| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) 3D-совместность негативных потоков В. Э. Адлер Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук, Черноголовка, Московская обл., Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 221, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924110047 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеСтатья посвящена уравнениям в частных производных общего вида совместным с интегрируемыми уравнениями типа Кортевега–де Фриза (КдФ) Мы называем уравнение (1) негативной симметрией для уравнения (2), поскольку во многих примерах такие уравнения строятся при помощи оператора рекурсии $R$ для (2) согласно формуле В качестве затравочной симметрии $u_{t_0}$ обычно берется $u_x$, $u_t$ или просто 0. Отсюда следуют формальные разложения по параметру $\alpha$
$$
\begin{equation}
u_z= -\alpha^{-1}(u_{t_0}+\alpha^{-1}u_{t_1}+\alpha^{-2}u_{t_2}+\cdots) = u_{t_{-1}}+\alpha u_{t_{-2}}+\alpha^2u_{t_{-3}}+\cdots,
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $u_{t_n}=R^n(u_{t_0})$. Таким образом, поток (3) служит производящей функцией для иерархии высших и негативных симметрий уравнения (2), что и объясняет его роль в теории. Такой подход к негативным симметриям не только для уравнений типа КдФ, но и для систем типа нелинейного уравнения Шредингера, уравнения Буссинеска и др. использовался, например, в статьях [1]–[6]. Отметим, что во многих случаях негативные симметрии (3) связаны с уравнениями, представляющими самостоятельный интерес. Например, негативный поток для уравнения КдФ сводится дополнительными заменами к знаменитому уравнению Камассы–Холма [7], [8], негативная симметрия для нелинейного уравнения Шредингера эквивалентна системе Максвелла–Блоха или двухкомпонентному аналогу уравнения Камассы–Холма [9], [10], некоторые уравнения (1) допускают редукции к уравнениям типа уравнения синус-Гордон, определяющим гиперболические симметрии для уравнений типа КдФ [11]. Важное приложение негативных симметрий связано с построением неавтономных конечномерных редукций типа Пенлеве: оказывается, что стационарные уравнения для симметрий из дополнительной подалгебры (так называемые струнные уравнения) эквивалентны стационарным уравнениям для линейной комбинации высшей симметрии, классической симметрии типа растяжения или преобразования Галилея и суммы произвольного числа негативных потоков (3), отвечающих разным значениям параметра $\alpha$ [12], [13], [5]. В связи с этим возникает вопрос о совместности таких негативных потоков, который и обсуждается в настоящей статье. В типичной ситуации высшие симметрии $u_{t_n}=R^n(u_{t_0})$ при $n\geqslant0$ определяют попарно коммутирующие эволюционные дифференцирования, тогда из первого разложения (4) вытекает, что потоки $\partial_{z_i}$ и $\partial_{z_j}$, отвечающие значениям $\alpha_i$ и $\alpha_j$, также коммутируют друг с другом. Также отсюда следует коммутативность $\partial_{t_n}$ при $n<0$ (что не так просто проверить непосредственно, поскольку эти потоки нелокальны). В общем случае необходимо определение совместности потоков $\partial_{z_i}$ и $\partial_{z_j}$, не зависящее от способа их построения. Мы покажем, что такое определение должно включать еще одно уравнение, в котором участвуют обе переменные $z_i$ и $z_j$. В качестве упрощенной иллюстрации приведем пример 3D-совместной тройки гиперболических уравнений из статьи Ферапонтова [14]
$$
\begin{equation}
u_{xy}= \operatorname{sh} u\,\smash[b]{\sqrt{\smash[b]{1+u^2_y}}},\qquad u_{xz}= \operatorname{ch} u\,\sqrt{1+u^2_z},\qquad u_{yz}= \sqrt{\smash[b]{1+u^2_y}}\,\sqrt{1+u^2_z}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Здесь совместность означает равенство перекрестных производных для каждой пары уравнений при условии, что выполняется третье. Например, для первых двух уравнений вычисления дают
$$
\begin{equation}
(u_{xy})_z-(u_{xz})_y= \Bigl(u_{yz}-\sqrt{1+u^2_y}\sqrt{1+u^2_z\strut}\,\Bigr) \biggl(\frac{u_z\operatorname{ch} u}{\sqrt{1+u^2_z}} -\frac{u_y\operatorname{sh} u}{\sqrt{\smash[b]{1+u^2_y}}}\biggr),
\end{equation}
\tag{6}
$$
что обращается в нуль, если выполняется третье уравнение. Аналогичные соотношения с факторизованной правой частью выполняются и для двух других пар. В результате каждое уравнение тройки восстанавливается по двум другим, если в равенстве для перекрестных производных отбросить множители с младшими производными. Для пары уравнений типа (1) ситуация менее симметрична, так как дополнительное третье уравнение имеет другой тип, но общая схема остается такой же. В разделе 2 дается определение свойства 3D-совместности для уравнений (1) и объясняется алгоритм его проверки для заданных уравнений. В разделе 3 приведены наиболее простые примеры, отвечающие негативным симметриям для уравнений типа КдФ. В разделе 4 описана связь рассматриваемых уравнений с дискретным случаем, который изучен гораздо лучше. Напомним, что концепция 3D-совместности для дискретных уравнений на квадратной решетке (квад-уравнений) детально изучена во множестве публикаций (см., например, [15]–[17]); рассматривались также обобщения на уравнения высших порядков [18], [19], которые можно интерпретировать как разностные аналоги уравнения (1). Изучены также непрерывные симметрии для квад-уравнений (ссылки приведены в разделе 4), которые делятся на два типа – одевающие цепочки и цепочки типа Вольтерры:
$$
\begin{equation}
a(u_n,u_{n,x},u_{n+1},u_{n+1,x};\alpha)=0,\qquad u_{n,z} = g(u_{n-1},u_n,u_{n+1}),
\end{equation}
\tag{7}
$$
где индекс $n$ обозначает дискретную переменную (одну из многих на многомерной решетке). Если пара (7) совместна, то исключение переменных $u_{n\pm1}$ и их производных приводит к уравнению типа (1) для $u_n$, что отмечалось еще в работе Ямилова [20]. Символически можно написать
$$
\begin{equation*}
\text{negative flow}=\frac{\text{Volterra chain}}{\text{dressing chain}},
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. уравнение типа (1) вводится как “фактор-уравнение” для цепочки типа Вольтерры по модулю одевающей. В этой постановке 3D-совместность негативных потоков следует из коммутативности базовых потоков на дискретной 3D-cовместной решетке. Этот способ является альтернативой формуле (3) с оператором рекурсии и, вообще говоря, может приводить к другим ответам. Из уравнений, рассмотренных в разделе 4, особый интерес представляет пример уравнения Кричевера–Новикова, для которого оператор рекурсии имеет четвертый порядок, а не второй, как для других уравнений типа КдФ. В статье [6] было показано, что общая негативная симметрия, построенная по этому оператору рекурсии, имеет более сложный вид по сравнению с (1), однако допускает нетривиальную редукцию к уравнению данного вида. Мы показываем, что уравнения на решетке дают более простой способ вывода этой специальной негативной симметрии.
2. Определение 3D-совместностиБудем говорить, что уравнение (1) является негативной симметрией для уравнения (2), если дифференцирование уравнения (1) в силу (2) приводит к дифференциальному следствию самого уравнения (1), т. е. выполняется соотношение
$$
\begin{equation}
\biggl(D^2D_z-\frac{\partial g}{\partial u}-\frac{\partial g}{\partial u_x}D-\cdots-\frac{\partial g}{\partial u_{xz}}DD_z\biggr)(f) = A(u_{xxz}-g),
\end{equation}
\tag{8}
$$
где $D=D_x$ – полная производная по $x$, $A=a_0D^3+a_1D^2+a_2D+a_3$ – некоторый дифференциальный оператор. На практике проверка равенства (8) для заданной пары уравнений сводится к исключению производных $\partial^n_x(u_z)=D^{n-2}(g)$ с $n\geqslant2$ из левой части, что выполняется алгоритмически. Более сложным является следующий вопрос: предположим, что уравнение (2) допускает разные негативные симметрии (или семейство, зависящее от непрерывного параметра), совместны ли они друг с другом? Как было объяснено в разделе 1, этого можно ожидать, если негативные симметрии построены по формуле (3) при помощи оператора рекурсии. Однако даже в этом случае необходим независимый алгоритм проверки совместности. Примем следующее определение. Определение 1. Пусть дифференцирования $D_{z_i}$ определены уравнениями Из тождеств (11) и (12) следует совпадение перекрестных производных произвольного порядка, что гарантирует существование локальных решений общего вида, удовлетворяющих одновременно уравнениям (9) и (10) при всех $i,j$. На первый взгляд, определение 1 не конструктивно, так как уравнения (10) заранее не известны. Однако если такие уравнения существуют, их можно восстановить по заданным уравнениям (9) прямыми вычислениями, хотя и трудоемкими. На первом шаге получаем соотношение вида
$$
\begin{equation*}
0=D_{z_i}(g_j)-D_{z_j}(g_i)= P_{ij}(u,u_x,u_{xx},u_{xxx},u_{z_i},u_{xz_i},u_{z_j},u_{xz_j},u_{z_iz_j},u_{xz_iz_j}),
\end{equation*}
\notag
$$
где в правой части производные $u_{xxxz_i}$, $u_{xxxz_j}$, $u_{xxz_i}$ и $u_{xxz_j}$ исключены в силу (9). Разрешая это равенство относительно $u_{xz_iz_j}$ (здесь мы дополнительно предполагаем, что эта производная не сокращается тождественно), получаем уравнение вида
$$
\begin{equation}
u_{xz_iz_j}=h_{ij}(u,u_x,u_{xx},u_{xxx},u_{z_i},u_{xz_i},u_{z_j},u_{xz_j},u_{z_iz_j}),
\end{equation}
\tag{13}
$$
которое должно быть следствием (10), чтобы совместность имела место. На втором шаге анализируем условие
$$
\begin{equation*}
0=D(h_{ij})-D_{z_j}(g_i) =Q_{ij}(u,u_x,u_{xx},u_{xxx},u_{xxxx},u_{z_i},u_{xz_i},u_{z_j},u_{xz_j},u_{z_iz_j}),
\end{equation*}
\notag
$$
где в правой части опять исключаются $u_{xxxz_i}$, $u_{xxxz_j}$, $u_{xxz_i}$, $u_{xxz_j}$ в силу (9), а также $u_{xz_iz_j}$ в силу найденного уравнения (13). Разрешая это уравнение относительно $u_{z_iz_j}$ (опять в предположении, что эта производная не сократилась), получаем искомое уравнение (10). После этого остается только проверить, обращаются ли в тождества равенства $D(g_{ij})=h_{ij}$ и $D_{z_i}(g_{jk})=D_{z_j}(g_{ik})$, что делается прямыми вычислениями. Проиллюстрируем эту схему для нескольких конкретных уравнений.
3. Примеры3.1. Потенциальное уравнение КдФУравнение КдФ допускает оператор рекурсии $R=D^2-4u-2u_xD^{-1}$. Для удобства дальнейших формул заменим в определяющем уравнении (3) $\alpha$ на $-4\alpha$, а в качестве затравочной симметрии примем $u_{t_0}=0$ (выбор $u_{t_0}=u_x$ дает то же самое, с учетом константы интегрирования в члене $u_xD^{-1}$). Это даст соотношение $R(u_z)=-4\alpha u_z$, что эквивалентно Второе уравнение допускает понижение порядка с интегрирующим множителем $2q$: где $4\beta$ – константа интегрирования. Это хорошо известное уравнение для резольвенты оператора Штурма–Лиувилля [21], причем $\alpha$ играет роль спектрального параметра. Исключая переменную $q$, можно получить уравнение вида (1) на переменную $u$, но оно довольно громоздко. Удобнее сделать подстановку $2v_x=u$, $2v_z=q$, что приводит к потенциальному уравнению КдФ и ассоциированному уравнению Камассы–Холма [7], [8] в качестве негативной симметрии: Пара уравнений (17), (18) совместна: можно проверить, что если $\Phi$ – левая часть (18), то при дифференцировании в силу (17) выполняется тождество
$$
\begin{equation*}
D_t(\Phi)= D^3(\Phi)-\frac{3v_{xz}}{v_z}D^2(\Phi) +3\biggl(\frac{v^2_{xz}}{v^2_z}-4v_x\biggr)D(\Phi).
\end{equation*}
\notag
$$
В семействе уравнений (18) основным параметром является $\alpha$. Мы покажем, что 3D-совместность имеет место для уравнений, отвечающих различным значениям $\alpha$, при этом на значения $\beta$ никаких ограничений нет. Утверждение 1. Уравнения являются 3D-совместными с уравнениями Доказательство проводится прямым вычислением. Продемонстрируем на этом примере основные шаги, включая описанную выше процедуру вывода дополнительных уравнений (20). На первом шаге равенство $(v_{xxz_i})_{z_j}=(v_{xxz_j})_{z_i}$ приводит к уравнению вида (13) Замечание 1. Следует отметить, что уравнение (20) – это самостоятельное трехмерное интегрируемое уравнение, связанное с универсальной гидродинамической иерархией Алонсо–Шабата [22]. Для этого уравнения тождество $(v_{z_iz_j})_{z_k}=(v_{z_iz_k})_{z_j}$ выполняется даже без учета уравнений (19), что было показано в статье [23]. Уравнения (19) определяют двумерную редукцию этого 3D-уравнения, сохраняющую свойство совместности. Это же верно для уравнения (25) (см. ниже), что также отмечалось в [23]. Однако, вообще говоря, в определении 1 не требуется, чтобы тождества (12) выполнялись без учета (9). 3.2. Шварцианное уравнение КдФДля шварцианного уравнения КдФ оператор рекурсии имеет вид [24], [25]
$$
\begin{equation*}
R= D^2 -\frac{2u_{xx}}{u_x}D +\frac{u_{xxx}}{u_x}-\frac{u^2_{xx}}{u^2_x} -u_xD^{-1} \biggl(\frac{u_{xxxx}}{u^2_x}-\frac{4u_{xx}u_{xxx}}{u^3_x}+\frac{3u^3_{xx}}{u^4_x}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Вывод негативной симметрии из уравнения $R(u_z)=4\alpha u_z$ не представляет труда и мы сразу приведем ответ. Утверждение 2. Уравнения Уравнение (24) немного сложнее, чем уравнение (19), из-за явного вхождения $u_{xx}$ в правую часть. Тем не менее вычислительная проверка 3D-совместности проводится по той же схеме. Как и в случае уравнения КдФ, тождество $(u_{z_iz_j})_{z_k}=(u_{z_iz_k})_{z_j}$ выполняется без использования уравнений (24). Более того, уравнение (25) даже симметричнее, чем (20), так как в нем переменная $x$ фактически равноправна с $z_i$ и $z_j$. Интересно отметить, что уравнение (23) совместно не только с (24), но также с каждым из следующих гиперболических уравнений:
$$
\begin{equation*}
u_{xz}=2u_x\sqrt{u_z},\qquad u_{xz}=2uu_x,\qquad u_{xz}=\frac{2uu_xu_z}{u^2+1},
\end{equation*}
\notag
$$
что можно интерпретировать как вырожденные негативные симметрии. Нетрудно проверить, что первое из этих уравнений определяет специальные решения негативной симметрии вида (24) с $\alpha=\beta=0$, но другие два уравнения имеют, по-видимому, иное происхождение. Мы не будем останавливаться на вопросе об их совместности друг с другом и с потоками (24). Гиперболические симметрии имеются у многих интегрируемых эволюционных уравнений [11], хотя и не у всех: в частности, их нет для уравнения КдФ (14) и потенциального уравнения КдФ (17). 3.3. Уравнение ДимаДля уравнения Дима оператор рекурсии имеет вид (см., например, [25])
$$
\begin{equation*}
R=u^2D^2-uu_xD+uu_{xx}+u^3u_{xxx}D^{-1}u^{-2} = u^3D^3uD^{-1}u^{-2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнение для негативной симметрии $R(u_z)=\alpha u_z$ эквивалентно системе Второе уравнение допускает интегрирующий множитель $u^{-2}q$ и сводится к где $\beta$ – постоянная интегрирования. Как и в случае уравнения КдФ, удобно перейти к потенциальной форме уравнения, делая замену В результате уравнение (26) переходит в уравнение, связанное с (23) точечной заменой $x\leftrightarrow v$:
$$
\begin{equation}
v_t= -\frac{v_{xxx}}{v^3_x}+\frac{3v^2_{xx}}{2v^4_x},
\end{equation}
\tag{29}
$$
а уравнения для $q$ превращаются в негативную симметрию вида (1). Утверждение 3. Уравнения Отметим, что уравнения (31) совпадают с (25) с точностью до замены $\alpha\to1/\alpha$. При более общем выборе затравочной симметрии уравнение $(R-\alpha)(u_z)=c_1u_x+c_2u_t$ по-прежнему сводится к $R(u_z)=\alpha u_z$, если $\alpha\ne0$, за счет выбора первообразной в интегральном члене оператора $R$ и дополнительного преобразования $\partial_z\mapsto \partial_z-\frac{c_1}{\alpha}\partial_x$. Если же $\alpha=0$, то вместо (27) возникает система допускающая интегрирующий множитель $u^{-3}$. После замены (28) получаем еще одну негативную симметрию, дополняющую семейство (30) и совместную с ним: Ее можно объединить с (30) в более общее 3D-совместное семейство
$$
\begin{equation*}
2\biggl(\alpha_i\frac{v_{z_i}}{v_x}+\gamma_i\biggr)\biggl(\frac{v_{z_i}}{v_x}\biggr)_{\!xx} =\alpha_i\biggl(\frac{v_{z_i}}{v_x}\biggr)^{\!2}_{\!x}+(\alpha_iv_{z_i}+\gamma_iv_x)^2+\beta_i,
\end{equation*}
\notag
$$
при этом (31) заменяется на уравнение
$$
\begin{equation*}
v_{z_iz_j}= \frac{\alpha_iv_{z_j}v_{xz_i}-\alpha_jv_{z_i}v_{xz_j} +\gamma_j(v_xv_{xz_i}-v_{xx}v_{z_i})-\gamma_i(v_xv_{xz_j}-v_{xx}v_{z_j})}{(\alpha_i-\alpha_j)v_x}.
\end{equation*}
\notag
$$
3.4. Потенциальное модифицированное уравнение КдФ и уравнение синус-ГордонДля модифицированного уравнения КдФ оператор рекурсии равен $R= D^2+4u^2+4u_xD^{-1}u$. Определяющее уравнение $R(u_z)=\alpha u_z$ для негативной симметрии имеет вид Как и в предыдущих примерах, перейдем к потенциальной форме уравнения и также введем вспомогательную переменную $q$ согласно заменам $u=v_x$, $u_z=q_x/u=v_{xz}$. Это дает
$$
\begin{equation*}
v_{xxxz}+4uq_x+4u_xq=\alpha v_{xz} \qquad\Rightarrow\qquad v_{xxz}+4v_xq=\alpha v_z+\beta;
\end{equation*}
\notag
$$
умножая на $2v_{xz}$ и интегрируя еще раз, получаем
$$
\begin{equation*}
2v_{xz}v_{xxz}+8qq_x=2(\alpha v_z+\beta)v_{xz} \qquad\Rightarrow\qquad v^2_{xz}+4q^2=\alpha v^2_z+2\beta v_z+\gamma.
\end{equation*}
\notag
$$
Исключение $q$ из полученных уравнений дает негативную симметрию для (33):
$$
\begin{equation}
v_{xxz} = 2v_x\sqrt{\alpha v^2_z+2\beta v_z+\gamma-v^2_{xz}}+\alpha v_z+\beta.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Следующее утверждение проверяется прямыми вычислениями. Утверждение 4. Уравнения В отличие от предыдущих примеров, здесь при проверке тождеств $(v_{z_iz_j})_{z_k}=(v_{z_iz_k})_{z_j}$ необходимо учитывать уравнения (35). При $\alpha=0$ негативная симметрия упрощается: можно проверить, что в этом случае исходная переменная $u=v_x$ удовлетворяет уравнению которое совместно с (32). Если также $\beta=0$, то негативная симметрия допускает дальнейшее вырождение к гиперболическому уравнению: обозначим соответствующую независимую переменную через $y$ и положим $\gamma=1$ (без потери общности), тогда (34) принимает вид и нетрудно проверить, что уравнение синус-Гордон определяет частные решения этого уравнения. Также можно проверить, что совместность с другими негативными симметриями сохраняется при условии, что для них $\alpha\ne0$ и $\beta=0$. В результате уравнение (37) образует совместную тройку с уравнениями
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, v_{xxz}&= 2v_x\sqrt{\alpha v^2_z+\gamma-v^2_{xz}}+\alpha v_z,\\ v_{yz}&= \frac{2}{\alpha}\bigl(\cos 2v\:v_{xz}-\sin2v\sqrt{\alpha v^2_z+\gamma-v^2_{xz}}\,\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
4. Вывод негативных симметрий из уравнений на решетке4.1. Общая схемаФормула (3) с оператором рекурсии – не единственный способ вывода уравнений вида (1). Альтернативный подход связан с совместными парами дифференциально-разностных уравнений типа одевающей цепочки и типа цепочки Вольтерры Параметр $\alpha$ во всех формулах этого раздела играет ту же роль, что параметр в (3), но не обязательно совпадает с ним. Совместность означает, что дифференцирование уравнения (38) по $z$ согласно (39) дает тождество в силу самой цепочки (38). Такие пары цепочек давно изучались в литературе (см., в частности, [20], [26], [27], где приведены примеры и ряд классификационных результатов). В указанных работах также отмечалось, что исключение переменных $u_{n\pm1}$ приводит к уравнениям типа (1).Утверждение 5. Пусть уравнения (38) и (39) совместны и удовлетворяют условиям невырожденности $\partial a/\partial u_{n,x}\ne0$, $\partial a/\partial u_{n+1,x}\ne0$, $\partial b/\partial u_{n\pm1}\ne0$. Тогда переменная $u=u_n$ при произвольном $n$ удовлетворяет некоторому уравнению вида (1). Доказательство. Благодаря условию невырожденности уравнение (38) и такое же уравнение при $n=n-1$ можно разрешить относительно $u_{n\pm1,x}$: Одевающая цепочка (38) – это гиперболическое уравнение с непрерывной переменной $x$ и дискретной переменной $n$. Эволюционные симметрии этого уравнения распадаются на две подалгебры: одна включает цепочку (39) и ее высшие симметрии, а вторая – уравнение типа КдФ и его высшие симметрии. Иначе говоря, уравнения типа (38) описывают $x$-часть преобразований Беклунда для уравнений типа (40). Отметим, что преобразования Беклунда в виде (38) существуют только для таких уравнений (2), в которых производная $u_{xxx}$ входит линейно с постоянным коэффициентом. Для уравнений с более сложным вхождением $u_{xxx}$ требуются дополнительные преобразования типа $x\leftrightarrow u$, что усложняет конструкцию. В частности, для уравнения Дима (26) данный метод непосредственно не может быть применен.Свойство коммутативности преобразований Беклунда, отвечающих различным параметрам $\alpha_i$, приводит к 3D-совместным квад-уравнениям где $T_i\!:n_i\mapsto n_i+1$ обозначают сдвиги по различным дискретным переменным $n_i$, образующим многомерную целочисленную решетку. Каждой координате $n_i$ отвечает непрерывная переменная $z_i$, параметр $\alpha_i$ и совместная пара цепочек (38) и (39):
$$
\begin{equation}
a(u,u_x,T_i(u),T_i(u_x);\alpha_i)=0,\qquad u_{z_i}= b(T^{-1}_i(u),u,T_i(u)).
\end{equation}
\tag{42}
$$
При этом описанное выше исключение сдвинутых переменных приводит к уравнениям (9), а их совместность оказывается следствием совместности уравнений с дискретными переменными. Цепочки типа Вольтерры, совместные с квад-уравнениями (41), также изучались в целом ряде работ. В работах [28], [15], [29] они использовались для вывода уравнений в частных производных (по переменным $z_i$, $z_j$ в наших обозначениях) и их редукций типа редукций Пенлеве. Эта тема развивалась также в статьях [30]–[32], где симметрии Вольтерры (включая неавтономные) были систематически исследованы для всего списка квад-уравнений из [16]. Известны также обобщения на уравнения более высокого порядка по сдвигам [18], [33], [34]. Статьи [35]–[39] посвящены подходу к классификации квад-уравнений общего вида, который основан на существовании симметрий типа Вольтерры или Богоявленского. Таким образом, совместные наборы уравнений (41), (42) довольно хорошо изучены. Однако, насколько известно автору, их связь с 3D-совместностью негативных потоков (9) ранее не обсуждалась. 4.2. Простейшие примерыПроиллюстрируем описанную схему на примере потенциального уравнения КдФ. Для него преобразование Беклунда определяется одевающей цепочкой и можно проверить, что это уравнение совместно с цепочкой Для исключения $v_{n\pm1}$ используем соотношение
$$
\begin{equation*}
v_{n,xz}= -\frac{v_{n+1,x}-v_{n-1,x}}{(v_{n+1}-v_{n-1})^2} = -\frac{(v_{n+1}-v_n)^2-(v_n-v_{n-1})^2}{(v_{n+1}-v_{n-1})^2} = -\frac{v_{n+1}-2v_n+v_{n-1}}{v_{n+1}-v_{n-1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из предыдущего уравнения находим и подстановка в (43) после несложных преобразований дает уравнение для $v=v_n$, что совпадает с уравнением (18) при $\beta=1$. Нетрудно видеть, что уравнение с произвольным $\beta\ne0$ можно получить растяжением $z$, умножая на $\sqrt{\beta}$ правую часть (44). В результате оказывается, что негативная симметрия потенциального уравнения КдФ (19) и дополнительное уравнение (20) выводятся в результате исключения сдвигов из цепочек
$$
\begin{equation*}
T_i(v_x)+v_x= (T_i(v)-v)^2+\alpha_i,\qquad v_{z_i}= \frac{\sqrt{\beta_i}}{T_i(v)-T^{-1}_i(v)}
\end{equation*}
\notag
$$
и квад-уравнения $H_1$ (обозначения для квад-уравнений отвечают списку из [16]) Совместность этих уравнений на решетке легко проверяется (и это известный результат), откуда вытекает и утверждение 1 о 3D-совместности уравнений (19). Следует отметить, однако, что в данной схеме выпадает значение $\beta=0$, которое никак не выделено в подходе с оператором рекурсии (где этот параметр играет роль произвольной константы интегрирования). Точно так же для шварцианного уравнения КдФ утверждение 2 о негативной симметрии (24) и дополнительных уравнениях (25) выводится в результате исключения сдвигов из цепочек
$$
\begin{equation*}
T_i(u_x)u_x= \alpha_i(T_i(u)-u)^2,\qquad u_{z_i}= \sqrt{\beta_i}\,\frac{(T_i(u)-u)(u-T^{-1}_i(u))}{T_i(u)-T^{-1}_i(u)}
\end{equation*}
\notag
$$
и квад-уравнения $Q_1(0)$
$$
\begin{equation*}
\alpha_i(u-T_j(u))(T_i(u)-T_iT_j(u))=\alpha_j(u-T_i(u))(T_j(u)-T_iT_j(u)).
\end{equation*}
\notag
$$
Потенциальному модифицированному уравнению КдФ со знаком минус отвечают цепочки
$$
\begin{equation*}
T_i(v_x)+v_x= a_i\operatorname{ch}(T_i(v)-v),\qquad v_{z_i}= c_i\frac{e^{T_i(v)}+e^{T^{-1}_i(v)}}{e^{T_i(v)}-e^{T^{-1}_i(v)}}-b_i,
\end{equation*}
\notag
$$
для которых исключение сдвигов приводит к негативной симметрии
$$
\begin{equation*}
v_{xxz_i}= 2v_x\sqrt{v^2_{xz_i}+a^2_i(v_{z_i}+b_i)^2-a^2_ic^2_i}-a^2_i(v_{z_i}+b_i),
\end{equation*}
\notag
$$
что совпадает с уравнением (35) с точностью до замены $v\to v\sqrt{-1}$ и обозначений параметров, а соответствующее квад-уравнение сводится к $H_3(0)$ для переменных $q=e^v$:
$$
\begin{equation*}
a_i(qT_i(q)+T_j(q)T_iT_j(q))=a_j(qT_j(q)+T_i(q)T_iT_j(q)).
\end{equation*}
\notag
$$
Для потенциального модифицированного уравнения КдФ со знаком плюс (33) вещественная форма квад-уравнения получается при замене $q=\operatorname{tg}(v/2)$. 4.3. Уравнение Кричевера–НовиковаНаиболее сложный пример связан с уравнением Кричевера–Новикова [40]
$$
\begin{equation}
u_t=u_{xxx}-\frac{3(u^2_{xx}-r(u))}{2u_x},\qquad r=c_4u^4+c_3u^3+c_2u^2+c_1u+c_0.
\end{equation}
\tag{45}
$$
Напомним, что дробно-линейные преобразования сохраняют вид этого уравнения, но меняют многочлен $r$, что позволяет привести его к одной из канонических форм, в зависимости от кратности корней. В случае кратных корней известны дифференциальные подстановки, связывающие (45) с уравнением КдФ; если же все корни простые, такой подстановки не существует [41]. Оператор рекурсии [42], [43] в случае простых корней имеет минимальный порядок, равный 4, а высшие симметрии порождаются им из двух затравочных: $u_{t_0}=u_x$ и самого уравнения (45). Отсюда ясно, что формула (3) дает вместо (1) уравнение более высокого порядка по производным, но оказывается, что уравнение типа (1) возникает при редукции, найденной в [6] при помощи техники, связанной с квадратами собственных функций для представления Лакса. С точностью до переобозначений1 эта специальная негативная симметрия приведена в следующем утверждении, которое доказывается прямой проверкой. Утверждение 6. Пусть переменная $u$ удовлетворяет уравнению (45) с $r=4u^3-g_2u-g_3$ и параметр $(\alpha,\beta)$ лежит на кривой $\beta^2=r(\alpha)$. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) уравнения
$$
\begin{equation}
2qq_{xx}-q^2_x+2qq_x\biggl(\frac{u_{xx}}{u_x}-\frac{u_x}{u-\alpha}\biggr) -q^2\biggl(\frac{r(u)}{u^2_x}-\frac{2\beta}{u-\alpha}\biggr) +\frac{(u-\alpha)^2}{u^2_x}=0,
\end{equation}
\tag{46}
$$
$$
\begin{equation}
q_t= -q_x\biggl(\frac{u_{xxx}}{u_x}-\frac{u^2_{xx}-r(u)}{2u^2_x} -\frac{2(u_{xx}-\beta)}{u-\alpha}\biggr) -\frac{q}{u_x}\biggl(\frac{2(\beta u_{xx}-r(u))}{u-\alpha}+r'(u)\biggr)
\end{equation}
\tag{47}
$$
совместны, т. е. эта пара уравнений определяет продолжение уравнения (45) на переменную $q$; 2) поток
$$
\begin{equation}
u_z= \gamma\biggl(\frac{u^2_xq^2_x-r(u)q^2}{(u-\alpha)q}-\frac{u-\alpha}{q}\biggr)
\end{equation}
\tag{48}
$$
совместен с (45). Переменная $q$ может быть исключена из уравнений (46) и (48), что приводит негативную симметрию к виду (1):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P(u)(u_xu_{xxz}{}&-u_{xx}u_{xz})^2 -u^2_x(P'(u)u_{xz}-{} \notag \\ & -(4u^2-8\alpha u-8\alpha^2+g_2)u_xu_z)(u_xu_{xxz}-u_{xx}u_{xz})+{} \notag \\ & +(2\beta u^2_x-P(u))(r(u)u_{xz}^2-r'(u)u_xu_zu_{xz}+4(2u+\alpha)u^2_xu^2_z)+{} \notag \\ & +4u^2_x((u-\alpha)u_{xz}-u_xu_z)^2-16\gamma^2u^2_x(\beta u^2_x-P(u))^2=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{49}
$$
где
$$
\begin{equation*}
P(u)=u^4+\frac{1}{2}g_2u^2+2g_3u+\frac{1}{16}g^2_2-\alpha r(u).
\end{equation*}
\notag
$$
Прямая проверка 3D-совместности для этого уравнения затруднительна ввиду его громоздкости. Однако это можно сделать в других переменных, воспользовавшись представлением негативного потока парой цепочек
$$
\begin{equation}
u_{n,z}=f(u_{n-1},u_n,u_{n+1})=\frac{2h(u_n,u_{n+1})}{u_{n+1}-u_{n-1}}-h^{(0,1)}(u_n,u_{n+1}),
\end{equation}
\tag{51}
$$
где $h(u,v)$ – симметричный биквадратичный многочлен, т. е.
$$
\begin{equation}
h^{(3,0)}(u,v)=h^{(0,3)}(u,v)=0,\qquad h(u,v)=h(v,u).
\end{equation}
\tag{52}
$$
Цепочка (50) определяет $x$-часть преобразования Беклунда для уравнения (45) с многочленом а цепочка (51) – это уравнение $V_4(0)$ из классификации Ямилова [44], [45], она определяет дискретизацию уравнения Кричевера–Новикова, а также связана с преобразованием Беклунда для уравнения Ландау–Лифшица [46], [35]. Известно [47], [48], [35], что каждая из цепочек (50) и (51) служит непрерывной симметрией для многомерной решетки, определяемой квад-уравнением $Q_4$. Поэтому все, что требуется сделать, – это проверить совместность этих двух цепочек друг с другом и убедиться, что исключение $u_{n\pm1}$ приводит к уравнению (49) при надлежащем выборе многочлена $h$. Следующее утверждение легко доказывается в общем виде, с использованием лишь свойств (52). Доказательство. Обозначим $h_n=h(u_n,u_{n+1})$, $f_n=f(u_{n-1},u_n,u_{n+1})$. Из свойств (52) следует, что $f_n$ может быть выражена также через $h_{n-1}$: Далее, обозначим $u=u_n$, $v=u_{n+1}$ и исключим $u_{n-1}$ из уравнений (51) и (56). Легко проверить, что в результате получается система (ср. с [49])
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & u_xv_x=h,\qquad h=h(u,v),\\ & hu_{xz}-h^{(1,0)}u_xu_z+u_x(hh^{(1,1)}-h^{(0,1)}h^{(1,0)})=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{57}
$$
Переменная $v$ алгебраически выражается из второго уравнения, после чего подстановка в первое уравнение дает некоторое уравнение вида (1). Этот шаг приходится делать, переходя к конкретному виду многочлена $h$, связанного с $r=4u^3-g_2u-g_3$ соотношением (53):
$$
\begin{equation}
h(u,v)=\frac{1}{\nu}\biggl(\!\biggl(uv+\mu u+\mu v+\frac{g_2}{4}\biggr)^2-(u+v+\mu)(4\mu uv-g_3)\biggr),\qquad \nu^2=r(\mu).
\end{equation}
\tag{58}
$$
Точки $(\mu,\nu)$ и $(\alpha,\beta)$ различны, хотя и лежат на одной алгебраической кривой. Прямыми, довольно трудоемкими вычислениями можно показать, что система (57), (58) эквивалентна (49) при
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha=\frac{16\mu^4+8g_2\mu^2+32g_3\mu+g^2_2}{16r(\mu)},\\ \beta=\frac{\nu(64\mu^6-80g_2\mu^4-320g_3\mu^3-20g^2_2\mu^2-16g_2g_3\mu-32g^2_3)}{32r(\mu)^2} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\gamma=\pm 1/2$ (этот параметр изменяется масштабированием $z$).
5. ЗаключениеВ нашей работе цепочки типа Вольтерры (39) играют вспомогательную роль как инструмент для построения негативных потоков для уравнений типа КдФ (2). Однако эти цепочки можно рассматривать и как основные уравнения. Например, негативная симметрия для цепочки Вольтерры была получена при помощи оператора рекурсии в работе [5]. В потенциальных переменных $u_n=v_{n,t}=e^{v_{n+1}-v_{n-1}}$ она записывается в виде
$$
\begin{equation*}
e^{v_{n+1}-v_{n-1}}(v_{n+1,z}+v_{n,z})(v_{n,z}+v_{n-1,z})=\alpha v^2_{n,z}+(-1)^n\beta v_{n,z}+\gamma,
\end{equation*}
\notag
$$
что следует рассматривать как разностный аналог уравнения типа (1). Данное уравнение обладает свойством 3D-совместности в смысле определений из раздела 2, с заменой производных по $x$ на сдвиги по $n$. Результаты из раздела 4 также имеют свои аналоги для других цепочек типа Вольтерры, что планируется изложить в отдельной статье. Аналогичные результаты о 3D-совместности негативных симметрий могут быть получены и для некоторых других классов уравнений. Способ построения негативных симметрий при помощи вспомогательных дифференциально-разностных уравнений также допускает обобщения (например, для систем типа нелинейного уравнения Шредингера можно использовать пары цепочек типа цепочки Тоды и релятивистской цепочки Тоды), но его эквивалентность прямому методу, основанному на операторе рекурсии, остается открытым вопросом. Следует отметить, что для уравнений, ассоциированных со спектральными задачами порядка больше 2, вид операторов рекурсии, а следовательно, и негативных симметрий заметно усложняется (примеры, связанные с уравнением Буссинеска и системой Дринфельда–Соколова, рассматривались в [6]). Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Adl24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|