| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О некоторых линейных уравнениях, связанных с бездисперсионными интегрируемыми системами Л. В. Богданов Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 221, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924100015 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеНедавно была предложена схема матричного расширения пар Лакса бездисперсионных интегрируемых систем (см. статью [1] и цитируемую в ней литературу), которая приводит к матричным уравнениям на фоне первоначальной бездисперсионной системы. В некоторых важных случаях бездисперсионные интегрируемые системы описывают геометрические структуры (автодуальные конформные структуры, геометрию Эйнштейна–Вейля [2]), в этих случаях схема матричного расширения дает уравнения для калибровочных полей на соответствующем геометрическом фоне (см. [3]–[5]). В настоящей работе мы более детально развиваем некоторые наблюдения, сделанные в статье [1] относительно абелева случая матричной схемы расширения. В этом случае уравнения расширения становятся линейными, в наших примерах они могут быть представлены как действие линейного дифференциального оператора второго порядка (с коэффициентами, определяемыми через решения базовой бездисперсионной интегрируемой системы) на скалярную функцию. Тем не менее эти уравнения могут быть интересны по нескольким причинам. Во-первых, в трех и четырех измерениях, где имеется интерпретация уравнений в терминах калибровочных полей, абелев случай соответствует электромагнитным полям на геометрическом фоне и может быть интересен сам по себе. Во-вторых, возникающие линейные операторы связаны с линеаризацией базовых бездисперсионных уравнений и могут быть полезны для изучения устойчивости решений и сингулярностей в этих уравнениях. Например, для второго небесного уравнения линейный оператор абелева расширения в точности совпадает с оператором линеаризации уравнения. И наконец, в-третьих, общее решение уравнений расширения в абелевом случае может быть найдено явно через волновые функции пары Лакса. В работе [1] это было сделано с использованием схемы одевания, но здесь мы не будем ее использовать, ограничившись достаточно элементарными средствами. Основные примеры в настоящей работе включают уравнения автодуальной конформной структуры (АДКС) и систему Манакова–Сантини, которая описывает пространства Эйнштейна–Вейля. Для удобства читателя мы приводим базовую информацию о схеме матричного расширения и геометрических структурах в приложениях A–C. 2. Абелево расширение уравнений АДКСРассмотрим пару Лакса [6]
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, X_1&=\partial_z-\lambda\partial_x +F_x\partial_x+G_x\partial_y+ f_x\partial_\lambda, \\ X_2&=\partial_w- \lambda\partial_y + F_y\partial_x+G_y\partial_y+f_y\partial_\lambda. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1}
$$
Уравнения коммутации для этой пары Лакса дают систему трех уравнений в частных производных второго порядка на функции $F$, $G$, $f$
$$
\begin{equation}
\begin{cases} Q(F)&=f_y, \\ Q(G)&=-f_x, \\ Q(f)&=0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2}
$$
где линейный оператор второго порядка $Q$ задается как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Q&=(\partial_w+F_y\partial_x+G_y\partial_y)\partial_x+(\partial_z+F_x\partial_x+G_x\partial_y)\partial_y={} \notag \\ &=\partial_w\partial_x-\partial_z\partial_y+F_y{\partial_x}^2-G_x{\partial_y}^2- (F_x-G_y)\partial_x\partial_y. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3}
$$
Систему (2) можно переписать в виде системы уравнений в частных производных третьего порядка на функции $F$, $G$,
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \partial_x(Q(F))+\partial_y(Q(G))=0, \\ (\partial_w+F_y\partial_x+G_y\partial_y)Q(G)+(\partial_z+F_x\partial_x+G_x\partial_y)Q(F)=0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4}
$$
в такой форме она была введена в работе [2] в связи с автодуальными конформными структурами (см. приложение B). Скалярное расширение пары Лакса (1) (см. также приложение A)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \nabla_{X_1}&=\partial_z-\lambda\partial_x +F_x\partial_x+G_x\partial_y+ f_x\partial_\lambda + a_1, \\ \nabla_{X_2}&=\partial_w- \lambda\partial_y + F_y\partial_x+G_y\partial_y+f_y\partial_\lambda + a_2 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
порождает линейное уравнение на потенциал $\phi$, $a_1=\partial_x\phi$, $a_2=\partial_y\phi$,
$$
\begin{equation}
Q\phi:=(\partial_w\partial_x-\partial_z\partial_y+F_y{\partial_x}^2-G_x{\partial_y}^2- (F_x-G_y)\partial_x\partial_y)\phi=0.
\end{equation}
\tag{5}
$$
2.1. Решение через волновые функцииВ работе [1] с использованием схемы одевания построено общее решение линейного уравнения (5). Эту формулу легко получить непосредственно из бездисперсионной пары Лакса. Действительно, перекрестное дифференцирование по $y,x$ линейных уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (\partial_z-\lambda\partial_x +F_x\partial_x+G_x\partial_y+ f_x\partial_\lambda)\Psi&=0, \\ (\partial_w- \lambda\partial_y + F_y\partial_x+G_y\partial_y+f_y\partial_\lambda)\Psi&=0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
$$
приводит к соотношению
$$
\begin{equation}
((\partial_w+F_y \partial_x + G_y\partial_y )\partial_x- (\partial_z+ F_x \partial_x + G_x\partial_y)\partial_y )\Psi =\partial_\lambda(f_x\partial_y - f_y\partial_x ) \Psi.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Интегрирование правой части по $\lambda$ по замкнутому контуру дает ноль, таким образом, и выражение дает решение линейного уравнения (5) для произвольной волновой функции (аналитической в окрестности контура или заданной в терминах формальных рядов Лорана). Линейные уравнения (6) имеют три базисные волновые функции $\Psi^0$, $\Psi^1$, $\Psi^2$ [6], и общая волновая функция представляется как где $f$ – произвольная аналитическая функция. Таким образом, решение (8) обладает функциональной свободой, задаваемой функцией трех переменных, которая соответствует общему решению линейного уравнения (5) (мы не претедуем на утверждение о том, что любое решение представляется в таком виде, хотя оно кажется вполне вероятным). В случае тривиального фона
$$
\begin{equation*}
(\partial_w\partial_x -\partial_z\partial_y)\phi=0, \qquad \phi=\frac{1}{2\pi i}\oint f(\lambda, \lambda z +x,\lambda w + y)\, d\lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
В этой формуле легко узнать версию формулы Пенроуза для решений волнового уравнения [7] в случае нейтральной сигнатуры. Рассматривая линеаризацию системы АДКС (2) (или (4)), замечаем, что оператор $Q$ входит в состав главной части линеаризованных уравнений как множитель. 2.2. Редукции системы уравнений АДКССначала рассмотрим редукцию, сохраняющую объем, которая приводит к системе Дунайского [8]. Эта редукция связана с векторными полями (1) с нулевой дивергенцией. В таком случае функции $F$, $G$ могут быть определены через потенциал $\Theta$, $F=\Theta_y$, $G=-\Theta_x$, и система (2) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\Theta_{wx}+\Theta_{zy}+\Theta_{xx}\Theta_{yy}-\Theta_{xy}^2=f, \\ & Q f=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
где оператор $Q$ выражается в терминах потенциала $\Theta$ как
$$
\begin{equation*}
Q= \partial_w\partial_x +\partial_z\partial_y +\Theta_{yy}\partial_x\partial_x +\Theta_{xx}\partial_y\partial_y -2\Theta_{xy}\partial_x\partial_y.
\end{equation*}
\notag
$$
Этот оператор определяет абелево расширение системы Дунайского (9), он также задает бивектор конформной структуры. Система (9) может быть записана как одно уравнение четвертого порядка
$$
\begin{equation*}
Q (\Theta_{wx}+\Theta_{zy}+\Theta_{xx}\Theta_{yy}-\Theta_{xy}^2)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Еще одна стандартная редукция системы АДКС (2) представляет собой линейно вырожденный случай, который соответствует уравнениям типа гиперуравнений Коши–Римана. В этом случае векторные поля (1) не содержат производной по спектральной переменной, $f=0$, $\Psi^0=\lambda$ – волновая функция линейных операторов, и система (2) имеет вид Оператор $Q$ здесь имеет тот же вид, что и в общем случае АДКС, он также определяет абелево расширение. Однако из-за редукции возникают некоторые новые особенности решений этого оператора. Действительно, для редуцированной пары Лакса
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\partial_z-\lambda\partial_x +F_x\partial_x+G_x\partial_y)\Psi&=0, \\ (\partial_w- \lambda\partial_y + F_y\partial_x+G_y\partial_y)\Psi&=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и вместо соотношения (7) мы имеем
$$
\begin{equation}
Q\Psi=((\partial_w+F_y \partial_x + G_y\partial_y )\partial_x -(\partial_z+ F_x \partial_x + G_x\partial_y)\partial_y )\Psi=0.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Таким образом, для линейно вырожденного случая произвольная волновая функция редуцированной пары Лакса удовлетворяет уравнению (5)! Редукция также приводит к рекурсии для решений уравнения (11), определяемой соотношениями
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \partial_x\phi' &=(\partial_z +F_x\partial_x+G_x\partial_y)\phi, \\ \partial_y\phi' &=(\partial_w+ F_y\partial_x+G_y\partial_y)\phi. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
Условие совместимости этих соотношений совпадает с уравнением (11) для $\phi$, а перекрестное действие линейных операторов правой части дает (по модулю уравнения (10)) уравнение (11) для $\phi'$. Аналогичные наблюдения для операторов линеаризации линейно вырожденных уравнений были сделаны в работе Сергеева [9]. Наконец, применяя к системе АДКС как редукцию сохранения объема, так и линейно вырожденный случай (10), мы получаем знаменитое второе небесное уравнение Плебанского
$$
\begin{equation}
\Theta_{wx}+\Theta_{zy}+\Theta_{xx}\Theta_{yy}-\Theta_{xy}^2=0.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Оператор абелева расширения имеет тот же вид, что и для системы Дунайского:
$$
\begin{equation*}
Q=\partial_w\partial_x+\partial_z\partial_y+\Theta_{yy}\partial_x\partial_x +\Theta_{xx}\partial_y\partial_y -2\Theta_{xy}\partial_x\partial_y,
\end{equation*}
\notag
$$
он совпадает с оператором линеаризации небесного уравнения (13). Решениями уравнения $Q\phi=0$ являются произвольные волновые функции пары Лакса для небесного уравнения $\phi=\Psi$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\partial_z-\lambda\partial_x +\Theta_{xy}\partial_x-\Theta_{xx}\partial_y)\Psi&=0, \\ (\partial_w- \lambda\partial_y + \Theta_{yy}\partial_x - \Theta_{xy}\partial_y)\Psi&=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рекуррентные соотношения для коэффициентов разложения волновых функций по степеням спектральной переменной приводят к рекурсии для решений линеаризованного второго небесного уравнения $Q\phi=0$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \partial_x \phi'&= (\partial_z +\Theta_{xy}\partial_x-\Theta_{xx}\partial_y)\phi, \\ \partial_y \phi'&= (\partial_w + \Theta_{yy}\partial_x - \Theta_{xy}\partial_y)\phi. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рекурсия такого типа была введена в работе [9].
3. Абелево расширение системы Манакова–СантиниСистема Манакова–Сантини [10] представляет собой двухкомпонентное интегрируемое обобщение бездисперсионного уравнения Кадомцева–Петвиашвили (КП):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{xt} &= u_{yy}+(uu_x)_x+v_xu_{xy}-u_{xx}v_y, \\ v_{xt} &= v_{yy}+uv_{xx}+v_xv_{xy}-v_{xx}v_y. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
Она соответствует произвольным векторным полям в паре Лакса, вместо гамильтоновых векторных полей в случае бездисперсионного уравнения КП,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, X_1&=\partial_y-(\lambda-v_{x})\partial_x + u_{x}\partial_\lambda, \\ X_2&=\partial_t-(\lambda^2-v_{x}\lambda+u -v_{y})\partial_x +(u_{x}\lambda+u_{y})\partial_\lambda. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
При $v=0$ эта система редуцируется к бездисперсионному уравнению КП (уравнению Хохлова–Заболоцкой) редукция $u=0$ (линейно вырожденный случай) дает уравнение (Михалёв [11], Павлов [12]) Абелево расширение пары Лакса (15) (см. также приложение A)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nabla_{X_1}&=\partial_y-(\lambda-v_{x})\partial_x + u_{x}\partial_\lambda + \kappa_x, \\ \nabla_{X_2}&=\partial_t-(\lambda^2-v_{x}\lambda + u -v_{y})\partial_x +(u_{x}\lambda+u_{y})\partial_\lambda +\lambda \kappa_x + \kappa_y \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16}
$$
приводит к линейному уравнению на скалярную функцию $\kappa$:
$$
\begin{equation*}
Q\kappa:=(\partial_t\partial_x-\partial_y\partial_y - (u-v_y)\partial_x\partial_x - v_x\partial_x\partial_y- u_x\partial_x)\kappa=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Любая волновая функция $\Psi(\lambda)$ линейных операторов (15), заданная на контуре, определяет решение этого уравнения по формуле, аналогичной (8). Чтобы вывести эту формулу непосредственно из пары Лакса (15), мы перепишем уравнения для волновых функций в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\partial_y-\lambda\partial_x +v_{x}\partial_x + u_{x}\partial_\lambda)\Psi&=0, \\ (\partial_t- \lambda \partial_y -(u -v_{y})\partial_x +u_{y}\partial_\lambda)\Psi&=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Перекрестно дифференцируя соответственно по $y$ и $x$ и вычитая, получаем
$$
\begin{equation}
Q\Psi= \partial_\lambda (u_x\partial_y- u_y\partial_x) \Psi.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Интегрирование по контуру обращает в нуль правую часть, и мы находим В терминах базисных волновых функций пары Лакса (15) $\Psi=F(\Psi^0, \Psi^1)$, и мы имеем решение, зависящее от произвольной аналитической функции двух переменных. 3.1. Случай бездисперсионного уравнения КПСлучай бездисперсионного уравнения КП соответствует гамильтоновым векторным полям в паре Лакса (15), что приводит к $v=0$ и Из коммутационных соотношений для редуцированной расширенной пары Лакса (16)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \nabla_{X_1}&= \partial_y-\lambda\partial_x + u_{x}\partial_\lambda + \kappa_x, \\ \nabla_{X_2}&=\partial_t-(\lambda^2+ u )\partial_x +(u_{x}\lambda+u_{y})\partial_\lambda +\lambda \kappa_x + \kappa_y \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
следует бездисперсионное уравнение КП (19) и линейное уравнение на $\kappa$:
$$
\begin{equation*}
Q\kappa:=(\partial_t\partial_x - \partial_y\partial_y - u \partial_x\partial_x - u_x\partial_x)\kappa=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Оператор $Q$ не совпадает с оператором линеаризации для бездисперсионного уравнения КП (19), который имеет вид
$$
\begin{equation*}
P=\partial_t\partial_x - \partial_y\partial_y - u \partial_{xx} - 2u_x\partial_x- u_{xx}.
\end{equation*}
\notag
$$
Однако эти два оператора связаны простым тождеством $\partial_x Q = P\partial_x$, из чего следует, что $Q\kappa=0\Rightarrow P\partial_x \kappa=0$. Другими словами, оператор $Q$ соответствует линеаризации потенциального бездисперсионного уравнения КП на функцию $w$, $u=w_x$. Для $\kappa$ имеем формулу (18),
$$
\begin{equation*}
\kappa=\frac{1}{2\pi i}\oint F(\Psi^0,\Psi^1)\, d\mu,
\end{equation*}
\notag
$$
она дает симметрию потенциального бездисперсионного уравнения КП. Симметрия бездисперсионного уравнения КП (решение линеаризованного уравнения) определяется через $\partial_x \kappa$. Это достаточно привычная формула для симметрий бездисперсионного уравнения КП, в стандартных обозначениях бездисперсионной иерархии КП $\Psi^0=L$ (функция Лакса–Сато), $\Psi^1 =M$ (функция Орлова). 3.2. Уравнение Михалёва–ПавловаРассматривая линейно вырожденный случай системы Манакова–Сантини, для которого $u=0$, получаем уравнение с парой Лакса
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, X_1&=\partial_y-\lambda \partial_x + v_{x}\partial_x, \\ X_2&=\partial_t-(\lambda^2-v_{x}\lambda -v_{y})\partial_x. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{21}
$$
Абелево расширение пары Лакса
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nabla_{X_1}&=\partial_y-\lambda\partial_x + v_{x}\partial_x +\kappa_x , \\ \nabla_{X_2}&=\partial_t-(\lambda^2-v_{x}\lambda -v_{y})\partial_x +\lambda \kappa_x + \kappa_y \end{aligned}
\end{equation}
\tag{22}
$$
влечет линейное уравнение
$$
\begin{equation}
Q\kappa:=(\partial_t\partial_x-\partial_y\partial_y + v_y\partial_x\partial_x - v_x\partial_x\partial_y)\kappa=0.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Подобно линейно вырожденному случаю уравнений АДКС (11) любая волновая функция линейных операторов (21) $\Psi(\lambda)$, $X_1\Psi(\lambda)=0$, $X_2\Psi(\lambda)=0$, удовлетворяет этому линейному уравнению. Действительно, правая часть формулы (17) в линейно вырожденном случае равна нулю, тогда $Q\Psi(\lambda)=0$. В терминах базисных волновых функций линейных операторов (21) $\Psi=F(\lambda,\Psi^1)$. Линейный оператор $Q$ в этом случае не совпадает с оператором линеаризации уравнения (20), который имеет вид
$$
\begin{equation}
P=\partial_t\partial_x-\partial_y\partial_y + v_y\partial_x\partial_x - v_x\partial_x\partial_y +v_{xx}\partial_y - v_{xy}\partial_x =Q+v_{xx}\partial_y - v_{xy}\partial_x.
\end{equation}
\tag{24}
$$
В работе [9] было продемонстрировано, что линеаризованному уравнению удовлетворяет функция $\Psi_x^{-1}$, $P\Psi_x^{-1}=0$, где $\Psi(\lambda)$ – волновая функция пары Лакса (21). Также была построена рекурсия для линеаризованного уравнения. Чтобы получить оператор линеаризации и решения для него в терминах пары Лакса, мы используем параметрическую деформацию пары Лакса, описанную в приложении C,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, X_{1\alpha} &=\partial_y-\lambda\partial_x + v_{x}\partial_x + \alpha v_{xx} , \\ X_{2\alpha} &=\partial_t - \lambda \partial_y + v_{y}\partial_x + \alpha v_{xy}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
$$
Эта деформация выводит нас из класса векторных полей, однако условия совместности остаются прежними. При $\alpha=0$ это стандартная пара Лакса в терминах векторных полей, а случай $\alpha=1$ соответствует формально сопряженной паре Лакса. Деформированная пара Лакса влечет специальное решение для уравнения абелева расширения (23) $\kappa=v_x$, что легко проверить, дифференцируя уравнение Михалёва–Павлова (20). Общая волновая функция деформированной пары Лакса (25) в терминах базисных волновых функций пары Лакса (21) имеет следующий вид (см. приложение C):
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\Psi}_\alpha= (\Psi^1_x)^\alpha F(\lambda,\Psi^1).
\end{equation*}
\notag
$$
Вместо формулы (17) получаем
$$
\begin{equation*}
\partial_y(\partial_y+v_{x}\partial_x+\alpha v_{xx})\widetilde{\Psi}_\alpha(\lambda) =\partial_x(\partial_t + v_{y}\partial_x + \alpha v_{xy})\widetilde{\Psi}_\alpha(\lambda),
\end{equation*}
\notag
$$
таким образом,
$$
\begin{equation*}
Q_\alpha\widetilde{\Psi}_\alpha:= (\partial_t\partial_x-\partial_y\partial_y + v_y\partial_x\partial_x - v_x\partial_x\partial_y +\alpha (v_{xy}\partial_x- v_{xx}\partial_y))\widetilde{\Psi}_\alpha=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Для решений линейного уравнения $Q_\alpha\phi=0$ имеем рекурсию
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \phi'_x&=(\partial_y+ v_{x}\partial_x + \alpha v_{xx})\phi, \\ \phi'_y&=(\partial_t + v_{y}\partial_x + \alpha v_{xy})\phi. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Условием совместности, которое дается перекрестным дифференцированием по $y,x$, является уравнение $Q_\alpha \phi=0$, в то время как перекрестное действие линейных операторов в правой части приводит (по модулю уравнения (20)) к уравнению $Q_\alpha \phi'=0$. Случай оператора линеаризации $P$ соответствует $\alpha=-1$, $P=Q_{-1}$. Симметрии для уравнения Михалёва–Павлова задаются выражением
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\Psi}_{-1}= (\Psi^1_x)^{-1} F(\lambda,\Psi^1),
\end{equation*}
\notag
$$
рекурсия для симметрий имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \phi'_x&=(\partial_y+ v_{x}\partial_x - v_{xx})\phi, \\ \phi'_y&=(\partial_t + v_{y}\partial_x - v_{xy})\phi. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
3.3. Интерполирующая редукцияРассмотрим также интерполирующую редукцию системы Манакова–Сантини (14), которая определяется условием где $a$ – параметр (см. [13], [14]). При этом условии система Манакова–Сантини может быть записана в виде одного уравнения для функции $v$:
$$
\begin{equation}
v_{xt} = v_{yy}+a^{-1}v_x v_{xx}+v_xv_{xy}-v_{xx}v_y.
\end{equation}
\tag{26}
$$
Замечательным свойством этого уравнения, оправдывающим название “интерполирующее”, является то, что его предел при $a\rightarrow 0$ приводит к бездисперсионному уравнению КП, в то время как для $a\rightarrow \infty$ он дает уравнение Михалёва–Павлова. Линейное уравнение абелева расширения в этом случае имеет вид
$$
\begin{equation*}
Q\kappa:=(\partial_t\partial_x-\partial_y\partial_y - (a^{-1}v_x-v_y)\partial_x\partial_x - v_x\partial_x\partial_y- a^{-1}v_{xx}\partial_x)\kappa=0,
\end{equation*}
\notag
$$
и его решение может быть получено с использованием произвольной волновой функции операторов Лакса (15) (с учетом условия редукции) по формуле (18). Как и в случае уравнения Михалёва–Павлова, линейный оператор $Q$ не совпадает с оператором линеаризации для уравнения (26), который записывается как Чтобы найти решения уравнения $P\phi=0$ через волновые функции операторов Лакса, мы используем тот же прием, что и для случая уравнения Михалёва–Павлова. Вводя параметрическую деформацию пары Лакса, описанную в приложении C, приходим к следующей формуле для решений линеаризованного интерполирующего уравнения $P\phi=0$ (симметрий интерполирующего уравнения):
$$
\begin{equation*}
\phi=\frac{1}{2\pi i}\oint e^{a(\mu - \Psi^0(\mu) )} \Psi(\mu)\, d\mu,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Psi$ – произвольная волновая функция операторов Лакса (15), $\Psi=F(\Psi^0,\Psi^1)$, а $\Psi^0$ – базисная волновая функция с разложением $\lambda + u \lambda^{-1} + \cdots$ (соответствует функции Лакса–Сато $L$ в стандартных для бездисперсионного уравнения КП обозначениях).
Приложение A. Матричное и абелево расширения многомерных бездисперсионных интегрируемых системМы дадим краткое описание схемы матричного расширения пар Лакса бездисперсионных интегрируемых систем (см. статью [1] и ссылки в ней). Многомерные бездисперсионные интегрируемые системы ассоциируются с парами Лакса в терминах векторных полей, зависящих от спектрального параметра. Будем рассматривать пары Лакса типа
$$
\begin{equation}
X_1=\partial_{t_1} +\sum_{i=1}^N F_i\partial_{x_i} + F_0\partial_\lambda,\qquad X_2=\partial_{t_2}+ \sum_{i=1}^N G_i\partial_{x_i}+G_0\partial_\lambda,
\end{equation}
\tag{A.2}
$$
где $\lambda$ – спектральный параметр, функции $F_k$, $G_k$ голоморфны по $\lambda$ (полиномы, полиномы Лорана) и зависят от переменных $t_1$, $t_2$, $x_n$. Класс уравнений, соответствующих таким парам Лакса, включает в себя бездисперсионные пределы интегрируемых уравнений (бездисперсионное уравнение КП, бездисперсионная иерархия двумерной цепочки Тоды), небесные уравнения Плебанского и их обобщения, гиперкэлеровы иерархии. Схема матричного расширения приводит к калибровочным ковариантным парам Лакса типа
$$
\begin{equation}
\nabla_{X_1}=X_1 + A_1, \qquad \nabla_{X_2}=X_2 + A_2,
\end{equation}
\tag{A.3}
$$
$A_1$, $A_2$ – матричнозначные функции пространственно-временны́х переменных, голоморфные по $\lambda$ (полиномы, полиномы Лорана). Пары Лакса такой структуры присутствовали уже в основополагающей работе Захарова и Шабата [15]. Коммутатор двух ковариантных (расширенных) векторных полей содержит векторное поле и матричную (Ли-алгебраическую) часть,
$$
\begin{equation*}
[\nabla_{X_1}, \nabla_{X_2}]= [X_1, X_2]+ (X_1 A_2 - X_2 A_1 +[A_1,A_2]).
\end{equation*}
\notag
$$
Часть условий совместности в виде векторного поля дает базовую бездисперсионную систему в то время как матричный член дает матричные уравнения на бездисперсионном фоне В нескольких важных примерах базовая система соответствует некоторому геометрическому объекту, а уравнения (A.4) связаны с калибровочными полями на геометрическом фоне (см. приложение B). Для абелевых калибровочных полей
$$
\begin{equation}
\nabla_{X_1}=X_1 + a_1, \qquad \nabla_{X_2}=X_2 + a_2,
\end{equation}
\tag{A.5}
$$
где $a_1$, $a_2$ – скалярные функции, уравнения (A.4) становятся линейными, Эти уравнения являются основным объектом исследования в настоящей работе. Расширение уравнений АДКСМатричное расширение пары Лакса (1) имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \nabla_{X_1}&=\partial_z-\lambda\partial_x +F_x\partial_x+G_x\partial_y+ f_x\partial_\lambda + \Phi_x, \\ \nabla_{X_2}&=\partial_w- \lambda\partial_y + F_y\partial_x+G_y\partial_y+f_y\partial_\lambda + \Phi_y, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
оно порождает уравнение для матричного потенциала $\Phi$ на фоне уравнений АДКС:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{gathered} \, Q\Phi=[\Phi_x,\Phi_y], \\ Q:=\partial_w\partial_x-\partial_z\partial_y+F_y{\partial_x}^2-G_x{\partial_y}^2- (F_x-G_y)\partial_x\partial_y. \end{gathered} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{A.7}
$$
В абелевом случае имеем линейное уравнение для скалярного потенциала $Q\phi=0$. Расширение системы Манакова–СантиниМатричное расширение пары Лакса системы Манакова–Сантини имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nabla_{X_1}&= \partial_y-(\lambda-v_{x})\partial_x + u_{x}\partial_\lambda + A, \\ \nabla_{X_2}&=\partial_t-(\lambda^2-v_{x}\lambda + u -v_{y})\partial_x +(u_{x}\lambda+u_{y})\partial_\lambda +\lambda A + B, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{A.8}
$$
где $A$, $B$ – матричнозначные функции. Член коммутационных соотношений, содержащий векторное поле, дает систему Манакова–Сантини (14), в то время как матричная часть дает матричную систему на фоне системы Манакова–Сантини
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A_y - B_x=0, \\ (\partial_y+v_x\partial_x)B-(\partial_t+(v_y-u)\partial_x) A + u_x A +[A,B]=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для потенциала $K$, $A=K_x$, $B=K_y$ имеем где $Q$ – линейный оператор,
$$
\begin{equation*}
Q:=\partial_t\partial_x-\partial_y\partial_y - (u-v_y)\partial_x\partial_x - v_x\partial_x\partial_y- u_x\partial_x.
\end{equation*}
\notag
$$
В абелевом случае вместо уравнения (A.9) получаем линейное уравнение $Q\kappa=0$.
Приложение B. Геометрические структурыОтправной точкой для геометрической интерпретации систем, рассматриваемых в настоящей работе, являются две теоремы из статьи [2], мы также отсылаем читателя к этой статье для получения более подробной информации. Напомним, что конформная структура $[g]$ называется антиавтодуальной, если автодуальная часть тензора Вейля любого $g\in[g]$ равна нулю: Теорема 1 (Дунайский, Ферапонтов, Кругликов [2]). Существуют локальные координаты $(z, w, x, y)$ такие, что любая антиавтодуальная конформная структура для сигнатуры $(2, 2)$ локально представляется метрикой Теорема 2 (Дунайский, Ферапонтов, Кругликов [2]). Существует локальная система координат $(x, y, t)$ на $M ^ 3$ такая, что любая лоренцева структура Эйнштейна–Вейля локально имеет вид где функции $u$ и $v$ удовлетворяют системе Манакова–Сантини Таким образом, исходные уравнения, использованные в настоящей работе, имеют ясный геометрический смысл: уравнения АДКС (4) определяют общую (анти)автодуальную конформную структуру для сигнатуры $(2, 2)$, а система Манакова–Сантини (14) соответствует общей лоренцевой структуре Эйнштейна–Вейля. Отметим также, что интерполирующее уравнение (26) было введено в [13] как “наиболее общая симметрийная редукция второго небесного уравнения с помощью конформного вектора Киллинга с нулевой автодуальной производной”. Рассмотрим калибровочный потенциал $A$, представляющий собой 1-форму, принимающую значения в некоторой (матричной) алгебре Ли, и 2-форму $F=dA+A\wedge{A}$ (калибровочное поле). Матричное уравнение (A.7) представляет собой (анти)автодуальные уравнения Янга–Миллса на фоне конформной структуры (B.1), рассмотренные в специальной калибровке (подробнее см. [3]). В абелевом случае уравнения становятся линейными, $F=dA$, $dA=\pm *dA$.Матричное уравнение (A.9) соответствует уравнению (в специальной калибровке, подробнее см. [4]) где $D\Phi=d\Phi+[A,\Phi]$, $\Phi$ – функция, принимающая значения в алгебре Ли (поле Хиггса, см. [7]). Это уравнение рассматривается на фоне структуры Эйнштейна–Вейля (B.2); для метрики Минковского оно совпадает с системой Янга–Миллса–Хиггса, введенной Уордом [7], которая приводит к интегрируемой киральной модели. В абелевом случае это уравнение становится линейным,Приложение C. Сопряженные операторы Лакса и параметрическая деформацияЧтобы получить оператор линеаризации из пары Лакса и построить его решения, мы используем параметрическую деформацию пары Лакса, введенную в [14], [16]. Эта деформация нетривиальна только для векторных полей с ненулевой дивергенцией, и в этом случае имеется свобода добавлять некоторый член с первыми производными, содержащий параметр, к оператору абелева расширения $Q$. Рассмотрим пару Лакса из двух векторных полей вида (A.2)
$$
\begin{equation}
X_1=\partial_{t_1} +\sum_{i=1}^N F_i\partial_{x_i} + F_0\partial_\lambda,\qquad X_2=\partial_{t_2}+ \sum_{i=1}^N G_i\partial_{x_i}+G_0\partial_\lambda.
\end{equation}
\tag{C.1}
$$
Мы вводим базисный набор волновых функций $\Psi^0,\dots,\Psi^N$, общая волновая функция выражается как $\Psi=F(\Psi^0,\dots,\Psi^N)$, $X_1\Psi=0$, $X_2\Psi=0$. Для линейно вырожденного случая члены с $\partial_\lambda$ отсутствуют, $F_0=G_0=0$, $\Psi^0=\lambda$. Формально сопряженный к векторному полю оператор имеет вид где
$$
\begin{equation*}
\operatorname{div}X=\partial_\lambda F_0 + \sum_{i=1}^N\partial_{x_i} F_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Необходимо подчеркнуть, что сопряженный оператор больше не является чистым векторным полем, он содержит член $\operatorname{div}X$, который является умножением на функцию. В случае нулевой дивергенции (векторного поля, сохраняющего объем) этот член равен нулю, и векторное поле является антисамосопряженным. Условия совместности для сопряженных векторных полей остаются прежними. Интересно заметить, что $a_1=\operatorname{div}X_1$, $a_2=\operatorname{div}X_2$ дают специальное решение уравнения абелева расширения (A.6). Рассмотрим линейные уравнения, соответствующие сопряженным векторным полям
$$
\begin{equation}
(X_1 +\operatorname{div}X_1)\widetilde{\Psi}=0, \qquad(X_2 +\operatorname{div}X_2)\widetilde{\Psi}=0,
\end{equation}
\tag{C.2}
$$
где через $\widetilde{\Psi}$ мы обозначаем волновую функцию этих уравнений. Специальное решение дается якобианом базисных волновых функций для векторных полей (C.1) (см. [16])
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\Psi}=J:=\frac{\partial(\Psi^0,\Psi^1,\dots,\Psi^N)}{\partial(\lambda, x_1,\dots,x_N)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы построить общее решение, мы перепишем уравнения (C.2) как неоднородные линейные уравнения для $\ln \widetilde{\Psi}$:
$$
\begin{equation*}
X_1\ln \widetilde{\Psi} + \operatorname{div}X_1=0, \qquad X_2\ln \widetilde{\Psi} + \operatorname{div}X_2=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, очевидно, общее решение записывается как
$$
\begin{equation*}
\ln \widetilde{\Psi}= \ln J_0 + F(\Psi^0,\dots,\Psi^N),
\end{equation*}
\notag
$$
и для уравнений (C.2) имеем Более того, можно переписать линейные уравнения в терминах функции $J^\alpha$ и получить параметрическую деформацию пары Лакса для уравнений (C.2)
$$
\begin{equation*}
(X_1 +\alpha\operatorname{div}X_1)\widetilde{\Psi}_\alpha=0, \qquad(X_2 +\alpha\operatorname{div}X_2)\widetilde{\Psi}_\alpha=0,
\end{equation*}
\notag
$$
общее решение этих линейных уравнений имеет вид $\widetilde{\Psi}_\alpha=J^\alpha f(\Psi^0,\dots,\Psi^N)$. Используя параметрически деформированные линейные задачи, можно добавить линейный член к оператору $Q$, сохраняя интегрируемость. Для конформных уравнений автодуальности (2) параметрическая деформация пары Лакса имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, X_{1\alpha}&=\partial_z-\lambda\partial_x +F_x\partial_x+G_x\partial_y+ f_x\partial_\lambda + \alpha(F_x+ G_y)_x, \\ X_{2\alpha}&= \partial_w- \lambda\partial_y + F_y\partial_x+G_y\partial_y+f_y\partial_\lambda + \alpha(F_x+ G_y)_y. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вместо соотношения (7) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, ((\partial_w+F_y \partial_x + G_y\partial_y&+\alpha(F_{xy}+ G_{yy}))\partial_x-{} \\ &- (\partial_z+ F_x \partial_x + G_x\partial_y + \alpha(F_{xx}+ G_{xy}))\partial_y )\Psi =\partial_\lambda(f_x\partial_y - f_y\partial_x ) \Psi, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и параметрическая деформация оператора $Q$ выглядит следующим образом:
$$
\begin{equation*}
Q_\alpha=Q + \alpha( (F_{xx}+G_{xy})\partial_y - (F_{xy}+G_{yy})\partial_x).
\end{equation*}
\notag
$$
Для системы Манакова–Сантини деформированная пара Лакса записывается как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, X_{1 \alpha} &=\partial_y-\lambda\partial_x + v_{x}\partial_x + u_x\partial_\lambda + \alpha v_{xx}, \\ X_{2\alpha} &=\partial_t - \lambda \partial_y + (v_{y}-u)\partial_x + u_y\partial_\lambda + \alpha v_{xy}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{C.3}
$$
и параметрическая деформация оператора $Q$ равна
$$
\begin{equation*}
Q_\alpha=Q+\alpha(v_{xy}\partial_x -v_{xx}\partial_y).
\end{equation*}
\notag
$$
Для случая интерполирующего уравнения (26) якобиан связан с базисной волновой функцией $\Psi^0$, имеющей разложение $\lambda + u \lambda^{-1} + \cdots$ (соответствует функции Лакса–Сато $L$ в стандартных обозначениях бездисперсионной иерархии КП), соотношением, определяющим интерполирующую редукцию [16], Общая волновая функция деформированной пары Лакса с $\alpha=-1$, которая требуется для построения симметрий интерполяционного уравнения, равна где $\Psi$ – произвольная волновая функция, $\Psi=F(\Psi^0,\Psi^ 1)$, первоначальной пары Лакса.Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bog24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|