| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Геометрия группы Ли: тензоры Римана и Риччи и нормальные формы алгебр Ли А. В. Боровскихab a Механико-математический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия b Научно-образовательный математический центр Северо-Осетинского государственного университета им. К. Л. Хетагурова, Владикавказ, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 221, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924110011 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеПолученные в рамках группового анализа одномерного кинетического уравнения новые и даже несколько неожиданные геометрические свойства групп Ли [1] поставили вопрос о более детальном исследовании обнаруженных геометрических отношений между группой Ли и левоинвариантными метриками, заданными на этой группе. Для этого прежде всего нужно было выяснить, какой вид имеют основные геометрические характеристики, связанные с такими метриками (тензоры Римана и Риччи и соответствующие главные кривизны). Поскольку оказалось, что они выражаются через некоторые постоянные тензоры и коэффициенты дифференциальных форм, задающих метрику, и что главные кривизны являются собственными значениями некоторой постоянной матрицы, возник вопрос о нормировке полученных представлений, который привел в конечном счете к понятию нормальной формы алгебры Ли. Настоящая работа посвящена изложению результатов, полученных нами в этом направлении. Прежде чем перейти к изложению этих результатов, напомним основные факты, полученные в работе [1], и поясним сущность тех отношений, с которыми мы будем далее работать. 1.1. Основные понятия, обозначения и фактыПусть $G$ – группа Ли размерности $n$, параметризованная (возможно, локально) переменной $a=(a^i)_{i=1}^n\in\mathbb{R}^n$. Пусть $\Xi$ – алгебра Ли группы левых автоморфизмов группы $G$ с базисом $\Xi_\alpha=\xi_\alpha^i(a)\partial_i$ (нам удобно нумеровать компоненты вектора $a$ латинскими, а операторы – греческими индексами) и структурными константами $C_{\alpha\beta}^\gamma$. Тогда справедливы следующие утверждения:
1.2. Основные объекты и отношения между нимиПредставленный выше результат из работы [1] связан с групповым анализом дифференциальных уравнений и имел целью выяснить “устройство” траекторий инвариантной относительно группы динамической системы. То, что они оказались, с одной стороны, винтовыми линиями, а с другой – траекториями однопараметрической группы, порожденной оператором двойственной алгебры, показало, что исходная идея Картана ([2], см. также [3], [4]) считать траектории однопараметрических подгрупп геодезическими, является несколько искусственной и описывает только некоторые частные ситуации. Одновременно появился такой новый объект, как постоянный тензор $H_{\alpha\beta}^\gamma$, который выполняет на группе функцию, в чем-то схожую с функцией коэффициентов Кристоффеля. Какие геометрические отношения стоят за этими феноменами? Прежде всего следует подчеркнуть, что действие любого преобразования из $G$ на саму группу $G$ может быть двойственным: оно может действовать как левый автоморфизм и как правый автоморфизм. Соответственно, с группой $G$ связаны две группы автоморфизмов – группа левых автоморфизмов и группа правых автоморфизмов. Каждая из них порождается своей алгеброй. В наших обозначениях алгебра левых автоморфизмов – это алгебра $\Xi$, а алгебра правых автоморфизмов – это алгебра $\Omega$. Поскольку любой левый автоморфизм коммутирует с любым правым автоморфизмом (фактически это свойство ассоциативности группы $G$), алгебры Ли той и другой группы автоморфизмов коммутируют между собой. Традиционно все объекты на группе $G$ рассматривают, начиная с группы левых автоморфизмов и, соответственно, порождающей ее алгебры. Это оправдывается тем, что все формулы для этой группы оказываются идентичными тем, которые получаются при любой реализации группы $G$ как группы преобразований того или иного пространства. Соответственно, рассматриваются левоинвариантные метрики, дифференциальные формы, динамические системы и другие геометрические и негеометрические объекты. Приведенные выше результаты работы [1] показывают, что все левоинвариантные объекты фактически определяются алгеброй правых автоморфизмов. Действительно, если считать заданным базис операторов $\Omega_\alpha=\omega_\alpha^i\partial_{a^i}$, то левоинвариантные дифференциальные формы $\omega^\alpha=\omega^\alpha_idx^i$ образуются из коэффициентов матрицы, обратной к матрице коэффициентов дифференциальных операторов $\Omega_\alpha$, левоинвариантные метрики оказываются квадратичными формами с постоянными коэффициентами $q_{\alpha\beta}$ от этих дифференциальных форм, а все левоинвариантные векторные поля совпадают с точностью до функционального множителя $\mu(a)$ с порождающими векторными полями $\omega_\alpha=(\omega_\alpha^i)_{i=1}^n$, отвечающими $\Omega_\alpha$. Отметим, что некоторые из этих отношений хорошо известны: дифференциальные формы $\omega^\alpha$ являются формами Маурера–Картана для алгебры $\Omega$, однако ранее формулы Маурера–Картана обычно рассматривались для алгебры $\Xi$ группы левых автоморфизмов, и, как мы видим, отношение между алгеброй и дифференциальными формами оказывается принципиальным при рассмотрении двойственной алгебры. 1.3. Пример: двумерная группаДля иллюстрации рассмотрим двумерную некоммутативную (для коммутативной группы все тривиально) группу преобразований двумерного пространства переменных $(x,y)$ с порождающей алгеброй $\Xi$, имеющей базис $\partial_x, x\partial_x+y\partial_y$. Преобразования соответствующей группы в пространстве переменных $(x,y)$ определяются формулами $T_{a,b}(x,y)=(xe^b+a, ye^b)$. Левый сдвиг $T_{\alpha,\beta}$ дает в применении к $T_{a,b}$
$$
\begin{equation*}
T_{\alpha,\beta}T_{a,b}(x,y)=(xe^{b+\beta}+\alpha+ae^\beta,ye^{b+\beta})=T_{\alpha+ae^\beta,b+\beta},
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому группа левых автоморфизмов в параметрах $(a,b)$ имеет вид $L_{\alpha,\beta}(a,b)=(\alpha+ae^\beta,b+\beta)$, а порождающая алгебра этой группы имеет в терминах векторных полей базис $(1,0)$ и $(a,1)$, в терминах дифференциальных операторов $\partial_a$ и $a\partial_a+\partial_b$. Правые сдвиги дают в суперпозиции
$$
\begin{equation*}
T_{a,b}T_{\alpha,\beta}(x,y)=(xe^{b+\beta}+\alpha e^b+a,ye^{b+\beta})=T_{\alpha e^b+a,b+\beta},
\end{equation*}
\notag
$$
группа правых автоморфизмов в параметрах $(a,b)$ имеет вид $R_{\alpha,\beta}(a,b)=(\alpha e^b+a,b+\beta)$. Порождающая алгебра векторных полей имеет базис $(e^b,0)$ и $(0,1)$, им соответствуют операторы $\Omega_1=e^b\partial_a$ и $\Omega_2=\partial_b$. Инвариантные дифференциальные формы – это $\omega^1=e^{-b}da$ и $\omega^2=db$, и, как легко видеть, матрица коэффициентов этих дифференциальных форм является обратной к матрице коэффициентов операторов $\Omega_\alpha$ двойственной алгебры. Рассматриваемая двумерная алгебра интересна и тем, что позволяет ясно увидеть, как могут выглядеть винтовые линии в неевклидовом случае. Если вернуться в пространство переменных $(x,y)$ и рассмотреть действие нашей группы на этом пространстве как группы сдвигов по $x$ и растяжений с порождающей алгеброй, имеющей базис $\partial_x$, $x\partial_x+y\partial_y$, то инвариантные дифференциальные формы будут иметь вид $dx/y$ и $dy/y$, инвариантные метрики – с постоянными коэффициентами $A$, $B$, $C$. Не ограничивая общности, можно рассматривать простейший случай $ds^2=R^2\frac{dx^2+dy^2}{y^2}$, поскольку приведение к указанному виду осуществляется линейной заменой переменных. Эта метрика – метрика плоскости Лобачевского (точнее, полуплоскости), геодезическими в ней являются полуокружности, опирающиеся на прямую $y=0$, а также прямые, перпендикулярные $y=0$ (которые считаются тоже полуокружностями, но бесконечного радиуса).Двойственная алгебра имеет базис $y\partial_x$, $y\partial_y$, инвариантные кривые, как траектории однопараметрической группы, порождаются оператором вида $py\partial_x+qy\partial_y$, т. е. являются решением системы $\dot x=py$, $\dot y=qy$ и представляют собой, очевидно, прямые вида $qx-py=r$, где $p$, $q$, $r$ – константы (при этом можно считать, что $p^2+q^2=1$). В метрике $ds^2=R^2\frac{dx^2+dy^2}{y^2}$ нормированный касательный вектор для линий $qx-py=r$ имеет вид $\tau=\left(\frac pR y,\frac qR y\right)$, нормаль задается как $n=\left(-\frac qR y,\frac pR y\right)$. При этом
$$
\begin{equation*}
\frac{D\tau}{ds}=\frac p{R} n, \qquad \frac {Dn}{ds}=-\frac{p}{R}\tau,
\end{equation*}
\notag
$$
как и должно быть в теории кривых. Таким образом, в этом случае прямые $qx-py=r$ оказываются в метрике Лобачевского кривыми постоянной кривизны (отметим, что понятие “окружности” тут расщепляется – кривые постоянной кривизны не совпадают с множеством точек, равноудаленных от фиксированной точки), а полуокружности, наоборот, оказываются “прямыми”, т. е. геодезическими. 2. Геометрические характеристики инвариантной римановой метрикиВозвращаясь к вопросу о геометрии группы Ли, выясним, как геометрические свойства группы выражаются через два выделенных нами фактора. Это, во-первых, двойственная алгебра, которая задается операторами $\Omega_\alpha=\omega_\alpha^i\partial_{a^i}$. А во-вторых, это коэффициенты квадратичной формы $q_{\alpha\beta}$, задающей левоинвариантную метрику $ds^2=q_{\alpha\beta}\omega^\alpha\omega^\beta$. Еще раз напомним, что через $\omega^\alpha$ обозначены дифференциальные формы $\omega^\alpha=\omega^\alpha_ida^i$ и что матрица коэффициентов этих дифференциальных форм и матрица коэффициентов операторов $\Omega_\alpha$ являются взаимно обратными. 2.1. Тензор Римана–КристоффеляФормула (6), позволяя выразить через $\omega^\alpha_i$ символы Кристоффеля
$$
\begin{equation}
\Gamma_{ij}^k=\omega_\theta^k(\partial_j\omega^\theta_i+H_{\alpha\beta}^\theta\omega_i^\alpha\omega_j^\beta),
\end{equation}
\tag{7}
$$
дает возможность представить тензор Римана
$$
\begin{equation}
R_{ijk}^l=\partial_j\Gamma_{ik}^l-\partial_k\Gamma_{ij}^l+\Gamma^l_{sj}\Gamma^s_{ik}-\Gamma^l_{sk}\Gamma^s_{ij}
\end{equation}
\tag{8}
$$
следующим образом. Замечание 1. Как мы видим, тензор Римана выражается линейным образом через те же самые коэффициенты линейных форм, что и метрический тензор. Если перейти к тензору $R_{ijkl}= M_{\alpha\beta\gamma}^\theta q_{\varkappa\theta} \omega_i^\alpha\omega_j^\beta\omega_k^\gamma\omega^\varkappa_l$, опустив верхний индекс, то окажется, что этот тензор является квадрилинейной формой от $\omega_i^\alpha$ с постоянными коэффициентами. Замечание 2. Если воспользоваться тем, что $C_{\alpha\beta}^{*\theta}=H_{\beta\alpha}^\theta-H_{\alpha\beta}^\theta$ (что непосредственно следует из (5)), мы получим более выразительное представление: Доказательство теоремы 1. Подставим (7) в (8), получим 2.2. Тензор Риччи и главные кривизныТензор Риччи имеет вид
$$
\begin{equation*}
R_{ij}=R_{ijk}^k=\omega_i^\alpha\omega_j^\beta M_{\alpha\beta\gamma}^\gamma.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $M_{\alpha\beta}=M_{\alpha\beta\gamma}^\gamma$, тогда все главные кривизны окажутся собственными значениями матричной задачи $M_{\alpha\beta}=R q_{\alpha\beta}$, а главные направления кривизн – соответствующими собственными векторами. Все они будут постоянными, не зависящими от точки (что естественно, поскольку группа во всех точках устроена одинаково: автоморфизмом можно любую точку перевести в любую, а метрики, которые мы используем, инвариантны относительно автоморфизмов). Выражение $M_{\alpha\beta}$ через $H_{\alpha\beta}^\theta$ дает достаточно компактную формулу:
$$
\begin{equation*}
M_{\alpha\beta}=M_{\alpha\beta\gamma}^\gamma =H_{\alpha\sigma}^{\gamma}H_{\beta\gamma}^{\sigma} -H_{\alpha\sigma}^{\gamma}H_{\gamma\beta}^\sigma +H_{\alpha\gamma}^{\sigma}H_{\sigma\beta}^\gamma -H_{\sigma\gamma}^\gamma H_{\alpha\beta}^{\sigma}=H_{\alpha\sigma}^{\gamma}H_{\beta\gamma}^{\sigma} -H_{\sigma\gamma}^\gamma H_{\alpha\beta}^{\sigma}.
\end{equation*}
\notag
$$
Внешне эта формула выглядит не совсем симметрично, но учитывая, что
$$
\begin{equation*}
H_{\sigma\gamma}^\gamma=-\frac 12 [C^{*\gamma}_{\sigma\gamma} +q^{\gamma\mu}q_{\nu\gamma}C^{*\nu}_{\sigma\mu} +q^{\gamma\mu}q_{\sigma\nu}C^{*\nu}_{\gamma\mu}]= -\frac 12 [C^{*\gamma}_{\sigma\gamma} +C^{*\gamma}_{\sigma\gamma}+q_{\sigma\nu}(q^{\gamma\mu} C^{*\nu}_{\gamma\mu})]=-C^{*\gamma}_{\sigma\gamma}
\end{equation*}
\notag
$$
(первое и второе слагаемые совпадают, последнее равно нулю в силу антисимметрии структурных констант по нижним индексам), мы получаем
$$
\begin{equation*}
M_{\alpha\beta}-M_{\beta\alpha}=C_{\sigma\gamma}^{*\gamma}[H^\sigma_{\alpha\beta}-H^\sigma_{\beta\alpha}]=-C_{\sigma\gamma}^{*\gamma}C^{*\sigma}_{\alpha\beta}=0
\end{equation*}
\notag
$$
в силу тождества Якоби ($-C_{\sigma\gamma}^{*\gamma}C^{*\sigma}_{\alpha\beta}=C_{\sigma\beta}^{*\gamma}C^{*\sigma}_{\gamma\alpha}+C_{\sigma\alpha}^{*\gamma}C^{*\sigma}_{\beta\gamma}=0$). Поэтому матрица $M_{\alpha\beta}$ является на самом деле симметричной, как и должно быть. Далее мы будем, в зависимости от ситуации, использовать несколько эквивалентных формул для $M_{\alpha\beta}$. Это уже полученные выше формулы, выражающие $M_{\alpha\beta}$ через $H_{\alpha\beta}^\gamma$:
$$
\begin{equation}
M_{\alpha\beta}=H_{\alpha\sigma}^{\gamma}H_{\beta\gamma}^{\sigma} -H_{\sigma\gamma}^\gamma H_{\alpha\beta}^{\sigma}=H_{\alpha\sigma}^{\gamma}H_{\beta\gamma}^{\sigma}+C_{\sigma\gamma}^{*\gamma}H_{\alpha\beta}^{\sigma}
\end{equation}
\tag{12}
$$
(напомним, что $H_{\sigma\gamma}^\gamma=-C^{*\gamma}_{\sigma\gamma}$) и формула прямого вычисления $M_{\alpha\beta}$ через структурные константы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, M_{\alpha\beta}={}&\frac 14 [2C^{*\gamma}_{\alpha\sigma}C^{*\sigma}_{\beta\gamma} +2C^{*\gamma}_{\alpha\sigma}q^{\sigma\rho}q_{\mu\gamma} C^{*\mu}_{\beta\rho}-2C_{\sigma\gamma}^{*\gamma} q^{\sigma\rho}C^{*\mu}_{\alpha\rho}q_{\mu\beta}-{} \notag \\ &-2q_{\alpha\nu}C_{\sigma\gamma}^{*\gamma} q^{\sigma\rho}C^{*\nu}_{\beta\rho} +q_{\alpha\mu}C^{*\mu}_{\sigma\rho}q^{\gamma\rho} q^{\sigma\rho'}C^{*\nu}_{\gamma\rho'}q_{\beta\nu}]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13}
$$
Нам также понадобится получаемая из (13) при $q_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}$ формула
$$
\begin{equation}
M_{\alpha\beta}=M_\alpha^\beta=\frac 14 [2C^{*\sigma}_{\alpha\gamma}C^{*\gamma}_{\beta\sigma}+2C^{*\gamma}_{\alpha\sigma}C_{\beta\sigma}^{*\gamma} -2C^{*\gamma}_{\sigma\gamma}C^{*\alpha}_{\beta\sigma} -2C^{*\gamma}_{\sigma\gamma}C^{*\beta}_{\alpha\sigma} +C^{*\alpha}_{\sigma\gamma}C^{*\beta}_{\gamma\sigma}].
\end{equation}
\tag{14}
$$
Формула (13) получается прямой подстановкой в (12) формулы (5):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_{\alpha\beta}={}&\frac 14 [(C^{*\gamma}_{\alpha\sigma} +q^{\gamma\rho}q_{\mu\sigma}C^{*\mu}_{\alpha\rho} +q^{\gamma\rho}q_{\alpha\mu}C^{*\mu}_{\sigma\rho}) (C^{*\sigma}_{\beta\gamma} +q^{\sigma\rho'}q_{\nu\gamma}C^{*\nu}_{\beta\rho'} +q^{\sigma\rho'}q_{\beta\nu}C^{*\nu}_{\gamma\rho'})-{} \\ &-2C_{\sigma\gamma}^{*\gamma}(C^{*\sigma}_{\alpha\beta} +q^{\sigma\rho}q_{\mu\beta}C^{*\mu}_{\alpha\rho} +q^{\sigma\rho}q_{\alpha\mu}C^{*\mu}_{\beta\rho})]={} \\ ={}&\frac 14 [C^{*\gamma}_{\alpha\sigma}C^{*\sigma}_{\beta\gamma} +C^{*\gamma}_{\alpha\sigma}q^{\sigma\rho}q_{\mu\gamma}C^{*\mu}_{\beta\rho} +C^{*\gamma}_{\alpha\sigma}q^{\sigma\rho}C^{*\nu}_{\gamma\rho}q_{\beta\nu} +C^{*\mu}_{\alpha\rho}q^{\gamma\rho}q_{\mu\sigma} C^{*\sigma}_{\beta\gamma}+C^{*\mu}_{\alpha\rho}C^{*\rho}_{\beta\mu} +{} \\ &+C^{*\mu}_{\alpha\rho}q^{\gamma\rho}C^{*\nu}_{\gamma\mu}q_{\beta\nu} +q_{\alpha\mu}C^{*\mu}_{\sigma\rho}q^{\gamma\rho} C^{*\sigma}_{\beta\gamma}+q_{\alpha\mu}C^{*\mu}_{\sigma\nu} q^{\sigma\rho}C^{*\nu}_{\beta\rho}+q_{\alpha\mu}C^{*\mu}_{\sigma\rho}q^{\gamma\rho} q^{\sigma\rho'}C^{*\nu}_{\gamma\rho'}q_{\beta\nu}-{} \\ &-2C_{\sigma\gamma}^{*\gamma}C^{*\sigma}_{\alpha\beta} -2C_{\sigma\gamma}^{*\gamma}q^{\sigma\rho}q_{\mu\beta}C^{*\mu}_{\alpha\rho} -2C_{\sigma\gamma}^{*\gamma}q^{\sigma\rho}q_{\alpha\nu}C^{*\nu}_{\beta\rho}]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно видеть, что с точностью до переобозначения индексов суммирования первое слагаемое совпадает с пятым, второе – c четвертым, третье уничтожается шестым, а седьмое – восьмым. Десятое слагаемое равно нулю. В итоге получается формула (13). 2.3. Пример: двумерная алгебраКоммутативная двумерная алгебра с базисом $\partial_a$, $\partial_b$ представляет собой тривиальный случай: для нее метрики имеют вид $Ada^2+2Bdadb+Cdb^2$ с постоянными коэффициентами $A$, $B$ и $C$, базис дифференциальных форм – $da$ и $db$, двойственная алгебра совпадает с исходной, все ее структурные константы равны нулю, и, следовательно, тензоры Римана и Риччи равны нулю. Поэтому мы рассмотрим некоммутативную алгебру. Выберем в качестве базиса, как в п. 1.3, $\partial_a$, $a\partial_a+\partial_b$, тогда инвариантные метрики принимают вид $Ae^{-2b}da^2+2Be^{-b}dadb+Cdb^2$ с постоянными коэффициентами $A$, $B$ и $C$, базис дифференциальных форм состоит из $e^{-b}da$ и $db$. Матрица метрической формы и обратная матрица имеют вид соответственно
$$
\begin{equation*}
q_{\alpha\beta}=\begin{pmatrix} A&B\\ B&C \end{pmatrix}\qquad\text{ и }\qquad q^{\alpha\beta}=\frac 1{AC-B^2}\begin{pmatrix} C&-B\\ -B&A \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Двойственная алгебра имеет базис $\Omega_1=e^{b}\partial_a$, $\Omega_2=\partial_b$, единственная (с точностью до перестановки нижних индексов) ненулевая структурная константа равна $C^{*1}_{12}=-1$. Тогда величины $H_{\alpha\beta}^\gamma$ равны
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, H_{11}^1=-\frac{AB}{AC-B^2}, \quad H_{12}^1=-\frac{B^2}{AC-B^2}, \quad H_{21}^1=-\frac{AC}{AC-B^2}, \quad H_{22}^1=-\frac{BC}{AC-B^2}, \\ H_{11}^2=\frac{A^2}{AC-B^2}, \quad H_{12}^2=\frac{AB}{AC-B^2}, \quad H_{21}^2=\frac{AB}{AC-B^2}, \quad H_{22}^2=\frac{B^2}{AC-B^2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку тензор $M_{\alpha\beta\gamma}^\theta$, очевидно, антисимметричен по $\beta$ и $\gamma$, ненулевыми могут быть только $M_{\alpha12}^\theta$ и $M_{\alpha21}^\theta$. Поскольку они противоположны по значению, мы вычислим только одну серию коэффициентов:
$$
\begin{equation*}
M_{112}^1=-\frac{AB}{AC-B^2}, \quad M_{112}^2=\frac{A^2}{AC-B^2}, \quad M_{212}^1=-\frac{AC}{AC-B^2}, \quad M_{212}^2=\frac{AB}{AC-B^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
И, наконец, найдем $M_{\alpha\beta}=M_{\alpha\beta\gamma}^\gamma$:
$$
\begin{equation*}
M_{\alpha\beta}=\frac{A}{AC-B^2}\begin{pmatrix} A&B \\ B&C \end{pmatrix}=\frac{A}{AC-B^2}q_{\alpha\beta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы получили метрику пространства постоянной кривизны. Гауссова кривизна этого пространства $K=-A/(AC-B^2)$ является отрицательной, поскольку квадратичная форма предполагается положительно определенной (что естественно, поскольку она определяет геометрию Лобачевского). В принципе, полученные формулы применимы и в случае, когда мы имеем уже индефинитную метрику Минковского, однако здесь мы этот случай не рассматриваем. Отметим важный момент: группы Ли не покрывают все случаи даже римановых пространств постоянной кривизны. Как мы видим, в двумерном случае алгебра Ли может быть только римановым пространством нулевой или отрицательной кривизны. Пространством же положительной кривизны (т. е. сферой) никакая двумерная группа Ли быть не может. Причиной этого является тот факт, что в группе движений сферы нет двухпараметрических подгрупп. 3. Нормальные формы алгебр Ли3.1. Понятие геометрически нормальной формыПолученные в разделе 2 результаты показывают, что геометрические характеристики левоинвариантной метрики на группе Ли зависят фактически не от самой алгебры правых автоморфизмов, а только от выбора базиса в этой алгебре, или в конечном счете от структурных констант $C^{*\gamma}_{\alpha\beta}$. Действительно, и тензор $M_{\alpha\beta\gamma}^\theta$, определяющий тензор Римана–Кристоффеля, и матрица $M_{\alpha\beta}$, и ее собственные значения (главные кривизны) вычисляются явно через структурные константы и коэффициенты квадратичной формы и никак не используют вид коэффициентов $\omega_\alpha^i$ операторов из алгебры. Правда, связь между исходными данными ($C_{\alpha\beta}^{*\gamma}$ и $q_{\alpha\beta}$) и геометрическими характеристиками является далеко не взаимно однозначной: очевидно, что, заменяя базис операторов в двойственной алгебре, можно, заменив соответствующим образом дифференциальные формы и коэффициенты квадратичной формы, сохранить неизменными значения как констант $H_{\alpha\beta}^\gamma$, так и остальных геометрических характеристик. Поэтому возникает вопрос о нормировке отношений между структурными константами, коэффициентами квадратичной формы и геометрическими характеристиками. Здесь может быть два подхода. Один связан с фиксацией (тем или иным образом) базиса двойственной алгебры и рассмотрением зависимости геометрических характеристик от выбора коэффициентов квадратичной формы. Однако такой подход достаточно прозрачных результатов не дает даже для трехмерного случая (соответствующие теоремы без доказательств мы приведем как иллюстрацию в следующем разделе). Более интересным оказывается альтернативный подход: имея произвольную алгебру $\Omega$ и произвольную положительно определенную квадратичную форму $q_{\alpha\beta}$, задающую метрику $ds^2=q_{\alpha\beta}\omega^\alpha\omega^\beta$, мы можем (это стандартная процедура) за счет преобразования базиса дифференциальных форм $\omega^\alpha$ превратить эту квадратичную форму в сумму квадратов. Это эквивалентно преобразованию базиса операторов $\Omega_\alpha$ двойственной алгебры. Структурные константы при этом тоже как-то преобразуются, но поскольку кривизны являются инвариантами, эти кривизны останутся при таком преобразовании неизменными. Таким образом, в этом подходе мы можем всегда предполагать, что фиксирована квадратичная форма, как сумма квадратов некоторого набора дифференциальных форм, а алгебра задается операторами, коэффициенты которых определяются матрицей, обратной к матрице коэффициентов этих дифференциальных форм. В этом случае геометрические характеристики будут зависеть уже только от структурных констант. При этом у нас еще остается возможность менять эти структурные константы. Действительно, обеспечить сохранение суммы квадратов мы можем вращениями базиса дифференциальных форм и соответствующими им вращениями базиса операторов в алгебре. Эти вращения меняют одновременно и геометрическую характеристику – матрицу $M_{\alpha\beta}$. А это означает, что у нас появляется возможность привести эту матрицу имеющимися в нашем распоряжении вращениями к диагональной форме. При этом соответствующая алгебра преобразуется к некоторой форме, зависящей от нескольких параметров. В ситуации общего положения эти параметры будут связаны со значениями главных кривизн. Такие формы мы и будем называть геометрически нормальными формами. Как мы увидим ниже, в вырожденных ситуациях некоторые структурные константы могут оказаться произвольными и не влиять на значения главных кривизн. Определение 1. Геометрически нормальной формой алгебры Ли называется такая форма, для которой и матрица коэффициентов $q_{\alpha\beta}$ соответствующей метрической формы, и матрица $M_{\alpha\beta}$ коэффициентов формы Риччи являются диагональными. Отметим, что введение такой нормализации делает процедуру приведения любой алгебры и любой метрики к нормальной форме абсолютно конструктивной: она превращается фактически в задачу приведения двух квадратичных форм к диагональному виду. Сначала к сумме квадратов приводится метрическая форма, а потом вращениями к канонической форме приводится матрица $M_{\alpha\beta}$, характеризующая тензор Риччи и главные кривизны. 3.2. Пример: нормальная форма двумерной алгебрыКоммутативный случай здесь тривиален: с одной стороны, все структурные константы нулевые в любом базисе, а с другой – и тензор Римана, и тензор Риччи также являются нулевыми в любом базисе. Поэтому рассмотрим случай некоммутативной алгебры. Здесь ситуация также несколько упрощенная: в двумерном случае тензор Римана является диагональным всегда, и на диагонали стоит $(C_{12}^{*1})^2+(C_{12}^{*2})^2$. Эта же величина является инвариантом вращений базиса, поэтому любую алгебру с коммутатором $[\Omega_1,\Omega_2]=C_{12}^{*1}\Omega_1+C_{12}^{*2}\Omega_2$ можно вращениями привести к виду $[\bar \Omega_1,\bar \Omega_2]=\lambda \bar \Omega_1$, где $\lambda=\sqrt{(C_{12}^{*1})^2+(C_{12}^{*2})^2}$. Таким образом, с точки зрения определения 1, любая двумерная алгебра имеет геометрически нормальную форму, но если иметь в виду необходимость определенной минимизации количества параметров, то достаточно ограничиться, в качестве “минимальных” нормальных форм, алгебрами с коммутатором $[\bar \Omega_1,\bar \Omega_2]=\lambda \bar \Omega_1$ и соответствующим тензором Риччи $R_{ij}=\lambda g_{ij}$. Наиболее содержательным оказывается трехмерный случай. 4. Трехмерные алгебры Ли и их геометрические характеристикиРассмотрим трехмерные алгебры Ли. Прежде чем разбираться, как выглядят их геометрически нормальные формы, мы приведем для сравнения обещанные результаты альтернативного подхода – когда фиксируется алгебра Ли и рассматривается зависимость геометрических характеристик от коэффициентов $q_{\alpha\beta}$ квадратичной формы, задающей метрику $ds^2=q_{\alpha\beta}\omega^\alpha\omega^\beta$. Для фиксации определенных алгебр удобно воспользоваться известной классификацией трехмерных алгебр Ли. 4.1. Классификация Бьянки трехмерных алгебр ЛиКлассификацию всех имеющихся трехмерных групп Ли выполнил в 1897 году Бьянки [5]. Впоследствии она многократно воспроизводилась разными авторами в разных версиях (количество классов в зависимости от принципов классификации колебалось от семи до одиннадцати). Мы приведем версию этой классификации, основываясь на классификационном принципе, связанном с наличием коммутативных или некоммутативных подгрупп, обозначая их символами $A_{i,j}$, где первый индекс указывает количество двумерных коммутативных подгрупп, а второй – количество двумерных некоммутативных подгрупп. Теорема 2 (Бьянки). Любая трехмерная алгебра Ли линейным преобразованием базиса приводится к одной из следующих восьми алгебр: 4.2. Геометрические характеристики трехмерных алгебр для простейшей квадратичной формыВычислим теперь $M_{\alpha\beta}$ для каждой из трехмерных групп Ли, порождающие алгебры которых приведены в теореме 2 (поскольку двойственная алгебра имеет такую же структуру, мы можем сразу считать, что операторы $\Omega_\alpha$ подчиняются в каждом случае таким же условиям коммутации, что и $\Xi_\alpha$). При этом можно пользоваться двумя различными стратегиями. Первая из них – минимальная: взять для каждой из названных алгебр в качестве квадратичной формы просто сумму квадратов и воспользоваться формулой (14). Вторая стратегия, наоборот, максимальная: взять произвольную квадратичную форму и с помощью формулы (13) вычислить матрицу $M_{\alpha\beta}$, по ней определить $M_\alpha^\beta$ и ее собственные значения – кривизны. Приведем результаты, которые получаются в результате применения той и другой стратегии. Поскольку эти результаты для нашего изложения носят сугубо иллюстративный характер, мы их приводим без доказательств (которые состоят в вычислениях по имеющимся формулам). Теорема 3. Для алгебр Ли, приведенных в теореме 2, и простейшей квадратичной формы (суммы квадратов) матрицы $M_{\alpha\beta}$ и кривизны имеют следующий вид: Как мы видим, этот результат мало что проясняет в отношениях между алгеброй Ли и метрическими характеристиками. Впрочем, он и не может ничего прояснить, поскольку, как будет показано ниже, в нем случайные феномены практически неотличимы от закономерных. 4.3. Геометрические характеристики трехмерных алгебр для произвольной квадратичной формыМаксимальная стратегия (когда мы рассматриваем произвольную матрицу $q_{\alpha\beta}$) дает более общий результат. Теорема 4. Для алгебр Ли, приведенных в теореме 2, и произвольной квадратичной формы матрицы $M_\alpha^\beta=M_{\alpha\sigma}q^{\sigma\beta}$ и их собственные значения (главные кривизны) $R_\alpha$ имеют следующий вид (ниже $\Delta$ – определитель матрицы $q^{\alpha\beta}$). Как мы видим, сравнивая формулы в теоремах 3 и 4, из теоремы 3 получить полезную информацию мы не могли: равенство или неравенство нулю каких-то кривизн, равенство их между собой, знаки этих кривизн в одних формулах были случайными, в других – нет. С другой стороны, и результаты, представленные в теореме 4, особого понимания связи между алгеброй, квадратичной формой и кривизнами не дают. Кривизны вычислить удается не во всех случаях, а когда удается, оказывается, что они должны удовлетворять каким-то соотношениям типа равенств и неравенств, и из этих соотношений цельной и ясной картины не складывается. Таким образом, подход, в котором мы фиксировали ту или иную алгебру, используя канонические формы, представленные в теореме 2, оказывается не вполне удачным. 5. Нормальные геометрические формы трехмерных алгебр ЛиПредставим теперь результат, который получается при использовании второго подхода, приводящего к геометрически нормальным формам. Теорема 5. Любая трехмерная алгебра Ли $\Omega$ с соотношениями коммутации Приводимость определяется тем, является ли матрица (29) структурных констант симметричной. Если матрица несимметрична, то алгебра приводится к нормальной форме (30), а если симметрична – к форме (31). Если $q_{\alpha\beta}$ является единичной, то соответствующие матрицы $M_{\alpha\beta}$ для алгебры первого типа имеют вид а для алгебры второго типаЗамечание 3. Отнесение алгебры к первому или второму типу не зависит от выбора коэффициентов $q_{\alpha\beta}$. Замечание 4. По признаку симметрии или несимметрии матрицы (29) легко проверить, что к первому типу относятся алгебры $A_{2,1}$, $A_{1,1}$ и $A_{1,0}$ при $k\ne 0$, а также $A_{1,2}$ при $k\ne 1$, а ко второму типу – алгебры $A_{3,0}$, $A_{2,0}$, $A_{1,2}$ при $k=1$, $A_{1,0}$ при $k=0$, $A_{0,2}$ и $A_{0,0}$ из теоремы 2. Замечание 5. Собственные значения матрицы $M_{\alpha\beta}$ – это главные кривизны. Если обозначить их $R_1$, $R_2$ и $R_3$, то для алгебры первого типа мы можем выразить ее параметры через кривизны: Исключительный вариант $R_1=R_2$, как и $2R_3=R_1+R_2$, возможен только при $\sigma=0$, в этом случае все три кривизны совпадают между собой и положительны, а для структурных констант мы получаем, что $C_{31}^{*1}=-C_{23}^2=\sqrt{R/2}$, а $C_{23}^{*1}=C_{31}^{*2}$ может принимать любое значение, и оно не влияет на значения кривизн. Для алгебр второго типа мы также можем выразить структурные константы через кривизны, используя вспомогательные величины
$$
\begin{equation}
\zeta_1=C^{*1}_{23}-C^{*2}_{31}-C^{*3}_{12},\qquad \zeta_2=C^{*2}_{31}-C^{*3}_{12}-C^{*1}_{23},\qquad \zeta_3=C^{*3}_{12}-C^{*1}_{23}-C^{*2}_{31},
\end{equation}
\tag{34}
$$
для которых оказывается, что $R_1=-\zeta_2\zeta_3$, $R_2=-\zeta_3\zeta_1$, $R_3=-\zeta_1\zeta_2$, и поэтому
$$
\begin{equation}
\zeta_1=\pm\frac{\sqrt{-R_1R_2R_3}}{R_1},\qquad \zeta_2=\pm\frac{\sqrt{-R_1R_2R_3}}{R_2},\qquad \zeta_3=\pm\frac{\sqrt{-R_1R_2R_3}}{R_3}
\end{equation}
\tag{35}
$$
(при этом во всех трех формулах одновременно выбираются одинаковые знаки) откуда, обращая (34), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C^{*3}_{12}&=-\frac{\zeta_1+\zeta_2}2=\mp\frac 12 \sqrt{-R_1R_2R_3}\biggl(\frac 1{R_1}+\frac 1{R_2} \biggr),\\ C^{*1}_{23}&=-\frac {\zeta_2+\zeta_3}2=\mp\frac 12 \sqrt{-R_1R_2R_3}\biggl(\frac 1{R_2}+\frac1{R_3} \biggr),\\ C^{*2}_{31}&=-\frac{\zeta_1+\zeta_3}2=\mp\frac 12 \sqrt{-R_1R_2R_3}\biggl(\frac1{R_1}+\frac1{R_3} \biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{36}
$$
Как мы видим, и в этом случае соответствие между структурными константами в нормальном представлении и кривизнами практически взаимно однозначное (с точностью до перенумерации, что меняет знак с плюса на минус и обратно), кривизны при этом должны удовлетворять условию $R_1R_2R_3<0$. Особым является случай, когда одна из кривизн равна нулю. Это означает, что равна нулю одна из величин $\zeta_\alpha$ (т. е. сумма каких-то двух из структурных констант равна третьей), а тогда равна нулю по крайней мере еще одна из кривизн (например, $\zeta_3=0$ и, соответственно, $R_1=R_2=0$). Если при этом третья кривизна не нулевая, то она определяет лишь произведение оставшихся величин $\zeta_\alpha$ (в рассматриваемом предположении $R_3=-\zeta_1 \zeta_2$), так что у нас, как и для алгебр первого типа, в формулах для структурных констант появляется свободный параметр, который не влияет на значения кривизн. Если же все три кривизны равны нулю, то равны нулю по крайней мере две из трех величин $\zeta_i$, третья же может быть произвольной, и она не влияет на значения кривизн. Таким образом, в итоге мы можем сформулировать следующую теорему. Теорема 6. Для любой трехмерной алгебры Ли $\Omega$ с базисом $\Omega_\alpha=\omega_\alpha^i\partial_i$ и любой метрической формы $ds^2=q_{\alpha\beta}\omega^\alpha\omega^\beta$ с постоянными коэффициентами $q_{\alpha\beta}$ и линейными дифференциальными формами $\omega^\alpha=\omega^\alpha_idx^i$, матрица коэффициентов которых $\omega^\alpha_i$ является обратной к матрице коэффициентов $\omega_\alpha^i$ операторов $\Omega_\alpha$, существует невырожденное линейное преобразование базиса $\Omega_\alpha$ (и соответственно $\omega^\alpha$), приводящее метрику к сумме квадратов новых дифференциальных форм, а алгебру $\Omega$ – к одной из двух нормальных форм (30) или (31). При этом тензор Риччи соответствующей метрики также оказывается суммой квадратов тех же самых дифференциальных форм с коэффициентами, равными главным кривизнам этой римановой метрики. Поскольку теорема 6 является прямым следствием теоремы 5, мы приводим только доказательство теоремы 5. 5.1. Доказательство теоремы 5. Ортогональные преобразования в трехмерном базисеДля начала покажем, как преобразуются структурные константы при поворотах. Пусть $\Omega$ – алгебра с базисом $\Omega_\alpha$ и структурными константами $C_{\alpha\beta}^{*\gamma}$. Лемма 1. При поворотах в плоскости операторов $\Omega_1$ и $\Omega_2$, Доказательство. Рассмотрим поворот в плоскости операторов $\Omega_1$ и $\Omega_2$: 5.2. Доказательство теоремы 5. Два типа трехмерных алгебр ЛиПоскольку тождество Якоби
$$
\begin{equation*}
C_{\alpha\beta}^{*\sigma} C_{\gamma\sigma}^{*\rho}+C_{\beta\gamma}^{*\sigma} C_{\alpha\sigma}^{*\rho}+C_{\gamma\alpha}^{*\sigma} C_{\beta\sigma}^{*\rho}=0
\end{equation*}
\notag
$$
задает три условия на структурные константы:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, -C_{12}^{*2} C_{23}^{*1}+C_{23}^{*2} C_{12}^{*1}-C_{23}^{*3}C_{31}^{*1}+C_{31}^{*3} C_{23}^{*1}&=0,\\ C_{12}^{*1} C_{31}^{*2}-C_{23}^{*3} C_{31}^{*2} -C_{31}^{*1}C_{12}^{*2}+C_{31}^{*3} C_{23}^{*2}&=0,\\ C_{12}^{*1} C_{31}^{*3}-C_{12}^{*2} C_{23}^{*3} +C_{23}^{*2} C_{12}^{*3}-C_{31}^{*1} C_{12}^{*3}&=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{40}
$$
число свободных параметров в структурных константах на самом деле не девять, а шесть. Мы попробуем за счет ортогональных преобразований базиса уменьшить число свободных параметров до трех. Введем вспомогательные величины
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 2\alpha&=C_{12}^{*2}+C_{31}^{*3}, \qquad 2\beta=C_{23}^{*3}+C_{12}^{*1},\qquad 2\gamma=C_{31}^{*1}+C_{23}^{*2},\\ 2\lambda&=C_{12}^{*2}-C_{31}^{*3},\qquad 2\mu=C_{23}^{*3}-C_{12}^{*1}, \qquad 2\nu=C_{31}^{*1}-C_{23}^{*2} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{41}
$$
(коэффициент 2 всюду стоит для удобства дальнейшего использования). Удобство от введения этих величин состоит в том, что, во-первых, они позволяют переписать тождества Якоби (40) в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C_{23}^{*1}\lambda+\gamma\mu+\beta\nu&=0,\\ \gamma\lambda+C_{31}^{*2}\mu+\alpha\nu&=0,\\ \beta\lambda+\alpha\mu+C_{12}^{*3}\nu &=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{42}
$$
в котором легко усматривается линейная однородная система относительно $\lambda$, $\mu$ и $\nu$. Нетрудно понять, что нас интересует следующая альтернатива: величины $\lambda$, $\mu$ и $\nu$ равны нулю или не равны. Поскольку первый случай соответствует симметричной, а второй – несимметричной матрице (29) (она специально для этого и была записана в таком виде), разделение алгебр по типу определяется исключительно свойствами алгебры. Во-вторых, оказывается, что при поворотах величины $\lambda$, $\mu$ и $\nu$ ведут себя весьма регулярным образом, так что у нас появляется возможность их изменять в определенном направлении. Действительно, если воспользоваться леммой 1, то из формул (37) мы получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \tilde\lambda=\frac 12(\widetilde C_{12}^{*2}-\widetilde C_{31}^{*3})= \frac 12 (C_{12}^{*2}-C_{31}^{*3})\cos\phi +\frac 12 (C_{23}^{*3}-C_{12}^{*1})\sin\phi=\lambda \cos\phi +\mu\sin\phi,\\ \tilde\mu=\frac 12 (\widetilde C_{23}^{*3}-\widetilde C_{12}^{*1}) =(C_{23}^{*3}-C_{12}^{*1})\cos\phi +(C_{31}^{*3}-C_{12}^{*2})\sin\phi=\mu\cos\phi-\lambda\sin\phi,\\ \tilde\nu=\frac 12 (\widetilde C_{31}^{*1}-\widetilde C_{23}^{*2})= \frac 12 (C_{31}^{*1}-C_{23}^{*2}) \cos^2\phi +\frac 12 (C_{31}^{*1}-C_{23}^{*2}) \sin^2\phi=\nu. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, поворот первых двух базисных векторов алгебры дает нам точно такой же поворот первых двух величин в пространстве переменных $(\lambda,\mu,\nu)$. Аналогичная ситуация наблюдается и для двух других поворотов. Таким образом, в пространстве переменных $(\lambda,\mu,\nu)$ группа ортогональных преобразований базиса $\Omega_1$, $\Omega_2$, $\Omega_3$ представлена как группа вращений, поэтому смысл рассмотрения нашей альтернативы – выполнено $\lambda=\mu=\nu=0$ или нет – становится совершенно ясным. Итак, обнаруженная альтернатива дает нам два типа алгебр. Алгебры, для которых вектор $(\lambda,\mu,\nu)$ ненулевой, мы отнесем к алгебрам первого типа, а алгебры, для которых он нулевой, – к алгебрам второго типа. Далее мы осуществим нормализацию алгебр и первого, и второго типа. 5.3. Доказательство теоремы 5. Нормализация алгебр первого типаРассмотрим первый случай: $\lambda^2+\mu^2+\nu^2\ne 0$. Тогда поворотами можно добиться того, чтобы $\lambda=\mu=0$ (а величина $\nu$ тогда по предположению будет ненулевой). Тождества Якоби при этом превратятся в $\beta\nu=\alpha\nu=C_{12}^{*3}\nu=0$, и в силу условия $\nu\ne 0$ мы приходим к равенствам $\alpha=\beta=\lambda=\mu=C_{12}^{*3}=0$, из которых следует, что $C_{12}^{*i}=C_{ij}^{*3}=0$, и наша алгебра принимает вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [\Omega_1,\Omega_2]&=0,\\ [\Omega_2,\Omega_3]&=C_{23}^{*1}\Omega_1+C_{23}^{*2}\Omega_2,\\ [\Omega_3,\Omega_1]&=C_{31}^{*1}\Omega_1+C_{31}^{*2}\Omega_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Эта алгебра характеризуется четырьмя параметрами, а в нашем распоряжении осталось еще вращение в плоскости операторов $\Omega_1$ и $\Omega_2$, которое, очевидно, сохраняет вид этой алгебры и позволяет избавиться от одного из параметров. Далее мы воспользуемся этой возможностью для того, чтобы сделать матрицу $M_{\alpha\beta}$, определяющую главные кривизны, диагональной. Для этого выделим инварианты и параметры, которые меняются при указанном вращении. Из формул (37) выберем преобразования оставшихся четырех структурных констант при повороте в плоскости $\Omega_1$ и $\Omega_2$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widetilde C_{23}^{*1}&=C_{23}^{*1} \cos^2\phi+(C_{31}^{*1}+C_{23}^{*2})\sin\phi\cos\phi+C_{31}^{*2}\sin^2\phi,\\ \widetilde C_{23}^{*2}&=C_{23}^{*2} \cos^2\phi+(C_{31}^{*2}-C_{23}^{*1}) \sin\phi\cos\phi-C_{31}^{*1}\sin^2\phi,\\ \widetilde C_{31}^{*1}&=C_{31}^{*1}\cos^2\phi+(C_{31}^{*2}-C_{23}^{*1})\sin\phi\cos\phi-C_{23}^{*2}\sin^2\phi,\\ \widetilde C_{31}^{*2}&= C_{31}^{*2}\cos^2\phi-(C_{23}^{*2}+C_{31}^{*1})\sin\phi\cos\phi+C_{23}^{*1}\sin^2\phi. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{43}
$$
Если перейти к уже использованным обозначениям $2\gamma=C_{31}^{*1}+C_{23}^{*2}$, $2\nu=C_{31}^{*1}-C_{23}^{*2}$ и ввести аналогичные обозначения $2\delta=C_{31}^{*2}-C_{23}^{*1}$, $2\varkappa=C_{31}^{*2}+C_{23}^{*1}$, то окажется, что рассматриваемые нами вращения не меняют $\nu$ и $\varkappa$, а для пары $\gamma$, $\delta$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
\tilde\gamma=\gamma\cos 2\phi+\delta\sin2\phi,\qquad \tilde \delta = \delta\cos 2\phi-\gamma\sin 2\phi,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем, что третий параметр, остающийся неизменным, – это $\gamma^2+\delta^2$. Обозначим его через $\rho^2$, тогда можно считать, что $\gamma=\rho\cos\tau$, $\delta=\rho\sin\tau$, и для структурных констант мы получаем представление
$$
\begin{equation*}
\ C_{31}^{*1}=\rho\cos\tau+\nu,\qquad C_{23}^{*2}=\rho\cos\tau-\nu,\qquad C_{31}^{*2}=\rho\sin\tau+\varkappa, \qquad C_{23}^{*1}=-\rho\sin\tau+\varkappa,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\rho$, $\nu$ и $\varkappa$ являются инвариантами, и именно они будут характеризовать алгебру с точки зрения кривизн, а $\tau$ – угол, который можно произвольным образом изменять, и именно он будет отвечать за то, чтобы матрица $M_{\alpha}^\beta$ оказалась диагональной. Нетрудно проверить, что повороты (37) действуют на $\tau$ аддитивным образом. Действительно, поскольку
$$
\begin{equation*}
\operatorname{tg}\tau=\frac{C_{31}^{*2}-C_{23}^{*1}}{C_{31}^{*1}+C_{23}^{*2}},
\end{equation*}
\notag
$$
из формул (43) получаем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{tg}\tilde \tau=\frac{\widetilde C_{31}^{*2}-\widetilde C_{23}^{*1}}{\widetilde C_{31}^{*1}+\widetilde C_{23}^{*2}} =\frac{(C_{31}^{*2}-C_{23}^{*1})(\cos^2\phi-\sin^2\phi) -2(C_{31}^{*1}+C_{23}^{*2})\sin\phi\cos\phi} {(C_{31}^{*1}+C_{23}^{*2})(\cos^2\phi-\sin^2\phi) +2(C_{31}^{*2}-C_{23}^{*1})\sin\phi\cos\phi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользовавшись формулами двойного угла и разделив числитель и знаменатель на $(C_{31}^{*1}+C_{23}^{*2})\cos 2\phi$, получаем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{tg}\tilde \tau =\frac{[(C_{31}^{*2}-C_{23}^{*1})/(C_{31}^{*1}+C_{23}^{*2})] -\operatorname{tg} 2\phi} {1+[(C_{31}^{*2}-C_{23}^{*1})/(C_{31}^{*1}+C_{23}^{*2})]\operatorname{tg} 2\phi}= \frac{\operatorname{tg}\tau-\operatorname{tg} 2\phi} {1+\operatorname{tg}\tau\operatorname{tg} 2\phi}=\operatorname{tg}(\tau-2\phi),
\end{equation*}
\notag
$$
так что поворот просто сдвигает параметр $\tau$ на величину $2\phi$. Таким образом, “относительно нормальной” для алгебры первого типа оказывается форма
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, {} [\Omega_1,\Omega_2]&=0,\\ [\Omega_2,\Omega_3]&=(-\rho\sin\tau+\varkappa)\Omega_1+(\rho\cos\tau-\nu)\Omega_2,\\ [\Omega_3,\Omega_1]&=(\rho\cos\tau+\nu)\Omega_1+(\rho\sin\tau+\varkappa)\Omega_2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{44}
$$
причем можно считать, что величину $\tau$ мы можем выбирать произвольно, и этот выбор не влияет ни на метрическую форму (которая остается суммой квадратов соответствующих дифференциальных форм), ни на кривизны – собственные значения матрицы $M_{\alpha\beta}$. Изначальное классифицирующее предположение об асимметрии для алгебр первого типа, очевидно, означает, что величина $\nu$ предполагается ненулевой. Если считать, что матрица $q_{\alpha\beta}$ является единичной, мы можем воспользоваться формулой (14), которая дает нам следующие значения для $M_{\alpha\beta}$:
$$
\begin{equation*}
M_{\alpha\beta}=\begin{pmatrix} 2\rho\varkappa\sin\tau+2\rho\nu\cos\tau+2\nu^2& 2\rho\nu\sin\tau-2\rho\varkappa\cos\tau& 0\\ 2\rho\nu\sin\tau-2\rho\varkappa\cos\tau& 2\nu^2-2\rho\varkappa\sin\tau-2\rho\nu\cos\tau&0\\ 0&0&2\rho^2+2\nu^2\\ \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
и становится очевидным, что для того, чтобы матрица $M_{\alpha\beta}$ стала диагональной, нужно с помощью поворота добиться выполнения равенств
$$
\begin{equation*}
\sin\tau=\frac \varkappa{\sqrt{\varkappa^2+\nu^2}}, \qquad \cos\tau=\frac\nu{\sqrt{\varkappa^2+\nu^2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом удобно обозначить $\sigma= \rho/\sqrt{\varkappa^2+\nu^2}$, что и приводит алгебру к нормальной форме алгебр первого типа (30), а матрицу $M_{\alpha\beta}$ – к виду (32). 5.4. Доказательство теоремы 5. Нормализация алгебр второго типаДля алгебр второго типа, когда $\lambda=\mu=\nu=0$, тождество Якоби выполнено автоматически, при поворотах вектор $(\lambda,\mu,\nu)$ остается нулевым, поэтому за счет поворотов нужно изменять другие параметры. При этом $C_{12}^{*2}=C_{31}^{*3}=\alpha$, $C_{23}^{*3}=C_{12}^{*1}=\beta$, $C_{31}^{*1}=C_{23}^{*2}=\gamma$. Из формул (37)–(39) мы получаем формулы преобразования соответствующих величин при поворотах в плоскости операторов $\Omega_1$, $\Omega_2$, в плоскости операторов $\Omega_2$, $\Omega_3$ и в плоскости операторов $\Omega_1$, $\Omega_3$. В первом случае формулы преобразования структурных констант (37) принимают вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \tilde \alpha=\alpha\cos\phi-\beta\sin\phi,\qquad \tilde \beta=\beta \cos\phi+\alpha\sin\phi, \\ \tilde \gamma=\gamma(\cos^{2}\phi-\sin^{2}\phi)+(C_{31}^{*2}-C_{23}^{*1}) \sin\phi\cos\phi, \\ \widetilde C_{12}^{*3}=C_{12}^{*3}, \qquad \widetilde C_{23}^{*1}=C_{23}^{*1} \cos^{2}\phi+2\gamma\sin\phi\cos\phi+C_{31}^{*2}\sin^{2}\phi, \\ \widetilde C_{31}^{*2}=C_{31}^{*2}\cos^{2}\phi-2\gamma\sin\phi\cos\phi+C_{23}^{*1}\sin^{2}\phi,\end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
во втором случае –
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \tilde \alpha=\alpha(\cos^{2}\psi-\sin^{2}\psi)+(C_{12}^{*3}-C_{31}^{*2})\sin\psi\cos\psi, \\ \tilde \beta=\beta\cos\psi-\gamma\sin\psi,\qquad \tilde \gamma=\gamma\cos\psi+\beta\sin\psi, \\ \widetilde C_{12}^{*3}=C_{12}^{*3}\cos^{2}\psi-2\alpha\sin\psi\cos\psi+C_{31}^{*2}\sin^{2}\psi, \\ \widetilde C_{23}^{*1}=C_{23}^{*1},\qquad \widetilde C_{31}^{*2}=C_{31}^{*2}\cos^{2}\psi+2\alpha\sin\psi\cos\psi+C_{12}^{*3}\sin^{2}\psi \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и в третьем случае –
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \tilde \alpha =\alpha\cos\theta-\gamma\sin\theta,\qquad \tilde \gamma=\gamma\cos\theta+\alpha\sin\theta, \\ \tilde \beta=\beta(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)+(C_{12}^{*3}-C_{23}^{*1})\sin\theta\cos\theta, \\ \widetilde C_{12}^{*3}=C_{12}^{*3}\cos^{2}\theta-2\beta\sin\theta\cos\theta+C_{23}^{*1}\sin^{2}\theta, \\ \widetilde C_{23}^{*1}=C_{23}^{*1}\cos^{2}\theta+2\beta\sin\theta\cos\theta+C_{12}^{*3}\sin^{2}\theta, \qquad \widetilde C_{31}^{*2}=C_{31}^{*2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно проверить, что эти формулы в точности соответствуют формулам преобразования при поворотах квадратичной формы с матрицей
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} C_{12}^{*3}&\beta &\alpha \\ \beta &C_{23}^{*1}&\gamma \\ \alpha &\gamma & C_{31}^{*2} \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{45}
$$
(правда, в некотором смысле, с точностью до перенумерации: повороты (37) соответствуют преобразованию матрицы (45) поворотами в плоскости второй и третьей координат, повороты (38) – преобразованию матрицы (45) поворотами в плоскости первой и третьей координат, а повороты (39) – преобразованию матрицы (45) поворотами в плоскости первой и второй координат), поэтому мы можем воспользоваться теоремой о приведении квадратичной формы к диагональному виду и получить для алгебры второго типа диагональную форму (31). Она и оказывается нормальной. Действительно, формула (14) в силу $C^{*\gamma}_{\theta\gamma}=0$ сводится к
$$
\begin{equation*}
M_{\alpha\beta}=\frac 14 [2C^{*\gamma}_{\alpha\theta}C^{*\theta}_{\beta\gamma} +2C^{*\gamma}_{\alpha\theta}C^{*\gamma}_{\beta\theta} +C^{*\alpha}_{\gamma\theta}C^{*\beta}_{\theta\gamma}].
\end{equation*}
\notag
$$
А поскольку $C_{\alpha\beta}^{*\gamma}=0$, если хотя бы два индекса совпадают, мы немедленно получаем, что $M_{\alpha\beta}=0$, если $\alpha\ne\beta$, т. е. матрица $M_{\alpha\beta}$ является диагональной. Это, кстати, означает, что в нашем случае матрица из структурных констант и матрица $M_{\alpha\beta}$ приводятся к диагональному виду одновременно. Остается вычислить диагональные элементы $M_{\alpha\beta}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_{11}={}&\frac 14[2C^{*\gamma}_{1\theta}C^{*\theta}_{1\gamma} +2C^{*\gamma}_{1\theta}C^{*\gamma}_{1\theta} +C^{*1}_{\gamma\theta}C^{*1}_{\theta\gamma}]={} \\ ={}&\frac 14[2C^{*2}_{13}C^{*3}_{12}+2C^{*3}_{12}C^{*2}_{13} +2C^{*2}_{13}C^{*2}_{13} +2C^{*3}_{12}C^{*3}_{12} +C^{*1}_{23}C^{*1}_{32}+C^{*1}_{32}C^{*1}_{23}]={} \\ ={}&\frac {(C^{*2}_{31}-C^{*3}_{12})^2-(C^{*1}_{23})^2}2, \\ M_{22}={}&\frac 14 [2C^{*\gamma}_{2\theta}C^{*\theta}_{2\gamma} +2C^{*\gamma}_{2\theta}C^{*\gamma}_{2\theta} +C^{*2}_{\gamma\theta}C^{*2}_{\theta\gamma}]= \frac{(C^{*1}_{23}-C^{*3}_{12})^2-(C^{*2}_{31})^2}2, \\ M_{33}={}&\frac 14 [2C^{*\gamma}_{3\theta}C^{*\theta}_{3\gamma} +2C^{*\gamma}_{3\theta}C^{*\gamma}_{3\theta} +C^{*3}_{\gamma\theta}C^{*3}_{\theta\gamma}]= \frac{(C^{*1}_{23}-C^{*2}_{31})^2-(C^{*3}_{12})^2}2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы получили для матрицы $M_{\alpha\beta}$ формулу (33). Теорема 5 доказана.
6. Заключительные замечанияКак мы видим, классификация трехмерных алгебр Ли по геометрическому принципу оказывается проще и компактнее, чем классификация Бьянки – она состоит всего из двух типов алгебр, правда, с параметрами. Представляет интерес вопрос о классификации геометрически нормальных форм для алгебр большей размерности. Чрезвычайно интересно здесь и то, как геометрия группы соотносится с геометрией пространства, в котором группа реализуется как группа преобразований. Очевидно, что если орбита группы имеет ту же размерность, что и группа, то геометрия этой орбиты совпадает с геометрией группы (по крайней мере, в локальном смысле). Но вот если размерность орбиты меньше, то ответ на этот вопрос становится неочевидным. В целом следует отметить, что построение геометрии с метрикой, задаваемой на дифференциальных формах общего вида (а не на простых координатных дифференциалах $dx^i$), дает довольно интересные представления. Наконец, нельзя не указать в качестве комментария, что определенные идеи, близкие к представленному подходу, уже появлялись, однако не доводились до того вида, который мы обсуждали. Так, метрика, построенная на левоинвариантных дифференциальных формах, возникла в работе [6], там же встречается и формула (4). Формула (14) фигурирует в известной работе Милнора [7]. Конструкт $C_{\alpha\sigma}^\gamma C_{\beta\gamma}^\sigma$ рассматривался Картаном [2] как набор коэффициентов метрического тензора. Сравнение такого использования с (13) показывает, что на самом деле речь идет не о метрике, а о тензоре Риччи, характеризующем кривизну. Формулы (34)–(36) также встречаются в работе [7], однако получены из других соображений (из рассмотрения присоединенного представления алгебры). Так что в целом речь идет, конечно, об определенной тенденции, связанной с соединением алгебраических и геометрических свойств алгебр Ли и направленной на построение обозримой классификации алгебр Ли. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bor24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|