Метод простых уравнений: методология, вдохновляющие исследования Н. А. Кудряшова и несколько замечаний по применению уравнений баланса

Обсуждается один из аспектов применения метода простых уравнений для получения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений, связанный с количеством уравнений баланса, необходимых для получения точного решения. Исследования стимулированы результатами профессора Кудряшова, полученными в важный период развития этого метода. Поэтому статья начинается с краткого описания метода простых уравнений и истории исследований авторов по точному решению нелинейных дифференциальных уравнений, а также некоторых результатов профессора Кудряшова в этой области за последние 30 лет. Частный случай метода простых уравнений применяется к следующему классу нелинейных дифференциальных уравнений:
\begin{equation*} \sum_{f=0}^{f_{\max}}\sum_{\omega=1}^{n}\sum_{\omega_1=0}^\omega A_{f,\omega,\omega_1} \biggl(F,\biggl\{\frac{\partial^{\zeta}F}{\partial x^{\zeta_1}\,\partial t^{\zeta-\zeta_1}}\biggr\}\biggr) \biggl[\frac{\partial^\omega F}{\partial x^{\omega_1}\,\partial t^{\omega-\omega_1}}\biggr]^f=B(F), \end{equation*}
где $A_{f,\omega,\omega_1}\bigl(F,\bigl\{\frac{\partial^{\zeta}F}{\partial x^{\zeta_1}\partial t^{\zeta-\zeta_1}}\bigr\}\bigr)$ и $B(F)$ – полиномы от неизвестной функции $F$ и ее производных. В качестве простого уравнения используется обыкновенное дифференциальное уравнение $\bigl(\frac{d\Phi}{d\xi}\bigr)^\epsilon=\sum_{\pi=0}^{\sigma}\gamma_{\pi}[\Phi (\xi)]^\pi$, которое содержит как частный случай эллиптическое уравнение $\bigl(\frac{d\Phi}{d\xi}\bigr)^2=a\Phi^4+b\Phi^2+c$. Показано, что в этой задаче может возникнуть необходимость использования более одного уравнения баланса. Методические результаты проиллюстрированы на отдельных простых примерах.