Entropy numbers of some ergodic averages

Замечательная оценка чисел покрытия для средних сжатия в гильбертовом пространстве $H$, полученная недавно Талаграном, обобщается на скользящие средние сжатий. За счет введения второй регуляризации в спектральной регуляризации Талаграна получены нежесткие условия на спектральную меру, связанную с каждым $x\in H$, позволяющие оценить число гильбертовых шаров радиуса $0<\varepsilon\le1$, достаточное для покрытия подмножества в $H$, определяемого как $\{B_n(x)=\frac1n\sum_{j=n^2}^{n^2+n-1}U^jx,n\in\mathscr{N}\}$, где $U$ – сжатие в $H$, a $\mathscr{N}$ – геометрическая прогрессия. Показано, что эти условия на спектральную меру гарантируют существование модуля непрерывности для $\{T^{-1}\int_0^Tf\circ U_t\,dt,T\ge1\}$, где $f$ есть сжатие в $L^2(\mu)$, a $\{U_t,t\in\mathbb{R}\}$ – поток, сохраняющий меру $\mu$. Приведена оценка чисел покрытия в негильбертовом случае.