Обобщенное уравнение Сильвестра и дискретные уравнения типа Абловица–Каупа–Ньюэлла–Сигура

Предложено обобщение уравнения Сильвестра и на этой основе проведено исследование метода матрицы Коши применительно к дискретным уравнениям Абловица–Каупа–Ньюэлла–Сигура отрицательного порядка и третьего порядка. На основе обобщенного уравнения Сильвестра вводится мастер-функция $\boldsymbol{S}^{(i,j)}$, которая при определенном ограничивающем условии удовлетворяет некоторому рекуррентному соотношению. Путем выбора сдвигов матриц $\boldsymbol{r}$ и $\,^\mathrm{t}\! {\boldsymbol{s}}$ получены сдвиги мастер-функции $\boldsymbol{S}^{(i,j)}$. Введение зависимых переменных позволяет построить два упомянутых дискретных уравнения Абловица–Каупа–Ньюэлла–Сигура в замкнутом виде. Выбирая матрицы в уравнении Сильвестра двумя различными способами, так чтобы выполнялось ограничивающее условие, можно получить точные решения уравнений в асимметричном и симметричном случаях, причем односолитонное и двухсолитонное решения и решения, отвечающие простейшей жордановой клетке, выписываются явно. Кроме того, рассматриваются непрерывные пределы, приводящие к полудискретному и непрерывному уравнениям типа Абловица–Каупа–Ньюэлла–Сигура, а также получены соответствующие точные решения.