Нуль-векторы, 3- и 4-точечные функции в конформной теории поля

Мы рассматриваем 3- и 4-точечные корреляционные функции в конформной теории поля с симметрией $W$-алгебры. В то время как в теории с одной только симметрией алгебры Вирасоро трехточечные функции полей потомков единственным образом определяются трехточечной функцией соответствующих примарных полей, это не выполняется в теории с симметрией $W_3$-алгебры. Общие трехточечные функции полей $W$-потомков имеют счетную степень произвольности. Мы находим, однако, что если одно из полей принадлежит представлению с нулевыми состояниями, то это сильно ограничивает 3-точечные функции. В частности, если одно из представлений двукратно вырожденно, то трехточечная функция определяется с точностью до общей константы. Мы расширяем наш анализ на 4-точечные функции и находим, что если два из $W$-примарных полей двукратно вырожденны, то промежуточные каналы ограничиваются конечным набором и соответствующие киральные блоки определяются с точностью до общей константы. Это отвечает существованию линейного дифференциального уравнения для киральных блоков с двумя полностью вырожденными полями, как это было найдено в работе Байнока и др.