Обзор по точным решениям и редукциям уравнений типа Монжа–Ампера

Дан обзор публикаций, посвященных точным решениям, преобразованиям, симметриям, редукциям и приложениям сильно нелинейных стационарных и нестационарных (параболических) уравнений типа Монжа–Ампера. Исследуются сильно нелинейные нестационарные уравнения математической физики с тремя независимыми переменными, которые содержат квадратичную комбинацию вторых производных по пространственным переменным типа Монжа–Ампера и произвольную степень первой производной по времени или произвольную функцию, зависящую от этой производной. Методами группового анализа исследованы симметрии рассматриваемых уравнений типа Монжа–Ампера. Получены формулы размножения, дающие возможность строить многопараметрические семейства решений, исходя из более простых решений. Рассмотрены двумерные и одномерные симметрийные и несимметрийные редукции, приводящие исходные уравнения к более простым уравнениям в частных производных с двумя независимыми переменными или обыкновенным дифференциальным уравнениям или системам таких уравнений. Описаны автомодельные и другие инвариантные решения. Методами обобщенного и функционального разделения переменных построен ряд новых точных решений, многие из которых выражаются в элементарных функциях или в квадратурах. Некоторые решения получены с помощью вспомогательных промежуточных точечных или контактных преобразований. Приведенные точные решения можно использовать в качестве тестовых задач, предназначенных для проверки адекватности и оценки точности численных и приближенных аналитических методов решения задач, описываемых сильно нелинейными уравнениями математической физики.