Асимптотика вероятности пересечения границы траекторией цепи Маркова. Экспоненциально убывающие хвосты скачков

Пусть $X(n)=X(u,n)$, $n=0,1,\dots$, — однородная во времени эргодическая вещественнозначная цепь Маркова с переходной вероятностью $P(u,B)$ и начальным значением $u\equiv X(u,0)=X(0)$. Изучается асимптотика вероятности пересечения траекторией $X(k)$, $k=0,1,\dots,n$, заданной границы $g(k)$, $k=0,1,\dots,n$, т.е. вероятности $P\{\max_{k\le n}(X(k)-g(k))>0\}$, где граница $g(\cdot)$ зависит, вообще говоря, от $n$, а также от некоторого растущего параметра $x$ таким образом, что $\min_{k\le n}g(k)\to\infty$ при $x\to\infty$. Относительно цепи предполагается, что она частично однородна в пространстве, т.е. при некотором $N\ge 0$ переходная вероятность $P(u,dv)$ при $u>N$, $v>N$ зависит лишь от разности $v-u$. Предполагается также, что при некотором $\lambda>0$
$$ \sup_{u\le 0}E e^{(u+\xi(u))\lambda}<\infty,\qquad \sup_{u\ge 0}E e^{\lambda\xi(u)}<\infty, $$
где $\xi(u)=X(u,1)-u$ есть приращение цепи из точки $u$ за один шаг.
Настоящая работа является продолжением статьи [1], где были рассмотрены регулярные хвосты распределений $\xi(u)$. В работе получены предельные теоремы, описывающие асимптотику изучаемых вероятностей при весьма широких условиях в области как больших, так и нормальных уклонений. Изучены также асимптотические свойства циклов по возвращению в положительный атом. Установлен аналог закона повторного логарифма.