). В последние десятилетия для исследования различных решений уравнений Хироты использовались различные методы. Для исследования явных решений, включая многосолитонные решения, решения-бризеры, рациональные решения и решения типа волн-убийц, применялось преобразование Дарбу [3]–[7]. Периодические решения уравнения Хироты изучались различными методами, такими как обратный спектральный метод [8], [9] и преобразование Дарбу [10]. Солитонные решения уравнения Хироты (1) были получены с применением метода обратной задачи рассеяния [11]–[13]. Метод обратной задачи рассеяния всегда рассматривался как эффективный инструмент при изучении задачи Коши для нелинейных эволюционных уравнений. Этот метод был впервые применен Захаровым и Шабатом [14] для НУШ с нулевыми граничными условиями, когда решение обращается в нуль на бесконечности. Шабат [15] впервые использовал подход Римана–Гильберта применительно к НУШ. С тех пор метод обратной задачи рассеяния применялся во многих исследованиях. Этим методом был получен ряд результатов для уравнения мКдФ [16], [17]. Интегрируемые нелинейные уравнения с ненулевыми граничными условиями имеют многочисленные применения. Например, Захаров и Шабат [18] показали, что дефокусирующее НУШ с ненулевыми граничными условиями играет важную роль в оптике при изучении устойчивости монохроматических волн относительно самомодуляции. С тех пор как Захаров и Шабат [18] разработали метод обратной задачи рассеяния для дефокусирующего НУШ с ненулевыми граничными условиями на бесконечности, метод обратной задачи рассеяния был разработан для многих других интегрируемых систем с ненулевыми граничными условиями. Недавно в работе [19] был предложен эффективный подход к изучению обратной задачи рассеяния для дефокусирующего НУШ с ненулевыми граничными условиями на бесконечности, в котором обратные задачи были сформулированы как задачи Римана–Гильберта посредством определения переменных униформизации. После этого методом обратной задачи рассеяния были получены солитонные решения для дефокусирующего уравнения Хироты с ненулевыми граничными условиями [20]. Более того, солитонные решения дефокусирующего уравнения Хироты были изучены с помощью бинарного преобразования Дарбу [21] и метода $\bar{\partial}$-одевания [22]. Законы сохранения для дефокусирующего уравнения Хироты с ненулевыми граничными условиями были изучены в работе [23]. Хорошо известно, что применение метода обратной задачи рассеяния к уравнению Хироты (1) основано на задаче рассеяния для следующего оператора [20]:
$$
\begin{equation*}
L(t)=i \begin{pmatrix} \dfrac{\partial }{\partial x} & -u^* (x,t) \\ \pm u(x,t) & -\dfrac{\partial }{\partial x} \end{pmatrix}, \qquad t\geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $u(x,t)$ – потенциал, а звездочка означает комплексное сопряжение. В случае убывающих потенциалов: $u(x,t) \to 0$ при $x\to\pm\infty$, $t\geqslant 0$ спектральная задача для оператора $L(t)$ и связанные с ней прямое и обратное преобразования рассеяния были подробно изучены в литературе (см., например, [24]). Большое внимание было уделено изучению спектральной задачи для оператора $L(t)$ при условии $|u(x,t)| \to 1$ при $x\to\pm\infty$, $t\geqslant 0$. В частности, Тахтаджян и Фаддеев [25] изучили самосопряженный оператор $L(t)$ в случае, когда $u(x,t)-1$ принадлежит пространству Шварца, и показали, что только конечное число дискретных собственных значений принадлежит спектральной щели $(-1,1)$. Позднее Демонтис и др. [19] строго изучили обратную задачу рассеяния при более сильном предположении о затухании. Солитонные решения уравнения Хироты связаны с дискретными собственными значениями оператора $L(t)$, а именно: каждое собственное значение соответствует солитонному решению уравнения Хироты. При изучении уединенных волн, движущихся с непостоянными скоростями, важную роль играют нелинейные солитонные уравнения с самосогласованными источниками. В общем случае источники могут приводить к уединенным волнам, движущимся с непостоянной скоростью и вызывающим разнообразную динамику солитонных решений. В последние годы некоторые методы решения солитонных уравнений были использованы также для солитонных уравнений с самосогласованными источниками. Например, с помощью метода обратной задачи рассеяния Мельников [26] получил солитонные решения для НУШ с самосогласованными источниками. Солитонные решения для уравнения мКдФ были исследованы в работе [27], а для уравнения синус-Гордон – в работе [28]. Некоторые солитонные решения для НУШ с самосогласованными источниками и ненулевыми граничными условиями были получены методом обратной задачи рассеяния в работе [29]. В работе [30] изучаются решения неоднородного уравнения Хироты с самосогласованными источниками типа волны-убийцы высокого порядка. Настоящая статья посвящена интегрированию уравнения Хироты с самосогласованным источником и ненулевыми граничными условиями на бесконечности посредством метода обратной задачи рассеяния. Статья имеет следующую структуру. В разделе 2 представлена формулировка задачи. В разделе 4 выведена временна́я эволюция данных рассеяния, что дает возможность интегрировать уравнение Хироты посредством метода обратной задачи рассеяния, применяя теорию рассеяния для системы Захарова–Шабата, которая представлена в разделе 3. В разделе 5 показано, как получить солитонное решение задачи Коши, рассмотренной в разделе 2. Последний раздел содержит основные выводы. 2. Постановка задачиМы рассматриваем задачу Коши для дефокусирующего уравнения Хироты
$$
\begin{equation}
iu_t+\alpha(u_{xx}-2|u|^2u)+i\beta(u_{xxx}-6|u|^2 u_x)=2i\sum _{n=1}^{N}(f_{1,n}^* g_{1,n}^* +f_{2,n} g_{2,n} ),
\end{equation}
\tag{2a}
$$
$$
\begin{equation}
L(t)f_n =\xi _n f_n, \hphantom{,\qquad n=1,2,\dots,N}
\end{equation}
\tag{2b}
$$
с начальным условием Начальная функция $u_{0}(x)$ обладает следующими свойствами. 1. Функция $u_{0} (x)$ является гладкой и быстро убывает при $|x|\to \infty $; предполагается, что выполнено условие
$$
\begin{equation}
\int _{-\infty }^{0}(1-x) |u_{0} (x)-\rho e^{i\theta_{-} }|\,dx +\int _{0}^{\infty }(1+x) |u_{0} (x)-\rho e^{i\theta_{+} }|\,dx<\infty,
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $\theta_\pm $ – константы из интервала $(0, 2\pi)$, $\rho$ – вещественная положительная константа. 2. Система уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \end{pmatrix}_{x}=\begin{pmatrix} -i\xi & u^* _0(x)\\ u_{0}(x) & i\xi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{5}
$$
имеет в точности $N$ дискретных собственных значений $\xi_1, \xi_2,\dots,\xi_N$. Используя метод обратной задачи рассеяния, мы указываем способ построения решения $u(x,t)$, $f_n (x,t)=(f_{1,n}, f_{2,n})^\mathrm{T}$, $g_n (x,t)=(g_{1,n} ,g_{2,n})^\mathrm{T}$, $n=1,2,\dots,N$, системы (2) при следующих двух условиях. 1. Функции $f_n (x,t)=(f_{1,n},f_{2,n} )^\mathrm{T}$, $n=1,2,\dots,N$, являются решениями Йоста уравнения (2b), соответствующие собственным значениям $\xi _n $, $n=1,2,\dots,N$, вектор-функции $g_n (x,t)=(g_{1,n} ,g_{2,n})^\mathrm{T}$ являются линейно независимыми решениями уравнений (2c), для которых
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \int_{\infty}^{\infty}g_n ^\mathrm{T}(x,t)f_n ^* (x,t)\,dx&=v_n (t), \\ f_{1,n} g_{2,n} -f_{2,n} g_{1,n} &=w_n (t),&\qquad n&=1,2,\dots,N, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{6}
$$
где функции $v_n (t)$ и $w_n (t)$ – ненулевые непрерывные скалярные функции переменной $t$. 2. Функция $u(x,t)$ является достаточно гладкой и достаточно быстро стремится к пределам при $|x|\to \infty$, т. е. для всех $t\geqslant 0$ удовлетворяет условию
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int_{-\infty}^{0}(1-x)|u(x,t)-{}&\rho e^{i\theta_{-} - 2i\rho^2 \alpha t}|\,dx+\int _{0}^{\infty }(1+x)|u(x,t)-\rho e^{i\theta_{+} -2i\rho^2 \alpha t}|\,dx+{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad+\int _{-\infty }^{\infty }\sum _{k=1}^{3}\biggl|\frac{\partial ^{k} u(x,t)}{\partial x^{k} }\biggr|\, dx<\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
$$
В частном случае $\alpha =1$, $\beta = 0$ уравнение (2a) превращается в НУШ с самосогласованным источником, рассмотренное в работе [29], а в частном случае $\alpha =0$, $\beta = 1$ получаем из уравнения (2a) комплексное уравнение мКдФ с самосогласованным источником. 3. Предварительные сведенияПара Лакса служит основой для поиска явных решений с использованием метода обратной задачи рассеяния. Дефокусирующее уравнение Хироты (1) можно рассматривать как условие совместимости двух линейных систем и где $f:=(f_1, f_2)^\mathrm{T}$, $\xi$ – спектральный параметр и
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, X=X(x,\xi,t):=-i\xi\sigma_3+ U, \qquad U=U(x,t):= \begin{pmatrix} 0 & u^*(x,t) \\ u(x,t) & 0 \end{pmatrix}, \\ T=T(x,\xi,t):=\alpha T_\mathrm{NLS}+\beta T_\mathrm{mKdV}, \\ T_\mathrm{NLS}:=2i\sigma_3\xi^2-2U\xi+i\sigma_3(U^2-U_x), \\ T_\mathrm{mKdV}:=-2\xi T_\mathrm{NLS}-U_{xx}+2U^3+[U_x,U], \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
квадратные скобки – обычный матричный коммутатор, $\sigma_3$ – одна из матриц Паули, определенных как
$$
\begin{equation*}
\sigma_1 =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \sigma_2 =\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & \hphantom{-}0 \end{pmatrix}, \qquad \sigma_3 =\begin{pmatrix} 1 & \hphantom{-}0 \\0 & -1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим для вектор-функций $f_n=(f_{1,n}, f_{2,n})^\mathrm{T}$, $n=1,2,\dots,N$, линейное отображение $S$ вида
$$
\begin{equation*}
S\!: \begin{pmatrix} f_{1,n} \\ f_{2,n} \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} f_{2,n}^* \\ f_{1,n}^* \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
и предположим, что
$$
\begin{equation*}
f_{N+n}=Sf_n,\qquad g_{N+n}=Sg_n\qquad \text{для}\quad z_{N+n}=z_n^*,\quad n=1,2,\dots,N.
\end{equation*}
\notag
$$
Условие совместности пары Лакса (8) и (9), т. е. уравнение Лакса
$$
\begin{equation}
X_t - T_x + [X, T] = i \sum_{n=1}^{2N}[\sigma_3, H(f_n , g_n ) ]\varphi,
\end{equation}
\tag{10}
$$
эквивалентно системе (2). Здесь
$$
\begin{equation*}
H(f_n ,g_n )\equiv f_n (x,t)g^\mathrm{T}_n (x,t)\sigma_2=i\begin{pmatrix} f_{1,n} g_{2,n} & -f_{1,n} g_{1,n} \\ f_{2,n} g_{2,n} & -f_{2,n} g_{1,n} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим теперь задачу рассеяния (8) с потенциалом $u(x,t)$, удовлетворяющим условию (7). Заметим, что построение данных рассеяния из задачи на собственные значения и обратная задача рассеяния изучаются в фиксированное время $t$, т. е. $t$ является параметром. Поэтому в этом разделе мы опустим явную зависимость от времени во всех уравнениях. Изучение временно́й эволюции данных рассеяния – это отдельная задача, требующая использования нелинейного уравнения эволюции, которая не рассматривается в этом разделе. Рассмотрим матричные решения Йоста $f^\pm (x,\xi)$ системы (8), которые удовлетворяют граничным условиям где
$$
\begin{equation*}
E^\pm (x,\xi)=\begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{i u^* _\pm}{\xi+p } \\ \dfrac{i u_\pm}{\xi +p } & 1 \end{pmatrix} e^{-ip\sigma_3 x},
\end{equation*}
\notag
$$
$u_\pm=\rho e^{i\theta_\pm -2i\rho^2 \alpha t}$ и $p$ определяется соотношением Поскольку $\operatorname{Tr} X(x, \xi,t)=0$, то справедливо откуда следует, что $\operatorname{det} f^\pm (x,\xi)$ не зависит от $x$. Таким образом, мы получаем
$$
\begin{equation*}
\det f^\pm (x,\xi)=\lim_{x\to \pm \infty}\operatorname{det} f^\pm (x,\xi)=\operatorname{det} E^\pm (x,\xi)=\gamma(\xi),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma(\xi)=2p\rho ^{-2}(\xi -p) \neq 0$ при $\xi\neq \rho$. Функции $f^+ (x,\xi)$ и $f^- (x,\xi)$ суть два фундаментальных матричных решения уравнения (8), которые должны быть линейно зависимы. Существует матрица рассеяния $S(\xi)$ такая, что При изучении аналитических свойств функций Йоста встречаются некоторые трудности, возникающие из-за того, что функции Йоста зависят от неоднозначной функции $p(\xi)$. Действительно, как следует из (11), функция $p(\xi)$ двузначна и имеет две точки ветвления $\xi=\pm \rho$. Следовательно, для описания аналитических свойств решений Йоста необходимо оперировать двулистной римановой поверхностью для функции $p(\xi)$. Склеивая две копии комплексной плоскости $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ по полупрямым $\Sigma =(-\infty,-\rho]\cup [\rho ,\infty )$, мы получаем риманову поверхность. Затем можно определить $\operatorname{Im} p \geqslant 0$ на листе $\Gamma_1$ и $\operatorname{Im} p \leqslant 0$ на листе $\Gamma_2$. Для всех $\xi \in \Sigma $ ветвь квадратного корня определяется условием $\operatorname{sign} p(\xi )=\operatorname{sign} \xi$. Рассматривая структуру матрицы $X(x,\xi,t)$, можно увидеть, что она подчиняется инволюции
$$
\begin{equation*}
\bar{X}(x,\xi,t)=\sigma_1 X(x,\xi,t)\sigma_1,\qquad \xi \in \Sigma,
\end{equation*}
\notag
$$
что обуславливает следующую симметрию матричных решений Йоста:
$$
\begin{equation}
\bar{f}^\pm (x,\xi)=\sigma_1 f^\pm (x,\xi)\sigma_1,\qquad \xi \in \Sigma.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Согласно свойству (13) матричные решения Йоста $f^+ (x,\xi)$ и $f^- (x,\xi)$ можно представить как
$$
\begin{equation*}
f^+ (x,\xi)=(\bar{\psi }(x,\xi), \psi (x,\xi)), \qquad f^- (x,\xi)=(\varphi (x,\xi), \bar{\varphi }(x,\xi)).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (12) и (13), мы получаем симметрию матрицы рассеяния
$$
\begin{equation*}
\bar{S}(\xi)=\sigma_1 S(\xi)\sigma_1, \qquad \xi \in \Sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, матрица $S(\xi)$ представляется в виде
$$
\begin{equation*}
S(\xi)=\begin{pmatrix} a(\xi) & \bar{b}(\xi) \\ b(\xi) & \bar{a}(\xi) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Коэффициенты $a(\xi)$ и $b(\xi)$ называются коэффициентами рассеяния, коэффициент отражения определяется соотношением $r(\xi)\equiv b(\xi)/a(\xi)$. Чтобы избежать связанной с функцией $p(\xi)$ многозначности, введем переменную униформизации $z=\xi+p$ и получим две однозначные функции
$$
\begin{equation*}
\xi(z) =\frac{1}{2} \biggl(z+\frac{\rho^2 }{z} \biggr), \qquad p(z)=\frac{1}{2} \biggl(z-\frac{\rho^2 }{z} \biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
При таких определениях разрез на каждом листе отображается на вещественную ось комплексной $z$-плоскости; листы $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ римановой поверхности отображаются на верхнюю и нижнюю полуплоскости комплексной $z$-плоскости соответственно; окрестность точки $\xi = \infty$ на каждом листе отображается на окрестность точки $z = \infty$ или $z = 0$ в зависимости от знака $\operatorname{Im} \xi$. Отрезки $[-\rho ,\rho ]$ на листах $\Gamma_+$ и $\Gamma_-$ отображаются на верхнюю и нижнюю полуокружности радиуса $\rho$ с центром в начале координат $z$-плоскости. В терминах переменной $z$ для решений Йоста получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \psi (x,z)&\sim \begin{pmatrix} -\dfrac{i}{z } u^*_+ \\ 1 \end{pmatrix} e(x,z), \qquad x\to \infty, \\ \bar{\psi }(x,z)&\sim \begin{pmatrix} 1 \\ \dfrac{i}{z } u_+ \end{pmatrix} e(-x,z),\qquad x\to \infty, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \varphi (x,z)&\sim \begin{pmatrix} 1 \\ \dfrac{i}{z} u_- \end{pmatrix} e(-x,z) ,\qquad x\to -\infty, \\ \bar{\varphi }(x,z)&\sim \begin{pmatrix} -\dfrac{i}{z } u^*_- \\ \end{pmatrix} e(x,z),\qquad x\to -\infty, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
где $\psi (x,z)=\psi(x,\xi (z))$, $\varphi(x,z)=\varphi(x,\xi (z))$ и $e(x,z)=\exp{\left[\frac{i}{2} \left(z-\frac{\rho^2}{z} \right)x\right]}$. В случае $\operatorname{Im} z=0$ соотношение (12) может быть переписано в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\bar{\varphi }(x,z)=\bar{a}(z)\psi (x,z)+\bar{b}(z)\bar{\psi }(x,z),
\end{equation}
\tag{16b}
$$
где $a(z)=a(\xi (z))$, $b(z)=b(\xi (z))$. Применяя правило Крамера к системе (16) и учитывая асимптотическое поведение решений Йоста при $x \to \pm \infty$, получаем для коэффициентов рассеяния $a(z)$ и $b(z)$ следующие выражения:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a(z)=\frac{z^2}{z^2-\rho^2} \operatorname{det} (\varphi (x,z), \psi (x,z)), \\ b(z)=\frac{z^2}{z^2-\rho^2}\operatorname{det} (\bar{\psi }(x,z),\varphi (x,z)). \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{17}
$$
Более того, из (16) следует, что $\operatorname{det} S(z)=1$. Для изучения дискретного спектра обратной задачи рассеяния (8) нам необходимо проанализировать симметрии и аналитические свойства коэффициента рассеяния $a(z)$. Из определения величин $\xi(z)$ и $p(z)$ следует, что они обладают следующими симметриями: $\xi(z)=\xi(\rho^2/z)$ и $p(z)=-p(\rho^2/z)$. Согласно этим свойствам переменных $\xi(z)$ и $p(z)$ уравнение (8) допускает две инволюции: $z \to z^*$ и $z \to \rho^2/z$. На основании приведенных выше утверждений и с использованием того факта, что $\sigma_1 f^*(x,z)$ является решением системы (8), если таковым является $f(x,z)$, мы можем получить соотношения симметрии между функциями Йоста:
$$
\begin{equation}
\psi^* (x,z)=\sigma_{1}\bar{\psi}(x,z^*),\qquad \varphi^* (x,z)=\sigma_{1}\bar{\varphi}(x,z^* ),\qquad \operatorname{Im} z\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{18}
$$
$$
\begin{equation}
\psi(x,z)=\frac{iz u_{+}}{\rho^2}\bar{\psi}\biggl(x,\frac{\rho^2}{z}\biggr),\qquad \varphi(x,z)=-\frac{iz u_{-}^*}{\rho^2}\bar{\varphi}\biggl(x,\frac{\rho^2}{z}\biggr),\qquad \operatorname{Im} z\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Соответственно, из (18) и (19) можно получить симметрии коэффициентов рассеяния:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, a^* (z)=\bar{a}(z^*),\qquad a(z)=\bar{a}\biggl(\frac{\rho^2 }{z} \biggr)e^{i\theta},\qquad \operatorname{Im} z\geqslant 0, \\ b(z)=-\bar{b}\biggl(\frac{\rho^2 }{z} \biggr)e^{i\theta },\qquad \operatorname{Im} z=0. \notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{20}
$$
Коэффициент рассеяния $a(z)$ является аналитическим в полуплоскости $\operatorname{Im} z \geqslant 0$ и обладает следующим асимптотическим поведением:
$$
\begin{equation}
a(z)=1+O\biggl(\frac{1}{|z |} \biggr), \qquad z \to \infty,
\end{equation}
\tag{21}
$$
и Напомним, что $\theta =\theta_- -\theta_+$. Из аналитичности функции $a(z)$ в полуплоскости $\operatorname{Im} z \geqslant 0$ и из асимптотик (21), (22) следует, что функция $a(z)$ может иметь только конечное число нулей в полуплоскости $\operatorname{Im} z \geqslant 0$. В этой работе мы предполагаем, что начальное условие $u_0(x)$ выбрано так, что функция $a(z)$ имеет $N$ простых нулей $z_1, z_2, \dots, z_N$ на окружности $|z|=\rho$. Вследствие симметрии (20) нули функции $\bar{a}(z)$ находятся в точках $z^* _1, z^* _2, \dots, z^* _N$. Дискретный спектр задачи рассеяния (8) – это множество всех значений $\xi_n \in (-\rho, \rho)$, для которых собственные функции существуют в пространстве интегрируемых с квадратом двухкомпонентных векторно-значных функций $L^2(\mathbb{R}, C^2)$, где $\xi_n=\xi(z_n)$ для $\operatorname{Im} z_n> 0$, $n=1,2,\dots,N$ (более подробно см. [25], [19]). В терминах переменной униформизации $z$ дискретный спектр задается как
$$
\begin{equation*}
Z_\mathrm{d}=\{ z_{j}, z_{j}^* \}_{j=1}^N, \qquad |z_j|=\rho, \qquad \operatorname{Im} z_j > 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Принимая во внимание аналитические свойства функции $a(z)$ в верхней полуплоскости $\operatorname{Im} z>0$, мы получаем следующее представление:
$$
\begin{equation}
a(z)=\prod_{n=1}^{N}\frac{z-z_n}{z-z_n ^* } \exp\biggl[-\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty }^{\infty }\frac{\ln(1-|r(\zeta)|^2)}{\zeta-z}\,d\zeta \biggr].
\end{equation}
\tag{23}
$$
Переходя к пределу $z \to 0$ в (23) и используя асимптотическое поведение коэффициента рассеяния $a(z)$ в (22), можно получить следующее тета-условие:
$$
\begin{equation*}
e^{i\theta }=\prod_{n=1}^{N}\frac{z_n}{z_n ^* } \exp\biggl[-\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty }^{\infty }\frac{\ln(1-|r(\zeta)|^2)}{\zeta}d\zeta \biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, в отсутствие отражения имеем Так как $a(z)=0$ для $z=z_n $, $n=1,2,\dots,N$, из представления (17) следует, что существуют нормировочные константы $c_n$, $n=1,2,\dots,N$, такие, что где $\varphi_n (x)=\varphi (x,z_n)$, $\psi_n(x)=\psi (x,z_n)$.Обозначим через $\bar{\varphi}_n =(\varphi_{2,n}^*, \varphi_{1,n}^*)^\mathrm{T}$ решение системы (8), соответствующее $z_n^*$. Аналогично из условия $\bar{a}(z)=0$ при $z=z_n^*$, $n=1,2,\dots,N$, следует, что
$$
\begin{equation*}
\bar{\varphi }_n (x)=c_n^* \bar{\psi }_n (x),\qquad n=1,2,\dots,N.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что векторные функции
$$
\begin{equation}
h_n (x)=\frac{\frac{\partial }{\partial z} (\varphi (x,z)-c_n \psi (x,z))|_{z=z_n} }{\dot{a}(z_n)},\qquad n=1,2,\dots,N,
\end{equation}
\tag{24}
$$
являются решениями системы (8) при $\xi _n =\frac{1}{2} \left(z_n +\frac{\rho^2}{z_n } \right)$, $\operatorname{Im} z_n >0$. Здесь
$$
\begin{equation*}
\dot{a}(z_n)=-\frac{c_n u^*_+}{2z_n} \int_{-\infty}^{\infty}\|\psi _n (s)\|^2_{C^2}\, ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Из равенства (24) следует, что
$$
\begin{equation}
h_n (x)\sim -c_n \begin{pmatrix} -\dfrac{i}{z_n} u^*_- \\ 1 \end{pmatrix} e(x,z_n), \qquad x\to -\infty.
\end{equation}
\tag{25}
$$
Более того, в соответствии с (24) при $n = 1,2,\dots,N$ справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
\int_{\infty}^{\infty}h_n ^\mathrm{T}(x)\psi_n^* (x)\,dx=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Решение Йоста $\psi (x,z)$ системы (8) может быть представлено в следующем виде [25]:
$$
\begin{equation}
\psi (x,z)=\biggl[e(x,z)+\int _{x}^{\infty }\mathcal{K} (x,y)e(y,z)\,dy\biggr] \begin{pmatrix} -\dfrac{i }{z} u^*_+ \\ 1 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{26}
$$
где $\mathcal{K}(x,y)$ – $(2\times 2)$-матричная функция, которая должна удовлетворять уравнению Гельфанда–Левитана–Марченко:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{K}(x,y)+\mathcal{F}(x+y)+\int_{x}^{\infty}\mathcal{K}(x,s)\mathcal{F}(s+y)\,ds =0,\qquad y\geqslant x.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь функция $\mathcal{F}(x,t)$ определена как форма
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}(x,t)=\begin{pmatrix} F_{1} (x) & F_{2}^* (x) \\ F_{2} (x) & F_{1} (x) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_{1} (x)&=\frac{u_+}{4\pi i} \int _{-\infty}^{\infty}\frac{r(z)}{z} e(x,z)\,dz -\frac{1}{2} \sum _{n=1}^{N}\frac{c_n u^*_+}{\dot{a}(z_n )z_n} e(x,z_n),\\ F_{2} (x)&=\frac{1}{4\pi} \int _{-\infty}^{\infty}r(z) e(x,z)\,dz -\frac{1}{2} \sum _{n=1}^{N}\frac{ic_n}{\dot{a}(z_n)} e(x,z_n). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Компонента $K_{21}^{} (x,x)$ матрицы $\mathcal{K}(x,y)$ в представлении (26) связана с потенциалом следующим образом: В работе [25] было доказано, что потенциал $u(x)$ однозначно определяется по данным рассеяния.4. Временна́я эволюция данных рассеянияЕдинственность решений Йоста позволяет определить
$$
\begin{equation}
f_n (x,t)=\psi_n (x,t),\qquad f_{N+n} (x,t)=\bar{\psi}_n (x,t),\qquad n=1,2,\dots,N.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Поэтому существуют величины $\beta_n (t)$ и $\gamma_n (t)$, удовлетворяющие следующим равенствам:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, g_n (x,t)&=\beta_n (t)\varphi_n (x,t)+\gamma_n (t)h_n (x,t), \\ g_{N+n} (x,t)&=\beta_n^* (t)\bar{\varphi }_n (x,t)+\gamma_n^* (t)\bar{h}_n (x,t),\qquad n=1,2,\dots,N. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{28}
$$
Из (27) и (28) следует, что функции $f_n(x,t)$ и $g_n(x,t)$ имеют следующие асимптотики:
$$
\begin{equation}
f_n(x,t) \sim \frac{1}{c_n (t)}\begin{pmatrix} 1 \\ \dfrac{i }{z_n} u_{-} \end{pmatrix} e(-x,z_n) \qquad \text{при} \quad x\to -\infty,
\end{equation}
\tag{29}
$$
$$
\begin{equation}
g_n (x,t) \sim -c_n (t)\gamma_n (t) \begin{pmatrix} -\dfrac{i }{z_n} u^*_- \\ 1 \end{pmatrix} e(x,z_n) \qquad \text{при} \quad x\to -\infty,
\end{equation}
\tag{30}
$$
в которых величина $c_n (t)$ определяется равенством Согласно формулам (6), (27)–(30) при $n = 1,2,\dots,N$ выполняются следующие равенства:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \gamma _n (t) &=-\frac{z_n}{z_n -z_n^*} w_n (t), \\ \beta_n (t)&=-\frac{u_{+}^*}{2z_n\dot{a}(z_n,t)}v_n (t) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{31}
$$
и
$$
\begin{equation}
\operatorname{det}(g_n (x,t),h_n (x,t))=-\beta_n (t)c_n (t)\frac{z_n -z_n^*}{z_n}.
\end{equation}
\tag{32}
$$
Принимая во внимание (29) и (30), находим, что при $n = 1,2, \dots, N$ справедливы следующие асимптотики:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} H(f_n, g_n)&\to \frac{i w_n (t)}{z_n -z_n^*} \begin{pmatrix} z_n & - i u^*_- \\ i u_{-} & z^* _n \end{pmatrix} &\qquad \text{при} \quad &x\to -\infty, \\ H(Sf_n,Sg_n)&\to -\frac{i w_n (t) }{z_n -z_n^*} \begin{pmatrix} z_n & - i u^*_- \\ i u_{-} & z^* _n \end{pmatrix} &\qquad \text{при} \quad &x\to -\infty. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
H(f_n,g_n)+H(Sf_n,Sg_n) \to 0 \qquad \text{при} \quad x\to -\infty.
\end{equation}
\tag{33}
$$
Пусть $\varphi = \varphi(x, \xi,t)$ – решение Йоста системы (8). Тогда функция $f=\varphi_t-T\varphi$ удовлетворяет уравнению
$$
\begin{equation}
f_x-Xf=i \sum _{n=1}^{2N}[\sigma _3, H(f_n, g_n) ]\varphi.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Действительно, продифференцировав систему (8) по времени $t$, имеем Используя (8) и (10), получаем
$$
\begin{equation*}
(\varphi_t-T\varphi)_x-X(\varphi_t-T\varphi)= i \sum _{n=1}^{2N}[\sigma _3, H(f_n, g_n) ]\varphi.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем искать решение уравнения (34) в виде В силу (15) имеем следующие асимптотические соотношения при $x \to -\infty$:
$$
\begin{equation*}
f \sim -i(\alpha\rho^2 +(2\alpha\xi +6\beta \rho^2)p +4\beta p^{3})\begin{pmatrix} 1 \\ \dfrac{i }{z} u_{-} \end{pmatrix} e(-x,z).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому из (35) следует, что
$$
\begin{equation}
c_{1}(x) \to 0, \qquad c_{2}(x) \to -i(\alpha\rho^2 +(2\alpha\xi +6\beta \rho^2)p +4\beta p^{3} ), \qquad x \to -\infty.
\end{equation}
\tag{36}
$$
Чтобы определить $c_1(x)$ и $c_2(x)$, используем уравнение
$$
\begin{equation}
c'_{1}(x)\psi+c'_{2}(x) \varphi= i \sum _{n=1}^{2N}[\sigma_3, H(f_n, g_n) ]\varphi.
\end{equation}
\tag{37}
$$
Решаем это уравнение и в соответствии с (17) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, c'_{1}(x)&=-\frac{z^2}{a(z)(z^2-\rho^2)}\varphi^\mathrm{T} \sigma_2 \sum _{n=1}^{2N}[\sigma_3, H(f_n, g_n) ]\varphi, \\ c'_{2}(x)&=\frac{ z^2}{a(z)(z^2-\rho^2)}\psi^\mathrm{T} \sigma_2 \sum _{n=1}^{2N}[\sigma_3, H(f_n, g_n) ]\varphi. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{38}
$$
Решая эти уравнения, в соответствии с (33) и (36) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, c_{1}(x)={}&-\frac{z^2}{a(z)(z^2-\rho^2)}\int_{-\infty}^{x}\varphi^\mathrm{T} \sigma_{2} \sum_{n=1}^{2N}[\sigma_3, H(f_n, g_n) ]\varphi\, dx, \\ c_{2}(x)={}&\frac{z^2}{a(z)(z^2-\rho^2)}\int_{-\infty}^{x}\psi^\mathrm{T} \sigma_{2} \sum _{n=1}^{2N}[\sigma_3, H(f_n, g_n) ]\varphi\, dx-{} \\ &-i(\alpha\rho^2 +(2\alpha\xi +6\beta \rho^2)p +4\beta p^{3}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{39}
$$
Пусть $\phi(x, \xi,t)$ – некоторое решение системы (8). Тогда нетрудно показать, что функции $f_n(x,t)$ и $g_n(x,t)$ удовлетворяют следующим равенствам:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{d}{dx}(\phi^\mathrm{T}(x, \xi,t)\sigma_{2}f_n(x,t))+(\xi-\xi_n)\phi^\mathrm{T}(x, \xi,t)\sigma_{1}f_n(x,t)=0,\\ &\frac{d}{dx}(g_n^\mathrm{T}(x, t)\sigma_{2}\phi(x, \xi, t))-(\xi-\xi_n)g_n^\mathrm{T}(x,t)\sigma_{1}\phi(x, \xi,t)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
На основании вышеизложенного интегралы в (39) вычисляются следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, i \int_{-\infty}^{x}\varphi^\mathrm{T} \sigma_{2} & \sum_{n=1}^{2N}[\sigma_3, H(f_n, g_n) ]\varphi\, dx =\int_{-\infty}^{x} \sum_{n=1}^{2N}\{\varphi^\mathrm{T} \sigma_{2}f_n g_n^\mathrm{T} \sigma_1\varphi-\varphi^\mathrm{T} \sigma_{1}f_n g_n^\mathrm{T} \sigma _{2}\varphi\}\, dx={}\\ &=\int_{-\infty}^{x} \sum_{n=1}^{2N}\frac{1}{\xi-\xi_n}\biggl\{\varphi^\mathrm{T} \sigma_{2}f_n \frac{d}{dx}(g_n^\mathrm{T}\sigma_{2}\varphi)+\frac{d}{dx}(\varphi^\mathrm{T}\sigma_{2}f_n) g_n^\mathrm{T} \sigma _{2}\varphi\biggr\}\, dx={}\\ & =\int_{-\infty}^{x} \sum_{n=1}^{2N}\frac{1}{\xi-\xi_n}\frac{d}{dx}(\varphi^T\sigma_{2}f_n g_n^\mathrm{T}\sigma_{2}\varphi) \, dx = \varphi^\mathrm{T}\sigma_{2}\sum_{n=1}^{2N}\frac{H(f_n, g_n)}{\xi-\xi_n}\varphi, \\ i\int_{-\infty}^{x}\psi^\mathrm{T} \sigma_{2} & \sum _{n=1}^{2N}[\sigma_3, H(f_n, g_n) ]\varphi\, dx=\psi^\mathrm{T}\sigma_{2}\sum_{n=1}^{2N}\frac{H(f_n, g_n)}{\xi-\xi_n}\varphi. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, с учетом выражений (39) уравнения временно́й эволюции для решений Йоста $\varphi(x,\xi,t)$ находятся в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\varphi_{t}-T\varphi=\sum_{n=1}^{2N}\frac{H(f_n, g_n)}{\xi-\xi_n} \varphi -i(\alpha\rho^2 +(2\alpha\xi +6\beta \rho^2 )p +4\beta p^{3}) \varphi.
\end{equation}
\tag{40}
$$
Аналогично, принимая во внимание асимптотические выражения (14), находим временну́ю эволюцию решений Йоста $\psi(x,\xi,t)$ и $\bar\psi(x,\xi,t)$ следующего вида:
$$
\begin{equation}
\psi_{t}-T\psi=\sum_{n=1}^{2N}\frac{H(f_n, g_n)}{\xi-\xi_n} \psi +i(\alpha\rho^2 +(2\alpha\xi +6\beta \rho^2 )p +4\beta p^{3}) \psi,
\end{equation}
\tag{41a}
$$
$$
\begin{equation}
\bar\psi_{t}-T\bar\psi=\sum_{n=1}^{2N}\frac{H(f_n, g_n)}{\xi-\xi_n} \bar\psi -i(\alpha\rho^2 +(2\alpha\xi +6\beta \rho^2 )p +4\beta p^{3}) \bar\psi.
\end{equation}
\tag{41b}
$$
Дифференцируя (16a) по времени $t$ и учитывая временну́ю эволюцию решений Йоста (40) и (41), получаем
$$
\begin{equation*}
a_{t} (z,t)\bar{\psi }+b_{t} (z,t)\psi =-2i(\alpha\rho^2 +(2\alpha\xi +6\beta \rho^2 )p +4\beta p^{3} )\psi.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда мы можем получить следующие дифференциальные уравнения для коэффициентов рассеяния $a(\xi,t)$ и $b(\xi,t)$ относительно $t$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_{t} (z,t)&=0,\\ b_{t} (z,t)&=-2i(\alpha\rho^2 +(2\alpha\xi +6\beta \rho^2 )p +4\beta p^{3})b(z,t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, временна́я зависимость коэффициентов рассеяния $a(z,t)$ и $b(z,t)$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a(z,t)&=a(z,0), \\ b(z,t)&=b(z,0) \exp(-2i(\alpha\rho^2 +(2\alpha\xi +6\beta \rho^2 )p +4\beta p^{3} )t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку функция $a(z,t)$ не зависит от $t$, мы делаем заключение, что ее нули $z_n$, $n=1, 2, \dots,N$, также не зависят от $t$. Определим, наконец, временну́ю зависимость нормировочных констант $c_n (t)$, $n=1,2,\dots,N$. Мы знаем, что $\varphi _{m} (x,t)$ – решение Йоста системы (8), т. е. Дифференцируя (42) по времени $t$, получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial \varphi _{m} }{\partial t} =\frac{dc_{m} }{dt} \psi _{m} +c_{m} \frac{\partial \psi _{m} }{\partial t},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\frac{\partial \varphi _{m} }{\partial t} = \frac{\partial \varphi }{\partial t} |_{z=z_{m}}$. Принимая во внимание (40) и (41a) при $\operatorname{Im} z_m>0$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\partial \varphi_{m} }{\partial t} ={}& T(x, \xi _{m},t)\varphi _{m} +\sum_{{}^{n=1}_{n\ne m}}^{2N}\frac{2z_{m} H(f_n,g_n) }{(z_{m} -z_n)(z_{m} -z_n^*) } \varphi _{m}+{} \\ & +\frac{2z_{m} }{z_{m} -z_{m}^*} (H(f_{m},g_{m} )+H(Sf_{m},Sg_{m} ))\frac{\partial \varphi _{m} }{\partial z}-{} \\ & -i(\alpha\rho^2 +(2\alpha\xi_{m} +6\beta \rho^2 )p_{m} +4\beta p^{3}_{m} )\varphi_{m}, \\ \frac{\partial \psi _{m} }{\partial t}={}& T(x, \xi _{m}, t)\psi_{m} +\sum_{{}^{n=1}_{n\ne m}}^{2N}\frac{2z_{m} H(f_n,g_n) }{(z_{m} -z_n)(z_{m} -z_n^*) } \psi_{m}+{} \\ & +\frac{2z_{m} }{z_{m} -z_{m}^*} (H(f_{m},g_{m} )+H(Sf_{m},Sg_{m} ))\frac{\partial \psi_{m} }{\partial z} +{} \\ & +i(\alpha\rho^2 +(2\alpha\xi_{m} +6\beta \rho^2 )p_{m} +4\beta p^{3}_{m} )\psi_{m}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial \varphi _{m} }{\partial z} = \frac{\partial \varphi }{\partial z} \bigg|_{z=z_{m}}, \qquad \xi_m=\frac{1}{2} (z_m+z^*_m), \qquad p_m=\frac{1}{2} (z_m-z^*_m).
\end{equation*}
\notag
$$
Из приведенных выше равенств следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{dc_{m} }{dt} \psi _{m} ={}& \frac{\partial \varphi _{m} }{\partial t} -c_{m} \frac{\partial \psi _{m} }{\partial t}=\frac{2z_{m} \dot{a}(z_{m},t)}{z_{m} -z_{m}^*} (H(f_{m},g_{m} )+H(Sf_{m},Sg_{m}))h_{m} (x,t)-{} \\ &-2i(\alpha\rho^2 +(2\alpha\xi_{m} +6\beta \rho^2 )p_{m} +4\beta p^{3}_{m})c_{m} \psi_{m}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом (27), (28) и (32) это уравнение можно переписать в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
\frac{dc_{m} }{dt} \psi_{m} =-2i(\dot{a}(z_{m} ,t)(\beta_{m}(t) + \beta_{m}^* (t) ) +\alpha\rho^2 +2(\alpha\xi_{m} +3\beta \rho^2 )p_{m} +4\beta p^{3}_{m})c_{m} \psi_{m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому окончательно имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{dc_{m} }{dt} =-2i(\dot{a}(z_{m},t)(\beta_{m}(t) + \beta_{m}^* (t) ) +\alpha\rho^2 +2(\alpha\xi_{m} +3\beta \rho^2 )p_{m} +4\beta p^{3}_{m})c_{m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы доказали следующую теорему. Теорема 1. Если функции $u(x,t),$ $f_n (x,t)$, $g_n(x,t)$, $n=1, 2, \dots,N$, суть решение задачи (2)–(7), то данные рассеяния системы (8) удовлетворяют следующим соотношениям: где $\beta_n (t)=-\frac{v_n (t)u_{+}^*}{2z_n\dot{a}(z_n,t)}$ и Применение метода обратной задачи рассеяния к системе (2) состоит из трех этапов. Сначала путем решения прямой задачи рассеяния для заданной начальной функции $u_0(x)$ находятся данные рассеяния $\{ a(z,0),b(z,0), z_n (0), \operatorname{Im} z_n (0) >0, c_n (0), n=1,2,\dots, N\}$ системы (5). Затем на основе результатов теоремы 1 строится временна́я эволюция этих данных рассеяния. Наконец, для эволюционирующих во времени данных рассеяния решается обратная задача рассеяния и находится потенциал $u(x, t)$, который является решением системы (2). 5. ПримерПусть начальная функция $u_{0} (x)$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
u_{0} (x)=(1+i)\operatorname{ch} \biggl(x-\frac{\pi}{4}i\biggr)\operatorname{sch}(x) .
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае, решая прямую задачу рассеяния для системы (5), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a(z,0)&=\frac{z-1-i }{z-1+i},\qquad b(\xi,0)=0, \\ z_{1} (0)&=1+i, \qquad c_{1} (0)=-\frac{1-i}{\sqrt{2}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя теорему 1, можно показать, что данные рассеяния эволюционируют следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a(z, t)&=\frac{z-1-i }{z-1+i}, \qquad b(z, t)=0, \qquad z_{1} (t)=1+i, \\ c_{1} (t)&=-\frac{1-i}{\sqrt{2}} \exp(-4i\alpha t +2\omega_{1}(t)), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\omega_1(t)=(2\alpha+8\beta)t -\frac{1}{2}\int _{0}^t (v_{1} (\tau)+v_{1}^* (\tau ))\, d\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Решая обратную задачу рассеяния, находим
$$
\begin{equation*}
u(x,t)=(1+i) e^{-4i\alpha t} \operatorname{ch}\biggl(x-\frac{\pi}{4}i-\omega_1(t)\biggr) \operatorname{sch}(x-\omega_1(t)).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя представление (26), получаем
$$
\begin{equation*}
f_{1}(x,t) = \frac{1}{2}e^{-\omega_1(t)} \begin{pmatrix} -\dfrac{1+i}{\sqrt{2}} e^{4i\alpha t} \\ 1 \end{pmatrix} \operatorname{sch}(x-\omega_{1}(t)).
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью равенства (30) имеем окончательно
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_{1}(x,t) ={}&v_{1}(t)e^{2\omega_1(t)}f_{1}(x,t)-{} \\ & -\frac{\sqrt{2}}{2}w_{1}(t) \begin{pmatrix} \operatorname{ch}\left(2x-2\omega_{1}(t)-\dfrac{\pi}{4}i\right) \\ \dfrac{1-i}{\sqrt{2}} e^{-4i\alpha t}\operatorname{ch}\left(2x-2\omega_{1}(t)+\dfrac{\pi}{4}i\right) \end{pmatrix} e^{\omega_{1}(t)}\operatorname{sch}(x-\omega_{1}(t))+{} \\ & +i w_{1}(t)\biggl(x\sigma_3 -\frac{i}{2}\biggr) \begin{pmatrix} 1 \\ \dfrac{1-i}{\sqrt{2}} e^{-4i\alpha t} \end{pmatrix} e^{\omega_1(t)}\operatorname{sch}(x-\omega_{1}(t)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
6. ЗаключениеВ настоящей работе получены равенства, выражающие эволюцию данных рассеяния для самосопряженной системы Захарова–Шабата (8), где потенциал $u(x,t)$ является решением дефокусирующего уравнения Хироты с самосогласованным источником (2). Эти равенства полностью задают эволюцию данных рассеяния и позволяют применить метод обратной задачи рассеяния для решения задачи (2)–(7). Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KhaRey24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|